Coherenciaenópticaclásicayfísicacuántica…ylosestadoszombis

ZombisRomeroResumen: Presentamos la idea de coherencia explotando los paralelismos entreóptica clásica y física cuántica. Mostramos cómo la física cuántica predice laexistenciadezombis.Presentación:Sedalafelizcircunstanciadequelacoherenciaesunodelostemasmásmodernosyfundamentalesdelaópticaclásicayunconceptoimprescindibleenfísicacuántica.Coherenciaeslateoríaestadísticadelaluz,ylafísicacuánticaesuna teoría estadística de nacimiento. En óptica la coherencia está detrás de lainterferencia,polarización, láser,holografía,yprácticamentecualquieraplicaciónóptica actual. En física cuántica la superposición coherente de estados es la raízmismadelmundocuánticopresenteen lacomplementariedadyentrelazamientopara empezar. Por ello, en los últimos años está emergiendo la teoría de lacoherencia como recurso para las aplicaciones cuánticas. Tan importante es lacoherenciaparalacuánticaqueelpeorenemigodelastecnologíascuánticasesladecoherencia!!, que además es lamejor explicación de la emergencia delmundoclásicodesdelateoríacuántica.Porellosonconvenientesestasnotassobrecoherenciaclásicaycuántica.Creemosque es un concepto que por su carácter fundamental y su importancia puede ydebe introducirse cuanto antes en los estudios de grado. La coherencia estáprevistaenelplandeestudioscomounodelospocosítemsmencionadosporsunombre para la óptica de segundo curso. Por ello queremos aprovechar eseempujónópticoparapresentaresteconceptode la formamás intuitivaposibleypasarcuantoanteslafronteradelafísicacuántica,conpapelesosinpapeles.Paraellosnosaprovechamosdelosinfinitosparalelismosentreópticayfísicacuántica,tantos que se diría que la única diferencia fundamental es el postulado deproyeccióndelainterpretacióndeCopenhague,laregladeBorn,quedichoseadepaso, es una de las ecuaciones más oscuras de la física moderna, más receteingenierilquefísicapropiamentedicha.DesdeladerrotadelosEinsteinianosenlabatalladeCopenhaguelosfísicosrenunciaronaentendereluniversoporunplatoderecetasparahacernúmeros.Pírricavictoria.

Ópticaclásica

Coherenciaóptica.Definición:Ensuversiónmásfundamentallacoherenciaeslarelación estadística entre un par de campos eléctricos E1 y E2 . Estos camposeléctricos pueden representar la luz en distintos puntos del espacio-tiempo.Pueden ser también las dos componentes ortogonales que constituyen lapolarizaciónenunúnicopunto.Porrazonesfundamentales,ligadasalosdetallesmicroscópicosdelageneraciónypropagación de la luz, el campo eléctrico de una onda luminosa real estainevitablementeligadoalosdetallesmicroscópicosdelamateriainvolucradaensugeneración y propagación. Seríamuy interesante poder entrar en estos detalles,quedejaremosparaotraocasión.Loimportanteahoraesquelaideadecoherenciasurgesiignoramosesosdetallesmicroscópicos,bienseaporquenosseaimposibleconocerlosoporquedecidamosignorarlos.Enesecaso,puestoqueesosdetallescambiarándeuncasoaotro,elcampo eléctrico se vuelve fluctuante, tiene que ser descrito como una variablealeatoria. En un mundo clásico aleatoriedad es ignorancia. Los campos tomanvalores bien definidos cada vez, esos valores los sabe sólo el universo, pero nonosotros.Por esa ignorancia debemos mirar a E1 y E2 como variables aleatorias. Lacuestión es si entre ellas hay algún tipo de relación o no. Esa relación es lacoherencia.Dos camposeléctricos sedicencoherentes si sabiendoel valorque tomaunodeellos podemos conocer el valor que toma el otro, es decir si hay una relacióndeterministaentreellos.Escasilamismaideadecoherenciaenlavidaordinaria,es decir que viendo lo que alguienhace enunmomento y enun lugarpodemospredecirloqueharáenotromomentoenotrositio.Nótesequedelladocoherenteestánlosmentirosospertinaces,bastaconnegarloquediganparasaberlaverdad.Los mentirosos peligrosos son los incoherentes, que eligen mentir o decir laverdadaleatoriamente.Doscamposeléctricossedicenincoherentessinohayningunarelaciónentreellos.

Gradode coherencia:Parasituacionesintermediassesueledefinirungradodecoherencia.Paraópticalinealsuelevalerlasiguientedefinición

µ =E1E2

∗

E12 E2

2,

dondeloimportanteeselnumerador,eldenominadoressimplementeunfactordenormalización. Los paréntesis agudos indican promedio estadístico, que en casitodas las situaciones prácticas de interés en óptica puede ser sustituido porpromediotemporal(ergodicidad).Estadefiniciónigualacoherenciaacorrelaciónydehechoµ tieneexactamentelamismaformadelcoeficientedecorrelacióndeunajustelineal.Peroesimportantenotarquecoherenciaycorrelaciónnosonlomismo.Porejemplolasvariables x, y

con y = x2 y probabilidad par para x son totalmente coherentes pero sucorrelaciónesnula yx = 0 .

Enel límitedecoherencia total µ =1 sediceque la superposiciónE = E1+ E2 es

coherente y es equivalente a que exista una relación lineal entre los camposE2 = λE1 dondeλ esunaconstante.Esdecirqueloscamposnovaríandeformaindependientesinoalunísono,encorrelaciónperfecta.Interferencia, superposiciones coherentes e incoherentes: La coherencia seponedemanifiestoenmuchoscontextos,sobretodopolarizacióneinterferencia.En interferencia tenemos la sumadeamboscampos E = E1+ E2 yobservamos laintensidad

E 2 = E12+ E2

2+ E1

∗E2 + E1 E2∗

.

Sedicequehayinterferenciasi E 2 ≠ E12+ E2

2 esdecirqueinterferencia

equivaleaquelosdoscamposnoseanincoherentes

E 2 ≠ E12+ E2

2↔µ ≠ 0 .

Cuantomayorcoherenciamayorinterferencia,esdecirmayorvisibilidad.

Por el contrario, para ondas incoherentes E 2 = E12+ E2

2 no hay

interferenciaysedicequelasuperposiciónesincoherente.Insistimos con esto en que la superposición de campos eléctricos puede sercoherenteoincoherente,conelsignificadocomentado.Modos:Enmuchasocasiones sepuede separar lapartedeterminista y aleatoriadelcampoeléctricoenlaforma

E j x( ) =α jψ j x( ) ,donde α j son variables aleatorias, ψ j son soluciones perfectamente

deterministas de las ecuaciones deMaxwell, incorporando todas las simetrías ycondicionesdecontornodelproblemaqueseestéconsiderando,ylasvariablesxrepresentan todas las coordenadasnecesarias. Es costumbre elegir las funcionesψ j x( ) ortogonalesynormalizadas

dx∫ ψk* x( )ψ j x( ) = δk , j .

Selesdenominamodosdelcampoysonunabasedefuncionesenlaqueexpresarcualquier otra solución. Pueden ser ondas planas, esféricas, Hermite-Gauss,etcétera, y su elección responde a las características y simetrías que mejor seadapten a nuestro problema. En este sentidoα j son los coeficientes del campo

queestemosestudiandoenesabase.Funcióndecoherencia,matrizdecorrelación:Enelespíritudelaópticalinealysuponiendo que nuestra observación del campo se reduce a la medida deintensidades, toda la óptica queda encapsulada en promedios estadísticoscuadráticosenloscampos,yaquelaintensidadluminosaloesylaópticalinealnopuedecambiarnilapotencianielnúmerodecampos.Usandolaideademodosenlotérminosreciénexpuestostodoestácontenidoenlafuncióndecoherencia

Ck , x, !x( ) = EkE∗ = αkα

∗ ψk x( )ψ* !x( ),

ytodaslasevaluacionesestadísticasrecaensobrelasα j .Sicomoeselcasousual

sólotenemosdoscamposlafuncióndecoherenciaesunamatriz2✕2,realmenteunamatrizdecovarianza:

C x, !x( ) =E12

E1E2∗

E2E1∗ E2

2

#

$

%%%%%

&

'

(((((

=

α12ψ1 x( )ψ1* !x( ) α1α2

∗ ψ1 x( )ψ2* !x( )

α2α1∗ ψ2 x( )ψ1* !x( ) α2

2ψ2 x( )ψ2* !x( )

#

$

%%%%%

&

'

(((((.

Puede verse que es una matriz Hermítica no negativa, que por tanto se puedediagonalizary tendrádosautovaloresrealesynonegativos.Estadiagonalizaciónesmuyinteresantepuestoqueequivaleareducir laaleatoriedadasuformamásconcisa, más básica posible, muy relacionado con un análisis en componentesprincipales.Superposiciones coherentes: Con esta factorización basada en modosE j x( ) =α jψ j x( ) siloscampossoncoherentes µ =1 quieredecirquelasvariables

aleatoriasα j soncoherentesyhayunarelaciónlinealentreellasα2 = λα1

donde

λ esunaconstante.Esdecirque lasvariablesnovaríande forma independientesinoalunísono,encorrelaciónperfecta.Conestocuandolasuperposiciónescoherente

E = E1+ E2 =α1ψ1 x( )+α2ψ2 x( ) =α1 ψ1 x( )+λψ2 x( )!"

#$∝α1 ψ1 x( ) ,

donde ψ1 x( )∝ψ1 x( )+λψ2 x( ) .Aquílorealmenteinteresanteesnotarqueatodoslosefectos ψ1 x( ) esunnuevomodo que pertenecerá a una familia demodos ortonormales distintos de los departida.Pordecirlocrudamentelosprimerosmodosψ j x( ) puedensermanzanaspero los segundos ψ j x( ) pueden ser peras, es decir algo muy distinto. Porejemplo: podemos sumar muchas ondas esféricas y el resultado ser una ondaplana!! Este es el poder de las superposiciones coherentes que luego queremostrasladaralmundocuántico.Quizás lametáfora de peras ymanzanas no sea lamás adecuada, pero no hemosencontrado otra forma mejor de comunicar el sorprendente poder de lassuperposicionescoherentes.Unaondaesféricayunaondaplanaseparecencomounhuevoyunacastaña,peroambassonfamiliasdemodosquesepuedendescomponeruna en otra mediante superposiciones coherentes. Los mismo sobre luz circular ylinealmentepolarizadas.Esestepoderelquequeremosinvocardespuésenelmundocuántico.Incidentalmente podemos observar que si hay coherenciaα2 = λα1 entonces eldeterminantede lamatrizde coherenciaesnulodetC x, !x( ) = 0 . Esoquieredecir

que la matriz tiene sólo un autovalor no nulo, lo que quiere decir que laaleatoriedadeslamínimaposibleaesteniveldedetalle.

Físicacuánticayzombis

Modos:Enelmundocuánticovaletodolodichoparalaluz.Losmodosψ j x( ) seconvierten en estados o funciones de onda que formen una base en elcorrespondiente espacio de funciones o espacio de Hilbert (también podríamosdecir funciones de olas). Seguiremos entendiendo que son ortogonales ynormalizadas. Normalmente losmodos se eligen que sean autoestados de algúnoperador, de modo que representan alguna propiedad física como posición,momento, energía, o momento angular por ejemplo. También pueden invocarserazonesdesimetríaopuraconveniencialomismoqueenelcasoclásico.Matrizdensidad:EnelcasocuánticolamatrizdecovarianzaC x, !x( ) sedenominamatrizdensidad,quesedenotacomoρ,enestecasoescritaenrepresentacióndecoordenadasC x, !x( ) = x ρ !x = ρ x, !x( ) .Interpretación estadística. Aleatoriedad clásica y cuántica: Para un estadocomo

ψ x( ) =α1ψ1 x( )+α2ψ2 x( )

loqueesgenuinamentecuánticoesquetenemosunadoblefuentedealeatoriedad:i)Laquevengadeloscoeficientesα j ,quesesuelellamaraleatoriedadclásica.

ii)LaquesurgedelapropiainterpretacióncuánticaCopenhaguescayqueocurresiempre,aunquelosα j noseanaleatoriosytengamoscoherenciatotal.

Porejemplo: |α j |2 seríalaprobabilidaddequeelsistemadescritoseencuentre

enelmodoψ j x( ) ,razónporlacualsenormalizanenlaforma |α j |2

j∑ =1.

Estadospurosymezcla:Lassuperposicionescoherentes,esdecirdetρ x, !x( ) = 0 ,se llaman estados puros. En caso contrariodetρ x, !x( ) ≠ 0 se habla de estadosmezcla. De nuevo los estados puros, es decir las superposiciones coherentes, secaracterizan por dar lugar a interferencia con buena visibilidad. En los mismostérminosqueenóptica.Loquecaracterizaaunestadopuroesquenopresentaaleatoriedadclásicapuestoque se trata de un único modo! Nótese que la normalización hace desaparecercualquier rastro de aleatoriedad en los coeficientes. En un estado puro toda laaleatoriedadesdeorigencuántico.

ψ x( ) =α1ψ1 x( )+α2ψ2 x( ) =α1 ψ1 x( )+λψ2 x( )!" #$≡ ψ1 x( ) .

Purosymezclas.Loquecaracterizaaunestadomezclaesque tienealeatoriedadclásica,esdecir,falta de información. En particular, en el estado de mezcla máxima sólo hayaleatoriedadclásica(siemprerespectoalosmodosψ j x( ) ).Porelcontrarioenunestadopurotodalaaleatoriedadescuántica,encualquierbasedemodos.El diablo está en los detalles: Surge aquí un detallito interesante: la de si ladistinción entre aleatoriedad clásica y cuántica es superficial y en el fondo laaleatoriedad cuántica se puede reducir a aleatoriedad clásica. Aparentemente lacuestiónparecehabersezanjadorecientementemostrandoque i) la aleatoriedad clásica es un caso de aleatoriedad cuántica (lo veremosmásendetalleluegoalhablardelentrelazamiento) ii) la aleatoriedad cuántica no siempre se puede reducir a aleatoriedadclásica.EsencialmenteesteeseltemadelasdesigualdadesdeBell.Digo"aparentemente"y"parece"puestoquedudoquesehayadicholaúltimapalabra,esmás,quizásnuncasepuedadecirlaúltimapalabra.Elhechodequelaaleatoriedadcuánticaseafundamentalmentedistintadelaclásicaesbastantefuerteysignificaentreotrascosasestosotrosdosdetallitos: i)todaslasvariablesfísicassonaleatoriasauncuandotengamosinformacióncompletadelestadodetodoeluniverso(quierodeciruniversoenestadopuro). ii)talesvariablesaleatoriasnoadmitenserdescritasporunadistribucióndeprobabilidadconjunta.Desde que me enteré que cuánticamente podemos tener variables aleatorias nodescritaspordistribucionesdeprobabilidadestoyenestadodepasmopermanente.Puedeparecerleausted trivial, porquediráqueposición ymomentono sepuedenmedirsimultáneamente,hablarmede ladifracciónytalycual.Peroyonosalgodemi asombro y me parece incomprensible y el auténtico rasgo distintivo entre lasteoríaclásicaylacuántica.Leinvitoacompartirmiperplejidad.

Pienseunmomentínenesteotrodetallito.Aleatoriedadcuánticadefinitivamenteno es ignorancia. Eso quiere decir que sabiendo todo lo que se pueda saber deluniversoenelinstantetesimposiblesaberquéesloqueseráseráenelinstantet+ε,o lo que fue en el t-ε. ¿No es fantástico? Puede intentar esquivar esta ideahaciéndosede lasectade losmultiversos,peroestéadvertidoqueessaltarde lasarténalfuego.

Estados zombis: no vivos y nomuertos: El hecho de que la física cuántica seapliquea tododa lugaraposibilidadesabsolutamentesorprendentes, intrigantesy, a día de hoy, inexplicables en cualquier sentido decente de esta palabra. Losmodospuedensignificarcualquiercosa,porejemploψ1 x( ) essufuncióndeondascuando usted está vivo yψ2 x( ) su función de ondas cuando usted mismo está

muerto (por ejemplode risa, porquitardramatismo).En cualquier caso α j2

representa la probabilidad de que usted esté vivo o muerto, pero la física delasuntoesradicalmentedistintasielestadoespuroomezcla.Empecemosconelcasoincoherente,esdecirmezcla,yporsencillezsupondremossiempre que la mezcla es máxima, que toda aleatoriedad es ignorancia,aleatoriedad clásica. En ese caso la probabilidad vivo/muerto indica ignoranciarespecto a su estado, no indica nada respecto a su estado real. Estará usted contodoseguridadvivoocontodaseguridadmuerto,soloquenolosabemos(poresoen el oeste le buscarían vivo omuerto). No hay información suficiente sobre suestadoyporellocontemplamosambasposibilidades,condistintasprobabilidadesdependiendodelasituación.Esaleatoriedadclásicaenelpuroysimplesentidodefaltadeinformación.

En el caso puro la situación es radicalmente distinta puesto que toda laaleatoriedad/desconocimiento clásico ha desaparecido!! Hay informacióncompletadesuestado,nohaynadamásquesepuedasaber.Yahoravienelobueno,enunestadocomoeste

ψ x( ) =α1ψ1 x( )+α2ψ2 x( ) =α1vivo+α2muerto ustedestáenunestadodistintodelavidaylamuerte,enelmismosentidomodalque comentamos en el caso clásico. Sumando manzanas coherentemente notenemosmanzanassinoperas.En ningún caso se puede decir que usted esté vivo y muerto a la vez, por unasencilla razón: esa afirmación no es científica, porque no existe el estar vivo ymuertoalavez.Delmismomodounelectrónnopuedepasarpordosrendijasalavez, o estar en dos sitios a la vez: usted no podrá demostrarnunca ninguna deestas afirmaciones experimentalmente, nunca. Son hechos incompatibles, sonvectores ortogonales, son autoestados de un mismo observable con autovaloresdistintos:elobservablees"estarvivo"ylosautovalores"sí"y"no".Suestadoesotrascosa,algodistintoalavidaolamuerte(queseríaaleatoriedadclásica).Laformamáshonestadedecirloesqueustednoestánivivonimuerto,esdecir ¡¡usted es un zombi!! Lo que pasa es que no tenemos herramientas paraentendereseestado,peroexistir,¡existe!

Vayamosunpocomáslejos.Siporunsuponer,ustedahoraestávivo,suestadoesψ1 x( ) .PuespásmeseporquesilainterpretacióndeCopenhaguefueraciertatieneun50%deprobabilidaddeserencontradoenelestadozombiψ1 x( )+ψ2 x( ) .Parauncazadordezombisusted,simplementeestandovivoesunabuenapieza.¿Aquéasusta?Vayaconcuidadoyactúeconnormalidad.Naturalmente, definido el zombi ψ1 x( )+ψ2 x( ) tenemos asociado el zombiψ1 x( )−ψ2 x( ) conelque formaunabaseortogonaldenuestropequeñosubespaciodelavidaylamuerte.Estasdosclasesdezombis,tanirreconciliablescomoestarvivoomuerto,podríanserlaversióncuánticadelTiBonAngeyelGrosBonAnge,almasincuerpoycuerposinalmarespectivamentedelvudúclásico.Estarvivoesentonces

vivo = Ti Bon Ange + Gros Bon Ange

En la literatura corriente estos estados se denominan gatos de Schrödinger, osuperposicionescoherentesdeestadosmacroscópicamentedistinguibles,oinclusoestadosN00N.

Ilustremosestasideasconunejemplitomuysencillo.

Un bonito ejemplo. Polarización: La polarización de un fotón presenta unabonita y sencilla interpretaciónde la diferencia entre superposición coherente eincoherente.Digamosqueψ1 representapolarizaciónlinealenelejeX (seafotónvivo)yqueψ2 espolarizaciónlinealenelejeY(seafotónmuerto),oennotaciónvectorial

ψ1 =10

!

"##

$

%&&, ψ2 =

01

!

"##

$

%&&.

El estado de polarización del fotón se puede probar experimentalmente con unpolarizadorlineal ideal,quedejapasartodaluzquevibrasegúnsuejeyabsorbetodalaquevibraperpendicularaleje.SicolocamoselejedelpolarizadorenelejeX todos los fotones vivos pasan y no pasa ninguno muerto. Muerto y vivo sondistinguibles,nosepuedeestarvivoymuertoalavezporqueopasas,onopasaselpolarizador.

La superposición coherente ψ1+ψ2 se corresponde con luz completamentepolarizadaconpolarizaciónlineala45°conlosejesX,Y.Siponemosunpolarizadorlineal con su eje en esa dirección todos los fotones pasarán. Si ponemos unpolarizador lineal con su eje en una dirección a -45° ningún fotón pasará. Si loponemos a 0° ó 90° pasarán de forma aleatoria sólo lamitad. Esta variación denúmero de fotones que pasan es interferencia, máximo de interferencia cuandopasantodosymínimocuandonopasaninguno!!Estar polarizado a 45° no es estar polarizado en los ejesX eY a la vez , ¿a quenunca diría eso? Pues no lo diga.No se puede estar vivo ymuerto a la vez. Luzlineala45°esotracosadistinta,esunzombi.

La superposición incoherente deψ1 yψ2 con los mismos pesos al 50% es algoradicalmente distinto. Es luz despolarizada!!! No importa cómo pongamos el ejedelpolarizadorsiemprepasalamitaddelosfotones.Nohayinterferencia.Yestoesestarovivoomuerto.Entrelazamiento y decoherencia: La factorizaciónα jψ j x( ) es particularmenteinteresante en muchos aspectos, pero en el dominio cuántico es todavíaincompleta. Hemos dicho que el origen físico de la aleatoriedad deα j es la

interacciónconotrosgradosdelibertadsobrelosquenotenemosniconocimientonicontrol.Peroeneldominiocuánticodebenserdescritostambiénconelmismolenguajedeestados/funcionesdeonda.Paraexpresaresta ideavamosaescribirde forma abstracta los estados del sistema como vectores del siguiente modoψ j → ψ j demodoque,siα1,2 fueranconstantes:

ψ =α1ψ1 x( )+α2ψ2 x( )→ ψ =α1 ψ1 +α2 ψ2 .

Si ahora asumimos queα1,2 son variables las deberemos describir del mismo

modo,convectoresenelcorrespondienteespaciovectorialdeHilbert,porloqueelestadocompletoseescribe:

ψ = c1 α1 ψ1 + c2 α2 ψ2 ,donde las constantes c1,2 representan la parte determinista deα1,2 que no se

puede incluiren α1,2 siescribimosvectoresnormalizados. Losestadosdeesta

forma se denominan entrelazados. Son estados particularmente interesantes yparadójicos. De hecho son la base de las modernas tecnologías cuánticas,

computación,criptografía,etcétera.

La matriz densidad para nuestro sistemaψ j x( )

se escribe en este lenguajemediantelasustitución

αkα∗ → ckc

* α αk ,

y se puede expresar por ejemplo en la forma, si estamos familiarizados con loskets,ρ = c1

2α1 α1 ψ1 ψ1 + c2

2α2 α2 ψ2 ψ2 + c1c2

* α2 α1 ψ1 ψ2 + c2c1* α1 α2 ψ2 ψ1 .

Un estado de la forma ψ = c1 α1 ψ1 + c2 α2 ψ2 dice que cuando nuestro

sistemaestáenelmodo ψ j elrestodeluniversoestáenelestado α j .Nótese

que hemos escrito a la vez estados puros y mezcla para nuestro sistema comoestados puros del universo completo. Parece sensato que si incluimos todo eluniversonohayaleatoriedadclásica,nohaydesconocimiento,porloqueelestadotendrá que ser puro. La coherencia/incoherencia del estado de nuestro sistemaestá contenida en las propiedades de α j . Por ejemplo si α1 = α2 la

superposiciónescoherenteysi α1 α2 = 0 lasuperposiciónesincoherente.

Estoexplica lasdificultadespara tratarconzombis.Normalmenteeluniversonoserálomismosinosotrosvivimosono,noeslomismounabodaqueunfuneral.Serántandistintosqueserámuydifícilevitarque α1 α2 ≈ 0 yestohacequede

zombipasemosalaburridovivoomuerto.

Agradecimientos: Este trabajo no habría sido posible sin la colaboración delDepartamentoAmericanodeDefensaZombi,delDepartamentodeErradicaciónZombi,y laversiónzombidesdeelProyectoZombiequemehanevitadomuchascomidasdecoco.

Tampocohabríasidoposiblesinunmodernopríncipede los ingenios,CarlosNavarrete-Belloch,www.carlosnb.com quemeanimóaellosobrelosmismoscamposDanesesdondedescansantantosderrotadosEinsteinianos,queresucitaránalgritode..nortobenornottobe….deotropríncipedanés,queinterpretócomonadieelgran,grandísimo,JosephTura.SeagradecenlosatinadoscomentariosdeGerardoGarcíaMoreno. AlfredoLuis Copenhague-Biescas,junio-agosto2017