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H

Resumen:Excel es la hoja de cálculo más popular para aplicaciones científicas, de ingeniería y técnicas, debido a sus poderosas

herramientas y a la disponibilidad universal. Aunque se encuentra en casi todos los computadores personales, y tiene un costo relativamente bajo, la aplicación de sus herramientas no es muy desarrollada por desconocimiento de su potencial. La relación que existe entre las matemáticas y la capacidad técnica de la hoja constituye el punto clave del programa. La aplicación de Excel es muy capaz y flexible, se puede adaptar a innumerables situaciones, esto la hace muy útil para realizar cálculos y procesamiento de datos. Si se tienen conocimientos matemáticos sólidos, la ciencia y la ingeniería se hacen más fáciles. Pero se debe tener en cuenta que la herramienta tiene sus limitaciones.

Palabras clave: Hoja de cálculo. Diferencias Finitas. Modelamiento matemático. Análisis estructural. Ecuaciones diferenciales. Leva. Viga. Vibración.

INTRODUCCIÓN

USO DEL EXCEL COMO HERRAMIENTA DE TRABAJO PARA SOLUCIONAR PROBLEMAS DE INGENIERÍA

HENRY HERNANDO SUÁREZ SOLER*

ace 25 años se desarrolló la primera Hoja de Cálculo para aplicaciones financieras, fue considerada como un software de “cuarta generación”, que permitía a

los usuarios posibilidad de recalcular inmediatamente toda la hoja de trabajo en el momento en que se cambiaba cualquier valor. Esta herramienta representó grandes economías en tiempo y dinero para los encargados de las finanzas, al reducir la cantidad de cálculos manuales, permitiendo la exploración de nuevas y diferentes alternativas.

El éxito afortunado de las Hojas de Cálculo, desde sus inicios, se debe a la apropiación de la tecnología por profesionales que conocen los problemas comunes reales de las empresas y los pueden representar mediante modelos matemáticos. Bajo este contexto, se tiene un excelente ambiente de trabajo para el estudio de los modelos en el campo de los negocios, la ciencia, la ingeniería y otras disciplinas, utilizando la Hoja de Cálculo como herramienta de trabajo.

En el estudio de la ingeniería, se requiere la aplicación de las leyes físicas generales a problemas reales, que en muchos casos no tienen una solución analítica estándar, para superar este inconveniente, se debe recurrir a soluciones gráficas o a la aproximación de funciones. Por fortuna, debido al creciente desarrollo de herramientas informáticas para realizar los cálculos, en la actualidad se dispone de una amplia variedad de programas capaces de resolver dichos problemas.

* Ingeniero Mecánico de la Universidad Nacional de Colombia, Maestría en Ingeniería Materiales y Procesos de la Universidad Nacional de Colombia. Áreas de investigación: recubrimientos duros sobre los aceros, tenacidad de fractura y modelamiento matemático

1 Desarrollada por Dan Bricklin. Funcionaba sobre un computador Apple II.

Pero, debido al elevado costo, la falta de disponibilidad e incluso, la dificultad de adquirir destreza para su manejo, muchos de los programas existentes en el mercado no son asequibles a todo el mundo. Esto sugiere que es conveniente aprovechar la facilidad, versatilidad y adaptabilidad, que proporcionan las Hojas de Cálculo para utilizarlas en la solución de algunos problemas de ingeniería.

MARCO TEORÍCO

A. La Hoja de Cálculo

La Hoja de Cálculo se puede utilizar con ventaja en alguna de las siguientes situaciones:

• Manejo de fórmulas y relaciones complejas.• Utilizar gráficas para reforzar conceptos.• Solución de problemas que requieran procedimientos de

integración en un modo simbólico.

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Clepsidra . Número 4 . 2007

• Solución de problemas que requieren aproximaciones sucesivas, esto es “Ensayo y Error” o “Método del Tanteo”.

• Solución de sistemas de ecuaciones lineales, aprovechando el método de la matriz inversa.

B. Problemas de ingeniería

Los problemas de ciencias e ingeniería se pueden plantear a partir de ecuaciones diferenciales, con condiciones límite bien definidas y se solucionan en lo posible utilizando procedimientos analíticos establecidos.

Veamos algunas situaciones:

a) Conducción de calor unidimensional: [3]

En esta ecuación T es la temperatura a una distancia x; k es la conductividad térmica; y Q es una fuente externa de calor. b) Un problema de elasticidad unidimensional[3] en términos de desplazamiento esta dado por:

ddx

k(x) dT(x)dx

+ Q(x) = 0[ [ (1)

ddx

E(x) du(x)dx

+ f(x) = 0[ [ (2)

E(x) es el módulo de elasticidad del material; u es el desplazamiento y f(x) es una carga externa aplicada c) En el caso de deflexión de una viga[1] se tiene la siguiente expresión:

EI d2ydx2

= M(x) (3)

En esta ecuación E es el módulo de elasticidad; I es el momento de inercia de la sección transversal de la viga; y M es el momento flector debido a la aplicación de carga.

d) Un problema de movimiento amortiguado unidimensional[8], es gobernado por la siguiente ecuación:

m d2ydt2

+ c (4)+ k.y =0dydt

m representa la masa oscilatoria; y es el movimiento desde su punto de equilibrio; c es la constante de amortiguación del sistema y k la constante del resorte.

De la misma manera, otras situaciones en ingeniería como Difusión de la Materia en el problema de carburización de aceros[11]; transporte de masa[11]; problemas de Flujo en mecánica de fluidos[12], etcétera, también son gobernados con ecuaciones diferenciales similares.

Se espera que estos problemas se puedan solucionar utilizando los métodos analíticos propuestos en los programas de

Ecuaciones Diferenciales, pero en muchos casos no es posible llegar a una respuesta razonable, especialmente cuando las condiciones límite son complejas o existe una dependencia de las propiedades respecto a alguna variable del problema; para superar este inconveniente se recurre a los Métodos Numéricos de Aproximación, que conducen a la formulación de sistemas de ecuaciones lineales, que se pueden manipular fácilmente utilizando las Hojas de Cálculo.

A continuación se proponen algunos ejemplos de aplicación de Excel, para la solución de problemas en ingeniería. Es conveniente anotar que, en algunos casos, para ilustrar la capacidad de la herramienta, se hace comparación con soluciones obtenidas utilizando otros procedimientos.

DEFLEXIÓN DE UNA VIGA

Un aspecto importante en el diseño de vigas lo determina la deflexión, debido a que las especificaciones por lo general incluyen un valor máximo permitido para una aplicación de carga dada. Se propone como ejemplo una viga simplemente apoyada con doble voladizo, sometida a una aplicación de carga uniforme W. En la figura 1 se puede observar un esquema.

Teniendo en cuenta una deflexión máxima permitida, se estudiaran dos situaciones:

• Para una aplicación de carga fija, diseñar la mejor sección.• Para una sección transversal de la viga dada, evaluar la

máxima carga que puede soportar.

El perfil que se utilizó para desarrollar los dos puntos anteriores se muestra en la figura 2. En el primer caso se tendrá un valor fijo de W para evaluar el parámetro a, en el segundo caso se debe encontrar el máximo valor W que se puede aplicar para una sección constante de la viga.

FIGURA 1. Viga simplemente apoyada con doble voladizo, sometida a una aplicación de carga distribuida uniformemente.

FIGURA 2. Sección transversal de la viga. El valor a se ajustará de acuerdo con el desarrollo del problema.

W

1 m 5 m 2m

a/4

a/4

3 a/4

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Inicialmente se propone una deflexión permitida máxima de 5 milímetros, para una aplicación de carga W=3000 Newton distribuida uniformemente a lo largo de la viga. Se tiene que la distribución de Momento Flector para las tres secciones representativas, con x variando desde el extremo izquierdo, esta dada por las siguientes expresiones:

MI= -1500.x2

MII= -1500.‹x-1›2+6600.‹x-1›-1500 (5) MIII= -1500.‹x-5›2+6600.‹x-5›-6000

La gráfica del Momento Flector que se obtiene, para incrementos de x de 0.5 m, se muestra en la figura 3.

Este problema es gobernado por la ecuación (3), con condiciones límite dadas en los apoyos (en x=1 y en x=6 la deflexión es cero). Con el objetivo de encontrar la solución se utiliza el Método de Diferencias Finitas (MDF)[2]-[9] para la aproximación de funciones, que conduce a un modelo matemático representado con un sistema de ecuaciones lineales, de fácil solución utilizando la aplicación matricial de Excel. En general se sigue el siguiente procedimiento:

• Se hace una división de la viga en elementos de la misma longitud (aquí se trabaja con ∆x=0.5 m).

• Se obtienen 16 elementos, con sus correspondientes nudos, que se numeran desde 0 hasta 16.

• Utilizando el MDF, se plantea la solución para un nudo L:

E.I (yL-1 – 2. yL + yL+1 )= Δx2.ML (6)

• Se extiende esta expresión a todos los nudos de la viga, lo que conduce a un sistema de ecuaciones lineales, en el cual se deben tener en cuenta las condiciones límite. Para el problema se obtuvo el siguiente sistema:

EI.[y0 -2.y1 ]= 0.52.M1

EI.[y1 + y3 ]= 0.52 .M2

EI.[ -2.y3 + y4 ]= 0.52. M3

EI.[y3 -2.y4 + y5 ]= 0.52. M4

EI.[y4 -2.y5 + y6 ]= 0.52. M5

FIGURA 3. Diagrama de Momento Flector (N.m), para la viga del ejemplo propuesto. En el eje x se representa la distancia en metros desde el extremo izquierdo.

EI.[y5 -2.y6 + y7 ]= 0.52. M6

EI.[y6 -2.y7 + y8 ]= 0.52. M7

EI.[y7 -2.y8 + y9 ]= 0.52. M8 EI.[y8 -2.y9 + y10 ]= 0.52. M8

EI.[y9 -2.y10 + y11 ]= 0.52. M9

EI.[y10 -2.y11 ]= 0.52. M10 (7)EI.[y11 + y13 ]= 0.52. M11

EI.[ -2.y13 + y14 ]= 0.52. M12

EI.[y13 -2.y14 + y15 ]= 0.52. M13

EI.[y14 -2.y15 + y16 ]= 0.52. M14

Utilizando la aplicación matricial de Excel, se soluciona el sistema. Para un valor de a=0.0562 m, se obtiene una deflexión máxima de 0.005 m, que se muestra gráficamente en la figura 4.

Deflexión0.004

0.002

0

-0.002

-0.004

-0.006

Momento10000

5000

0

-5000

-10000

Una variante interesante que muestra la versatilidad de Excel, se puede observar cuando se cambia el valor de W, manteniendo fija la sección encontrada (con a=0.056). Para la viga que se está estudiando, si se incrementa el valor de la carga a W=20000 N, se espera un incremento en la deflexión, lo que sugiere una sección de la viga muy débil, esta situación se ilustra gráficamente en la figura 5.

FIGURA 4. Diagrama de deflexión obtenido para la viga del ejemplo, con la aplicación de carga W= 3000 N y un valor de a=0.0562 m. En x=3.5 m se obtiene la máxima deflexión de 0.005 m.

Para la segunda situación planteada, si se mantiene la aplicación de carga en W=20000 N y la deflexión máxima permitida en 0.005 m, se utiliza el mismo modelo matemático desarrollado. Se obtiene que el nuevo valor para a debe ser de 0.09 m.

FIGURA 5. Deflexión de la viga (con a=0.0562 m) para una aplicación de carga W=20000 N, se puede observar que alcanza un valor de 0.033 m en x=3.5 m.

Deflexión

0.04

0.02

0

-0.02

-0.04

74


De la misma manera se pueden cambiar otros parámetros, como la longitud de la viga, la forma de la sección transversal, la posición de los apoyos, la forma de aplicación de la carga. Pero, dependiendo del problema planteado, en algunos casos se deben desarrollar modelos matemáticos diferentes.

ANÁLISIS DE ARMADURAS

La armadura es uno de los tipos más importantes de estructuras, da una solución práctica y económica a muchos problemas de ingeniería, representados en puentes, edificios, torres para elevación de cargas, y muchas más. Para su análisis, se deben tener en cuenta diferentes factores, entre los cuales se pueden destacar el esfuerzo que soportan los elementos, la deformación que se produce, una variación en la aplicación y magnitud de cargas, etc.

Este es el marco para proponer otra posibilidad de aplicación de Excel para la solución de problemas de ingeniería. Se toma como ejemplo la estructura de la figura 6, sometida a una aplicación de carga y formada con elementos de sección transversal constante. Para esta aplicación se pueden calcular los esfuerzos y deformaciones correspondientes a cada uno de los elementos.

FIGURA 6. Armadura sometida a aplicación de carga concentrada. Para efectos del problema se utilizan elementos

de perfil angular 25x25x3.

Para llevar a cabo el análisis, se plantea el modelo matemático a partir de la condición de equilibrio de cargas en cada nudo, dando como resultado un sistema de 18 ecuaciones con 18 incógnitas: las cargas sobre cada uno de los elementos y las reacciones en los apoyos correspondientes. El sistema se soluciona utilizando la aplicación matricial de Excel, se obtiene el valor de la fuerza que actúa sobre cada elemento, además, a partir de una sección transversal constante se puede calcular el esfuerzo aplicado y la deformación correspondiente. En la tabla 1 se muestran los resultados obtenidos, para una sección 25x25x3 (Área 142 mm2).

5000 N 3000 N 2000 N 1000 N

1 m

Una revisión de estos valores muestra que los elementos L2, L6, L10 y L13 están trabajando en tensión, y los elementos L4, L8, L12 y L15 trabajan en compresión, que es un comportamiento que se puede prever sin realizar cálculos detallados. De la misma manera se espera que los elementos sometidos a mayor fuerza sean L2 y L4, lo que se comprueba al examinar los datos obtenidos.

Con el objetivo de mostrar la capacidad de la Hoja de Cálculo, se comparan estos resultados con los que se obtienen utilizando un programa desarrollado especialmente para esta aplicación: el ejercicio se hace en ANSYS 5.5. En la tabla 2 se muestran los datos de salida dados por este programa para el ejemplo estudiado, se puede observar que los resultados son similares.

TABLA 1. FUERZA, ESFUERZO Y DEFORMACIONES FINALES DE LA

ARMADURA ESTUDIADA.

TABLA 2. SALIDA DEL PROGRAMA ANSYS 5.5 PARA LA ARMADURA ESTUDIADA.

L1 5250 36971830,99 0,000184859L2 13333,33333 93896713,62 0,000469484L3 9583,333333 67488262,91 0,000421802L4 -21646,30453 -152438764,3 -0,000785651L5 -7666,666667 -53990610,33 -0,000202465L6 8000 56338028,17 0,00028169L7 5962,84794 41991886,9 0,000234742L8 -13743,68542 -96786517,03 -0,000498826L9 -4000 -28169014,08 -7,04225E-05L10 4000 28169014,08 0,000140845L11 4123,105626 29035955,11 0,000149648L12 -8246,211251 -58071910,22 -0,000299296L13 4000 28169014,08 0,000140845L14 -2000 -14084507,04 -1,76056E-05L15 -4123,105626 -29035955,11 -0,000149648RX -21000 RY 11000 Z 21000

ELEMENTO FUERZA ESFUERZO DEFORMACION

PRETAB CommandFile

75

V. DISEÑO PRELIMINAR DE UNA LEVA

La leva es un dispositivo adecuado para transformar un movimiento, normalmente rotatorio, en otro que puede ser traslación, oscilación o una combinación de ellos. Muchas de las aplicaciones que utilizan levas buscan la generación de función, por ejemplo, en la apertura y cierre de válvulas para admisión o escape de un motor de combustión. Esta situación sugiere un movimiento intermitente que requiere una elevación-detención-retorno y detención, con un número de grados especificados en cada caso y un desplazamiento requerido del seguidor. El papel del proyectista es diseñar la leva apropiada.

Para el diseño de la leva se deben tener en cuenta diferentes factores, entre los que se pueden nombrar la aplicación específica para determinar el tipo de leva y seguidor apropiados, el movimiento requerido en el que se debe tener en cuenta el desplazamiento, la velocidad, la aceleración y el salto del seguidor, el ángulo de presión admisible que permite evaluar el tamaño de la leva, un perfil adecuado de la leva de manera que el seguidor pueda seguirlo y un resorte lo suficientemente grande que garantice un contacto continuo leva-seguidor.

Para ilustrar algunos de los puntos señalados, se propone como ejemplo el diseño de leva para la aplicación que se ilustra en la figura 7, de manera que satisfaga algunas condiciones iniciales (dadas por los requerimientos de apertura-cierre de la válvula para la admisión o el escape del gas):

Ascenso

ø =10: s = 0

ø =180: s=5mm

Descenso

ø =240: s= 0

(8)dsdt

= 0 d2sdt2 = 0

dsdt

= 0 d2sdt2 = 0ø =50: s = 5mm

(9)dsdt

= 0 d2sdt2 = 0

dsdt

= 0 d2sdt2 = 0

Con el objetivo de mostrar la utilidad de Excel en este problema, se tendrá en cuenta un perfil polinomial para el diseño de la leva. Las seis condiciones de frontera planteadas en cada situación, requieren un polinomio de quinto grado con seis coeficientes constantes:

FIGURA 7. Leva generadora

de función. El movimiento de la

válvula depende de la posición del eje

de la leva.

5 mm

(10)

en esta expresión s es el desplazamiento para cada posición Φ de la leva y an los coeficientes de aproximación.

Si se tiene en cuenta una velocidad angular constante (w), el despliegue de esta expresión conduce al siguiente modelo matemático:

(11)

= w(a1 + 2a2Φ + 3a3Φ2 + 4a4Φ3 + 5a5Φ4)dsdt

s= a0 + a1Φ + a2Φ2 + a3Φ3 + a4Φ4 + a5Φ5

= w2(2a2 + 6a3Φ + 12a4Φ2 + 20a5Φ3)d2sdt2

La sustitución de las condiciones de frontera en el modelo planteado, genera un sistema de seis ecuaciones lineales, que se soluciona para obtener el valor de los coeficientes an. En el ejemplo planteado se toma una velocidad angular constante igual a 1 rad/s, y se obtienen las soluciones para desplazamiento, velocidad, aceleración y salto que se muestran en la figura 8.

Desplazamiento

met

ros

0,0060,0040,002

0-0,002

grados

Velocidad

m/s

0,00010

-0,0001-0,0002

m/s

2 Aceleración0,00001

0,000005

0

-0,000005-0,00001

0,0000010,0000005

0-0,0000005-0,000001

-0,0000015

m/s

3

Salto

FIGURA 8. Curvas para el desplazamiento, velocidad, aceleración y salto. La velocidad angular de la leva es 1 rad/seg, y la condición para el desplazamiento es 0.005 m.

76


En el diseño de una leva se debe minimizar el salto, debido a que este cambio de la aceleración con el tiempo genera severos e incontrolables inconvenientes de vibración del sistema. En la figura 8, se observa que el salto para esta aplicación de baja velocidad es aceptable.

En el diseño de leva es conveniente tener en cuenta la generación de fuerzas longitudinales, que dependen de la aceleración que se obtiene y conducen a la selección del resorte, y laterales que no influyen directamente en el movimiento esperado (pero pueden producir una flexión sobre el eje del seguidor) y se deben reducir al máximo, estas últimas están relacionadas con el ángulo de presión que en general es el que determina el tamaño de la leva. Algunos autores[10] sugieren que para tener un buen comportamiento de la leva, el ángulo de presión no debe superar los 20°. En el ejemplo propuesto, se obtiene que para un radio primario de la leva de 22 milímetros, el comportamiento del ángulo de presión no supera los 20°, esta situación se ilustra en la figura 9.

Angulo de Presión

Una vez se ha definido el tamaño de la leva, se llega al diseño final que cumple con las condiciones límite propuestas. En la figura 10 se ilustra el perfil de la leva que se obtiene.

FIGURA 9. Angulo de presión correspondiente a un radio primario de leva de 22 milímetros.

FIGURA 10. Diseño final de la leva, corresponde a un círculo primario de 22 milímetros y un desplazamiento del seguidor de 5 milímetros.

Leva

Además de los factores mostrados en el estudio de la leva, se pueden generar modelos adecuados que tengan en cuenta el efecto de las fuerzas resultantes en cada posición de la leva, y su acción sobre todo el sistema.

VI. VIBRACIONES MECÁNICAS

Una vibración mecánica es un movimiento que se repite en forma periódica en el tiempo, está presente en prácticamente todos los sistemas mecánicos, y debe mantenerse bajo

control, debido a que en diversas circunstancias traen graves consecuencias sobre las máquinas que las soportan.

La magnitud de las oscilaciones tiene una relación directa con los esfuerzos mecánicos en los cuerpos y para evitar las fallas catastróficas prematuras se debe controlar para mantenerla dentro de un rango de funcionamiento aceptable. Este es el contexto para abordar como problema de estudio el sistema masa-resorte-amortiguador, que se presenta esquemáticamente en la figura 11.

FIGURA 11. Configuración en paralelo de un sistema masa-amortiguador-resorte. c es la constante de amortiguación (N.s/m) y k es la constante característica del resorte (N/m).

c

m

k

y

La ecuación (4), dada arriba, gobierna el comportamiento de este problema, y debe estar sujeta a condiciones límite iniciales. Por lo general, la solución (que describe el movimiento) se obtiene utilizando métodos analíticos bien definidos, pero aquí se estudia el comportamiento mediante aproximación numérica, con el objetivo de aprovechar la versatilidad de la Hoja de Cálculo.

Para la ecuación planteada, como ejemplo de aplicación se utiliza una masa de 1 kg, la constante de amortiguación igual a -4 N.s/m y para el resorte se tiene una constante igual a 13 N/m. El sistema está sujeto a dos condiciones límite:

• en t=0, la posición es -1 m; • en t=0 se toma una velocidad inicial de 2 m/s.

Se aplica el Método de Diferencias Finitas para evaluar la solución del problema en el dominio [0, 2 s], con elementos de longitud 0.1 s. La ecuación base para la formulación del modelo matemático es:

100yL-1-227yL+140yL+1=0 (12) sujeto a las condiciones: y(0)= -1 ; y’(0)=2

La solución del sistema de ecuaciones lineales resultante, se muestra gráficamente en la figura 12, en ella se observa un movimiento amortiguado que tiende a y=0 después de los 2 segundos, además se muestra la comparación con la solución analítica.

77

El mismo modelo matemático se puede utilizar para otras situaciones, por ejemplo, si el sistema no es amortiguado (en este caso la constante toma un valor cero) se espera un movimiento armónico simple, como se ilustra en la figura 13.

FIGURA 12. Solución exacta y aproximada del movimiento amortiguado planteado: m=1 kg, c=-4 N.s/m y k=13 N/m. Posición inicial -1 m y velocidad inicial de 2 m/s en t=0. En un dominio 0 a 2 segundos.

0,60,40,2

0-0,2-0,4-0,6-0,8

-1-1,2

Soluciónaproximada

Soluciónexacta

FIGURA 13. Movimiento armónico simple resultante para un sistema sin amortiguador. m=1 kg, c=0 y k=13 N/m. Posición inicial -1 m y velocidad inicial de 2 m/s en t=0. En un dominio 0 a 2 segundos.

1,5

1

0,5

0

-0,5

-1

-1,5

Los ejemplos que se desarrollaron en este artículo, son simplemente una muestra de la versatilidad y eficacia de Excel para su uso en la solución de problemas en ingeniería. Es conveniente anotar que existen muchas situaciones para estudiar y que sugieren nuevos campos de aplicación de la Hoja de Cálculo como herramienta de trabajo.

Para finalizar esta parte del análisis de vibración, se propone un resorte que tenga un valor alto de rigidez, por ejemplo N/m, manteniendo los otros parámetros fijos. El resultado gráfico se muestra en la figura 14, y registra una reducción continua del movimiento.

0,60,4

0,2

0

-0,2-0,4

-1,2

-0,6

-0,8-1

FIGURA 14. Comportamiento del movimiento para el sistema amortiguado con un valor alto de la constante de rigidez del resorte k=50 N/m.

VII. CONCLUSIONES

Aunque el uso de la Hoja de Cálculo es fácil, es indispensable que en aplicaciones de ingeniería se tengan sólidos conocimientos en matemáticas y física, para que, de esta manera, el modelo propuesto y el análisis de resultados tenga coherencia con el planteamiento del problema.

Para solucionar muchos de los problemas de ingeniería, es mejor recurrir a programas especializados desarrollados para aplicaciones específicas, pero como no siempre están disponibles (por costos o por dificultades en su adquisición), una propuesta valida y bastante efectiva es utilizar las Hojas de Cálculo para lograr una primera aproximación a la solución del problema.

Contrario a lo que sucede al utilizar programas especializados para la solución de problemas de ingeniería, en algunas situaciones, aprovechando la facilidad de manejo y versatilidad de la Hoja de Cálculo, es más fácil manipular parámetros que conduzcan a la obtención repuestas inmediatas y muy exactas, relacionadas con el comportamiento en condiciones diferentes a las planteadas inicialmente.

La formulación adecuada de los modelos matemáticos, y su respectiva solución utilizando la Hoja de Cálculo, permite que se puedan manipular las condiciones iniciales, con el objetivo de evaluar el comportamiento en diferentes situaciones.

Aunque la Hoja de cálculo se puede adaptar a muchas y variadas aplicaciones, es conveniente tener en cuenta que, al igual que muchos de los programas desarrollados para cálculo en ingeniería, tiene sus limitaciones, por ejemplo, la capacidad para solucionar grandes modelos matemáticos.

En algunas aplicaciones específicas, el empleo de la Hoja de Cálculo, reduce la manipulación matemática y permite que la actividad investigativa se centre en la compresión física del problema.

Los ejemplos que se desarrollaron en este artículo, aplican para situaciones unidimensionales; pero la utilidad de esta herramienta se puede extender a trabajos en dos dimensiones o dependientes del tiempo, lo sugiere nuevos campos de investigación.

REFERENCIAS

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[5] Buchanan, George. Finite element analysis. Editorial McGraw Hill. 1995.

[6] Segerlind, Larry. Applied finite element analysis. Editorial John Wiley and Sons. 1984.

[7] Martinez Pons, José Antonio. La hoja de cálculo en el aprendizaje de la ingeniería química. Publicación Universidad de Alcalá.

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ndependientemente de la economía política a la que pertenezca o al tipo de sociedad que se constituya, toda empresa se puede considerar como una unidad económica generadora de riqueza, que mediante la combinación de

los factores productivos y la incorporación de un determinado valor agregado a unos insumos para lograr un producto, busca obtener el máximo beneficio económico o social o los dos según sea el caso.

Desde luego, para hablar de la producción de valor agregado es necesario decir que en esta época donde con la información y el conocimiento, no sólo se puede alterar el movimiento físico de los átomos y trabajar con información que se produce en el tiempo real en que se suceden los hechos, sino que también se pueden emplear estas dos condiciones, en forma independiente o conjunta, para producir nuevos conocimientos e incorporarlos a gran velocidad, como valor agregado a la producción de bienes y servicios.

De otra parte, de la creatividad, constancia y velocidad, conque se incorpore el valor agregado a los procesos productivos de cada empresa, se producen los cambios necesarios, de los cuales depende la vida y salud de las mismas, en términos de: productividad, calidad, competitividad y expansión permanente, lo cual se revierte a la sociedad como mejoramiento de las condiciones de vida expresada en generación de nuevos empleos, mayor capacidad adquisitiva, mejoramiento significativo de aspectos básicos como la salud, la educación, la vivienda, la recreación, la producción de energías alternativas y la conservación del medio ambiente, entre otros tópicos no menos importantes.

I

Resumen.Se pretende explicar e inducir a los lectores al estudio de la relación conocimiento, tecnología y empresa, para que el

conocimiento se pueda asumir como el capital fuente en la obtención de valor agregado y ser impulsor, tanto de la generación de empresas como de su sostenibilidad y desarrollo. También se explica la importancia del conocimiento y su diferencia con la información y los saberes, lo mismo que la importancia y razón de ser de la tecnología para hacer empresas competitivas y prósperas.

Palabras claves: Conocimiento, Empresa, Saberes, Tecnología, Valor agregado.

INTRODUCCIÓN

CONOCIMIENTO, TECNOLOGÍA Y EMPRESA, TRES FACTORES GENERADORES DE RIQUEZA

HUGO RIVEROS GONZÁLEZ

Por las razones expuestas anteriormente, es que la investigación como proceso fundamentalmente productor del conocimiento, el desarrollo tecnológico y la innovación como procesos de aplicación y la gestión tecnológica como proceso de adquisición, explotación empresarial y venta del mismo, se deben estimular en forma permanente y sostenida, porque de ello depende el desarrollo de cada país, su grado de incidencia y poder de negociación frente a los demás

I. LA IMPORTANCIA DEL CONOCIMIENTO

1.1. Cuando se habla de conocimiento es necesario tener en cuenta la definición de Thomas Davenport y Lawrence Prusack “ El conocimiento es una mezcla fluida de experiencias, valores, información contextual y apreciaciones expertas que proporcionan un marco para su evaluación e incorporación de nuevas experiencias e información. Se origina y aplica en las mentes de los conocedores. En las organizaciones está, a menudo, embebido no sólo en los documentos y bases de datos, sino también en las rutinas organizacionales, en los procesos, prácticas y normas.”1

1.2. Al conocimiento es necesario diferenciarlo de los datos, la información y el saber. “Los datos son registros objetivos de hechos que suceden en un contexto”2, pero que en si mismos carecen de sentido, por ejemplo: El valor del salario de un trabajador, el número de trabajadores de una empresa, el valor de las ventas

1 VALHONDO Domingo. g e s t i ón de l conocimiento, ediciones Díaz de santos Madrid España, 2003. p. 50.

2 Ibid 1, p. 48.

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mensuales en un almacén, etc., en tanto que la información es la interpretación y comprensión de las relaciones entre los datos, para descripciones, definiciones y perspectivas sobre: qué, quién, cuando, donde, etc. y que se constituye en mensajes objeto de comunicación, por ejemplo: si se relacionan estadísticamente los datos sobre el salario de todos les trabajadores de una empresa, se puede establecer, interpretar, comprender y comunicar la estructura de la nómina.

El conocimiento también se puede entender como un estado de la conciencia humana, que se genera en la mente de los individuos producto de la construcción, interpretación y comprensión de patrones, para el cómo, establecidos por informaciones, enriquecidas con la experiencia, la creatividad, los valores, los juicios, la intuición, los intereses y otros aspectos que en conjunto se puede optar como: sistema, modelo, estrategia, método, práctica o enfoque y que se puede transmitir mediante el lenguaje y la observación.

Además el conocimiento permite, tomar decisiones sobre el presente de esa realidad, por ejemplo: las informaciones sobre la nómina, los niveles de complejidad del trabajo y los requisitos de los cargos permiten establecer un patrón de salarios, que contemple diferentes categorías y metodologías para tomar decisiones sobre ajustes a la nómina, tipos de contratación, etc.

“El saber es un estadio superior del conocimiento, basado en la interpretación y comprensión de principios, la moral, los arquetipos, la pericia y la experiencia, con el propósito de explicar el porque de las cosas”3 y que al considerar sus aspectos científicos, políticos y prácticos se pueden generar competencias y facultades y tomar decisiones sobre el futuro de las mismas, ejemplo: los saberes son la base fundamental para los planes de estudio, los planes de negocio, los planes de desarrollo, etc.

1.3. El conocimiento es almacenable, lo cual da origen a dos categorías, el conocimiento tácito que se encuentra almacenado en las cabezas de los individuos y el conocimiento explícito que se encuentra almacenado en medios físicos, tales como: Documentos, bases de datos, esquemas, planos, medios magnéticos, etc.

1.4. La interacción de las dos categorías del conocimiento, tácito y explícito, da espacio para los procesos de creación de nuevos conocimientos y en el desarrollo histórico de estos, se observa una gran diferencia entre la forma empleada por las culturas occidentales que desde platón y Aristóteles, pasando por santo Tomás y Descartes, hasta Russell y Popper se han caracterizado por su enfoque sistemático con datos y entornos de tendencia estática.

En cambio las culturas orientales, apoyadas por autores de pensamiento moderno y enfoque sistémico, tales como: Michael Polanyi. Peter Drucker y Peter Sengle, entre otros y lideradas por Japón y autores, tales como Ikujiro Nokada e Hirotaca

Takeuchi, trabajan con datos y entornos dinámicos, lo cual ha sido la base de la producción de conocimientos y la asimilación de cambios en forma permanente y sostenida.

Obviamente la experticia de los autores japoneses, les llevo a establecer cuatro modos de producir conocimiento a partir de la relación entre lo tácito y lo explícito a saber: 1. El modo de la socialización, que consiste en la relación tácito a tácito para producir el conocimiento llamado simpático, al compartir experiencias, documentos y tradiciones. 2. Modo de la combinación, que consiste en la relación tácito a explicito para producir el conocimiento llamado de sistemas, al integrar diferentes fuentes para la estructuración de categorías interrelacionadas, Interdependientes e interactivas. 3. la externalización, que consiste en la relación tácito a explicito para producir el conocimiento llamado conceptual, al explicitar o hacer tangible lo implícito de la mente humana a través de productos, modelos, analogías, hipótesis y conceptos. 4. la internalización, que consiste en la relación explicito a tácito para producir el conocimiento llamado operacional, que se produce mediante el aprender haciendo, siguiendo instrucciones o prácticas de trabajo.

II. QUE ES Y DONDE ESTA LA TECNOLOGÍA

2.1 La tecnología se puede concebir como el conjunto de conocimientos y capacidades (habilidades y destrezas) y saberes necesarios para la producción de un bien o la prestación de un servicio, es decir que la tecnología independientemente de su grado de desarrollo, es el valor agregado vital que se le incorpora a un recurso natural para transformarlo en un producto intermedio o en un producto final.

En todos los casos, la tecnología es considerada como un patrimonio en el cual se invierte con el único propósito de agregar valor, ya sea este en términos de calidad, precisión, diseño, gestión, agrado, desarrollo o simple automatización para que el ser humano pueda alejarse del trabajo sin tener que suspenderlo.

2.2 En concordancia con las categorías del conocimiento empleado a las tecnologías se les denomina incorporadas y desincorporadas, además se convierten en un producto que se puede conseguir con diferentes proveedores, a diferentes precios y a través de diferentes formas de contratación.

Son tecnologías desincorporadas las tecnologías llamadas del conocimiento explicito del know how, es decir que se pueden conseguir en libros, cursos, planos, formulas, manuales de producción, de calidad, de mantenimiento, de capacitación, software, etc. y que para su uso se requiere de un contrato de licencia.

3 Ibid 1, p. 52.

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Las tecnologías incorporadas en personas son las tecnologías llamadas del conocimiento tácito del know how, es decir que se pueden conseguir mediante la contratación por asistencia técnica de los individuos que las poseen para que diseñen, capaciten. Construyan, administren, gerencien, asesoren, den consultaría o cualquier otra forma de transferirla.

Otras tecnologías son las incorporadas o embebidas en máquinas, equipos, materiales y productos intermedios que para adquirirlas se requiere de contratos de compra.

2.3. La tecnología puede ser dura o blanda, según se conciba el entorno donde se vaya a aplicar, el grado de fidelidad y estabilidad requerida para los datos y la información empleada, el nivel de actualización del conocimiento por emplear y la forma de almacenamiento del conocimiento que se presente, por ejemplo:

“Los materiales, equipos, software, procesos para producir, concretamente los bienes y servicios da origen al concepto de tecnología dura”.4 Es decir, la tecnología dura es la que se encuentra incorporada como sistema cerrado y enfoque sistemático.

“Organización y gestión, recurso humano, conocimiento especializado, sistemas de información, propiedad industrial e intelectual.”5 Es decir, es la tecnología que se encuentra incorporada en sistema abierto y enfoque sistémico, por lo general en el cerebro del ser humano y que cambia en función de los cambios del medio externo a él.

2.4. La tecnología se puede empaquetar para explotarla como un desarrollo empresarial e industrial, registrarla, comprarla, venderla, arrendarla, franquiciarla o innovarla según sea el caso.

Un paquete tecnológico básico, para su explotación, consta de las informaciones, conocimientos y saberes necesarios para crear valor agregado en términos de: Diseño del producto, diseño del proceso, diseño de la operación, diseño del equipo, formas de relación con los proveedores, formas de comercialización, formas de contratación, mantenimiento y retiro del talento humano, licenciamiento de patentes, normas de calidad, seguridad y protección del medio ambiente entre otros aspectos que se consideren necesarios.

2.5. La tecnología es una de las más grandes expresiones de la creatividad y recursividad del ser humano, no obstante en la sociedad actual no solamente representa esa expresión, sino que se ha convertido en un producto que se produce y se comercializa como cualquier otro producto, es decir, se considera como una mercancía que se puede adquirir o vender como capital de trabajo o como insumo para agregar valor a los productos, ya sean bienes o servicios, incidiendo directamente en el nivel y calidad de vida de los humanos.

Por consiguiente la tecnología presenta unas características particulares, tales como: su dinámica del cambio, su efecto

multiplicador, su naturaleza social y económica y su condición de medio diferenciador entre las personas y empresas que tienen acceso a ella y las que no lo tienen, porque esta diferencia se convierte en factor de supremacía y competitividad.

III. LA EMPRESA UN SISTEMA INTEGRADOR

3.1. Al estudiar el desarrollo histórico de las empresas, se pude observar que independientemente de la tipología, el sector en el que se desempeñe, el tipo de producto que sea su negocio, el margen de utilidad que obtenga y otros aspectos que las diferencian entre sí, hay algo en común en ellas que les da su identidad como empresas y que todas conscientes o no lo manejan con mayor o menor grado de conocimiento y habilidad, esto es la integración, en un modelo mental, de las siguientes variables: ideas, dinero, capacidad de gestión, capacidad de riesgo y capacidad de ser legal.

Sin lugar a duda, el punto de partida empresarial son las ideas que sean negocio, es decir explotar un determinado conjunto de informaciones, conocimientos y saberes, incorporados o desincorporados, constituidos y registrados como paquete tecnológico o no, pero en todo caso considerándolos un valor agregado para obtener un producto, que satisfaga necesidades ajenas y cobrar por ello.

Por lo tanto, las demás variables son indispensables para lograr el producto y alcanzar el éxito, por ejemplo el dinero como recurso de inversión, la capacidad de gestión como recurso para incorporar y desarrollar los factores de producción en forma guiada bajo condiciones de dirección y control, la capacidad de riesgo para asumir los riesgos inherentes a las actividades que se emprenden y a la reacción frente a las situaciones adversas derivadas del entorno y la capacidad de ser legal para exigir sus derechos y cumplir sus deberes normativos y de responsabilidad social, como empresario responsable de cara a un determinado contexto.

3,2, Sin embargo, ser emprendedor implica aferrarse a sus ideales y luchar por ellos, razón por la cual ADAM SMITH – 1750, demostró la incidencia del egoísmo en la producción, valor y distribución de los bienes y servicios, para lo cual propuso: a) la división del trabajo en función de la extensión del mercado; b) la determinación del valor en función del uso y utilidad del producto y de la capacidad de cambio que dichos productos generasen para obtener otros bienes, siendo esta última capacidad la resultante del trabajo (valor agregado) que lleva incorporado el producto.

También propuso el señor SMITH, la intervención del estado como una instancia previsora y prudente para regular

4 BID-SECAB-SINDA. Gestión tecnológica en la empresa. Colección ciencia y tecnología. Santiago de Chile. 1990; p.134.

5 Ibíd.4, p.134.

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las relaciones de competencia que de allí se iban a generar y el mantenimiento de la libertad individual para desarrollar empresa y competir, señalando como contraprestación al estado lo que llamó la teoría liberal de la tributación.

Transcurrieron 182 años de desarrollo empresarial regidos por las teorías de SMITH, desde luego ajustadas y normadas por sus sucesores en esta temática, hasta que en 1932 el economista austriaco JOSE F. ALOIS SCHUMPENTER, siendo profesor de la Universidad de Harvard, inició el análisis histórico de la economía y del desarrollo empresarial, fundamentado en la importancia de la innovación y en el papel del empresario, resultados que publicó en 1954.

Son bastantes los aportes de SCHUMPETER, pero los más significativos fueron: la interpretación de la dinámica de la economía política del capitalismo con respecto al desarrollo empresarial y b) dos momentos del sistema económico para hacer nuevas empresas.

El primero y más antiguo momento, hace referencia al capitalismo competitivo, basado en el supuesto de situaciones económicas estables a las cuales se les provoca ruptura desde dentro de la empresa mediante innovaciones en los productos, en los procesos, en las formas de mercadear, en las formas de aprovisionarse de materias primas y en la organización de nuevas empresas, donde la competencia está fundamentalmente basada en la innovación y la creación de nuevas empresas.

En este caso el empresario requiere para introducir sus innovaciones, del crédito otorgado por los bancos.

El segundo momento está referido al capitalismo fiduciario o monopólico, basado en el supuesto de la inestabilidad económica, con lo cual las innovaciones que en el capitalismo competitivo eran llevadas a cabo a través de nuevas empresas, en el capitalismo fiduciario son llevadas a cabo a través de la misma empresa, con lo cual se convierten en grandes empresas que pueden acumular beneficios excesivos, con los cuales autofinancian sus propias innovaciones y la competencia se presenta entre grandes empresas a través de las innovaciones y los precios

Este momento del capitalismo se caracteriza por: a) el poder del monopolio en función de las innovaciones, b) la gran desventaja entre empresas grandes y pequeñas para innovar y financiar el desarrollo de estas innovaciones, c) clara separación entre la gestión y la propiedad de las empresas y d) la autofinanciación. Estas diferencias se convirtieron en ventajas comparativas y competitivas en función del tamaño de la empresa, que asociadas al desarrollo de la tecnología y la importancia de la información, consolidaron los grandes monopolios y en aquellos países donde se declaró protección estatal se consolidaron los grandes oligopolios.

De otra parte, los anteriores modelos basados en el egoísmo humano y el capitalismo, fueron cuestionados por el pensador

y político Alemán Carlos Marx, desde la mitad del siglo XVIII, quien desarrolló toda una corriente de la economía política del socialismo, basada en el humanismo socializante y cuyo objeto central consistía en liberar al hombre de la explotación, la represión y la alienación.

El modelo de Marx considera que el modo de la producción material, condiciona los procesos y fenómenos de la conducta social, política y espiritual de las empresas y con ello la de la sociedad en general.

No obstante, Marx consideró la dinámica de las relaciones sociales como un medio comunitario, para transformar el mundo a través de la dialéctica y el pensamiento universal.

3.3. A partir de estas corrientes la estructura económica de la sociedad ha sido soportada sobre dos grandes modelos a saber:

El primero llamado economía de mercado, basado en el economicismo y la libre competencia, y El segundo llamado economía de estado, basado en el racionalismo y la reglamentación oficial.

Sin embargo, éstos modelos polarizantes generaron grandes antagonismos, que asociados a la evolución del pensamiento comercial y a la búsqueda del bien común, antes que el enriquecimiento individual, conllevó que a partir de la segunda guerra mundial se gestara un nuevo pensamiento de la corporación moderna, basado en la institución espiritual y la responsabilidad social de las compañías, dando origen al desarrollo de nuevos pensamientos filosóficos con respecto a las empresas.

Vale la pena señalar, que el racionalismo y el economicismo son las características esenciales de la cultura empresarial del modernismo, representados el primero en el estado y el poder y el segundo en el mercado y el dinero, lo cual conlleva a grandes contradicciones sociales que afectaron el sistema empresarial.

3.4. Más adelante con la aparición de las leyes antimonopolio y antidumping se restablecieron condiciones para fomentar la creación de nuevas empresas y competir en forma leal, además se celebraron acuerdos y tratados de comercio internacional que facilitaron el desarrollo de un tercer momento llamado, la globalización de la economía, modelo basado en el paradigma de la teoría general de sistema, propuesto por el alemán Von Bertalanffy, donde la economía es un sistema integrado, abierto, dinámico, con valores para superar el egoísmo y de cambio permanente. En este modelo no se consideran ciclos económicos, sino una evolución económica permanente y el desarrollo empresarial implica la integración geopolítica y la utilización interactiva de: la sociología, la sicología, la ingeniería, la economía, la filosofía, la ecología y otras áreas del conocimiento que constituyen la integralidad de los seres humanos, como fundamento para desarrollar la capacidad

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de compromiso, el espíritu de empresa y la autonomía como una expresión de la libertad responsable en forma individual y colectiva.

Con éste nuevo paradigma, las empresas se constituyen en sistemas de conducta humana, como factor determinante de la competitividad de las mismas, que asociado a estrategias de gestión tecnológica, basadas en la producción y comercialización del conocimiento, permiten crear y mantener ventajas competitivas en el largo plazo, independientemente de que sean empresas privadas o del estado.

3.5. Sin lugar a dudas, los grandes avances de la economía mundial hacia la globalización del mercado, el acelerado cambio tecnológico y el desarrollo de las habilidades gerenciales inciden en las modificaciones sobre el origen de las ventajas comparativas y competitivas que tienen los diferentes pai’ses y las diferentes empresas para sobrevivir, competir y desarrollarse.

Por ejemplo; anteriormente las ventajas comparativas y competitivas provenían casi exclusivamente de los recursos naturales, de la mano de obra barata y de la protección gubernamental en cada Pals. Actualmente estas ventajas provienen de los recursos naturales, el valor agregado o tecnología y la capacidad de buen servicio.

Estos tres últimos factores se han constituido en los fundamentos primordiales de los llamados bloques económicos mundiales, tal como el constituido por los Estados Unidos, Canadá y México, donde al interior aliaron los factores para su fortalecimiento y asi’ poder penetrar en otros mercados de orden mundial con la venta, no solamente de sus productos finales, sino con la venta de su tecnología ya sea esta incorporada en maquinaria, productos intermedios, o personas o desincorporada tal como libros, revistas, software, patentes, know how, programas de formación, etc.

Este fenómeno ha determinado que los pai’ses desarrollados se caractericen por la alta producción, uso y venta de tecnología y que la transfieran a otros menos desarrollados con el compromiso o no’ de comprarle parte de los productos finales que se obtengan como superávit productivo, constituyéndose asi’ la transferencia de tecnología en un importante factor de la apertura económica, la reestructuración industrial, la internacionalización de los mercados y porqué no decirlo, en el recurso salvador o en el verdugo del sistema empresarial.

3.6. La gerencia le ha dado gran importancia a la tecnología, porque se ha convertido en un recurso vital para que la empresa pueda sobrevivir y además mejorar su capacidad de competencia, lo cual llevo a crear la gerencia de tecnología como área especializada.

La gerencia de tecnología es prospectiva, diseña y propone múltiples escenarios visionarios, para futuros posibles y futuros deseables, tanto empresariales como sociales.

También es estratégica, porque el orden de prioridades para conseguir o desarrollar la tecnología obedece a las oportunidades y amenazas que le ofrece el medio externo y a la confrontación de estas con las debilidades y fortalezas que se tienen en el medio interno a la empresa, es decir, debe ser producto de un análisis estratégico con base en el perfil tecnológico actual de cada empresa y el perfil necesario para el desarrollo que se quiera lograr.

De otra parte, toda consideración tecnológica de la gerencia, implica una o más consideraciones políticas, para que al tomar decisiones sobre el uso o no’ de tecnologías cada vez más desarrolladas, se tenga en cuenta las implicaciones sobre aspectos sociales, educativos y financieros.

CONCLUSIONES

La innovación, la efectividad operativa y las ventajas competitivas, son las principales características de riqueza por valor agregado, que el conocimiento y la tecnología le incorporan a las empresas.

Las empresas exitosas, son aquellas que definen su negocio como el uso del conocimiento y la tecnología de que disponen para ofrecerle soluciones novedosas a sus clientes.

El capital humano se refiere al conocimiento tácito y explícito, que es útil para la empresa y que lo poseen las personas que la conforman. .

La tecnología es uno de los componentes clave para las empresas, porque además de integrar los conocimientos y saberes necesarios para la innovación y la calidad los convierte en determinantes de la competitividad.

Es evidente, que entre más claridad conceptual se tenga sobre el conocimiento, la tecnología y la empresa y de sus diferentes formas de relación, mayor será el grado de acierto para que los proyectos empresariales sean exitosos.

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os sistemas de ingeniería asistida por computador no son propiamente herramientas de diseño. Estos pueden ayudar a integrar el proceso completo de ingeniería

desde el diseño conceptual del producto hasta los programas que utilizan las máquinas para fabricar un producto.

Los sistemas CAE (Computer Aided Engineering) son herramientas que le permiten al usuario interactuar con el computador en donde se encuentra la información tanto para el diseño Asistido por Computador CAD como a la manufactura asistida por computador CAM. Un sistema CAE ofrece varias ventajas al diseñador, puede incrementar la productividad del diseño, es mas eficiente que otras herramientas, los diseños pueden hacerse y cambiarse fácilmente mas rápidamente, el resultado tiene mejor calidad, y se evita la necesidad de fabricar y probar prototipos de nuevos diseños cada vez que se introduzca un cambio.

La tendencia fundamental en el desarrollo de las herramientas CAE es la integración de las tecnologías de software y hardware en sistemas complejos para el análisis de diseño e ingeniería de una pieza. La clave para lograr un sistema de ingeniería integrado es la creación de un modelo.

Un modelo matemático es la representación de un sistema mediante ecuaciones o relaciones. Estas ecuaciones representan el comportamiento de máquinas y procesos y permiten predecir el funcionamiento de los mismos, y se pueden optimizar desde el punto de vista técnico y económico.

L

Resumen:El presente artículo, describe la utilización de varias herramientas de software, que forman una plataforma útil para la

programación de movimientos de sistemas mecánicos. Se muestra como a partir del dibujo de un mecanismo, se puede generar una simulación dinámica de sus movimientos para cumplir con una determinada tarea. Finalmente, los movimientos pueden apreciarse a través de una animación en un entorno 3D con la ayuda de herramientas de realidad virtual. Para mostrar la utilidad de la plataforma se tomó como ejemplo la programación de movimientos de un manipulador industrial tipo PUMA.

Palabras clave: CAD, CAE, Manipulador, Modelamiento Numérico, Simulación, VRML, XML.

INTRODUCCIÓN

PLATAFORMA INTERACTIVA PARA LA PROGRAMACIÓN DE MOVIMIENTOS DE SISTEMAS MECÁNICOS

HURTADO C. LUINI L.*PRIETO G. HOLMAN F.**

VELANDIA A. HERNEY A.***

Los modelos, permiten al usuario la concepción de otros aspectos de ingeniería después de obtener el diseño básico. Los ingenieros pueden usar el modelo creado, que junto con la información sobre materiales y herramientas analíticas, se evalúan la funcionalidad y fabricabilidad de los diseños. Estos pueden incluir análisis mecánico y cinemático de esfuerzos, rigidez, estabilidad y comportamiento térmico, entre otros.

* Recibió su título de Magíster en Ingeniería en Automatización Industrial de la Universidad Nacional de Colombia en el año 2005, es profesor de la Facultad de Ingeniería de la Universidad Autónoma de Colombia. Sus áreas de trabajo son el Control de Procesos y la Robótica Industrial. Actualmente adelanta estudios de Doctorado en Automática y Robótica, en la Universidad Politécnica de Cataluña, Barcelona España.

** Recibió su título de Ingeniero Electromecánico de la Universidad Autónoma de Colombia en el año 2006, actualmente se encuentra realizando estudios de Especialización en Automática e Informática Industrial y forma parte del Grupo de Investigación en Automática de la misma Universidad. Sus áreas de trabajo son la Automática y la Robótica.

*** Recibió su título de Ingeniero Electromecánico de la Universidad Autónoma de Colombia en el año 2006, actualmente se encuentra realizando estudios de Especialización en Automática e Informática Industrial y forma parte del Grupo de Investigación en Automática de la misma Universidad. Sus áreas de trabajo son la Automática y la Robótica.

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Adicionalmente, la simulación matemática consiste en experimentar con los modelos generados mediante el modelamiento numérico, asignando valores de variables de entrada y observando los valores de la salida. Simular es resolver un modelo, usualmente mediante procedimientos matemáticos de manera que se pueda encontrar una respuesta del sistema cuando se introducen estímulos al mismo.

Desde el punto de vista técnico, para un ingeniero es de fácil comprensión una simulación en un programa de modelamiento numérico, pero para un aprendiz se torna un poco confusa. Una forma de tener una mejor apreciación de una simulación hoy en día, es el uso de la realidad virtual.

El realismo virtual es la simulación de ambientes en tres dimensiones generados en un computador, que son presentados en tiempo real de acuerdo con la necesidad del usuario. Una imagen virtual ofrece una percepción de un mundo o de una estructura, con los cuales es posible interactuar para proporcionar a nuestros sentidos un espacio de acción. La interacción es la capacidad que tiene el usuario de manipular objetos que se encuentran en el mundo en el que está inmerso. Esas imágenes virtuales pueden representar un mundo real o imaginario que incorpora o ignora las leyes físicas; el espacio está disponible para ser abordado de acuerdo al deseo del movimiento del usuario quien actúa como un cursor que puede navegar en tres dimensiones en tiempo real.

Éste artículo muestra la forma en que se han integrado herramientas informáticas de diseño, modelamiento numérico y realidad virtual como un sistema CAE que servirán de soporte al ingeniero en trabajos futuros.

Manipuladores Industriales

Un manipulador industrial convencional es una cadena cinemática abierta formada por un conjunto de eslabones o elementos de la cadena interrelacionados mediante articulaciones o pares cinemáticos, las articulaciones permiten el movimiento relativo entre los eslabones sucesivos.

Podemos clasificar los manipuladores industriales por su configuración cinemática, de la siguiente manera:

1) Configuración cartesiana: El manipulador cartesiano está formado por tres articulaciones de tipo prismático (1 grado de libertad) compuestas según tres ejes cartesianos ortonormales entres si. También son usuales los manipuladores cartesianos de dos grados de libertad (2GDL). Estos manipuladores son adecuados en aplicaciones en las que son necesarios movimientos de tipo lineal y grandes longitudes.

2) Configuración cilíndrica: Esta configuración tiene dos articulaciones prismáticas y una de rotación, generalmente la primera. La posición se especifica de forma natural en

coordenadas cilíndricas. Esta configuración es útil en células flexibles para servir a diversas máquinas ubicadas a su alrededor.

3) Configuración esférica o polar: Esta configuración se caracteriza por dos articulaciones de rotación (las dos primeras) perpendiculares entre si y una prismática (la final) con el eje de la articulación perpendicular a las dos primeras. Esta configuración permite abarcar un gran volumen de trabajo.

4) Configuración SCARA (Selective Compliance Assembly Robot Arm): Está constituida por dos articulaciones de rotación con respecto a dos ejes paralelos, y una de desplazamiento en sentido perpendicular al plano. Los manipuladores con ésta configuración son muy empleados en operaciones de coger y colocar, ensamblado, etc. que requieren movimientos rápidos y precisos.

5) Configuración angular: Esta configuración es una estructura con tres articulaciones de rotación, la posición del extremo final se especifica en coordenadas angulares. Se caracterizan por la facilidad de realizar trayectorias complejas, presentan alta maniobrabilidad y accesibilidad a zonas con obstáculos.

Para probar la versatilidad de la plataforma se utilizó un manipulador de configuración angular, mas conocido como PUMA (Programmable Universal Machine for Assembly) que posee cuatro grados de libertad (fig. 1), para efectos de simplificación solo se tomaron en cuenta 3.

Diseño del Manipulador en un Programa CAD

Para un proceso de manipulación de objetos, el manipulador seleccionado se diseñó en un programa CAD (Computer Aided Design). Para esta aplicación es necesario tener certeza de los movimientos que se deben realizar para evitar posibles colisiones y para optimizar las trayectorias seguidas por cada articulación.

Fig. 1. Manipulador PUMA de cuatro grados de libertad.

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El programa CAD utilizado para este trabajo es SolidWorks®, en él es posible asignar los valores de los parámetros de un sistema mecánico, como, masas, volúmenes, momentos de inercia, centros de gravedad entre otros, a partir de la información de los materiales como se muestra en la (tabla I), y de acuerdo con el despiece del mecanismo (fig. 2).

Por ejemplo, para la pieza número 1 (Base), se tienen los siguientes parámetros físicos:

Masa = 4.1605 kgs.Volumen = 1540955.56 mm3Área de superficie = 297537.76 mm2Centro de masa: X = 20.76 mm.Y = 19.08 mm.Z = 0.00 mm.

TABLA I. LISTA DE PIEZA Y MATERIALES DE MANIPULADOR

Fig. 2. Despiece del manipulador.

No. DESCRIPCIÓN MATERIAL

1 Base Aluminio 1350

2 Tapa de la base Aluminio 1350

3 Acople entre eje principal y antebrazo Aluminio 1350

4 Eje principal de giro Acero AISI 1020

5 Eje de giro del antebrazo Acero AISI 1020

6 Tapa lateral del antebrazo Aluminio 1060

7 Cuerpo del antebrazo Aluminio 1060

8 Tapa lateral del antebrazo Aluminio 1060

9 Tapa lateral del brazo Aluminio 1060

10 Cuerpo del brazo Aluminio 1060

11 Tapa lateral del brazo Aluminio 1060

12 Eje de giro del brazo Acero AISI 1020

13 Pinza Aluminio 1060

Ejes y momentos principales de inercia, medidos desde el centro de masa (gr.x mm2):

Ix = (1.00, 0.01, 0.00) Px = 33459152.10Iy = (0.00, 0.00, -1.00) Py = 48489382.75Iz = (-0.01, 1.00, 0.00) Pz = 79236665.24

La tabla II, muestra los valores de parámetros físicos de las partes del mecanismo.

TABLA II. PROPIEDADES FÍSICAS DE LOS ELEMENTOS

NOMBRE MASA (Kg) VOLUMEN (m³) AREA (m²)

Base-1 4,16058 0,00154096 0,297538

Eje 1 31,02320 0,00392699 0,172788

Eje 2 3,27605 0,00041469 0,0439823

Eje 3 0,94931 0,000120166 0,0174358

Grid-2 3,27087 0,00114853 0,301403

Lamina1.2-1 5,26991 0,00195182 0,286909

Lamina1.3-1 6,64833 0,00246234 0,278372

Lamina1-1 6,65556 0,00246502 0,289571

Lamina2.1-1 3,84996 0,00142591 0,188641

Lamina2.2-1 2,55173 0,000945087 0,116173

Lamina2-1 2,51063 0,000929865 0,116772

Tapa-1 19,07310 0,00706412 0,600234

Te-1 11,061 0,00409668 0,384168

Transferencia del Diseño en CAD a un Programa de Modelamiento Numérico.

Una vez asignados los valores de los parámetros, es posible transferir el modelo en CAD a un programa de modelamiento numérico para ejecutar la simulación de los movimientos del mecanismo. Sin embargo, para transferir la información de los parámetros del sistema de un programa CAD a un programa de simulación, es necesario utilizar una interfaz XML (eXtensible Markup Lenguaje). XML es un formato que permite la lectura de datos a través de diferentes aplicaciones, y sirve para estructurar, almacenar e intercambiar información.

En ésta aplicación se utilizó la librería SimMechanics® de MATLAB®, y la interfaz XML fue CAD traslator (fig. 3), que viene incorporada en el paquete MATLAB® versión 7, mediante la ruta de acceso: MATLAB701\toolbox\ physmod\pmimport\standalone\SolidWorks\win32.

Fig. 3. Traductor que transforma el fichero de CAD en fichero XML.

CADPlataforma de ensambre

CADTraductor XML

88


El programa, busca automáticamente las carpetas de SolidWorks® y se instalan dentro. Al abrir SolidWorks® se debe activar la herramienta SimMechanics, (fig. 4).

Teniendo activado SimMechanics® en SolidWorks®, se pueden transferir los ensambles CAD, mediante los siguientes pasos: • Abrir el ensamble o pieza• En la barra de tareas, abrir la herramienta SimMechanics®• Configurar los valores de tolerancias.• Guardar el archivo con la extensión XML.

Fig. 4 Ventana de activación de SimMechanics® de MATLAB®.

PDMWorks 2005

SolidWorks 3D MeetingSolidWorks 2D EmuladorSimMechanics

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El fichero *.XML se importa a SimMechanics® utilizando el comando import_physmod(‘nombredelarchivo.xml’), se requiere una etapa posterior de edición, eliminación de bloques superfluos y adición de bloques de interés (actuadores, sensores, etc.).

Configuración del Manipulador en Simmechanics®

La librería SimMechanics® permite simular sistemas mecánicos. Los sistemas mecánicos se componen de cuerpos y articulaciones, además se pueden generar y monitorear los movimientos deseados. Una de las mayores ventajas de su uso, es que no se requiere de las ecuaciones diferenciales de movimiento, ni la escritura de un código de programación. SimMechanics® permite trabajar con diagramas de bloques para representar un sistema mecánico.

SimMechanics® posee cinco clases de bloques dentro de los cuales están: cuerpos (bodies), articulaciones (joints), accionamientos y restricciones (constraints & drivers), sensores y actuadores (sensor & actuators), y otras utilidades (utilities).

Los componentes fundamentales de un sistema mecánico son los cuerpos rígidos, que son definidos como puntos o cuerpos en el espacio que tienen masa. Los cuerpos pueden ser establecidos como ground, que se utiliza como referencia para articulaciones y cuerpos en movimiento o body, que sirve para representar un cuerpo rígido. Las articulaciones representan los grados de libertad que un cuerpo puede tener con respecto a otro.

Los bloques poseen dos terminales denominadas base (b) y follower (f ). La terminal b se conecta a la base o referencia sobre la cual se moverá el cuerpo, y en la terminal f se conectará el cuerpo que se moverá con respecto a su base.

Las restricciones y los accionamientos (Constrains & Drives) limitan el movimiento entre dos cuerpos, como la distancia, la velocidad, el ángulo, etc. Al igual que los actuadores, estos bloques tienen las dos terminales base y follower y se conectan de la misma manera. Los sensores permiten monitorear el movimiento de un cuerpo o de una articulación además, se pueden medir las fuerzas y torques; y los actuadores permiten suministrar fuerzas torques o movimientos a los cuerpos y articulaciones.

Tanto sensores como actuadores se pueden conectar a cuerpos, articulaciones, accionamientos y restricciones, una de las funciones importantes de los actuadores y los sensores es brindar una interfaz entre SimMechanics® y las demás herramientas de Simulink®.

Las utilidades, Son bloques extras de SimMechanics® para la creación de subsistemas y para la utilización de la realidad virtual.

Para el caso de nuestro manipulador se crea una división por bloques y por cada grado de libertad. El primer bloque es la base que se le asigno un punto fijo, el segundo bloque es la articulación entre la base y el brazo, en esta parte hay un grado de libertad, el tercer bloque es el brazo con su respectivo grado de libertad y el último es el brazo con el tercer grado de libertad, (fig. 5).

ANTEBRAZO

BRAZO

ARTICULACIONESENTRE BASE Y ANTEBRAZO

BASE

Fig. 5 Representación del manipulador por medio de bloques.

1) Base: En la fig. 6 se muestra el diagrama de bloques de la base después de importarlo del programa CAD y de agregarle los dos puertos de salida. Se aprecian cada una de las partes de la base y la articulación entre cada una de ellas.

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2) Articulación entre base y brazo: En la fig. 7 se muestra el diagrama de bloques de la articulación entre base y brazo después de importarlo del programa CAD y de agregarle los tres puertos de salida. El puerto numero 1 es la salida al brazo y el puerto 2 y 3 van conectados a la base.

Fig. 6. Diagrama de bloques de la base del manipulador.

3) Brazo: En la fig. 8 se muestra el diagrama de bloques del brazo después de importarlo del programa CAD y agregarle los tres puertos de salida. El puerto numero 1 va conectado a la articulación entre la base y brazo, el puerto numero 2 y 3 van conectados al antebrazo.

Fig. 7. Articulación entre la base y brazo del manipulador.

Fig. 8. Diagrama de bloques del antebrazo.

4) Antebrazo: En la fig. 9 se muestra el diagrama de bloques del antebrazo después de importarlo del programa CAD y de agregarle los dos puertos de salida. Estos dos puertos van conectados a la salida del brazo.

Simulación

Inicialmente se realizó una simulación del manipulador sin ningún actuador. Se aprecia, como el movimiento angular del sistema es armónico simple (fig. 10). En la parte izquierda de las figuras, se visualiza el movimiento del sistema mecánico del manipulador cuando se le incorporó un actuador y en la parte derecha se muestra la grafica de desplazamiento angular al cabo de 10 segundos.

Fig. 10. Movimiento angular de la unión en T sin actuador.

Fig. 9. Diagrama de bloques del antebrazo del manipulador.

Si sobre el extremo de cada articulación (antebrazo, brazo y unión en T) se instala un actuador alimentado con una señal tipo escalón o programada con un bloque de MATLAB®, permite visualizar la posición angular. Por ejemplo, al implementarle un actuador a la unión en T (figura 11) se generan cambios en su posición angular (figura 12). De la misma manera para el brazo (figuras 13 y 14) y para el antebrazo (figuras 15 y 16) respectivamente.

Fig. 11. Incorporación del actuador y sensor al actuador de la T.

90


Visualización De Movimientos Del Manipulador a Través de un VRML (Virtual Reality Modeling Language)

SimMechanics® de MATLAB® permite visualizar de forma clara los movimientos ejecutados por el manipulador, para ello se utiliza una herramienta de modelamiento virtual o VRML (Virtual Reality Modeling Language). VRML es un formato de archivo para describir objetos y mundos virtuales interactuando en 3D. Esta diseñado para ser utilizado en variedad de aplicaciones a través de Internet, intranet, y sistemas locales. Para esta aplicación se utilizo el V-Realm Builder®2, que se instala junto con MATLAB® 6.x y posterior.

Para crear el modelo del manipulador en V Realm Builder® se puede hacer mediante dos formas, la primera es creando el manipulador mediante piezas isométricas (cubos, esferas, pirámides, etc.) directamente dentro del programa, y la segunda, es importando el modelo de SimMechanics® a través de Simulink®, y guardando el ensamble final del manipulador con la extensión wrl, fig. 17.

Fig. 15. Articulación del antebrazo con actuador y sensor incorporados.

Fig. 16. Movimiento del manipulador con el actuador en el antebrazo.

Fig. 12. Movimiento angular de la unión en T con actuador.

Fig. 13. Articulación del brazo con actuador y sensor incorporados.

Fig. 14. Movimiento del manipulador con el actuador en el brazo.

Fig. 17. Manipulador en V Realm Builder®

Para enlazar los modelos en simulink a los entornos creados en V-Realm Builder® 2, MATLAB® dispone de la herramienta Virtual Reality Toolbox. En la figura 19 se muestra un diagrama de bloques de la interacción con el mundo virtual.

Fig. 18. Diagrama de bloques de la interacción entre simulink® y mundo virtual.

Para visualizar un determinado modelo de Simulink® en el visor de realidad virtual se utiliza el bloque VR sink, de la Virtual Reality Toolbox (fig. 19).

91

Para simular el manipulador en el V Realm Builder® se utiliza un sensor de cuerpo para cada articulación junto con un convertidor de rotación en formato matricial a realidad virtual el cual se encuentra en la librería SimMechanics® (utilities). En el VR sink se carga el modelo creado con anterioridad en VRML. El visor de realidad virtual se aprecia en la fig. 20.

Fig. 19. Visor de realidad virtual de la Librería Virtual Reality toolbox.

Fig. 20. Visor de Realidad Virtual V

Realm Builder®.

CONCLUSIONES

Los programas CAD actuales son de gran ayuda en el diseño de mecanismos y piezas, se les puede dar atributos de materiales, masas, centros de gravedad, momentos de inercia, entre otros. También es posible revisar el diseño del mecanismo y corregirlo rápidamente.

En los programas de modelamiento numérico no solo se realiza la simulación del sistema mecánico, sino que además es posible realizar el control de cada uno de los grados de libertad del mismo, también se puede modificar el ensamble y añadir más relaciones de posición entre las piezas.

La ventaja de utilizar programas de modelamiento numérico es que se evita el tedioso análisis matemático y en la mayoría de los casos se obtienen importantes deducciones de forma eficaz y rápida. Otra ventaja, es que su complejidad no aumenta a medida que se adicionan más grados de libertad.

La simulación en un programa de realidad virtual es de mejor comprensión para verificar una secuencia de movimientos de mecanismos de acuerdo con una programación previa.

Para realizar la visualización de los movimientos de sistemas mecánicos, es importante tener bien definidos los ejes de cada uno de los grados de libertad. Con esta aplicación se cumple con las características de un sistema CAE en cuanto a integración de tecnologías de software de Diseño, Modelamiento y Simulación numérica y virtual.

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92


93

l empleo de robots en la industria está orientado generalmente a tareas desarrolladas en ambientes altamente estructurados y que no requieren de mucha

precisión, tales como soldadura o pintura. La dificultad de programación y la incertidumbre geométrica limitan su aplicación a otras tareas más complejas.

Sin embargo, los robots se han ido incorporando progresivamente a la realización de operaciones de manufactura, en las que el manipulador interacciona ampliamente con objetos del entorno. Algunos ejemplos de este tipo de operaciones se pueden encontrar en tareas de ensamblado y montaje de piezas, mecanizado, taladrado, desbarbado, torneado, y rectificado, por citar algunos.

En todas estas tareas, el robot se mantiene en contacto con objetos del entorno, lo cual restringe de alguna manera su movimiento. Para su control es preciso incorporar al robot la posibilidad de captar esfuerzos para modificar movimientos previamente programados, adaptándose a las restricciones externas.

El empleo de mecanismos de percepción permite a un sistema obtener información sobre sí mismo y su entorno para dirigir o modificar su comportamiento de acuerdo con esta información. De esta forma, los sensores pueden clasificarse en dos categorías principales: sensores de estado interno, que proporcionan información de las variables propias del sistema y sensores de estado externo, cuyo objetivo es obtener información del ambiente que rodea al sistema.

Los robots inteligentes se caracterizan por un alto grado de autonomía y flexibilidad que se consigue solamente mediante

E

Resumen:Este trabajo presenta una propuesta de integración sensorial de configuración y fuerzas de reacción para identificación

de estados en tareas de ensamblado con manipuladores robóticos en presencia de incertidumbre. Esta propuesta se basa en la aplicación del algoritmo de clasificación difusa c-promedios difusos al conjunto de datos sensoriales.

Palabras claves: Clasificación difusa, integración sensorial, robótica.

INTRODUCCIÓN

INTEGRACIÓN SENSORIAL EN ROBÓTICA EMPLEANDO CLASIFICACIÓN DIFUSA

JORGE ALBERTO GARCÍA MUÑOZ*

el empleo de un conjunto de sensores que conforman un sistema multisensorial. No existe un sensor que por sí mismo sea capaz de obtener toda la información requerida por el robot para realizar una tarea compleja. En general, un solo sensor proporciona observaciones del ambiente limitadas, dispersas y generalmente con ruido. Por lo anterior, es necesaria la contribución de varios sensores para construir y actualizar un modelo robusto del entorno.

Un sistema multisensorial puede ser la simple suma de los diferentes sensores, cada uno de ellos tomando un tipo simple de información de alcance limitado y procesando esta información de manera independiente. No obstante, es evidente que la combinación de varios datos sensoriales proporciona una percepción más rica y confiable del ambiente que la evaluación independiente de algunos datos.

Se han desarrollado algunas propuestas para la automatización de tareas de ensamblado con robots. Sin embargo, casi todas enfrentan el mismo problema: la necesidad de identificar la situación de contactos actual a partir de la información sensorial.

* Nació en Torreón Coahuila, México el 14 de marzo de 1966. Recibió su grado de Doctor en Ciencias en Ingeniería Eléctrica en el Instituto Tecnológico de la Laguna, en Torreón, Coahuila, México en septiembre de 2004, y grado de Maestría en Ciencias en Ingeniería Eléctrica en la Universidad de Guanajuato, en la ciudad de Salamanca, Guanajuato, México en Agosto de 1997. Realizó una estancia de investigación en el Instituto de Organización y Control de Sistemas de la Universidad Politécnica de Cataluña en Barcelona, España de agosto de 1998 a Julio de 1999.

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La confiabilidad de las tareas de ensamblado con manipuladores robóticos es afectada por la incertidumbre.

El conocimiento de las fuerzas de reacción es complemento natural de la información de configuración geométrica en presencia de incertidumbre, ya que implican una restricción en el espacio de configuraciones del robot. Las técnicas de integración sensorial tienen como objetivo combinar la información de diversos sensores para construir y actualizar un modelo del entorno que permita alcanzar una meta determinada. En este trabajo se presenta una propuesta de integración sensorial, basada en técnicas de clasificación difusa, que utiliza el conocimiento de la configuración del robot y las fuerzas generalizadas de reacción, considerando la incertidumbre de modelado y sensado.

ESTADO DEL ARTE

Integración Sensorial

En la referencia [1] se hace una distinción entre integración multisensorial y fusión multisensorial. Para los autores, la integración se refiere al empleo sistemático de los datos proporcionados por múltiples dispositivos sensoriales, mientras que la fusión multisensorial es un caso particular de la integración en la cual los datos sensoriales de varias fuentes se combinan en un solo dato representativo. No obstante, los términos integración y fusión, aplicados a la información sensorial se toman generalmente como sinónimos.

Los primeros trabajos sobre técnicas de integración sensorial datan de la década de los ochenta. En la referencia [2] se analiza el empleo de sistemas multisensoriales en reconocimiento de patrones, y en la [3] se propone la Especificación de Sensores Lógicos como una metodología para organizar sistemas multisensoriales de manera que se consiga una integración correcta y adecuada de los datos. Desde entonces, se han propuesto una gran variedad de sistemas de integración sensorial basadas en pruebas de hipótesis mediante modelos Bayesianos, [4], matriz de distancias de confianza, [5], estimación mediante criterios de costo y desempeño, [6], estimación de costo mediante la teoría de decisión Bayesiana, [7] y mediante filtros de Kalman, [8]. La mayoría de estos sistemas están basados en técnicas estadísticas, por lo que los sensores trabajan adecuadamente en ambientes estáticos. Basañez [9] presenta una clasificación general de estos métodos.

Modelado de la Tarea

En ausencia de incertidumbre, la información sobre la configuración geométrica del manipulador es suficiente para planificar y ejecutar una tarea de ensamblado. Sin embargo, cuando la incertidumbre geométrica es relevante, esta información generalmente no es suficiente, aunque sigue siendo

fundamental. Algunas incertidumbres geométricas pueden modelarse e incluirse en el proceso de diseño de planificación de la tarea.

Las principales fuentes de incertidumbre geométrica en manipulación robótica son:

a) Tolerancias en la forma y tamaño de los objetos.b) Imprecisiones en la ubicación de los objetos en el espacio

de trabajo.c) Imprecisión en la posición y orientación del robot.d) Imprecisión en la posición del objeto dentro de la pinza del

robot.

Todas estas fuentes de incertidumbre se combinan en el espacio físico y determinan regiones de incertidumbre donde podrían ubicarse los vértices, bordes y caras de cada objeto.

El conocimiento de las fuerzas de reacción generalizadas es el complemento natural de la información de configuración geométrica en presencia de incertidumbre, ya que las fuerzas de reacción implican una restricción en el espacio de configuraciones del robot.

Como se muestra en la Figura 1, es posible determinar una situación de contacto en base a la observación de las fuerzas de reacción observadas. La dirección de una fuerza generalizada de reacción se ve afectada por las fuentes de incertidumbre geométrica y por las imprecisiones del sensor de fuerza/torque. La Figura 2 muestra 6 de las 12 posibles configuraciones de contacto en un plano entre un vástago cilíndrico y un orificio.

Fig. 1. Representación del elemento terminal del manipulador en una tarea de ensamblado. Se observa la ubicación de los sensores de fuerza/momento.

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Es posible asociar los datos de configuración geométrica con incertidumbre con los datos de las direcciones de las fuerzas generalizadas de reacción. Este conjunto conformará las características que determinan el estado actual de la tarea. La planificación de una tarea consistirá entonces en llegar al estado final, partiendo del estado actual percibido por los sensores y pasando por una serie de estados intermedios.

Para realizar eficazmente una tarea de ensamblado en presencia de incertidumbre, el manipulador deberá realizar una serie de movimientos tratando de acomodar las piezas para su correcto ensamble. Estos movimientos de acomodación estarán restringidos en el espacio por las fronteras entre los objetos, y serán determinados por el estado caracterizado por la información sensorial.

El empleo de técnicas de acomodación, ya sea pasiva o activa, permite realizar movimientos restringidos en presencia de incertidumbre mediante un mapeo de las fuerzas de reacción a movimientos de corrección.

Algunos trabajos recientes en cuanto a la identificación de contactos incluyen el empleo de redes neuronales para integración de fuerza y medidas de posición, Hovland [10], fusión de fuerza y visión mediante sistemas expertos, Thien [11], clasificación mediante reglas difusas de patrones de fuerza/torque obtenidos de los sensores [12], entre otras técnicas.

ANÁLISIS DE FUERZAS DE REACCIÓN

Representando una operación de ensamblado mediante la de inserción de un vástago cilíndrico sin chaflán en un orificio, se observan tres diferentes etapas: la etapa de aproximación, la de búsqueda y la de inserción.

La fase de aproximación consiste en el movimiento libre del manipulador, sin contacto con entidades de su ambiente, por lo

Fig. 2. Algunas configuraciones de contactos. Para tareas de ensamblado en un plano pueden observarse típicamente 12 configuraciones de contactos de las que se muestran 6.

que solamente requiere del control convencional de posición. La fase de búsqueda se inicia en cuanto se detecta una fuerza de reacción en la punta de la herramienta. Es durante esta fase que se toman medidas de fuerza y posición que permiten determinar el estado de la tarea.

La fase de inserción es la etapa final de la tarea de ensamblado, y matemáticamente, el aspecto más complejo de la operación.

En un ensamble planar, los contactos entre el vástago y el orificio tienen lugar en uno o dos puntos. El diagrama de cuerpo libre del plano Z-X para la configuración 5 mostrada en la Figura 2, se muestra en la Figura 3. Para un vástago cilíndrico y una tarea de ensamble tridimensional, puede obtenerse un diagrama similar para el plano Z-Y.

Suponiendo que los cuerpos son infinitamente rígidos y de masa despreciable, se tiene en equilibrio cuasi-estático para esta posición de dos contactos:

(1)

(2)

(3)

(4)

Combinando estas ecuaciones:

Para la configuración 3 de la Figura 2 se tiene:

96


donde uik es el valor de la i-ésima función de membresía para el k-ésimo dato xk, U∈Mfcn es una partición difusa c de X y el espacio Mfcn contiene todas las particiones difusas posibles para X;

El análisis geométrico para las configuraciones con un solo contacto es similar, sin embargo, algunas de estas configuraciones pueden quedar indeterminadas debido a la imposibilidad de ubicar con exactitud el punto de contacto. No obstante, presentan una característica común con la que es posible distinguirlas: su razón fuerza/momento es más grande que para las configuraciones de dos contactos.

C-Promedios Difusos

Consiste en un método de agrupación iterativo, que separa el conjunto de datos X ={x1, x2, . . ., xn} en c subconjuntos

z = {z1, z2, ..., zc} ∈ Rcp, con zi ∈ Rp, es el centro de la agrupación o prototipo de la i-ésima clase; dik = ||xk – zi||2. Empleando la función de distancia Euclidiana, m es un exponente de ponderación o exponente difuso tal que m (1, ∞) y afecta la difusividad de u.

difusos ui, donde ui(xk), es una función de membresía de xk en la clase i. Los valores ui(xk) son arreglados en una matriz U. El método consiste en minimizar la suma de la función cuadrada del error definida como:

Fig. 3. Análisis de fuerzas de la configuración de contactos número 5 de la figura 2. De manera similar se realiza el análisis de las otras configuraciones de contactos presentes en la realización de una tarea de ensamblado sencilla en un plano.

Fig. 4. Análisis de fuerzas de la configuración de contactos número 3 de la figura 2.

(5)

(8)

(7)

(6)

(9)

(10)

Este concepto de proximidad puede ser empleado para determinar los valores de membresía. Las funciones de membresía u1(.), u2(.)… se calculan mediante una relación de similaridad basada en la distancia entre las muestras xk y los prototipos zi.

Los valores de hi(.) están normalizados para cada muestra, de tal manera que:

Si no se conocen los prototipos de las clases con anticipación, se emplea un algoritmo de clasificación difusa para estimar las funciones de membresía y los prototipos. El objetivo es encontrar una matriz de partición difusa U* y un conjunto de prototipos z* que consigan minimizar Jm. Las condiciones necesarias para minimizar Jm se obtienen como se muestra en el apéndice (Höpner y col. [17]), y son:

(12)

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donde m ≥ 1 es el coeficiente que define el grado de difusividad de los conjuntos. Si m = 1 las fronteras entre clusters están bien definidas. A continuación se muestra el algoritmo escrito en pseudocódigo:

begin Establecer c, 2 ≤ c ≤ n; Elegir una norma métrica de producto interno para RP. Establecer m, 1 ≤ m ≤ ∞; Inicializar U ∈ Mfcn; for l := 0 step 1 until maxiter-1 do Calcular los centros de los c grupos {zi} con (12) y U; Utilizando (11) y {zi} obtener Unew; if || Unew- U||∞ ≤ ε then stop; U := Unew; endend.

Es posible utilizar otras funciones de distancia para obtener los grados de membresía. Una función típicamente empleada, además de la distancia Euclideana es la distancia de Mahalanobis, que se basa en la asunción de que las distribuciones de probabilidad siguen distribuciones normales multivariadas. Estas funciones de densidad describen hiper elipsoides para las cuales existe el lugar geométrico de los puntos cuya función de densidad es la misma y tienen un carácter normalizador de los datos.

PRUEBAS Y RESULTADOS

Se realizaron pruebas en simulación empleando las ecuaciones obtenidas del análisis de fuerzas y momentos presentado en el apartado 3.

Considerando una barra cilíndrica rígida e indeformable de 8 ± 0.040 cm de longitud por 2 ± 0.010 cm de diámetro a insertarse en un orificio de 2.2 ± 0.011 cm de diámetro, y un sensor de fuerza/torque con una incertidumbre del 10% del valor medido con un error en la orientación de la barra de 5° ± 1%, se tienen las gráficas que se muestran en las Figuras 5 y 6 para las configuraciones 1, 2, 4, 5 y 6 mostradas en la Figura 2. Para movimientos planares la ubicación del punto de referencia en el extremo del manipulador queda determinado por (xo, yo) con orientación θo.

La configuración 3 no se muestra en las Figuras 5 y 6, ya que puede diferenciarse con más facilidad, porque requiere que el ángulo θ sea mayor o igual a 24.6 grados con los datos mencionados anteriormente. Los puntos de momento, fuerza

(13)

y y ángulos α y θ para las configuraciones 1 y 2 son difíciles de separar, ya que las diferencias entre ellos son muy pequeñas, como se muestra en las Figuras 5 y 6.

La Tabla 1 muestra las coordenadas de los prototipos calculados por el algoritmo de clasificación.

Se realizaron pruebas utilizando como función objetivo la distancia de Mahalanobis para la identificación de estados, no obstante, bajo las condiciones que se mencionan, se observó un mejor comportamiento en las pruebas realizadas con la función de distancia Euclidiana.

TABLA IPROTOTIPOS PARA LAS CONFIGURACIONES

1-2, 4, 5 Y 6

1-2 -0.010177 0.0129° 4.9494°4 -0.005275 0.0150° 4.9182°5 -0.018863 0.0058° 4.7544°6 0.009997 0.0142° 4.9227°

Configuración M/F α θ

Fig. 5. Ubicación de datos en escala normalizada utilizando (a) distancia de Mahalanobis y (b) distancia Euclidiana.

(b)

(a)

98


CONCLUSIONES

En este trabajo se propone la aplicación del método de clasificación difusa fuzzy c-means para la identificación del estado de una tarea de manipulación utilizando la información sensorial de configuración y fuerzas generalizadas de reacción. En este caso, las características que identifican los diferentes estados de la tarea consisten del conjunto de datos sobre configuración geométrica y la información sensorial de las fuerzas/momentos generalizadas de reacción entre las dos entidades en contacto.

Para la adecuada clasificación de los datos, es recomendable que sus dimensiones sean similares en magnitud. En la Figura 5 se muestra una gráfica con valores normalizados de momento/fuerza y ángulos α y θ, sin embargo, se observa un mejor resultado multiplicado la relación Momento/Fuerza por 100, y se dividiendo el ángulo θ entre 3, como se muestra en la Figura 6. La elección adecuada de las escalas es importante para una mejor diferenciación en la clasificación de datos.

Fig. 6. Ubicación de datos en escala normalizada utilizando (a) distancia de Mahalanobis y (b) distancia Euclidiana.

(b)

(a)

La clasificación difusa de los datos permite modelar la incertidumbre geométrica y sensorial e identificar los estados de la tarea de una manera rápida y eficiente. Una ventaja respecto a los modelos Bayesianos, filtros de Kalman y demás análisis estadísticos reportados en la literatura, es su facilidad de adaptación en ambientes dinámicos y complejos. Por otra parte, el tiempo requerido para el entrenamiento inicial resulta ser menor que el requerido por una red neuronal para el mismo conjunto de datos. Los resultados obtenidos muestran que es posible aplicar esta metodología a tareas en tiempo real, simplificando el conjunto de características, con buenos resultados.

APÉNDICE

Prototipos de FCM: Sea p∈N, D:= Rp, X ={x1, x2, . . ., xn}

Si se minimiza J con respecto a todas las particiones de grupo posibles X→F(K) con K = {k1, k2, ..., kc}∈R y dadas las funciones de membresía f(xj)(ki) = ui,j by f: X→ F(K),entonces

con f:X→ F(K), m ∈ R>1 y

Prueba: La partición probabilística de grupo f: X→F(K) podría minimizar la función objetivo J. Entonces, todas las derivadas direccionales de J con respecto a ki ∈K, i ∈ R≤c son necesariamente 0. Por tanto, para toda ξ∈ Rp con t ∈ R

(2.1)

por tanto,

D, C:=Rp, c∈N, R:=Pc(C), J que corresponde a

99

REFERENCIAS

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100


101

n aspecto fundamental dentro del proceso de utilización de la energía eléctrica es el referente a la medición, pues con base en este, se realizan todas las transacciones

comerciales entre clientes y proveedores del producto.

Durante muchos años el concepto de potencia eléctrica se ha basado en la definición tradicional del producto de la tensión y la corriente por el coseno o el seno del ángulo entre ellas, para un sistema monofásico de una única frecuencia. Sin embargo, la introducción de nuevos tipos de cargas con comportamiento no lineal, ha ocasionado que tanto la tensión como la corriente tengan componentes de frecuencia distinta a la fundamental, lo cual origina potencias adicionales a la potencia nominal del sistema. Así mismo la medición de potencia y energía en un sistema trifásico debe evaluarse considerando el sistema trifásico como único y no como la combinación de tres sistemas monofásicos independientes, como usualmente se hace.

U

Resumen:La aplicación equivocada de algunos conceptos de poder tanto en el sistema de tres fases como la solo-fase, genere los errores en la estimación de poder y la energía eléctrica. Por ejemplo: “ Considerar que todos los poderes del sistema de las tres fases (activo, reactivo y claro) se obtiene como la suma de los poderes de tres sistemas de una sola fase. “ Registrar esos signos de voltaje y corriente inadecuadamente, y, “ el efecto desconocido del armónico y las cargas que desequilibraron la medida de energía.” el efecto desconocido del armónico y las cargas desequilibraron en la medida de energía. En el orden a, en este papel es hecho una revisión de los conceptos de poder, los modelos establecidos por varios autores incluso la propuesta que IEEE Std1459 y los resultados obtuvieron en la simulación que ellos se contrastaron con los modelos diferentes para las condiciones diferentes de carga. Adicionalmente, se analiza los algoritmos usados por cuatro metros digitales de energía eléctrica de uso comercial en Colombia, ellos se comparan con las propuestas antes menciondas y ellos eran determinados los posibles errores generados en la medida de poder y la energía eléctrica debido a harmonicos, desequilibrado los sistemas de tres fases y la conexión de dos elementos al de una sola fase.

Palabras clave: Armónicos, desbalance, calidad de potencia, conexión Aron, factor de potencia, medición digital, potencia activa, potencia no activa, potencia aparente, IEEE Std 1459.

I. INTRODUCCIÓN

ANÁLISIS DE LA MEDICIÓN DE POTENCIA Y ENERGÍA ELÉCTRICA EN CONTADORES DIGITALES EN DISTINTAS FORMAS DE CONEXIÓN, BAJO EL EFECTO DE ARMÓNICOS Y CARGAS DESBALANCEADAS

GABRIEL ORDOÑEZ PLATA*CÉSAR DUARTE G.**

ADÁN BAUTISTA M.***

* Ingeniero Electricista UIS 1985, Distinción Cum Laude; Especialista Universitario en Técnicas de Investigación Tecnológica UPCO 1993, Doctor Ingeniero Industrial UPCO 1993, Madrid (España) 1993. Profesor Titular de la Escuela de Ingeniería Eléctrica, Electrónica y Telecomunicaciones Universidad Industrial de Santander (UIS). Director Grupo de Investigación en Sistemas de Energía Eléctrica GISEL. Miembro IEEE. Áreas de trabajo: Tratamiento de señales, mediciones eléctricas, calidad del servicio, gestión tecnológica y formación basada en competencias. E-mail: [email protected].

** Ingeniero Electricista UIS 1998, Magíster en Potencia Eléctrica UIS 2000, Bucaramanga, Colombia. Profesor Asistente de la Escuela de Ingeniería Eléctrica, Electrónica y Telecomunicaciones Universidad Industrial de Santander (UIS). Investigador grupo GISEL. Áreas de Trabajo: Tratamiento de

102


señales, calidad del servicio de energía eléctrica y formación basada en competencias. E-mail: [email protected].

*** Ingeniero Electricista UN Bogotá 1993, Especialista en Automatización Industrial UPTC Sogamoso 1999, Estudiante de Maestría en Ingeniería Eléctrica UIS Bucaramanga, Profesor Auxiliar Escuela de Ingeniería Electromecánica Universidad Pedagógica y Tecnológica de Colombia, Seccional Duitama. Investigador grupos GISEL y GEANT. Miembro estudiante IEEE. Areas de trabajo: Mediciones eléctricas, Calidad del servicio de energía eléctrica y uso racional de la Energía. Email: [email protected].

El resultado final de la medición también puede estar afectado por la inadecuada adquisición de los datos de tensión y corriente, por ejemplo, cuando se utiliza la conexión Aron para medir potencia trifásica, pues aunque dicha conexión funciona sin problemas para estimar la potencia activa, puede llevar a errores mayores a los especificados en la clase del equipo cuando se miden la potencia no activa y la potencia aparente.

Los anteriores errores se traducen en pérdidas de tipo financiero para las empresas del sector, pues dada la actual infraestructura del sistema eléctrico, a una empresa comercializadora, le pueden estar facturando correctamente la energía que compra, pero ésta a su vez, puede estar facturando inadecuadamente la energía que vende, especialmente la no activa. Lo anterior amerita una revisión detallada de factores asociados con el tipo de carga, el sistema de adquisición de datos y los aparatos de medición, con el fin de garantizar que se cumplan las condiciones de equidad en el mercado de energía eléctrica tanto para el oferente del servicio como para el cliente.

Términos como potencia instantánea, potencia activa, potencia reactiva, potencia aparente y factor de potencia han sido ampliamente debatidos, y gran parte del desarrollo de equipos de medición de energía eléctrica se basa en la estimación de estos parámetros. Sin embargo, la mayoría de los equipos de medición de potencia y energía (analógicos o digitales) han sido diseñados para funcionar bajo condiciones senoidales y simétricas en sistemas trifásicos balanceados.

En el presente artículo se plantean las fallas existentes en los algoritmos de medición de potencia y energía utilizados por algunos medidores digitales, así como el efecto de la conexión de dos elementos (en lugar de tres) utilizada en redes trifásicas trifilares. Para ello, se realizaron simulaciones y pruebas experimentales con los cuatro equipos de medición de energía eléctrica de mayor uso comercial en Colombia.

Inicialmente se presentan las definiciones básicas de potencia y se estudian los efectos de los armónicos y las asimetrías en la evaluación de la misma, analizando los algoritmos de estimación utilizados por los medidores digitales, para finalmente, establecer una comparación entre las magnitudes registradas por estos medidores y las obtenidas aplicando las propuestas de autores como Czarnecki [l], [2] y Emmanuel [3], [4], [5] y [6].

II. DEFINICIONES BÁSICAS DE POTENCIA EN RÉGIMEN SENOIDAL

Para analizar el efecto de las formas de onda de tensión y corriente sobre la estimación de la potencia, es necesario recordar algunas definiciones básicas:

Potencia instantánea

La potencia instantánea esta definida como el producto en el tiempo entre las señales de tensión y corriente:

(1)

La potencia instantánea cumple con el principio de conservación de la energía. En [7] se propone otra forma de definir la potencia instantánea teniendo en cuenta los efectos de la circulación de la corriente en los elementos pasivos: efecto Joule en los elementos resistivos y creación de campos electromagnéticos en los elementos que almacenan energía eléctrica. Independiente de la forma como se defina la potencia instantánea, su valor promedio, es decir la potencia activa, es igual en ambos casos. Así mismo el valor máximo de la potencia circulante en el sistema entre los elementos que almacenan energía y las fuentes de suministro de la misma, denominada potencia reactiva, es también igual.

A continuación se muestra el comportamiento de la potencia instantánea p(t) considerando que la tensión de suministro es senoidal y que la carga es una combinación de resistencia e inductancia.

Si la tensión instantánea es:

(2)

Y la carga lineal se caracteriza por:

(3)

Siendo G la conductancia y B la susceptancia, se tiene que debido a la linealidad de la carga, la característica de la onda de corriente también es senoidal pero escalada y desfasada en φ grados con respecto a la onda de tensión.

Para esta carga, la corriente i(t) será igual a:

Donde:

(4)

(5)

103

Es la componente de la corriente instantánea i(t) en fase con la onda de tensión, por ende asociada con el efecto Joule en la resistencia.

(6)

Es la componente de la corriente instantánea i(t) en cuadratura con la onda de tensión, originada por el desfase que introduce la carga. Ésta es la responsable del flujo cíclico de energía, por ello no produce trabajo.

Finalmente, la potencia instantánea se obtiene sumando los dos efectos, es decir:

(7)

Potencia activa

Es la potencia asociada con el trabajo útil realizado en un sistema, es decir, aquella que se transforma en potencia “no eléctrica”. Esta demanda de potencia está dada por el consumo en una resistencia debido al efecto Joule.

De forma matemática, la potencia activa corresponde al valor promedio de la potencia instantánea y su expresión para el caso senoidal es:

(8)

La componente Pa(t) de la potencia instantánea tiene un Valor medio igual a la potencia activa P y fluctúa entre 0 y 2P.

Potencia reactiva

Está determinada por la componente de la potencia instantánea que no se transforma en trabajo útil. Su origen está en la capacidad que tienen las inductancias y las capacitancias para almacenar energía mediante campos electromagnéticos. En situaciones senoidales, la potencia reactiva corresponde al valor pico de la componente Pr(t) de la potencia instantánea y está definida de la siguiente forma:

(9)

Una forma de medir la potencia reactiva1 con un instrumento de activa (promedio) es retardando la tensión 90 grados eléctricos y evaluando el promedio de la potencia instantánea, es decir:

(10)

(11)

Finalmente la potencia instantánea puede expresarse en función de la potencia activa y reactiva como:

(12)

Potencia aparente o de dimensionamiento

La potencia aparente “S” se define como el producto entre el valor eficaz de la onda de tensión (dimensionamiento del aislamiento del sistema) y el valor eficaz de la onda de corriente (dimensionamiento de la capacidad de transporte del sistema). Por lo tanto, indica el dimensionamiento que debe tener un sistema. Por ser un escalar, no proporciona información acerca de la dirección del flujo de energía.

Para el caso de un sistema a tensión constante y con señales de tensión y corriente senoidales, su expresión correspondiente es:

(13)

Como se observa, se debe dimensionar el sistema para transportar tanto la potencia activa como la reactiva, en consecuencia, si es posible compensar la reactiva de forma local en las cargas, se puede liberar capacidad de transporte2.

En términos de las tres potencias, la potencia instantánea se puede expresar como:

1 Solo cuando el régimen es sinusoidal puro.2 De forma adicional, se reducen el valor eficaz de

la corriente demandada por la carga y las pérdidas por transporte de energía.

De acuerdo con esta expresión, la potencia instantánea oscilará entre un valor máximo igual a P+S y un valor mínimo igual a P-S.

Factor de potencia

En 1920, W. V. Lyon [8] definió el factor de potencia como: “La razón entre la potencia consumida por una carga, sobre la potencia más grande que podría absorber cualquier carga con iguales valores eficaces de tensión y corriente.” Es decir que el factor de potencia corresponde a la razón entre la potencia que se transforma en trabajo útil (potencia activa) y la potencia para la cual se dimensiona el sistema (potencia aparente), por lo tanto, indica el grado de eficiencia con el cual opera un sistema de energía eléctrica. De forma matemática, está dado como:

(14)

FP (15)

rms rms rms rms

dt VI

VI

. dt VI

VI

90

VI

104


Sólo en caso que las señales de tensión y corriente sean senoidales, el factor de potencia se puede expresar como el coseno del ángulo entre la onda tensión y la onda corriente.

III. EVALUACIÓN DE LA POTENCIA EN SISTEMAS ELÉCTRICOS

La proliferación cada vez mayor de cargas no lineales y/o invariantes con el tiempo, exige que antes de analizar cualquier sistema eléctrico, se deba determinar si las señales de tensión y corriente, tienen forma senoidal o no senoidal. En el primer caso, se pueden aplicar las expresiones relacionadas en el numeral anterior, y en el segundo, es necesario verificar la probable existencia de señales armónicas que pueden dar origen a formas adicionales de potencia, tal como lo expuso Budeanu desde el año 1927. En el mismo sentido, Czarnecki en 1990 [1] planteó la existencia de cinco posibles componentes para la potencia en sistemas trifásicos: la activa, la reactiva, la generada, la de desbalance y la residual; y más recientemente con la propuesta 1459 de 2000, el IEEE plantea una forma alternativa para definir la potencia en sistemas eléctricos bajo condiciones senoidales, no senoidales, balanceadas o desbalanceadas. Teniendo en cuenta que la mayor parte de los actuales sistemas eléctricos están compuestos por cargas no lineales, a continuación se describen los modelos más representativos para la evaluación de la potencia. A. Modelo de Budeanu

Budeanu define las siguientes componentes para la potencia en un sistema monofásico no lineal:

1) Potencia de dimensionamiento: La potencia de dimensiona-miento o aparente (S), en presencia de armónicos, tendrá un valor mayor que si en el sistema sólo existieran ondas de una única frecuencia, por lo tanto el dimensionamiento del sistema debe ser mayor dependiendo de la distorsión armónica total tanto de tensión como de corriente.

La expresión general para la potencia aparente es:

(16)

En esta situación, el valor eficaz de la tensión y la corriente se obtienen a partir de las componentes armónicas como:

(17)

e

(18)

,

Donde Vk e Ik son las componentes eficaces de tensión y corriente de cada armónico y φk su ángulo de fase.

2) Potencia activa: La potencia activa monofásica esta dada por:

(19)

Donde φk corresponde al ángulo entre la tensión y la corriente del armónico k-ésimo.

3) Potencia reactiva: El concepto de potencia reactiva, se puede definir para cada una de las componentes armónicas como:

(20)

La potencia reactiva total se define como:

Pero, si se tiene en cuenta que Qk es la amplitud de una señal que oscila al doble de la frecuencia de las componentes armónicas de tensión y corriente de orden k, es incorrecto expresar la potencia reactiva del sistema como la suma de las potencias reactivas por armónico, como lo sugiere Budeanu [2].

4) Potencia de distorsión: Además de las potencias activa y reactiva debidas a la interacción entre tensiones y corrientes de la misma frecuencia, aparecen otras potencias originadas por la interacción entre tensiones y corrientes de frecuencias diferentes, que Budeanu agrupo en una potencia que llamó de distorsión, la cual está dada como:

(21)

(22)

Sin embargo la ecuación no refleja completamente el significado físico de este efecto.

Para obtener el modelo de potencia trifásico, se agrupan los aportes de potencia de cada fase para obtener la potencia aparente aritmética total de la forma:

En sistemas trifásicos es necesario evaluar además, el efecto debido al desbalance de cargas y/o a la asimetría de las tensiones, el cual origina una componente adicional de potencia, no considerada en el modelo de Budeanu.

Estas componentes de potencia son oscilatorias y su valor medio es cero, por lo cual no consumen ni generan potencia activa, pero si incrementan el dimensionamiento del sistema reduciendo la eficiencia del mismo, es decir, disminuyen el factor de potencia.

(23)S = SA + SB + SC = 3VI

105

Para suplir estas falencias del modelo de Budeanu, se describen a continuación otros dos modelos de potencia. B. Modelo de Czarnecki

El modelo de Czarnecki, está basado en la descomposición de la corriente instantánea en cinco componentes ortogonales entre si para circuitos trifásicos asimétricos de tres hilos en regímenes no senoidales, con la propiedad de que a cada una de estas componentes se le atribuye un efecto físico.

En el modelo se considera la admitancia por armónico:

(24)

(25)

En consecuencia, la corriente eficaz total está dada por:

1) Corriente eficaz activa Ia: Se define como la componente de la corriente que está en fase con la tensión de alimentación. El producto del valor eficaz de esta corriente por el valor eficaz de la tensión corresponde a la potencia activa del sistema P.

Para obtener la corriente activa se define una conductancia equivalente Ge:

(26)

Una vez obtenida Ge la corriente activa se expresa como:

(27)

2) Corriente eficaz residual: aparece en el modelo como consecuencia de la variación de la conductancia por armónico Gk con respecto a la conductancia equivalente (fija) Ge y se define como:

(28)

3) Corriente eficaz de magnetización Im: La corriente de magnetización (en algunos casos puede ser de polarización debida a campos eléctricos), es la componente debida al flujo de potencia magnetizante de elementos reactivos de susceptancia Bk (en el armónico k-ésimo) y se define como:

4) Corriente eficaz generada Ig: La corriente generada se debe a la no linealidad de la carga y se define como:

(29)

Donde r son los armónicos que aparecen en la corriente y no están en la tensión.

5) Corriente eficaz de desbalance Iu: Es la componente de corriente debida al desbalance de la carga trifásica conectada al sistema, la cual se define como:

(30)

A su vez, Ib es la corriente balanceada (secuencia positiva).

Durante la evaluación de esta potencia, es útil conocer el coeficiente complejo Ak (admitancia de desbalance por armónico), definido como:

(31)

Una vez calculada cada componente de corriente, se construye el diagrama fasorial que visualiza el efecto de cada componente sobre la corriente total, tal como se ilustra en la Fig. 1.

(32)

Fig. 1. Diagrama fasorial de corrientes, según Czarnecki.

Ahora, para obtener las potencias del sistema se multiplica el valor eficaz de la tensión por cada uno de los valores eficaces de las componentes de corriente, y la potencia de dimensionamiento del sistema se expresa como:

(33)

Donde:

, es la potencia activa (34)

(36)

(35), es la potencia de magnetización

, es la potencia de desbalance

, es la potencia generada (37)

, es la potencia residual (38)

jB

ek k k

k

Is

I

Ia

Im

Iu Ig

106


Para efectos de medición de potencia conviene asociar todas las potencias no activas en un solo término, definido en este caso como potencia reactiva, es decir:

(39)

(40)

Siendo Qr igual a:

Es decir que en este caso, la potencia reactiva tiene en cuenta todas las componentes de potencia que hacen que el dimensionamiento del sistema sea mayor. Esta potencia corresponde a la definida por Fryze3, la cual es conocida como la potencia reactiva de Fryze o potencia ficticia según Czarnecki [9]. C. Modelo IEEE Std 1459-2000

Esta propuesta [10] denominada: “IEEE Trial-Use Standard Definitions for the Measurement of Electric Power Quantities Under Sinusoidal, No sinusoidal, Balanced, or Unbalanced Conditions” ha sido discutida por varios investigadores en el mundo, tal como se puede comprobar con la participación de cerca de 30 miembros del Working Group on No sinusoidal Situations y las más de 50 publicaciones que al respecto ha realizado el IEEE desde el año 2000.

Según la propuesta, se deben considerar dos tipos de sistemas:

1) Sistemas de tres hilos: Para obtener las potencias en un sistema trifásico de tres hilos cuyos conductores se consideran del mismo calibre, primero se calculan las corrientes efectivas (total, de la componente fundamental y de las componentes armónicas):

3 Cox & Bayhzouz. A review of powers according to the IEEE Standard dictionary. IEEE, 1991.

(41)

(42)

(43)

Donde: Ia, Ib e Ic corresponden a los valores eficaces de las corrientes de las fases a, b y c respectivamente. De forma similar, las tensiones efectivas del sistema trifásico (total, de la componente fundamental y de las componentes diferentes a la fundamental) son:

Las tensiones Vab, Vbc e Vca corresponden a las tensiones eficaces de línea del sistema trifásico.

A partir de las ecuaciones 41 a 46 se obtienen las potencias aparentes efectivas totales del sistema, la componente fundamental y las componentes diferentes a la fundamental como:

(44)

(45)

(46)

(47)

(48)

(49)

Las potencias aparentes de distorsión de corriente, de distorsión de tensión y armónica son:

(50)

La potencia activa total trifásica se evalúa como:

(51)

(52)

(53)

La potencia reactiva total trifásica es igual a:

Finalmente, el factor de potencia total trifásico es igual a:

(54)

(55)eH

aH bH cHe el

eab bc ca

elab1 bc1 ca1

eHabH bcH caH

e el

Se = 3Ve Ie

Sel = 3Vel Iel

eN e el el eV eH

Del = 3Vel IeH

DeV = 3VeH Iel

SeH = 3VeH IeH

dt

FP

107

Para calcular los valores de potencia fundamental activa, potencia fundamental reactiva y factor de potencia, se aplican expresiones similares a las descritas en las ecuaciones 53 a 55, sólo que en este caso se utilizan las componentes fundamentales de tensión y corriente para evaluar la potencia activa trifásica de la componente fundamental y en lugar de la potencia aparente efectiva total (Se) se utiliza la potencia aparente efectiva de la componente fundamental (Se1).

2) Sistemas de cuatro hilos: Para calcular las potencias en sistemas trifásicos de cuatro hilos se utilizan las mismas expresiones descritas en el numeral anterior (Ec. 53 a 55). Sin embargo, ahora para el cálculo de la corriente efectiva se debe tener en cuenta el efecto de la corriente del neutro (In).

Considerando cuatro conductores del mismo calibre, la corriente se obtiene como:

(56)

(57)

(58)

(59)

De forma similar, para calcular la tensión efectiva se tienen en cuenta las tensiones de fase y de línea del sistema:

Del modelo de potencias propuesto, se pueden resaltar entre otros los siguientes aspectos [10], [11] y [12]:

(60)

(61)

Para la estimación de las potencias solamente se requiere la evaluación del valor eficaz de las señales de tensión y corriente, y de las componentes fundamentales de estas señales. La estimación propuesta permite discriminar las potencias originadas tanto por la componente fundamental como por las componentes armónicas.

Se establece un índice basado en las potencias aparentes del sistema, que permite valorar el efecto de los armónicos sobre el mismo. El factor de potencia es una medida del grado de utilización del sistema (eficiencia).En sistemas trifásicos se define una potencia aparente efectiva, la cual se evalúa asumiendo un sistema equivalente simétrico y balanceado y considerando que las pérdidas en el transporte de potencia son las mismas que en el sistema trifásico original.La potencia aparente efectiva es única, con lo cual desaparece la ambigüedad del modelo basado en la propuesta de Budeanu de dos potencias aparentes (la aritmética y la vectorial). Por lo anterior, se define un único factor de potencia en sistemas trifásicos.Se establece un índice basado en las potencias aparentes de la componente fundamental para valorar el desbalance de la carga trifásica.La evaluación de la potencia no activa (reactiva) se obtiene a partir de la potencia aparente efectiva y la potencia activa total.

Es importante destacar que la propuesta elimina los mitos que hasta ahora existen para la medición de la potencia y la energía eléctrica, pues la obtención de las potencias reactiva y aparente rompe con las definiciones tradicionales, las cuales presentan dificultades para estimar adecuadamente la potencia en diferentes situaciones durante la operación de los sistemas eléctricos. Adicionalmente, los procedimientos utilizados para la estimación de las potencias son de fácil implementación, y pueden constituir un punto de partida para unificar criterios sobre el diseño y programación de los algoritmos utilizados por los nuevos medidores digitales de energía.

Tales algoritmos pueden involucrar técnicas de análisis espectral en el dominio de la frecuencia o en algunos casos, técnicas de análisis en el dominio del tiempo.

A este respecto, C. Gherasim [13] propone la estructura general de un sistema basado en DSP, para la medición de potencia eléctrica bajo condiciones sinusoidales, no sinusoidales, balanceadas y desbalanceadas. El sistema utiliza la transformada de Fourier para obtener el contenido de armónicos de la señal.

A. Catalioti [14] propone un método para la medición de potencia eléctrica según la IEEE 1459 basado en técnicas del dominio del tiempo para la detección de las componentes fundamental y armónicas de tensión y corriente. La técnica permite determinar las componentes de secuencia positiva, sin utilizar transformaciones tiempo-frecuencia para el análisis espectral. En esta técnica, la frecuencia de muestreo permanece fija y asincrónica con la frecuencia fundamental, lo cual simplifica el uso de hardware y software. Además la técnica puede ser fácilmente implementada sobre una tarjeta de adquisición de datos de bajo costo como la dSPACE®

eH e elaH bH cH nH

ea b c ab bc ca

18

18elal bl cl ab1 bc1 ca1

18eHaH bH cH abH bcH caH

e el

108


DS1103, programada a través del software SIMULINK® de MATLAB®. La estrategia de medición propuesta se basa en las transformaciones de Park y Clarke.

En el mismo sentido, el Grupo de Investigación en Sistemas de Energía Eléctrica de la Universidad Industrial de Santander, adelanta un estudio para determinar el impacto de los actuales sistemas y equipos de medición en la valoración de la potencia no activa y su efecto sobre la facturación. El estudio contempla la eventual reprogramación de los algoritmos utilizados en los actuales medidores digitales de energía, propone los fundamentos para el diseño de nuevos medidores y construye un prototipo con base en la propuesta IEEE Std 1459.

IV. MEDICIÓN DIGITAL DE ENERGÍA ELÉCTRICA

A partir de los años 1980’s se introdujeron en la industria, nuevos medidores de energía basados en microprocesadores capaces de registrar cantidades eléctricas a partir de muestreo de datos y modelos matemáticos. Infortunadamente, muchos medidores de esta primera generación fueron diseñados, simulando básicamente los procedimientos de medición de la generación previa de medidores electromecánicos o probados para implementar procedimientos de medición obsoletos [15].

Producto de ello, la distorsión armónica de las señales de tensión y corriente origina resultados significativamente diferentes durante la medición de la potencia reactiva y el factor de potencia, dependiendo del tipo de medidor utilizado [16]. En consecuencia el cambio de medidor puede en algunos casos incrementar el valor de la facturación de energía por efecto de la reducción en el factor de potencia. Sin embargo, esto no debería ocurrir, por cuanto cualquier medidor en cualquier ambiente eléctrico, debería con total exactitud arrojar los mismos resultados para la misma carga [11].

Actualmente, en el mercado existen medidores digitales de todas las gamas, los cuales van desde los diseñados exclusivamente para registrar energía hasta los mas sofisticados equipos analizadores de red que cuentan con un amplio paquete de funciones.

En un medidor digital, las señales analógicas de tensión y corriente son adquiridas y digitalizadas tomando muestras y convirtiendo estas muestras en un registro. Una vez digitalizadas, los valores de las muestras son utilizados para estimar los parámetros requeridos para evaluar las potencias y energías del sistema. Estas métricas son almacenadas en memoria y están disponibles para su utilización; proceso que corresponde a la etapa de procesamiento de señales. Las estimaciones realizadas pueden ser visualizadas en una pantalla de cristal líquido (LCD) o leídas de la memoria del equipo por medio de un puerto de comunicación, lo que permite que estos resultados sean visualizados en la pantalla de un computador.

El procesamiento de las señales depende de los algoritmos que se implementen para estimar los parámetros de las señales y del sistema (valores eficaces de tensión y corriente, potencia, energía, distorsión armónica, etc).

Sin embargo, con el auge cada vez mayor de los equipos de medición digital, estos algoritmos deben ser revisados para establecer metodologías de medición con una adecuada exactitud que generen confianza tanto en los proveedores como para los usuarios del servicio.

Todos los medidores digitales registran la energía activa de forma similar y básicamente de la misma forma que los medidores electromecánicos; es decir, acumulando el producto de las señales de tensión y corriente. Sin embargo, aún no existe uniformidad en los criterios de estimación de las energías aparente y reactiva como se describe en [17].

Para efectos de establecer como estiman la energía eléctrica algunos medidores digitales, se realizó una revisión de cuatro medidores digitales de energía eléctrica diferentes [18], [19] (los más utilizados en las fronteras de clientes no regulados de una Empresa comercializadora de energía) y se encontró que la estimación de las potencias eléctricas por fase se realiza con algoritmos que difieren específicamente en la forma como evalúan las potencias y las energías reactiva y aparente.

Todos los medidores obtienen las potencias trifásicas sumando las potencias estimadas por cada fase; es decir, que en esencia se considera que las potencias del sistema trifásico corresponden a la suma de las potencias de tres sistemas monofásicos.

A. Evaluación digital de la potencia activa

La estimación de la potencia activa monofásica de todos los medidores se realiza promediando la potencia instantánea, que para una fase es:

(62)

La energía activa se estima de forma similar, la única diferencia es que no se realiza la división por N (número de muestras de tensión y corriente). Cuando se implementa la conexión Aron en sistemas trifásicos de tres hilos, la corriente de uno de los medidores monofásicos se hace cero y la potencia del sistema se estima conectando los otros dos medidores monofásicos a las tensiones de línea que correspondan, dependiendo de las corrientes que se estén adquiriendo.

B. Evaluación digital de la potencia aparente

La estimación de la potencia aparente por fase se efectúa multiplicando los valores eficaces de tensión y corriente, que para una fase será:

109

La potencia aparente total trifásica en los medidores analizados se obtiene como la suma de las potencias aparentes de cada fase; es decir, se estima la potencia aparente aritmética. Sin embargo, la estimación de la energía aparente en varios de ellos se obtiene a partir de la estimación de la energía activa y reactiva.

C. Evaluación digital de la potencia reactiva

La estimación de la potencia reactiva por fase en tres de los medidores analizados se realiza retrasando la señal de tensión π/2 radianes con respecto a la frecuencia del sistema, para posteriormente evaluar el promedio del producto de esta tensión con la señal de corriente. En uno de los medidores, este desplazamiento en el tiempo de la señal de tensión se realiza integrando la onda. En los otros dos, simplemente se desplaza la onda de tensión; es decir, que las ondas modificadas de la señal se obtienen de la siguiente forma:

(63)

(64)

(65)

Una vez se modifica la señal de tensión, los medidores digitales evalúan está potencia como:

(66)

En el cuarto medidor analizado, la potencia reactiva por fase se calcula como:

De las tres formas de evaluar la potencia reactiva, la más adecuada es la propuesta en (67), pues para la estimación de la potencia reactiva, tiene en cuenta no sólo los efectos relacionados con la magnetización (elementos inductivos) o la carga eléctrica (elementos capacitivos) de los materiales sino también los efectos de los armónicos en el sistema.

En todos los casos, la potencia reactiva total se obtiene sumando las potencias de cada una de las fases.

La estimación de la energía reactiva calculando la potencia con (66) sólo requiere que no se divida por N. En cambio, si se utiliza (67) para evaluar la potencia reactiva, es necesario multiplicar las estimaciones de esta potencia por el tiempo durante el cual se realiza la medición, para obtener la energía reactiva.

(67)

V. MEDICIÓN DE POTENCIA Y ENERGÍA ELÉCTRICA EN DISTINTOS ESCENARIOS DE CARGA Y CONEXIÓN

Una vez determinados los algoritmos utilizados por cada equipo de medición para evaluar la potencia y la energía en un sistema trifásico, se realizó un contraste entre los resultados obtenidos mediante dichos algoritmos y los establecidos en el IEEE Std 1459. Los medidores analizados se designaron con las letras A, B, C y D y la diferencia entre ellos, radica en las expresiones que utilizan para evaluar la potencia reactiva y el factor de potencia.

Todos los medidores evalúan de igual forma, las potencias activa y aparente. El medidor A evalúa la potencia reactiva de acuerdo con (67) y los demás medidores utilizan (66). En cuanto al factor de potencia los medidores A, B y D utilizan la expresión dada en (15) siendo P y S las potencia totales trifásicas activa y aparente aritmética respectivamente.

El factor de potencia del medidor C es evaluado como:

(68)FP

A continuación, se presenta la simulación realizada en un sistema trifásico de tres hilos, considerando una tensión de suministro simétrica, pero una carga lineal desbalanceada.

Los valores eficaces de tensión, corriente y el ángulo de fase entre ellos, se muestran en la tabla I.

TABLA ITENSIONES Y CORRIENTES EN EL SISTEMA

FASE VRMS[V] IRMS[A] R 120 0 232,0 -10S 120 -120 102,0 -130T 120 120 201,4 144

Para el sistema trifásico en estudio, se consideran dos formas de conexión:

A. Medición con tres elementos

Las estimaciones de potencia para este caso, se muestran en la tabla II.

TABLA IIPOTENCIAS ESTIMADAS POR CADA MEDIDOR UTILIZANDO LOS

TRES ELEMENTOS DE MEDIDA DE INSTRUMENTOS

MEDIDOR P[kW] Q[kVAr] S[kVA] FPA 61,55 16,79 64,25 0,9580B 61,55 -2,87 64,25 0,9580C 61,55 -2,87 64,25 0,9989D 61,55 -2,87 64,25 0,9580IEEE 1459 61,55 27,18 67,28 0,9148

o,dt

110


B. Medición con dos elementos (Conexión Aron)

En las tablas III a V se muestran los resultados de la medición de potencia cuando se utiliza la conexión Aron, teniendo en cuenta los tres casos posibles (cambiando la fase de referencia).

TABLA IIIPOTENCIAS ESTIMADAS POR CADA MEDIDOR

EN CONEXIÓN ARONReferencia: Fase R (IR = 0)

TABLA IVPOTENCIAS ESTIMADAS POR CADA MEDIDOR

EN CONEXIÓN ARONReferencia: Fase S (Is = 0)

TABLA VPOTENCIAS ESTIMADAS POR CADA MEDIDOR

EN CONEXIÓN ARONReferencia: Fase T (It = 0)

MEDIDOR P[kW] Q[kVAr] S[kVA] FPA 61,54 11,62 63,05 0,9761B 61,54 -2,87 63,05 0,9761C 61,54 -2,87 63,05 0,9989D 61,54 -2,87 63,05 0,9761

MEDIDOR P[kW] Q[kVAr] S[kVA] FPA 61,53 64,8466 90,0605 0,6832B 61,53 -2,8696 90,0605 0,6832C 61,53 -2,8696 90,0605 0,9989D 61,53 -2,8696 90,0605 0,6832

MEDIDOR P[kW] Q[kVAr] S[kVA] FPA 61,54 30,11 69,40 0,8867B 61,54 -2,86 69,40 0,8867C 61,54 -2,86 69,40 0,9989D 61,54 -2,86 69,40 0,8867IEEE 1459 61,55 27,18 67,28 0,9148

Como se puede apreciar en las tablas II a IV las estimaciones de la potencia activa de los cuatro medidores independiente de si se utilizan tres o dos elementos es la misma en todos los casos y coincide con la estimación dada por el modelo IEEE Std 1459.

Por el contrario, la estimación de la potencia reactiva difiere en los equipos de medida, especialmente entre el equipo A y los demás. En el caso de los medidores B, C y D, el conectar el dispositivo con tres o dos elementos (independiente de la fase que se tome como referencia) no influye en la evaluación de la potencia reactiva, aún cuando éste involucra un error apreciable si se considera el valor obtenido con el modelo IEEE 1459 como referencia, llegando a ser el error en este caso del orden del –110,56%.

En sistemas de tres hilos y medición con dos elementos, la estimación de la potencia reactiva del medidor A depende de

la fase que se tome como referencia. Los errores obtenidos en este caso con respecto a la estimación efectuada mediante la propuesta IEEE 1459 varían entre –57,21% y +138,63%.

En [9] y [18], se muestran los resultados obtenidos bajo otros escenarios de carga.

Además de la simulación anterior, se analiza a continuación una medición de potencia realizada en la frontera de una carga industrial a nivel de tensión 2 (13,2 kV) en la cual se encuentra instalado un medidor de marca C y se comparan los registros de potencia con los cálculos efectuados utilizando IEEE Std 1459. En la figura 1 se muestran las estimaciones de potencia obtenidas directamente del medidor.

Fig. 1. Visualización de lectura del medidor C.

A partir de la información de la figura 1 y sabiendo que la carga industrial de la cual se obtuvo esta información es de tipo lineal se estimaron los valores de tensión y corriente, los cuales se presentan en la tabla VI.

TABLA VITENSIONES Y CORRIENTES PARA UNA CARGA INDUSTRIAL

En la tabla VII se presentan los resultados obtenidos por el medidor en conexión Aron (fase S como referencia) y se comparan con los que se obtendrían si se cambia la fase de referencia o si se utilizan los tres elementos del medidor.

También se presentan los valores estimados si se utilizara el modelo IEEE Std 1459.

FASE VRMS[V] IRMS[A]RS 12720 30,00 2,056 -30,46ST 12736 -90,00 3,478 -120,63TR 12728 149,54 4,035 90,00

111

TABLA VIIPOTENCIAS ESTIMADAS POR EL MEDIDOR C

Los resultados de la tabla VII corroboran lo establecido con relación al medidor C y es que independiente de cómo se conecten los elementos del medidor, la estimación de la potencia reactiva trifásica es similar en todos los casos. Los cambios de la tensión de referencia influyen en la estimación de la potencia aparente; sin embargo, esta variación no afecta el cálculo del factor de potencia, que en este medidor se obtiene mediante (68), en la que no interviene la potencia aparente. El error en la evaluación de la potencia reactiva con respecto a la estimación dada por IEEE Std 1459, para esta carga es de -33%. Además, como el factor de potencia estimado por el medidor es mayor a 0,9, no se facturaría energía reactiva, aunque como se observa en la última fila de la tabla VII el factor de potencia efectivo es menor de 0,9.

VI. CONCLUSIONES

La adecuada medición de potencia y energía en sistemas eléctricos es fundamental, pues en ella están basadas todas las operaciones comerciales entre los diferentes agentes del sector eléctrico. Por tal razón, este proceso debe realizarse de forma transparente para generar confianza entre los agentes participantes en los procesos de generación, transmisión distribución y comercialización de la energía eléctrica.

Adicionalmente, la reglamentación relacionada con la medición de energía debe considerar la nueva naturaleza de las cargas conectadas al sistema y a partir de esto determinar los factores que afectan los procesos de medición, en especial los relacionados con las energías reactiva y aparente.

Una antigua tradición que se debe eliminar de los procesos de medición es la de considerar que las potencias en sistemas trifásicos se pueden estimar como la suma de las potencias de tres sistemas monofásicos independientes. Lo anterior es válido para la estimación de la potencia activa, pero para otras potencias sólo se cumple si el sistema trifásico presenta tensión de suministro simétrica y cargas balanceadas.

Otros factores a reconsiderar, son los algoritmos de estimación de potencia y energía reactiva utilizados por algunos medidores digitales, los cuales se basan en los procesos de medición de reactiva utilizados por los medidores de inducción,

CONEXIÓN P[kW] Q[kVAr] S[kVA] FPDE MEDIDOR Aron Ref: S 64,257 22,896 77,508 0,9420Tres elementos 64,259 22,767 70,318 0,9426Aron Ref: R 64,280 22,755 95,598 0,9427Aron Ref: T 64,282 22,753 70,465 0,9427IEEE Std 1459 64,259 33,953 72,678 0,8842

desaprovechando que una vez se tienen las muestras de tensión y corriente se pueden utilizar algoritmos que tengan en cuenta todos los efectos del sistema de suministro y del tipo de carga, que originan incrementos en la potencia aparente del sistema. En el futuro, las nuevas estrategias de medición deben permitir establecer la responsabilidad de cada usuario en la generación de armónicos mediante el registro de la potencia activa no fundamental SN, la cual puede ser tenida en cuenta como un componente adicional dentro de la tarifa, con el fin de promover el mejoramiento de la calidad de la potencia entre los usuarios contaminantes del sistema.

Aunque en la actualidad se fabrican sofisticados equipos de medición de energía, ninguno de ellos programa sus algoritmos con base en IEEE Std 1459. En consecuencia, se recomienda su actualización mediante procesos que van desde la sencilla reprogramación de los mismos, hasta el diseño de nuevas técnicas de análisis como las propuestas por Gherasim [13] y Catalioti [14] utilizando técnicas en el dominio de la frecuencia o en el dominio del tiempo.

Revisando los resultados de la simulación y las medidas realizadas para una carga industrial se concluye que la conexión Aron no es la más adecuada para la estimación de la potencia reactiva en sistemas trifásicos con desbalances en la carga; adicionalmente, el efecto de los armónicos cuando las cargas no son lineales empeora tal situación.

Los autores consideran que es conveniente analizar el efecto que sobre la facturación de energía, origina un inadecuado sistema de medición. Esto es primordial si se considera que la normatividad emitida por parte de los entes reguladores del sector eléctrico en Colombia, establece que el factor de potencia debe ser mayor o igual a 0,9 en los puntos de conexión común de todos los usuarios.

Finalmente, para evitar que se generen nuevos errores en la estimación de la potencia reactiva y de dimensionamiento se debería establecer que sin importar el número de hilos del sistema trifásico, siempre se debe evaluar la energía conectando los tres elementos de tensión y los tres elementos de corriente del equipo de medición digital.

REFERENCIAS

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[2] J. Petit y A. Ustariz, “Análisis general de armónicos: revisión de las definiciones de potencia”. Tesis de grado, UIS. 1997. Director: Gabriel Ordóñez Plata.

112


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[10] “IEEE trial-use Standard 1459-2000, definitions for the measurement of electric power quantities under sinusoidal, Nonsinusoidal, balanced, or unbalanced conditions”, IEEE Standard, 2000.

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[19] G. Ordóñez y C. Duarte, “Mitos y realidades en la medición de potencia y energía eléctrica”, Tercer simposio internacional sobre Calidad de la Energía Eléctrica, Bogotá, 2005.

113

N

Resumen: En este artículo se presenta el modelamiento matemático, el diseño y simulación de un sistema de control para un sistema de

péndulo doble invertido, (SPDI), de modo que pueda mantenerse en la posición vertical invertida ante posibles perturbaciones, de acuerdo con la propuesta de proyecto de tesis de maestría en ingeniería electrónica. El modelamiento matemático se fundamenta en las ecuaciones de Euler-Lagrange encontradas especificando el lagrangiano como la diferencia de la energía cinética y la energía potencial del sistema de péndulo doble invertido montado en un carrito que se desplaza en un riel horizontal, obteniendo un sistemas de tres ecuaciones diferenciales de segundo orden, que se transforman a un formato de seis ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden. La estrategia de control seguida ha sido la de un sistema de control óptimo que minimiza un funcional de costo cuadrático probando un regulador lineal cuadrático (LQR). La simulación presenta un adecuado desempeño para el sistema de LQR, alrededor del punto de operación del sistema: posición vertical invertida del péndulo doble; ante desviaciones de dicha posición. La simulación igual nos presenta un comportamiento tanto del modelo linealizado, como del modelo no lineal totalmente aceptable.

Palabras claves: Grados de libertad (DOF), Sistema de péndulo doble invertido (SPDI), Modelo no lineal (MNL), Modelo linealizado (ML). Control optimo.

1.- INTRODUCCIÓN

1.1.- Presentación

MODELAMIENTO, DISEÑO Y SIMULACIÓN DE UN SISTEMA DE CONTROL PARA UN SISTEMA DE PÉNDULO DOBLE INVERTIDO. (SPDI)

GERMÁN VELANDIA PELÁEZ*

os proponemos con este trabajo la aplicación de los conocimientos adquiridos en los diversos estudios correspondientes a la maestría en ingeniería electrónica,

en lo que se refiere a análisis y diseño de sistemas de control, por ello elegimos como sistema de estudio un sistema de péndulo doble invertido (SPDI). El SPDI representa un problema muy interesante desde el punto de vista de control ya que permite involucrarnos en varias de las dificultades asociadas con los problemas de control de los sistemas dinámicos, a su vez presenta particular interés académico, porque permite la aplicación de diversas técnicas de control e ilustrar su comportamiento.

El péndulo simple invertido (PSI) es usado en laboratorios de control para demostrar la efectividad de los sistemas de control en analogía con el control de muchos sistemas reales, [1], [2] dada la conveniencia en investigar y verificar diferentes métodos de control para sistemas dinámicos con no-linealidades de orden superior. Controlar del SPDI, además de considerar el desplazamiento del carrito, exige considerar la dinámica de dos péndulos y esto aumenta la complejidad del problema.

El SPDI es un sistema dinámico sub-actuado que tiene menos entradas de control que grados de libertad (DOF). Hay muchos sistemas similares al SPDI, como el Acrobot, el Pendubot, el robot de gimnasta de tres-eslabones, el péndulo triple invertido, etc. El SPDI también es diferente del péndulo invertido doble rotante. El SPDI pertenece a la clase de sistemas mecánicos sub-actuados que consiste en tres sistemas interconectados (dos péndulos y un carrito) con un sólo actuador: una fuerza usada para controlar tres grados de libertad.

1.2.- El Sistema de Péndulo Doble Invertido

Desde la década de los 7O, la dinámica y control de péndulos invertidos ha llamado mucho la atención. Existe una bibliografía extensa sobre estabilización [10] de péndulos simple [6], [7], de péndulos dobles [1], [3], [4], y péndulos triples [5] invertidos. Hay varios estudios sobre el swing-up (balanceo-arriba) de un péndulo simple invertido y del péndulo doble invertido [5], [7].

Desde la década anterior la dinámica y control de mecanismos sub-actuados ha estado bajo investigación. Algunos trabajos

* Profesor Universidad Autónoma de Colombia, Magíster en Ingeniería Electrónica g-

[email protected]

114


interesantes se han llevado a cabo en los manipuladores sub-actuados [8], [9] y robots sub-actuados tales como el Acrobot [11] y el Pendubot [12]. Estos trabajos muestran el control de posición de las junturas pasivas vía su acoplamiento dinámico con las activas. Hay varios estudios sobre trayectorias de optimización para los robots industriales [13], [14], y muchos otros sistemas totalmente actuados. Estos estudios usan métodos de disparo y colocación así como la optimización cuadrática [15] para obtener la solución óptima del problema de las condiciones de frontera. Algunos de estos estudios también se han extendido a los sistemas sub-actuados [16], [17] y han tenido éxito con ejemplos como el dos-DOF Acrobot, una cadena simple echada y un siete-DOF el buzo humano.

El sistema de péndulo doble invertido es un sistema sub-actuado. Tiene un grado de libertad (DOF) actuado y dos DOF’s no actuados. Es diferente de todas las plantas mencionadas antes, dado que tiene dos coordenadas pasivas generalizadas, que hace de él un desafío real para diseñar controladores.

1.3.- Objetivos

El procedimiento para el diseño de un sistema de control para un sistema dinámico, se basa esencialmente en dos aspectos: el primero es el análisis del comportamiento del sistema dinámico y el segundo es la síntesis del controlador. En el análisis de sistemas dinámicos se busca verificar diferentes propiedades del sistema, en especial lo que tiene que ver con la estabilidad. El proceso de síntesis apunta a la obtención de un controlador que cumpla con determinadas condiciones y garantice el desempeño deseado del sistema dinámico. En ambas situaciones se requiere el uso de un modelo o estructura matemática que formule la dinámica del sistema dinámico de manera apropiada, o sea, que represente el comportamiento de las variables de interés del la manera mas cercana (confiable) a su comportamiento real.

Por ello nos hemos propuesto los siguientes objetivos:

Objetivo general. El objetivo principal es el modelamiento matemático, el diseño y simulación de un sistema de control para el sistema del péndulo doble invertido SPDI, de modo que pueda mantenerse en una posición vertical invertida ante posibles perturbaciones.

Objetivos específicos:1. Reconocer el estado del arte del problema en el control de

un péndulo doble invertido.2. Realizar el modelamiento matemático del péndulo doble

invertido.3. Especificar requerimientos de diseño.4. Proponer un método de control por optimización cuadrática

para el péndulo doble invertido5. Validar el modelo matemático y sistema de control por

medio de simulación.

2.- MODELAMIENTO MATÉMÁTICO DEL SISTEMA

2.1.- Descripción del Sistema

El sistema péndulo doble invertido es un sistema no lineal e inestable. En condiciones de su posición de equilibrio inestable (posición vertical), el péndulo doble se encuentra sin los elementos necesarios para mantener los brazos verticalmente. El SPDI consiste en dos péndulos montados en un carrito. Cada péndulo gira en el plano vertical sobre el eje de una juntura articulada, definiendo dos DOFs, Ø1(t) y Ø2(t) (Fig. 2.1). No hay torque aplicado en el eje de Ø1(t) y de Ø2(t) qué son dos junturas pasivas. El carrito se maneja en un riel por un actuador que ejerce una fuerza U (Fig. 2.1) a lo largo del DOF de traslación x. Se considerará solamente el problema en forma bidimensional en el que el sistema de péndulo doble invertido se mueve exclusivamente en el plano XY.

El primer péndulo tiene una masa m1 y una longitud L1, el segundo péndulo tiene una masa m2 y una longitud L2. La masa de cada péndulo se considera uniformemente distribuida a lo largo de su longitud, por lo tanto se asume concentrada en el centro de masa de cada brazo, ubicado en la mitad de la longitud de cada brazo del péndulo. Tal y como se ilustra en la figura 2.1

Figura 2.1: Sistema de Péndulo Doble Invertido

Para nuestro sistema de péndulo doble invertido consideramos las siguientes definiciones:

Ek = energía del sistemaEp = energía potencial del sistemaU = Fuerza externa aplicada. Ley de controlm0 = masa carritog = aceleración de gravedadm1 = masa primer pénduloI1 = momento de inercia primer péndulo respecto de su eje de rotación = m1L1 L1 = 2l1 = longitud primer péndulo 1 = desplazamiento angular del primer péndulo respecto de la verticalm2 = masa segundo pénduloI2 = momento de inercia segundo péndulo respecto de su eje de rotación = m2L2

L2 = 2l2 = longitud segundo péndulo 2 = desplazamiento angular del segundo péndulo respecto de la vertical

112

2

112

2

115

2.2.- Ecuaciones dinámicas del péndulo doble invertido

En nuestro caso procederemos a obtener el modelo matemático del péndulo doble invertido a partir de las leyes físicas que gobiernan la dinámica de su movimiento. Para ello procederemos a encontrar la energía cinética y la energía potencial del sistema, a partir de las cuales obtenemos el Lagrangiano para luego aplicar las ecuaciones de Euler-Lagrange, que nos proporcionaran las ecuaciones diferenciales ordinarias que nos permitirán deducir el comportamiento dinámico del sistema de péndulo doble invertido. Por tanto:

(1)

(2)

Donde:

En la Figura 2.2 podemos ver un esquema simple del péndulo doble invertido y las variables a considerar para dicho cálculo. Así tenemos:

Energía cinética del carrito

Energía cinética traslación y angular brazo 1

Energía cinética traslación y angular brazo 2

Energía potencial carrito = 0

Energía potencial brazo 1

Energía potencial brazo 2

Velocidad de traslación del carrito

Velocidad de traslación brazo 1

Velocidad de traslación brazo 2

Velocidad angular del brazo 1


Posición vertical del brazo 1


Posición horizontal del carrito

Posición vertical del carrito

Posición horizontal del brazo 1


Posición horizontal del brazo 2


Posición angular brazo 1

Posición angular brazo 2

Velocidad horizontal del carrito

Velocidad vertical del carrito

Velocidad horizontal del brazo 1

Velocidad vertical del brazo 1

Velocidad horizontal del brazo 2

Velocidad vertical del brazo 2



La energía cinética total del sistema de doble péndulo invertido es:

Figura 2.2: Sistema del péndulo doble invertido montado en un carrito.

(3)

(4)

La energía potencial total del sistema de doble péndulo invertido es:

116


2.3.- Ecuaciones de Euler-Lagrange

Obtenida la energía cinética y la energía potencial del sistema, procedemos a encontrar el Lagrangiano. El Lagrangiano se define como:

(5)

Donde son las coordenadas generalizadas del sis-tema de péndulo doble invertido definidas como:

El lagrangiano para el sistema del péndulo doble invertido se define como:

(6)

Las ecuaciones de Euler-Lagrange en notación vectorial están definidas como:

Las ecuaciones diferenciales de primer orden que describen el comportamiento dinámico del sistema las obtenemos a partir de las derivadas respecto de los vectores y y respecto del tiempo del Lagrangiano, es decir calculando las ecuaciones de Euler - Lagrange e igualándolas a las fuerzas y momentos generalizados aplicados al sistema: ( ).

(7)

Por consiguiente las ecuaciones de Euler – Lagrange quedan como:

Donde, , y

Donde, es la entrada de control (ley de control), F es el tér-mino de fricción viscosa en cada una de las junturas del sistema de péndulo doble invertido. es la constante de fricción de coulomb, N la normal al sistema de péndulo doble invertido, B1 constante de fricción viscosa en la juntura carrito - primer péndulo y B2 constante de fricción viscosa en la juntura primer péndulo – segundo péndulo.

(8)En forma matricial compacta:

Donde:

M(q): Es una matriz simétrica y no singular y es llamada matriz de masa generalizada del sistema.

Con:

: Matriz de Inercia generalizada: Término de Coriolis, explica la variación de la rapidez de los brazos del péndulo por la variación de su posición angular.

: Término gravitacional: Matriz de Fuerzas y/o momentos generalizados aplicados.

3. REPRESENTACIÓN EN EL ESPACIO DE ESTADOS

3.1 Modelo de Estado no lineal

Nos encontramos frente a un sistema no lineal que puede ser descrito por un número finito de ecuaciones diferenciales ordinarias, dadas por la ecuación matricial:

(9)

117

Representaremos las ecuaciones en una forma compacta no lineal por la ecuación diferencial vectorial de primer grado (ecuaciones de estado no lineales), que en sistemas continuos es de la forma:

(10)

Donde x es el vector columna de variables de estado y u es el vector columna de entradas de control. Para escribir nuestro sistema como (10), elegimos como variables de estado:

Por tanto, las ecuaciones diferenciales de primer orden del sistema no lineal de péndulo doble invertido son:

(11)

Y así las ecuaciones diferenciales en términos de las variables de estado elegidas, se presenta como:

El sistema del péndulo doble invertido está ahora descrito bajo la forma de la ecuación (10).

3.2 Modelo de Estado Lineal

El modelo de estado representado por las ecuaciones (10) es efectivamente un modelo no lineal, característica común de la mayoría de los sistemas físicos. Cuando disponemos del modelo no lineal de un sistema físico es importante proceder a la linealización del modelo matemático obtenido del sistema.

El proceso de linealizar sistemas no lineales es importante, porque permite aplicar numerosos métodos de análisis lineal que proporcionan información acerca del comportamiento dinámico de los sistemas no lineales.

Los términos no considerados son lo suficientemente pequeños; dado que las variables consideradas sólo se desvían ligeramente de la condición de operación. En nuestro caso estamos interesados en el comportamiento de la ecuación no lineal para una entrada y un estado de operación apenas perturbado de los valores nominales.

Por lo que el sistema se comporta linealmente si lo operamos en un punto apenas perturbado de los valores de referencia o sea cerca de la condición de equilibrio con , tal que satisfaga la ecuación: que es la posición de equili-brio del sistema y obtenemos:

x4= f4(x,u)

= D

[M2M4M6sen(x2)-M2M5cos(x2-x3)sen(x3)-M3M4M5cos(x3)sen(x2-x3)]x5

x1= f1(x,u) = x4

x2= f2(x,u) = x5

x3= f3(x,u) = x6

.

.

.

1

Dsgn(x5)B1[M2M6cos(x2)-M3M5cos(x3)cos(x2-x3)]x5 1 +

D[M3M4M6sen(x3)-M3M5cos(x2-x3)sen(x2)+M2M5M6cos(x2)sen(x2-x3)]x6 1 +

Dsgn(x6)B2[M2M5cos(x2)cos(x2-x3)-M3M4cos(x3)]x6 1 -

D[M2M6gcos(x2)sen(x2)-M2M3M5gcos(x2-x3)sen(x2-x3)+M3M4gcos(x3)sen(x3)] 1 -

D[M4M6-M5cos2(x2-x3)]u 1 +

x6= f6(x,u) =

. 2

2 2

2

x5= f5(x,u) = D

[M2M6cos(x2)sen(x2)-M2M3M5cos(x3)sen(2x2-x3)+ M1M5cos(x2 x3)sen(x2-x3)]x5 1 -

Dsgn(x5)B1[M3cos2(x3)-M1M6]x5 1 +

D[M2M3M6cos(x2)sen(x3)-M3M5cos(x3)sen(x2)+M1M5M6sen(x2-x3)]x6 1 -

Dsgn(x6)B2[M2M3cos(x2)cos(x3)-M1M5cos(x2-x3)]x6 1 -

D[M1M2M6gsen(x2)-M2M3gcos(x3)sen(x2-x3)-M1M3M5gcos(x2-x3)sen(x3)] 1 +

D[M2M6cos(x2)-M3M5cos(x3)cos(x2-x3)]u 1 -

2 . 2 2

2 2

2

2

2

2 2

.D

[M2M5cos(x2)sen(x3)-M2M3M4cos(x3)sen(x2)+ M1M4M5sen(x2-x3)]x5 1

Dsgn(x5)B1[M2M3cos(x2)cos(x3)-M1M5cos(x2-x3)]x5 1 -

D[M2M3M5cos(x2)sen(x2-2x3)-M3M4cos(x3)sen(x3)-M1M5cos(x2-x3)sen(x2-x3)]x6 1 -

Dsgn(x6)B2[M1M4-M2cos2(x2)]x6 1 -

D[M1M2M5gcos(x2-x3)sen(x2)-M2M3gcos(x2)sen(x2-x3)-M1M3M4gsen(x3)] 1 -

D[M2M5cos(x2)cos(x2-x3)-M3M4cos(x3)]u 1 +

2

2 2

2

2

2 2

D = M1M4M6 + 2M2M3M5cos(x2)cos(x3)cos(x2-x3) - M3M4cos2x3 - M1M5cos2(x2-x3) - M2M6cos2x2 2 2 2 = M1M4M6 + 2M2M3M5 - M3M4 - M1M5 - M2M6

(13)

f1 = x4

f4 = M2g(M3M5- M2M6)x2+ 1

1

1 +

1

1 +

2

Dl

Dl

Dl

Dl

Dl

M3g(M2M5- M3M4)x3+ 1 Dl

(M2M6- M3M5)B1x5 1 Dl

M2g(M1M6- M3)x2+ M3g(M2M3- M1M5)x3+ 1 Dl

(M3-M1M6)B1x5 1 Dl

M1M5- M2M3)B2x6+ M3M5- M2M6)u 1 Dl

M2g(M2M3- M1M5)(x2)+ M3g(M1M4- M2)x3+ 1 Dl

(M1M5- M2M3)B1x5 1 Dl

M2- M1M4)B2x6+ (M2M5- M3M4)u 1 Dl

1 + Dl

M3M4- M2M5)B2x6 + (M4M6- M5)uDl 1 2

f5 =

f2 = x5

f3 = x6

f6 =

2 2

2 2

Dl 2 2

(12)6

6

Por consiguiente reformularemos las ecuaciones de Euler– Lagrange como un sistema en de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden, a partir de:

118


Las salidas del sistema se establecen como:

(14)

Quedando de esta forma el sistema lineal totalmente definido a partir de las ecuaciones de estado:

(15)

Donde:

Con:

3.3.- Parámetros para el ejercicio de simulación del sistema de péndulo doble invertido.

Sistema lineal en variables de estado. Lazo abierto

Figura 3.1

Respecto de la fricción de coulomb y la viscosa estas son importantes para la estabilidad del sistema, además las fricciones no son linealizables. La simulación inicialmente se realizó tomando valores comunes para la fricción de coulomb y la viscosidad y luego a modo de prueba y por comparación se realizó la simulación considerando las fricciones despreciables. Los valores escogidos para estas fricciones fueron:

Relación entre los parámetros del sistema. Para la selección de los valores de parámetros más adecuados para la simulación y validación del sistema de péndulo doble invertido, se hicieron varias pruebas con diferentes valores para tales parámetros, al realizar estas pruebas encontramos algunas relaciones interesantes entre ellos.

• Para el adecuado desempeño de la simulación del sistema de péndulo doble invertido se requiere que siempre sea la masa del primer péndulo (m1) mayor que la masa del segundo péndulo (m2).

• Aunque no necesariamente de manera simultanea se requiere para el adecuado desempeño de la simulación del sistema, que la longitud del primer péndulo (L1) sea menor que la longitud del segundo péndulo (L2).

Los valores numéricos de las matrices del sistema son:

Las raíces de la ecuación característica son:

Matriz de controlabilidad.

119

El sistema del péndulo doble invertido es inestable, debido a la presencia de dos raíces características positivas. La matriz de controlabilidad es de rango completo por lo tanto el sistema es totalmente controlable.

La descomposición en valores singulares de la matriz de controlabilidad, nos da seis valores diferentes de cero, numero igual a los estados definidos del sistema.

La medida de controlabilidad del sistema linealizado la podemos conocer a partir del número de condición de la matriz de controlabilidad, el cual se obtiene por la razón entre el mayor y el menor valor singular. Esto es; número de condición de controlabilidad: 4.3028 e+10. Entre más grande sea este número [4], [15] menos controlable es el sistema. Este número da una indicación de la dificultad inherente a la estabilización del sistema.

4. CONTROL ÓPTIMO

Para obtener la ley de control, las ecuaciones de Euler-Lagrange se reformularon en un sistema de seis ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden. El diseño de control óptimo para sistemas no lineales como es el caso del SPDI, requiere por lo general una solución numérica [4] que llega a ser prohibitiva computacionalmente.

4.1 Regulador Linear Cuadrático

El diseño de control óptimo se dirige a estabilizar el SPDI minimizando un funcional de costo cuadrático:

Sistema lineal en variables de estado.

Lazo cerradoFigura 4.1

en donde L(x, u) es una función cuadrática o una función hermitiana de x y u, y producirá la ley de control lineal:

(17)

(16)

Donde K es una matriz de p x n:

El diseño de los sistemas de control óptimo y los sistemas reguladores óptimos basados en tales índices de desempeño cuadráticos se reducen [18] y [19] a la determinación de los elementos de la matriz K. Una ventaja de usar el esquema de control óptimo cuadrático es que el sistema diseñado será estable, excepto en el caso que el sistema no sea controlable.

El sistema de control óptimo se basa en minimizar el índice de desempeño, que para los sistemas con vectores reales y matrices reales, se presenta que:

y el índice de desempeño cuadrático se obtiene mediante: en donde Q es una matriz hermitiana o simétrica real definida positiva (o semidefinida positiva), R es una matriz hermitiana o simétrica real definida positiva y u no está restringida.

(18)

El regulador cuadrático lineal produce una solución óptima cuando la dinámica del sistema es lineal. Como ya vimos el SPDI no es lineal, pero su linealización alrededor del punto de operación escogido, hace posible derivar una solución lineal aproximada para el problema de control optimo.

4.2. Determinación de las matrices de ponderación

No existe ciertamente una guía para la selección de las matrices de ponderación Q y R, excepto determinarlas por intuición y experiencia [4], [14] y [20]. En este sentido se realizaron diferentes pruebas con distintos valores para tales matrices, siendo la mejor selección encontrada, la siguiente:

La solución continua del LQR se obtiene por: donde: , en donde P es la solución de estado estable de la ecuación diferencial de Riccati.

Conviene notar que en la bibliografía consultada nos encontramos con diferentes valores para estas matrices. Por ejemplo en el citado trabajo de Alexander Bogdanov, [20] se ponderan todas las variables de estado con distintos valores diferentes de cero, en tanto que en los trabajos, también citados de J. Rubi, A. Rubio y A. Avello [15] y en el de Eltohamy y Kuo

120


[4], se ponderan algunas variables de estado con distintos valores diferentes de cero. En todos los casos, las variables ponderadas con valores diferentes de cero son justamente la posición del carrito y la posición del primer y segundo péndulo. Con la selección encontrada obtuvimos por simulación en matlab, la matriz de ganancias siguiente:

y las raíces en lazo cerrado, siguientes:

La mayor frecuencia encontrada para el sistema es de 70.6 (rad/s).

5. RESULTADOS

5.1. Simulación del sistema en tiempo continúo.

La simulación del sistema de Péndulo Doble Invertido en un carrito, se realizo con el programa Simulink. Las figuras presentadas abajo nos presentan los resultados de esta simulación. Para la simulación del sistema no lineal y lineal, en tiempo continuo, lazo cerrado se utilizó un pulso de duración de 2 segundos como señal de entrada. Figura 5.1.

El carrito se mueve a una posición arbitraria pero definida. El péndulo inferior (línea roja) cae hacia π radianes, es decir busca la posición de equilibrio estable (péndulo no invertido) en tanto que el péndulo superior (línea azul) se mueve en dirección contraria al primer péndulo y busca alinearse formando un ángulo de cero grados (00) con el primer péndulo. Recuérdese que se esta tomando el ángulo del segundo péndulo respecto del primer péndulo.

Pulso de entrada. Figura 5.1

Modelo no lineal en lazo abierto. La figura 5.2 nos enseña el comportamiento del sistema no lineal en lazo abierto. Los integradores en la simulación se ajustaron condiciones iniciales diferentes de cero, es decir se parte de un sistema ligeramente perturbado. A saber: . El tiempo de simulación considerado fue de 10 segundos.

Modelo lineal en lazo abierto. La simulación del sistema linealizado en lazo abierto, figura 5.3, presenta un sistema inestable, siendo evidente después de aproximadamente 200 milisegundos.

Sistema no lineal en lazo abierto. Figura 5.2

Modelo no lineal en lazo cerrado. Ahora veamos el sistema en lazo cerrado. La figura 6.4 nos presenta la simulación del comportamiento de las trayectorias del carrito y de cada uno de los péndulos, el inferior y superior, una vez se aplica al sistema no lineal la matriz de ganancias K obtenida en la estabilización optima del sistema.

Sistema lineal en lazo abierto. Figura 5.3

Sistema no lineal en lazo cerrado. Figura 5.4

121

De esta manera consideramos el sistema no lineal inicialmente perturbado y simulamos su comportamiento aplicando el regulador lineal cuadrático.

El tiempo que se consideró para la simulación del sistema no lineal en lazo cerrado fue de 60 segundos.

La simulación nos muestra inicialmente un sobrepaso importante en el carrito pero luego de 15 segundos aproximadamente disminuyen la amplitud de sus oscilaciones y se mantiene oscilando a derecha e izquierda garantizando la estabilidad del péndulo. A partir de los 10 segundos, el sistema no lineal alcanza su asentamiento, alrededor del punto de operación considerado.

Modelo lineal en lazo cerrado. La simulación del sistema lineal en lazo cerrado, figura 5.5, presenta un similar comportamiento que en caso del sistema no lineal.

Para la simulación se aplicó un pulso de duración 2 segundos como el mostrado en la figura 6.1 y a los integradores para cada una de las variables de estado se les dieron condiciones iniciales diferentes de cero, así:

No obstante para el sistema lineal el asentamiento se presenta aproximadamente a partir de los 4 segundos de simulación. El tiempo que se consideró para la simulación del sistema lineal en lazo cerrado fue de 10 segundos.

5.2. Sistema en Tiempo Discreto.

Como se vio antes la simulación en tiempo continuo en lazo cerrado nos presentó una máxima frecuencia de 70.6 (rad/s). De acuerdo al criterio de nyquist, consideramos un tiempo de muestreo Ts= 0.001 s para la discretización del sistema. Respecto de las matrices de ponderación consideramos los mismos valores con los que simulamos el sistema en tiempo continuo.

Sistema lineal en lazo cerrado. Figura 5.5.

y

Matrices en tiempo discreto. Las matrices del sistema obtenidas una vez la discretización son las siguientes:

Los valores obtenidos por simulación en matlab de la matriz de ganancias para la estabilización del sistema en tiempo discreto, son los siguientes:

y

Sistema discreto en lazo abierto. La simulación del sistema en tiempo discreto como se aprecia en la figura 5.6 nos enseña el sistema inestable.

Sistema discreto en lazo cerrado. En lazo cerrado la simulación del sistema en tiempo discreto, figura 5.7, manifiesta un comportamiento similar al de tiempo continuo, en cuanto al hecho que inicialmente se presentan ligeras oscilaciones del carrito y de los dos péndulos, pero luego después de aproximadamente 3500 instantes de muestreo, el sistema alcanza su asentamiento alrededor del punto de operación determinado.

Respuesta en tiempo

discreto. Lazo abierto.

Figura 5.6.

Respuesta en tiempo discreto.

Lazo cerrado. Figura 5.7.

122


5.3 Simulación del sistema del péndulo doble invertido con fricción despreciable

La simulación del sistema de péndulo doble invertido montado en un carrito, considerando las fricciones de coulomb y viscosa despreciables, presenta resultados similares a los anteriores tanto en tiempo continuo como en tiempo discreto. Por supuesto varían los tiempos de establecimiento y las condiciones de oscilación de los péndulos, en especial en la simulación del sistema no lineal y lineal en lazo cerrado. Los resultados de esta simulación se presentan igualmente en este trabajo.

6. CONCLUSIONES

1. La estrategia de control que seguimos para la estabilización del SPDI, de control óptimo fue una acertada elección, aunque presentó distintas dificultades, en particular en cuanto al modelamiento matemático, la elección de las matrices de ponderación del funcional de costo cuadrático y la determinación de los mejores valores de los parámetros de simulación particularmente los de las fricciones de coulomb y viscosa.

2. Los resultados obtenidos tanto en para el sistema linealizado como para el sistema no lineal y tanto en tiempo continúo como en tiempo discreto son adecuados y por lo menos en la simulación nos presentan una estabilización del sistema adecuada.

3. El modelamiento matemático obtenido del sistema es valido y se concilia de manera importante y acertada, con los modelos matemáticos encontrados en la bibliografía consultada.

4. La simulación del sistema no lineal en lazo abierto en tiempo continúo, valida adecuadamente el modelo matemático y permite predecir la dinámica del sistema no lineal con suficiente precisión.

5. El trabajo realizado interviene en lo que es modelamiento, control y simulación de sistemas y resulta para la Universidad en una importante contribución en la introducción al estudio de los sistemas de péndulos invertidos.

6. En nuestro caso no se consideró la necesidad de diseñar observadores de estado, en particular porque el sistema siendo completamente observable tanto en tiempo continúo, como en tiempo discreto, todos los estados del sistema son medibles.

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