Cálculo y EstadísTICa. Primer...

Cálculo y EstadísTICa. Primer Semestre.

EstadísTICa

Curso Primero

Graduado en Geomática y Topografía

Escuela Técnica Superior de Ingenieros en Topografía, Geodesia y Cartografía.

Universidad Politécnica de Madrid

Capítulo II

PROBABILIDAD. VARIABLES ALEATORIAS

UNIDIMENSIONALES

Manuel Barrero Ripoll. Mª Ángeles Castejón Solanas.

Mª Luisa Casado Fuente. Luis Sebastián Lorente.

Departamento de Ingeniería Topográfica y Cartografía

Universidad Politécnica de Madrid

2-II Escuela Técnica Superior de Ingenieros en Topografía Geodesia y Cartografía

II PROBABILIDAD. VARIABLES ALEATORIAS UNIDIMENSIONALES

Universidad Politécnica de Madrid 3 - II

2.1 Experimento Aleatorio 4

2.1.1 Espacio Muestral asociado a un experimento aleatorio

2.2 Sucesos 4

2.2.1 Operaciones con sucesos. Álgebra de sucesos

2.2.2 Propiedades de la unión e intersección de sucesos

2.2.3 Leyes De Morgan

2.3 Regla de Laplace. Definición clásica de probabilidad 5

2.4 Combinatoria 6

2.4.1 Fórmula 1 (Principio de multiplicación)

2.4.2 Fórmula 2 (Variaciones y Permutaciones)

2.4.3 Fórmula 3 (Variaciones con repetición)

2.4.4 Fórmula 4 (Combinaciones). Números combinatorios

2.5 Definición axiomática de probabilidad 8

2.6 Probabilidad Condicionada 9

2.7 Sucesos independientes 10

2.7.1 Cálculo de la intersección de sucesos

2.8 Probabilidad total 11

2.8.1 Ley de la probabilidad total

2.9 Fórmula de Bayes 13

2.10 Concepto de variable aleatoria 14

2.11 Variables aleatorias discretas. Función de probabilidad 14

2.12 Variables aleatorias continuas. Función de densidad 15

2.13 Función de distribución de una variable aleatoria 15

2.14 Propiedades de la función de distribución 16

2.14.1 Cálculo de probabilidades utilizando la función de distribución

2.15 Características de las variables aleatorias 19

2.15.1 Esperanza matemática o media E[X]

2.15.2 Propiedades

2.15.3 Varianza de una variable aleatoria V[X]

2.15.4 Propiedades


2.1 Experimento Aleatorio

Llamamos así a todo fenómeno que realizado en iguales condiciones puede dar lugar a

resultados o efectos diferentes y del que “no” se puede predecir el resultado.

Lanzamos un dado y observamos el número o la figura que aparece en la cara superior.

Lanzamos dos monedas y observamos el número de caras obtenidas.

Un Suceso Elemental es cada uno de los posibles resultados de un experimento aleatorio.

2.1.1 Espacio Muestral asociado a un experimento aleatorio. El conjunto formado por

todos los sucesos elementales de un experimento aleatorio se denomina Espacio Muestral, y

lo designamos con la letra E.

Los espacios muestrales del lanzamiento de un dado y del lanzamiento de dos monedas son

respectivamente:

E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} y E = {CC, CX, XC, XX}.

A cada suceso del experimento aleatorio le asociamos un subconjunto y lo designamos con

una letra mayúscula. Un Suceso Aleatorio es cualquier subconjunto de E.

En el lanzamiento de un dado un posible suceso aleatorio sería obtener un número par, es

decir, el conjunto {2,4,6}.

2.2 Álgebra de sucesos

Un Suceso Complementario de un suceso A es, el suceso Ac formado por todos los

resultados del espacio muestral que no están en el suceso A.

Si E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} y A = {1, 3}, entonces Ac = {2, 4, 5, 6}.

Llamamos Álgebra de Sucesos a una clase de subconjuntos A del

espacio muestral E, que cumplen las condiciones siguientes

a) Si AA cA A.

b) Si 1 2 nA ,A ,...,A A n

i

i 1

A

A.

En cualquier experimento aleatorio hay sucesos que siempre están presentes, y por ello, los

destacamos a continuación.

Un Suceso Compuesto es el conjunto de varios sucesos elementales.

A = {1,3, 5}= “obtener un número impar al lanzar un dado”.

Un Suceso Imposible es aquel que no se verifica nunca, se representa con el símbolo .

A = {obtener un número mayor que 6 al lanzar un dado} = .

Un Suceso Seguro es aquel que se verifica siempre, es decir el espacio muestral E.

[email protected]

E

A

cA

Figura 7.1.1

mailto:[email protected]



BA

2.2.1 Operaciones con sucesos. Álgebra de sucesos

La unión de dos sucesos A y B es el suceso A B que consta de

todos los resultados que están contenidos en cualquiera de los dos

sucesos.

A B={x tales que x A ó x B }.

Propiedad cA A E .

La intersección de dos sucesos A y B de un espacio muestral E es el suceso A B E que

consta de todos los resultados que están contenidos en ambos sucesos.

A B ={ x tales que x A y x B }.

Propiedad. cA A .

Dos sucesos A y B son incompatibles o excluyentes si A B=.

La diferencia de dos sucesos A y B es el suceso A B que

consta de todos los resultados que están contenidos en el suceso

A pero no en B.

cA B A B

2.2.2 Propiedades de la unión e intersección de sucesos

2.2.3 Leyes De Morgan

c c cA B A B . El suceso complementario de la unión de sucesos, es el suceso

intersección de los complementarios.

c c cA B A B . El suceso complementario de la intersección de sucesos, es el

suceso unión de los complementarios.

2.3 Regla de Laplace. Definición clásica de probabilidad

La probabilidad de un suceso A, viene definida por el cociente entre el nº de casos favorables

(nA) y el número de casos posibles (n):

AA n

nf P A 0,1

n

Conmutativa A B B A A B B A

Asociativa A B C A B C A B C A B C

Idempotente A A A A A A

Simplificativa A B A A A B A A

Distributiva A B C A B A C A B C A B A C

E

Figura 7.2.1

E

Figura 7.2.3

E

Figura 7.2.2


[email protected]

Ejemplo. Hallar la probabilidad de obtener un múltiplo de 3 al lanzar una vez un dado.

El conjunto E={1,2,3,4,5,6} es el espacio muestral. Sea A el suceso “obtener múltiplo de 3”;

A={3,6}. Los casos favorables y posibles son nA =2 y n=6 respectivamente, por tanto

2P(A)

6 .

2.4 Combinatoria

Es frecuente que en un experimento aleatorio, el espacio muestral E tenga un número finito de

elementos, y para calcular la probabilidad de un suceso A, debemos contar el número de

sucesos posibles y el número de casos favorables del suceso A. Cuando podemos expresar de

forma explícita todos los elementos del espacio E resulta fácil contar el número de casos

posibles y favorables para aplicar la definición anterior. Sin embargo, es frecuente

encontrarnos con situaciones donde es casi imposible o muy complicado escribir cada

elemento del espacio muestral, pero el proceso de contar los casos se puede simplificar

mediante el empleo de algunas fórmulas que nos ayudarán en los cálculos.

2.4.1 Fórmula 1 (Principio de multiplicación). Si un cierto trabajo puede realizarse en m

formas diferentes y para cada una de esas formas se puede realizar otro trabajo de n formas

distintas, entonces el número total de maneras diferentes en que se pueden realizar los dos trabajos

es m n . Se generaliza fácilmente para el caso de k operaciones, el número total de maneras de

realizar las k secuencias es 1 2 kn n n .

Hay que escoger un director y una directora de entre un grupo de candidatos formado por 4

hombres y 5 mujeres. ¿De cuántas formas se les puede escoger?

El número total es 5 4 20.

2.4.2 Fórmula 2 (Variaciones y Permutaciones). Las variaciones de m elementos tomados

de n en n (n<m) son los distintos grupos que se pueden formar con los m elementos, de forma que:

- En cada grupo entren n<m elementos.

- Dos grupos son distintos si se diferencian en algún elemento o en el orden de colocación de

estos.

El número de variaciones de m elementos tomados de n en n se representa por m,n

V

m,nV =m·(m-1)·(m-2)···(m-n+1).

Si m=n se denomina Permutaciones de m elementos (Pm) o factorial de un número.

mP m! m·(m 1)·(m 2) 3 2 1 .

Se define 0! 1 .

Representa el total de maneras en que podemos colocar m elementos distintos.




[email protected]

¿Cuántos números de dos cifras diferentes, se pueden formar con los dígitos: 1, 2, 3, 4?

En este caso m=4 y n=2, además se verifica:

- No entran todos los elementos. De los cuatro solo entran dos.

- Si importa el orden. Los números 23 y 32 son distintos.

- No se repiten los elementos. Se especifica con cifras diferentes.

Se trata, por tanto, de variaciones de cuatro elementos tomados de dos en dos.

V4,2= 4·3 =12

¿Cuántos números de cuatro cifras diferentes, se pueden formar con los dígitos: 1, 2, 3, 4?


- Entran todos los elementos.


- No se repiten los elementos. Se especifica con cifras diferentes.

Se trata, por tanto, de variaciones de cuatro elementos tomados de cuatro en cuatro y que

llamamos permutaciones de 4 elementos.

V4,4 = P4 = 4! = 4·3·2·1 =24

2.4.3 Fórmula 3. (Variaciones con repetición)

Las variaciones con repetición de m elementos tomados de n en n (n<m) son los distintos grupos

que se pueden formar con los m elementos, de forma que:

- En cada grupo entren n elementos, repetidos o no.

- Dos grupos son distintos si se diferencian en algún elemento o en el orden de colocación de

estos.

El número de variaciones con repetición de m elementos tomados de n en n se representa por

n,mVR :

n,mVR =mn .

¿Cuántos números de dos cifras, se pueden formar con los dígitos: 1, 2, 3, 4?


- No entran todos los elementos.


- Los dígitos se pueden repetir.

Se trata, por tanto, de variaciones con repetición de cuatro elementos tomados de dos en dos.

VR4,2 = 42=16.



[email protected]

2.4.4 Fórmula 4. (Combinaciones). Números combinatorios

Las combinaciones m elementos tomados de n en n (n m) son los distintos grupos que se pueden

formar con los m elementos, de forma que:

- En cada grupo entren n elementos distintos.

- Dos grupos son distintos si se diferencian en algún elemento pero no en el orden de

colocación de estos.

El número de combinaciones de m elementos tomados de n en n se representa por

n

mC n,m .

Si hay m objetos diferentes y se tiene que obtener una muestra de tamaño n (todos diferentes), el

número posible de muestras diferentes es :

m,n,

m m!C

n n! (m n)!

.

De cuantas formas pueden mezclarse los siete colores del arco iris tomándolos de dos en dos.

En este caso m=7y n=2, además se verifica:

- No entran todos los elementos.

- No importa el orden en la mezcla.

- No se repiten los colores en una misma mezcla.

Se trata, por tanto, de las combinaciones de siete elementos tomados de dos en dos.

7,2

7 7!C 21

2 2! 5!

.

2.5 Definición axiomática de probabilidad

En la definición axiomática de la probabilidad no se establece cómo se calcula la probabilidad

de un suceso sino únicamente se proponen las reglas que la probabilidad debe satisfacer.

Sean E el espacio muestral y A un suceso de un experimento aleatorio. La probabilidad del

suceso A la designamos P(A) y es un número real que satisface los siguientes axiomas:

Ax. I. P E 1 .

Ax. II. Para todo suceso AA , se verifica 0 P(A) 1 .

Ax. III. Si k k 1...nA

es un conjunto de sucesos de A, tales que i jA A Ø para todo

i j , entonces n n

k k

k 1k 1

P A P A

.

Estos axiomas implican las siguientes propiedades.

1. cP A 1 P A .

[email protected]





E

cc cA B A B

2. P(Ø )=0. El recíproco no es cierto. P(A) = 0 no significa que A=Ø.

3. Si A B , entonces P(A) P(B) .

4. Si A, B y C son sucesos compatibles entonces:

4.1. P A B P(A) P(B) P A B .

4.2. P A B C P A P B P C P A B P A C P B C P(A B C) .

Ejemplo. ¿Cuál es la probabilidad de obtener una suma de 7 o de 11 en un lanzamiento de 2

dados?

Si A es el suceso “obtener una suma de 7” y B el suceso “obtener una suma de 11”, el suceso

A∪B es, “obtener una suma de 7 o de 11”.

An 6 y n=36 36

6)A(P .

Bn 2 y n=36 2

P(B)36

.

6 2 2P(A B) P(A) P(B)

36 36 9 .

Ejemplo. La probabilidad de aprobar la asignatura A es 1/2, la de aprobar la asignatura B es

1/3 y la de aprobar A y B es 1/5. A partir de estos datos calcular:

La probabilidad de aprobar al menos una de las dos asignaturas.

Se aprueba al menos una asignatura si se aprueban una o dos asignaturas, por tanto,

1 1 1 19

P A B P A P B P A B2 3 5 30

La probabilidad de aprobar A pero no B.

Debemos calcular,

c 1 1 3P A B P A P A B

2 5 10 .

La probabilidad de que no apruebe A y no apruebe B.

cc c 11

P A B P A B 1 P A B30

.

2.6 Probabilidad condicionada

Sean A y B dos sucesos asociados a un experimento aleatorio, se llama probabilidad de B

condicionado por A, y se representa por BPA

, como la probabilidad de que ocurra el

suceso B, supuesto que haya ocurrido el suceso A, se define:

P B ABP

A P A , siendo P A 0 .

[email protected]

(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)

(2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)

(3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)

(4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)

(5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)

(6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6) Tabla 2.5.1



Ejemplo. La probabilidad de que un vuelo regular despegue a su hora programada es de 0.95;

la de que aterrice a la hora prevista 0.93; y la de que despegue y aterrice a la hora prevista es

de 0.92. Calcular la probabilidad de que un vuelo:

a) Aterrice a la hora prevista dado que despegó a su hora.

b) Despegase a tiempo sabiendo que aterrizó a la hora prevista.

Si llamamos “D” al suceso el avión despega a su hora, y “A” el suceso el avión aterriza a la

hora prevista. Del enunciado se deduce que:

P D 0.95 ; P A 0.93 ; P D A 0.92

a) Debemos calcular

P D A 0.92AP 0.968D P D 0.95

b) En este caso calculamos

P D A 0.92DP 0.989A P A 0.93

2.7 Sucesos independientes

Dos sucesos A y B son independientes si y solo si P A B P A P B .

De la definición anterior se deduce que las siguientes afirmaciones son correctas:

BP P BA

y AP P AB

.

Si B es independiente de A, entonces, A es independiente de B.

Si dos sucesos A y B son independientes, la ocurrencia o no, de uno de ellos no

depende de la ocurrencia del otro.

2.7.1. Cálculo de la intersección de sucesos. Según la definición de probabilidad

condicionada

P B ABP

A P A BP A B P A P

A

Si los sucesos A y B son independientes, se verifica que BP P BA

, y por tanto

P A B P A P B .

Ejemplo. Se saca una carta, del mazo de una baraja española de 40 cartas. Comprobar, cuáles

de los siguientes pares de sucesos son independientes.

1. A={sacar un rey}, B={sacar una espada}

2. A={sacar una figura}, B={sacar una espada}

3. A={sacar un rey}, B={sacar una figura}.

[email protected]




B

A

1 A

2

A

3 A

4

1A B

3A B

4A B

2A B

Figura

2.8.1

1. La probabilidad de sacar un rey es 10

1

40

4)A(P .

La probabilidad de sacar un rey sabiendo que ha salido una espada es

B

AP P(sacar el rey de espadas de entre las diez espadas) = 10

1, por tanto, los

sucesos A y B son independientes, ya que APB

1

P(A)10

.

2. Para este apartado, vamos a utilizar otra forma de estudiar la independencia de

sucesos.

La probabilidad de sacar una figura es 12 3

P(A)40 10

.

La probabilidad de sacar una espada es 10 1

P(B)40 4

.

La probabilidad de sacar una figura y que sea espada es 3

P(A B)40

=P(A) P(B), por

tanto, los sucesos A y B son independientes.

3. Son sucesos dependientes, ya que 4 1

P(A)40 10

y 12 3

P(B)40 10

, siendo

4 1 3P(A B) P(A) P(B)

40 10 10 . Por tanto, los sucesos son dependientes, que salga una

figura facilita que después salga un rey.

2.8 Probabilidad total.

Decimos que un conjunto de sucesos A1, A2,…, An forma un sistema completo cuando

cumplen:

1. Son incompatibles dos a dos, ji AA ∅ si ji .

2. La unión de todos ellos forma un suceso seguro (n

i

i 1

A E

).

Ejemplo. En el gráfico tenemos un suceso B y un sistema completo formado por los sucesos

1A B , 2A B , 3A B y 4A B que son excluyentes y recubren B, ya que:

1 2 3 4B A B A B A B A B

Por tanto

1 2 3 4P(B) P A B P A B P A B P A B

o de forma equivalente

1 2 3 41 2 3 4

B B B BP(B) P P A P A P A P AA A A A

[email protected]



2.8.1 Ley de la probabilidad total. Si los sucesos A1, A2,…, An forman un sistema

completo de X, entonces:

n

1 2 n i

i 1

P(X) P A X P A X ... P A X P A X

o de forma equivalente

n

1 2 n i1 2 n ii 1

X X X XP(X) P P A P P A ... P P A P P AA A A A

Ejemplo. Un libro ha sido traducido por tres traductores A, B y C. El 90% de las páginas que

traduce A no contienen errores. El 95% de las traducidas por B y el 99% de las traducidas por

C tampoco tienen errores. El libro tiene 500 páginas, de las cuales A, B y C han traducido 125,

175 y 200 páginas respectivamente.

Si elegimos al azar una página del libro ¿cuál es la probabilidad de que no tenga ningún error?

Definimos los sucesos:

X el suceso “la página no tiene errores”

A el suceso “la página fue traducida por el traductor A”

B el suceso “la página fue traducida por el traductor B”

C el suceso “la página fue traducida por el traductor C”

Conocemos la probabilidad de los siguientes

sucesos

500

125AP ,

500

175BP ,

500

200CP ,

100

90A

XP , 100

95B

XP , 100

99C

XP

Además los sucesos XA , XB , XC son

excluyentes y recubren X, por tanto

P X P A X B X C X

P A X P B X P C X

= XP A PA

+ XP B PB

+ XP C PC

= 125

500

90

100 +

175

500

95

100 +

200

500

99

100 =

19070.9535

2000

[email protected]

AP

BP

CP

A

XP

B

XP

cXP

A

cXP

B

C

XP

cXP

C

125 90

500 100

175 95

500 100

200 99

500 100

+

+

Figura 2.8.2




2.9 Fórmula de Bayes

Si los sucesos A1, A2,…, An forman un sistema completo con iP A 0 para todo Ai,

i=1,2,…,n. Y sea X un suceso cualquiera del que se conocen las probabilidades condicionales

i

XPA

entonces:

i ii ii

n

iii 1

X XP P A P P AA AA

PX P X XP P A

A

En el ejemplo anterior. Si elegimos una página al azar y observamos que no contiene ningún

error. ¿Cuál es la probabilidad de que fuera traducida por el traductor A?

Al utilizar la fórmula de Bayes se obtiene:

X XP P A P P AA AAP

X X X XP X P P A P P B P P CA B C

125 90

500 100125 90 175 95 200 99

500 100 500 100 500 100

0.235973

[email protected]


http://asignaturas.topografia.upm.es/matematicas/videos/Teoremas_Probabilidad.wmv


2.10 Concepto de variable aleatoria

El estudio de un experimento aleatorio lo podemos efectuar desde dos puntos de vista

distintos:

Después de realizar el experimento.

Antes de realizar el experimento.

Después de realizar el experimento podemos observar los resultados obtenidos y ellos

constituyen una variable estadística. Los valores repetidos de cada uno de los resultados son las

frecuencias.

Antes de realizar el experimento podemos considerar todos los posibles resultados que pueden

ocurrir y definir una función que asocie a cada resultado posible un número real, de esta

forma obtenemos una variable aleatoria, por tanto, una variable aleatoria es una función

X : Eℝ, que asigna a cada suceso elemental un número real y cada uno de los posibles

valores que toma la variable aleatoria tendrá una cierta probabilidad de ocurrencia,

Las variables aleatorias las representaremos por letras mayúsculas y los valores concretos que

toma la variable los representamos con letras minúsculas con subíndice.

Ejemplo. Sea el experimento aleatorio que consiste en lanzar tres monedas al aire y contar el

número de caras obtenidas. Si designamos con C el resultado de obtener cara en una de las

monedas y C no obtener cara, el espacio muestral es:

E CCC, CCC CCC, CCC, CCC, CCC, CCC, CCC

Podemos definir una variable aleatoria X que toma los valores 0, 1, 2, 3 que corresponden al

número de caras obtenidas:

X CCC 0,

X CCC =X CCC =X CCC = 1,

X CCC =X CCC =X CCC = 2, X CCC 3.

2.11. Variables aleatorias discretas. Función de Probabilidad

Decimos que una variable aleatoria es discreta si el número de valores que puede tomar es

finito o infinito numerable. Generalmente N o un subconjunto de N. El ejemplo anterior

corresponde a una variable aleatoria discreta.

Se llama Función de Probabilidad de una variable aleatoria X a la función que indica la

probabilidad de que la variable aleatoria tome un valor determinado xi, es decir

i iP X x p x

La suma de las probabilidades de todos los posibles valores de la variable aleatoria es siempre

igual a 1.

i

i

P X x 1

[email protected]




La función de probabilidad de la variable aleatoria X, del ejemplo anterior está dada por

La gráfica de la función de probabilidad se representa mediante un diagrama de columnas

donde la altura de cada columna es igual a la probabilidad del valor correspondiente.

2.12 Variables aleatorias continuas. Función de Densidad

Decimos que una variable aleatoria es continua si la variable toma valores en un conjunto no

numerable. Sea X una variable aleatoria continua se define la función de densidad f(x) de una

variable aleatoria continua X, como una función que verifica:

1.- Es no negativa; 0xf para todo x ℝ. 2.- 1dx)x(f

Ejemplo. La función 23z si 0 z 1

f (z) 0 en otro caso

es la función de densidad de una cierta variable

aleatoria Z, ya que, f (z) 0 , para todo, zℝ y

1

2

0

3z dz 1 .

2.13 Función de Distribución de una variable aleatoria

En general, definimos la función de distribución F(x) asociada a una variable aleatoria X

discreta o continua de la forma siguiente:

F(x) : R [0,1]

con F(x) P ,x P X x , para todo valor de x ℝ

Si la variable aleatoria es discreta:

k

k k i

i 1

F x P X x p(x )

.

Indica la probabilidad acumulada por todos los valores menores o iguales que xk.

[email protected]

xi P(X=xi)

0 P(X=0)=1/8

1 P(X=1)=3/8

2 P(X=2)=3/8

3 P(X=3)=1/8

0,00

0,10

0,20

0,30

0,40

0 1 2 3

Figura 2.10.1



Si la variable aleatoria X es continua, y f(x) es su función de densidad, entonces:

x

F(x) P(X x) f (t)dt

, es la función de distribución de la variable X.

La función de distribución F(x) de una variable continua representa el área encerrada por la función de densidad f(x) y el eje de valores de la variable aleatoria desde hasta x. Si F(x) es la función de distribución de una variable aleatoria continua X entonces

x

F(x) P(X x) f (t)dt

y por el teorema fundamental del cálculo dF(x)

f (x)dx

es la

función de densidad de la variable aleatoria X en los puntos en que F(x) sea diferenciable.

2.14 Propiedades de la función de distribución Sea X una variable aleatoria discreta o continua, y su función de distribución F(x). De la definición de función de distribución se sigue que F(x) verifica las propiedades siguientes:

1. 0 F(x) 1 .

2. La función F(x) es no decreciente ( ji xx ⇒ )x(F)x(F ji ).

3. El límite xlim F(x)

=0.

4. El límite )x(Flimx

= 1.

5. - Si X es una variable discreta; F(x) es continua por la derecha.

- Si X es una variable continua; F(x) es continua ( )x(F)hx(Flim0h

).

6. - i kP(x X x ) F(xk) - F(xi) = k

jj i 1

p x . En el caso discreto.

- i kP(x X x ) = F(xk) - F(xi) = k

i

x

x

f (x)dx . En el caso continuo.

Ésta última propiedad permite calcular, de forma sencilla e inequívoca, la probabilidad de cualquier suceso asociado a una variable aleatoria X a partir de la función de probabilidad o de la función de densidad.

Caso discreto Caso continuo

P(x a) p a a

a

P(x a) f x dx 0

P(x a) F(a) p x a a

P(x a) f x dx F(a) P x a)

P(x a) 1 F(a) 1 P x a) a

P(x a) f x dx

[email protected]




2.14.1. Cálculo de probabilidades utilizando la función de distribución. Primeramente

estudiemos la construcción de la función de distribución, pues en su definición podemos

apreciar que tiene incluida el sumatorio o la integral y por ello no se necesitan para el cálculo

de la ( )P X a≤ .

Por ejemplo si deseamos calcular ( )P X a≤ el resultado es directamente F(a).

En el caso de variables aleatorias discretas el cálculo de F(x) el cálculo es muy sencillo. Si

los valores de la variable para los cuales la probabilidad es distinta de cero son x1, x2,…xn, la

función de distribución es:

1

1 1 2

1 2 2 3

1 2 3 3 4

0 si x<x

p(x ) si x x x

p(x ) p(x ) si x x xF(x)

p(x ) p(x ) p(x ) si x x x

.............................

≤ <+ ≤ <

=+ + ≤ <

n

.......................

1 si x x

≤

Para el ejemplo del número de caras obtenidas al lanzar tres monedas al aire, la distribución de

X es:

( )

0 si x<0

1 si 0 x<1

8

4F x si 1 x<2

8

7 si 2 x<3

8

1 si 3 x

≤= ≤

≤

≥

En el caso de variables aleatorias continuas el proceso de cálculo de F(x) es algo diferente.

Supongamos una variable aleatoria continua con función de densidad:

( )

1 1 2

2 2 3

n 1 n 1 n

f (x) si x x<x

f (x) si x x<x

f x ....................

f (x) si x x<x

0 en otro caso

− −

≤ ≤= ≤

.

Para calcular la función de distribución, se tiene en cuenta, el valor de la función de densidad en

cada uno de los distintos intervalos, es decir [email protected]

Figura 2.12.1

x1 x2 xn

1

F(x2)

F(x1)

0 1 2 3

Figura 2.12.2

1

7/8 4/8

1/8



1

2

n 1

1

x

1 1 2

x

x

2 2 3

x

x

n 1

x

0 si x<x

F(x ) f (t)dt si x x x

F(x ) f (t)dt si x x xF(x)

..................................

F(x ) f (t)dt

n 1 n

n

si x x x

1 si x x

.

Ejemplo. Si la función de densidad de la variable continua X es, 23x si 0 x 1

f (x) 0 en otro caso

la

función de distribución de dicha variable se calcula de la siguiente forma:

Si

x

-

x 0, F(x) 0dt 0

Si x

2 3

0

0 x 1, F(x) F 0 3t dt x

Si x

1

1 x, F(x) F 1 0dt 1

por tanto

3

0 si x 0

F(x) x si 0 x 1

1 si 1 x

.

Ejemplo. Sea X una variable aleatoria discreta definida por su función de probabilidad

1

P X x7

, para todo valor de x=0,1,2,…,5,6.

Calcular: a) La función de distribución de X. b) P(X>4). c) P(X 5) . d) P 1 X 4 .

a) x

0

x 1F x P X x P X x

7

, para x=0,1,2,…5,6.

b) P(X>4)= P(X=5)+P(X=6)=2

7.

c) P(X 5) =F(5)=5 1 6

7 7

.

d) P 1 X 4 =P(X=2)+P(X=3)+P(x=4)=3

7

o también

P 1 X 4 =F(4)-F(1)=

4 1 1 1 3

7 7 7

[email protected]




Ejemplo. Dada la variable aleatoria X definida por su función de distribución

3

0 si x 2

x-2F x si 2 x 4

8

1 si 4 x

.

Hallar la función de densidad, P 3 x , P 1 x 3 y P x 4 .

Conocida la función de distribución F(x) de la variable aleatoria continua, su función de

densidad f(x) es la derivada de F(x) en los puntos en los que sea derivable, así pues:

2

0 si x 2

3 x-2f (x) F'(x) si 2 x 4

8

0 si 4 x

.

Las probabilidades se pueden obtener de la forma siguiente:

7

P 3 x 1 P(x 3) 1 F(3)8

; 1

P 1 x 3 F(3) F(2)8

; P x 4 1 F(4) 0 .

2.15 Características de las variables aleatorias

Los modelos de distribución de probabilidad son una representación idealizada de un

experimento aleatorio, por ello constituyen un modelo de la variable estadística obtenida de una

muestra en un experimento, así pues, las definiciones de las medidas estadísticas que

caracterizan a las variables estadísticas pueden extenderse a las variables aleatorias

cambiando frecuencia relativa por probabilidad

2.15.1 Esperanza matemática o media. Se define la esperanza matemática de una

variable aleatoria continua X y se designa E[X] como el valor:

Si X es discreta. Si X es continua.

i i

i 1

E X x p(x )

E X xf (x)dx

Si la suma o integral arriba mencionadas no convergen, decimos que la variable aleatoria no

tiene esperanza finita.

Por ejemplo, supongamos que debemos calcular la media de la variable aleatoria, “número de

caras obtenidas al lanzar tres monedas” con distribución de probabilidad

x 0 1 2 3

P(X)=x 1/8 3/8 3/8 1/8

[email protected]


http://asignaturas.topografia.upm.es/matematicas/videos/va.wmv


3

x 0

1 3 3 1 3E X x·P(X x) 0· 1· 2· 3·

8 8 8 8 2

Ahora consideremos el cálculo de la E[X] de la variable aleatoria continua con función de

densidad 23x si 0 x 1


.

0 1 1

2 2

0 1 0

3E X xf (x)dx x·0dx x·3x dx x·0dx x·3x dx

4

2.15.2 Propiedades de la esperanza matemática E[X]. Veamos ahora unas propiedades

muy útiles de la media o esperanza de una variable aleatoria.

Si a y b son números reales y X e Y variables aleatorias entonces:

1.- E a a .

2.- XaEaXE .

3.- E X Y E X E Y .

4.- YbEXaEbYaXE .

5.- Sea X una variable aleatoria, y g :R R una función, tal que g(X) es una

variable continua con esperanza finita, entonces:

E g X g x f (x)dx

ó i i

i 1

E g X g x p(x )

2.15.3 Varianza de una variable aleatoria V[X]

Otra característica asociada a las variables aleatorias es la llamada varianza y que designamos

por 2 ó V[X], y se define como:

Calculemos la varianza de la variable aleatoria, “número de caras obtenidas al lanzar tres

monedas” con distribución de probabilidad

x 0 1 2 3

P(X)=x 1/8 3/8 3/8 1/8

2 2 2 2 23

x 0

3 3 1 1 3 1 3 3 1 3V X X ·P(X x) · · · ·

2 2 8 2 8 2 8 2 8 4

[email protected]

Si X es discreta. Si X es continua.

222

i i

i 1

V X E X x ·p(x )

2 2V X E X x f (x)dx




Ahora consideremos el cálculo de la V[X] de la variable aleatoria continua con función de

densidad 23x si 0 x 1


.

2 21

2

0

3 3 3V X x f (x)dx x 3x dx

4 4 80

2.15.4 Propiedades de la varianza V[X]. Veamos ahora unas propiedades muy útiles de

la varianza de una variable aleatoria.

1. La varianza de una constante es cero.

V a 0

2. Es invariante por traslaciones.

V X a V X .

3. La varianza de una constante por una variable X es el producto del cuadrado de la

constante por la varianza de la variable.

2V aX a V X .

4. La varianza de una suma o diferencia de variables aleatorias es igual, en ambos casos,

a la suma de las varianzas de las variables, cuando éstas son independientes.

V(X Y) V(X) V(Y)

Ejemplo. Por estudios realizados anteriormente, se sabe que el número de vehículos X que

pasan por una estación de autolavado entre las 16 y 17 horas en cualquier sábado tiene la

siguiente función de densidad

2x 7

81

f x e8

.

Hallar para un sábado cualquiera entre las 16 y 17 horas:

a. El número medio y la varianza de los vehículos que llegan.

b. Si cada vehículo paga 6 € ¿cuál será la recaudación media y la varianza de la

recaudación?

c. Si Y=2X-1 es la cantidad de dinero que el administrador paga al encargado, ¿cuál será

la media y la varianza de la cantidad cobrada por el encargado un sábado cualquiera entre las

16 y 17 horas?

[email protected]



a) El número medio de vehículos que llegan es

2x 7

81

E X x e dx 78

La varianza del número de vehículos que llegan es

2x 7

22 2 2 281

V X E X E X x e dx 7 48

b) Sea R=6X la variable recaudación realizada cualquier sábado entre las 16 y 17 horas.

La recaudación media es

E R E 6X 6E X 42 €

La varianza de la variable recaudación en dicho periodo es

V R V 6X 36V X 144

c) Si Y es 2X-1 entonces, la media y la varianza de la cantidad cobrada por el encargado en los

sábados de 16 a 17 horas es:

E Y E 2X 1 2E X 1 13 €

V Y V 2X 1 4V X 16 €

[email protected]


http://asignaturas.topografia.upm.es/matematicas/videos/va_Discreta.wmv

http://asignaturas.topografia.upm.es/matematicas/videos/va-continuas.wmv

Cálculo y EstadísTICa. Primer...

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