T H O M A SC L C U L OU N A VA R I A B L E

UNDCIMA EDICIN

REGLAS DE DERIVACIN

Frmulas generales

Suponiendo que u y v son funciones diferenciables de x.

Funciones trigonomtricas

Funciones exponenciales y logartmicas

ddx

ax = ax ln a ddx

sloga xd =1

x ln a

ddx

ex = ex ddx

ln x = 1x

ddx

scot xd = -csc2 x ddx

scsc xd = -csc x cot x

ddx

stan xd = sec2 x ddx

ssec xd = sec x tan x

ddx

ssen xd = cos x ddx

scos xd = -sen x

ddx

ssgsxdd = sgsxdd # gsxdRegla de la cadena: ddx

xn = nxn - 1Potencia:

ddx

auy b =y

dudx

- u dydx

y2Cociente:

ddx

suyd = u dydx

+ y dudx

Producto: ddx

scud = c dudx

Mltiplo constante: ddx

su - yd = dudx

- dydx

Diferencia: ddx

su + yd = dudx

+ dydx

Suma: ddx

scd = 0Constante: Funciones trigonomtricas inversas

Funciones hiperblicas

Funciones hiperblicas inversas

Ecuaciones paramtricas

Si y son diferenciables, entonces

y =dydx

=dy>dtdx>dt y d2ydx2 = dy>dtdx>dt

y = gstdx = std

ddx

scoth-1 xd = 11 - x2

ddx

scsch-1 xd = - 1 x 21 + x2

ddx

stanh-1 xd = 11 - x2

ddx

ssech-1 xd = - 1x21 - x2

ddx

ssenh-1 xd = 121 + x2

ddx

scosh-1 xd = 12x2 - 1

ddx

scoth xd = -csch2 x ddx

scsch xd = -csch x coth x

ddx

stanh xd = sech2 x ddx

ssech xd = -sech x tanh x

ddx

ssenh xd = cosh x ddx

scosh xd = senh x

ddx

scot-1 xd = - 11 + x2 d

dx scsc-1 xd = - 1

x 2x2 - 1

ddx

stan-1 xd = 11 + x2 d

dx ssec-1 xd = 1

x 2x2 - 1

ddx

ssen-1 xd = 121 - x2 d

dx scos-1 xd = - 1

21 - x2

C L C U L OU N A V A R I A B L EU N D C I M A E D I C I N

George B.Thomas, Jr.Massachusetts Institute of Technology

Revisado por:Maurice D.Weir Joel Hass Frank R. Giordano

Naval Postgraduate School University of California, Davis Naval Postgraduate School

Dr. Carlos Bosh GiralDepartamento de MatemticasInstituto Tecnolgico Autnomo de Mxico(ITAM)

Csar Luis Garca Garca Departamento de MatemticasInstituto Tecnolgico Autnomo de Mxico(ITAM)

Claudia Gmez Wulschner Departamento de MatemticasInstituto Tecnolgico Autnomo de Mxico(ITAM)

Mauricio Pedraza PrezDepartamento de MatemticasEscuela Superior de Ingeniera Mecnicay ElctricaUnidad AzcapotzalcoInstituto Politcnico Nacional

Mara Elisa Barrn Garca, M.E.Instituto Tecnolgico y de EstudiosSuperiores de Monterreycampus Guadalajara

Roberto Nez Malherbe Instituto Tecnolgico de Estudios Superiores de Occidente (ITESO)

Francisco Javier Gonzlez PiaDepartamento de Matemticas, CUCEIUniversidad de Guadalajara

Carlos J. Zea RiveraCoordinacin de Ciencias Fsico-MatemticasUniversidad Iberoamericanacampus Torren

Jos BottoUniversidad Nacional de Rosario, Facultadde Ciencias Exactas, Ingeniera y AgrimensuraArgentina

Emilio Sastre Universidad Nacional de Rosario, Facultadde Ciencias Exactas, Ingeniera y AgrimensuraArgentina

Antonio Merchan Abril Coordinador Clculo DiferencialDepartamento de Matemticas Pontificia Universidad Javeriana Colombia

scar Andrs Montao CarreoDepartamento de Ciencias Naturalesy MatemticasPontificia Universidad JaverianaColombia

Leonardo SnchezProfesor del Departamento de IngenieraMatemticaFacultad de Ciencias Fsicas y MatemticasUniversidad de Chile

Ren Jorge Piedra de la TorreDirector del Departamento de Matemtica yFsicaPontificia Universidad Catlica Madre yMaestraRepblica Dominicana

Mara Rosa BritoProfesora de ClculoUniversidad Simn Bolvar,Venezuela

Antonio Jos Syers Hernndez Coordinador de ClculoUniversidad Metropolitana,Venezuela

TRADUCCIN

REVISIN TCNICA

Elena de Oteyza de Oteyza Vctor Hugo Ibarra MercadoInstituto de Matemticas, Escuela Superior de Fsica y MatemticasUniversidad Nacional Autnoma de Mxico Instituto Politcnico Nacional

Authorized translation from the English language edition, entitled Thomas calculus 11th ed., George B. Thomas, Jr., published by Pearson Education, Inc.,publishing as Addison Wesley, Copyright 2005. All rights reserved.ISBN 0-321-185587

Traduccin autorizada de la edicin en idioma ingls, titulada Thomas calculus 11a ed., de George B. Thomas, Jr., publicada por Pearson Education, Inc.,publicada como Addison Wesley, Copyright 2005. Todos los derechos reservados.

Esta edicin en espaol es la nica autorizada.

Edicin en espaolEditor: Enrique Quintanar Duarte

e-mail: enrique.quintanar@pearsoned.comEditor de desarrollo: Miguel B. Gutirrez HernndezSupervisor de produccin: Jos D. Hernndez Garduo

Datos de catalogacin bibliogrfica

THOMAS, JR., GEORGE B.

Clculo. Una variable. Undcima edicin

PEARSON EDUCACIN, Mxico, 2006

ISBN: 970-26-0643-8 rea: Universitarios

Formato: 21 27 cm Pginas: 824

Edicin en ingls:Publisher: Greg Tobin Acquisitions Editor: Willliam Hoffman Managing Editor: Karen Wernholm Senior Project Editor: Rachel S. Reeve Editorial Assistants: Mary Reynolds, Emily Portwood Production Supervisor: Julie LaChance James Marketing Manager: Phyllis Hubard Marketing Assistant: Heather Peck Senior Manufacturing Buyer: Evelyn Beaton

Senior Prepress Supervisor: Caroline Beaton Associate Media Producer: Sara Anderson Software Editors: David Malone, Bob Carroll Senior Author Suppor/Technology Specialist: Joe Vetere Supplements Production Supervisor: Sheila Spinney Composition and Production Services: Nesbitt Graphics, Inc. Illustrations: Techsetters, Inc. Senior Designer: Geri Davis/The Davis Group, Inc. Cover Design: Barbara T. Atkinson Cover Photograph: Benjamin Mendlowitz

UNDCIMA EDICIN, 2006

D.R. 2006 por Pearson Educacin de Mxico, S.A. de C.V. Atlacomulco nm. 500, 5 pisoCol. Industrial Atoto 53519, Naucalpan de Jurez, Edo. de MxicoE-mail: editorial.universidades@pearsoned.com

Cmara Nacional de la Industria Editorial Mexicana. Reg. Nm. 1031

Reservados todos los derechos. Ni la totalidad ni parte de esta publicacin pueden reproducirse, registrarse o transmitirse, por un sistema de recuperacinde informacin, en ninguna forma ni por ningn medio, sea electrnico, mecnico, fotoqumico, magntico o electroptico, por fotocopia, grabacino cualquier otro, sin permiso previo por escrito del editor.

El prstamo, alquiler o cualquier otra forma de cesin de uso de este ejemplar requerir tambin la autorizacin del editor o de sus representantes.

ISBN 970-26-0643-8

Impreso en Mxico. Printed in Mexico.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 - 09 08 07 06

Dedicado a

Ross Lee Finney III

(1933-2000)

profesor, mentor, autor,

gran persona, y amigo de todos

CONTENIDO

Prefacio ix

Volumen I

1 Preliminares 11.1 Los nmeros reales y la recta real 11.2 Rectas, crculos y parbolas 91.3 Funciones y sus grficas 191.4 Identificacin de funciones: modelos matemticos 281.5 Combinacin de funciones; traslaciones y cambio de escala en grficas 381.6 Funciones trigonomtricas 481.7 Graficacin con calculadoras y computadoras 59

PREGUNTAS DE REPASO 68EJERCICIOS DE PRCTICA 69EJERCICIOS ADICIONALES Y AVANZADOS 71

2 Lmites y continuidad 732.1 Razn de cambio y lmites 732.2 Clculo de lmites mediante las leyes de los lmites 842.3 La definicin formal de lmite 912.4 Lmites laterales y lmites al infinito 1022.5 Lmites infinitos y asntotas verticales 1152.6 Continuidad 1242.7 Tangentes y derivadas 134

PREGUNTAS DE REPASO 141EJERCICIOS DE PRCTICA 142EJERCICIOS ADICIONALES Y AVANZADOS 144

3 Derivadas 1473.1 La derivada como una funcin 1473.2 Reglas de diferenciacin 159

iii

3.3 La derivada como razn de cambio 1713.4 Derivadas de funciones trigonomtricas 1833.5 Regla de la cadena y ecuaciones paramtricas 1903.6 Diferenciacin implcita 2053.7 Razones de cambio o tasas relacionadas 2133.8 Linealizacin y diferenciales 221

PREGUNTAS DE REPASO 235EJERCICIOS DE PRCTICA 235EJERCICIOS ADICIONALES Y AVANZADOS 240

4 Aplicaciones de las derivadas 2444.1 Valores extremos de una ecuacin 2444.2 El teorema del valor medio 2554.3 Funciones montonas y el criterio de la primera derivada 2624.4 Concavidad y trazado de curvas 2674.5 Problemas de optimizacin aplicados 2784.6 Formas indeterminadas y la regla de LHpital 2924.7 El mtodo de Newton 2994.8 Antiderivadas 307

PREGUNTAS DE REPASO 318EJERCICIOS DE PRCTICA 318EJERCICIOS ADICIONALES Y AVANZADOS 322

5 Integracin 3255.1 Estimacin con sumas finitas 3255.2 Notacin sigma y lmites de sumas finitas 3355.3 La integral definida 3435.4 El teorema fundamental del clculo 3565.5 Las integrales indefinidas y la regla de sustitucin 3685.6 Sustitucin y reas entre curvas 376

PREGUNTAS DE REPASO 387EJERCICIOS DE PRCTICA 388EJERCICIOS ADICIONALES Y AVANZADOS 391

6 Aplicaciones de las integrales definidas 3966.1 Clculo de volmenes por secciones transversales y por rotacin

alrededor de un eje 3966.2 Clculo de volmenes por medio de casquillos cilndricos 4096.3 Longitudes de curvas planas 4166.4 Momentos y centro de masa 4246.5 reas de superficies de revolucin y el teorema de Pappus 4366.6 Trabajo 4476.7 Presiones y fuerzas en fluidos 456

iv Contenido

PREGUNTAS DE REPASO 461EJERCICIOS DE PRCTICA 461EJERCICIOS ADICIONALES Y AVANZADOS 464

7 Funciones trascendentes 4667.1 Funciones inversas y sus derivadas 4667.2 Logaritmos naturales 4767.3 La funcin exponencial 4867.4 y log 4957.5 Crecimiento y decaimiento exponenciales 5027.6 Razones de crecimiento relativas 5117.7 Funciones trigono