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8/17/2019 COintegracion univ y multiv.pdf

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Econometría de Series de TiempoClase 9: Análisis de Cointegración univariado y multivariado

Paul Castillo Bardález

Universidad Nacional de Ingenería

Paul Castillo Bardález (UNI) Cointegración 1 / 34


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Contenido

De…nición

Ejemplos

Prueba de cointegración univariadasMétodo de Engle y GrangerMínimos cuadrados dinámicos

Prueba de cointegración multivariada de Johansen



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De…nición

Se dice que dos series, X t y Z t cointegran si existe una combinaciónlineal entre ellas que es estacionaria, esto es si existe un vector β =

1 β2

, tal que X t β2Z t es I (0)

De manera equivalente, dos series cointegran si comparten la misma

tendencia estocástica, Z t = Z t 1 + εt , entonces, Z t = Z 0 + s =t ∑ s =0

εs ,

entonces, X t = β2s =t

∑ s =0

εs + ηt

Si X t y Z t cointegran, entonces existe una relación de equilibrio delargo plazo entre las series y por tanto la dinámica de corto plazoadmite una representaciòn de mecanismo de correcciòn de errores.



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Regresiones espúreas

Si X t y Z t no cointegran, entonces, la regresiòn por mínimoscuadrados ordinarios, X t = β2Z t + εt , es una regresión espúrea, y elresiduo εt I (1)

Phillips (1986), muestra los siguientes resultados: c β2 no converge en probabilidad al verdadero valor sino que converge auna distribución que no es normal.Los estadísticos t de

c β2 convergen a in…nito.

El R 2 converge a 1, aùn cuando no existe ninguna relación válida entre

las variables.



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Ejemplos

Las relaciones de cointegración surgen de las condiciones de equilibrioen economía y …nanzas.

Por ejemplo, la teoría del ingreso permanente implica una relación decointegración entre el consumo e ingreso permanente,

El equilibrio en el mercado monetario, implica que existe una relación

de cointegración entre dinero, precios, producto y la tasa de interésnominal.

La teoría de crecimiento implica que existe una relación decointegración entre consumo, producto e inversión, en donde la

productividad es la tendencia común.La hipótesis de la paridad del poder de compra implica una relaciónde cointegración entre los precios domésticos, externos y el tipo decambio.



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Más ejemplos

La ecuación de Fisher implica una relación de cointegración entre latasa de interés nominal y la in‡ación.

La teoría de expectativas de la curva de rendimiento implicacointegración entre las tasas de interés nominal a diferenteshorizontes de maduración.

El modelo de valor presente para valorizar acciones, implica que existecointegración entre los precios de los activos y los dividendos.



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Comentarios

Las relaciones de equilibrio que la teoría económica postula se re…erena relaciones de equilibrio de largo plazo, debido a que desviacionesrespecto a este equilibrio pueden tardar mucho tiempo en regresar el

equilibrio. En estos casos, la cointegración se modela utilizando seriesmedidas en la frecuencia, mensual, trimestral y anual.

En …nanzas, la cointegración puede analizarse con datos de altafrecuencia, debido a que en este caso, el concepto de cointegraciónesta motivado por arbitraje entre mercados, por ejemplo, la PPP:



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Representación Triangular

Considere el siguiente vector de variables aleatorias,Y t = y 1,t y 2,t , con un vector de cointegración, β = 1 β2 La representación triangular tiene la siguiente forma,

y 1,t = β2y 2,t + ε1,t

y 2,t = y 2,t 1 + ε2,t

La primera ecuación describe la relación de equilibrio de largo plazomás un desiquilibrio de corto plazo

La segunda ecuación especi…ca al tendencia estocástica.

y 2,t = y 2,0 +∑ ε2,t



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Representación de Tendencias Estocásticas Comunes.

Dado un vector de k variables integradas de orden 1, Y t , si existen r vectores de cointegración, entonces, existen, k r , tendenciasestocásticas comunes.

En este casoy 1,t = β2∑ ε1,t + ε3,t

y 2,t = ∑ ε1,t + ε2,t

Donde, la tendencia estocástica común es, .∑ ε1,t , note que el vector

de cointegración elimina la tendencia estocástica, puesto quey 1,t β2y 2,t = ε3,t β2ε2,t



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Representación de Mecanismo de Corrección de ErroresRepresentación univariada

Sean X t y Z t , dos variables I (1) que cointegran, tal que X t = β2Z t + εt

El mecanismo de corrección de errores esta dado por

∆X t = γ (X t 1 β2Z t 1) +

s =p

∑ s =1∆X t s + ηt

Donde, γ > 0, representa la velocidad a la que se corrige eldesequilibrio de corto plazo, y ηt es un ruido blanco gausiano ( condistribución normal).

EL MCE relaciona la relación de equlibrio de largo plazo que implicala cointegración con la dinámica de corto plazo.

Este mecanismo de corrección de errores evita que las variables dedistancia mucho de su equilibrio de largo plazo.



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Representación de Mecanismo de Corrección de ErroresRepresentación multivariada

Sea el siguiente modelo VAR(p),

X t = A1X t 1 + A2X t 2 + ...Ap X t p + ηt

Aplicando el operador diferencias, y ordenando adecuadamente lasmatrices de coe…cientes, se obtiene un vector de corrección de errores,VECM, de la siguiente forma,

∆X t = ΠX t 1 + Γ1∆X t 1 + Γ2∆X t 2 + ...Γp 1∆X t p +1 + ηt

Donde, Π = (I A1 A2.... Ap ) y Γi =s =p 1

∑ s =i

As ,

En este modelo, si existe cointegración entonces, Π = αβ0, por tanto,ΠX t 1 = αβ0X t 1, en este caso, β0X t 1 I (0), y por tanto,ΠX t

1

I (0)



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Pruebas de Cointegración

Caso I: Se analiza un sólo vector de cointegración.

Engle y Granger (1986), la prueba se realiza en dos etapas.

Caso II: Existen r vectores de cointegración, prueba originalmentedesarrollada por Johansen (1988). Esta prueba se desarrolla en formasecuencial en base a técnicas de máxima verosimilitud.



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Prueba de Engle y Granger

Se implementa en dos etapas:

Estimar mediante MCO, X t = β2Z t + εt

Realizar una prueba de raíz unitaria al residuo, bεt = X t b β2Z t , si elresiduo es estacionario entonces existe cointegración.

La hipótesis nula es de no cointegración y la alternativa es decointegración.



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Prueba de Engle y Granger

Existen dos casos:El vector de cointegración es conocido, por ejemplo porque se deriva deuna relación de equilibrio, por ejemplo, la UIP. En este caso, los valorescríticos de DF y PP son válidos para la prueba de raíz unitaria alresiduo de la ecuación de cointegración

El vector de cointegración debe estimarse. En este caso la prueba deraíz unitaria al residuo de la ecuación de cointegración debe utilizar losvalores críticos de Phillips y Ouliaris (1990), . C. B. Phillips and S.Ouliaris (1990): Asymptotic Properties of Residual Based Tests forCointegration. Econometrica 58, 165–193.

Las pruebas de cointegración utilizando un vector de cointegraciónpre-especi…cado tiene mayor poder que en el caso que el vector decointegración se estima.



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Engle-Granger, vector de cointegración conocido

La hipótesis a ser probaba es : H 0 : εt = β

0Y t I (1)H 1 : εt = β

0Y t I (0)

Cualquier prueba de raíz unitaria puede utilizarse para evaluar lahipótesis anterior. La elección más popular son la prueba ADF, y PP.

Cointegración existe is la hipótesis de raíz unitaria es rechazada.

El vector de cointegración puede incluir escalares y tendencias.



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Engle-Granger, vector de cointegración estimado

En este caso, la hipótesis a probar es: H 0 :

bεt =

b β0MCO Y t I (1)

H 1 : bεt = b

β0MCO Y t I (0)

En este caso, los valores críticos de la distribución ADF y PPdependen de,

Los términos determinísticos de la ecuación de cointegraciónDel número de variables exógenas.


E l G d i i i d


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Engle-Granger, vector de cointegración estimado

Hansen (1992) muestra que las distribuciones de Phillips y Ouliaris(1990) dependen además de las propiedades de las variables al ladoderecho e izquierdo en la ecuaciòn de cointegraciòn. Si la ecuación decointegración es, X t = γ0D t + β2Z t + εt , existen los siguientes trescasos

Caso I:X t y Z t son I (1) con constante, y D t = 1 ( Valores críticostabla 2a, página B3 paper PO)

Caso II Z t tiene constante, y X t puede o no tener constante D t = 1 (Valores críticos tabla 2b, página B3 paper PO)

Caso II Z t tiene constante, y X t puede o no tener constanteD t = (1, t ) ( Valores críticos tabla 2c, página B3 paper PO)


P i d d d l d i ió


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Propiedades del vector de cointegración

El vector de cointegración b βMCO es superconsistente, converge a suverdadero valor a la tasa T y no

p T

La distribución asintótica de

b βMCO es sesgada asintóticamente y no

normal. La fórmula del MCO para computar la varianza asintótica de b βMCO es incorrecta por lo que el t estadístico no se puede utilizarpara realizar prueba de hipótesis.

Para realizar pruebas de hipótesis cuando existe un sólo vector decointegración se debe modi…car la ecuación de largo plazo, paso 1, del

método de Engle y Granger. Stock y Watson (1993) prononen unajuste sencillo para lograr este propósito.


Mí i C d d Di á i S k W (1993)


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Mínimos Cuadrados Dinámicos: Stock y Watson (1993)

Stock y Watson (1993) sugieren una forma simple de corregir elmétodo de Engle y Granger para obtener un estimador e…ciente delvector de cointegración.

Sea la ecuación de cointegración, X t = β2Z t + εt

Stock y Watson proponen la siguiente reparametrización, X t =

β2Z t +s =p

∑ s =p

∆Z t s + u t . El estimador de MCO en la ecuación anterior

se denomina estimador de mínimos cuadrados dinámicos,

b β2,MCD

El estimador, b β2,MCD , es consistente, e…ciente y asintóticamentenormal.


Mí i C d d Di á i St k W t (1993)


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Mínimos Cuadrados Dinámicos: Stock y Watson (1993)

La desviación estándard de b β2,MCD esta dada por la desviaciónestándard de MCO mulitplicada por el ratiof =

bσ 2u

cvlp (u t )! 1

2

Donde, bσ 2u = 1T p ∑ u 2t y u t = φ1u t 1 + φ2u t 2.... + φk u t k + ωt ,entonces, vlp (u t ) =

bσ 2ω1φ21φ22..φ2p

Alternativa, se puede utilizar un estimador no paramétrico de cvlp (u t ),por ejemplo el estimador de Newey-West. cvlp (u t ) = bc 0 + 2 j =k ∑ j =1

h1 j (k +1)

i bc j , bc j = T T 1 ∑ t = j +1

bu t bu t j Paul Castillo Bardález (UNI) Cointegración 20 / 34

V t d C ió d E


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Vector de Corrección de Errores

Sea Z t un vector de k variables I (1) que siguen un proceso VAR(p),

la representaciòn de correcciòn de errores multivariada es

∆X t = ΠX t 1 + Γ1∆X t 1 + Γ2∆X t 2 + ...Γp 1∆X t p +1 + ηt

Las propiedades de ∆X t dependen de las propiedades de Π. Si

rango (Π) = 0, entonces, Π = 0. En este caso, la dinámica de cortoplazo no esta relacionada con el nivel de las series, por lo que noexiste cointegración, existen k tendencias estocásticas, y 0 vectores decointegración.

En este caso el mejor modelo para ∆X

t , esta dado por,

∆X t = Γ1∆X t 1 + Γ2∆X t 2 + ...Γp 1∆X t p +1 + ηt




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Si el rango (Π) = k , entonces, ΠX t 1 I (0), todas las series sonestacionarias

Si el rango (Π) = r < k , entonces existen r vectores de cointegración.En este caso, Π = αβ0, por lo que ΠX t 1 = α[k r ] β0[r k ]X t 1, por lo

que β0X t 1 I (0), con lo que ΠX t 1 I (0).En este caso, existen k r , tendencias estocásticas.


Representación de medias Móviles de un modelo


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Representación de medias Móviles de un modelo

AR (p )

Cuando existe cointegración y Π = α[k r ] β0[r k ], Las …las de β0

forman las bases del los r vectores de cointegración, y α reparte elimpacto de de los vectores de cointegración en la evolución de ∆X t ,por lo que el mecanismo de corrección de errores se transforma en,

∆X t = αβ0X t 1 + Γ1∆X t 1 + Γ2∆X t 2 + ...Γp 1∆X t p +1 + ηt

El vector de cointegración no es único,Π = αβ0 = αHH 1 β0 = (αH )

βH 1

0 = α β0

Existen in…nitos vectores de cointegración, los que se obtienen a partirde combinaciones lineales de las bases del vector de cointegración, β

Para obtener valores únicos de α y β se requiere restriccionesadicionales.


Ejemplo: Modelo VAR(1)


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Consideremos el siguiente modelo VAR(1) de variables I (1),

Y t = x t z t , tal queY t = A1Y t 1 + εt

El VECM de este modelo esta dado por,

∆Y t = ΠY t 1 + εt

Π = (I A1)En este caso, si existe cointegración, β0[2

1] = 1 β2 , de donde, β0Y t = x t β2z t

En este caso, rango (Π) = 1, y por tanto,

Π = αβ0 = α1α2

1 β2




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En este caso,∆Y t = αβ

0Y t 1 + εt

Por tanto, ∆x t = α1 (x t β2z t ) + ε1,t ∆x t = α1 (x t β2z t ) + ε1,t

El modelo es estable, puesto que (x t β2z t ) es estacionario.


Metodología de Cointegración de Johansen


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Metodología de Cointegración de Johansen

Los pasos básicos para aplicar esta metodología son:

Especi…car y estimar un modelo VAR(p) para Y t Construir el ratio de verosimilitud para el rango (Π) para determinar el

número de vectores de cointegración.De ser necesario, imponer restricciones de normalización eidenti…cación a los vectores de cointegraciòn

Una vez normalizado e iden…cado los vectores de cointegracion seestima el VECM por máxima verosimilitud


Estimación del modelo VECM


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Se estiman las siguientes regresiones auxilares

∆X t = ψ0 + Ψ1∆X t 1 + Ψ2∆X t 2 + ... Ψp 1∆X t p +1 + u t

X t 1 = θ0 + Θ1∆X t 1 + Θ2∆X t 2 + ...

Θp 1∆X t p +1 + v t Calcular las siguientes matrices de varianza-covarianza0t

bΣUU = T 1 ∑

t =T t =1 u t u

0t

bΣUV = T 1 ∑

t =T t =1 u t v

0t

bΣVU = T 1 ∑ t =T t =1 v t u 0t bΣVV = T 1 ∑ t =T t =1 v t v 0t




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Formar la matriz, bΠ = bΣ1VV bΣUV bΣ1UU bΣVU Encontrar los valores propios de bΠ, bλ1 > bλ2 > ... bλk La función de verosimilitud del rango de

bΠ, esta dada por:

L = Tk 2 log(2π ) Tk 2 T 2 log bΣUU T

2

i =h∑ i =1

log(1

bλi )

Las bases del vector de cointegración se determinan a partir de los r valores propios más grandes de bΠ


Prueba de verosimilitud para el número de vectores de


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Prueba de verosimilitud para el número de vectores de

cointegración.

Esta es una prueba secuencial,

Se inicia la prueba, H 0 : r = 0 versus H a : r > 0, luego, H 0 : r = 1versus H a : r > 1 hasta que la hipótesis nula se rechace.

El rango de bΠ determina el número de vectores de cointegración,Existen dos tipos de prueba, la prueba de la traza y la del máximovalor propio.


Prueba de la traza


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Prueba de la traza

En este caso, la hipótesis a testear es, H 0 : r = r 0 versus H a : r > r 0,el estadístico de la traza esta determinado por

LR traza(r 0) = T i =k ∑ ln(1i =r 0+1

bλi )Si rango (Π) = r 0 entonces, los valores propios,

bλr 0+1 .....

bλk deberían

ser todos cercanos a cero y por tanto, LR traza(r 0) también debería ser

cercano a cero.Por el contrario, si rango (Π) > r 0, algunos de los valores propios, bλr 0+1 ..... bλk será diferente de cero, por lo que LR traza(r 0) debería sergrande.La distribución asintótica de LR traza(r 0) no es un chi-cuadrado como

es estándard en la prueba del ratio de verosimilitud, sino es unaversiòn multivariada de la distribución de Dickey-Fuller para raízunitaria, que depende de la dimensión k r 0 y de los componentesdeterminísticos. Los valores críticos para esta distribución han sidotabulados por Osterwald-Lenum (1992)


Prueba de la traza: Procedimiento secuencial


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Prueba de la traza: Procedimiento secuencial

Primero testear, H 0 : r = 0 versus H a : r > 0, si la hipótesis nula nose rechaza entonces se concluye que existe cointegración.

Si se rechaza, H 0 : r = 0, entonces se concluye que existe por lomenos un vector de cointegración y se procede a testear, H 0 : r = 1

versus H a : r > 1. Si la hipótesis nula no se rechaza entonces seconcluye que existe un vector de cointegración.

Si H 0 : r = 1 es rechzada entonces se concluyeque existe por lomenos 2 vectores de cointegración.

El procedimiento secuencial continúa hasta que la hipótesis nula no esrechazada.


Prueba del Máximo Valor Propio.


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p

En este caso, la hipótesis a testear es la siguiente, H 0 : r = r 0 versusH a : r = r 0 + 1.

En este caso, el estadístico es, LR max(r 0) = T ln(1 bλi )

Como en el caso del estadístico de la traza, la distribución deLR max(r 0) no es chi-cuadrado sino una función complicada deprocesos Browmiano, que depende de k r 0 y de los componentesdeterminísticos. Los valores críticos para esta prueba fueron tabuladospor Osterwald-Lenum(1992)


Componentes determinísticos


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p

Para la prueba de cointegración de Johansen se consideran lossiguientes 5 casos.

Sin constante, ∆X t = αβ0X t

1 + Γ1∆X t

1 + ηt

Con constante restringida, ∆X t = α β0X t 1 + µ0 + Γ1∆X t 1 + ηt Constante sin restringir ∆X t = µ0 + α

β0X t 1

+ Γ1∆X t 1 + ηt

Tendencia restringida ∆X t = α β0X t 1 + µ1t

+ Γ1∆X t 1 + ηt

Constante y tendencia no restringida,∆X t = µ0 + µ1t + α β

0X t 1 + Γ1∆X t 1 + ηt


Propiedades del vector de cointegración


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p g

Los vectores de cointegración no son únicos, Johansen sugiere utilizaruna representación triangular, el mismo método se aplica en el Eviews.

El vector de cointegración es asintóticamente normal y

superconsistente

Restricciones respecto al vector de cointegración se pueden testearutilizando el estadístico del ratio de verosimilitud que tiene unadistribución chi-cuadrado.


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