Colaborativo Fase 3

7/24/2019 Colaborativo Fase 3

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iversidad Nacional Abierta y a Distancia - UNAD

Universidad Nacional Abierta y a Distancia UNAD

Trabajo colaborativo fase 3

CALCULO INTEGRAL1!11

"resentado a#RO$EIRO $ELTRAN TO%AR

Director de c&rso

"resentado 'or#(ART)A $I$IANA RODRIGUE* C+d,

"EDRO ALE-ANDRO RODRIGUE*C+d,

GLAD./ RU$IELA GO(E*C+d, 0!,12,!00

$oot45 Colo6bia

Novie6bre501

1

http://campus04.unad.edu.co/campus04_20152/user/view.php?id=50505&course=8









INTRODUCCI7N

Este trabajo presenta la solución de problemas Calculo integral donde se enfatiza en el uso

de la integral definida junto con técnicas de factorización como método de solución para elcálculo de áreas, volúmenes en primer lugar y dando paso también al uso de las integrales.

en el área de la economa enfatizando en los ingresos marginales y la utilidad marginal

!esarrollo de la actividad

"




1. Encuentre el área de la región comprendida entre la curva f ( x )= X 3− X

2−6 x y

el eje #. sugerencia elabore la gráfica para una mejor compresión del ejercicio

/OLUCION

En el siguiente grafico nos muestra el área bajo la curva $ue se va a %allar según las

especificaciones del ejercicio&

'ara determinar los puntos de corte con el eje #, las cuales básicamente son los lmites de la

integral, se %ace lo siguiente&

x3− x

2−6 x=0

x ( x2− x−6)=0

x ( x2− x−6)=0

x ( x−3)( x+2)=0

(




Como se ve las races de la función nos muestra los puntos de corte con el eje #, por tanto

los lmites de integración x=0, x=−2 y x=3

A=∫−2

0

x

3

− x

2

−6 x−∫0

3

x

3

− x

2

−6 x

A= x

3+1

3+1−

x2+1

2+1−

6 x1+1

1+1 | 0−2−

x3+1

3+1+

x2+1

2+1+6 x

1+1

1+1 |30

A= x

4

4−

x3

3−

6 x2

2 | 0−2−

x4

4+

x3

3+6 x

2

2 |30

A=0

4

4

−03

3

−6¿02

2

−24

4

+−2

3

3

+6∗22

2

−34

4

+3

3

3

+6∗3

2

2

+04

4

−0

3

3

−6∗02

2

A=−2

4

4+−2

3

3+6∗22

2−3

4

4+33

3+6∗32

2

A=21,083unidadescuadradas

". Calcular el área de la región limitada por las curvas y2=2 x e y= x−4

(. !ada la curva y=√ 4− x2

la cual gira alrededor del eje # ) cuál será el área de la

superficie de revolución, generada en el intervalo *+1.1-

. !etermine la longitud de la curva y=lncos ( x) en el intervalo[0, π

3]

/. Encontrar el volumen del sólido formado al girar la región acotada por

f ( x )=2− x2

y g ( x )=1 alrededor de la recta y=1 0ugerencia& tilice el

método de los discos para %allar el volumen del sólido y elabore la gráfica para unamejor comprensión del ejercicio.

/OLUCION

2gualando f ( x ) y g ( x ) se ve $ue los puntos de intersección son&




f ( x )=2− x2=g ( x )=1

2− x2=1

0= x2−2+1

0= x2−1

3actorizando encontramos las races de la ecuación&

0=( x+1)( x−1)

4uego los puntos de intersección son&

x=±1

'ara %allar el radio, restamos f ( x )−g ( x )

R ( x )=f ( x )−g ( x )

R ( x )=2− x2−1

R ( x )=1− x2

sando el método de los discos para calcular el volumen de revolución y observando lafigura podemos obtener el volumen&

/




V =π ∫a

b

[ R ( x ) ]2

dx

0e tiene&

V =π ∫−1

1

[1− x2 ]

2

dx

V =π ∫−1

1

(1−2 x

2

+ x

4

)dx

V =π [∫−1

1

dx−∫−1

1

2 x2

dx+∫−1

1

x4

dx ]

V =π [ x−2 x3

3 +

x5

5 ]| 1−1=π [1−2∗1

3

3 +

15

5 −(−1)+

2(−1)3

3 −

(−1)5

5 ]

V =π

[1−

2

3 +1

5 +1−2

3 +1

5 ]V =π [ 1615 ]

V =16

15 π unidades cubicas

5




5. %alle el volumen del solido generado al rotar sobre el eje #6+1 la región encerrada

por la parábola x= y2

y la recta # 6"y. sugerencia utilice el método de las

arandelas para %allar el volumen del sólido y elabore la gráfica para una mejor comprensión.

7. 8allar el centroide 9#,y: de la región limitada por la curva y= x2

y la recta de

y 6#;"

<. na varilla de longitud 5= cm tiene una densidad lineal $ue vara

proporcionalmente al cuadrado de su distancia a una de los e#tremos, es decir

p ( x )= R x2

para una > constante. si la densidad en el e#tremo más pesado es de

7"==g?cm, %alle su centro de masa 9Ce:.

@. 4a aceleración de una partcula $ue se mueve a lo largo de una recta es

a (t )=π 2cos (πt ) m

2seg . 0i en el instante inicial 9t6=:, la posición de la partcula

es 9s6=:y la velocidad es v6< m?seg %allar s cuando t61.

/OLUCION

Como sabemos&

dv

dt =a

dv

dt =π

2cos ( πt )

!espejamos diferenciales

dv=π 2cos ( πt ) dt

2ntegramos&

∫dv=∫π 2cos ( πt )dt

7




v=π 2∫cos (πt )dt

Aplicamos sustitución simple&

u=πt→du=πdt

v=π

2

π ∫cos (u )du

v=πsen (u )+C

Bolviendo a la variable original

v=πsen ( πt )+C

0i en el instante inicial (t =0) , la posición de la partcula es (s=0) la velocidad es

v=8m/seg . >eemplazando&

8=πsen ( π ∗0 )+C 1

Como sen (0 )=0

'or tanto&

8=C 1

v=πsen ( πt )+8m /seg

A%ora como se sabe $ue&

ds

dt =v

os $ueda&

dsdt =πsen ( πt )+8

!espejando los diferenciales

ds=( πsen ( πt )+8 ) dt

<




∫ds=∫ (πsen (πt )+8 )dt

s=π ∫ πsen (πt )dt +∫8dt

s=−π

π cos ( πt )+8 t +C

s=−cos ( πt )+8 t +C

0i en el instante inicial (t =0) , la posición de la partcula es (s=0) . >eemplazando&

s=−cos ( π ∗0 )+8∗0+C =0

−1+C =0

C =1

'or tanto&

s=−cos ( πt )+8 t +1m

)alla S c&ando t =1 ,

s=−cos ( π ∗1 )+8∗1+1

s=−(−1)+8+1

s=10m

1=. na fuerza de = se re$uiere para detener un resorte $ue esta estirado desde su

longuitud natural de 1=cm a una longitud de 1/ cm )cuánto trabajo se %ace al estirar

el resorte de 1/ cm a 1< cm-

/OLUCION

0e aplica la 4ey de 8ooDe, la cual establece $ue la fuerza f9#: necesaria para mantener

un resorte estirado 9o comprimido: # unidades alargado 9o acortado: de su longitud

natural está dado por.

@




f ( x )=kx,k =cte positivos y dependedel resorte

Cuando se estira 1= a 1/ cm, el estiramiento es de / cm 6 =,=/ mts. Es decir $ue f9=.=/:6 =, lo $ue implica $ue

=,=/ 6 = 6 <==

4uego f9#: 6 <==#, y el trabajo efectuado al estirar el resorte de 1/ a 1< cm es&

∫0.05

0.08

800 x dx=1.56 !

11. 4a funciones de la oferta y la demanda de cierto producto están dadas por 09#:6 /"

; "# y !9#:61==+#".!etermine el e#cedente del consumidor, suponiendo $ue se

%a establecido el e$uilibrio del mercado.

" ( x )=S ( x )

100− x2=52+2 x

!onde despejamos # y obtenemos

x=6

x=−8

A%ora %allamos el valor de y

y=100− x2=100−6

2=64

Fomamos la repuesta positiva

Calculamos el e#cedente del consumidor&

1=




#c=∫0

6

(100+ x2 ) dx−6∗64

#c=

∫0

6

100dx+

∫0

6

x2

dx−384

#c=100 x {60+ x

3

3 {60−384=600+72−384

#c=288

Calculamos el e#cedente del productor&

#p=$%−∫0

6

(52+2 x )dx

#p=384−∫0

6

52dx−∫0

6

2 xdx

#p=384−52 x

{

6

0

−2 x

2

2

{

6

0

=384−52 (6 )−62

#p=36

1". El costo marginal de un artculo cuando se producen # unidades es de +(#" ;5=# ;=== pesos por unidad. si el costo total de producción de las 1= primeras unidades

es G@=====)Cuál sera el costo total de producción de las /= primeras unidades-

11

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