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Cálculo Diferencial Enero 2020

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Laboratorio #1 Desigualdades

I.- Encontrar los valores de "𝑥" que satisfacen simultáneamente las dos condiciones.

1) 7𝑥 + 3(𝑥 − 1) ≥ 2(𝑥 + 2) ∧ 5 − 3𝑥 ≤ 11

Solución: 𝑥 ∈ [78⁄ , ∞]

2) 3(𝑥 − 1) ≤ 6𝑥 − 1 ∧ 3

4𝑥 + 2 ≤

1

4𝑥 + 5

Solución: 𝑥 ∈ [− 23⁄ , 6]

3) 5

12𝑥 + 1 < −2 (1 −

1

8𝑥) + 3 ∧ 2𝑥 + 1 ≥ −2(𝑥 + 1) − 1

Solución: 𝑥 ∈ [−1,0]

II.- Determine los valores de “𝑥” que satisfacen al menos una de las condiciones.

1) 4𝑥 + 6 ≤ 2 ∨ 3𝑥 + 5 ≥ 𝑥 + 2

Solución: 𝑥 ∈ ℝ

2) 3𝑥 −5

7> 2 (−

5

7+ 𝑥) ∨ 3𝑥 ≤ 2(−

13

4+ 𝑥)

Solución: 𝑥 ∈ (−∞, − 132⁄ ) ∪ (− 5

7⁄ , ∞)

3) −3𝑥 + 5 ≥ −6𝑥 ∨ 3𝑥 + 7 > 1

Solución: 𝑥 ∈ (−2, ∞)

III.- Encuentra los valores de "𝑥" tales que la expresión sea: positivo, negativa,

igual a cero, para cada inciso.

1) 10𝑥+5

5

Positivo: Negativo: Igual a cero:

𝑥 ∈ (− 12⁄ , ∞) 𝑥 ∈ (−∞, − 1

2⁄ ) 𝑥 = − 12⁄

2) (𝑥 − 1)(𝑥 + 1)


𝑥 ∈ (−∞, −1) ∪ (1, ∞) 𝑥 ∈ (−1,1) 𝑥 = 1 𝑜 𝑥 = −1


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3) 2𝑥−5

𝑥−2− 1


𝑥 ∈ (−∞, 2) ∪ (3, ∞) 𝑥 ∈ (2,3) 𝑥 = 3

4) 1

𝑥+ 1


𝑥 ∈ (−∞, −1) ∪ (0, ∞) 𝑥 ∈ (−1,0) 𝑥 = −1

5) 𝑥3 − 5𝑥2 − 6𝑥


𝑥 ∈ (6, ∞) 𝑥 ∈ (−∞, −1) ∪ (−1,0) ∪ (0,6) 𝑥 = 0 𝑜

𝑥 = 1 𝑜 𝑥 = 6


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Laboratorio #2 Inecuaciones

I.- Encontrar los valores de “𝑥” que satisfacen la desigualdad para cada inciso.

Representa la solución de forma gráfica.

1) |𝑥3 − 𝑥 + 3| ≥ 3

Solución: 𝑥 ∈ (−∞; −2) ∪ (−1; 0) ∪ (1; ∞)

2) |𝑥2+1

2| < 3

Solución: 𝑥 ∈ (−√5; √5)

3) 2𝑥+1

𝑥−1> 1

Solución: 𝑥 ∈ (−2; ∞)

II.- Resuelve para “𝑥” ∈ ℝ.

1) |3𝑥 + 1| + |4𝑥 + 9| = 10

Solución: 𝑥 = − 207⁄ 𝑜 𝑥 = 0

2) |3𝑥+5

3| = 9

Solución: 𝑥 = 223⁄ 𝑜 − 32

3⁄

3) |𝑥 + 4| + 3𝑥 = 2

Solución: 𝑥 = − 12⁄

III.- Despejar “𝑥” de la desigualdad dada y escribir la solución usando la notación de valor

absoluto.

1) 𝑥2

3+ 2 (𝑥 +

1

2) < −

5

3

Solución: |𝑥 + 3| < 1

2) 3𝑥+3

2𝑥−4< 0

Solución: |𝑥 − 12⁄ | < 3

2⁄

3) −3𝑥 + 1 > 4

Solución: 𝑥 < −1


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4) 2𝑥 + 3 < 7𝑥 − 6

Solución: 𝑥 > − 95⁄

5) 𝑥2 − 𝑥 ≤ 6

Solución: |𝑥 − 12⁄ | ≤ 5

2⁄

.


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Laboratorio #3 Funciones I I.- Determina cuáles de las siguientes gráficas representan una función.

1) 2) 3)

No es función No es función Si es función

4) 5) 6)

No es función No es función Si es función

II.- Determine si la ecuación dada representa una función.

1) 2𝑦2 − 𝑥𝑦2 = 𝑥 − 1 Solución: No es función

2) 𝑦 = √𝑥2 + 𝑥 + 1 Solución: Si es función

3) 𝑥2 + 𝑦2 = 64 Solución: No es función

4) 𝑦 = |𝑥3| Solución: Si es función

III.- Calcula las funciones 𝑓 + 𝑔, 𝑓 − 𝑔, 𝑓𝑔, 𝑓

𝑔 𝑦 𝑓𝜊𝑔 especificando el dominio en

cada caso.

1) 𝑓(𝑥) = 𝑥3 + 8 𝑔(𝑥) = 2𝑥 − 8

Solución: 𝑓 + 𝑔 = 𝑥3 + 2𝑥 𝐷: 𝑥 ∈ ℝ

Solución: 𝑓 − 𝑔 = 𝑥3 − 2𝑥 + 16 𝐷: 𝑥 ∈ ℝ

y

x 0

y

x 0 0 x

y

y

x 0

y

x 0

y

x 0


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Solución: 𝑓 𝑔 = (2𝑥4 − 8𝑥3 + 16𝑥 − 64) 𝐷: 𝑥 ∈ ℝ

Solución: 𝑓

𝑔⁄ = 𝑥3 + 82𝑥 − 8 𝐷: 𝑥 > 8

2⁄⁄

Solución: 𝑓𝑜𝑔 = (2𝑥 − 8)3 + 8 𝐷: 𝑥 ∈ ℝ

2) 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 16 𝑔

Solución: 𝑓 + 𝑔 = 𝑥2 + 16 + √𝑥 − 4 𝐷: 𝑥 > 4

Solución: 𝑓 − 𝑔 = 𝑥2 + 16 − √𝑥 − 4 𝐷: 𝑥 > 4

Solución: 𝑓 𝑔 = 𝑥2 + 16√𝑥 − 4 𝐷: 𝑥 > 4

Solución: 𝑓

𝑔⁄ = 𝑥2 + 16√𝑥 − 4

⁄ 𝐷: 𝑥 > 4

Solución: 𝑓𝑜𝑔 = 𝑥 + 12 𝐷: 𝑥 ∈ ℝ


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Laboratorio #4 Funciones II

I.- Para la función dada obtener 𝑓 (0) y los valores de "𝑥” para los cuales 𝑓(𝑥) = 0. Donde

𝑥 ∈ ℝ.

1) 𝑓(𝑥) =1−𝑥−𝑥2

𝑥2−4𝑥 2) 𝑓(𝑥) = √

3−𝑥

𝑥2−1

3) 𝑓(𝑥) = |𝑥2 − 5𝑥 + 6| 4) 𝑓(𝑥) = 2𝑥2 + 3𝑥 + 12

5) 𝑓(𝑥) = { 𝑥 𝑠𝑖 𝑥 < 2−𝑥2 + 4𝑥 − 2 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 2

6) 𝑓(𝑥) = |4 − 2𝑥| + 3

Solución: 1) 𝑓(0) 𝑁𝑜 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 𝑒𝑛 𝑒𝑠𝑒 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜. 𝑥1 =−1+√5

2 , 𝑥2 =

−1−√5

2

2) 𝑓(0)𝑁𝑜 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 𝑒𝑛 𝑒𝑠𝑒 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 (𝑥 ∈ ℝ). 𝑥 = 3

3) 𝑓(0) = 6. 𝑥1 = 3, 𝑥2 = 2

4) 𝑓(0) = 12. 𝑁𝑜 ℎ𝑎𝑦 𝑟𝑎í𝑐𝑒𝑠 𝑟𝑒𝑎𝑙𝑒𝑠

5) 𝑓(0) = 0. 𝑥1 = 0, 𝑥2 = 2 + √2

6) 𝑓(0) = 7. 𝑥1 =7

2, 𝑥2 =

1

2

II.-Determina si la función dada es par, impar o ninguna de las anteriores.

1) 𝑓(𝑥)= 3𝑥 – 𝑥5 Solución: No es par, es impar.

2) 𝑓(𝑥) = 𝑥4 − 2𝑥2 − 8 Solución: Es par, no es impar.

3) 𝑔(𝑥) =𝑥

1−𝑥3 Solución: No es par, no es impar.

4) ℎ(𝑥) =𝑥2

1−𝑥2 Solución: Es par, no es impar.

III.-Calcular 𝑓(𝑥+ℎ)−𝑓(𝑥)

ℎ, ℎ ≠ 0 si:

1) 𝑓(𝑥) = 𝑥3 Solución: 3𝑥2 + 3𝑥ℎ + ℎ2

2) 𝑓(𝑥) = |𝑥 + 4| Solución: 𝑆𝑖 𝑥 < 0, 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠 − 1. 𝑆𝑖 𝑥 ≥ 0, 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠 1.

3) 𝑓 Solución: 2

√2𝑥+2ℎ−1+√2𝑥−1

4) 𝑓(𝑥) =3𝑥−5

𝑥−1 Solución:

2

(𝑥+ℎ−1)(𝑥−1)


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Laboratorio #5 Gráficas de Funciones

I.-Traza la gráfica de la función señalada:

1) 𝑓(𝑥) = (𝑥 − 1)3 + 2

2) 𝑓(𝑥) = { 𝑥 − 1 𝑠𝑖 𝑥 < 1𝑥2 − 6𝑥 + 7 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 1

3) 𝑓(𝑥) =|𝑥|

𝑥

4) 𝑓(𝑥) = |𝑥2 − 9|

5) 𝑓(𝑥) = {−𝑥 − 1 𝑠𝑖 𝑥 ≤ −1

−√1 − 𝑥2 𝑠𝑖 − 1 < 𝑥 < 1𝑥 − 1 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 1

6) 𝑓(𝑥) = |2 − 𝑥| − 2

7) 𝑓(𝑥) = 3𝑥 − |𝑥|

8) 𝑓 (𝑥) = |𝑥3|

9) 𝑓(𝑥) = |𝑥 + 1| + 𝑥 + 1


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Laboratorio #6 Límites

I.- Evaluar el límite indicado utilizando la definición.

1) lim𝑥→1

3𝑥 − 5 2) lim𝑥→2

(𝑥 − 5)𝑥 3) lim𝑥→0

2𝑥 −4

5

Solución: 𝛿 =𝜀

2 Solución: 𝛿 = 휀 Solución: 𝛿 =

𝜀

2

II.- Evaluar el límite

1) lim𝑥→0

5𝑥2+1

5𝑥2+𝑥 2) lim

𝑥→1√

𝑥3−1

𝑥2−1

3) lim𝑥→0

𝑥 +2𝑥2+𝑥

𝑥 4) lim

𝑦→0𝑦5(2𝑦6 − 3𝑦5)−1

5) lim𝑡→4

√𝑡−2

𝑡−4 6) lim

𝑦→0

3𝑦2−5𝑦−3

𝑦+

3

𝑦

7) lim𝑥→2

𝑊3−8

𝑊2−4 8) lim

𝑧→1

1

𝑍−3−

7

𝑍2+𝑍−12

Solución: 1) 𝑁𝑜 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 2) √3

2 3) 1 4) −

1

3

5) 1

4 6) −5 7) 3 8) −

2

5

III.-Trazar la gráfica de la función por medio de asíntotas.

1) 𝑓(𝑥) =1

𝑥 2) ℎ(𝑥) =

𝑥

𝑥−1

3) 𝑔(𝑥) =1−5𝑥

𝑥+5 4) 𝑓(𝑥) =

1

𝑥2+5

Solución: 1) 𝐴𝑠í𝑛𝑡𝑜𝑡𝑎 𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙 𝑥 = 0, 𝑎𝑠í𝑛𝑡𝑜𝑡𝑎 ℎ𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙 𝑦 = 0.

2) 𝐴𝑠í𝑛𝑡𝑜𝑡𝑎 𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙 𝑥 = 1, 𝑎𝑠í𝑛𝑡𝑜𝑡𝑎 ℎ𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙 𝑦 = 1.

3) 𝐴𝑠í𝑛𝑡𝑜𝑡𝑎 𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙 𝑥 = −5, 𝑎𝑠í𝑛𝑡𝑜𝑡𝑎 ℎ𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙 𝑦 = −5.

4) 𝑁𝑜 ℎ𝑎𝑦 𝑎𝑠í𝑛𝑡𝑜𝑡𝑎 𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙, 𝑎𝑠í𝑛𝑡𝑜𝑡𝑎 ℎ𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙 𝑦 = 0.


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Laboratorio #7 Continuidad

I.- Determinar los valores de “x” para los cuales es discontinua la función dada.

1) 𝑓(𝑥) = (𝑥2 − 9𝑥 + 18)−1 Solución: 𝑓(𝑥) 𝑛𝑜 𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑎 𝑒𝑛 𝑥 = 3 𝑦 𝑥 = 6

2) 𝑓(𝑥) = { 𝑥2−1

𝑥−1, 𝑥 ≠ 1

2, 𝑥 = 1 𝑓(𝑥) 𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑎 ∀ 𝑥 ∈ ℝ

3) 𝑓(𝑥) = {

|𝑥|

𝑥, 𝑥 ≠ 0

1, 𝑥 = 0 𝑓(𝑥) 𝑛𝑜 𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑎 𝑒𝑛 𝑥 = 0

II.- Determinar los valores de “a” y “k”, de modo que la función dada sea continua en los

reales. Solución:

1) 𝑓(𝑥) = { 𝑎𝑥, 𝑥 < 3𝑘, 𝑥 = 3−2𝑥 + 9, 𝑥 > 3

𝑓(𝑥)𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑎 ∀ 𝑥 ∈ ℝ 𝑐𝑜𝑛 𝑎 = 1 𝑦 𝑘 = 3

2) 𝑔(𝑥) = { 𝑎𝑥 − 𝑘, 𝑥 < 15 , 𝑥 = 12𝑎𝑥 + 𝑘, 𝑥 > 1

𝑓(𝑥)𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑎 ∀ 𝑥 ∈ ℝ 𝑐𝑜𝑛 𝑎 =10

3 𝑦 𝑘 = −5/3

III.- Verificar las condiciones del teorema del valor intermedio para la función dada en el intervalo indicado. Si las condiciones se cumplen, halla el valor de “c” que satisfaga la conclusión del teorema.

1) 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 2𝑥 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 ∈ [1,5] Solución: 𝑐 = 3

2) 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 𝑥 + 1 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 ∈ [−2,3] Solución: 𝑐 = 1/2

IV.- Evaluar el límite indicado:

1) lim𝑡→0

𝑠𝑒𝑛(−4𝑡)

𝑡 2) lim

𝑥→0

cos (2𝑥)

cos (3𝑥) 3) lim

𝑟→0

1+𝑠𝑒𝑛(𝑟)

1+cos (𝑟)

Sol.

lim𝑡→0

(sin −4𝑡

𝑡) = −4 lim

𝑟→0(

cos 2𝑥

cos 3𝑥) = 1 lim

𝑟→0

1+sin(𝑟)

1+sin(𝑟)=

1

2

V.- Trazar dos períodos de la gráfica de las funciones siguientes:

1) 𝑓(𝑥) = cos (𝑥

3) 2) 𝑓(𝑡) = 𝑠𝑒𝑛(𝑡 −

𝜋

3) 3) 𝑓(𝑧) = 𝑡𝑔(2𝑧)


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Laboratorio #8 Derivadas

I.- Obtener la derivada de las funciones siguientes por definición y simplificar el

resultado.

1) 𝑓(𝑥) = 9 Solución: 𝑓′(𝑥) = 0

2) 𝑔(y) = 2y + 1 Solución: 𝑔′(𝑦) = 2

3) ℎ(𝑦) =1

√𝑦+2 Solución: ℎ′(𝑦) =

−1

2(𝑦+2)32

4) 𝑓(x) = x2(x + 5) Solución: 𝑓´(𝑥) = 3𝑥2 + 10𝑥

II.- Obtener la derivada de las funciones siguientes y simplificar el resultado.

1) 𝑔(𝑡) =4

(𝑡2+𝑡)3 Solución: 𝑔′(𝑡) =

−12(2𝑡+1)

(𝑡2+𝑡)4

2) ℎ(x) = (x5 + 5x)(x2 + 3) Solución: ℎ′(𝑥) = 7𝑥6 + 15𝑥4 + 15𝑥2 + 15

3) 𝑣(𝑡) = (1

2𝑡3)

2(2𝑡3 + 3)2 Solución: 𝑣′(𝑡) = 12𝑡11 + 27𝑡8 +

27

2𝑡5

4) 𝑦(𝑟) =3

𝑟2(𝑟+1)3 Solución: 𝑦′(𝑟) =

−3(5𝑟+2)

𝑟3(𝑟+1)4

5) 𝑋(y) = (5y + 1)5(y2y + 1) Solución: 𝑋′(𝑦) = (5𝑦 + 1)4(40𝑦3 + 3𝑦2 + 25)

6) 𝑇(𝑡) =√𝑡2+1

6

√5𝑡+83 Solución: 𝑇′

(𝑡) = 1

3[ 𝑡

√(𝑡4

+1)5

6

√5𝑡+83

− 1

√𝑡2+16

√(5𝑡+8)43]


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Laboratorio #9 Derivadas II

I.- Obtener la derivada de las funciones siguientes y simplificar cada resultado.

1) 𝑓(𝑧) = √𝑧 + 1 +1

√𝑧2−1 Solución: 𝑓

′(𝑧) = 1

2(𝑧 + 1)−1

2 − 𝑧(𝑧2 − 1)−3

2

2) 𝑌(𝑡) = (𝑡+5

𝑡−1)

1

2 Solución: 𝑌′

(𝑡) = −3 (𝑡+5

𝑡−1)

−12 ( 1

(𝑡−1)2)

3) 𝑋(𝜃) =(𝜃+1)2+𝜃

√𝜃 Solución: 𝑋′(𝜃) = 𝜃−

1

2(2𝜃 + 3) −1

2𝜃−

3

2[ (𝜃 + 1)2 + 𝜃]

4) 𝑓(𝜃) = 1 + 3𝑐𝑜𝑠(𝜃) + 𝑠𝑒𝑐(𝜃) Solución: 𝑓′(𝜃) = −3𝑠𝑒𝑛(𝜃) + sec(𝜃) tan (𝜃)

5) 𝑔(∝) =∝ +𝑡𝑎𝑛(2∝) Solución: 𝑔′(𝛼) = 1 + 2 sec2(2𝛼)

6) 𝑟(𝜃) = 𝜃5𝑠𝑒𝑛(𝜃) + 𝑐𝑜𝑠(5𝜃) Solución: 𝑟′(𝜃) = 5𝜃4𝑠𝑒𝑛(𝜃) + 𝜃5 cos(𝜃) − 5𝑠𝑒𝑛(5𝜃)

7) 𝑔(𝑡) = 𝑠𝑒𝑛(5𝑡) 𝑐𝑠𝑐(5𝑡) Solución: 𝑔′(𝑡) = 0

8) ℎ(𝑡) = 𝑡𝑎𝑛2(𝑡1

2) Solución: ℎ′(𝑡) = tan (𝑡

12) sec2(𝑡

12) 𝑡−1

2

9) 𝑓(𝜃) =𝑠𝑒𝑛(𝜃)

√𝑠𝑒𝑛(𝜃) Solución: 𝑓

′(𝜃) = cos (𝜃)

2√𝑠𝑒𝑛(𝜃)

10) 𝑓(𝑥) = (𝑥 + 5)6 tan (3𝑥 + 1)

Solución: 𝑓′(𝑥) = (𝑥 + 5)5[6 tan(3𝑥 + 1) + 3(𝑥 + 5) sec2(3𝑥 + 1)]


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Laboratorio #10 Aplicaciones geométricas de la derivada y derivación

implícita I.- Resuelve los siguientes problemas:

1. Hallar la ecuación de la recta tangente a la gráfica 𝑦 = 𝑥3 − 6𝑥 + 2 en el punto (4,8)

2. Obtener el punto de la gráfica 𝑦 = 3𝑥2 + 6𝑥 − 2 en el cual la pendiente de la recta

tangente sea igual a 6.

3. Encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva 𝑦 = 4𝑥2 − 10 que es paralela

a la recta 3x-y+12=0.

Solución: 1) 𝑦 − 42𝑥 − 176 = 0

2) (0, −2)

3) 𝑦 = 3𝑥 −169

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II.- Usar diferenciación implícita para obtener 𝑑𝑥

𝑑𝑦.

1) 3𝑥4 − 6𝑥2 + 8𝑥 − 9 − 𝑦 = 0 Solución: 𝑥′ = 1

12𝑥3−12𝑥+8

2) 5𝑥2 − 3𝑦2 + 2𝑥𝑦 − 2𝑥 + 1 = 0 Solución: 𝑥′ = 3𝑦−𝑥

5𝑥+𝑦−1

Solución: 𝑥′ =5𝑥−14𝑥𝑦− 𝑥

2𝑦

7𝑦2+√𝑦 3)

III.- Hallar la ecuación de la recta tangente a la gráfica dada en el punto indicado.

1) 𝑦 = 𝑥5 − 𝑥4 + 1; (1,1) Solución: 𝑦 = 𝑥

2) 𝑦 = 𝑥3 + 6𝑥2 − 9; (−1, −4) Solución: 𝑦 = 15𝑥 + 11

IV.- Obtener los puntos de la gráfica de la ecuación dada en los cuales la recta tangente

es horizontal.

1) 𝑦 = 𝑥3 − 3𝑥 − 2 Solución: 𝑥1 = (1, −4), 𝑥2 = (−1,0)

2) 𝑦 = 3𝑥2 − 12𝑥 Solución: 𝑥1 = (2,0)

V.-Hallar y simplificar 𝑑2𝑦

𝑑𝑥2

1) 𝑦 = 3𝑥2 − 9𝑥5 + 3𝑥4 Solución: 𝑦′′ = 6 − 180𝑥3 + 36𝑥2

2) 𝑥𝑦 + 7𝑥 − 8𝑦 = 5 Solución: 𝑦′′ = 2(𝑦+7)

𝑥−8

3) 𝑥3 + 𝑦3 + 3𝑥2𝑦 − 12𝑦 = 0

Solución: 𝑦′′ =18𝑥3 + 54𝑥2𝑦 − 18𝑥𝑦2 + 72𝑥 − 18𝑦3 + 72𝑦 −

6𝑦(−3𝑥2 − 6𝑥𝑦)2

3𝑦2 + 3𝑥2 − 12

(3𝑦2 + 3𝑥2 − 12)2


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Laboratorio #11 Aplicaciones gráficas

I.- Para la función dada obtener:

a) Sus valores máximos y mínimos relativos.

b) Los intervalos donde es creciente y donde es decreciente.

c) Puntos de inflexión.

d) Intervalos donde es cóncava hacia arriba o hacia abajo.

1) 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 4𝑥 + 3

Solución: 𝑎) 𝑥 = −2 𝑚í𝑛𝑖𝑚𝑜 b) (−∞, −2) 𝑑𝑒𝑐𝑟𝑒𝑐𝑒 𝑦 𝑒𝑛 (−2, ∞)𝑐𝑟𝑒𝑐𝑒

c) 𝑁𝑜 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑓𝑙𝑒𝑥𝑖ó𝑛 𝑑) 𝐶ó𝑛𝑐𝑎𝑣𝑎 ℎ𝑎𝑐𝑖𝑎 𝑎𝑟𝑟𝑖𝑏𝑎

2) 𝑓(𝑥) =1

𝑥

Solución: 𝑎) 𝑁𝑜 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑚í𝑛𝑖𝑚𝑜𝑠 𝑛𝑖 𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑜𝑠 b) (−∞, ∞) 𝑑𝑒𝑐𝑟𝑒𝑐𝑒

c) 𝑁𝑜 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑓𝑙𝑒𝑥𝑖ó𝑛

𝑑) (−∞, 0) 𝑐ó𝑛𝑐𝑎𝑣𝑎 ℎ𝑎𝑐𝑖𝑎 𝑎𝑟𝑟𝑖𝑏𝑎 𝑦 𝑒𝑛 (0, ∞) 𝑐ó𝑛𝑐𝑎𝑣𝑎 ℎ𝑎𝑐𝑖𝑎 𝑎𝑏𝑎𝑗𝑜

3) 𝑓(𝑥) = 𝑥3 + 𝑥2 + 3

Solución: 𝑎) 𝑥 = 0 𝑚í𝑛𝑖𝑚𝑜, 𝑥 =−2

3 𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑜

b) (−∞,−2

3 ) 𝑐𝑟𝑒𝑐𝑒, (

−2

3 ,0) 𝑑𝑒𝑐𝑟𝑒𝑐𝑒, (0, ∞)𝑐𝑟𝑒𝑐𝑒.

c) (−1

3,

85

27 ) 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑓𝑙𝑒𝑥𝑖ó𝑛

𝑑) (−∞,−1

3) 𝑐ó𝑛𝑐𝑎𝑣𝑎 ℎ𝑎𝑐𝑖𝑎 𝑎𝑏𝑎𝑗𝑜 𝑦 𝑒𝑛 (

−1

3, ∞) 𝑐ó𝑛𝑐𝑎𝑣𝑎 ℎ𝑎𝑐𝑖𝑎 𝑎𝑟𝑟𝑖𝑏𝑎

4) 𝑓(𝑥) =𝑥2+5

5𝑥+1

Solución: 𝑎) 𝑥 =−1

5−

3√14

5 𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑜, 𝑥 =

−1

5+

3√14

5 𝑚í𝑛𝑖𝑚𝑜

b) (−∞,−1

5−

3√14

5 ) 𝑐𝑟𝑒𝑐𝑒, (

−1

5−

3√14

5 ,

−1

5+

3√14

5 ) 𝑑𝑒𝑐𝑟𝑒𝑐𝑒, (

−1

5+

3√14

5 , ∞) 𝑐𝑟𝑒𝑐𝑒.


𝑑) (−∞,−1

5) 𝑐ó𝑛𝑐𝑎𝑣𝑎 ℎ𝑎𝑐𝑖𝑎 𝑎𝑏𝑎𝑗𝑜 𝑦 𝑒𝑛 (

−1

5, ∞) 𝑐ó𝑛𝑐𝑎𝑣𝑎 ℎ𝑎𝑐𝑖𝑎 𝑎𝑟𝑟𝑖𝑏𝑎

5) 𝑓(𝑥) = 𝑥 +1

𝑥

Solución: 𝑎) 𝑥 = 1 𝑚í𝑛𝑖𝑚𝑜, 𝑥 = −1 𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑜

b) (−∞, −1 ) 𝑐𝑟𝑒𝑐𝑒, (−1,1)𝑑𝑒𝑐𝑟𝑒𝑐𝑒, (1, ∞)𝑐𝑟𝑒𝑐𝑒.


𝑑) (−∞, 0) 𝑐ó𝑛𝑐𝑎𝑣𝑎 ℎ𝑎𝑐𝑖𝑎 𝑎𝑏𝑎𝑗𝑜 𝑦 𝑒𝑛 (0, ∞) 𝑐ó𝑛𝑐𝑎𝑣𝑎 ℎ𝑎𝑐𝑖𝑎 𝑎𝑟𝑟𝑖𝑏𝑎


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II.-Trazar la gráfica de una función continua que cumpla con las condiciones dadas.

1) f(3) = 0

f’(3) = 0

f’’(x) > 0

2) f(0) = 3

f’(x) < 0

f’’(x) < 0

3) f(0)=5 f’(x)=0

f’’(x)=0

4) f(0)=0

f’(x)>0

f’’(x)>0 para x>0

f’’(x)<0 para x<0


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Laboratorio #12 Problemas de optimización

I.-Resuelve los siguientes problemas

1) Dos hermanas empezarán en el negocio de la cosecha y van a comprar un terreno

de 30𝑚2(rectangular). Cada uno cercará 2 lados (de la misma longitud) del terreno.

El hermano “x” gastará $5 dólares por metro. El hermano “y” gastará $6 dólares

por metro. ¿Cuáles deben ser las dimensiones del terreno que cercará cada

hermano si se requieren minimizar gastos?

Solución: 𝑥 = 6𝑚, 𝑦 = 5𝑚

2) El área de una superficie rectangular es de 18𝑚2. Sabemos que en su interior hay

otra superficie rectangular de forma que los márgenes: superior e inferior

rectangular entre ellas son de ¾ m (0.75m) y que los márgenes laterales son de

1/2 m (0.5m). Halla las dimensiones de la superficie exterior para que el área

comprendida entre los márgenes sea máxima.

Solución: 𝑧 = −√𝑏𝐴1𝑎⁄ , 𝑤 = −√𝑎

𝑏⁄ 𝐴1

3) Se tiene una lámina de cartón de 80cm x 50 cm y se quiere construir una caja con

ella, para esto se recortará en cada esquina un cuadrado de lado “x”. Calcular “x”

para que el volumen de dicha caja sea máximo.

Solución: 𝑥2 =(𝑎 − 𝑏)

6⁄ − √𝑎2 − 𝑎𝑏 + 𝑏2

6⁄

4) Una imprenta tiene el trabajo de realizar un cartel con las siguientes características:

la zona impresa debe ocupar 100 𝑐𝑚2, el margen superior debe medir 3 cm, el

inferior 2 cm, el izquierdo 5 cm y el derecho 3 cm. Calcule las dimensiones del

cartel para utilizar la menor cantidad de papel posible.

Solución: 𝑥 = √𝐴1(𝑎 + 𝑐)(𝑎 + 𝑏)⁄ + 𝑎 + 𝑐, 𝑦 = √𝐴1(𝑎 + 𝑏)

(𝑎 + 𝑐)⁄ + 𝑎 + 𝑏

5) Un agricultor sabe que si vende hoy su cosecha podrá recoger 50000 kg que le

pagarán a un precio de $20 pesos por kg. Por cada día que espere la cosecha

disminuirá en 800 kg pero el precio aumentará en $3 pesos por kg. ¿Cuántos días

deberá esperar para obtener el mayor beneficio?

Solución: 𝑡 = 28 (27,91)

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