PROJECTE DMBITS - 3r ESO - CURS 2016-17 DOCUMENT DINICI DE PROJECTE

CLEPSIDRA

Crdits de la imatge: Marsyas, CC BY-SA 2.5, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=476174 Crdits del projecte: adaptaci de Sergi del Moral i Blanca Amengual a partir del projecte Clepsidra de Carlos Morales Socorro http://www3.gobiernodecanarias.org/medusa/ecoescuela/abriendolaescuela/files/2011/10/I-2008-clepsidra.pdf

Reconeixement No Comercial Compartir Igual (by-nc-sa): No es permet un s comercial de lobra original ni de les possibles obres derivades, la distribuci de les quals sha de fer amb una llicncia igual a la que regula lobra original.

https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=476174http://www3.gobiernodecanarias.org/medusa/ecoescuela/abriendolaescuela/files/2011/10/I-2008-clepsidra.pdf

TAULA DE CONTINGUTS

1. INTRODUCCI 2

2. OBJECTIUS DAPRENENTATGE 2

3. PRODUCTES 3

4. AVALUACI 3

5. DOCUMENTACI DEL PORTAFOLI 3

5. CALENDARI 4

6. SEQNCIA 5 Sessi 1. Entendre el problema 5 Sessi 1. Experimentar i recollir dades 6 Sessi 2. Ajust del model matemtic: assaig-error 7 Sessi 2 i 3. Ajust al model matemtic: funci quadrtica 9 Sessi 4. Predir i discutir validesa del model ajustat 13 Sessi 5. Preparar escala temporal i comprovar funcionament 14 Dems sessions. Investigaci autnoma 15 Sessi Extra. Resoluci de problemes 16

7. GLOSSARI 18

1 de 20

1. INTRODUCCI En aquest projecte ens proposem mesurar el temps. Construirem una clepsidra, un rellotge daigua. Treballarem com a cientfics i cientfiques, no ens creurem res que no puguem demostrar. Experimentarem i recollirem dades, ajustarem un model matemtic a les dades recollides, analitzarem la validesa, calibrarem el rellotge i finalment comprovarem el seu funcionament. Demanarem als nostres familiars que validin els nostres descobriments, per aix els farem arribar un informe descriptiu del procs de treball.

2. OBJECTIUS DAPRENENTATGE Durant aquest projecte treballars les competncies i els continguts clau segents:

Competncies bsiques CB5. Aprendre a aprendre. CB6. Autonomia i iniciativa personal. Treball en equip

Competncies dmbits M1. Traduir un problema a llenguatge matemtic. M2. Emprar conceptes, eines i estratgies per resoldre problemes. M3. Mantenir una actitud de recerca. C5. Resoldre problemes de la vida quotidiana aplicant el raonament cientfic. C9. Dissenyar i construir objectes tecnolgics que resolguin un problema i avaluar

idonetat.

Continguts clau M-CC4. Llenguatge algebraic. M-CC5. Patrons, relacions i funcions. M-CC6. Representaci de funcions: grfics, taules i frmules. M-CC7. Anlisi del canvi i tipus de funcions. M-CC11. Magnituds i mesura. C-CC15. Fases duna investigaci. Disseny dun procediment experimental. C-CC17. Objectes tecnolgics de la vida quotidiana C-CC24. Disseny i construcci dobjectes tecnolgics.

Continguts curriculars especialment rellevants Funcions lineals i funcions quadrtiques Equacions de primer i segon grau Precisi, exactitud i error

2 de 20

3. PRODUCTES En acabar el projecte shauran de lliurar tres productes finals, tots ells realitzats en grups de tres persones. Sn els segents:

Rellotge daigua Vdeo-comprovaci del funcionament Informe cientfic

4. AVALUACI Procs de treball

Dossier dinici de projecte i tasques al Classroom (individual) Autoavaluacio i coavaluaci final amb CoRubrics (individual)

Productes Rellotge daigua (en grup) Informe cientfic (en grup)

Valoraci del grup a partir de la rbrica Valoraci de lequip docent a partir de la mateixa rbrica Valoraci de la vostra famlia a partir de la rbrica

Exposici final, si escau (individual i en grup) Lavaluaci del procs de treball i els productes finals tenen el mateix pes, es podran fer adaptacions en cada cas a criteri de lequip docent. Ms enll del resultat final es valorar especialment la capacitat respondre preguntes i de treballar de manera autnoma, individualment i en grup.

5. DOCUMENTACI DEL PORTAFOLI A linici de projecte se us entregar un portafoli amb la segent documentaci:

Document dinici de projecte Full dexperimentaci Model dinforme cientfic Graella davaluaci de linforme cientfic Article cientfic: Quinze anys destudis quiroptelgics a les Illes Balears Full millimetrat DIN-A4 Val per una bona pregunta

3 de 20

5. CALENDARI

dimecres 7 de desembre Entendre el problema Experimentar Representar dades

dilluns 12 de desembre Ajust model

dimarts 13 de desembre Ajust model

dimecres 14 de desembre Predir amb el model Discutir validesa

dijous 15 de desembre Preparar escala Comprovar rellotge

dilluns 19 de desembre Investigaci autnoma

dimarts 20 de desembre Investigaci autnoma

dimecres 21 de desembre Investigaci autnoma

diluns 9 de gener Investigaci autnoma

dimarts 10 de gener Investigaci autnoma

dimecres 11 de gener Investigaci autnoma Pre-entrega Informe cientfic

dijous 12 de gener Investigaci autnoma Pre-entrega Informe cientfic

diluns 16 de gener Exposici final Auto i coavaluaci

4 de 20

6. SEQNCIA

Sessi 1. Entendre el problema Ests preparat per actuar com un cientfic/a? En aquest projecte analitzarem un fenomen real i construirem un model matemtic que ens doni una aproximaci del seu comportament, aprenent moltes altres coses pel cam, i finalment, construint un petit rellotge daigua, una clepsidra!

El rellotge d'aigua o clepsidra s un instrument per a mesurar el temps basat a fer passar una quantitat d'aigua d'un recipient a un altre a travs d'un petit orifici. Es van inventar a la Mesopotmia fa ms de 3000 anys i sutilitzaven especialment per la nit, quan els rellotges de sol perdien utilitat. Els primers rellotges daigua van consistir en un recipient de cermica que contenia aigua fins un cert nivell, amb un orifici a la base duna grandria adient perqu laigua sorts a una velocitat determinada i, per tant, en un temps prefixat. El recipient disposava al seu interior de vries marques de manera que el nivell indicava els diferents perodes. Els rellotges daigua tamb es feien servir als tribunals dAtenes per indicar el temps assignat als oradors. Diuen que el filsof Plat va inventar un rellotge daigua molt eficient. Ms tard van ser introduts als tribunals de Roma. A ms, sutilitzaven a les campanyes militars per indicar les gurdies nocturnes. El rellotge daigua egipci, ms o menys modificat, va seguir sent linstrument ms eficient per mesurar el temps durant molts segles. (Font: Wikipedia).

Encara que ara us pugui semblar estrany per aconseguir que el rellotge daigua funcioni caldr que aprengueu: manipulaci de frmules matemtiques, volum i rees de cossos geomtrics, introducci al mtode cientfic, recollida de dades en taules i grfics, mitjanes, errors absoluts, sistemes dequacions, equacions de segon grau, funcions quadrtiques, estimaci, GeoGebra, calculadora, percentatges, resoluci de problemes PROBLEMA 0

CLASSROOM (codi chuveq6). Installat el GeoGebra (geogebra.org/download). Obrel, a la barra Entrada escriu y=2x^2-2x+1 i clica intro. Acabes de dibuixar la teva primera parbola! Fes una captura de pantalla i envia-la a la tasca PROBLEMA 0.

PROBLEMA 1. FASES DEL PROJECTE

Acordeu lordre de les targetes amb les fases del projecte i escriviu-les aqu. No importa que estiguin malament!

1 2 3 4 5 6 7 8 9

5 de 20

https://www.geogebra.org/download

Sessi 1. Experimentar i recollir dades Comena lexperimentaci! Els passos que seguirem a partir dara us serviran de guia ms endavant, mireu dentendrels un a un, i pregunteu all que no quedi clar, ja que vosaltres sols els haureu de resseguir per construir el vostre propi rellotge daigua. Prepareu una tira de paper millimetrat de 21 cm de longitud tal i com es veu a la fotografia. Enganxa la tira al recipient de manera que el 0 quedi exactament a lalada de lorifici de buidat. Veus el forat a la imatge? Tapa el forat amb una mica de cinta i omple el recipient fins ms enll de la marca de 21 cm. Destapa el forat i deixa que laigua vagi sortint. Posa en marxa el cronmetre quan el nivell arribi a 21 cm, aix evitarem problemes de sincronitzaci. PROBLEMA 2. RECOLLIDA DE DADES

Realitzeu la recollida de dades a les columnes TEMPS i ALADA del Full dexperimentaci. Seria convenient repartir-vos la feina entre les diferents persones del grup (mesurador/a de temps, mesurador/a dalada, anotador/a). Un cop hgiu fet la recollida de dades, contesteu les segents preguntes:

(A) La velocitat s la distncia dividit pel temps. En el nostre experiment, laigua surt sempre a la mateixa velocitat? A partir de les dades que heu recollit, sabreu calcular la velocitat a la que baixa laigua? Completeu la columna VELOCITAT del Full dexperimentaci. Fixat en les unitats!

(B) De quina manera influeix lalada del nivell de laigua en la velocitat de sortida?

PROBLEMA 3. FONTS DERROR

Quan fem cincia hem de ser molt rigorosos, donat que volem demostrar fets de manera objectiva, sense influncies derrors dobservaci, opinions personals Repasseu mentalment el procs de recollida de dades i digueu quines han estat les principals fonts derror? Quines altres fonts derror creieu que podem trobar en qualsevol treball cientfic?

6 de 20

Heu sentit mai la frase una imatge val ms que mil paraules? A continuaci farem una representaci grfica de les dades recollides i comprovarem com, efectivament, una sola imatge ens dna molta informaci, ens ajuda a entendre millor el fenomen, i ens aporta pistes per seguir lestudi. PROBLEMA 4. REPRESENTACI DE DADES

Representa les dades recollides al Full dexperimentaci i respon les segents preguntes. Quina format t? Segueix una forma recta o corba? Quines conclusions extreus?

PROBLEMA 5. REPRESENTACI A GEOGEBRA

CLASSROOM. Obre el GeoGebra i afegeix tots els parells (x,y) que has recollit. Ajusta la part grfica de manera que es vegin tots els punts que acabes dintroduir, si cal ajusta lescala dels eixos. Se sembla al mateix que el que has fet manualment? Guarda larxiu, el necessitars. Entregal a la tasca PROBLEMA 5.

Sessi 2. Ajust del model matemtic: assaig-error Ha arribat el moment de fer les nostres primeres hiptesis. Qu est succeint? Aconseguirem trobar una frmula matemtica que modelitzi el fenomen (per aix sovint diem model matemtic) i ens permeti estimar lalada conegut el temps, o a linrevs, el temps coneguda lalada? Ara comena la part ms interessant! I tamb la ms difcil En aquesta primerenca etapa de la nostra vida cientfica comenarem donant un enfoc alternatiu: aconseguirem trobar un model matemtic que sajusti a les dades recollides? Per qu s un model matemtic? Segons diu la Viquipdia, Eykhoff (1974) va definir un model matemtic com una representaci dels aspectes essencials d'un sistema, que presenta el coneixement d'aquest sistema en una forma utilitzable. Aquesta definici us resulta familiar? Heu fet servir mai un model matemtic? Recordeu quan vam fer pnting el curs passat? Vam predir el nombre de gomes dels salts de les nines amb un model matemtic. Recordeu quin? Creieu que ens servir en aquest cas? Per qu?

Efectivament, les funcions lineals (tamb en diem rectes) y = bx + c no sn un model adequat per al fenomen que ens proposem estudiar.

7 de 20

Necessitem un model ms sofisticat, provarem amb les funcions quadrtiques, (tamb es diuen parboles), i amb llenguatge matemtic sescriuen y = ax + bx + c. Tamb escrivim:

y = ax + bx + c Si donem valors als parmetres a, b i c obtenim una parbola. Per exemple, si a=1, b=1 i c=1 tenim la parbola y = x + x + 1.

IMPORTANT Aix doncs, el que ens proposem precisament s trobar una funci quadrtica (una parbola!) que sajusti a les dades que hem recollit. Trobar una funci vol dir, trobar per quins valors da, b i c la parbola sajusta a les dades recollides.

PROBLEMA 6. BUSQUEM MODEL PER ASSAIG I ERROR

Ara que ja coneixes les funcions quadrtiques, intenta ajustar aquest model al nvol de punts obtingut en lobservaci del buidat. De moment farem un ajust una mica matusser, doneu valors als parmetres a, b i c a la frmula general de la funci quadrtica i representeu les parboles a larxiu GeoGebra del PROBLEMA 5. Ves modificant els parmetres intentat apropar-te al nvol de punts! Fes un mnim de 5 proves, escriu-les a sota i respon la pregunta.

Parmetres Funci quadrtica resultant

a=1, b=1, c=1

y = x + x + 1

Has trobat una parbola que sajusti prou b? Et sembla que s un bon mtode per trobar la parbola? Justifica el per qu.

CLASSROOM. Fes una captura de pantalla del GeoGebra on es vegi la parbola que ms sapropi i penja la imatge a la tasca PROBLEMA 6.

8 de 20

Sessi 2 i 3. Ajust al model matemtic: funci quadrtica

Donats dos punts del pla noms existeix una recta que passa per aquests dos punts. Oi? Doncs b, en el cas duna parbola, ara que ja sabeu quina forma tenen, quants punts creieu que necessitarem?

Exacte! Tres punts, s a dir, donats tres punts del pla existeix una nica parbola que passi exactament per aquests tres punts. Aquest fet s el que farem servir per ajustar el model quadrtic al nvol de punts. Triarem tres punts i farem trobarem la parbola que passa per aquests punts. Un dels tres punts que triarem sempre ser el dinici (0,21). I els altres dos, agafarem un de mitja taula (33,13) i un de cap al final (70,6). Aix doncs, volem trobar la funci quadrtica que passa pels punts (0,21), (33,13) i (70,6). Substitum aquests tres punts a la frmula general y = ax + bx + c i obtenim aquestes tres equacions lineals (tres rectes!).

(0, 21) 21 = c (33, 13) 13 = 33a + 33b + c (70, 6) 6 = 70a + 70b + c

Si fem els clculs:

21 = c 13 = 1089a + 33b + c 6 = 4900a + 70b + c

Daix en diem sistema dequacions, concretament, en diem sistema de 3 equacions i 3 incgnites que, en general, sn encara massa difcils per nosaltres amb les eines matemtiques que coneixem. Tot i aix, farem un petit truc per simplificar el problema. Substitum la primera equaci en les altres dues equacions, de manera que ens queda:

13 = 1089a + 33b + 21 6 = 4900a + 70b + 21

I simplificant,

-8 = 1089a + 33b -15 = 4900a + 70b

Fixeu-vos, lhem convertit en un sistema de 2 equacions i 2 incgnites, i aix si que est al nostre abast. Per aprendre a resoldre aquests sistemes, podem fer servir dos mtodes diferents. I els haureu daprendre els dos!

9 de 20

MTODE 1: RESOLDRE EL SISTEMA DEQUACIONS PER SUBSTITUCI Situem-nos, hem de resoldre aquest sistema dequacions:

-8 = 1089a + 33b -15 = 4900a + 70b

Resoldre el sistema vol dir trobar un punt concret (a0,b0) que s soluci de les dues equacions del sistema (grficament s el punt on es tallen les dues rectes). Allem una incgnita duna equaci, per exemple, la b de la primera equaci. Ens queda:

Per facilitar la manipulaci de fraccions treballarem amb la seva expressi decimal:

(Equaci 1)

I aix ho substitum per la b de la segona equaci del sistema. Ens queda:

Manipulem lexpressi pas a pas fins allar la a.

a = 0.007605008

Ja tenim la a! Per obtenir la b substitum aquesta a a Equaci 1. Fent els clculs obtenim:

b = 0.2675207688

Tenim doncs que:

a = 0.0007605008 b = 0.2675207675 c = 21

I per tant, la nostra parbola s:

y = 0.0007605008x 0.2675207688x + 21 Recordeu que la x s el temps transcorregut (en segons) i la y lalada de laigua (en cm).

Veieu com de meravellosa s aquesta expressi!!!??? #pelldegallina

10 de 20

Si li diem quant temps ha passat lexpressi ens torna lalada de laigua. s mgia? No, sn matemtiques.

PROBLEMA 7. AJUSTEM MODEL

Ara us toca a vosaltres. Feu servir el MTODE 1 per trobar la parbola que sajusta a les vostres dades. Resseguiu els passos amb cura i penseu amb atenci qu feu a cada moment!

Escriu aqu el model ajustat.

y =

11 de 20

MTODE 2: RESOLDRE EL SISTEMA GRFICAMENT AMB EL GEOGEBRA Obre un GeoGebra en blanc. Al men superior ves a Opcions, dins a Arrodoniment i selecciona 10 Xifres decimals. A la barra inferior Entrada escriu la primera equaci del sistema i clica Intro. Fes el mateix amb la segona equaci del sistema. Mira la imatge inferior i fixat b en la sintaxis, cal ser precs!

Al men dicones busca la eina Intersecci de dos objectes. Quan la tinguis seleccionada clica a sobre de les dues equacions de la Finestra algebraica (veure imatge inferior).

Si ho heu fet b, hauria de sortir un nou element al a Finestra algebraica, un punt, tal com es veu a la imatge. Les coordenades daquest punt sn els valors a i b de la vostra funci quadrtica. I el valor de c s 21 (recordeu per qu?). Tenim doncs que:

a = 0.0007605008 b = 0.2675207675 c = 21

I per tant, la nostra parbola s:

y = 0.0007605008x 0.2675207675x + 21 bviament, tant si resolem amb el primer o el segon mtode, la parbola que surt s la mateixa!

12 de 20

Sessi 4. Predir i discutir validesa del model ajustat Tenim un model! Ara toca veure si realment sajusta a les dades, i com de b sajusta, s a dir, volem mesurar lerror del model.

Ho farem de dues maneres: (1) grficament i (2) mesurant lerror.

MTODE 1 LA VALIDESA DEL MODEL: GRFICAMENT

s molt senzill! Obriu el GeoGebra on teniu les vostres dades (el que vau entregar al PROBLEMA 6) i grafiqueu lequaci de la vostra parbola.

La parbola que us surt sajusta a les vostres dades? Si no sassembla no us preocupeu, s estrany que surti b a la primera! Torneu al PROBLEMA 7 i reviseu amb cura tots els passos.

PROBLEMA 9

Un cop tingueu la parbola ajustada, responeu la segent pregunta. Com s que la parbola passa exactament pels tres punts que vau escollir per no per TOTS els altres?

CLASSROOM. Feu una captura de pantalla del GeoGebra on es vegi el nvol de punts i la parbola. Pengeu-la a PROBLEMA 9.

MTODE 2 VALIDESA DEL MODEL: CALCULAR LA MITJANA DELS ERRORS ABSOLUTS

PROBLEMA 10

Un cop hem obtingut la funci quadrtica que modelitza lexperiment, predir les alades aquesta funci s mooolt fcil. Noms cal que calculem les imatges dels temps (x) que vam recollir en lexperimentaci. Per exemple, per la parbola daquest exemple y = 0.0007605008x 0.2675207675x + 21, la imatge de 14 segons s

y(14) = 0.000760500814 0.267520767514 + 21 = 17.4046 cm

13 de 20

Arrodonint, y(14) = 17 cm. Seguint aquesta indicaci completeu, amb les vostres dades, la columna ALADA MODEL al Full dexperimentaci. PROBLEMA 11. MITJANA DE LERROR ABSOLUT

Calculeu lerror absolut que dna el vostre model matemtic ajustat, noms cal que resteu lalada real (y) i lalada estimada pel model (yc). Al resultat de la resta feu el valor absolut, s a dir, traieu el signe. Poseu els resultats a la columna ERROR ABSOLUT del Full dexperimentaci. En quina unitat es mesura lerror absolut? Calculeu la mitjana dels errors, qu dna?

PROBLEMA 12. DISCUTIR VALIDESA EN FUNCI DE LERROR

En funci dels errors absoluts obtinguts i de la mitjana derror, creieu que el model ajusta b les dades? Justifiqueu la resposta.

Sessi 5. Preparar escala temporal i comprovar funcionament Tenim un model i sabem que sajusta b a les dades, noms queda construir el rellotge daigua i comprovar que funciona! Per fer-ho prepararem una escala que enlloc de mesurar centmetres mesuri temps. Com construir aquesta lescala? Prepararem una nova tira de la mateixa mida que lanterior. Posarem lescala en cm al costat i mitjanant el model sabrem a quina alada hem de posar les marques de temps. Per exemple, imagineu que volem collocar lalada a la que han passat 10 segons (x). Com sabrem a quina alada posar la marca? Fcil! Nomes hem de calcular y(10). Fem-ho:

y(10) = 0.000760500810 0.267520767510 + 2 = 18.400842405

Si arrodonim a les dcimes, y(10) = 18.4. Fixeu-vos en la imatge, on estan els 10 segons? Fem el mateix pels temps que us sembli oport: 0, 20, 40, 60, 100, 200 Enganxem la nova escala al recipient, omplim i hem acabat la primera fase!

14 de 20

Dems sessions. Investigaci autnoma Conjuntament hem fet un rellotge daigua, seguint el mateix ritme. Ara us toca a vosaltres, cada grup t un recipient diferent, i el vostre objectiu s fer tot el que calgui per convertir aquest recipient en un rellotge daigua que funcioni correctament. Pel que fa a la investigaci per compte propi, recordeu els passos que hem seguit:

1. Entendre el problema (ja est fet!) 2. Experimentar i recollir dades 3. Ajustar model (funci quadrtica) 4. Discutir validesa del model 5. Preparar escala temporal pel rellotge 6. Comprovar funcionament empricament 7. Escriure informe cientfic

PRODUCTES FINALS

Heu de lliurar tres productes finals: (1) el rellotge, (2) el vdeo del buidat i (3) linforme cientfic. El rellotge daigua lheu de lliurar a lequip docent, els altres dos via Classroom. Pel vdeo del buidat:

CLASSROOM. Graveu un vdeo del buidat on es vegi que efectivament el rellortge daigua marca b el temps, per tant calda que afegiu a la imatge un comptador, o b que hi surti un cronmetre directament. Noms cal un vdeo per grup, que alg del grup el pugi a la tasca PRODUCTE FINAL. VDEO BUIDAT.

Per linforme cientfic teniu tres documents que us poden ajudar:

Una model dinforme amb els requisits que ha de complir. Un document davaluaci de linforme que us servir per saber per quins criteris se us

avaluar (al portafoli del grup). Un article cientfic real de la vostre professora Blanca Amengual.

CLASSROOM. Noms cal un informe per grup. Un cop el tingueu llest que alg del grup el pugi a la tasca PRODUCTE FINAL. INFORME CIENTFIC.

15 de 20

Sessi Extra. Resoluci de problemes Per resoldre problemes matemtics (i no matemtics!) et resultar molt til el Mtode dels quatre passos de George Plya (1947). Sn aquests:

1. Comprensi. Quines sn les incgnites? Quines sn les dades? Sn irrellevants, necessries o contradictries?

2. Planificaci. Quines dades conec/desconec? Quina relaci hi ha entre elles? ... 3. Execuci. Aplicar les estratgies, refer el pla si es necessari. 4. Comprovaci. Anlisi del procs que sha seguit per a la resoluci i analitzar els resultats

obtinguts per escollir el ms adient. PROBLEMA 13

Quina s la capacitat del recipient que vam fer servir per construir el primer rellotge daigua?

Si has respost sense fer clculs el ms probable s que hagis demostrat que saps llegir letiqueta de lenvs, per recorda que estem actuant com a cientfics, no ens creiem res que no puguem demostrar cientficament! Aix que... fent servir el regle i la cinta mtrica, demostra que efectivament el recipient t 1,5 litres. Un cop ho tinguis feu un petit informe individual explicant el procs seguit i les dificultats trobades. Fes els clculs aqu.

CLASSROOM. Entrega linforme seguint la plantilla que trobars a la tasca PROBLEMA 13.

Quina frmula has fet servir pel volum del cilindre? Guardem-la aqu, ser molt important!

FRMULA DEL VOLUM DUN CILINDRE

16 de 20

Demostra que s aproximadament 3.1. Imagina que no coneixes quan val, per que saps la frmula del volum del cilindre, com pots aproximar el valor de ?

PROBLEMA 14

(A) Quina quantitat daigua cabria al recipient si lomplssim fins els 15 cm dalada? Expressar el resultat en cm i en litres.

(B) Si buidem 0.5 litres del recipient anterior, a quina alada quedaria laigua?

(C) Quina quantitat daigua hi cap en una secci horitzontal d1 cm dalada?

(D) Estima lalada dun cilindre de radi 7 cm i volum 3077.2 cm?

(E) Estima el radi dun cilindre dalada 30 cm i 3.390 litres de capacitat mxima.

Comprova experimentalment els resultats dels problemes A, B i C.

17 de 20

7. GLOSSARI Error absolut

s la diferncia (en valor absolut) entre el valor exacte i l'aproximat. T les mateixes unitats que els valors que s'utilitzen.

Equaci

Una equaci s una igualtat que cont una o diverses variables. Resoldre l'equaci consisteix a determinar els valors que pot prendre la variable (o les variables) per tal de fer verdadera la igualtat. Per exemple, x + 2 = 5 s una equaci. Resoldre lequaci s trobar que per x = 3 lequaci s certa.

Equaci lineal

Una equaci lineal amb dues incgnites s una equaci que es pot expressar de la forma ax + by = c, on x i y sn las incgnites, i a, b i c sn nombres coneguts. Per exemple, x - y = 0. El punt (1,1) s soluci de lequaci, ja que 1 - 1 = 0.

Funci

Una funci s una correspondncia entre dos conjunts numrics, de tal manera que a cada element del conjunt inicial li correspon un element i noms un del conjunt final, la imatge. Es relacionen aix dues variables numriques que solen anomenar-se x i y.

Funcions lineals

Sn les rectes. Tenen una expressi algebraica daquest tipus y = bx + c, on b i c sn valors coneguts, m s el pendent de la recta i n es diu terme independent. Per exemple, y = x + 1 s una funci lineal i es representa aix.

Funci quadrtica

Sn les parboles. Tenen una expressi algebraica daquest tipus y = ax + bx + c, on a, b i c sn valors coneguts. Per exemple, y = x + x - 1 s una funci quadrtica i es representa aix.

18 de 20

Imatge

Donada una funci podem calcular la imatge dun nmero x substituint el valor x en l'expressi de la funci. Per exemple, la imatge de x = 2 per la funci f(x) = 2x - 1 s 3. Solem escriure f(2) = 3.

Model matemtic

Un model matemtic s una representaci dels aspectes essencials d'un sistema, que presenta el coneixement d'aquest sistema en una forma utilitzable. En aquest projecte fem servir com a model les funcions quadrtiques. Sn altres models les funcions lineals, exponencials, racionals, sinusodals...

Sistema dequacions lineals

Un sistema de dues equacions lineals amb dues incgnites est format per dues equacions lineals de les quals es busca una soluci comuna. Les solucions del sistema sn els punts (x,y) que sn soluci de les dues equacions.

Valor absolut

El valor absolut d'un nombre s el nombre sense el seu signe, grficament s la distncia que el separa del zero. S'escriu entre dues barres | |. Per exemple, el valor absolut de -3 s 3. Ho escrivim aix |-3| = 3.

19 de 20