Cálculo Diferencial Vectorial - RI UAEMex
Transcript of Cálculo Diferencial Vectorial - RI UAEMex
![Page 1: Cálculo Diferencial Vectorial - RI UAEMex](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012414/616ef959efd7544d155d9d88/html5/thumbnails/1.jpg)
Cálculo Diferencial Vectorial
CÁLCULO DIFERENCIAL VECTORIAL
UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DEL
ESTADO DE MÉXICO
Facultad de Ciencias
Diferenciabilidad
José Guadalupe Anaya Ortega
![Page 2: Cálculo Diferencial Vectorial - RI UAEMex](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012414/616ef959efd7544d155d9d88/html5/thumbnails/2.jpg)
Cálculo Diferencial Vectorial
Proposito General
Proposito General de la Unidad de Aprendizaje
Manejar los conceptos de derivadas parciales, gradientes,multiplicadores de Lagrange y aplicarlos en diversas áreashaciendo énfasis en aplicaciones físicas. Conocer el Teorema deTaylor, el Teorema de la Función Implícita y el Teorema de laFunción Inversa y sus diversas aplicaciones.
![Page 3: Cálculo Diferencial Vectorial - RI UAEMex](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012414/616ef959efd7544d155d9d88/html5/thumbnails/3.jpg)
Cálculo Diferencial Vectorial
Presentación
El presente material didáctico de solo visión proyectable, tienecomo finalidad, desarrollar en los estudiantes la habilidad de laobservación, reflexión y análisis sobre:Campos vectoriales y funciones con valores reales,Limites de campos vectoriales,Continuidad,Diferenciabilidad.Dentro del enfoque por competencias se pretende desarrollar enel estudiante la capacidad de análisis.
![Page 4: Cálculo Diferencial Vectorial - RI UAEMex](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012414/616ef959efd7544d155d9d88/html5/thumbnails/4.jpg)
Cálculo Diferencial Vectorial
Especificaciones
La metodología que se sugiere para el mejor aprovechamientodel material respecto a cada tema, se describe a continuación,sin embargo a los jóvenes les resulta agradable el uso este tipode recurso didáctico, específicamente las diapositivasconsiderándolas como notas de clase, para efectuar el repaso quefortalezca su aprendizaje.
![Page 5: Cálculo Diferencial Vectorial - RI UAEMex](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012414/616ef959efd7544d155d9d88/html5/thumbnails/5.jpg)
Cálculo Diferencial Vectorial
Recursos que se utilizarán
1 Cañon,
2 Software: Cualquier visor de archivos pdf,
3 Computadora,
4 Pizarrón,
5 Material impreso.
![Page 6: Cálculo Diferencial Vectorial - RI UAEMex](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012414/616ef959efd7544d155d9d88/html5/thumbnails/6.jpg)
Cálculo Diferencial Vectorial
Indicaciones de uso
El uso del presente material es de fácil acceso:
1 Abra el dispositivo de almacenamiento con doble clic.
2 Solo de clic para dejar pasar las diapositivas.
3 Con la tecla ESC se interrumpe la presentación.
4 Con las teclas de Redpág y Avpág puede avanzar yretroceder las diapositiva.
![Page 7: Cálculo Diferencial Vectorial - RI UAEMex](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012414/616ef959efd7544d155d9d88/html5/thumbnails/7.jpg)
Cálculo Diferencial Vectorial
Competencias a desarrollar
1 De conocimientos1 Campos vectoriales y funciones con valores reales,2 Limites de campos vectoriales,3 Continuidad,4 Diferenciabilidad.
2 De Habilidades1 Identificación de postulados, hipótesis y conclusiones.
Intuición sobre la veracidad o falsedad de una afirmación.3 De Actitudes y Valores
1 Disciplina, orden, tenacidad, gusto por enfrentar nuevosretos, paciencia y rigor en el razonamiento.
![Page 8: Cálculo Diferencial Vectorial - RI UAEMex](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012414/616ef959efd7544d155d9d88/html5/thumbnails/8.jpg)
Cálculo Diferencial Vectorial
Índice General
1 Objetivo.2 Geometría de Funciones.3 Continuidad.4 Límites.5 Diferenciación.6 Bibliografía
![Page 9: Cálculo Diferencial Vectorial - RI UAEMex](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012414/616ef959efd7544d155d9d88/html5/thumbnails/9.jpg)
Cálculo Diferencial Vectorial
Diferenciacíon
Objetivo
Ampliar los principios del cálculo diferencial para funciones deuna variable a funciones de varias variables.
Pare ello en la primera parte del curso realizaremos lo siguiente
1 Geometría de las funciones con valores reales y el estudio delas gráficas de estas funciones.
2 Definiciones básicas de límite y continuidad.3 Definición de derivada y reglas básicas del cálculo.4 Algunas aplicaciones.
![Page 10: Cálculo Diferencial Vectorial - RI UAEMex](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012414/616ef959efd7544d155d9d88/html5/thumbnails/10.jpg)
Cálculo Diferencial Vectorial
Diferenciacíon
Objetivo
Ampliar los principios del cálculo diferencial para funciones deuna variable a funciones de varias variables.
Pare ello en la primera parte del curso realizaremos lo siguiente
1 Geometría de las funciones con valores reales y el estudio delas gráficas de estas funciones.
2 Definiciones básicas de límite y continuidad.3 Definición de derivada y reglas básicas del cálculo.4 Algunas aplicaciones.
![Page 11: Cálculo Diferencial Vectorial - RI UAEMex](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012414/616ef959efd7544d155d9d88/html5/thumbnails/11.jpg)
Cálculo Diferencial Vectorial
Diferenciacíon
Objetivo
Ampliar los principios del cálculo diferencial para funciones deuna variable a funciones de varias variables.
Pare ello en la primera parte del curso realizaremos lo siguiente1 Geometría de las funciones con valores reales y el estudio de
las gráficas de estas funciones.
2 Definiciones básicas de límite y continuidad.3 Definición de derivada y reglas básicas del cálculo.4 Algunas aplicaciones.
![Page 12: Cálculo Diferencial Vectorial - RI UAEMex](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012414/616ef959efd7544d155d9d88/html5/thumbnails/12.jpg)
Cálculo Diferencial Vectorial
Diferenciacíon
Objetivo
Ampliar los principios del cálculo diferencial para funciones deuna variable a funciones de varias variables.
Pare ello en la primera parte del curso realizaremos lo siguiente1 Geometría de las funciones con valores reales y el estudio de
las gráficas de estas funciones.2 Definiciones básicas de límite y continuidad.
3 Definición de derivada y reglas básicas del cálculo.4 Algunas aplicaciones.
![Page 13: Cálculo Diferencial Vectorial - RI UAEMex](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012414/616ef959efd7544d155d9d88/html5/thumbnails/13.jpg)
Cálculo Diferencial Vectorial
Diferenciacíon
Objetivo
Ampliar los principios del cálculo diferencial para funciones deuna variable a funciones de varias variables.
Pare ello en la primera parte del curso realizaremos lo siguiente1 Geometría de las funciones con valores reales y el estudio de
las gráficas de estas funciones.2 Definiciones básicas de límite y continuidad.3 Definición de derivada y reglas básicas del cálculo.
4 Algunas aplicaciones.
![Page 14: Cálculo Diferencial Vectorial - RI UAEMex](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012414/616ef959efd7544d155d9d88/html5/thumbnails/14.jpg)
Cálculo Diferencial Vectorial
Diferenciacíon
Objetivo
Ampliar los principios del cálculo diferencial para funciones deuna variable a funciones de varias variables.
Pare ello en la primera parte del curso realizaremos lo siguiente1 Geometría de las funciones con valores reales y el estudio de
las gráficas de estas funciones.2 Definiciones básicas de límite y continuidad.3 Definición de derivada y reglas básicas del cálculo.4 Algunas aplicaciones.
![Page 15: Cálculo Diferencial Vectorial - RI UAEMex](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012414/616ef959efd7544d155d9d88/html5/thumbnails/15.jpg)
Cálculo Diferencial Vectorial
Geometría de funciones
Definición 1Sean n, m ∈ N y f : A ⊂ Rn → Rm. Cuando m > 1, a f lollamaremos función con valores vectoriales,
si m = 1, a fse le llama función de valores escalares.
Ejemplo
1 f : R4 − {0} → R2 definida porf(x1, x2, x3, x4) = (1/(x21 + x22, x
23 + x24), x2 − x3).
2 g : R3 → R2 definida porg(x1, x2, x3) = (sen(x1x2x3), x31x2 − x3).
3 h : R3 → R definida por h(x1, x2, x3) = x21 + x32 + exp(x3).4 f : R→ R2 definida por f(t) = (sen(t), cos(t)).
![Page 16: Cálculo Diferencial Vectorial - RI UAEMex](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012414/616ef959efd7544d155d9d88/html5/thumbnails/16.jpg)
Cálculo Diferencial Vectorial
Geometría de funciones
Definición 1Sean n, m ∈ N y f : A ⊂ Rn → Rm. Cuando m > 1, a f lollamaremos función con valores vectoriales, si m = 1, a fse le llama función de valores escalares.
Ejemplo
1 f : R4 − {0} → R2 definida porf(x1, x2, x3, x4) = (1/(x21 + x22, x
23 + x24), x2 − x3).
2 g : R3 → R2 definida porg(x1, x2, x3) = (sen(x1x2x3), x31x2 − x3).
3 h : R3 → R definida por h(x1, x2, x3) = x21 + x32 + exp(x3).4 f : R→ R2 definida por f(t) = (sen(t), cos(t)).
![Page 17: Cálculo Diferencial Vectorial - RI UAEMex](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012414/616ef959efd7544d155d9d88/html5/thumbnails/17.jpg)
Cálculo Diferencial Vectorial
Geometría de funciones
Definición 1Sean n, m ∈ N y f : A ⊂ Rn → Rm. Cuando m > 1, a f lollamaremos función con valores vectoriales, si m = 1, a fse le llama función de valores escalares.
Ejemplo1 f : R4 − {0} → R2 definida porf(x1, x2, x3, x4) = (1/(x21 + x22, x
23 + x24), x2 − x3).
2 g : R3 → R2 definida porg(x1, x2, x3) = (sen(x1x2x3), x31x2 − x3).
3 h : R3 → R definida por h(x1, x2, x3) = x21 + x32 + exp(x3).4 f : R→ R2 definida por f(t) = (sen(t), cos(t)).
![Page 18: Cálculo Diferencial Vectorial - RI UAEMex](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012414/616ef959efd7544d155d9d88/html5/thumbnails/18.jpg)
Cálculo Diferencial Vectorial
Geometría de funciones
Definición 1Sean n, m ∈ N y f : A ⊂ Rn → Rm. Cuando m > 1, a f lollamaremos función con valores vectoriales, si m = 1, a fse le llama función de valores escalares.
Ejemplo1 f : R4 − {0} → R2 definida porf(x1, x2, x3, x4) = (1/(x21 + x22, x
23 + x24), x2 − x3).
2 g : R3 → R2 definida porg(x1, x2, x3) = (sen(x1x2x3), x31x2 − x3).
3 h : R3 → R definida por h(x1, x2, x3) = x21 + x32 + exp(x3).4 f : R→ R2 definida por f(t) = (sen(t), cos(t)).
![Page 19: Cálculo Diferencial Vectorial - RI UAEMex](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012414/616ef959efd7544d155d9d88/html5/thumbnails/19.jpg)
Cálculo Diferencial Vectorial
Geometría de funciones
Definición 1Sean n, m ∈ N y f : A ⊂ Rn → Rm. Cuando m > 1, a f lollamaremos función con valores vectoriales, si m = 1, a fse le llama función de valores escalares.
Ejemplo1 f : R4 − {0} → R2 definida porf(x1, x2, x3, x4) = (1/(x21 + x22, x
23 + x24), x2 − x3).
2 g : R3 → R2 definida porg(x1, x2, x3) = (sen(x1x2x3), x31x2 − x3).
3 h : R3 → R definida por h(x1, x2, x3) = x21 + x32 + exp(x3).
4 f : R→ R2 definida por f(t) = (sen(t), cos(t)).
![Page 20: Cálculo Diferencial Vectorial - RI UAEMex](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012414/616ef959efd7544d155d9d88/html5/thumbnails/20.jpg)
Cálculo Diferencial Vectorial
Geometría de funciones
Definición 1Sean n, m ∈ N y f : A ⊂ Rn → Rm. Cuando m > 1, a f lollamaremos función con valores vectoriales, si m = 1, a fse le llama función de valores escalares.
Ejemplo1 f : R4 − {0} → R2 definida porf(x1, x2, x3, x4) = (1/(x21 + x22, x
23 + x24), x2 − x3).
2 g : R3 → R2 definida porg(x1, x2, x3) = (sen(x1x2x3), x31x2 − x3).
3 h : R3 → R definida por h(x1, x2, x3) = x21 + x32 + exp(x3).4 f : R→ R2 definida por f(t) = (sen(t), cos(t)).
![Page 21: Cálculo Diferencial Vectorial - RI UAEMex](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012414/616ef959efd7544d155d9d88/html5/thumbnails/21.jpg)
Cálculo Diferencial Vectorial
Definición 2Sea f : U ⊂ Rn → R. Definimos la gráfica de f como elsubconjunto de Rn+1 que consta de todos los puntos(x1, x2, . . . , xn, f(x1, x2, . . . , xn)), para (x1, x2, . . . , xn) ∈ U . Esdecir
graf(f) = {(x1, x2, . . . , xn, f(x1, x2, . . . , xn)) ∈ Rn+1 :(x1, x2, . . . , xn) ∈ U}.
![Page 22: Cálculo Diferencial Vectorial - RI UAEMex](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012414/616ef959efd7544d155d9d88/html5/thumbnails/22.jpg)
Cálculo Diferencial Vectorial
Definición 2Sea f : U ⊂ Rn → R. Definimos la gráfica de f como elsubconjunto de Rn+1 que consta de todos los puntos(x1, x2, . . . , xn, f(x1, x2, . . . , xn)), para (x1, x2, . . . , xn) ∈ U . Esdecir
graf(f) = {(x1, x2, . . . , xn, f(x1, x2, . . . , xn)) ∈ Rn+1 :(x1, x2, . . . , xn) ∈ U}.
y
xU
![Page 23: Cálculo Diferencial Vectorial - RI UAEMex](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012414/616ef959efd7544d155d9d88/html5/thumbnails/23.jpg)
Cálculo Diferencial Vectorial
Definición 2Sea f : U ⊂ Rn → R. Definimos la gráfica de f como elsubconjunto de Rn+1 que consta de todos los puntos(x1, x2, . . . , xn, f(x1, x2, . . . , xn)), para (x1, x2, . . . , xn) ∈ U . Esdecir
graf(f) = {(x1, x2, . . . , xn, f(x1, x2, . . . , xn)) ∈ Rn+1 :(x1, x2, . . . , xn) ∈ U}.
y
xx
z
U
![Page 24: Cálculo Diferencial Vectorial - RI UAEMex](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012414/616ef959efd7544d155d9d88/html5/thumbnails/24.jpg)
Cálculo Diferencial Vectorial
Curvas de nivel
Definición 3Sean f : U ⊂ Rn → R y c ∈ R. Entonces el conjunto de niveldel valor c se define como aquellos puntos x ∈ U para loscuales f(x) = c. Si n = 2, hablamos de una curva de nivel(del valor c); y si n = 3, hablamos de una superficie de nivel.Es decir, el conjunto de nivel de valor c se escribe
{x ∈ U : f(x) = c} ⊂ Rn.
Ejemplos:
1 f : R2 → R, definida por f(x, y) = 2.
![Page 25: Cálculo Diferencial Vectorial - RI UAEMex](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012414/616ef959efd7544d155d9d88/html5/thumbnails/25.jpg)
Cálculo Diferencial Vectorial
Curvas de nivel
Definición 3Sean f : U ⊂ Rn → R y c ∈ R. Entonces el conjunto de niveldel valor c se define como aquellos puntos x ∈ U para loscuales f(x) = c. Si n = 2, hablamos de una curva de nivel(del valor c); y si n = 3, hablamos de una superficie de nivel.Es decir, el conjunto de nivel de valor c se escribe
{x ∈ U : f(x) = c} ⊂ Rn.
Ejemplos:
1 f : R2 → R, definida por f(x, y) = 2.
![Page 26: Cálculo Diferencial Vectorial - RI UAEMex](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012414/616ef959efd7544d155d9d88/html5/thumbnails/26.jpg)
Cálculo Diferencial Vectorial
Curvas de nivel
Definición 3Sean f : U ⊂ Rn → R y c ∈ R. Entonces el conjunto de niveldel valor c se define como aquellos puntos x ∈ U para loscuales f(x) = c. Si n = 2, hablamos de una curva de nivel(del valor c); y si n = 3, hablamos de una superficie de nivel.Es decir, el conjunto de nivel de valor c se escribe
{x ∈ U : f(x) = c} ⊂ Rn.
Ejemplos:1 f : R2 → R, definida por f(x, y) = 2.
![Page 27: Cálculo Diferencial Vectorial - RI UAEMex](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012414/616ef959efd7544d155d9d88/html5/thumbnails/27.jpg)
Cálculo Diferencial Vectorial
Curvas de nivel
y
x
![Page 28: Cálculo Diferencial Vectorial - RI UAEMex](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012414/616ef959efd7544d155d9d88/html5/thumbnails/28.jpg)
Cálculo Diferencial Vectorial
Esbozo de la gráfica
y
xx
z
c=2
![Page 29: Cálculo Diferencial Vectorial - RI UAEMex](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012414/616ef959efd7544d155d9d88/html5/thumbnails/29.jpg)
Cálculo Diferencial Vectorial
Esbozo de la gráfica
![Page 30: Cálculo Diferencial Vectorial - RI UAEMex](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012414/616ef959efd7544d155d9d88/html5/thumbnails/30.jpg)
Cálculo Diferencial Vectorial
Curvas de nivel
f : R2 → R, definida por f(x, y) = x+ y + 2.
![Page 31: Cálculo Diferencial Vectorial - RI UAEMex](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012414/616ef959efd7544d155d9d88/html5/thumbnails/31.jpg)
Cálculo Diferencial Vectorial
Curvas de nivel
f : R2 → R, definida por f(x, y) = x+ y + 2.
y
x
f(x,y)=x+y+2=2
f(x,y)=x+y+2=4
f(x,y)=x+y+2=0
![Page 32: Cálculo Diferencial Vectorial - RI UAEMex](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012414/616ef959efd7544d155d9d88/html5/thumbnails/32.jpg)
Cálculo Diferencial Vectorial
Curvas de nivel
f : R2 → R, definida por f(x, y) = x+ y + 2.
y
xx
z
![Page 33: Cálculo Diferencial Vectorial - RI UAEMex](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012414/616ef959efd7544d155d9d88/html5/thumbnails/33.jpg)
Cálculo Diferencial Vectorial
Curvas de nivel
![Page 34: Cálculo Diferencial Vectorial - RI UAEMex](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012414/616ef959efd7544d155d9d88/html5/thumbnails/34.jpg)
Cálculo Diferencial Vectorial
Curvas de nivel
f : R2 → R, definida por f(x, y) = x2 + y2.
![Page 35: Cálculo Diferencial Vectorial - RI UAEMex](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012414/616ef959efd7544d155d9d88/html5/thumbnails/35.jpg)
Cálculo Diferencial Vectorial
Curvas de nivel
f : R2 → R, definida por f(x, y) = x2 + y2.
y
x
![Page 36: Cálculo Diferencial Vectorial - RI UAEMex](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012414/616ef959efd7544d155d9d88/html5/thumbnails/36.jpg)
Cálculo Diferencial Vectorial
Curvas de nivel
f : R2 → R, definida por f(x, y) = x2 + y2.
y
xx
z
![Page 37: Cálculo Diferencial Vectorial - RI UAEMex](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012414/616ef959efd7544d155d9d88/html5/thumbnails/37.jpg)
Cálculo Diferencial Vectorial
Curvas de nivel
![Page 38: Cálculo Diferencial Vectorial - RI UAEMex](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012414/616ef959efd7544d155d9d88/html5/thumbnails/38.jpg)
Cálculo Diferencial Vectorial
Curvas de nivel
1 f : R2 → R, definida por f(x, y) = x2 + 4y2.2 g : R2 → R, definida por g(x, y) = x− y + 3.3 h : R2 → R, definida por g(x, y) = −xy.
![Page 39: Cálculo Diferencial Vectorial - RI UAEMex](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012414/616ef959efd7544d155d9d88/html5/thumbnails/39.jpg)
Cálculo Diferencial Vectorial
Continuidad
Definición 4Sea f : A ⊂ Rn → Rm una función con dominio A. Decimos quef es continua en x0 si y solo si para cada ε > 0 existe δ > 0tal que si x ∈ Bδ(x0) ∩A, entonces f(x) ∈ Bε(f(x0)).Si decimos simplemente que f es continua, queremos decir quef es continua en cada punto x0 de A.
Teorema 5Sean f : A ⊂ Rn → Rm, g : A ⊂ Rn → Rm y c un número real.
1 Si f es continua en x0, también lo es cf , donde(cf)(x) = c(f(x)).
2 Si f y g son continuas en x0, también lo es f + g, donde(f + g)(x) = f(x) + g(x).
![Page 40: Cálculo Diferencial Vectorial - RI UAEMex](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012414/616ef959efd7544d155d9d88/html5/thumbnails/40.jpg)
Cálculo Diferencial Vectorial
Continuidad
Definición 4Sea f : A ⊂ Rn → Rm una función con dominio A. Decimos quef es continua en x0 si y solo si para cada ε > 0 existe δ > 0tal que si x ∈ Bδ(x0) ∩A, entonces f(x) ∈ Bε(f(x0)).Si decimos simplemente que f es continua, queremos decir quef es continua en cada punto x0 de A.
Teorema 5Sean f : A ⊂ Rn → Rm, g : A ⊂ Rn → Rm y c un número real.
1 Si f es continua en x0, también lo es cf , donde(cf)(x) = c(f(x)).
2 Si f y g son continuas en x0, también lo es f + g, donde(f + g)(x) = f(x) + g(x).
![Page 41: Cálculo Diferencial Vectorial - RI UAEMex](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012414/616ef959efd7544d155d9d88/html5/thumbnails/41.jpg)
Cálculo Diferencial Vectorial
Continuidad
Definición 4Sea f : A ⊂ Rn → Rm una función con dominio A. Decimos quef es continua en x0 si y solo si para cada ε > 0 existe δ > 0tal que si x ∈ Bδ(x0) ∩A, entonces f(x) ∈ Bε(f(x0)).Si decimos simplemente que f es continua, queremos decir quef es continua en cada punto x0 de A.
Teorema 5Sean f : A ⊂ Rn → Rm, g : A ⊂ Rn → Rm y c un número real.
1 Si f es continua en x0, también lo es cf , donde(cf)(x) = c(f(x)).
2 Si f y g son continuas en x0, también lo es f + g, donde(f + g)(x) = f(x) + g(x).
![Page 42: Cálculo Diferencial Vectorial - RI UAEMex](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012414/616ef959efd7544d155d9d88/html5/thumbnails/42.jpg)
Cálculo Diferencial Vectorial
Continuidad
Definición 4Sea f : A ⊂ Rn → Rm una función con dominio A. Decimos quef es continua en x0 si y solo si para cada ε > 0 existe δ > 0tal que si x ∈ Bδ(x0) ∩A, entonces f(x) ∈ Bε(f(x0)).Si decimos simplemente que f es continua, queremos decir quef es continua en cada punto x0 de A.
Teorema 5Sean f : A ⊂ Rn → Rm, g : A ⊂ Rn → Rm y c un número real.
1 Si f es continua en x0, también lo es cf , donde(cf)(x) = c(f(x)).
2 Si f y g son continuas en x0, también lo es f + g, donde(f + g)(x) = f(x) + g(x).
![Page 43: Cálculo Diferencial Vectorial - RI UAEMex](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012414/616ef959efd7544d155d9d88/html5/thumbnails/43.jpg)
Cálculo Diferencial Vectorial
Lema 6
1 Si
|x− x0| < min(1,
ε
2(|y0|+ 1)
)y |y − y0| <
ε
2(|x0|+ 1),
entonces|xy − x0y0| < ε.
2 Si y0 6= 0 y
|y − y0| < min(|y0|2,ε|y0|2
2
)entonces y 6= 0 y ∣∣∣∣1y − 1
y0
∣∣∣∣ < ε.
![Page 44: Cálculo Diferencial Vectorial - RI UAEMex](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012414/616ef959efd7544d155d9d88/html5/thumbnails/44.jpg)
Cálculo Diferencial Vectorial
Continuidad
Teorema 7Sean f : A ⊂ Rn → R y g : A ⊂ Rn → R.
1 Si f y g son continuas en x0, entonces la función productofg definida por (fg)(x) = f(x)g(x) es continua en x0.
2 Si f : A ⊂ Rn → R es continua en x0 y no se anula en A,entonces el cociente 1/f es continua en x0, donde(1/f)(x) = 1/f(x).
![Page 45: Cálculo Diferencial Vectorial - RI UAEMex](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012414/616ef959efd7544d155d9d88/html5/thumbnails/45.jpg)
Cálculo Diferencial Vectorial
Continuidad
Teorema 7Sean f : A ⊂ Rn → R y g : A ⊂ Rn → R.
1 Si f y g son continuas en x0, entonces la función productofg definida por (fg)(x) = f(x)g(x) es continua en x0.
2 Si f : A ⊂ Rn → R es continua en x0 y no se anula en A,entonces el cociente 1/f es continua en x0, donde(1/f)(x) = 1/f(x).
![Page 46: Cálculo Diferencial Vectorial - RI UAEMex](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012414/616ef959efd7544d155d9d88/html5/thumbnails/46.jpg)
Cálculo Diferencial Vectorial
Continuidad
Teorema 8Sean f : A ⊂ Rn → Rm y g : B ⊂ Rm → Rs. Si f(A) ⊂ B, f escontinua en x0 ∈ A y g es continua en f(x0), entoncesg ◦ f : A→ Rs es continua en x0.
![Page 47: Cálculo Diferencial Vectorial - RI UAEMex](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012414/616ef959efd7544d155d9d88/html5/thumbnails/47.jpg)
Cálculo Diferencial Vectorial
Límites
Definición 9Sea f : A ⊂ Rn → Rm una función con dominio A. Decimos quef tiende a l0, cuando x tiene a x0 si y solo si para cada ε > 0existe δ > 0 tal que si x ∈ Bδ(x) ∩A− {x0}, entoncesf(x) ∈ Bε(l0). Se denota por
limx→x0
f(x) = l0.
![Page 48: Cálculo Diferencial Vectorial - RI UAEMex](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012414/616ef959efd7544d155d9d88/html5/thumbnails/48.jpg)
Cálculo Diferencial Vectorial
Límites
Teorema 10Sea f : A ⊂ Rn → Rm una función con dominio A. Si
limx→x0
f(x) = l0
y
limx→x0
f(x) = l1,
entonces l0 = l1.
![Page 49: Cálculo Diferencial Vectorial - RI UAEMex](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012414/616ef959efd7544d155d9d88/html5/thumbnails/49.jpg)
Cálculo Diferencial Vectorial
Límites
Teorema 11Sean f : A ⊂ Rn → Rm, g : A ⊂ Rn → Rm y c un número real.
1 Si limx→x0
f(x) = l0, entonces limx→x0
cf(x) = cl0, donde
(cf)(x) = c(f(x)).
2 Si limx→x0
f(x) = l0 y limx→x0
g(x) = l1, entonces
limx→x0
(f + g)(x) = l0 + l1, donde (f + g)(x) = f(x) + g(x).
![Page 50: Cálculo Diferencial Vectorial - RI UAEMex](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012414/616ef959efd7544d155d9d88/html5/thumbnails/50.jpg)
Cálculo Diferencial Vectorial
Límites
Teorema 11Sean f : A ⊂ Rn → Rm, g : A ⊂ Rn → Rm y c un número real.
1 Si limx→x0
f(x) = l0, entonces limx→x0
cf(x) = cl0, donde
(cf)(x) = c(f(x)).2 Si lim
x→x0f(x) = l0 y lim
x→x0g(x) = l1, entonces
limx→x0
(f + g)(x) = l0 + l1, donde (f + g)(x) = f(x) + g(x).
![Page 51: Cálculo Diferencial Vectorial - RI UAEMex](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012414/616ef959efd7544d155d9d88/html5/thumbnails/51.jpg)
Cálculo Diferencial Vectorial
Teorema 12Sean f : A ⊂ Rn → R y g : A ⊂ Rn → R.
1 Si limx→x0
f(x) = l0 y limx→x0
g(x) = l1, entonces
limx→x0
(fg)(x) = l0l1, donde fg esta definida por
(fg)(x) = f(x)g(x) es continua en x0.
2 Si limx→x0
f(x) = l0 6= 0 y f no se anula en A, entonces
limx→x0
(1/f)(x) = 1/l0, donde (1/f)(x) = 1/f(x).
![Page 52: Cálculo Diferencial Vectorial - RI UAEMex](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012414/616ef959efd7544d155d9d88/html5/thumbnails/52.jpg)
Cálculo Diferencial Vectorial
Teorema 12Sean f : A ⊂ Rn → R y g : A ⊂ Rn → R.
1 Si limx→x0
f(x) = l0 y limx→x0
g(x) = l1, entonces
limx→x0
(fg)(x) = l0l1, donde fg esta definida por
(fg)(x) = f(x)g(x) es continua en x0.2 Si lim
x→x0f(x) = l0 6= 0 y f no se anula en A, entonces
limx→x0
(1/f)(x) = 1/l0, donde (1/f)(x) = 1/f(x).
![Page 53: Cálculo Diferencial Vectorial - RI UAEMex](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012414/616ef959efd7544d155d9d88/html5/thumbnails/53.jpg)
Cálculo Diferencial Vectorial
Teorema 13Sean f : A ⊂ Rn → Rm, g : A ⊂ Rn → Rm y b ∈ Rm. Sif(x) = (f1(x), f2(x), . . . , fm(x)), donde fi : A→ R, parai ∈ 1, 2, . . . ,m, son las funciones componentes de f , entonceslimx→x0
f(x) = b = (b1, b2, . . . , bm) si y solo si limx→x0
fi(x) = bi, para
cada i ∈ 1, 2, . . . ,m.
Teorema 14Sean f : A ⊂ Rn → Rm, g : A ⊂ Rn → Rm. Sif(x) = (f1(x), f2(x), . . . , fm(x)), donde fi : A→ R, parai ∈ 1, 2, . . . ,m, son las funciones componentes de f , entonces fes continua en x0 si y solo si cada una de las funcionesf1, f2, . . . fm es continua en x0.
![Page 54: Cálculo Diferencial Vectorial - RI UAEMex](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012414/616ef959efd7544d155d9d88/html5/thumbnails/54.jpg)
Cálculo Diferencial Vectorial
Teorema 13Sean f : A ⊂ Rn → Rm, g : A ⊂ Rn → Rm y b ∈ Rm. Sif(x) = (f1(x), f2(x), . . . , fm(x)), donde fi : A→ R, parai ∈ 1, 2, . . . ,m, son las funciones componentes de f , entonceslimx→x0
f(x) = b = (b1, b2, . . . , bm) si y solo si limx→x0
fi(x) = bi, para
cada i ∈ 1, 2, . . . ,m.
Teorema 14Sean f : A ⊂ Rn → Rm, g : A ⊂ Rn → Rm. Sif(x) = (f1(x), f2(x), . . . , fm(x)), donde fi : A→ R, parai ∈ 1, 2, . . . ,m, son las funciones componentes de f , entonces fes continua en x0 si y solo si cada una de las funcionesf1, f2, . . . fm es continua en x0.
![Page 55: Cálculo Diferencial Vectorial - RI UAEMex](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012414/616ef959efd7544d155d9d88/html5/thumbnails/55.jpg)
Cálculo Diferencial Vectorial
Calcular los siguientes límites
1 lim(x,y)→(0,0)
x2√x2 + y2
.
![Page 56: Cálculo Diferencial Vectorial - RI UAEMex](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012414/616ef959efd7544d155d9d88/html5/thumbnails/56.jpg)
Cálculo Diferencial Vectorial
Calcular los siguientes límites
1 lim(x,y)→(0,0)
x2√x2 + y2
.
![Page 57: Cálculo Diferencial Vectorial - RI UAEMex](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012414/616ef959efd7544d155d9d88/html5/thumbnails/57.jpg)
Cálculo Diferencial Vectorial
Calcular los siguientes límites
2 lim(x,y)→(0,0)
x2
x2 + y2.
![Page 58: Cálculo Diferencial Vectorial - RI UAEMex](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012414/616ef959efd7544d155d9d88/html5/thumbnails/58.jpg)
Cálculo Diferencial Vectorial
Calcular los siguientes límites
2 lim(x,y)→(0,0)
x2
x2 + y2.
![Page 59: Cálculo Diferencial Vectorial - RI UAEMex](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012414/616ef959efd7544d155d9d88/html5/thumbnails/59.jpg)
Cálculo Diferencial Vectorial
Definición 15Sean U ⊂ Rn un conjunto abierto y f : U ⊂ Rn → R unafunción con valores reales. Entonces∂f/∂x1, ∂f/∂x2, . . . ∂f/∂xn, las derivadas parciales de f conrespecto a la primera, segunda, . . . , n-ésima variable son lasfunciones con valores reales, de n variables, las cuales, en elpunto (x1, x2, . . . , xn) = x, están definidas por
∂f
∂xj(x1, x2, . . . , xn) =
limh→0
f(x1, x2, . . . , xj + h, . . . , xn)− f(x1, . . . , xn)h
o
∂f
∂xj(x1, x2, . . . , xn) = lim
h→0
f(x+ hej)− f(x)h
si existen los límites, donde 1 6 j 6 n y ej es el j-ésimo vectorde la base usual, definido por ej = (0, . . . , 1, . . . , 0), con 1 en elj-ésimo lugar.
![Page 60: Cálculo Diferencial Vectorial - RI UAEMex](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012414/616ef959efd7544d155d9d88/html5/thumbnails/60.jpg)
Cálculo Diferencial Vectorial
Diferenciación
Ejemplos1 Si f(x, y) = x2y + y3, hallar ∂f/∂x y ∂f/∂y.
2 Si z = cos(xy) + x cos(y) = f(x, y), hallar las derivadasparciales ∂f/∂x y ∂f/∂y
3 Hallar ∂f/∂y, si f(x, y) =xy√x2 + y3
.
4 Si f(x, y) = x1/4y1/4, hallar ∂f/∂x y ∂f/∂y em el punto(0, 0).
![Page 61: Cálculo Diferencial Vectorial - RI UAEMex](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012414/616ef959efd7544d155d9d88/html5/thumbnails/61.jpg)
Cálculo Diferencial Vectorial
Diferenciación
Ejemplos1 Si f(x, y) = x2y + y3, hallar ∂f/∂x y ∂f/∂y.2 Si z = cos(xy) + x cos(y) = f(x, y), hallar las derivadas
parciales ∂f/∂x y ∂f/∂y
3 Hallar ∂f/∂y, si f(x, y) =xy√x2 + y3
.
4 Si f(x, y) = x1/4y1/4, hallar ∂f/∂x y ∂f/∂y em el punto(0, 0).
![Page 62: Cálculo Diferencial Vectorial - RI UAEMex](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012414/616ef959efd7544d155d9d88/html5/thumbnails/62.jpg)
Cálculo Diferencial Vectorial
Diferenciación
Ejemplos1 Si f(x, y) = x2y + y3, hallar ∂f/∂x y ∂f/∂y.2 Si z = cos(xy) + x cos(y) = f(x, y), hallar las derivadas
parciales ∂f/∂x y ∂f/∂y
3 Hallar ∂f/∂y, si f(x, y) =xy√x2 + y3
.
4 Si f(x, y) = x1/4y1/4, hallar ∂f/∂x y ∂f/∂y em el punto(0, 0).
![Page 63: Cálculo Diferencial Vectorial - RI UAEMex](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012414/616ef959efd7544d155d9d88/html5/thumbnails/63.jpg)
Cálculo Diferencial Vectorial
Diferenciación
Ejemplos1 Si f(x, y) = x2y + y3, hallar ∂f/∂x y ∂f/∂y.2 Si z = cos(xy) + x cos(y) = f(x, y), hallar las derivadas
parciales ∂f/∂x y ∂f/∂y
3 Hallar ∂f/∂y, si f(x, y) =xy√x2 + y3
.
4 Si f(x, y) = x1/4y1/4, hallar ∂f/∂x y ∂f/∂y em el punto(0, 0).
![Page 64: Cálculo Diferencial Vectorial - RI UAEMex](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012414/616ef959efd7544d155d9d88/html5/thumbnails/64.jpg)
Cálculo Diferencial Vectorial
Definición 16Sea f : R2 → R. Decimos que f es diferenciable en (x0, yo), si∂f/∂x y ∂f/∂y existen en (x0, y0) y si tiende a cero la siguienteexpresión, cuando (x, y) tiende a (x0, y0).
f(x, y)− f(x0, y0)−[∂f
∂x(x0, y0)
](x− x0)−
[∂f
∂y(x0, y0)
](y − y0)
‖(x, y)− (x0, y0)‖
![Page 65: Cálculo Diferencial Vectorial - RI UAEMex](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012414/616ef959efd7544d155d9d88/html5/thumbnails/65.jpg)
Cálculo Diferencial Vectorial
Definición 17Sea f : R2 → R diferenciable en x0 = (x0, y0). EL plano demathbbR3 definido mediante la siguiente ecuación
z = f(x0, y0) +
[∂f
∂x(x0, y0)
](x− x0)−
[∂f
∂y(x0, y0)
](y − y0),
se llama palno tangente a la gráfica de f en el punto (x0, y0).
![Page 66: Cálculo Diferencial Vectorial - RI UAEMex](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012414/616ef959efd7544d155d9d88/html5/thumbnails/66.jpg)
Cálculo Diferencial Vectorial
Definición 18Sean U un conjunto abierto en Rn y f : U ⊂ Rn → Rm unafunción dada. Decimos que f es diferenciable en x0 ∈ U , siexisten las derivadas parciales de f en x0 y si
limx→x0
‖f(x)− f(x0)−T(x− x0)‖‖x− x0‖
= 0,
donde T = Df(x0) es la matriz cuyos elementos matriciales son∂fi/∂xj evaluadas en x0 y T(x− x0) es el producto de T con(x− x0) (considerado como un vector columna). Llamamos a Tderivada de f en x0.
Denotaremos la derivada T de f en x0 por Df(x0).
![Page 67: Cálculo Diferencial Vectorial - RI UAEMex](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012414/616ef959efd7544d155d9d88/html5/thumbnails/67.jpg)
Cálculo Diferencial Vectorial
Definición 18Sean U un conjunto abierto en Rn y f : U ⊂ Rn → Rm unafunción dada. Decimos que f es diferenciable en x0 ∈ U , siexisten las derivadas parciales de f en x0 y si
limx→x0
‖f(x)− f(x0)−T(x− x0)‖‖x− x0‖
= 0,
donde T = Df(x0) es la matriz cuyos elementos matriciales son∂fi/∂xj evaluadas en x0 y T(x− x0) es el producto de T con(x− x0) (considerado como un vector columna). Llamamos a Tderivada de f en x0.
Denotaremos la derivada T de f en x0 por Df(x0).
![Page 68: Cálculo Diferencial Vectorial - RI UAEMex](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012414/616ef959efd7544d155d9d88/html5/thumbnails/68.jpg)
Cálculo Diferencial Vectorial
Calcular la matriz de derivadas parciales para las siguientes fun-ciones
1 f(x, y) = (ex2+y + y, yx3)
2 f(x, y, z) = (zsen(xy), ex2+y2+z3 ,−yez)3 f(x, y) = (x3 − tanxy, cos(x)sen(y), x4y3).
![Page 69: Cálculo Diferencial Vectorial - RI UAEMex](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012414/616ef959efd7544d155d9d88/html5/thumbnails/69.jpg)
Cálculo Diferencial Vectorial
Calcular la matriz de derivadas parciales para las siguientes fun-ciones
1 f(x, y) = (ex2+y + y, yx3)
2 f(x, y, z) = (zsen(xy), ex2+y2+z3 ,−yez)
3 f(x, y) = (x3 − tanxy, cos(x)sen(y), x4y3).
![Page 70: Cálculo Diferencial Vectorial - RI UAEMex](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012414/616ef959efd7544d155d9d88/html5/thumbnails/70.jpg)
Cálculo Diferencial Vectorial
Calcular la matriz de derivadas parciales para las siguientes fun-ciones
1 f(x, y) = (ex2+y + y, yx3)
2 f(x, y, z) = (zsen(xy), ex2+y2+z3 ,−yez)3 f(x, y) = (x3 − tanxy, cos(x)sen(y), x4y3).
![Page 71: Cálculo Diferencial Vectorial - RI UAEMex](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012414/616ef959efd7544d155d9d88/html5/thumbnails/71.jpg)
Cálculo Diferencial Vectorial
Definición 19Considerar el caso especial f : U ⊂ Rn → R. Aquí Df(x) es unamatriz de 1× n:
Df(x) =[∂f∂x1
. . . ∂f∂xn
].
Formamos el correspondiente vector ( ∂f∂x1 , . . . ,∂f∂xn
), llamado elgradiente de f y denotado por gradf o 5f
Para el caso particular de f : U ⊂ R3 → R,
5f = ∂f∂x i+
∂f∂y j +
∂f∂z k.
y para f : U ⊂ R2 → R,
5f = ∂f∂x i+
∂f∂y j.
![Page 72: Cálculo Diferencial Vectorial - RI UAEMex](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012414/616ef959efd7544d155d9d88/html5/thumbnails/72.jpg)
Cálculo Diferencial Vectorial
Definición 19Considerar el caso especial f : U ⊂ Rn → R. Aquí Df(x) es unamatriz de 1× n:
Df(x) =[∂f∂x1
. . . ∂f∂xn
].
Formamos el correspondiente vector ( ∂f∂x1 , . . . ,∂f∂xn
), llamado elgradiente de f y denotado por gradf o 5f
Para el caso particular de f : U ⊂ R3 → R,
5f = ∂f∂x i+
∂f∂y j +
∂f∂z k.
y para f : U ⊂ R2 → R,
5f = ∂f∂x i+
∂f∂y j.
![Page 73: Cálculo Diferencial Vectorial - RI UAEMex](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012414/616ef959efd7544d155d9d88/html5/thumbnails/73.jpg)
Cálculo Diferencial Vectorial
Definición 19Considerar el caso especial f : U ⊂ Rn → R. Aquí Df(x) es unamatriz de 1× n:
Df(x) =[∂f∂x1
. . . ∂f∂xn
].
Formamos el correspondiente vector ( ∂f∂x1 , . . . ,∂f∂xn
), llamado elgradiente de f y denotado por gradf o 5f
Para el caso particular de f : U ⊂ R3 → R,
5f = ∂f∂x i+
∂f∂y j +
∂f∂z k.
y para f : U ⊂ R2 → R,
5f = ∂f∂x i+
∂f∂y j.
![Page 74: Cálculo Diferencial Vectorial - RI UAEMex](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012414/616ef959efd7544d155d9d88/html5/thumbnails/74.jpg)
Cálculo Diferencial Vectorial
Calcular el gradiente de las siguientes funciones1 f(x, y, z) = zex2+y2
2 f(x, y) =sen(xy)x4 + exy3
3 f(x, y, z) = tan( x2y3
z3−5)
![Page 75: Cálculo Diferencial Vectorial - RI UAEMex](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012414/616ef959efd7544d155d9d88/html5/thumbnails/75.jpg)
Cálculo Diferencial Vectorial
Calcular el gradiente de las siguientes funciones1 f(x, y, z) = zex2+y2
2 f(x, y) =sen(xy)x4 + exy3
3 f(x, y, z) = tan( x2y3
z3−5)
![Page 76: Cálculo Diferencial Vectorial - RI UAEMex](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012414/616ef959efd7544d155d9d88/html5/thumbnails/76.jpg)
Cálculo Diferencial Vectorial
Calcular el gradiente de las siguientes funciones1 f(x, y, z) = zex2+y2
2 f(x, y) =sen(xy)x4 + exy3
3 f(x, y, z) = tan( x2y3
z3−5)
![Page 77: Cálculo Diferencial Vectorial - RI UAEMex](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012414/616ef959efd7544d155d9d88/html5/thumbnails/77.jpg)
Cálculo Diferencial Vectorial
Lema 20Sea A : Rn → Rm una transformación lineal con matriz [aij ] demodo que Ax tenga componentes yi =
∑aijxj. Sea
M =(∑
a2ij
)1/2. Entonces
‖Ax‖ 6M‖x‖.
Lema 21Sea f : U ⊂ Rn → Rm diferenciable en x0 ∈ U . Entonces existenM1 ∈ Ryδ1 > 0 tal que ‖f(x)− f(x0)‖ < M1‖x− x0‖, six ∈ Bδ1(x0) y x 6= x0.
Teorema 22Sea f : U ⊂ Rn → Rm diferenciable en x0 ∈ U . Entonces f escontinua en x0.
![Page 78: Cálculo Diferencial Vectorial - RI UAEMex](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012414/616ef959efd7544d155d9d88/html5/thumbnails/78.jpg)
Cálculo Diferencial Vectorial
Lema 20Sea A : Rn → Rm una transformación lineal con matriz [aij ] demodo que Ax tenga componentes yi =
∑aijxj. Sea
M =(∑
a2ij
)1/2. Entonces
‖Ax‖ 6M‖x‖.
Lema 21Sea f : U ⊂ Rn → Rm diferenciable en x0 ∈ U . Entonces existenM1 ∈ Ryδ1 > 0 tal que ‖f(x)− f(x0)‖ < M1‖x− x0‖, six ∈ Bδ1(x0) y x 6= x0.
Teorema 22Sea f : U ⊂ Rn → Rm diferenciable en x0 ∈ U . Entonces f escontinua en x0.
![Page 79: Cálculo Diferencial Vectorial - RI UAEMex](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012414/616ef959efd7544d155d9d88/html5/thumbnails/79.jpg)
Cálculo Diferencial Vectorial
Lema 20Sea A : Rn → Rm una transformación lineal con matriz [aij ] demodo que Ax tenga componentes yi =
∑aijxj. Sea
M =(∑
a2ij
)1/2. Entonces
‖Ax‖ 6M‖x‖.
Lema 21Sea f : U ⊂ Rn → Rm diferenciable en x0 ∈ U . Entonces existenM1 ∈ Ryδ1 > 0 tal que ‖f(x)− f(x0)‖ < M1‖x− x0‖, six ∈ Bδ1(x0) y x 6= x0.
Teorema 22Sea f : U ⊂ Rn → Rm diferenciable en x0 ∈ U . Entonces f escontinua en x0.
![Page 80: Cálculo Diferencial Vectorial - RI UAEMex](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012414/616ef959efd7544d155d9d88/html5/thumbnails/80.jpg)
Cálculo Diferencial Vectorial
Sea f : R2 → R definida por
f(x, y) =
{1, si x = 0 o y = 00, otro caso
![Page 81: Cálculo Diferencial Vectorial - RI UAEMex](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012414/616ef959efd7544d155d9d88/html5/thumbnails/81.jpg)
Cálculo Diferencial Vectorial
Teorema 23Sea f : U ⊂ Rn → Rm. Supongamos que existen todas lasderivadas parciales ∂fi/∂xj de f y son continuas en unavecindad de un punto x ∈ U . Entonces f es diferenciable en x.
![Page 82: Cálculo Diferencial Vectorial - RI UAEMex](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012414/616ef959efd7544d155d9d88/html5/thumbnails/82.jpg)
Cálculo Diferencial Vectorial
Propiedades de la derivada
Teorema 24
1 Regla del múltiplo constante Sea f : U ⊂ Rn → Rmdiferenciable en x0 y sea c un número real c un númeroreal. Entonces h(x) = cf(x) es diferenciable en x0 y
Dh(x0) = cDf(x0) (igualdad de matrices)2 Regla de la suma Sean f : U ⊂ Rn → Rm yg : U ⊂ Rn → Rm diferenciable en x0. Entoncesh(x) = f(x) + g(x) es diferenciable en x0 y
Dh(x0) = Df(x0) +Dg(x0) (suma de matrices)3 Regla del producto Sean f : U ⊂ Rn → R yg : U ⊂ Rn → R diferenciable en x0. Entoncesh(x) = f(x)g(x) es diferenciable en x0 y
Dh(x0) = g(x0)Df(x0) + f(x0)Dg(x0)
![Page 83: Cálculo Diferencial Vectorial - RI UAEMex](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012414/616ef959efd7544d155d9d88/html5/thumbnails/83.jpg)
Cálculo Diferencial Vectorial
Propiedades de la derivada
4 Regla del cociente Sean f : U ⊂ Rn → R y g : U ⊂ Rn → Rdiferenciable en x0. Si g nunca es cero en U , entoncesh(x) = f(x)
g(x) es diferenciable en x0 y
Dh(x0) =g(x0)Df(x0)− f(x0)Dg(x0)
[g(x0)]2
![Page 84: Cálculo Diferencial Vectorial - RI UAEMex](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012414/616ef959efd7544d155d9d88/html5/thumbnails/84.jpg)
Cálculo Diferencial Vectorial
Teorema 25 (Regla de la Cadena)
Sean U ⊂ Rn y V ⊂ Rm abiertos. Sean g : U ⊂ Rn → Rm yf : V ⊂ Rm → Rp funciones dadas tales que g(U) ⊂ V .Supongamos que g es diferenciable en x0 y que f es diferenciableen y0 = g(x0). Entonces f ◦ g es diferenciable en x0 y
D(f ◦ g)(x0) = Df(y0)Dg(x0).
![Page 85: Cálculo Diferencial Vectorial - RI UAEMex](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012414/616ef959efd7544d155d9d88/html5/thumbnails/85.jpg)
Cálculo Diferencial Vectorial
Bibliografía
1 Courant, R. y John, F. Introduction to Calculus andAnalysis, Vol. I, Interscience Publishers, 1965.
2 Haaser, La Salle, Sullivan. Análisis Matemático Curso deIntroducción, vol. I, Ed. Trillas, 1980.
3 Marsden, J. E. y Tromba, A. J. Cálculo Vectorial, Ed.Pearson Educación, España, 2004.
4 Apostol, T. Calculus, vol. II, Ed. Reverté, 1995.
5 Sagan, H. Advanced Calculus, Ed. Houghton MifflinCompany, 1974.