Cob SCM Num 29 - blogs.iec.catblogs.iec.cat/scm/wp-content/uploads/sites/20/2011/02/N29.pdf ·...

87
29 Setembre 2010 XIII Trobada de la SCM sobre «Joves matemàtics catalans a l’estranger» • Marta Sanz-Solé presidenta de l’EMS • Nous plans d’estudi a la UB i a la UPC • Les xifres de les consultes Llibre blanc de la recerca matemàtica a Catalunya

Transcript of Cob SCM Num 29 - blogs.iec.catblogs.iec.cat/scm/wp-content/uploads/sites/20/2011/02/N29.pdf ·...

Page 1: Cob SCM Num 29 - blogs.iec.catblogs.iec.cat/scm/wp-content/uploads/sites/20/2011/02/N29.pdf · Inauguraci´o d’un zenit`ograf solar 42 Premis 44 Societat Catalana de Matematiques

29S

etem

bre

201

0

SCM / Notícies / 29Edita la Societat Catalana de MatemàtiquesFilial de l’Institut d’Estudis Catalans

XIII Trobada de la SCM sobre «Joves matemàtics catalans a l’estranger»

XIII Trobada de la SCM sobre «Joves matemàtics catalans a l’estranger»XIII Trobada de la SCM sobre «Joves matemàtics catalans a l’estranger»

• Marta Sanz-Solé presidenta de l’EMS

• Nous plans d’estudi a la UB i a la UPC

• • Les xifres de les consultes

Llibre blanc de la recerca matemàtica a Catalunya

Cob SCM Num 29.pdf 1 01/10/10 12:54

Page 2: Cob SCM Num 29 - blogs.iec.catblogs.iec.cat/scm/wp-content/uploads/sites/20/2011/02/N29.pdf · Inauguraci´o d’un zenit`ograf solar 42 Premis 44 Societat Catalana de Matematiques

Societat Catalana de Matematiques

President: Carles Perello VallsVicepres.: Josep Lluıs Sole ClivillesSecretaria: Marianna Bosch CasaboTresorera: M. Teresa Martınez-SearaVocals: Josep Grane Manlleu

Josep M. Mondelo GonzalezIgnasi Mundet Riera

Carles Romero ChesaOriol Serra Albo

Manel Udina AbelloEnric Ventura Capell

Delegatde l’IEC: Joan Girbau i Bado

Comunicacions:

Carrer del Carme, 4708001 BarcelonaTel.: 932 701 620Fax: 932 701 180A/e: [email protected]

Secretaria: Nuria FusterTel.: 933 248 583 de 10 a 17 h

SCM/NotıciesSetembre 2010. Numero 29

Edita:Societat Catalana de Matematiques(filial de l’Institut d’Estudis Catalans)

Editor en cap:Enric Ventura Capell

[email protected]

Disseny: Teresa Sabater

Compost en LATEX: Maria Julia

Foto de portada:

XIII Trobada de la SCM.

ISSN: 1696-8247Diposit Legal: B.9480-2003

Index

La Junta informa 1Report de la Junta 1La nova revista NouBiaix 2

Internacional 3Marta Sanz-Sole, elegida presidenta de l’EMS 3Sobre l’ICM 2010 4Adscripcio de la SCM al CIMPA 5

In memoriam 5Martin Gardner: 1914–2010 5En la mort de Walter Rudin 8Obituari de Jordi Blasco 9

Noticiari 10Els estudis de matematiques a la UB 10Nous plans d’estudi a la UPC 12El Llibre blanc 13FotoMath 2009 16La Matefest/Infofest 2010 de la UB 17Activitats amb l’ajut de la SCM 18Les universitats informen 21

Activitats de la SCM 25Tretzena Trobada Matematica 25CSASC 27L’esprint del Cangur 28XLVI Olimpıada Matematica Espanyola 317a Jornada d’Ensenyament de les Matematiques 33

Agenda 34

Contribucions 35Corrigendum de l’article sobre l’IEMath 35La integritat atacada 36Les xifres de les consultes sobre la independencia 39Inauguracio d’un zenitograf solar 42

Premis 44Societat Catalana de Matematiques 44Fundacio Ferran Sunyer i Balaguer 52Altres premis i guardons 59

Parlem de llibres 61Sobre la divulgacio matematica 61Geometria axiomatica 64Stability by linearization of the Einstein’s field eq. 66

Raco biografic 68

Webs de matematiques 71

Problemes 73

Tesis 79

Page 3: Cob SCM Num 29 - blogs.iec.catblogs.iec.cat/scm/wp-content/uploads/sites/20/2011/02/N29.pdf · Inauguraci´o d’un zenit`ograf solar 42 Premis 44 Societat Catalana de Matematiques

La Junta informa

Report de la Junta

L’any 2010 va comencar amb forca. Per ordrecronologic, l’any ha comencat amb una trobadaconjunta a Praga de societats matematiques de�paısos petits�, la Joint Mathematical Confe-rence CSASC 2010 que, del 22 al 27 de gener, vaagrupar matematics de les societats austrıaca,txeca, catalana, eslovaca i eslovena. El generi el febrer tambe han estat mesos d’exposici-ons. La de �Matematiques i vida� va viatjarde Manresa a l’Escola Industrial de Barcelona;la del Museu de les Matematiques marxava deCentelles i Castelldefels per establir-se a la Ca-sa de Cultura de la Diputacio de Girona, ambuna gran acollida de public. Ens satisfa que elprojecte del Museu es vagi consolidant i puguitransmetre aquesta dimensio experimental deles matematiques tan essencial com poc presenten la cultura.

Una notıcia important de principi d’any esque la revista d’ensenyament NouBiaix aviatveura la llum. La gestacio ha estat mes difıcildel que preveiem. La SCM arribava amb unaproposta definida, la FEEMCAT, que es unafederacio de quatre entitats, havia de vetllarperque no es perdes l’esperit de la revista inicial.La coordinacio ha demanat temps, pero no haminvat l’anim d’entesa. Esperem que aquesta co-operacio esdevingui quelcom mes que una uniode forces i que la nova revista contribueixi aconsolidar el que havıem anomenat la �comu-nitat matematica ampliada� i que recull a totsels qui, des d’infantil fins a la universitat i mesenlla, contribuım a l’ensenyament i difusio deles matematiques a la nostra societat.

El marc es el mes de les proves Cangur, mul-titudinaries com cada any, coordinades amb lesIlles Balears i el Paıs Valencia. Un exit de con-vocatoria que suposa tambe una immensitat defeina per a la comissio i per a la Nuria Fus-ter. A tots els volem agrair des d’aquı l’enormededicacio. L’entrega de premis es va fer a laUniversitat Ramon Llull amb la presencia delconseller d’Educacio. Just despres del Cangur, esva celebrar la XLVI Olimpıada Matematica Es-panyola a Valladolid, amb un gran exit per partde la representacio catalana: nou representants,seleccionats en la fase catalana, han guanyat me-

dalles! I no oblidem els �Problemes a l’esprint�,que s’organitzen cada any a l’abril, una modali-tat tambe competitiva pero de treball en equip,que enguany ha comptat amb la participaciode cinquanta-set equips de cinquanta-tres cen-tres. De moltes d’aquestes activitats en trobareudiversos escrits en aquesta SCM/Notıcies.

Un fet insolit, a l’abril, va ser l’erupcio delvolca Eyjafjalla a Islandia. Els problemes detransit aeri van obligar a cancel.lar la trobadade presidents de les societats matematiques eu-ropees, prevista per als dies 17 i 18 a Bucarest.

L’abril de Sant Jordi es tambe la data d’en-trega del Premi Evariste Galois per a estudiantsque presenten treballs de recerca. L’esforc dedifusio que es va fer a la tardor ha donat fruiti hem rebut mes obres que mai. Esperem quela tendencia continuı i que el premi esdevinguiuna referencia per als treballs de final de masterde les noves titulacions de Bolonya.

A final de maig concloıa la data d’entrega detreballs per optar al primer Premi Albert Dou,que la SCM atorga a un escrit que contribueixi adonar visibilitat, difondre i promocionar les ma-tematiques a la societat. La junta se sent moltsatisfeta de la resposta que ha tingut aquestaprimera convocatoria i ja s’ha designat el tribu-nal que haura de resoldre’l.

Tambe amb el mes de maig acaba la sisenapromocio 2008–2010 del projecte ESTALMATdedicat a l’estımul del talent matematic, ambentrega de premis i acte de comiat inclosos. Aljuny es feu la seleccio de la vuitena promocio(2010–2012), mentre la setena (2009–2011) se-gueix el seu curs.

Durant la primavera te lloc la Trobada, en-guany la tretzena, ha estat dedicada als joves ma-tematics catalans que desenvolupen la seva recer-ca fora de Catalunya. Quatre d’aquests investiga-dors i investigadores ens explicaren les lınies derecerca en les quals treballen. Teniu mes informa-cio a l’article que parla de la Trobada en aquestamateixa revista. Un mes de juny atrafegat, ques’ha iniciat amb el congres Joint SIAM/RSME-SCM-SEMA Meeting sobre sistemes dinamics iEDP, a l’organitzacio del qual hem contribuıtjuntament amb la Real Sociedad Matematica

1

Page 4: Cob SCM Num 29 - blogs.iec.catblogs.iec.cat/scm/wp-content/uploads/sites/20/2011/02/N29.pdf · Inauguraci´o d’un zenit`ograf solar 42 Premis 44 Societat Catalana de Matematiques

Espanola (RSME) i la Sociedad Espanola deMatematica Aplicada (SEMA). A principi dejuny, la SCM tambe ha participat a la segonaConferencia Klein, celebrada a Cantabria, dinsd’un projecte impulsat per la Unio MatematicaInternacional (IMU) a traves de la Internatio-nal Commission on Mathematical Instruction(ICMI) per desenvolupar materials que ajudina transmetre l’amplitud i vitalitat de la recercamatematica i connectar-la amb el currıculum desecundaria. Durant els mateixos dies, la Societatha signat a Nica un acord per formar part delCentre International de Mathematiques Pureset Appliquees (CIMPA) adscrit a la UNESCO idedicat a promocionar la matematica als paısosmenys desenvolupats mitjancant cursos i beques.Fins ara nomes se’n responsabilitzava Franca,pero a partir de la signatura d’un conveni que esva elaborar el mes de juny tambe hi contribuiraeconomicament l’Estat espanyol per mitja delComite Espanol de Matematicas (CEMAT), delqual la SCM forma part. El Ministeri de Cienciai Innovacio tambe contribuira economicament aaquesta tasca.

L’estiu segueix amb un dels esdevenimentsmes importants per a la comunitat matematica:el Congres Internacional de Matematics que, desde Madrid el 2006, marxa a Hyderabad el 2010,a l’India. La SCM hi prepara un estand junta-ment amb les societats matematiques d’Espanya.Es important aprofitar l’ocasio per fer difusiode la recerca que es fa a Catalunya.

Al setembre tindra lloc la �Primera trobadamatematica catalano-sueca�. Seguint el modelde la Trobada catalano-txeca, treballarem ambels nostres col.legues suecs durant tres dies a Bar-celona al voltant de sis grups de treball: analisicomplexa i harmonica, didactica, matematicadiscreta, sistemes dinamics, geometria i EDP.

A la tardor ens esperen encara dues activi-tats mes. Una novetat: la �Trobada de recer-ca�, que s’organitza al voltant de quatre temes(analisi i EDP, algebra, geometria i topologia,probabilitat i estadıstica) i que te com a princi-pal objectiu compartir els avencos dels diferentsgrups de recerca catalans a partir de les presen-tacions que faran investigadors representants decada grup.

Finalment, aquest cop una mica endarreri-da, a l’octubre tambe ens espera la �7a Jornadad’ensenyament�, que s’ha consolidat com a tro-bada regular de la SCM, la Societat Balear deMatematiques Xeix i la FEEMCAT. El tema queens reunira aquest any sera l’us dels ordinadorsper ensenyar i aprendre matematiques.

No voldrıem, pero, deixar d’esmentar el tre-ball, en cert sentit mes perenne, que no ha apare-gut en el fil d’aquesta cronologia i que te relacioamb la gran tasca d’edicio i comunicacio que re-alitza la Societat. Volem esmentar al respecte larenovacio de l’editor en cap del Butlletı, agraintal mateix temps a Oriol Serra l’esplendida feinaduta a terme i a Julia Cufı per haver acceptatel seu relleu. Tot allo que faciliti la comunicacioi difusio de treballs en la nostra comunitat esuna responsabilitat central per a la Societat. ElButlletı, la SCM/Notıcies que teniu a les mans,les publicacions electroniques que trobareu alweb i la nova revista d’ensenyament que aviatsortira han de ser els testimonis de les activitatsque es duen a terme i, alhora, els instrumentsd’intercanvi i d’interaccio entre els socis.

La cronologia que us hem presentat acabaraa la tardor amb la inauguracio del curs, la convo-catoria d’assemblea i, amb aquesta, la renovaciode la junta. Pero encara queda molta feina perfer abans del relleu. Anims a tots!

Marianna BoschSecretaria de la SCM

La nova revista NouBiaix

La Junta de la SCM, en un intent de proporcio-nar als membres de la Societat una revista decaire docent —metodologia, didactica, historia,contextos, problemes, etimologies, etc.—, ha ini-ciat una coparticipacio amb la FEEMCAT enuna experiencia novella de la revista Biaix.

Biaix es una revista amb mes de vint anysd’historia i d’una molt bona qualitat en el seuambit. Es preveu que aquest projecte de Nou-Biaix es dugui a terme al llarg d’un any al finaldel qual es fara una analisi i s’avaluara si lacol.laboracio ha resultat fructıfera per a ambdos

2

Page 5: Cob SCM Num 29 - blogs.iec.catblogs.iec.cat/scm/wp-content/uploads/sites/20/2011/02/N29.pdf · Inauguraci´o d’un zenit`ograf solar 42 Premis 44 Societat Catalana de Matematiques

col.lectius: els membres de la SCM i els de laFEEMCAT.

Els qui hem endegat aquest projecte esperemque sigui profitos i enriquidor perque creiem quel’�acte formatiu� es un proces que dura mesque la simple actuacio puntual d’una classe od’un curs. Es un proces que comporta —encaraque moltes vegades passi desapercebut— unsubstrat cultural que s’esten mes enlla de la pro-fessionalitzacio de la matematica i que hauriad’arribar a la totalitat dels nostres estudiants.

Es per aquesta rao que ens plau d’anunciarals lectors de la SCM/Notıcies aquest repte queconsiderem molt positiu per als membres de laSCM. Aprofitem, doncs, l’avinentesa que ensproporciona tan amablement l’Enric, editor dela SCM/Notıcies, per fer-vos saber que el darrer

trimestre d’enguany sortira el primer numero dela NouBiaix i uns sis mesos mes tard, el segon.

Us animem a llegir-los i a fer-ne els comen-taris crıtics —positius i negatius— que puguinajudar a millorar-la, tenint en compte que esun espai on han de conviure els interessos delsdocents de primaria, d’ESO i de batxillerat.

Tambe volem recordar que una revista es elfruit de les contribucions de tots i cadascun denosaltres i per aquest motiu us encoratgem a par-ticipar-hi activament, enviant-nos aquells textosque considereu que poden ser idonis a l’esperitde la revista, un esperit que quedara pales al’editorial del primer numero de NouBiaix (defet, numero 30, seguint la numeracio de Biaix ).

Gracies a totes i a tots per la vostra dispo-nibilitat i atencio.

Josep Pla i Carrera i Meque EdoDirectors de NouBiaix

Internacional

Marta Sanz-Sole, elegida presidenta de l’EuropeanMathematical Society

Ens es molt grat anunciar que Marta Sanz-Sole,catedratica de la Facultat de Matematiques dela UB, ha estat elegida presidenta de l’EMS peral perıode 2011–2014. L’eleccio va tenir lloc enel Consell General de l’EMS, celebrat a Sofia(Bulgaria) els passats 10 i 11 de juliol. Mes avalltrobareu un breu resum de la notıcia i una breusemblanca seva (que ampliarem en el propernumero).

En nom propi, de la SCM i de la comunitatmatematica catalana en general, et fem arribar

la nostra mes efusiva felicitacio. Tenir una ma-tematica catalana, i soci de la nostra societat, enel maxim carrec europeu de representacio de lesmatematiques es un fet que ens omple d’orgull ide satisfaccio. I que demostra el bon moment enque es troba actualment la matematica catalana,tant col.lectivament com per la capacitat d’a-portar persones de la maxima valua en l’ambiteuropeu i mundial. Et desitgem els millors exitsi encerts en aquesta nova responsabilitat.

Carles PerelloPresident de la SCM

L’European Mathematical Society es una so-cietat cientıfica, fundada l’any 1990, que tecom a objectius principals el foment i el desen-volupament de les matematiques en els seusmultiples aspectes, des d’una posicio d’identi-tat europea. En particular, estimula la recercamatematica i les seves aplicacions i hi donasuport, proporciona assessorament en temes d’e-ducacio matematica i promou les relacions en-tre matematiques i societat. Per tal d’assolir

aquests objectius, l’EMS actua com a interlo-cutora entre la comunitat matematica i les ins-titucions academiques, cientıfiques i polıtiquesd’Europa, i coopera amb altres societats ma-tematiques d’ambit internacional que tenen ob-jectius analegs.

La doctora Sanz-Sole te una extensa tra-jectoria cientıfica i una notable projeccio inter-nacional. La seva especialitat cientıfica son elsprocessos estocastics i, en particular, l’analisi

3

Page 6: Cob SCM Num 29 - blogs.iec.catblogs.iec.cat/scm/wp-content/uploads/sites/20/2011/02/N29.pdf · Inauguraci´o d’un zenit`ograf solar 42 Premis 44 Societat Catalana de Matematiques

estocastica. Es autora d’una vuitantena llargad’articles en revistes internacionals i d’una mo-nografia sobre calcul de Malliavin. Ha visitat un

gran nombre d’universitats i institucions de re-cerca d’Europa i d’America i es habitualmentinvitada a participar en activitats cientıfiquesde gran impacte en temes de la seva especialitat.

Actualment es la directora del grup de recercaen processos estocastics de la UB, reconegut ifinancat per la Generalitat de Catalunya. Ha es-tat i es membre de nombrosos comites cientıficsde congressos internacionals i de comissions d’a-valuacio i seleccio d’ambit internacional, comper exemple, els European Young InvestigatorAwards. Ha ocupat carrecs de gestio a la Uni-versitat de Barcelona: fou degana de la Facultatde Matematiques els anys 1993-1996 i vicepresi-denta de la Divisio de Ciencies Experimentals iMatematiques els anys 2000–2003. Durant elsanys 1997–2004 va ser membre del Comite Exe-cutiu de l’EMS. Des de l’any 2007 forma part del’equip de direccio del CRM. L’any 1998 va rebrela Medalla Narcıs Monturiol al merit cientıfic itecnologic de la Generalitat de Catalunya.

Sobre l’ICM 2010

Del 19 al 27 d’agost es va portar a terme elCongres Internacional de Matematics a Hyde-rabad, capital de l’Estat d’Andhra-Pradesh al’India. Aquest congres, organitzat per la IMU,te lloc cada quatre anys, l’edicio anterior es varealitzar a Madrid el 2006, amb la col.laboraciode la SCM.

Al congres van assistir-hi milers de persones,que hi participaren activament mitjancant co-municacions o posters, o amb l’assistencia a lesdiferents xerrades i altres activitats.

Es feren una vintena de conferencies plenari-es i cent seixanta conferencies invitades organit-zades segons l’especialitat en dinou seccions. Ames, hi va haver tres taules rodones per tractarde la matematica a la societat i, al voltant de sis-centes xerrades de quinze minuts contribuıdespels assistents tambe organitzades en seccions ila presentacio d’uns cent cinquanta posters.

Es forca indicatiu, no se ben be de que,que de les vint conferencies plenaries, dotze fo-ren de matematics dels Estats Units, dues dematematics de Franca, dues de matematics d’Is-rael i una de cadascun d’aquests altres paısos:el Brasil, l’India, Russia i la Xina

En la mateixa lınia, tenim que, de les confe-rencies sectorials invitades, seixanta foren de ma-tematics dels Estats Units, vint-i-una de Franca,catorze d’Alemanya, tretze del Regne Unit, noude l’India, set del Canada, set d’Israel, cinc dela Xina, quatre del Japo, tres de Suıssa, tres

de Belgica, dues de cadascun d’aquests paısos:Australia, Finlandia, Holanda, Mexic i Russia, iuna d’Espanya.

Com en tots els ICM, s’entregaren els pre-mis quadriennals: les Medalla Fields, el PremiNevanlinna i el Premi Carl Friederic Gauss, alsquals enguany s’hi ha afegit la Medalla Chern.

Les quatre medalles Fields d’aquest 2010s’han atorgat a Elon Lindenstrauss (teoria ergo-dica i aplicacions a la teoria de nombres), NgoBao Chau (formes automorfes i nous metodesalgebrogeometrics), Stanislav Smirnov (fısicaestadıstica), i Cedric Villani (equacio de Boltz-mann). El Premi Nevanlinna ha estat atorgat aDaniel Spielman (programacio lineal, teoria degrafs i computacio numerica). El premi Gauss,ha correspost a Yves Meyer per les seves con-tribucions fonamentals en teoria de nombres,teoria d’operadors i analisi harmonica. Final-ment, la nova Medalla Chern ha recaigut en elmatematic Louis Nirenberg pels seus treballssobre equacions en derivades parcials.

En el proper numero de la SCM/Notıciespublicarem informacio sobre la biografia i larellevancia de les aportacions d’aquests sis ma-tematics en els seus camps respectius.

La SCM va tenir un estand, al recinte delcongres, que va compartir amb les altres socie-tats matematiques del CEMAT, on es va expo-sar material per donar a coneixer la situacio dela matematica superior al nostre paıs. Aquest

4

Page 7: Cob SCM Num 29 - blogs.iec.catblogs.iec.cat/scm/wp-content/uploads/sites/20/2011/02/N29.pdf · Inauguraci´o d’un zenit`ograf solar 42 Premis 44 Societat Catalana de Matematiques

material va consistir en posters, trıptics, publica-cions, etc. de la SCM, del CRM i de les nostresuniversitats, incloent-hi tambe informacio sobreels estudis universitaris.

Previament al Congres, i seguint la tradicio,es va dur a terme, a la ciutat de Bangalore, l’As-semblea de l’IMU. Els membres de l’IMU son elsrepresentants de les societats matematiques de

cada estat afiliat (en el nostre cas es el CEMAT,el qual aplega les societats matematiques del’Estat espanyol, ja que l’IMU nomes admet unrepresentant per estat). En aquesta assembleaes va fer la renovacio dels carrecs que havien ex-haurit el seu termini i la planificacio d’activitatsfutures.

Carles PerelloPresident de la SCM

Adscripcio de la SCM al CIMPA

El Centre International de MathematiquesPures et Appliquees (CIMPA) es un centre de laUNESCO que te per funcio la formacio de mate-matics de paısos en desenvolupament mitjancantestades, cursos universitaris i escoles d’estiu.

Fins ara ha estat un organisme financat perl’Estat frances i enguany ha obert les portesa altres estats, ha convidat l’Estat espanyol aparticipar-hi. El 3 de marc es va signar el convenipel qual l’Estat espanyol s’incorpora al CIMPAper mitja del CEMAT.

Les societats matematiques constituents delCEMAT, que son la RSME, la SEMA, la SEIO(Sociedad Espanola de Estadıstica e Investiga-cion Operativa), i la SCM van ser convidadesa adscriure’s al CIMPA, on ja hi ha la Socie-te Mathematique de France (SMF), la Societede Mathematiques Appliquees et Industrielles(SMAI) i la Societe Francaise de Statistique(SFdS).

El 4 de juny s’ha signat a la Universitat NicaSophia Antipolis la documentacio s’han canvi-at els estatuts per tal d’adaptar-los a la nova

situacio i s’ha aprovat l’adscripcio de les quatresocietats matematiques del CEMAT.

Tambe hem quedat adscrits al Comite d’O-rientacio i Pilotatge (COP) que ha de decidirquines escoles de recerca son acceptades.

El que resta del 2010 i el 2011 el CIM-PA ofereix vint escoles de recerca a diferentspaısos, principalment a l’Africa subsahariana,a l’America del Sud i al sud-oest d’Asia, alsquals hem d’afegir la Xina, el Nepal, Tunısia iUcraına. A mes, el CIMPA participa enguanyen onze escoles, masters i congressos en paısosde l’Africa i de l’America llatina.

Fins al 15 de juny d’aquest any es poden pre-sentar preprojectes per a escoles de recerca peral 2012. El projecte complet ha d’estar enllestitel dia 1 d’octubre.

Esperem que els matematics catalans s’ani-min a participar en aquesta tasca que, si mesno, ens dona una oportunitat mes de partici-par en el teixit cultural del mon mitjancant lesmatematiques.

Carles PerelloPresident de la SCM

In memoriam

Martin Gardner: 1914–2010

�No puc pensar en cap definicio de matematic o cientıfic que es pugui aplicar a mi. Penso en micom en un periodista que sap el mınim de matematiques com per a poder aprendre matematicade baix nivell i fer-la clara i interessant per als no-matematics. Permeteu-me dir el que penso: nosaber massa sobre una materia es un valor per a un periodista i no un deute. El gran secret de lameva columna es que se tan poc sobre matematiques que he hagut de treballar dur per a entendreaquesta materia per mi mateix. Potser per aixo puc explicar les coses d’una manera mes clara quela que empraria un matematic professional.� (Martin Gardner, Omni vol. 4, num. 4, gener 1982.)

5

Page 8: Cob SCM Num 29 - blogs.iec.catblogs.iec.cat/scm/wp-content/uploads/sites/20/2011/02/N29.pdf · Inauguraci´o d’un zenit`ograf solar 42 Premis 44 Societat Catalana de Matematiques

Malgrat que Martin Gard-ner no es considera a simateix com un matematic,sı que es considerat permolts membres d’aquestcol.lectiu com el major di-vulgador de la matematica

en el segle xx i, no en va, l’American Mathe-matical Society li va concedir el 1987 un premiimportant pels seus nombrosos llibres i articlessobre matematiques i, en particular, per la se-va columna de jocs matematics de la ScientificAmerican. Aquest treball tan prolıfic, realitzatal llarg de vint-i-cinc anys, i la col.laboracioamb diferents autors, l’han dut a tenir el nom-bre 2 com el seu nombre d’Erdos; a mes, acon-segueix aquest nombre per camins diferents, undels quals involucra Ron Graham. Despres dela mort de Gardner, Graham s’hi ha referit comuna persona que �ha convertit milers de nensen matematics i milers de matematics en nens�.

Ron Graham coneixia be Martin Gardner isembla tambe coneixer be els seus lectors. Moltsdels qui avui ens dediquem a les matematiquesvam descobrir la bellesa d’aquesta ciencia, i lesseves ramificacions, que no tenen cabuda en elsllibres de text, en els llibres de Martin Gard-ner. Concretament, el meu primer contacte ambMartin Gardner va ser per mitja del llibre Car-naval matematic, quan encara estudiava 1r deBUP: era un llibre de matematiques estrany, enel sentit que gairebe no contenia equacions niformules, pero estava farcit d’idees i conceptes,amb una gran dosi d’entreteniment. Era un llibreque enganxava, en el qual apareixien relacionatsconceptes geometrics en la quarta dimensio, coml’hipercub, amb la pintura de Salvador Dalı (queem resultava tan estranya com l’hipercub). Enaquest mateix llibre vaig poder descobrir l’artde Maurice Cornellius Escher, aprendre una mi-ca sobre els calculistes prodigiosos i fins i totcom realitzar alguns trucs de calculisme (comsaber en quin dia de la setmana cau una datadeterminada per mitja d’operacions senzilles) ialguns jocs de magia amb cartes.

El contingut dels llibres de Gardner teniauna barreja molt atractiva de temes, que duiaa qui llegia per primera vegada un llibre d’a-quest autor i era aficionat a les matematiques,a continuar llegint mes i mes, introduint-se enaltres aspectes de la matematica i de la cultura,ja que Gardner tractava, en els escrits, temes

relacionats d’alguna manera amb les matemati-ques, pero no completament dedicats a aquestes.Aixı, era frequent trobar referencies als escacs, al’art o a la literatura. La figura de Ramon Llulltambe va ser objecte de consideracio de Mar-tin Gardner, la qual va estudiar i va difondreinternacionalment com a precursor de la intel-ligencia artificial. La influencia que ha tingutsobre els seus lectors n’ha dut molts d’aquests ainteressar-se per Nabokov o per Chesterton. Oa buscar tres peus al gat en la lectura d’Aliciaen el paıs de les meravelles (i no solament elsomriure del gat de Cheshire): la seva ediciocomentada d’aquest llibre de Lewis Carroll hapermes una visio adulta d’un suposat llibre in-fantil, i gracies a Gardner hem descobert moltsdels jocs matematics que apareixen en aquestanovel.la, i hem sabut de l’existencia de Silvia iBruno (tambe de Carroll) i que encara esta mesplena de puzles i endevinalles logiques. D’aques-ta manera es tanca un cercle paradoxal: Gardner,home de lletres, es considerat per molts com amatematic, mentre que Carroll, matematic deprofessio, es reconegut com a autor literari. Unaparadoxa que segurament agradaria a ambdos.

Aquest home de lletres, graduat en filoso-fia, que ha passat a la historia per divulgar lesmatematiques, tenia una sensibilitat especialper trobar bons problemes, triar bons assessorsi escriure be sobre matematiques. Ell mateixrelata en nombroses entrevistes que no hauriaestat capac d’escriure durant vint-i-cinc anysla columna de jocs matematics de la ScientificAmerican sense la col.laboracio tant dels seuslectors com de matematics de primera lınia. En-cara que fou John H. Conway qui va idear eljoc de la vida, va ser Gardner qui el va popu-laritzar, mitjancant la seva famosa columna dematematica recreativa. Pot resultar encara messorprenent el fet que Ron Rivest fos qui es dirigısa Gardner per exposar-li el metode que haviaideat, al costat d’Adi Shamir i Len Adleman, pera codificar missatges: el metode ara es coneixper RSA, i respon a les inicials dels seus autors.En el moment d’escriure la columna, Gardnerva tenir alguns problemes amb l’agencia de se-guretat del seu paıs, per l’us que els enemics enpodien haver fet.

Els escrits de Gardner abasten multitud detemes, pero se centren en tres questions fona-mentals: la matematica, la magia (entesa coma il.lusionisme) i l’escepticisme. Un dels llibres

6

Page 9: Cob SCM Num 29 - blogs.iec.catblogs.iec.cat/scm/wp-content/uploads/sites/20/2011/02/N29.pdf · Inauguraci´o d’un zenit`ograf solar 42 Premis 44 Societat Catalana de Matematiques

de Gardner que mes impacte internacional hatingut es Mathematics, magic and mystery (quesorprenentment es va traduir al castella comMagia inteligente). Aquest llibre, publicat el1956, es el primer dedicat ıntegrament als jocsde magia que utilitzen propietats matematiques.En aquest llibre, ell encunya la paraula mate-magia per a definir aquest tipus de magia. Coma bon mag, Gardner ens ha convertit a moltsmatematics en nens utilitzant aquesta magiamatematica. En gairebe tots els seus llibres so-bre matematica recreativa apareix algun joc demagia, sigui amb cartes, amb cordes o amb altresmaterials. En el mon de l’il.lusionisme, Gardneres igual de reputat que en el mon de la matema-tica i aixo que, segons afirma ell mateix, nomesha fet una representacio publica, quan era estu-diant, despres de la qual va creure convenient notornar a actuar. Encara que no tornes a trepitjarun escenari va escriure una voluminosa Ency-clopedia of impromptu magic, a mes de bastantsarticles en revistes d’il.lusionisme. Gardner vaexposar en la seva columna de jocs matematicsprincipis de cartomagia com el que mostra quebarrejant una baralla 8 vegades mitjancant unabarreja perfecta (aixo es, separant les 52 cartesde la baralla en 2 munts de 26 i intercalant-lesuna per una), el joc de cartes recobra el seuordre inicial.

Tornem a ser nens, si aturem la lectura ianem a buscar un joc de cartes podem intentarfer un experiment. Col.loqueu les 52 cartes al-ternant les vermelles i les negres (podria fer-seseparant les 26 cartes vermelles i les 26 negres ifent una barreja far entre aquests munts, perotambe es pot fer a ma deixant-ne sobre la taulauna de vermella, una de negra, una de verme-lla, una de negra. . . ). Agafeu les cartes amb lama esquerra, sense que es vegin, i aneu deixantcap per avall, una per una, 26 cartes sobre lataula. En honor de Martin Gardner barregeua la manera americana (pentinant els munts iintercalant-hi cartes de cadascun) el munt de26 cartes que teniu a la ma amb el que hi hadamunt la taula. Recomponeu el mall barrejati observeu com, independentment de la perıciaamb la qual hagiu fet la barreja, cada vegada queagafeu dues cartes de la part superior del munt,sempre son de color diferent, una de vermellai una de negra. Si penseu en les matematiquesque hi ha darrere d’aquest joc veureu que lamanera americana de barrejar mante l’ordena-

cio parcial que hi havia en cadascun dels muntsinicials. Si a aixo li afegim un argument sobrela paritat de la posicio que ocupen les cartesque anem retirant, podem intuir la rao per laqual funciona el truc. Aquest joc el va inventarel matematic Norman Gilbreath, pero va serpopularitzat per Gardner.

Sobre l’escepticisme. Tornem a trobar Gard-ner envoltat d’un mag: James Randi, pero tambede cientıfics com Carl Sagan o Isaac Asimov, ifilosofs com Paul Kurtz. El 1976 un grup depersonalitats, entre les quals hi havia les queacabem de citar, funden un grup denominat�Committee for the scientific investigation ofclaims of the paranormal�, destinat a manteniruna xarxa de persones interessades a exami-nar els suposats fenomens paranormals d’unamanera crıtica, encoratjant l’examen racionali curos d’aquests fenomens estranys. Abans dela fundacio del grup, el 1952, Gardner haviaescrit Fad and fallacies in the name of science.Posteriorment, el 1981, va escriure Science: Go-od, bad and bogus. En el context cultural actual,en que cadenes de televisio i radio concedeixenmes importancia als paranormals que no pasals aspectes cientıfics, i que intenten considerarels primers com rigorosos i provats, es fan ne-cessaries mes ments crıtiques com la de Gardner.

Citar una bibliografia de Martin Gardneres fa molt difıcil. En els dies propers a la sevamort van proliferar a internet referencies a laseva vida i fets. Tambe moltes entrevistes, pu-blicades fa anys en revistes com The CollegeMathematics Journal o el Notices de l’Ameri-can Mathematical Society. Llegint-les podementendre una mica mes la filosofia i els interes-sos d’aquest autor prolıfic. A la Viquipedia hi hauna exhaustiva llista d’obres de Martin Gardner.D’altra banda, la Mathematical Association ofAmerica va editar un CD-ROM recopilatori detotes les columnes de jocs matematics aparegu-des al Scientific American. El cercador del discpermet trobar qualsevol dels temes tractats (queno han estat pas pocs), inclos el que esmentael joc �de Googol� (en la columna de febrerde 1960). Tot i que el terme no es original deGardner, probablement fou a traves d’ell comLarry Page i Sergey Brin van donar nom al seufamos cercador d’Internet.

Molt poques persones son prou afortunadesper a rebre homenatges en vida. Martin Gardnerva ser un dels pocs que veieren com centenars

7

Page 10: Cob SCM Num 29 - blogs.iec.catblogs.iec.cat/scm/wp-content/uploads/sites/20/2011/02/N29.pdf · Inauguraci´o d’un zenit`ograf solar 42 Premis 44 Societat Catalana de Matematiques

de persones es reunien en honor seu el 1993, alcongres �Gathering for Gardner�, que reuneixmatematics, mags i aficionats als puzles. Va sertal l’exit que el 1996 es va repetir i, des de lla-vors, cada dos anys continua reunint-se un grupde persones amb interessos comuns als de Mar-tin Gardner. Encara que ell nomes va assistir alsdos primers (per motius de salut s’estimava mesquedar a la seva residencia d’Oklahoma), sonconstants en l’esdeveniment els noms de RonGraham, John H. Conway, Solomon W. Golomb,Richard K. Guy, Scot Morris, com si es tractesd’un dels llibres de Gardner, en els quals sempreapareixien citats. He tingut la sort d’assistir ales dues ultimes edicions, fins ara, d’aquest esde-

veniment i poder coneixer aquests personatges ialtres admiradors de Gardner, com Raymond M.Smullyan (un altre dels grans divulgadors delsegle passat), Clifford A. Pickover (que ha conti-nuat amb la tasca d’acostar la ciencia al publicgeneral), Colm Mulcahy (autor de la columnade cartomagia matematica de la MathematicalAssociation of America), Arthur Benjamin (cal-culista) o George W. Hart (geometra i escultor),entre d’altres.

Martin Gardner perviura entre nosaltres per-mitja de la seva obra. I continuara fructificant,perque son molts els qui han recollit els seusensenyaments.

Fernando BlascoUPM

En la mort de Walter Rudin

El 20 de maig de 2010 va mo-rir, a l’edat de 89 anys, Wal-ter Rudin, professor emerit dela Universitat de Wisconsin aMadison. Havia nascut a Vie-na en una famılia jueva i vaarribar als Estats Units totjust acabada la Segona Guer-ra Mundial, despres d’haver

hagut de fugir a Franca i a la Gran Bretanya.Es va doctorar a la Universitat de Duke i despresde passar pel MIT es va incorporar al Departa-ment de Matematiques de Wisconsin, a Madison,l’any 1959.

El professor Rudin va publicar articles dematematiques de manera ininterrompuda du-rant mes de cinquanta anys. El seu treball esva centrar en l’analisi, i especialment en l’estu-di, d’espais de funcions analıtiques en el disc,a la bola i al polidisc i tambe en l’analisi deFourier en grups. Pero es a causa de la difusioque han tingut els seus llibres i de manera moltespecial els que va escriure adrecats a estudi-ants pregraduats o be a alumnes graduats ques’endinsen en el camp de les matematiques, queRudin es conegut pel gran public matematic isobretot pels analistes. Les seves obres Princi-ples of mathematical analysis i Real and complexanalysis han estat utilitzades com a llibres detext arreu del mon des que foren publicades itambe traduıdes a diversos idiomes. El segon

d’aquests llibres, aparegut l’any 1970, presentaun punt de vista original que mostra la interac-cio entre l’analisi real i l’analisi complexa i queva ajudar a desfer el topic que hi havia, almenysentre una part dels ensenyants de les matemati-ques, que aquests dos camps d’estudi responiena concepcions i metodes diferents.

Una bona manera d’acostar-se a la vida il’obra de Walter Rudin es mitjancant el llibreThe way I remember it, que va publicar l’any1995 i que es parcialment autobiografic. Desdel punt de vista matematic, explica l’origendels problemes que va tractar, cap on porta laseva solucio i els matematics que hi han estatinvolucrats.

Una de les virtuts indiscutibles de Walter Ru-din ha estat la claredat de les seves exposicions:el plantejament dels problemes, els conceptesprevis necessaris, el detall dels raonaments i elscomentaris amb relacio a altres questions; totapareix d’una manera natural i fluida en els seusescrits. Aquestes qualitats, a mes d’una seleccioacurada dels temes i la seva tendencia a plan-tejar problemes basics fan que l’obra de Rudinsigui una invitacio constant al lector per tal ques’interessi per tot allo que hi presenta.

Per a la comunitat dels analistes del nostrepaıs Walter Rudin ha estat significatiu tambeperque, a part de la relacio directa que hi hahagut amb ell mateix (va visitar la Universi-tat Autonoma l’any 1987), ha servit de pont

8

Page 11: Cob SCM Num 29 - blogs.iec.catblogs.iec.cat/scm/wp-content/uploads/sites/20/2011/02/N29.pdf · Inauguraci´o d’un zenit`ograf solar 42 Premis 44 Societat Catalana de Matematiques

entre analistes de les universitats de Barcelo-na i altres professors de Madison (Alex Nagel,Patrick Ahern...) o be exalumnes seus (EdgarStout, Kenneth Stephenson...). La relacio entreels dos grups encara es viva i ha tingut resultatspositius en diversos temes de recerca.

Podem concloure, per tant, que una part dela matematica que es fa avui aquı te a veureamb problemes que Walter Rudin va tractar ique es deu, d’una manera directa o be per mitjadels seus llibres i articles, al seu estil i al seumestratge.

Julia CufıUAB

Obituari de Jordi Blasco

Jordi Blasco Lorente, matematic, professor de laUniversitat Politecnica de Catalunya, va morirel proppassat 10 de marc. El 15 de maig hauriaestat el seu quaranta-cinque aniversari.

Suposo que el que s’espera d’un col.labora-dor seu que escriu una nota com aquesta es quefaci un breu resum del seu perfil com a matema-tic. Tanmateix, no puc estar-me de fer tambealgunes referencies personals.

Vaig coneixer en Jordi a final del 1993, quann’Antonio Huerta, professor del Departamentde Matematica Aplicada III de la UPC, on ales-hores treballava en Jordi, em va demanar quecol.labores en la direccio de la seva tesi doctoral.En Jordi i n’Antonio havien comencat a estudiarun dels anomenats metodes de pas fraccionatper a la integracio temporal de les equacionsde Navier-Stokes. Jo aleshores estava treballanten un metode dit d’estabilitzacio per a aproxi-mar numericament aquestes mateixes equacions.Aquests dos temes, metodes de pas fraccionat id’estabilitzacio, van ser els de la tesi d’en Jordi,defensada el 7 de marc del 1997. Es la primeratesi doctoral que vaig (co)dirigir.

En Jordi i jo vam continuar col.laborant mesenlla de la seva tesi. En total, tenim junts vuitarticles en revistes cientıfiques i tinc comptabilit-zades (potser me’n deixo alguna) onze contribu-cions a congressos entre els anys 1994 i 2004. Elsnostres treballs giren tots al voltant de l’apro-ximacio amb el metode dels elements finits deproblemes que apareixen en mecanica de fluids.En aquests mes de deu anys de treball conjuntno nomes vaig tenir l’oportunitat de col.laborar

amb una persona meticulosa i pulcra en la sevafeina, amb un particular i escrupolos sentit dela justıcia, sino tambe de coneixer la trajectoriapersonal de l’home, els seus moments vitalmentclaus, les seves bones epoques i les seves tempo-rades fosques. En tot moment, pero, va mantenirel seu interes i compromıs per continuar fentrecerca.

En els darrers anys en Jordi va maldar perconstruir el seu propi camı dins l’analisi nume-rica d’equacions en derivades parcials. Entreles col.laboracions que conec, va treballar ambun grup del Laboratori d’Enginyeria Marıtimade la UPC en el desenvolupament de modelsnumerics en enginyeria oceanografica, amb ungrup d’analisi numerica de la Universitat de Sevi-lla seguint l’analisi de metodes de pas fraccionatiniciat a la seva tesi, amb un altre de la Univer-sitat de Cordova mirant de dissenyar esquemesnumerics aptes per a la supercomputacio, o ambpersones de la Universitat de Concepcion, deXile, fent l’analisi de metodes d’estabilitzacio.Tambe va trobar un tema per treballar ell sol,continuant l’analisi d’aquestes formulacions es-tabilitzades quan s’apliquen a les anomenadesmalles anisotropes. Les nostres darreres xerra-des cientıfiques van girar justament al voltantd’aquest tema.

En Jordi havia trobat diversos camins percontinuar la seva recerca com a analista numeric.La nostra comunitat esta de dol perque no podraseguir-ne cap, i les persones que l’hem cone-gut i l’hem apreciat estem commogudes pel seutraspas prematur.

Ramon Codina RoviraUPC

9

Page 12: Cob SCM Num 29 - blogs.iec.catblogs.iec.cat/scm/wp-content/uploads/sites/20/2011/02/N29.pdf · Inauguraci´o d’un zenit`ograf solar 42 Premis 44 Societat Catalana de Matematiques

Noticiari

Els estudis de matematiques a la UB

El curs academic 2009-2010 ha portat canvisimportants en l’oferta docent de la Facultatde Matematiques de la UB, com a fruit de laimplantacio dels nous graus adaptats a les direc-trius de l’Espai Europeu d’Educacio Superior(EEES) i s’han implamentat els seguents nousestudis:

• Grau de matematiques, amb possibilitat d’ob-tenir minors en economia, en estadıstica, eninformatica o en fısica.

• Grau d’enginyeria informatica, amb possibili-tat d’obtenir minors en matematiques, gestioempresarial i bioinformatica.

• Doble titulacio matematiques-enginyeria in-formatica.

• Doble titulacio matematiques-fısica.• Doble titulacio matematiques-administracio i

direccio d’empreses (en aquest cas, la implan-tacio comencara el curs 2010-2011).

Aquests nous dissenys compten amb la col-laboracio de les facultats de Fısica i d’Economiai Empresa de la UB per a l’obtencio de les doblestitulacions i els minors dels graus.

En aquest article ens centrarem, sobretot, aexplicar els aspectes mes destacats del grau dematematiques.

Implantacio del grau de matematiques

La implantacio del nou grau es realitzara gra-dualment: l’any academic 2009-2010 s’oferira elprimer curs, l’any 2010-2011 el segon, i a partirde l’any 2011-2012, el grau s’impartira complet.

En paral.lel, s’aniran extingint les assignatu-res de la llicenciatura, per a garantir que tots elsestudiants que han iniciat la llicenciatura puguinacabar-la. Aixı mateix, s’ha regulat adequada-ment el proces d’adaptacio de la llicenciatura algrau per als alumnes que aixı ho vulguin. La UBha adscrit el grau de matematiques a la brancade ciencies.

Estructura

La memoria del grau, aprovada per la Junta deFacultat, ha estat verificada per l’Agencia Naci-onal de Evaluacion de la Calidad y Acreditacion

(ANECA) i aprovada pel Consell d’Universitats.Com a novetat, els nous graus seran avaluatscada sis anys i per aquest motiu les universitatshan desenvolupat processos per a garantir laqualitat dels ensenyaments.

L’estructura del grau es pot resumir de lamanera seguent: el primer curs es una introduc-cio de les diverses branques de les matematiquesi d’algunes branques afins; els cursos segon i ter-cer permeten obtenir una formacio consistent ivariada de matematiques superiors; l’ultim curses reserva per a l’especialitzacio, d’acord ambles preferencies de cada alumne respecte al camıprofessional que vulgui prendre.

Per a obtenir el grau, cada alumne ha decursar 240 credits ECTS (european credit trans-fer system). El credit ECTS es una unitat demesura de la dedicacio de l’alumnat, que, en elcas de la UB, equival a 25 hores de treball, lesquals inclouen el treball presencial, el dirigit otutoritzat pel professorat i l’autonom realitzatper l’alumne.

Els credits s’obtenen superant assignatures,les quals poden ser:

• basiques (primer curs, 60 credits),• obligatories (segon i tercer curs, 120 credits),• optatives (quart curs, 42 credits),• treball de final de grau (quart curs, 18 credits,

obligatori).

Dels credits optatius, l’alumne en pot rea-litzar un maxim de 6 per reconeixement d’acti-vitats academiques, culturals, de representacioestudiantil, etc. La resta, els podra triar d’entreuna oferta molt amplia:

• optatives del grau de matematiques: 60,• del grau d’enginyeria informatica: 66,• del grau d’estadıstica: 54,• del grau d’economia: 60,• del grau de fısica: 60,• practiques en empresa: 6 o 12.

Ara be, com a mınim 30 dels credits optatiushan de ser d’un mateix grup, cosa que dona dreta la mencio corresponent.

L’itinerari recomanat per a cursar els estudisa temps complet te una durada de quatre cursos

10

Page 13: Cob SCM Num 29 - blogs.iec.catblogs.iec.cat/scm/wp-content/uploads/sites/20/2011/02/N29.pdf · Inauguraci´o d’un zenit`ograf solar 42 Premis 44 Societat Catalana de Matematiques

academics, i tambe es contempla la possibilitatd’un itinerari a temps parcial.

El treball de final de grau

El treball de final de grau te un pes considerabledins del grau, amb 18 credits, l’equivalent a tresassignatures i s’hi desenvolupen competenciesdiverses.

Mencions i minors

Una de les novetats mes importants que pre-senta el nou grau es la possibilitat de cursar, abanda d’una mencio en matematiques, un mi-nor en una altra branca (economia, estadıstica,informatica o fısica). La previsio que s’ha fetes que dediquin un semestre del quart curs alminor (30 credits), o fins i tot mes. D’aquı auns anys, caldra avaluar els resultats d’aquestadiversificacio, tant academics com de sortidesprofessionals.

Dobles titulacions

L’altra gran novetat que ofereix la Facultat esla possibilitat de cursar itineraris simultanis odobles als quals s’accedeix directament des de lapreinscripcio universitaria. Amb aquests itinera-ris l’alumne cursa simultaniament assignaturesde dos ensenyaments i obte els dos graus encinc anys i mig. El curs 2009-2010 s’han iniciatels itineraris dobles en matematiques-enginyeriainformatica i matematiques-fısica, amb un exitde demanda que ha fet que hi hagi una nota detall elevada en l’acces a aquests estudis. Per alcurs 2010-2011 esta previst iniciar l’itinerari ma-tematiques-administracio i direccio d’empreses.

Metodologia

Cada semestre dels primers tres cursos l’alumneha de cursar cinc assignatures de sis credits.El pla docent de cada assignatura conte unaestimacio de la distribucio de les 150 hores dededicacio total que comporta. La presencialitates redueix, aproximadament, a la tercera part:concretament, es fan quatre hores de classe set-manals, durant unes tretze setmanes. Els tipusd’activitats son:

• teoria (grup sencer),• teoria-problemes (grup sencer),• practiques de problemes (grup reduıt),

• laboratori de problemes (grup molt reduıt),• laboratori d’ordinadors (grup molt reduıt).

Normalment, la meitat de les classes son deteoria o teoria-problemes. En els laboratoris, elsalumnes tenen una participacio mes activa quea les altres classes.

Avaluacio i tutories

L’avaluacio es, per defecte, contınua: una partde la qualificacio (amb diferents matisos, segonscada pla docent) s’obte del lliurament d’exer-cicis i treballs, d’exposicions orals i de provesescrites curtes. Tot i aixo, des del consell d’es-tudis es programa, per a cada assignatura, unaprova parcial i una prova final. D’altra banda, lanormativa de la UB recull el dret dels alumnesa una avaluacio unica, si aixı ho sol.liciten. Lafacultat decideix, cada curs, quin es el termi-ni per a acollir-se a l’avaluacio unica. Aquestaavaluacio, consisteix en general a realitzar unaunica prova final, encara que ocasionalment espuguin lliurar activitats de practiques.

Per a cada semestre curricular hi ha una co-missio de coordinacio que planifica una agendacomuna amb les activitats de les diferents assig-natures i fa un seguiment del desenvolupamentacademic del semestre.

Cada alumne te assignat un professor tutor,que te una funcio orientadora i informativa. Ca-da semestre es realitzen sessions en grups gransper a questions generals, i tambe trobades in-dividuals o de grups molt reduıts per a tractarquestions mes especıfiques. Un altre aspecte im-portant de les tutories cal buscar-lo tambe en elsentit invers a l’usual: serveixen perque el pro-fessorat conegui de primera ma les opinions delsalumnes i pugui prendre mesures correctores deles possibles disfuncions detectades.

Anotacions finals

L’experiencia d’aquest curs 2009-2010 ens fapensar que l’esforc esmercat ha valgut la pena.Hi ha hagut un augment d’alumnes, la mitjanade la nota d’acces ha millorat, i els resultatsacademics a mig curs tambe.

Convidem el lector interessat a consultar lespagines web de la facultat www.mat.ub.edu, ontrobara, ampliada i actualitzada periodicament,la informacio exposada. En particular, es de

11

Page 14: Cob SCM Num 29 - blogs.iec.catblogs.iec.cat/scm/wp-content/uploads/sites/20/2011/02/N29.pdf · Inauguraci´o d’un zenit`ograf solar 42 Premis 44 Societat Catalana de Matematiques

gran interes consultar la llista d’assignatures iels plans docents corresponents.

Segurament, el que queda de curs i els pro-pers anys, caldra corregir alguns detalls mes de

l’aplicacio d’aquests nous estudis. Creiem qued’aquı a cinc o sis anys sera el moment de ferun primer balanc i exposar les conclusions enaquestes mateixes pagines.

Miquel Bosch GualCap d’estudis de Matematiques, UB

Nous plans d’estudi a la UPC

La UPC ha implantat aquest curs academic2009-2010 els estudis de grau en matematiques ide grau en estadıstica, aquest ultim en col.labo-racio amb la UB.

El grau en matematiques substitueix la lli-cenciatura en matematiques, que a partir d’a-quest curs es troba en proces d’extincio. El graute 240 credits, que es reparteixen en quatre cur-sos de 60 credits cadascun. Les assignatures delstres primers cursos son obligatories. Cadascunate 7,5 credits i es fan 5 hores de classe setma-nals: llevat d’algunes excepcions, 3 de teoria i 2de problemes o practiques. Es tracta d’un graugeneralista, com es despren de la llista d’assig-natures obligatories:

1r curs: Fonaments de la matematica, Calcul enuna variable, Calcul diferencial, Algebra lineal,Geometria afı i euclidiana, Matematica discreta,Informatica, Algebra lineal numerica.2n curs: Calcul integral, Analisi real, Funcionsde variable complexa, Algebra multilineal i ge-ometria, Topologia, Algorısmia, Programaciomatematica, Fısica.3r curs: Equacions diferencials ordinaries, Equa-cions en derivades parcials, Calcul numeric, Es-tructures algebraiques, Geometria diferencial,Teoria de la probabilitat, Estadıstica, Modelsmatematics de la fısica.

Al quart curs hi ha una assignatura obliga-toria, Models matematics de la tecnologia, de9 credits, i 6 d’optatives de 6 credits cadascuna iquatre hores de classe setmanals. Finalment, hiha el Treball de fi de grau, de 15 credits. S’ofe-reixen cinquanta places cada curs, que s’omplenamb estudiants de primera opcio, ates que lademanda supera l’oferta. A aquests cal afegir-hiels estudiants que fan dues titulacions al Centrede Formacio Interdisciplinaria Superior (CFIS).Aquest curs 2009-2010 dotze estudiants del CFIShan comencat el grau en matematiques.

El grau interuniversitari d’estadıstica UB-UPC es fruit de l’experiencia de les dues univer-sitats en l’ensenyament d’estadıstica. Es pot en-tendre com l’adaptacio a l’Espai Europeu d’Edu-cacio Superior de les diplomatures d’estadısticaque ambdues universitats ja impartien i de la lli-cenciatura de segon cicle en ciencies i tecniquesestadıstiques que oferia la UPC. El grau, coordi-nat per la UB, disposa dels recursos i serveis dela Facultat d’Economia i Empresa de la UB i dela FME de la UPC. S’ofereixen seixanta placescada curs. La docencia es compartida al 50 %.Els estudiants fan 1r i 2n curs a la Facultatd’Economiques de la UB i 3r i 4t a la FME dela UPC. El caracter interuniversitari del graui la complementarietat de les arees d’expertesadel professorat d’estadıstica de la UPC i de laUB fan que els estudiants obtinguin una visioamplia de l’estadıstica i les seves aplicacions.

A la resta de l’Estat hi ha en aquests mo-ments uns altres cinc graus en estadıstica, a mesde l’interuniveristari UB-UPC. Va ser la Univer-sitat Carlos III de Madrid la primera a posar enmarxa un grau d’estadıstica el curs 2008-2009.Aquest curs 2009-2010 han comencat uns altrestres graus d’estadıstica a la resta de l’Estat: Uni-versitat Complutense de Madrid (dos graus, und’estadıstica aplicada i un altre d’estadıstica ma-tematica), Salamanca i Valladolid. Per al cursvinent s’esperen uns altres sis graus nous d’es-tadıstica a tot Espanya, un dels quals sera elpromogut per la UAB i la Universitat de Vic.

Els estudis de grau en estadıstica UB-UPCcontenen un total de 240 credits distribuıts enquatre anys. Les assignatures (totes de 6 ECTS)dels tres primers anys i dues del quart sonobligatories (materies basiques i obligatories).L’ultim curs hi ha cinc assignatures optatives (atriar entre deu) i un treball de fi de grau de 18ECTS. Una part de les assignatures obligatoriespot ser substituıda per practiques en una em-

12

Page 15: Cob SCM Num 29 - blogs.iec.catblogs.iec.cat/scm/wp-content/uploads/sites/20/2011/02/N29.pdf · Inauguraci´o d’un zenit`ograf solar 42 Premis 44 Societat Catalana de Matematiques

presa. Les materies que componen la titulacioes poden agrupar en grans blocs tematics: ma-tematiques (24 ECTS), informatica (24 ECTS),probabilitat i inferencia estadıstica (48 ECTS),investigacio operativa (24 ECTS), modelitzacioi analisi de dades (36 ECTS), aplicacions del’estadıstica (36 ECTS), optatives (30 ECTS) itreball de fi de grau (18 ECTS).

Els metodes d’avaluacio continuada inclouenl’entrega de problemes i treballs escrits i la re-alitzacio de practiques informatiques en lınia.Al principi de cada semestre es fan reunions decoordinacio amb els professors per tal que elsexamens i les entregues de treballs es distribuei-xin uniformement al llarg del semestre i no esprodueixin acumulacions.

Pedro Delicado i Marc NoyCoordinador del Grau d’Estadıstica UB-UPCi Cap d’Estudis de Matematiques de la FME

El Llibre blanc de la recerca matematica a Catalunya

L’any 1996 l’Institut d’Estudis Catalans tinguela iniciativa —impulsada pel seu president iassumida pel Comissionat per a Universitatsi Recerca— de dur a terme un estudi sobre larecerca a Catalunya, en tots els ambits del conei-xement, fent emfasi en les dades bibliometriquesi comparatives amb altres paısos. Foren els Re-ports sobre la recerca a Catalunya, dels qualses publicaren dues edicions, corresponents alsperıodes 1990–1995 i 1996–2002.

L’edicio del Llibre blanc de la recerca mate-matica a Catalunya, que avui ens ocupa, te unpunt de comu amb els reports esmentats: la vo-luntat d’oferir eines i resultats a la societat engeneral, pero especialment a la comunitat cien-tıfica i als governants, per poder diagnosticarels encerts i les mancances del nostre sistemade recerca i potenciar-lo o fer-hi les correccionsoportunes. Aquest es l’interes que ha mogut laSeccio de Ciencies i Tecnologia de l’IEC a fi-nancar-ne l’edicio.

Ara be, si la idea de servir al paıs es la ma-teixa, en aquesta ocasio es materialitza en unproducte ben diferenciat de l’anterior, ja queara es preten oferir a la societat, en general, i alscercles mes vinculats amb la recerca, el desenvo-lupament i la innovacio; en particular, una visioobjectiva i exhaustiva de l’estat actual de larecerca en matematiques a Catalunya, tant pelque fa als investigadors com als grups de recercaconsolidats, els projectes de recerca financatsper la Generalitat, el Govern espanyol i la Co-missio Europea, les tesis doctorals, els becarispostdoctorals, els investigadors visitants, els pro-grames de recerca plurimensuals, les activitatscientıfiques organitzades, etc.

No es tracta de donar informacio sobre larecerca individual, com articles publicats perdeterminats autors, o conferencies en congres-sos, etc., sino d’oferir dades mes col.lectives, mesinstitucionals, que mostrin el conjunt de la capa-citat de la comunitat matematica catalana, deles seves institucions de recerca o de les diferentsarees de recerca per formar o atraure investi-gadors, per organitzar activitats cientıfiques oper definir i realitzar projectes financats pelsorganismes nacionals, estatals o europeus.

Per raons essencialment conceptuals, perotambe per operativitat, dels camps fronterersamb les matematiques (estadıstica, investiga-cio operativa, llenguatges i sistemes informatics,aplicacions...) hem inclos informacio nomes delsgrups i persones per als quals la matematica esl’objecte de llur recerca i no nomes una einaimportant.

En cap cas s’ha tractat de fer ni un estudicomparatiu, ni una avaluacio, ni recollir dadesbibliometriques de la recerca matematica a Ca-talunya. Aquest llibre simplement vol reunir enun sol document informacio ja existent perodispersa i difıcilment localitzable.

A diferencia del que ha passat en altres dis-ciplines cientıfiques, a Catalunya mai no hi ha-via hagut tradicio en recerca matematica. Po-dem situar al voltant de l’any 1970 l’inici dela recuperacio que ens ha permes arribar a lasituacio actual. D’una banda, els canvis impor-tants en l’estructura universitaria, amb la crea-cio de noves universitats i l’increment, encaraque molt minso, dels recursos que el Governespanyol dedicava a la recerca (les popularmentanomenades �assessores�). De l’altra, un grup

13

Page 16: Cob SCM Num 29 - blogs.iec.catblogs.iec.cat/scm/wp-content/uploads/sites/20/2011/02/N29.pdf · Inauguraci´o d’un zenit`ograf solar 42 Premis 44 Societat Catalana de Matematiques

de llicenciats entre l’any 1964 i el 1970 s’interes-saren pels camps de recerca mes innovadors, iels estudiaren a fons, alguns en centres de l’es-tranger, alguns altres a Catalunya. Una dadaprou significativa es que durant la decada delssetanta vint-i-nou llicenciats obtingueren el tıtolde doctor en matematiques a Catalunya, mentreque en la decada anterior nomes l’obtinguerennou.

Des d’aleshores la capacitat investigadoraen matematiques ha crescut sense interrupcioal nostre paıs en quantitat i en qualitat, tantpel nombre d’investigadors com pel de treballsde recerca o activitats de tota mena. Les da-des d’aquest estudi ho demostren a bastament iCatalunya, com a paıs, es troba en una franjacomoda entre els paısos del nostre entorn, talcom ho mostren els Reports de la recerca en ma-tematiques elaborats per l’IEC per als perıodes1990–1995 i 1996–2002.

Hem fixat com a punt de partida l’any 2000,no nomes per la seva simbologia al canviar laxifra dels milers, sino perque la celebracio aBarcelona del 3ecm organitzat per la SCM, espot entendre com la majoria d’edat de la nostracomunitat, com el reconeixement de la comu-nitat matematica europea que la recerca mate-matica a Catalunya havia assolit els estandardsinternacionals.

Contingut

El material que oferim en el Llibre blanc estaestructurat en els grans capıtols seguents.

1. Una presentacio dels objectius, situacio departida i contingut d’aquest Llibre blanc.2. Una informacio detallada dels projectes derecerca financats pel Govern espanyol actius du-rant l’any 2009, una relacio documentada delsgrups de recerca reconeguts, aprovats per laGeneralitat l’any 2009 i els diferents projectes fi-nancats per la Comissio Europea que impliquenun treball coordinat amb entitats d’altres paısos,principalment programes de recerca, xarxes derecerca i centres de formacio Marie Curie, perotambe altres, en el perıode que va des de l’inicide l’any 2000 a final del 2009.3. Totes les tesis doctorals llegides a les univer-sitats catalanes durant el perıode 2000–2009,amb l’enllac corresponent al TDX, aixı com totsels becaris postdoctorals que han vingut a Ca-

talunya durant aquest perıode o be procedentsd’institucions catalanes que han estat fora deCatalunya.4. Una relacio exhaustiva de les activitats derecerca d’ambit internacional en el perıode 2000–2009, ja siguin programes de recerca inten-sius plurimensuals, congressos, workshops o cur-sos avancats d’ambit postdoctoral o doctoralavancat.5. La llista del personal investigador en mate-matiques amb el grau de doctor que treballavade manera estable a Catalunya a final de l’any2009, aixı com els membres de la comunitat queformen o han format part recentment de comiteseditorials i d’organismes cientıfics d’abast inter-nacional, i els investigadors visitants que hantreballat en estades llargues a Catalunya durantel perıode 2000–2009.6. Una serie de dotze articles breus d’autor sobrela situacio actual de la recerca matematica aCatalunya des de la perspectiva de les diferentstematiques en el context internacional.

Cada un d’aquests capıtols, a mes de la infor-macio propia del tema, conte els criteris seguitsper a la seva elaboracio i les fonts d’informacioutilitzades, aixı com els principals col.laboradorsi subministradors de la informacio.

A fi d’oferir una informacio mes acurada pelque fa a les tematiques de recerca, hem definitdotze grans arees de recerca, una classificacio,doncs, mes fina que la de les classiques areesde coneixement (algebra, analisi, geometria itopologia, probabilitat i estadıstica i matema-tica aplicada), tot i que potser encara grolleraper poder descriure amb precisio l’activitat derecerca de tots els matematics. Son les seguents:algebra, analisi, equacions en derivades parci-als, estadıstica matematica, geometria, logica,matematica discreta, optimitzacio, probabilitat,sistemes dinamics, teoria de nombres i topolo-gia. Hem fet constar �altres� quan no es podiaincloure en cap de les arees esmentades.

El contingut del llibre es completa amb unaserie de grafics que aporten informacio numericai percentual, de manera grafica, dels diferentsaspectes tractats, per universitats, arees de recer-ca, anys, generes, franges d’edat del professoratdoctor, etc.

Com a annex s’inclouen una serie de tau-les que donen informacio sobre els trams derecerca que el Govern espanyol havia atorgat

14

Page 17: Cob SCM Num 29 - blogs.iec.catblogs.iec.cat/scm/wp-content/uploads/sites/20/2011/02/N29.pdf · Inauguraci´o d’un zenit`ograf solar 42 Premis 44 Societat Catalana de Matematiques

a final de l’any 2008 i els Reports de la recercaelaborats per l’IEC.

La informacio que s’inclou es refereix aperıodes —diferents segons els capıtols— queabasten fins al desembre de 2009. Concretament,els apartats 2.1 i 2.2 es refereixen a l’any 2009,aixı com la relacio d’investigadors inclosa en elcapıtol 5; la resta de capıtols i apartats abastenel perıode 2000–2009.

El format del Llibre blanc

Malgrat el nom de l’estudi, Llibre blanc de larecerca matematica a Catalunya, no es tractad’un llibre, sino de bases de dades vinculades iinterrelacionades, consultables a la pagina webhttp://taller.iec.cat/llibreblanc−mat/.

L’estalvi de paper i de costos es evident, i ames aquest format permet no nomes fer en untermini raonable les correccions, modificacions oincloure-hi nova informacio, que es comuniquina l’equip de redaccio, sino atualitzar les dadesquan es consideri convenient.

L’equip de treball, les facilitats...i les dificultats

L’equip de redaccio ha estat format per J. delCastillo (UAB), X. Jarque (UB) i M. Mitjana

(UPC), sota la coordinacio de Manuel Castellet(en representacio de l’IEC). Assumim la res-ponsabilitat dels possibles errors, inexactitudso omissions —involuntaris, sens dubte, pero ine-vitables en funcio dels mitjans disponibles— ien demanem disculpes.

Els redactors som conscients que probable-ment la informacio es incompleta, ja sigui per-que no ens ha estat ben subministrada o beperque nosaltres no l’hem sabuda trobar. Agrai-rem, doncs, qualsevol informacio que permeticorregir errades, completar dades o incorporarinformacio que se’ns hagi escapat. Un cop con-trastada, la incorporarem a la base de dades idonarem per tancada aquesta edicio del Llibreblanc de la recerca matematica a Catalunya eldia 30 de setembre de 2010.

L’elaboracio d’aquest Llibre blanc de la recer-ca matematica a Catalunya ha estat financadaper la Seccio de Ciencies i Tecnologia de l’IEC.La seva realitzacio no hauria estat possible sensela col.laboracio de les institucions de recerca idels membres de la comunitat matematica cata-lana, en particular dels investigadors principalsde projectes de recerca i dels autors dels articlesdel capıtol 6. A tots ells el nostre agraıment.

Equip de redaccio

15

Page 18: Cob SCM Num 29 - blogs.iec.catblogs.iec.cat/scm/wp-content/uploads/sites/20/2011/02/N29.pdf · Inauguraci´o d’un zenit`ograf solar 42 Premis 44 Societat Catalana de Matematiques

FotoMath 2009I Concurs de Fotografia Matematica del Departament de Matematica de la UdL

Amb la voluntat de divulgar i fer palesala presencia de les matematiques en el nos-tre entorn, els membres del Departamentde Matematica de la Universitat de Lleida,http://www.matematica.udl.cat, vam decidir en-degar un concurs de fotografia matematica. Aixıel FotoMath 2009 va neixer el mes de setembredel 2009 en obrir el termini de presentacio defotografies.

Hem difos aquest certamen a partir de lapagina web www.fotomath.udl.cat on apareixenles bases del concurs, els premis, el jurat, lesfotografies enviades i alguns enllacos per ani-mar possibles participants tot donant exemplesd’altres concursos, webs o llibres dedicats a lafotografia matematica.

Aixı mateix, vam difondre aquesta convo-catoria mitjancant diverses llistes de distribu-cio i informacio en paper que vam publicitaraprofitant l’avinentesa de l’exposicio �Les Ma-tematiques i la vida�, que la nostra universitatva allotjar durant el mes de novembre de 2009.

L’exit de participacio ha estat rotund. Hi hahagut dues-centes cinquanta fotografies partici-pants realitzades per mes de vuitanta personesde diferents ambits, ja que la convocatoria eraoberta a tothom.

1r premi.

A partir de mitjan desembre, el jurat delconcurs va haver de realitzar la difıcil tasca dedecidir les fotografies guanyadores. En aquestaconvocatoria el jurat ha estat format per MiquelCarrera, professor de fısica a l’Escola PolitecnicaSuperior de la UdL; Tomeu Coll, catedratic dematematiques a la Universitat de les Illes Bale-ars, i Maite Grau, professora de mMatematiquesa l’Escola Politecnica Superior de la UdL.

Tenint en compte l’alt nivell de moltes de lesfotografies participants pel que fa a la qualitatestetica, l’originalitat i la relacio amb la idea oconcepte matematic reflectit en la fotografia, eljurat va decidir designar, a mes dels tres pre-mis inicialment previstos, vint-i-dues fotografiesfinalistes. Tots els participants guanyadors (pre-miats i finalistes) han rebut un poster amb les25 fotografies guanyadores.

Les tres fotografies guanyadores del Foto-Math 2009 son:

1r premi: �Fourier�, de Lola Morales Ruiz.2n premi: �Espiral�, d’Hector Blanco de Fru-tos.3r premi: �Fractal sobre fractal�, de NuriaConde Pueyo.

L’acte de lliurament de premis va ser el di-vendres 12 de febrer de 2010 al Campus deCappont de la Universitat de Lleida.

2n premi.

Totes les fotografies enviades, amb el nomdels autors, es poden trobar en l’apartat d’ex-posicio virtual de la pagina web del concurswww.fotomath.udl.cat. Aixı mateix, hem orga-nitzat una exposicio fısica de les 250 fotografiesparticipants. Aquesta exposicio es itinerant:

• De l’1 al 19 de febrer de 2010 ha estat alCampus de Cappont, de la Universitat deLleida.

• De l’1 de marc al 18 de juny de 2010 ha estata l’IES Pont de Suert. Podeu consultar el webwww.xtec.cat/iespontdesuert/.

Volem agrair a tots els participants l’envi-ament de fotografies i a tots els companys de

16

Page 19: Cob SCM Num 29 - blogs.iec.catblogs.iec.cat/scm/wp-content/uploads/sites/20/2011/02/N29.pdf · Inauguraci´o d’un zenit`ograf solar 42 Premis 44 Societat Catalana de Matematiques

l’Escola Politecnica Superior el seu ajut a l’horade muntar l’exposicio i els seus suggeriments enel desenvolupament del concurs. Confiem que,en futures edicions d’aquest certamen, el nivelld’organitzacio i de participacio sigui tan bo ofins i tot millor que en aquesta edicio.

�Mes de la meitat del cervell huma es de-dica al proces de veure i interpretar allo quehom veu. Fer que un fenomen sigui visible esampliar extraordinariament la nostra capacitatper a comprendre’l.� (John D. Bernal, cientıficirlandes, 1901–1971).

Josep Conde, Maite Grau i Josep M. MiretDepartament de Matematica, UdL

La Matefest/Infofest 2010 de la UB

El passat dia 28 d’abril va tenir lloc, a la Fa-cultat de Matematiques de la UB, la �Mate-fest/Infofest 2010�, un esdeveniment anual quete com a objectiu divulgar i promoure les ma-tematiques i la informatica entre els estudiantsde secundaria i batxillerat, d’una manera ludicai entretinguda.

Participants de la Matefest/Infofest 2010.

En aquesta edicio, hi van assistir uns vuit-cents alumnes (i els professors que els acompa-nyaven) de diferents instituts de tot Catalunya.La festa va comencar puntualment a les 10 ies va allargar fins a quarts de dues. Sota elsagradables porxos del pati de ciencies de l’edi-fici historic de la UB, els participants podienvisitar un seguit d’estands on, sota la direcciod’alumnes de la facultat, es feien alguns experi-ments i s’aprenien algunes curiositats. Hi havia

bracos mecanics, nusos i altres aplicacions de latopologia, jocs probabilıstics, mapes i projecci-ons, programes que valoraven grups musicals...Tambe es van organitzar unes gimcanes ambproves d’enginy.

Cal destacar aixı mateix la presencia d’al-guns membres del Museu de Matematiques deCatalunya, que ens van poder mostrar les nove-tats que incorporaven enguany. I es van omplirdel tot les aules on s’impartien les diferents con-ferencies programades, algunes de les quals esvan fer dues vegades:

1) �Les matematiques del web: Google, robotsi monstres� (Dr. Javier Soria, del Departa-ment de Matematica Aplicada i Analisi dela UB).

2) �Quina forma te el nostre Univers?�,(Dr. Carles Casacuberta, del Departamentd’Algebra i Geometria de la UB).

3) �Coctel matematico-musical: 2/3 de fracci-ons + 1/3 d’harmonia� (Dra. Francina Tu-ron, professora de musica de l’IES Sant Vi-cenc de Montalt, i Joan Jareno, professor dematematiques de l’IES Alella).

4) �Distancies astronomiques� (Xavier Luri,del Departament d’Astronomia i Meteorolo-gia de la UB).

Es pot trobar mes informacio a la pagina weboficial de la festa: www.ub.edu/matefest−infofest.

Georgina Cerqueda Santacreu i David Ruiz BanosAlumnes de l’organitzacio

Miquel Bosch Gual, cap d’estudis

17

Page 20: Cob SCM Num 29 - blogs.iec.catblogs.iec.cat/scm/wp-content/uploads/sites/20/2011/02/N29.pdf · Inauguraci´o d’un zenit`ograf solar 42 Premis 44 Societat Catalana de Matematiques

Activitats amb l’ajut de la SCM

III Congres Internacional sobre la TAD

Des de l’any 2005, coincidint amb el 25e ani-versari de la primera publicacio el 1980 sobrela transposicio didactica, que cristal.litza cincanys mes tard en el llibre d’Yves ChevallardLa transposition didactique: du savoir savantau savoir enseigne (Grenoble: La Pensee Sauva-ge, 1985, 2a edicio 1991), se celebren cada dosanys els congressos internacionals sobre teoriaantropologica del didactic (TAD) que, fins a diad’avui, han agrupat una part important delsinvestigadors que treballen en aquest ambit.

El primer Congres Internacional sobre laTAD (CITAD) es va celebrar a Baeza (Jaen)el 2005 i el segon a Uzes (Franca) el 2007. Eltercer CITAD s’ha celebrat a Sant Hilari Sacalm(Girona) entre els dies 26 i 29 de gener de 2010i ha estat precedit pel Primer Curs de TAD pera investigadors, celebrat els dies 25 a la tarda i26 al matı.

L’objectiu dels congressos sobre la TAD esdoble:1) Reunir els investigadors que treballen actu-alment dins l’ambit de la TAD, ja sigui en elcamp de la didactica de les matematiques o encamps afins, per a establir un balanc conjuntdels resultats i dels avencos de la TAD al llargd’aquests ultims anys, balanc que fa referenciatant a la investigacio fonamental com al desen-volupament del sistema d’ensenyament i de laformacio del professorat.2) Proposar un programa d’investigacio que es-pecifiqui els problemes oberts mes adequats, re-latius a les grans dificultats dels sistemes edu-catius del moment per tal de donar sentit a lamatematica ensenyada, al desenvolupament dela didactica com a disciplina cientıfica i, en par-ticular, al dialeg entre els investigadors en TADamb altres marcs teorics.

En el III CITAD hi han participat un totalde setanta-cinc investigadors de setze paısos(Espanya, Franca, Dinamarca, Japo, Belgica,Brasil, Mexic, Argentina, Peru, Xile, Venecuela,Colombia, el Marroc, Gran Bretanya, el Canadai Tunısia) i s’han presentat i discutit trenta-siscomunicacions i cinc conferencies convidades, acarrec de:

• Michele Artigue, Universitat de Parıs VII(Franca)

• Carl Winsløw, Universitat de Copenhaguen(Dinamarca)

• Yves Matheron, INRP (Franca)

• Robert Noirfalise, IUFM de Clermont-Ferrand (Franca)

• Marıa Trigueros, ITAM (Mexic)

Un dels principals resultats del III CITADha estat la consolidacio i l’impuls donat a cincgrans lınies d’investigacio (o cinc grans proble-mes didactics) que presumiblement guiaran eltreball dels diferents grups d’investigacio enels propers anys. Aquests problemes son elsseguents:

a) El problema entorn de �la rao de ser� dela matematica escolar. Es proposa contrinuardesenvolupant una lınia d’investigacio per adescriure, analitzar i caracteritzar tant les gransdificultats dels sistemes educatius actuals per adonar sentit a la matematica ensenyada, comles condicions que es requereixen perque l’es-tudi escolar de les matematiques recuperi laseva �rao de ser�, es a dir, integri de maneraexplıcita i central les questions generadores del’activitat matematica escolar. En particular,alguns dels treballs presentats dins el III CI-TAD han subratllat la necessitat d’aprofundiren les investigacions adrecades a indagar les res-triccions que dificulten (i les condicions que esrequereixen) la modelitzacio matematica perquepugui viure amb normalitat en les institucionsescolars de tots els nivells educatius.b) El problema del currıculum i, per a comencar,la manera de descriure’l. Els investigadors enTAD proposen un model docent funcional que esmaterialitza en els recorreguts d’estudi i investi-gacio (REI), dels quals s’han presentat diversosexemples al III CITAD. Pero aquesta respostarequereix dissenyar, elaborar, experimentar iavaluar una gran quantitat de REI que, en prime-ra instancia, recobreixin els currıculums actualsi, a la llarga, permetin descriure’ls (i definir-los) en termes de questions problematiques encomptes d’enunciar-los en termes de conceptes,teoremes i temes, com es fa actualment. Es di-buixa d’aquesta manera una lınia d’investigacioque requerira l’esforc a llarg termini de tota lacomunitat didactica.

18

Page 21: Cob SCM Num 29 - blogs.iec.catblogs.iec.cat/scm/wp-content/uploads/sites/20/2011/02/N29.pdf · Inauguraci´o d’un zenit`ograf solar 42 Premis 44 Societat Catalana de Matematiques

c) El problema de la formacio matematico-didactica del professorat de matematiques. Sen-se pretendre identificar les dificultats del sistemad’ensenyament de les matematiques unicamentni principalment amb el grau de formacio delsprofessors, alguns dels treballs presentats alIII CITAD han emfasitzat la importancia dela investigacio dirigida a esbrinar quin equipa-ment praxeologic requereix un professor de ma-tematiques del segle xxi i, tambe, la rellevanciade la investigacio dirigida a dissenyar i experi-mentar nous tipus d’organitzacio didactica mesadequats al proces de formacio del professorat.d) El problema del desenvolupament de ladidactica de les matematiques com a disciplinacientıfica i, sobretot, el dialeg de la TAD ambaltres marcs teorics. Aquesta tematica va serabordada especialment a les conferencies deMichele Artigue �La TAD ante el problema dela interaccion entre marcos de investigacion endidactica de las matematicas� i Marıa Trigue-ros �Dialogo entre las teorıas APOS y TAD�.Aquestes comunicacions han subratllat que eldesenvolupament necessari de la didactica deles matematiques com a ciencia requereix ques’aprofundeixi el dialeg entre els diferents en-focaments o marcs teorics i, a mes, que aquestdialeg es porti a terme amb totes les garantiesdel metode cientıfic.

e) El problema del caracter mes o menys es-pecıfic de la didactica de les matematiques.Algunes de les comunicacions presentades alIII CITAD com, per exemple, les relacionadesamb la �transposicio museografica� i les basa-des en investigacions didactiques de caracterinterdisciplinari, han questionat la retalladahabitual de l’ambit d’estudi de la didactica deles matematiques (excessivament delimitat perles mateixes matematiques) i han propugnatuna ampliacio de les problematiques classiques.Diguem, per a concloure aquesta breu ressenya,que una vegada finalitzat el III CITAD hemtingut la bona notıcia d’un important reconeixe-ment internacional a l’obra d’Yves Chevallardmitjancant la concessio del premi Hans Freu-denthal. Aquest premi equival al Premi Nobelen altres especialitats i, en cert sentit, a la Me-dalla Fields en Matematiques. A la paginade l’ICMI www.mathunion.org/icmi/other-activities/awards/ s’expliquen els criteris em-prats per a concedir el premi i el mecanisme denomenament dels guanyadors.

Agraım al CRM, al projecte i-MATH, a laSociedad Espanola de Investigacion en Educa-cion Matematica (SEIEM), a l’Association pourla Recherche en Didactique des Mathematiques(ARDM) i a la SCM el seu suport per organitzari financar el III CITAD.

Josep GasconMembre del comite cientıfic del III CITAD

El congres �Emerging Topics in Dynamical Systems and Partial DifferentialEquations� obre les portes

Durant la setmana del 31 de maig al 4 de juny de2010, s’ha dut a terme a Barcelona el congres in-ternacional Emerging Topics in Dynamical Sys-tems and Partial Differential Equations (DSP-DEs’10). Aquest ha estat un projecte comu entrela SCM, la RSME, la SEMA i la Society for In-dustrial and Applied Mathematics (SIAM), laprincipal societat internacional de matematicaaplicada. Aquesta col.laboracio es un indici mesde la maduresa de les matematiques a Catalunyai a l’Estat.

Es mes, l’organitzacio del congres ha invo-lucrat membres de les quatre universitats pu-bliques de l’area de Barcelona: la UPC, la UB,la UAB i la UPF. Aixı, el professor Jose Anto-nio Carrillo de la Plata (ICREA-UAB) ha estat

el president del comite organitzador, i el pro-fessor Carles Simo (UB) ha presidit el comitecientıfic. L’organitzacio del congres tampoc nohauria estat possible sense la participacio delCentre Internacional de Metodes Numerics enl’Enginyeria (CIMNE), de la UPC. Mentre lesconferencies plenaries es van dur a terme a l’au-ditori de l’edifici Vertex del Campus Nord de laUPC, els minisimposis es van desenvolupar a laFME de la UPC.

L’objectiu del congres ha estat estimular no-ves lınies de recerca entre les arees d’equacionsen derivades parcials i sistemes dinamics, i cons-truir nous ponts entre la recerca fonamental,les aplicacions, i la industria. Amb aquest animhan vingut a Barcelona al voltant de cinc-cents

19

Page 22: Cob SCM Num 29 - blogs.iec.catblogs.iec.cat/scm/wp-content/uploads/sites/20/2011/02/N29.pdf · Inauguraci´o d’un zenit`ograf solar 42 Premis 44 Societat Catalana de Matematiques

noranta investigadors (cent-quaranta americans,cent vint espanyols, cinquanta asiatics i la restaeuropeus, essencialment) i s’han fet setze con-ferencies plenaries, tres-centes vint-i-nou presen-tacions repartides en vuitanta-nou minisimposis,noranta-quatre presentacions orals i quaranta-nou posters. Aquests numeros reflecteixen laimportancia i l’exit del congres.

Recordem que les equacions diferencials (or-dinaries i en derivades parcials) son una de leseines mes poderoses per modelitzar la natura,i que els sistemes dinamics, en un sentit ampli,permeten estudiar qualsevol fenomen que evolu-cioni amb el temps. Aixı, les equacions diferenci-als i els sistemes dinamics s’apliquen a multitudde camps, com per exemple: la difusio de la ca-lor, de substancies quımiques o de poblacionsbiologiques (incloent-hi el creixement tumoral);la deformacio de solids elastics; el moviment delıquids, gasos o plasmes (per modelitzar els cor-rents oceanics, el clima, la sustentacio de l’alad’un avio, l’extraccio de petroli o la filtraciode fluids i contaminants en el subsol); la pro-pagacio d’ones (acustiques, electromagnetiques,sısmiques); l’estudi de l’espai temps (equacionsd’Einstein i forats negres); l’evolucio dels actiusfinancers; el tractament de senyals i imatges;el moviment dels cossos celestes i el disseny demissions espacials.

A mes, tant les arees d’equacions en deri-vades parcials com dels sistemes dinamics in-teraccionen amb la majoria de les branques deles matematiques. Un exemple paradigmatic esel fet que el concepte de grup fonamental vaser introduıt per Henri Poincare per estudiarproblemes de mecanica celeste, i que la sevacelebre conjectura, pertanyent a l’area que araes coneix com topologia algebraica, va ser de-mostrada recentment pel matematic rus Grigori

Perelman utilitzant tecniques d’equacions enderivades parcials.

Molts d’aquests temes, i d’altres, s’han trac-tat en el congres. Pero aquest no ha estat nomesun punt d’interaccio entre matematics i cientıficsal mes alt nivell, sino que es van preparar ac-tivitats per a un public mes ampli, en formade conferencies divulgatives (science lectures)impartides per investigadors de fama mundial.Aixı, les conferencies mostren exemples d’inte-raccions de les matematiques amb l’esport, l’art,la medicina i la meteorologia, seguint l’esperitdel congres d’obrir (mes) les matematiques aaltres arees de la ciencia i la cultura.

Les quatre conferencies es van repartir en du-es sessions durant el dia 2 de juny, equador delcongres, una a l’auditori de l’edifici Vertex i l’al-tra, a la tarda, al paranimf de l’edifici historic dela UB. Al matı, el professor Manuel Doblare,de la Universitat de Saragossa, ens va parlar decom estudiar el creixement cel.lular i aplicar-lo als implants ossis a �Continuum models forcell behaviour. Application to mechanotaxis andimplant osseointegration modelling�, i el pro-fessor Kenneth M. Golden, de la Universitatd’Utah, ens va mostrar com l’estructura poro-sa del gel marı influeix en els processos a granescala que determinen l’evolucio del clima a lesregions polars i a la Terra a �Climate changeand critical behavior in sea ice�. A la tarda,l’impressionant paranimf de la UB es va omplirper escoltar les explicacions de la professora In-grid Daubechies, de la Universitat de Princeton,sobre l’estudi d’obres pictoriques, i en particularde Van Gogh, mitjancant tecniques de processa-ment d’imatges basades en l’analisi d’ondetes, ala conferencia �Mathematics meets art: Imageanalysis of paintings�. No sabem si cap dels as-sistents a la conferencia de Douglas N. Arnold,de la Universitat de Minnesota, va aprendre ajugar a golf aquella tarda de dimecres, pero elque es segur es que tothom va gaudir de l’analisimatematica de diferents aspectes d’aquest joca �Mathematics that swings: the math behindgolf�.

Es realment injust que destaquem aquestesquatre conferencies sobre la resta del congres,perque el nivell cientıfic ha estat excel.lent. Ames, l’auditori tambe va acollir tres interes-santıssimes taules rodones on es va parlar sobre�Dones i matematiques�, �Perspectives de fi-nancament i posdoctorats als Estats Units i

20

Page 23: Cob SCM Num 29 - blogs.iec.catblogs.iec.cat/scm/wp-content/uploads/sites/20/2011/02/N29.pdf · Inauguraci´o d’un zenit`ograf solar 42 Premis 44 Societat Catalana de Matematiques

Europa� i �Sumari i futures direccions� (derecerca).

Mentre les portes de l’edifici Vertex i delsaularis de la FME s’han tancat per a aquestcongres, esperem que aquest hagi obert les por-tes a noves sinergies i que les interaccions entreles arees dels sistemes dinamics i les equacionsen derivades parcials, i les seves aplicacions, no

siguin esporadiques sino que passin a ser habitu-als. Amb aquest objectiu s’han fet molts esforcosa tots els nivells, de les diverses societats, uni-versitats, instituts, dels comites organitzador icientıfic, dels voluntaris, i obviament, dels po-nents i organitzadors dels minisimposis. Per ames informacio: www.dspdes2010.org

Comite Organitzador

Les universitats informen

Activitats de la Facultat de Matematiques de la UB del curs 2009-2010

Aquest curs academic que ja acaba s’ha carac-teritzat perque es el primer any d’implantaciodels nous graus en matematiques i enginyeriainformatica, aixı com de les dobles titulacionsde matematiques i enginyeria informatica o ma-tematiques i fısica. Tots aquests graus han co-mencat amb forca i amb molt bons nombresde matrıcula. Preparem per al curs vinent lanova doble titulacio de matematiques i ADE(administracio i direccio d’empreses), que espe-rem que tambe tingui la mateixa acceptacio. Elfuncionament dels graus, i altres aspectes de lavida universitaria a la UB, van ser explicats alsfuturs estudiants durant la jornada de portesobertes que es va celebrar el 14 d’abril.

Com ja es habitual a la Facultat, aquestcurs tambe ha estat ple d’activitats relacionadesamb el mon de l’ensenyament secundari, o de ladivulgacio cientıfica.

Els dies 20 i 27 de gener, es va dur a terme lasegona xerrada taller, la primera es va fer al no-vembre, �Mapes i matematiques�, a carrec deldoctor Xavier Massaneda, que va explicar-nosles diferents projeccions que s’han fet servir alllarg de la historia per a confeccionar els mapesdel mon. El fil conductor de la cartografia vaservir per introduır el concepte de conformalitat.La participacio a les xerrades taller d’aquestcurs ha estat nombrosa, amb un total de milquatre-cents alumnes de quaranta-cinc centresdiferents d’arreu de Catalunya.

Les xerrades taller del proper curs tractaransobre nusos, a carrec del doctor Carles Casacu-berta, el 3 i el 10 de novembre i sobre sistemesmultiagents, amb la doctora Maite Lopez, el 19i el 26 de gener de 2011. Les inscripcions per ales xerrades-taller es fan durant el mes de setem-

bre. Si voleu rebre la informacio personalmentenvieu-nos un correu a [email protected] tambe si esteu interessats que vinguemal vostre centre per a fer alguna de les xerradesi/o tallers.

Una altra de les activitats anuals es laMatefest-Infofest, organitzada pels estudiants,que es va celebrar el 28 d’abril. Trobareu totsels detalls d’aquesta festa en un escrit en aquestmateix numero.

En l’ambit dels treballs de recerca en ma-tematiques, ja hem engegat les activitats desuport que realitzem habitualment. Aixı doncs,diversos estudiants de la facultat ja estan encontacte amb alumnes de secundaria als qualsajuden a realitzar els treballs de recerca, ambun acompanyament que arribara fins als voltsde Nadal. Aquesta es una experiencia sens dub-te enriquidora en tots dos sentits. Els treballss’assignen a la primavera, amb la coordinaciodel doctor Josep Vives, i tambe en podeu serinformats directament si aixı ho desitgeu.

Pel que fa a treballs de recerca en tecnolo-gia, hem tornat a posar en marxa l’activitatdels tallers d’intel.ligencia artificial, sessionsguiades pels nostres professors de l’Enginye-ria Informatica per a sis equips formats perestudiants de secundaria amb el tutor cor-responent, on s’ensenyen les bases per a laprogramacio de robots. L’experiencia culmi-nara el 2 de juliol amb una competicio entreels equips, que concursaran pel premi al mi-llor treball. Podeu trobar-ne tots els detalls awww.mat.ub.es/futurs−ub/activitats/taller−ia.php

Finalment, recordar-vos que enguany heminiciat les sessions de preparacio per a les Olim-pıades Matematiques. Aquesta activitat, que ja

21

Page 24: Cob SCM Num 29 - blogs.iec.catblogs.iec.cat/scm/wp-content/uploads/sites/20/2011/02/N29.pdf · Inauguraci´o d’un zenit`ograf solar 42 Premis 44 Societat Catalana de Matematiques

es duu a terme en altres universitats catalanes,ha arribat tambe a la UB, de la ma de JosepPla i Ignasi Mundet.

Per acabar, hem de dir que el 16 de junyvam celebrar la ja tradicional Trobada de la UBamb secundaria a la Facultat de Matematiques,en la qual va participar professorat d’ensenya-

ment secundari, tant de matematiques com detecnologia. La Trobada versa sobre �Sortidesprofessionals� de les matematiques i de la in-formatica, i es va desenvolupar amb forca exit departicipacio i d’interes per part dels assistents.

Trobareu mes informacio sobre les activitatsa: http://www.mat.ub.es/futurs−ub/activitats.

Nuria FagellaCoordinadora d’activitats per a secundaria

Facultat de Matematiques, UB

Activitats del Departament de Matematiques de la UAB durant la primavera del 2010

En el transcurs d’aquest primer semestre de2010, el Departament de Matematiques de laUAB ha organitzat novament diverses activi-tats divulgatives amb el clar objectiu d’acostarla cultura matematica a la nostra societat. To-tes aquestes activitats han estat especialmentadrecades a joves en formacio de l’ESO, de bat-xillerat o de la universitat, i a tots els seusprofessors.

Com cada primavera, des de ja fa prop d’unadecada, els Dissabtes de les Matematiques hantornat a ser els grans protagonistes de l’ofertaprimaveral del Departament de Matematiquesque enguany s’han realitzat durant el mes d’a-bril. L’objectiu ha estat oferir xerrades moltinteressants en diverses arees de la matematicatriades per l’interes i l’impacte que produeixena l’avenc actual de la ciencia i la tecnologia. Undels grans valors afegits a aquestes jornades sonels tallers que, posteriorment a la xerrada di-vulgativa, s’ofereixen als assistents per a poderparticipar de manera activa en experiments, jocsi concursos on posen en practica totes les einesintroduıdes en la xerrada. La gran afluencia depublic en aquesta edicio, superant amb escreixles nostres expectatives, ens anima a continuarorganitzant aquestes jornades que tenen unagran acollida.

Aquest any hem incorporat una novetat al’organitzacio d’aquestes jornades amb la col-laboracio del Departament de Fısica de la UAB.El dia 20 de febrer es va organitzar una sessioinaugural conjunta de les jornades dels Dissabtesde la Fısica i els de les Matematiques. Aquestasessio es va obrir amb la benvinguda del degade la Facultat de Ciencies de la UAB i els caps

dels departaments de Fısica i de Matematiques.Tot seguit, el professor Juan Campos, del De-partament de Fısica, ens va oferir la xerrada�¿Serıan posibles el Messenger i el Facebooksin los avances merecedores del Premio Nobelde Fısica 2009?� i el professor Juan J. Donaire,del Departament de Matematiques, va cloure lasessio amb una xerrada sobre les matematiquesque s’amaguen dins d’una camera digital, �Lesmatematiques d’una camera digital�.

Els Dissabtes de les Matematiques es vanreprendre al mes d’abril amb la segona de lesjornades que s’amagava sota el tıtol: �Quin esel poder de la marques? L’estadıstica: una einaper a prendre decisions� a carrec dels professorsAnna Espinal, Llorenc Badiella i Anabel Blas-co, del Servei d’Estadıstica de la UAB. Ambtota una analisi en directe de les enquestes fetesals participants de la sessio, varem poder veurecom la potencia de les eines estadıstiques perme-tia fer una presentacio de les dades obtingudescertament sorprenent. Aquesta jornada ens vaportar a reflexionar sobre els nostres habits deconsum ajudant-nos a prendre consciencia decom de susceptibles som al poder de les mar-ques i com aquestes poden arribar a influir enla nostra valoracio de molts productes. Tots hovarem poder comprovar despres d’haver analit-zat les nostres propies valoracions a tot tipusde productes: des de patates fregides, sucs defruita fins a perfums, mitjons i samarretes.

Tot seguit varem gaudir d’un dissabte ambmolta geometria. El professor Gregori Guasp,amb la sessio �El mon per un forat: geometriaprojectiva�, ens va introduir al mon de la geo-metria projectiva que s’amaga darrere de moltes

22

Page 25: Cob SCM Num 29 - blogs.iec.catblogs.iec.cat/scm/wp-content/uploads/sites/20/2011/02/N29.pdf · Inauguraci´o d’un zenit`ograf solar 42 Premis 44 Societat Catalana de Matematiques

tecniques utilitzades des dels pintors renaixen-tistes a aplicacions molt mes actuals, com laque podem trobar al �GoogleStreetView�. Enla part del taller varem posar en practica totesaquestes tecniques, tot deformant projectiva-ment figures enormes de paper, fent coincidirfotografies fetes des de perspectives diferents ifent panoramiques impossibles tot aprenent aenganxar diverses fotografies.

Dissabtes de les Matematiques, curs 2009-2010.

Les jornades es van tancar amb un dissabtemolt emocionant dedicat a l’enigmatic mon dela criptografia. La professora Rosa Camps ensva guiar en un recorregut per la historia delsduels entre criptografs i criptoanalistes. Vamaprendre com l’art de xifrar i desxifrar missat-ges ha anat evolucionant fins als nostres dies i elpaper fonamental que hi tenen les matematiques.El taller concurs va ser d’allo mes intens: elsparticipants, agrupats en equips de dos, vanposar-se a la pell d’espies professionals i van serreptats a desxifrar series de missatges en el me-nor temps possible. L’objectiu: poder aconseguirels obsequis reservats als tres millors equips.

A mes a mes d’aquestes jornades tan especi-als, en aquest curs academic 2009-2010, s’hantornat a organitzar les estades d’estudiants debatxillerat al Departament sota la coordinaciode la professora Natalia Castellana i mitjancant

el programa Argo a la UAB. Com en l’edicioprecedent, l’objectiu es l’elaboracio d’un dos-sier de material didactic de matematiques enun context actual. En el transcurs d’aquestesestades, d’una durada total de tres setmanes, esdissenyen un conjunt d’una dotzena d’activitats,amb el material i les justificacions matematiquescorresponents, amb les quals es van poder trac-tar diversos temes com, per exemple, la teoriade grafs i de nusos.

Cal destacar tambe la realitzacio de les ses-sions d’aprofundiment per a la preparacio de lesproves Cangur, en les quals van participar estu-diants de 3r i 4t d’ESO i de batxillerat, que vanseguir cada dimecres des del mes d’octubre fins ala realitzacio de l’examen, a carrec de les profes-sores Berta Barquero, Noemı Ruiz i Noelia Viles,sota la coordinacio del professor Josep Gascon.Si esteu interessats a participar en les futuresedicions d’aquestes sessions podeu posar-vos encontacte amb el Departament de Matematiquesescrivint un missatge a: [email protected].

Ara be, a mes de totes aquestes jornadeses desenvolupen altres activitats de suport i di-vulgacio. Des del Departament i mitjancant elprograma Argo de la UAB es dona suport aTreballs de Recerca en Matematiques. La tas-ca d’aquest programa es posar en contacte elsalumnes de batxillerat que ho sol.licitin amb elprofessor mes adient dins del Departament. Pera propiciar aquest contacte s’han realitzat diver-ses xerrades divulgatives, tant en els institutscom dins del campus de la UAB.

Per a mes informacio sobre aquestes ialtres activitats que estem organitzant, po-deu consultar la pagina web del Departamentwww.uab.cat/matematiques/ en el corresponentapartat de divulgacio. Tanmateix, el Departa-ment esta actualitzant la llista de distribucio percorreu electronic per informar puntualment detotes aquestes activitats. Us hi podeu subscriurea: mat.uab.cat/matuab-divulga.

Berta Barquero i Natalia CastellanaOrganitzadores, UAB

23

Page 26: Cob SCM Num 29 - blogs.iec.catblogs.iec.cat/scm/wp-content/uploads/sites/20/2011/02/N29.pdf · Inauguraci´o d’un zenit`ograf solar 42 Premis 44 Societat Catalana de Matematiques

Activitats de la FME de la UPC durant el quadrimestre de primaveradel curs 2009-2010

L’acte que habitualment marca l’inici de les acti-vitats del quadrimestre de primavera a la FMEes la jornada del matematic al qual es dedicael curs. El curs 2009-2010 ha estat el curs VonNeumann i la Jornada Von Neumann es va ce-lebrar el 24 de febrer de 2010. Es van impartirtres conferencies: �Von Neumann i la teoriade jocs�, a carrec de la professora Clara Pon-satı, de l’Institut d’Analisi Economica del CSIC;�Informatica y fısica cuantica�, a carrec delprofessor Juan Ignacio Cirac, del Max-Planck-Institut fur Quantenoptik i �Algebres d’opera-dors: un extraordinari llegat de Von Neumann�,a carrec del professor Pere Ara, de la UAB. Lesactivitats del curs Von Neumann van acabaramb la tradicional cloenda, celebrada el dia 5de maig. En aquest acte, el professor David Jou,de la UAB, va presentar el llibre L’ordinador iel cervell, de John von Neumann, i el professorGustavo Deco, de la UPF, va impartir la con-ferencia �Dinamica estocastica como principiode procesamiento en el cerebro�.

Taller de tast d’aigues.

Durant aquest quadrimestre, tambe hem as-sistit a diverses conferencies no vinculades di-rectament al curs Von Neumann. El dia 9 d’a-bril, per exemple, el professor Goro Shimura,de la Universitat de Princeton, ens va parlar de�Polynomial expressions for the critical valuesof Dirichlet’s L-functions�, mentre que el dia14 d’abril el professor Tim Myers, del CRM, vaparlar de �Industrial applications of mathema-tics�. Aixı mateix, Enrique Gracian, directorde la plataforma Sangakoo, i Ramon Eixarch,Managing Director de maths for more, ens vanpresentar el projecte Sangakoo a la xerrada �El

placer de las matematicas�, i el professor Jo-shua Tristancho i Raquel Gonzalez, integrantsde l’equip FredNet en el Google lunar X-Prize,ens van explicar �Como crear tu propio robotlunar igual que el Pico Rover que participa enel Google lunar X-Prize�.

La Facultat tambe ha acollit diverses activi-tats especıfiques per a estudiants de secundaria.Aquest es el cas d’algunes de les activitats or-ganitzades per la FEEMCAT i la SCM dinsel projecte ESTALMAT. Un esdeveniment quetambe ha tingut lloc a la FME ha estat, un anymes, la final del campionat d’�Auale�, que or-ganitzen un grup de professors i professores dematematiques. D’altra banda, la mateixa FMEha organitzat activitats adrecades a professors ialumnes de secundaria, com el �Taller de tastd’aigues�, en col.laboracio amb Agbar, o la xer-rada �Matematiques i musica: sons, espectres iescales�. Entre les activitats propies, conve des-tacar: el Premi Poincare i el planter de sondeigsi experiments.

Pel que fa al Premi Poincare, que organitzala FME des del curs 2003-2004, dirigit a estu-diants de segon de batxillerat que hi participenamb el seu treball de recerca, amb l’unic requi-sit que es tracti d’un treball en matematiquesi/o estadıstica. L’edicio d’enguany, la setena, hatingut la participacio de seixanta treballs, totsd’una qualitat remarcable. En l’acte de lliura-ment de premis del dia 14 de maig es van atorgar,a mes del Premi Poincare 2010, un segon i untercer premis, aixı com cinc mencions.

Una novetat important d’aquest quadrimes-tre ha estat la creacio d’un concurs totalmentcentrat en l’ambit de l’estadıstica: �El planterde sondeigs i experiments�. Grups d’entre tresi vuit estudiants d’ESO i batxillerat participen,sota la direccio d’un tutor, amb un treball derecollida de dades i de descripcio i analisi es-tadıstica d’aquestes dades. En aquesta primeraedicio del concurs hi van prendre part una tren-tena de grups i es van concedir un premi en lacategoria d’ESO, un en la categoria de batxille-rat i diverses mencions. L’acte de lliurament depremis es va celebrar el 28 de maig.

El vestıbul de la FME acull regularmentexposicions de caracter cientıfic, i aquest quadri-mestre de primavera no ha estat una excepcio.

24

Page 27: Cob SCM Num 29 - blogs.iec.catblogs.iec.cat/scm/wp-content/uploads/sites/20/2011/02/N29.pdf · Inauguraci´o d’un zenit`ograf solar 42 Premis 44 Societat Catalana de Matematiques

Durant el mes de marc hem gaudit de l’expo-sicio �Fotciencia7�, que recull una seleccio defotografies de la setena edicio del Certamen Na-cional de fotografıa cientıfica, FOTCIENCIA,convocat pel CSIC i la FECYT. Durant el mesd’abril hem pogut visitar l’exposicio �Mujeresy matematicas�, de la RSME.

Finalment, de les activitats organitzades pels

estudiants hem de destacar els Jocs Florals, el17e Concert de Primavera, celebrat el dia 21d’abril, i l’obra de teatre �La republica inde-pendent de Ca la Gloria�, adaptacio de l’obraGloria d’Eduardo Mendoza, que es va represen-tar els dies 28 i 29 d’abril.

Podeu trobar-ne mes informacio a la paginaweb www.fme.upc.edu.

Bernat PlansVicedega de Relacions, FME

Activitats de la SCM

Tretzena Trobada Matematica

El divendres 11 de juny varem celebrar, a laCasa de Convalescencia, seu de l’IEC, la Tret-zena Trobada Matematica de la SCM. Es moltagradable de veure que aquest esdeveniment haarribat a l’edicio tretzena i que, per tant, potcomencar ja a ser considerat com una tradicio.Si mireu la llista dels temes tractats al llargde tots aquests anys, veureu que es una bonamostra de la varietat i qualitat de la recerca enmatematiques que es fa al nostre paıs.

Aquest any la Trobada es dedica als �jovesmatematics catalans al mon�. Quatre matema-tics joves, pero que ja son una realitat, quetreballen a l’estranger, concretament a Parıs,Vanderbilt, Trodheim i Marsella, encara que enaquest darrer cas tambe a la UB, ens mostrarenels seus temes actuals de recerca. Crec que coin-cidiria amb tots els assistents en afirmar que lacomunitat matematica pot estar ben satisfeta dela forca, entusiasme i potencia d’aquesta novageneracio d’investigadors. Les conferencies va-ren ser molt atractives i els problemes tractats,tots d’una dificultat molt elevada, foren expo-sats d’una manera motivadora per als presents.

Encara que en fixar el dia de la Trobadas’havia tingut en compte no entrar en com-petencia amb les proves de les PAU, la vagacontra les mesures adoptades per a fer front ala crisi economica implica que al final hi haguescoincidencia. Aquest fet, juntament amb el sem-pre carregat final de curs, provoca que en els mo-ments de maxima assistencia no fossim mes detrenta-cincpersones. De totes maneres, crec quetots els que hi forem presents coincidirıem que vaser un plaer haver pogut assistir-hi.

La primera xerrada fou de Merce Romero,de l’Observatoire Astronomique de Marseillei de la UB, amb el tıtol �Les galaxies espi-rals. Tecniques teoriques i observacionals pera modelitzar-les�. Comenca mostrant-nos unaimpressionant imatge del cel, obtinguda pelHubble, en la qual es podia observar que lesgalaxies es distribueixen formant una mena defilaments. Despres presenta la classificacio quefan els astronoms de les galaxies segons la sevamorfologia. El seu interes era modelar els quatretipus de galaxies espirals amb barra, un exem-ple de les quals es la nostra Via Lactea, que,curiosament, com que hi som a dins, es la quemenys coneixem.

Recorda els treballs classics de Lindsan, enels quals les espirals resulten de la interacciogravitatoria entre les orbites de les estrelles, i enuna altra lınia els treballs dels xinesos Lin i Shui Toomre, els quals utilitzen ones de densitat.La Merce, en la seva recerca, fa servir eines desistemes dinamics per a tractar les equacions dela materia amb diferents potencials. S’obtenencinc punts d’equilibri, dels quals dos d’inestablesson els lligats a la barra, i les orbites periodiquesproperes son la porta d’entrada i sortida entre labarra i les espirals que constitueixen els bracosde la galaxia.

Finalment ens explica la comparacio del seumodel amb les dades observades pels astronoms,i acaba presentant el projecte del satel.lit Gaia,en el qual participa el seu equip.

La segona conferenciant del matı va serl’Eulalia Nualart, actualment maıtre de con-ference a la Universitat Parıs XIII. Ens parla

25

Page 28: Cob SCM Num 29 - blogs.iec.catblogs.iec.cat/scm/wp-content/uploads/sites/20/2011/02/N29.pdf · Inauguraci´o d’un zenit`ograf solar 42 Premis 44 Societat Catalana de Matematiques

sobre �L’aplicabilitat de la formula d’integracioper parts en un espai gaussia�. L’Eulalia dedicala seva xerrada al professor Paul Malliavin, undels grans matematics de la segona meitat delsegle xx, que morı amb mes de vuitanta anysla primera setmana de juny, i que es mantingueactiu fent recerca matematica fins al final.

Eulalia ens introduı el concepte de deriva-da de Malliavin, una derivada direccional enl’espai de les funcions contınues, amb direccionsdeterminades per funcions de l’espai de Came-ron Martin, es a dir, que provenen d’integraruna funcio de quadrat integrable, i que per-met derivar la integral d’Ito. A continuacio ensmostra el seu operador adjunt, la integral deSkorohod, i la peca central del calcul, la formulad’integracio per parts. Utilitzant aquestes eineses pot determinar, per exemple, si un funcio-nal del moviment brownia te densitat i la sevaregularitat.

Com a aplicacions de la formula d’integracioper parts ens presenta un article escrit en col-laboracio amb el professor Malliavin, redactatal despatx de la casa on vivia, a l’illa de SaintLouis, al centre de Parıs, en el qual estudiarenfites superiors i inferiors per a la densitat deles solucions d’equacions dirigides pel brownia.Tambe ens parla d’un treball de Gobet, Cor-cuera i Hida, en el qual apliquen el calcul deMalliavin per a trobar la fita de Cramer-Raoper a la variancia d’un estimador sense biaix.Finalment indica com tota aquesta teoria potservir per a les finances, i concretament per ala valoracio d’opcions put i call i el calcul deles gregues, que son les derivades parcials delpreu inicial respecte als diferents parametresdel model.

Per a acabar la sessio del matı, Manuel Cas-tellet feu una breu presentacio del Llibre blancsobre la recerca matematica a Catalunya, l’equipde redaccio del qual es J. del Castillo, X. Jar-que, M. Mitjana i Castellet mateix. Hi apleguenuna variada i completa informacio sobre distintsaspectes de la recerca en matematiques a Ca-talunya. S’hi pot accedir mitjancant l’adreca:http://taller.iec.cat/llibreblanc mat.

A la tarda hi hague dues conferencies mes.La primera, de Jordi Marzo, de la UniversitatNoruega de Ciencia i Tecnologia (NTNU), sobre�Digitalitzacio del senyal i conjunts de puntsben distribuıts�. L’objectiu era reconstruir unafuncio a valors complexos a partir de coneixer

les imatges en un conjunt discret de punts, ifer-ho a mes de manera estable. Per exemple, elteorema de Shannon ens permet la reconstruccioper a funcions de banda limitada i energia finitaa partir dels valors en els enters. Aixı doncs, elsenters son un exemple de conjunt de mostreig es-table, pero son, a mes, un conjunt de punts bendistribuıts en la recta amb densitat 1. Continuaestudiant la relacio entre l’existencia de puntsben distribuıts i el possible mostreig estable endominis com el cercle i l’esfera.

Els que vareu assistir a la conferencia inau-gural del curs passat a la SCM, recordareu queen Quim Ortega ens parla tambe sobre el pro-blema dels punts ben distribuıts. Es palesa laimportancia practica d’aquest tipus de questionsen camps diversos com, per exemple, la teoriadel senyal.

La darrera xerrada fou de Montse Casals,actualment a la Universitat Vanderbilt. De ladarrera SCM/Notıcies on, entre altres coses, ex-plica que la seva tesi doctoral va ser reconegudaamb el premi al millor treball de doctorat pre-sentat en Ciencies a la Universitat McGill, deMont-real.

La Montse ens parla sobre �Teories de pri-mer ordre i geometria algebraica sobre grups�.Despres de fer-nos un repas de conceptes elemen-tals de logica, ens recorda que les primeres equa-cions que es formalitzaren foren les diofantiques,es a dir, equacions a coeficients enters i solucionsenteres. Precisament, el dese problema de la llis-ta de Hilbert demanava construir un algorismeque determini la compatibilitat d’una equaciodiofantica. Matiyasevich, el 1970, demostra laimpossibilitat de l’existencia d’aquest algorisme.

Explica que el dese problema de Hilbert espot formular d’una manera mes general i per aqualsevol estructura en termes de les teories deprimer ordre. Quan les estructures que es con-sideren son els grups lliures, aquest problemaes coneix com el problema de Tarski. En con-trast amb el cas diofantic, Makanin construı unalgorisme que determina la compatibilitat d’unsistema d’equacions de coeficients i solucionsen un grup lliure. La teoria desenvolupada pera resoldre el problema de Tarski ha establertdistintes connexions entre la teoria de models,la geometria i la teoria de grups.

Un altre dels problemes de Tarski resoltsrecentment usant tecniques similars, es el de ladecidibilitat de la logica de primer ordre per a

26

Page 29: Cob SCM Num 29 - blogs.iec.catblogs.iec.cat/scm/wp-content/uploads/sites/20/2011/02/N29.pdf · Inauguraci´o d’un zenit`ograf solar 42 Premis 44 Societat Catalana de Matematiques

grups lliures: existeix un algorisme que decideix,donada una sentencia logica de primer ordre, siaquesta es certa o no en un grup lliure prefixat.I, sorprenentment per als profans en la materia,resulta que les teories de tots els grups lliures,exceptuant Z, coincideixen. Es a dir, el conjuntde sentencies logiques que son certes en un gruplliure de rang n > 2 no depen de n. Dit d’unaaltra manera, la logica de primer ordre no potdistingir entre grups lliures de rangs diferents,i aixo coexisteix amb el fet que grups lliuresde rangs diferents no son isomorfs entre si, undels primers exercicis facils en un curs d’algebrasuperior.

La Montse va acabar la xerrada presentant-nos l’ambicios projecte de recerca en el qual

treballa: seguir un programa similar per als ano-menats PC-grups (o grups parcialment commu-tatius). El PC-grup associat a un graf X es elgrup que te com a generadors els vertexs de Xi una relacio de commutacio entre cada pare-lla de vertexs que estiguin units per una aresta(els grups lliures i lliures abelians en son elsdos casos mes extrems: EX = ∅ i graf complet,respectivament). Ja ha aconseguit demostrar elteorema de decidibilitat de sistemes d’equaci-ons sobre aquesta famılia de grups, i ara voldedicar els esforcos al pas seguent: completar laclassificacio logica d’aquests grups.

Esperem retrobar-nos la propera primavera,a la catorzena edicio de la Trobada.

Josep Lluıs SoleUAB

CSASC: trobada conjunta de les societats matematiques de Txequia,Eslovaquia, Austria, Eslovenia i CatalunyaPraga, del 22 al 27 de gener de 2010

Del 22 al 27 de gener es va fer a Praga la tro-bada conjunta de les societats matematiques deTxequia, Eslovaquia, Austria, Eslovenia i Cata-lunya. La idea d’aquesta trobada es va generardespres de la segona trobada bilateral entre lessocietats de Txequia i Catalunya que es va fer aBarcelona el setembre del 2006 amb el propositd’afegir nous companys de viatge en aquestaaventura. Tradicionalment la societat austrıacacelebrava reunions bilaterals amb eslovacs i es-lovens i, obviament, hi ha lligams molt estretsentre les societats txeca i eslovaca. D’aquestamanera, fruit d’una dinamica existent, a una tro-bada conjunta centrada en matematica discretaque es va fer a Viena el 2009 va decidir-se que elgener de 2010 es faria aquesta, el CSASC (quea proposta de matematics catalans es pronunciaTXSASC), a Praga.

Malgrat (o potser a causa de) un ritme d’or-ganitzacio viu i agil en el temps, que ha mobilit-zat tots els recursos en poc menys de tres mesos,l’esdeveniment ha estat un gran exit, amb unaparticipacio de mes de cent vint matematics,prop del doble de les previsions. Com es habitu-al en aquest tipus de trobades, es van organitzarseccions tematiques, que foren les deu seguents:

• Differential geometry and mathematical phy-

sics, responsables Xavier Gracia (Barcelona),Olga Krupkova (Olomouc).• Discrete algorithms and computational com-plexity, responsables Jan Kratochvil (Praga),Oriol Serra (Barcelona).• Discrete dynamical systems, responsables JosefBobok (Praga), Armengol Gasull (Barcelona).• Enumerative and analytic combinatorics, res-ponsables Michael Drmota (Viena), Martin Kla-zar (Praga).• Function spaces and applications, responsableLubos Pick (Praga).• Mathematical physics, responsables Pavel Ex-ner (Praga), Gerald Teschl (Viena).• Mathematics of secret sharing, responsablesFrantisek Matus (Praga), Carles Padro (Barce-lona).• Stochastic analysis responsables Bohdan Mas-lowski (Praga), Marta Sanz-Sole (Barcelona).• Topological, geometric and algebraigraph the-ory, responsables Roman Nedela (Banska Bys-trica), Tomaz Pisanski (Ljubljana), Pavel Valtr(Praga).• Triangulated categories, responsables CarlesCasacuberta (Barcelona), Jirı Rosicky (Brno).

Val a dir que, despres de la txeca, la partici-pacio catalana ha estat de bon tros la mes activa,

27

Page 30: Cob SCM Num 29 - blogs.iec.catblogs.iec.cat/scm/wp-content/uploads/sites/20/2011/02/N29.pdf · Inauguraci´o d’un zenit`ograf solar 42 Premis 44 Societat Catalana de Matematiques

amb la coorganitzacio de sis de les seccions, mesde trenta-cinc participants catalans i dues con-ferencies plenaries, de Marta Sanz-Sole i JoanPorti, d’un nivell excel.lent. El pes de la parti-cipacio catalana va ser explıcitament reconeguten l’acte d’obertura de la trobada (que, seguintl’originalitat caracterıstica dels nostres amicstxecs, es va fer al final del segon dia de sessions).La impressio general ha estat molt satisfactoriai confirma la vocacio oberta dels matematicscatalans, tant des de l’optica geografica com desde la multidisciplinaria, cosa que reflecteix unamolt bona salut de la comunitat matematica delnostre paıs.

Grup de participants.

Des del punt de vista cientıfic i professio-nal, la trobada va ser d’un gran nivell. Unacooperacio tan propera en una trobada d’aques-tes caracterıstiques reforca indubtablemnet els

vincles entre col.laboradors i consolida el sen-tit d’un projecte cientıfic comu. D’altra banda,contribueix a difondre els avencos dels diferentscamps de les matematiques fora dels cercles es-pecialitzats i a mantenir una visio global quel’especialitzacio tendeix de vegades a fragmentarexcessivament.

Agraım sincerament els esforcos dels orga-nitzadors locals de la trobada, Daniel Hlubinka,Bohdan Maslowski i Lubos Pick, molt especial-ment a Jiri Fiala, secretari de la Societat Ma-tematica Txeca i responsable del gruix de l’or-ganitzacio, i al seu president, Jan Kratochvil,que tot i mantenir un elevat nivell d’exigenciai rigor, han sabut crear una atmosfera extre-mament agradable i acollidora. Agraım tambela Universitat Karlova de Praga, i en especialla Facultat Matematicko-fyzikalnı, que ha ceditgentilment les seves magnıfiques instal.lacions alcor de la ciutat per aquest esdeveniment. Final-ment hem d’agrair tambe a Carles Casacuberta,Armengol Gasull, Xavier Gracia, Carles Padro,Marta Sanz-Sole i Oriol Serra, la seva excel-lent dedicacio a l’organitzacio de les sessionstematiques de la trobada.

La idea de fer trobades d’aquestes carac-terıstiques, que suposen un complement enriqui-dor a les grans reunions de caire continental ouniversal, s’ha valorat molt positivament i jahi ha propostes de reeditar-les el 2011 i el 2013(el 2012 hi ha el congres europeu), probable-ment incorporant-hi nous companys del nostrecontinent.

Oriol SerraUPC

L’esprint del Cangur

�[...] Els homes ocupen molt poc espai a la Ter-ra. Si els dos mil milions d’habitants que poblenla Terra estiguessin drets i una mica estrets,com en una manifestacio, cabrien facilment enuna placa publica de vint milles de llarg pervint milles d’ample. Tota la humanitat podriaencabir-se en un illot del Pacıfic. La gent gran,es clar, no us creuran. S’imaginen que ocupenmolt d’espai. Es creuen importants com baobabs.Els heu d’aconsellar de fer el calcul. Adoren lesxifres, els agradara de fer-ho.�

Amb aquesta citacio d’El Petit Prıncep, pre-guntant quantes persones per metre quadrathi hauria en aquesta manifestacio que aplega-

va tota la humanitat comencaven els reptes dela darrera convocatoria dels �Problemes a l’es-print�, una activitat per a equips de centreque va neixer a redos del nostre Cangur i ques’ha anat consolidant com una iniciativa moltreeixida.

Els missatges que rebem dels centres ensanimen a continuar en la convocatoria d’a-questa activitat que ara fem conjuntamentla SCM, la FEEMCAT i el CREAMAT, dela qual podeu llegir-ne informacio detalladaa http://www.xtec.cat/actimates. Vegeu-ne dosexemples: �Ja esperem amb impaciencia novesconvocatories perque la veritat es que ens ho

28

Page 31: Cob SCM Num 29 - blogs.iec.catblogs.iec.cat/scm/wp-content/uploads/sites/20/2011/02/N29.pdf · Inauguraci´o d’un zenit`ograf solar 42 Premis 44 Societat Catalana de Matematiques

passem molt be, sigui en 20, 30 o 90 minuts� in-serit en un debat sobre el temps de respostaextraordinariament rapid de l’equip guanyador,l’IES Vicens Vives de Girona, o be un altre,aquest despres de la convocatoria del mes degener �Us felicitem per l’activitat. Ens ho hempassat mooolt be. Hem mobilitzat un total de30 xiques i xics de 3r i 4t d’ESO, i 1r i 2n debatxillerat. Tots ells cangurets i canguretes. Elseixia fum del cap quan ha comencat a nevar!Ha estat tot un espectacle.�

Les xifres de participacio son prou impor-tants (quaranta-quatre equips en la convocatoriade gener, vint-i-dos centres el dia dedicat al ciclesuperior de primaria, cinquanta-tres equips enl’esprint del primer cicle d’ESO, cinquanta-setequips de centre en la convocatoria d’abril) i esinteressant de destacar que cada vegada hi hahagut representacio de centres de Catalunya, deles Illes Balears i de la Comunitat Valenciana.Es a dir, que els Problemes a l’esprint avancena bon ritme. No tant com ho podria fer el PetitPrıncep, que tornava a sortir en un altre repte...

�[...] El Petit Prıncep es va decidir a dema-nar una gracia al rei:—M’agradaria de veure una altra posta de sol...Feu-me la merce... Maneu al sol de pondre’s.— Si jo manava a un general de volar d’una flora l’altra, com si fos una papallona, o d’escriureuna tragedia, o de canviar-se en ocell de mar, iel general no complia l’ordre rebuda, qui estariaequivocat, ell o jo?—Vos, digue amb fermesa el Petit Prıncep.—Exacte, cal exigir de cadascu el que cadascu potdonar, observa el rei. L’autoritat reposa primerde tot sobre la rao. Si manes al teu poble detirar-se al mar, fara la revolucio. Jo puc exigirobediencia perque les meves ordres son raona-bles.—I la meva posta de sol? —recorda el PetitPrıncep...�

En el nostre enunciat va apareixer una vari-acio respecte a la narracio d’Antoine de Saint-Exupery:

�[...] — T’ordeno que immediatament queaquı s’hagi post el Sol, volis amb la imaginaciocap a l’oest H hores a una velocitat de 2.010km/h i aixı, quan hi arribis podras veure unaaltra posta de sol.�

H era un nombre que s’havia de coneixera partir de la solucio d’un altre problema i estractava de calcular quanta estona s’hauria d’es-

perar el Petit Prıncep per a la seva posta desol... si es que hi arribava a temps! Que sı quehi arribava!

Com tambe van arribar a temps els trenta-sis relats per al sise Concurs Cangur de Re-lats de contingut relacionat amb el mon de lesmatematiques, una activitat interdisciplinariaque la SCM tambe valora molt positivament iper aixo hi dona continuıtat. El jurat va analit-zar la qualitat dels treballs rebuts enguany, lava considerar globalment superior a la d’altresanys, i va decidir atorgar un primer premi i tresaccessits, i publicar al web una amplia selec-cio de les narracions rebudes. Podeu veure-ho ahttp://www.cangur.org/relats/relats2010.

El relat guanyador es �El poder de la rao�,del qual es autor Jaume Castells Ascaso, alumnede 4t d’ESO, de l’Institut Can Jofresa de Terras-sa, que fa una reflexio sobre el mite d’Aquil.lesi la tortuga i acaba aixı:

�[...] El veritable problema de fons de la pa-radoxa era l’infinit. I amb aquest infinit venialligat el zero, un nombre que va causar estralls ala mentalitat occidental molts segles despres. Lagran dificultat per resoldre l’enigma era que espressuposava que la carrera durava eternament.Fins al segle xvii no es va poder demostrar queaquesta endevinalla que havia inquietat mentsbrillants durant mes de dos mil anys no de-mostrava cap teoria eleatica. James Gregory vaaconseguir la solucio (que Aquil.les arribes alpunt on hi havia la tortuga) aplicant calculs ambnombres infinits. Aixo sı, tenia la inestimableajuda del zero. Quan una serie infinita tendeix azero, la suma de nombres infinits pot donar unresultat finit. I aixı es com es va resoldre la tancomplicada paradoxa i Aquil.les va recuperar elseu honor com a gran corredor.�

Molts alumnes corren a fer problemes en elsproblemes a l’esprint. Aquil.les corre en aquestrelat. I corre �viento en popa, a toda vela� elvaixell Cangur, que avanca a l’esprint amb unexit continuat, any rere any.

La singladura del Cangur 2010, el quinzeCangur de la SCM, va comencar de fet quanes va acabar el Cangur 2009 i amb la reunio dela comissio catalano-valenciano-balear durantel mes de setembre. Circumstancies diverses,com ara la data de celebracio de la prova i laconveniencia de descentralitzar l’administracio,cosa interessant per apropar-la als centres i perl’augment de participacio, van aconsellar que a

29

Page 32: Cob SCM Num 29 - blogs.iec.catblogs.iec.cat/scm/wp-content/uploads/sites/20/2011/02/N29.pdf · Inauguraci´o d’un zenit`ograf solar 42 Premis 44 Societat Catalana de Matematiques

partir del 2010 el Cangur de la SCM tingui l’or-ganitzacio que es reflecteix en el mapa seguent.

L’itinerari del Cangur 2010 ens va portara final d’octubre, a Minsk (Bielorussia) per ala trobada internacional de Le Kangourou sansfrontieres, on, recordem-ho, la SCM hi te repre-sentacio nacional propia. Si afegim que aquestarepresentacio es per a les diverses terres de par-la catalana i que tot plegat es fa amb perfectaamistat i companyonia amb la gent d’Espanyai de tots els altres paısos, segurament aixo ensportara a pensar que amb bona voluntat tambeseria possible en moltes altres facetes.

D’aquestes trobades es torna amb les pro-postes d’enunciats per al Cangur. La comissioels estudia a fons, els tradueix i els adapta si cal,mira si conve canviar-ne algun amb problemessuplents que ha suggerit la comissio internaci-onal i en demana la revisio a alguns assessors(esmentem en aquest aspecte un agraıment moltespecial al doctor Vaquer). Mentrestant ja s’haengegat la inscripcio de centres i posteriormentla inscripcio individual i la comissio treballa peragrupar els centres en seus per al dia de la ce-lebracio de la prova. I tot es va fent i avancasense pausa i, com cada any, es desenvolupael Cangur amb exit. Va comencar amb 1.313alumnes de cent tretze centres el Cangur-96 ienguany s’ha arribat a Catalunya, arrodonint,fins a 17.000 alumnes i quatre-cents norantacentres. Aquestes dades representen un sensibleaugment de participacio, al voltant del 8 % res-pecte a l’any anterior, tant d’alumnes com decentres. I si sumem la participacio de les treszones geografiques del Cangur s’arriba a mes

de 25.000 alumnes i a mes de set-cents centres.Una bona dada, oi que sı? Podeu analitzar-hoamb tot detall a http://www.cangur.org/

Els trenta enunciats que es plantegen a l’a-lumnat que participa en el Cangur s’agrupen entres nivells de dificultat, de 3 punts, de 4 punts ide 5 punts. Tot seguit us mostrem alguns enun-ciats d’exercicis que semblaven facils pero quehan enganyat l’alumnat. Al nivell 1 el problemade 3 punts que mes ha enganyat ha estat aquest:

Quin es el perımetre de la figura? (tots elsangles son rectes)

Les opcions de resposta es donaven com a pro-ductes indicats i nomes el 51,2 % de l’alum-nat participant va donar la resposta correcta:6× 5 + 8× 2.

Al nivell 2 el problema 9 (del terc facil),acompanyat d’un grafic explicatiu, feia aixı: Unquadrat esta dividit en quatre quadrats petits dela mateixa mida. S’han de pintar cadascun delsquadrats petits de color blanc o be de color gris.De quantes maneres diferents podem pintar elquadrat? Doncs segurament no era tan facil, per-que no ha arribat al 10 % el nombre d’alumnesque han contestat encertadament que hi havia6 maneres.

Pel que fa al nivell 3 (1r de batxillerat), po-deu creure que el 55,7 % dels participants hacontestat malament el problema 3? En una filahi ha els nombres 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10i 2010. En una altra fila, col.locats just a sotadels altres hi ha els nombres 11, 12, 13, 14, 15,16, 17, 18, 19, 20 i ∗. Quant ha de ser ∗ si lesdues files tenen la mateixa suma?

Tambe ha estat fatıdic al nivell 4 el proble-ma anterior, que aquı era el segon i que tambehan contestat malament mes de la meitat delsalumnes. I tambe en aquest nivell ha causat es-tralls el problema 3, al qual nomes han donatresposta correcta el 36 % de participants. Tenimdos recipients cubics sense tapa. Un te l’areade la base igual a 1dm2. L’altre la te de 4dm2.Volem omplir d’aigua el cub gros i la portaremd’una font amb el cub petit. Quantes vegadeshaurem d’anar a la font?

Hem transcrit aquests enunciats com a meraanecdota. No es tracta pas de dir que poc que

30

Page 33: Cob SCM Num 29 - blogs.iec.catblogs.iec.cat/scm/wp-content/uploads/sites/20/2011/02/N29.pdf · Inauguraci´o d’un zenit`ograf solar 42 Premis 44 Societat Catalana de Matematiques

saben els alumnes!, sino de pensar com una si-tuacio de tensio, pel fet de voler resoldre moltsproblemes en poc temps (se’n plantegen trentaen una hora i un quart) pot arribar a enganyar ia fer respondre malament coses que amb calmasegur que es farien be. Mes aviat volem dir que,al costat d’altres exits que ja hem comentat,tambe es un exit molt gran el nivell global deles respostes d’una bona part dels alumnes quehi participen. Si ho mirem aixı, el que correspones dir: com se’n surten, de be, els alumnes, enel Cangur!

Deixem ja l’aspecte matematic i tornem al’ambit organitzatiu per dir que el nostre Cangurte una caracterıstica que el diferencia respectedel sistema d’organitzacio d’altres paısos, quefan el Cangur com una activitat de classe. Elnostre alumnat s’agrupa en seus i aixı encara esdona mes la idea de festa col.lectiva de les ma-tematiques. Enguany, a Catalunya han estat untotal de noranta-sis seus (vint en centres univer-sitaris pertanyents a deu universitats diferents—amb una seu nova l’any 2009 a la Universitatd’Alacant i una altra enguany al campus deCastelldefels de la UPC—; nou en centres cıvics—amb la novetat l’any 2009 de seus municipals aCardedeu i a Badalona i enguany a Figueres—;la resta en centres de secundaria).

La col.laboracio de les universitats es inesti-mable i per aixo la comissio vol agrair la possibi-litat de fer l’acte d’entrega de premis en una seuuniversitaria, on som acollits de manera immillo-rable, any rere any. Aquest 2010 l’acte d’entregade premis de Catalunya es va celebrar al Cam-pus la Salle de la Universitat Ramon Llull, el 18de maig, presidit per la doctora Esther Gimenez-Salinas, Rectora Magnıfica de la URL, i amb lapresencia de l’Honorable Conseller d’Educacio

de la Generalitat de Catalunya. El mateix dia18 de maig, a la Universitat Jaume I de Castelloes va fer l’entrega de premis per a alumnes dela Comunitat Valenciana i el dia 4 de juny, aCiutat de Mallorca, a la Universitat de les IllesBalears es va fer el que correspon a alumnesde ses Illes. Gracies de part de la SCM i de lacomissio Cangur per aquesta col.laboracio!

Acabem amb una reflexio ludica que vamfer durant l’acte d’entrega de premis. Ens pre-guntem quina es la probabilitat de tenir falladadirecta o semifallada si juguem a la boutifarra?Aquest problema no ha sortit mai al Cangur,pero sı algun altre semblant. Potser fins i totals aficionats a aquest joc els sorprendra saberque la probabilitat esmentada s’acosta al 50 %.I si ens preguntem quina es la distribucio mesprobable en una ma del joc de la botifarra, hemde dir que no es pas el repartiment uniforme,sino que l’atzar no es tan equitatiu, es 4, 3, 3, 2.

Potser us preguntareu: aixo, que hi te a veu-re amb el Cangur? Si el repartiment dels 177premis i mencions entre els 17.000 alumnes i 490centres es fes aleatoriament, quants centres apa-reixerien a la llista? Aquest seria un problemamolt i molt laborios. Pero n’hem fet simulacionsamb l’ordinador i n’apareixen al voltant de 120.I ens trobem que si considerem la relacio efec-tiva dels nois i noies amb premi o mencio en elCangur 2010 apareixen esmentats 114 centres.Creiem que aquesta �diversitat geografica en elspremis� es una dada que nomes es pot valorarde manera excel.lent i la SCM se’n mostra moltsatisfeta. Gracies per la col.laboracio de tothom,institucions, centres de secundaria, professoresi professors i alumnes, es clar! Sense la vostratasca aquest exit no seria possible.

Moltes gracies i benvinguts al Cangur 2011!

Antoni Goma i Marta BeriniComissio Cangur

XLVI Olimpıada Matematica Espanyola

Del 25 al 28 de marc de 2010 s’ha celebrat, aValladolid, la fase final de la XLVI OlimpıadaMatematica Espanyola (OME) a la Facultat deCiencies de la Universitat de Valladolid. L’orga-nitzacio d’aquesta edicio de l’OME ha estat acarrec de la Universitat i l’Ajuntament de Va-

lladolid, i de la Comissio d’Olimpıades de laRSME, coordinats pel professor Cesareo Gon-zalez, actual director del Departament de Ma-tematica Aplicada de la Universitat de Valla-dolid, i del seu equip de col.laboradors ambel professor Francisco Bellot Rosado al capda-

31

Page 34: Cob SCM Num 29 - blogs.iec.catblogs.iec.cat/scm/wp-content/uploads/sites/20/2011/02/N29.pdf · Inauguraci´o d’un zenit`ograf solar 42 Premis 44 Societat Catalana de Matematiques

vant. Pot trobar-se informacio detallada al webhttp://www.est.cie.uva.es/∼olimat/ome.htm.

L’equip catala estava format pels guanya-dors de la XLVI Olimpıada Catalana de Ma-tematiques, que se celebra el mes de desembrede 2009.Primers premis: Xavier Fernandez-Real Girona,IES Jaume Vicens Vives (Girona, 2n de batxi-llerat), Guillem Alsina Oriol, IES Jaume Callıs(Vic, 2n de batxillerat), i Bru Martinell Chi-cano, IES Jaume Vicens Vives (Girona, 2n debatxillerat).Segons premis: Gerard Neras Lozano, IES JaumeVicens Vives (Girona, 2n de batxillerat), FerranAlet Puig, Aula Escola Europea (Barcelona, 1rde batxillerat) i Julia Alsina Oriol, IES JaumeCallus (Vic, 4t d’ESO).Tercers premis: Marc Ballbe Ferrero, Aula EscolaEuropea (Barcelona, 4t d’ESO), Darıo Nieuwen-huis Nivela, Aula Escola Europea (Barcelona,4t d’ESO), i Pere Planell Morell, Aula EscolaEuropea (Barcelona, 2n de batxillerat).

El mes important, sens dubte, han estatels participants que, procedents de tot Espa-nya, han competit per formar part dels equipsque representaran Espanya a l’Olimpıada In-ternacional (IMO) a Astana (Kazakhstan) aljuliol de 2010 i posteriorment en l’OlimpıadaIbero-americana a Asuncion (Paraguai) al se-tembre de 2010. La competicio ha consistit aresoldree sis problemes en dues sessions, els di-es 26 i 27. Un jurat format per exolımpics imembres de la Comissio d’Olimpıades ha estatl’encarregat d’elaborar els criteris de correccioi d’assignar les puntuacions a les solucions pre-sentades pels concursants. No cal dir que, comcada any, tot aixo ha estat coordinat per la Co-missio d’Olimpıades de la RSME, amb MarıaGaspar, presidenta, al capdavant. La nostra sin-cera felicitacio i agraıment a tots plegats perl’excel.lent treball que desinteressadament hanrealitzat. Tambe volem agrair la presencia delpresident de la RSME i de les autoritats au-tonomiques, provincials, locals i academiques,que ens han acompanyat en les cerimonies delliurament de premis d’aquesta Olimpıada i quehan permes, amb el seu suport, que es poguesdur a terme.

Els problemes proposats van ser:

1. Una successio vallisoletana es una successiocreixent de setze nombres senars positius con-

secutius, la suma dels quals es un cub perfec-te. Quantes successions vallisoletanes tenennomes nombres de tres xifres?

2. Siguin N0 i Z el conjunt de tots els nombresenters no negatius i el conjunt de tots els nom-bres enters, respectivament. Sigui f : N0 → Zla funcio que a cada element n de N0 li associacom a imatge l’enter f(n) definit per

f(n) = −f(⌊n

3

⌋)−

{n

3

}on bxc es la part entera del nombre real x i{x} la seva part decimal. Determineu el me-nor enter n tal que f(n) = 2010.

Nota: La part entera d’un nombre real x, de-notada per, bxc es l’enter mes gran que nosupera a x. Aixı, b1, 98c = 1, b−2, 001c = −3.

3. Sigui ABCD un quadrilater convex. Sigui Pla interseccio d’AC i BD. L’angle ∠APD val60◦. Siguin E,F, G i H els punts mitjans delscostats AB,BC,CD i DA respectivament.Trobeu el nombre real positiu k mes gran,tal que

EG + 3HF ≥ kd + (1− k)s

on s es el semiperımetre del quadrilaterABCD i d la suma de les longituts de lesseves diagonals. Quan s’assoleix la igualtat?

4. Siguin a, b, c tres nombres reals positius. De-mostreu que

a + b + 3c

3a + 3b + 2c+

a + 3b + c

3a + 2b + 3c+

+3a + b + c

2a + 3b + 3c≥ 15

8.

5. Sigui P un punt qualsevol de la bisectriu del’angle A en el triangle ABC, i siguin A′, B′,C ′ punts respectius de les rectes BC, CA, ABtals que PA′ es perpendicular a BC, PB′ esperpendicular a CA i PC ′ es perpendiculara AB. Demostreu que PA′ i B′C ′ es tallensobre la mitjana AM , on M es el punt mitjade BC.

6. Sigui p un nombre primer i A un subcon-junt infinit dels nombres naturals. Sigui fA(n)el nombre de solucions distintes de l’equaciox1 +x2 + . . .+xp = n, amb x1, x2, . . . , xp ∈ A.Existeix algun nombre natural N tal quefA(n) sigui constant per a tot n > N?

32

Page 35: Cob SCM Num 29 - blogs.iec.catblogs.iec.cat/scm/wp-content/uploads/sites/20/2011/02/N29.pdf · Inauguraci´o d’un zenit`ograf solar 42 Premis 44 Societat Catalana de Matematiques

Els guanyadors de medalla d’or son AnderLamaison Vidarte (Estella/Lizarra), Moises He-rradon Cueto (Madrid), Byoung-Tae Bae (Ma-drid), Pablo Boixeda Alvarez (Madrid), XavierFernandez-Real Girona (Girona) i Guillem Alsi-na Oriol (Vic/Barcelona).

Els concursants catalans Gerard Neras Lo-zano, Ferran Alet Puig, Bru Martinell Chicanoi Darıo Nieuwenhuis Nivela van obtenir meda-lla de plata, i Pere Planell Morell va obtenirmedalla de bronze.

Josep Grane i Jose Luis Dıaz-BarreroUPC

Setena Jornada d’Ensenyament de les MatematiquesFEEMCAT, SBM Xeix, SCM

Els ordinadors a l’aula des d’infantil fins a la universitat:noves obertures i nous problemes

Dissabte, 16 d’octubre de 2010

• L’objectiu es debatre sobre les possibilitats i dificultats que pot su-posar la progressiva introduccio dels ordinadors a l’aula. Com canvial’ensenyament i l’aprenentatge de les matematiques? Quines novesactivitats es poden dur a terme? Amb quines restriccions ens podemtopar? Fins a quin punt es modifiquen els continguts i la naturalesa del’activitat matematica que es vol transmetre? Una questio transversal,que afecta tot el professorat, des d’infantil fins a la universitat.

• Al matı es fara una taula rodona seguida d’un debat amb els partici-pants i a la tarda quatre presentacions en paral.lel.

Aviat informarem dels ponents i de les experiencies que presentaran.Comptarem amb la presencia de Ferran Ruiz, responsable d’avaluacio iprospectiva de les TIC al sistema educatiu, del Departament d’Educacio.

De moment, doncs, apunteu-vos la data a l’agenda i prepareu les questionsi problemes que us planteja aquest tema per poder-lo debatre a la Jornada.El forum de la SCM ja esta habilitat i ens pot servir per preparar eldebat. Mes informacio a http://scm.iec.cat

Comite Organitzador

33

Page 36: Cob SCM Num 29 - blogs.iec.catblogs.iec.cat/scm/wp-content/uploads/sites/20/2011/02/N29.pdf · Inauguraci´o d’un zenit`ograf solar 42 Premis 44 Societat Catalana de Matematiques

Agenda

i-Math DocCourse: Computational Me-thods in Dynamical Systems and Appli-cations

Data i lloc: de setembre a desembre de 2010, ala UB.Coordinadors: A. Jorba (UB) i C. Nunez (U.Valladolid)

http://www.imub.ub.es/doc10/

Programa de recerca:�On Variational Analysis and Optimiza-tion: Theory and Applications�Data i lloc: de setembre a desembre de 2010, alCRM.Coordinadors: A. Daniilidis (UAB), J. E. Mar-tınez-Legaz (UAB) i A. Ferrer (UPC)

http://www.crm.cat/

Advanced Course on Integral Geometryand Valuation Theory

Data i lloc: del 6 al 10 de setembre de 2010, alCRM.Comite cientıfic: E. Gallego (UAB), X. Gual(UJI), G. Solanes (UAB), E. Teufel (U. Stutt-gart).

http://www.crm.cat/acintegralgeometry

Galois Theory and Explicit Methods

Data i lloc: del 6 al 10 de setembre de 2010, a laUB.Organitzadora: Teresa Crespo

http://www.ub.edu/GTEMFinalConference

Conference on Numerical Optimizationand Applications in EngineeringData i lloc: del 13 al 15 d’octubre de 2010, alCRM.Comite organitzador: A. Daniilidis (UAB), A. Fer-rer (UPC), A. A. Juan Perez (UOC).

http://www.crm.cat

Jornada Tematica sobre Trenzas

Data i lloc: 22 i 23 d’octubre de 2010, a la UB.Organitzadors: C. Casacuberta (UB), J. Gon-zalez-Meneses (U. Sevilla).

http://www.imub.ub.es/braids10/

International Conference on Advances inOptimization and Related TopicsData i lloc: del 29 de novembre al 3 de desembrede 2010, al CRM.Comite organitzador: A. Daniilidis (UAB), A. Fer-rer (UPC), J. E. Martınez-Legaz (UAB).

http://www.crm.cat/

I Trobada Matematica Catalano-Sueca

Data i lloc: del 16 al 18 setembre de 2010, al’IEC.Comite organitzador: M. A. Barja (UPC), M.Bosch (URL), N. Consul (UPC), J. M. Mondelo(UAB), J. Ortega (UB), T. M. Seara (UPC) iO. Serra (UPC)

http://scm.iec.cat/SCCM1/

I Trobada de Recerca de la SCM

Data i lloc: 5 de novembre de 2010, a l’IEC.Coordinadors: C. Perello, J. Ll. Sole, (SCM)

http://scm.iec.cat

7a Jornada d’Ensenyament SCM-Xeix-FEEMCAT

Data i lloc: 16 d’octubre de 2010, a l’IEC.Coordinadors: C. Aymerich (FEEMCAT), M.Bosch (URL), I. Guevara (FEEMCAT), J. Ll.Pol (SBM-Xeix)

http://scm.iec.cat

Assemblea general de socis i renovacio dela Junta de la SCM

Data i lloc: 16 d’octubre de 2010, a l’IEC.http://scm.iec.cat

34

Page 37: Cob SCM Num 29 - blogs.iec.catblogs.iec.cat/scm/wp-content/uploads/sites/20/2011/02/N29.pdf · Inauguraci´o d’un zenit`ograf solar 42 Premis 44 Societat Catalana de Matematiques

Contribucions

Corrigendum de l’article �L’IEMath: poques llums, bastants ombresi moltes miseries�

A l’esmentat article del numero 28 de la SCM/Notıcies, a la pagina 37, columna dreta, diu �[...]Per la nostra banda, enviem tambe a la ministra una carta protesta que es contestada. Adjuntemcopia de la resposta rebuda al final de l’article�. Per error, es va ometre la reproduccio d’aquestacarta, cosa que fem tot seguit, ıntegrament. Demanem disculpes per aquesta errada de composicio,tant als autors d’aquell article com als lectors que vau trobar a faltar la carta.

35

Page 38: Cob SCM Num 29 - blogs.iec.catblogs.iec.cat/scm/wp-content/uploads/sites/20/2011/02/N29.pdf · Inauguraci´o d’un zenit`ograf solar 42 Premis 44 Societat Catalana de Matematiques

La integritat atacada: l’estat de la publicacio academica

Aquest article de Douglas N. Arnold1 ha estat publicat a SIAM News, vol. 42, num 10, el desembre del 2009.El podeu trobar a l’adreca: http://umn.edu/arnold/siam-columns/integrability-under-attack.pdf. Una traduccioal castella, de Rafael de la Llave, es va publicar a La Gaceta de la RSME, vol. 13, 2010.

La SCM agraeix al professor Arnold l’autoritzacio per a la traduccio del seu article i la publicacio a laSCM/Notıcies. La traduccio al catala es de Josep Lluıs Sole, UAB.

Les revistes cientıfiques son, sens dubte, impor-tants. Constitueixen el mitja mes efectiu per ala difusio i arxiu dels resultats cientıfics i, pertant, son una part essencial d’una activitat dela qual, en darrer terme, en depenen la nostrasalut, seguretat i prosperitat. Les publicacionsson utilitzades per les universitats, les agenciesde financament altres organismes, com una me-sura basica de la productivitat i de l’impacte dela recerca. Tenen un paper basic en les decisionssobre la contractacio, la promocio en el treball, iel sou, i tambe en els ranquigs establerts pels de-partaments, les institucions i els paısos. Amb re-compenses tan grans lligades a les publicacions,no es sorprenent que algunes persones tinguinun comportament poc etic, o fins i tot caiguinen l’abus o tambe en un veritable frau. De to-tes maneres, quan vaig comencar a consideraraquestes questions de mes a prop, vaig quedarhorroritzat pel que hi vaig trobar. En aquestarticle donare uns quants exemples preocupantsde comportaments no apropiats d’alguns autorsi revistes en el camp de la matematica aplicada.Una conclusio a la qual arribo es que els metodesbibliometrics mes usuals —com l’ındex d’impac-te de les revistes i el nombre de citacions delsautors— son facilment manipulables, no nomesen teoria, sino a la practica, i el seu us per aclassificar i jutjar ha de ser desaconsellat.

Evidentment SIAM atorga un gran valor ala publicacio academica. Ens esforcem per as-segurar la integritat de les nostres publicacionsi per protegir els nostres autors contra possi-bles robatoris dels seus treballs. Pero encarano tenim clar quines mesures que hem de pren-dre. Per tant, fem una crida a tots els membresde la SIAM perque ens feu arribar les vostresidees sobre aquest tema. Si heu estat testimo-ni d’incidents d’aquesta mena en la publicacioen revistes, feu-m’ho saber. Penseu que aquestsincidents estan creixent? La SIAM, hauria defer-hi mes? Haurıem de mirar mes enlla de les

nostres publicacions i autors?Els comportaments no apropiats dels autors

—el mes evident el plagi literal, pero tambe l’apro-piacio mes subtil d’idees— han existit sempre.Pero en la SIAM fa l’efecte que aquest proble-ma esdeve cada cop mes frequent. Tanmateix,potser encara son mes preocupants els compor-taments poc etics de les revistes, fets per leseditorials o pels editors, sovint amb una claramotivacio economica. Un exemple en seria unproces d’avaluacio desacurat o fictici, dissenyatper a semblar d’una revista cientıfica seriosa,encara que al darrere hi hagi el buit. Un altreexemple fora la manipulacio deliberada de lesestadıstiques de citacions per fer creixer l’ındexd’impacte o altres indicadors bibliometrics dela revista.

Un cas recent, relacionat amb la SIAM, com-bina un mal comportament de l’autor i de larevista. L’any 2008 es publica en una de les revis-tes de la SIAM un article que era plagiat quasiliteralment d’un preprint que els veritables au-tors havien penjat al web. Una copia del treballfou publicada el mateix any a l’InternationalJournal of Statistics and Systems amb un tıtoli autors diferents. L’encarregat de publicacionsde la SIAM, el vicepresident de publicacions,el director executiu i jo mateix, varem fer unainvestigacio que dura sis mesos. El cas era mesembolicat i mes inquietant cada setmana quepassava. Finalment vaig decidir que el nostreinforme final complet havia de ser public; estapenjat al web, on hi podeu trobar tots els de-talls.2.

Ara us avanco algunes de les tristes conclu-sions a que arribarem. Basant-nos en els articlesque hem revisat, tenim la certesa que els autorssota sospita havien comes plagi en aquest casi en d’altres. Almenys quatre articles publicatsamb els seus noms en quatre revistes distintesson copies literals d’articles d’altres autors, itenim tambe raons per a sospitar que no son els

1Douglas N. Arnold es el president de la Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM) i McKnightPresidential Professor of Mathematics a la Universitat de Minnesota.

2http://www.siam.org/journals/plagiary

36

Page 39: Cob SCM Num 29 - blogs.iec.catblogs.iec.cat/scm/wp-content/uploads/sites/20/2011/02/N29.pdf · Inauguraci´o d’un zenit`ograf solar 42 Premis 44 Societat Catalana de Matematiques

unics casos. L’editorial de la revista, ResearchIndia Publications, que publica quasi cinquan-ta revistes, moltes de les quals en el camp dela matematica aplicada, no va respondre a capde les nostres preguntes sobre l’article plagiat.Contactarem amb l’editor en cap de la revistaon aparegue el treball, el qual apareixia en lapagina web de la revista, i ell tampoc no va obte-nir resposta de l’editorial! Despres d’assabentar-se d’aquest incident gracies a nosaltres, presentala seva dimissio, pero no ha rebut cap respos-ta i el seu nom, juntament amb una llista dematematics prestigiosos, encara surt a la llistadel Comite editorial de la revista que figura ala pagina web.

Els rumors sobre una conducta no apropiadad’autor i revista envolten el cas molt conegut dela revista de matematica aplicada Chaos, Soli-tons and Fractals (CSF), publicada per Elsevier.Com s’informa en un article del 2008 apare-gut a Nature,3, �cinc dels trenta-sis articles delnumero de desembre de Chaos, Solitons andFractals van ser escrits pel seu editor en cap,Mohamed-el Naschie. I en el mateix any, han pu-blicat quasi seixanta treballs firmats per ell�. Defet, dels quatre-cents treballs d’El-Naschie inde-xats al Web of Science, tres-cents set han estatpublicats a CSF mentre ell n’era l’editor en cap.Aquesta elevada proporcio d’auto-publicacio fasospitar que a CSF no es respecten les normeshabituals de revisio per experts, i tambe ha tin-gut un efecte important en l’ındex d’impacte dela revista (Thompson Reuters calcula el factord’impacte d’una revista en un any com C

A , on Aes el nombre d’articles publicats a la revista elsdos anys anteriors, i C es el nombre de citaci-ons d’aquests articles per treballs recollits en labase de dades de Thompson Reuters l’any con-siderat). Els articles d’El Naschie a CSF citen2.992 treballs, dels quals uns 2.000 correspo-nen als articles publicats a CSF, i sobretot alsseus. L’any 2007, de les seixanta-cinc revistesque apareixen a Thompson Reuters a la catego-ria Mathematics, Interdisciplinary Applications,CSF era classificada en la segona posicio.

Una altra revista amb un ındex d’impacteque crida l’atencio es International Journal ofNonlinear Science and Numerical Simulation(IJNSNS), fundada l’any 2000, i publicada perFreund Publishing House. En els tres darrers

anys, IJNSNS ha tingut l’ındex mes alt d’impac-te de la categoria Mathematics, Applied. Hi hauna gran varietat de connexions entre IJNSNSi CSF. Per exemple, JI-Huan He, el fundadori editor en cap d’IJNSNS, es tambe editor deCSF, i El Naschie es un dels dos coeditors deIJNSNS; tots dos publiquen molt, no tan solsen la seva revista, sino tambe en la de l’altre, ise citen sovint.

Permeteu-me descriure un altre element quecontribueix a l’elevat factor d’impacte d’IJNSNS.L’Institute of Physics (IOP) publica el Journalof Physics: Conference Series (JPCS). Els orga-nitzadors del congressos paguen per a publicarles actes de les seves conferencies a JPCS i, enparaules de l’IOP, �JPCS demana als organit-zadors dels congressos que tinguin cura de larevisio per experts de tots els articles�. Ni al fullde propaganda de JPCS ni a la seva pagina webhi ha la llista dels membres del Comite editorial,ni descriuen cap mena de procediment per ajutjar la qualitat dels treballs que es publicaran.Malgrat tot, Thompson Reuters te en compte lescitacions de JPCS per a calcular els ındexs d’im-pacte. Un dels quaranta-nou volums de JPCSdel 2008 eren les actes d’un congres organitzatper He, l’editor en cap de IJNSNS, al seu ma-teix campus, la Universitat Donghua de Xangai.Aquest volum conte dos-cents vint-i-un treballs,amb tres-centes seixanta-sis referencies a articlespublicats a IJNSNS i tres-centes cinquanta-trescitacions al mateix He. Per a donar una idea del’efecte d’aquest fet, si en tot l’any 2008 IJNSNSnomes hagues rebut les citacions de les actesdel congres descrit, el seu ındex d’impacte se-ria, entre totes les revistes de la SIAM, tan solssuperat per SIAM Review.

Un altre exemple de comportament no apro-piat va apareixer publicament amb un cert tocde comedia. A CRAP paper accepted for publica-tions, —CRAP vol dir excrement, metafora aquıd’una gran bestiesa—, publicat electronicamentel juny del 2009 a Science News,4 la senior editorJanet Raloff explica un experiment en el qualPhilip Davis, estudiant de postgrau a Cornell, iun amic seu, utilitzaren el programa Scigen pera generar un document a l’atzar; la gramaticai el vocabulari eren els d’un article de recer-ca en ciencies de la computacio, pero el textno tenia cap mena de sentit (l’article comenca

3Nature vol. 456, p. 432, 2008.4http://www.sciencenews.org

37

Page 40: Cob SCM Num 29 - blogs.iec.catblogs.iec.cat/scm/wp-content/uploads/sites/20/2011/02/N29.pdf · Inauguraci´o d’un zenit`ograf solar 42 Premis 44 Societat Catalana de Matematiques

dient: �En els darrers anys, les simetries com-pactes i els compiladors han generat un graninteres tant per part dels biolegs com dels fu-turistes. De totes maneres, el defecte d’aquesttipus de solucions es que els DHT poden fer-seempatics, a gran escala i extensibles�. Quatrepagines mes endavant acaba dient: �De fet, es-perem que molts futuristes comencin a estudiarTriflingThamyn en un futur proper�). Aquesttreball l’enviaren a The Open Information Sci-ence Journal (TOISCJ), publicat per BenthamScience, que edita mes de dues-centes revistescientıfiques d’acces obert (moltes de les quals,segons la seva pagina web, tenen un elevat ındexd’impacte). Malgrat que el treball fou enviatamb noms falsos dels autors i l’entitat que hiapareixia era el Centre de Recerca en Frenolo-gia Aplicada (CRAP), quatre mesos mes tardDavis va rebre un correu dient que, feta unarevisio pels experts, l’article havia estat accep-tat a TOISCIJ. Seguint el model d’acces obert,l’editor comunicava als autors que l’article seriapublicat tan bon punt els editors rebessin unxec de 800 $. (Els autors es negaren a pagar-lo).

Els casos que he explicat son espantosos,pero molt clars. Potser encara mes perillosos sonels fets menys evidents. Editorials que mantenenla revisio per experts, pero que l’adapten d’acorda criteris no cientıfics; revistes que no fan unaautocitacio sistematica a gran escala, pero quepressionen subtilment editors i autors per adap-tar les citacions a favor de la revista, en comptesde basar-les tan sols en criteris academics; autorsque no plagien literalment, pero que utilitzenidees dels altres sense explicitar-ho. Tot aixoes molt mes difıcil de veure i de jutjar. Que enpenseu? Estan, aquestes practiques, distorsio-nant la literatura o les iniciatives cientıfiques?Podeu aportar cap exemple d’algun d’aquestscomportaments no apropiats?

Una conclusio que estic disposat a subscriurees que necessitem abandonar els metodes bibli-ometrics, com l’ındex d’impacte, per a jutjarla qualitat de la recerca. Ja fa temps que s’haobservat que les mesures del factor d’impacte noestan ben correlacionades amb la qualitat de larevista, i encara menys amb la qualitat cientıficadels articles que son publicats o la dels autors.

En el nostre camp, el 2008 IMU-ICIAM-IMSReport Citation Statistics5 ho mostra de manerafefaent. Potser s’ha posat menys emfasi en el fetque aquestes mesures bibliometriques poden sermanipulades, i, en alguns casos, son mes un indi-cador de la manca d’escrupols d’autors, editorsi editorials que de la qualitat del treball. Sovintescolto solucions tecniques a aquest problema,proposades amb l’esperanca que un ajust de laformula —com per exemple augmentar la fines-tra per calcular l’ındex d’impacte de dos a cincanys— milloraria la situacio. Crec que aquestsremeis estan condemnats al fracas. El nombre decitacions dels articles matematics son nombresenters petits, amb excel.lents treballs que rebentan sols unes desenes o centenars de citacions, ia aquesta escala tot es facilment manipulable.Allo que un editor pot fer en una revista ambl’autocitacio, un parell d’editors ho poden feramb dues revistes sense autocitacio. El fet decomptar mai no pot substituir a l’opinio delsexperts.

Que podem fer nosaltres, els cientıfics queestem preocupats per aquesta situacio? No caldir que el primer pas es examinar-nos nosaltresmateixos: com a cientıfics, hem de posar unagran emfasi en la integritat de la ciencia, en elque redactem i revisem. Preguntem-nos algunescoses abans de permetre posar el nostre nomen una revista com a editors. Mante aquestarevista un nivell elevat de revisio per part d’-experts? Te polıtiques clares en aquest tema imecanismes per a fer-los complir? Suposa, el quepublica, una contribucio util a la creixent litera-tura cientıfica? Tambe es imprescindible educarels altres, no nomes els nostres estudiants, sinotambe els nostres col.legues, administradors i ge-rents. La propera vegada que ens trobem en unasituacio en que es presenti el nombre de publica-cions, o el de citacions, o l’ındex d’impacte, comuna mesura de qualitat, objectem. Fem coneixera la gent de quina manera tot aixo pot ser, ies, facilment manipulat. Hem de mirar directa-ment els treballs, la naturalesa de les citacions ila qualitat de les revistes. Desitjo coneixer lesexperiencies i reflexions de la comunitat SIAM.Podeu escriure’m a l’adreca [email protected].

5Aquest report el trobareu traduıt al catala a la pagina web de la SCM.

38

Page 41: Cob SCM Num 29 - blogs.iec.catblogs.iec.cat/scm/wp-content/uploads/sites/20/2011/02/N29.pdf · Inauguraci´o d’un zenit`ograf solar 42 Premis 44 Societat Catalana de Matematiques

Les xifres de les consultes sobre la independencia

Els resultats generals

Des del mes de setembre de 2009 han tingutlloc a Catalunya diverses onades de consulteso referendums sobre la independencia de la na-cio catalana. Aquest moviment podria haver-seanat esllanguint despres del resso mediatic queva obtenir el referendum inicial d’Arenys deMunt i un cop celebrada la primera onada deconsultes que va tenir lloc el 13 de desembre de

l’any passat. Pero no ha estat aixı. Durant el2010 uns centenars mes de poblacions catalanesja han celebrat les seves consultes (les darreres,el passat mes de juny, en localitats destacadescom Mataro, Esplugues de Llobregat, Sant Boi,Sitges o Cornella).

El resum numeric de les consultes dutes aterme fins a l’1 de juny de 2010 es el seguent:

Nombre de muncipis: 463

Cens i participacio:

Cens electoral habitual de mesgrans de 18 anys

2.119.981

Cens ampliat (mes grans de 16anys + nouvinguts empadronats)

2.494.881

Vots emesos del cens habitual demes grans de 18 anys

486.919

Vots emesos del cens ampliat mesgrans de 16 anys i nouvinguts em-padronats)

510.650

Participacio sobre el cens habitual 23 %Participacio sobre el cens ampliat 20,5 %

Resultats generals:

Sı a la independencia 476.674 93,3 %No a la independencia 21.988 4,3 %Vots en blanc 10.410 2,0 %Vots nuls 1.578 0,3 %

Comparativa d’alguns dels resultats entre poblacions catalanes amb un cens habitualproper o superior a 50.000 persones

Cens Cens Participacio sobre Participacio sobre PercentatgesPoblacio habitual ampliat cens habitual cens ampliat de �sı�

Girona 62.275 78.521 26,97 % 21,39 % 95,56 %Granollers 49.532 50.475 17,33 % 17,40 % 88,17 %Lleida 90.306 114.100 10,40 % 8,23 % 93,40 %Manresa 52.379 64.562 21,96 % 18,47 % 95.49 %Reus 70.479 88.060 17,38 % 14,94 % 90,27 %Sabadell 147.410 173.426 15,34 % 13,87 % 92,78 %Sant Cugat del V. 52.598 59.042 27,16 % 25,68 % 92,34 %Vilanova i la Geltru 46.723 54.322 17,17 % 15,68 % 92,96 %

Acumulacio de lesvuit poblacions

571.702 682.508 18,09 % 15,79 % 93,72 %

Aquesta darrera fila de dades es basa enel conjunt de votants que va aconseguir el re-ferendum en les vuit poblacions esmentades, queva ser de 103.434 persones pel que fa al cens ha-bitual i de 107.794 persones si tenim en compteel cens ampliat. El resultat de la participacio so-bre el cens habitual es del 18,09 % i del 15,79 %sobre l’ampliat.

Per valorar adequadament aquests percen-tatges, cal tenir en compte diverses questions:• Els referendums es van portar a terme encircumstancies locals completament diferents(capacitat de penetracio de les comissions locals,possibilitats organitzatives, nombre de volun-taris que van aconseguir, mitjans de que vandisposar, etc.)

39

Page 42: Cob SCM Num 29 - blogs.iec.catblogs.iec.cat/scm/wp-content/uploads/sites/20/2011/02/N29.pdf · Inauguraci´o d’un zenit`ograf solar 42 Premis 44 Societat Catalana de Matematiques

• Els baixos percentatges de Lleida fan abaixarnotablement el conjunt.• Les vuit poblacions relacionades tenen unadimensio mitjana, per aixo ja es difıcil d’arribara tothom sense comptar amb els grans mitjansde comunicacio, especialment els audiovisuals.Tambe son poblacions on es concentra poblacioimmigrada des dels anys cinquanta del segle xxi nova immigracio.• Fins ara hem estat calculant percentatges departicipacio �sobre el cens� i aixo no es aixıen cap consulta electoral. En un hipotetic re-ferendum oficial sobre la independencia hi hauriauns votants i un determinat percentatge d’abs-tencio. Els resultats del �sı� i del �no� noes calcularien �sobre el cens� sino sobre elsvotants efectius, descomptada l’abstencio. Enaquests moments l’abstencio electoral es moltalta, sovint superior al 50 %. Pero calculem queen un referendum oficial nomes fos del 30 %. Enaquestes circumstancies, aquell 18,09 % (la granmajoria del qual es vot �sı�) es transformariaen mes del 25 %.• Pero tampoc aquesta darrera valoracio es prouaclaridora de la realitat. Suposem que es convocaun referendum oficial en aquestes vuit pobla-cions de les quals coneixem els resultats. Arahan anat a votar 103.434 persones, que presumi-blement han estat especialment motivades perfer-ho i, per tant, hem de suposar que tornariena votar. El cens total de les vuit poblacions esde 571.702 possibles votants. En el cas que hi ha-gues una abstencio del 30 %, els votants efectiusserien, doncs, 400.191 persones. Per tant, en unavotacio oficial haurıem d’esperar que anessin avotar 296.757 persones mes de les que han anata votar ara. Evidentment, no tots aquests nousvotants es decidirien pel �no�, sino que n’hihauria una part que tambe votarien �sı�. Comes repartirien aquests nous votants? un 25 %�sı� i un 75 % �no�?; un terc �sı� i dos tercos�no�? Meitat i meitat? En tot cas, comptantque tan sols un 25 % de les 296.757 personesmes que aquesta vegada anessin a votar ho fes-sin pel �sı�, caldria afegir 74.189 vots �sı� alsgairebe 100.000 �sı� que en conjunt ja hi hahagut ara. Aixo portaria els vots �sı� a superarclarament el 40 % dels vots emesos, que es elque compta en qualsevol consulta electoral. I sil’abstencio superes el 30 % es molt probable queel percentatge de �sı� encara seria mes gran.

El cas concret de Manresa

A Manresa la consulta sobre la independenciade la nacio catalana va tenir lloc el dia 25 d’a-bril de 2010. La constatacio fonamental �nonumerica� de la jornada va ser l’absoluta nor-malitat. La infraestructura humana (gairebe 500voluntaris, entre totes les meses electorals i totala logıstica general de la jornada) i tecnica vafuncionar perfectament des de primera hora delmatı en constituir-se les meses electorals fins ala proclamacio publica dels resultats i el con-cert posterior, que va acabar mes enlla de lesdotze de la nit. I normalitat completa tambeen la mateixa votacio, estretament controladaper una comissio de garantia que seguia tot elproces. I sensacio de normalitat tambe entreels votants, que actuaven sense cap diferenciarespecte d’una convocatoria electoral habitual.

Pel que fa als resultats, la primera xifra quecal considerar es el nombre de votants, que aManresa va ser d’11.922. Ates que segons lesdades de l’IDESCAT els majors d’edat a Man-resa son 52.379 i d’aquests en van votar 11.502,resulta que el percentatge de participacio vaser del 22 % sobre el cens habitual. Pero, talcom s’ha dit, encara hi va haver (fins al totald’11.922 vots) 420 vots mes. D’aquests, 245 cor-responen a joves d’entre 16 i 18 anys (el 22,56 %del grup, o sigui que van votar una mica mesde la mitjana general de la poblacio). I quedenencara 175 vots, que corresponen a ciutadansnouvinguts empadronats, que es evident que enla seva immensa majoria no van anar a votar,tal com era esperable. La poblacio de 16 a 18anys, mes la d’immigrants empadronats, es de12.183 persones a Manresa, que si s’afegeixenal cens habitual de mes grans de 18 anys fa untotal de 64.562 possibles votants. Sobre aquestcens ampliat, la participacio a Manresa ha estatel 18,47 %, pero amb aquest percentatge no espoden fer comparatives o valoracions respecte ales consultes electorals habituals.

Resultat de l’escrutini:

Sı a la independencia 11.385 95,49 %No a la independencia 336 2,82 %Vots en blanc 196 1,64 %Vots nuls 5 0,04 %

Per poder fer una valoracio ben feta de la par-ticipacio de manresans i manresanes en la con-sulta sobre la independencia de la nacio catalana

40

Page 43: Cob SCM Num 29 - blogs.iec.catblogs.iec.cat/scm/wp-content/uploads/sites/20/2011/02/N29.pdf · Inauguraci´o d’un zenit`ograf solar 42 Premis 44 Societat Catalana de Matematiques

(11.922 votants), cal tenir en compte les consi-deracions seguents.

Els tres partits que es van oposar a la consul-ta del 25 d’abril (PP, PSC i ICV) van obtenir end’altres jornades electorals els resultats seguents:• A les eleccions al Parlament Europeu de 2009,aquelles tres formacions polıtiques van rebre, enconjunt, el vot de 9.221 ciutadans.• A les municipals de 2007 aquells tres grupsvan obtenir conjuntament 11.033 vots.• A les eleccions al Parlament de Catalunya de2006, entre tots tres van aconseguir 12.010 vots• Es cert que el PSC, tot sol, ha obtingut algu-na vegada a Manresa mes de 12.000 vots. (maial Parlament de Catalunya, pero sı al Congresde Diputats). Pero no es possible de compararels recursos oficials, organitzatius i economicsdels partits, reforcats per un ampli acompanya-ment mediatic —com es habitual en els comicisoficials— amb els mitjans amb que va comptar lacampanya de la consulta sobre la independencia,que es va basar gairebe exclusivament en l’em-penta del voluntariat que desinteressadament hiva ajudar.

A tall de conclusio general

• L’organitzacio dels referendums sobre la in-dependencia de la nacio catalana ha estat unainiciativa original que ha aprofitat una escletxalegal basada en el fet que els seus promotors noeren administracions publiques.• La rapida difusio dels referendums ha evi-denciat el profund malestar de molts ciutadansrespecte de l’actual situacio de les relacionsentre Catalunya i Espanya, que les enquestessociologiques confirmen. Una enquesta recentde l’Institut Noxa per a La Vanguardia establiaque com a mınim el 37 % de la poblacio cata-lana votaria per la independencia en aquestsmoments en un referendum oficial i vinculant.La independencia s’ha convertit en una opciopossible i la majoria dels ciutadans ha perdutla por de debatre o de propugnar aquesta possi-bilitat.

• Des del punt de vista estrictament numericno sembla que ara per ara hi hagi encara demanera clara prou majoria social capac de do-nar suport a un proces d’independencia, perosı que esta ben establert que l’opcio indepen-dentista va augmentant els adeptes. En lespoblacions petites en que ha tingut lloc elreferendum ha estat habitual constatar percen-tatges molt alts de participacio, sovint superiorsal 40 % del cens. En poblacions mes gransel percentatge baixa, sobretot a causa de ladificultat de fer arribar el missatge a tothomsense comptar amb els grans mitjans de comu-nicacio audiovisuals. Es poden constatar elsresultats que s’han obtingut als 463 municipison fins ara s’han celebrat les consultes al web:http://referendumindependencia.cat/municipis/resultats/• El vot �no� s’ha mobilitzat poc. En moltscasos s’ha mantingut pels volts del 5 %, tot i quees evident que augmentaria molt notablementen cas d’un referendum oficial. Es difıcil defer en aquests moments un pronostic sobre elsresultats d’un referendum vinculant. Pero caltenir en compte que tambe va creixent allo quees podria denominar independentisme economic,aquell que no es basa en raons linguıstiques,culturals, historiques o sentimentals, sino enarguments economics.• En resum: una serie complexa de factorspolıtics i sociologics fan que el desig d’inde-pendencia hagi crescut de manera notable icomprovable entre la poblacio catalana. Elsreferendums sobre la independencia que hantingut lloc des del 13 de setembre de 2009 finsavui a 463 municipis de Catalunya han permesde constatar numericament, tot i que encara demanera parcial, la importancia del volum del�sı�. El volum del �no� i de l’abstencio, encanvi, resten mes opacs. La recent admissio atramit per la mesa del Parlament de Catalunyad’una iniciativa popular destinada a convocarun referendum oficial sobre la independencia deCatalunya obre una nova via, de consequenciesencara difıcils de preveure amb vista al futur.

Josep Camprubı i CasasPortaveu de la Comissio �Manresa Decideix�

41

Page 44: Cob SCM Num 29 - blogs.iec.catblogs.iec.cat/scm/wp-content/uploads/sites/20/2011/02/N29.pdf · Inauguraci´o d’un zenit`ograf solar 42 Premis 44 Societat Catalana de Matematiques

Inauguracio d’un zenitograf solar

El dijous 20 de maig al migdia ens vam reunir aljardı de la meva casa de l’Ametlla del Valles unacolla d’amics —majoritariament matematics dela UAB— per inaugurar un estrany artefacteque d’ara endavant denominarem zenitograf so-lar, a falta de cap nom millor. Explicarem aquıel proposit d’aquest giny i el seu funcionament.

Gairebe tothom sap que els habitants dequalsevol indret de la Terra situat entre els dostropics tenen el privilegi de poder veure el Sol enel zenit al migdia local (de temps solar vertader)de dos dies de l’any. Recordem que el zenit esel punt de l’esfera celeste situat en la verticalde l’observador. Per tant, el fet que el Sol es-tigui en el zenit vol dir que en aquell momentl’observador te el Sol en la vertical del seu cap ino fa ombra, com la protagonista de l’opera deRichard Strauss �Die Frau ohne Schatten�.

Si algu vol presenciar en directe aquest es-deveniment (de no fer ombra), on ha d’anar iquan? Recordo que una vegada em vaig dirigir auna agencia de viatges per demanar que me n’or-ganitzessin un per contemplar aquest fenomen.Ells, que tenen tota mena d’informacio sobreesdeveniments culturals, de segur que sabrienon i quan passava aixo. Pero davant la mevasorpresa, la noia que m’atenia, despres d’haverconsultat molt de temps el seu ordinador, varespondre’m en castella: �Por ‘sol en el zenit’no me viene nada, y por ‘sin sombra’ me vieneninfinidad de cosas que no tienen nada que vercon lo que usted desea.� Des d’aquell dia vaigdecidir construir un aparell que m’indiques encada moment (en temps real) el lloc de la Terraon es produeix aquest fenomen.

Com que soc aficionat als rellotges de solvaig idear un giny que, mitjancant l’ombra quefa un cert objecte sobre un mapamundi, indicael meridia per on passa el Sol en cada moment,

aixı com el punt de la Terra des del qual es veuel Sol en el zenit: concretament el punt d’inter-seccio de la superfıcie terrestre amb el segmentrectilini que uneix el centre de la Terra i el centredel Sol. Aquest es l’artefacte que vam inaugurarel dia 20 de maig i que podeu veure en la foto-grafia. Esta construıt sobre una placa de llautod’un centımetre de gruix.

Explicarem a continuacio el seu fonamentteoric. Clavem un pal sobre una superfıcie horit-zontal, que per claredat d’exposicio suposaremque es el terra, com si volguessim fer un rellot-ge de sol horitzontal, tradicional. Aquest pal elclavem de manera que sigui paral.lel a l’eix derotacio de la Terra (a la nit apuntara, doncs, aun punt molt proxim a l’estrella polar). Desig-nem per p aquest pal. Hi posem una boleta asobre, en un punt qualsevol. Designem per Caquesta boleta i per P la interseccio del pal ambel terra. Vegeu la figura 1.

Figura 1.

Considerem ara una esfera S de centre C ide radi la distancia entre C i P . Aquesta esferaservira per explicar teoricament com es cons-trueix l’aparell que estem descrivint, pero a lapractica no hi ha de ser. Denominarem equadord’aquesta esfera el cercle maxim obtingut perinterseccio amb S del pla perpendicular a p quepassa per C. El punt P sera per a nosaltres elpol sud d’aquesta esfera. Per a nosaltres un me-ridia d’aquesta esfera sera qualsevol semicercleque vagi de pol a pol. Es a dir, del punt P alpunt diametralment oposat. Remarquem el fetque un meridia es un semicercle i no pas un cer-cle. Considerem el meridia m0 d’aquesta esferadeterminat per la part superior de la intersec-cio amb S del pla vertical que conte la recta p.Vegeu la figura 2.

Com que la recta p es paral.lela a l’eix derotacio de la Terra, podem pensar que l’esferaS s’ha obtingut per un encongiment de l’esfe-ra terrestre (homotecia des del centre) seguitd’una translacio (paral.lela) que ha portat elcentre de la Terra al punt C. En aquesta trans-formacio (encongiment seguit de translacio) el

42

Page 45: Cob SCM Num 29 - blogs.iec.catblogs.iec.cat/scm/wp-content/uploads/sites/20/2011/02/N29.pdf · Inauguraci´o d’un zenit`ograf solar 42 Premis 44 Societat Catalana de Matematiques

meridia terrestre que passa per l’observador esconverteix en el meridia m0 de S.

Figura 2.

Suposem que sobre l’esfera S tenim dibuixatun mapa del mon de tal manera que el meri-dia terrestre que passa per l’observador siguiel meridia m0 de S. En virtut de la posicioparticular de S (obtinguda per encongiment itranslacio paral.lela de la Terra), l’angle ambque incideix qualsevol raig de sol sobre l’esferaS en un punt determinat d’aquesta coincideixamb l’angle amb que els habitants situats en ellloc del mon corresponent a aquell punt de l’es-fera veuen com incideixen els rajos de sol sobreel seu terra en aquell indret. Si entre tots elsrajos de sol que il.luminen S en un determinatmoment, escollim el que passa pel centre C de S,la interseccio d’aquest raig amb S correspondraa l’indret de la Terra on els seus habitants veuenel sol en el zenit en aquell moment (vegeu lafigura 3, en la qual aixo esta simplificat en duesdimensions).

Definim ara una aplicacio f d’un determinatsubconjunt de l’esfera S (el domini de f) en elpla del terra. Per definir aquesta aplicacio co-mencem definint el seu domini. Un punt Q ∈ Ses del domini de f si la recta QC talla el terraen un punt Q∗ i si el punt C queda entremig deQ i de Q∗. Llavors definim l’aplicacio f com laque aplica cada punt Q del domini de f en Q∗.Vegeu la figura 2.

Considerem el fragment de mapa que estacontingut en el domini de f ⊂ S, i el trasllademal terra mitjancant l’aplicacio f . O sigui, per acada punt Q del mapa que tenim en el dominide f dibuixem el punt Q∗ = f(Q) del mapasobre el terra. Observeu que el pol nord de S estransforma per f en el punt P . En canvi, el polsud de S no es del domini de f i, per tant, nocorrespon a cap punt en el mapa del terra.

Observeu que els meridians de l’esfera S estransformen per l’aplicacio f en rectes que pas-sen pel punt P (pol nord del mapa del terra).Per tant, els meridians del mapa que tindrem

dibuixat al terra seran rectes concurrents en elpunt P . L’ombra del pal pel Sol sobre el ma-pa del terra correspondra en cada moment almeridia sobre el qual es troba el Sol en aquellmoment.

D’altra banda, sigui A la interseccio amb Sdel raig de sol que passa per C (figura 3). Hemdit abans que A correspon a l’indret de la Terrades del qual els seus habitants veuen el Sol enel zenit. Pero el punt A es transforma per f enel punt A∗ = f(A), que es precisament l’ombraque fa el punt C sobre el terra. En consequencia,l’ombra que fa el punt C sobre el terra indicaen el mapa dibuixat sobre el terra l’indret dela Terra on els seus habitants veuen el Sol en elzenit.

Figura 3.

Com haureu observat a les fotografies ques’inclouen, el mapamundi que s’obte amb la pro-jeccio que hem descrit resulta molt deformatrespecte als que estem acostumats a veure. Aixı,per exemple, el sud d’Africa s’allarga extraor-dinariament i Madagascar sembla una illa im-mensa. Per contra, Europa queda petita, perogens deformada. Els paısos que estan molt al’est o molt a l’oest (costa atlantica dels EstatsUnits o l’India) tambe queden forca estranys.

Tot aixo que hem dit per a un zenitografsolar horitzontal ho podrıem repetir de mane-ra bastant analoga per a un zenitograf verticalsituat sobre una paret. En aquest cas el mapaque resulta es encara mes estrany —i, per tant,mes divertit— que el corresponent a zenitografshoritzontals. Pensant una mica us adonareu quesi el zenitograf es vertical el paıs on esta em-placat aquest no surt (es a l’infinit) i que, a mes,el mapa queda de cap per avall, amb el pol suda la part superior.

El zenitograf horitzontal del jardı de casameva te en el marc una graduacio de meridiansde 15 en 15 graus. Hi ha, doncs, petits segmentsrectilinis corresponents al meridia origen i alsmeridians de graus 15, 30, 45, etc., tant a l’est

43

Page 46: Cob SCM Num 29 - blogs.iec.catblogs.iec.cat/scm/wp-content/uploads/sites/20/2011/02/N29.pdf · Inauguraci´o d’un zenit`ograf solar 42 Premis 44 Societat Catalana de Matematiques

com a l’oest de Greenwich. Quan l’ombra passaper un d’aquests senyals, llavors el sol passasobre la Terra pel meridia corresponent. Ditd’una altra manera, en aquell moment el seg-ment rectilini que uneix el centre del Sol ambel centre de la Terra talla aquell meridia. Perexemple, quan l’ombra del pal passa pel senyal

del marc corresponent a 15 graus est, en aquellmoment son les 11 hores solars vertaderes delmeridia de Greenwich. Aixı, doncs, l’artefactete tambe la funcio de rellotge de sol tradicional,perque indica l’hora de temps solar vertader deGreenwich.

Joan GirbauUAB

Premis

Societat Catalana de Matematiques

Convocatories del 2011

La Societat Catalana de Matematiques ha convocat enguany una ediciomes, dins el cartell de premis de l’IEC, del premi

Premi Evariste Galois

Instituıt l’any 1962 i convocat per quaranta-vuitena vegada, s’ofereixa un treball d’investigacio, bibliografic o d’assaig sobre matematiques.Esta dotat amb mil euros (1.000e).Termini per a la presentacio de candidatures: 3 de desembre de 2010 ales 13 h.

Mes informacio: http://scm.iec.cat

Guardonats en la convocatoria del 2010

• El Premi Josep Teixidor de Matematiques haestat atorgat a Elisenda Feliu i Trijueque peltreball Sobre la teoria d’interseccio aritmeticasuperior.• El Premi Evariste Galois ha estat atorgat aJoan Bosa Puigredon pel treball Complecionsde semigrups. Aplicacions al semigrup de Cuntz.El jurat va concedir dos accessits a David Arazo

Marin pel treball No anul.lacio de funcions Len valors crıtics i resultats d’equidistribucio enaritmetica i a Vıctor Gonzalez Alonso pel treballGermens polars i invariants de singularitats.

Aquests premis foren lliurats el passat 22d’abril en l’acte de lliurament de premis i borsesd’estudis de l’Institut d’Estudis Catalans.

44

Page 47: Cob SCM Num 29 - blogs.iec.catblogs.iec.cat/scm/wp-content/uploads/sites/20/2011/02/N29.pdf · Inauguraci´o d’un zenit`ograf solar 42 Premis 44 Societat Catalana de Matematiques

Ressenyes d’obres guardonades

• Elisenda Feliu i Trijueque �Sobre la teoria d’interseccio aritmetica superior�.Premi Josep Teixidor 2010

La geometria algebraica estudia les solucionsd’un sistema d’equacions polinomiques. L’ob-jecte definit per un tal sistema es denominavarietat algebraica. Tot i que la definicio concre-ta d’una varietat algebraica es molt sofisticadai pot variar amb el context, per simplificar l’ex-posicio, suposarem que estem treballant en elcos dels nombres complexos i que una varietatalgebraica es simplement el conjunt de puntsd’un espai projectiu que son solucio del sistemad’equacions.

En l’estudi de les varietats algebraiques te-nen un paper important, d’una banda, les subva-rietats algebraiques, subconjunts que s’obtenenimposant un sistema mes ampli d’equacions, ide l’altra, els fibrats vectorials, objectes que espoden entendre com a espais de funcions gene-ralitzades.

Donades dues subvarietats algebraiques, laseva interseccio es una nova subvarietat algebrai-ca. Per poder donar una definicio rigorosa d’unproducte d’interseccio amb bones propietats, calconsiderar cicles algebraics, es a dir, sumes for-mals de subvarietats algebraiques irreductibles.D’aquesta manera podem codificar multiplici-tats d’interseccions. A mes, perque el producted’interseccio estigui definit en tots els casos,conve introduir una relacio d’equivalencia percicles algebraics, l’equivalencia racional. Les clas-ses d’equivalencia racional de cicles algebraicsformen el grup de Chow de la varietat.

De la mateixa manera, en estudiar certes pro-pietats dels fibrats vectorials conve considerar-ne sumes formals i introduir-hi una relacio d’e-quivalencia, el que ens proporciona el grup deGrothendieck o grup K0 de la varietat.

Aquests dos grups, el de Chow i el de Grot-hendieck, estan relacionats per les anomenadesclasses caracterıstiques. Aquestes classes sonuna generalitzacio als fibrats vectorials de l’apli-cacio que assigna a tota funcio racional el ciclealgebraic donat pel lloc de zeros menys el llocde pols de la funcio.

Una bona part de la geometria algebraicaconsisteix precisament en l’estudi de la interre-lacio entre el grup de Chow i el grup de Grot-hendieck, les classes caracterıstiques i la teoriad’interseccio.

Recordem que el grup fonamental d’un es-pai topologic es pot generalitzar definint elsgrups d’homotopia de l’espai. Tambe, el grup deseccions globals d’un fibrat vectorial es pot gene-ralitzar amb els grups de cohomologia del fibrat.Moltes propietats i teoremes son mes transpa-rents i precisos quan s’apliquen a tots els grupsd’homotopia o de cohomologia i no unicamental grup fonamental o al grup de seccions globals.

De la mateixa manera, els grups de Chow ide Grothendieck son la punta de l’iceberg d’unateoria mes profunda. D’una banda, tenim elsgrups de Chow superiors definits per Bloch, queformen l’homologia motıvica de la varietat. Del’altra, tenim els grups K superiors introduıtsper Quillen. A partir d’aquests grups es potconstruir la cohomologia motıvica de la varietat,introduint les operacions d’Adams (endomorfis-mes dels grups de teoria K) i considerant elssubespais propis per a aquests endomorfismes.

La geometria aritmetica estudia solucionsde sistemes d’equacions polinomiques a coefici-ents enters i les solucions enteres en son l’interesprincipal. Per exemple, un problema classic engeometria aritmetica es la determinacio delspunts amb coordenades enteres continguts enuna corba algebraica.

En teoria de nombres es coneix des de fatemps que moltes propietats aritmetiques es-tan codificades en objectes analıtics. La teoriad’Arakelov busca interpretar aquest maridat-ge entre aritmetica i analisi amb un llenguatgegeometric.

Gillet i Soule, generalitzant treballs d’Arake-lov, Faltings i Deligne han desenvolupat tot elllenguatge del grup de Chow i del grup K0 enteoria d’Arakelov, proporcionant una teoria d’in-terseccio aritmetica i una teoria de classes ca-racterıstiques.

Aquesta tesi s’emmarca dins d’un programaper desenvolupar els grups de Chow i els grupsK superiors en teoria d’Arakelov. Conte tresresultats principals seguents:

1. Un teorema d’unicitat per a operacions i clas-ses caracterıstiques en teoria K superior.

2. Una nova definicio de grups de Chow aritme-tics superiors.

45

Page 48: Cob SCM Num 29 - blogs.iec.catblogs.iec.cat/scm/wp-content/uploads/sites/20/2011/02/N29.pdf · Inauguraci´o d’un zenit`ograf solar 42 Premis 44 Societat Catalana de Matematiques

3. La introduccio de les operacions d’Adams enteoria K aritmetica superior.

El primer resultat es un teorema d’unicitatde classes caracterıstiques i operacions en teo-ria K superior. Aquest teorema assegura quetota operacio o classe caracterıstica en teoria Ksuperior, que satisfa certes propietats, esta com-pletament determinada pel seu efecte en el grupK0. Com a aplicacio d’aquest teorema s’obtenendiversos teoremes de comparacio entre diferentsdefinicions de reguladors (un avatar de les clas-ses caracterıstiques en teoria K superior) i entrediferents definicions d’operacions d’Adams enteoria K superior.

El segon resultat de la tesi es una nova defi-nicio dels grups de Chow aritmetics superiors.Per a varietats projectives sobre un cos, Gon-charov va donar una definicio de grups de Chowaritmetics superiors, pero aquesta te diversosinconvenients. S’aplica unicament a les varietatsprojectives i no a les varietats quasiprojectives ino te definit un producte d’interseccio ni imatgesinverses. La nova definicio introduıda en aques-ta tesi soluciona aquests problemes: s’aplica avarietats quasiprojectives, admet la definiciod’un producte d’interseccio i imatges inverses icoincideix amb la definicio de Goncharov per avarietats projectives.

Cal fer notar, pero, que aquesta definicio no

es la definitiva. Els grups de Chow superiors sonuna bona definicio d’homologia motıvica per avarietats definides sobre un cos i, per tant, la de-finicio donada en aquesta tesi s’aplica unicamenta varietats definides sobre un cos. La definiciomes general per a varietats definides sobre unanell aritmetic haura d’esperar que l’homologiamotıvica estigui mes desenvolupada.

Finalment, el tercer resultat de la tesi es laintroduccio d’operacions d’Adams en teoria Karitmetica superior. Ates que els grups de teoriaK aritmetica superior es defineixen com la fibrahomotopica del regulador de Beilinson, per tald’aconseguir aquest objectiu, ha estat necessa-ri construir un morfisme explıcit de complexosde cadenes que representa les operacions d’A-dams i que es compatible amb una representacioexplıcita del regulador de Beilinson.

La construccio d’aquest morfisme explıcit noes trivial i ha involucrat la resolucio de moltsproblemes de naturalesa combinatorica. Per de-mostrar que el morfisme construıt representales operacions d’Adams s’ha utilitzat el teoremad’unicitat de classes caracterıstiques.

Els resultats d’aquesta tesi son un pas im-portant en el desenvolupament de la teoria d’in-terseccio aritmetica superior. Han donat lloc aquatre publicacions en revistes internacionals idiverses conferencies en congressos internacio-nals.

Jose Ignacio BurgosICMAT CSIC-UAM-UCM-UC3

• Joan Bosa Puigredon, �Complecions de semigrups. Aplicacions al semigrup de Cuntz�.Premi Evariste Galois 2010

La classificacio es un tema central en les ma-tematiques. Ha donat lloc a alguns dels desen-volupaments mes interessants del segle xx. Unade les arees on ha tingut mes impacte es lad’algebres d’operadors. Molt probablement elsprimers resultats van ser deguts als pares dela teoria, F. Murray i J. von Neumann, que jaals anys trenta van provar que una algebra devon Neumann —una subalgebra autoadjunta idebilment tancada dels operadors lineals i fitatsen un espai de Hilbert— es podia descompon-dre en atoms, que ells van anomenar factors, ivan donar una classificacio d’aquests factors entipus. Als anys setanta, A. Connes i U. Haage-rup van classificar completament certs factors

injectius, la qual cosa va significar una medallaFields per a Connes. Una altra medalla Fieldsfou aconseguida per a V. Jones, pel seu treballen subfactors, que al seu torn va donar lloc anoves i potents tecniques per a la classificaciode nusos. En les dues darreres decades, moltafeina ha estat dedicada a l’anomenat programad’Elliott per classificar les C∗-algebres per mitjad’eines de teoria K.

George A. Elliott va classificar, el 1976, lesC∗-algebres de dimensio local finita en termesdel seu grup ordenat K0, tot basant-se en tre-balls anteriors de J. Glimm i O. Bratteli. Aquestresultat i generalitzacions posteriors el van por-tar a conjecturar, pels volts de 1989, que les

46

Page 49: Cob SCM Num 29 - blogs.iec.catblogs.iec.cat/scm/wp-content/uploads/sites/20/2011/02/N29.pdf · Inauguraci´o d’un zenit`ograf solar 42 Premis 44 Societat Catalana de Matematiques

C∗-algebres separables, simples i nuclears po-drien ser classificades essencialment pels grupsK0, K1 i l’espai de traces. Aquesta conjecturava donar lloc en els anys seguents a resultatsmolt importants. Per exemple, la demostracio(per Elliott i Evans) que les algebres de rotacioirracional es podien classificar d’aquesta ma-nera, els resultats de Kirchberg-Phillips en laclassificacio de les C∗-algebres purament infini-tes i simples i, mes recentment, la classificaciod’Elliott-Gong-Li de C∗-algebres simples, apro-ximadament homogenies i de dimensio fitada.

Darrerament, el programa d’Elliott ha tin-gut un resorgiment important, essencialment acausa del descobriment per part de M. Rørdam(i posteriorment, en una direccio diferent, perpart d’A. Toms) que la teoria K, en aquestaformulacio mes simple, no es suficient per classi-ficar totes les C∗-algebres simples, separables inuclears. Essencialment, trobem dues vies d’ac-tuacio: o be restringir la classe considerada, o beampliar l’invariant considerat. Ambdues vies sesegueixen a fons actualment, i en aquest treballs’analitza un dels objectes proposats com a partd’un invariant ampliat, que analitzem breumenta continuacio.

A una C∗-algebra A s’hi pot associar el semi-grup de Cuntz W(A), introduıt per J. Cuntz el1978. Aquesta construccio es paral·lela a la delmonoide de (classes d’equivalencia de) projecci-ons de l’algebra (per exemple, classes d’isomor-fisme de moduls projectius finitament generats),pero l’objecte resultant es molt diferent, ja queels elements considerats son els anomenats ele-ments positius de A i hi interve un proces delımit que el converteix en un objecte analıtic. Laimportancia d’aquest objecte rau en el fet quela seva estructura ordenada es una obstruccioseriosa a la conjectura d’Elliott mencionada an-

teriorment, i tambe en el fet que recupera moltaestructura de l’invariant d’Elliott.

El 2008, Coward, Elliott i Ivanescu van pro-posar una versio modificada del semigrup deCuntz, anomenada Cu(A). Ho van fer usantclasses d’equivalencia adequades de moduls deHilbert comptablement generats per obtenir unobjecte que, de fet, es isomorf al semigrup deCuntz de l’estabilitzacio de A. L’avantatge d’a-questa construccio es que construeixen una no-va categoria, anomenada Cu, per a aquest se-migrup, en la qual els objectes tenen algunespropietats addicionals de tipus topologic, i queessencialment es resumeixen en que son tancatsper suprems de successions creixents.

En aquest treball es defineix un marc abs-tracte que conte conjuntament W(A) i Cu(A).Mes concretament, construım una categoria demonoides, PreCu, a la qual el semigrup de Cuntzclassic hi pertany per una classe amplia de C∗-algebres. Aquesta categoria conte Cu com unasubcategoria plena, i difereix d’aquesta en elfet que els seus objectes no tenen per que sertancats per suprems de successions creixents. Acontinuacio definim la complecio d’un objectede PreCu en termes de propietats universals, ien demostrem l’existencia fent la construccioexplıcita. Aixo dona lloc a un functor de com-plecio de PreCu a Cu, adjunt per l’esquerra dela identitat, que permet descriure, en el cas par-ticular del semigrup de Cuntz, Cu(A) com unacomplecio de W(A).

Aquest enfocament es util per al calcul con-cret de certs semigrups de Cuntz. Mes concreta-ment, els d’estabilitzacions d’algebres simples,separables i nuclears que absorbeixen l’anome-nada algebra de Jiang-Su Z, i d’aquesta maneraes recuperen resultats provats el 2007 per N.Brown i A. Toms.

Francesc PereraUAB

• David Arazo Marin, �No anul.lacio de funcions L en valors crıticsi resultats d’equidistribucio en aritmetica�. Accessit del Premi Evariste Galois 2010

Un dels resultats mes coneguts dels darrers anysen matematiques es la resolucio del darrer teore-ma de Fermat. La generalitzacio dels resultatsutilitzats va permetre a Richard Taylor, deixe-ble d’Andrew Wiles, resoldre la conjectura de

Sato-Tate l’any 2006, conjuntament amb altresmatematics. El primer objectiu d’aquest treballde master es explicar la motivacio historica, l’e-nunciat i, amb cert detall, la demostracio de laconjectura de Sato-Tate.

47

Page 50: Cob SCM Num 29 - blogs.iec.catblogs.iec.cat/scm/wp-content/uploads/sites/20/2011/02/N29.pdf · Inauguraci´o d’un zenit`ograf solar 42 Premis 44 Societat Catalana de Matematiques

En el primer capıtol es demostren els teore-mes classics de densitat de Dirichlet i de Che-botarev. Una versio feble i senzilla d’aquestsdos teoremes afirma el seguent: donats dos nom-bres enters coprimers a i m, existeixen infinitsprimers p congruents amb a modul m. El teo-rema de densitat de Dirichlet reformula i gene-ralitza aquest resultat al context d’extensionsabelianes de Q, mentre que el teorema de Che-botarev el generalitza a extensions de Galois nonecessariament abelianes de cossos de nombresarbitraris.

En el capıtol 2 del treball s’introdueix la teo-ria de Serre, que te la virtud de proporcionar lesbases necessaries per demostrar resultats comels mencionats mes amunt en contextos moltmes generals. En particular, la teoria de Serres’ajusta perfectament al context de la conjectu-ra de Sato-Tate i suggereix d’aquesta manera unmetode per demostrar-la. Donat un grup com-pacte G i una successio (xp)p d’elements en elconjunt de les classes de conjugacio de G indexa-da pels primers d’un cos de nombres, es defineixper a cada representacio irreductible ρ no trivialde G una funcio complexa L(ρ, s). El resultatprincipal de la teoria de Serre permet relacionarl’equidistribucio de (xp)p amb la no anul.laciode L(ρ, s) en el semipla complex <(s) ≥ 1 per atota representacio irreductible no trivial de G.

Grafica entre 0 i π de la distribucio de Sato-Tateper a corbes el.lıptiques.

Tot esta preparat, doncs, per introduir, en elcapıtol 3, la conjectura de Sato-Tate i motivar-ne la demostracio. Donada una corba el.lıpticaE/K sense multiplicacio complexa, es conside-ren les traces ap dels automorfismes de Frobe-nius. Utilitzant el teorema de Hasse, podemnormalitzar les traces ap de manera que pren-guin valors a l’interval [−1, 1] i considerar-ne elsarc cosinus θp ∈ [0, π]. La conjectura de Sato-

Tate prediu que la probabilitat que un elementθp compleixi a ≤ θp ≤ b es 2

π

∫ ba sin2(x)dx.

Per demostrar aquesta conjectura, l’es-trategia de Taylor consisteix a aplicar la teoriade Serre descrita al capıtol anterior, prenentG = SU(2), el grup especial unitari. D’aquestamanera, i tenint en compte la discussio anteri-or, la conjectura de Sato-Tate pot interpretar-se com un resultat d’equidistribucio dels va-lors θp en les classes conjugacio de SU(2), queal seu torn es equivalent a comprovar la no-anul.lacio de les funcions L(SymmnρE,`, s) en<(s) ≥ 1 + n/2. Aquı ρE,` es la representa-cio associada al modul de Tate `-adic de Ei SymmnρE,` es la seva potencia simetrica n-esima.

Per demostrar aquest resultat s’introduei-xen les anomenades representacions automor-fes cuspidals, que son una generalitzacio de lesformes modulars classiques, ampliament divul-gades ates al seu paper clau en la demostraciode Wiles del darrer teorema de Fermat. Taylordemostra que si E esta definida sobre un costotalment real i te reduccio multiplicativa enalgun primer, aleshores SymmnρE,` es potenci-alment automorfa cuspidal. Aixo directamentimplica la no-anul.lacio desitjada.

La demostracio del teorema de Taylor utilit-za els principals resultats i conceptes de la teoriade nombres actual. Per aquest motiu no es desen-volupen en el treball tots els detalls tecnics sobrela demostracio, pero si que es presenten tots elsconceptes i resultats, entre els quals cal desta-car el resultat de canvi de base de Langlands,les famılies compatibles de representacions, lesvarietats de Calabi-Yau i essencialment el teore-ma d’aixecament de la modularitat de Taylor.Aquest darrer teorema va ser demostrat l’any2006 i es la dificultat principal de la demostraciode la conjectura de Sato-Tate.

El seguent objectiu del treball, escomes alcapıtol 4, es la generalitzacio, utilitzant la te-oria de Serre, de la conjectura de Sato-Tate acorbes C de genere g ≥ 2. Aquesta generalitza-cio relaciona l’equidistribucio de les arrels delsmorfismes de Frobenius amb la mesura de Ha-ar d’un subgrup compacte H de USp(2g), lesmatrius de dimensio 2g a coeficients complexossimplectiques i unitaries. Diem que H es el grupde distribucio de C.

El principal resultat conegut en aquesta di-reccio es degut a K. S. Kedlaya i A. V. Sut-

48

Page 51: Cob SCM Num 29 - blogs.iec.catblogs.iec.cat/scm/wp-content/uploads/sites/20/2011/02/N29.pdf · Inauguraci´o d’un zenit`ograf solar 42 Premis 44 Societat Catalana de Matematiques

herland l’any 2008, els quals, mitjancant unestudi numeric, van conjecturar una classificaciodels grups de distribucio possibles de corbes degenere 2 definides sobre Q. En el capıtol 5 es des-criuen les bases d’aquest estudi numeric. Segonsaquest estudi s’obtenen 23 subgrups compac-tes de USp(4) que si sorgeixen com a possiblesgrups de distribucio, i es conjectura que totacorba de genere 2 te com a grup de distribu-cio un d’aquests 23. A mes, per a les corbesamb jacobiana simple es proposa un grup dedistribucio concret a partir de l’estructura del’anell d’endomorfismes definits a la clausuraalgebraica de Q.

L’ultim proposit del treball revisa aquestaclassificacio. Es considera la corba D : y2 =9960x6 + 50400x5 − 147420x4 + 352800x3 −692370x2+617400x−190365 estudiada per L. V.Dieulefait i V. Rotger. Aquesta corba te jacobi-

ana simple, amb multiplicacio quaternionica. Laprincipal diferencia amb qualsevol de les corbesamb multiplicacio quaternionica utilitzades enl’estudi numeric realitzat per Kedlaya i Suther-land es que el mınim cos on estan definits totsels endomorfismes de D te grau 4 sobre Q. Cal-culant el grup de distribucio de D es comprovaque no es l’esperat segons la classificacio propo-sada. Aquest resultat permet concloure que elsgrups de distribucio de les corbes no depenenunicament de l’anell d’endomorfismes definitsa la clausura algebraica de Q, sino que cal con-siderar l’arbre d’algebres d’endomorfismes enconsiderar totes les subextensions de Q/Q. Aixıdoncs, una de les conclusions del treball es queles conjectures de Kedlaya i Sutherland han deser corregides. Aprofundir en aquesta direccioes l’objectiu de la recerca de David Arazo.

Comparacio entre les distribucions de la corba y2 = x5 + x3 + x amb mul-tiplicacio quaternionica utilitzada per Kedlaya i Sutherland, i de la corba D.

Vıctor RotgerUPC

• Vıctor Gonzalez Alonso, �Germens polars i invariants de singularitats�.Accessit del Premi Evariste Galois 2010

En aquest treball l’autor aborda un problemaque ha fet ballar el cap a especialistes en sin-gularitats durant unes quantes decades. Per aentendre el plantejament d’aquest problema, in-troduım a continuacio, pas a pas, els diversosconceptes que hi intervenen.

Es tracta d’un problema local de singulari-tats de corbes planes. En ser un problema local,es considera fixat un punt O llis d’una superfıciecomplexa S i ens interessem pels germens en Ode funcions holomorfes en un entorn de O, que

descriuen un anell O, anomenat anell local deS en O. Prenent coordenades locals x, y en O,es pot representar cada funcio holomorfa en unentorn de O per una serie convergent en les va-riables x, y, i aixo dona un isomorfisme entreO i l’anell de series de potencies convergents enx, y, C{x, y}. Per tant, la superfıcie S es en Olocalment isomorfa a un pla, de fet, a C2 enl’origen, i es per aquest motiu que parlem decorbes planes, o de germens de corbes planes,en referir-nos a les corbes ξ representades per

49

Page 52: Cob SCM Num 29 - blogs.iec.catblogs.iec.cat/scm/wp-content/uploads/sites/20/2011/02/N29.pdf · Inauguraci´o d’un zenit`ograf solar 42 Premis 44 Societat Catalana de Matematiques

una equacio de funcio holomorfa f ∈ C{x, y}.Es interessant remarcar que la mateixa corbaξ pot ser representada per una altra equaciog ∈ C{x, y}, si i nomes si el quocient f

g es unelement invertible de l’anell C{x, y}. Ara defi-nim l’ordre d’anul.lacio de ξ en O, o(f), com elmınim ordre del desenvolupament de Taylor def en O, que es independent de les coordenadesx, y i de l’equacio f = 0 triades. Observem quela corba ξ passa per O, si i nomes si o(f) ≥ 1;altrament es diu que ξ es el germen de corbabuit. Es diu que la corba ξ passant per O essingular si o(f) es estrictament mes gran que 1,altrament es diu que la corba es llisa.

En el context en que ens trobem, les uniquescorbes que presenten interes son les corbes sin-gulars, que poden ser molt complicades. Unaprimera mesura de l’ordre d’aquesta complicaciopodria ser o(f), i el primer terme del desenvo-lupament de Taylor de f en O, els factors delqual ens donen les rectes tangents a la corbaen O. Una altra mesura de la complicacio de lasingularitat d’una corba es el que s’anomena elseu polıgon de Newton, que codifica els termesinicials del desenvolupament de Taylor de f enO segons totes les possibles ponderacions de lesvariables x, y: per exemple, amb la ponderacio(m,n) el monomi xiyj te grau ponderat mi+nj.Totes aquestes propostes es queden curtes da-vant la complicacio que pot arribar a presentarla singularitat d’una corba, i tan sols ens apor-ten informacio acurada quan les considerem nonomes en l’equacio f , sino tambe en totes lesequacions de les transformades de la corba peruna operacio anomenada explosio, de la qualparlare tot seguit.

Entre totes les singularitats, les de corbesplanes son les mes ben estudiades, i hi ha unateoria molt ben establerta per a analitzar-lesi classificar-les, deguda principalment a No-ether, Zariski i Enriques. En el seu treball,Vıctor Gonzalez segueix l’enfocament d’Enri-ques, desenvolupat i sintetitzat per Casas en elllibre Singularities of plane curves (2000), quepermet entendre les singularitats de corba planamitjancant els punts infinitament propers pelsquals passa. Els punts infinitament propers noson punts propiament de S, sino de superfıciesobtingudes a partir de S per operacions d’ex-plosio, conegudes en angles com blow-up. Pera fer-nos-en una idea, una explosio de S en elpunt O es com una operacio de cirurgia que

substitueix el punt O per una recta que mate-rialitza les direccions tangents en O, i deixa laresta igual. Aixı, una corba ξ en S que passaper O i hi te e tangents diferents es correspon ala superfıcie explotada amb una corba que te epunts nous en comptes de O, es a dir, la trans-formada de ξ, que es l’adherencia de la corbacorresponent a ξ −O en la superfıcie explotada,te e punts nous. Els punts de S, O inclos, s’a-nomenen punts propis (perque son propiamentde la superfıcie original S) per a diferenciar-losdels nous punts que apareixen en les operacionsd’explosio, que s’anomenen punts infinitamentpropers.

En la teoria de singularitats es demostra quenomes hi ha un nombre finit d’aquests puntsinfinitament propers pels quals passa ξ i queson singulars de la transformada de ξ; diemque formen el cluster de punts singulars de lacorba ξ. Els punts del cluster de punts singu-lars d’una corba i certes relacions entre si espoden codificar mitjancant un diagrama d’ar-bre on l’arrel representa el punt original O, hiha un vertex per cada punt del cluster i lesarestes (i la forma en que son tracades) repre-senten aquestes relacions entre els punts quehem mencionat. Aquest diagrama d’arbre s’ano-mena diagrama d’Enriques i te una rellevanciaespecial dintre la teoria de singularitats, perqueclassifica topologicament les corbes planes: si esconsideren els germens de corba plana com agermens d’espais topologics de C2 = R4, alesho-res dos germens son topologicament equivalents(es a dir, existeix un homeomorfisme que trans-forma un representant d’un dels germens en unrepresentant de l’altre), si i nomes si son equi-singulars, on equisingular vol dir que tenen elmateix diagrama d’Enriques.

Pel que acabem de dir, queda clar que lesclasses d’equivalencia topologica de corbes pla-nes estan molt ben enteses, ja que disposemd’un objecte combinatori, el propi, diagramad’Enriques, que les caracteritza. Pero en el con-text en que estem (el de corbes descrites perfuncions holomorfes o analıtiques), el mes na-tural es considerar la classificacio mes fina deles corbes planes modul isomorfisme analıtic.Aquesta classificacio es molt complicada i enca-ra no esta entesa actualment (es un problemaobert en la teoria de singularitats). Un resultaten aquest sentit, degut a Mather i Yau, ens diuque l’ideal jacobia J(ξ) = (f, ∂f

∂x , ∂f∂y ); de fet, la

50

Page 53: Cob SCM Num 29 - blogs.iec.catblogs.iec.cat/scm/wp-content/uploads/sites/20/2011/02/N29.pdf · Inauguraci´o d’un zenit`ograf solar 42 Premis 44 Societat Catalana de Matematiques

C-algebra OJ(ξ) , determina la classe d’isomorfis-

me analıtic de ξ. Els elements de l’ideal J(ξ)son de la forma h = u1f + u2

∂f∂x + u3

∂f∂y , per

a u1, u2, u3 ∈ C{x, y}, i, si o be u2 o be u3 esinvertible, es diu que h = 0 defineix una corbapolar de la corba ξ.

Es un resultat de teoria de singularitats que�quasi totes� les polars (concretament, un obertde Zariski de l’ideal jacobia) comparteixen unconjunt finit de punts infinitament propers, queanomenem cluster de punts base de les corbespolars, i que inclou el cluster de punts singu-lars de cadascuna d’aquestes polars; les polarsamb aquesta propietat les anomenem polarsgeneriques. El resultat de Mather i Yau dei-xa pales per que els germens polars son una deles principals eines per a analitzar singularitatsde corbes planes, i el motiu es que porten moltainformacio sobre la classe analıtica de la singula-ritat. Hi ha hagut molts esforcos en la literatura(per exemple en treballs de Le, Teissier, Merle iKuo-Lu) per intentar desxifrar quina d’aquestainformacio es purament topologica.

Un dels principals problemes en aquesta di-reccio consisteix a recuperar el cluster de puntssingulars d’una corba, determinant aixı la sevaclasse topologica (o classe d’equisingularitat), apartir d’invariants associats als germens polars.La major part dels intents dels darrers trentaanys, duts a terme per escoles expertes en sin-gularitats (com ara la francesa), han utilitzat lainformacio proporcionada per una polar generica(treballs de Teissier i Merle), pero aquest no haresultat ser un invariant apropiat i el problemaha romas obert. La primera (i unica) respostapositiva en aquesta direccio va ser donada perCasas l’any 2000, que va demostrar que el clusterde punts base de les corbes polars determinaunıvocament els punts singulars de la corba. Re-sulta, doncs, que no n’hi ha prou de considerar elcluster de punts singulars d’una polar generica,ja que tambe es necessari tenir en compte algunspunts no singulars addicionals: els compartitsper totes les polars generiques. Aquest resultat

es pot interpretar com una versio local d’unconegut fet de geometria projectiva: els puntssingulars (propis) d’una corba algebraica planason exactament els punts base (propis) de lesseves corbes polars.

La prova donada per Casas consta de dospassos: el primer es recuperar els invariants po-lars (certs invariants topologics de la singula-ritat que son calculables a partir dels germenspolars), i el segon es un procediment que se-gueix curosament els polıgons de Newton de lestransformades iterades d’una polar generica peroperacions d’explosio. L’inconvenient mes grand’aquesta demostracio es que no ajuda a aclarirla connexio entre el cluster de punts singularsde la corba i el de les seves polars generiques.

El treball de Vıctor Gonzalez te l’objec-tiu de determinar explıcitament el cluster depunts singulars de la corba directament a par-tir del cluster de punts base de les seves polarsgeneriques, i ho aconsegueix mitjancant un al-gorisme que dona, en particular, una nova de-mostracio del resultat de Casas, molt clara inetament diferent. A mes, l’avantatge d’aquestalgorisme es que es pot aplicar directament aldiagrama d’Enriques del cluster de punts basede les polars generiques i determina el diagra-ma d’Enriques del cluster de punts singularsde la corba. Aixı, amb menys informacio, comes nomes la classe d’equisingularitat del clusterde punts base de les polars generiques, n’hi haprou per a determinar la classe topologica de lacorba. Aquesta demostracio consta tambe d’unprimer pas, on es recuperen els invariants polarsde la mateixa manera que en la prova previade Casas; la segona part de la prova es la queaporta la novetat i s’aconsegueix el resultat des-pres de reinterpretar el problema en termes dela teoria de morfismes analıtics planars (desen-volupada recentment pel mateix Casas) i d’unus acurat i enginyos d’aquestes noves tecniques.D’aquesta manera, s’evita tambe el calcul feixucdel polıgon de Newton de cada transformada dela corba per les diferents explosions.

Maria Alberich-CarraminanaUPC

51

Page 54: Cob SCM Num 29 - blogs.iec.catblogs.iec.cat/scm/wp-content/uploads/sites/20/2011/02/N29.pdf · Inauguraci´o d’un zenit`ograf solar 42 Premis 44 Societat Catalana de Matematiques

Fundacio Ferran Sunyer i Balaguer

Convocatories del 2011

Premi Ferran Sunyer i Balaguer de Matematiques

• Ofert a una monografia escrita en angles que exposi els resultats mes destacatsd’una area de les matematiques en la qual s’hagin produıt avencos recentment.L’obra ha de tenir un mınim de cent cinquanta fulls, no pot estar subjecta acopyright i no ha d’haver estat sotmesa a cap empresa editorial per a esserpublicada.

• La dotacio del premi, 15.000e, i l’obra guanyadora sera publicada en lacol.leccio �Progress in Mathematics�, de l’editorial Birkhauser Verlag.

Termini per a la presentacio de candidatures: 3 de desembre de 2010 a les 13 h.

Premi Matematiques i Societat

• Ofert a reportatges o activitats en qualsevol llengua, de caracter generalista,sobre qualsevol aspecte de les matematiques (ensenyament, recerca, divulgacio,presencia en la societat), produıts als Paısos Catalans en els dotze mesosanteriors a la data de resolucio.

Termini d’admissio de candidatures: deu dies abans de la resolucio. El juratresoldra l’adjudicacio del premi abans del dia 19 de marc de 2011.

Borses Ferran Sunyer i Balaguer

• Ofertes als millors projectes d’estudi o de recerca matematica relacionatsamb la tesi doctoral. Els sol.licitants han d’esser estudiants de doctorat dematematiques d’una universitat dels Paısos Catalans, en el tram final de latesi doctoral.

• L’objectiu d’aquestes borses es reforcar la formacio en recerca dels estudiantspremiats mitjancant l’estada d’entre un i tres mesos d’estudi o de recerca enuna institucio fora de l’ambit geografic de la universitat d’origen.

Les sol.licituds s’han de trametre abans del dia 28 de febrer de 2011 a les 14hores. La resolucio de la convocatoria es fara abans del dia 20 de marc de 2011.

Mes informacio: http://ffsb.iec.cat

Guardonats en la convocatoria del 2010

• El Premi Ferran Sunyer i Balaguer de Mate-matiques ha estat atorgat a Carlo Mantegazza,de l’Escola Normal Superior de Pisa, per lamonografia titulada Lecture notes on mean cur-vature flow.• El Premi Matematiques i Societat ha estatatorgat al reportatge �Un lenguaje llamado ma-tematicas� de la seccio �Opinion. Temas dedebate�, dirigit per Pau Baquero i publicat a

La Vanguardia el 17 de maig de 2009.• Les Borses Ferran Sunyer i Balaguer han estatatorgades a Oriol Farras Ventura, per a dur aterme una estada de recerca d’un mes a l’Insti-tut de Teoria de la Informacio i Automatitzaciode Praga (Republica Txeca), sota la tutela deFrantiek Matu; Ismael Gonzalez Yero, per a dura terme una estada de recerca de tres mesos ala Universitat Politecnica de Gdansk (Polonia),

52

Page 55: Cob SCM Num 29 - blogs.iec.catblogs.iec.cat/scm/wp-content/uploads/sites/20/2011/02/N29.pdf · Inauguraci´o d’un zenit`ograf solar 42 Premis 44 Societat Catalana de Matematiques

sota la tutela de Magdalena Lemanska; SantiagoMolina Blanco, per a dur a terme una estadade recerca de tres mesos a la Universitat de Bi-elefeld (Alemanya), sota la tutela de MichaelSpiess i a Set Perez Gonzalez, per a dur a termeuna estada de recerca de tres mesos a la Uni-

versitat de Hasselt (Belgica), sota la tutela deFreddy Dumortier.

Els premis i borses de la Fundacio forenlliurats el passat 22 d’abril en l’acte de lliura-ment de premis i borses d’estudis de l’Institutd’Estudis Catalans.

Ressenyes d’obres guardonades

Lecture notes on mean curvature flow, Carlo Mantegazza.Premi FSB de Matematiques 2010

El flux de curvatura mitjana (mean curvatureflow, MCF) es una equacio en derivades parcials(EDP) no lineal i de tipus calor. Apareix en l’e-volucio d’interfıcies de nombrosos models fısics.De fet, el flux de curvatura mitjana es un fluxde tipus gradient del funcional d’area i, per tant,apareix de manera natural en problemes en elsquals es minimitza alguna energia de superfıcie.Es tambe un exemple de flux geometric de va-rietats de Riemann. Una famılia de superfıciesevoluciona sota el flux de curvatura mitjana sila velocitat en la direccio normal en la qual esmou cada punt de la superfıcie ve donada per lacurvatura mitjana de la superfıcie. Per exemple,una esfera evoluciona sota el flux de curvaturamitjana encongint-se uniformement. Un exem-ple conegut de flux de curvatura mitjana esl’evolucio de les pel.lıcules de sabo.

Com una aplicacio important, els algorismesbasats en el flux de curvatura mitjana s’handesenvolupat ampliament en el camp del tracta-ment automatic de dades digitals, en particularde les imatges. Aixo es a causa de l’efecte regula-dor del flux, una consequencia de la naturalesaparabolica de l’EDP.

A mes, hi ha una forta connexio entre elflux de curvatura mitjana i certes EDP de reac-cio-difusio. Considerem, per exemple, l’equaciod’Allen-Cahn,

∂u

∂t= ∆u− 1

ε2W ′(u),

on W (u) = (1− u2)2 es un potencial amb dospous a la mateixa alcada. A mesura que ε ten-deix a zero i sota les hipotesis adequades, espot demostrar que la solucio uε de l’equaciod’Allen-Cahn, amb condicions inicials fixades,convergeix a una funcio que nomes assumeix elsvalors ±1 en regions separades per una fronteraque evoluciona pel flux de curvatura mitjana.

Una motivacio mes per a l’estudi del flux decurvatura mitjana prove de les analogies entreel flux de Ricci de metriques en varietats deRiemann i el flux de curvatura mitjana. El fluxde Ricci es un flux intrınsecament geometric (unproces que deforma la metrica d’una varietatde Riemann) d’una manera similar a la propa-gacio de la calor, allisant aixı les irregularitatsde la metrica. Te un paper fonamental en lasolucio de Grigori Perelman de la conjectura dePoincare; en aquest context es tambe anomenatflux de Ricci-Hamilton. De fet, molts resultatsvalen, cosa que probablement no havia estat maiescrita fins ara de manera similar tant per alMCF com per al flux de Ricci, i moltes ideess’han transportat amb exit d’un camp a l’altre.Com a aplicacions geometriques, es pot utilitzarel MCF com una eina per obtenir resultats declassificacio d’hipersuperfıcies satisfent certescondicions de curvatura, o per deduir desigual-tats isoperimetriques, o per construir superfıciesminimals. Igual que en el programa de Hamiltonper al flux de Ricci, un pas fonamental per apli-car aquestes tecniques es la definicio d’un fluxamb cirurgies, o de nocions feblement generalit-zades de flux, que ens permetin passar a travesde les singularitats d’una manera controlada.

Vegem, a continuacio, una definicio precisade la MCF. Sigui ϕ0 : M → Rn+1 una immersiosuau d’una varietat suau n-dimensional a l’espaieuclidia, n > 1. L’evolucio de M0 = ϕ0(M) pelflux de curvatura mitjana es la famılia suau uni-parametrica d’immersions ϕ : M×[0, T ) → Rn+1

que satisfa{∂∂tϕ(p, t) = H(p, t)ν(p, t)ϕ(p, 0) = ϕ0(p),

on H(p, t) i ν(p, t) son, respectivament, la cur-vatura mitjana i la normal de la hipersuperfıcie

53

Page 56: Cob SCM Num 29 - blogs.iec.catblogs.iec.cat/scm/wp-content/uploads/sites/20/2011/02/N29.pdf · Inauguraci´o d’un zenit`ograf solar 42 Premis 44 Societat Catalana de Matematiques

Mt = ϕt(M) en el punt p ∈ M , on ϕt = ϕ(·, t).Es pot comprovar que H(p, t)ν(p, t) = ∆ϕ(p, t),on ∆ es l’operador de Laplace-Beltrami a Mamb la metrica induıda per la immersio ϕt. Pertant, el flux de curvatura mitjana pot considerar-se com una mena d’equacio de la calor ge-ometrica. En particular, es pot demostrar quees un problema parabolic i te solucio unica pera temps petits. A mes, les solucions compleixenprincipis de comparacio i estimacions per a lesseves derivades, com en el cas de les equacionsparaboliques a l’espai euclidia. El flux de curva-tura mitjana no es, pero, una equacio de la calorlineal, ja que el mateix operador de Laplace-Beltrami evoluciona i canvia en el temps comla mateixa hipersuperfıcie. En particular, encontrast amb l’equacio de la calor classica, elflux de curvatura mitjana es un sistema d’evolu-cio no lineal (de fet, quasilineal), i les solucionsexisteixen, en general, nomes en un interval detemps finit.

En aquesta monografia, l’autor presenta lateoria parametrica classica del MCF, principal-ment desenvolupada per Hamilton i Huisken.Les eines principals per a l’analisi son estima-cions a priori per a EDP quasilineals, sovintbasades en un us intel.ligent del principi delmaxim, en el mateix esperit que els resultatsobtinguts per Hamilton per al flux de Ricci.

La monografia esta pensada i es molt ade-quada per a un bon curs de tipus doctoral opostdoctoral, o per a qualsevol persona interes-sada en una bona introduccio a les questionstecniques i substancials del tema. Totes les de-mostracions estan curosament escrites, amb totsels detalls, sense assumir prerequisits gaire pro-funds, nomes alguns dels principis maxims enEDP i certs fonaments de geometria riemannia-na. Algunes demostracions estan simplificades (ocontenen mes comentaris) que les originals. Lesnotes no presenten les aportacions que provenen

d’altres enfocaments, en particular, ni teoria dela mesura geometrica ni de la formulacio delsconjunts de nivell.

Les notes recopilen, revisen a vegades, afegei-xen detalls, posen junts sota el mateix contexti, en definitiva, organitzen gran quantitat dematerial fonamental en l’analisi del MCF, ambespecial atencio a la formacio de singularitats ila classificacio de la seva forma asimptotica. Enla literatura aquests resultats es troben disse-minats entre uns deu o vint articles, publicatsen un perıode d’uns vint anys. Per exemple, lesnotes contenen en un apendix una prova com-pleta i detallada del teorema d’existencia curta(a la Polden-Huisken) per a EDP paraboliquesi quasilineals. Tambe contenen una bibliografiaexhaustiva i curosament seleccionada i suggeri-ments per llegir mes informacio sobre el tema.

L’analisi de la formacio de singularitats i laclassificacio de la seva forma asimptotica estangairebe completades per algunes categories d’-hipersuperfıcies. Per a d’altres, sembla difıcili lluny de ser complet. En el capıtol 6, l’au-tor descriu l’estat actual d’aquest tema. Conteproblemes oberts, direccions de recerca, i unadiscussio dels resultats recents sobre el proce-diment de cirurgia de Huisken-Sinestrari ambla finalitat d’usar el MCF per obtenir resultatstopologicogeometrics sobre hipersuperfıcies im-merses en l’espai euclidia.

Carlo Mantegazza, autor de l’obra,1 nascutel 1970, es investigador a la Scuola Normale Su-periore di Pisa (Italia) en el camp del calcul devariacions, EDP no lineals i teoria geometrica dela mesura. Va rebre el Premi Bartolozzi el 2003.Ha estat professor convidat en institucions coml’Institut Tecnologic de Massachusetts, l’InstitutHenri Poincare a Parıs, la Universitat Parıs VI,l’Institut Max Planck de Leipzig, i el CRM aBellaterra.

Xavier CabreICREA-UPC

�Un lenguaje llamado matematicas�. Premi Matematiques i Societat 2010

Amb la finalitat d’estimular la presencia de les matematiques en els mitjans de comunicacio, la Fun-dacio Ferran Sunyer i Balaguer convoca anualment el �Premi Matematiques i Societat� reportatgeso activitats en qualsevol llengua, de caracter generalista, sobre qualsevol aspecte de les matematiques(ensenyament, recerca, divulgacio, presencia en la societat), produıts als Paısos Catalans.

1Amb contribucions de Manolo Eminenti i Annibale Magni.

54

Page 57: Cob SCM Num 29 - blogs.iec.catblogs.iec.cat/scm/wp-content/uploads/sites/20/2011/02/N29.pdf · Inauguraci´o d’un zenit`ograf solar 42 Premis 44 Societat Catalana de Matematiques

En l’edicio del 2010, el premi ha estat atorgat al reportatge �Un lenguaje llamado matema-ticas� de la seccio �Opinion. Temas de debate�, dirigit per Pau Baquero i publicat a La Vanguardiael 17 de maig de 2009. Els autors son Sebastia Xambo i Sebastian del Bano Rollin. Per a recalcar latematica altament divulgativa de l’article, en reproduım una traduccio al catala.1

�Un llenguatge anomenat matematiques�

La grandesa de les matematiques es inequıvocasi ens posem en la perspectiva de la seva historiamil.lenaria. La seva esplendor es manifesta per aqualsevol que tingui l’ocasio de fer-se carrec dela ubiquitat de les seves funcions en les societatsdesenvolupades. Quins son els secrets d’aques-tes prodigioses circumstancies? Concerneixennomes a especialistes?

�Imprescindibles i belles�, Sebastia XamboDes d’un punt de vista practic, el secret mesaccessible de les matematiques es que es tractad’un llenguatge precıs i universal per a la cienciai la tecnologia. El seu funcionament, en aquestsentit, es esquematicament aquest: s’imagina unmodel de la situacio que interessa estudiar perabstraccio dels seus aspectes essencials; s’obte-nen, per deduccio i calcul, resultats (prediccions)sobre les variables d’interes; i es comprova siaquests valors concorden amb els de les observa-cions. Naturalment, nomes poden ser profitososels models (tambe anomenats teories) per alsquals la concordanca entre prediccions i obser-vacions es acceptable en un determinat domini.Actualment, per exemple, els populars modelsmeteorologics permeten predir el temps que farad’aquı a uns pocs dies, en qualsevol zona delmon. Aturem-nos un moment per a subratllarl’analogia entre aquest modus operandi (anome-nat metode cientıfic o hipoteico-deductiu) i el delllenguatge ordinari. La clau d’aquesta analogiaesta en el fet que les nostres ments no podenposseir la realitat, sino nomes idees sobre lasuposada realitat. Dit d’una altra manera, larealitat queda representada per sistemes d’ideesque poden anomenar-se mapes mentals, o co-dis interns, per semblanca amb l’us de mapesgrafics per a situar-nos i moure’ns en un terri-tori. Aquests mapes o models mentals amb queconstruım la realitat generalment tenen l’origenen l’educacio rebuda, en les experiencies viscu-des, i nomes una part incorporen el compromısde la disciplina cientıfica.

Tornem a les teories cientıfiques. Entre lesmes acreditades per la seva generalitat, precisio,

simplicitat i bellesa hi ha les de la ciencia fısica.Proposades per noms com Euclides (geometria= mesura de la Terra), Newton, Euler, Maxwell,Einstein..., i perfeccionades per molts d’altres,ens proporcionen la visio actual del mon fısic,de les seves lleis i de les seves aplicacions tec-nologiques. Pensem, per exemple, en els sistemesde posicionament global (com el GPS o el futursistema europeu Galileu) i les seves aplicacions.Les trajectories dels satel.lits es regeixen per leslleis de Newton, les quals pressuposen la geo-metria; alhora, la rotacio d’un satel.lit sobre simateix obeeix les equacions d’Euler sobre el solidrıgid; les comunicacions s’estableixen mitjancantones electromagnetiques predites per Maxwelll’any 1862 a partir de les seves equacions, idescobertes per Hertz el 1888; la indispensablesincronitzacio dels rellotges atomics del siste-ma es fonamenta en la teoria de la relativitatd’Einstein...

A mes d’un llenguatge precıs i universal per ala ciencia i la tecnologia, hi ha un altre secret queexplica la grandesa de les matematiques. Mesamagat, pero afortunadament la seva essenciaes pot captar per analogia amb el que succeeixen el cas del llenguatge ordinari. Al costat delsmultiples usos practics d’una llengua, com perexemple en les notıcies donades pels mitjans decomunicacio, la llengua en si es tambe vehicleliterari (poesia, novel.la, teatre), i en aquestsafers, la referencia a la realitat real es, com amınim, secundaria i, tot sovint irrellevant. Doncsbe, el mateix passa amb el llenguatge de les ma-tematiques, que es pot usar en una modalitatinterna, que metaforicament podem anomenarpoetica, per a expressar les troballes d’un pen-sament dirigit a explorar l’univers de conceptesmatematics (nombres, figures, algorismes...) iles seves relacions recıproques. Aquestes troba-lles, que per als matematics tenen la mateixaimportancia que l’Odissea o la Divina Comediapuguin tenir per al patrimoni cultural, nomes encomptades ocasions son notıcia als mitjans, comva ser el cas de la demostracio de l’anomenat

1Traduıt amb el permıs de La Vanguardia i dels autors, S. Xambo i S. del Bano Rollin. La Vanguardia (17 de maigde 2009), pagina 30.

55

Page 58: Cob SCM Num 29 - blogs.iec.catblogs.iec.cat/scm/wp-content/uploads/sites/20/2011/02/N29.pdf · Inauguraci´o d’un zenit`ograf solar 42 Premis 44 Societat Catalana de Matematiques

ultim teorema de Fermat (Wiles, 1995) o de laconjectura de Poincar e (Perelman, 2006).

L’aspecte poetic de les matematiques tambehauria d’interessar totes les persones que vo-len estar ben informades. En efecte, la historiade la ciencia ens mostra que els dos secretsa que hem fet referencia es comuniquen cons-tantment, en el sentit que els problemes sorgitsdel mon real condueixen invariablement a ma-tematiques del maxim interes, i viceversa (laqual cosa resulta encara mes enigmatica), moltsdescobriments i construccions de naturalesa pu-rament matematica acaben sent la clau d’inno-vadores aplicacions. Es a dir, la frontera entrematematica pura i aplicada es tan borrosa comla que separa la realitat de la ficcio en l’universliterari o, fins i tot, la vida ordinaria.

Finalment, voldria fer esment d’un ultim as-pecte. Ates que l’educacio exerceix un paperfonamental en la construccio de la societat delconeixement, convindria que el desenvolupamentdels talents especials no es veies coartat per unamalentesa uniformitat. Sempre s’ha fet amb eltalent esportiu, sense que hagi anat en detri-ment d’una solida formacio en valors socials.

�El col.lapse financer�, Sebastian del Bano RollinS’ha escrit molt sobre les matematiques en con-nexio amb la crisi creditıcia, en alguns casosamb mes encert que en d’altres. El cert es queles finances avui impliquen una quantitat im-portant de matematiques bastant sofisticades.Els analistes quantitatius, anomenats quants,per exemple, son doctors en matematiques oen fısica que desenvolupen complexos modelsde valoracio i gestio de riscos per a les treso-reries de bancs i hedge funds. Ara es dona lacircumstancia que els quants han estat de vega-des culpats dels mals del mon financer.

La realitat, una mica menys ficticia, es quecreen models aproximatius que requereixen els

usuaris tecnicament competents. Si el model s’u-sa a cegues fora del seu rang d’aplicabilitat, comuna recepta magica, el resultat sol ser catastrofic.Es com intentar assecar una mascota al microo-nes. Aixo va passar amb l’equacio del doctor Li,matematic avui en reclusio mediatica a la Xina,de vegades qualificada com la �formula que vaenfonsar Wall Street�:2

P(X < x, Y < y) = Cρ(P(X < x), P(Y > y))

que fou usada per a valorar els anomenats pro-ductes derivats toxics. Aquesta expressio rela-ciona la probabilitat de bancarrota simultaniade dos actius, com poden ser dues hipotequessubprime, amb les probabilitats individuals debancarrota mitjancant un misterios parametre ρ,anomenat correlacio. El problema es que aques-ta ρ es un nombre inestable que en temps debonanca, quan la bancarrota d’una hipoteca aIowa no afecta les potencials fallides a Flori-da, s’acosta a zero, mentre que en perıodes decrisi creix de manera significativa. Per a usarla formula de Li, es va estimar en funcio d’unpassat benigne, que ρ era propera a zero.

De fet, ja a l’any 2006 el mateix doctor Liva avisar del perill d’usar la seva formula sen-se entendre-la. Pero el seu advertiment no vaservir de gaire, ates que a l’any 2008 el totalnocional en carteres d’aquest tipus de produc-tes havia ascendit a l’astronomica xifra de 45bilions de dolars, unes tres vegades el producteinterior brut dels Estats Units. Tal com coinci-deixen a apuntar els experts, el problema es mesd’ignorancia matematica que de l’us d’aquestadisciplina.

Es el missatge que posa de relleu el FinancialTimes al seu editorial �Matematiques i mer-cats� del passat 21.03.2009: �El mon financerapreciara llavors la veritable equacio: mercatsmenys matematiques igual a desastre�.

2Essencialment com a consequencia del teorema de la funcio inversa es pot veure que la funcio cumulativa de probabili-tat de dues variables aleatories s’escriu com a funcio de les seves marginals: P(X < x, Y < y) = C(P(X < x), P(Y < y)),on C : [0, 1]2 → [0, 1] es una funcio anomenada copula, que codifica la relacio de codependencia de les varia-bles. Per exemple, les variables son independents si i nomes si C(u, v) = uv. En el cas d’una variable gaussianaestandard bivariada amb correlacio ρ, la funcio C es diu la copula gaussiana amb correlacio ρ, i es pot escriure

explıcitament com Cρ(u, v) = 1

2π√

1−ρ2

R x∗

−∞

R y∗

−∞ exp“−x2+y2−2ρxy

2(1−ρ2)

”dxdy, on x∗ i y∗ estan definits implıcitament

per 1√2π

R x∗

−∞ exp“−x2

2

”dx = u, i 1√

R y∗

−∞ exp“− y2

2

”dy = v. Un truc habitual, al qual fa al.lusio l’article (dit la

formula de Li quan X i Y son els temps de fallida d’una institucio) quan tenim marginals pero no la llei conjunta, esestimar un parametre ρ i postular P(X < x, Y < y) = Cρ(P(X < x), P(Y < y)) usant la copula gaussiana Cρ descritaabans. El problema es que sovint els regims de correlacio de variables financeres no son constants i, per tant, la copulagaussiana no es un bon descriptor de la realitat fısica. Per exemple, els actius que integren un ındex de borsa solentenir una correlacio mes elevada quan hi ha perıodes de crisi, quan la borsa puja es comporten mes independentment.

56

Page 59: Cob SCM Num 29 - blogs.iec.catblogs.iec.cat/scm/wp-content/uploads/sites/20/2011/02/N29.pdf · Inauguraci´o d’un zenit`ograf solar 42 Premis 44 Societat Catalana de Matematiques

Oriol Farras Ventura, �Esquemes de comparticio de secrets�.Borsa Ferran Sunyer i Balaguer 2010

Soc estudiant de doctorat de laUPC. Vaig defensar la tesi el ju-liol del 2009. La tesi de l’ambit decriptografia fou dirigida pel profes-sor Carles Padro Laimon del De-partament de Matematica Aplica-da IV de la UPC. He seguit el Pro-grama de doctorat de Matematica

Aplicada de la UPC. Soc llicenciat en matemati-ques i enginyer en telecomunicacio per la UPC,i vaig seguir el pla de doble titulacio del Centrede Formacio Interdisciplinaria Superior.

L’estada de recerca que m’ha estat becadaamb la Borsa Ferran Sunyer i Balaguer es duraa terme a Praga, al Departament de DecisionMaking Theory de l’Institut de la Teoria dela Informacio i Automatitzacio de l’Academiade les Ciencies de la Republica Txeca. El res-ponsable de l’estada es l’investigador FrantiekMatu.

El tema de recerca d’aquesta estada son elsesquemes de comparticio de secrets. Aquests es-

quemes permeten dividir un secret en diversosfragments, de manera que el secret nomes espot recuperar a partir de certs conjunts de frag-ments, i per a la resta de conjunts es impossibleobtenir cap informacio referent al secret. Elsesquemes de comparticio de secrets son incondi-cionalment segurs, la seva seguretat no depen decap assumpcio computacional. A causa d’aques-ta propietat, son una primitiva molt importanten la construccio de protocols criptografics.

El problema que es tractara en aquesta esta-da es l’optimitzacio de la longitud dels fragmentsdels esquemes de comparticio de secrets. Aquestproblema obert s’ha abordat des de camps moltdiversos de les matematiques. En particular,s’ha demostrat que existeix una relacio estretaentre els esquemes de comparticio de secrets iels matroides i polimatroides. Durant aquestaestada s’estudiaran els polimatroides booleansi els polimatroides entropics per tal d’obtenirnous resultats en aquest problema.

Ismael Gonzalez Yero, �Contribucio a l’estudi de dominacio en grafs�.Borsa Ferran Sunyer i Balaguer 2010

Llicenciat en matematiques a laUniversitat d’Orient, Santiago deCuba, des de l’abril de 2003 i,posteriorment, professor instruc-tor del Departament de Matema-tiques de l’Instituto Superior Mi-nero Metalurgico de Moa, Cuba,fins al marc del 2007 des del se-tembre de 2007 fins a l’actualitat

gaudeixo d’una beca predoctoral a la UniversitatRovira i Virgili, i formo part del grup de recercade matematica discreta del Departament de Ma-tematiques i Informatica, on faig la tesi doctoralsota la direccio del doctor Juan A. RodrıguezVelazquez. Recentment, m’ha estat concedidauna Borsa Ferran Sunyer i Balaguer per rea-litzar una estada de recerca de tres mesos a laUniversitat Politecnica de Gdansk, Polonia, sotala direccio de la doctora Magdalena Lemanska.

La tesi titulada �Contribucio a l’estudi dedominacio en grafs� s’emmarca dins el campde la teoria de grafs. Un dels seus objectius

principals es establir propietats matematiquesdels conjunts dominants i dominants condici-onals, aixı com les seves relacions amb altresparametres del graf. Els orıgens de l’estudi de do-minacio en grafs es remunten a alguns problemesvinculats al joc d’escacs. D’acord amb les reglesdel joc, la dama pot avancar en un moviment,qualsevol nombre de caselles horitzontalment,verticalment o diagonalment. Per tant, la damapot moure’s, atacar o dominar qualsevol d’aques-tes caselles esmentades. Al voltant de l’any 1850alguns estudiosos del tema es van plantejar quinhavia de ser el mınim nombre necessari de damessobre el tauler de manera que en cada casella hihagues una dama o, en cas contrari, aquesta ca-sella estigues dominada per almenys una damaen una altra posicio del tauler. Aquest proble-ma, que te solucio cinc, pot ser plantejat demanera general, mitjancant un problema de do-minacio dels vertexs d’un graf. A partir d’aquestproblema, s’han desenvolupat diversos tipus dedominacio no convencional, els quals han estat

57

Page 60: Cob SCM Num 29 - blogs.iec.catblogs.iec.cat/scm/wp-content/uploads/sites/20/2011/02/N29.pdf · Inauguraci´o d’un zenit`ograf solar 42 Premis 44 Societat Catalana de Matematiques

anomenats dominacio condicional. Aixı, podemdestacar les aliances, els conjunts geodesics i elsconjunts de localitzacio, entre altres tipus dedominacio estudiats en l’actualitat. En relacioamb aquests conjunts caracterıstics es plante-ja com a problema fonamental el fet de trobarel conjunt dominant de cardinal mınim en ungraf. Aquest problema es NP -complet. A causad’aquest fet i de la seva aplicacio en diversosproblemes de xarxes complexes, comunitats web,xarxes socials, comportament d’estructures delscompostos quımics, entre altres, els estudis dedominacio convencional i condicional han estatd’interes de la comunitat cientıfica dedicada ala teoria de grafs.

En la meva tesi pretenc continuar l’estudi deles propietats matematiques de les aliances engrafs, els conjunts geodesics i els conjunts de lo-calitzacio, com a casos particulars d’estructuresdominants condicionals. Fins ara s’han obtingutformules i fites tenses per als nombres d’aliancaglobals i les aliances globals frontereres, com acasos especials de conjunts dominants, i com

a continuacio s’estudiaran els cobriments i elsconjunts lliures d’aliances globals i d’aliancesfronteres. Analogament, s’han obtingut resultatsrelacionats amb propietats matematiques delsconjunts geodesics i els conjunts de localitzaciod’un graf, particularment s’han estudiat aques-tes estructures en els grafs producte cartesia.A mes, es preten estudiar les propietats mate-matiques dels conjunts convexos-dominants, elsconjunts convexos-geodesics, les relacions entreaquests i la seva relacio amb els conjunts do-minants tradicionals. A l’estada de recerca a laUniversitat Politecnica de Gdansk, objecte de laBorsa Ferran Sunyer i Balaguer, pretenc adqui-rir noves tecniques de treball en la investigacio,aixı com intercanviar idees amb els integrantsdel grup d’investigacions d’aquesta universitat,especialistes en l’estudi dels parametres de do-minacio en grafs. Especıficament, es vol desenvo-lupar l’estudi dels conjunts convexos-dominants,els conjunts convexos-geodesics i els conjunts delocalitzacio.

Santiago Molina, �Automorphic L-invariants�. Borsa Ferran Sunyer i Balaguer 2010

Vaig llegir la tesi doctoral el 7 dejuliol de 2010 a la UPC sota la direc-cio dels professors Josep Gonzalezi Vıctor Rotger, i gaudeixo d’unabeca predoctoral I-math associadaal programa de recerca Arithme-tic geometry, que actualment s’estacursant al CRM, Bellaterra.

He estat guardonat amb una Borsa FerranSunyer Balaguer per a realitzar una estada detres mesos a la Universitat de Bielefeld, Alema-nya, sota la tutela del professor Michael Spiess.

El projecte a realitzar amb el professorSpiess s’anomena Automorphic L-invariants.Aquest projecte aborda les possibles generalit-zacions i les propietats functorials de cert tipusd’invariants associats a determinades funcionsL p-adiques. Una funcio L classica, L(s), es unafuncio representada com a producte infinit defactors L(s) =

∏q Lq(s) associats a certs objec-

tes aritmetics o geometrics. Aquests productesinfinits nomes son convergents per a certs valorsde s, pero L(s) sovint admet una continuaciomeromorfa a tot el pla complex i una equaciofuncional associada. La comprensio d’aquestesfuncions analıtiques representa un dels reptes

mes importants de la matematica actual. Perexemple, dos dels considerats problemes del mil-lenni, la hipotesi de Riemann i la conjecturade Birch i Swinnerton-Dyer, estan directamentrelacionats amb dues de les funcions L mes im-portants: la funcio zeta de Riemann ζ(s) i lafuncio L associada a una corba el.lıptica L(E; s).

Hi ha diverses construccions atribuıdes a di-ferents autors com Mazur, Tate, Teitelbaum,Darmon i Orton de funcions analıtiques en elpla p-adic que interpolen valors racionals defuncions L classiques. L’estudi d’aquestes ge-neralitzacions en el mon p-adic podria ajudaren la recerca de les conjectures classiques, jaque aquestes admeten generalitzacions p-adiquesmes accessibles i amb les que hem estat capacosde fer mes progressos. Aquestes funcions Lp-adiques tenen associades certs invariants quemesuren, en certa manera, la diferencia entreles avaluacions de la funcio Lp-adica i la fun-cio L classica que aquesta interpola en valorscrıtics de s. El proposit d’aquesta estada amb elprofessor Spiess es estudiar propietats d’aquestsinvariants L, possibles generalitzacions, i el seucomportament functorial.

58

Page 61: Cob SCM Num 29 - blogs.iec.catblogs.iec.cat/scm/wp-content/uploads/sites/20/2011/02/N29.pdf · Inauguraci´o d’un zenit`ograf solar 42 Premis 44 Societat Catalana de Matematiques

Set Perez, �Orbites periodiques en equacions diferencials planes: coexistencia i funciode retorn�. Borsa Ferran Sunyer i Balaguer 2010

Vaig fer la llicenciatura en matema-tiques a la Universitat d’Oviedo enl’especialitat de matematica aplica-da. El 2005 vaig comencar el docto-rat a la UAB i el 2006 vaig obteniruna beca FPI asociada al Grup deSistemes Dinamics d’aquesta uni-versitat. Amb la Borsa de la Fun-dacio el proper octubre anire a la

Universitat de Hasselt, Belgica, sota la tutela deFreddy Dumortier per acabar la tesi i defensar-lal’any vinent.

La tesi correspon a l’area d’estudi qualitatiude sistemes d’equacions diferencials al pla. L’es-tudi dels cicles lımit, orbites periodiques aıllades,son uns dels problemes amb mes referencies bibli-ografiques. En el cas de les equacions diferencialsautonomes planes, l’existencia, unicitat, localit-zacio i quantitat son els problemes principals.En aquest context s’emmarca la segona part delproblema 16 de Hilbert, que fa mes de 100 anysque es obert i que es pot plantejar de la maneraseguent:

Pel sistema d’equacions diferencials{x = Pn(x, y),y = Qn(x, y),

on Pn i Qn son polinomis de grau n, quin es elnombre maxim, H(n), de cicles lımit? Quinesson les posicions relatives?

Al llarg del segle xx s’han desenvolupat mul-titud de tecniques per a resoldre aquest proble-ma. Tot i aixo, estem lluny de trobar-ne la solu-cio. Actualment hi ha, basicament, dues lıniesd’investigacio obertes, les quals es basen en teo-remes d’acotacio de zeros de funcions analıtiques

per a trobar fites superiors del nombre de Hil-bert, H(n), i les que es basen en la teoria per-torbativa per a trobar fites inferiors del nombrede Hilbert per a famılies concretes. Els primersresultats donen fites molt grans, clarament nooptimes, pero resolen el problema de la finitudper a algunes famılies concretes, les equacionsde Lienard, per exemple. Per als segons, elscicles lımit podrien ser classificats en quatregrans grups: els petits, els mitjans, els gransi els enormes. Els petits s’obtenen a partir dela pertorbacio de punts d’equilibri. Els mitjansson els cicles lımit que s’obtenen a partir de lapertorbacio d’un centre, hamiltonia o no,{

x = Pn(x, y) + εf(x, y),y = Qn(x, y) + εg(x, y).

Els grans neixen a prop d’una connexio ho-moclınica o heteroclınica. I els enormes son elsque, en alguna direccio, venen de l’infinit.

En la tesina vaig estudiar els cicles lımit pe-tits i mitjans que neixen en pertorbar una famıliaconcreta de centres. El problema que es plantejaresoldre ara es pot llegir com l’estudi dels cicleslımit que neixen d’una connexio homoclınica enaquesta mateixa famılia. La dificultat del treballestaen el fet que caldra adaptar i desenvoluparles tecniques actuals de pertorbacio al cas en queel punt d’equilibri de la connexio es degenerat.

El treball desenvolupat pel Grup de Siste-mes Dinamics dirigit per Freddy Dumortier, ala Universitat de Hasselt, Belgica, al voltant depertorbacions singulars i blow-ups es tan extensque creiem que es el lloc ideal per a estudiaraquest problema.

Altres premis i guardons

Yves Chevallard rep el Premi Hans Freudenthal 2009

L’any 2003 neix el Premi Hans Freudenthal enreconeixement a un �major cumulative programof research� en didactica de les matematiques.L’atorga cada dos anys la Comissio Interna-cional per a la Instruccio Matematica (ICMI)—entitat de l’IMU— juntament amb el Premi Fe-lix Klein destinat a �a lifetime achievement� en

aquest camp. Ambdos constitueixen la distinciointernacional mes important per a la recerca eneducacio matematica.

Enguany l’investigador marselles Yves Che-vallard es qui ha estat guardonat amb el HansFreudenthal de 2009 en reconeixement de la cre-acio i desenvolupament durant els ultims vint-i-

59

Page 62: Cob SCM Num 29 - blogs.iec.catblogs.iec.cat/scm/wp-content/uploads/sites/20/2011/02/N29.pdf · Inauguraci´o d’un zenit`ograf solar 42 Premis 44 Societat Catalana de Matematiques

cinc anys de la teoria antropologica del didactic(TAD), un camp de recerca que el mateix IC-MI qualifica com �a very original, fruitful andinfluential research programme in mathematicseducation�.

La TAD es va desenvolupar a principis delsanys vuitanta a l’entorn de la nocio de transposi-cio didactica, que designa el conjunt de fenomenslligats a les transformacions a les quals es veusotmes el coneixement matematic que es volensenyar per poder ser efectivament �ensenya-ble�. L’estudi d’aquests fenomens requeria quela recerca en didactica hagues d’ampliar el seuobjecte d’estudi mes enlla de l’experiencia ques’esdeve a l’aula per abracar el questionamenti l’analisi tant de la �matematica savia�, comde la manera com se seleccionen i organitzen elscontinguts per ser ensenyats. La ruptura meto-dologica que s’introdueix en la recerca educativaprove del fet de considerar que els problemesdidactics no es poden circumscriure a l’aula nison nomes responsabilitat directa dels profes-sors i alumnes: es tota la comunitat educativa,incloent-hi la comunitat matematica, els qui hiestan implicats i, com a tals, tambe s’han deconsiderar objecte d’analisi per a la didactica.

Apareix llavors el problema central d’estu-diar les condicions institucionals i culturals queafavoreixen o restringeixen el desenvolupamentde la practica matematica, tant a l’escola coma fora. L’estudi d’aquest problema constitueixel motor principal de la TAD. La propostade modelitzar el coneixement i l’activitat ma-tematiques amb la nocio unitaria de praxeologia(enllac de praxis i logos) s’ha revelat com unaeina molt fructıfera per analitzar els fenomensdidactics en la seva dimensio institucional, per-metent que la investigacio es pugui emanciparde moltes idees preconcebudes sobre la natura-lesa de les matematiques i del seu ensenyament

i aprenentatge. En la breu presentacio que fal’ICMI de la TAD, s’indica tambe que, en aques-ta base, Yves Chevallard ha desenvolupat unaperspectiva totalment nova cap a la formaciodel professorat, centrant-se en les necessitats iproblemes de la professio de professor/a de ma-tematiques, fent especial emfasi en les necessi-tats i problemes matematics d’aquesta professio,sovint invisibles i mal interpretats.

Yves Chevallard es un investigador propera la comunitat catalana de recerca en didactica.Ha estat convidat en diverses ocasions pel De-partament de matematiques de la UAB i pelCRM (que fa poc que ha organitzat fa uns mesosel III CITAD*) i, sobretot, ha estat una pecaclau en la formacio i dinamitzacio del nostregrup d’investigacio. Els qui fa anys que treba-llem estretament amb ell en el desenvolupamentd’aquest programa de recerca estem profunda-ment satisfets de la distincio que li atorga aral’ICMI amb el Premi Hans Freudenthal. Tambedesitgem que serveixi per impulsar la difusio i elcreixement de la TAD mes enlla de la comunitatd’investigadors en didactica, per ajudar a tot-hom qui contribueix, des de dins i des de fora del’aula, al desenvolupament d’una renovacio epis-temologica, didactica i social de l’ensenyamentde les matematiques.

Marianna Bosch i Josep GasconURL, UAB

*En aquest mateix numero de la SCM/Notıcies trobareu una ressenya sobre el congres.

60

Page 63: Cob SCM Num 29 - blogs.iec.catblogs.iec.cat/scm/wp-content/uploads/sites/20/2011/02/N29.pdf · Inauguraci´o d’un zenit`ograf solar 42 Premis 44 Societat Catalana de Matematiques

Parlem de llibres

Sobre la divulgacio matematica

M. du Sautoy.Londres, 26d’agost de

1965.

Enguany Marcus du Sautoyha rebut el Joint Policy Bo-ard for Mathematics (JPBM).Aquest premi —resultat de l’es-forc de col.laboracio de l’Ame-rican Mathematical Society, laMathematical Association ofAmerica, la Society for Indus-trial and Applied Mathematics,i l’American Statistical Asso-ciation— s’establı l’any 1988�per tal de recompensar i d’en-

coratjar els comunicadors que, sobre una ba-se solida, aconsegueixen difondre les idees ma-tematiques i donar informacio a un public nomatematic�.1

L’han rebut personalitats molt distingides,entre els quals vull recordar James Gleick (1988),Ivars Peterson (1991), Martin Gardner (1994),Philip J. Davis (1997), Constance Reid (1998),Ian Stewart (1999), Sylvia Nasar (2000), KeithJ. Devlin (2001), Roger Penrose (2006) perqueen conec l’obra divulgativa i em sembla que laseva obra es molt idonia i adequada als criterisdel premi.

Aquest fet em permet de plantejar-me lanaturalesa de la divulgacio matematica i del seuvalor cultural, social i formatiu.

De fet, reprendre unes reflexions que vaigfer quan l’amic Sebastia Xambo, aleshores degade la FME, tingue l’amabilitat d’invitar-me al’acte de presentacio de la traduccio castellanadel llibre de Marcus du Sautoy, The Music of

Primes,2 tot suggerint-me que dones resposta ala pregunta seguent:

Es pot divulgar la hipotesi de Riemann (alpublic en general)? 3

Han passat mes de tres anys i, a l’entre-mig, Sautoy ens ha �regalat� un text nou, Sim-metry,4 d’una amenitat, elegancia, excel.lencia irigor tan grans —quelcom que semblava impos-sible despres de The Music of Primes— que elconverteixen, sens dubte, en una obra mestra dela divulgacio cientıfica d’entre les que conec.5

Jo tambe, en aquest entremig, he preparatl’edicio dels Dialegs i cartes d’Alfred Renyi, unaaltra petita obra de reflexio nıtida sobre la ma-tematica —la naturalesa, la utilitat, el llenguat-ge de la naturalesa—6 i sobre les idees �in statusnascendi� de la probabilitat, un dels camps derecerca de l’autor.7

I ho vull fer perque considero que, pels nos-tres vorals, aquest art —la divulgacio cientıfica:la forania pero molt mes encara l’autoctona—es quelcom totalment oblidat. De fet, les poquesobres foranes de divulgacio cientıfica, en general,i matematica en particular gairebe mai no lestrobem �en el parlar dels pares, que es el mesdolc per qui el sap confegir�, com diu el poetade Sarria.8

Introduccio

La resposta immediata a la pregunta planteja-da al comencament es clara, rotunda i precisa:sı.9Ara be si, com em pertoca, miro de respon-dre la pregunta que se’m proposa de manera

1Hi poden optar matematics i no matematics. Actualment el premi es de 1.000 dolars.2Vegeu [14].3Aquesta presentacio tingue lloc el 27 de marc de 2007 a la Sala de Conferencies de la FME de la UPC.4Vegeu [15].5Explicar de manera amena —pensem en els capıtols dedicats als mosaics de l’Alhambra de Granada i a la musica—,

entenedora —pensem en els capıtols inicials— i rigorosa —pensem en els capıtols dedicats al monstre—, amb unadescripcio molt humana —en tant que tracta d’aportacions fetes per individus amb una personalitat propia, quelcomque ja havia fet en l’obra anterior— es una feina d’una complexitat que, a voltes, no albirem sobretot si mai no hemintentat fer-ho pel nostre compte.

6Vegeu [10, 11, 12].7Vegeu [9].8Vegeu �Tambe vindrem, Infant, a l’hora vella�, a [4, p. 207].9Nomes cal adrecar tothom que hi estigui interessat als textos seguents: [?, ?, ?]. Aquests llibres s’han traduıt a

llengues diverses, quelcom que posa de manifest l’existencia d’un public internacional ampli interessat per questionsmatematiques exposades de manera divulgativa amb una atencio especial a la hipotesi de Riemann. I, en catala,podem recorrer a [2,7,8].

61

Page 64: Cob SCM Num 29 - blogs.iec.catblogs.iec.cat/scm/wp-content/uploads/sites/20/2011/02/N29.pdf · Inauguraci´o d’un zenit`ograf solar 42 Premis 44 Societat Catalana de Matematiques

acurada, cal que faci dues o tres observacions:10

d’entrada cal que indiqui que entenc com a di-vulgacio de la matematica; en segon lloc, quinsignificat cal atribuir a l’expressio �el public engeneral�; i per fi, per que crec que la hipoteside Riemann es un problema matematic adequatper explicar matematica a una audiencia de nomatematics.

Divulgacio matematica

La divulgacio matematica es, de fet, unautentic acte comunicatiu pragmatic en el sentitlinguıstic del terme. Podem resumir aquest sig-nificat pragmatic usant el que hom coneix comel principi de cooperacio de Grice.11 En sıntesi,aquest principi diu:En un acte comunicatiu hi ha quatre carac-terıstiques que, en cap cas, no poden serobviades. Son:1. Contribuir-hi amb la maxima quantitat d’in-

formacio possible.2. No dir mai res que no s’adequi a allo que

volem comunicar.3. Evitar l’ambiguitat i l’obscuritat.4. Contribuir a l’exit de l’acte conversacional.

En aquest acte contextual de comunica-cio cal que hi hagi un coneixement compartit—una interseccio no buida de coneixements co-muns entre el qui comunica i el qui rep l’actecomunicatiu— perque, si aquest coneixementcompartit no existeix, l’acte comunicatiu ni espossible ni tampoc es efectiu.

El public en general

Si acceptem l’aproximacio anterior sobre la di-vulgacio matematica, es clar que hem de precisarel que s’enten per �public en general�, perquees molt important coneixer l’audiencia a la qualva adrecada l’exposicio. Els coneixements com-partits entre el divulgador i el receptor son forcadiferents per a audiencies diverses. I crec que,en aquest context, hi ha, almenys, quatre menesd’audiencies possibles:12

1. Els matematics de professio o docents univer-sitaris, que no son, pero, especialistes en laquestio que es preten divulgar.

2. Els professors de nivells intermedis (darrerscursos de secundaria i primers cursos d’en-senyaments universitaris cientıfics i, potsertambe, de caire filosofic).

3. Els estudiants que disfruten amb la ma-tematica i els problemes que suscita.

4. El public en general, englobant en aquesta ex-pressio tan vaga tothom que tingui un nivellde cultura prou ampli, uns certs coneixementsmatematics i cientıfics elementals, i un interesreal —aixo es essencial— per a les questionsmatematiques.

L’objectiu de la divulgacio matematica

Entenc que l’objectiu principal de la popuralitza-cio de la matematica es fer paleses d’una manera�clara i distinta� —amb paraules de l’eminentfilosof frances Rene Descartes— les idees mesnotables que hi ha en una questio o problemamatematic, tot evitant, tant com sigui possible,els tecnicismes, sense obviar, pero, els conceptesmatematics, els trencaments epistemologics, lesequivalencies logiques, les generalitzacions pos-sibles, les controversies que, a voltes, es generen,etc.13

En qualsevol text de divulgacio matematicaes necessari comencar amb els fets mes pri-merencs i elementals —son els mes facils decomprendre— i anar ascendint suament, d’a-cord amb els coneixements que hom suposa quetenen els lectors, fins a assolir les fites mes altespossible. En el viatge —que, com diu Kavafis�volem que sigui llarg, ple de ventures, ple deconeixences�— trobarem els matematics quehan creat parts importants de la matematica i,en l’exposicio, hi podrem incloure fragments deles seves vides, descriure els indrets on van tre-ballar, la matematica que els envoltava quan ellsvan apareixer en escena, els seus exits, fracassosi errors, etc.14

En resum, la divulgacio matematica consis-teix a parlar de matematiques, a explicar-ne els

10Son valides tambe en divulgacio de la ciencia en general, pero jo solament em referire a la matematica.11Vegeu [5] i [1, p. 143–177].12Considero doncs que, en els textos de divulgacio, s’hauria d’explicitar el nivell de coneixement matematic que els

lectors necessiten en cada moment per comprendre’n el contingut. Amn una introduccio succinta n’hi hauria prou perassolir aquest objectiu.

13En aquest context pot ser util revisar les idees que hi ha en el text de Morris Kline, [6].14Marcus, en el textos esmentats, compleix a la perfeccio aquest objectiu.

62

Page 65: Cob SCM Num 29 - blogs.iec.catblogs.iec.cat/scm/wp-content/uploads/sites/20/2011/02/N29.pdf · Inauguraci´o d’un zenit`ograf solar 42 Premis 44 Societat Catalana de Matematiques

problemes, i alhora a descriure’n els creadorsi llurs histories. Tot aixo evitant, tant com si-gui possible, els tecnicismes pero incidint en elsconceptes i nocions matematics amb la maximaprecisio, que considerem idonia perque el textpugui ser ben compres.

Com ja he dit abans, aquest objectiu s’hade vincular ıntimament als coneixements ma-tematics dels lectors i oients, si volem que lacomunicacio tingui exit.

Conclusions de l’analisi precedent

Ara ja puc respondre amb una mica mes dedetall la pregunta que ens havıem plantejat al’inici de l’exposicio.

La hipotesi de Riemann es un bon problemaper ser explicat a nivells molt diversos. Arrencaamb un context matematic forca elemental: elsnombres primers, les seves propietats i dificul-tats. En el seu desenvolupament historic trobemels mes il.lustres matematics del darrer segle imig, i permet adonar-nos que les seves perso-nalitats, contextos vitals i conceptes son forcadiferents. A mesura que avancem en el desenvo-lupament de la questio ens adonem que hi hahagut trencaments epistemologics importants,que ha calgut estendre conceptes de manera sor-prenent: les funcions, per exemple, s’han hagutd’estendre a camps numerics nous. A mes, lahipotesi de Riemann admet generalitzacions endominis matematics molt mes abstractes d’a-quell en que s’origina. I, finalment, la hipoteside Riemann travessa parts molt diverses de lamatematica. De fet, es un problema molt bo percopsar la transversalitat de la matematica. Per ami, ja ho he dit en moltes altres ocasions, aques-ta transversalitat —�els corrents subterranis�—es un tret realment important —potser n’es unacaracterıstica essencial— de la matematica.

I, ultra tot el que hem dit, cal indicar tambeque no es un problema totalment alie a lesquestions d’indecidibilitat aritmetica. En altresparaules, es possible plantejar, i potser respon-dre, la pregunta seguent:

La hipotesi de Riemann es independentdels axiomes aritmetics de Peano?

Totes aquestes situacions i problemes ma-tematics poden ser presentats a un nivell relati-vament elemental i ens permeten de triar entre

un bon nombre de questions adequades depe-nent del grau de dificultat que, en cada moment,vulguem assolir.

Dit tot aixo, hem d’indicar que la hipotesi deRiemann suscita una dificultat forca greu per-que pugui ser compresa des d’un nivell elemen-tal d’exposicio i desenvolupament matematics.Aquest punt de dificultat rau en el fet que cal uncert coneixement d’analisi complexa. Es menes-ter almenys, entendre com s’estenen les funcionsreals al pla complex i com es comporten aquestesextensions en el nou reialme, perque la hipoteside Riemann tracta precisament d’aixo.15

Referencies

[1] Bassols, Margarida. Les claus de la prag-matica. Vic: Eumo, 2001.

[2] Bayer, Pilar. �La hipotesi de Riemann�.A: Quer Jordi [ed.]. El set problemes delmil.lenni. Sabadell: Caixa Sabadell, 2007,p. 29–62.

[3] Derbyshire, John. Prime obsession. Bern-hard Riemann and the greatest unsolved pro-blem in mathematics. Washington: JosephHenry Press, 2003.

[4] Foix, Josep-Vicenc. Obres poetiques. Barce-lona: Edicions Nauta, 1964.

[5] Grice, P. �Meaning�. PhilosophicalReviews, 5, p. 337–338, 1957. Versio cas-tellana, �Significado�, Mexic: Cuadernosde Crıtica, 1978.

[6] Kline, Morris. Mathematics: A Loss ofCertainty. Oxford: Oxford University Press,1980. Traduccio al castella d’Andres RuizMerino, Matematicas: La perdida de la cer-tidumbre. Madrid: Siglo XXI, 1985.

[7] Pla, Josep. �Dels problemes de Hilbert alsproblemes del mil.lenni�. A: Quer Jordi[ed.]. Els set problemes del mil.lenni. Saba-dell: Caixa Sabadell, 2007, p. 127–168.

[8] Quer, Jordi. �La funcio ζ de Riemann�.Butlletı de la Societat Catalana de Ma-tematiques, 22 (2) (2007), p. 197–228.

[9] Renyi, Alfred. �Letters on probability�. De-troit: Wayne State University Press, 1972.Traduccio de Levelek a valozszinusegrol,Akademiai Kido, Budapest, a carrec deLaszlo Vekerdi.

15Vegeu, per exemple, a [14, p. 84–101] una exposicio execel.lent, exposada amb la maxima simplicitat possible,pero en absolut elemental o [3, p. 201–222] si volem una exposicio mes concisa sobre les funcions complexes.

63

Page 66: Cob SCM Num 29 - blogs.iec.catblogs.iec.cat/scm/wp-content/uploads/sites/20/2011/02/N29.pdf · Inauguraci´o d’un zenit`ograf solar 42 Premis 44 Societat Catalana de Matematiques

[10] Renyi, Alfred. �Un dialeg socratic sobreles matematiques�. Butlletı de la SocietatCatalana de Matematiques, 17 (2) (2002),p. 51–67. Traduccio i notes de Josep M. Fonti Llovet.

[11] Renyi, Alfred. �Un dialeg sobre les apli-cacions de les matematiques�. Butlletı dela Societat Catalana de Matematiques, 19(1) (2004), p. 53–74. Traduccio de Josep M.Font i Llovet i introduccio i notes de JosepPla i Carrera.

[12] Renyi, Alfred. �Dialeg sobre el llenguatgedel Llibre de la Naturalesa�. Butlletı de laSocietat Catalana de Matematiques, 24 (1)

(2009), p. 23–62. Traduccio i notes de JosepPla i Carrera.

[13] Sabbagh, Karl. Dr. Riemann’s zeros. Lon-dres: Atlantic Books, 2002.

[14] Sautoy, Marcus du . The Music of the Pri-mes Searching to Solve the Greatest Mysteryin Mathematics. Nova York: HarperCollinsPublishers, 2004. Traduccio castellana deJoan Miralles, La musica de los numerosprimos. Barcelona: Acantilado, 2007.

[15] Sautoy, Marcus du. Symmetry: A Jour-ney into the Patterns of Nature. Nova York:HarperCollins Publishers, 2008.

Josep Pla i CarreraUB

Geometria axiomatica

Autors: Agustı ReventosEditorial: edicio electronica de la SCM, volum 5

Tots els matematics venerem amb fervor religiosEuclides i els tretze volums dels seus Elements.Si be la matematica es molt mes antiga que elsElements, la seva estructuracio com un edificifonamentat en uns conceptes primaris a partirdels quals s’obtenen resultats cada vegada mescomplexos (teoremes) amb l’us exclusiu del rao-nament logic no la trobem fins a aquesta obrad’Euclides. Dels seus tretze llibres, els mes famo-sos son els dedicats a la geometria (el primer, eltercer i el quart). Una part del seus contingutsha format part durant vint-i-tres segles dels co-neixements primaris exigits a qualsevol personaculta.

Com molts de vosaltres sabeu, el primerllibre dels Elements comenca amb vint-i-tresdefinicions a les quals segueixen cinc postulats i

cinc nocions comunes. No se si heu llegit maiaquestes definicions. Per si de cas, aquı us n’o-fereixo una mostra:• Un punt es allo que no te part.• Una lınia es una longitud sense amplada.• Una recta es una lınia que esdeve igual res-

pecte de tots els seus punts.

Entre els cinc postulats, el mes famos es elcinque: �Per un punt exterior a una recta passauna unica paral.lela� (malgrat que Euclidesel redactava d’una altra manera). Us ofereixotambe una mostra d’algunes de les afirmacionsque Euclides anomenava nocions comunes:• Coses iguals a una tercera son iguals entre si.• El tot es mes gran que les parts.

Tots vosaltres convindreu amb mi que les defi-nicions d’Euclides des del punt de vista rigorosactual no defineixen res. Aixo ja ho va resoldreD. Hilbert a l’obra Grundlagen der Geometrie(Fonaments de la geometria), publicada el 1899,on dona un sistema complet d’axiomes que subs-titueixen els postulats d’Euclides. A diferencia,pero, dels Elements, a l’obra de Hilbert no hiha cap definicio dels objectes geometrics basicsi sı que hi ha unes certes relacions (anomenadesaxiomes) que han de complir aquests objectesno definits. L’obra de Hilbert, completamentrigorosa, es, pero, difıcil.

64

Page 67: Cob SCM Num 29 - blogs.iec.catblogs.iec.cat/scm/wp-content/uploads/sites/20/2011/02/N29.pdf · Inauguraci´o d’un zenit`ograf solar 42 Premis 44 Societat Catalana de Matematiques

Si ara passem a l’ensenyament de la geome-tria elemental ens trobem que l’anim rigoristadels anys setanta del segle passat va anar substi-tuint el punt de vista grec de la geometria basaten els criteris d’igualtat de triangles, teorema deThales, teorema de Pitagores, etc., pel punt devista analıtic de Descartes, on un punt del plaes un element de R2, una recta es un conjuntde punts que compleixen una equacio lineal, etc.Aquest punt de vista analıtic era (segons creien)mes rigoros, pero tenia tambe altres inconveni-ents. El tractament dels angles, per exemple, esmolt feixuc i, com a consequencia de l’abandodel punt de vista grec, avui dia gairebe cap alum-ne sap que l’angle inscrit en una circumferenciaval la meitat de l’arc que abraca.

El llibre que ens ocupa te per objectiu oferiruna versio simplificada de la construccio de lageometria del pla (nomes en dimensio 2) desdel punt de vista axiomatic de Hilbert. Parteixd’una presentacio mes moderna que la de Hil-bert (tingueu en compte que els Grundlagen derGeometrie son del 1899) continguda al llibrede N. V. Efimov Geometrıa superior, (editorialMir de Moscu, 1984). Tot i que Efimov ofereixuna versio moderna i molt ben estructurada, elseu llibre conte algunes demostracions compli-cades que requereixen bastant esforc per partdel lector. La intencio del llibre d’Agustı Re-ventos es simplificar el punt de vista d’Efimovfins a aconseguir que no quedi cap teorema ambuna demostracio gaire complicada. Pero, comes pot fer, aixo? Doncs substituint alguns delsaxiomes usats per Efimov per uns altres de mesforts que permetin simplificar les demostracionsmes enutjoses. Ara be, modificar axiomes no espas una tasca facil. La geometria construıda desd’un punt de vista axiomatic es un gran edificiamb una estructura entrellacada de teoremesque recolzen els uns amb els altres i tots ellsamb els axiomes de partida. Per tant, modificarels fonaments resulta sempre una tasca moltdelicada. El que subscriu aquest report en potdonar fe, perque va participar, ja fa anys, ambl’Agustı Reventos en aquesta tasca de cercar unsistema d’axiomes prou forts que permetessinun desenvolupament agradable de la geometria,i recorda la dificultat de trobar-ne una versioencertada.

De les tres geometries que es poden fer enuna varietat riemanniana de dimensio 2, sim-plement connexa i de curvatura constant, la

presentacio axiomatica exclou de partida la ge-ometria esferica i descriu nomes l’euclidiana ila hiperbolica. El capıtol primer del llibre portaper tıtol Geometria absoluta i introdueix tresgrups d’axiomes: els d’incidencia, els d’ordre iels de congruencia, que fonamenten els resultatscomuns a les geometries euclidiana i hiperbolica.Els tres criteris ben coneguts d’igualtat de tri-angles (costat-angle-costat, angle-costat-angle icostat-costat-costat) son presentats aquı algunscom a axiomes i altres com a teoremes. Citem,a tall d’exemple, alguns dels resultats d’aquestcapıtol (valids per a totes dues geometries). Esdefineix angle recte com l’angle que es congruentamb el seu adjacent (congruent es un concepteprimari, indefinit, que respon a la idea intuıti-va de ser iguals, d’igual mesura). Es demostraque existeixen angles rectes i que tots els an-gles rectes son congruents. Es demostra que desd’un punt exterior a una recta es pot tracaruna unica perpendicular a la recta, que rectesperpendiculars a una tercera son paral.leles (esa dir, no es tallen), que per un punt exterior auna recta passa una paral.lela a la recta, que unangle exterior d’un triangle es sempre menor queels angles interiors no adjacents, que la sumad’angles interiors d’un triangle es menor o igualque dues rectes, etc.

El segon capıtol introdueix l’axioma de lesparal.leles (per un punt exterior a una recta pas-sa una unica paral.lela) i descriu la geometriaeuclidiana, que es la que es pot fer amb totsels axiomes i definicions de la geometria abso-luta del capıtol primer i l’axioma nou de lesparal.leles introduıt aquı. Heus aquı alguns delsseus resultats: la suma d’angles d’un triangle esde dues rectes, teorema de Thales, criteris desemblanca de triangles, teorema de Pitagores,etc. A partir de tots aquests resultats introdueixunes coordenades al pla i fa llavors la presen-tacio de Descartes de la geometria: un punt esun element de R2, una recta es un conjunt depunts les coordenades dels quals compleixen unaequacio lineal, etc.

Si se substitueix l’axioma de les paral.lelespel seu contrari (existeix un punt exterior a unadeterminada recta pel qual passa mes d’una pa-ral.lela a la recta) sorgeix llavors la geometriahiperbolica, que es presenta al tercer capıtol delllibre a partir del model del semipla de Poincare.

El llibre esta molt ben escrit, conte moltesfigures i la seva lectura resulta facil i agradable.

65

Page 68: Cob SCM Num 29 - blogs.iec.catblogs.iec.cat/scm/wp-content/uploads/sites/20/2011/02/N29.pdf · Inauguraci´o d’un zenit`ograf solar 42 Premis 44 Societat Catalana de Matematiques

En resum, aquest text ve a curullar un dels desit-jos mes pregons que pot tenir tot matematic:poder copsar l’esperit d’Euclides d’una manera

rigorosa per als temps actuals, pero sense gaireesforc.

Joan GirbauUAB

Stability by linearization of the Einstein’s field equation

Autors: L. Bruna i J. GirbauEditorial: Birkhauser, �Progress in Mathematical Physics�

En tractar de globalitzar la seva teoria de larelativitat especial, es a dir, de fer cosmologia,A. Einstein hi incorpora la gravetat (associada ala materia), mitjancant la idea que l’efecte d’uncamp gravitatori sobre una partıcula es exacta-ment el mateix que el d’una acceleracio de lamateixa respecte d’un sistema inercial, i que lestrajectories �lliures� havien de ser geodesiques.Aixo el porta a definir la gravitacio com unapropietat de la metrica en l’espai-temps, on l’e-volucio de la mateixa en reflexaria els canvis enla distribucio de materia. D’altra banda, con-sidera aquesta materia distribuıda a l’Universcom un fluid perfecte, i els punts en serien lesgalaxies.

Aixı, l’evolucio de l’Univers es pot descriu-re mitjancant les solucions d’una equacio entretensors, anomenada equacio d’Einstein,

Ric(g) = χT,

on g representa una metrica, T es el tensord’impulsio-energia, corresponent al tensor delsesforcos (stress tensor) en un fluid perfecte, ambdiv T = 0 que representa la materia, i χ es unaconstant (la constant cosmologica).

En general, T tambe depen de g de mane-ra no lineal, i aixı, expressada en coordenades,l’equacio anterior esdeve un sistema de deu10equacions escalars, en derivades parcials, de se-gon ordre i no lineals, d’una gran complexitat.

Un procediment habitual en l’estudi delsfenomens regits per aquest tipus d’equacions esel de la linealitzacio: hom canvia a l’equacio perla seva �diferencial�, i obte aixı una equaciolineal similar. Llavors hom considera les solu-cions de l’equacio lineal com a aproximacionsde les solucions de l’equacio original. Al cas del’equacio d’Einstein aquest proces fa apareixerun operador dalambertia, es a dir, que aquesta

part lineal esta relacionada amb l’operador deles ones (vectorial).

Sorgeix immediatament la questio de la vali-desa del metode. En primer lloc hi ha les ques-tions generals d’existencia i unicitat de soluci-ons de l’equacio d’Einstein amb condicions inici-als donades, i tot seguit el problema de l’estabi-litat del proces de linealitzacio, que classicaments’enten com que les solucions de l’equacio d’Eins-tein s’aproximen en l’ordre 1 a les solucions de lalinealitzada, diguem-ne aixı, per a un instantde temps donat, cosa que permet de formularel problema en termes d’estabilitat respecte decondicions de Cauchy.

Aquest problema ha rebut l’atencio de diver-sos autors, principalment a partir dels anys se-tanta del segle xx, com ara Y. Choquet-Bruhati S. Dreser, A. Fischer i J. E. Marsden, V. Mon-crief i d’altres, sempre en absencia de materia imolt al voltant del cas en que la metrica iniciales la de Minkowskii o similar (en un cert sentit).

En tres articles publicats al tombant del se-gle xxi, els autors d’aquesta monografia con-tribuıren a resoldre el problema amb resultatsper al cas en que hi ha materia, es a dir, enque en l’equacio d’Einstein, T no es nul. Comque la metrica g tambe interve en T com a va-

66

Page 69: Cob SCM Num 29 - blogs.iec.catblogs.iec.cat/scm/wp-content/uploads/sites/20/2011/02/N29.pdf · Inauguraci´o d’un zenit`ograf solar 42 Premis 44 Societat Catalana de Matematiques

riable, comencaren per revisar el concepte delinealitzacio, amb una nova definicio en que Tes considerada tambe com a variable. Aquestanova formulacio els permete d’estendre els re-sultats d’estabilitat, ja coneguts en el cas delbuit, en el cas que hi ha materia, amb condici-ons (naturals pero tecniques) sobre el volum iregularitat de les dades de Cauchy. Finalment,a manera d’aplicacio, estengueren els resultatsal model cosmologic de Robertson i Walker (larestriccio de la metrica a l’espai te curvaturaseccional constant, i els coeficients nomes depe-nen del temps), que es un model a la vegadaprou simple i versatil i per tant molt usat enels treballs de caire fenomenologic. En paraulesdels autors, �...si interpretem l’univers amb unmodel de Robertson Walker amb metrica g itensor d’impulsio energia T [...], l’explosio d’u-na supernova en una galaxia distant produirauna pertorbacio en el tensor d’impulsio-energiainicial, T que revertira en una pertorbacio de lametrica g, i aixı l’univers deixara de respondre almodel de Robertson i Walker [...] tanmateix calsaber si la linealitzacio es (ara) admissible...�.

El llibre en questio preten ser un tractatautocontingut, en la mesura del possible en untema extraordinariament tecnic, del problemade la linealitzacio de l’equacio d’Einstein. Aixıcomenca amb dos capıtols introductoris. Al pri-mer hom fa una exposicio completa i ben re-ferenciada de la flora i fauna de les varietatspseudoriemannianes i al segon fa una exposiciode la teoria de la relativitat, restringida i gene-ral, des de l’axiomatica elemental fins als modelscosmologics, amb emfasi en l’equacio d’Einsteini el model de Robertson Walker.

Al tercer capıtol hom parla de la linealitzaciode l’equacio d’Einstein i la relacio amb l’opera-dor de les ones (dalembertia), que en representael resultat, i molt usada quan es vol fer fısicafenomenologica.

Aquests capıtols fan l’exposicio accessible aun public amb un cert grau de coneixementsfısics o matematics i fins i tot poden ser usats,amb les evidents completacions de material (al-gunes demostracions, etc.) com un curs basic decosmologia (per a fısics i matematics).

El capıtol quart es forca mes tecnic i basi-cament esta destinat a demostrar l’existencia iunicitat (llevat de difeomorfismes que no alterenles condicions inicials ni la direccio de propaga-cio de les mateixes) del problema de Cauchy per

a l’equacio d’Einstein. Aquest resultat represen-ta, de fet, una reduccio que permet de pensar enla restriccio a una subvarietat convenient (deltipus espai) d’una solucio de l’equacio, per comp-tes de pensar en la solucio mateixa, cosa querepresenta un bon estalvi tecnic i conceptual.

Aquesta es la part general i introductoriade l’exposicio. Cal dir que tant el tercer com elquart capıtols tenen un caracter mes avancati contenen les demostracions de practicamenttots els resultats exposats.

La resta del llibre esta dedicada a l’estu-di de l’estabilitat per linealitzacio de les dadesde Cauchy, es a dir, parells g, T donats a unasubvarietat, amb condicions de lligadura. Con-sisteix en una revisio del concepte d’estabilitat,seguit d’una generalitzacio en el cas en que hiha materia, dels resultats d’altres autors abansesmentats i tambe d’altres resultats obtingutspels autors del llibre.

La presentacio i discussio dels conceptes d’es-tabilitat per linealitzacio (classic i nou) es fa alcapıtol cinque, on tambe s’hi estudien diversespropietats i objectes matematics associats.

Els capıtols seguents estan dedicats a de-mostrar resultats d’estabilitat per linealitzacio,entesa segons el nou concepte, de les dades deCauchy, estenent els d’altres autors al cas T 6= 0,i presentant-ne de propis.

El capıtol sise conte els teoremes de A. Fis-cher i J. E. Marsden, i de V. Moncrief, que fanreferencia al cas en que, en absencia de materia,les dades de Cauchy son donades en una varietatcompacta.

Finalment, els dos darrers capıtos detallenla contribucio dels autors.

El capıtol sete conte la generalitzacio dels tre-balls d’Y. Choquet-Bruhat i S. Dreser, quan lesdades de Cauchy son la metrica de Minkowskii iabsencia de materia, sobre una varietat no com-pacta, i dels d’Y. Choquet-Bruhat, A. Fischeri J. E. Marsden, per a metriques generals quecoincideixen amb la de Minkowskii a l’infinit,en el cas que T 6= 0.

El capıtol vuite es mes aplicat i conte l’estu-di, en termes de la geometria i topologia de lavarietat de base, de l’estabilitat per linealitzaciodel model cosmologic de Robertson i Walker.

El caracter dels darrers quatre capıtols delllibre es forca tecnic i s’hi inclouen desenvolu-paments i resultats de temes de l’analisi funci-onal classica d’operadors, d’espais de Sobolev,

67

Page 70: Cob SCM Num 29 - blogs.iec.catblogs.iec.cat/scm/wp-content/uploads/sites/20/2011/02/N29.pdf · Inauguraci´o d’un zenit`ograf solar 42 Premis 44 Societat Catalana de Matematiques

d’equacions en derivades parcials, d’operadorsel.lıptics, en diverses situacions no estandards ique no permeten el recurs directe de la citacio.Alguns d’aquests resultats, de J. Bruna, i elsautors d’aquest llibre, han donat lloc a senglespublicacions.

Finalment, quelcom d’especialment agraıt esel grau de completesa matematica del text, l’e-

leccio de la bibliografia i els comentaris sobre lamateixa que en fan els autors, en un ambit quesovint es una selva de publicacions i resultats.

Recomanem molt la lectura total o parcialdel llibre, tant pel contingut com pels metodesemprats, a matematics, fısics, i altres personesinteressades en l’aplicacio de les matematiquesa la descripcio del que percebem com a realitat.

Josep M. BurguesUAB

Raco biografic

Felix Hausdorff (Breslau, 8.11.1868–Bonn, 26.12.1942)

La primera vegada que vaig sentir la paraula�Hausdorff� va ser a comencaments del 1970:�...i com que l’espai es Hausdorff existiran en-torns tals que...�. Al llarg de la carrera de ma-tematiques van sortir molts altres noms (We-ierstras, Taylor, Christoffel, Noether, Banach,Rolle, Stokes, Fubini, Wronski, l’Hopital, Rie-mann, Cauchy, Schwarz, Klein, Sylow, Bolzano,Zorn, Kronecker, Borel, etc.), pero tots plegatsno eren mes que ındexs que servien per citarteoremes, lemes, formules, desigualtats, espais,grups, anells, sımbols, botelles, integrals, etc.Quasi mai no es deia res de les persones que hihavia al darrere.

Despres, amb el temps, he descobert i se-gueixo descobrint les diferents personalitats ma-tematiques i els diferents entorns historics quehi ha al darrere d’aquests noms ındex, i no dei-xen de sorprendre’m les coses que en llegeixo.Certament molts d’ells podrien esdevenir bonsarguments per a novel.les i pel.lıcules i, recent-ment, ja n’hi ha hagut alguns exemples (ambmes o menys encert).

El dia que vaig voler saber que hi haviadarrere l’ındex Hausdorff, aquell nom que empermetia separar punts amb entorns convenients,aquell dia em vaig sentir ple de tristesa i d’in-dignacio, aquell dia vaig saber que Hausdorff esdeia Felix i que Felix Hausdorff havia estat unavıctima mes del nazisme: el 26 de gener de 1942,Felix Hausdorff, juntament amb la seva esposaCharlotte i la germana de Charlotte, van decidirsuıcidar-se davant la imminent deportacio a uncamp d’extermini. Felix Hausdorff, aquell home

que havia exercit de professor de matematiquesa les universitats de Leipzig, Bonn i Greifswaldi que havia escrit matematiques, astronomia, fi-losofia, assaigs culturals, musica, poesia i teatre;creador d’alta matematica (axiomatica d’espaitopologic per via d’entorns, mesura i dimensiode Hausdorff, hipotesi del continu generalitzada,principi maximal de Hausdorff, paradoxa de l’es-fera, etc.), aquell home havia de ser exterminatpel simple fet de ser jueu.

Obra completa

L’any 1992, a partir d’uns actes celebrats a Bonnper commemorar el cinquantenari de la mort deFelix Hausdorff, es va iniciar un projecte per ala recuperacio, organitzacio i publicacio de totala seva obra. Aquest projecte, que ja ha donatfruit amb la publicacio de sis dels nou volums enprojecte, l’esta duent a terme un grup interdis-ciplinari procedent de diversos paısos europeus(Alemanya, Suıssa, Russia, Republica Txeca iAustria) i el formen setze matematics, quatrehistoriadors de la matematica, dos literats, unfilosof i un astronom. Els tıtols d’aquests nouvolums son els seguents:Vol. 1. Biographie. Hausdorff als akademischerLehrer. Arbeiten uber geordnete mengen [Biogra-fia. Hausdorff com a professor. Treballs sobreconjunts ordenats].Vol. 2. Grundzuge der Mengenlehre (1914)[Principis de la teoria de conjunts].Vol. 3. Mengenlehre (1927, 1935). Arbeiten zurdeskriptiven Mengenlehre und Topologie [Teoria

68

Page 71: Cob SCM Num 29 - blogs.iec.catblogs.iec.cat/scm/wp-content/uploads/sites/20/2011/02/N29.pdf · Inauguraci´o d’un zenit`ograf solar 42 Premis 44 Societat Catalana de Matematiques

de conjunts. Treballs sobre teoria descriptiva deconjunts i topologia].Vol. 4. Analysis, Algebra und Zalentheorie[Analisi, algebra i teoria de nombres].Vol. 5. Astronomie, Optik und Wahrschein-lichkeitstheorie [Astronomia, optica i probabili-tat].Vol. 6. Geometrie, Raum und Zeit [Geometria,espai i temps].Vol. 7. Philosophisches Werk (Sant’Ilario(1897), Das Chaos in Kosmischer Auslese(1898), Essays zu Nietzsche) [Treballs filosofics(Sant’Ilario, Caos en l’eleccio cosmica, Assaigssobre Nietzsche)].Vol. 8. Literarisches Werk (Ekstasen, Der Artzseiner Ehre, Essays) [Treballs literaris (Extasi,El metge de la seva honra, Assaigs)].Vol. 9. Korrespondenz [Correspondencia].

Alguns trets biografics

Felix Hausdorff va neixer el1868 a la ciutat alemanyade Breslau (avui Wroclaw,Polonia). Els pares de Haus-dorff formaven part de lesfamılies jueves que havienfet tot un esforc d’assimi-

lacio de la cultura alemanya per tal de sentir-se ciutadans amb ple dret d’aquella jove na-cio. La Constitucio del 1871 donava segure-tat a aquesta voluntat integradora i durant unperıode d’uns cinquanta anys els jueus van po-der desenvolupar-se amb una certa llibertat dinsla societat germanica, tot i l’existencia de grupsantisemites. Des de petit, Felix Hausdorff va viu-re en un ambient constituıt per famılies juevesalemanyes benestants. El seu pare, Louis Haus-dorff, comerciant del ram textil, va traslladar-sea Leipzig i aixo va fer que el jove Hausdorffcurses els estudis de batxillerat en aquesta ciutat.Al Gymnasium Nicolai hi va rebre una formaciohumanıstica que li va agradar d’allo mes; erad’esperar, doncs, que el 1887, en acabar la for-macio secundaria, decidıs continuar els estudissuperiors en una facultat d’humanitats. Pero nova anar exactament aixı, sino que va decidir queels seus estudis oficials serien de matematiquesi que, a la vegada, per tal de no interrompre laformacio humanıstica que havia rebut al Gym-nasium Nicolai, assistiria a classes de literatura,filosofia, teologia, linguıstica, musica, etc. Felix

Hausdorff va portar a terme aquesta voluntatfins al punt que, a partir d’un cert moment, hiva haver dos Hausdorff: el matematic i el queseria el �doctor Paul Mongre�, pseudonim ambque firmava la produccio literaria i filosofica.Felix Hausdorff es doctora el 1881 llegint unatesi sobre la refraccio astronomica i el 1895 espresenta a una habilitacio amb un treball sobrel’absorcio de la llum en l’atmosfera. Poc des-pres va ser nomenat �Privatdozent� a la sevamateixa Universitat de Leipzig. Llavors, el 1897sortı publicat el primer treball del doctor PaulMongre: Sant’Ilario, pensaments des del paisat-ge de Zaratustra. Es tractava d’una col.lecciod’aforismes a l’estil de Nietzsche que escrivı a laLiguria (Italia), el mateix lloc on el filosof haviaescrit Aixı parla Zaratustra. Un any despres, el1898, el doctor Mongre publica Caos en l’elecciocosmica, un assaig filosofic on questionava les vi-sions metafısiques del mon i on proposava novesvisions de les categories d’espai i temps. El 1900,el doctor Mongre publica Ekstases, un volum depoemes sobre la natura, la vida, la mort i l’ero-tisme, i el 1904 escrivı l’obra de teatre satıric Elmetge de la seva honra, una satira del duel coma salvaguarda de l’honor. L’obra obtingue ungran exit i es representa arreu d’Alemanya. Hihague altres publicacions filosofiques i literariesdel doctor Mongre, cada vegada mes distancia-des en el temps, i a partir del 1912 no n’hi haguecap mes.

Tornem enrere fins al 1900, quan va casar-seamb Charlotte Goldschmidt, filla d’un metgejueu i neta d’un rabı, pero ella mateixa era deconfessio luterana. La parella va tenir un soldescendent, una filla que va ser batejada ambel nom de Lenore. Els Hausdorff, plens d’afanycultural, compartien aquest afany amb amics deprofessions ben diverses (poetes, literats, musics,artistes, filosofs) i organitzaven trobades en lesquals Hausdorff mostrava les seves habilitatspianıstiques.

Durant aquest primer perıode, el matematicHausdorff convivia amb harmonia amb el doctorMongre. Entre les classes, les publicacions ma-tematiques sobre temes diversos (optica 1896,matematica financera 1897, geometria no eu-clidiana 1899, nombres hipercomplexos 1900,teoria de la probabilitat 1901) i les expansionshumanıstiques del doctor Mongre, que ja he co-mentat, Felix Hausdorff vivia una vida plena ifelic. No obstant aixo, l’any 1901 tingue un con-

69

Page 72: Cob SCM Num 29 - blogs.iec.catblogs.iec.cat/scm/wp-content/uploads/sites/20/2011/02/N29.pdf · Inauguraci´o d’un zenit`ograf solar 42 Premis 44 Societat Catalana de Matematiques

tratemps que seria premonitori del tragic final.Aquest any la Universitat de Leipzig va propo-sar nomenar-lo professor associat (no ordinari) iva resultar que, per raons extraacademiques, notots els vots li foren favorables. L’informe deldega ho deixa ben explıcit: �La Facultat con-sidera el seu deure informar al Ministeri Reialque la present proposta no ha estat aprovadaper tots els membres reunits el dos de novembred’aquest any, sino per una votacio de 22 a 7.La minoria que ha votat en contra del doctorHausdorff ho ha fet perque ell es de la fe jueva�.

Hi ha dos punts clau en la vida del Hausdorffmatematic: un es quan va coneixer la llavors re-cent creada teoria de conjunts de George Cantor;l’altre es quan va decidir traslladar-se a la Uni-versitat de Bonn.

Cantor era professor a la Universitat deHalle-Wittenberg i regularment assistia a les tro-bades que s’organitzaven entre les universitatsde Leipzig, Halle i Jena. Hausdorff, a diferenciad’aquells qui s’oposaven al nou plantejamentconjuntista de les matematiques, en va ser undefensor i usuari creatiu (conjunts parcialmentordenats, tipus d’ordinals, hipotesi generalitzadadel continu, etc.). Segons Purkert (2008), Haus-dorff va ser el segon d’impartir un curs sobreteoria de conjunts (1901), poc despres que Zer-melo en fes un a Gottingen. Ni Cantor mateixn’havia impartit cap a Halle. En aquest perıode,Hausdorff va treballar en la teoria de conjuntsordenats i ordinals transfinits.

Eduard Study, professor de matematiques ala Universitat de Bonn, va animar Hausdorff atraslladar-s’hi. L’any 1910 Hausdorff passa a laUniversitat de Bonn i a partir de llavors, Haus-dorff s’entrega exclusivament a l’estudi de la re-cerca matematica; el doctor Mongre va deixar depublicar. En aquesta Universitat de Bonn, Haus-dorff va tornar a impartir cursos sobre teoria deconjunts i va comencar a treballar en la cons-truccio d’una axiomatica per a una topologiageneral. Tres anys mes tard passa a ser professorordinari de la Universitat de Greifswald. L’any1914 va ser el de la publicacio de Grundzugeder Mengenlehre (Fonaments de la teoria deconjunts), l’obra on defineix el concepte d’espaitopologic abstracte sobre el concepte d’entorn.Aquest llibre el va consagrar com a matematicde primera lınia arreu del mon.

Cal dir que en aquell temps el tıtol de �Te-oria de conjunts� abrigava no tan sols allo que

avui esperarıem del tıtol, sino tambe el que avuianomenem �topologia general�. A mes, hi haviateoria de la mesura i teoria de la integracio. Elllibre de Hausdorff es ple de resultats originals iorientacions noves i conte molts dels conceptesde topologia general utilitzats avui dia. Tamberecull els resultats de Frechet (1906) sobre espaismetrics.

Grundzuge der Mengenlehre es va publicarpocs mesos abans que esclates la Primera Guer-ra Mundial, la qual cosa va fer que durant unsanys tingues molt poca divulgacio. Acabada laguerra hi hague un gran interes per la topologiai el llibre de Hausdorff apareixia contınuamentcitat. El 1927 s’edita Mengenlehre, una versioforca reduıda dels Grundzuge. Aquesta edicioreduıda es va fer servir com a manual i tinguesuccessives edicions; el 1957 va ser traduıda al’angles. El llibre complet, els Grundzuge, estornaren a editar el 1949, el 1965 i el 1978.

Entre les publicacions de Hausdorff aGreifswald, destaca especialment l’article del1919, �Dimension und ausseres Mass�, que trac-ta sobre la teoria de la dimensio i la mesuraexterior.

El 1921 Hausdorff torna a la Universitat deBonn, on es troba amb els seus amics EduardStudy i Otto Toeplitz. En aquesta universitat, el1923 impartı un curs sobre teoria de la probabili-tat des d’un plantejament axiomatic i basant-seen la teoria de la mesura; aixo deu anys abansque Kolmogorov (1933) publiques el seu famostractat sobre teoria de la probabilitat. Tambe vatreballar sobre metodes de sumacio per a seriesdivergents (1921) i feu contribucions a l’alesho-res recent desenvolupament de l’analisi funcionalamb una extensio del teorema de Fischer-Rieszals espais Lp (1923).

Trist i tragic perıode de jubilacio(1935–1942)

Pels volts de l’any 1932 Hausdorff ja era cons-cient del perill que representava per als jueusl’ascendent partit nazi, pero ell formava partd’aquelles famılies jueves que s’havien integrata la societat alemanya assimilant-ne la culturai els costums, aquelles famılies que se sentien(i eren) alemanyes de ple dret i no pensavenabandonar el paıs com altres ja havien fet. AAlemanya, a la decada dels trenta, la situacioera molt delicada pero ningu no podia preveure

70

Page 73: Cob SCM Num 29 - blogs.iec.catblogs.iec.cat/scm/wp-content/uploads/sites/20/2011/02/N29.pdf · Inauguraci´o d’un zenit`ograf solar 42 Premis 44 Societat Catalana de Matematiques

els lımits de maldat que s’acabarien assolint ala decada seguent.

Hausdorff es jubila l’any 1935, quan tenia67 anys. Feia quaranta anys que treballava enuniversitats alemanyes i havia contribuıt de ma-nera notabilıssima al desenvolupament de la ma-tematica, pero no va rebre cap acte d’agraıment.Ans al contrari, per ser jueu se li va negar lapossibilitat d’usar el prestec bibliotecari, aixıcom altres serveis universitaris basics. Hausdorff,que vivia a la seva casa de Bonn, era visitat pelseu col.lega i amic Erich Bessel-Hagen, el qualli proporcionava llibres i articles recents, totd’amagat. D’aquesta manera va poder fer diver-ses publicacions en revistes poloneses (Studiamathematica; Fundamenta Mathematicae). Finsal 1938 l’antisemitisme nazi havia actuat prin-cipalment a copia de promulgar lleis i decretsque servien per anul.lar els drets civils de la po-blacio jueva, pero la nit del 9 de novembre del1938, l’endema del 70 aniversari de Hausdorff,fou la coneguda �Reichskristallnacht� (Nit delsvidres trencats). Fou una nit de gran violenciaen que es van cremar sinagogues i cases de ju-eus amb gran quantitat d’apallissaments i de-tencions. Poc temps despres van comencar lesmesures de deportacio cap a camps de concen-tracio a gran escala. Arribat en aquest punt,Hausdorff va decidir abandonar la seva estima-da i ara perduda Alemanya, pero ja era massatard. Ateses les dificultats propies per sortir (lesnacions estrangeres eren plenes de jueus emi-grats), Hausdorff va escriure a Richard Couranta Nova York per demanar-li si li era possible ob-tenir una research fellowship per anar als EstatsUnits. Courant va escriure a Hermann Weyl;

Weyl i John von Neumann van escriure cartesde recomanacio a institucions i col.legues, perono s’hi va poder fer res.

Hausdorff, com a personalitat cientıfica queera, havia pogut eludir la deportacio diversesvegades, pero finalment, el gener del 1942, quantenia 73 anys, li va arribar l’ordre que haviad’abandonar casa seva i anar a viure amb la se-va famılia a un gueto situat als afores de Bonn.Hausdorff sabia que allo era el pas previ cap alcamp de concentracio de Theresienstadt (ciutatsituada al nord de Praga, avui Terezin). Ambuna sobredosi de veronal, Felix Hausdorff, laseva dona i la germana d’aquesta van suıcidar-se. Aixı, mitjancant aquest entorn de mort persuıcidi, Hausdorff pogue separar-se de l’entornde degradacio humana en que es trobava im-mersa l’Alemanya nazi. Lenore, l’unica filla deHausdorff, va sobreviure el perıode nazi. Morıa Bonn l’any 1991. El carrer Hindenburgstras-se, on Hausdorff havia viscut, va ser anomenatHausdorffstrasse a partir del 1948, quan nomesfeia tres anys que havia finalitzat la SegonaGuerra Mundial.

Bibliografia

James, Ioan Mackenzie (ed.). History of Topo-logy. Amsterdam: North-Holland, 1999.James, Ioan Mackenzie. Remarkable mathemati-cians. Cambridge: Cambridge University Press,2002.Purkert, Walter. �The Double Life of FelixHausdorff/Paul Mongre�. The Mathematical In-telligencer, Nova York: Springer, 30 (4), 36–50,(2008).

Eduard Recasens GallartUPC

Webs de matematiques

Enciclopedies de matematiques

No fa gaire, remenant la Wikipedia en castella,vaig trobar a l’entrada sobre corbes el.lıptiques(http://es.wikipedia.org/wiki/Curva−elıptica) lafrase seguent:�Las curvas elıpticas sobre el cuerpo de losnumeros reales vienen dadas por las ecuacionesy2 = x3 − x y por y2 = x3 − x + 1.�

Atesa la seva naturalesa col.laborativa i lliure,d’altra banda un dels seus punts forts, no esestrany trobar a la Wikipedia frases soltes oparagrafs que no son correctes, o fins i tot que(com diria Pauli) ni tan sols son incorrectes.Malgrat que la polıtica de revisions de la Wiki-pedia ha demostrat ser raonablement eficient a

71

Page 74: Cob SCM Num 29 - blogs.iec.catblogs.iec.cat/scm/wp-content/uploads/sites/20/2011/02/N29.pdf · Inauguraci´o d’un zenit`ograf solar 42 Premis 44 Societat Catalana de Matematiques

mitja termini i es un fet contrastat la progressivamillora dels seus articles, no sembla escabellatplantejar-se la conveniencia de sotmetre els per-tanyents a determinades disciplines a un controlmes exhaustiu per part d’experts i mes emfasien el rigor.

En aquesta lınia apareix PlanetMath,http://planetmath.org/, una enciclopedia de ma-tematiques en lınia, tambe col.laborativa i ober-ta (en aquest cas es necessari realitzar un pe-tit registre per crear nous temes i disposarde permisos per poder editar articles aliens),pero molt mes enfocada ja a un public eminent-ment matematic. El tractament es mes formal,practicament desapareixen les referencies no ma-tematiques, tot el contingut s’escriu amb LATEX,cada article es classifica d’acord amb el siste-ma de l’American Mathematical Society i teun �autor� que pot atorgar drets d’escripturaa altres individus o grups. Com a resultat, elserrors disminueixen ostensiblement i es guanyacoherencia expositiva. No eludeix, no obstantaixo, altres handicaps inherents a aquest tipusde projectes, com ara una certa incompletesai poca homogeneıtat entre articles de diferentsautors.

Hi ha tambe disponibles en lınia enci-clopedies de matematiques no obertes i escritesper professionals. Destaca, pel que fa al nom-bre d’articles i la seva popularitat a la xarxa,MathWorld, http://mathworld.wolfram.com/ ini-ciada per Eric Weisstein i posteriorment espon-soritzada pels creadors del programari Mathe-matica, al que molt sovint fan referencia lesseves entrades. Es tracta d’una ben organitza-da i extensa enciclopedia, amb un to mes aviatdivulgatiu (encara que amb continguts no ne-cessariament elementals) i un disseny modern iacurat. Els seus articles solen incloure esteticsgrafics explicatius, enllacos a articles relacionatsi, de vegades, a altres continguts multimedia.En l’actualitat consta de mes de 13.000 entra-des i continua creixent, constantment revisadai actualitzada per centenars de col.laboradors.Malgrat tot, els temes (fins i tot alguns de molt

basics) no sempre son tractats amb la mınimaprofunditat exigible i en alguns casos la sevaqualitat ha estat posada en dubte.

Son habituals notes amb dades anecdotiques,historiques o curioses i vincles que perme-ten explorar el concepte buscat amb altresrecursos, com ara el Demonstrations project,un lloc amb demostracions interactives en-cara una mica verd, o el prometedor Alpha,http://www.wolframalpha.com/, un �cerca-dor� experimental que respon preguntes di-rectament a partir d’una base de dades estruc-turades en lloc de proporcionar una llista delsdocuments o pagines web que podrien contenirla resposta (com per exemple fa Google). Elconjunt constitueix una via de contacte amenai notablement interactiva amb el mon de lesmatematiques.

La seva contrapartida, dins les enciclopediesno obertes, es l’austera Online Encyclopa-edia of Mathematics, editada per MichielHazewinkel, http://eom.springer.de/default.htm.Sensiblement menor que l’anterior (unes 8.000entrades), amb una interfıcie antiquada i nosempre del tot funcional (alguns navegadors noreconeixen be els enllacos de la capcalera), peromolt completa i excel.lent en continguts. Es trac-ta basicament d’una llista d’articles als qualss’hi accedeix mitjancant un menu alfabetic. Elsarticles presenten un grau de rigor i formalitatsuperior al de les anteriors i sovint parteixend’un nivell considerable. Com ells mateixos afir-men, es una referencia graduate-level pensadacom a obra de consulta per a professionals. L’en-focament, per tant, no es sempre el mes adequatper a un primer acostament o per resoldre undubte estudiantil.

En definitiva, entre les opcions lliures, Wiki-pedia proporciona l’alternativa mes eclectica(versions en llengua no anglesa, introduccio in-formal, multiperspectiva, historia, exemples. . . )i PlanetMath una de mes rigorosa. Entre les pro-fessionals, podeu triar l’Encyclopaedia si voleuuna referencia solida i seriosa o MathWorld sipreferiu un plantejament mes pop.

Jordi DelgadoUPC

72

Page 75: Cob SCM Num 29 - blogs.iec.catblogs.iec.cat/scm/wp-content/uploads/sites/20/2011/02/N29.pdf · Inauguraci´o d’un zenit`ograf solar 42 Premis 44 Societat Catalana de Matematiques

Problemes

Hem arribat al problema 100! Aquesta seccio, que no seria res sense els seus amabilıssims correspon-sals, ha aconseguit aquesta fita. I aixo ha esdevingut perque diverses persones, durant forca temps,han volgut compartir el seu gust pels problemes i, en definitiva, el seu amor per les matematiques,mitjancant aquestes pagines.

Aixı, doncs, Jose Luis Dıaz-Barrero, Enric Ventura, Xavi Ros i Pelegrı Viader ens proposen,respectivament, els problemes A97, A98, A99 i A100.

I en una lınia que ja resulta normal, hem rebut resposta a tots els problemes proposats al numeroanterior, a mes de dues solucions al problema A90: d’Alex Sierra, la publicada, i de Joaquim Nadal.

Del problema A93 hem rebut la solucio de Xavi Ros, que publiquem, i la de Bruno Salgueiro ames d’una altra que, malauradament es erronia. D’Alfred Peris, en publiquem la solucio del problemaA94, i n’hem rebudes dues mes: una de Joaquim Nadal i l’altra de Jose A. Conejero.

Joaquim Nadal tambe ens proporciona la solucio del problema A95, que surt en aquestespagines, tot tenint en compte que tambe hem rebut sengles solucions de Miquel Amengual i deBruno Salgueiro.

Finalment, publiquem la solucio del problema A96 de Bruno Salgueiro, i mencionem que JoaquimNadal ens n’ha enviada una altra.

Moltıssimes gracies, doncs, a tothom pel seu valuos treball i per la seva voluntat de compartiresforcos i plaers. I ja pensant en el proper numero del SCM/Notıcies, us recordem que ens facilitareumoltıssim la feina d’elaborar la seccio si treballeu amb TEX o LaTEX. Naturalment, pero, aportacionsen qualsevol altre format, tambe manuscrites, son igualment ben rebudes. Les adreces de correu perenviar-nos-les son [email protected] o be [email protected]. Fins a la propera! A tothom:moltıssimes gracies!

Problemes proposats

A97. (Proposat per Jose Luis Dıaz-Barrero,UPC, Barcelona.) Siguin a, b i c les longitudsdels costats d’un cert triangle 4ABC amb r iR com a radis respectius de les circumferenciesinscrita i circumscrita en aquest triangle. De-mostreu que

a + b

c3 + abc+

b + c

a3 + abc+

c + a

b3 + abc>

1r2 + R2.

A98. (Proposat per Enric Ventura, UPC,Manresa.) Quins son els deu primers de-cimals de 0,0000000001

√0, 0000000001? I els de

1,0000000001√

1, 0000000001?A99. (Proposat per Xavi Ros Oton, estudiant,

FME, UPC.) Sigui {an} una successio de nom-bres reals positius i sigui x > 0.

a) Proveu que la serie∑ a1 · · · an−1

(x + a1) · · · (x + an)es convergent.

b) Proveu que, si∑ 1

andivergeix, aleshores

∞∑n=1

a1 · · · an−1

(x + a1) · · · (x + an)=

1x

.

A100. (Proposat per Pelegrı Viader i Canals,UPF, Barcelona.) Fent servir unicament una mo-neda, com poden, tres amics, decidir qui pagales begudes?

Solucions

A90. (Proposat, de manera simplificada, a l’ac-tivitat �Fem Matematiques 2009� (FEEMCAT)per a alumnes de 2n d’ESO.) Considereu el jocseguent: dos jugadors comencen amb n ≥ 2fitxes sobre la taula i en van retirant certes

quantitats alternativament, tot respectant lesdues regles seguents: 1) el primer jugador no seles pot endur totes en la primera tirada, i 2) acada jugada (posterior a la primera) el jugadorque te el torn ha de retirar com a mınim una

73

Page 76: Cob SCM Num 29 - blogs.iec.catblogs.iec.cat/scm/wp-content/uploads/sites/20/2011/02/N29.pdf · Inauguraci´o d’un zenit`ograf solar 42 Premis 44 Societat Catalana de Matematiques

fitxa i com a maxim el doble de les retiradesper l’altre jugador en la tirada immediatamentanterior. El joc s’acaba quan algu retira l’ultimafitxa de la taula, i el jugador que se la quedan’es el guanyador.

Estudieu si hi ha alguna estrategia, en funciode n i de si ets primer o segon jugador, que etpermeti guanyar sempre.

Solucio: (Solucio d’Alex Sierra Balların, CFAFreire, Barcelona.) Establirem que el segon ju-gador guanya si, i nomes si, n es un terme dela successio de Fibonacci (per exemple un ele-ment de la successio 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34,. . . ).Comencem per establir el seguentLema: Si Fk i Fk+1 son termes consecutius de lasuccessio de Fibonacci mes grans o iguals que 2,aleshores

2Fk−1 = 2 (Fk+1 − Fk) ≥ Fk

o, el que es el mateix

Fk+1 ≥32

Fk.

Aixo es demostra facilment per induccio, ambF3 = 2 i F4 = 3 com a cas base. Tenim:

Fk+1 = Fk + Fk−1 ≥32

Fk−1 +32

Fk−2 =

=32

(Fk−1 + Fk−2) =32

Fk

com volıem demostrar. Ara considerem dos ca-sos:1) El nombre n es un nombre de Fibonacci.

Sigui n = Fk i vegem quina estrategia ha deseguir el segon jugador: si n = 2 o n = 3, esevident que el segon jugador guanya la partida.Considerem, doncs, n > 3. Pel lema, si el pri-mer jugador redueix el nombre de fitxes a unnombre igual o inferior al nombre de Fibonacciimmediatament anterior, Fk−1, el segon jugadorguanya perque es pot endur totes les fitxes quequeden.

Suposem, per tant, que el primer jugadors’enduu menys de Fk−2 = Fk − Fk−1 fitxes, demanera que, sobre la taula, queden mes de Fk−1

fitxes. En aquest cas el segon jugador actua comsi es tractes d’una partida amb Fk−2 fitxes. Perinduccio, el segon jugador guanya en les duessubpartides successives: la primera amb Fk−2

fitxes i objectiu deixar-ne Fk−1, i la segona par-tint de Fk−1 fitxes amb l’objectiu d’endur-se’nla darrera.

Per exemple, posem n = Fk = 34, Fk−1 = 21i Fk−2 = 13. Si el primer jugador enretiraFk−2 = Fk − Fk−1 = 13 o mes fitxes, en dei-xa Fk−1 = 21 o menys i el segon jugador guanyaperque pot emportar-se-les totes. En cas con-trari, el segon jugador ha de respondre comsi es tractes d’una partida amb 13 fitxes, totignorant-ne, de moment, 21. L’objectiu ja noees endur-se-les totes, sino deixar-ne 21; si elsegon jugador guanya perque pot passar de 13 a0 fitxes, tambe pot passar de 34 a 21 fitxes, totaplicant la mateixa estrategia. Un cop queden 21fitxes guanya com a segon jugador per induccio.

2) El nombre n no es cap nombre de Fibo-nacci.

El primer jugador, A, enretira tantes fitxescom calgui per deixar el nombre de FibonacciFk mes gran possible i el problema queda reduıtal cas anterior, tot considerant que comenca unanova partida en la qual A passa a ser el segonjugador. Observem que l’altre jugador, B, nopot retirar totes les fitxes pel lema, ja que A haretirat menys de Fk−1 = Fk+1 − Fk fitxes.

Observacio: De fet, B no disposa de tantes op-cions com disposaria si es tractes d’una novapartida, ja que no pot retirar tantes fitxes comvulgui, pero una limitacio de B no perjudical’estrategia guanyadora de A.

A93. (Proposat per Jose Luis Dıaz-Barrero,UPC, Barcelona.) Siguin a, b i c nombres re-als tals que 0 < a, b, c ≤ 1. Proveu que

1√1 + 2a

+1√

1 + 2b+

1√1 + 2c

≤ 3√1 + 2 3

√abc

.

Solucio: (Solucio de Xavi Ros Oton, estudiant,FME (UPC).) Sigui

f(x) =1√

1 + 2ex.

Com que

f ′′(x) = − ex

(1 + 2ex)5/2(1− ex)

la funcio es convexa a l’interval (−∞, 0]. Aixı,en aplicar la desigualtat de Jensen,

f(x) + f(y) + f(z)3

≤ f

(x + y + z

3

)

74

Page 77: Cob SCM Num 29 - blogs.iec.catblogs.iec.cat/scm/wp-content/uploads/sites/20/2011/02/N29.pdf · Inauguraci´o d’un zenit`ograf solar 42 Premis 44 Societat Catalana de Matematiques

obtenim

1√1 + 2ex

+1√

1 + 2ey+

1√1 + 2ez

≤ 3√1 + 2e

x+y+z3

si x, y, z ≤ 0. Ara nomes cal posar

(x, y, z) = (ln a, ln b, ln c)

com que es compleix que x, y, z ≤ 0, i obtenim

1√1 + 2a

+1√

1 + 2b+

1√1 + 2c

≤ 3√1 + 2 3

√abc

que es allo que volıem demostrar.A94. (Proposat per Enric Ventura, UPC, Man-resa.) Sis pirates roben un tresor de 100 monedesd’or. Despres de discutir una estona sobre comrepartir-se’l es posen d’acord a seguir l’algorismeseguent:

1) s’ordenen de jove a vell,2) el mes jove fa una proposta de repartiment

(per exemple, �totes per a mi�),3) la proposta la voten entre tots (inclos el

mateix proponent), amb les opcions de vots �afavor�, �en contra� i �vot en blanc�, i

4) si el resultat es favorable, apliquen la pro-posta de repartiment en questio i se’n van capa casa contents; en cas desfavorable o d’empat,maten el mes jove (recordeu que son pirates!) itornen al pas 2 de l’algorisme.

Tu ets el pirata mes jove dels sis, quina pro-posta inicial faries per tal de sortir-ne viu, imarxar cap a casa amb la maxima quantitatpossible de monedes d’or? (per resoldre el pro-blema, hem de suposar que, a mes de pirates,son matematics, que saben raonar, i que tots vo-ten exclusivament en funcio del maxim beneficipropi).Solucio: (Solucio d’Alfred Peris, UniversitatPolitecnica de Valencia.) Numerem els piratesde l’1 al 6, del mes jove al mes vell, i jo soc elpirata 1.

Comenco pel desgraciat cas en que he defer l’analisi des del mes enlla. De fet, parteixode la situacio en que, per cobdıcia o per faltad’habilitat, han matat fins al pirata 4 i solamentqueden vius el 5 i el 6. Certament, aquesta esuna situacio gens comoda per al 5: qualsevol

cosa que no siga donar-li totes les monedes al6 suposara un vot en contra, i la seua mort perempat. Fins i tot encara que li done tot el tresoral 6, el mes vell te tot el dret a votar-hi en contrai matar-lo solament per plaer. Pero aixo ja esuna altra historia. . .

En realitat, haurıem arribat a eixa situacioperque, en el pas previ, el pirata 4 va demostraruna total ineptitud: si s’haguera quedat amb99 monedes, tot cedint tan sols una miserablemoneda al 5, de bon segur que l’haguera tin-gut al seu favor (millor una que cap en el tornseguent!), i un 2 a 1 haguera tancat l’assumpte.

Tambe es veritat que van matar el pirata 3per total incompetencia, pero, abans de parar-nos a analitzar el cas de 4 pirates, deduire unallei ben simple, amb un nombre n > 3 de piratesi una quantitat m ≥ n de monedes, els piratesregits pel mateix algorisme, i amb les mateixeshabilitats matematiques: en la seua proposta derepartiment, el pirata mes jove no ha de cedirni una moneda al seguent en edat. La rao esben senzilla: qualsevol proposta que li suposeal segon pirata mes jove un guany inferior al(saboros!) que obtindria en cas de tenir la paellapel manec significara el seu vot en contra. Es adir, el seu vot es massa car. Per a que aquest des-aprofitament? Per tant, el que s’ha dit: el mesjove no ha de donar al seu “successor” naturalni el lloro que duu damunt del muscle.

Aclarit aquest punt, tornem al desgraciatmoment en que el pirata 3 va perdre la vida. Sihaguera repartit 1 moneda al 5 i una altra al 6,quedant-se’n 98, quina situacio haguera provo-cat? Es bastant evident que el mes vell li hauriavotat a favor, ja que si passa al torn seguent,com ja hem descrit, es queda sense no-res. Lla-vors contraresta el vot en contra del 4, i nomesqueda per saber el vot del pirata 5. Tambe estaclar: indiferent per no augmentar ni disminuirel seu guany en cas de passar torn. Concloent:una estrategia perfecta per al 3 que li donavaun maxim guany de 98 monedes i la seua vida!

Al seu torn, el cumul de circumstancies quevan provocar la mort del pirata 2 es el no haveraplicat la maxima pirata de no donar res al seusuccessor i cedir una simple moneda, per exem-ple, a cadascun dels pirates 4, 5 i 6. Aco ensduu a la cronica de la meua desafortunada mort:hauria d’haver-me adonat que podia haver sal-vat la vida amb 96 monedes en la meua butxacai repartint equitativament les altres 4 entre els

75

Page 78: Cob SCM Num 29 - blogs.iec.catblogs.iec.cat/scm/wp-content/uploads/sites/20/2011/02/N29.pdf · Inauguraci´o d’un zenit`ograf solar 42 Premis 44 Societat Catalana de Matematiques

pirates 3 a 6! Encara sort que, com que no socpirata, i com a matematic mes aviat mediocre,mai no em veure en tal amarga situacio.

Fixem-nos que, encara que ha quedat de-mostrat que aquesta proposta m’hauria donatun maxim benefici de 96 monedes tot salvantla vida, no obstant aixo, estem parlant d’unacolla de pirates, no d’una ONG. D’una altramanera: la solucio pel que fa a un guany maximmeu es unica, pero no el repartiment que jo pucrealitzar de les 4 monedes que queden. Posemcom exemple els casos seguents:Cas 1: Hi ha un pirata que em cau especialmentbe. De fet, el mes vell em va defensar duranttot el viatge de les bromes i burles de la restade pirates restants. Doncs li donare 2 monedes,una al 4, una al 5 i els altres dos res de res.Cas 2: Els pirates 3 i 4 realment m’han fet lavida impossible durant tot el viatge. Em vanllevar l’ampolla de rom que guardava sota el lliti, en plena borratxera, van matar el meu lloro.Com no els ho he de tenir en compte? Done 2monedes al 5 i les altres 2 al mes vell!

El cas 1 suposa el vot a favor del vell, quecontraresta a 2, i els vots indiferents de 3 (que noguanyaria res si la cosa arriba al torn seguent),4 i 5. Amb aixo ja en tinc prou. Com va a ser lacampanya electoral del pirata 2, que es frega lesmans a l’espera del botı? Pot intentar convencer-los que 2 de les seues 3 monedes (tots saben queno en cedira ni una mes!) passaran al pirata5, pretenent canviar el seu vot d’indiferent aen contra meu, deixant al vell sense no res, imantenint la meua proposta per als altres 2. Enel cas 2, que jo m’havia guanyat a 5 i 6, els qualseren suficients per la indiferencia de 3, el seudiscurs podria anar en la lınia de tractar, perexemple, de fer-se amb el mes vell prometent-liles 3 monedes. Ara be, en aquests casos o enaltres possibles variacions, tot es basaria en laconfianca que oferira el pirata 2 als seus electorsobjectiu i, ja se sap, paraula de pirata. . .

A95. (Proposat per Xavi Ros Oton, estudiant,FME, UPC.) Tenim quatre cercles en el pla,cadascun tangent als altres tres i de manera queels tres cercles petits estan continguts en el mesgran. Proveu que el radi del cercle gran es la su-ma dels altres tres, si i nomes si, els centres delstres cercles petits formen un triangle rectangle.

Solucio: (Solucio de Joaquim Nadal i Vidal, del’IES de Cassa de la Selva.) Siguin X el centre

de la circumferencia gran, A, B i C els centresde les petites i a ≤ b ≤ c < x els radis.

1) Vegem primer que x = a + b + c implica queel triangle 4ABC es rectangle. En efecte, esconegut que els centres de dues circumferenciestangents i el punt de tangencia estan alineats.Tenim, doncs,

XA = x− a = (a + b + c)− a = b + c = BC

XB = x− b = (a + b + c)− b = a + c = AC

XC = x− c = (a + b + c)− c = a + b = AB.

Aixo mostra que el quadrilater de vertexsA, B, C i X te costats iguals dos a dos i lesdues diagonals iguals, cosa que vol dir que es unrectangle i, aixı, el triangle 4ABC es rectangle,tal com volıem veure.

2) Vegem ara el recıproc, es a dir, que 4ABCrectangle implica x = a + b + c. Com que

AB = a + b ≤ b + c = BC

AC = a + c ≤ b + c = BC

si 4ABC es rectangle, aleshores BC es la hipo-tenusa, AB i AC els catets i A es l’angle recte.Segons el teorema de Pitagores podem escriure

(a + b)2 + (a + c)2 = (b + c)2

que dona

a(a + b + c) = bc. (∗)

Ara apliquem el teorema del cercle de Des-cartes

2(

1x2

+1a2

+1b2

+1c2

)=

(−1

x+

1a

+1b

+1c

)2

.

En operar, obtenim

1x2

+1a2

+1b2

+1c2

=− 2ax− 2

bx− 2

cx+

2ab

+2ac

+2bc

i podem considerar l’expressio anterior com unaequacio de segon grau amb 1/x com a incognita:

(1x

)2

+ 2(

1a

+1b

+1c

) (1x

)+ L = 0

on L = 1a2 + 1

b2+ 1

c2− 2

ab −2ac −

2bc .

76

Page 79: Cob SCM Num 29 - blogs.iec.catblogs.iec.cat/scm/wp-content/uploads/sites/20/2011/02/N29.pdf · Inauguraci´o d’un zenit`ograf solar 42 Premis 44 Societat Catalana de Matematiques

Aquesta equacio te solucions

1x

=−2

(1a

+1b

+1c

)2

±

±

√4

(1a

+1b

+1c

)2

− 4L

2=

= −(

1a

+1b

+1c

)± 2

√1ab

+1ac

+1bc

=

= −bc + ac + ab

abc± 2

√c + b + a

abc.

Com que x > 0, prenem

1x

= 2

√c + b + a

abc− bc + ac + ab

abc

i, tot tenint en compte (∗), substituım c + b + aper bc/a:

1x

= 2

√√√√ bc

aabc

− bc + ac + ab

abc=

=2a− bc + ac + ab

abc=

2bc− bc− ac− ab

abc=

=bc− ac− ab

abc.

Pero, una altra vegada, la relacio (∗) donabc− ac− ab = a2 i, aleshores,

1x

=a2

abc=

a

bc=

a

a(a + b + c)=

1a + b + c

o sigui,x = a + b + c

com volıem veure.

Notes1. Podeu trobar ressenyes mes o menys deta-llades del teorema del cercle de Descartes a:• Coxeter, H. S. M. Introduction to geometry,2a edicio. Nova York: John Wiley & Sons, 1969,p. 14.• Barbu, Catalin. Teoreme fundamentale dingeometria triunghiului. Bacau: Editura Unique,2008, p. 276–279.• http://en.wikipedia.org/wiki/Descartes’ theorem

2. Una formulacio equivalent a l’exposada,x = abc

2√

abc(a+b+c)±(ab+ac+bc), del teorema

de Descartes que tambe vam fer servir pera la solucio del problema A85 publicada en

SCM/Notıcies 27, p. 58 la trobareu en lınia ahttp://www.gogeometry.com/geometry/soddydescartes circles.htm. Una demostracio directaes pot trobar a Dergiades, Nikolaos The Soddycircles, Forum Geometricorum, vol. 7, Depart-ment of Mathematical Sciences, Florida Atlan-tic University, 2007, p. 193–194, accessible ahttp://forumgeom.fau.edu.

A96. (Proposat per Miquel Amengual Covas,Cala Figuera, Mallorca.) Siguin D, E, F els peusde les bisectrius interiors d’un triangle ABC. Sidenotem per [XY Z] l’area del triangle XY Z irepresentam per R i r els respectius radis de lescircumferencies circumscrita i inscrita a 4ABC,demostrau que

r

2R≤ [DEF ]

[ABC]≤ 1

4

i deduıu-ne la desigualtat d’Euler, R ≥ 2r.

Solucio: (Solucio i notes de Bruno Salgueiro,Viveiro, Lugo.) Suposem, com ja vaig fer a lasolucio del problema A89 (SCM/Notıcies 28,pag. 59), que D ∈ BC, E ∈ CA i F ∈ AB.En aquella mateixa solucio, tot fent servir elteorema de la bisectriu interior aplicat succes-sivament a les bisectrius interiors AD i BE deltriangle 4ABC, es comprova que

DC =ab

b + c, EC =

ab

a + c.

De la mateixa manera,

BD = a−DC =ac

b + c,

AE = b− EC =bc

a + c,

AF =bc

a + b, BF =

ac

a + b

i, si tenim en compte que

[ABC] =12ac sinB =

12ab sinC =

12bc sinA

77

Page 80: Cob SCM Num 29 - blogs.iec.catblogs.iec.cat/scm/wp-content/uploads/sites/20/2011/02/N29.pdf · Inauguraci´o d’un zenit`ograf solar 42 Premis 44 Societat Catalana de Matematiques

tenim

[BDF ] =12

BD BF sinB =

=12

ac

b + c

ac

a + b

2[ABC]ac

=

=ac

(a + b)(b + c)[ABC]

[CED] =12

CD CE sinC =

=12

ab

b + c

ab

a + c

2[ABC]ab

=

=ab

(a + c)(b + c)[ABC]

[AFE] =12

AF AE sinA =

=12

bc

a + b

bc

a + c

2[ABC]bc

=

=bc

(a + b)(a + c)[ABC]

i, per tant,

[DEF ][ABC]

=

=[ABC]− [BDF ]− [CED]− [AFE]

[ABC]=

= 1− ac

(a + b)(b + c)− ab

(a + c)(b + c)

− bc

(a + b)(a + c)=

=2abc

(a + b)(b + c)(a + c).

El problema es tradueix, doncs, en provar ladesigualtat

r

2R≤ 2abc

(a + b)(b + c)(a + c)≤ 1

4

o les dues desigualtats simultanies

r(a + b)(b + c)(a + c) ≤ 4Rabc (∗)

i8abc ≤ (a + b)(b + c)(a + c) (∗∗)

1) Demostracio de la desigualtat (∗):En fer servir el teorema dels sinus,

a

sinA=

b

sinB=

c

sinC= 2R

tenim

r(a + b)(b + c)(a + c) == r(2R sinA + 2R sinB)

(2R sinB + 2R sinC)(2R sinA + 2R sinC)=

= 8R3r(sinA + sinB)(sinB + sinC)(sinA + sinC)

i, com que a tots els punts de l’interval [0, π] lafuncio sinus no es mes gran que la seva tangent,la desigualtat de Jensen dona

sinA + sinB ≤ 2 sinA + B

2

sinB + sinC ≤ 2 sinB + C

2

sinA + sinC ≤ 2 sinA + C

2i, aleshores,

r(a + b)(b + c)(a + c) ≤

≤ 64R3r sinA + B

2sin

B + C

2sin

A + C

2=

= 64R3r sinπ − C

2π −A

2π −B

2=

= 64R3r cosC

2cos

A

2cos

B

2.

Pero,

sinA + sinB + sinC == (sinA + sinB) + (sinC − sinπ) == (sinA + sinB) + (sinC − sin(A+B+C))=

= 2 sinA + B

2cos

A−B

2−

− 2 sinA + B

2cos

A + B + 2C

2=

= 2 sinA + B

2

(cos

A−B

2−

− cosA + B + 2C

2

)=

= 2 sinA + B

2

−2 sin

A−B

2+

A + B + 2C

22

sin

A−B

2− A + B + 2C

22

=

= −4 sinA + B

2sin

A + C

2sin

(−B + C

2

)=

= 4 sinπ − C

2sin

π −B

2sin

π −A

2=

= 4 cosC

2cos

B

2cos

A

2

78

Page 81: Cob SCM Num 29 - blogs.iec.catblogs.iec.cat/scm/wp-content/uploads/sites/20/2011/02/N29.pdf · Inauguraci´o d’un zenit`ograf solar 42 Premis 44 Societat Catalana de Matematiques

i, amb aixo i noves aplicacions del teorema delssinus, arribem a la desigualtat desitjada:

r(a + b)(b + c)(a + c) ≤≤ 16R3r (sinA + sinB + sinC) =

= 16R3r

(a

2R+

b

2R+

c

2R

)=

= 8R2r(a + b + c) = 16R2[ABC] =

= 16R2 ab sinC

2= 16R2

abc

2R2

=

= 16R2 abc

4R= 4Rabc,

amb igualtat si, i nomes si, hi ha igualtat encadascuna de les desigualtats de Jensen establer-tes; aixo es, si, i nomes si, A = B = C, es a dir,si, i nomes si, el triangle 4ABC es equilater.2) La desigualtat (∗∗) es consequencia immedia-ta de la desigualtat de les mitjanes geometrica iaritmetica 2

√xy ≤ x + y:

8abc = 8√

a2b2c2 = 2√

ab2√

bc2√

ac ≤≤ (a + b)(b + c)(a + c)

amb igualtat si, i nomes si, a = b = c; es a dir,si, i nomes si, el triangle 4ABC es equilater.

Queden, doncs, demostrades les desigualtatsde l’enunciat. A mes, com que

r

2R≤ 1

4

es clar que2r ≤ R

amb igualtat si, i nomes si, el triangle 4ABCes equilater, que es la desigualtat d’Euler.

Notes1. La relacio sinA + sinB + sinC = 4 cos A

2cos B

2 cos C2 pels angles de qualsevol triangle

4ABC fou establerta per l’autor com a le-ma 3 al numero 24 de la Revista Escolar dela Olimpiada Iberoamericana de Matematica(O. E. I.), (2006), problema 23.2, p. 16, accessi-ble a www.oei.es/oim/revistaoim/numero24.htm.

2. La desigualtat [DEF ][ABC] ≤ 1

4 es certa per apunts D ∈ BC, E ∈ CA i F ∈ AB qualsse-vol, sempre que les cevianes AD, BE i CFsiguin concurrents en un punt. Aixo es pro-va a Bellot Rosado, Fco., �Algunas apli-caciones de la nocion de area: el triangulo deRouth y los triangulos cevianos�, Revista Es-colar de la Olimpiada Iberoamericana de Ma-tematica (O. E. I.), (2004), p. 6, accessible awww.oei.es/oim/revistaoim/numero15.htm. D’al-tra banda, en el cas que AD, BE i CF siguinles bisectrius del triangle 4ABC, desigualtatproposada aquı, coincideix amb l’enunciat delproblema 13, a la p. 8 d’aquest mateix article.

3. La desigualtat 8abc ≤ (a+b)(b+c)(a+c) apa-reix al punt 1.4 del llibre de Bottema, O., etal., Geometric inequalities, Groningen, Wolters–Noordhoff pub., 1968, i hom en proclama lavalidesa per a nombres reals no negatius a, bi c qualssevol. En el punt 9.8 del mateix lli-bre hi apareix la desigualtat 4[DEF ] ≤ [ABC],equivalent a l’altra de les proposades en aquestproblema. Vegeu-ne tambe el punt 9.1.

4. Podeu consultar, tambe, el problema D.G./4(p. 22) i la seva solucio i generalitzacio (p. 90–92)al llibre de Klamkin, Murray S., Olimpiadas In-ternacionales de Matematicas 1978–1986 y pro-blemas suplementarios, OREALC (UNESCO),Santiago de Xile, 1988, i el problema 2.865 de larevista Crux Mathematicorum with Mathemati-cal Mayhem (Canadian Mathematical Society)(2004), vol. 30, num. 6, p. 375–376.

Carles RomeroIES Manuel Blancafort, la Garriga

Tesis

• Gerard Fortuny Anguera va llegir la seva tesi, dirigida per Antonio SusınSanchez, titulada Dynamical analysis of lower abdominal wall in the humaninguinal hernia, el dia 20 de marc de 2009. La tesi correspon al Departament deMatematica Aplicada I de la Universitat Politecnica de Catalunya. Barcelona.

79

Page 82: Cob SCM Num 29 - blogs.iec.catblogs.iec.cat/scm/wp-content/uploads/sites/20/2011/02/N29.pdf · Inauguraci´o d’un zenit`ograf solar 42 Premis 44 Societat Catalana de Matematiques

En aquesta tesi es construeix un simuladornumeric de la paret abdominal inferior, per talde determinar la genesi i les causes de les herniesinguinals humanes. Aixı, un model amb dadesreals d’aquesta regio del cos huma (correcta-ment discretitzades) ens permetra reproduir lespropietats dinamiques de diferents elements dela regio i podrem simular l’hernia en el momentque es produeix.

La simulacio muscular en general, ha tingutun paper secundari en la simulacio numerica, jaque en ocasions sols han interessat les propietatsgeneriques del muscul (per aixo es considera elmuscul com un sol element) i no en un estudidetallat de les parts del muscul. El camp on lasimulacio ha estat mes productiva ha estat lasimulacio cardıaca, a causa del constant interesen la creacio de models del muscul cardıac ies per aquest motiu que sols es troben modelsdetallats en aquest cas.

La contraccio de la fibra muscular va sersimulada fent servir el model reologic de Hill-Maxwell presentat per J. Bestel, en el qual esregula la contraccio muscular amb una funciode potencial d’activacio u(t). Aquest model esel primer model dinamic en dimensio u a escalamicroscopica de la contraccio muscular.

Actualment, hi ha moltes conjectures sobreles causes de les hernies malgrat tot, no ha estatpossible un estudi detallat sobre l’origen de leshernies. D’una banda, es impossible captar el

moment en que es genera una hernia, i de l’altrahi ha una carencia de models prou detallats dela contraccio muscular.

En aquesta tesi es presenta un estudidinamic de la paret abdominal inferior ambels elements actius (els musculs) i els passius(fascies, lligaments i altres teixits), es per aixoque es pot dur a terme un estudi amb dife-rents aspectes fısics i quımics que intervenen enla genesi de les hernies. El model reprodueixla dinamica real de l’area tal com A. Keith iW. J. Lytle varen conjecturar als inicis del se-gle passat i que son usualment acceptats per lacomunitat de cirurgians.

Aquest es el primer model que reprodueixla dinamica real de la regio inguinal, prova l’e-xistencia de dos mecanismes de defensa (el meca-nisme de persiana i el mecanisme d’esfınter a l’a-nell inguinal). Amb aquest model de contracciomuscular podem estudiar diversos parametresque tenen un paper important en la genesi deles hernies inguinals i podem dur a terme unestudi mes detallat sobre els elements de risc.Aquests parametres (el modul de Young, el coe-ficient de Poisson o la pressio intraabdominal,per exemple) tenen un efecte hipotetic no pro-vat en la genesi de les hernies. Aquest treballavalua l’efecte real de diversos parametres almodel lineal i proposa una simulacio no linealper a la simulacio muscular.

• Joao Miguel Espiguinha Guerra va llegir la seva tesi, dirigida per JoseManuel Corcuera i David Nualart, titulada Beyond Brownian motion: topicson stochastic calculus for fractional Brownian motion and Levy markets, eldia 27 de marc de 2009. La tesi correspon al Departament de Probabilitat,Logica i Estadıstica de la Universitat de Barcelona.

Aquesta tesi doctoral es divideix en dues parts.Els resultats de la primera part contribueixen aldesenvolupament del calcul estocastic respectedel moviment Brownia fraccionari (mBf). En lasegona part estudiem alguns problemes fonamen-tals de matematiques financeres en el contextdels mercats de Levy.

El mBf es un proces gaussia parametrizatper un parametre H ∈ (0, 1). Les aplicacionsdel mBf son molt nombroses i en camps tandiversos com la fısica, xarxes de telecomunica-cions, mercats financers, entre d’altres. La pri-mera contribucio al desenvolupament del calcul

estocastic respecte del mBf que presentem enaquesta tesi es l’estudi de les propietats de va-riacio d’ordre p de la integral divergencia (enel context del calcul de Malliavin), al respectedel mBf. Mes concretament, demostrem que lavariacio d’ordre 1/H de la integral divergencia{∫ t0 usδBs, t ∈ [0, T ]} es finita i ve donada per

CH

∫ T

0|us|1/H ds,

on CH es una constant, u es un proces estocasticdins un espai de processos adequat i B es unmBf amb parametre H > 1/2.

80

Page 83: Cob SCM Num 29 - blogs.iec.catblogs.iec.cat/scm/wp-content/uploads/sites/20/2011/02/N29.pdf · Inauguraci´o d’un zenit`ograf solar 42 Premis 44 Societat Catalana de Matematiques

La segona contribucio es la demostracio queun proces de Bessel fraccionari R es pot repre-sentar com la solucio de l’equacio integral

Rt =d∑

i=1

∫ t

0

B(i)s

RsδB(i)

s + H(d− 1)∫ t

0

s2H−1

Rsds,

on {(B(1)t , . . . , B

(d)t )}t∈[0,T ] es un mBf de dimen-

sio d ≥ 2.En la tercera contribucio presentem condici-

ons suficients per a l’existencia i unicitat de solu-cions per a equacions diferencials estocastiquesrespecte del moviment brownia fraccionari i delmoviment brownia estandard.

En la segona part d’aquesta tesi consideremprocessos de Levy per tal de definir la dinamicaestocastica d’un actiu amb risc en un model demercat financer (mercat de Levy). Mes concre-tament, el preu de l’actiu amb risc es modelitzamitjancant un proces S = {St, t ∈ [0, T ]} que

satisfa l’equacio diferencial estocastica

dSt

St−= dZt,

on Z es un proces de Levy. En general, el mer-cat de Levy es un mercat incomplet. No obs-tant aixo, aplicant la formula de representa-cio previsible per a processos de Levy (formulade Nualart-Schoutens), es possible completar elmercat utilitzant un conjunt (finit o numerable)d’actius artificials relacionats amb les potenciesdels salts del proces de Levy. La introducciod’aquests actius ens permet resoldre el proble-ma d’optimitzacio de carteres en mercats deLevy i deduir formules de cobertura de carteresper a aquests mercats. Posteriorment, aplicantuna formula de cobertura estatica, representemels actius artificials mitjancant una combinaciod’opcions �call� (opcions europees de dret decompra) i obtenim formules de cobertura decarteres en termes d’aquestes opcions.

• Noelia Viles i Cuadros va llegir la seva tesi, dirigida per Maria Jolis iGimenez, titulada Continuıtat en llei respecte al parametre de Hurst d’algunsfuncionals del moviment brownia fraccionari, el dia 8 juliol de 2009. La tesicorrespon al Departament de Matematiques de la Universitat Autonoma deBarcelona.

En els darrers anys s’ha produıt un incrementextraordinari de l’interes pel moviment browniafraccionari. Aquest proces gaussia fou introduıtper Kolmogorov el 1940 i estudiat mes deta-lladament per Mandelbrot i Van Ness el 1968.S’ha utilitzat en la modelitzacio de determinatsfenomens en diferents camps, que van des dela fısica, l’enginyeria o la hidrologia fins a labiologia i l’economia, entre d’altres. Aixo es deu,basicament, a la necessitat de disposar d’unproces gaussia autosimilar amb increments de-pendents a llarg termini.

Aquesta famılia de processos depen d’unparametre H, anomenat parametre de Hurst,que pren valors a l’interval (0, 1). Quan H = 1

2 ,tenim el conegut moviment brownia ordinari i esuna semimartingala. Tret d’aquest cas excepcio-nal, pero, per a la resta de valors del parametreH el moviment brownia fraccionari no es unasemimartingala. A mes, si H es mes gran o bemes petit que 1

2 , aquest proces presenta pro-pietats molt diferents. Aixı, doncs, tenim que

si H > 12 , te trajectories mes regulars que les

del moviment brownia ordinari, mentre que siH < 1

2 , aquestes son mes irregulars.Entre els temes que han rebut mes atencio

en els darrers anys hi ha la construccio d’unaanalisi estocastica associada a aquest tipus deprocessos que necessita idees diferents de lesusades en l’analisi estocastica ordinaria, ja que,com hem dit, els moviments brownians fraccio-naris no son semimartingales per a cap valor delparametre H 6= 1

2 .S’han estudiat diversos funcionals respecte

d’aquest proces, com per exemple: diferents ti-pus d’integrals estocastiques i el temps local. Laimportancia d’aquest ultim pel fet que permetmesurar el temps que passa una trajectoria d’unproces estocastic al voltant d’un punt.

Un dels conceptes fonamentals de la teoriade la probabilitat es la convergencia en llei. El te-orema central del lımit es, sens dubte, l’exemplemes important d’aquest tipus de convergencia.

Una propietat senzilla de comprovar es que

81

Page 84: Cob SCM Num 29 - blogs.iec.catblogs.iec.cat/scm/wp-content/uploads/sites/20/2011/02/N29.pdf · Inauguraci´o d’un zenit`ograf solar 42 Premis 44 Societat Catalana de Matematiques

la famılia de moviments brownians fracciona-ris convergeix en llei, com a processos continus,quan H s’acosta a H0.

Tenint en compte aquest resultat, l’objectiude la tesi es estudiar si alguns funcionals del mo-viment brownia fraccionari conserven aquestapropietat. Es a dir, ens preguntem si la seva llei(en l’espai de les funcions contınues en [0, T ])es mante a prop del funcional corresponent perB

H0 , quan H tendeix a H0.En aquest treball hem trobat les condici-

ons mes generals possibles per assegurar la con-vergencia en llei dels funcionals seguents: lesintegrals mutiples tipus Ito i tipus Stratonovichde funcions deterministes, la integral simetricatipus Russo-Vallois de processos estocastics noadaptats i el temps local.

La major part dels resultats obtinguts peral temps local s’han inspirat en els diversos arti-cles dels anys setanta de S. Berman, pero hi hauna part, dedicada a la identificacio del lımit,per a la qual hem hagut de desenvolupar novestecniques.

Precisament, usant aquestes tecniques, W.Donghseng i Y. Xiao al 2009 generalitzen elnostre resultat sobre continuıtat en llei a una

classe mes amplia de processos (camps aleatorisanisotrops que compleixen certes condicions deno-determinisme local i sectorial).

Un dels problemes, relacionat amb els anteri-ors, es la definicio de les integrals estocastiquesrespecte al moviment brownia fraccionari. So-vint es forca complicat trobar un espai prouampli d’integrants i, mes encara, determinarexplıcitament el domini de les integrals. Aquestfet implica que s’hagin d’imposar certes condi-cions de regularitat als integrants. Per exem-ple, per a l’integral multiple tipus Stratonovichde funcions deterministes respecte al movimentbrownia fraccionari ens hem restringit al casH > 1

2 , ja que d’aquesta manera es pot definirla integral per a un espai de Banach de funci-ons de quadrat integrable respecte a una certamesura definida a partir de la covariancia.

La importancia dels resultats obtinguts i lamotivacio d’aquest treball rauen en el fet quejustifiquen d’alguna manera l’us, com a model,d’un moviment brownia fraccionari B

H, on H

es l’estimacio del valor real del parametre deHurst H, ja que a la practica aquest valor esdesconegut.

82

Page 85: Cob SCM Num 29 - blogs.iec.catblogs.iec.cat/scm/wp-content/uploads/sites/20/2011/02/N29.pdf · Inauguraci´o d’un zenit`ograf solar 42 Premis 44 Societat Catalana de Matematiques

Stability by Linearization of Einstein‘s Field EquationGirbau, J. / Bruna, L.Universitat Autònoma de Barcelona, Spain

The concept of linearization stability arises when one compares the solutions to a linearized equation with solutions to the corresponding true equation. This requires a new defi nition of linearization stability adapted to Einstein‘s equation. However, this new defi nition cannot be applied directly to Einstein‘s equation because energy conditions tie together deformations of the metric and of the stress-energy tensor. Therefore, a background is necessary where the variables representing the geometry and the energy-matter are independent. This representation is given by a well-posed Cauchy problem for Einstein‘s fi eld equation.

This book establishes a precise mathematical framework in which linearization stability of Einstein‘s equation with matter makes sense. Using this framework, conditions for this type of stability in Robertson-Walker models of the universe are discussed.

2010, XV, 208 p., HardcoverISBN 978-3-0346-0303-4PMP — Progress in Mathematical Physics, Vol. 58

Quantitative Arithmetic of Projective Varieties

Browning, T.D., Bristol University, UK

Winner of the Ferran Sunyer i Balaguer Prize 2009

This monograph is concerned with counting rational points of bounded height on projective algebraic varieties. This is a relatively young topic, whose exploration has already uncovered a rich seam of mathematics situated at the interface of analytic number theory and Diophantine geometry. The goal of the book is to give a systematic account of the fi eld with an emphasis on the role played by analytic number theory in its development. Among the themes discussed in detail are * the Manin conjecture for del Pezzo surfaces;* Heath-Brown‘s dimension growth conjecture; and* the Hardy-Littlewood circle method.Readers of this monograph will be rapidly brought into contact with a spectrum of problems and conjectures that are central to this fertile subject area.

2010. Approx. 170 p. HardcoverISBN 978-3-0346-0128-3PM — Progress in Mathematics, Vol. 277

Mean Curvature Flow and Isoperimetric InequalitiesMiquel, V., Universitat de València, Spain / Porti, J., Universitat Autònoma de Barcelona, Spain (Eds) Ritore, M., Universidad Granada, Spain / Sinestrari, C., Università di Roma ‚Tor Vergata‘, Italy

Geometric fl ows have many applications in physics and geometry. The mean curvature fl ow occurs in the description of the interface evolution in certain physical models. This is related to the property that such a fl ow is the gradient fl ow of the area functional and therefore appears naturally in problems where a surface energy is minimized. The mean curvature fl ow also has many geometric applications, in analogy with the Ricci fl ow of metrics on abstract riemannian manifolds. One can use this fl ow as a tool to obtain classifi cation results for surfaces satisfying certain curvature conditions, as well as to construct minimal surfaces. Geometric fl ows, obtained from solutions of geometric parabolic equations, can be considered as an alternative tool to prove isoperimetric inequalities. On the other hand, isoperimetric inequalities can help in treating several aspects of convergence of these fl ows. Isoperimetric inequalities have many applications in other fi elds of geometry, like hyperbolic manifolds.

2010. 124 p. SoftcoverISBN 978-3-0346-0212-9ACMBIRK — Advanced Courses in Mathematics - CRM Barcelona

Springer Basel AGViaduktstrasse 424051 Basel / Switzerland

Tel. +41 61 205 07 77e-mail: [email protected]

Page 86: Cob SCM Num 29 - blogs.iec.catblogs.iec.cat/scm/wp-content/uploads/sites/20/2011/02/N29.pdf · Inauguraci´o d’un zenit`ograf solar 42 Premis 44 Societat Catalana de Matematiques

Eduard Zehnder (ETH Zürich, Switzerland)Lectures on Dynamical Systems (EMS Textbooks in Mathematics)

ISBN 978-3-03719-081-4. 2010. 363 pages. Hardcover. 16.5 x 23.5 cm. 48.00 Euro

This book originated from an introductory lecture course on dynamical systems given by the author for advanced students in mathematics and physics at the ETH Zurich. The first part centres around unstable and chaotic phenomena caused by the occurrence of homoclinic points. The second part of the book is devoted to Hamiltonian systems. The Hamiltonian formalism is developed in the elegant language of the exterior calculus. The theorem of V. Arnold and R. Jost shows that the solutions of Hamiltonian systems which possess sufficiently many integrals of motion can be written down explicitly and for all times. The existence proofs of global periodic orbits of Hamiltonian systems on symplectic manifolds are based on a variational principle for the old action functional of classical mechanics. There is an intimate relation between the periodic orbits of Hamiltonian systems and a class of symplectic invariants called symplectic capacities. From these symplectic invariants one derives surprising symplectic rigidity phenomena. This allows a first glimpse of the fast developing new field of symplectic topology.

Vladimir Turaev (Indiana University, Bloomington, USA)Homotopy Quantum Field Theory (EMS Tracts in Mathematics Vol. 10)

ISBN 978-3-03719-086-9. 2010. 290 pages. Hardcover. 17 x 24 cm. 58.00 Euro

Homotopy Quantum Field Theory (HQFT) is a branch of Topological Quantum Field Theory founded by E. Witten and M. Atiyah. It applies ideas from theoretical physics to study principal bundles over manifolds and, more generally, homotopy classes of maps from manifolds to a fixed target space. This book is the first systematic exposition of Homotopy Quantum Field Theory. It starts with a formal definition of an HQFT and provides examples of HQFTs in all dimensions. The main body of the text is focused on 2-dimensional and 3-dimensional HQFTs. A study of these HQFTs leads to new algebraic objects: crossed Frobenius group-algebras, crossed ribbon group-categories, and Hopf group-coalgebras. These notions and their connections with HQFTs are discussed in detail. The text ends with several appendices including an outline of recent developments and a list of open problems. Three appendices by M. Müger and A. Virelizier summarize their work in this area.

The book is addressed to mathematicians, theoretical physicists, and graduate students interested in topological aspects of quantum field theory.

Hans Triebel (Friedrich-Schiller-Universität Jena, Germany) Bases in Function Spaces, Sampling, Discrepancy, Numerical Integration (EMS Tracts in Mathematics Vol. 11)

ISBN 978-3-03719-085-2. 2010. 305 pages. Hardcover. 17 x 24 cm. 58.00 Euro

The first chapters of this book deal with Haar bases, Faber bases and some spline bases for function spaces in Euclidean n-space and n-cubes. This is used in the sub-sequent chapters to study sampling and numerical integration preferably in spaces with dominating mixed smoothness. The subject of the last chapter is the symbiotic relationship between numerical integration and discrepancy, measuring the deviation of sets of points from uniformity.

This book is addressed to graduate students and mathematicians having a working knowledge of basic elements of function spaces and approximation theory, and who are interested in the subtle interplay between function spaces, complexity theory and number theory (discrepancy).

New! 20% discount for individual members of the European Mathematical Society, EMS member societies, and societies with reciprocity agreement with the EMS such as the American, Australian, and Canadian Mathematical Societies.

European Mathematical Society Publishing HouseSeminar for Applied Mathematics, ETH-Zentrum FLI C4

Fliederstrasse 23CH-8092 Zürich, Switzerland

[email protected]

New books published by the

Helge Holden (Norwegian University of Science and Technology, Trondheim, Norway), Kenneth H. Karlsen, Knut-Andreas Lie and Nils Henrik Risebro (all University of Oslo, Norway)Splitting Methods for Partial Differential Equations with Rough Solutions. Analysis and MATLAB programs (EMS Series of Lectures in Mathematics)

ISBN 978-3-03719-078-4. 2010. 234 pages. Softcover. 17 x 24 cm. 36.00 Euro

Operator splitting (or the fractional steps method) is a very common tool to analyze nonlinear partial differential equations both numerically and analytically. By app-lying operator splitting to a complicated model one can often split it into simpler problems that can be analyzed separately. In this book one studies operator splitting for a family of nonlinear evolution equations, including hyperbolic conservation laws and degenerate convection-diffusion equations. Common for these equations is the prevalence of rough, or non-smooth, solutions, e.g., shocks.

The theory is illustrated by numerous examples. There is a dedicated web page that provides MATLAB codes for many of the examples. The book is suitable for graduate students and researchers in pure and applied mathematics, physics, and engineering.

Emil J. Straube (Texas A&M University, College Station, USA)Lectures on the +2-Sobolev Theory of the`∂-Neumann Problem (ESI Lectures in Mathematics and Physics)

ISBN 978-3-03719-076-0. 2010. 214 pages. Hardcover. 17 x 24 cm. 42.00 Euro

This book provides a thorough and self-contained introduction to the -Neumann problem, leading up to current research, in the context of the + 2-Sobolev theory on bounded pseudoconvex domains in Cn. It grew out of courses for advanced graduate students and young researchers given by the author at the Erwin Schrödinger International Institute for Mathematical Physics and at Texas A&M University.

The introductory chapter provides an overview of the contents and puts it in historical perspective. The second chapter presents the basic + 2-theory. Following is a chapter on the subelliptic estimates on strictly pseudoconvex domains. The two final chapters on compactness and on regularity in Sobolev spaces bring the reader to the frontiers of research. Prerequisites are a solid background in basic complex and functional analysis, including the elementary + 2-Sobolev theory and distributions. Some knowledge in several complex variables is helpful. Concerning partial differential equations, not much is assumed.

European Congress of Mathematics, Amsterdam, 14–18 July, 2008A.C.M. Ran (VU University Amsterdam, The Netherlands), Herman te Riele (Centrum voor Wiskunde en Informatica, The Netherlands) and Jan Wiegerinck (University of Amsterdam, The Netherlands), Editors

ISBN 978-3-03719-077-7. 2010. 488 pages. Hardcover. 16.5 x 23.5 cm. 78.00 Euro

The Fifth European Congress of Mathematics (5ECM) took place in Amsterdam, The Netherlands, July 14–18, 2008, with about 1000 participants from 68 different countries. Ten plenary and thirty-three invited lectures were delivered. Three science lectures outlined applications of mathematics in other sciences: climate change, quantum information theory and population dynamics. As in the four preceding EMS congresses, ten EMS prizes were granted to very promising young mathema-ticians. In addition, the Felix Klein Prize was awarded, for the second time, for an application of mathematics to a concrete and difficult industrial problem. There were twenty-two minisymposia, spread over the whole mathematical area. Two round table meetings were organized: one on industrial mathematics and one on mathematics and developing countries. These proceedings contain a selection of the contributions to the congress, providing a permanent record of the best that mathematics offers today.

Page 87: Cob SCM Num 29 - blogs.iec.catblogs.iec.cat/scm/wp-content/uploads/sites/20/2011/02/N29.pdf · Inauguraci´o d’un zenit`ograf solar 42 Premis 44 Societat Catalana de Matematiques

SOCIETAT CATALANA DE MATEMATIQUES

Filial de l’Institut d’Estudis Catalans

Carrer del Carme, 47, 08001 Barcelona

c/e: [email protected] Adreca web: http://scm.iec.cat

Sol.licitud d’inscripcio com a soci de la SCM o actualitzacio de dades

Tipus de soci: Ordinari Estudiant (cal acreditacio*) Institucio

En reciprocitat. Soc soci de(Al web trobareu la llista de societats amb les quals la SCM te acords de reciprocitat.)

Desitjo fer-me soci en reciprocitat de: EMS RSME

Nom i cognoms:o institucio

Adreca: Telefon:

Fax: Correu electronic:

Codi postal: Poblacio:

Lloc d’estudi o de treball:

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Butlleta per a la domiciliacio bancaria

El sotasignat autoritza que anualment es faci efectiu el rebut de soci de la Societat Catalana de

Matematiques a nom de

a la llibreta d’estalvi / el compte corrent / la targeta de credit que s’indica seguidament:

Titular del compte:

Entitat bancaria:

Codi de l’entitat bancaria:

Adreca de l’oficina:

Codi de l’oficina i dıgits de control:

Numero del compte o llibreta:

Targeta de credit:

Valida fins al:

Data: DNI:

Signat:

SignaturaLes quotes per a l’any 2010 son les seguents: 36 euros socis ordinaris, 18 euros socis estudiants i membresde societats amb conveni de reciprocitat, 72 euros institucions, 23 euros EMS i 25 euros RSME, les duesultimes pagant la quota a traves de la SCM.

*Cal adjuntar fotocopia del comprovant de la matrıcula.