Coleccion Schaum Geometria Analitica Joseph-H-kindle-Ccesa007

8/20/2019 Coleccion Schaum Geometria Analitica Joseph-H-kindle-Ccesa007

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GEOMETRIA ,

ANALITICA Joseph H. Kindle



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SERIE DE COMPENDIOS SCHA UM

T E O R I A Y PR O B L E M A S

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GEOMETRIA ANALITICA ;

Plana y del Espacio• , , r' a

JOSEPH H . KINDLE, Ph. D.

Profe s sor of M athematicsUniuersit y of Cincinnati

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TR ADUCX'ION Y ADAPTAC ()N

LUIS GUTIÉRREZ DíEZ

Jn¡(cniero d e Armamento

/\NGEl. GuT1ÍlRREZ VÁZQUEZ

/nl(t>ntero d e Armamenla Li anciad o en Ciencias Fl sica s

Dipl omad o en ln!{en inía N11 cl c'< Ir ·f "Jvd #x .,. ,·

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McGRAW-HILL MXICO • BOGOTA • BUENOS AIRES • .GUATEMALA • LISBOA • MADRID

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p

..,

Prólogo

Este libro de problemas está concebido como complemen to de los textos de geometría analítica q ue se estudian en los institu tos y escuelas técnicas de grado medio. En él se exponen !asmaterias aproximadamente en el mismo orden q ue figu ra en la mayor parte de dichos tex tos. Consta de 345 problemas tipo, cuidadosamente resueltos, y 910 problemas propuesto¡ comoejercicio para el al u m no a distinto grado de dificultad. Los problemas, por otra parte, se han

, dispuesto de forma que se pueda seguir con facilidad el desarrollo natu ral de cada materia. Como ; u n curso de geometría analí tica se base, fundamental mente, en la resol ución de problemas , y dado

q ue u na de las principa les causas del bajo rendimien to q ue en ocasiones se alcanza en los cursosde matemát icas es no disponer de métodos ordenados de r esol ución de aquéllos, estamos convencidos de q ue este libro, bien empleado, constitu irá una gran ayuda para el alumno. Tambiénse ha pensado en aquellos otros q ue qu ieran repasar la teoría y los problemas fündamentalesde la geometría analí tica.

Para la mejor utili zación del li bro se debe tener presente lo q ue realmente es, considerando queno se trata de un texto propiamen te dicho y que, por tanto, no debe emplear se como medio paraevitar el estud io de las cuest iones teóricas de la asignatura. Cada u no de los capítulos contiene

un breve resumen , a modo de form ulario, de las definiciones necesarias, principios y teoremas, seguido de una serie de problemas , resu eltos unos y otros propuestos, a distintos niveles de di-ficultad. i

No se puede decir de forma rotu nda que estudiar matemáticas sea, esencialmente, hacer pro l1

blemas, pero hay q ue t ener en cuenta que con u na lectura más o menos rutinaria del libro de texto, la retención en la mem or ia de un pequeño n úmero de expresiones y con un estudio superficial de los problemas r esueltos de este li bro, no se adq uirirá más que una vaga noción de lamateri a. Por tanto. para que la utilización de este l i bro sea verdaderamente eficaz es necesario

que el al u mno inten te resolver por sí mismo todos los problemas en un papel y se fije bien en el porqué de cada u no de los pasos de que consta su sol ución, y en la forma en q ue éstos se expresan.

En todos y cada uno de los problemas resuelt os hay algo que aprender ; con estas normas, el al umno encon t ra rá muy pocas d ificultades pa ra resolver los problemas aq uí propuestos, asícomo los q ue figu ren en su propio libro de texto.

J. H. K.

A

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j .

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....

'f ahla de 1nalrias

CA PIT ULO PAGINA

l. COOR DEN A DAS RECTA NG U LA R ES. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .

2. ECUACION ES Y WG A R ES GEOM ETR ICOS . . . . . . . . . . . . . . ... . . . . . . 12

3. LA LI NEA R ECTA ......................................................................22

4. LA CI R CU N FER E NCI A ..................................................................................................35

5. SECCION ES CON I CAS.-LA PA R A BOLA ....................... 46

6. LA EL I PSE . . . . . . .'...................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................51

7. LA H I PER BOLA ...!. . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

8. TRA NSFOR M ACIO N DE COOR DENA DAS ............................ ..................... ..... 66

9. COO R DE N A DAS POLA R ES .... . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 73 10. TA NGENTES Y NOR M A LES ...................... ...................... ...................... ............ 84

1 1. CU R VAS PLA NAS DE OR DE N SU PER IOR .................... ..................... ............ 93

12 . I NTRODUCC I ON A LA GEOM ETR IA A NA LITI CA EN EL ESPACIO . . 104

13 . EL PLA NO ............. ............... ............... ............... ............... ............... .............. ............... ............... ... 1 15

14 . LA R ECTA EN EL ES PACIO ............................................................................................. 123

15 . SU PER FICI ES ................................................................................................................................. 1 31

16 . OTROS SISTEM AS DE COOR DE N A DAS .................... ..................... ...............144

I N DI CE ......................................................................................................................................................... 149

-·-



CAPITU LO

Coordenadas rectangulares

SISTEM A DE COO R DE N A DAS R ECTA NG U LA R ES. El sistema de· coorde nadas r ectang u la res d i vide a l pla no encua t ro cuad ra n tes por med io de dos recta s perpe nd icu la resq ue se corta n en u n pu n t o O. La horizont a l X ' OX se de nom i na eje x , la ver t ica l Y ' O Y. eje _¡-, y am bas const i t uyenlos d os ejes de coordenad a<;. El pu n to O se lla ma ori ge n delsistema.

La d istancia de u n pu nto al eje, y se l la ma ahscisa del. m ismo. La d ist a nci<t de u n pu n t o a l eje x es la ordenada.y am bas constit uyen l as coordenadas del pu n to en cuest ión y se r epresen t a n por el si m h olo (x.y ). Las abscisas son po

sitivas cuando el pu nl o estü si tuado a la derecha del eje )', y negati vas en caso con t ra rio. Las ordenadas on positi vas cuando el pu n to está por enci ma del eje x. y nega t i vas en caso cont rario.

'1>-

1 Cuad ran te 11 1Cuadrante

(-.+ ) 1 \ + , -)

X o X

Cuad rante 111 Cuadra n te I V

< -,-) (+.-)

'11

Pa ra represen t a r pu n t o de coordenada s conoddas hay q ue adoptar u na esca la adecuada obre cada u no de l os ejes coordenados. A m bas esca las pueden ser iguales o disti n tas .

D I STA NC IA E NTR E DOS PU NTOS. La d ista ncia d en tr e y

dos pu ntos P 1( x.,y 1 ) y P ( x 2 ,J'2) es P,tx, ,y,l

Por ejem plo. la d ista ncia ent r e los pun tos (4. -1) y (7. 3) es

ti = ,1(7 -4}2+13 + 1 )2

= 5 u nidades.

PU NTO DE DIV ISION es el. q ue d ivide a u'n segmen to en u nalos pun tos P 1(x i,y 1 ) y P 2 ( x 2 ,y2 ) y la recta q ue determ i na n. Sea P (x,y ) un tercer pu n to q ue di vida al segmen to en l:l re-

p p /

::> ;

1 y,-y,

x,-x,

X' o ----------------------------------------------- x

relación dada. Consider emos

y

lación p 2

= r . Como P 1P y PP 2 son del m ismo sent ido.

dicha relación es posi t iva. Si el pu nto de d ivisión P (x,y ) . estuvie r a situad o en la prolongación del segmen to, a u no

u otro lado del m ismo, la relación = r sería negat iva,

P(x,y)

;> y, ' .

ya que P 1 P y PP 2 t end ría n sent idos opuestos. Teniend o en cu enta los t r iángu los semejan tes de la

P1 M X - X ¡ P1 P figura , --=---- = -- = r .

P N X 2 - X p pt

',¡.

P.tx ;y.)J 1

----x _.--_ x·_ ,-....iM---x

'<''



COORDENADAS RECTANGULARES 2

+ 1

X 1 + TX 2

Despejando x, x =1

r . Análogamente, y =Y 1 ++'Y2 .

X i + X2 Y1 + Y2 Si P (x,y) es el punto medio del segmento P,P 2. r = 1 y x = ,y =

2 2

JNCLI NACION Y PEN DIENTE DE U NA RECTA. La inclinaci611 de una recta L (que no sea paralela al eje x ) es el menor de los ángul os que dicha recta forma con el sem ieje x positivo y se mide, desde el eje x a la recta L, en el sentido contrario al de las agujas del reloj. Mientras no se y

advierta otra cosa, consideraremos que el sen tido positivo de L es hacia arriba. Si L fuera paralela al eje x, su inclinación ser ía cero.

La pendiente de una recta es la tangente del ángulo de inclinación. En estas condiciones, m = tg O, siendo 8 el ángulo de inclinación y m la

pendiente. La pendiente de la recta q ue pasa por dos puntos P1(xt>y1) y P2(x,,y2) es

m = tg 8 =Y2 -Y1 y'

X2- X1

cualesq u iera que sean los cuadrantes en los q ue estén situados los punt os P 1 y P2 •

RECTAS PARA LELAS Y PER PEN DICU LA R ES . Si dos rectas son paralelas. sus pendientesson iguales.

Si dos rectas L1 y L2 son perpend icu lares. la pend iente de una de ellas es igual al recí proco de la pendien te de la otra con signo con t rario. Esto es. l la mando m, a la pendien tede L1 y m2 a la de L2 se tiene m 1 = -l/rn 2 , o bien , m1m2 = -1.

AN GU LO DE DOS RECTAS. El ángulo a, med ido en el ysentid o con t ra rio al de las agujas del reloj, desde la recta L1 de pendiente m 1 a la L2 de pendien te 1112 es

Demostr ación: 02 = a + Oi. o a =02-

81•

tg a = tg (02 -81)

tg 82-tg o, 1 + tg 82 tg 81

AREA DE U N POLIGONO EN FU NClON DE LASCOOR DEN A DAS DE SUS VERTI CES. . Sean

P1(Xi. Y1), P2(X2 , Y2). P3(x3, Yl) los vértices de u n tr ián gulo. El área A en f u n ción de las coordenadas de l os vértices viene dada por la expresión



COORDENADAS R ECTANGULARES 3

Demostración : A rea del tr iángulo = área del tr a pecio M 1 P 1 P 3 M 3 + área del tra pecio M 3 P 3 P2 M 2-área del trapecio M 1 P 1 P 2 M 2• Por ta n to,

A = !( y, + Ya) {X3- x,) + (y3 + Y2) (x2 -X3) - HY 1 + Y i) (X2 -x,)

= H x1Y 2 f- X2Y 3

+ X sY1 - X1Y3 - X 2.Y 1 -X3J'z) .

Este resul tado se puede expresar de ot ra ma nera. más f ácil de recordar , ten iendo en cuenta la notación de determ ina n te :

x , y ,

A = X2 Y2

Otr a for ma de expr esar el ár ea de u n tr ián gulo, m u y ú t il cuando se tra t e de hall ar ár eas de pol ígon os de más de t res lados, es la sigu ien te :

A = I .1

Obsérvese q ue se ha repe t ido la primera fila en la cu a rta .

PROBLEMAS RESUELTOS

DISTANCIA ENTR E DOS PU NTOS.

l. Hallar la dista ncia en t r e a) (-2, 3) y (5, 1). b) (6, -1) y (-4, -3).

a) d = V ( X2 - x ,)2 +<Y 2 --yJ2 = V(5 + 2)2 +( 1 -3)2 = v49 + 4 = v53

b) d = V(X2 -x,)2 + (Y2-y¡)2 = v(-4 -6)2 + (-3 + 1)2 = v l04 = 2 V26 .

y y

(-2,3)

x· X

H,-3) X

C(-S,-2)

y' y'

P r oblema J Problema 2

l. Demostrar que los puntos A(3, 8), B(-11, 3), C(-8,-2) son los vértices de un triángulo isósceles.

AB = v<3 + 1 1)2 + <8 -3)2 = v221

ac = v<-1 1 + 8>' + (3 + 2)2 = v34 A C = v(3 + 8)2 +(8 + 2)' = v221 . Como AB = AC, el t riángulo es isósceles.



3. a) Demostrar que los puntos A(7, 5), 8(2. 3), C(6 , -7) son los vértices de u n triángulo rectángulo. b) Hallar el área del t riá ngulo r ectá n gulo.

a) A B = V(7 -2)2 + (5 -3)2 = \/29 BC = v'(2 -6)2 + (3 + 7)2 = v'fü

Como (A 8)2 + (8C)2= ( AC )2

, o sea. 29 + 1 16 = 145. A BC es un triángulo r ectángu lo.

b) Area = H A B}( BC) = v'29 vfü = 29 un idades de su perfici e .

y

A (7,SJ

y y

A(l,7) B(8,6)

o X

C(G,-7)

A(-3,-2) o

X C(7,-1)

Pr oblema 3 Pr oblt'lna 4 Pr oh/e11:a 5

4. Demost rar q ue los t res puntos sigui en tes son A(-3, -2). 8(5, 2), C(9, 4).

A B = \ / (5 + 3)2 + (2 -r 2)2 = 4 \15 BC = ,;¡«)-5)2 + (4 -2)2 = 2VS

AC = \· (9 + 3)2

+ (4 + 2)2

= 6v 5 Como AB -t· BC = AC. o sea, 4 \ '5 t 2v'5 -=- 6\/S, los pun tos son col ineales.

5. Determina r un pu n to q ue equid ist1.: de lo p u n lC>s A( l. 7). 8 (8. 6). C(7. -1 ).

Sea P ( x, y ) el pu n to buscado. Ha de ser. P A - PB . P C

Como PA = PB. v(x - t )2---:¡: (y-7}i- \/(:r -8)2 f- (y-6)2•

Elevand o al cuad rado y si m pl ificando, 7x -y-25 = O. ( 1 )

Como PA = P C. V( x -1)2 + (y -7)2 = v( x - 7)2 HJ' ..¡ 1)2.

Elevando al cuad rad o y si m pl i fican do, 3x -4y -= O. (2) Resol viendo el sistema formado por las ecuacion es ( 1 ) y (2) resu lta x = 4, y = 3. Por ta nto,

el punto buscado tiene de coorden adas (4. 3).

P U NTO QU E DI V IDE A U N SEG M ENTO E N U NA R ELACION DA DA .

6. Hallar las coordenadas de un punto P( x. y) q ue d iv ida al segmento Ydeterminad o por P 1( 1 . 7) y P2(6, -3) en la relación r = 2/3.

Como la relación es posi tiva , P 1P y PP 2 han de ser del mismosent ido y, por tanto, el p u n t o P( x. y ) estará si tuado entre los puntos dados ext r emos de l segmento.

X



4 COORDENADAS R ECTANGULAR ES

2

2 2

2 Y 1 +'Yz

+ J .

x 1 +rx2

COORDENADAS R ECTANG U LAR ES

1 + 32 (6) Y i + r y2

5

7 + -(-3) 3

X = -,--+,.-=----= 3 1 +3

y =--- 1 + r

= 3

1 + 3

El punto buscado es (3, 3).

J7. Hallar las coordenadas de un punto P (x,y) que d ivida al segmento determinado por P1(-2, 1)

y P2(3, -4) en la r elación r =-8/3.

Como Ja relación es negativa , P 1 P y PP 2 ha n de ser de sen tido opuesto, con lo q ue el pu n to P( x, y ) se

,exte

. a

Isegmento

p p2· r = · P ¡¡F 1 P ;: =-·83·

ra nor 1

X ¡ + r x -2 + (- ) (3) = 6 l+ (- ) (-4) - x =---= y = ---= ---- 7 1 + r

1 +(- ) l+ r

1 + (- )

yy y

P.(-2,1)

P2( 2,G) B(9,7)

X X

o X

P(x,y) P(x,y) A (3,- t )

I · Pr oblema 7 Pr obl ema 8 Pr oblema 9

8. El extremo de un diámetro de una circunferencia de cen t r o ºi(-4, 1) es P2(2, 6). Hallar las coordenadas P(x , y) del otr o extremo.

Como P 1 P y PP 2 son de sentido opuesto, la relación r es negativa.

X ¡ + f X2 x =---

1 r

-4+(-+) (2)

1 + (- ) = -10

Y 1 + ' Y2 y = 1 + r

1 + (-+) (6)

1 (-+) =-4

.1, 9. Hallar dos puntos P .(x , y ) y P (x , y ) que divida n al segmento que une A(3, -1) con 8(9, 7) en tr es partes iguales.

1 ' 1.

1 1 2 2 2

3 + +(9)

X1 = -- J = 5 ,

1 l 2

3 -1 2(9)

• -1 + -(7) 5

Y1 = ----! -=)-.

1 + 2

-1 + 2(7)

x.• =-1-+2 - = 7, Y2 = ¡ + 2



-

= o =--

o

-

6 COORDENADAS RECTANGULARE S

10. Hallar las coordenadas del ex t remo C(x. y) del segmento q ue une este pu nto con A(2. -2) sabi endo que el punto 8( -4. 1) está sit uado a u na distancia de A igual a las tres q ui ntas partes de la longit ud total del segmento.

V

C (X ,y)

AB 3 BC = 2 AC 5 r =

X Como AC y CB son de sentido opuesto, la relación r es

negativa . A ( 2,-2)

2 + (- ;) (-4)

x = = -8

1 + (-{)

-2 +(-%- ) ( 1)

y = -- =3

1 +(- ;)

11. Las med ianas de un t r iángulo se cortan en un pu n to P (x. y) y llamado baricentro, sit uado de los vért ices a 2/3 de la distancia de cada uno de ellos al punto medio del lado opuesto.

Halla r las coordenadas del baricentro de un t r iángulo cuyosvértices tienen de coordenadas A( x 1• y1). 8(x 2• y2). C(x3, y3).

Consideremos la med ia na AP D. siendo D el punto me dio de BC.

Las coordenadas de D son x2 + x3 •

y·2 + ;· .

-· 2 2

AP 2 Como A D = J. resulta r =

X ¡ + 2( Xz +2 X3 )

AP 2 o PD = T = 2·

x =---,-+ 2--= - X ¡ + X 3 z +X3

Y1 + 2(.J: _ -1- ) 2 y = = Y1 +Y2 +Y 3

1 + 2 3

Las coordenadas del baricen t ro de un triángulo son. pues, +(x1 + x2 +x3). (y1 + y 2 + y3).

Al mismo resultado se habría llegado considerando las media nas BPE o CPF. siendo en todo caso A P BP C P 2

'= PD =-PE = PF = l= 2·

I NCLI NAC ION Y PEN DI ENTE DE U NA R ECTA

12. Hallar la pendiente m y el ángu lo de inclinación O delas rectas que unen los pares de puntos siguientes: a) (-8. -4), (5, 9). e) (-11, 4), (-11. 10). h) (10, -3), (14, -7). d) (8, 6), ( 14, 6). (-11,!0)

Y2 -Y1 111 tg

X z- ...·1

( 5,9 )

\ 8,6'---

9 + 4 5

t-1!,4)

.i .e.. '·

(14,G)J

' ,.,... a) m =- + f = 1 O = 1g -1 1 "'" 45º 1

'e h) "' = -7+3

14 _

10 = --1 n = tg 1-1- 135"

10-4 6 e) /11 = =-= i:x.. O ::-. t g - 1 ov =-·90·

-11 + 11 6 -6 o

d ) m = 14 _ ¿ = Ó = O 0 = 1g-' O ·= Oº

(-o.- 4)



-

2

-

=

= 5


13. Demostrar q u e los puntos A(-3. 4). 8(3. 2) y C(6. f) son colineales.

2 -4 1 1 -4

Pendiente de AB = 3 1 3 =-) . Pend ient e de A C = 6 + 3 --3·

Como la pend ient e de A B es la m isma que la de A C. los tr es puntos están situados sobre lamisma r ecta.

14. Demost rar. apl icando el conce pto de pend iente. que los punt os A(8. 6). 8(4.8) y C ( 2. 4) son los vért ices de un triángu lo rectángulo.

8-6 1 4 -8 Pend ien te de A B = 4-8 =-·-- Pend iente de BC =

2 _

4 = 2.

Como la pend iente de A B es el recíproco con signo con t rario de la pendiente de BC. estos dos lados del t riángu lo son perpend icular es.

A NGULO DE DOS RECTAS

IS. Sabiendo q ue el ángulo formado por las rectas L1 y L2 es de 45º. y q ue la pendiente m 1 de L1 es 2/3,halla r la pendiente m2 de 1.2.

tg 45º = m -m ,

.es dec.

1 2

m2 -T De esta ecuación. m = 5.

1 + m 21111 i r.

2 2

1 + )m2

X

A (-3,-2)

C(4.2)

X

Pr oh/1•11111 15 Problema 16

16. H alla r los ángulos interiores del t riángulo cuyos vértices son A(-3. -2), 8(2, 5) y C(4. 2). 5 + 2 7 2 -5 3 2 + 2 4

m,.n = 2 -'- 3 = S moc = 4-2 = -2 mc A = 4 + 3 = 7 7 4 ----

lll AB-me A tg A -· + lll A1J l11CA 29

7 _(_4"")'-= 6f A = 24° 43, I '. 1

tg 8 =msc -mAo

1 + moc m,.11

+ 5 7 J 7

-y -5 29 =-11 · B =69º 13.6'.

tg C =mc A-m8C 1 + mc AmBC

2

;.C =86º3,3'. Comprobación : A + B +C= 180º.



8 COOR DENADAS R ECTANGULARES

-5

-2 A = 2 5 2 -5

A =

A REA DE UN POLIGONO DE VERT ICES CONOCIDOS.

17. Hallar el á rea A del t riángu lo cuyos vértice son los punto de y coordenadas (2. 3), (5. 7), (--3. 4).

2 j 1 5 2 -3

2

= H2· 1 -1

7 4 1 3

5· 4 + (-·3) (3) -2· 4 -(-3) ( 7) - 5·31

= H l 4 + 20 -9-8+ 21- 1 5) = 1 1 .5 unidades de su pe rficie .

18. Hall ar el área A del pen tágono cuyos vért ices son J os pu ntos de coordenadas (-5. -2). (-2, 5), (2. 7). (5, 1 ), (2. -4).

-2

5 7 1

-4 -2

W -5> <5> r- <-2l (7) + 2· 1 +5 (-4> + 2(-2) -(-5) (-4) -2· 1 -5·7 -2· 5 -( -2) (-2)]

-!<-132) = -66.

Solución: 66 unidad es de su perficie .Si se toman los vértices recorriendo el polígono en el sentido con trario al de las aguja s del r eloj, el área se considera positiva, y en caso contra rio ne

gat iva.

(-5,-2/

y

(2,-4)

(S,I)

X

PROBLEMAS PROPUESTOS

l. R epr esenta r l os pu n tos de coor denadas: (2, 3), (4, O), (-3, 1 ). ( ,/2.. -1), (--2. 0). (-2, v3). (0, 1 ).

c-2, vs>.< vi.o>, < º·o),(4, 5, -2),< vio,-v2),<o,v.f>. (2.3, -6).

2. R epresentar los triángu los de vért ices: a) (0, 0), (-1,5), (4, 2) ; b) (v2, O), (4, 5),(-3, 2);

e) (2 + v2. -3), ( \13, 3). (-2. 1 1- .,/8).

3. Representar los pol ígonos de vértices: a) (-3, 2), (l. 5), ( 5, 3). (1,-2); b) (-5, O), (-3 ,-4), (3. -3). (7, 2), ( 1 .6).

4. Ha llar la distancia entre los pares de pUfl tos cuyas coordenadas son : a) (4, 1), (3,-2) ; e) (0,3).(-4. 1) ; e) (2,-6).(2, -2); b) (-7,4),(1,-11); d) (-1,-5),(2,-3); f) (-3. 1).(3,-1).

Sol . a) IO b) l 7, c) 2 5, d) T3, e) 4.f ) 2\l fó.

5. Hallar el perímetro de los tr iángulos cuyos vértices son: a) (-2, 5), (4, 3), (7, -2); e) (2, -5), (-3, 4), (0. -3); b) (0, 4), (-4, 1), (3.-3); d) (-1,-2), (4, 2). (-3. 5). Sol. a) 23,56, b) 20,67, e) 20,74, d) 21 ,30.

6. Demostrar que los triángulos dados por las coordenadas de sus vértices son isósceles:

a) (2, -2), (-3. -1 ), ( 1, 6); e) (2, 4), (5, 1 ). (6, 5); b) (-2, 2), (6, 6), (2, -2); d) (6, 7), (-8, -1), (-2. -7).



'

= =: : : :

ac1on

2

1

2

5

2

7

n.

';/ ;

COORDENADAS RECTANG U LARES 9

7. Demostrar q ue los t riángulos dados por las coordenadas de sus vértices son rectángulos. Hallar sus áreas.

a) (0. 9), (-4.-1), (3. 2): e) (3, -2), (-2, 3), (O, 4); b) (10, 5). (3. 2). (6. -5): d) (-2, 8), (-6, 1).(0,4) . Sol. Areas: a) 29. b) 29. e) 7.5. d) I S unidades de superficie.

8. Demostrar q ue los pun tos siguientes son los vértices de un paralelogramo :

).2/ ;I): e) (2, 4), (6. 2), (8, 6), (4, 8).

9. Hallar las coordenadas del pun to q ue equ id ista de los pu n tos fijos:

a) (3. 3), (6. 2).(8. -2); b) (4, 3), (2. 7). (-3, -8); Sol. a) (3. -2). h) (-5. 1). e) (3, 1 ).

e) (2. 3), (4, -1), (5, 2).

10. Demost rar. med iante la fórm u la de la d istancia, q ue los puntos siguien tes son colineales:

a) (0.4). (3.-2). (-2, 8); e) ( l.2), (-3. 10). (4, -4); b) (-2. 3). (-6. 1 ). (-10. -1): d) ( 1 , 3). (-2. -3), (3.7).

11. Demost rar q ue la su ma de los cuad rados de las d istancias de un punto cualquiera P( x, y) a dos vért ices opuestos de u n rectángu lo es igua l a la suma de los cuadrados de las d istancias a los otros dos vért ices. Supóngase q ue las coordenadas de los vértice s son (0. 0). (O, b), (a, b) y ( a, 0).

12. Ha llar el pu nto de abscisa 3 q ue d iste 10 u n id ad es del pu n to (-3, 6). Sol. (3. -2). (3. 14).

13. Ha llar las coorden adas de u n pu nto P( x. y) q ue divida al segmento que determi nan P 1(x 1• y1)

Y P 2( x 2 ,)'2) en 1a re 1. ,

r = P pp1

P -;_·

a) P1 (4. -3). P2 ( 1 . 4). r = -¡-·

h) P1 (5. 3), P 2 (-3, -3), r = T .

t ) 1'1 ( -2. 3). P 2 (3. -2). r S..

d ) P 1 (0. 3). P 2 ( 7. 4), r = -7.

e) P 1 ( -5. 2), P 2 ( 1, 4), r = -3-.

3 /) P1 (2. -5), P 2 (6. 3), r = 4·

Sol. a) (2.}). h) (3. )· e) (- . )· d) (-T14 ' 1 3 ). el ( 10. 7). /> ( 26 .-T1 1 ).

14. Halla r las coordenadas del ba ricent ro de los triá ngulos cuyos vértices son :

a) ( 5, 7). ( 1 , -3). (-5. 1 ): e ) (3. 6). (-5. 2). ( 7, -6); e) (-3, 1). (2, 4), (6. -2). ·h) (2. -1), (6, 7), (-4.-3): d) (7. 4). (3. -6). (-5. 2):

Sol. al (+· h) ( .1).e) ( · )· d ) ( ·o). e) ( . 1).

IS Sabiendo q ue el pu n to (9. 2) d ivide al segmento q ue determi nan los pu ntos P1(6, 8) y P2( X z. Yz) enla relación r = 3/7, halla r las coord enadas de P 2 .

Sol. ( 16. -12).

16. Ha llar las coordenadas de los vértices de un triángu lo sabiendo q ue las coordenadas de los puntos medios de sus lados son (-2, 1 ), (5, 2) y (2. -3). Sol. ( 1 . 6), (9. -2). (-5. -4).

17. Halla r las coordenadas de los vértices de u n triángu lo cuyas coordenadas de los puntos mediosde sus lados son (3, 2), (-1. -2) y (S. -4).

Sol . (-3, 4). (9, 0). ( l. -8).



10 COOR DE NA DAS R ECTANG ULA R ES

18. Demostr ar analíticamente q ue las rectas q ue unen los punios med ios de los lados adyacentes del cuadrilá!ero A( -3, 2), B(5, 4), C(7, -6) y D(-5. -4) forma n otro cuadrilátero cuyo perímetro es igual a la suma de las diagonales del primer o.

19.

Demostrar q ue las r ectas q ue unen los puntos medios de dos lados de los t riá ngulos del Pr oblema 14 son paralelas al tercer lado e iguales a su mitad.

20. Dado el cuadrilátero A(-2, 6), 8 (4, 4), C(6, -6) y D(2. -8), demostra r q ue :

a) La r ecta q ue une los puntos medios de A D y BC pasa por el punto med io del segmen to q ue unelos puntos med ios de A B y CD.

b) Los segmentos que unen los pun tos med ios de los lados adyacentes del cuad rilátero forman un paralel ogramo.

21. El segmento q ue une A(-2, -1 ) con 8( 3, 3) se prolonga ha sta C. Sabiendo q ue BC = 3A B. halla rlas coordenadas de C. Sol. ( 18, 15).

22. Demostrar q ue el punto medio de la hipotenusa de un triángulo rectángulo eq u idista de los vértices.

lnd .: Supóngase que las coordenadas del vértice del ángu lo recto son (O. 0) y las de los otros vértices (a,0) y (O, b).

23. Demostrar que en los triángulos isósceles del Problema 6 dos de las medianas son de la misma longitud.

24. Hallar las pendiente s de las rectas q ue pasan por los punt os:

a ) (3, 4), (1,-2) ; e) (6,0), (6, v'J); e) (2.4). (-2,4); b) (-5,3), (2,-3) ; d) ( 1, 3), (7, I); f) (3. -2). (3, 5).

Sol . a) 3, b) 6

-7· e) 00,

1 d) -3· e) o.

.n

00.

2S. Hallar las inclinaciones de las rectas que pasan por los puntos :

a) (4, 6) y ( l , 3); e) (2, 3) y ( l , 4) ; e) ( v'J 2) y (O, I ); b) (2, ·v'J) y ( l , 0); d) (3, -2) y (3. 5); () (2, 4) y (-2. 4).

Sol. a) O = tg-1 1 =45º ;

b) o = tg -1v'3= 60º ;

e) o = tg-1- 1 = 135º ;

d) o = 1g-100 = 90";

e) O = tg -1 l/v'f = 30º; /) O = tg -1 0 = O".

26. Aplicando el concepto de pend iente, averigua r cuáles de los pun1os siguiente s son col ineah:s.

a) (2, 3), (-4, 7) y (5. 8); d) (0, 5), (5, 0) y (6. -1 ); b) (4, 1 ), (5. -2) y (6, -5); e) ( a. 0). (2a. - b) y ( -a. 2b) ; e) (-1, -4), (2, 5) y (7, -2): () (-2. 1). (3.2) y (6, 3).

Sol . a) No. o) Sí, C') No. d) Si. e) Si. f) N o.

27. Demostrar que el punto ( 1, -2) está situado en la recta q ue pasa por l os puntos (-5. 1 ) Y (7. -5) y que equidista de ellos.

28. Aplicand o el conce pt o de pend iente, demost rar que los pu ntos siguientes son los vértices de un tr iángulo rectán gul o.

a) (6, 5), ( l , 3) y (5.-7); b) (3, 2). (5. -4) y (l, -2);

e) (2. 4). (4, 8) y (6, 2) ; d) (3. 4).(-2,-1) y (4. l).

29. Hal lar los ángui os interiores de los triángulos cuyos vért ices son : (/) (3, 2), (5, -4) y ( l.-2);

b) (4, 2), (O, 1) y (6. -1 l: e) (-3. -l ). (4, 4) y (-2, 3);

Sol . 45' .45' . 90 . Sol. 109" 39.2'. 32' 28,3', 37' 52,S'. Sol. 1 13' 29.9'. 40' 25,6', 26'' 4,5'.



·ll!\



10 COOR DE NA DAS R ECTANG ULA R ES COORDENA DAS R ECTANGULARES 11

Demost ra r , halla ndo los ángulos i nteriores, q ue los triángulos sigu ien tes son isósceles. y efectuarla comprobación calculand o las longi t udes de los lados.

a) (2. 4). (5. 1 ) y (6. 5):

b) (8. 2). (3. 8) y (-2. 2) : e) (3. 2). (5. -4) y ( l. -2): d) ( l . 5), (5.-l ) y (9, 6);

Sol. 59" 2.2'. 61'' 55.6'. 59··2,2'.

Sol. 50'' 1 1.7'. 79" 36,6'. 50" 1 1 ,7'. Sol . 45''. 45''. 90". Sol. 63" 26', 63" 26'. 53º 8'.

La pend ien te de u na recta q ue pasa por el punt o A( 3, 2) es igual a 3/4. Sit uar dos pu ntos sobre estarecta q ue d isten 5 un idades de A. Sol. (7. 5), (-1. -1).

32.El ángu lo formado por la recta q ue pasa por los puntos (--4. 5) y (3, y) con la que pasa por (-2, 4) y (9. 1 ) es de 135º. Halla r el va lor de ) " Sol. y = 9.

33. La r ecta L2 forma un ángulo de 60" con la recta L1• Si la pend iente de L1 es 1 . halla r la pend ien te de L2 •

Sol. -(2 + v'J¡. 34. Halla r la pendien te de una r ecta q ue forma un ángu lo de 45º con la r ecta q ue pasa por los puntos

de coordenadas (2. -1 ) y ( 5, 3). Sol . mt =·-7.

35.Hal la r la ecuaci ón de la recta q ue pasa por el punt o ( 2, 5) y for ma un ángulo de 45'' con la rectade ecuación .r -3y + 6 = O. Sol. 2.r -r + 1 =-- O.

36. Hallar las á reas de los t riángulos cuyas coordenadas de los vértices son :

a) (2.-3), (4, 2) y (-5. -2) b) (-3.4). (6. 2) y (4, -3)

Sol.

Sol. 18.5 un idades de superficie.24;5.

e) {-8. -2). (-4, -6) y (-1. 5) Sol. 28.

d) (0.4). (-8, 0) y (-1 . --4)

t') <VI 2>. < -4. 6> Y ( 4. -2v2) Sol. Sol.

30. 7 v'2--2 = 7,899.

.f ) (-7, 5). ( l. 1 ) y (-3. 3)

g) ( a. h + e). ( h, e + a) y (c. n + h)

Sol.

Sol. O. Ra zona r la respuesta. O.

37. Halla r las áreas de los pol ígonos cuyas coordenadas de los vért ices son :

a) ( 2, 5), (7. 1), (3.-4) y (-2. 3)

b) (O. 4), (1. -6). (-2. _3) y (-4. 2)

e) {l. 5). (-2. 4), (-3, -l ), ( 2. -3) y (5. I )

Sol. 39.5 u n idades de su perficie.

Sol. 25.5. Sol . 40.

38. De mostra r q ue las r ectas que unen los puntos med ios de los lados de los t riángulos del Problema 36 dividen a cada uno de ellos en cuat r o t riángulos de áreas igua les.



CA PIT U LO 2

Ecuaciones y lugares geornétricos

LOS DOS PROBLEMAS FU N DA MENTA LES DE LA GEOMETRI A ANA LITICA SON:

1 . Dada u na ecuación , hallar el l ugar geométrico q ue repr esenta. 2. Dad o un l ugar geomét rico defi nido por determinada s condiciones, hallar su ecuación

matemática.

L U G A R GEOM ETR I CO, o gráfica. de u na ecuación de dos va r ia bles es un a lí nea, r ecta o curva,q ue contiene todos los puntos. y solo ellos. cu yas coord en adas satisfacen la ecuación dada .

A ntes de r e prese11tar gráficamente el l uga r geom étrico q ue corres ponde a una ecuación dada, es m uy conven iente, para determinar su forma , conoce r algunas propiedades del lugar en cuestión. como, por e jem plo : i n terseccion es con los ejes, simet rías, ca mpo de variación

de las va riables, etc.

I NTERSECC ION ES CO N LOS EJES. Son las distancia s (positivas o negativas) desde el origen hasta los pu ntos en los q ue la lí nea del l ugar cort a a los ejes coordenados.

Pa r a hall ar la inter sección con el eje x se hace y = O en la ecuación dada y se despeja Ja \ a ria ble x . A nálogamen te, para hallar la in ter sección con el eje y, se hace x = O y se despeja y.

Por ejem plo, en la ecuación y2 + 2x = 16, para y = O, x = 8; pa ra x = O, y = ±4. Por ta n t o, la a bscisa del pun to de intersección con el eje x es 8 y las ordenadas de los de in ter sección con el eje y son ±4.

SI M ETR I AS . Dos pu n tos son simétricos con respecto a u na r ect a si ésta es la med iatriz delsegmento q ue los u ne. Dos pu nt os son simét ricos con respect o a otro punto, si éste es el

pun to med io del segmento q ue J os u ne. En con secuencia :

1. Si u na ecuación no se altera al su stit u i r x por - x, su r e pr esentación gráfica, o lugar,

LUGft

l. R

·.I p

p n

11

e e

2.es si mét rica con r espect o al eje y. A tod o valor de y en est a ecuación, le cor responden dos va lor es igu ales de x en valor absol ut o pero de signos cont r ar ios.

E jem plo: x2 -6y + 12 = O, es decir, X = ± v6y - 1 2. 2. Si u n a ecuación no varía al su sti tu ir y por - y, su r epresen tación gráfica , o lugar , es

simét rica con r es pecto al eje x. A todo valor de x en esta ecuación le corresponden ctos val or es n um érica mente igu ales de y en valor absol ut o pero de signos contrarios.

Ejem plo: y2-4 x -7 =O, es decir, y = J:v4 x + 1.

3. Si u na ecua ción no va r ía al su stitu ir x por - x e y por - y, su repr esentación gráfica, o l uga r , es simétrica con res pecto a l origen.

Ejem plo : x3 + x + y3 = O.

CA M POS DE VA R I ACI ON. Los valo r es de u na de las varia bles par a los cuales la otra se hace imaginaria, carecen de sen t ido.

Sea la ecuación v2 = 2x -3. o bien, y = -¡\ 2x -3. Si x es menor q ue 1,5, 2x -3 es negativo e y es ima.ginario. Por ta n to. no se deben considera r los va lores de x menor es q ue 1 ,5 y, en consecuencia, la cu rva del l ugar esta rá sit uada toda ella a la derecha de la recta :e = 1 ,5.

Des peja ndo x, x = HY 2 + 3). Como x es r eal para t odos los valores de y. la cu rva del luga r se extiend e hasta el i nfinito , a u mentando .r a med ida q ue lo hace x desde el valor x = 1,5.

12



1

Y -

¡

ECUACIONES Y LUG AR ES GEOMl:.l'RICOS 13

PROBLEMAS RESUELTOS

LUGA R GEOMETR IC'O DE UNA ECUACION

l. Re prcsenia r la eli pse de e;:cuación 9 r 2 ¡ 1 6y2 = 144. '

/nft •rsetc ·wm·.t co11 los ejes. Pa ra y = O. x = r 4. Pa ra x O. )' - ...:. 3. Por tanto. corta a l eje x en los

pun to de abcisa 1 4. y a l eje y en los de orde nada .: J .

Sime1r ías. Como la ecu ación solo cont ien e po t en cia pares de r l! y. la cu rva es simé t rica con r es

pecto a los dos ejes y. por tan to. con r es pect o al orige n. Así . pues. ba sta con d i buja r la porción de cu r va con t en ida en el pri mer cu ad ra n t e y t raza r des

puc l'I res t o de t'l l a por si metría . 1

Ca111pu de 1•11rionó11. Des pejando y y x,

3 2

y

o

íO,-.:{

(4.0)

X

I' -- 4- \ 1 6 -.\ . ,\' -

Si r cs. en 1·alor ahsol1110. mayor q ue 4, J 6 - x es negativo e y es i magi nario . Luego x ne pue de toma r va lorc.:s mayorc q ue 4 n i menor es q ue -4, es decir. 4 x -4. A nálogamente , yno puede tomar va lores ma yoreo; que 3 ni menores q ue -3. o sea, 3 y -3.

,\' o • 1 1 ¡ 2 l 3 1 :J 3,5 ±4

, 3 , -¡2.9 ±2.6 IJ2,o1-+1.s1 º 2 . R epresenta r !:.i pará bola de ecuación y 2

-2y -4x ¡. 9 = O.

Despejando y de la fórm ula de resol ución de la ecuación de segund o grado,

-h 1 vhi -4ac ----- . ien do a 1. h = -2. e = -4x +9: y

2a

1 2 \11' -2. ( 1 )

y2 -- 2y 9 De pcjando ·'· X -

4 (2)

ln ll!rs1·l'c iVt1l'S t1m los ejes. Para 1· O. \ - 9/4. Parao X

x - O. y e-; imaginario ( 1 J 2 \''-2). Por t a n t o. la cu rvacorta al l:je 1·en el pun to de a b::.cisa 914 y no corta a l eje y.

Sime1rias. La cu rva no es si mé t rica ni con respecto a los ejes n i con res pecto al origen .

Es simét rica con res pccto a la recta " 1 . con lo cual. a cada va lor de x se obt ienen dos de y, u no mayor q ue 1 y ot ro menor q ue I .

Campas de 1•ariació11. De ( 1 ) se ded uce q ue ¡ x es men or que 2. ,.-2 es negat ivo e y imagina riu . Por tanto. ,. no puede toma r va lore-; menor..: q ue 2.

An álogamen te. de (2) e ded uce q uc como ,. o.: r ea l para t odos lo·va lores de y. esta var iable puede tomar todos los va lores reales.

X 2 ,,_ - 9/1

4 5 6

--- - y 1 O: 2 3: -1 3.8:-1.8 4.5; -2.5 5: -J



Jl o.si

- 14 ECUACIONES Y LUGA R ES GEOMETRICOS

3. Rcpn:sc n tar la hi pérbola xy -2y - x = O.

Int ersecciones con los eies. Pa ra x = O. y = O; para y --= o. ,. = o.

Simetrías. La curva no es ·simétrica ni con respecto y a los ejes coordenados ni con respecto al origen . 1

1

Campos de variación. Despejando y, y = x x . 1 2 l

para x = 2, el denomi nador. x -2. se a n ula e y se hace infinic o.

1 1

_¡1 _ _ _ _ _ _ _ _ Des pejando x. x = ly

y- 1 . Para y = 1 , el denomi

o 1 nad or, y - 1 , se a n ula y x se hace infin ito.

Ninguna de las dos varia bles se hace imaginaria paravalores rea les de la otr a .

X

o 1 1 1 1 1 r r z2 1

1 -2

9- j

11

-2

5- j J

i

1 1

1

lo 1 • t<';'

y -o 1 - 1 1 --J-7 4 ' -1 -2 ; _,¡-4

I X

0.3 O.<> ·0.7 1

Cuando x tiende a 2 por la izq uierda, y tiende a menos infi n i t o. Cuand o x tiende a 2 por la derecha. y tiend e a más i nfi n i to. Las d os ramas de la curva se aproxi man i ndefin idamente a la recta

x = 2 haciéndose tangentes a ella en ± infinito. La r ecta x - 2 = O se denomina asíntota verticalde la curva.

Veamos q ué ocurre cuando x tiende hacia infin ito. Consideremos y = x .::_

2 2 . 1-

x Cuando x tiende a más o menos infinito , 3_ t iende a cero e v tiende a 1 . La recta y - 1 = O es una

asíntota horizontal. x ·

4. R epresenta r la función

x2 y-4y + X =0.

Int ersecciones con los ejes. Pa ra x = O. y = O. Para y =O, x =O.

Simetrías. Sustituyendo -x por x. y -y por y, se obtiene la ecuación - x2y + 4y - x = O. que multiplicada por -1 es la ecuación origi nal. Por tanto, la curva es simét rica con respecto al origen. No es simétr ica con respecto a los ejes.

Campo de variati6n. Despejando y,

X X

y = 4 - x2 = (2-x)(2 + x) ·

Las asintotas verticales son x -2 = O, x + 2 = O. · . -1 ±vi+ 16y2

lo ¡;, ¡x 1

1 1

l

Despejando x se obtiene. x = Y La asíntota horizontal es y = O. 2

.: Ninguna de las variables se hace imaginaria para valores reales de la otra.

x .

-4 1 -3 _ ·-2, 5 _ 2 _ __ 1_ ,5 _ -1 o 1 1,5 i_ 2 _ 2 _ . _ 5 _ 1 3 1 4

y 0,3 1 0,6 1,1 oo -0,9 --0,3 O 0,3 MI -1,I 1 -0,6 1 --0.3- 1 1 1

oo



a:a;±$ 4%&2q

ECUACIONES Y LUGA RES GEOMETRICOS IS

S. Repr esentar el l ugar geomét rico x2- x + xy + y -2y2 = O.

Algunas veces. una ecuación se puede descom poner en prod ucto de va rios factores y. en este caso,

su gráfica consta de la correspond iente a cada unode ellos. Como la ecuación dada se descompone en los

factores

(x -y) (x + 2y-1 ) = O,

su gr áfica se com pone de las dos rectas

X -JI = 0 y X + 2y- ( = 0.

6. Determinar los pu ntos reales, si exist en, q ue sat isfacen las ecuaciones siguientes.

a) (X

+4)2 + ( y -2)2 = -5.

b) x2 +y2 = O.

e) x2 + yz -8x + 2y + 1 7 = O.

d) x2 + 2y2-6x+ 1 1 = O.

e) {x2-4y2)2 + (x + 3y-10)2 = O.

{) x2 +(2i- l )x -(6i + 5)y- 1 = O.

a) Como el cuadrado de todo n ú mero real es positivo. tanto ( x +4)2 como (y -2)2 son posi tivos y, por tan to, la ecuación no se satisface para valores reales ni de x ni de y .

b) Es evidente q ue el ún ico pu n to real q ue satisface a la ecuación dada es el origen (O, 0). e) Escribiendo la ecuación en la forma (x2

-8x + 16) + (y2 + 2y + 1) = O, o bien, (x -4)2 + ( y + 1)2 = O, cuand o x -4 = O e y + 1 = O, es decir, para x = 4, y = -1,el único pun to r eal q ue la satisface es el de coordenadas (4. -1).

d) Escribiendo la ecuación dada en la forma x 2-6x + 9 +2y2 + 2 = O, o bien, (x -3)2

+ 2y2 + 2 = O, como (x-3)2, 2y2 y 2 son posit ivos para todos los valores reales de x e y, la ecua ción dada no se sat isface pa ra valores reales de dichas variables. e) Laecuación se satisface paraJ.os valoresde xe y q ue verifican, simultáneamente, lasecuaciones x2 -4y2 = O y x + 3y-10 = O. R esolviendo el sistema formado por ambas se obtienen los pun tos (4, 2) y (-20, 10). q ue son los únicos puntos real es q ue sat i sfacen Ja ecuación dada.

/) Agrupand o las partes reales e i maginaria s se obtiene (x2- x- 5y- l ) + 2i(x -3y) = O.

Esta ecuación se satisface pa r a los va lores de x e y q ue ver ifican, si m ultáneamente, las ecuaciones x2 - x -5y -1 = O y x -3y = O. R esolviendo el sistema formado por ambas se obtienen los puntos (3, 1 ) y (-1 /3. -1/9). q ue son los únicos puntos reale s que sat isfacen a la ecuación dada.

7. R esolver gráficamen te el sistema formado por las ec uacion essigu ientes y comprobar el resu ltado por vía algebrai ca.

xy = 8 (1) x - y + 2 = O (2)

Despej.an do y en ( 1 ) se obtr .ene. y = 8 . Para x = o. y es i.n-

finito. x

Despejando x en ( 1 ) se obt iene, x = !_. Para y = O. x es in-finito. Y

Por tanto, y = O es una asíntota horizontal y x = O una asíntota vertical.

X o 1 ¡ -1 _ -2 i -:3 1 -4

y 00

J

8 ' 8/3 2 ¡-8 -4 ! -8/3 1 -2 La ecuación (2) representa una r ecta q ue corta a los ejes en los puntos (-2,0) y (O. 2). Gráficamente se ded ucen las soluciones (-4, -2) y (2, 4).



2

ZC$Ui

ECUACIONES Y LUGA RES GEOMETRICOS IS

5. Repr esentar el l ugar geomét rico x2- x + x y + y -2 y2 = O.

Algunas veces. una ecuación se puede descom poner en prod ucto de va r ios factores y, en este caso.

su gráfica consta de la corr es pond iente a cada unode ellos. Como la ecuación dada se descom pone en los

factores

(x -y) (x + 2y-1) = O,

su gráfica se compone de las dos r ecta s

X - y = Ü y X + 2y-1 = Ü.

6. Determinar los puntos reale s, si existen, q ue satisfacen las ecuaciones siguientes.

a) (x

+4)2 + ( y -2)2

=-5. d) x2

+2y2

-6x

+1 1 = O.

b) x2 + y 2 = O. e) (x2-4y2

) +(x + 3y- 10)2 = O.

e) xz + y2 -8x + 2y + 17 = O. () x2 +(2i- l)x -(6í + 5)y- I = O.

a) Como el cuadrado de todo n ú mero real es posit ivo, tanto (x + 4)2 como (y -2)2 son posi tivos y, por tanto, la ecuación no se satisface para valores reales ni de x ni de y.

b) Es evidente que el ún ico pun to real q ue satisface a la ecuación dada es el origen (O, 0).

e) Escribiendo la ecuación en la forma ( x 2 -8x + 1 6) +(y 2 + 2 y + 1 ) = O, o bien,

( x - 4)2 +( y + 1 )2 = O, cuando x - 4 = O e y + 1 = O, es decir. para x = 4, y = -1,el único punto real q ue la sat isface es el de coordenadas (4. -1).

d) Escribie ndo la ecuación dada en la forma x 2-6x + 9 + 2y2 + 2 =O, o bien , (x -3)' +2y2 + 2 = O, como (x-3)2,2y2 y 2 son positivos para todos los valores reales de x e y , la ecua ción dada no se sat isface para valores reales de dichas variables. e) La ecuación se sat isface para os valores de x e y q ue verifican, simultáneamente, las ecuaciones x2 -4y2 = O y x + 3y- 10 = O. R esolviendo el sistema formado por ambas se obtienen los pun tos (4, 2) y (-20, 1 0), q ue son los ú nicos puntos reales q ue satisfacen la ecuaci ón dada.

() Agrupand o las partes reales e imaginarias se obtiene (x 2 - x -5y- 1) + 2i(x-3y) = O. Esta ecuación se satisface para los valores de x e y q ue ver ifican, sim ul táneamente , las ecuaciones x2- x -5y-1 = O y .\·-3y = O. R esolviendo el sistema formado por ambas se obtienen los puntos (3, 1) y (-1/ 3, -1/9), q ue son los únicos puntos rea les q ue satisfacen a la ecuación dada.

7. R esolver gráficamen te el sistema formado por las ecuacione s siguientes y comproba r el resu ltado por vía algebra ica.

xy = 8 (1)

x - y + 2 = O (2)

Des pejando y en ( 1) se obtiene, y = - . Para x = O. y es infinito. x

Despejando x en (1) se obtiene, x = . Pa ra y = O, x es infinito. Y

Por tanto, y = O es una asíntota horizontal y x = O una asíntota vertical.

X

y

o 00

1

8

2

4 "

3

8/3 2¡-8

-2 -4

-3 1 -4

-8131 -2 La ecuación (2) representa u na recta q ue corta a los ejes en l os puntos (-2,0) y (O, 2). Gr áficamente se ded ucen las sol uciones (-4.-2) y (2, 4).



1 16 ECUACIONES Y LUGARES GEOMETRICOS

Solución alf{ebraica. De (2), y x -t 2.

Susliluyendo en ( 1). x( x -t 2) -:: 8, es decir, x2 + 2x-8 = O.

Descom poniendo en factores, (x + 4) ( x -2) - O. Por tant o, x =o -4 y x = 2. Como y x 1 2, y -2 pa ra x = -4 e y = 4 para x = 2.

8. Resol ver gráfica men te el sistema de ecuaciones siguien te y com probar su solución por vía a lgebraica .

4x 2 1 y 2 = 100 ( 1 )

9x2 - y2 - 108 (2)

Ambas curvas son si métricas con r especto a los ejes y al origen. o X

Despejando y en ( 1) se obt iene, y ¡ v'100 -4x2• Luego x

no puede tomar valores mayores q ue 5 ni menores que -5.

Des pejando x en ( 1 ) se obt iene, x = v 100 - y2. L uego y

no puede tomar valores mayores q ue 10 n i menores q ue 10.

.\'

y

O ; L l Í f- 2 1 ±3 1 + 4

:J 1o 1 _1 9.s 1 +9.2 +8 +6- 1

-J:5 - o

Despejando y en (2) se obtiene. y = ±3 ,; x2- 12. Luego x no puede tomar valores comprendidos en t re v l2 y _,11 2 .

Despejando X en ( 2) se obtiene. X = vy2 + 108. Luego y puede tomar cualq uier valor.

X -

y :l:v 2 1- - l 5

o 1 :L6 -1-. 10,8 -1:6 - -

+ 14,7

Gráficamente se deducen las soluciones (4. +6). (-4, ±6).

Solución algebraica. 4x 2 + y 2 = 100

9x2 -y2 = 108

l3x2 = 208. x2 = 16. y x = ±4. y2 = 9x2

-108 = 144- 108 = 36, e y = ±6.

ECU AClON DE U N LUG A R GEOM ETR ICO.

9. Hallar la ecuación de la recta q ue sea,

a) paralela al eje y y que corte a l eje x ci nco u nidade s a la izq uierda del origen. b) paralela al eje x y que corte al eje y siete u nidades por encima del origen.

e) paralela y a la derecha de la recta x + 4 = O y q ue diste de ella 10 u nidades. d) paralela y por debajo de la recta y = 2 y que d iste de ella 5 unidades.

e) paralela a la recta y + 8 = O y q ue d iste 6 u nidades del punto (2, 1). /) perpendicular a la recta y-2 = O y q ue d iste 4 u11idades del punto (-1, 7).

a) x = -5, es decir, x +5 = O. Esta es la ecuación de la recta que es paralela al eje y y q ue estásituada 5 unidades a su izquierda. b) y = 7, es decir , y -7 = O. Esta es la ecuación de la recta que es paralela al eje x y que estásituada 7 unidades por encima del origen.



l - 3

-

ECUACIONES Y LUGARES GEOMETRICOS 17

e) x = -4 + 10. es deci r. x = 6. Esta es la ecuación de la r ecta situada 10 unidades a la derechade la recia x + 4 -O. Es pa ra lela a l eje y y está situada 6 unidades a su derecha.

d) y = 2 -5. es decir. y = -3. Esta es la ecuación de la recta situada 5 u n idades por debajo de la recia y -2 = O. Es pa ra lela al eje x y está a 3 unidades por debajo de él.

e) Como la recia y + 8 = O es paralela al eje x. las dos recta s ped idas ta mbié n lo ser án y estarán sit uadas 6 u n idades por debajo y por enci ma. r espectivamen te. de la recta y = 1 . Luego y = 1 ± 6, es deci r. y - 7 e y - -5.

f) Como la r ecia y -2 = O es paralela ,11 eje x , la s d os r ectas ped id as ta mbién lo ser án y estarán a 4 u n idades de la derecha o a la izq uierda de la r ecta x = -1. Luego x = -1 l.4 . es decir • .\'= ] Y X = -5.

IO. Ha l lar la ecu ación de la recta q ue sea.

a) pa r a l ela a l eje x y q ue dist e 5 un idades del pu n to (3. -4).

h ) cq u id i:.ta n lc de l as recias x + 5 = O y x -2 = O, C' ) q ue d itc t n.:s veces más de la recta y -9 = O q ue de y + 2 =- O.

Sea ( x. y) u n pu n10 genérico de la recta ped ida.

<J ) y -4 -¡. S. es decir. y - 1 e y - -9. s -t \'

h) 2-=-x 1. . o sea. x

.-5 + 2

= -2, o bien. 2x + 3 - O.

y + 2

9 -y ..:. · Sim pl ificando. 4y -3 = O y 2y + 15 = O.

Pa ra la recia 4y -3 O. sit uada entre las dos dadas. la relaci ón es +:\. Para la recta 2y + 15 = O

si1uada por dchajo de el las. la r elación es -!.

11. Halla r la ec uación del luga r geomét rico de los pu n los eq uidista n tes de A( -2. 3) y 8( 3. -1).

P A - PB. es tkci r. \1( x .1- 2)2 + (y -3)2 = V ( x- 3)2 + ( y + 1)2.

Eleva ndo a l c uad rado y si m pl i ficand o se o b1icn e. IOx-8y + 3 - O. Esta es la ecuación de la med iat riz del segme nt o q ue u ne los dos pu ntos dados.

12. Hallar l a ecuaci ón ck la rect a q ue pase.

a) por el punt o ( -4. 5) y cuya pend iente sea 213. b) por los puntos ( 3. -1} y (0. 6).

Sea ( x. yl u n pu n to genérico de la rccta ped ida. La pend iente de la recta que Pª"ª por los pun to!\ (x 1• y ) y (x • y ) es Y -Y 1

1 2 2 X2- X1

a¡ La pcndien lc de la recta q ue pasa por los pun tos (-4.5) y (.\ . 1·) e::.2

. 3

Por tanlcJ. } _·-5

= - . S1111pl iflca ndo. 2.\ - .'11·+ 23 -e· O. \ .. 4 .. .

h) La pend ie n te de la r<.:cta q uc pa !>a por los punt os (J. -1 ) y (0. 6) e::. ig ual a la pend ient e de la r ecta q ue pa sa por los pu nt os (0. 6) y ( x. y ).

Por tant o. · = : _ .Sim pl ificando. 7x + 3y-18 = O.

•

••



+ 5-3 1

Por tanto, + =- Y -:. 3x- +

18 ECUACIONES Y LUGA RES GEOMET RICOS

13. Hallar la ecuación de la recta q ue pase.

a) por el punto (2. -1 ) y sea perpendicular a la recta q ue u ne los pun tos (4. J) y (-2. 5). b) por el punto (-4.1) y sea paralela a la recta q ue une los puntos (2, 3) y (-5, O).

a) Si dos rectas son perpend iculares. la pend ie n te de una de ellas es igual al recí proco. con signo contrario, de la pendiente de la otra.

Pendiente de la recta que pasa por (4. 3) Y (-2. 5) = _2 _ = -3·

Pendiente de la recta ped ida = recíproco con signo con t rario de - = 3.

Sea (x.y) un punto genér ico de la recta ped ida. La pendiente de la recta q ue pasa por (x.y)

y (2, -1) es _ Y + 1= 3. Si m plificando. 3x - y -7 = O.

x -2

h) Si las dos rectas son para lelas, sus pend ientes son iguales.

Sea (x. y) un pu n to genérico de la r ecta pedida .

Pendiente de la recta q ue pasa por (2. 3) y (-5. 0) = pend iente de la recta q ue pasa por (x.y) y (-4.1).

3-0 Simplifica ndo. 7y 19 = O.

x +

- 14. Hallar el l ugar geométrico de los puntos P( x. y) cuya d istancia al punto fijo C(2. -1) sea igual a 5.

Distancia PC = 5. es decir. v(x- 2¡i° +<Y+ i)2 = 5.

Elevando al cuadrado y sim pl ificando se obt iene la ecuación del l uga r pedido. x2 + y - 4 x

+ 2y = 20.

Este l ugar es una ci rcunferencia de cent ro el pu nto (2. -1 ) y de rad io 5.

_ IS. Hallar la ecuación del lugar geométrico de los puntos P( x. y) cuya suma de cuad rados de distancia s a los puntos fijos A(O,0) y 8(2. -4) sea igual a 20.

(PA)2 + (P8)2 = 20. o bien. x2 + y 2 + [(x -2)2 + (y + 4)2] = 20.

Simpl ificando. x2 +y2-2x + 4y ;.= O. Esta es la ecuación de u na ci rcunferencia de diámet ro A B.

'<. 16. Hallar la ecuación del l u ga r geométrico de los punt os cuya suma de d istancia s a los ejes coordenados sea igual al cuad rado de su s d istancia s a l origen .

Distancia de P( x .y) al eje y + dista ncia al eJe x = cuad rado de distancia al (0. 0). Luego x + y = x2 + y2

• o bien. x2 + y1- x - y = O. Esta es la ecuación de una cir cunferencia

de centro <!.!> y radio \ ' Í .

- 17. Hallar la ecuación dd l uga r geomét rico de los pu n tos f(x. y) cuya relación de d istancias a la recta

y -4 = O y al pun to (3. 2) sea igual a 1.

Distancia de P( x .y) a y -4 = O 4-y - 1 o sca - -----= l .

Distancia de P( x. y) a (3. 2) - · · \l( x _ 3)Z +( y _ 2)2

Elevando al cuadrado y simplificando. (4- y )1 = ( x -3): + ( y -2)2• o bien. x 1-6x + 4y

-3 =0.

Esta es la ecuación de una parábola .



1 2

•

ECUACIONES Y LUGARES GEOMETRICOS 19

Dados dos puntos P1(2, 4) y P2(5, -3). hallar la ecuación del l ugar geométrico de los puntos P( x, y) de manera q ue la pendiente de PP 1 sea igua l a la pendiente de PP 2 más la unidad.

Pendiente de PP = pendiente de PP + 1, o sea, y - x -

y + 3 1 x-5 + ·

Simpl ificando, x2 + 3y- 16 = O. que es la ecuación de u na pa rábola.

Hallar la ecuación del lugar geométrico de los puntos P( x, y ) eq uidistantes del punto fijo F(3, 2) y del eje y .

PF = x, es decir, ·v'(X-3)2 + (y-2)2 = x, o sea. x2-6x + 9 + y2 -4y + 4 = x 2•

Sim plificando, y2-4y -6x + 13 = O, q ue es la ecuación de una parábola.

_ 20. Hallar la ecuación del l ugar geométrico de los puntos P( x. y) cuya diferencia de distancias a los puntos fijos F1( 1 , 4) y F2( 1 . -4) sea igua l a 6.

PF 1-PF 2 = 6. es deci r. V(x-1)2 + (y -4)2 -v(x- 1)2 + (y + 4)2 = 6.

Pasando un rad ica l a l segundo miembro .

v'0-- 1)2 + (y -4)2 = 6 + \/(x- 1)2 + (y +4)2.

Elevando al cuadrado. x2-2x + 1 + y2

-8y + 16 = 36 + 12 \l(x-1)2 +(y +4)2 + x2-2x

+ 1 + y2 + 8y + 16.

Simplificando, 4y +9 = -3\/ (x-1)1 +( y +4)2

Elevando al cuadrado, 16y2 + 72y + 81 = 9x2-18x + 9 + 9y2 + 72y + 144.

Simpl ificando. 9x2

-7y2-

l 8x + 72 = O, ecuación de una h ipérbola .

PROBLEM AS PROPUESTOS

LUGAR GEOMETRICO DE UNA ECUACION.

Trazar la gráfica de las ecuaciones 1- 18.

- l. x2 + 2x -y + 3 = O

- 2. 4X -9y2

+ 36 = Ü

-- 3. x2 + y2-8x + 4y -29 =- O

- 4. 2x2 + 3y2- 18 = O

3x2 + 5y2 = O X 6. 4y2 -.r = o 'I 7. ( xy -6)2 + (x2 +3x y + y 2 + 5) = O

8. 8y -x3 = O

9. y2 = x( x-2) (x + 3)

IO. y = x( x +2) (x -3)

11. (x 1 + 2xy -24)2 + (2x2 + y2-33)' = O

12. x2 y + 4y -8 =O

13. x1 y 2 + 4xª -9y2 = O

14. x2 + y2 + 4x-6y + 17 = O

JS. 2x2 + y2 -2y"i + x2i -54- t 7i = O

16. y( x + 2)(x -4)-8 = O

17. x2 + xy -2y2-3x + 3y = O

18. (x2 --y) -yi = (5 -2x) + 3( 1 -x) i

Representar los siguientes pares de ecuaciones y ref!Olver gráficamente el sistema que forman . Comprobar algebraicamente los resultados.

19. y = X2• X - y -j- 2 = Ü. Sol. (2, 4), (-1, 1 ).



-

20 ECUACIONES Y LU(iA R ES UEOMETRICOS

20. 4y - x2 = O, x2 y + 4y-8 =- O.

21. x2 + y 2-20 = O. y 2

-2x-12 O.

_. 22 . y 2 -2x -5- O. 3x2 -2y2- 1 - O.

23. y 2-4 x -9 = O. x2 + 2y -6 - O.

24. 2x2· y 2-6 - O. x2

- y2-4 - O.

25. 2x2-5xy + 2y2 " O, .\ 2 1 y2

• 5 "'- O.

Sol. (2. 1 ). (-2, 1 ), las otras son i magina r ias.

Sol. (2. :!- 4), (-4, 1 2).

Sol . (2,7. 1 J.2). (-1.4, t- 1 ,5).

Sol . ( -2, 1 ) . (- 2, 1 ), (4, -5),(0. 3).

.:':)ol. 1magina rias.

Sol. (2, l),(-2, -l),(1. 2),(-1 ,--2).

26. .r 2 - y2+ x- y -=O, x2 ·hy-3x 1 6y O. Sol. (3, -4), (-2/J.-1/3), (3. J). (0,0).

ECUACION DE UN LUGA R GEO METRICO.

27. Hal lar la ecuación de la r ecta :

a) Sit uad a 3 u n idades a la derecha del eje y .

b) Sit uada 5 u nidades por debajo del eje x.

e) Paralela al eje y y a 7 u n idades del punto (--2, 2).

e/ ) Sit uada 8 unidades a la izq uierda de la recta x --2.

Sol. x -3 = O

Sol. y + 5 = O Sol. .r-5 = O. x + 9-O.

Sol. x + 1O ::- O

<') Par alela a l eje x y med iat riz del segmento determinado por (2, 3) y (2, -7).

/) Que diste 4 veces más de la r ecta x = J q ue de x = -2.

Sol. y + 2 -= O

Sol. J x 1- 1 1 - O, x + 1 - O.

g ) Que pase por el punto (-2. -3) y sea perpend icular a la r ecta x -3 = O. Sol. y + 3 = O

h) Que eq uidiste de los ejes coordenados. Sol. y - x = O, y + x = O.

í) Que pase por el pun to (3, -1) y sea pa ra lela a la recta y + 3 = O.

j) Que eq u id iste de las rectas y-7 = O e y + 2 = O.

Sol. y + 1 = O

Sol . 2y - 5 = O

_ 28. Hallar la ecuación del lugar geométrico de lo!; pu ntos P( x,y) cuya distancia a l pu nto lijo (-2, 3) sea igual a 4. Sol. x2 + y2 + 4 x -6y -3 o= O.

29. Hallar la ecuación del l ugar geométr ico de los puntos P( x. y) q ue eq uid isten de los pu ntos fijos (-3, 1) y (7, 5). Sol. 5x + 2y- 1 6 = O.

-30. Hallar la ecuación del lugar geométri co de los pun tos P( x, y) cuyas distancias al pu nto fijo (3, 2) seanla mitad de sus distan ias al (-1, 3). Sol. 3x2 + 3y2

-26x -1O y + 42 = O.

- 31. Hallar la ecu ación del l ugar geomét rico de los p untos P (x, y ) q ue eq u id isten del p un to (2, 3) y de larect a x + 2 = O. Sol . y 2

-8x -6y + 9 = O.

32. Hallar la ecuación de la circunferencia de centro el punto (3, 5) y sea tangen te a la r ecta y -1 =O. Sol . x2 +y 2 -6x- IOy +30 = O.

33. Hallar la ecuación del l ugar geométrico de los puntos cuya suma de di stancias a los pun tos fijos (e, 0) y (-e, 0) sea igua l a 2a, (2a > 2c). Sol. (a2

-c2)x2 + <i2y 2 = a4-a2c2

•

34. Hallar la ecuación del l uga r geométrico de los puntos P(x. y) cuya suma de distancias a los pu ntosfi jos (2, 3) y (2,-3) sea igual a 8. Sol. l 6x2 + 7y2

-64x -48 = O.



ECUACIONES Y LUGARES GEOMET RICOS

35. Hallar la ecuación del l ugar geométrico de los puntos cuya d iferencia de d istancias a los fijos (3. 2) y (-5. 2) sea igual a 6. Sol. 7x2

-9y2 + 1 4x + 36y -92 = O.

36. Ha l lar la ecuación del l uga r geomét rico de los pu ntos cuya distancia a la r ecta y + 4 = O sea igual a los do t er cio.; de su d istancia al punto (3. 2). S ol . 4x2

-5 y2-24x -88y -92 = O.

37. Hallar la ecuación del l ugar geométrico de los puntos cuya d i tancia al punto fijo (-2. 2) sea tresveces su d istan cia a la recta x 4 = O. Sol. 8x2

-y2- 76 x + 4y + 1 36 = O.

38. Hallar la ecuación <lcl l uga r geomét rico de los pu n to cuya suma de cuadrados de d istancias a los ejes coordenad os sea igua l a 9. Sol . x 2 + y 2 = 9.

39. Hallar Ja ecuación de la mediatriz del segmento determi nado por los punt os de coordenadas (-3. 2) y (5, -4). Sol . 4x-3y = 7.

40. Hallar la ecuación del l ugar geomét r ico de los pun tos q ue <listen 3 u n idades <lcl origen de coor denadas. Sol. x2 + y 2 = 9.

41. Ha llar la ecuación de la ci rcunferencia de cen tro (2. J) y 4uc pase por e l ru n t o (S. -1). Sol . x2 -l y2 -4x -6y - 12 - O.

42. Dados los puntos A(O. -2). 8(0 . 4) y C(O. 0). hallar la ecuación del l ugar geomét rico de los puntos P( x. y) de manera q ue el prod ucto de las pend ien tes de P A y PB sea igual a la pendie nte de PC. Sol. y2

- x y -2 y-8 = O.

43. Hallar la ecuación del l ugar geométrico del punto med io de un egmen to de 1 2 u n idades de longitud cuyos ext remos se apoya n constantemen te en los ejes coordenados. Sol . x2 t y 2 = 36.

44. Dados los puntos A( -2, )) y 8(3. 1 ). hallar la ecuación del l ugar geomét rico de los puntos P( x, y) de manera q ue la pendiente de PA sea el r ecíproco. con signo con trario. de la pendiente de PB. Sol. x2 -l y2- x -4 y -3 =O.



- =

CA PITU LO 3

La Jínea recta

UNA LI N EA RECTA , analíticamente, es u na ecuación lineal o de pri mer grado en dos variables.

Recíprocamen te, la representación gráfica del l ugar geométrico cuya ecuación sea de primergrado en dos variables es una recta.

U na recta q ueda determinada completamen te si se conocen dos cond iciones, por ejem plo, dos de sus puntos, un punto y su dirección (pendien te o coeficien te angular), etc.

FORMAS DE LA ECU ACION DE LA R ECTA :

a) PU NTO-PEN DIENTE. La ecuación de la recta que pasa por el punto P 1(xi. y1) y cuya pendiente sea m es

y - y 1 = m( x - x 1 ).

· b) PENDI ENTE-ORDEN ADA EN EL ORIGEN. La ecuación de la recta de pendiente m y que corta al eje 'y'en el punto (0, b) -siendo b la ordenada en el origen- es

y = mx + h.

e) CA RTESI A NA. La ecuación de la recta q ue pasa por los puntos P 1(x 1, y 1 ) y P2(x2, yJ es Y -Y1 Y1-Y2 ·----

d) R EDUCI DA O ABSCISA Y OR DEN A DA EN EL OR IGEN. La ecuación de la rectaque corta a los ejes coordenados x e y en los pu ntos (a, O) -siendo a la abscisa en elorigen-y (O, b) -siendo b la ordenada en el origen-, respectivamente , es

X )'

ª + -b = 1.

e) GEN ERAL. Una ecuación lineal o de primer grado en las variables x e y es de la forma Ax + B y + C = O, en donde A, B y C son constantes arbitrarias. La pendiente

de la recta escrita en esta forma es m = - y su ordenada en el origen b = - .

.f) NOR M AL. U na recta también q ueda determinada si '{

se conocen Ja longit ud de la perpendicular a ella trazada A desde el origen (0.O) y el ángulo que dicha perpendicu la r forma con el eje x.

Sea AB la recta y ON la perpend icular desde el ori gen O a AB.

La distancia p (parámetro) de O a AB se considera

siempre posi tiva cualq uiern q ue sea la posición de AB, es deci r , para todos los va lores del á ngulo ,,, que la per pendicular forma con el semieje x. positivo desde O a 36()0. .

Sean (x•. y1) las coordenadas del pu nto C.

-- .l......;'"""'" _,,,,_.x

&

. 1 En estas condiciones, x 1 = p cos t •J , y 1 = p sen "'• y pendiente de AB =--

cos w = -cotg w = ----.

sen w

. tg (1)

22

..



= ---

+

+ v ,

± V + + ± V A + + T V A -+

=

o

LA LI N EA R ECI /\

Ll a ma ndo ( x ,y) ot ro pun to cualq u iera de AB. y -y 1 - -(;Otg w ( x ,·1 ), o bien, cos ( 1 /

y - p sen 111 (x - p cos m). sen w

Simpl ificando. x cos 1t 1 + y sen 1t 1- p = O. q ue es la ecuación de la rect a e n forma n or mal.

REDUCCION DE LA FOR M A G E N ER A L A NO R M A L. Sea n x -1 By -¡ C -= O y x cos "> + y sen (()- p= o las ecuaciones de una m isma recta escri tas en sus formas ge neral y normal r espec tivamente ; los coeficien tes de a m bas ecuaciones han de ser iguales o proporcionales. Por tanto.

cos 111 sen <t> -p - A-=- -= C = k . siendo k la con st an te de propo r ciona l idad .

8

En estas cond iciones, cos ,,, = k A , sen «> = k B.- p = k C. Elevand o a l cuad rado y su mand o las dos primera s, cos2

m + sen2"> = k 2( A2 + 82

). o sea. J = k 2( A2 + 8 2 ) , de donde

k - . . 1

- ± Víf i Bi "

Teniendo en cuen ta este valor de k . A B C

cos r11 = ± v Ai + n2 'sen ,,,

-=· -- - p = Ai - ffi + v A 2 + a2 .

Por con siguien te. la for ma normal de Ax + B y + C = O es

A B C 0 A t 8 2 X 2 B'- y 8 =

2 2

en la q ue se debe consider ar el signo del r ad ical el opuesto al de C. Si C = O, el signo del radical se considera rá igual al de B.

DISTANC I A DE U N PU NTO A U NA RECTA . Pa ra halla r la distancia d de un pu nto (xi. y1) a una recta L, se tr aza la r ec

ta L1 paralela a L y q ue pase por (x1.J'1). La ecuación de L es x cos "' + y sen ,,,- p = O, y la

ecuación de L1 es x cos ,,, +y sen "' -( p + d) = O. ya q ue am bas rectas son pa r alelas.

Las coordenadas de (x1,y1) satisfacen la ecuación de L., x1 cos w + y1 sen w -(p + d) = O. Despejand o la dista ncia d,

d = x 1 cos w + y 1 sen <u - p.

y

l\.

t l...

En el caso de que {X¡, y 1 ) y el origen estén a dist into lado de la recta L, la distancia d es' positiva ; si estuvier an al mismo lado de L , d ser ía nega t iya .

PROBLEMAS RESUELTOS

Deducir la ecuación de la recta que pasa por el pun to P1(x1, y1)

y cuya pendiente, o coeficiente angular , sea m. (Ver figura.) Sea P( x ,y) "otro punto cualquiera de la recta . La pendiente m de la r ecta que pasa por los puntos {x, y)

y (x"11) es y -y¡ .

m = x - x ,

,o bien, y -y1 ?r{x-x1).

y

1 1

1,y-y, 1 1

_ G _ l _ _ _ _ _ ...J1

')(-X,

Deducir la ecuación de la recta de pendiente m que corte al eje y el punto (O, b). X

\



A C b =-

24 LA LI NEA RECTA

Sea P(x, y) otro punto cualq uiera de la recta. y -b

La pendien te /11 de la recta q ue pasa por (x, y) y (O, b) es m = X -o-·Por tanto, y =mx +b.

3. Hallar la ecuación de la recta (a) que pasa por (-4, 3) y tenga de pendiente

.(b) q ue pasa por (O, 5)

y tenga de pend iente -2, (e) que pasa por (2, 0) y tenga de pend ien te f·

Sea P( x. y ) ot ro punto genérico cualquiera de cada una de las rectas.A plicando la fórmula y - y1 = m(x - x1 ).

a) y -3 = (x + 4), es deci r, 2y -6 = x +4, o bien , x -2y + 10 = O.

b) y -5 = -2( x -O), es decir, y - 5 = 2x, o bien, 2x +y -5 = O.

Esta ecuación también se puede obtener aplicando la fórmu la y = mx + b.

En esta forma, 't = -2x + 5 , es deci r , 2x +y -5 = O.

e ) y -O = i( x -2), o sea, 4y = 3x -6, o bien, 3x -4y -6 = O.

4. Deducir la ecuación de la recta q ue pasa por los puntos (x1, y1) y (x2, y2).

Sea (x, y) otro punto cualq uiera de la recta que pasa por (x1;y1) y (x2, y2).

Pendiente de la recta que une (x,y) y (x1, y1) = pend iente de Ja recta que une ( xi.y1) y (x2, y 2 ).

Por tanto, y - y¡

X - X¡

Y i·Y2

- 5. Hallar la ecuación de Ja recta que pasa por los puntos (-2, -3) y (4, 2).

A plicando y -Yi = Yi=Yz , resulta y + 3 = -=3 2

, o sea. 5x -6y -8 = O. X - X ¡ X¡ - X2 x + 2 2 4

6. Ded ucir la ecuación de la recta cuyos puntos de intersección con los ejes son (a, 0) y (O, b). (a = a bscisaen el origen, b = ordenada en el origen.)

Sustit uyendo en Y -Yi = l..:1 -.l.'. se tiene Y -O - _ O __ b- , o sea, bx +ay = ab. x - x1 x 1 -x2 x -a a-0

Divid iendo bx + ay = ab por ab se tiene : + = 1.

7. Hallar la ecuación de la recta cuya abscisa y ordenada en el or igen son 5 y -3, respectivamente.

Aµl icando + = l , se tiene la ecuación + Y 3 = I, o bien , 3x -5y- 15 = O.

8. Halla r la pend iente m y la ordenada en el origen b de la r ecta cuya ecuación.es Ax + B y +C = O, siendo A , 8 y C constantes ar bitr arias.

Despeja n do y, y = --¡¡ x -Ji· Comparando con y = mx +b, m =- A

B '

e -¡¡·

Si B = O se tiene A x +C = O. o bien, x =- , recta pa ralela al eje y.

Si A = O se tiene B y + C = O, o bien, y =- , recta µaralela al eje x.



. 1 1 . d . A A' b' A B

+

3

4

LA LI N EA R ECTA 25

Hallar la pendiente m y la ordenada en el· origen b de la recta 2y + '.•.\' = 7.

Escribiendo la ecuación en la forma y = mx + b. y =- x ..... }. Luego su pend ien te es

-3/2 y su ordenada en el origen 7/2.

Si se escribe en la forma Ax + B y + C = O. es deci r. 3x 2y-7 =º· la pend iente

m =- A

- =-3

-- y la ordenada en el. origen h =-

C -

=---7

-7

-

B 2 B 2 2 ·

10. Demostrar q ue si las recta s A x + B y + C = O y A 'x + B'y + (" - 0 son para lelas. A 1 A ' = 8 18 '.

y qu e si son perpendiculares. A A' + 88 ' = O.

S1 son para e as, m = m . es ec1r.-B = -8' . o 1en. - Á. = ·/f .

. d' I 1 . A B' . S1 son perpen 1cu ar es. m -=- , .es decir. -= . . o b1er . A A ' 88'=O.

m B A

11. Hallar la ecuación de la recta q ue pasa por el pu n t o ( 2. -3) y es pa ra k la a la recta q ue u ne l os pu ntos (4, 1) y (-2. 2).

Las recta s paralelas tienen la misma pend iente. Sea ( x. y) otro pun to cualq uiera de la recta q ue pasa por (2. -3). Pend iente de la recta q ue pasa por (x, y) y ( 2. -3) = pend ien te de la recta q ue pasa por (4. l)

y -2.2).

Por tanto, y + 3 x -2

1 -2 4 .¡ 2 . Si mplificando , x + 6,r + 16 = O.

12. Hallar la ecuación de la recta q ue pasa por el punto (-2. 3) y es perpendicu lar a la recta 2x -3y

+ 6 = o. Si las rectas son perpendiculares. la pendien te de una de ellas es el recíproco con signo contrario

de la pendiente de la otra. '

La pend ien te de 2x -3y + 6 = O, q ue est á escrita en la fo1 ma general Ax + By + C = O.

es- = ,luego la pendiente de Ja r ecta ped ida es -· .

Sea (x,y) otro punto cualquier a de la r ecta q ue pasa por (-2, 3) y t iene de pend ien te - .

Entonces, y -3 =- -y( x + 2).Simpl

ificando,

3x + 2 y--

O.

Hallar la ecuación de la mediatriz del segmen to determinad o por los. ;>Unt os (7. 4) y (-1, -2). El punto medio (x 0 • y0) del segmento tiene de coordenada s

7- 1 = 2 = 3,

, Y1 -;- Yz )o = 2 -

4 -·2 J. 2

Pendiente del segmento = 4 + 2 = 3

, luego la pend iente de la r ecta pedida es igual a-4

. 7 + 1 4 3

4 Sea (x. y) otro punto cualq uiera de la recta que pasa por (3. 1) y t iene de pendiente -3.

Entonces, y- 1 =-3(x-3). Simplificando, 4 x + 3y- 15 = O.



4 7

3k -6

4

r - 26 LA LINEA R ECTA

14. Hallar la ecuación de la recta q ue pasa por (2, -3) y tenga una incl inación de 60º. Sea ( x, y) un plin to genérico de la recta de pend iente m = tg 60º = v'3.

Entonces, y + 3 = v'J(x -2). Simpl ificando, v'3x - y -3 -2v'3 =O.

15. Hallar el valor del parámetro k de form a q ue: a) 3kx + 5y + k -2 = O pase por el punto (-1, 4).

b) 4x-ky -7 = O tenga de pend iente 3; e)

a)

k x - y = 3k -6 tenga de abscisa en el origen 5.

Sustituyendo x = -1. y = 4 : 3k(-I ) + 5(4) + k -2 = O, 2k = 18, k = 9.

b) Apl icando la forma Ax + B y +C =O, pend iente =- = - \ = 3, k =; .

O bien, red uciendo 4x -ky -7 = O a la forma y =mx + b, y = k x-T·

Por tanto, pend iente = ; =3, 3k = 4, k = ;.

e) Para y = O, x = k = 5. De aqu í resulta 3k -6 = 5k, k = -3.

16. Hallar las ecuaciones de las rectas de pendien te -3/4 q ue formen con los ejes coordenados u n triángulo de ár ea 24 unidades de superficie.

Una r ecta de pendiente-!y ordenada en el origen b viene dada por y =-! x+b.

Para x = O, y = b; para y = O, x = Jb.

;\' a·del triángulo = !(producto de los catetos) =!(b ·· b) = bz = 24.

De aq ui se deduce que 2b2 =3(24), b2 = 36, b = ±6, y las ecuaciones pedidas son

y =-: x ± 6, es decir, 3x + 4y -24 =O y 3x + 4 y +24 = O.

17. Hallar el l ugar geométrico representado por las ecuaciones siguientes: a) x2 + 8xy -9y2 = O; b) x3 -4x 2 - X + 4 = Ü.

a) Como la ecuación se descom pone en los factores ( x -y) (x + 9y) = O. el l ugar que representason las dos rectas x - y = O, x + 9y = O.

b) Descomponiendo en factores, (x - 1 ) (x2-3x -4) = (x- 1 ) (x + 1) (x -4) = O.

Por tan to, representa las tres rectas x-1 = O, x + 1 = O. x -4= O.

18. Hallar el lugar geométrico de los punt os (x, y) q ue d isten el doble de la recta x = 5 q ue de larecta y = 8.

Distancia del punto (x, y) a la recta x = 5 = ±2[d istancia de (x, y ) a la recta y = 8], es deci r, x -5 = ±2( y -8).

Por consiguien te, el l ugar geomét rico está const i tuid o por el par de rectas

x -2y + 1 1 = O y x + 2y ·-21 = O, o sea. (x -2y + 1 1 ) (x + 2y -21) = O.



v3 1 9 -x + 2Y-2 = O, V3 1 9

2 2 =

A 8 C

. cu =

1

LA Ll NEA RECTA 27

ECUACION NORMA L DE LA RECTA .

19. Traza r las r ectas A B para los valores de p y <11 q ue se i nd ican y escribi r sus ecuacicnes r es pectivas.

a) p = 5, t 11 = n/6 = 30º.

h) p = 6, ( I }

=2n/3 = 120º.

e) p = 4, w = 4n/3 = 240°. d) p = 5 , <•J = 7n/4 = 315º.

y y y

B

(a) (b) (e) (d)

t

a) X cos 30º + y sen 30º -5 = O, es deci r ,!vI\' + !Y- 5 = º· o bien. v3x + y - 10 = o. . b) x cos 120° + y sen 120º -6 = O, es decir. -ix + v")y -6 = O, o bien, x - v'3y + 12 = O

e) x cos 240° + y sen 240º -4 = O, es deci r. -!x -hl Jy -4 = O, o bien , x + v'Jy + 8 = O.

d) X COS 315° + y Sen 315º -5 = 0,es decir, -- X -- y -5 = 0,O bien, X - y -5 y'f = 0 v2 V2

lO. Red ucir a forma normal las ecuaciones siguientes y hallar- p y w.

u) v3:\' + y -9 =o. bi 3x -4y -6 = O.

C) X + y + 8 = 0. d ) 12x-5y = O.

e) 4 y- 7 = O. /) X +5 = 0.

La forma normal de Ax + By +C = Oes v' x + r;o y + =O. ' ± A

2 + 82 ±V A2 +8 2 ± V A1+81

a) A = V3, B = 1 , V A 2 + 82 = vJ+I = 2. Como C l= -9) es negativo, V A' + 82 se toma con signo positivo. La ecuación en forma normal es

- cos r11 =- , sen r 1J = l ' ' (1) = 30º.

Como sen <11 y cos ''' son ambos positivos. w está en el pri mer cuadrante.

b> A = 3. 8 = -4,v A1 + 9t.= v'9 + 16 = 5. La ecuación en forma normal es

y cos tu -= 3 4 . sen '''=- . p =

6306º 52'.

- -- - 5 5 5

Corno cos t i> es positivo y sen w es negati vo.w está en el cuarto cuad rant e.

r) A = 1, B = 1. v A2 + 8 2 = v2. Como C (= + 8) es positivo. el rad ical se toma con signo negativo. La ecuación en for ma normal es

1 1 - -- x ---=. y -4v' 2 = O

Vi v2 ' Y COS fU = Sen W = --v-=i • p = 4yf, ( ') = 225º.



X +

-

Como cos c•i y sen 11i son negat ivos. 111 est á en et t ercer cuad ra n te.

d) ,1 A2 + 8 2 = ;f44T25 = 13. Como C = O. el rad ical se toma con el m ismo signo que 8(--5). con lo cual, sen 1•1 será posi t ivo y 1•1 · 1 80 '. La ecuación en forma norma l es

12 5 IJ I

3 )' 0. y COS Cll

12 - • sen w 1 3

5

13, p = O,

11i = 1 57''23'·

Como cos c1J es negat ivo y sen 111 es posi tivo, 111 está en el segu ndo cuadran te.

e) A - O, 8 = 4. A2 1- 82 =- 4. La ecuación en forma normal es 4 )'-

7- =o es <lcc1.r 1• -

7-

o y cos oi O, sen 11, -= 1. 7

· = 90°. 4 4 . .- 4 .

/) A = 1 . 8 = O, v A2 _, -8 2 = 1 . La ecuación en forma normal es

p = 4 (lj

1 X + s _ = O, es deci r, -X - s = O, y COS UI = -1. sen (1) = O, p = 5, (1) = 1 80".

-1 1

21. Hallar las ecuaciones de las r ectas que pasan por el pu nto (4, -2) y d istan 2 u n idades del origen.

La ecuación de las r ectas q ue pasan por el punt o (4, -2) es y + 2 = m( x -4), o bien, mx - y -(4m + 2) = O.

mx -y -(4m + 2) La for ma normal de mx - y -(4111 1 2) = O es = O.

-!- l m2 + 1

Luego, p = 4m 1- 2

± vm2 + t == 2, o bien, (4m + 2)2 = 4(1112 + 1 ). R esolviendo, m = O,-

4.

3

Las ecuaciones ped idas son y + 2 = O. e y +2 =- ( x -4), o bien. 4 x + 3y- 10 = O.

22. Halla r la distancia d desde a) la recta 8x + l 5y- 24 = O al punto (-2, -3).

b) la recta 6x -8y + 5 = O a l pun t o (--1, 7).

a) La forma norma1 de 1a ecuac..

es8x + I S=y --24- = O, o

bºen,

Bx + I Sy -24 =O.

1on + vs2 + (1s>2

1 1 7 8(-2) + 1 5(-3) -24 -85 -

d :.:: = 1 7 17

= -5. Como el e nega t ivo. el punt o (-2. -3) y el ori-

gen está n al mismo lad o de la recta. r ., 6x -8y + S 0 b. 6x -8y + 5 O

b) La 1orrna norma 1 de 1 a ecuac1on es-....,=---=---=--= . o 1en, = . - 62 + (-8)2 -1 0

d = 6(-1 ) -8(7) + 5 -1 0

a dist into lado de la r ecta.

-57 = 5,7. Como d es po it ivo, el punto (-1. 7) y el origen están

-10

23. Hallar las ecuaciones de las bisect rices de los ángulos formados por las rectas

( L 1 ) Jx + 4 y + 8 = O

y (L2) 5x + 12y- 15 = O.

1 1: 1 ,

l. '



LA LINEA RECTA 28

1

'

-5 13

.

"

2

LA LI NEA R ECTA

Sea P ' (x', y') u n punt o genérico de la bisectri z L3 •

Tend r emos.

_ 3x' -4 y ' + 8 d _ 5x' + l2 y' -15 1 - -S . 2 - 13 .

Pa ra todo pu n to de L3 se veri fica q ue d 1 y d2 son igua les en valor a bso luto.

Los pun tos P' y el origen están al mismo lado de L, pero a disti nto lado de L2• Luego d1 es nega t ivo y d 2 positivo, y d 1 =-d2 . A si. pues . el lugar geométrico de P' viene defin id o

29

y

l

P''(x",y•) '

I I \ ' I '

d I \ ,d3 4/ '

/I \ '

-3x'

-4- y' -+ 8- = --5x' +-l2y' -1 5

Sim pl ificando y supri miendo las primas, la ecua X

ción de L3 es 14x - l 1 2y + 1 79 = O.

An álogamente, sea P " ( x ", y") u11 punt o ge

nérico de la bisectr iz L4 • Como P" y el origen están a d ist into lado de L1 y L2 , las d istancias d3 y d 4 son posi tivas y d3 = d 4•

3 "-4 " + 8 Por ta nto, el lugar de P " es x - =

5x" + 1 2 y" - 15 1 3

Sim plificando y supr imiendo las primas. la ecuación de L4 es 64x + 8y + 29 = O.

Obsérvese q ue L3 y L4 son r ecta s perpend icular es y que la · pendiente de una de ellas es el recí proco con signo cont ra rio de la pend iente de la otra .

24. Ha lla r las ecuaciones de las para lelas a la recia l 2x -5y-15 = O q ue dis1en de ella 4 unidades.

Sea P '(x'. y') un pun10 genérico cualquiera de la r ecta ped ida. Entonces, Sim plificando y supri miendo las pri mas. las ecuaciones pedidas son

12.r -5y -67 = O y 1 2.,·-5y + 37 = O.

12x'-5y' -15

13 = ±4

25. H alla r el va lor de k pa ra q ue la d ist a ncia d de la r ecta 8x + l 5y + k = O a l pun to (2, 3) sea igual a 5 u n idad es.

.11· 8( 2) 1 5(J) 1 k d ---- ----

17 ·l 5. R esolviendo. k -1 46. 24.

26. Halla r el punto de i nlersección de las bisect rices de los á ngulos interiores del t riángulo de lados y

(L.1) 7x - y 1 1 - O, ( L ) . y -l S - O, ( l3) h + 1 7y + 65 - o. El pu n to de in t ersección ( h. k ) es el cen t ro de la

ci rcu nferen cia in scri ta a l t riú ngu lo. Por tan to. la d i!.t a ncia

7h-k ¡ 1 1 de ( h.k ) a L , es d1 • X

-\150 + k - 15

v'2 7h 1 l 7k + 65

de (h. k ) a L3 es d3 =

-v'338



+ v2

23

Estas distancia s son todas negativas ya que el punto y el origen están al mismo lado de cada recta. Luego d1 = d 2 =d 3•

7h-k + 1 1

Como d1 = d 2 ,

-sv2

711-k + l l

h + k -15 Simpl ificando. 3'7 k = 16.

7h + 17k + 65

-sv2 -13y2 Simplificando , 4h -7k = 13.

Resolviendo el sistema formado por 3h + k = 16 y 4'7 -7k = 13 se obtiene, h = 5, k = l.

27. Dado el triángulo de vértices A(-2, 1), B(5 , 4), C(2, -3), hallar y

la longitud de la altura correspondiente al vértice A y el área del mismo. B

Ecuación de BC: : = , o bien, 7x-3y -23= 0. i A

Distancia de BC a A =7<-2

- = -40. X

49+9 v5s 1 Longitud de BC = V(5 -2)2 + (4 + 3)2 = v58. e

Area del triángulo = l (V58 ·

ficie.

HAZ DE R ECTAS.

28. Hallar la ecuación del haz de rectas

) = 20 unidades de super- 8

a) de pendien te -4,

b) q ue pasa por el punto (4, 1), e) de ordenada en el origen 7, d) de a bscisa en el origen 5, e) cuya suma de coordenadas en el origen sea 8, f) cuya ordenada en el origen sea el doble que la abscisa en el origen, g) q ue u na de las coordenadas en el origen sea el doble de la ot ra.

Llamemos k , en cada caso, la constante arbitraria o parámetro del haz. a) Sea k = ordenada en el origen del haz de rectas cuya pend iente es -4.

De la expresión y = mx + bse obtiene la ecuación ped ida. y = -4 x + k , o bien , 4x + y -k=O. b) Sea k = pendiente del haz de rectas que pasa por el punto (4, 1).

Sustituyendo en y -Yi.=m(x- x1 ), la ecuación ped ida es

y-1 = k(x -4), o bien, kx - y + 1 -4k =O.

e) Sea k = pendient e del haz de rectas cuya ordenada en el or igen es 7. De y mx + b se obtiene Ja ecuación, y = k x + 7, o bien , k x - y + 7 = O.

d) Sea k = pendiente del haz de rectas cuya abscisa en el origen es 5. De y - y1 = m(x -x1) se obtiene la ecuación, y -O = k( x -.5). o bien, kx - y -5k = O.

e) Sea k = abscisa en el origen del haz de rectas. Entonces. (8-k) = ordenada en el origen de dicho haz.

X y . . X y Oe -¡¡ + ¡;·= l se obtiene la ecuación,k + _ k = 1 , o bien. (8 -k )x + k y -8k + k Z = O.

8

f ) Sea k = ordenada en el origen. Entonces, !k = abscisa en el origen.

De ;+ -'b- = 1 se obtiene la ecuación , + f = 1 . o bien, 2x + y -k = O.



30 LA LI NEA RECTA

a sc en e1

4-2m

las

2 + k 1

3

LA LINEA RECTA 31

. ordenada en el or igen g) Pendiente de u na recta =-- b .

1sa . . Cua nd o la abscisa en el origen sea igual

origen

a (± ) e l doble de la ordenada en el origen, la pend iente es =f L cuando J a ordenada en el or igen seanum érica men te igua l al doble de abscisa en el or igen, la pend iente de la r ecta es =f 2. Sea k = orde

nada en el origen. De y = mx + b, las ecuacione s del haz de r ectas pedido son y = ±!x + ke y = ± 2x + k .

29. Halla r la ecuación de la recta q ue pasa por el punto (-2. -4) y cu yas coordenadas en el origensu man 3.

La ecuaci ón de l haz de rectas q ue pasa por el pun to (-2,-4) es y +4 = m( x + 2).

Para x = O, y = 2111 -4 ; para y = O, x =--- m

La su ma de• coordenada s en el origen es 3. Luego, 2m -4 + 4 -2m .

111

Simpl ificand o. 2m2-9111 +4 = O. Resolviendo , (2m- 1) (m -4) =O, m = t. 4.

Sustituyendo estos valores de m en y +4 = m(x +2), las ecuaciones pedidas son, y + 4 = Hx + 2) e y t 4 = 4(x + 2), o sea, x -2y -6 = O y 4 x - y + 4 = O.

30. Ha llar la ecuación de la r ecta que pasa por el pun to de inter sección de las rectas 3x -2y + J O = Oy 4 x + 3y -7 - O y por el punto (2, 1).

3x -2y ; 10 + k(4 x + 3y -7) = O es la ecuación del haz de rectas q ue pa san por el punto de intersección de las dos dadas.

Como la recta pedida ha de pasar también por el punto (2, 1), 3 ·2 -2 · 1 + 10 +k(4 ·2 + 3 . 1 -7) o.

Despejando k de esta ecuación resulta k = -7/2. La r ecta ped ida es

Jx- 2y + J O- (4x + 3y- 7) = O, o bien , 22x +25y-69 = O.

31. Halla r la ecuación de la perpendicu lar a la recta 4x + y - 1 = O q ue pase por el punto de inter sección de 2.r -5y + 3 = O y x -3y -.7 = O.

La pend ien te de la r ecta 4 x + y - 1 = O es -4. Luego l a pendien te de Ja recta pedida es . La ecuación del ha z de rectas que pasa por el pun to de in ter sección de 2x -5y + 3 :-: O

y x -3y-7 = O es

2x -5.r + 3 + k( x-3 y - 7) = O. o bien , (2 + k )x -(5 + 3k ) y + (3-7k) = O. (1)

La pendien te de cada una de las recta s del haz es :

Por tan to, 5 +Jk = 4.de donde, k = -3.

:y la pend i ente de la recta pedida es f. 3

Sust i t u yendo est e valor de k = -3en ( 1 ) resulta la ecuación pedida. x -4 y -24 = O.


l. Hallar las ecuaciones de las recta s q ue sat isfacen las condiciones siguien tes:

a) Pasa por (0. 2). /11 = 3. b) Pasa por (0. -3). m = -2. e) Pasa por (0. 4), /11 = 1/3. d) Pasa por (0. -1 ),111 = O. e) Pa sa por (0. 3), m = -4/3.

Sol. y - 3x -2 = O. S ol. y + 2x + 3 = O. Sol. x -3y + 1 2 = O. Sol . y + 1 = O. Sol. 4x + 3y -9 = O.



a) p =6. (l.) =30º.

b) p = ,12, (1¡ = :-r:í 4. Sol.

Sol.

v'3x + y- 1 2 = O.

X + y -2 = Ü.

(') p = 3, (1) = 27t/3. Sol. X - ,! )y +6 = O. d) p = 4, W = 7n/4. e) p = 3, 1r1 = Oº. /) p = 4, (1/ = 3.1/2..

Sol. Sol.

X ·- y -4 ·\/l = Ü. x-3 = O.

y + 4 = o.

'·

2. H alla r la ecuación de las r ectas q ue pasan por los puntos : a) (2, -3) y (4, 2). Sol. 5x -2 y - 1 6 = O.

b) (-4. 1) y (3, -5). Sol. 6x + 7y + 17 = O. e) (7, 0) y (O, 4). Sol. 4x + 7y-28 = O. • d) (O, O) y (5, -3). Sol. 3x + 5y = O.

e) (5, -3) y (5, 2). Sol. x -5 = O. f) (-5, 2) y (3, 2). Sol. y -2 = O.

3. En el triángulo de vértices A( -5, 6), 8(-1, -4) y C(3, 2), hallar, a) las ecuaciones de sus med ianas,

Sol. 7x + 6y-1 = O, . x + 1 = O. x -6 y + 9 = O. b) el punto de inter sección de las mismas. Sol . (-1, 4/ 3).

4. . a) Hal lar las ecuaciones de las alturas del triángulo del Problema 3.

Sol. 2x + 3y -8 = O, 2x - y-2= O, 2x -5y + 4 =O.

b) Ha llar el punto de inter sección de d ichas al turas. Sol . ( :, )·

5. a) Hallar las ecuaciones de las mediat rices del triángu lo del Problema 3. Sol. 2x -5y + 1 1 = O, 2x -y + 6 """" O, 2x + 3y + 1 = O.

,.

b) Ha llar el pu nto de int ersección de d ichas mediatrices. Sol. (-19/8, 5/4). Este es el centro de Ja ci rcunferencia cir cu nscri ta al triángulo.

6. Demostrar que los puntos de in ter sección de las med ia nas, de las alturas y de las med iatriccs de los lados del triángu lo del Problema 3, están en l ínea r ecta. Sol. 2x -33y + 46 = O.

7. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el pu nto (2, 3) y cuya a bscisa en el origen es el doble que la ordenada en el origen. Sol . x + 2y -8 = O.

8. Hallar el valor del parametro K en la ecuación 2x + 3y + K = O de forma q ue d icha recta forme con los ejes coor denados un triángulo de área 27 un idades de su perficie. Sol. K = -+- 18.

9. Hallar el valor del parámetro K para q ue la recta de ecuación 2x + 3 Ky- 13 -O pas<: por el punto (-2, 4). Sol . K = l 7/ 12.

10. Hallar el valor de K para q ue la recta de ecuación 3x -Ky -8 = O forme un ángulo de 45' con la recta 2x + 5y- 17 = O. Sol. K = 7 -9/7.

11. Hallar un pu nto de la recta 3x + y + 4 = O que equ idista de los puntos (-5. 6) y (3, 2). Sol. (-2,2).

12. Hallar las ecuaciones de las rectas q ue pasan por el punto ( 1 , --6) y cu yo prod ucto de coordena<lasen el origen es 1. Sol. 9 x + y -3 = O. 4x + y + 2 = O.

13. Halla r la ecuación de la recta de abscisa en el origen -3/7 y que es perpend icular a la r ecta 3 x + 4y

-JO = O. Sol. 28x -21y + 12 = O.

14. H a lla r la ecuación de la perpend icu la r a la recta 2 x + 7y-3 = O en su pun to de intersección con

3x -2y + 8 = O. Sol. 7x-2y + 16 =O.

15. Traza r las rect as siguien tes pa ra los valores de !' y r1) q ue se i nd ica n, escribiendo sus ecuaciones.

·

Sol.



32 LA LINEA RECTA LA LIN EA R ECTA 33

Escribir las ecuaciones de las rectas siguien tes en forma normal. H allar p y 111.

X 3 6 3\l' fü o) x -3 y + 6 ,_.., O. SoI . vio -+'- \ 11 Ó

y- = O, p = - 10 5·-

"'= 108 26'.

2 3 10 10\/13

b) 2x + 3y-

10 = 0. Sol. - x + - ,

13 13 y--

13 = O, p = 13 <1J • = 56º 19'.

e) Jx + 4y-5 = O. 3 4

Sol. 5 x + 5 y- 1 = 0. p = l . <11 = 53'' 8'.

d) 5x + 1 2y = O. Sol. l5 x + T12I y = O, p = O, 111

=67eo23'.

e) X + )' - \12 0. Sol. ..!=. + Y _ -1 = O, p = l. 10 = n }4. ..;2 v12

17. Halla r la s ecuacion es y el pu n to de in tersección de las bisectrices de l os ángu los i nteriore s del t rián

g1..lo formada por las rectas 4x -3y -65 = O, 7x -24y + 55 = O y 3x + 4y -5 = O. Sol. 9x- 1 3y -90 = 0, 2x + l l y -20 = 0. 7x + y -70 = 0. Punto ( I0.0).

18. Hallar las ecuaciones y el pu nto de intersección de las bi sectrices de los ángulos interiores del trián gulo cuyos lado son la r ectas 7x + 6y- 1 1 = O. 9x -2y + 7 = O y 6x -1y -16 = O. Sol . x + IJy + 5 -=- O. 5x-3y-3 = O. 4x + y- 1 = O. Pu nto (6/1 7, -7/ 17).

19. Hallar las ecuaciones y el p u nto de inter sección de las bi sectrices de los ángulos i nteriore s del triángulo cuyos lados son las rectas y = O. 3x -4 y =O y 4x + 3y -50 = O. Sol . x -3y = O, 2x -¡ 4 y-25 = O, 7x- y-50 = O. Pun to (15/2, 5/2).

20. Ha lla r el pu nto de i ntersección de las bisect rices de los ángulos i ntPriores del t riángulo de vértices

(-l , 3), (3, 6) y (3 1/ 5.0). Sol . (1 7¡7, 24/7).

21 . Hallar las coordenadas del cent ro y el rad io de la ci rcu nferencia in scri ta en el triángulo cuyos ladosson las rectas l 5x -8y + 25 = O, 3x -4 y- 1Q = O y 5x + l 2y -30 = O. Sol. (4/7. l /4). Radio = 1 3(7.

22. Ha llar el va lor de K de forma que la d istancia de la recta y + 5 = K( x-3) al or igen sea 3. Sol. K = -8/ 1 5.

23. Hallar el l ugar geométrico de los p u ntos que d istan de la r ecta 5x + l2y -20 = O tres veces más q ue de la recta 4 x -3 y + 12 = O. Sol . 181 x-57 y + 368 = O, 131 x-177 y + 568 = O.

24. Ha l lar el l uga r geomét rico de los pu ntos cuyo cuad rado de su d ista ncia a l (3. -2) sea igua l a su d is

tancia a la r ecta 5x- l2 y - 1 3 = O. Sol . 13x2 + l 3y2

-73x ¡. 40y + 156 = O. l3x2 + l 3y2-83x + 64y + 182 = O.

25. Hallar dos pu n tos de la recta 5x-12y + 15 = O cuya d ista ncia a 3x +4 y-12 = O sea 3.

Sol . 33, J445 ) ' (--12

' 2185 ). ( 7- 7

26. Ha lla r las ecuaciones de las pa ra lelas a la recta 8x-15y ..¡ J4 -O que distan 3 un idades del punto

(-2, 3). S ol . 8.\·- 15y + 1 12 - O, 8x- 15y + 10 "'"' O.

27. Hallar el lugar geométrico de los pu ntos que eq uid istan de la recta 3x -4 y -2 = O y del punto

(-- 1, 2). So l . 16 x 1 +24 xy + 9y2 +62x -l l6y + 121 = O.



=

34 LA LI N EA RECTA

28. Hallar el área y la longitud de la altura trazada desde A al lado BC de los triángulos cuyos vértices son : a) A( -3,3). 8( 5. 5). C(2, -4). Sol. Att ura =

1 1 vi0 área = 33 u nidades de superficie.

--, 5

b) A(5, 6), B( l , -4). C(-4.0). Sol . 66v41

Altura = ,

área = 33 unidades de superficie.

e) A(- 1, 4), B(I , -4), C(5 , 4). Sol. -

Altura =

-- 4 1

12vsárea = 24 unidades de superficie.

-- 5 '

d) A(O, 4), B(5, 1), C( 1 , -3). Sol . Altura = 4v2. área = 16 unidades de superficie.

19. Hallar el valor de K en las ecuaciones de las rectas siguientes de forma q ue se verifique la condición que se indica. a) (2 + K )x -(3 -K )y + 4K + 14 = O, pase por el punto (2. 3). Sol. K -1. b) Kx + (3 -K )y + 7 = O, la pendiente de la r ecta sea 7. Sol. K = 7/2. e) 5x -1 2 y + 3 + K .,; O, la distancia de esta r ecta al punto ( -3, 2) sea, en valor absoluto, igual a 4. Sol. K = -16. K = 88.

30. Hallar la ecuación de la r ecta que pa sa por el punto de inter sección de las r ectas 3x -5 y +9 = O y 4 x + ?y -28 = O y cumple la condición siguiente : a) Pasa por el punto (-3, -5). Sol. 13x -8y- 1 = O. b) Pasa por el punto (4, 2). Sol. 38x + 87y -326 = O. e) Es parale la a la recta 2x + 3y-5 = O. Sol . 82x + 123y -514 = O. d) Es perpendicular a la r ecta 4x +5y -20 = O. Sol. 205x -164y + 95 = O. e) Iguales coor denadas en el orígen. Sol. 41x + 41y-197 = O. 120x-77y=O.

31. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto de inter sección de las rectas x -3y + 1 = O y 2x + 5y-9=o y cuya distancia al origen es (a) 2, (b) v5. Sol. (a) x -2 = 0. 3x +4 y- 10 = 0: (b) 2x +y -5 = 0.

(



+ + + + +

2

. . .

: CAPITU LO 4

La circunferencia

UNA CIR CU N FERENCI A, analíticamente, es una ecuación de segund o grado con dos varia · bles. Ahora bien, no toda ecuación de este ti po representa siempr e una cir cunf er encia ; soloen determinadas cond iciones es cierto.

U na circ u nferencia queda com pletamente determinada si se conocen su centro y su radio.

LA ECU ACION DE LA CI R CU N FER ENCI A de cen tro (h, k) y radio r e s

(x -h)2 .+ (;i-k )2 = ;2. ' Si el centro es el or igen de coordenadas, la ecuación toma la forma xi + y2 = rt. Toda circunf erencia se puede expresar por medio de una ecuación del tipo

x 2 + y2 + Dx + Ey + F =O.

Si escribimos esta ecuación en la forma ·

x 2 + Dx + y'+ E y + F = O

y sumamos y restamos los término s q ue se ind ican para completar cuadrados, se tiene, D2 E2 D2 E'

xi Dx 4 y2 E y 4=4 + 4 -F

X + D )2 + ( y +2 E )' D2 + E2 -4F

o bien ( l =-- -4- .

El cen.tro es el punto (- D ,-TE ) y el radio r = vD2 + E'-4F .

Si D' + E2 -4F > O, la cir cunfer encia es rea l. Si D'+ E 2 -4F < O, la circunferencia es imaginaria.

Si D1 + E2 -4F = O, el radio es cero y la ecuación representa al punto (- ,- ).

PROBLEMAS RESUELTOS

Hallar la ecuación de la circunferencia de centro (--2, 3) y r adio 4.

• (x + 2)1+ (y -3)2 = 16, o bien, x' + yt + 4 x- 6y =J. /,. '

Hallar las coor denadas del centr o y el radio de la circunfer encia x2

+ y2-3x +5y- 14= O a) sumand o y restando los términos adecuados para completar cuad rados, b) aplicando la fórmula

general. • - · a) . xi- 3x + 9 + y2 + 5y + 25 = 14 + 9 + 25 .o sea, ( -,23 )t +(

Y + T5 )'=

90 · 4 4 4 4 x

Luego el cntro es el punto T3 '- 5 )y el radio r = 3v

.'IO

( 2 ,. D 3 E 5 3v'i0

h =-2= 2' k =-2 = -T' y r =!VD2 +P-4F = lv9 + 25 + 56 = 2-.

35



36 LA CIRCUN FE REN CIA

3. Halla r el valor de k para q ue la ecuación x2 + y2-8x 1 IOy +- k """ O r epr esente una ci rcunferenc ia

de rad io 7.

Como r = ,11)2+P-4F. r esu lta 7 v64 + 100-41. Ekvando al cuad rado y resol vien do, k = -8. ci

4. Ha lla r la ecuación de la cir cunfe rencia d e cent ro ( 5, -2) y q ue pase por el punto (-1. 5). ' El radio de la ci rcunfer encia es r ,1(5 + 1 )2 + C-2 -5)2 -= v36 +49 = ,185. Luego (x -5)2 + (y + )2 := 85, o bien , x2 t y2

- IOx + 4 y = 56.

5. H alla r la ecuación ele la cir cu nferenc ia de man era q ue u no de su s d iámetros sea el segmento que une los puntos (5.-1) y (-3. 7).

Las coordenadas del cent ro son h --. 5-3 --- = 1, -1 + 7 k --------------------- 3 2 2 .

El radio es r =- ,1(5- 1)2 +(-1 -3)2

Luego ( x - 1 )2 t (y- 3)2 32. o bien . x2 ¡ y 2 2x - 6y 22.

6. Hallar la ecuación de la circunferencia q ue pase por el punto (0, 0), tenga de rad io r ·-. 13 y la a bscisa de u cent ro <;ca -12.

Como 13 ci rcu nferencia pasa por el or igen.

¡,2 + k 2 = r 2, o 144 i k 2 1 69

Resolviend o: k2 - 169-144 - 25. k - •-5.

Luego, (x + 12)2 + (y -5)2 = 169 y ( x -1 12)2 + ( y + 5)2 - 169.

Desarrollando, x2 +y2 + 24x - I Oy O y x2 +y2 + 2 4 x + 1Oy = O.

1. Hallar la ecuaci ón de la circunfcn:ncia q ue pasa por los puntos (5, 3), (6, 2) y (3, -1).

Cada u na de las ex pr esiones

(.\" _ /¡)2 + (y _ k )Z = r2

o bien , x2 -i y 2 + Dx t Ey t F = O º'

cont iene tres constantes indetem1i na<la s con lo q ue scrún nece sarias tr es condicione s para determina rla s. Como la ci rcunferen cia debe pa sar por los 1res pu n1os dados. 'e pueden hallar los coeficien tes sustituyendo las coordenadas de los puntos en l u gar

de x e y resolviendo. a con t in uación. la t re5 ecuaciones l i nea les en D, E y F . Estas ecuaciones son

25 + 9 + 5 D , J E , F O. 36 + 4 -L 6D r 2E • F O.

9 + 1 +3D- E + F = O.

Resolviendo el sistema se obtiene, D - -8. E =-- -2 y F = 1 2. Sust it uyendo estos valores de D, E y F , resul ta la ecuación de la circunferencia x2 + y2

-8x -2y

r ·12 - O.



.$ ;a: Ai!0 1Nf

LA CIRCUNFERENCI A 37

8. Hallar la ecuación de la ci rcun.ferencia q ue pasa por Jos puntos (2, 3) y (-1, I) y cuyo cen t ro está sit uado en la recta x -3y - 11 = 0.

Sean (h. k) las coordenadas del centro de la ci rcunferencia. Como (h. k) debe eq uidista r de los puntos (2. 3) y (-1 . 1 ).

\ (11-2)2 +(k -3)2 = \! ( /, + )2 ..L (k- 1)2.

Elevando a l cuad rado y simpl ifica ndo. 6'1 + 4k - 1 1:

Como el centro d ebe esta r so bre l a recta x -3y- 1 1 = Ose t iene. h -3k =- 1 1.

Des peja ndo l os va lores de h y k de estas ecuacione!> se

ded uce. h- 7 . k =- 5

. 2 2

Por t a n to, r = V ( ;-1-;y 1 (- -.1r = v'fo.

La ecuac1.o.n ped.1da es ( x- 7 )2 + ( y + 2 5 )2 = 2

130-. o b.1en. x2 4 f- y2 -7x + 5y- 14 = O.

9. Hallar la ecuación de la cin:u nferencia inscri ta en e l triángulo cuyos lados son la s rectas L 1 : 2.\'..-3y + 21 - O.

L 2 : 3x -2y- 6 = O. L3 : 2x + 3y + 9 = O.

Como el cent ro de la circu nferencia es el punto de in tersección de las bi sectrices de los ángu los interiores del triángulo será necesa rio ha lla r. previamen te. las ecuaciones de d ichas bi

_ 7.h=3k _! 21 . _ 311 -2k -6

. bien, h _ k +

=O.

----

sectrices. Sea n (h. k) la!> coordenadas del cent ro. Pa r a determ ina r la bisectriz ( 1 } ( ver Fig ura) :

X 0 3

-,, , J \/ 13 Pa ra la biscct riL (2) :

_ 2!!. -+: Jk ·+.2_ =-

2' -Jk +

21, o bien, 6k- 1 2 = O.

_ ,113 -v lJ 1 3 Luego. k = 2. 11 - -1.y ,. _ 2<-!1_+ 21 1-

9=- _,

v'I J ,11 3 v'T3.

Sustituyendo en ( x -h) + (y-k ) 2 = r2 ,(x 1 1 )2 + (y -2)2 = 13. o sea. x 2 .¡ y2 + 2x -4y=8. 1

IO. Hallar la ecuación de la ci rcunferencia ci rcun!>crita al t riá ngu lo cuyos lados son las r ectas x + y 8,

2x + y "- 14 . 3x + y = 22.

R esolv iendo esta s ecuaciones tomadas dos a dos, se obtienen las coor denadas de los vér t ices (6, 2), (7, 1) y (8. -2) .

Sustit uyendo estas coordenadas en la ecuación genera l de la ci rcu nfe r encia, x 2 + y 2 + Dx + Ey f- F = O. r esu lta el istemasiguiente: 60 + 2E + F = -40,

70 + E -+ F - -50, 8D-2E -1 F -68.



cuya ol ución proporciona l os va lores D =-6,E =- 4 y F = -12. Por sustitución se ded uce la ecuación ped ida, xª + y• -6x

+ 4y-12 = o.

Í



. 2 41 V( 2 )2 ( 41 )-2 'º _

-- ---

2

=

38 LA CIRCUNFERENCI A

11. Halla r la ecuación de la circu nferencia de centro el punto (-4,2) y q ue sea tangente a la recta

3x + 4 y - 16 = O.

El radio se puede determinar calculando la d istancia del punto (-4,2) a la recta.

r = 1 3(-4) +;(2) -1 6 1 = 1- 2 - 1 =

1 -41o sea 4.

La ecuación ped ida es (x + 4)2 +( y -2)2 = 16, o x2 +y2 + 8x -4 y +4 = O.

.- 12. Hallar la ecuación de la circunferencia q ue pase por el y punto (-2, 1 ) y sea tangente a la recta 3x -2y -6 = O en el punto (4, 3).

Como la circunferencia debe pasar por los dos puntos (-2, 1 ) y (4, 3), su centro estará situado sobre la mediatri z del segmen to que determi nan. Por otra parte, también debe pertenecer a la perpendicular a la recta 3x -2y -6 = O

en el pun to (4, 3). La ecuación de la mediatriz del segmento es 3x + y

-5 = 0. X La ecuación de la perpendicular a la recta 3x -2y

-6 = O en el punto (4, 3) es 2x +3y -17 = O.

R esolviendo el sistema formado por ambas ecuacione s, 2x + 3y-17 = O y 3x + y-5 = O

se obtiene, X =-7' y = -7·Por tanto, r = 4 + 7 + 3--7- = --;¡- vi3.

La ecuación pedida es ( x + ) + (y-- l )1

11 , o bien, 7 x1 + 7y2 + 4x -82y +55 = O.

13. Hallar el lugar geométríco de los vértices del ángulo recto de los triángulos cuyas hipotenusas sonel segmen to q ue determinan los puntos (O, b) y (a, b).

Sea (x. y ) el vértice del ángulo recto. Entonces, como los dos catetos son perpendiculares, la pend ien te de uno de ellos debe ser el recíproco con signo contrario de la pendiente del otro, es decir,

y -b -b

x -a

x -a y -b .

Simplificando, ( y - b)2

=- x( x -a),o sea, x2

+ y 2

-ax-2by

+b2 = O (una circunferencia).

14. Hallar la longitud de la tangente desde el punto P1(x1, y1) a la y

circunfere ncia ( x-h)2 + ( y -k)2 = ,2.

o bien ¡2 = (P1C)2 -,2,

/2 = (X¡ _ /¡)2 + (y¡ _ k )2 _ rt,

de donde / = ../(x 1 -h)2 + (y 1-k)2 _ ,2.

En consecuencia, la longitud de la tangente trazada desdeun pu nto cualquiera exterior a una circunfer encia es igual a la ra íz cuad rada del valor que se obtiene al sustituir las coordena das del punto en la ecuación de la misma. o X

\ l



, "


Definición. Se llama eje radical de dos ci rcunferencias al lugar geométrico de los pu ntos desde los cuales las tangentes a ellas son de igual longit ud .

Deducir la ecuación del eje radical de las circunferencias, x

2 + y2 + d 1 x + e1 y +/1 = O

y x2 + y 2 + d 2x + e2y +/2 = O.

Sea P'( x ',y') un punto genérico cualq uiera del eje radica l pedid o.

Tendr emos 1, = Vx'Z +y' 2 + d, x · + e.y' +/1 y 12 = vx ' 2 +y'2 + dzx' + e2y' +/2·

Como 11 = /2, v' x ' 2-+y2 +d 1 x ' + e1 y ; +f 1 = v72 +y'2 + d 2 x' + e2 y' +/2•

El evando al cuad r ado, si m pl ificando y suprimiendo las pri mas, (d 1 -d 2 )x + (e1 -e2)y + j 1-/ 2

= O, que es la ecuación de una recta.

16. Hallar la ecuación de la famil ia de circunfer encias que pasan por los puntos de inter sección de dos dadas.

Sean x2 +y2 + d 1 x + e1 y + /1 = O y x2 + y 2 + d 2 x + e2 y +/2 = O, dos circun fer encias se cantes.

La ecuación x2 + y 2 + d 1 x + e1 y +/1 + K( x 2 + y2 + d 2 x + e2 y +/2) = O r e presenta a dichafamilia , ya q ue las coorden adas de los puntos de inter sección satisfacen a las ecuaciones de dichascir cunferencias.

Para todos los va lores de K , excepto para K = -1,se obtiene una cir cunferencia. Para K = -1, la ecuación se reduce a una recta, que es la cuerda común de dichas circunferencias.

Hallar las ecuaciones de las circu nfer encias que pasen por los puntos A( 1, 2), 8(3, 4) y sean tangent es a la r ecta 3x + y -3 = O.

Para hallar las coordenada s del centro, C(h, k), setienen en cuenta las igualdades C,A = C B y CA = CN, esdecir ,

(h-1)2 + (k -2)2 = (h -3)2 + ( k -4)2

y ( h -1)2 + (k -2)2 = ( 3h + -3 )2 v' I O X

Desarr ollando y si mplificando se o btiene,

h + k = S h' + 9k' -6hk -2/t -34k + 41 = o.

Resolviend o este sistema de ecuaciones resu lta n h = 4, k = 1 y h = 3/2, k = 7/2.

Dc r = Jh + k -3 se ded uce r = 12 + 1 -3 = ,1¡() y r = 9/2 + 7/2-3 = v2'10 _.

v io . v io v io

Teniendo en cuenta (x-'1)2 +(y -k)2 = r 2, tendremos 3 )2 ( 7 )2 10

(x -4)2 + (y- 1)2= 10 y

( x-2 + y -2 =4· Desar rollando estas ecuaciones, resulta x2 +y2 -8x -2y + 7 = O y x2 +y2 -3x -7y

+ 12 = 0.

. @t ·.. Hallar la ecuación de la circunfer encia de radio 5 que sea tangente a la r ecta 3x + 4 y-16 = O en

el punto (4, 1).



r

6

= _

=---- +

_

40 LA CIRCU NFER ENCIA

Sean (h, k ) las coordenadas del centro.

Entonces 3h + 4k -16

5 = ± 5, o

. bien , 3h +4k-16 = ±25.

Por ot ra parte, (h -4)2 + (k - 1)2 = 25, es decir, h2 + k 2-8h -2k = 8.

Resolviendo este sistema de ecuaciones se obtienen las dos soluciones (7, 5) y (1, -3).

Las ecuaciones de las dos circunferencias resoecti vas son (x -7)2 +( y -5)2 = 25, y (x-1)2

+ (y +3)2 = 25.

-· 19. Hallar las ecuaciones de las dos circunferencias tan gentes a las rectas 3x -4y + 1 = O y 4x + 3y-7 = O y q ue pasan por el punto (2, 3).

' Sea (h,k) las coordenadas del centro. Entonces,

3h -4k + 1 4h + 3k -7 ?h _ k _ = O. (a) -5 =---5 o

3h-4k + 1 Por otra parte, como r

5

(h -2)2 + (k -3)2 = ( 3h- + ,

• C(2,8)

r--/

.'<:<::J

,.ti.-\ '?i-

o bien, 16112 + 9k 2- 106h- 142k + 24hk + 324 = O. (h)

Resolviendo el sistema de ecuaciones (a) y (b) se obtienen , para las coordenadas de los dos centros, Jos pun tos (2, 8) y (6/5, 12/5).

C ( , )

X

3h -4k + 1 Para la circunferencia de centro (2, 8), r

-5

6 -32 1 _

5 = 5 y la ecuación de

Ja misma es (x - 2)2 +(y - 8)2 = 25.

Para la de centro (S 6

' S 12)

,r=1,y la ecuación de la circunfer enciaes

(

x --6

S-)2

+( y-

12)2=l.

- 20. Hallar la ecuación de la circunferencia tangente a las rectas x + y + 4 = O y 7x - y + 4 = O y q ue tenga su centro en la recta 4x + 3y -2 = O.

•' Sean (h,k) las coordenadas del centro. Entonces,

-h + k +4 = ..¡..7h -k + 4_

o bien,

v2 5v2

h -3k -8 = o y 3h + k +6 = o, que son las ecuaciones de las bisectrices de los ángulos formados

por las dos rectas dadas. Como el cen tro ha de pert enecer a la . recta 4x + 3y -2 =O se verificará 4h +3k -2= O. De esta ecuación , y de h -3k -8 = O, se obtienen h = 2 y k = -2.

Por tanto, I'. = 2-2 + 4 = 2 v'2, co.n lo que la ecuación de la circunferencia es (x-2)1

+<Y + 2)2 = 8. v2

Rsolviendo el sistema formado por las ecuaciones 4h + 3k -2= O y 3h + k + 6 = O re sulta, h = -4,k = 6 y r =3,/2.

Por tanto, la ecuación de la circunferencia es (x + 4)2 +( y -6)2 = 18.

21. Hallar el lugar geométrico de los puntos (x',y') cuya suma de los cuadrados de sus distancias a las rectas 5x + J 2y -4= O y 12x-5y + 1O=O sea igual a 5.



: -

\ -v --( : x+======

+ = =---.--= .

4

l

LA CI RCU N FERENC IA 41

La distancia del punto ( x', y' ) a la recta 5x + l 2 y-4 -O es 5 x'1

y·4 , y a la recta

12 x -5 y + to = O es 12x '-5 y' + 10 5x' + 1 2y'-4 )2 ( 1 2x'-5y' + 10 )2 --- _--'- --

1 3 Luel-!o. ( 13 • -

-13 = 5.

Simplificando y su primiendo las primas, se obtiene 169x2 ..L 169y2 +200x- t 96y = 729, una circunferencia.

Hallar el l ugar geomét rico de los puntos (x, y) cuya suma de los cuad rados de sus d ista ncias a tos punto s fijos (2, 3) y (-1. -2) sea igual a 34.

(x -2)2 +( y -3)2 +( x + 1)2 +( y +2)2 = 34. Simplificando, se obt iene, x 2 +y2- x- y = 8,

una cir cu nferencia.

Ha llar el l uga r geomét rico de los puntos (x, y) cuya relación de distancias a los pu n tos fijos (-1,3)

y (3, -2) sea igua l a a / b. 1)2 + ( y 3)2 a = -b-. El evando al cuad rado y simpl ificando, se obtiene, (b2

-a2 )x 2

v(x -3)2 + ( y + 2)2

+ (b2 -a2 )y 2 -+ 2(h2 1 3a2)x-2( Jb% + 2a2 )y = 13a2-10 b2

, u na ci rcu nferencia.

24. Hallar el lugar geométrico de los pu n tos (x, y) cuyo cuad rado de la d ista ncia al punto fijo (-5, 2) sea igua l a su distancia a la recta 5x + l 2y -26 =O.

(x + 5)2 +(y -2)2 j_ (5 x + \2;-26 y. Desarrollando y simplificando,

l 3xi + l 3y2 + t 25 x -64y ¡ 403 = O y 13x2 + l 3y2 + l 35x -40y + 351 = O, circunferencias .

Hallar la ecuación de la circu nferencia concéntr ica a la circunferenci11 x 2 + y 2-4x +6y-17 = O

que sea tangente a la recta 3x -4 y +7 = O.

El centro de l a ci r cunfe r encia dada es (2, -3). El r ad io de la circu nfe r encia ped ida es la distancia

<\\. • 6 1 12 + 7 5 , del punto (2, -3) a la r ecta 3x -4 y 7 O, es decir, r . )

Lu ego l a circunferencia ped ida tiene de ecuación (x -2)2 ·I (y + 3)2 = 25.

Hallar . las ecuaciones de las circunferencias de radio 15 que sean tangentes a la circunferencia x 2 + y 2 = 100 en el punto (6, -8).

El centro de estas circunfe r encias debe estar sobre la recta q ue un e l os punto s (O, O) y (6, -8),

cuya ..

ecuac1on es y =-4f x.

Llamando (h. k) a las coordenadas del centro, k =-yh y (h-6)2 !- (k + 8)2 = 225.

R esolviendo el sistema for mado por eslas dos ecuaciones se obtienen Jos valores de h y k (-3, 4)

y (15, -20). Las ecuaciones de las dos circunferencias son (x + 3)2 +(y -4)2 = 225 y

(x-15)2 +(y + 20)2 = 225.



-v-13

r = 4'


l. Hallar la ecuación de la circunferencia

a) de centro el punto (3, -1) y radio 5. Sol. x2 + y 2-6x + 2y-15 = 0:-

b) de cen tro el punto (O, 5) y radio 5. Sol. x2 +y2- IOy = O.

e) de centro el punto (-4,2) y diámetro 8. Sol. x2 +y2 + 8x -4y + 4 = O.

d) de centro el punto (4, -1)y que pase por (-1, 3). Sol. x 2 +y2

-8x + 2y -24= O. e) de diámetro el segmento que une los puntos (-3, 5) y (7, -3). • Sol. x2 + y 1

-4x -2y -36 = O.

f ) 1 de centro el punto (-4,3) y q ue sea tangente al eje y . Sol. x2 + y2 + 8x -6y + 9 = O.

g) de centro el punto (3,-4)y que pase por el origen. Sol. x2 + y 2

-6x+ 8y = O. h) de centro el origen y q ue pase por el punto (6, 0).

Sol. xª + y 2-36 =O.

i) que sea tangente a los dos ejes de coordenadas de radio r = 8 y cuyo centro esté en el primer 1 cuadrante. Sol. x2 +y2

- l 6x-l6y + 64 = O. }) q ue pase por el origen, de radio r = 10 y cuya abscisa de su centro sea -6.

Sol. x2 +y 2 + 12x-16y = O, xª + y 2 + 12x + 16y = O. '

2. Hallar el centro y el radio de las circunferencias siguientes. Determinar si cada una de ellas es real, '-"'

imaginaria o se reduce a un punto. Aplicar la fórmula y comprobarla por suma y resta de los tér mi nos adecuados para completar cuadrados. a) x2 + y -8x + lOy -12 = O. Sol. (4, -5), r = V53, real:

b) 3x1+ 3y2 -4x + 2y + 6 =O. Sol. e3-.- _ 3!_ )• r =

l - imaginaria. 3 '

e) x' +y2-8x -1y = O. Sol. (4, ). l

r = 2 VTTI. real.

d) xi + y 2 = O. Sol. (O, O), r = O, un pun to.

e) 2x' + 2y2 -x = O. Sol. (!,o), 1real.

3. Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos

a) (4, 5), (3, -2), y (1, -4). Sol. x2 + y2 + 1x -Sy -44 = O.

b) (8, -2), (6, 2), y (3, -7). Sol. xi +y2 -6x + 4y -12 = O.

e) (l , l), (l, 3), y (9, 2). Sol. 8x2 +8y -19x -32y +95 = O.

d) (-4,-3), (-1, -7), y (O, O). Sol . X2 + y + X + 1y = Ü.

e) (1, 2), (3, 1), y (-3, -1). Sol. x2 + y2 - X + 3y -JO = 0.

4. Hallar la ecuación de

.l

-a circunferencia circunscrita al triángulo de lados

a) x - y +2 = O, 2x + 3y-1 O, y 4x +y -17 = O." Sol. 5x2 + 5y2 -32x -8y -34 = O.

b) X + 2y-5 = Ü, 2x + y -7 = 0, y X - y + ( =Ü.

Sol. 3x2 + 3y2-13x-!l y + 20 = O.



LA CIR CUNFERENCIA 42

X

LA CI RCU NFER ENCI A 43

e) 3x + 2y-13 = O, x + 2y -3 = O, y x + y -5 = O. Sol. x2 +y2

-l7x -?y + 52 = O. d) 2x + y -8 = O. x - y- 1 = O, y x -1y- 19 = O.

Sol. 3x2

+ 3y2 -

8x + 8y -31-=

O. e) 2x - y +7 = O, 3x + 5y -9 = O, y x -1y- 1 3 = O. Sol . l 69x2 + l 69y2

-8x + 498y -3707 = O.

5. Hallar la ecuación de la circunferencia inscrita al tr iángulo de lados

a) 4x -3y -65 = O, 7x -24y + 55 = O, y 3x + 4y-5= O. Sol . x2 + y2

-20x + 75 = O. b) 7x +6y-11 = 0, 9x -2y + 7 = 0, y 6x -7y-16 = 0.

Sol. 85x2 + 85y2-6 0x + ? Oy-96 = O.

e) y = O, 3x -4y = O, y 4 x + 3y-50 = O. Sol. 4x2 + 4y2

-60x -20y + 225 = O. d ) 1 5x -8y + 25 = O, 3x -4y-10 = O, y 5x + 12y -30 = O.

Sol. 784x2 + 784y2-896x -392y-2399 = O.

e) i nscr ita a l t riángu l o de vértices (-1, 3), (3. 6) y ( 3• o).

Sol. 7x2 + 7y2-34x -48y + 103 = O.

6. Hallar la ecuación de la circunferencia de centro (-2, 3) que sea tangente a la recta 20x -21y -42 = O. Sol. x2 + y2 + 4x -6y-12 = O.

7. Hallar la ecuación de la circunferencia de centro el origen que sea tangente a la recta 8x -l5y-12=0. Sol. 289.r + 289y2 = 144.

8. Hallar la ecuación de la cir cunferencia de centro (-1.-3) que sea tangente a la r ecta q ue une los

puntos (-2,4) y (2, 1). Sol. x2

+ y2

+ 2x + 6y-15 = O.

'/- 9. Hallar la ecuación de la circunferencia cuyo centr o esté en el eje x y que pase por los puntos (-2,3) )- y (4, 5). Sol. 3x2 + 3y2

- 14x -67 = O.

10.Hallar la ecuación de la ci r cu nfer encia q ue pasa por los puntos (1,-4)y (5, 2) y que tiene su centro ) en la r ecta x -2y + 9 = O. Sol. x2 + y 2 + 6x -6y -47 = O.

11. Hallar la ecuación de l a cir cunf erencia que pa sa por los punt os (-3, 2) y (4, 1) y sea tangen te al eje x. Sol. x 2 + y2 -2x - 10 y + l = 0. x2 + y2 -42x -290y + 44 1 = Ü.

f 12. Hallar la ecuación de la cir cu n f erencia q ue pasa por los puntos (2, 3) y (3, 6) y sea tangen te a la\

r ecta 2x + y -2 = O. Sol. x 2 +y2-26x -2y + 45 = O, x2 + y 2

-2x-1O y + 21 = O. )

13. Hallar la ecuación de la cir cunf er encia q ue pasa por el punto (1 1, 2) y sea tangen te a la recta 2x + 3y- 18 = O en el punto (3, 4). Sol. 5x2 + 5y2

-98x-142y + 737 = O.

14. Hallar la ecuación de la circun ferencia de r adio 10 que sea tangente a la rect a 3x -4y-13 = O en el punto (7, 2). Sol. x1+ y1-26x + 12y + 105 = 0.x2 + y2 -2x -20y + 1 = 0.

15. Hallar la ecuación de la circunferencia tangente a las rectas x -2y + 4 = O y 2x -y-8 = O y q ue pase por el punto (4. -1).

· Sol . x1+ y2-30x + 6y + 109 = O, x2 + y2

-10x + 46y + 309 = O.

16. Hallar la ecuación de la cir cu nfer encia tangente a las r ectas x-3y + 9 = O y Jx + y -3 = O

y que tenga su cen tr o en la r ecta 7x + 12y-32 = O. Sol . x2 + y'+ 8x- IOy + 31 = O, 96J x2 + 96Jy2 + 248x -5210y + 720 1 = O.



L

17. Hallar la ecuación de la ci rcunfe rencia defi nida por el l uga r geomét rico de los vértices del ángulo recto de los t riá n gu los c.1ya hi poten usa es el segmen t o q ue u ne l os puntos (-4. 1) y (3, 2). Sol . x2 + y 2 i x -3y - 1O O.

18. Hallar l a ecuación de la circu nfer encia tangente a las rectas 4x ·t 3y-50 O y 3x -4y -25 = O y cuyo radio sea igua l a 5. Sol . x2

+y 2 -20x + I Oy + 100 = O. x2 f- y2

-36x -2y + 300 = O. x 2 + y 2

-24x- l 8y + 200 - O, x2 + y2

-8x -6y = O.

19. Hal lar el l uga r geomét rico de los pu n tos cuya suma de cuad rados de distancias a las rectas perpen d icula r es 2x + 3y -6 =' O y 3x -2 y + 8 = O sea igua l a 10. Si es u na circunferencia . ha llar su centro y su rad io. Sol. 13x2 + l 3y 2 ·l- 24x -68y -30 ..·O. Cent ro - 1 2 . 34 ),r - \ 11.0.

( 1313

20. Demostrar que el l ugar geomét rico de los pu n tos cuya suma de cuadrados de d istancias a las rectas per pend icula res ·a1 x + b 1 y + c1 -O y htx -a 1 y + et = O es u na constan te K 2

• es una ci rcunf erencia .

21. Hallar el J ugar geométrico de los puntos cuya su ma de cuad rados de distancias a los pun tos fijos (-2, -5) y (3.4) sea igual a 70. Si es u na circunfe r encia, ha llar su cent ro y su r ad io. Sol. x2 + y 2

- x + y -8 = O. Cen tro (.- ), r =!v'34.

22. . Ha llar el l u gar geométrico de los pu n tos cuya relación de distancias a los pu n tos fijos (2. -1 ) y (-3, 4) sea igua l a 2/3. Si es u na circunferencia, determi nar su cent ro y su radio.

Sol. x2 + y2-1 2x + I Oy-1 1 = O. Cent ro (6, -5), r = 6v2.

23. Demostrar q ue el l uga r geomét rico de los pun tos cuya relación de d istancias a los pun tos fijos ( a, h)

y (e, d) es igual a K (constante) es una circunferenc ia. '

24. . Hallar la ecuación del lugar geométrico de los pu n tos cuyo cuad r ado de la d istancia al puntofijo (-2, -5) sea el tri ple de la corr es pond iente a la r ecta 8x + l 5 y -34 = O. Sol . 17x2 + 1 7y2 + 44x + 1 25y + 595 = O, 1 7x2 + 1 7y2 + 92x +215y + 39 1 = O.

25. Hallar la ecuación de la circunferencia ta ngen te a la recta 3x -4 y + 17 = O q ue sea concéntrica con la circunfer encia x2 +y 2 -4x + 6y-11 =O. Sol . x2 + y2 -4 x + 6y-36 = O.

26. Hallar la ecuación de la ci r cunferencia de rad io 10 q ue sea tangente a la ci rcunferencia xz + yz = 25en el punto (3, 4). Sol. x2 + y 2

- 1 8x -24y + 125 = 0, x2 + y2 + 6x + 8y -75 = 0.

27. Hal lar la ecuación del luga r geomét rico del pun to med io de un segmento de 30 ce ntí met ros de longitud cuyos extremos se apoyan constantemente en Los ejes de coordenadas . Sol. U na circunferencia. x2 + y z = 225.

28. Hallar la máxima y m ín ima dista ncias del pu nto (1O, 7) a la circunferencia x2 + y2-4 x -2y

-20 = O. Sol. 15 y S.

29. Hallar la longi t ud de la tangen te t razada desde el pu nto (7, 8) a la cir cu n f erencia x2 + y 2 = 9. Sol. 2\/26.

30. Hallar la longit ud de la tangente t razada desde el pu n to (6, 4) a la circunferencia x 2 + y2 + 4x + 6y - 19 = O. Sol . 9.

31. Hallar el valor de K pa ra el cual Ja lon git ud de la ta ngente trazada desde el pun to (5, 4) a la circun-ferencia x2 + y 2 + 2Ky = O sea i gua l a a), 1 . h), O. Sol . a) K =- -5, h ) K = -5, 125.



44 LA CIRCUNFERENCIA

xcw"'V ,..q


Ha l lar las ecuaciones de loi> t res ejes radica les de las ci rcu nfer en1:ia:. sigu iente . y demostrar q ue se cortan en u n pu nto.

x2 + y2 + 3x -2y -4 = O. x2 + y 2-2x- y -6 = O. y x2 + y2

- 1 = O. Sol. 5 x - y + 2 = O. 3x -2y-3 = O, 2x ·I y + 5 - O. Pu n t o de i nt er sección (-1. -3). Este punto se denomina cent ro rad ica l de las ci rcu nfe rencias.

Hallar las ecuaciones de los tres ejes rad icales de las circu nferencias siguien tes y hallar el centro ra dical ( punto de inter sección de los ejes).

x2 + y2 + x = O, x 2 + y2 -t 4 y + 7 -= O. y 2x 2 i" 2y2 + 5 x + 3y + 9 = O. Sol . x -4 y -7 = 0. .r + y 1 3 = 0. x - y - 1 O. Cent ro (-1 .-2).

Halla r las ecuaciones de los t res ejes radica les y el cen tro rad ical de las ci r cunferencias sigu ientes. x2 + y2 + l2x t- 1 1 =O. x2 + y2

-4 x-21 O. y x2 + y2-4 r + l6y + 43 = O.

Sol. x + 2 =- O. .\·- y - 2 O. y l-- 4 = O. Ccn 1ro (-2. -4).

Halla r la ecuación de la circunferencia q ue pa sa por el p u n t o (-2. 2) y por los de i n ter sección de las ci rcu nf er encias

x2 1 y 2 + 3x -2y -4 O y x2 t- y2-2x - y -6 O.

Sol . 5x2 + 5 y2 -7y -26 - O.

H allar la ecuación de la ci rcunferencia q ue pa sa por el p u nto (3, 1) y por los de i n tersecc ión de las ci rcunferencia s

x 2 + y2 - X - )' -2 = 0 y \ 2, y2 !- 4.Y -4y -8 = Ü.

Sol. 3x2 + 3y2- 13x + Jy +6 = O.

37. Halla r la ecuación de la ci r cunf er encia q ue pa sa por los pun t os de inter sección de las ci r cunferencia s x2 + y 2

-6x + 2y + 4 = O y x2 -1 y 2 + 2x -4 y -6 - O y cuyo cen tro est é en la r ecta y = x . Sol. 7x2 + 7y2-10x- I Oy- 12 = O.



CA PITU LO 5

Secciones cónicas.-La parábola

DEFI NICION. El lugar geomét rico de los pu ntos cu ya relación de d ista ncias a un pu nto y unarecta fijos es constan te r eci be el nombre de sección cónica o si mplemente cónica.

El punto fijo se llama foco de l a cón ica, la r ecta fija directriz y la r elación constant e excentricidad q ue, normal mente, se represen ta por la letra e.

Las secciones cónicas se clasi ñcan en t res ca tegorías, segú n su forma y propiedad es. Estas se esta blecen de acuerdo con los va lores de la excen t ricidad e.

Si e < 1 , la cónica se llam a elipse. Si e = 1, la cónica se llama parábola. Si' e > 1, la cón ica se lla ma hipérbola.

PA RA BOLA. Sean L' L y F la recta y pu n to ñjos . Tracemos por F la perpend icula r al eje x y sea 2a la dístancia de F a L'L. Por defin ición de parábola la curva debe cortar al eje x en el pu n to O, eq u idistant e de F y L' L. El eje y se tr aza perpend icular a l x por el punto O. ·

Las coordenadas de F son (a, O) y l a ecuación de L y

la d irectriz es x = -a, o bien, x +a = O. Sea P( x, y) un pu n to genérico cualq u iera de ma- M

PF . nera q ue PM = e = l .

Entonces, V'(x a)2 + (y -0)2 = x + a. o X

Elev mdo al cuadrado,

x2-2ax + a2 + y 2 = x2 + 2ax + a2

o bien, y2 = 4ax.

De la forma de la ecuación se ded uce q ue la par á- bola es simét rica con respecto al eje x. El pu nto en q ue la cu rva corta al eje de simetría se denom ina vértice. La cuerda CC q ue pasa por el foco y es perpend icular al eje se llama ldtus ·

rectum. La longit ud del larus rectum es 4a , es decir.el coeficiente del término de pri mer grado en la ecuación.

Si el foco está a la izq uierda de la direct riz, la ecuación torna la forma

yi = -- 4ax .

Si el foco pertenece a l eje y. la forma de la ecuación es

x2 = ± 4ay

en la que el signo depende de q ue el foco esté por enci ma o por de bajo de la directriz . Consideremos ahora una pa rá bola de vértice el punto (h. k ). de eje paralelo al de coor

denadas x y cuyo foco esté a una d istancia a del vért ice y a la derecha de él. La d irectri z .

46 •



3.

---/

SECCIONES CONICAS.-LA l'A RA BOLA 47

pa ralela al eje y y a u na d ista ncia 2a a la izq uierda del foco, tend r á la ecuación x = h -a. o bie n. x-h + a - O.

Lla memos P( x.y) u n pu nto genérico cualq u iera y L

de la pa rábola .Como PF = PM .

J (x-h -a)t + (y-k)' = x -h + a. M

es decir.

o bien.

y1-2ky ; kt = 4ax -4ah ,

( y -k )2 = 4a( x -h). ------ ;:; (h.k)

Ot ras expresiones t i picas son :

(y-k )2 = -4a( x-h); (x -'1}2 = 4a( y -k ); (x -h)2 = -4a( y --:k ).

Que desarrollada s adquier en la forma

o

L' .\·-ay2

; hy ..¡ c.

y ax1 + hx + c.

PROBLEMAS RESUELTOS

l. Hallar el foco. la ecuación de la d i rectriz y la longitud del lat u s rectt nn de la parábola 3y1 = 8x, Í "" o bien . y2 - x.

De la ecuación de la parábola se ded uce q ue 4a =-}.de donde. a = . El foco es. pues el pun- to de coordenadas ( , o). y la ecuación de la directriz. X .=- . )

Para hallar la longitud del latus rectum se calcula el va lor de y pa ra x = . Para x = , y =;.

con lo cual, la longi t ud del /atus rectum es•2(;) = '.

2. H allar la ecuación de la pa rábola cuyo foco es el pun to (o.- ;) y por direct riz la recta y- = O. Hallar la longitud del latus rectum .

Sea P( x, y ) un punto genérico cualquiera de la parábola . En estas condiciones.

V< x _ 0)2 + (y + ;)i = y _ ;.

16 16

Elevando al cuadrad o y si mplificando. x 2 + y = O. Latus r-Pctum = 4a = f . 3

. y Y- ,o y

X

o

Pr oblema 2 Pr oblema 3

Hallar la ecuación de la parábola de vértice el punto (3, 2) y foco (5, 2).

Como el vértice es el punto (3, 2) y el foco (5, 2) se t iene. a = 2 y la ecuación ad quiere la forma (y-k)t = 4a(x-h), o sea, (y-2)2 =8(x-3).

Simpl ificando, y -4y -8x + 28 = O. ,,

-- -- ./

rd



1

5 . c. 5

r JI -- 3

48 Sl::CCIONES CONICAS. 1 A i>AR A ROLA

4. . H a l la r Ja ecuación de la para bola de vértice el origen. de eje el de coordena da:. J

'. y que pa se por el pu n t o (6. 3). La ecuación q ue hemo' de a pl ica r es x1

- -4a y. Com o el pu n to (ó, -3) pertenece a la cu rva el valor de ft de be c;er ta l q ue las coordenada!> del

punlo a t bfaga n a la ecuación . Suc; t it u yendo. 36 - -4a(-3).de <londe. a - 3. La ecuación ped ida es x" --12y.

5. Ha lla r la ec uaci ón de la pa rábola de foco el pu n to (6. -2) y d i rect riz la recta x ·-2 = O. De la definición . \ / ( x -6)-Z-., (y-!:'·2}2 ' -2. Eleva ndo al cuad rado. x - 12, -- 36 - y 2 -t 4y · 4 \' t 4 \ , 4. Sim pl i fica ndo, y2

-;- 4y 8.,. , 36 O.

6. H a l l a r la cc uti ción lh: la pará bola de verticc el pu n t o ( 2, 3), de eje raralelo a l de coordenadas )', y q ue ra c por d pu n to ( 4, 5).

La ecuación q ue hcmo:. de a pl ica r es ( ,.-- h ) - 4a( y -k ) . C!> deci r , (x- 2)t -= 4a(y- 3).

Ccrnio el pu n t o (4. 5) pcr!cnccc a la cu rva. (4 - 2)t 4a( S -3). c.k donde, a -

2

.

La ecuación ped ida e' ( "-2)2- 2()• -3). o bien, x 2 -4 x - 2y l J O -O.

7. H alla r la ecuación de la pa rá bola de eje pa ra lelo al de coordenada' x. y q ue pa se por los puntos (-2. 1 ). ( 1 . 2) y (-1. 3).

A pl1ca mo la ecuación 1·2 - D x -r t.v - F - O.

Su t1t u ycndo _ ,. e .1· por las coordenada de los pu n to:.. 1 -20 · E t- F = O. 4 + D + 2E + F = O: 9- () 1 JE + F -= O.

Resolvie ndo c:-.te :.istema de ecuaciones. D 2 L" =- 2 1 F 4.

Por tant o, l a ecuación pcd ída e yt 2

5 x -

21y 1 4 - O, o bien, 5y 2 + 2x -21y + 20 =- O.

8. H al lar la a lt u ra de u n pu n t o de un a rco pa raból ico de 18 met r o' de a l t u ra y 24 met ro!) de base. sit uado a u na d istancía de 8 met ro< del cent r o del arco.

Tomem os el CJC x en la ba se de.1 arco y el origen en el pu n lt) med io. La ecuación de la parábola será de la forma

(.\'- /,)2 = 4a( y -k l

o bien (x-0)2 °" 4a( r- 18).

La cu rva pasa por el pu nto ( 12. 0). Sustituyendo esta' (;OOrde· nadas en la ecuacíón se obt iene. a -... -2. Por consigu icntl'.

(x -0}2 = -8(y-18).

Para hal lar la alt ura del arco a 8 metro s del cen t ro se su::.t it u ye x - 8 en la ecuación y se despejael valor de y. Por tanto. 82 = -8(y-18). de donde. y = 1O metr o!>. E l arco simple más r esistente es e l de for ma pa rabólica .

9. Dada l a pa rá bola de ecuación y 2 + 8y -6x .-t- 4 =- O. hal lar la coordenadas del vért ice y del foco,

y la ecuación de su. d irect riz.

,...



8 ·' - 1 e :+ 504 (\·- 359 )·

8

'Sf'.CCIONES CONICAS.-LA PARA BOLA

Suma ndo y r estand o t érm i n os adecuado-;. pa ra completar u n cuad r al.lo. yi - 8y 1 6 _ 6x -4 - 16 6\" • 1 2. o bien. ( y r 4)2 -= 6(x ;·2).

Et 'énicc es e l pu nt o ( 2. 4). Como 4a .,_ 6, ri : 3 2. Luego el foco es el pu n t o de coorde-nada'> ( - .-4). y la ecuación de la d i r ectri z es .\ - -7 2.

10. . Halla r la ecuación de la pa r ábola cuyo l<1t11s rrc 111111 e.; el seg men to en t re los pu n t o<; (3. 5) y (3. -3).

A pl ica rno!. la ecuación en la forma (y -k )2 • 4a( x-h). Com o la longit ud del la1vs rectum es 8, 4n 8. e (J' -k )2 , 8( x -/i). Pa r a determi na r l as coorden das ('1. k ) tenernos. ( 5 -k )2

- 8(3 -h) y (-3- k )2 - r 8(3 -/i). iª q ue l os pu n t os ( 3. 5) y (3. -3) pertenecen a la cu rva . R c'>o l v i cn do C'> te .i stema de ecuaciones se 0011c n en como va lores de Ji y k l o<; p u n tos ( 1 . 1 ) y ( 5. 1 ).

Las ecuacionc:. ped idas son ( 1 ) (y- l l1'= 8(x- 1 ) o

y (2) ( y 1 )2 = -8(x - 5)

r 2 -21• -8.r +9-O o r 2 • - 2.r 1 8.\ -39 -O.

X

y •-1

X

-¡

P r oh/"' na /!) Pmhl1•111t1 11

11. Ha lla r l a ccuaciú11 de l a pa rúhola de vért ice en la recta 7 ' • J y -4 O. de eje hori7on tal y q uerase por los pu n w-. !3. 5) y (.\ 2. l ).

A p l ica mo la ecuación cn la forma (r- k l2 4a( x /i) . Su-.1i t u ye11do ' ª' coort.cnadas de los p u n to-. dado, -.c oht iene.

1 t 1

( -·5 4a(.3 - h ) y ( 1 -k ) 4o( 3 • 2- /i). 1

/..

Como ( h . A ) pcrt1:11ece a la r ect a 7.\ Jy 4 O. e t i ene. 7'1 J 3k 4l c olvic1H.lo e l ,¡lema de esta" t rc" cc u acionc' re u l t a h 1 . k -1 . 4a -97 1 7. 4a -- 5 04 1 7.

O. 8 : y h JS9i l 19.

L uego )a' ccuacione-; pct.l ida-. -;on. t.r + 1 l 97 )

1 7 1 19

12 . . La t ra yccwri!J uc-,cril•1 por un rroycct il la111ado hori1.0111a lmen te. <ll·:.de u n punl l) -.i wado y met r os

(m) 'ohrc el -.uelo. con u na vc locit.lad 1· met ro.; por "egund o (111 ''> ). C'> u na pa rúbola de cc uac1ón

-.1endo ' la di)lt a ncia hori1011 t a l dc,lk el lugar de la111a m icn to y e 9.8 1 me t ros por cgundo en cada -.egu nd o ( m o;t ). a rro\ i111a damc11tl.' . El origen "l.' t oma en ..:! pun t o dl·'al ida del proyectil del arma.

En e-,1as con d ici one se la111:a hori1.onta lmen t e u na ricd ra d1.:sdc u n pu n to \1tuado a 3 met ros ( m ) dt.: a lt ura '-O bre e l -. ul.'lo. Sa hiend o q uc la ve locid ad inicia l e-, de SO 111c1ros segu ndo ( m is). calcular la d i '-!a ncia hori1.0111a l a l plu1 10 de ca íd¡1.

2r' 2( 50)t -

(-- J). co n l o q ue x - /ñ = 39 m .

X\! =

g.I' -

9,-

50v0,61



rt1 •

so SECCIONES CONICAS.-LA PAR ABOLA

PROBLEMAS PR OPUESTOS

1 . H allar las coordenada s del foco, la longitud del latus rectum y la ecuación de la directriz de las pa r á bolas siguientes. R epresen tarlas gráficamente .

a) y 2 = 6x . h) x2 = 8y. e) 3y2 = -4 x.

Sol. (3/2.O). 6, x + 3/2 = O. Sol. (0. 2), 8, y + 2 O. Sol. (-1/3. 0). 4/3. ,.- l/3 = O.

2. Ha llar la ecuación de las parábolas siguient es:

a) Foco (3, 0) , d irect riz x + 3 = O. Sol. y 2-1 2x = O.

h ) Foco (0. 6). directriz el eje x. Sol. x2-12y + 36 = O.

t ) Vért ice el origen, eje el de coordenadas .r, y q ue pase por (·-3, 6). . Sol. y = -1 2x.

3. Hallar la ecuaci ón del l uga r geométrico de los puntos cuya d istancia al punto fijo (-2. 3) sea iguala su d istancia a la recta x + 6 = O. Sol. y 2

-6y -8x -23 = O.

4. . H alla r la ecuación de la parábola de foco el pu nto (-2. -1 ) y cuyo /atus rectum es el segmento ent re los p unt os (-2. 2) y (-2. 4). Sol . y2 1 2y -6x-20 -- O. y2 -l 2y + 6x f- 4 - O.

5. Halla r la ecuación de la parábola de vért ice (-2, 3) y foco ( l. 3). Sol . y2

-6y-12x- 15 -=- O.

6. Dadas l<h pa rábolas siguientes. calcu lar a) las coor denada s del vér t ice. b) las coorde nadas del foco, e) la longit ud del lntus rectum y d) la ecuación de la directriz.

( 1) y! -4y -t 6x ·-8 = O. (2) 3x2

-9x - 5y -2 = O. (3) yt -4y- 6x + 1 3 O.

Sol . a) (2, 2). b) ( l / 2. 2). e) 6. d) x -7/2 = O. Sol. a) (3/2, -7/4) , b) (3/2. -4/3). e) 5/3. Sol. a) (3/2. 2). b) (3. 2). e) 6. d) x = O.

7. Hallar la ecuación de una parábola cuyo eje sea paralelo al eje x y q ue pase por los puntos (3, 3), (6. 5) y (6. -3). Sol. y 2-2y -4x + 9 = O.

8. Halla r la ecuación de u na pa rábola de eje ver t ical y q ue pase por los puntos (4, 5), (-2, J 1) y (-4. 21).

Sol . x2 -4x-2y + 1O = O.

9. Hallar la ecuación de una parábola cuyo vértice esté sobr e la r ecta 2y -3x = O, que su eje sea para lelo a l de coordenadas x. y q ue pase por los puntos (3, 5) y (6, -1). Sol. y2

-- 6y -4 x ..¡ 17 = O. 1 ly2-98 y -108x + 539 = O.

10. El ca ble de sus pensión de un puente colgante adq uiere la forma de un arco de parábola. Los pilar esq ue lo soporta n t ienen u na altura de 60 met r os (m) y están separ ados una d istancia de 500 metros (m),q uedando el punt o má s bajo del cable a una alt ura de 10 metros ( m) so bre la calzada del puente . Tomando como eje x la horizon tal q ue defi ne el puen te, y como eje y el de si metría de la parábola, hallar la ecuación de ésta. Calcu la r la alt ura de un punto si t uado a 80 metros (m) del centro del puente . Sol . x2

-1 .250 y + 12.500 =- O; 15.12 m.

1 1 . Se lanza una pied ra horizont a lmente desde la ci ma de una torr e de 185 metros (m) de altura con una velocidad de 15 metros por segundo (m/s). Hallar la dista ncia del pun to de caída al pie de la torre suponiendo q ue el suelo es horizon tal. Sol . 92,5 m .

12. U n avión que vuela hacia el Sur a una alt ura de 1.500 met ros (m) y a una velocidad de 200 ki lómetros por hora ( km / h ) deja caer una bomba. Calcular la distancia hor izontal del punto de caída a la verticaldel pun t o de lanzamiento . Sol. 972 m.

13. U n a rco parabólico t iene una altura de 25 metros (m) y una luz de 40 metros (m). Hallar la alturade los pu ntos del arco sit uados 8 metr os a ambos lados de su centro. Sol. 21 m.



O' y

lO,b) D

-,....,

.-.-- .-

<a.ol

D'

r'l-c,o) o

1

(O,;- b D

X

v. =

·,,, j

CA PITU LO 6

La el ipse

DEFI N ICI O N . El i pse es el l ugar geométrico de los pu ntos cuya su ma de di ta ncias a do. pu ntos fijos es constan te. Los pun tos fi jos se l la ma n focos .

\-a.o) .../

Sea n los dos pu n tos fijos F( c. 0) y F'(-c.O) y 2o la su ma consta n te, (a '> e). Considere mos u n pu nto genérico P ( x. _1·) q ue pertenez ca a l l uga r. Por defi nición,

F ' P + PF = 2o,

es deci r. Jf.\-"..tC)2 +<y -0")2 -t vcx =- c)2 + < y -0¡2 = 20.

o hicn. v'(X j c)t +. (y 0)2 = 2a - ,1(x-c)2 1 (y -Q)t.

Ele va nd o a l cuad rado y red uciendo térm i nos semeja n tes ,

ex -u2 -== -a (x -c)i +- ( y -0)2•

Eleva nd o a l cuad rad o y sim rl ifica nd o. (a2-12) x2 1 a2y2 = a2( a2 -c2).

,.2 y 2

Di vid ie ndo por a1( a2 c2) se oht iene la ecu ación · ., + - · = 1 .

1r a2-c 2

Como a > c. a2- e s rosi t ivo. Haciendo a2

-c2 = h2• r esul t a la ecuación de la

el i pse en la form<1

o bien.

Como eta ecua ci ón solo con t iene potencia s pa res de x e y. l a cu r va es simét rica con r especto a los eje de coord enad as ,. e y . y con respect o al orige n. El pu n t o O es el centrode la el i p e y l o eje se denom i na n eje ma yo r y eje menor .

Si los focos fuera n los pu nt os de coordenad as (0. e) y (0, -e ). el eje mayor esraría sobr e .. \"2 1'2

el eje·

con lo q ue la t:cuación resu l ta de la forma,,- 1 .:_. 1 . 2 02

S I

/



u

--

,,

a

e

1

52 LA Fl.IPS

('

La exce11f ricidad t' a

,102 hT . --- , o hte n e = ae. a

Como la el i pse t iene dos focos. ta m bié n t end rú dos d i rect rices. Las ecuaciones de la!-> d i rect rices D'D' y DD son, res pec t iva m en te.

X ! =- o y e

a X - - = O.

('

Si los focos estuvieran so br e el eje y. la\ ecuaciones de las d i rcct rice-; sería n

)' 1 o-o y .r- = O.

e

Se de nomi na larus /'( 'c f um de la el i pse a l i1 cuerda pe r pend icu l a r a l eje mayor por u no 2/J2

de los focos. Su l ongi t ud e (/

Los pu n tos en los cuales la el i r .e corta a l eje mayor se l lama n 1•1•rflc<'.,.

Si el ce n t ro de la el i pse es el pu n to (/i. Á ) y el eje mayor t ie ne l a d ir ect:tón del eje x, laecuación de la el i p e es de la forma

(x Ji ) t {y -·k )2

a2 -/j2' 1 .

o bie n, ( x -'1)2 (y - k )2

- /J2 02-- si el eje mayor fuera pa ralelo

al eje y. E n cua lq u ier caso. la forma genera l de l a ecuación de la el i pse es A x -1 By 2 -1 D.\' -1 Ey -1 F = O

siem pre q ue A y B sea n del mismo signo.

PROBLEMAS RESUELTOS

J . Dada la cl i p::.e 9 xi .1 l 6y2 576. hall a r el semieje ma · yor, el semieje menor. la excen t ricidad . las coo1dcnada\de los foco . las ecuacionc\ de las di rect rices y la longi

t ud del la111s rec111111.

D' o

Di vidiend o por 576 se ÍÍ l'llC · 6

(1 =- yh- !?· va2-b2

1{ v7

+ ;· = 1. L uego

l·S.0) (Ml

(' - ....:

(J 4 '·

2 \ 7.

\0,-6\

Coorde nada '.; d1.: l o foco!> : ( 2 \ 17. 0) ) ( -2 v7. Ol. La ecuacione) de la) d i rcct nccs on

(1 32\/7 0 X ·

··;.¡r 1 ,< \

D e - 7

La l ongit ud de l /(lfu rcu11111 de la clip c e' '1./>'4e 1 n/6= 9.



·11..11112 ..111.F...2 ........................iiliír l•liliiiiíiil- . .... as-.-=tf¡t¡f;f¡l;a?t.d



2

SZJ .4 *? ª %

LA ELI PSE 53

J 2. Hallar la ecuación de la eli pse de centro el origen . foco en el pu n to (0, 3) y semieje mayor igua l a S.

Datos: c = 3 y n = 5. Por consiguiente .h = \1a2 -c2 = \ 25-9 = 4.

Apl ica ndo la fórmu la :: + := 1. se obtiene la ecuación ';· + ·;= 1.

3. Hallar la ecuación de la el ipse de cent ro el origen, eje mayor sobre el eje x y q ue pase por los puntos (4, 3) y (6, 2).

La f órmula a apl icar es :: + d· = 1 . Sustituyend o x e y por las coor denadas de los pu n tos

16 9 36 4 ' dados se obtiene, (i2 + bZ = 1 y -¡;z + b = 1. Resolviendo este sistema de ecuaciones. a2 = 52,

b2 = 13.

Luego la ecuación pedida es ; + ;= 1, o bien , x2 + 4y2 = 52.

4. . Hallar la ecuación del lugar geométrico de los puntos cuya d ist ancia al punto (4, 0) es igual ala mitad de la corr espond iente a la r ecta x-16 = O.

\ Del en unciado del pr oblema se deduce.

v( x -4)2 + ( y -0)2 = !( x - 16), o sea, x2-8x

Sim plificndo, se obtiene la ecuación 3x2 + 4y2 = 192, de la elipse.

5. Se considera u n segmen to AB de 12 unidades de lon git ud y un pun t o P( x, y ) situado sobre él a 8 uni dades de A . Hallar el lugar geométrico de P cuando el segmen to se des place de forma q ue los pun

tos A y B se a poyen constant ement e so bre los ejes de coordenadas y y x r es pect ivamente.

P r··

guIos sem

.ntes,

M A = P yB , v 64 - x2

4 y · o tnan eja A p o sea, 8 =

Luego 64 - x2 = 4y2 , o bien , x2 + 4 y2 = 64. El l ugar es una el i pse con su centro en el origen

y de eje mayor so br e e l ej x.

.y

X X

P rob!t' 11w 5 P robl11111a 6

6. Hallar la ecuacióH del l ugar geométrico de los pu nt os P ( x , y ) cuya suma de d istancias a los puntos fijos (4, 2) y (-2,2) sea igual a 8.

F' P + PF = 8, o sea, V(x + 2)2 +( y - 2)2 + ,' ( x -4)2 + (y -2)2 = 8.

Ordenando térm inos, V ( x

+2)2 +-(y -2)2

=8- ,,.(x _::_ 4)2 + (y -2)2.



.- tl-it....._ ...._......=.--..'-"-"'=-o.- ··-· ...,---·-· - ·------



+

¡

+

s d , - +

54 LA ELIPSE

Elevando al cuad rado y reduciendo términos, 3x-19 = -4v(x -4)2 +(y -2)2•

Elevando de n uevo al cuadrado y reduciendo términ os resulta la ecuación 7x2 + 16y11-14x

-6 4 y -41 = O, q ue es una elipse.

7. Dada la eli pse de ecuación 4x

2

+ 9y

2-

48x + 72y + 144 = O, hallar su centro, semiejes. vértices y focos.

Esta ecuación se puede poner en la forma (x -h)2 (y-k )2

b = 1, de la manera siguiente : 02 2

4(x2-12x + 36) + 9(y2 + 8y + 16) = 144,

4(x -6)2 + 9(y + 4)2 = 144,

(x -6)2 (y + 4)2 - 1

36 + 16 - .

Por tanto, el centro de la elipse es el punto de coor denadas (6, -4); a = 6, b = 4; los vértices

son los puntos (0, -4), (12, -4), y los focos (6 + 2v'S. -4),(6 -2v'S, -4).

y y

o X

1 1 1

-- -------..+1(6-,--4- _ _ ( _ 10 _ .5._ ,-4 _ ) (l.5,-4) (12.-4/

1 1 1 1

( 6 ,-B )

P robl ema 7 1

(0,45)

o X (-75,0) (-25,0) (25,0) (75,0)

Pr oblema 8

8. U n arco tiene forma de semielipse con una luz de 150 metros siendo su máxi ma altu r a de 45·metros. Ha llar la longitud de dos soportes vertica les sit uados cada u n o a igual distancia del extr emo del

arco. Supongamos el eje x en la base del ar co y el origen en su punto med io. La ett1ación del arco será,

x' yi b' = 1, siendo a = 75, b =45.

02

Para hallar la altura de los soportes, hacemos x = 25 en la ecuación y des pejamos el valor de y.

. ectr

625 5.625

y2 -2.025 -

2 8 1, y - (225), e y

-3o

",2-

metr Ol>.

9. La Tierra describe una trayectoria elípt ica alred ed or de l Sol que e encuentra en uno de los focos.Sabiendo que el semieje mayor de la el i pse vale 1,485 X 108 k ilómetr os y q ue la excentricidad es. apr oxi!lladamente, l /62, hallar la máxima y la mínima d istancias de la Tier r a al Sol.

Excentn·ct'dade= e-. Luego1

= _ e _ , o sea, e = 2.400.000. 0 62 148 500 000

La máxima dil-tancia es a + e = 1,509 x 108 k m. La mínima distancia es a +e = 1 ,461 X 108 k m .

--- . - - .



a + · = , o + = l .

-

-

I

= , + +

f

+

l

LA ELIPSE 55

10. Hallar la ecuación de la elipse de centro (l .2), uno de los focos (6, 2) y que pase por el punto (4, 6). (x-1)2 (y-2)i

Aplicamos la ecuación b' = 1- 02

Corno (4, 6) perlen :ce a 1 curva, (4- J )2 02

(6 -2)2 b2 1 b' 9 1en,

02 16 b'b'

Como e = 5, resulta b2 = a2-c2 = a2 -25 y

9 +-16 - = t. a2 a2 -25

R esolviendo, a2 = 45 y b2 = 20. Sustituyendo,(x- 1)2

+ (y -2)2 = l · 45 20

11. Hallar Ja ecuación de Ja elipse de centro (-1,-1), uno de los vértices el punto (5, -1) y excentri- \

cidad e = .

Como el centro es el punto (-1,-1) y el vértice (5, -1) se tiene, a = 6, e = := = , de donde e = 4. Por otra parte, b2 = a2

-c2= 36-16 = 20. (x + 1)2 (y + 1)2

La ecuación pedida es 36

+ = 1. 20

12. Hallar la ecuación de Ja elipse cuya directriz es la r ecta x = -1, uno de los focos el pun to (4, -3) y excentricidad 2/3.

De la definición general de sección cónica, si PF = e J -------

p M

y e < 1 Ja curva es una elipse.

v(x -4)2 +( y + 3)2 Por consiguiente ' x + I

Ekvando al cuadrado los dos miembros de esta ecuación y simplificando r esulta,

5x2 + 9y2-80x + 54 y = -221 .

7Pfx.y) o I

X 1 I I

o IF(4,-3) • +

Completando cuadrados, 5(x2-- l6x +64) +9(y2 +6y +9) =-221 +320 +81,

es decir , 5 (x -8)2 + 9( y + 3)2 = 180, . (x -8)2 (y +J)2

o bien ,36

+ -W -= 1.

13. Hallar el lugar geométrico de los puntos P( x,y) cuyo producto de las pendientes de las rectas queunen P(x ,y) con los puntos fijos (3, -2) y (-2, 1) es igua l a -6. \

( ;.: ) (; ) = -6, o bien , 6x2 + y2 + y -6x = 38. una el i pse.

14. Hallar la ecuación de la elipse de focos (O, ±4) y q ue pase por el punto (1 2

, 3) . 5

. 12 x 2 y2• 144 9

Sustituyendo x 5 y = 3 en b2 02= 1 se obtiene

25b

2a' = 1 .

Como los focos son (O, ± 4), resulta e = 4 y a2 - b2 = 42 = 16. 2 2 .

R esolv iendo el sistema de ecuaciones, a2 = 25. b2 = 9. Luego, - + 5 =

1.

·



1e •

2

r

2

9r -

2 0 0

2

2

y

56 LA ELIPSE:

15. Hallar el l ugar geométrico de los pun tos que dividen a las ordenadas de los puntos de la ci rcu nferen

cia x2 + y2 =- 25 en la relación .

Sca y,

= 3

y , o b.

n , y = 5

y,. y x = x

,.E

n tonces, x,2 +

25y

.• =- 25.

5 3 9 Suprimiendo las primas y sim pl ificando se llega a la ecuación 9x2 + 25y2 = 22 . que es una

elipse.

y

(X.y)

y

\l.6)

,.,.,.,..,,,,..--- rx'.y) .....

I '' (-8.1) (12,t) o X o ''

_ _ ----,.,., X \ /

(2,-4)

Problema 15 Problema 16

16. Hallar la ecuación de la elipse que pasa por los pu ntos (-6, 4), (-8, 1), (2, -4) y (8, -3) y cuyosejes son paralelos a los de coordenadas.

En la ecuación x2 + By2 + Cx + Dy + E = O, susti tuyendo x e y por las coordenad as de los cuat ro pu ntos dados.

1 68 -6C + 40 + E = -36, B -8C + O + E = -64,

168 + 2C -40 + E = -4, 9B +8C-

30 + E =-64.

R esolviendo el sistema, B =4, C = -4, O = -8, y E =-92. La ecuación ped ida es x 2 + 4y2 -4x-8y-92 = O, o bien , (x

2 + (y ;1) = J . >

17. H allar la ecuación del l ugar geométr ico del centro de unacircunfer encia tangente a x2 + = 1 y x 2 + y2

-4x -21 = O.

Sean (x0, y0) las coordenadas del centro. Las circun ferencias dadas tienen de rad ios 1 y 5 respectivamente.

1 1 1

,fPt>... ,y ) / ¡

a) 5- (X0 -2)2 + (Yo -0)2 = v'X0 +Yo2 -1 . " I

Elevando al cuadrado, simpl ificando y suprimiendo las primas se llega a la ecuación 8x2 + l 6x -64 = O, ,ue es u na elipse. Poniendo esta ecuación en la forma

(x- 1)2 ( y -0)2

-9-- + 8-= I,

se ded uce c.¡ue el centro de la elipse corresponde al punto ( I,0).

(1,0) '-(2 0) X

b) \fx0 +y 2 + 1 = 5- (x -2)2 + y 2. Elevando al cuadrado, si mplificando y suprimiendo

las primas se llega a la ecuación ]x2 + 4y 2 -6x·-9 = O, o bien, ( x -:;1

> 2

+ (y -;0) = 1.

El centro de esta elipse es el punto ( 1, 0).

7RT& 2 car ·: a r s



n 1en en

± + =

LA ELIPSE 57

18. En una elipse, los radios focales son las rectas que unen los focos .con un punt o cualq uiera de ella. Hallar las ecuaciones de los radios focales correspond ien tes al punto (2. 3) de la eli pse 3x2 + 4y2 = 48.

Ese. b. d

o esta ..

ecuac1on 1 r a 1orma lx62 + T yz f = 1 se

. tien e. e = ± v'

16- 12 = ±2.

Los focos son los puntos (±2, 0). La ecuación del rad io foca l del punto (2, O) al (2, 3)es x-i O

1 y la del (-2,0) al (2, 3) es y -O = 3+0 (x + 2), o bien, 3x -4 y +6 = O. 2 2


t. En cada u na de las el i pses siguientes hallar a) la longit ud del sem ie je mayor , b ) la longitud del semie jemenor , e) las coordenadas de los focos. d) la excentricidad .

{I) + = l. Sol. a) 13, b) 12, e ) (± S. 0), d ) -5 .

16

x2 y2

144 13 Sol. a) 2v'3

-, b) 2v'2

-, e) (O, ± 2), d) v3

.

(2) 8 + 12 = l .

(3) 22Sx2 + 289y2 = 65.025.

3

S ol. a) 17, b) I S, c) (± 8, 0), d )8

. 0

2. Hallar las ecuaciones de las elipses siguientes de forma que satisfagan las condiciones que se i ndican. x2 12

( 1) Focos ( 4, 0), vértices (±S, O). S ol.2

- 9 l.

(2) Focos (O, ±8), vértices (O, ±17 ). Sol.

(3) Longitud del latu s r ectum = 5, vértices (± 10, O). Sol.

(4) Focos (O, ± 6), semieje menor = 8. Sol.

x2 y2 225+ 289 = l.

x2 y2

IC·o+ 25 = 1.

xi y2 + 100 = J.

(S) Focos (± 5, O), excentricidad = -. Sol.

64-

x2 y2

6 i{ +39 = l.

3. Hallar la ecuación de la el i pse de centro el origen, focos en el e je x, y que pase por los puntos (-3, 2'/ J) y (4 , 4 ' 513). Sol. 4x2 + 9y2 = 144.

4. Hallar la ecuación de la el i pse de cent ro el origen , semieje mayor de 4 u n idades de longitud sobr e el eje y, y la longitud del latus rectum igua l a 9/2. Sol. l 6x2 t 9y2 = 144.

5. Hallar el lugar geomé t rico de los pu ntos P (x. y) cuya suma de d istancias a los puntos fi jos (3. 1) 1y (-5, 1 ) sea igua l a 10. ¿Qué curva represen ta d icho l uga r ? Sol . 9x2 +- 25y2 .J- l 8x -50y-191 = O, una el ipse.

6. H alla r el l uga r geomé t rico de l os pu ntos P (x, y) cu ya suma de d istancias a los puntos fijos (2, -3)

y (2. 7) sea igua l a 1 2. Sol . 36x2 + l l y2- l 44 x -44 y -208 = O.

7. Ha llar el l ugar geométrico de los pun tos cuya distancia al pu nto fijo (3, 2) sea la imitad de Ja corr es pond iente a Ja r ecta x + 2 = O. ¿Qué curva r epresenta dicho l ugar? Sol. 3x2 + 4y2

-28x -16y + 48 = O, una el ipse.

. ......



> 2

r 58 LA ELI PSE

8. Dada la elipse de ecuación 9 x2 + 16y2-36x + 96y + 36 = O, hallar a) las coordenadas del centro,

b) el semieje mayor, e) el semieje menor , d) los focos y e) la longitud del latus r ectum.

Sol. a) (2, -3), b) 4, e) 3, d) (2 ± v7, -3), e) 4,5.

9. Hallar la ecuación de la elipse de centro (4, -1), uno de los focos en (1, -1) y que pase por el

punto (8, O). Sol. (x 4 2

+ (y 1) = 1, o bien , x2 + 2y2 -8x + 4y = O.

JO. Hallar la ecuación de la elipse- de centro (3, 1), uno de los vértices en (3, -2) y excentricidad e = l /3. (x -3)2 (y -1)2

Sol . + = , o bien , 9x2

8 9 + 8y2 -54x -16y + l 7 = 0.

11. Hallar la ecuación de la elipse uno de cuyos f ocos es el punto (-1, -1), directriz x = O, y excen tri-

ct'dad e = ..;2 2

Sol . x2 + 2y2 + 4 x + 4y + 4 = O.

12. Un punto P(x, y) se mueve de for ma que el producto de las pendien tes de las dos r ectas que unen P con los dos puntos fijos (-2, 1) y (6, 5) es constante e igual a -4. Demostrar que dicho lugar es una elipse y hallar su centr o. Sol. 4x2 + y2

- 16x-6y -43 = O. Centro (2, 3).

13. Un segmento AB, de 18 unidades de longitud, se mueve de forma que A está siempre so bre el eje y y B sobr e el eje x. Hallar el luga r geométrico de los puntos P(x, y) sa biendo que P pertenece al segmento AB y está situado a 6 unidades de B. Sol. x2 + 4y1= 144, una el ipse.

14. Un arco de 80 metros de l uz tiene forma semielíptica . Sabiendo que su altur a es de 30 metr os, hallar la altura del .arco en un punto situado a 15 metros del centro. Sol . l 5v55/4 met ros.

lS. La órbita de la Tierra es una elipse en uno de cuyos focos está el Sol. Sabiendo q ue el semieje mayor de la eli pse es 148,5 mi llones de kilómetros y que Ja excentricidad vale 0,01 7, hallar La máx ima y la

mf nima distancias de la Tierr a al Sol. Sol. (152, 146) millones de kilómetros. 16. Hallar la ecuación de la elipse de focos (± 8, O) y que pasa por el punto (8, 18/5).

xi y' Sol. 100 + 36 = l.

17. Hallar el lugar geométrico de los puntos que dividen a las ordenadas de los punto s de la circunfer en cia x2 + y2 = 16 en l a r elación!. Sol. x2 + 4 y2 = 16.

18. Hallar las ecuaciones de los r adios focales cor r espond ientes al punto (1,-1)de la elipse

x2 + 5y2 -2x + 20y + 16 = O.

Sol . x -2y -3 = O, x + 2y + 1 = O.

19. Ha llar la ecuación de la elipse q ue pasa por los puntos (O, 1 ), (1 , -1), (2, 2), (4, O) y cuyos ejes son paralelos a los de coordenadas . Sol. l 3x2 + 23y2

-51 x- l9y -4 = O.

10. Hallar el lugar geométrico del centro de la circunferencia tangen te a

x2 +y2 = 4 y x2 + y 2-6x -27 = O.

Sol . 220x2 + 256y2-660x -3.025 =O y 28x2 + 64y2 -84x -49=O.



)

CA PITU LO 7

La h ipérhola

DE FI N ICIO . La hi pér bola e el h1gar geornél rico de los punlcs cuya diferencia de d islanciasa los pu ntos tijos f"( c. 0) y F°( -c. 0) es constante e igual a 2a. Ver Figu ra {a).

Sea P{ x . y) u n punlo genérico cualq u ier a de la curva .

Por defi nición. F' P - PF = 2a,o bien v(x + c)2 + (y -0}2- (x-c)2 + (y--0)2 = 2a.

Trasponiendo un rad ical. v(x + c)2 + (y-0)2 = 2a + (x -c)2 + (y - 0)2•

Elevand o al cuadrado y red uciendo térmi nos. ex -a2 = a v' x -c)2 + y2•

Eleva ndo al cuad rado y sim pl ificando, (c2-a2)x2

-a2y2 = a2(c2-a2 . Dividiendo por a2(c2

-0 ), se obtiene la ecuación -:;. -+--;¡ = 1 . . '2 2

2

a e -a

Como e > a, c2 -a2 es positivo. Haciendo c2-a2 = b2 se obtiene la ecuación de la

hi pérbola con centro en el origen y focos en el eje x,

xi yi QS-bz = I.

Si los focos fueran (0.e) y (O, -e), la ecuación sería de la forma - : = 1.

La expr esión genér al de la ecuación de la hipérbola de centro en el origen y cuyos focos· estén sobr e los ejes de coordenadas es Ax 2

- B y• = ± l , correspondiendo el signo máscuando los focos per tenezcan al eje x.

Como Ja ecuación solo contiene potencias pares de x e y , la curya es simétrica con r es pecto a los ejes x e y y con respecto al origen.

El eje real o tr ansversa l de Ja hipérbola es A ' A de longitud igua l a 2a. El eje imagina rio 1

es B ' B de longitud 2b. Ver Figura (b). ·

59



± ±

a

LA HIPERBOLA

e v'a2 + b2

La excentricidad es e = a = a . Como vemos e > 1, lo cual coincide con la definición general de sección cónica . Las ecuacione s de l as d irectrices, DD y D'D, son

x = !!_ cuando los focos están sobre el eje x, e y = !!_ cuando estén so bre el eje y. e e

(\

Los vértices reales de ·la hipérbola son J os puntos en Jos q ue la curva corta al eje r eal. Los otros dos vértices son i maginarios.

2b2

La l ongitud del latus r ectum es--. a

Las ecuaciones de las así ntotas son :

y = ± !a!_ x cuando el eje real o transversal es el eje x.

e y = ± : x cuando el eje rea l o tr ansversal es el eje y.

Si el centro de la hipérbola es el punto de coordenaaas (h , k) y el eje real es paralelo al eje x, Ja ecuación de la hipérbola es

(x-h)2

Si el eje real es paralelo al eje y, la ecuación es

(y -k)2 (x -h)2

- l.

a' b2 l.

Las ecuaciones de las asíntotas son

y -k = ± .! a!.. (x-h) si el eje real es paralelo al eje x,

e y -k = ± -¡; (x-h) si el eje real es paralelo al eje y.

La forma general de la ecuación de la hipérbola de ejes pa ralelos a los de coordenadas x e y es

Ax 2- B y2 + D x + Ey + F =.-= O,

siendo A y B del mism o signo.

PROBLEMAS RESUELTOS

J . Hallar la ecuación de la hipérbola de centro el origen , eje r eal so bre el de coordenadas y y que pase por los pun tos (4, 6) y ( 1, -3).

Sustit uyendo x e y por las coordenadas de los pun tos dados en la ecuación y2 x2 36 16 9 l 02 - b2 = 1 resul tan , Qt -/)2 = 1 y a2 - b'I. = l.

Resolviendo este sistema de ecuaciones, a2 = 36/5 y b2 =4. S · d · l'fi d 5Y

2 x

25 9

ustituyen o y s1mp 1 can o,36-4

= 1 , o bi•en , y2- x2 = 36.



·

2b 18 9

27

16

LA HI PERBOLA 61

2. Hallar las coordenada s de los vértices y de los focos. las ecuaciones de las d i rectrices, las corres pond ien tes de las asín totas. la longit ud del latus rectum. la excent ricidad y la representación gráfica ?e lá,hipérbola 9x2

- 1 6y2 = 144. 2

Escribiendo la ecuación en la forma -¡":-J = 1 se tiene. a =4. b = 3, = v/1 6 + 9 =:, S.

Los puntos reales de corte con los ejes son ( ±4. 0). y los focos (±S, 0).

La excenlrtC·I·dad e = e

= 45 ' y 1as ecuaci·ones de 1as d.lfeCtrt·CeS SOn

0 X =± eª .= ±5

2

Latus rectum =-- = -- = -. (/ 4 2

Las ecuaci.ones de 1as asi.ntotas son y =± ab X = ± 43 X.

X

Problema 2 3 Hallar la ecuación de la hipérbol de ejes paralelos a los de coordenadas y de centro el origen. sa

biendo q ue el !atus rectum vale 18 y q ue la distancia entre los focos es 12.

y

Jt91y

1 1

(3.0):F (G,O) X X

·:i '

{6 9)

Proh/ema J(a) Problema J(b)

Latu s ree1u111 = 2b2 / a = 1 8. y 2c = 1 2. Luego b2 = 9a y t = 6. Corno b2 = c2 --a2 = 36 -a2 , se tiene 9a = 36 -a2

, o sea. a2 + 9a -36 = O. Resolviendo. ( a- 3) (a + 12) = O y a = 3, -12. Se desecha a = -12. Para a"l= 9. h2 = 36 -9 = 27 y las dos ecuaciones ped idas son

x2 yt . . . yz xz •

a)9-

27= 1 , o bien. 3x2 - y 2 = 27. y h) 9 -.

"'· l.o bien, 3y2- xi = 27.

.M . .



5 25 11

li'/4-

= T6- í2 -

62 LA HIPER BOLA

4. Ha lla r la ecuación de la h i pérbola de focos (0, ± 3) y de eje imaginario igual a 5.

Datos: e = 3 y h = 2. Luego a2 = c2 -b2 = 9 -- T = --¡ .

Sustituyendo en y2 x2 · y2 x2 -b2 =1. se obtiene = J , o bien , J 00y2 -44x2 = 275.

01 2514

5. Hallar la ecuación de la h ipérbola que tiene su cent ro en el or igen, el eje real sobre el eje x, excentricidad !v7 y laru s rect urn igua l a 6.

.Ya2 + b2 .Y7 2b2

Da tos: e = = -a

-, y latus rectum = - = 6, o sea. b2 = 3a. 2 a

Resolviendo el sistema a2 + b2 = - a2 y b2 = Ja, se obtiene a2 16, b2 = 12.

Susti tuyendo en x2 y2 x 2 y2 - . 2 2

02- b2 1 , la ecuación pedida e.s 1, o bien , 3x -4y 48.

6. Hallar el lugar geométr ico de los puntos cuyo prod ucto de d istancias a las r ectas 4x -3y + 1 1 = O y 4 x + 3y + 5 = O sea igual a 144/25.

Sea P (x. y) un punto genérico cualquiera del l ugar. En tonces.

4x -3y + 1 1 ) ( 4x + 3y + 5 ) = _!.44 . ( -5 -5 25

2 1 2

Simplificand o. 16x2 -9y 2 +64x + l 8y -89 = O, o bien , (x ; ) - (y > = 1.

que es la ecuación de u na hipérbola q ue tiene por asíntotas las rectas dadas.

X


7. Hallar el l uga r geométr ico de los puntos (x. y) cuya d istancia a l punto fijo (0, 4) sea.igual a 4/3 de Ja correspond iente a la recta 4 y -9 = O.

v'(x -0)2 + ( y -4)2 = - (4 y 4 )· y2 x2

Elevando a l cuadrado y simplificando. 9 x2-7y2 + 63 = O. o bien. 9- -=¡

hipérbola.

1 , que es una

-lilíilil...... '"t

lllÍllll.......... _¡ _ f -:; jjj¡¡¡¡¡¡¡.-zf-



(

8 1 .

b2

-w--

2

0

3 W!Q • 1

LA H I PE R BOL1\ 63

8. Hal la r la ecu:ición de la hi pérbola q ue 1iene su ccn1ro en el origen. un vért icl.' en (6, 0) y por una de us asíntota s la recta 4x - 3.r = O.

Escribi mos la ecuación de la asíntota dada en la for ma y = x .

.x2

y

2

h b 4 La s asíntota de-2 1 -

h2 = 1 son ) ' = J -- x. Luego - = - . (/ a 3

e01110 u n vc.rt1

.ce es (6.

O). (/ = 6 y h = -4a

3

= , con o q ue la ecuación es x2 y2l.

36 64

9. H a l la r la ecuación ele la h ipérbola con cen t ro en (-4, 1), un vértice en (2, 1 ) y semieje i magina rio ig ua l a 4 .

La d ista nci a ent re d cent ro y el vért ice es 6; l uego a = 6. El semieje i magi na rio es 4: l uego b = 4.

(x -¡,)2 (y-k )2 (\" + 4)2 (y- 1)2 Sust i t u yendo en -·-·---

(/% 1, se obt iene :

36

-- --- = I.

16

10. Dada la hi pérbola 9.r 2- l 6y2 -- l 8x -64y-199 y -O. ha lla r a) el Ct:nt ro. h ) l os vértices. e) los fo cos. d) la ccuaciom:s de las asíntotas y e) efect uaru reprccntación gráfica.

Pr oced iendo como se indica. escribimos la ecuación en la forma

()'-k )2 X

b2 - = l.

9( \'2

-2x -! 1 )- 1 6(y2

+ 4y + 4) = 199--64 +9. 9(x- 1)2

- 16(y + 2)2 = 144.

(x 1)2 (y + 2)2

-· 9- .= l.

Sol. a) (l,-2); b)(·-3, -2).(5,-2); c)(-4,-2), (6, -2): d) y + 2 = ± 3

4(x- I).

11. Halla r la ecuación de la hipérbola q ue pase por el punto (4, 6) y cuyas asíntotas sean y = ±vTx. 2

Las a·intotas

de

1a

1i1· pe

'r b

o1a

"' 02

2

-·Y h = 1 son y = + b x. 0

)' X . X )' X )1

Opera ndo. ¡; = :t- -¡;· o bien. -¡; = O y • 0

+ ¡; =O.

Como el prod ucto (¿¡. -b y ) ( \' +b y )

= \'2

2

y2 -b'l. = O, se ded uce q ue las ecuaciones de las

asíntotas de;:- := 1 <;e pueden determi nar an ulando el término independ iente y descompo

niendo en factores. En este problema , pues, la ecuación de la hi pérbola t oma la forma

(y-v'I\') (y +v:-i'x)=e(constante).

J

J=



2

4

-

\ 64 LA H I PER BOLA

Sustit uyendo la s coordenadas del pu n to (4. 6). (6 -4 -/3) (6 4 v.3) = e = -12.

Luego la ecuación ped ida es (y -vfy)(y -1- \lfy) = -12. o bien, 3x2 -y2 = 1 2.

Definición. Dos hi pérbolas son conjuf(adas si los ejes rea l e i magi na rio de una de ellas son, respectivamente, el i magina rio y real de la ot ra. Para ha llar l a ecuación de la hipérbola con ju gada de una dadano hay más que ca mbiar en ésta los signos de los coeficien tes de x2 e y2.

12. Ded ucir la ecuación de la h i pérbola conjugada de · - = 1 . Hallar las l.!Cuaciones de las asínto

tas y las coor enadas de los focos de ambas h i pérbolas.

La ecuación de Ja h i pérbola conjugada es- x; + = 1 .

En las dos hipérbola s, e = v9 + 16 = 5. Luego las coord enadas de los focos de la h i pérboladada son (J:5, O), y los de la conjugada (0. :J _ 5).

Las ecuaciones de las asíntotas, y = :t - x, son las mismas para las dos hipérbolas.

13. Hallar el Jugar geométrico de los puntos P( x. y) cuyo prod ucto de las pend ientes de las rectas quelos unen con Jos pun tos fijos (-2, 1) y (4. 5) es igual a 3.

( ) ( -) =3. Simpl ificando. 3x2- y2 +6y -6x -29 = O, una hi pérbola.

14. Demostrar q uc la d iferencia de las d istancias del pu n to (8,8 f )de la hipérbola 64x2 -36y2 = 2.304

a los focos es igual a la longitud del eje real. Estas d istancias son los rad ios focales del punto. 2 2

Escribiendo la ecuación en la forma ; - 6

= 1 . Por tanto , e = ± ,/36 + 64 = ± 10. 4

La longi tud del eje rea l es 2a = 1 2.

Las diferencias de las d istancias del punto (s. ) a los f ocos (± 10, O) es

V ( sv7 )2

sv7 ) (8 + 10)2 + - --o -(8-10)2 + (---O = 58--22 = 12.

3 3 3 3


1. Hallar a) los vér tices, b) los focos, e) Ja excen1ricidad. d) el latus rectum, y e las ecuaciones de las asín tota s de las hipérbolas siguientes:

(1) 4r -45y2 = 180; (2) 49 y2- 16x2 = 784 ; (3) x2 -y2 = 25.

Sol . (1) a) (± 3 v'5, 0); b) ( ±7, 0); c) 15

:

d) 15

8vJ; e) y = ±

15

21v' f x. 5

(2) a) (o, ±4); b) (O, ±v. 65) ; e ) v65., d)T49 ; e>

y = ±74 x.

(3) a) (± 5, O); b) (±5v2, O); e) v2: d) 10; e) y = ± x.



lllil?ilillrm?illlíl.-..........................rr • •r ..-............... ... . ·ifiiiEiDmidltl



2

'

LA HIPERBOLA 65

\ 2. Hallar las ecuaciones de las h ipérbolas que satisfacen las condiciones siguiente s:

a) E je real 8, focos (±5. O). b) Eje imaginario 24, focos (O, ± 1 3). e) Centro (0, 0), un foco (8.0), u n vértice (6, 0).

Sol. 9x2- l6y2 = 144.

Sol. 144y2-25xi = 3.600.

Sol . 7x2-9y2 = 252.

3. Hallar el l ugar geométrico de los puntos cuya diferencia de distancias a los dos puntos fijos (O, 3)y (O. -3) sea igual a 5. Sol. 44y2

- 100x2 = 275.

4. Hallar el l ugar geométrico de los puntos cuya d istancia al punto fijo (0, 6) sea igual a 3/2 de la correspondiente a la r ecta y -8/3 = O. Sol . 5y2

-4x2 = 80.

5. H al lar la ecuación de la hipérbola de centro el or igen, eje real sobre el eje de coordenadas y, longitud del latÚ s rectum 36 y d istancia entre los focos igual a 24. Sol. 3y2

- x2 = 108.

6. Ha llar la ecuación de la hipérbola de cen tr o el or igen , eje r eal so bre el eje de coordenadas y, excen -

tricidad 2v'3y longitud del latus rectum igual a 18. Sol. 1 21y2- l l x2 = 81.

1. Ha llar la ecuación de la hipérbola de centro el or igen, ejes sobre los de coordenadas y q ue pase po r

los puntos (3, 1) y (9. 5). Sol . x2 -3y2 = 6.

\ @ Hallar la ecuación de la hipérbola de vértices ( ± 6, 0) y asín totas 6 y = ± 7x. Sol. 49x2 -36y2 = 1 .764.

@ H allar el lugar geométrico de los puntos cuya diferencia de distancia a los puntos fijos (-6. -4)

2 y (2, -4) sea igual a 6. S ol . ( x 4 2

=

> - (y ) 1.

10. Hallar las coordenadas de a ) el centro, b) los focos, e) los vértices, y d) las ecuaciones de las asínto tas, de la hipérbola 9x2

- l 6y2 -36x -32y-124 = O. Sol. a) (2, -;- 1) ; b) (7, -1), (-3, -1); e) (6, -1), (-2, -1); d) y + 1 = ± i< x -2).

11. Demostrar q ue el l ugar geométrico de los pun tos cuyo pr od ucto de las pendientes de las rectas que los unen con los puntos fijos (-2, 1 ) y (3, 2) es igual a 4, representa una hipérbola. Sol. 4x2 -y2 -4x + 3y -26 = O.

12. Hallar el l ugar geométr ico de los puntos cu yo producto de distancias a las rectas 3x -4y + 1 = O y 3x + 4y -1 = O sea 144/25. ¿Qué curva repr esenta d icho l uga r ?

Sol. 9x2-16y2-18x + 32y-1 51 = O. Hipér bola .

'- 13. Hallar la ecuación de la hipérbola de cen tro (0, 0)1 un vértice en (3, 0) .Y ecuación de una asíntota2x -3y ·= O. Sol. 4x2

-9y2 = 36.

14. Hallar la ecuación de la h ipérbola conjugada a la del Problema 1 3.

15. Dibujar las hipérbolas siguientes y hallar ss puntos de intersección .

X2

-2y2 + X + 8y- 8 = 0,

3x2-4y2 + 3x + l 6y- 18 = O.

Sol. 9y2--4x2 = 36.

Sol. (1 , 1), ( 1 , 3), (-2. 1 ), (-2, 3). 3

16. Demostra r que la diferencia de d istancias del punto (6. 5) de la hipérbola 9x'-16y2

= 144 a

los focos es igual a la longitud del eje real. Estas d istancias son los radios focales del . punto.



,. ,,

J.-- ' e

r

CA PITU LO 8

Transfor1uaciún de coordenadas

I NTRODUCCI ON . En geomet ría analí tica. al igua l q ue en f ísica, es m uy i mporta n te elegi r unsistema de coord enad as. o referen cia, adecuad o con objeto de sim pl ifica r a l máxi mo l as ecuaciones y q ue el proceso de r esol u ción sea l o m;ís rá pid o posi b l e. Ell o se r ealiza med iante una transformación de ejes coordenad os cuyo proceso gen era l se pu ede considerar red ucido a dos movi mientos, u no de tra sl ación y ot ro de 1otoció11.

TR ASLACI O N DE EJES. Sean OX y OY l os ejes pr imitivos y O' X ' y O' Y', para lelos res pect i va

y Y'

mente a los an teri ores. l os nuevos ejes. Sea n •M, ----M' --·-----¡P'A . ) \....,y

también ( h,k) las coor denadas de O' con res pecto al sistema inicial.

Supongamo s q ue (x, y ) son las coordenadas de un punto P con res pecto a los ejes pri mit ivos, y ( x ' , y' ) las coor denadas, del mismo pu nt o, res pecto de los nu evos. Para determina r x e y en función de x' , y' , lt y k se t iene :

x = MP = MM ' + M' P = h + x' e

y = N P = NN' +N'P = k + y'

Por tanto, las e1.:uaciones de la t r::i sl nciónde ejes son :

l 1 J

1

o' ,'1,k.) J N' 1 1

-o1

t--------- N'1----r 1

1

X = X + ft , )' = }'1 + k .

R OTACION DE EJ ES. Sean OX y OY los ejes primitivos y OX ' y OY' los nuevos, siendo O el origen com ú n de ambos sistema s. R epresen tem os por O el ángulo X ' OX de la rotación . Su ponga m os q ue (x ,y) son las coord enadas de un punto Pdel plan o con res pecto a los ejes pri mit ivos,y (x' , y' ) las coordenadas, del m ismo punt o, r especto de Jos nuevos. Para determina r x e y en función de x ', y ' y O, se t iene:

X = OM = ON-M N

= x ' cos O -y' sen O e y =MP = MM ' + M' P = NN ' + M' P

= x' sen O + y' cos O.

y

_ _ _ _ _ x _ _ _ _ :;,r\ pg:;1 .1 _ _,, ... '\ • J I

1 - --- ...- \

•• - 1 \ \ I

' \) \ \ \

1 \

1'•''--- \, N I

'1

' X

Por ta n t o. las f órmulas de J a rot aci ón O de los ejes coordenados son :

x = x ' cos O -y' sen O ,

y = x' sen O + y' cos O.

6tl



=- 45 --=--

f -·

TR ANSFOR MAClON DE COOR DENA DAS 67

PROBLEM AS RESU ELTOS

J . Hallar la ecuación 1.k la cu r va 2x2 1 3 y2 8x t 6 y "' 7 cuando se t raslada el origen de coordenada s al punt o (2.·-1 ).

y Y1 Sustit uyendo x

dada se obt iene r ' 1 2. y y' 1 en la ecuación 1

' co.'iG)

2(.x ' + 2)2 .¡.. 3( y ' -- 1 )2- 8(x ' 1 2) 6(y' -- 1 ) -- 7.

curva refe rida a los n uevos ejes.

i (3,0) -- X:

Desarrolland o y simpl ifica ndo. se llega a La ecuación de la _ _ _ et1 _ _ _ _ _ _ X

2.r'2 1 3y'2 --'- 18.

Esta es la ecuación de la elipse con cent ro en el n uevo origen, con el eje mayor so bre el eje x' y de semiejes " - 3, h = \ 16.

2. Por medio de u na traslación de ejes. transforma r la ecuación 3xi -4y + 6x en la cua l los coeficien tes de l os ténni nos de pri mer grado sean n ulos .

24y = 135 en otra

Sust it u yendo x e y por los valor es x ' + h e v' , k. res pect i vamente.

3( x ' -! /¡)'l- 4(y ' + k )2 + 6(.x' -! h) 1 24( y' 1- k ) - 1 35. o bien

3x'2 -4y'2 + (6'1 + 6)x' -(8k -24)y' 1- 3'12-4k2 1 6/r + 24k 135.

De 6h + 6 = O y 8k -24 = O se obtiene '1 = -1 y k = 3. con lo cual resulta 3x'2 -4y'2 =- 102.

Esta es la ecuación de una hipérbola con centro en el origen , eje real o t ransver sa l sobre el e je x

y -;emiejc real igual a \134

Otr o método. A veces, para el imin ar los térmi nos de primer grado de u na ecuación, se sigue el método q ue se da a continuación .

Sumando y r estando los térmi nos q ue se ind ican ( para completa r cuadrados) en la ecuacióndada 3x2

-4y2 + 6x + 24y = 135.

resulta 3(x2 + 2x + 1 ) -4(y 2-6y : 9) - 102.

o bien. 3(x + 1)2 -4(y -3)2 = 1 02.

Sustituyendo x + por x' e y-3 por y' resulta

3x ' 2 -4y'2 = 102.

3. Ded ucir Ja ecuación de la parábola x2-2xy + y2 + 2x -4y + 3 = O cua ndo se giran los ejes

un ángulo de 4º. x '-y'

x = x' cos 45°-y' sen 45º ,12

e y = x,sen

º + y,cos 450 = - x -' + y '

. ,12

Sustituyendo estos va lor es en la ecuación dada

(- x' y' 2 ( x'vÍ ) ( ·;/··) + ( x '$ 2y ' ) t+ 2 ( _x' 2 y' )-4 ( x' /' ) +3 = o.

Desarrollando y sim plificando se obtiene 2y'2-vfx'-3\1iy' + 3 = O. que es Ja misma



B

TRA NSFOR MACI ON DE COORDENADAS

para 1e1a con su ve.rt1.ce en ( 3v-2-,

8

3v2) y su ej.e para 1e1o e1 nue vo ej.e x. 4

4. Hallar el ángulo de rotación de ejes necesario para elimina r el término en xy de la ecuación 7x2

-6v'3xy + 13y2 = 16. Sustituyendo en la ecuación dada x = x' cos O -y' sen O

e y = x' sen () + y ' cos (J. Se obtiene,

7(x ' cos O - y' sen 0)2-6v3(x' cos () -y' sen O) (x' sen O + y' cos O)

+ 13(x' sen O +y' cos 0)2 = 1 6.

Desar rollando y reduciendo térm inos semejantes,

(7 cos20 -6v3sen O cos O + 13 sen20)x'2 + [12 sen O cos O -6v'3(cos20 -sen20)]x'y'

+ (7 sen2{) + 6v'f sen () cos {) + 1 3 cos20)y'2 = 16.

Para eliminar el término en x'y', igualamos a cero el coeficiente de dicho término y despe jamos O,

12 sen {) cos O -6v'3(cos20 -sen20) = O, o

6 sen 28 -6v3(cos 20) = O.

Luego tg 20 = v'3. 20 = 60º, de donde () = 30º.

Sustit uyendo este valor de fJ, la ecuación se red uce a x'2 +4y'2 = 4, que representa una elipse de centro en el origen y que tiene sus ejes sobr e los nuevos. Los semiejes mayor y menor son, respec tivamente, a =2, b = 1 .

LA FORM A M AS GENERA L de Ja ecuación de segundo grado es

Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey +F = O.

En el estudio general de esta ecuación, se demuestra que el ángulo O que se deben girar los ejes para eliminar el término en xy viene dado por

tg 2{) = A -e·

5. Med iante u na traslación y una rotación de ejes, reducir la ecuación

5x2 + 6xy + 5y2-4x + 4y -4 = O

a su forma más simple. Hacer un esquema en el que fi$uren los tr es sistemas de ejes coordenados.

Para eliminar los términos de primer grado hacemos x = x' +h, y = y' +k.

5( x' + h)2

+ 6( x ' +h ) ( y' + k) + 5(y ' + k)"' -4(x' + h) + 4( y ' +k) -4 = O. Desar r ollando y agrupando términos,

5x' 2 +6x'y'+5y' 1+(10h + 6k-4)x'+(I Ok +6h +4)y'+5h1+6hk + 5k 2 -4h +4k -4= O.

Resolviendo el sistema for mado por IOh + 6k -4 = O y I Ok + 6h + 4 = O se obtiene h = 1, k = -1.Luego la ecuación se red uce a

5x'2 + 6x'y' + 5y' 1 = 8. 6

Para hallar º·se emplea Ja fórmula tg 20 = A !!._ e --5 -5-= OO. Por tanto, 20 = 90º, () = 45°.

,, ,, '' + ,, Las ecuaciones de la r otación son x' = x - y , y' =!._-l-.

v'2 v'2



6 (

TRANSFOR MACION DE COORDENADAS 69

Sustituyendo,

5 ( x"-:iy" )2

+ x" -:iy" ) ( x " / " ) .!. y ,•

+5C":/ .. r = 8.

Desarrollando y si m plificando, la ecuación se red uce a

(0.2)

""t'

X

4x"2 + y"2 = 4,

que es una el i pse con sus ejes sobre los x" e y ",con cent ro en el n uevo or igen. sem ieje mayor 2 y semieje menorigual a l .

LA ECU ACION G ENE RA L Ax2 + Bx y + Cy2 + Dx + Ey + F = O, excepto corresponde a una sección cónica. Se demuestra que si el d iscriminante

82 -

4 AC < O, la curva es una elipse, 82

-4AC =O, la curva es una parábola,

B2-4AC > O, la curva es una hipérbola.

en casos pa rticulares,

En los casos particulares, la ecuación puede r epresentar (degeneración) dos rectas, un punt o o rectas imaginar ias.

6. Hallar la naturaleza de la cur va representada por la ecuación :4x2 -4 xy +y2 -6x + 3y + 2 = O. Como 81

4A C = 16- 16 = O, puede ser una parábola. -

Agrupando términos, esta ecuación se puede descomponer en factores.

(4x2-4xy +y2

) -3(2x-y) +2 = O,

(2x -y)2 -3(2x -y) + 2 = O, (2x - y-1) (2x - y -2) = O.

Se trata de las dos recta s paralelas , 2x -y - 1 = O y 2x -y-2 = O.

7. Determinar la nat uraleza del lugar geométrico repr esentado por la ecuación 9x2-l2xy + 7y2 +4 =0.

En este caso, 82 -4AC = (144 -252) < O, que es la condición necesaria para Ja el ipse. Sin embargo. escribiendo esta ecuación en la forma

(3x -2y)2 + 3y2 + 4 .....,. O

se observa q ue no se satisface para valores reales de x e y . Por canco, el l ugar en cuestión es ima ginario.

Otr o método consiste en des pejar y en función de x, + 12x ± v{l2x)1-4(7)(9x1+ 4)

y = 2(7) + 6x ± v-(27x1+ 28)

1

El lugar geométrico dado es imaginario para todos los valores reales de x.

8. El im inar los términ os de primer grado en la ecuación 3x2 + 4y2- 1 2x + 4 y + 13 = O.

Sumando y restando términos. pa ra completar cuad rados, 3(x2-4x + 4) + 4(y2 +y + !) = O,

o sea. 3(x -2)11 + 4(y + )2 = O.

Haciendo x-2 = x' e y + != y' se obtiene 3x' 2 + 4y'2 = O.

Esta ecuación solo se satisface para x' = O. y' = O, q ue es t:l nuevo origen .

El l uga r geométrico repre sentad o por la ecuación orig111a l se r ed uce a u n punto (2, -j).

-



= -- - --·

_

1

70 TR ANSFORMACION DE COORDENADAS

9. Simplifica r la ecuación siguiente: 4x2-4xy + y 2

-8 \fsx -16\/SI' - O.

Como 82- 4AC = O, puede t rata rse de u na pa rábola .

En el caso de la pa rábola. con viene gi ra r los ejes a n tes dt.> efect uar la traslación .

tg 20 = -4 =-4 .De donde cos 2() :....:: -

3.. 4 1 3 5

Como cos 20 = 2 cos2 (J-1 =- . cos2 fJ = +· cos O = - , y sen () .-...2

5 . .. x '-2 y' 2 x' + y' .

Las ecuaciones de la rotac1on son x v s y = -v·- s--·· Sust11uycndo.

Js•

4 ( x' }.v' )2-4(-x'-!y') ( 2x' :y' )+ ( 2x' +y ')2-8v'5 ( x' -!y' ' ) - 1 6 v'5 ( 2x' -y' ) = O.

v 5 ,15 v s v'5 v'5 v'5

Desarrollando y simpl ificando se obtiene y' 2 -8x' = O, q ue es u na pa rá bola .

X

Prob/e111a. 9 Problema !U

10. Simplifica r la ecuación xy -2y -4x = O. Hacer un esquema con los t r es sistemas de ejes.

Como 82-4AC = 1 > O, la curva, si existe, es una hipérbola .

Sustit uyendo x = x' + h, y = y' + k . se obt iene .

(x' + h) (y' + k ) -2(y' + k ) ·-4(x' + h) = O, o bien,

x'y' + (k -4)x' + (h -2)y"+ hk -2k - 4/i = O.

Para k = 4, h =- 2, se llega a la ecuación x' y' "" 8.

Para hallar el ángulo de la rotación : r.g 20 = = l"lV, 20 = 90", O = 45•.

Luego x' = x " -:iy" , y' = x" :.y ( ,

") (:' "', / '' ) = 8.

Simplificando, la ecuación final es x" 2 - y" 2 16, una h i pérbola eq uilátera.

ll.Hallar la ecuación de la cónica q ue pasa por los pu nt os (1, 1 ). (2, J), (3, -1), (-3. 2), (-2. -1). Divid iendo por A la ecuación genera l de segu ndo grado,

x 2 + B' xy + Cy2 + D'x + E'y -1- F' = O.



J

TR ANSFOR M ACION DE COOR DENADAS 71

Sust it uye ndo las coord enadas de los pu nt os por x e y,

8 ' -1 C + f)' ! E' -! F ' -1

68' +9C r 20 ' + JE ' -1 F' = -4

-38 ' + C + JO'- E' 1 F' =- -9 -68' 14C -30' + 2E' + F' = -9

28' 1 C -20'- E ' + F' - -4

R eso1v1.cndo eI s.i stema. 8 . =98 ·( "= 91 3 · f. . = -91 . E -· = T19

• F ' ...::- -292 ·

Sustit uye ndo estos valores en la ecuación original y simpl ifica ndo resulta

9x2 + 8xy- 1 3y2.· + 19y-22 - 0.

Como 82-4 AC = (64 ·I 468) > O. l a cón ica es u na h i pérbola . y

Otro método de resolver esle problema es el siguien te. La ecuación de la recta AB es x-5y + 13 = O. y l a de CD

es y -1 1 = O. La ecuación de este par de recta s es (y f- 1 ) (.\ -5y + 13) = X )' - 5y2 + x ...¡. 8 y + 1 3 = 0.

Análogamen te. la ecuación d el par de rectas A f) y BC es12.\'2 + 7xy 1 y2

-5x -4y-77 = O. La fa mil ia de cu rvas q ue pasa n por los puntos de in ter sección

de estas rectas e

xy - 5y2 L x ,- 8y + 1 3 -+ k( l 2x 2 + 7x y +. y 2- 5x -4 y -77 ) = 0.

Pa ra determi nar la curva de esta fa mil ia q ue pase por el q u in to pun to ( l . 1), se sustit uyen x e y por las coordenada s de ésle y se despeja el valor de k ; se obtiene k = 311 1 .

Pa ra este valor de k . la ecuación es

9x2 + 8xy- 1 3y2 -x + 19y -22 = O.

PROBLE M AS PROPUESTOS

l. Apl icando las fórm u las de la traslación de ejes. x =- x ' + h. y = y ' + k , red ucir las ecuaciones si gu ientes a su forma más simple y establecer la naturaleza de la figu ra q ue repr esentan.

a) yz -6y -4 x + 5 = O. Sol. y2 = 4x. Parábola .

h) "2 + y2 + 2x -4 y -20 "-'" O. Sol. x2 + y2 = 25. Ci rcunferencia. l) Jx2 -4 yt -j 12x + 8y -4 = O. Sol . Jx2

-4y2 = 12. H i pérbola .

e/) 2x2 + 3y2-4 x t- l 2y -20 = o. Sol. 2xt + 3y2 = 34. Elipse.

e ) x2 + 5 y2 + 2x -20y + 25 = O. Sol. x2 +5y2 + 4 = O. El i pse imaginaria.

2. Eliminar los térm inos de primer grado de las ecuaciones siguientes com pletando cuadrados perfectos.

a) x2 + 2y2-4x + 6y -8 = O. Sol. 2x2 + 4y2 = 33.

,,) 3x2-4y2

-,. 6x -8y-10 = O. Sol. 3x2 _ 4y2 = 9.

e)

d)

2x2 + 5y2- 1 2x + I Oy-17 = O.

3x2 + 3y2- 12x + 12y -J = 0.

Sol . 2x2 + 5y2 = 40.

Sol. 3x2 + 3y2 = 25.



72 TRANSFORMACI ON DE COORDENADAS

3. Por medio de u na t raslacíón de ejes. eli mi nar los térmínos de primer gr ado de la ecuación 2xy - x - y

+ 4 = O. Sol. 4xy + 7 = O.

4. Por med io de u na traslación de ejes. el im inar los térm inos de pri mer grado de la ecuación x2 + 2xy

+ 3 y2 + 2 x -4 y - 1 = O. Sol . 2 x2 + 4 xy + 6y2- 1 3 = O.

S. Halla r la nat uraleza de las cónicas siguien tes ten iendo en cuenta el valor del d iscri mi nante 8 2 -4AC.

a) 3x2-1O xy + 3y2 + x -32 = O. Sol. Hi pérbola.

h) 4 1x2-84 xy + 76y2 = 168. Sol. El ipse.

e) 1 6x2 + 24 xy + 9yi-30x + 40 y = O. Sol . Parábola.

d) x y + x -2 y + 3 = 0. Sol. Hipér bola.

e) x2 -4 xy + 4y2 = 4. Sol. Dos rectas paralelas. • ¡

6. Por medio de una rotación de ejes, sim pl ificar la ecuación 9x2 + 24 xy + l6y2 + 90x- l 30y =O y hallar la nat uraleza de la figura que representa. Sol. x2

-2x -6y = O. Parábola.

7. Por med io de una rotación de ejes de valor O = are tg , simplificar la ecuación

9x2 + 24xy + 16y2 + 80x -60y = O.

Hacer u n esquema con am bos sistemas de ejes. Sol. x2-4y = O.

8. Sim.plíficar las ecuacíones sigu ientes por med io de una t ransformacíón adecuada de ejes y d i bujar la figura q ue representan así como los sistemas de ejes.

a) 9x2 +4x y + 6 y2 + 1 2 x -t 36y + 44 = O. Sol. 2x2 t yz 2.

h) xz-1Ox y + y2 + x + y + 1 = O. Sol . 32x2-48y2 =9.

e) 17x2- 1 2 x y + 8y2

-68x + 24y- 12 = O. Sol. x2 +4y2 = 16.

d) 2x2 + 3 x y + 4y2 + 2 x -3y + 5 = O. Sol. 1m.aginaria.

9. Hal lar la ecuación de la cónica q ue pasa por los puntos (5. 2), (1, -2), (-1.1), (2, 5) y (-l,-2). Sol. 49x2

-55 x y + 36y2- l I Ox - 19y -231 = O. Eli pse.

10. Hallar la ecuación de la cón ica q ue pasa por los pun tos (1, 1 ), (-1, 2), (0, -2), (-2,-1), (3, -3).

Sol. 16 x2 +46xy + 49y 2 + 1 6x + 23 y-1 50 = O. El i pse.

11. Halla r la ecuación de la cónica q ue pasa por los puntos (4, 1), (2, 2), (3, -2), (4, -1), (1 ,-3). Sol. 1 7x2

- 1 6x y + 54y2 + llx + 64 y-370 = O. El ipse.

12. Hallar la ecuación de la con1ca q ue pasa por los punto s (1, 6), (-3, -2), (.-5, 0), (3, 4), (O, 10)

Sol. x y -2x + y -10 = O. Hipérbola.

_.::.



CA PITU LO 9

Coordenadas polares

COOR DENADAS POLA R ES. En l ugar de fijar la posición de un pu nto del plano en función de sus d istancias a dos rectas perpendiculares es preferi ble, a veces, hacerlo en fu nción de sud istancia a u n pun to fijo y de la d irección con respecto a u na recta fija q ue pase por este

pu n to. Las coordenadas de u n pu n to, en esta referencia, se llaman coordenadas polares.

El pun to fijo O se denomina polo y la recta fija OA se llama eje polar.

Las coordenadas polares de un pu nto P se representan por (r; O), siendo r la distancia OP y O el ángulo AOP. La d istancia r medida desde O hasta P es positiva. I gual q ue en trigonomet ría , el ángulo () es positivo cuando se mide en sen tido cont rario alde las agujas del reloj; r es positivo cua ndo se mide desde el polo

al pun to, 'X _ negativo en caso con trario. Si r y O están relacionados por u na ecuación cualq uiera , se

pueden asignar valores a O y determi nar los cor respondientes de r. Los puntos que r esultan constituyen u na lí nea, recta o cu rva, defi nida.

P ( r .e)

o A

...

SI METRIAS. Igual q ue ocu r re en el caso de coordenadas car tesianas rectangulares, cua ndo seemplean coordenadas polares también se dispone de cr iterios para averiguar las si metrías q ue puede presen tar una l ínea o lugar geométrico cualq uiera .

Si la ecuación no se mod ifica a l sustit ui r O por -0, la cu rva es si métrica con respectoal eje pola r.

La cu rva es simétrica con respecto a la perpendicular al eje polar q ue pasa por el polocuando la ecuación no va ría al susti tu i r () por n -O .

U na curva es simétrica con respecto al polo cuando la ecuación no va ría al sus1i1ui r r

por -r, o cuando se sustituye O por n + O. '

RELACION ENTR E LAS COOR DEN A DAS R ECTA NG U LA R ES Y POLA R ES.

Consideremos al pun to P(r ; O) y su pongamos q ue el eje polar OX y el polo O son, r espectivamente, el eje x y el origende un sistema de coordenadas recta ngulares . Sean (x. y ) las coordenadas recta ngulares del mismo pu n to P. En estas con-

dicione..s,

y p(x,y'. {r,8)

x = r cos O, r y

y = r sen O,

r = y'X2 + y2, X X

! ' y O = are tg X .

X

73

•



2

•

PROBLEMAS RESUELTOS

Como se conocen dos lados de un triángulo y el án gu lo q ue forman, el tercer lado se puede determinar me d iante el teorema del coseno.

X

2. Hallar la d ista ncia entre los pun tos (6; 1 5º) y (8: 75º).

Apl icando la fórm ula del Problema 1, d = V6'+81-2(6) (8) cos (75"-15º)

= v'36 + 64 -96(!) = 2v'l3.

3. Hallar la ecuación en coordenadas polares de la circunferencia de centro (r 1; fJ1) y radio a.

Sea (r ; 0) un punto genérico cualquiera de la ci rcunferencia.

Del triángu lo de Ja figura se obtiene la ecuación a2 = r 2 + r 1 -2rrl cos (fJ-01)

o bien,

X

Pr oblema 3 Problema 4

4. Ha l lar la ecuación de Ja circunferencia de centro (a ; Oº) y rad io a.

Se tiene. 01 = Oº. Del triángulo se ded uce, a2 = r 2 + a2-2ra cos fJ.

Luego la ecuación ped ida es r 2 =2ar cos O o r = 2a cos O.

5. Halla r el área del triángulo cuyos vértices son los puntos (O ; 0), (r, ; O,) y <rú 02).

Area = (OP1) (h)

= t(r1)r 2sen (02 -01)

= r1r2 sen ( 02-01 ).

6. Hallar el área del triángu lo cuyos vértices son les puntos (O: 0). (6; 20°) y (9: SOº).

Area = !r 1r sen (02

- fJ 1 ) = t(6)(9) sen (50 -20 ) = 13,5 un idades de superficie .



74 COOR DENA DAS POLAR ES COOR DENA DAS POLA R ES 75

7. H a l lar la ecuación de la r ecta q ue pasa por el pun t o (2; JOº) y es perpend icular al eje polar OX.

Sea (r : 0) u n p u n to genérico cua lq u iera de la recta.

Se tiene r cos O = 2 cos 30" = 2( J ) - VT.o bien, r cos O = v'J

(r,8 )

(2,0'J

X

Probl ema 7 Problema 8

8. Halla r la ecuación en coordenadas polares c!e una recta para lela a l eje polar OX y situada por de bajo de él a una d istancia de 4 unidades.

Sea (r ; -0) un pu n to cualq uiera de la recta L. Se tiene r sen (-0) = 4. o sea. r sen O + 4 - O.

.. Nota . eos (-8) = co:. O ; sen (-0) = - sr n O.

9. Hallar la ecuación de la recta q ue rase por el pu n to (4; 30º) y forme en ángulo de 150º con el ejP. polar .

Sea (r: O) un pun to cua lq u iera de la recta.

Se tiene , OA = r cos (O -60") ·:: 4 sen 60', o hicn, r cos (O -60º) = 2VJ.

X o X

Pr oblema 9 P roblrma J O

10. Hallar la ecuación de la recta que pase por el pu nt o (4; 120º) y sea perpendi cula r a la que une (4; 120º) con el polo (O; O). Sea (r ;8) un p u nto genérico cualq u ier a de la recta .

las rectas L y d son perpendiculares . Por tanto, d = r cos ( ()-120º) y la ecuación de l es r cos ( O-120º) = 4.

La ecuación r cos ( e- 1 20º) = 4 es la forma polar de la fonna normal de la ecuación de larecta en coordenadas recta ngulares. siendo p = 4 y ,,,= 1 20º. ·

tl . Hallar el lugar geométrico de los puntos P( r : 0) de manera OP

que M P = e (constante).

M P = NO + OQ = p +'r cos fJ. Como OP = e( M P ), r = e( p + r cos 0)

D

M ---------- P ( r.8 ) t 1 1 1

o r = ep . N o Q X

1 -e cos O

D'



+

Si D' D estuviera a l 1 derecha del polo O, la ecuación sería

ep r =

1 + e cos fJ.

Como el punto (r ; l') se mueve de forma q ue la relación de sus distancia s a l punto fijo O. polo, y a la recta fija D'D es constante e igual a e, la curva es u na cónica cuya naturaleza depende del va lor de e.

Si la recta fija D'D 1:s paralela al eje polar, la ecuación torna la forma

ep r -- ---'---- - 1 T e sen fJ •

1 2

12. Hallar la naturaleza de la cónica defin ida por la ecuación r -= 4 3 cos 0 . J

Divid iendo n umerador y denom i nador por 4 se obtiene la ecuación r = 1 -l-icos () .

Luego e = ¡y la cur va es una elipse.

Como e p =3, o sea, iP = 3, se obtiene p = 4, con lo cual, la directriz D'D es perpendicularal eje polar y está a 4 unidades a la der echa del polo.

13. Hallar la ecuación en coordenadas polar es de la eli pse 9 x" + 4 j' = 36.

Aplicando las relaciones x = r cos 8, y = r sen O, y sustituyendo en la ecuación dada se obtiene

9r" cos20 + 4r "sen"8 = 36, o bien , r'(4 + 5 cos"8) = 36.

14. Escribir la ecuación siguiente en coordenada s rectangular es :

r '-2r(cos fJ -sen fJ) -7 - O.

Sustituyendo r = V x + y. () = ar e tg .!'.., se obt iene la ecuación X

x2 +y -2v x + y2 ( x - Y ) -7 = O, o bien, x' ' + y"'-2 x + 2y -7 = O, v;<J + y 2 vx' + i'

que es una cir cunferencia de centro (1, -1) y radio 3.

15. Escri bir la ecuación siguiente en coordenadas rectangulares :

r = 4

1 -cos () , o bi

.

enr (I -

cos

8

) = 4. Sustituyendo r = V x2 + y2 y cos () = v x+ se obt iene V xi + y2 (1 -

V x+ )-4

x• y2 - xt y2 - ·

Sim plificando, V x' + y2 - x = 4, o bien ./X'+ y2 = x -4 4.

Eleva ndo al cuadr ado, x1+y1= x' +8x + 16. o bien, y2-8x-16 = O, que es la ecuación de una parábola de vértice (-2,0) y simétrica con res pecto al eje x.

16. Escri bir la ecuación siguiente en coordenadas rectangula r es e ident ificar la curva .

'=1 -2 sen O ·



COOR DENA DAS POLA R ES 76

1

1

1

X

I

Sustit uyendo.

Simplificando,

COOR DENA DAS POLA R l:S 77

\./ x2 + y2 = _ ---1-.,,,--

2y 1- -==-

\'1-:-\'. 1 y2

\ 'x2 + y2 . Vx2 + y 2 =-- -; ======::=- ,o bien. Vx2- y 2

( \ 'x2 + y 2 -2y-1 ) = O. x2 -l y2-2y

Pero v x2 + y 2 = O solo pa ra x - y O.

Eleva nJo al cuadrado y si mpl ifica ndo la ecuación \1 x2 + y 2-2y-1 = O se obt iene x2 -·3y2 -4y-1 = O; se trata de una hipérbola.

17. Hallar las coordenadas de los pun tos de i ntersección de las cur vas sigu ientes:

( 1 ) r = 1 -cos (J

(2) ,. = sen O.

Sabe mos por trigonometría que 1 -cos O = 2 sen2 tO.

Por tant o. 2 sen2!f:I = sen !O, o bien , sen iO (2 sen O- 1 ) = O. De donde, sen () = O, A.

Para sen iO =- O, O = O"; para sen !O = !.!O = 30º. 1 50º, y {) = 60º, 300º.

Luego las coorde nadas de los pu n t os de i n ter sección son (0, Oº), (i. 60º), ( . 300u ).

18. Hallar el cen tro y el rad io de la circunferencia r2 + 4r cos {)-4 ,13 r sen () -20 -O.

Aplicand o la ecuación de la circunferencia dada en el Problema 3 y desa rr ollando se obtiene

r 2 -2r(r 1 cos 0 1 cos O + r sen 01 sen 0) + r 2 -a2- O

o bien , r2

-2r 1 cos 0 1 r cos O- 2r 1sen 01 r sen O + r 2 -a2 = O. Comparando la ecuación dada con esta última,

(1) -2r 1 cos 01 = 4, (2) 2r 1 sen 01 =4 ,1 3, y (3) r 1 -a = -20. 2 2

Dividiendo la ecuación (2) por ( !), tg 01 = -\13, 01 = 1 20º.

Sustit uyendo en (!), -2r 1(-!l= 4. de donde, r 1 - 4. De (3). 16 -a2 - -20, a - 6.

L uego el cen t ro de la circu nferencia es t'f pun to (4: 120 ) y su rad io vaf e 6.

19. Hallar el lugar geométrico de los puntos cuyo prod uc t o de d is tancias a los dos fijos (-a ; Oº) y (a: O ) sea igua1 a a2•

P(r,B)

Del triángu lo AOP se ded uce,

AP =va2 + r 2 -2ar cos ( 180º -O) = v ' a2 + r 2 + 2ar cos O.

Del triángul o BOP. PB = va2 + r 2 -2ar cos O.

( AP )( PB ) = (a2 + ,2)2 _ 402,2 cos20 =- 02.

Elevando al cuad rado, a4 1- 2a2r 2 + r '1-4a2r 2cos20 = a4•

Simplificando, r 4 + 2a2r 2 -4rh 2 cos20 ., O, o bien, r 2(r 2 + 2a2 -4a2 cos20) = O.

Luego la ecuación pedida es r 2 + 2a2 -4n2 cos20 ,_ O.

o sea, r 2 = 2a2(2 cos20-1) = 2a2 cos 20. (Lemn iscata. Ver Problema 25.)



o Oº 1 30" 1 60" 90" 1 20" ¡ 1 so" ¡ 1soq 2 10" 240" 270" 300º 330º 360º

r ex,. r 14,9 4 2 1,3 1 1 ,1 1

1 '

1 ,1 1 ,3 2 4 14,9 00

O'' 30n 45° 60º 90º 120º 1 35º 1 50 180''

1 0 8,7 7.1 5 o -5 -7.1 -8,7 -10

-cos o .

•

18 COOR DENA DAS POLA Rl-.S

20 . U n i.cgmen to de longi tuc 2a tiene sus ext remos so bn:s dos recta s fijas pcrpe ndicula rc::.. H a lla r d l ugar geomét rico de ! pie de la per pend icular t razada desde el pu n to d ! inter sección de las r ectas a l segmen t o.

Sea una dr las rectas fijas el eje polar y el pu n to de inter sección de lasrectas dadas el p..:> lo.

Se t iene O A

es deci r.

OP sec O = AB cos ( 90 , -- 0)

r sec O = 2a cos (90"- O)e

o bien. ·--··= 2a sen O. cos (}

o A X

Luego ,. =- 2a sen O cos (} , de donde, r - a sen 2fJ . (Trébol de cuatro ho jas.)

21 . Estudia r y d i bu1ar el luga r geométr ico de ecuaci ón r - 10 cos fJ.

Corno co::. -fJ) -= cos fJ. la cur va es si métrica con r espec to a l eje polar . El ángu lo O puede tomar cua lq uier valor, pero r va ría de O a ± 10: l uego la cur v a es cerrada.

Para hallar puntos de ella, damos valores a () y calculamos los cor r espond ien tes de r. Por el Pr o blema 4 sabemos q ue el l ugar dad o es una cir cunferencia de rad io a = 5 y cen t ro en el eje polar.

()

-- r

120• 90' GO' 45• 30'

X

Pr oblema 21 Pr v bf,•111a 22

2 22. . Di bujar la curva o l ugar geomé t rico de ecu"ción r ------,,..

1 ... Como cos (-0) = cos O, la cur va es simét rica con res pecto al eje polar .

Pa ra O -- O'', r es infin ito: para O = 1 80º. ,. - l. La cu rva es abier ta.

Según el Problema 1 1 , se trata de una pa rabola .

1

23. Di bujar el t r ébol de t r es hojas de ecuación r = 10 sen 30.

Como el sen o es positivo en los cuad rantes 1 .º y 2.º y n egati vo en los 3." y 4.0 la cur va es simé

t rica con respecto a la recta perpend icular al eje polar t r azada por el polo.



o Oº 1 30 1 1 60º 90" 120º 150'' i 1 80º 1 21 Oº 240° 270º 300º 330° ,. o 10 o -10 o 10 1 o -10 o 1 0 o ·-10

o 20 cos 20 ,. o o -:±-3

1 5º 30º 0

-,866

-

0,5 ·

±2,8

-· ± 2,I 30º 60º 45" 90º o o

1

COORDENADAS POLARES 79

El va lor de r es ce r o cuando 30 sea Oº. 1 80º, o algún múl ti plo de 180". es decir. para O = Oº, 60º, 120º. . . . Por el con t rari o. r a lca nza un máxi mo cuando 30 =- 90º. 270º. o algún m ú ltiplo im par de 90º. e dl!ci r, para O ==- 30 . 90". 1 50·. . . .

1 1 1

l Prob/e111<1 2.1

24. Dibujar la C"ardioide de ecuación r - 5( l + cos 0).

La curva es simétrica con res pecto al eje pol ar .

Corno cos O varía entre 1 y -t.r no puede ser negat ivo.

El valor de r va r ía de 1O a O cuando O lo hace de Oº a 180".

Pr oblema 24

(}

10

30" 1 45" 90º 120º J 135º 1 50 J 180"

,. 9,3 ¡ 8,5 i7 5 --J-2.5-'; 1 .5----1--,6-., _l._ -o

25. Dibujar la lemniscata de ecuación :

r 2 9 cos 20.

Si se sustit uye r por -r y O por -0, la ecuaci ónno se mod ifica, ya q ue cos (-20) = cos 20 y (-r)2

= ,.2. La cu rva es. pues. simét rica con rc::specto al polo y con respecto a 1 eje poi a r.

El valor de r alcanza un máximo para () -:o O'', ya q ue cos O' ::- 1 . con lo q ue r = 3.

Para 45° < (j < 135", y 225º' < () < 315º. r es i maginario .

Pa ra () = +45 . cvs 20 = O; de donde r = O. y tas rectas O = L n/4 son tangente s a la curvaen el origen.

r = :i- 3vcos 20 .-

-

-



r 80 COORDENADAS POLARES

26. Hallar el lugar geomét r ico de los puntos cuyo radio vector sea proporcional al ángulo.

La ecuación es r = aO. La cu rva q ue cumple esta cond ición se llama espiral de Arquímedes.

(} o n }6 n/3 n/2 n 3n/2 2n

r o 0 ,52a · 1,6a 3,la 4,7a 6,3a

150•

180'

120' 90· 60' 30'

X'

X

Pr oblema 26 Prublema 27

27. Siendo P( r ; 0) un pu n to cualq uiera , demost ra r q ue cuando el eje pola r gi r a al rededor del polo O un ángulo a se verifica, r ' = r y (}' = O -a. siendo (r'; O') las n uevas coordenadas del punto.

Las fórmulas de la rotación de ejes en coordenadas polare s son O = O' + a y r = r'.

28. Dem ost rar que si se gi ra el eje polar un ángulo de 90º en el sentido contrario al de las agujas del r elo j , la ecuación de la cardioide del Problema 24 se t ransforma en r = 5( 1 -sen O).

Se sustituye O por 90º + o·. Entonces, r' = 5\1 +cos (90º + O')) = 5(1 -sen O' ), ya que cos (90º + O' ) = -sen O'.


1. R epr esentar los puntos: (2; 30º), (-3; 30º), (5; 75º). (3; 2 10°), (2; n / 2), (-2; 270º), (-4; 300c), (-3;-5n /6), (4 ;Oº), (0; 30º), (O; 60º).

2. Hallar la distancia entr e J os par es de puntos siguientes, expr esando los r esultados con una cifra

decimal. a) (5; 45º) y (8; 90°). Sol. 5,7. b) (-5; -120º) y (4; 150º). Sol. 6,4. e) (50; 30º) y (50; -90º). Sol. 86,6. d) (3; 150º) y (-2; 60º). Sol. 3,6.

3. Hallar el área de los triángulos cuyos vértices son el polo y los pares de puntos del Pr oblema 2. Sol. a) 14,14 ; b) 10; e) J082,5; d) 3.

4. Hallar la ecuación polar de la recta q ue pasa por el punto (4; 120º) y es perpendicul ar a OX. Sol. r eos (J + 2 = O.

5 . Halla r la ecuación polar de la recta que pasa por el punto (3; -30 ) y es paralela a OX. Sol . 2r sen (J + 3 =O.



COOR DENA DAS POLA RES 81

6. Hallar la ecuación polar de la recta q ue pasa por el punto (2; 120º) y por el polo. Sol . O = 2JT/3.

7. Hallar la ecuación polar de la recta q ue pasa por el punto (4 ; 21l/3) y es perpend icular a la r ecta que u ne el origen con d icho pu n to. Sol . r cos (O -21l/3) = 4.

8. Hallar la ecuación polar de la recta q ue _Jasa por el punto (3; Oº) y forma un ángulo de 3Jt/4 con eleje polar. Hal lar r pa ra O = -n / 4 y razonar la res puesta . Sol. vi r cos ( 0 -n/4) = 3.

9. H allar la ecuación de la r ecta que pasa por el punto (4; 20º) y forma u n ángu lo de 140º con el eje pola r. Sol. r cos ( 0- 50º) = 2v3.

10. Hal lar la ecuación polar de la circu n ferencia de centro el po lo y rad io igual a 5. Sol. r = S.

11 . Hallar la ecuación po lar de la ci rcu nferencia de cen tro (4; 30º) y radio igual a 5. Sol. r 2 -Sr cos ( O -:rr /6) -9= O.

12. Hallar la ecuación de tas circunferencias siguientes:

a) Cen t r o (3; O") y q ue pasa por el polo .

b) Centr o (4: 45°) y q ue pasa por el polo.

e) Cent ro (5; 90 ª ) y q ue pa sa por el polo.

d) Que pasa por el polo. por (3: 90º) y por (4: o ).

Sol. r = 6 cos fJ.

Sol . r = 8 cos (O -45°). Sol. r-1O sen O = O.

Sol . r = 4 cos O + 3 sen O.

13. Ha llar la ecuación de la cir cunferencia de centro (8; 120º) y q ue pasa por el punto (4: 60º). Sol. r 2- l 6r cos ( O-120°) t 16 = O.

14. Por comparación con la ecuación del Pr oblema 3 de la sección de resueltos, hallar el cen t r o y el radio

de la ci rcunferencia r

2-

4r cos ( 0-

n/4)-12 = O. Snl. (2. :rr /4), rad io 4.

15. Dada la ci rcunferencia r 2-4vJ r cos O -4r sen O + 1 5 = O, hallar las coordenadas del centr o y el rad io. Sol. Cen t ro (4; n/6), rad io 1 .

16. Halla r Ja ecuación de la ci r cunf er encia de centro (8 ; n /4) y q ue sea tange nte a l eje po lar.

Sol. r 2- 1 6r cos ( O -n/4) +32 = O.

17. . Hallar la ecuación de la circunferenci a de cent ro (4: 30º) y q ue sea tangente al eje polar OX. Sol . r 2 -8r cos ( 0 -:t/6) + 1 2 = O.

18. Demostra r q uc la ecuación de la circunfe r encia q ue pasa por el polo y por los puntos (a: 0º) y (b; 90º)

es r =- a cos O -i h sen O.

19. Halla r el cent ro y el rad io de la circu nferencia r = 5 cos O- 5 3 sen O. Sol. < S; -60º), 5.

20. En el Pr oblema 1 1 de la sección de resue ltos se demostró q ue la ecuación de u na sección cónica consu foco en el polo y d i rectriz perpend icu lar al eje polar a p unidades a la izq uie rda del foco, viene dada por

ep

'= 1 -ecos O ·

Si la directriz está a p u nidad es del foco y a su der echa , la ecuación es:

r = -ep

-- ! + e cos () ·



17. (x2 + y2)3 = 4x2y2. Sol. r 2 = sen2 20.

28. x -3y = O.

29. x • + x'yt -(x + y)2 = O.

30. (x' + yª)' = 16x2y2(x2 -y2)2.

Sol .

Sol .

S ol .

O = are 1g 1/3.

r = l ( 1 -t tg fJ).

r = :t- ese 40.

+ 4

-

82 COORDENADASPOLARES

Demostra r q ue la ecuación polar de la cón ica con su foco en el polo y d irect riz paralela al eje polar y a p u n idades de él es

r = e¡ _ , 1 ± e sen O ·

donde el signo má s corr esponde al caso en que la di rectriz esté por enci ma del eje ;:>ola r y el menos cuando esté por debajo.

21 . Hallar la nat u raleza de las cón icas sigu ientes q ue t ie nen un foco en el polo. Hallar e y situar la direct riz en función de sus dirección con respecto a l eje polar y su d istancia al polo.

.....

4 a) r = 2 -3 cos () .

2 h) r =

1 -cos o .

6e) r = 2 -sen O ·

Sol. Hi pérbola ; e = 3/2; una d irect riz perpend icu lar al eje polar y a 4/3unidades de! foco correspond ien te.

Sol. Parábola ; e = 1 ; d i rectriz perpend icular al eje polar y a 2 unidades a la izq uierda del foco.

Sol . El i pse; e = ; d irect riz para lela al eje polar y a 6 u nidades debajo del polo.

22. Identificar y dibuja r las cón icas sigu ientes :

4

a) r =2 +cos

(J ;

5

b) r = 1-cos

O- ; 2

e) '= 2 +-3 sen O ·

23. Hallar la ecuación polar de Ja el i pse 9x2 + 16y2 = 144.

Sol . r 2(9 cos20 + 16 sen20) = 144.

24. Pasar a coordenadas polares :2x2-3y2

- x + y = O.cos

O -sen 8

Sol . '= 2 coso-3sen2ff

En los Problemas 25-30 pasa r las ecuaciones a coorde nadas polares.

25.(x2 +y2 )2 = 2a2xy. Sol. r 2 = a2 sen 20 .

26. xs

y = 1a=- x · Sol. r = 2a sen O tg O .

31. Pasar a coordenadas polares la ecuación de la recta q ue pa sa por dos puntos y demostrar que la .. :.:ación polar de la recta que pasa por (r.; o.) y (r 2; 02) es

rr 1 sen(O-01) + r 1r 2 sen({J 1-O) + r r sen(O,-0) = O.

32. 2

Pasar R coor denadas polares y s1· mp1L·11car. supnm· 1·en do 1os rad.1ca1es, 1a ecuac1'6n (x - > 25

2 >' =¡. 9

Sol . r = 9 . ,o . r = -9 .¿Por q ué son idénticas estas ecuaciones? 5 -4 cos 8

bien, 5 +4 cos 0.

m r



+ J O · x--

-

2( 0) .

COOR DE NMJAS POLA R ES 83

E n los Problema s 33-39. pasa r las ccuacione a coordenadas pola res.

33.r - 3 cos O. Sol. xz -i. y 2-J x = O.

34. r - 1 - cos O. Sol. (xz + )'2 + x )2 -: \'2 + yi .

35. /' -= 2 cos {) 1- 3 sen O. Svl. x2 + y 2 -2x -3 y =, O.

36. () = 45 Sol . .\' -.)' = o. J

37. r = Sol . 4 ., 5yZ + 1 8y-9= o. 2 sen

38. r --= nO. Sol. Vx2 -r y 2 = a a re tg\/

X

39. ri - 9 cos 20 . Sol. (x2 + y2)2 == 9(x2 _ y2).

40. Ha llar los pun tos de intersección de los pares de curvas siguientes: r -4(1 + cos 8) = O,

r(I -cos O) = 3. S ol . (6. 60 }(2, 120 ). (2, 240"'), (6. 300º).

41. Hallar los puntos de i ntersección de las curvas : r ="' v2 cos O, r = sen '20. Sol . ( l . 45°). (O. 90 ). (--1 , 1 35'').

42. Halla r los pu n tos 1.k in tcrccción de las curvas : r = 1 + cos O,

Sol. (1 + l , :::45 ')· (1 ---..;; . : 1 35º)··

I r = ·-----

1 -cos

43. Hal lar los p untos de i n ter sección de la s curvas : ,. = \ ·6 cos ú, r 2 == 9 cos 20.

Sol. (]_

2

.Jol (-3

. I SO'). (-22" , 210 ). (3 2

, 330·).

44. Dibuja r la curva de ecuación r = 4 sen 20.

45. D1'bU.Jar 1a curva de ecuac.1o,n r =--= --9-- .

4

46. Dibujar la curva ,. = 2(1 + sen 0).

47. Di bujar la curva r 2 = 4 sen 20.

48. Dibujar la curva r = 1 + 2 sen O.

49. Dibujar la espiral rO = 4.

- -5 cos 0

50. Deducir la ecuación polar de la el ipse cuando el polo es el centro. lnd .: Aplicar el teorema del coseno y la propiedad de q ue la suma de los rad ios focales es igual a 2a. Sol. r 2( 1-e2 cos2 0) = b2

•

51.

51.

Un segmento. de 20 un idades de longitud, tiene sus ext remos sobre dos rectas perpendiculares. Halla r el l ugar geométrico de los pie s de las perpendiculares trazadas desde el punto de intersecciónde las recta s fijas a la recta de lon git ud constante. Tómese una de las rectas fijas como eje polar. Sol. r =- JO sen 20.

Hallar el luga r geomét rico del vértice de un t riángulo cuya base es una recta fija d!! longitud 2b y el producto de los otr os dos lados es b2

• Tómese la base del t riángu lo como eje polar y el polo en su

punto medio. Sol. r 2 = 2b2 ccs2fJ. Esta curva es la lemniscata.



1\

-

J 1

1

CA PI TU LO 10

rrangenles y norrna les

TA NGE NTE Y NOR M A L. La d efinición de la ta ngentea u na cu rva en uno de sus pu ntos es como sigue :

Sea n P y Q dos pu n tos de la cu r va y t racemos Ja secante PQ . Si el pu n to Q se des pla za a lo largo de la curva hacia P , la seca n te PQ i rá gi ra ndo al re dedor de P , y cu a ndo Q t iend a a confu nd i r se con P, la secan te PQ coincide, en el lí mite, con la r ecta PT q ue se lla ma tangente a la cu rva en P .

La normal P N a u n a cu r va es la perpend icular a la tangen te en el pu nt o de conta cto P .

Para hallar la ecua ción de la t a nge n t e a la cur va en uno de sus pu n t os, P1(x 1• y1 ), hay q ue de ter mi na r la pend iente de d icha ta ngen te.

Ejem plo: H alla r la pend ient e de la ta ngente a la cir cu nf er encia x2 1- y2 = r 2 en el pu nt o P1( X ,, y ,).

Sea Q( \" 1 -L h. y, t- k ) ot ro pu n to cua lq uierade la circu nferencia . La pend iente de la !>ecantees k f h. Al gira r la tange n te al rededor de P., el pu nto Q tiende hacia Pi. y l os va lor es de k y h lohacen hacia cero . La pend ien te m de la t a ngen te es el límite de la r elación k / h cua nd o am bos t iendena cero.

Como ( x ,,y1) y (x1 + h. y, + k) pertenecen a la ci rcu nferenci a. estas coord enadas deben a t is facer a la ecuación de aq u élla ; susti t uyend p va lores se obtiene

(!) x:+ y¡ ,2

y

T

X

y

-Q(x, h.y,•k)

T

o

y (2) (x, + '1)2 1 (.1• 1 + k )2 = r 2, o bien , xr 2hx + h2 1- y¡ + 2k y , f- k1 = r2•

Restand o (1) de (2). resulta ?hx, f /¡2 L. 2k y , + k2 = O

o bien, k ( 2y, + J..) = -J1(2x1 ,h).

k 2x1 l h Por tan to, ,

,1 2 y , 1 , _ • El limi te de esta ex presión cua ndo h y k t iend en a cero

es-2x1

, o sea, m =-

x1

2Y 1 Y 1

Como la tangen te pa sa por P1(x1• y1)• • u ecuación e

x , ·- r =- -(x- x ,).

• Yi

Quitando denominadores, y 1 y - y: - -x1x + x .o bien, X1X j ,l'i,l' - X + y¡ = r2.

84

l



1 y

2

a y,

,

+

1

1

TANGENTES Y NORMALES 85

La ecuación de la normal es y -y1= Y1 ( x -x1),

X1

o bien, XiY - y 1 x = X1Y1 - X iY1 = O.

PROBLEMAS RESUELTOS

l. Hallar las ecuaciones de la tangente y de la normal y xi y2

a la elipse + b = 1 en el punto P (x1, y 1).

a 2 .

Sea Q un punto de coordenadas (x1 + h, y1 + k). Sustituyendo tas coordenadas de P1 y Q en la ecuación dada,

(1) xr a?.

YT - b2 -

X ( ) (x1 + h)'l + (y1 + k)2 = l.

2a1 b2

Desarrollando (2) y restando (1) de (2),

2b2hx1 + b2h2 + 2a2ky 1 + k 2a2 = O. . k b2(2X1+h)

Despejando, Ti =-a2( y 1 +k) ,

Teniendo en cuenta y -y1= m( x - x1 ) r esu lta y -y1 =- b:xi (x -x1)

o bien a2 y¡y -a'yr = -b2 x,x +b2 xf .

Como bixr +aty¡ = a'b'.se iene b'x1 x +a2 y1 y = a2b2 , o bien, Xi:+ _Y { = 1 , que es la

ecuación de la tangente. ª 2

La pendien te de la normal es bª/1 y su ecuación a2 y1 x -b2

x1 y = (a2-b2)XtY1·

Xi

2. Hallar las ecuaciones de!a tangente y de la nor mal a la y

parábola y• = 4ax en el punto Pi(x1• y 1 ).

Sustituyendo tas coordenadas de P1(x1, y1) y Q(x 1

+h, y + k) en la ecuación dada,

yf = 4a x1 y (y 1

+ k)

2

= 4a(x 1

+ h). Desarrollando y despejando el valor k / h,

k 4a • k 1

• 4a 1

= -2a . h = 2y1 + k ' y im.h = tm. 2y +k

La ecuación de la tangente es

)'¡

y - y 1 = 2a (x-x1),o bien , y1 y - y f = 2ax-2ax1•

)'¡

Como y¡ = 4a x1 , esta ecuación se puede escribir en ta forma y1y = 2a(x +x1).

La pendiente de la normal es- y su ecuación, y1 x + 2ay = XiY 1 + 2aY1·



/

Y 1 1

e s m

86 TANGENTES Y NOR MA LES

3. Hallar la ecuación de la tangente a la cur va xy = a2 en el punt o P1(x1, yi).

Sust ituyendo las coord enadas de los puntos P1(x1• y1)

y Q(x 1 + h. y 1 + k ) en la ecuación dada, y despeja ndo e l valor k / h,

! _ _ Y1 + k y lim. .!!_ = _ lím. Yt +k _ = _ Y1. h - x

1Ji X1 X 1

La ecuación de la tangente es

- v = - Yt (x - x ) ; • X¡

q uitando denominadores, x 1 y - X1Y1 = -y. x + X1Y 1

o bien. y 1 x + x 1 y = 2x,y, = 2a2 ,

q ue se puede escri bi r ()'¡x + x ,y ) = a2•

Asi, pue s, para establecer la ecuación de la tangen te en un pun to P1(x1• y1) de una cu rva dad a

por una ecuación de segu ndo grado basta con sustit ui r

x 2 por x,x. y 2 por }' iJI, xy por (y 1 x + x1y), x por Hx + x ,) e y por HY +y1).

4. Sea P 1T y P 1N las longit udes de la tangente y de la n ormal, y r es pectivamen te, a u na cu rva en el punto P1• Las proyecciones ST y SN se denominan subta ngcntc y !>ubnorrnal. r es pecti vamen te, en P 1•

Llama ndo m a la pend iente de la tangt> nte en P,( x 1• y1).

resulta

e

-2'..!. = longit ud de ubtangente, m

y 1m = longitud de subnormal.

Esto es ev. e ya que

ST =-cot O =-

1 y ST =- Y 1 .

ident - Y1

- /11 111

También, SN = -cot </> = -cot(O·-90'') = t g O = 111 y SN == 111y1. Y 1

Las subtan gente y subnorma l se miden en sen t id os o pu est os, es deci r , son de signo contrario. Para hallar las longit udes de la ta ngente y de la n ormal se a pl ican las r elaciones pi t agóricas en un triángu lo rectángulo.

5. Hallar las pendi entes de la tangente y de la norma l a la cir cunferencia x2 + yt = 5 en t:I punto (2. 1).

Teniendo en cuen ta que 111 = -2, la pend iente de la t a ngente es- 3 y la corre;;pondien te de

la normal vale -1

. 2

J"1 1

2

6. Hallar las pendientes de la tangente y de la normal a l a el i pse ·; ·:: - 1 en el punto (2. -4 2). a2x1

La pend iente de la tangente =- h 2y ,

• Sustituyendo las coordenadas del punt o dado.

16(2) svs . 3 v s 111 =- ( VS/J ) =--9 4 --, y la pend iente de l a normal--. 15 8



+

¡ 4

3

•

2

TANGENTES Y NORMALES 87

7. Demostra r que Ja pendien te de la ta ngen te a la cu r va 4 x 1 4 xy 1 y2 -9 O en un punt o cual-quier a de dla es 111 - -2.

Tomcmo los dos pun tos P,(x • y ) y Q( x -! h. y 1- k ) , y hallem :>s e l límit e dek

. 1 1 1 1 h

Sust it u yendo . ( 1 ) 4(x 1 -l h f -l 4(x1 1 /¡) (y1 1- k ) ! (y1 ¡ k )

(2) 4x _¡_ 4 _ ,·1y1 -1 J' I -9 O.

Desar ro lla nd o ( 1 ) y restand o (2) de d icho desarrol lo.

. k 8x1 -t- 4 y 1

li m .- ----- -2. /¡ 4.\º1 2)'1

-9 - O y

Orr o 111érodv. La ecuación or iginal se puede escri bir en la f orma (2.\' i y )2-9 = O.

Descom poniendo en factores. (2x + y + 3) (2x \- y -3) = O. q ue son dos rectas pa ra lelas de pe nd il!nt e igua l a -2.

8. Hal la r l a pend ien te de la ta ngente a la h i pér bola 9.\ 2 -- 4y2 .-= 36 en el pu n to (3.-3ys ). Tomem os l o dos pun t os P1(.\·1, y1) y Q( .\ 1 + /1. y1 k ). y halle1 10!> el límite de .

Sust i t u yendo. ( 1 ) 9(x1 f- /¡) -4(y1 -! k)2 == J6 y (2) 9xr -4Ji -- 36.

·. i< . 4k

Oe:-.arr ol lando y despe jando /," se o btiene 9 . ( 3\5 ) 27 9 Vs

2. r 1 l /¡ k 9x1

- y lim. ¡; - J' 1

= 111.

La pend iente en 3. - - es m = 2

, 6 15

= -IO-.

9. Hal l a r las pend ien tes de la tangente y cie !a normal a la cu r va y2--: 2. ª en el pu n to (2, 4).

Tomemos los pu n t os de la cur va P1(x1• y1) y Q( x 1 1 /i , y 1 + k ) .

Sust it uyendo. {1 ) (y1 \- k)2 =' 2(x1 + /i)ª.o bien. yf f 2 ky 1 1 k 2 = 2 x1 + 6xih + 6 x ¡l1 t- 2h

y (2) y¡ =- 2x .

R est an d o (2) del desa rrollo de ( 1) e obtien e. 2k y 1 1 k 2 6x .2/1 + 6.r 1'12 + 2 '13

Por ta n t o.k

= 6.r ¡+ 6x1h + 2/i2

1. k 6x¡ Jx¡ ·-- y 1m. /1

-= - = - / 1 2yl +k . 1 •I'1

En el pu n to (2, 4), 111 = lí m . =·12 = J. La pend iente de la norma l vale- - 4

10. H:ll la r las ecuaciones de la ta n gente y de la normal a la cu rva y2

2x3

en el pun t o (2. 4). En el Pro blema 9 se vio que la pendien te de est a cu rva en el pu nt o ( 2. 4) vale 3.

Por ta nt o. la ec uación de la tange n te es y -4 =- 3 (.\ -2). o bien . y = 3x -2.

La ecua ción de la normal es y -4 = -H x -2). o bien . x + 3r = 14.

11. Ha llar las ecuaciones de la ta ngen te y de la normal a la cur va x2 f 3.r y -- 4y2 +2,·- y + 1 O en el pu n to (2. -1).

Apl icando la n orma dada en e l Pro blema 3,

X ¡X + 3( X 1Y 1 )' ¡ X ) -4)'1;' + 2( X .iX1 )-( ) Y1 ) + 1 = 0.



)

r -

88 TANGENTES Y NOR MAL ES

Sust it uyend o x1 '- 2, y1 = -1. resulta 3 x + 13y +·7 = O, ecuación de la tangente de pend iente -3í13.

La l'Cuació n de la normal es y + 1 = -1 3

(x -2). o bien , l 3x -3y -29 = O.

12. Ha lla r la ecuaciones de las r ectas de pendien te m tan gentes a la el i pse (1) b2x2 -1 a2y2 = a2b2.

Las ecuaciones pedidas son de la forma (2) y = mx 1- k.

Del sist ema (1) y (2) se obt iene b2..<J. + a2(m x +k)2 = a2b2

.

Desarr ollando y r ed uciendo términos, (3) (b2 + a2m2)x2 + 2a2mk x + a2k2-a2b2 = O.

Pa ra que las recta s sean tangentes a la cu rva, las raíces de (3) deben ser iguales, es decir, el d is criminan te ha de ser igua l a cero. Por consiguiente,

4a4m2k 2-4(h2 + a2m2

) (a2k2-a2 b2

) = O, o bien, k 2 = a2m2 + b2, y k = ±va2m2 + b2

•

Las ecuacion es de las recta s de pendien te m y tangentes a la el ipse son y = m x ± va2m2 +b2

•

JJ. Hallar las ecua ciones de las tangente s a la el ipse x2 +4y2 = 100 para lelas a la recta 3x + 8 y = 7.

La pend iente de la recta dada es -3/8. Lu ego las ecuaciones pedida s son de la forma

y =- x + k , siendo k una constante a determi nar.

Resolviendo el sistema formado por esta ecuación y la corr es pond iente de la elipse e imponiendola condición de q ue las raíces sean iguales, se ded uce el valor de k .Así, pues,

x2

+4(- X + k 100 = O, o bien , 25x2-48k x + (64k t-1.600) = o.

Par a que las raíces sean iguales, el d iscri minante ha de ser cero, o sea, (--48k)2-4(25) (64k2

-1.600)=o.. Resolvi.endo. 16k 2 = 625, k = ± 25.. Luego 1as ecuac1ones pedº1das son y =-

3x ± 25 , 4 8 4

o bien, 3x + 8 y ::!- 50 = O.

y

P roblema I J P rnbl ema 14

14. Hallar las ecuaciones de las rectas q ue pasan por el punto (-2, -1) y sean tangentes a la elipse 5x2 -1 y2 = 5.

Sea P1(x1• y1) un punto de contacto. La ecuación de la tangente es de la forma 5x1 x + y1 y = 5; como el punto (-2, -1) pertenece a la tangente, -10x 1 - y 1 = 5. Por otra parte, el punto (x¡, y1)

perten ece a la elipse, con lo que Sx¡+y¡ =5.



,

1 1 1

b 2

1en .

x/J) , o b'1en, 4 x + 3 y = O. ( l 9

'

TANGENTES Y NOR MALES 89

R esolviendo el sistema de ecuaciones se obtiene pa ra (x1 y 1) los dos puntos de contacto

(-32 ·35 ) y (-72 • - y 2x + 3 y + 7 = O.

1 5 ).Susti.tuyendo estos valores en 5x x + y y = 5 resultan. 2x - y + 3 = o

15. Hallar , en el punto (-! 1), las l ongitudes de su btangente, su bnorma l, tangen te y normal a la elipse

y

9x2 + y 2 = 1 8.

Pa ra hallar la tangente, aplica mos la fórmula

9x1 x + y 1 y = 18.

Sust it uyendo las coord enadas del punto

-9 x + 3y = 18, o bien , 3x - y + 6 = O. Luego m = 3. N X

Subtangente ST =- y 1 /m =-3/3 = -1. Subnormal SN = m y 1 = 3(3) =9.

Longit ud de tangente, PT = v'32 + J2 = v'Tó.

Longitud de normal, PN =v'92 + 32 =3v'Tó.

DEFI N ICIO N. El l ugar geométrico de los puntos med ios de un sistema de c uerdas paral elas a una cónica r

cualq u iera recibe el nombre de diámetro de la misma Si la pendiente de las cuerdas paralelas es m, Ja Y

ecuación del d iámetro determinado por los punto s medios de ellas es:

x2 yz Para l a el i pse

02 + /jí = 1 ,

Par a la pa rábola y2 = 4a x, 2a

y=- .m

x2 y2 b2x Para la hipérbola -

02 2 = I , y = a m .

Para la hipérbola xy = a1 , y = -mx.

Para el caso gener al de la cón ica ax2 + 2h xy + by2 + 2gx + 'l.fy + e = O, la ecuación del diámet r o toma la forma (ax + h y + g ) + m(hx + by +/) = O.

Hallar la ecuación del diámetro de la elipse xi + y2 = 1 corr e spondiente a las cuer das de 9 4

pend.

te1

3

Ap l 1. cando y =- ab' ' m x , la ecuac·1on deJ d1'ametro es y =-4

17. Hallar la ecuación del d iá met ro de la cónica 3x2- xy -y2 - x -y - 5 corres pond i en t e a las cuer

das de pend iente 4.

A plicando ( ax + h y + g ) + m(hx + by +/ ) =O, siendo a = 3, h = -!, b = -1, g = - , f =- y e =-5, se o btiene 3x -!y-!+4(- x-y- ) = O, o bien , 2x -9 y-5 = O.



1ente

Q

90 TANGENTES Y NORMALES

18. Hallar la ecuación del diámetro de la parábola y 2 = l 6x que pase por los puntos medios de lascuerdas paralelas a Ja recta 2x-3y = 5.

la pend. de Ja recta 2x -3y -5

=O es

-

2

r· Para la parábola y2 = 4ax, la ecuación del diáme

tro es y = .3!!... Luego Ja ecuación pedida es y = m

o bien, y -12 = O.

8,

2! 3

19. Hallar la ecuación del diámetro de la hipérbola xy = 16 que pase por los punto s med ios de las cuerdas de pendiente 2.

La ecuación del diámet ro de la hi pérbola xy = a2 que pasa por los puntos medios de las cuerdasde pendiente m es y = -m x. L uego la ccuac.i ón ped ida es y = -2x.


1. Hallar las ecuaciones de la tangente y de la normal a las circunfer encias siguientes en los puntosdados:

a) x2 + y 2 = 25, (3, 4).

b) 2x2 +2y2-3x + 5y -2 = O, (2, O).

e) x2

+ y2

-6x + 8y -25 = 0, (-2, J ).

Sol . 3x + 4y = 25 ; 4x-3y = O.

Sol. x + y -2 = O; x - y -2 = O.

Sol. x - y + 3 = O; x + y + 1 = O. 2. H allar las ecuaciones de la tangente y de la normal a la el ipse 2x2 -L. 3y2

-30 = O en el punto

(-3, 2). So/. x -y + 5 =; O ; x + y + 1 = O.

3. Hallar las ecua-::iones de la tangente y de la normal a la eli pse 3x2 + 4y2-6x + 8y -45 = O en el

punto (--3, -2). Sol. Jx + y + 1 1 = O; x -3y- 3 = O.

Hallar las ecuaciones de Ja tangente y de la normal a la parábola x2-4y := O en el punto (2, 1).

Sol. x -y- 1 =O; x +y .:..... 3 = O.

5. Hallar las ecuaciones de Ja tangente y de la normal a las hipérbolas siguien tes en los puntos dados:

a) 6x' -9y2-S x + 3 y + J 6 =O, (-1 , 2). Sol. 20x + 33 y -46 = O; 33x -20y +73 = O.

b) x2-2xy -y2-2x + 4y +--4 = O, (2,-2). Sol. 3x + 2y - 2 = O; 2x -3y - 10 = O.

e) xy -4 = O, (2, 2). . Sol. x +y -4 = O; x - y = O.

6. Hallar las ecuaciones de las tangentP.s a Ja hipérbola Sx2 -4y 2 = 4 en los puntos de interseccióncon la recta 5x -2y -4 = O. Sol. 5x -2y -4 = O.

7. Hallar las ecuaciones de las tangentes a la h i pérbola x2 -4y2-12= O que pasen por el punto (l, 4).

Sol. x - y + 3 = O; I 9x + lly -63 = O.

8. Hallar los puntos de la hipérbola x2

-4y 2-

8 = O en los cuales las tangentes son perpeQ.diculares a la recta 4x + Sy -2 = O. Sol. ( 1ov34 , 4v34 ).• ( -1ov34

• -4v34 )

-- --- · 17 17

17 ·



a

T ANGENTES Y NORM ALES 9 1

Hallar la pendien te de la curva r = xª + 2r en el punto ( Xu )'¡). SoI . l¡m . }!_ = 3xL+ 4 x, _ . h 2yl

Hallar las ecuaciones de la tan gente y de la nor mal a la cur va del problema anterior en el pun to (2. -4). Sol. 5x 2y-2 = O; 2x -5y-24 = O.

a) Hallar las longi t udes de la subtangente y de la subnorma l a la curva y2 = .\.a --1- 2x2 en el punto (2. -4). Sol. -8/5. 10.

b) Hallar las longit udes de la tangente y de la norma l a dicha cur va. Sol. 4 29

5 , 2V29.

J 2. Hallar la ecuación de las tangentes a la hi pérbol a 2xy + y2-8 -. O de pend iente m = -2/3.

Sol . 2x + 3y-8 = O; 2x + 3y + 8 = O.

13. Hallar las ecuaciones de la t angente 'I de la norm al. así como las lon gi tudes de la subtangente y de la su bnormal , a la cu r va y 2

-6y -8x -31 = O en el pu n to (-3, -1 ). Sol . x 1- y 1- 4 =- O: .\'- y -t 2 O: -1 , l.

14. Hal lar l a pendie n te de la ta nge n te a l a cu rva 4 x2- l 2xy f- 9y2

-2x + 3y-6 = O en un puntocua lq u iera. (x1,y1), de ella. Sol. 111 2/3. I nterpr eta r este resultado.

15. Hallar las ecuaciones de las tangentes a la curva 4x2-2y2

-3xy + 2x -3y-10 = O paralelas a l a recta x - y + 5 = O. Sol. x -y- 1 = O; 4 1x-41y + 39 = O.

16. Ha llar las ecuaciones de la s tangen tes a la hi pérbola xy = 2 perpe ndicular es a la r ecta x -2y = 1. Sol. 2x 1 y -4 - O; 2x l- y + 4 = O.

¡ 11°':) ¡,En q ué pu ntos de la elipse x2 + xy + y2- 3 = O las tangentes son pa r alelas al eje x? ¿En qué "

pun tos son pa t ale tas al eje y? Sol . ( l . -2), (-1 , 2): (2, -1 ). (-2. 1).

18. (.En q ué pu n tos de la curva x2-2xy + y + 1 = O las tangentes son paralelas a la r ecta 2 x + y = 5?

Sol. ( l. 2) y (0. -1).

19. Halla r las ecu aciones de las rectas q ue pa san por el pu n t o (5. 6) y sean tan gentes a la parábola

y2 = 4 x Sol . x - y + 1 = O; x -5y + 25 = O.

20. Demost ra r q ue las ta nge n tes a la parábo la y2 = 4ax en los ex tremos del latu s r ec fum son perpen d icula res, es decir . :;us pend ien tes son ± I .

21. Ha l la r las ecuaciones de la ta ngen te y de la normal a ta parábola x2 = 5y en el punto de abscisa 3. Sol. 6x -5y -9 = O: 25x + 30 y- 129 = O.

22. Demostr ar que las ecuaciones de las tan gentes de pendiente m a la parábola y 2 = 4a x son

y =mx + -,(m#- O). m

23. Demostrar que las ecuaciones de las tangentes de pen diente m a la circunfer encia xi + y1 = a1 son

)' = mx J: a\l m2 + l.

24. Demostr ar q ue las ecuaciones de las tangen tes de pend iente m a la hi pérbola b2 xi -a2 y2 = a2b' son y = mx :r va2m2=b2, y a la hi pér bola b2x2 -a2 y2 = -a2b2

, y = mx ± V bi -a2m2•

25. Hallar las ecuaciones de las ta nge n tes a la elipse 5x2 + 7yi = 35 perpend iculares a la recta 3x + 4 y

-12 = O. Sol . 3_v = 4x J- ,'¡5·:y_

26. Hallar las ecuaciones de las ta ngen tes a la hi pér bola 16x2 -9y2 = 144 par a lelas a la recta 4 x -y

-14 = O. Sol. y = 4x + 8../2.



92 TANG ENTES Y NOR MALES

27. La parábola y2 = 4a x pasa por el punto (-8, 4). Hallar la ecuación de su tangente paralela a la recta 3x + 2y -6 = O. Sol. 9x + 6y = 2.

28. Hallar la ecuación de la tangent e a la curva x3 + y' = 3axy en el punto P1(x1, y1).

S ol. (y -ax1 )y + (x f -ay1 )x = aX1Yi·

29. Hallar el valor de b para que la recta y =mx + b sea tangente a la parábola x2 = 4a y. Sol. b = -am2

•

30. Teniendo en cuenta el resultado del Problema 29, hallar la ecuación de la tangente a la parábola x2 = -2y que sea par alela a la recta x -2y -4 = O. Sol. 4 x - By + 1 = O.

31. Hallar la ecuación del d iámetro de la hipérbola x2-4y2 = 9 que pase por los puntos medios de las

cuerdas

a) de pend iente 4. b) de dirección 3x -5y -2 = O.

e) de d irección la tangente en (5, 2).

d) de dirección la asíntota de pendiente positiva.

Sol. x - l 6y = O.

Sol. 5 x 12y = O. Sol . 2x -5y = O.

Sol. x -2y = O.

32. Hallar la ecuación del d iámetro conjugado del de ecuación x- l6y = O en el Problema 31 a).

Sol. 4x - y = O.

33. Hallar la ecuación del d iámetro de la el ipse 9x2 + 25y2 = 225 q ue pase por los puntos medios de las cuerdas de pend iente 3. Sol. 3x + 25y = O.

34. Hallar la ecuación del d iámetro de la parábola y2 = 8x que pase por los puntos medios de las cuerdas de pendiente 2/3. Sol. y = 6.

35. Hallar la ecuación del diámetro de la el ipse x2 + 4 y2 = 4 conjugado del diámetro de la ecuación

y = 3x. Sol . x + l 2y =O.

36. Hallar la ecuación del diámetro de Ja cónica xy + 2y2-4x -2y + 6 = O que pase por los puntos •

medios de las cuerdas de pendiente 2/3. Sol . 2x + l l y = 16.

37. Hallar el d iámetro de la cón ica x2-3xy -2y2

- x -2y-1 = O que pase por los pun tos medios de las cuerdas de pendientes 3. Sol. 7 x + l 5y + 7 =O.

38. H.llar la ecuación del d iámetro de la elipse 4x2 + 5y2 = 20 que pase por los puntos medios de las cuerdas, a) de pendiente -2/3. Sol. 6x -5y = O.

b) de dirección 3x -5y = 6. Sol . 4 x +3y = O.

39. Hallar la ecuación del d iámetro de la hipérbola xy = 16 q ue pase por los puntos medios de las , cuerdas de dirección x + y = 1. Sol. y = x.



--------

X

1

1

1

-1

'

CA PITULO 1 1

Curvas planas de orden superior

CU R VAS PLA N A S DE ORDE N SUPER IOR. U na curva al gebraica es aq uella que se puederepresentar por med io de u n pol i nomio en x e y igua lado a cero. Las cur vas q ue no se pueden represen tar de esta form a, como, por ejemplo, y = sen x, y = ex, y = log x, se llaman curvas trascendent es.

Las cu rvas a lgebraicas de grado superior al segundo jun to con las trascendentes r ecibenel nom br e de curl'as planas de orden superior.

Para el est ud io de las si met rías, intersecciones con los ejes y cam pos de variación, véaseel Capítu lo 2.

PROBLEMAS R ESUELTOS

l. Representar la curva y2 = ( x- 1) (x -3) (x -4). Es simétr ica con r especto al eje x, ya que la ecuación no va r ía cuando se susti tuye y por -y. Los pu ntos de i nter sección con el eje x son 1, 3, 4. Para x =O, y2 =-12; por tan to, la cur va

no corta al eje y. Par a x < 1 , todos los factores del segundo miembro son negativos, con lo que y es imaginario. Para 1 x 3. y es r eal. Para 3 < x <4, y2 es negativo y, por tanto, y es imaginar io. Para x ;;:; 4, y2 es posit ivo, con lo que y es real aumentando indefinidamente de valor numérico

a medida que lo hace x.

Formamos un cuadro de valores para determinar puntos de la cur va. y = ± v(x- l)(x -3)(x -4).

X

y ·-1--· 1 5

1

± 1 ,37 1

2

±1,41

1

4,5 1

_ ± _ 1,6- 5

±2,83

5,5 6

±4,1 1 ± 5,48

y ' y ' 1 4

1 1

31 1 1 1 1 + 1 1 3 1

o 1 -----+

-2 -l

-4 !1 XI

--- ---¡---y-2-

' 2 le s X

Pr oblema I

2. Dibu jar la curva x2 y -2x2-l 6y =O.

Pr oblema l

Corte con los ejes. Pa ra y = O, x = O ; para x = O, y = O. . . . Simetrías . La curva es simétrica con res pecto .al eje y, ya q ue la ecuación no vana al sust1tu1r x

por -x. N o es simét rica con respecto al eje x ní con r es pecto al origen.

93



X o ± 1 ±2 ± 3 -±4

-±5

-±oo 5,6

±6 ±7 ---

3,6 3.0 -±8 ± oo --

2,7 2 y o -0,13 -0,67 -2,6

X ±1/2

y :¡: l/6

±2,5 ±3 ±4

±3.0 ±3,4 ±4,3

o ± 1 ± 1,5 ±2 --

o 00 ±2,7 ±2.67

(x + 4)

_

+

-

rz

= ----------

e ;a:

94 CURVAS PLANAS DE OR DE N SUPER I OR

2x2 2x2

Des pejando x e y se obtiene (1) Y = x2 _

16-

(x -4)----,-.,....

y (2) X = ±4 V y 2 .

De ( 1) se ded uce q ue y se hace infin ito cuando x tiende a 4 y a -4, tomando valores mayores y menores que estos. La cur va existe !)ara todo s los demás va lores de x.

De (2) se ded uce que no existe cur va para O < y < 2. Cuando y tiende a 2, tomando va lores mayore s que éste, x se hace infinito.

Las r ectas x = ± 4 e y = 2 son asíntotas.

-

3. R epr esentar la cu rva x3- x 2 y + y = O.

Despejando y, y = x2xª

. 1

Para x = ±1, y se hace infinito; lugo x = 1 y x = -1 son dos asintotas verticales .

..\-3 X

Expresemosy = x2 _ 1 por y = x x2 _ 1

. Cuan-

do x aumenta indefinidamente , y también lo hace, y la

fracción x2

x1

tiende a cero. Por tanto, la recta y = x

es una así ntota de la curva. Para x > 1, una rama de la curva está sit uada por encima de la recta y = x ; para x < -1, la otr a r ama está por deba jo de y = x.

La cur va pasa por el origen y es simétrica con res pectoa él. En la tabla siguiente figu r an algun os valor es de x e y.

1

r Esta cur va también se puede repr esentar por el método de la suma de ordenadas. Para ello,

sean Y1 = x e y2 = x2 .::_ 1 . Traemos las gráficas de estas dos ecuaciones sobre un mismo sistemade coordenadas y, a continuación, sumemos las órdenes, y 1 e y2 , correspondientes a idéntica abscisa

4. Dibujar la elipse 2x2 +2x y + y 2-1 = O por el método

de la suma de ordenadas.

-2x±v'4x2 -8x2 +4 Despejando y, y

2

= - x ± VI x2 •

Tr acemos la recta y1 = -x y la circu nferencia

Y2 = ±vi x2 , o bien, x2 + = 1. La elipse que r e

sulta es simétrica con r es pecto al origen .



.\' o 1 J_ : :t

--- - 2 3 5:ri 1

1 ±-• 1

7:r 4."7 3n ± 2 ± 2n

o sen x Or±O ±0,87 ± 1 ! ±0,S o l-0,5 ' :¡:0,87 :r

-¡-'----!--

CUR VAS PLA NAS DE OR DEN SUPER IOR 95

Funciones trigonométricas. Di bujar la fu nción y = sen x.

El ángulo x ha de expresarse en radianes. (:7 radianes = 1 80º:)

..L ! ± 2Jf '1 ± T

±0,87 1 1

Como los valor es de sen x se repiten periód icamen te. la función sen x se llama periódica , siendoel peri odo igual a 2n ; así. pues, la gráfica de y = sen x se compone de tramos exactamente iguales, uno por cada intervalo de 2::i radianes. Como además sen (-x) = -sen x. la cur va es simétrica con respecto al origen. Existe para todos los valores de x, y pa ra valores de y comprendidos, únicamente, entr e y = J e y = -t.

y

----------- / ;;:;:-::::;;:::-

/ ' /

/ 2rr X

De forma análoga se puede d ibujar la gráfica de y = cos x. Véase la l ínea de trazos de la figura.

s,. 1

± -6

-0,87

±n ± 76'lt ±-43:n ± 32n 3 ±2:n

-0,87 ·¡ -0,S O 5 1 0,5 o --0,5 -1

Como cos x = sen(x + n/2). un pun to cualq uiera de la cu rva coseno tiene la misma ordenada que otro pu nto de la cu rva seno situado n/2 u nidades a la derecha del primero. La curva es simé tr ica con respecto al eje vertical, ya que cos(-x) = cos x.

6. Dibujar la curva y = sen 3x.

Cuando x varía de O a 2rr, la función sen x toma ytodos los valores de su campo de variación. En ge neral, cuando x varía de O a 2n/11. o bien cuando nx lo hace de O a 2n, la función sen nx (siendo n unacon stante cualquiera) t oma todos los valores de su

campo de variación. En este problema n = 3. por lo que el periodo

de sen 3x es 2n/3.

La curva es simétrica con respecto al origen. Existe para todo s los valores de x, y para los

valores de y comprendidos. únicamente , entre -1 y l.

1 X o 1 : 1 ;

2;-r \ 5 6"[

1 :t

-

sen 3x o 1 [ o 1 - 1 1 o 1 1 1 o



-



X ' 00 -1

1

:re 6

o --

o

:re

o.6

ss¡1

-1- :lt

3 :lt

2

00 tg X .58 1 ,73

X -2 2:1t

±-3- ±n

sec x 1 00 -2 -1

X o 6

:'7

3 :'7 - 2

2n -3-

5,"l

6 sen x o 0,5 0,87 1 0,87 0 ,5 o sen 3. o 1 o -1 o 1 o

- · 1n 6-

4n 3-

) r

T 5n 3

1 l:t -6- 2". t

en x -0,5 -0,87 -1 -0,87 -0.5 o sen 3x -1 o 1 o -1 o

1

, 1 -2

1

96 CU RVAS PLANAS DE ORDEN SUPER IOR

7. Dibujar la función y = tg x.

La curva es simétrica con respecto al origen, ya que tg (-x) = -tg x . El periodo de la función es n. La función se hace infinito cuando x sea un m ú lt i plo impar de n /2 , y la curva toma todos los

valores de y comprend idos entre x -n /2 y n/2. Existe para todos los demás va lores de x e y.

- ;1 :

y 1 y 1 1 1 1 1 1 l 1 1 1 o

X ! TI X

,;'::_<1 J -·¡ í ' 1( ' ' \

1 1 1 ' 1 1 1 1

P roblema 7 Pr oblema 8

8. Dibujar la función y =sec x.

La curva es simétrica con respecto al eje y, ya q ue sec (-x) = sec x. El periodo de la función es 2n. Como sec x = l /cos x, los valores de sec x se pueden hallar fácilmente a parti r de una tabla

de valores de cos x. Al ser el campo de variación de cos x de -1 a +1 , el corres pond ien te de sec x es el conjunto

de valores de -oo a -1 y de 1 a +oo.

o

M±

:lt

9. Dibujar la función y = sen x + sen 3x por el método de la suma de ordenadas.

y

_ _ _I

X

-1

y1 = sen x ( y = sen x + sen 3x



CUR VAS PLANA S DE OR DEN SUPER IOR 97

X

-- e-

-3 --- 0,050

-2 -1 -O.5 -- 0,606

o --

1

2 -- 7,39

·5

1 ,65

1 -2.72 0,135

- 0,368

X - o j_ 0,5 ± 1 -1 1 .5 ..f.2

)" 1 0.78 0.37 0,1 1 0.02

'

10. Funcíones exponencia l es. Di buja r la función y = a.r, siendo a una constante positiva y mayor que la unidad.

Para concretar, su pongamos a =5. La ecuación a r epresentar es y =5x.

Para x = O, y = 5° = 1. Cuando x aumenta. y también aumen ta. Par a valores negat ivos de x, 5·• es positivo pero disminuye de valor . Luego la cur va está sit uada, toda ella, por encima del eje x.

La cur va no es simétrica ni con respecto a los ejes n i con respecto al origen. Para valores negativos de x, al au men tar x en valor absolu to, la curva tiende asintóticamente hacia el eje x.

X -

y

o --

2

25

-1 -2

0,04

-3

0,008

--4

0,0016 0,2

y \1 y

2S \

y•S"\

20 '\ s 15 y·e_."

\..\ -4

10 ' 3 '

'' , ..........

-2 -1 2 3 X ·l -1

Problema /O Pr oblema 11

11. Dibujar la función y = ex.

El n úmero e = 2,718 es la base del sistema de los logaritmos natura les o neperianos.

--

La gr áfica de y = e-·• es, como ind ica la figu ra , si métrica de la correspond iente a la función y = e" con respecto a l eje y.

12. R epr esentar la función normal de probabil idad y =e-"'.

La curva corta a l eje y a "una un idad del origen. y no cor ta a l eje x.

Es simétrica con respecto a l eje y. El eje x es una asín tota ; cuando x -·-7 , y O. La cu rva est á sit uad a. t oda ella , por encima del eje x , ya q ue e ·" > O para todos l os valores de x.

y

-

13. Funciones logarítmicas

La gráfica de y = log11 x , llamada cu rva logarítmica . d ifier e de la correspond iente a la función y = a• en la posición relativa de los ejes. En efecto, ambas ecuaciones se pueden escri bir en la misma



1 ±1/4 ± 1/2 ± 1 ± 2 ± 3 ±4

-±-1/2 ± 1 ± 2 ±4 ±6 -±: --

±4 -

±2 ±l ±2/3 -

y ±8 ::J- 1/ 2

2

- 98 CU RVAS PLA NAS DE ORDEN SUPER LOR

fonna, exponencial o logarítmica. Sea, por ejemplo, y a = 10 y dibujemos la función

y = log10x, (o bien, x = IQY).

Como x no puede tomar valores negativos, toda la cu rva estará a la derecha del eje y. Pa ra valo r es

positi vos de x < 1 , y es negativa. Pa ra x = 1 , y = O.

3 ... X

Al aumentar x, y también aumenta. La cur va no -1

t iene simetrías. El e je y es u na asíntota .

X O,t 0,5 1 2 3 4 5 10 -- ---------· y -1 .30 o 0,30 0,48 0,60 0,70 1

14. Dibujar la función y = lo (x2-9).

Para y = O, lo {x2-9) = O, de donde, x2

-9= 1, x = ±V IO. La curva no corta al eje y.

Para lx l < 3, y es imaginario . Si lx! > \110 , y es posit ivo. Para 3 < lxl < vlO, y es nega tivo. Las rectas x = ±3 son dos asíntota s.

La curva es simétrica con res pecto al eje y.

_ , -s -4 1-) -2

y 5

3

o -1 _,

-1

-3

X ._

y

± 3, I ----

.49

±3,2 ±3.5 ±4

-±5

2,77

-!:6 -

3,29 0,22 1,18 1,95

15. Ecuaciones paramétricas . Alguna s veces con vien e ex pr esar x e y en fu nción de una terce ra va riableo par ámetro. Las dos ecuaciones de x e y en función del par ámetr o se llaman ecuaciones pa ramétricas. Dand o va lores al parámetro se obtienen par es de va lor es corr espond ien tes de x e y. U ni endo los puntos así determinados resu lta una curva , q ue es la r e pre sen ta ción gráfica de las ecuaci ones

para métricas.

y Dibujar la curva x = 2t, y = .

1

La curva es simétrica con respecto al or igen . Los ejes x e y son dos asíntotas .

Eliminando el parámetro t se obtiene la ecuación de lacurva en coordenadas rectangula res, xy = 4. Esta es laecuación de una hipérbola equilátera cuyas asíntotas son Jos ejes coordenados.

2 4 6 8 X -2

_, - -e

para e)1' m.mar e1 para•metro t , susti.tui.mos / = X en y =t 2' es dec.1r , y = xi2 f ' o bi'co, xy = 4.



CURVAS PLANAS DE ORDEN SUPERIOR 99

o X

y

Oº 30°

2 1 ,7

o 2

60' 9º'1 200 ! 150'.

-1 '-o---1 j--1-,7

3.5 1 4 1 3,5 1 2 1

-2

O

1 210• -1,7

-2

240º

-1

- 3,5

270°

o -4

300° 1 330º 360º

11 1.7'2 -3,s l --2-\0-

,

, -I ---- - 1--

+

= . +

Rep:esentar la curva cuyas ecuaciones paramét ricas son x = t2, y = tt3.

t -3 1 -21

-1 o 1 2 3 ---

X 4,5 1 ------ 2 0,5 o 0,5 2 4.5

- -- - --- )' -6,75 1 -2 --0,25 u 1

0,25 2 6,75

Eliminando t , la ecuación de la curva en coordenadas rectan gulares es 2y2 = x3

que es una parábola semicúbica. La curva es simétr ica con respecto aJ eje x. X

21iminemos el pa rámetro t : De x =!t2 o 2x = t 2 , se obtiene (2x)3 = (t2)3•

De y = !tª o 4y = t3, se obt iene (4y)2 = (1ª)2. Luego (2x)3 = 16 = (4y)2, o bien , x3 =2 y 2•

17. Representar la curva cuyas ecuaciones par amétricas son x = t + 1, y = t( t + 4).

t -5 -4 -3 i -2 1 -I o 1 , 2 X -4 -3 -2 o 1 2 1 3

-5 - -o

- --3 -4 1 o 5-, 12

Eliminando el parámetro r , la ecuación en coordenadas rectangulares es y = x 2 + 2x -3, que es una par ábola.

!ty

o -l • I 2 X

X -1

-4

Problema 17 Problemn / '?

18. R epresentar la cu rva cuyas ecuaciones paramétricas son x = 2 cos O, y = 4 sen O.

----

x2 y2

Eliminando el parámet ro O, la ccl.lación en coor denadas r ectangulares es 4 16 = 1, que

reprr.sent una el ipse.

Eliminemos el pa rá metro O :

X y X

2 )' cos ú y sen O = Luego cos20 - seno = 1 :..:: . 16

-



t --

X

y

-o -

o-

o

± 1 ±2 ±3 ±4

a l ,6 a l ,8a ----

±5,4a

l ,9a

± a ±3,2a ± 7,5a

o ·- X - y

Oº 30º 60º 90º 120º 150º -

-0,65a

180º

a 0 ,65a 0,13a

o -0,13a -a

--- o

- o l 0,1 3a 0,65a a 0,65a O,l3a

1

+ = +

2

X

100 CURVAS PLANAS DE OR DEN SU PERIOR

19.La posición, con respecto al tiempo t,de un proyectil lanzado con una velocidad inicial V 0 que formacon la horizontal un ángulo (} viene dada por las ecuaciones x = (V 0 cos O)t, y = (V 0 sen O)t -igt 2 , siendo g la aceleración de Ja gravedad-igual a 9,8 metros por segundo en cada segundo (m/s2

)-y enlas q ue x e y se expresan en metros (m) y r en segundos (s).

Dibujar la trayectoria de un proyecti l siendo () = are cos 3/5 y V 0 = 40 metros por segundo (m/s). Para ma yor facilidad de cálculo, tómese g = J O m/s2• ·y

Como sen () = se tiene, x = 721,

y = 961 - 16t2•

60

--o

- l 2 3 4 5 6 -------------

--o 24 48 72 96 120 144

30 60 90 120 X

-------------- y o 27 41J 51 48 35 12

El1.m1.nando t , y =-4x - 5x2 , que es una para, bo1a 3 576

de eje vertical. La ordenada del vértice es 51,2 metros, y el alcance máximo 153,6 metros.

20. Representar 1a curva cuyas ecuac. param

é . son x = 2+at , y = 2at3

iones tncas 12 1 ,2 + 1

Para t = O, x = O e y = O. Para todos los valores de t positivosy negativos, x es positivo o cero ; y es positivo para t > O y negativo para t <O. La curva es simétrica con r especto al eje x.

. 2at 2 2a S1 ponemos x =

12 12a-

12 1, se observa que cuan<lo t

aumenta indefinidamente, x tiende hacia 2a, y el valor absol uto de y crece también indefinidamente. Luego x =2a es una aslntota vertical.

3a 'Y

2a

a

2a 1

-a l 1

-2a 1

- 1 -3a 1

1

Eliminando t , se obtiene la ecuación en coordenadas rectangulares y2(2a-x) = x3, que repre senta la Cisoide de Dioc/es.

21. Representar la función x = a cos30, y = a sen30.

Como cos (-0) = cos O y sen (-0) = -sen O, esta curva es simét rica con respecto al eje x, y como sen (180º -fJ) = sen () y cos ( 180º -0) = -cos O, también lo es con respecto al eje y. Teniendo en cuenta que tanto el seno como el coseno son siempremenores q ue la unidad,

-a x a, y -a y a.

y

(O.a)

X (-a.o) \3,0)

(O.-a)



CU R VAS PLANAS DE ORDEN SUPERIOR 101

+ + + +

Eliminando O, la ecuación de esta curva en coordenadas rectangulare s es x213 +y213 = a21a, q\.te re- ,: pr esen ta una hipocicloide de cuatro lóbulos.

Eliminemos el parámetro O :

(x/a)213 + (y/a)113 = (cos3f))213 + (sen38)213 = cos20 + sen20 = J , o bien, x2'3 + y21s = a2iJ.

22. R epresentar la cur va

x = a(O -sen O), y = a(l -cos O).

Para {) = O, x = O. y = O. Pa ra O = 180º, x = :n:a, y = 2a. Para O = 360°, x = 2na, y = O. X

e o·· 30° 60° 90º 120º 1 50º 180º 210 240° 270° 300º 330° 360º

X Q 0 ,02a 0,18a 0 ,57a l,2a 2 ,l a rea 4,2a 5,la 5,1a 6 , l a 6,3a 2rca

y o 0,13a 0 ,5a a l ,5a l ,9a 2a l ,9a l ,5a a 0 ,5a O ,l 3a o

Eliminand o el parámetro O, la ecuación de esta cur va en coordenadas car tesianas es x = a ar e

cos ª-y --./2ay -y 2 , que representa una cicloide. a

Eliminemos el parámetro O :

De y = a(1 -cos O) se obtiene, cos O = a- y ,de donde 8 = are cos

a - y, y sen O = -./ -

. a a a

Sust i tuyendo en x = a{)-a sen O se tiene, x =a are cos ª a

.!.. --./ 2ay - y2•

23. Expr esar en forma paramétrica la ecuación x2 +3xy +3y2-ax=O.

Haciendo y = tx, resulta x2 + 3x2t +3x2t2 -ax= O.

Dividiendo por x se obtiene, x + 3xt + 3xt 2-a= O.

. d a at

Des peJan o x, x = 312 -3t 1 , Y = t x = 312 31 1 ·


R epresen tar las funciones de los Pr o blemas 1-14.

l. (y2 -4)x -9 y = O. x2-4

2. y =(x + 1) (x +2)(x -2). 9· Y = x2 -3x-4 ·

3. y2 = (x + J ) (x + 2) (x -2). 2 _ _ 10 Y x -4 _

4. y2(4- x)=.r. 5. .r -x2 y + 4 y = o. 6. x2 y -3x2 -9y = O.

7. x2 y + 4y -8 = O.

8. x 2 + 2xy -4 +y2 =O.

· - x2 +2x -8

11. 4x2-12x -4 xy + y2 + 6y -7 = O.

12. x3 +4 x2 + xy2-4y2 = O.

13. xy2 - xy -2x -4 = O.

14. x21a + y213 = 0213,



•

-

61 6t

-

+ 9

102 CURVAS PLANAS DE ORDEN SUPERIOR

Representar las funciones de los Problemas 1 5-22.

15. y = 2 sen 3x. 18. y -= cos (x -n/4). 21. y = 3 cos ;(x-1).

16. y = 2 sen x / 3. 19. y = 2sec .:"(/2. 1

17. y = tg 2x. 20. y = eot (x + ;i/3). 22. y = 3ese 3x.

R epresentar las funciones de los Problema 23-28.

23. y = are sen x. 25. y = 3 are cos x/3. 27. y = are ese 2x.

24. y = 2 are tg 2x. 26. y =are sr c x . 28. y = are cot x / 2.

Representar las funciones de los Problemas 29-35.

29. y = 2eJCl2.

30. y = 4 - x. 32. y =·log,.(3 + x}.

33. y = log10 v' x' -16.

34. y = log.. v'27 - x3

eX + e-x 35. y = 2

Catenaria.

Representar las funciones dadas en los Probl emas 36-49 por el método de la suma de ordenadas.

36. 4x2-4xy + y 2

- x = O. 43. y = x /2 + cos 2x.

37.x2-2xy + y2 + x- 1 = O. 44. y = e- x + 2ex12.

38. 3x2-2xy + y 2

-5x + 4y + 3 = O. 45. y = sen 2x +2 cos x.

39. x2 + 2xy + y2 -4x-2y = O. 46. y = x sen x.

40. 2x2 + y2-2xy -4 = O. 47. y =e- x12 cos nx

2

41. y =2 cos x + sen 2x. 48. y = xe -·x•.

42. y = ex t 2 +x2. 49. y =x -sen nx --.

3 Expresar en forma paramétrica las funciones de los Problemas 50-55, teniendo en cuenta el valorque aparece de x o de y.

50. X - xy = 2, y = 1-t. Sol. 2

X = -, y = \-t. I

51. x2 ·-4y2 = K 2 , x = K sec O. Sol. x = K sec O ,

K tg O y =--

2

52. x3 + y3 =6xy, y = IX . 2

X =1 + 13 ' y = -1 + tª .

53. x2-2xy + 2y2 = 2a2

, x = 2a cos t.

t

Sol. X = 2a COS t , y = a(cos t ± seo t) .

I a2 x = b cot y · S ol. x = b cot 2, y = 2b sen t.

55. x21a + y213 = az:a, y = a senªO. Sol . x = a cos30, y = a sen30.

Eliminar el parámetro de las fu ncion\.!s de los Problemas 56-59 y hallar sus ecuaciones cartesianas.

56. x = a sec (}, .v = b tg e. Sol. x z

yz ---= I

a2 bi

57. x = 2 cos O- 1, y = 3 sen {) -2. Sol.(x + 1)2 (y + 2)2

4

58. X = t COS t , y =cos 2t. S ol. y =8x2- l.

3am 3am2

= J.

59. x = l+m3

' y =

1 + m 3 • Sol. x3 +y3 = 3axy.

·ts



-

+

CU RVAS PLANAS DE ORDEN SUPER IOR JOJ

60. Se lanza un proyectil desde un pun to A con una velocidad in ici al de 1 .000 metros por segundo (m/s)formando un ángulo de 35º con la hor izontal. Hallar el alcance del proyectil y la d uración de latrayectoria. Sol. 95.800 m, 118 s.

61. Hallar el ángulo con el que se debe lanzar un proyectil a una velocidad de 400 metros por segundo

(m/s) para que su alcance sea de 12.000 metros (rn). Hallar , asimismo, la d uración de la trayector ia. Sol. 23º 42'; 32,8 s.

62. Se lanza un proyectil con un ángulo de elevación de 60º y u na velocidad inicial de 800 metros por segundo (mf s ). Hallar el alcance y el vértice de la tr ayectoria . Sol. 56.500 m, 24.500 m.

Representar las curvas cuyas ecuaciones paramétricas son las indicadas en los Problemas 63-70.

63. X = 4 COS 1, y = 4 sen t. 67. X = -l

- y = 1 + t ' 1

1

+ 1' .

64. X = 1 +-1 1

y = t--. 68. x = I + 12, y = 41-13. 1 ' t

65. X = t2 + 2, y = t3- l . 69. x = sen t + cos t , y = cos 2f .

66. X = 4 tg O, y = 4 sec O. 70. x = O -sen O , y = 1 -cos O .

71. R epresentar la cur va cuyas ecuaciones paramétri cas son x = 8 cos30, y = 8 sen30. . • • 61 612

72. Repr esentar 1a curva cuyas ecuaciones parametncas son x =1 13 , y = 1 + 111

•

73. R e presentar la curva cuyas ecuaciones paramétrica s son x = 4 tg O, y = 4 cos10.

74. R e pre sentar la curva cuyas ecuaciones paramétrica s son x = 4 sen O, y = 4 tg O (1 + sen O).



CA PITU LO 12

Introducción a la geometría analí tica en el espacio

COOR DENA DA S CA RTESIAN AS. La posición de un punto en u n plano se defi ne por med io de las dos d istancias de éste a dos ejes que se corta n y q u e, normal men te, son perpendiculares en tr e sí (rectangulares). En el espacio, u n punto se determina mediante sus distancias a tres

plan os perpendic u lares dos a dos y que se ll ama n pl anos coor denados. Las d istancias del pu n t o a est os planos se denominan coordenadas del pu n to.

Las r ect as de i nter sección de los planos coord en ados ·son los e j es OX , OY y OZ que sellaman ejes coord enad os y cuyo sen tido positivo se i ndica med iante flechas. Los planos coor den ados d ivid en al es pacio en ocho octantes nu me- r ados de la forma siguien te: el octan te 1 está l imi

tado por los semiejes positivos; los octantes 11, 111 z

y 1V son J os situados por encima del pla no xy y numerados en sentid o contrario al de las agujas del rel oj alrededor del eje OZ. Los octa ntes V. V I , VJI y VIII son los situados por debajo del plan o xy, cor r es pondién dose el V con 1, etc.

En la figura adjunta, las distancia s S P , Q P

y N P son , r espectivamente, las coordenadas x, y y z del punto P , y se r epresentan por (x, y, z), o bien , P (x, y, z).

y La distancia OP del punto P al origen O es

OP =v óN 2 +N P2 =v ó.M2 + .M N 2

+ Nf>S = vx2 + y2 + z2•

Luego si OP = e, se tiene e2 = x2 + y2 + z2•

ANG U LOS DE DIRECCION Y COSENOS DIRECTOR ES

Sean a, fJ y y los ángulos que OP forma con los ejes OX , OY y OZ, respectivamente. Se verifica,

X = {] COS a, y = (! COS {J, Z = (! COS y.

Elevand o al cuadrado y sumando miembro a miembro,

x2 + y2 + z2 = rl = e2 cos2a + e2 cos2{J + e2 coszy, o bien , 1 = cos2a + cos2/3 + cos2y.

También se ver ifican las r elaciones cos a = !..., cos f3 = . e e

cos y = z - (! '

X y Z

o bien, cos a = v x2 + y2 + zt , cos f3 =

vx" + yz + z2 ' cos y = v x2 + y2 + z2

.

Los ángulos a, f3 y y son los ángulos de la dirección de OP y sus cosenos se llaman cosenos directores de OP .

104



2

INTRODUCClON A LA GEOMETRIA ANALITICA E N EL ESPACIO 105

Si una recta no pasa por el origen O, sus ángulos de d irección a, (J y y son los que forman con los ejes una r ecta paralela a la dada que pase por O.

COMPONENTES DE UN A RECTA. Tres números cualesqu iera, a, b y e, pr o porcionales

a los cosenos d irectores de una recta se llaman componentes de la misma. Para hallar loscosenos dir ectores de una recta cuyas com ponentes son a , b y e, se dividen estos tres números por ±va2 + b2+7.Se tomará el signo adecuado para que los cosenos directores tengan el q ue les corres ponde.

DISTANCI A ENTR E DOS PUNTOS. La distancia entre

dos puntos P1(xi. Y i. z1 ) y Plx2, Y2. Z z) es 1

DJ R ECCION DE U N A RECTA. Los cosenos di r ector es

deP 1P

2 son

X

y

PU NTO DE DlVíSION . Si el punto P(x, y , z) divide a la r ecta que une P1(x11 Y i.z1) con

x 1 + rx 2 Y1+ ry2 X =

l + r ' y = l + r '

ANG U LO DE DOS RECTAS. El ángulo de dos rectas q ue no se cortan se defi ne corno el ángu lo de dos r ectas q ue se corten y sean paralelas a las dadas.

Sean OP 1 y OP 2 dos r ectas paralelas a las dadas

pero q ue pa san por el origen , y O el ángu lo que forman. Del triángulo de la figu ra se deduce,

cos o =

Ahor a bien , e: = x + ) + z f. ei = xi +Yi + z .

:, + r z 2

Z =1 + r ·

y d2 = (x2 --x1) + (Yz-y1)2 + (z 2 -z1)1• Sustituyendo y si mplificando,

X 1X2 +Y 1Y2 + Z1Z2 cos () =--------

(!il!t

(*



2

7

106 INTRODUCCION A LA GEOMETR IA A N ALITICA EN EL ESPACIO

. X i-X2 = cos a , etc. por tanto,

Ahor a b1en, e.- = cos ª" 2

(h.

COS O = COS a1 COS a2 + COS /Jr COS /32 + COS Yr COS Y2·

Si las dos r ectas son par alelas, cos O = 1 y, por consiguient e,

a, = a2, /31= f:J,, Y1=Y2·

Si las dos rectas son perpendiculares , cos fJ = O, con lo cual

cos a1 cos a2 + cos f3 1 cos /J2 + cos y1cos Y2 = 0.

PROBLEMAS RESUELTOS

l. Repr esentar los puntos siguientes y hallar sus distar.cias al origen y a los ejes coordenados: A(6, 2, 3), B(S, -2,4).

X

OA = v62 + 22 + 32 = 7

Aa =v32 + 22 = vf3

Ab =v62 ·r·32=3vS

Ac = v62 + 22 = 2V 1o

X

ºº=vST+<-ir+42=2v21 Ba = .Y4i +( 2)z = 2..;s·

Bb = 82+42 =--= 4 5

Br = .Ys2 +(-2):: = 2vi7

2. Hallar la distancia en tre los puntos P1(5, -2, 3) y P2(-4,3. 7).

3. Hallar los cosenos directores y los ángu los de dirección de la rec.ta que une el erigen con el pu nto (.:_.(), 2, 3).

cos a = X z -X i

\l ( xz -X1)2 + (Y2-y1)

2 + (z2 ..:: ; 1)2 z -6-0 -6

---:(-:: =-0=)2=-t= (Í -- -O)C+-(J-0)2 = -7- ,

r.0.1lo que a = 149º.

cos , R,=Y2 -Yt = 2 -O

-= ' con lo que 8 = 73°24'.

o

- 7--- 7 -7 1 X

3 -0 3 cos y =-: = = ,con Jo que y = 64°37'.

7



2 3 6 _ ._,,14 1 9 + 36 7

.7

. - 7

2

2 -2 1 4

I NTROD UC\IO N A LA GEOM F.TRIA A NA LITICA F N F.L FSPACIO 107

Demost r ar q ue la s coord ena das del cen t r o geomet rico ( ba riccnt r o o cent ro del r ea ). es decir. el pu n to de in ter sección de las med ianas. dc:l t rián gul o di.! vért ices A( .\ ,. y • : ). 8(.r , y .:)C(.Y • J'J. : )son

- X 1-+ -"2 + X3 . Y 1 + J3'2 + )'3 · , + 32 +-3 ).

1 1 2 3 3

( 3---

Las med iana s del t riángulo A BC se cortan en un z A P BP C J> 2 p un to P(x,y, ) de forma que PD = PF = -PE =¡- r .

Las coordenadas del pu n to D son

_!_ 2 + X 3 Y2 _± 3 Z2 + Z3 )

( 2 ' 2 ' 2

Luego las coord enadas del pu nto P , quc <.I ividc a A D . ;f p 2 o A(x.,y,.z,)

X en la r elaetón r = P D = -

1 , son

y

X ¡ 1 r( X 2 + X3 )

.x =1+, - X i +

2 + x3 • A ná logamen te. y = ·-:i t Ya .:

5. Ha lla r los ccscn os d i r ectores y los ángu los de dir ección de u na r ecta cu yas com ponent es son 2, -3, 6.

cos a - , fJ = 1 15 23 .y -=- JI

6. Demostr a r q ue la r ecta determinada por los punt os A(5. 2. -3) y 8(6, 1, 4) es paralela a la q ue une C(-3. -2. -1) y D( -1. -4, 13).

Las corn pon l.!ntcs de A B son 6 -5, 1 -2. 4 + 3. o ca. 1, -1 , 7.

Las compon en tes de CD son -1 + 3. -4 + 2. 1 3 1- 1, o sea. 2, -2. 14. S.1 dos r ecta s cuyas componentes son a , b.e y a ' b' e ' son pa r a1e1as. -ª , = l b' = -e,.

a ? e

Por ta n to, como T = _::¡ -= -=¡· a mbas r ectas son para lelas.

7. Dados l os pu nt os A(-:1 , 8, 4), B( -1 , -7.-1) y C(9, -2. 4), demost ra r q ue las r ectas AB y BC son pe rpend icu la r es.

Las componentes de A B son -1 + 1 1 , -7-8. -1 -4, es deci r . 10. -15, -5. o bien, 2. -J. --1.

Las com ponentes de BC son 9 + l.-2 +7. 4 + l.es decir. 1 O, 5, 5, o bien. 2. l. l.

Si dos r ect as. de compon en tes a. b,e y a', h'. e' , son perpend icul a r es se ve rifica . aa' T bh' +ce' =O. Su t i t uycndo. (2) (2) + (-3) (1) + (-1) (1) = O. Por ta n to, las r ectas A B y BC son perpendiculares .

8. Hallar e l ángu l o () formado por las r ectas AB y C D siendo A( -3. 2. 4), 8 (2 , 5, -·2), C( I , -2, 2) y D(4, 2, 3).

L1s compon ent es de A B son 2 + 3, 5 -2, -2 -4. o bien 5, J. -6.

las com ponen te de C D son 4-1.2 + 2, 3 -2, o bien , 3. 4. 1 . Los cosen os d

.cct or es de AB son cos a =

5 - 5 , co (J = 3

, cos y = -6.

ir ::.- - _ '\ 25 + 9 -l 36

3 \' 70 \/70 ../70

4 Los cosenos d irector es de CD son cos a

1=

..¡9 + 16 + 1 = -

,cos ¡11=

,cos y 1 = -· 26 ../26 ../ ,1 26



1

..¡

2 2 2 2

108 I NTRO DUCCION A LA GEOM ETR IA ANALlTICA EN EL ESPACIO

Por tanto, cos O = c:os a cos a1 + cos {J cos {11 +cos y cos y1

= --5-- · 3 +-3 · -4- - 6 _ · 1 ;;:. = 0,49225, de donde () = 60º30,7'.

,110 v'26 ·/70 v'26 70 v'26

9. Hallar los ángulos interiores del triángulo cuyos vértices son A(3, -1,4), B( l , 2, -4), C(-3, 2, 1). z A) f>.l3:'

Cosenos directores de AE =- .2=,--3=·--=8 ). (v'77 v'77 v'77

Cosenos dir ectores de BC = -=4 , O, -5 ). (v'4 1 v'4 t X

Cosenos di.rectores de A C = (-v'2 . v

1'G '

-v'61 ). 6

Nota. Los cosenos d irectores de la recta AB son opuestos de los cosenos directores de BA .

COS A = -2 · -2 + 3 · l + -8 · -1 = 1 5 - . A = 45º44, 7'. --= ...= -= -= - = -- v'77 v'6 vn v'6 v'77 v6 ../462

2 -4 -3 8 5 32 cos B = -=- ·--= + -= ·O + -= ·-=- = -=·

v'77 v'4t v'77 v'77 v'41 v'3157 4 2 -5 1 3

B = 55"16, 9'.

cos e = -=·--=+o +-=·--== -----===-· 4 1 v'6 v'41 v'6 v'246

e = 78º58, 4'. A + B + C = J 80º.

10. Hallar el área del triángulo del Pr o blema 9.

El área de un triángulo conocidos dos de sus lados, b y e, y el ángulo q ue forman , A, es iguala !be sen A .

Longitud de AB , e = v'77, longitud de AC, b =3v'6:

Por tanto, área = !(3v'6) (v77) sen 45º 44,7' =23, l unidades de su perficie.

11. Hallar el lugar geométrico de los punto s que disten r unidades del punt o fijo (x 0 , y0 ,z0).

v'( x -x0)2 +(y -y0)2 +(z -z0)2 =r, o bien, (x -x0) +( y -y0) +(z -z0) =r , ecua ción de una esfera de centro en (x0 , y0 , z 0 ) y radio r.

La fonna general de la ecuación de una esfera es x2 + )i 2 + z2 + dx + ey + fz + g = O.

12. Hallar la ecuación de la esfera de centro (2, -2, 3) tangente al plano XY.

Como la esfera es tangente al plano XY su radio es 3. Luego,

v'( x -2)2 + (y + 2)2 +(z -3)2 = 3. Elevando al cuadrado y simpl ificando, x1 +y2 + z2-4x

+ 4 y -6z + 8 = O.

13. Hallar las coordenadas del centro y el radio de la esfera x2 +y2 + z2-6x + 4y -8z = 7.

Completando cuadr ados, x2 -6x+9 +y2 + 4y +4 + z2 -8z + 16 = 36

o bien. (x -3'J' +( y + 2'J' +(z -4)2 = 36.



2

J NTRODUCCION A LA GEOM ETRJA ANALITICA EN EL ESPACIO 109

Compara ndo con La expresión (x- x 0 )2 +(y -y0) +(z -z0)

2 = r 2 se deduce que el centro tiene de coordenadas (3, -2, 4) y el radio de la esfer a en cuestión es 6.

14. Hallar el J ugar geométrico de los puntos cuyas distancias a l pun to fijo (2, -3, 4) son el doble de la corr es pondiente al (-1,2, -2).

Sea P( x, y, z) un punto genérico cualquiera del l ugar. Entonces,

v(x -2)2 +(y + 3)2 + (z -4)2 = 2v( x + 1)2 +(y -2)2 +(z + 2)2•

Elevando al cuad rado y simplificando, 3x2 + 3y2 + 3z2 + l 2 x -22y + 24z + 7 = O, que es

u na esfera de cen tro -2,-11 , -4) y rad io r = 2 v70. ( 3 3

15. Hallar la ecuación del pla no perpend icular a la recta q ue une los puntos (2, -1, 3) y (-4,2, 2) en su punto med io.

Sea P( x , y, z) un pu n to genérico cualquiera del plano. En tonces,

v(x + 4)2 +(y -2)2 +(z -2)2 = v(x -2)2 +(y + 1)2 +(z -3)2•

Elevando al cuad rado y simplificando, 6x -3y + z + 5 = O. Esta es Ja ecuación del plano cuyos puntos equidista n de los dos dados. El plano cor ta a los ejes en los puntos {-S/6, O, O), (O, S/3, O) y (O, O, -S), y a la recta dada en (-1, l /2, S/2).

{-4,2,2)

t X ' \ 1

\\\\ (0.0,-5)

1 1

Problema 15 Pr oblema 16

16. Halla r el J ugar geométrico de los puntos cuya suma de distancias a los dos pu ntos fijos (O, 3, O) y (O,-3,0) sea igual a 1 O.

Sea P(x ,y,=> u n punto genérico cua lquiera del l ugar. Entonces, FP + PF' = 10, o sea,

v(X _:-0)2 + (y -3)2 + (z -0)2 + \! (x-0)2 + (y + 3)2 t (:-0)2 = 10.

Pasa ndo uno de los radicales al otro miem bro y eleva ndo a l cuad rado se o btiene, después de reducir términos, 3y + 25 = S\/x2 +y2 + 6y + 9 + 2.

Elevando al cuad rado y simplifica ndo , 2Sx2 + 1 6y2 + 25 2 = 400, q ue representa u n elipsoidede ccnlro el origen.

17. Hallar el l uga r geométrico de Jos puntos cuya diferencia de dista ncia a los dos puntos fiJOS (4, O, O)

y (-4, O, O) sea igual a 6.



,

110 INTRODUCC'ION A LA GEOM ETRIA ANALITICA EN EL ESPACIO

Sea (x, y, z) u n pun to genérico cualq uiera del l ugar. Entonce s.

V(x -4)2 +(y-0)2 +(z -0)2-V (x -4)2 +(y -0)2 +(z -0)2 = 6,

o bien, V{x2-8x + 16 + y 2 + z2 = 6 + V'x2 +8x + 16 +y2 + z2

•

Elevando al cuad rado de nuevo y simplificando, 7x2-9y2

-9z2 = 63, que representa un hiper boloide de revolución a lrededor del eje x.

18. Hallar el lugar geométr ic.' de los puntos cuya distancia al eje z sean tres veces la correspondienteal punto (-1,2, -3).

Distancia al eje z = distancia al punto (-1,2. -3).

Es decir , v·x2 +y2 = 3V'(x + 1)2 +( y -2)2 + (z + 3)2•

Elevando al cuadrado y si mplificando, 8x2 + 8y2 + 9z2 + l 8x -36y + 54z + 126 = O, que es un elipsoide.

19. Demostrar que los puntos A(-2, O, 3), B(3, 10, -7), C( I , 6, -3) están en línea recta.

Componentes de AB = 5, 10,-10, o bien, 1, 2, -2; componen tes de BC = -2, -4,4, o bien, -1,-2, 2.

Como las componentes son propor cionales, las rectas son paralelas. Ahora bien, como B perte nece a am bas, AB y BC serán una misma recta y, por consiguien te, los puntos dados son colineales.

20. Hallar el lugar geométrico de los puntos que equidisten de los puntos fijos (1, 3, 8), (-6, -4.2), (3, 2, 1).

Sea (x, y, z) un punto genérico que satisfaga las condiciones del problema. Entonces (1) (x -1)2 +( y -3)2 +(z -8)2 = (x + 6)2 +(y + 4)2 +(z -2)2

y (2) (x -1)2 +( y -3)2 +(z -8)2 = (x -3)2 +(y -2)2 +(.::- 1)2.

Desarrollando y simplificando, se obtiene, (1 ) 1x + 7 y + 6:-9 = O y (2) 2x - y -7z + 30=0.

Solución: 7x +1y + 6z -9 = O y 2 x - y-?z + 30 = O.

21. Demostrar q ue el triángulo A( 3, 5, -4),B(-1, l.2). C(-5.-5. -2) es isósceles .

Longit ud de AB = v'(3 + 1)2 + (5 -1)2 + (-4 : 2)2 = 2 \ 117. Longitud de DC = v'(-5 + 1)2 +(-5-1)2 + (-2 -2)2 = 2 v'T7.

Longitud de AC = v'(-5 :_ 3)2 + (-5-·-5)2 + (-2 + 4)2 = 2 v'42.

Como AB = BC = 2v'i7, el triángulo es isósceles.

22. Demostra r , por dos métodos diferentes, que J os pun1os A(S. 1, S). 8 (4, 3, 2), y C(-3, -2, 1). son los vértices de un triángu lo rectángulo.

l. Apl icando el teorema de Pitágoras, AB = , (S -4)2 + (1=3)2 + (S -2)2 = ,114.

BC = (4 + 3)2 + (3 + 2)2 +(2 ==-i)2° = v'7S.

CA =\1(-3 -5)2 + (-2 -1)2 + (1 -5)2 = v'89.

( AB)2

+(BC)2 = (CA)2, o 14 + 75 = 89.



INT ROOUCCION A LA GEOMETRI A AN ALITICA EN 1:. L FSPA CIO 111

2. Demostrando q ue A B y BC son perpendiculare s. Cosenos d.

esd

e AB. 1=· -2

, --3=· Cosenos d '

s de BC, 7-.

5-.

1-·

1rcctor --=... arectore - - , 1 4 ,'14 14 5 ,13 5 3 svJ

cos B =1

· 7--

2·

5 + - 3 · 1-= 7 -10 + 3 = 0

-

-

-

-- vi4 5 f i4 5 ,13 .,¡¡-¡ s ,13 5 4i ·

De otra forma : La suma de los prod uctos de las com ponente s de las dos rectas es igual a cero. 7(1) + 5(-2) ¡- 1(3) = o.


l. R epresen ta r los pun tos (2, 2, 3). (4. -1, 2),(-3. 2, 4), (3, 4, -5).(-4, -3, -2), (O. 4, -4). (4, O. -2), (O, O, -3), (-4. O, -2), (3, 4, 0).

2. Hallar la distan cia del origen a los pu ntos del Problema 1.

so1. ,1fl, v2i, v29. 5vf. v29, 4 v2. 2 v5, 3, 2v5, 5.

3. Hal la r la d ista ncia en t r e los pare de pun tos s iguie n tes: (a) (2, 5. 3) y (-3, 2. 1 ). Sol. v38. (b) e)

(O. 3, O) y (6, O, 2). (-4, -2. 3) y (3, 3, 5).

Sol. Sol.

7. V78.

4. Hallar el perím e t ro de los t r iángu los siguientes: a} (4, 6, 1 ), (6, 4. O), (-2, 3, 3). b) (-3, 1,-2), (5, 5, -3), (-4, -1,-1). e) (8, 4, 1), (6. 3. 3), (-3, 9, 5).

Sol. 1O + v74. Sol. 20 + ,16, Sol. 14 +9 2.

S. R epr esen tar los pun tos siguien tes y hallar la distan cia de cada u no de ellos al origen así como loscosenos de la dirección q ue con él definen.

a) (-6. 2, 3). Sol . 7, cos a = -6/7, cos (J = 2/7, cos y = 3/7. b) (6, -2, 9). Sol. 11, cos a = 6/ ll , cos /3 = -2/ 1 1. cos y = 9/l l. e) (-8, 4, 8). S ol . 1 2, cos a = -2/3, cos fJ = 1/3, cos y = 2/3. d) (3, 4. O). Sol . 5, cos a = 3/5, ·cos (J = 4/5, cos y = O. e) (4, 4, 4). S ol . 4V3. cos a = l / V3, cos f3 = 1/ V3, cos y = l / '\/3.

6. Hallar los án gulos de dir ección de las rectas que unen el origen con los pu ntos del Problema 5 a), d) y e).

Sol. a) a = 148º59,8', fJ = 73º23,9', y = 64º37,4'. d) a = 53°7,8', {3 = 36º52.2', y = 90º. e) a = (J = y = 54º44,I '.

7. Hallar las lon gitudes de las medianas de los triángulo s cuyos vértices son los q ue se indican . Dar elresul tado de las mediana s corr es pond ientes a los vértices A, B, C, por este or den.

a) A(2, -3, 1), 8(-6, 5, 3), C(8, 7, -7). Sol. v9f , ,/i66, v2TI. b) A(7. 5, -4), 8(3, -9, -2), C(-5, 3, 6). S ol. 2v41, v l 82, v206. e) A( -1, 4, 6). 8(3, 6, -2), C(I , -8, 8). Sol. víl5, ví8t, v21 4.

8. Hallar los cosen os director es de las rectas que unen el primero con el segundo de los punt os que se indican. a) (--4, 1, 7), (2, -3, 2). e) (-6, 5, --4), (-5, -2, --4). e) (3, -5, 4), (-6,1,2). b) (7, 1, --4), (5, -2, -3). d ) (5, -2, 3), (-2, 3, 7).

6 vn 4 ,111 svn 1v 10 ,110 2 TO S ol. a) 71' -77• --77- d ) -30· 6 ' 15

vi4 3vi4 vl4 9 6 2

b) -·-1-· - _ 1 _ 4 _ ' ----¡¡-· e) -TI, 1 1• 1 1 ·

v2 1v2 e) lO'--10' O.



a) l ,3, -2 y -2, 2, 4. Sol. 16, O, 8, o bien, 2, O, l . b) -3, 4, 1 y 2, -6, 5. Sol. 26, 17, lO. e) O, -2, l y 4, O, -3. Sol. 3, 2, 4. d) 5, 3, -3 y -1, 1,-2. Sol . -3, 13, 8.

11:? INTRODUCCIO N A LA GEOM ETR JA A NALIT ICA EN EL ESPACIO

9. Hallar las com ponente de las rectas que pasan por los punt os que se i ndican. n) (4, 7, 3), (-5, -2. 6). Sol. 3, 3, -1 . b) (-2, 3, -4), (1. 3, 2). Sol. -3, O, -6. e) (1 l .2, -3), (4, -5, 4). Sol. 1, 1, -1.

10. Hal lar el menor de los ángulos que forman las r ectas que pasan por los puntos que se indican. a) (8, 2. O). (4. 6. -7);(-3. 1 , 2), (-9, -2, 4). Sol. 88"10,8'. b) (4, -2, 3), (6, I , 7); (4,-2, 3), (5, 4, -2). e) De (6, -2. 0) a (5, 4, 2v3) y de (5. 3, 1) a (7, -1 , 5).

Sol. Sol.

90''. 73º 11,6'.

11. Hallar los ángulos interior es del triángulo cuyos vértices son (-1,-3, -4),(4, -2, -7) y (2, 3, -8). Sol. 86"27.7', 44º25,4', 49º6,9'.

12. Hallar el área del t riángulo del Problema 1 1 . Sol. 16, 1 7 u nidades de superficie.

13. Ha llar los punt os de int er sección de las mediana s de los t rián gulos sigu ientes: a) (-1 , --3, -4), (4, -2, -7), (2. 3, -8). Sol . (5/ 3, -2/3, -19/3). b) (2, 1 , 4). (3, -1, 2), (5, O, 6). Sol. (10/3, O, 4). e) (4, J, -2). (7, -1, 4), (-2. 1 , -4). Sol . (3, 1,-2/3).

14. Demostra r que el t riángulo de vértices (6, 1 0, 10), ( 1 , O, -5), (6, -10, O) es r ectángulo; hallar su área.

Sol. Ar ea = 25v2i unidades de superficie.

15. Demost rar que el triángulo de vért ices (4, 2, 6), (10, -2, 4), (-2, O, 2) es isósceles; hallar su ár ea.

Sol. Ar ca = 6vi9 unidades de superficie.

16. Demostra r , por dos métodos disti ntos, que !:)s punto s (-11, 8, 4), (-1, -7, -1 ), (9, -2, 4) son los vértices de un triángulo r ectángulo.

17. Demost r ar q ue los puntos (2, -1,O), (O, -1, -1), (1, I,-3), (3, 1,-2) son los vértices de un rectángulo.

18. Demostrar que los puntos (4, 2, 4), (10, 2, -2) y (2, O, -4) son los vértices de u n triángulo equilátero.

19. Demostrar , por dos métodos diferentes, que los punt os (1, -1,3), (2, --4, 5) y (5, -13, 11) son colineales.

20. Hallar la ecuación del l ugar geométr ico de los puntos que equidi sten de los pu ntos fijos (l , -2, 3) y (-3, 4, 2). Sol. 8x-l2y +2z + 15 = O.

21. Hallar la ecuación del lugar geométrico de los punto s cuya dist ancia al punto fijo (-2, 3, 4) sea el doble de la correspond iente al (3,-1,-2). Sol . 3x2 + 3y2 +3z2

-28x + 14 y + 24z +27 = O ; una esf era .

22. Hallar la ecuación de la esfera de radio 5 y centro (-2, 3, 5). S ol . x2 +y2 + z 2 +4x-6 y- lOz + 13 = O.

23. La s com ponentes de dos rectas son 2, -1,4 y -3,2, 2. Demostrar que son perpendiculares.

24. Hal lar el valor de k de forma que la r ecta que une los pu ntos P 1 (k, 1,-1) y P 2(2k,O, 2) sea perpendicular a la que une P 2 y P3(2 +2 k ,k, 1). Sol. k = 3.

25. Las componentes de una recta perpendicular a otras dos, de componentes a¡, b1, c1 y a2 , b2• c2, vie nen dadas por los tres determinantes siguientes:

b1 C¡ 1 1 C¡ O¡ 1 1 01 b1 1 1 b2 C2 ' C2 Oz ' Oz b2 .

Hallar las componentes de una recta perpendicular a otras dos de componentes



I N IRODUCCION A LA G EOMETR I A A N ALITICA EN EL ESPAClO 113

26. Hallar las componentes de una recta perpend icular a las dos r ectas determinadas por los par es de pu n tos de coordenadas (2, 3, -4),(-3, 3, -2) y (-1, 4, 2), (3, 5, l ). S ol. -2, 3, -5.

, • Hallar los cosenos d irectores de una recta perpend icular a otras dos cuyas componentes son 3, 4, l y 6, 2, -1. Sol. 2/7, -3/7, 6/7.

Hallar x sabiendo q ue el ángulo q ue forma la recta L1-de com ponentes

x,3, 5-y L

2-de compo-

nentes 2,-i, 2-es 45º. Sol. 4, 5?.

29. Hallar x para q ue la r ecta que pasa por los pun tos (4, l .2) y (5, x, O) sea paralela a la que une (2, 1, 1) y (3, 3, -1). Sol. x = 3.

Hallar x para q ue las rectas del Problema 29 sean perpendicu lares. Sol. x = -3/2.

Demostrar que los puntos (3, 3, 3), (1, 2, -1), (4, 1 , 1), (6, 2, 5) son Jos vér t ices de un parale logramo.

Demostrar q ue los puntos (4, 2, -6), (5, -3, 1), (12, 4, 5), (1 1, 9, -2) son los vért ices de un rectángulo.

Demostrar que la recta que pasa por los pu nt os (5, 1, -2) y (-4,-5, 13) es la med iatr iz del seg

mento determinado por (-5, 2, O) y (9, -4, 6).

34. Hallar e l ángulo formado por las rectas q ue pasan po r los puntos (3, l , -2), (4, O, -4) y (4, -3, 3), (6, -2, 2). Sol. rr./3 rad ianes.

35. Hallar el valor de k para que las rectas de componentes 3, -2, k y -2, k , 4 sean perpend iculares. Sol. k = 3.

. Hal lar el l ugar geométrico de los puntos q ue equ idistan del eje y y del punto (2, I , -1).

Sol. y 2-1y-4x + 2z +6 = O.

37. Hallar el l ugar geomét rico de los puntos q ue eq uid i stan del plan o xy y del punto (-1, 2, -3). So/ , x2 + y2 + 2x -4y + 6z + 14 = O.

38. Hallar el lugar geométri co de los pun tos cuya d iferencia de cu adrados de sus d istancias a los ejes x e y sea constan te. Sol. y 2

- x2 = a.

39. Hallar el lugar geométrico de los pu ntos q ue eq u id istan de l e je z y del plano xy.

Sol . x2 +y 2 -.;2 = O, un cono.

40. Hallar la ecuación de una esfera de cen t ro el p u nt o (3. -1, 2) y que sea tangente al plano yz.

Sol. x 2 + y2 + .::2-6x + 1y -4.; + 5 =O.

41. Hallar Ja ecuación de una esfera de rad io a y que sea tangen te a los tres planos coord enados sabiendo que su centro se encuen tra en e l primer octan te. Sol. x2 + y2 + z2

-1ax -2ay -2a.:: t 2a2 = O.

Hallar la ecuación de la esfer a de cent ro (2, -2. 3) y que pase por el punto (7, -3, 5). Sol. x2 +y 2 + z2-4x -! 4 y -6.::- 13 =O.

Hallar el lugar geomét r ico de l o$ puntos que eq uid istan de (-2, 1, -2) y (2, -2, 3). Sol. 4 x-3y + Sz -4 = O.

Hallar la ecuación del pla no perpend icular al segmento determinado por (-2, 3, 2) Y (6, 5, -6) en su pun to med io. Sol. 4x + y -4.:: -20 = O.

Dados A(3, 2, O) y 8(2, l. -5), ha llar el l ugar geomét r ico de los pu ntos P(x, y, -=: ) de manera que PA

sea perpend icu lar a PB . Sol . x 2 + y 2 + .::2 .,:_, 5x -3y + 5:+8 = O.

Halla r el l ugar geométrico de los pun tos ( x, y , :;-¡cu ya d ista ncia al pun to fi j o (2, -1, 3) sea igual a 4.

Sol. x2 + y2 + z2-4x + 2y -6z -2= O.



114 I NTRODUC CION A LA GEOM ETR IA ANALITICA E N EL ESPACIO

47. Hallar el l ugar geomét rico de los pun tos ( x, y, z) cu ya distancia al pun to fijo (1, 3, 2) sea tres vecessu distancia al plano x z . Sol. x2

-8y2 +z2-2x -6y -4 z + i4 = O.

48. Hallar el centr o y el radio de la esfera x2 -L y2 +:2 -2x + 6y + 2: -14 = O. Sol. Centro (1,-3, -1), radio 5.

49. Hallar las coordr nadas del centro y el radio de la esfer a.

a) 16x2 + 16y2 + 16:2 -24x +48y -5 = O.

b) x2 +y2 + z2-2x -6y + 4z + 14 = O.

e) x2 +y2 +z2 + 4 x -2y -6z = O.

Sol. Centro (!.-- , o) ; r = S f.

Sol. Cent ro (1, 3, -2); r =O.

Sol. Ccn t r o (-2, l.3) ,.- = vi4.

SO. Hallar la ecuación de la esfera de centro (4, -3, 2) y que sea tangente al plano x + 2 = O.

Sol. x2 + y2 + z2-8x + 6y -4 z -7 = O.

51. Hallar el lugar geométrico de los puntos situado:;

a) 4 uni dades delante del plano xz. b) 6 unidades detrás del plano yz. e) 3 unidades detr ás del plano y - 1 = O. d) 3 unidades delante del eje z .

Sol. y = 4. Sol. x = -6. Sol. y +2 = O. Sol. x2 + y 2 = 9.

52. Hallar el l uga r geométrico de Jos puntos cuya su ma de distancias a los dos puntos fijos (3. O, 0) y (-3, O, 0) sea igual a 8. Sol. ?x' + 16y2 + 16:2 = 1 12, elipsoide.

53. Hallar el l ugar geométr ico de los puntos que equidistan del punto (-1 , 2, -2) y del eje .

Sol. z2 +4z + 2x -4 y +9 = O, paraboloid e.

54. Hallar el Jugar geométrico de los punto s que distan t res veces más del punto (3, -2, 1) que del plan o xy. Sol . x2 + yz -8z2

-6 x +4 y -2z + 14 = O, hiperboloide.

55. Hallar el lugar geométrico de los puntos cuya difer encia d'! distancias a los dos puntos fijos (O, O, -4) y (O, O, 4) sea igual a 6. Sol. 9x2 + 9y2-7z2 + 63 = O. h i perboloide.

56. Halla r el l ugar geomét rico de los puntos cuya distancia del plano yz sea el doble de la correspon - diente al pu nt o (4,-2, 1). Sol . 3x2 +4y2 + 4 z2 -32x + l 6y -8z + 84 = O, eli psoide.

57. Hallar el l ugar geométrico de los puntos que distan tr es veces más del plano z + 18 = O q ue del punto (O, O, -2). Sol . 9 x2 + 9y2 + 8z2

-288 =O, el i psoide.

58. Hallar el luga r geomét rico de los puntos que equidistan del plan o ;: = 5 y del punto (9. O, 3).

Sol. x2 + y2 + 4 z-16 = O, paraboloi de.



+

=

CA PrT U LO 13

El pl ano

U N PLA NO se represen ta por u na ecuación l i neal o de primer grado en las va ria bles x, y, z. El recí proco tam bién es ciert o, es deci r. toda ecuación l inea l en x, y , = r epr esenta un plano.

La ecunción genera l de un pla no es. por consigu ie n te. Ax -1 B y -¡ C= + D = O, siem pre q ue A. 8 y C no c;cn n n u los si m ult<1neamen tc.

La ecuación de la fa mil ia de pla nos q ue pasan por el pu n to ( x0• y0• =.,) es

A( x-x.,) l- B(y -y., ) 1 C( =-z0) = O.

R ECTA PE R PE N D I CU LA R A U N PLA NO . Sea n a. h, e las com pon en tes de la recta ; para q ue ésta sea perpend i cula r a l pla n o de ecuaci ón A x 1 B y + Cz f- D - O se ha de verifica r q ue d ich as com pon en t es sea n proporcionale s a los coeficien tes de x. y , :: de la ecu ación del

pla no. Si.empr e q ue a. / '· c. A . B. C sean t oe1os d.1st1.111 os de cero y Aa = ¡b¡ = C e , la r ecta

y el pla no son perpend icu la r es.

PLA NOS PA RA LELOS Y PE R PEN DICU LA R ES Dos pla nos, A ,x + B 1 y + C 1= + D 1= O y A 2x + 82 y + C 2 = + D2 = O, son paralelos

si los coeficientes de x. y. = en sus ecuaciones son propor cionales. es decir. si se veri-

fica A, Bi C1 - -=- Ai B2 C2 .

Dos pla nos, A ,x + B 1 y + Ci= + D, =O y A 2 x + B zy + C 2= -i D2 =O, son perpem/;cu

lares, cuando se verifica la relación ent r e coeficien tes A , A 2 + 8182

+ C1C2 = O. FOR M A NO R MA L. La forma normal de la ecuación de u n pla no es

x cos a + y cos fJ + :: cos y - p = O,

siendo p l a distancia del orige n al pla no. y a. /J.y. los ángulos de la d i rección de la perpendicular al plano por el origen.

La forma norm al de la ecuación del plano A x + B y + C:: + D = O es

A x + ) + C= + D = O

± v A2 +8 2 + C2'

en donde el si gno del radical se consider a opuesto al de D para q ue la dista ncia p sea siempre positiva.

EC U ACION DEL PLA NO EN FU NCION DE LOS SEG MENTOS QU E I NTER CEPTA EN LOS EJ ES. La ecuación del pla no q ue cor t a a los ejes x, y. :: en los pu ntos a , b, e, res-

pect ivamente. viene d ada por x y - -h- +-= = l.

a e

DISTANC IA DE U N PU NTO A U N PLA NO. La d istancia del pu n to (x., y 1, 1) al pla no

A x 1 + B y1 + D 1

A x + B y + C:: + D = O es d = .,¡ A 2 + s2 + c2 ·

1 15

J



1

116 EL PLANO

A NG U LO DE DOS PLANOS. El ángulo agudo O q ue for man dos plano.;, A 1 x + B 1 y + C1z + D1 = O y A2X + B2Y + C2z + D2 = O, viene defi nido por

A1 A 2 + B1B 2 + C.C 2 1

cos o = ,1 A 12 + B12 + e/· vA22 + B;2 + c22 i· CASOS PA RTICU LAR ES. Los planos Ax + By + D = O, B y + Cz + D = O. Ax + Cz + D = O, representan planos perpend iculares,

respectivamente, a los planos xy, yz y xz.

Los planos Ax + D = O, By + D = O, Cz + D = O representa n pla nos, respectivamente, perpendiculares a los ejes x, y y z .

PROBLEMAS R ESUELTOS

l. Hallar la ecuación del plano q ue pasa por el pu nto (4, -2, 1) y es per pendicu lar a la r ecta de com pone ntes 7, 2,-3.

Apl iquemos la ecuación del plano en la forma A( x -x0)+ B( y -Yu) + C( z -z0)= O y la cond ición de q ue los coeficientes sean proporcionales a las componentes dadas.

En tonces, 7(x -4) + 2( y + 2) -3(z-1) = O, o bien, 7x + 2y -J: -21 = O.

2. Hallar la ecuación del plano perpendicu lar, en el punto .med io, al segmento definido por los puntos (-3,2, l ) y (9, 4, 3).

Las componentes del segmen to son 1 2, 2, 2, o bien , 6, 1, 1. El punto med io del segmento tiene de coordenadas (3, 3, 2). Luego la ecuación del plano es

6(x -·3) +(y -'3) + (z -2) = O, o bien, 6x +y +z-23 = O.

3. Hallar la ecuación del plano que pasa por el pu nto ( 1, -2, 3) y es paralelo al plano

x-3y + 2z = O.

La ecuación del plano ped ido es de la forma x -3y + 2z = k. Para hallar k ,.se sustituyen lascoordenadas (1 ,-2, 3), en esta ecuación, ya q ue este punto pertenece al plano en cuestión.

Entonces, 1 -3(-2) + 2(3) = k, de donde k = 13. La ecuación ped ida es x-3y +2z = 13.

4. Hallar la ecuación del plano q ue pasa por el p Jnto (1, O, -2) y es perpendicular a los planos

2x + y -z = 2 y

x -y - z = 3.

La familia de planos que pasan por el punto (1 ,O, -2) es A(x- l ) +B(y-O) + C(z + 2) = O. Para que uno de estos planos sea perpendicular a los dos dados,

2 A +8-C = O y

A - B -C = O.

Resolviendo el sistema, A = -2B y C = -3B.

La ecuación pedida es -2B(x -- 1 ) + B( y -O) -3B( z + 2) = O, 9 bien, 2x -Y + 3z + 4 = O.

5. Hallar la ecuación del plano que pasa por los puntos (!, l.-1),(-2,-2, 2), ( l . -1,2).

Sustituyendo las coordenadas de estos puntos en la ecuación Ax +By + Cz + D = O se obtiene el si stema

A + B- C + D = O, -2A-28 +2C +D =O, A - B + 2C + D = O.



=-

2

Co< V -- -

EL PLA NO 117

Despeja ndo A , B. C y D r esulta n. D - O. A = -C / 2. B = 3C¡2. C - C. Sustituyendo estos va lores y d ividiendo por C resulta la ecuación

.\"-Jy -2: = .o. Otro método. La ecuación del plano que pa a por los pun tos (.r 1• y1• z 1 ). ( x2• y 2, =J y (.\·3 y3 .!3

es el desarrollo del determinant e igualado a cer o siguiente: ·

X )' - .\"1 Yt -1

• , )

X2 Y2 -:?

X:¡ Ya -:,

6. Est ud iar la ecuación 2 x + 3y + 6: = 12.

Como la ecuación es l ineal o de primer grado, r e pr e senta un plano .

Las componentes de la normal son 2, 3, 6. Los cose-

nos d irectores de esta normal son cos a = .cos P = ,

6 cos y = -::¡·

.. o.

z

(G,O,O)

X

Los punt os de intersección con los ejes tienen de coor denadas (6,O, 0), (O, 4, O) y (O. O. 21.

Las rectas de inter sección de u n plano con los planos coordenados se l laman trazas del plano . Pa ra hallar las ecuaciones de las trazas: en el plano xy. z = O; luego la ecuación de la traza es l x + 3y = 12. Análogament e, para hallar la traza con el plan o xz se hace y -""" O y r esulta 2'" + 6z = 12 o bien, x + 3= = 6, y la ecuación de la traza con el plan o yz es .l y + 6z _.., 12, o bien , y + 2 z = 4. En la figura se repr esentan los puntos de inter sección con los e jes y las trazas del plano.

Para hallar la lon git ud de la normal , es decir , la d istancia del origen al plano:

d = Ax1 + B y 1 + Cz1 + D

±v1A2 + 01+ c2

!dí = 1 2(0) _ -t:_ ():6(0)- = ·

7. Hallar la distancia del punto (-2, 2, 3) al plano de ecuación 8x -4y-z -8= O. .. 8 x -4y-· z -8 8x -4 y - z -8

La ecuac1on en forma normal es - -f l6 + 64 1

= ---

-..-- = O. 9

8(-2) -4(2)-1(3)-8 35 Sustituyendo las coor denadas del punto , d '= ----- -- 9·-.

9

El signo negativo indica que el punto y el origen están al mismo lado del plano.

8. Hallar el menor ángu lo formado por los planos (1) 3x + 2y -5:-4 :.:: O

y (2) 2x -3 y + 5=-8 = O.

Los cosenos directores de las normales a los dos planos son :

3 COS U1 = .

\!38 cos {/ , =- -v-=3s-·

5 cos /'1 ::..·- ------:-,

\138 2 -3 5

cos a.

-

, = v3s · cos {J 1 = ,'Js

·

•• /2 - "\ t j8 .

Sea (J el á ng ulo formado por las dos normal es.



3 2 2 3 5 5 1 25 o

1 18 EL PLANO

Entonce5. cos o = ,13s . v38 -v38 .v38 -- v3S. °v38 = 38' de donde o = 48 51,6'. 1

9. Ha llar el pun to de inter sección de los planos: x + 2y- z = 6. 2x- y +3z = -13. 3x -2y + 3:= -16.

Tenemos tres ecuaciones lineales. La solución de este sistema nos da las coordenadas del punto de inter sección de los tres planos.

Dicho punto es (-1, 2. -3).

10. Hallar la ecuación del plano que pasa por la recta de intersección de los planos 3x + y -5z + 7 = O y x -2y + 4z -3 = O y por el punto (-3, 2, -4).

La ecuación del haz de planos qu e pasa por la recta de i nter secdón de otros dos dados es de la forma , 3x + y -5z + 7 +k( x -2y + 4z -3) = O.

Para hallar el plano del haz que pasa por el punto (-3, 2. -4), se susti tuyen los valores -3, 2, -4 en luga r de x, y, z, r espectivamen te, con lo q ue

-9+ 2 +20 + 7 +k(-3-4 -16 -3) = O, de donde k = 10/13. Sustituyendo y simplificando se obtiene 49x -1 y -25:+ 61 = O.

11. Hallar las ecuaciones de los planos bisector es del diedro for mado por los planos

6x -6y + 1z + 21 = O y 2\' + 3y -6 z- 12 = O.

Sea (xi.y1,z1) un punto genérico cualquiera del plano bisector. Las d istancias de (x1, y, , 1)

a los dos planos deben ser iguales. Luego,

6x1 -6y1 + 7z1 + 21 2x1 + 3y1- 6z 1- 12 -11 = + 7 .

Quitando denominadoresy simplificando se obtiene: 64x-9 y-17:+15=O y 20x-75y + 1 l 5z + 279 = O.

12. Hallar la ecuación del plano que pasa por l os puntos (1, -2, 2), (-3, 1, -2) y es perpend icu lar al plano de ecuación 2x + y - z + 6 = O.

Sea Ax + B y + Cz + D = O la ecuación del plano buscado. Como los dos puntos dados per tenecen a él, sustituyend o valores,

A -2 B + 2C + D = O y

-3A + B -2C + D = O.

Por otra parte, el plano pedido debe ser perpend icular al plano 2x + y -z + 6 = O; por tanto.

2A + 8-C = O.

Despejando A, B, D en función de e, A = - I ' B =6

, D = .

Sustituyendo estos valores y dividiendo por C se obt iene la ecuación pedida,

X - l 2y-10 -5 = 0.

13. Hallar el lugar geométrico de los puntos que equ id istan del plano 2,·-2y + :-6 = O y del • p unto (2, -1, 3).

Sea (x. y, z) un punto genérico del l ugar. En tonces.

V(x -2) +( y + 1)2 +(:-3)2 = 2x -2y + :-6 3

Elevando al cuadr ado y simplificando, 5x2

+5y2

+ 8:2

-J. 8xy -4x: -1- 4 y:-1 2x -6y -42: + 90 = O.



z

To

=i7 =

z

a y; 4

EL PLANO 119

14. Halla r las ecuaciones de los planos paralelos al de ecuación 2x -3y -6:-14 = O y que disten 5 unidades del origen.

La ecuación de la famil ia de planos paralelos al dado es de la forma 2x -3y -6 z-k= O.

La distancia de u n punto cualquiera (x¡, Y 1t 21) al plano 2x -3y ·-6:-k = O es

d = 2x1 -3y1 -6:1 -k 7 .

2(0) -3(0)-6(01-k Como d = ± 5 desde (0, O. 0), se tiene, ± 5 =

7 Luego la ecuación ped ida es 2x -3y-6z± 35 = O.

' , de donde k =±35.

En la figura se r epresentan el plano 1, que es el dado, y los planos 11 y III , que son los que se piden.

/ /

/ /

/

/ /

/ /

X

(12.0,0) X

Y.

Probll!ma 14 Problema 15

15. Hallar la ecuación del plano 5x -3y + 6z = 60 en función de los segmentos que interce pta so bre los ejes de coordenadas.

Divid iendo por 60 resulta la ecuación, 2 - {o + = 1.

Los puntos de i nter sección con los ejes son 1 2, -20, 1O.

16. Demostrar que los planos 7x +4 y -4z +30 = O, 36x-5 1y + 1 2z + 17 = O, 14x + 8y -8z -12 = O, y !2x -17 y + 4z-3 = O

son las cuatro caras de un paralelepípedo rectángulo.

Los p1anos . primero y tercero son paralelos, ya que 174 = 84 = _ -4 · 8

., 36 -51 1 2 Los planos segtindo y cuarto son tamb1en paralelos, pues l2= 4·

Además, los planos primero y segundo son perpendiculares , porque

7(36) + 4{-51) -4(12) = 252 -204 -48 = O.

17. Hallar el l ugar geométrico representado por la ecuación x 2 +y 2 -2xy -4z2 = O.

Escri bamos esta ecuación en la forma x2- 1. xy -i- y 2 -4z2 = (x - y -2z) (x - y + 2z) = O.

El lugar está consti tu ido por los dos planos, q ue pasan por el origen,

x -y -2z =0 y

x -y + 2z = O.



120 EL PLANO


t. Hallar la ecuación del plano: a) Paralelo al plano x y y situado 3 unidades por debajo de él. Sol. z = -3.

b) Paralelo al plano yz y q ue corta a l eje x en el punto de abscisa 4. Sol. x = 4. e) Perpendicular al eje z en el punto (O, O, 6). Sol . z = 6. d ) Paralelo al plano xz y a 6 u nidades detrás de él. Sol. y = -6, o bien, y +6 = O.

2. Hallar la ecuación del plano horizontal que pasa por el punto (3, -2, -4).

Sol. z = -4 , o bien , z + 4 = O.

3. Hallar la ecuación del plano paralelo al eje z y que corta a los ejes x e y en los puntos 2 y -3, respectivamente. Sol. 3x -2y -6 = O.

4. Hallar la ecuación del plano paralelo al eje z y cuya traza con el plano xy es la recta x + y -2 = O. Sol. x + y -2 =0. .

5. Hallar las ecuaciones del plano:

a) Que pasa por el punto (3, -2, 4) y es perpend icular a la recta de componentes 2, 2, -3. Sol. 2x + 2y -3z + J O = O. b) Que pasa por el punto (-1, 2, -3) y es perpendicular al segmento determinado por (-3, 2, 4)

y (5, 4, 1). Sol. 8x + 2y -3z -5 = O. e) Que pasa por el punto (2,-3, 4) y es perpend icular a la recta q ue une dicho punto con (4, 4, -1).

Sol. 2x + 7y-5z + 37 = O. d) Perpendicular , en el punto med io, al segmento que une los puntos (-2, 2, -3) y (6, 4, 5).

Sol. 4x + y + 4z-15 = O.

6. Hallar la ecuación del plano: a) Que pasa por el punto (-1,2, 4) y es paralelo al plano 2x -3y -5z + 6 = O.

Sol. 2x -3y -5z + 28 = O. b) Que pasa por el punto (2, -3, 6) y es paralelo al plano 2x -5y + 7 = O.

Sol. 2x -5 y - l9 = O. e) Que pasa por el origen y es paralelo al plano 3x + 7y-6z + 3 = O.

Sol. 3x + 7v -6z = O. d) Paralelo al piano 6x + 3y -2z -14 = O y equidistante de él y del origen.

Sol. 6x + 3y -2z ± 7 = O. e) Paralelo al plano 3x -6y -2z -4 = O y a 3 unidades i:lel origen.

Sol. 3x -6y -2z ± 21 = O.

7. Hallar la ecuación del plano : a) Paralelo al plano 6x -6y + 7z-44 = O y a 2 unidades del origen.

Sol. 6x -6y +7z ± 66 = O. . b) Paralelo al plano 4x -4y + 7z -3 = O y distante 4 unidades del punto (4, 1 , -2).

Sol. 4x -4y + 7z + 38 = O, 4x -4y + 7z -34 = O. e)

Paralelo al plano 2x -3y -5z + l = O y distante 3 unidades del punto(-1,

3, 1). Sol. 2x -3y -5z + 1 6 ± 3v38 = o. 8. Hallar la ecuación del plano que pasa por el punto (3, -2, 4) y es perpendicular a los planos

7x -3y + z -5 = O y 4x - y -z + 9 = O. Sol. 4x + 1J y + 5z- 10 = O.

9. Hallar la ecuación del plano que pasa por el punto (4, -3, 2) y es perpendicular a la recta de intersección de los planos x - y + 2z -3 = O y 2x - y -3z = O. Sol. 5x + 7y + z -1 = O.

10. Hallar la ecuación del plano que pasa por el punto (1, -4,2) y és perpendicular a los planos 2x + 5y - z - 12 = O y 4x -7y + 3z + 8 = O. Sol. 4x -5y-17z + 10 = O.

JI. Hallar la ecuación del plano que pasa por el punto (7, O, 3) y es µerpend icular a los planos 2x -4y + 3z = O y 7x + 2y + z-14 =-= O. Sol. IOx -19y -32z +26 = O.

;.



EL PLANO 121

12. Hallar la ecuación del plano que pasa por el punto (4, 1, 0) y es perpendicular a tos planos

2x - y -4z -6 = O y x +y + 2z -3 = O. Sol. 2 x -8y +3z =O.

13. Hallar la ecuación del plano que pasa por el punto (1, 1, 2) y e5 perpend icular a los planos 2 x -2y -4z -6= O y 3x + y + 6z -4 = O. Sol. x + 3y - z -2 = O.

14. Hallar la ecuación del plano perpendicular a los planos 3x - y + z = O y x + 5y + 3 z = O y que diste V6- unidades del origen. Sol. x + y -2 z ± 6 = O.

IS. Hallar la ecuación del plano perpend icular a los planos x -4y + z = O y 3x + 4y + z -2 = O y que diste una unidad del origen. Sol. 4x - y -8 z ± 9 = O.

16. Hallar la ecuación del plano que pasa por los puntos (2, 2, 2) y (O, -2, O) y es perpendicular al plano

x -2y + 3z -7 = O. Sol. 4x - y -2.z -2 = O.

17. Hallar la ecuación del plano que pasa por los puntos (2, 1, 1) y (3, 2, 2) y es perpendicular al plano

x + 2y -5z -3 = O. Sol . 7 x -6y- z -7 = O.

18. Hallar la ecuación del plano q ue pa sa por los puntos (2, -1, 6) y ( 1, -2,4) y es perpendicular al plano x -2y -2z + 9 = O. Sol. 2x + 4y -3 z + 18 = O.

19. Hallar la ecuación del plano que pasa por los puntos (1, 2, -2) y (2, O, -2) y es perpendicular al plano 3x + y + 2z = O. Sol . 4x + 2y ·-7z -22 = O.

20. Hallar la ecuación del plano q ue pasa por los puntos (1, 3, -2) y (3, 4, 3) y es perpendicular al plano 7x-3y + 5z -4 = 0. Sol. 20x + 25y -13z -121 = 0.

21. Hallar la ecuación del plano que pasa por los puntos

a) (3, 4, 1),(-1, -2, 5), (l , 7, 1). b) (3, 1, 4), (2, 1, 6), (3, 2, 4). e) (2, 1 , 3), (-1, -2, 4), (4, 2, 1). d) (3, 2, 1), (1, 3, 2), (1 , -2, 3). e) (4, 2, 1), (-1,-2, 2), (O,4, -5).

Sol. 3x + 2 y + 6;: -23 = O. Sol . 2x + :: - 1O = O. Sol. 5x -4 y + 3z-15 = O. Sol. 3x + y + 5 z-16 = O. Sol. 11 x-17 y- l 3 z + 3 = O.

22. Representar los planos siguientes, hallando los puntos de i nter sección con los ejes y las trazas con

los planos coordenados. a) 2x + 4y + 3z-12 = O. e) x + y = 6. e) 2x- z = O. b) 3x -5y +2z -30 =0. d) 2 y -3z = 6. f ) x -6 = 0.

23. Hallar la ecuación de los planos definidos por : a) a = l 20º, {J = 45º, y = l 20º, p = 5. Sol. x -vi y + z + IO =O. b) a = 90º, f3 = 135º, y = 45º, p = 4. Sol. y - :; + 4v2= O. e) el pie de la normal al plano por el origen es el punto (2, 3, 1).

Sol. 2x + 3y + z -14 = O.

d) <1 = 1 20º, [J = 60º, y = 135", p = 2. Sol. x - y + ,12z + 4 = O.

e) P = 2, cos1°-·= co; f!_ = co; y . Sol. x -4y -8 z ± 18 = O.

24. Red ucir las ecuaciones siguientes a su forma normal y, a contin uación, determinar los cosenos directores y la longi t ud de la normal. a) 2x -2y + z-1 2 = O. Sol. cos a = 2/3, cos f3 = -2/3, co; y = l / 3, p = 4.

b) 9x + 6y-2z + 7 = O. Sol. cos a = -9/ 1 1 , cos {J = -6/ 1 1 , cos y = 2/ 1 1, P = 7/ 1 1.

e) x -- 4 y + 8z -27 = O. Sol. cos a = 1/9, cos (3 = -4/9, co; y =8/9. p = 3.

25. Hallar la d istancia del pu nto al plano ind icados. a) Punto (-2, 2, 3), plano 2x + y - 2z -12 = O. b) Pun to (7, 3, 4), plano éx -3y + 2z- 13 = O. e) Punto (O, 2, 3), plano 6x -7y -6:+ 22 = O. d ) Punto (1 ,-2, 3), plano 2x -3 y + 2 z -14 = O.

26. Hallar el ángulo agudo q ue forman los planos

a) 2x - y + z = 7. x + y +2:-

1 1 = O. b) X + 2y - Z = J 2, X -2y-2 z -7 = Ü.

Sol. -20/3. l nterprétese el signo. S ol. 4. Sol . 10¡1I. S ol . O.

Sol. 60". Sol. 82º 1O,7'.



6-4 + 3 + 7.5 - + 4- + 3

X · 2

2

122 EL PLANO

e) 2x -Sy + 14z = 60, 2x - y -2z-18 O. d) 2x + y -2z = l 8. 4x -3y- 100 = 0.

Sol. 49°52.6'. Sol. 70°31,7'.

27. Halla r el punto de inter sección de los planos 2x - y -2.: - S. 4x.1... y + 3z = 1 , 8x - y + .: = 5. Sol. (3/2. 4, -3).

28. Hallar el pu nto de inter sección de los planos:

a) 2x + y - z- 1 = O, 3x- y -.: -r 2 =- O. 4x -2y +.:-3 =O. b) 2x + 3y + 3 = O. 3x - 2y- 5z + 2 = O, 3y -4: ¡ 8 = O.

e) x + 2y + 4z -= 2, 2.\·+ 3y -2z + 3 = O. 2x -·y + 4.: + 8 = O.

Sol. ( 1 , 2, 3). Sol. (3/2, -2. l/2). Sol. (-4,2, l /2).

29. Hallar la ecuación del plano q ue pasa por la recta d e in ter sección de los planos 2x -7y + 4 z -3 = O, 3x -Sy + 4 z + 1 1 = O, y el pu n to (-2, 1 . 3). Sol. l Sx -47y + 28z -7 = O.

30. Hallar la ecuación del plano q ue pa sa por la r ect a de i n ter sección de los pla nos 3x -4 y + 2z -6 =O, 2x + 4y -2z + 7 = 0, y por cl punto (l , 2. 3). Sol. 43x -24y + l 2z -31 = 0.

31. Hallar la ecuación del pla no q ue pasa por la recta de i n tersección de los pla nos 2x - y + 2z -6 = O, 3x -6y + 2z-12 =O, y que corta al eje x en el pu nto (6, O, 0).

Sol. x -5y -6 = O.

32. Hallar las ecuaciones de los planos bisector es del died ro formado por los planos 2x - y-2.z-6= O y J x + 2y -6 z = 12. So/. 5x- J 3y + 4.: -6 = O. 23x - y -32: -78 = O.

33. Ha lla r las ecuaciones de los planos bisectores del diedro formado por los planos 6x -9y + 2z + 18 = O y x - By + 4.: = 20. Sol. 65x- l 69y + 62z -58 = O, 43.\·+ 7y -26z + 382 = O.

34. Ha lla r las ecuaciones de los planos bisectores del died ro formado por los planos Jx +4y-6 = Oy 6x -6y + 7z .J.. 16 = O. Sol. 9x + 2y ¡.. 5.: -1 2 = O, 3x + 74y-3Sz-146 = O.

35. Hallar la ecuación de los planos siguientes en función de los segmen tos de intersección con los ejes. a) 2x -3y + 4z = l 2. b) 3x + 2y -5.: = 15. r) x + 3y + 4z = l 2.

X )' 2 I b) - X · )' 2 I X y z Sol. a) = · 5 3 = · e) l f = l.

36. H allar las ecuaciones de los planos que cort an a los ejes en los puntos:

a) (-2. O, O), (0, 3, 0). (0, O, 5). Sol . _2

+ .f + 5 = 1.

b) (3, O, O), (0, -2, 0). Sol. T\' -T y

= 1. (Paralela a l eje .:.)

e) (4, O, 0). Sol. x = 4. (Para lelo al plan o yz.)

37. Demostra r q ue los pla nos siguientes son las caras de un paralelepipedo: 3x - y + 4 z -7 = O.

x + 2y -- z + 5 = O, 6x -ly +8z + J O = O, 3x + 6y -3z -7 = O.

38. Hallar el lugar geométr ico de los pun tos q ue d isten del plano 3x- 2y -6.: = 12 el doble que del plano x -2y + 2.: + 4 = O. Sol. 23x -34y + 1O: + 20 = O, 5x -22y + 46.: +92 = O.

39. Hallar la distancia en tre los planos paralelos 2x -3y -6.:-14 = O y 2x -3y -6: + 7 =O, Hacer la figura. Sol . 3.

40. Halla r la distancia entre los planos 3x ,6y + 2.: = 22 y 3x + 6y + 2.: = 27. Hacer la figura. Sol . 5¡7.

41. Hallar la figura re presen tada por x2 + 4y2-.: + 4 xy = O.

42.

Sol. Dos pla nos q ue se cortan : x + 2 y + .: = O, x + 2y - z = O.

Hal l a r la figura repre sentada por x2 +y 2 + .:2 + 2xy -2x.: -2y.:-4 = O. Sol. Dos planos paralelos : x + y- .: + 2 = O. x + y - z -2 = O.

43. Hallar el l ugar geométrico de los puntos q ue equid istan del plano 6x-2y ,3=+4 = O y del pu nto (-1, 1, 2).

Sol . J 3x2 + 45y2 + 40.:2 ..L 24xy -36x.: + l 2y.: + SOx-82y -220z + 278 = O.

-,



,

CAPITU LO 1 4

La recta en el espacio

RECTA EN EL ESPACIO. U na recta en el espaci o viene defi n ida por la in tersección de dos planos,

A 1x + B. y + C , z + 01 = O A 2x + B y -1 C2: + Dt = 0

excepto cua ndo estos sea n pa ra lelos.

FO RMA PA R A M ET R I CA. Sean <t, {l. y, los ángulos de la d irección de la recta L y P1( x •. y1• z 1) u n pu n to genér ico de ella. La recta L es el

luga r geomé trico de los pu n tos P( x. y, ) ta les q ue x -x1 = t cos a, y -Y1 = I cos (J.= -=-1 = I cos )', o bien, X :-: X1 + I cos ª· y = J'1

+ t cos {J, z = z 1 + t cos y, en las q ue el pa r á met ro t r e presen ta la longit ud va riable P 1P.

Lla ma ndo a , b, e, a las com ponen tes de L. estas ecuaciones se pueden escri bi r en la for ma

x = x1 + ar , y = y 1 + bt.: = ::. 1- et.

L P(x,y,z)

J

P, (X .,y,.Z,)

FOR MA CONTI N U A. Las ecuaciones de la recta q ue pasa por u n pu nto P1(xh y 1 z1) y cuyos ángulos de d i rección son a, {J. y, vienen dadas por

x - x. cos '1

)' - )'1

cos tJ --Z1

cos y

Llam and o a, b, e, a las com ponentes de la recta, la ecuación en forma contin ua es

x - x ,

a

)' -y.

= - h

;;-Z1

e Si L es perpendic u lar a uno de los ejes de coordenadas. la ecuación toma una de las for

mas sigu ien tes:

x = x., y - y. ---= 6

x - x.

z - =1 --e- (perpendicula r al eje x).

y = y•.--

ª e (perpendicular al eje y).

Z = Z 1 x- x.

a y - y.

b ( perpend icular a l eje z).

Si L es perpendicular a d os ejes, la r ecta q ueda determinada por las dos ecuaciones si

guien tes: x = x 1, y = y1( perpendicular a los ejes x e y) . x = x., z = .: -1 (perpendicular a los ejes x y z). y = y 1, =:1 (perpend icular a los ejes y y z).

RECTA QU E PASA POR DOS PU NTOS . Las ecuaciones de la r ecta q ue pasa por los pu ntos P1(X1, y., z1) y P h.-2.J'2· .:-2) son

x - x. y ·- y1,- - z -=1

123



l 4 -2 1 4 2 -1 1 2 -1 formada con los coeficientes de x , y, z,

is

L 1)

99

3

PLANOS PROYECTA NTES. Cada u na de las ecuacione s

x- x. a

y - y .

b e

y -- y.

b Z- Z1

e

son la de u n plano q ue conttene a la recta. Como cada uno de estos planos es perpendicular a u no de los planos coorden ados, reciben el nom bre de planos proyectantes de la recta ; sus trazas con aq uellos son las proyeccio nes de la r ecta sobr e d ichos planos de coordenadas .

PA RA LELI SMO Y PER PEN DICU LA RI DA D ENTR E R ECTAS Y PLA NOS. U na recta de com ponentes a , h, e , y u n pla no A x + B y + C z + D = O son (1) paralelos si se ver ifica la rela ción Aa + Bh + Ce = O, y recí pr ocamente ,

(·2) perpendi.cu 1ares s1. se ven'fican 1as reJact·ones A = Bb = C ,y r ec·1procamente . a, e

PLA NOS QU E PASA N POR U N A RECTA . Dad as las ecuaciones

A 1 x + B1 y + C1z + D 1 = 0

la ecuación A 2 x + B2Y + C2 z + D 2 = O,

A 1 x + B1 y + C1z + D1 + K (A 2 x + 8 2)' + C2z + D2) = O,

siend o K u n pará metro, represen ta el haz de pla nos q ue pasan por la r ecta de i ntersecciónde los dos dados, es decir la de todos los planos q ue pa san por d icha r ecta .

PROBLEI\1AS RESUELTOS

l. Dadas las ecuaciones 2x- y + z = 6, x +4 y -2 z = 8, hallar,

a) el punto de la recta para z = 1, b) los punto s de intersección de la r ecta con los planos coordenados, e) las componentes de la r ecta, d) los cosenos directores de la recta.

a) Sustituyendo z = 1 en las dos ecuaciones resultan , 2x - y =5, x +4y = 10.

R esolviendo el s. tema, x = 10 ' y =

5 .. Luego el punto ped ido tiene de coor denadas 3

0 .

3 ' 3 '

b) Como z = O en el plano xy, proced iendo como en a) se obti.ene el punto ( 32 , 1o ,O) .

Análogamente, lo otros puntos de inter sección son (4, O, -2) y (O, J O, 16). e) Los punt os (

1°, , 1) y (4, O, --2) pertenecen a la recta .

10 5 2 s . En consecuencia, sus com ponente s son 4-J' O-T'-2-1, o sea, T'-T' -3, o bien ,

2, -5, -9. 2 2 -5 -9

d) Los cosenos directores son cos a = v 4

+25

+81 = viJO , cos fJ = viJO , cosy = "V'l t O ·

Ot r o método. También se pueden obtener las componentes de la r ecta observando que ella es perpen dicular a las normales a los dos planos que la definen. Ten iendo en cuenta la notación dedeterminan te, a par tir de la disposición matricial

se deduce 4 -2 -2

= 4-2= 2 1 =-4-l =-5, 1 4

= -9, o bien, 2, -5, -9.

-1 '1 l 2 2 -1



124 LA RECTA EN EL ESPACIO

v v

.

1

LA RECTA EN EL ESPACIO 125

2. Hallar el ángulo agudo formado por las rectas (1) lx - y + 3z -4 = O, 3x + 2 y -= + 7 = O

y (2) x +y -2z + 3 = O, 4 x -y+ 3z + 7 = O.

Los cosenos directoreo; de la primera recta son, -5 , 1 1 , 7, y los correspondiente s de la segunda, -1, 1 1, 5 , o btenid os como ya se explicó en el Problema Id).

Llamando 8 al ángulo formado por las dos rectas, se tiene

-5 -1 1 1 J 1 7 5 23 cos O = ---==- ·-=+ -=·--= + --=· ---==- =--.= de donde 8 = 18º1,4'.

" 11 95 v 141 v 195 v 141 v19s v 141 3v65 •

3. Demostrar que las rectas (!) x -y + z -5 = O, x -3y + 6 = O y (2) 2y + z-5 = O, 4x -2y + 5z -4 = O

son paral elas. Las componentes de la primera recta son:

o sea, 3, 1, -2.

Las componentes de la segunda recta son :

o sea, 12, 4. -8, o bien 3, 1, -2.

Como las componen tes de ambas rectas son iguales, éstas Y son paralela s.

x + I y - 5 z -1 x + 4 y - 1 = z -3 son per 4. Demostrar que las rectas-

pendiculares. -=-

2 - = --=_ y

3

--5- .=-3

-

Los cosenos d irectores de la primera recta son cos a = -2

, v14

. 5

3 -1cos p = 14 • cos y = 14 ·.

-3 1 Los cosenos directores de la segunda recta son cos a = .¡---· cos p = -.J -. cos r = v .

V 35 35 35 2 5 3 -3 -1 1 9

cos o = --.. .---- + -=- . -=- + ---=- .-=-= I0- - I = O. l uego O = 90º. v 14 v35 v14 v3s v t 4 v35 v14 v35

También , tomando como componentes de las rectas (2, 3, -1 y 5, -3, 1) se tiene, 2(5) +3(-3)

+ (-1) ( 1 ) = O, de donde se ded uce q ue son perpend iculares .

5. Representar la recta 3x--2y + 3z -4 = O. x -2y- z+4 = O. Se hallan dos de los puntos de inter sección con los planos z

coordenados y, a continuación. se u nen ent r e sí. Para hallar la inter sección con el plano xy se hace z = O.

Es decir. 3.x -2y = 4 x -2y = -4.

De aq uí se ded ucen los valores x = 4, y = 4. Luego el puntode inter sección con e l plano xy es (4, 4.0).

Análogam ente, el punto de intersección con el plano yz es (0, 1, 2).

-/ .•/ X

. ./.." ·····-------- (4,4,0)

y

6. Hallar el punto de i nter sección de la recta x + 2y - z -6 = O, 2x - y + 3z + 13 = O con el plano 3x -2 y + 3z + 16 = O. .

Como el punto buscado debe satisfacer a las tres ecuaciones habrá que resolver el sistema co-rrespondiente. Eliminando z se obtienen las dos ecuaciones, 3x + 2y -l = O, x -Y + 3 = O.



cos O - ·------=-· e on e, - .

_ 7 1 = 3 7

De estas dos resulta, x = -1, y = 2. Sustituyendo estos valor es en x + 2y - z -6 = O se ded uce z =-3. Luego el punto de inter sección tiene de coordenadas(-1 , 2,-3).

7. Demostrar que las rectas de ecuaciones

X -

y - z -7 =0, 3x -4 y-

1 1 = 0, y X

+ 2y-Z-

1 =0, X

+ y + 1 =0 se cortan. Sean (x.,Y1> zt) las coor denadas del punto de intersección de las dos rectas. Estas deben satis-

facer la ecuación de cada uno de los planos. Por consiguiente,

(1) X1-Yt -Z1= 7

(2) 3x1-4 y 1 = 11 (3) X1 + 2y1-Z¡ = 1 (4) X¡ +Y1 =-1.

Resta ndo (3) de (1) se obt iene y 1 = -2. Sustituyendo este va lor de y1 en (4) r esulta x1= l.

Sustituyendo estos dos valores en (1), z1= -4. El punto de intersecció n tiene de coordenadas ( 1 , -2, -4).

8. Hallar el ángulo formado por la recta x + 2y - z + J = O, 2x - y + 3z + 5 = O, y el pla no

3x -4y + 2z -5 = O. Para obtener las com ponentes de la recta :

1 o sea, 6 - 1, -2 -3. -1-4, o bien. 5, -5, -5, o l o que es igua l 1, -1,-1. 2 -Y'>( X

El ángulo formado por la recta y el plano es el complementari o del ángulo O q ue la recta forma con la norma l a l plano. Las componentes de la normal son 3, -4.2.

3(l ) -4{- I ) + 2< 1> 5 o d d o-57º35' v3 .,/29 \1s1

El ángu lo formado por la recta y el plano es 32º25'.

9. Hallar la ecuación, en forma continua , de la recta intersección de los planos 2x -3y + 3z -4 = O

.\" + 2y- = + 3 = o. Eliminando z e y en t re las ecuaciones dadas se obtiene,

5x + 3y + 5 = O y 1x + 3= + 1 = O.

J gua lando los va lores de x de ambas ecuaciones r esul ta.

y +-5 z +

1- y +5 :: + --

x =3y -/- 5

5 3-z _ -/- 1

, o sea, T X

= ---- = - 5

J ,o bº

en , T X = 3 3

-5=-

3 -3

Estas ecuaciones son las correspondientes a una r ecta q ue paa por el punto (o.- .-+) y q ue tiene de componentes J,-5 ,-7.

10. Escri bir , en forma paramét rica, las ecuaciones de la r ecta de i ntersección de los planos

3x + 3y -4z + 7 =O y x + 6 y + 2=-6 = O.

Eliminando y y z entr e las ecuaciones dadas se obtiene,

X -2: + 4 = o y X + Jy- 1 = O.

Igua lando los valores de x de ambas ecuaciones r esulta , : = y - /J = = 2

3

Si igualamos ahora cada uno de los mjembros a u n pa rámetro t, se obtienen las ecuaciones para métricas de la recta dada: x = 61, y = !-2t , z = 2 1- 3t.




2 - 3

LA R ECTA EN EL ESPACIO 127

11. Hallar las ecuaciones de los pl2nos proyectantes de la recta de inter sección de los planos de ecuaciones 2x + 3y -5z +6 = O

3x -2 y + z -8 = O.

Para hallar los planos pr oyectantes basta el iminar , sucesivame nte, z. y y x entre las dos ecuaciones: se o btien en los plan os 17x -1y -34 = O. 1 3x -1z -12 -.:: O y 1 3y- l 7z

+34 = O, que

son los proyectantes de la recta so br e los pla nos xy , xz e y z.

ll. Hal lar la s ecuaciones de la recta q ue pasa por el punto ( 1 , -2, 2) y cuyos ángulos de direcciónson 60º, 120º, 45º.

Ten iendo en cuenta x - x i y -y, - - z 1 - ,r esul ta

x- 1

cos a y +2

cos fJ z -2

cos y x-i y +2 z -2

o bien, x- 1 Oº = y +2

cos 120°· = cos 45º , o sea. z -2

-! ----., ...- = !v2 ·

1=

-1= v2

13. Hallar las ecuaciones de la r ecta q ue pasa por los puntos (-2, 1, 3) y (4, 2,-2). Ten1·endo en cuenta x - Xi = Y -Yi z - Zi • se ob11·ene x +

2 = y - 1 = z -3

X2 - X 1 Y2 -Y1 Z2 -l 1 4 + 2 2- 1 -2 -3'

o sea. x + 2

6

y- 1

=1

:-3 -5 .

14. Halla r las ecuaciones de la recta q ue pasa por el punto ( 1, -3, 4) y es perpend icular al plano X --3y -!- 2.:: = 4.

La s componentes de la recta son 1, -3, 2.

las ecuaci.ones pe

d'1d

as son X -1

1

y

-=+

. _3

= z

-4

- o

.

bien ,3x + y = O, 2y + 3z --6 = O.

15. Hallar la ecuación dd plano formado por las recta s

x- 1 y + J z -2 4 - 2 3 y

x- 1 5

y + I

4 z-2

3 Obsérvese q ue las r ecta s se cortan en el punto ( 1 , -1, 2). A pliqu emos la ecuación Ax + By + Cz + D = O. Como las dos r ectas pertenecen al plano,

serán pe rpend iculares a la norma l a éste. Por tan to, 4A + 2B + 3C = O S A +48 + 3C = O.

Por otra part e. el pun to (1,-1,2) ta mbién pertenece al plano . Luego,

A -·B + 2C + D -= O.

Como tenemos cuat r o incógni tas y solamen te tres ecuaciones, despejemos tres de aquéllas en función de la cua rta (sistema indeterminado con infin itas soluciones).

Des pejando A, C, D en función de B resulta : A = -28 , C = 28 , D = - B. Sustituyendo estosvalores en la ecuación general y dividiendo por B se ot>ticne, 2x- y -2z + 1 = O.

PROBLEMAS PROPUESTOS l. Halla r las coor denadas del punto de la recta

a) 2x - y + :- 5 = O, x + 2y -2 z -5 = O, para z = 1. b ) 4x -3y + 2z -7 = O, x + 4y - z -5 = O, para y = 2.

x -2 y +4 z-1

Sol. (3, 2, 1). Sol. (7/6, 2, 25/6).

e) --= _ 3 2 - = ·--, para x = 3. 2

Sol. (3, -14/3, 5/3). d ) 2x = 3y- 1, 3 z = 4 -2y, para x =4. e) x = 4 -31, y =-1+ 41, z = 2t -3, para t = 3.

Sol. (4, 3, -2/3). Sol. (-5, 11, 3).



e) 3x-4y

+2z-7 = O, 2x

+ y+ 3z -1 1 =O. Sol. 14, 5, 11 ;

d) x - y + 2z -1 = O, 2x-3 y -5 z -7= O. Sol. 1 1, 9, 1;

, o,

o, v5' .y5·

3 6

-

o ,

=

128 LA RECTA EN EL ESPACIO

2. Hallar los punt os de inter sección con los pla nos coordenados de las rectas siguientes. Dibujar estas rectas uniendo dos de los puntos de inter sección . a) x -2y +z = O, 3x + y + 2z = 7. Sol. (2, 1, O), (7, O, -7), (O, 7/5, 14/5).

b) 2x- y +3z + 1 = O, 5x +4y - z-6 = O. Sol. (I2 ' 137 ' ) (1, o, -1)( I1T7 '- 2í).

x-

1 y + 3 z-

6

e) 2 1 - -1 ·

Sol. (13, 3, 0), (7, O, 3). (O, -7/2, 13/2).

d) 2x + 3y -2 = O, y -3z + 4 = O.

e) x + 2y -6 = O, z = 4.

Sol. (7, -4,O), (1,O, 4/3), (0, 2/3, 14/9). Sol . (6, O, 4), (O, 3, 4).

J. Hallar lascomponentesy loscosenos directores de las rectas:

a) 3x + y- z -8 = O, 4x -1y-3z + 1 = O. Sol. 2, -1, 5; 2 -1 5

v3o • v3o • v3o · 6 4 -1

b) 2x -3y + 9 = O, 2x - y + 8z + 1 1 = O. Sol. 6, 4, -1 ; v53 • v53 ' '\153 · 14 5 -11

3v38 • 3v38 • 3v38 · 1 1 9 -1

-v203· -v203 • .Y203 ·

e) 3x -2y + z + 4 = O, 2x + 2 y- z-3= O. S ol . o, 1, 2; l 2

4. Hallar el ángulo agudo formado por las rectas x -2y + z-2= O, 2y- z-1= O y X -2y + Z -2= 0, X -2y + 2z-4=0.

Sol. 78º27,8'. x- 1 y + 2 z -4 x + 2 y-3

s.Hallar el ángulo agudo formado por las recta s 6 --3 6

y3=--

16

z + 4

-2Sol. 79º1'. j

6.Hallar el ángulo agudo formado por las rectas

2x + 2y + z -4 = O, x -3y + 2z = O y x -2

7 - y + 2

6 -

z -4Sol. 49º26,5'.

-6

7.Hallar el ángulo agudo formado por la recta X + J y -1-

z -3 y el plano 2x -2y

-6 + z -3= 0. Sol. 26º23,3'.

8. Hallar el ángulo agudo que forma la recta que pasa por los puntos (3, 4, 2), (2, 3, -1) con la que une (l, -2, 3). (-2, -3, 1). Sol. 36º19'.

9. Demostrar que la r ecta x- 1 -- 1

y + 2 2 -

z--¡3es paralela al plano 6x +7y -5z-8= O.

10. Hallar las ecuaciones de la recta que pasa por el punto (2, l, -2) y es perpendicular al plano

3x -5y +2z +4 = O. Sol.

11. Hallar las ecuaciones de la recta.

x-2 3 = y _ - 1

5 z +-2

.

2

a) Que pasa por el punto (2, -1,3) y es paralela al eje x. Sol. y + 1 = O, z -3 = O. b) Que pasa por el punto (2,-1,3) y es paralela al eje y. Sol. x -2 = O, z -3 = O. e)

d)

Que pasa por el punto (2,-1, 3) y es paralela al eje z.

Que pasa por el punto (2,-1, 3) y tiene de cosenos dire

Sol.

ctores c

- = , = .

os a = .¡, cos {3 = !. x -2 y + I z -'3

Sol. 3 = 2-= ± v23 .



a) b)

(1, 2, 3) y (-2, 3, 3). (-2. 2, -3) y (2, -2, 3).

Sol. Sol .

x 3y- 7 = O, z = 3. x + y = O, 3y +2z = O.

e) d)

(2, 3, 4) y (2, -3, -4). ( 1 , 0, 3) y (2, 0. 3).

Sol. Sol .

x -2 = O. 4y -3z =O. y =O, z = 3.

e) (2,-1, 3) y (6, 7, 4) en forma paramétrica . Sol. x = 2 + 9'· y = -1 +9'• z = 3 +9

,12


12. Hallar las ecuaciones de la recta que pasa por el punto (-6, 4, 1) y es perpend icula r al plano

3x -2 y + 5 z + 8 = O. Sol. 2x -¡- 3y = O. 5 y + 2 z -22 = O. 13. Hallar las ecuaciones de la recta que pa sa por el punto (2, O, -3) y es perpendicular al plano

2x -3y +6 = O. Sol . 3x + 2y -6 =O, z + 3 = O.

14. Hallar las ecuaciones de la recta que pasa por el punto (1, -2,-3) y es perpendicular al plano

x -3y + 2z + 4 = O. Sol. x -1

Y + 2 _ z + 3 1 -3 2

15. Hallar las ecuaciones de la recta que pasa por los pun tos (2. -3, 4) y (5, 2, -1). x -2 y + 3 z-4

Sol. 3 = 5-= -5 .

16. Hallar las ecuacion es de la recta q ue pasa por los puntos

'·

17. Hallar las ecuaciones de la recta que pasa por los puntos (1. -2. 3) y es paralela a los planos x - l y -1 2 z -3 2x -4y + z -3 = O y x + 2 y -6z + 4 = O. Sol. 2 =

2 13 = -g-·

18. Hallar las ecuaciones de la recta que pasa por el punto ( l , 4, -2) y es paralela a los planos x- 1 y -4 z + 2

6x +2y +2: + 3 = O y 3x -5y -2z- I =Ü. Sol. - -=--= --=6' 1 3

19. Hallar las ecuaciones de la recta que pasa por el punto (-2, 4, 3) y es paralela a la recta que pasa por (l , 3, 4) y (-2, 2, 3). S ol. x -3y + l 4 = 0 , y-:-1 = 0.

20. Hal la r las ecuaciones de la recta que pasa por el punto (3, -1,4) y es perpend icular a las rectascuyas x -3 y + I z -4

componentes son 3, 2, ---4 y 2. -3, 2. Sol. 8-

14 -

13

21. Halla r las ecuaciones de la recta q ue pasa por el p u n to (2, 2, -3) y es per pend icu lar a las rectas cuyas componente s son 2. -1 , 3 y -1, 2, O. Sol. x-2y + 2 = O, y + z + 1 = O.

22. Hallar las ecuaciones de la recta que pasa por el pun to (2, -2, 4) y cuyos á ngulos de dirección son

120n,60º, 45º. Sol. X -2 . y + 2 = Z -4 -1 1 v'2

23. Ha llar las ecuaciones de la recta q ue pasa por el punto (-2, 1. 3) y cuyos ángulos de dirección son

1 35º, 60", 1 20". S I x -r 2 Y - 1 z -3 o . = 1 -1 .

24. Hallar las ecuaciones de la recta , a) Que pasa por el punto (O, 2, -1) y t iene de componen trs. 1, -3. 4 .

X y -2 :+ I S ol . T = - 3 4

b) Que pasa por e l punto (-1, 1 , -3) y tiene de.componentes, 2. 3. -4. X /- 1 y - 1 :+ 3

Sol. 2

--= -4 . 3

e) Que pasa por el punto (O, O, O) y tiene de com ponentes l , l , 1 . Sol. x =y = .

d) Que pasa por el punto (-2, 3, 2) y tiene de componentes, o, 2, l.

Sol . x + 2 = O, y -2x + 1 = O. e) Que pasa por el punto (1, -1, 6) y tiene de componentes, 2, -1, l. Sol. x = 2z- 11, y = -z + 5.



Y

130 LA RECTA EN EL ESPAClO

s D 1 2 15 , y =- 5 z --34 es perpend.1cu1ar a la recta

¿, • emostrar que a r ecta x = -=¡z +7 1 1

x - y - z -7 = O, 3x-4y -1 1 =O.

16. Demostrar que las rectas x + 2y -- z -1 =O, x + y + l = O y

perpendicular es.

7x -15

2

7y + 34 z

_ 5 = T son 27. Demostrar que las rectas J x -2y + 13 = O, y + 3z -26 = O y x + 4 y - 1

= z-3

=

28.

son perpendiculare s.

Demostrar que las rectas x-3 y + 8 z + 6 5 -3- -1 -

son pe pendiculares. 1 = --2 = -1 1 y 3x + 5y + 7 = O, y +3z-10 = O

1.9. Demostrar q ue las r ectas x -2y + 2 = O, + 40 = O son perpend iculares.

2y + z + 4 = O y 7x + 4 y- 15 = O, y + 14z

30. Demostrar que la recta --x-ro2 2y -2 1 1

z --:¡ .5 está situada en el plano 3x -8y +2z -8=O.

Para demostrar que una recta está situada en un plano hay que comprobar que dos puntos de la

recta pertenecen al plano, o bien, que un punto de la recta está situado en el plano y que dicha rectaes perpendicular a él.

31. Demostrar que la recta y -2x + 5 = O, z -3 x ..:... 4 = O está situada en el plano 9x + 3y -5z

+ 35 = O. 32. Demostrar que la recta x - z -4 = O, y -2z -3= O está situada en el plano 2x + 3 y -8 z

-17 = o. X -1 y -i- 2 Z -3

33. Demostrar que la recta + 10 = o.

=--= 1 2 4

está situada en el plano 2x + 3 y -2z

34. Hallar las coordenadas del punto de intersección de la recta 2x - y -2z-5=O, 4x +y + 3z -l =O con el plano 8x -y + z -5 = O. Sol. (3/2, 4, -3).

35. Hallar el punto de intersección de la recta x = z

+2, y = -3z

+1 con el plano x -2y -7= O.

Sol. (3, -2, 1).

36. Hallar el punto de intersección de la recta =2

3

=2z-;-- 1

con plano 4 x-2y+ z -3=O.

Sol. (1, 2, 3).

37. Hallar el punto de inte'rsección de la recta x + 2y +4z -2 = O, 2x + 3y -2z + 3 = O con el plano 2x - y + 4z + 8 = O. Sol . (-4,2, 1/2).

38. Hallar las ecuaciones de la recta situada en el plano x +3y - z+4 =O y q ue es perpendicular a la recta x -2z -3= O, y -2z = O en el punto en que ésta corta a dicho plano. Sol. 3x + 5y + 7 = O, 4x + 5z + l = O.

39. Demostrar que los puntos (2, -3, 1), (5, 4, -4) y (8, l l , -9) están en línea r ecta.

40. Hallar el punto de inter sección de las rectas 2x +y -5 = O, 3x + z -14 = O y x -4y-

7 = O, 5x + 4z -35 = O. Sol. (3, -1, 5). 41. Hallar e\ punto de inter sección de las rectas x - y -z + 8 = O, Sx + y + z + 10 = O y x + y

+ z -2 = O, 2 x + y -3z + 9 = O. Sol. (-3, 3, 2). 42. Hallar el punto de intersección de las rectas x + 5 y-7z + l = O, lO x-23y +40z -27 = O

y x -y + z + 1 = O, 2x + y -2z + 2 = O. Sol . (-1/38, 148/38, 1 1 1/38).

,S3. Escribir, en forma continua, las ecuaciones del lugar geométrico de los puntos equidistantes de los puntos fijos (3, -1, 2), (4, -6, -5) y (O, O, -3). S I .3- _ y + 175/32 _ z + 19/32

o . 16 - 13 - -7

44. Escribir, en forma continua, las ecuaciones del l ugar geométr ico de los puntos equid istantes de los

puntos fijos (3, -2, 4), (5, 3, -2) y (O, 4, 2). X -18/1 1 y Z + 9/44 Sol. 26 = 22 = 27



+

I

r2

+ · +-

a e

CA PITULO 1 5

Superf icies

CU A DR ICAS. U na su rt·rficic defi nida por u n a ecuación de segu ndo gracio en t res va r iables r eci be el rt l>r n br c de .\llpe1:f il"ie cu<idrica o. si m plemen t e, cmídrica. U na sección pla na de una, cu ád r ica es u na cóni ca o u na forma dcgene rnda n lí mi te de ésta .

La ecuación m<Ís •'c111:ral dt·seí!u ndo gr ado en t res varia bles es Axl t- 81•2 1- Cz2 Dx y e- - - • .

1- Exz 1 Fyz ! Gx ! líy 1 / z - K = O. Por r ot aci ón o t raslación c.k ejes. o bien. por a m bas t r a nsformaci ones, la ecuación an

ter i or puede tornar u na de l ai; dos formas sigu ie n te<; : ( 1 ) Ax2 B y2 + cz·l -= D (2) Ax2 -j By 2 I· Jz = O.

Si ni ngu na de las consta n tes de ( 1) o (2) es n ula, la ecuación se pued e escri bi r de estasdos manera s:

{J) }.\2 l't

,_ --

;2

- - 1 a2 h2 e xi -

(4)+ h2a l·

('

La ecuación (3) pued e repr esl!nlar t r es su perficies esencialmente distintas cuyas ecuacion es son .

,.2 r2 -t ,.2 r 2 -2 "2 y2 -2 (5) · ·I :-. 1 - - 1. · f- .::_ _ - = 1, · --- ..::: = l.

a" ht c2 a2 b2 c2 a1 b2 él

Corno todas las su per ficies (5J son simét r icas con r especto al origen , se denominan cuá d ri cas con cen tro.

Las d os su r er ficies r epresen tada s por (4) son cu ád ricas si n cent ro. _ . . x2 v2 =2

ESFER A. S1 en la cc.:uac16r. - • = 1 se verifica q ue a = b = e, se transforma en a2 6• e2

x 2 + y2 + z2 = a2, q ue repr esenta u na esfera de centro el pu n to (O, O, O) y rad io a.

En el caso de que el cen t r o de la esfera fuera el pu nto (h, k ,-j) en l ugar del origen, suecuación sería

( x -1t)2 + (y -k)2 +(z- j )2 = a2.

ELI PSOI DE. Si a , b,e son disti n tos, la ecuación x2 y2 zi

02

+ b2

+e =

r e presenta el caso más general de una cuádrica . Si a # b, per o b = e, el el i psoide es de r evolución .

Si el cen t ro del el i psoide es el pu n to (h, k ,j ) y sus ejes son paralel os a Jas dos coor denadas, la ecuación adq uiere la forma

( x _ Jr )i (y _ k )i <= _ j)2 ---2-+--b2--+- 2-= l.

Si el cen tr o es el origen. ia ecuación es·:+ : + ;:= 1 .

JJ I



2

02

132 SUPERFICI ES

H I PER BOLOI DE DE U N A HOJA . E n el caso de q ue el signo de u na de las variables sea disti n to . X2 yi ,:Z

del de las otras, como por ejem plo ª + pi --::¡ = 1, Ja su perficie se lla ma hiperboloide de una hoja. ? e

Si a = h, la superficie es el hiperboloid e di! r evol ución de u na hoja.

Las secciones pa ralelas a l os planos xz e yz son hi pérbola s. Las secciones paralelas al pla no xy son el i pses, excepto en el caso del hi perboloide de revol u ción en el que son circunferencias.

z

X X

H iperholoide de una hoja H i pahofoicle de dos hojas

. H I PER BOLOI DE DE DOS H OJAS. La ecuación

02- hi - c

2= 1 represen ta u n /11per bo-

loide de dos hoja s. Como se observa esta ecuación coi ncide con la del eli psoide con signo contrario en dos de las var iables. Si b = e, la cuád rica es de revol ución.

Las secciones paralelas a los pla nos xy y xz son hipér bola s. Las seccion es paralela s a l pla no y.: son el i pses, excepto en el caso del hi perboloide de revol ución en el q ue son ci rcu nferencias.

PAR A BOLOI DE ELI PTI CO. Es el lugar geomét rico de los pu ntos representado por la ecua- x2 1'2

ción + í,2 -; 2c.:.

Las secciones obtenidas por Jos pl a nos z = k son z elipses cuyas d i me nsiones van aumentando a med ida q ue el plano se aleje del pla no xy.

Si e > O, la cu ád rica está toda ella por enci ma del plano xy. Si e < O, la su perficie está toda ella por debajode dicho plano xy.

Las secciones cor r espond ientes a planos paralelos a X

los de coordenada s xz o yz son parábolas. Si a =b la superficie es de revolución.

PARABOLOIDE H lPER BOLICO. Es el lugar geométrico de los puntos r epr esentados por Ja ecuación

x2 y2

02- b2 = 2cz, (e > O).

Las secciones producidas por los planos z = k, siendo k > O, son hi pérbolas cuyos ejes real e imaginario son par alelos, r espectivamen te, a los de coordenadas x e y, y cuyas dimensiones aumentan a medida que lo hace k. Si k < O, los ejes real e imaginario son paralelos

2 2

a los y y x ,

respectivamente. Si k = O, la sección degenera en el par de r ectas1- = O.



y

1

+

+ ·J

SUPERFICIES 133

Las secciones corr esponJientes a los pla nos y = k son pa r á bolas abiertas por su parte superior, y las correspond ientes a x = k son pa r á bolas abiertas por su pa r te inferior.

X

J.

Hiperbol oide pa r abólico Cono r ecto circular

CONO R ECTO CIR CULAR x2 + y 2-c2 z 2 = O.

Esta superficie se pued e considera r generada por Ja rotación <le la rect a y = k x alre dedor del eje z.

Las secciones horizon ta les pr od ucidas por pla nos pa ralelos a l xy son circu nf er encias. Las cor r espondie n tes a pl anos para lel os al yz, o al xz, son hi pérbola s.

SUPERFICIE CILINDRICA. La superficie ci l í nd rica está gener ada plaza paralelamen te a otr a fi ja y q ue se a poya consta nt em ente

en un a curva t am bién fija. La rect a móvil y la cu rva lija e denominan, r espectivamen te, genr:ratri::: y directriz de la su per ficie en cuestión.

Un a super ficie cilí nd r ica cu ya generat r iz es paralela a u n o de los ejes coor denados y cuya d i r ect r iz es u na cu rva en el

pl a n o coordenado q ue es perpend icu la r a la generat riz, tienela misma ecuación qu e J a d irectriz.

.x2 y2

por u n a recta q ue se des-

z+ ,

- ---,1--·---- • 1

1

-·-- ----------¡r:o;-:- ----------- :a.o> x Si Ja directriz c:s J a elipse

\ 2 y2

cilind ro es 2 62 = 1.

a2 12 = 1, la ecuación del

\o,bl

PROBLEMAS RESUELTOS

l. Hallar Ja ecuación de la esfera con su cen t ro en el punto (-2, 1,-3) y de rad io 4.

Sustituyendo en (x -h)2 + ( y -k )2 +(z - j f = a2 , se o bt iene

(x + 2)?. + (y -1)2 + (.:: + 3)2 = 42.

Desarrollando y red uciendo térmi nos, x 2 + y 2 + .::2 + 4x -2y + 6z -2 = O.

2. Hall.ar la ecuación de la esfera con su centro en el punto (3, 6, -4) y tangente al plan o

2x -2y -z- 10 = 0.



- ----- =

HCJCS

9

34 SUPERFICI ES

El rad io a = 1

2(3) -2(6) -1(-4)- J O 1 3

=4. Luego laecuación pedida es

(x -3)2 +(y -6)2 +(:+4)2 = 16, o x2 1- J,2 +:2 -6x- l 2 y -1 8: +45 =O.

. Ha llar la ecuación de la esfera q ue pasa por los pu nt os (7, 9, 1), (-2, -3, 2), (1, S, S), ( Sustituyendo sucesivamente las coordenadas de los cuat1 o puntos en la ecuación x1+

+Gx + H y + ! : + K = O, 7G + QH + I + K =-131

-2G -3H +2I + K =- 17 G + S H + 5! + K =- 51

-6G +2H + S l + K =- 65.

R esolviendo este si stema de ecuaciones, G = 8, H = -14, / = 18, K = --79. Sustituyendo estos valores en la ecuación general se obtiene,

x2 +y2 + z2 + 8x -14y + l 8z -79 = O.

. Hallar las coordenadas del centro y el rad io <le la esfera

x2 + y z +:2 -6x + 4y -3 z = 15.

Sumando y r estando témúnos para que la ecuación adopte la f orma

(x -h )2 +(y-k )2 + (z- j )2 = a2,

R esu lta, x2-6x + 9 + y2 + 4y + 4 + z2-3z+ :=1 1

, o bien, (x-3)

+(y +2)2 +( z- ) =(

El centro de la esr 1era es el (3, -2, J ) y su radi.o 2

1 1 . 2

. Hallar el l ugar geométrico de los puntos cuyas d i stancias a l os pu ntos P.jos (-2, 2, -2) y (3, están en la r elación 2 :3.

Haciend o operacion es,

,1c x+ 2f _ + _(r 2r + (= + 2)2 2

,/(x -3)2 + (Y-+3f +c= -=W 3 ·

x2 + y 2 + z2 + l 2x-1 2y + 12:= O, una esfera de cen t ro el pu n to (-6, 6, -6) y de radio

xz yi -2

. Estudiar y r e presentar Ja su perfir.i e + 25

+ = 1 . 16

Esta super ficie es si métrica con r es pecto tanto a los planos coordenad os como a l origen.

Corta a los e jes x , y, z en los pun t os :l_5, ± 4, ± 3,respecti vamen te.

Su t raza con el pla no xy es la eli pse de ecuación

2 x2

5 + -v62

1 = 1 y scn

. .

. . 5 y 4. As11rnsmo las t razas con

los planos x: e y.:: son tam bién eli pses. Esta super ficie es un el i psoide.

y

. Demostra r que la ecuación siguien te es un el i psoide. Hallar su centro y las longitudes de los semie·

2x2 + 3y2 + ;:2 -8x + 6 y -4: -3 = O,

2(x2 -4 x + 4) + 3( y2 + 2y + 1) + (z2 -4: + 4) = 3 + 8 + 3 + 4 = 18, o sea, 2(x -2)2 + 3(y + 1)2 + (z -- 2)2 = 18.



+ - + '36 - +

'

. .

SUPER FICI ES

D. .d. d 1 '6 18 b . (x-2)2 (y + 1)2 (z -2)2

135

1v1 1en o a ecuac1 n por se o tiene +----+ 9 6 18

= 1, q ue es un elip-

soide de centro el punto (2,-1,2) y semiejes 3, v6. 3v2.

8. Demost r ar que el lugar geomét rico de los puntos cuya suma de distancias a los puntos fijos (2, 3, 4) y (2, -3, 4) es constante e igual a 8, es un elipsoide. Hallar su centro y las longitudes de l os semiejes.

v'(x=1)2 + (y -3)2 + (z -4)2 +V(x -2)2 +(y + 3)2 +(z -4)2 = 8

de donde v(x -2)2 +( y -3)2 +(z -4)2 = 8 -v(x-2)2 +( y +3)2 +(z -4)2•

Elevando al cuadrado y red uciendo términos, 3y + 16 = 4v'(x -2)2 +(y 1- 3)2 + (z -4)2•

Elevando al cuad rado y reduciendo érmi nos, 16x2 + 7y2 + 16z2-64x- 1 28z + 208 = O.

(x-2)2 (y -0)2 (z -4)2

Haciendo operaciones,--- + l ó + 7 7

= 1, que es un elipsoide de revolu -

ción de centro el pun to (2, O, 4) y semiejes v7, 4, v7. Las secciones de esta superficie producidas por planos paralelo s al xz son circunfer encias.

9. Hallar la ecuación del elipsoide que pa sa por los punt os (2, 2, 4), (O, O, 6), (2, 4, 2) y es simétrico con n:s pecto a los plan os coordenados.

"2 y2 z2

. Sustituyendo las coordenadas de los puntos dados por x, y, z en la ecuacióna

se uene,

+ bt + e = 1

4 4 16 o o 36 4 16 4

2a + bt + r 2 = I, a + b2 + -e2= l. Y a + h2- + ci = l.

Despejando a'l, b2 y c2, se obtiene a2 = 9, b2 = 36, c 2 = 36.

x2 y2 z2 _ 2 2 2 _

De donde,9 36 1, o sea, 4x + y z - 36.

x2 y2 -2

JO . Estudiar y r epresentar la ecuación 9 + 4 --; 6

= l. 7

Esta su perncie es simétrica con respecto tanto a los planos coordenados como al origen.

Corta a los ejes x e y en los puntos ± 3 y ±2, respecti vamente. No corta al e je z ..

Las secciones pr od ucidas por los planos z = k son X el ipsec; de cen t ro en el eje z. Estas el i pses aumen tan de ta maño a med ida q ue lo hace el valor numérico de k.

Las secciones prod ucidas por planos paralelos a los xz o yz son hipérbola s.

Esta cuádr ica es un hiperboloide de una hoja. y ·'

11. Hallar Ja naturaleza de la cuádrica cuya ecuación es 3x2 + 4 y2-2::2 +6x- 16y +8z = 13.

3( x 2 + 2 x + 1) + 4(y2-4 y + 4) -2( 2-4=+4) = l 3 + 1 1 = 24,

i2_ + J )2 + ( y -2)2 - <= -2)2 = l. 8 6 12



-

2

2

2 _

2

I

136 SUPER FICI ES

Se trata, pues, de u n h i perbolo ide d<! u na ho ja con centro en el punto (-1,2, 2) y eje paralelo al de coordenadas z. Las secciones pr od ucidas por planos pa ra lelos al xy son elipses, y las produ cidas por planos paralelos a l x:; o al yz son h i pérbolas .

x2 yz 22

12. Est ud ia r y repr esen tar la ecuación 9-4 -16

= 1. z

Esta cuádrica es simétrica con respecto a los pl anos coor denados y al origen.

Corta al eje x en los puntos ±3. No corta a los ejes y y z. X

Las secciones por planos paralelos a los xy y xz son hipérbolas, y las pr od ucidas por planos paralelos al yz sonelipses.

La cuádrica, pues, es un h i per boloide de <los hojas.

13. Hallar la naturaleza de Ja cuádr ica de ecuación 2x2-3y2

-2z2-8x + 6y- 12z -21 = O.

2 2(x2-4x + 4) -3(y2-2y + l)-2(z2+ 6z + 9) = 8, o bicn , (x (y ;:; l )2 - (z 3) = J , ) -

4 3

que es un hiperboloide de dos hojas con su cent ro en el pun to (2, 1,-3) y eje rea l parale lo al de coordenadas x.

14. Hallar el J ugar geométr i co de los puntos cuya d iferencia de d istancia s a los pu ntos fijos (-4, 3, 1) y (4, 3, 1) sea igual a 6.

v(x + 4)2 + (y -3)2 + (i="lf -v(.--4)i +-(y -3)2 + (z -1)2 = 6,

o bien, v(x-+4)2 +(y -3)2 - (z--=-1)2 = 6 + v ' ( x--=4r:t- (y 3)Í-+ (z -1)2•

Elevando al cuad rado y red uciendo térmi nos, 4x -9= 3v(x -4)2°+( y -3)2 + (z - 1)2.

Elevando al cuadrado y red uciendo términos, 7x2-9y2

-9 z 2 -t 54y + l 8z = 153.

Hac1·endo operacw· nes, (x ·- 0)2

-·(y----3)2 -(z

--l) - = ' q ue es un h.1pcr bo1 ·de de dos

9 7 7 01

hojas con centro en el punto (O. 3, 1) y eje r eal pa ralelo al de coordenadas x . Como las secciones pro d ucida s por planos parale los a l yz son circunfe r encias, la superficie es un hi perboloide de revolución

de dos hojas.

15. Hallar el l ugar geométr ico de los puntos cuya d istancia al pu nto fijo (2, -1, 3) es el doble de la correspond iente al eje x.

v'(x -2)2 + (y + i°)2 + (z -3)2 = 2vi-+ z2.

Elevando al cuadrado y reduciendo términos, x2-3y2

-3z2-4x + 2y -6z = -1 4.

Haciendo operaciones , (x -2)2-3(y -l /3)2 -3(z + 1)2 =-40/3,

0 b. (y -1/3) + (z + 1)2 (x -2)2

1 ien, 40 40 -----::fó- - '

9 9 3

que es un hiperboloide de r evolución de una hoja, con centr o en (2, 1/3, -1) y eje de revoluciónel de coordenadas x.



+ +

6

SUPER FICIES B7

16. Estudiar y representar la ecuación y2 + z2 = 4 x.

Esta superficie es simétrica con r especto al eje x y a los z planos x: y xy.

Corta a los ejes en el origen.

Las tra zas con los pla nos coordenados son y2

+ z2

= O, y las pa rábolas correspond ientes, 2 = 4x e y2 = 4 x. X

Como x no puede tor.ia r valores negativos, la su perficieestá si t uada toda ella a la derecha del plano yz. Las secciones

prod ucidas por planos paralelos a l yz son circunferencia s, y las prod ucidas por planos paralelo s a los xy y x: son pa rábolas. Esta cuádrica es u n pa raboloide de revol ución.

17. Hallar la ecuación del parabolo ide de cen tro O, e je OZ y q ue pasa por los pu n tos (3, O, 1) y (3, 2, 2). z

Sustituyendo las coordenadas de los pun tos dados en la ecuación Ax2 + By2 = Cz se obtiene,

(1) 9A + OB = C, de donde 9A = C (2) 9A + 48 = 2C.

R esolviendo este sistema de ecuaciones, A = C ,9, B = C/4. Sustit uyendo estos valor es de A y B en Ax2 + B y2 = Cz X

x2 y2 z

r esulta, 4 x2 9y2 = 36:, o bien, 4 = (' que es u n paraboloide elíptico.

18. Hallar el l uga r geométrico de los puntos cuya suma de cuadrados de sus distancias al eje x son iguales a tr es veces sus dista ncias al pla no y ::.

Sea (x, y, z) un punto genérico del l ugar. Entonces, y2 + z2 = 3x.

Esta superficie es un paraboloide de revol ución simétrico con respecto al eje x.

19. Hallar el vértice del parabolo ide elíptico

3x2 + 2y2-12:-6x + 8y-13 =O.

3 (x2 -2x i- 1 ) + 2(y2 + 4 y +4) = l 2 z + 13 + 11 = l 2z + 24, (x - 1)2 (y f- 2)2 z + 2

de donde 3(x- 1)2 + 2( y + 2)2 = 12(z + 2), o sea,-- 4

+ --=

El vértice es el pu nto ( 1,-2, -2).

20. Estudiar y hallar la nat ura leza de la superficie 9x2-4y2

- 36::.

La superficie es simétrica con respecto a l eje z y a los planos xz e yz. Corta a los ejes en el or igen de coordenadas. Para z = O r esulta la traza con el plano xy , q ue es el par de r ectas definida s por la ecuación

9x2-4y2 = O, o sea, 3x + 2 y =O y 3x -2y = O. Para y = O r esulta la traza con el pla no x::, que es la pará bola 9x2 = 36=, o bien, x

2 = 4z. Esta parábola tiene su vértice en el origen y está abierta pnr su parte superior.

Para x = O resul ta la traza con el plano yz, q ue es la parábola -4 y2= 36:, o sea, y2 = -9z.

Esta parábola t iene su vértice en el origen y está por su parte inf erior. Las secciones pr od ucidas por los planos z = k son hipérbolas. Si k es posi t ivo el eje de la pará

bola es paralelo a l eje x. Si k es negativo , el eje real oc la h i pérbola es paralelo a l eje y. An álogamen te, las secciones prod ucidas por planos paralelos a los x: e yz son también parábolas.

La cuádrica en cuestión es un parabol oide hiperból ico.



/

138 SUPERFICIES

21. Hallar la ecuación de un paraboloide de vértice el pu nto (O, O, 0). eje O Y y q ue pa a por los puntos (1 , -2. 1 ) y (-3, -3, 2).

Sustit uyendo las coordenadas de los dos puntos dados en la ecuación A x2 + C z2 = By,

A ¡ C = -28

9A + 4C = -38.

Despejando A y C en función de 8. r esulta. A. = B. C = -38. Sust it uyendo estos valores de A y C y divid iendo l<t ecuación final por 8 so obtiene, x2 -3:2 = y ,

que es un pa r aboloide hiperból ico.

'22. Estud iar y repr esen tar el cono de ecuación 2 y2 + 3:2-x2 = O.

Esta su perficie es simétrica con respecto a los pla nos coordenad os y con r especto al or igen.Corta a los ejes en el or igen de coordenadas. Para x = O no existe la traza con el plano y: . z Pa ra y = O resu l ta la traza con el pla n o x z , q ue es el

par de rectas defi nid o por la ecuación 3z2- x 2 = O, o sea.

VJz + X = Ü, J;-.\ = Ü.

Para z = O resulta la t raza con el plano - x y .que es el par de recta s defi nido por la ecuación 2 y2- xl = O. o sea, iy + x = O, \ ' 2 y - x =O.

Las secciones prod ucidas por los pla nos x - k son elipses, cualq u iera q ue sea k d isíin to de cero.

Análogam en te, las secciones por plan os para lelos a l os y xy o xz son hi pérbolas.

23. Hallar el lugar geométrico de los pu ntos cuya d ista ncia al eje y sea el t riph: de la correspondien te al eje z. Hallar la nat uraleza de la su perficie resultante.

\l x2 1- 2 -= 3\ 1 x2

+ y2. de donde x2 1 :2 - 9x2 -r 9y2 , o bien 8x!"' 9 y 2 -=2 = O.

Esta su perficie es un cono de vértice el origen. El eje del cono es el eje :.

24. Representa r la superticic 4x 2 + 9 y2 = 36.

Esta su perfi cie es u n cil ind r o de eje pa ra lelo a l de coordenadas :. y cu ya dir ecrri: es la el i pse 4 x2 +9y2 = 36.

z

,,.

.-- --··-·- r;----,,_ X X

------ -,"; ---- - - (3,0.0)

(0,2,0)

y


25. Hallar la ecuación de la superficie de revol L:ción generada en la r otación de la elipse x2 + 4:2-16 = O al rededor del eje x.

Sea P (x. y.:) un punto genérico cua lq uiera de la su perfici y t racemos desde él la perpendicular al plano xy .

En el triáng u lo r er.tángu lo A BP , .4 8 y. BP z.

---------"'--



J \

'

,

de

SU PEP FICll S

Haciendo A P = y' se tiene, y2 + z2 = y' 2. De la ecuación de la eli pse, x2 = 16- 4y'2.

139

Sustitu yendo , x2 = 16 -4{y2 + z2}, o bien , x2 f- 4y2 + 4 2 = 1 6, qu e es un el i psoide de revo

l uci ón cuyo eje es el de coordenadas x.

26. Hallar la ecuación de la superficie de revol ución generada en la rotación de la h ipérbola x2 -222

=l

alrededor del eje z.

Sea P 1(x•• O, z,) un punto genérico cualq uiera de la hipérbola. y P'(O, O, .) su proyección sobr e el eje z . En la rotación de la hi pérbola alrededor del eje z , el punt o P 1 describe una circunfe r encia de cen t ro P ' y radio P'P 1• Sea P(x, y, z) un punto cua lq u iera de esta ci rcunferencia y, por tanto, de la su perficie bu scada.

Como z1 = z y P ' P 1 = P' P, se tiene xt = v'(x --O)Z +( y -·0)2 + (z -z,r = v' xz + yi .

Susti tuyendo X ¡ = v' X2 + y 2 y Z1 = z en la ecuación de la hipérbola, xr - 2zr = 1 , se obtiene,

x2 +y2-2z2 = 1 , que es un hiperboloide de una hoja.

z

.,,- ........., ,. '

'Pcx,y;z) \::::::::----

_...._.

.,,

,P. (x, ,y,.o) I

I / /

;'

Pr obl ema 26 Pr oblema 27

27. Hallar la superficie de revolución generada en la rotación de la recta 2x + 3 y = 6 alrededor del eje y .

Sea P 1(x 1• y 1, 0) u n punto genérico cualq uiera de la recta , y P'(O. y 1 O) su proyección so br e el P 1 scribe una circunfe r encia de cen e je y. En la rotación de la recta alr ededor del eje y , el pun to tr o P' y radio P' P,. Sea P(x. perficie buscada .

y , z) u n punto cualq uiera de la circu nferencia y, por tan to, de la su

Como y 1 = y y P'P 1 = P' P, se tiene x 1= v'x2 + z 2•

Susti tuyendo x 1 = v' x 2 + z2 e Yi = y en la ecuación de la recta, 2x1 + 3y1 = 6, se obtiene.2v x2 + z 2 + 3 y = 6. Simplificando términos se llega a la ecuación 4x2

-9( y -2)2 + 4z 2 = O, que es un cono de vértice el pu n to (O, 2, 0).


1. Hallar las ecuaciones de las -:sferas siguientes:

o) Centr o (2,-1.3), radio 4.

b) Cen t r o (-1,2, 4), rad io ,113. S ol . x2 + y 2 +:2 -4 x + 2y -6 z -2 = O.

Sol. x2 +Ji2 1-:2+2x -4y -8:t 8 = O. e) Un d iámet ro es el segment o determinad o por los puntos (6, 2, -5) y (-4.O, 7).

Sol. x2 + y2 1- z 2 -2\'-2y -2.:-59 =O. d) Centr o (-2,2, 3) y que pasa por el punto (3, 4,-J ).

Sol. .x2 + y 2 + :2 + 4 x -4 y -6 z -28 = O.

e) Centro (6. 3, -4) y ta ngente al eje x . Sol. x2 + y2 -1 ::2- 1 2x ·-6y +8z + 36 = O.



-· ,·7 -··............ """"'

-

140 SUPER FICI ES

2. Hallar las ecuaciones de as esf eras siguientes: a) Ce n t ro (-4.2, 3) y t.rngente al plano 2x - y -2: + 7 = O.

Sol. x2 + y2 +:2 + 8x -4 y -6z + 20 = O. b) Centro (2. -3. 2) y t.1ngenle al plano 6x -3y -2z -8 = O.

Sol. 49 x2

+ 49y2

+49:2-

l 96x + 294y-196: + 544 -O. e) Cen t ro (1.2. 4) y ta n en te al plano 3x -2 y +4: -7 = O.

Sol. 29x2 + 29y2 +29:2 -58x- l 16 y -232z +545 = O. d) ) Centro (-4,-2, 3) y tangente al plano yz . S ol . x2

+y2 +.z2 +8x + 4 y -6:: + 13 = O. e) Cen t ro (0, O, O) y tan gente al plano 9x -2y + 6z + 1J' = O.

Sol. x2 +y2 +z2 = 1 .

3. Ha llar las ecuaciones de las esferas siguien tes : a) Que pasa por los puntos ( 1 , 1 , 1), (1, 2, 1), ( 1 , 1, 2), y (2, 1 , 1).

Sol . x2 1- y2 + z2-3 x -3y-3z + 6 = O.

b) Que pasa por los pu nt os (2, 1, 3), (3, -2, 1),(-4, 1, 1 ), y ( 1, 1.-3). S ol . 51x2 + 5 1 y 2 + 51z2 + 45x + 37y -33z -742 = O.

e) Que pa sa por los puntos (1, 3, 2), (3, 2, -5), (O, 1, O), y (O, O, O).

S ol . l lx2 + lly2 + llz2- 127x- l ly + 3: = O.

4. Hallar las coord enadas del centro y el rad io de la esfer a: a) x 2 + y 2 + z 2-2x + 4y -6z + 8 = 0. Sol. ( 1 , -2 , 3). r = v6.

b) 3x2 + 3y2 + 3:2 -8x + 12y- 10: + 1 0 = O. Sol. (4/3,-2, 5/3), r = v47 / 3. e) x 2 + y2 + 2 + 4 x -6 y + 8z + 29 = O. Sol. (-2, 3, -4), r = O.

d ) x2 + y 2 +:2 -6x + 2y -2z + 18 = O. S ol. Imagi na ria.

5. Hallar la ecuación de la esfera tangente a los planos x -2z -8 =O y 2x -:+5 =O y que tiene su cen tro en la recta x = -2. y =O. S ol. x2 + y2 + z2 + 4x + 6z + 49/5 = O, x2 +y2 + z2 + 4x + 22:: + 481/5 = O.

6. Halla r la ecuación de la esfera que pasa por los puntos ( 1 ,-3.4), ( 1 .-5. 2) y (1,-3, 0) y t iene su centro en e l plano x + y + z = O. Sol. x2 +y2·+ z2

-2x +6y -4 z + 10 = O.

7. Hallar el l ugar geométr ico de los puntos cuya su ma de cuad rados de sus distancias a los planos x + 4 y + 2z = O, 2x - y + z = O y 2 x + y -3z = O es igua l a 10.

Sol. x2 +y2 + z2 = 1O.

8. Halla r el luga r geométrico de l os puntos cu ya r elación de d istancia s a los punt os fi jos (l. 1,-2) y (-2, 3, 2) es i gual a 3 : 4. Sol. 7x2 + 7y2 + 7z2

-68x + 22y + I OOz-57 = O.

9. Estudiar y r e presen tar los el i psoides sigu ientes: a) 25x2 -r 16y2 + 4:2 = 1OO. d ) x2 +4y2 + 4z2-1if = O.

b) 4x2 + y1+ 9z2 = 144. e) x2 + 4y2

+9z2 = 36.

(x- 1)2 (y-2)2 (z -3)2 - 1

e) 8x2 + 2y2 + 9z2 = 144. f) 36 + 16 + 9 - .

10. Hallar las coordenadas del centr o y la longitud de los semiejes de las superficies siguientes: a) x2 + l 6y2 +:2 -4 x + 32y = 5. b) 3x2 + y2 + 2:2 + 3 x + 3 y + 4 z = O. e) x2 + 4y2 + z2

-4x -8y + 8z + 15 = O. d ) 3x2 + 4y2 + z2

-12x-16 y + 4 z = 4. e) 4x2 + 5y2 + 3z2 + 1 2x -20 y + 24z +77 = O.

/



Sol. (2, -1, O). 5, 5/4, 5.

Sol. (-1/2, -3/2, -1), vlS/3, v'5, vW /2. Sol . (2, 1, -4), 3, 3/2, 3. sol . (2, 2, -2), 2 v3, 3, 6. Sol. Punto (-3/2, 2, -4).



+

+ + =

)

f

SU PERF I CI ES 141

11. Hallar la ecuación (r eferid a a sus propios ejes) de los elipsoides q ue pasan por los punt os que seindican. Aplíquese la ecuación A x 2 + By2 + C 2 = D.

a) (2, -1, 1 ), (-3, O, 0), ( 1, -1, -2). Sol. x2 +4y2 + z2 = 9. b) (VJ, 1, 1 ), (1, 3, -1), (-1 , -1, \/S). Sol. 2x2 + 2y2 + z2 = 9. e) (2, 2, 2), (3, 1 , J), (-2, O, 4). Sol. 2x2 + 3y2 + z2 = 24.

d) ( 1, 3, 4), (3, 1, -2 l) y su eje de revolución es el eje x. Sol. 2x2 +y2 +z2 = 27.

12. Hallar el l ugar geométrico de los punt os cuya su ma de distancias.a los puntos fijos (0, 3, O) y (O,-3.O) es igual a 8. Sol. 16x2 + 7y2 + 16z2 = 1 1 2.

13. Hallar el l ugar geométrico de los punt os cuya suma de distancias a los puntos fijos (3, 2, -4)y (3, 2, 4) (x -3)2 (y -2)2 (z -0)2

es igual a 10. Sol.9 9 25 l.

14. Halla r el luga r geométrico de los pun tos cuya suma de d i stancias a l os pu ntos fijos (-5, O, 2) xz yz ( z -2¡2

y (5, O, 2) es igua l a 12. Sol.36 + 1¡ 1 1 = l.

IS. Hallar el luga r geométrico de los puntoscuyasdistanciasal plano yz son el do ble de las cor res pond ientes al p un to ( 1 , -2, 2). Sol. 3x2 + 4y2 +4 z 2-

8x + 1 6y- 1 6 z + 36 = O.

16. Hallar el l uga r geométrico de l os puntos cuya distancia al punt o fijo (2, -3, 1) sea la cuarta pa rtede la correspondien t e al plano y + 4 = O. Sol. 16x2 + 15y2 + 16z2

-64x +- 88y -32: + 208 = O.

17. Halla r el l uga r geométrico de Jos puntos cuya d istancia al eje x sea el tripl e de la correspond ienteal punto fijo (2, 3, -3). Sol. 9x2 + 8y2 + 8z2

-36x -54y -54 z + 198 = O.

18. Est udiar y represen tar los siguientes hi perboloides de una hoja : xz yz :z

a) + 1 6

- -36 = 1 . d) l6y2-36x2 + 9z2 = 144.

9 xi y2 z2

b) 4- 36 + 16 = l.

e) 4x2-·25y2 + 1 6z2 = 100.

x2 yi (z-1)2

e) T6 +4- - 25 = l. /) 9y2-x2+4;:2 = 36.

19. Estud iar y r e presentar Jos siguientes h i perboloide s de do$ hojas: xz y2 z2 (x- 1)' yz z2

(/) 16- 9 -36 = J. e/) 16 4- 25 = l.

b) 36x2 -4y2 -9z2 = 144. e) 36y2 -9x2 -16z2 = 144.

e) 25x2- 16y2

-4z2 = 100. • f ) 4z 2-x2 -9y2 = 36.

20. Hallar las coordenadas del centro y la naturaleza de las su perficies siguientes:

a) 2x2-3y2 + 4z2-8x -6y + 12z-10 = O.

Sol. (2, -1,- } H i perboloide de una hoja. Eje paralelo al e je y. b) x2 + 2y2

-3z2 +4 x -4y-6: -9 = O. Sol. (-·2, l .-1).Hi perboloide de una hoja. E je par alelo al eje z.

e) 2x2-3y2-4z2

-12 x -6y-2l = O. Sol. (3, -1,O). H iper boloide de dos hojas. Eje paralelo al eje x.

d) 4y2-3x2

-6z2-16y -6x + 36z -77=O.

Soi. (-1,2, 3). Hiperboloide de dos hojas. Eje pa ralelo al eje y. e) 16y2

-9 x 2 +4z2-36x -64y -24z = 80.

Sol. (-2,2, 3). Hiperboloide de una hoja . E je paralelo al eje x. f) 5z2

-9x2-15y2 + 54x + 60y + 20z = 166.

Sol. (3, 2, -2). Hiperboloide de dos hojas. E je para lelo al eje z .

g) 2x2- yi -3z2 -8x -6y + 24z -49 = O. Sol. Pu nto (2, -3, 4).



142 SUPERFICIES

21. Hallar el lugar geomét rico de los punt os cuya diferencia de d istancias a los puntos fijos (O, O, 3) y (O, O, -3) es igual a 4. Sol. 5z2

-4x2-4y2 = '.!O. Hiperboloide de dos hojas. Ceni ro en el origen .

22. Hallar el lugar geométrio de Jos puntos cuya diferencia de distancias a los puntos fijos (2, -3, 4) y (2, 3, 4) es igual a 5. Sol. 44y2

-100x2-100z2 +400x + 800z = 2.275. Hi perboloide de dos hojas. Centro (2, O, 4).

23. H allar la ecu ación del h ip•;rboloide de una ho ja que pa sa por l os pu n tos (4, 2v'3, O) y (-1, 3, 3v'6/2), con c1::ntro el punto (O, O, O), que t iene al eje y como eje de r evol ución.

Sol . 2x2 - y2 + 2z 2 = 21). H iperboloide de r evolución de una hoja.

24. Hallar la ecuacién del hi perboloide de dos hoja s de cent ro el origen , ejes los de coordenadas y que pasa por los pu n tos (3, 1, 2), (2, v'll, 3) y (6, 2, v'í5). Sol. 3z2 - x2

-2 y2 = l. Hiperboloide de dos hojas, eje t ransver so al eje z.

25. Estudiar y r ;: pr esentar las superficies siguientes:

a) 3x2

+;2

-4y =O. b) x2 + 2y2

-6; = O. e) y2 -4;2 + 4x = O. d) x2 + 4z2

-16y = O.

e) 4x 2 1 3y2-1 2:=O.

/) 4x2-- y2-4z =O.

g) 4x 2 + yi t- z = O. h) x2 t- 2y2 = 8 -4z.

26. Hallar la ecuación del pa rabol oide de vértice el pun to (0, O, O), q ue tiene el e je : como eje, y que pasa por los puntos (2, O, 3) y (1, 2, 3). Sol. 12x2 + 9y2

- l 6z = O. Paraboloide elíptico.

27. Hallar la ecuación del paraboloide de vértice el punto (O, O, O), q ue t iene al e je z como eje. y q ue pasa por los pu ntos ( 1, O, 1) y (0, 2, 1). Sol. 4x + y 2

-4: = O. Paraboloide el íptico.

28. Hallar la ecuación del par aboloide de vértice el punt o (O, O, O) q ue tiene al eje z como eje, y q ue pasa por los p u ntos ( 1, 2, 1 ) y (2, 1, 1). Sol. x 2 + y2 -Sz = O. Paraboloide ele r evolución .

29. Hallar la ecuación del pa r aboloide de vértice el punto (O, O, O) q ue tiene al e je z como eje, y que pasa por los pun tos (1 , 1 , 1) y (3/2, 7/ 12, 1/2). S ol . x 2 + 5z 2 -6y = O. Paraboloide elíptico.

30. . Hallar la ecuación del paraboloide q ue pasa por el origen. por los pu ntos ( 1 , 2, 2) y (2, 6, 8), y que es simétrico con respecto al e je x. Sol . z2

-2y2 + 4 x = O, paraboloide h iperbólico; 2x 2 = , cil indr o pa raból ico.

31. Hallar el l ugar geomét rico de los punt os cuyo cuadrado de la d istancia al eje z es el doble de la

correspondiente al pla110 xy. Sol. x2 + y2-2z = O. Paraboloide de revolución alrededor del eje x.

32. Hallar el vértice del paraboloide :

a) 2x2 + 3y2 -8x + 12 y + 3z + 23 = O. b) 2x 2 + 4zt -4x -24z - y + 36 = O. e) 3zt + 5y 2 -2 x + I Oy - 12...- r 21 = O. d) y2 -4 x 2 +2z -6y- l2 x -1 6 O. e) 4x2 + 3 2-4y + l 2z + 12 = 0.

33. Estud iar y r epr esentar los conos siguien tes: a) x2 -1 2y2 = 4z2

.

Sol. (2, -2, -1). Sol. {I,-2, 3). Sol. (2,-1,2). S ol. (-3/2, 3, -3). S ol . (O, O,-2).

e) 2x2 + 3y2-6(z -4)2 = O.

b) 3x2 + 2y2 = 6 z 2.

e) z2

+y2

= 2x2• .f ) z

2

+ 2y2

-- 4( x +3)2 = O. d) 3x2 + 4z2 = l 2y2.

I /

g ) 3xi + 4z2-12(y -4)2 = O.



rSU PER FICI ES 143

34. Est ud ia r y re pre se n ta r los cil i nd ros siguientes:

a) X2 + )'2 = 9. b) '1x2 1 9y2

- 36. e) x2

- 9y2 = 36. () : . 4 -x2

t·) y1-4x . (d) l6y2 1 9z2 = 144.

•

K) x213 + y113 = a2 13 (pri mer cuadrante).

35. Ha llar la nat ura leza y la ecuación de las su pe r ficies generadas en la rotación de las curvas siguien tes alrededor de los ejes q ue se ind ican.

a) x2-2z2 = 1, alrededor del eje x. Sol. x2 -2y2

-2z2 , 1. H i perboloide de dos hojas. h) x2 -2z2 = 1, al rededor del eje z.

Sol. x2 +y 2 -2z2= l. H i per boloide de una hoja.

e) x =4- v2• al r ededor del e je x.

Sol . - x ,_; 4 - y2-z2 . Pa ra bol oide.

d) 2x - y - 1 O. al r cdc<lor del eje .r.

Sol. 4(x-5)2-y2 + z 2• Cono.

xi f z2 ·= a2, a lreded or de l eje:. Sol. x 2 -j y2 -l 2 = a2

• Esfera.

x2 + 4z2 = 16. al rededor del eje x. Sol. x2 + y2 -t 4:2 = 1 6. El i psoide.

g) 1 . 2x + 3y - 6. alrededor del eje x. Sol . 4x2-9( y -2)2 + 4z2 = O. Cono.

2. H alla r las coordenada s del vértice del cono. Sol. (O. 2, 0). 3. H allar la in te rsección del cono con el plano y -O.

Sol. x2 + z2 = 9. u na ci rcunf erencia de rad io 3. 4. Hallar la inter sección del cono con el plano y = 2..

S ol . x2 +:2 = O, vért ice del cono. 5. Halla r la i n tersección del cono con el plano x =- O.

Sol. 3( y -2) = ± 2:, dos rectas situadas en el pla no y: y q ue se cor tan en el punto (0, 2, 0), vér tice del cono.

..... --



Zt

:

Q

CA PITULO 16

Otros sisten1as de coordenadas

COO R DENA DAS POLA R ES, CI LI N DR I CAS Y ESFE R I CAS. Además de las coordenadas ca rtesia n as rectan gu la res, existen otros sistema s de coor denadas muy ú tiles y qu e se em plea n con frecu encia como son las coordenadas polares, las cil índricas y las esfér icas.

COOR DE N A DAS POLA R ES. Las coordenadas pola res de u n z pu n to P del espacio (ver figura adyacente) son (e. a, {3 y), siendo u la d ista ncia O P y·a, /J y y los ángulos de l a d ir ección /

, de OP . Las relaciones q ue ligan las coordenadas polares y recta ngul ar es de u n pu n to P son,

X : !! COS a, .\' = (j COS {J, y Z = (! COS y. / X _ _ _ _ _ _ _ y 1 //

lj = ± vx2 + y2 + z2, y

Como cos2 a + cos2 fJ + cos2 y = 1, las cuatro coor den adas no son independ ientes. Por ejem plo. si a = 60º y p = 45° se tiene, cos2 y = 1 -cos2 a -cos2 {J = 1 -!-!= j. Como por ot r a parte }' 180°, y =60° ó 120°.

COOR DEN A DAS CI LI N DR I CAS. En este sistema , u n pu ntoP (x , y , :) vie ne defi nido por f!, O, z, siendo (! y O las coordenadas polares de la proyección Q del pu nto P sobre el pla no xy .

Estas coordenadas se escriben en tre pa réntesis y en este or den (!?, O, z). Las r elaciones q ue ligan las coordenadas cili nd ricascon las r ectangulares son,

x = (! cos O, y = e sen O, z = z.

p (X,y,Z) (j),9, Z )

z

, X

,, /

o = ± v x2 +r, e =are tg .

Obsér vese que el á ngulo fJ puede tom ar cualq u ier va lor , con lo que e puede tomar va lor es negat ivos, com o en el caso de las coord en adas polar es.

COORDEN ADAS F.SFER ICAS. Sea P (x, y, z ) u n punto cualq uie ra del es pacio y Q su proyección so bre el plan o xy . Repr esentemos por !! la d ista ncia OP, com o en el caso de las coord enadas polares , por e/> el án gulo

ZOP , por O el ángul o XOQ , y consider emos el ángul o c/> posi ti vo cu ando 0° c/> 180°. Los símbolos (! , O y e¡, son las coor denadas esféricas del pu n to P , y éste se repr esen ta por P (Q. O , cf>). La coor denada !! es el r ad io vecto r , O la longi tud y e/> la cola t i t ud de P . El ángulo O puede tomar cualq uier va lor.

Del triángulo r ectángulo OPQ se ded uce,

OQ = /2 sen c/>. Q P = (} cos e/> .. y

144

)

z p (X,"0) ¡ p.FJ .lf> )

1 1 1 1 1 1 1

l M ., : / X

_ _ ...... ......,y,'

Q



)'

2

3

OTR OS SISTE MAS DE COOR DENA DAS 145

En el t riángulo O M Q se verifica, OM = OQ cos O, M Q = OQ sen O. Por tanto,

x - O M - '.! sen </> cos fJ. y = M Q = '.! sen </> sen O. = =::: Q P - !! cos <f>.

'.! l fJ - are tg · ,

.\" </> -= are cos

.J

En m u ch os pr oblemas relati vos a la determi nación de áreas de su perficies, o de vol úmenes l i mi tad os por éstas, los método:· em pleados en el cálculo d iferencial e i n tegral se ven n ot a blem ente si m pl ificados pa sa ndo el problema a coorde nadas esféricas o cil í nd r icas . En todos aq uel los casos en q ue la su perficie lí mite sea de revol ución , l o más adecuado es el em pico de las coorden adas cil índ ricas.

PROBLEMAS RESU ELTOS

l. Hallar las coordenad as polar es. ci líndr icas y esf ér icas de l pun to cuyas coordenadas r ectangulares son (!, -2. 2).

z z P(p,a.,,B,Y)

z 1 1 1

,) .....'-2

z P(p,B,t/J)

X X X

y

Coordenada s pr>lares Coor denadas dlindrica.v Coordenadas esRricas

a = ar e cos i = a re cos }= 70º32', fi = ar c cos = arc cos (- ) = 1 31º49', 1, y = are cos =

0 = a r e cos

2 = 48º 1 1 '. Sol . (3, 70°32', 131n49', 48º 1 1 ').

Coordenadas cilíndrica s. <! = vx2

+-Ji! = '\/ 12

+ (-2)2

= v5. () = are tg L = are tg (-2) = 296º34', := 2.

X Sol. cvs, 296º34', 2).

Coordenada s esférica s. g = '\1 x2 + y2 + =2 = '12 + (-2)2 + (f)t = 3.

(} = ar e tg L = are tg (-2) = 296"34', </> = are cos = are cos2

= 48º 1 1'. X ,.. 3

Sol. (3, 296º34'. 48º 1 1 ').

2. Hallar las coordenadas rectangu lar es del punto cuyas coordenadas cil índricas son (6. 120º,-2).

X = (! COS 0 = 6 COS 120° =-3, y = (} Sen 0 = 6 sen 120<> = 3VJ, Z = -2. Sol . (-3,3v3, -2).



f J

\11

= QS & e:tM 65 QQ = e t : se q; 'l'l 4

146 OTROS SISTEMAS DE COO R DENA DAS

3. Hallar las coordenadas recta ngulares del pun to cuyas coordenada s esféricas on (4. -45", JO' ').

X =(! sen </> COS 0 = 4 Sen 30º COS (-45°) = Vl, y = r¿ sen e/> sen O = 4 sen 30º sen (--45º) =-vi, z = cos </> = 4 cos 30° = 2v3.

/ 4. Hallar las coordenada s rectangulares del punto cuyas coordenadas polare s son (3, 120 , 120º, 135").

X = (! COS a = 3 COS 120 = -3/2, y = (! cos{J = 3 cos 1 20º = -3/2, = = e cos Y = 3 cos 135º = -3v212.

Sol . 3 3ví )

- • - ·- .

\ 2 2 2

5. Hallar las coorde:iadas recta ngula res po!ar es y esféricas del punto cuyas coord e nadas cil í ndricas son (6, 120º, 4). j

Rectangular es. x = (! cos O = 6 cos 120° = -3,

y = r sen O = 6 sen 120º = 3VJ, : = 4. sol. (-3. 3v3. 4). P olares. {! =\l x2 + y 2 +.:2 = \/(-3)2 + (3 ,13)2 + 42 = 2\I D.

3 a = ar e cos X = are cos - = 1 14 "35',

(! 2v13

f3 = are cos L = are cos3

3- 46 7'

e 2--

3 · · 4

y = arc cos ::_ = arc cos -- (! 2\.113

- = 56 19'.

Sol. (2vi3. 1 14º35', 46 º "1', 56"19').

Esféricas. Q = \! x2 + y2 + z2 = /(-3)2.1... (]\13)2 +41.= 2vD, y 3\13

() = are tg-= are tg = 120º, X -J

f> = are cos z = are cos = 56º 19'. !? 2\ 113

Sol. (2 13, 120 , 56 19').

6. Expresar la ecuación x 2 + y 2 + 2z2 -2x- 3y -: ·f 2 = O en coordenadas cil í nd ricas.

x = e cos O, y -= ') sen O, .: = z.

Susti tuyendo, [J2 cos20 + rl sen20 + 2.:2·-2!.! cos O -3g sen O-.:+ 2 = O.

Simplificando,e

2-g(2 cos ()

+3 sen O)

+2z2-

z +2

=O.

7. Expresar la ecuación 2x2 f- 3y2-6.: = O en coordenadas esféricas.

x = g-sen </> cos O, y = f! sen </> sen O. z = e cos <f>.

Sustituyendo , 2e2 sen2</> cos28 + 3(! 2 sen2cf> sen20 -6Q cos </> = O,

o bien, 2(! sen2</> cos28 + 3e sen2</> sen20 -6 cos </> = O.

•8. Expresar la ecuación e + 6 sen e¡, cos e + 4 sen <f> sen O -8 cos <f> = O en coordenadas r ectangulares.

Esta ecuación est á dada en coordenadas esféricas. M ultipl icando por e y teniendo en cuenta los valores de x, y, z, del Problema 7, se ded uce,

1:/ + 6 () sen e/> cos O -L 4.!.l sen e/> sen O -8g cos e/> = O, o sea,

x 2 ,_. J.:: +=2

+ 6.r + 4y -3.: = O.

/ Esta ecuación representa una esfera de cen tro (-3. -2, 4) y rad io r = \129.



'

01 l< OS SISTl:MAS 01 C OOR DE A DAS 147

9. Expr esa r la ecuación . ecri ta en coordenadas cil indricas. ;:- r/ cos 20. en coordenadas recta ngu lares.

Ten iendo en curnta q ue cos 20 c o<:.2 0 sen2f) r esu l ta. :-el(cos2 () -scn20) =rl cos10 -r.l sen20.

·Como I! cos O - x y '! sen O y. la ecuación ped ida es = = x2- yt .

10. Expr esa r la ecuación x2.; y2

-.:z 25 en coor denadas polares.

En coordenadas pol ares. x = f.! cos a. y:;e cos {l. = = (! cos y .

Luego l a ecuación se tra n forma en 1¿1 cos2a ¡rl cos" P -r l cos2y = 25,

osea. !!2(cos2'.; c os' íJ -cos2y)- 25.

Como cos2a C0!.2/1 + coS2)• - 1 . la ecuación pedida es e:(I -2 cos1y) = 25.

JI. Expr esa r la ecuación. escrit a en coordenada s pola r e , cos y = (! cos a cos {3, en coordenadas rectangulares.

Mult ipl ica ndo por f! los dos miembr os de la ecuación se tiene, (! cos y = ei cos a cos {1. Teniendo en cuenta que (! co<. y = :, '! cos a x , f! cos fJ = y. la ecuación pedida es z = xy.


l. Halla las coordenadas polares de los puntos siguicn ics: a) (0, 1. 1 ); b) (0. -2. -2); r) ( 1 . -2. 2); d) (6. 3. 2); e) (8. -4, I ). Sol . a) (\ 2.90 .45'. 45 ) ; h) (2\ 2. 90". 135 ', 135< );

e ) (3. ar e cos l / 3, ar e cos (-2/ 3). are cos 2/3); d) (7, a re cos 6/7. ar e cos 317 .a r e cos 2/7): e) (9. ar e coo; 8 9. a re cos (-4/9), are cos 1/9).

2. Hallar las coordenadas cilínd rica de los punt os del Pr o blema 1. S(l f . a) ( l.90 . I ); b) (2. 270 . -2); e) (\15 , 2:t -are tg !,2);

d ) (3 5. a re tg!.2) ; 1') (4v 5. 2n -are tg 2, 1). ) '

3. Hallar las coord enadas esféricas de los puntos del Problema 1. Sol . o) ( 12,90º, 45º): b) (2\1:2, 270'. 135º): e) (3, 2;i-ar e tg 2, ar e cos 2/3);

J) (7, ar e tg 1 2, are cos 2/7) ; e) (9, L-t-are tg l. a re cos l /9).

4 . Hallar las coordenad as rectangulare s de los pun tos cuyas coordenadas polar es son : a) (2, 90", 30', 60 ); b) (3, 60°, -45º, 120º) ; e) (4, 120º, 1 20º, 135º); d) (3, 150°, 60°, 90") ; e) (2, 45º, 120°, -60°). · Sol . a) (O, ,13, I ); b) (3/2. 3,12 2, -3/2); e) (-2, -2, -2v'i);

d) (-3\/3/2, 3/2, 0); e ) ( 2, -1, 1).

5. Hallar las coordenad as rectangular es de los puntos cuyas coordenadas cillndricas son :

o) (6, 120°, -2) ; b) (1 , 330°, -2); e) (4, 45º, 2) ; d) (8, 1 20º, 3) ; e) (6. 30º , -3). Sol. a) (-3. 3 3, -2) ; b) ( 3/2, -1/2, -2); e) (2v'2, 2 2, 2) ;

d) (-4, 4v3, 3); e) (3 3, 3, -3).

6. Hallar las coor denadas r ectangular es de los punt os cuyas coordenadas esféricas son : a) (4, 210º, 30º): b) (3, 120", 240"); e) (6, 330º, 60º) ; d) (5, 1 50º, 210°) ; e) (2, 180º, 270 ).

.."1'l



\ 4 4 2

5

2

148 OTR OS SISTEMA S DE COORDE NA DAS

Sol . a ) (-\/3) -1) 2v13-)·) b) ( .h/3-,- -9-- '-

J )·' e)

5\13 5 5,13 )

( 9 , 2

3v3 , 3) ; 2

d) ( 4-,-4 .-- 2- ; e) (2, O. O).

7. Ha lla r las coordenadas esférica s de los puntos cuyas coor denadas cil índricas son : a) (8, 1 20", 6); h) (4, 30º, -3) ; e) (6, 135º. 2); d ) (3. 1 50º.4) ; e) (12. -90°.5).

Sol . a) (10. 1 20 .a rc co) ) ; h) 1 5, 30 '.ar c cos (- ) I: e) (2 16, 1 35º. ) ;

d ) (5, 1 SO , are cos ) ; e) ( 1 3, -90 , a re cos 1 3)·

8. Expresa r en coor denadas esféricas las ecuacion es sigu ien t es: a) 3x2 -3y2

- 8:; hJ x 2 y2-: -= a ; e ) 3'." + Sy-2: 6.

2 2 Sol. a) 3(! sen2</> cos 20 - 8 cos O ; h) g2(scn2</> cos 2 0 -cos2</>) = a2

;

e) (!(J sen </> cos O +5 sen </> sen fJ-2 cos </>) = 6.

9. Expr esar en coordenada s ci líndr icas las ecuaciones siguiente : a ) 5 x 1- 4y O ; h) 5x 2 -- 4y2 + 2 x + Jy - O ; e) x 2 1 y2

-8.\' -O; d ) x2 - y2 1- 2y -6 = O; <") xi 1 y2- 2 - a2.

Sol . a) () - a re t g(-5/4); h) 5(! cos20 -4!! sen20 ,2 co O ..¡ 3 se n O =·0; e) !!-8 cos O = O; d) r/ co!> 20 -1 2(! !>en O-6 - O; t') r.!2

-; a2 •

Coleccion Schaum Geometria Analitica Joseph-H-kindle-Ccesa007

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