CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I - Apoyo en LCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I...

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I

Recuperación: evaluacionesErnesto Javier Espinosa Herrera

Ignacio Canals Navarrete

Manuel Meda Vidal

Carlos Antonio Ulín Jiménez

Básicas UNIVERSIDADAUTONOMA

METROPOLITANA

Casa abierta al tiempo AzcapotzalcoDERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]

DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]

Casa abierta al tiempo

Recuperación: evaluaciones



Portal de Problemas de MatemáticasCÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I

Recuperación: evaluacionesEste material fue aprobado para su publicación por elConsejo Editorial de la División de Ciencias Básicase Ingeniería de la Unidad Azcapotzalco de la UAM, ensu sesión del día 12 de julio del 2004.



Portal de Problemas de Matemáticas

Cálculo Diferencial e Integral I

Recuperación: evaluaciones

Ernesto Javier Espinosa Herrera (coordinador)Ignacio Cañáis Navarrete

Manuel Meda VidalCarlos Antonio Ulín Jiménez

Universidad Autónoma Metropolitana - Unidad Azcapotzalco2005



Universidad Monona MetropolitanaRECTOR

Mtro. Víctor Manuel Sosa Godínez

SECRETARIO

Mtro. Cristian Eduardo Leriche Guzmán

DIRECTOR DE LA DIVISIÓN DE CIENCIAS BÁSICAS

Mtro. José Ángel Rocha Martínez

JEFE DEL DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS

Dr. Juan Manuel Velázquez ArcosCOORDINADORA GENERAL DE DESARROLLO ACADÉMICO

Mtra. María Aguirre Tamez

COORDINADORA DE EXTENSIÓN UNIVERSITARIA

DCG Ma. Teresa Olalde Ramos

JEFA DE LA SECCIÓN DE PRODUCCIÓN Y DISTRIBUCIÓN EDITORIALES

DCG Silvia Guzmán Bofill

UAM-Azcapotzalco

© M. en C. Ernesto Javier Espinosa HerreraDr. Ignacio Canals NavarreteM. en C. Manuel Meda VidalDr. Carlos Antonio Ulín Jiménez

© Departamento de Ciencias BásicasDivisión de Ciencias Básicas e Ingeniería

Captura de datos:Jorge Ulises Ramírez GuerreroDiseño de portada:Lucila Montoya GarcíaPortada:Modesto Serrano RamírezCuidado editorial:Concepción Asuar

Sección de produccióny distribución editorialesTel. 5318-9222/9223Fax 5318-9222

Universidad Autónoma MetropolitanaUnidad AzcapotzalcoAv. San Pablo 180Col. Reynosa TamaulipasDelegación AzcapotzalcoC.R 02200México, D.F.

Número de registro de obraISBN de la colección: 970-31-0372-3ISBN del volumen: 970-31-0373-1Primera edición 2005Impreso en México

Todo el material de este trabajo se encuentra en línea en la dirección:http://canek.azc.uam.mx



índice general

Prefacio IX

Recuperación, evaluación 1 1













VII



Prefacio

El material de este trabajo es parte de un Proyectoaprobado por el Consejo Divisional de la UniversidadAutónoma Metropolitana, Unidad Azeapotzalco, con

el nombre de Material de Apoyo para los Cursos deCálculo Diferencial e Integral, y Ecuaciones

Diferenciales. Portal de Problemas. El materialcompleto del Proyecto, desarrollado por los autores del

presente Cuaderno, se encuentra en línea, en ladirección http:\\canek.azc.uam.mx.

El Proyecto, hoy conocido como Canek, nace con elobjetivo de proporcionar, a los alumnos de Ciencias

Básicas e Ingeniería, la solución y el desarrollodetallado de Evaluaciones Departamentales de las

Unidades de Enseñanza - Aprendizaje (UUEEAA), delTronco Básico de las carreras de Ingeniería, aplicadas

por el Departamento de Ciencias Básicas, en fechasanteriores. En este Cuaderno, el lector encontrará

Evaluaciones de Recuperación de la UEA CálculoDiferencial e Integral I; en otros cuadernos, se irán

publicando diferentes partes del material disponible enla red.

IX



Recuperación, evaluación 1

1. Cierto artículo de lujo se vende en 1000 pesos. La cantidad de ventas es de 20 000 artículos al año. Se consideraimponer un impuesto a las ventas de tales artículos. Si el nivel del impuesto se fija en i£%, las ventas caerán en500-ñ artículos al año, ¿qué valor de R dará un ingreso total al gobierno de 1 680 000 pesos al año por conceptode este impuesto? ¿Qué valores de R darán al gobierno un ingreso de al menos 1920 000 pesos al año?

• El total de artículos que se venden cobrando R% de impuesto es 20 000 — 500i?; el precio de venta de estosartículos es 1000 (20000 — 500R). El impuesto que se paga por esta venta es

1000 (20000 - 500i?) x — = 1680000, según lo enunciado,

o sea

200ÍÍ - 5#2 = 1680 => R2 - 40R + 336 = 0.

Resolvemos esta cuadrática

D 40 ± y/1600 - 4 x 336 _ 40 ±16 _ I 282 ~ 2 |12.

Existen dos soluciones para el impuesto: 28% y 12%.

Para resolver la segunda pregunta, hacemos el mismo planteamiento y nos queda la desigualdad

1000 (20 000 - 500i?) x — > 1920 000,

o sea,

20QR -5R2>1920 => JR2 - 40/2 + 384 < 0.

Vamos a calcular las raíces de la cuadrática

D 40 ± VI600 - 4 x 384 _ 40±8 _ I 242 2 |16.

Tenemos entonces R2 — 40R + 384 = (R — 16) (R — 24). Para saber dónde la cuadrática es negativa usamos latabla

Intervalo

R < 16 (< 24)

16<R< 24

E>24(> 16)

Signo de

R-16

—

+

ií-24

—

—

R2 - 40JR + 384

+.-




Vemos entonces que cobrando un impuesto en el rango de 16% a 24% se obtiene una ganancia no menor quela deseada.

2. Considere la función2a; - \/40 - 12x . . , , J_

f(x)={ 3x2 + x~U Sl¡X ^ ' ^ ^ ^ 3

si x = 2.

¿Para, qué valores de a la función es continua en x = 2?

• Para que la función sea continua en x — 2, se debe cumplir

Si tratamos de calcular el límite por evaluación obtenemos:

4 - A/40 - 24 " /O , . ., , ~= ( - I , es decir, una indeterminación -

Primero vamos a trabajar el denominador de /(x). Puesto que es un polinomio de segundo grado que tienecomo cero o raíz aa; = 2, sabemos que x — 2 divide al polinomio. Para saber la factorización correspondientehacemos la siguiente división:

3a;+ 7

x - 2 j 3a:2 + x - 14-3a;2 + 6x

7x

-7x 4-140.

Tenemos entonces que 3a;2 •+• x — 14 = (x — 2) (3a; + 7).

Un poco de álgebra:

2x - V40 - 12a: _ 2a; - \/40 - 12x /2a;+ V40 - 12aAXx - 14 ~ (a:-2)(3x + 7) X

4a;2 - (40 - 12a:)

(x - 2)(3x + 7)(2x 4- y/40 - 12x)4a;2 + 12x - 40

"" (x"- 2)(3x + 7)(2x -f y/m - 12x)x2 + 3a; - 10

== 4

= 4(x - 2)(3x + 7)(2x 4- v^O ~ 12^)

(3a;4-7)(2x4-i / 4°-1 2 : c ) 'Ahora podemos calcular el límite

(x - 2)(3x -f 7)(2x + ^40 - 12x)(x + 5 ) (x -2)

lím f(x) = lím ( 4 3J +

^ 2 x->2y (3a; + 7) (2a; +4 x 7 7io "¿ = o« ~ /(2) ~ a> s^ cumple la condición deseada.Ic5 X o ^O




3. Para la siguiente función

X ' ó X

determine:

(a) Dominio y raíces

• Dominio: Df = K - { - 3 , 3 }.

Raíces. Vemos que:1 x __ 2x 4- 3

• ^ ~ x-3 x2 -9 ~ a : 2 - 9 '3

la raíz de la función es a; = — - .

(b) Asíntotas horizontales y verticales• Puesto que

J '~> x 2 - 9

calculamos:

lím f(x) — lím —T x , = 0;:—»±oo x—>±oo / y N

as l - - o

entonces, y == O es una asíntota horizontal.

Se tiene también que x — — 3 y x = 3 son las asíntotas verticales.

Vamos a calcular los límites laterales en esos puntos:

Primero x =Si x -> - 3 "

Si a: -* - 3 +

Segundo a: =

Si x —> 3~ =¿

—3

> X < '•

lím

> - 3 ^

lím

3 => x

>x + 3-

_ f(x) -

r* X 4" 0 .

f(y\ —

- 3 < 0

<0.=>x +

/2lím 1 -

lím 1 -

=> x - 3 —

3->0- ,

x + 3

3-0+,

. . . y

entonces:

i \

x + 3j ~

entonces:

> 0~. entonces:

- 3- 6

- 3- 6

x (

x " ( f i y '

vo+y

- -oo

= +00

., . . , ., /2x + 3 1 \ 9 V l \ "hm f(x) = hm — x ) = - x — = -oo .

S i x — > 3 + = > x > 3 = > x - 3 > 0 = ^ a ; - 3 - » 0 " f , entonces:

w ., v v /2X + 3 1 \ 9 V l Vhm f(x) — hm x = ~ x I —- = +oc.

3+ v } 3+\x + 3 x~3) 6 VO+y




(c) Bosquejo gráficoT Con toda la información anterior tenemos que el bosquejo gráfico de f(x) es:

f (X)

\1

!

1[

t

i\

3 #3 '-T732 \

\

1

1ii

\^ —

4. Un controlador aéreo sitúa 2 aviones a la misma altitud, convergiendo en su vuelo hacia un mismo punto deencuentro (véase figura). Uno de ellos (avión 1) está a 150 millas de ese punto y vuela a 450 millas por hora.El otro (avión 2) está a 200 millas del punto y vuela a 600 millas por hora.

(a) ¿A qué velocidad decrece la distancia entre los aviones?• En todo momento, t arbitrario, se tiene la relación:

derivando con respecto a t:

y despejando d'{t):

2d(t)d'(t) - 2x{t)x'{t) + 2y(t)y '(t)

Si escribimos como to el instante al que se refiere el enunciado, tenemos que:

d,{t v = x(to)x'{to) + y(tQ)y'(to) =

V^Hto) + y2(t0)

200 x (-600) + 150 x (-450) -187500= V + (150)» = ~^~ =




(b) ¿De cuánto tiempo dispone el controlador para situarlos en trayectorias diferentes?• El tiempo que tienen los aviones para llegar al punto (0,0) es

200 1 . 150 1600 = 3 h ° r a ' 450 = 3Es decir, los aviones chocarían en 20 minutos si no se cambia la trayectoria.

5. Grafique la función f(x) = x5 (x + 3), señalando claramente:

(a) Dominio y raíces• Dominio: Df = R.Raíces: x = 0 y x = —3.

(b) Intervalos de crecimiento y decrecimientoT Derivamos para conocer los intervalos de monotonía:

5 v

6x + 3

5x5

45a: 5

3 2x + 1X

El signo de la primera derivada lo da 2x -f1 . Vemos que1

x = — es un punto critico;

f(x) es decreciente si x € í —oo, — - j ;

f(x) es creciente si x £ ( — , -foo J.

(c) Máximos y mínimos relativos

T Por lo anterior x = — - es un mínimo local, por el criterio de la primera derivada.

(d) Intervalos de concavidad hacia arriba y de concavidad hacia abajo• Calculamos la segunda derivada:

'"«-i

6= - X

5

x 2 - (2x 4 _IX-X 5 6

KS

5 8X5

5x5 „

5x — 4x — 2I

5x58

X5

625

x-2

vemos entonces que x & x — 2 son los que dan el signo de la segunda derivada. Puesto que se anulanen x = 0 y en x = 2, nos ayudamos de la tabla siguiente para conocer los intervalos de concavidad de lafunción f(x)

Intervalo

; x .<0(<2)

0 < x < 2

x > 2 (> 0)

Signo de

X

-

++

x-2

-

-

+

-

4-




f(x) es cóncava hacia arriba en (—00,0) (J (2, +00);f(x) es cóncava hacia abajo en (0,2).

(e) Puntos de inflexión• Por lo anterior, enx = 2 cambia la concavidad, y por lo tanto es un punto de inflexión.

(f) Máximos y mínimos absolutos (si los hubiese)

• En x — — tiene un mínimo absoluto;

f(x) no tiene máximo absoluto.

(g) Gráfica de la función• La gráfica de la función f(x) es

f (X)

Una lata de aceite tiene la forma de un cilindro con fondo plano en la base y una semiesfera en la parte superior.Si esta lata debe contener un volumen de 1000 pulgadas cúbicas y se desprecia el espesor del material, determinelas dimensiones que minimizan la cantidad de material necesario para fabricarla.

• Usamos la figura

El volumen total consta de dos partes: él volumen del cilindro más el volumen de la semiesfera:

V - ixr2h +\x ^?rr3 = 1000.2 o (A)




El material usado coincide con el área total de la superfice exterior que consta del área de la base, más el árealateral del cilindro y el área de la semiesfera:

M = rrr2 + 2itrh + - x 47rr2. (B)¿i

Ésta es la función a la cual deseamos minimizar. Consta de dos variables. De la relación (A) despejamos h:

Q ~ -.r2 Q * ^ 'O 71/ O

Sustituimos este valor en (J5) y obtenemos:

M(r) - Trr2 •

= STTT2 4-

Calculamos primera y segunda derivada:

Trr2 32000 __ 4 2 _ 5 2 2000

- - -vr - -Trr -f r

2000 107rr3-6000() r — = -2

M"(r) = — 7T 4- 2000-^ = — 7T -h 4000-^ > 0, mínimo.

Calculamos puntos críticos igualando a cero la primera derivada:

M'(r) = 0 ^ lOTrr3 - 6000 = 0 => r3 = ^ => r = { / ^ = (™\* „ 5.75882.

Sustituyendo este valor en (C):

1000 _ 2 /600\ 3 _ 1000 600 _ 2 /600 \ 5 _J " í U " 600 X i sUJ "

/600\

5 17J

)

es decir, hallamos que la lata con las condiciones dadas debe tener la altura del cilindro igual que el radio dela base.




1. Resolver la desigualdad | x2 — 4 | >x2-\-x + l.

• Esta desigualdad es equivalente a las siguientes:

x£ (~oo, -5];(a) x2-4>x2

(b) x2 - 4 < -(x2 + x + l)&x2-4<-x2-x-

Calculamos las raíces de la última cuadrática:

x- l±5 í1

= < 6i

34 ~2

entonces, 2x2 + x - 3 = 2(x - 1) ( x + - ).

Usamos la siguiente tabla para resolver la desigualdad 2x2 -f x — 3 < 0:

Intervalo

x < -§(<1).

1

2 /

x+ I-+

+

Signo de

x-1

-

-

2x2 + ^ - 3

-f

-

+

[ 3 i— , 1 .

La solución de la desigualdad original es la unión de los dos casos anteriores, es decir,

2. Sean f(x) = -36 -x2 g(t) = \/S — 3£, encontrar:

(a) & Dg

• Puesto que 36 — x2 — 0 <=> x = ±6, tenemos que:

Dominio de /(x): D/ = { x G E | 36 - x2 ̂ 0 } = E - { -6,6 } .



10 Cálculo Diferencial e Integral I

Puesto que 8 - 3 ¿ > 0 < ^ 8 > 3 ¿ < ^ ~ > ¿ , entonces:

Dominio de g(x): Dg = {x € R \8-3t>0} <& Dg = I - o o , - .

(b) (/ o g) (x), í — j (x) y sus respectivos dominios

• Vemos que

>ff)(*) =/[$(*)] = .

8-3a;

(V^11^)2

3 6 - ii-3a;

36 - (8 - 3a;) 28 + 3a;

Para que x 6 Dfog, se deben cumplir las siguientes condiciones:

2. g(x) € Df 4» A/8-3a; 6 R - {-6,6};

\/8 — 3x es siempre positivo, por lo tanto nunca puede ser igual a —6.

Vamos a calcular cuando A/8 — 3;s = 6=¿>8 — 3a; = 36=^a;28

Por lo tanto:

Ahora:

36-a;2 = ^ .

s/8-3a; (36 - a?2)>/8-3z '

Calculamos:

1. U / n ^ = (~oo,|]n[H -{-6,6}]= ^oo,|J -{-6};o

2. 5f(ar) = 0 & y/8 - 3x = 0 < ^ 8 - 3 x = : 0 ^ x = - .o

Por lo tanto:

9

- 3x- encontrar:w " 2x3 -f 3x2 - 9a;

(a) Dominio y raíces• Vemos que

f( ) = x ( 4 g 2 ~ 4; r ~ 3) _ 4a:2 - 4a: - 3

Vamos a factorizar el numerador y denominador, encontrando sus raíces:




1. Numerador 4x2 — 4x — 3:

X =4 ± v/16 + 48 4db:

12 _ 3

8 8 1_£ = _i8 2

Así:

4^-^-3 = 4^+1 2

2, Denominador 2x2 + 3a; — 9:

, 6 3- 3 ± V9T72 - 3 ± 9 I 7 = ñ

Así:/ 3\

2x2 + 3rr - 9 = 2 (a? + 3) í x - - J .

Sustituyendo,

concluimos entonces que su dominio es:

D, = R - {-3,0t¡} •Por otro lado, la única raíz de / es x = — .

(b) Puntos de discontinuidad y su clasificaciónT x = 0 es una discontinuidad removible y se tiene que

1

lím f(x) = lím 2 — 4 = 2¿ = - ;

3x — - es una discontinuidad removible y se tiene que

¿¡

1

se tiene también que x = — 3 es una discontinuidad infinita.

(c) Ecuaciones de sus asíntotas verticales y horizontales• Puesto que

2lím f(x) = lím 2 2& = 2 ,

tenemos que y = 2 es la única asíntota horizontal.

Se ve también que x = —3 es una asíntota vertical. Vamos a calcular los límites laterales para ver elcomportamiento asintótico de la función en este número:




1. x -> - 3 " =por lo que

2. x -> - 3 +por lo que

lím f(x) = 2

lím

o-

0+

(d) Esbozo gráfico• La gráfica de la función f(x) es

= 2 cF = ' - = - o o .

/

/

/

2

^ " 2

r * ! •

2

4. Sea / (x) = 6x5 — 5x3, encontrar:

(a) Intervalos de monotonía, máximos y mínimos

• Calculamos la derivadaf'{x) - 30a:4 ~ Ibx2 = a:2(30x2 - 15).

Las raíces de la derivada son a: = Oy cuando

30:z2 - 15 = 0 =» .T2 = ^- = ^ =» x = ±-i= = ± ^ ~ « ±0.7071067.

El signo de la derivada lo da el factor 30#2 — 15 = 30 ( x -f — l í o : —

Usamos la tabla siguiente para ver los intervalos de monotonía:

Intervalo

x<-f (<f)-%<*<$x>& (>-f)

Signo de

-

++

--

-i-




( V2\ A/5entonces, j(x) es creciente en ( — oo, y en —54-oo,

\ 2 / V 2Se tiene que f(x) es decreciente en - •

2 ' 2

\Í2por lo tanto, aplicando el criterio de la primera derivada, en x = =

y/2 \ , ,estricto; y en x = — = -j=, se tiene un mínimo local estricto.

(b) Intervalos de concavidad y puntos de inflexiónT Calculamos la segunda derivada:

y vemos que:

Para calcular los intervalos de concavidad usamos la tabla:

1—y=. se tiene un máximo local

f"(x) = 120a;3 - 30x = 30z(4x2 -

Intervalo

* < - i ( < 0 < ¿ )

-§<z<0(<i)( - i < ) 0 < x < |

x > i ( > 0 > - i )

Signo de

x+ ^-

+

+

-f

X

-

-

+

r _ 1

-

_

-

-

+-

+

entonces, /(x) es cóncava hacia abajo, fn(x) < 0, en í —oo, — - } |J ( 0, - i.

Y f(x) es cóncava hacia arriba, f"(x) > 0, en í —-,0 1 (J í -,-foo 1.V 2 / \2 J

Debido a que existen cambios de concavidad y a la continuidad de / , se tienen puntos de inflexión en

z = - i , z = 0 y z = i .

(c) Decir si la función es par o impar• Puesto que

f(~x) - 6(-x)5 - 5(-x)3 = -6a;5 + 5x3 - -(6x5 - 5x3) = -f(x),

tenemos entonces que f(x) es una función impar.




(d) Esbozo gráfico• La gráfica de la función f(x) es:

/

f (x)

t

5. Encontrar la ecuación de la recta tangente a

2x2 - 3j/3

en el punto (0,1).

xy-1

T Las coordenadas del punto (0,1) satisfacen la ecuación

2 x O2 - 3 x I3 + ^ ^ = - 3 - 2 = - 5 .

Existe una función y = <j>(x) definida implícitamente. Vamos a derivar la ecuación con respecto a x paraobtener:

~ ^ = 0 =*•

2y2

(xy-

(xy -1)2

Valuamos 2/'(0,1):

í/'(0,l) =




y por lo tanto, la ecuación de la recta que pasa por el punto (0,1) con pendiente ——es

y - 1 _ 2 2

6. Calcular f'(z) si f(z) =

• Tenemos

= (-2) =

7. Determinar el volumen máximo posible para un cilindro circular recto, si el área total de su superficie, incluyendolas dos tapas, es de 150TT cm2.


El volumen del cilindro es:

ésta es la función de la que deseamos calcular su máximo.

El área total es:A — 2-n-r2 -f 2nrh = 150TT, de acuerdo al enunciado.

Despejamos h de la ecuación anterior y la sustituimos en el volumen

r2 }

H —

= 75

75 - r 2 _ 75r r

V(r) = Trr2 ( — - r ) = 757rr




Podemos derivar el volumen, con respecto a r:

Calculamos la segunda derivada:

V"(r) = -67rr < 0, cóncava hacia abajo la gráfica de V(r).

Para calcular los puntos críticos, igualamos a cero la derivada:

75V'(r) = 0 => 75TT - 37rr2 = 0 => r2 ^ — = 25^>r = 5.

o

Con este valor del radio, que da un máximo absoluto para el volumen, calculamos h:




141. Resolver la desigualdad 2x + 5 < ;

T Desde luego x-\-l ^ 0, es decir, x ^ —1, por lo que —1 no pertenece al conjunto solución de la desigualdad.

Pueden ocurrir entonces dos cosas:

o bien x + l > 0 o bien x + 1 < 0.

Analicemos el caso primero en que x + 1 > 0, es decir, que x > — 1.

Multiplicando a ambos miembros de la desigualdad por x + 1 se preserva el sentido de la desigualdad; lapropuesta es equivalente a

Esto es:2x2 + 2x + 5x + 5 < 14 =» 2z2 + 7x + 5 - 14 < 0 & 2x2 + 7x - 9 < 0.

Averigüemos cuando

2 - 7 ± V49 + 722x2 + 7a; - 9 = 0 ̂ a; ~ — - — =

4-18 ( 9

'121 - 7 ±11 = } A

A

Hallemos el signo del polinomio f(x) — 2x2-\-7x—9 en los intervalos í — oo, — J , 1 —7,1 j y (1, +00), tomandoV 2/ \ 2 /

un punto en cada uno de ellos, digamos:

_ 5 € ^ O O j - ^ , 0 G ̂ - | , l ) y 2 € (1, +00).

Calculamos f(x) en estos puntos:

/ ( - 5 ) = 2(-5) 2 -f 7(-5) - 9 = 2 x 2 5 - ~ 3 5 - 9 = 5 0 - 4 4 = 6 > 0 , ahora como el polinomio es continuo

en I y no es cero en í —00, — ), entonces, en todo el intervalo tiene el mismo signo; luego f(x) > 0 para

x€ (-00' - f ) •De la misma manera:

( 9 \~ - , l j ;

/(2) = 2x 22 4 - 7 x 2 - 9 = 2x44-14 - 9 = 8+5 = 13 >0 , de donde se sigue que f{x) > 0 para x € (1, +00).

17




Ahora busquemos x > — 1 <=> x £ (—1, -foo), donde f(x) — 2x2 + 7x — 9 < 0, es decir,

Como se ve en la figura siguiente:

-lII

Considerando ahora que x<~l^>x-\-l<0) al multiplicar a ambos miembros de la desigualdad por x + 1 seinvierte el sentido de la desigualdad, y la que tenemos que resolver ahora es:

2x + 5 <14

(2x + 5)(x H-1) > 14 <=» f(x) = 2x2 + 7x - 9 > 0.x + 1

Esto es, x € (-oo, -1 )0 | í-oo, - | ] (J [1, +oo) | = ^-oo, - | 1 .

Lo anterior se visualiza como sigue:

- 1 0 1

Por lo que en definitiva, el conjunto solución es

-«o.-f] U(-u].

Como podremos verificar, - ~ y 1 satisfacen la desigualdad propuesta, pues al hacer x =respectivamente:

92

( - ! ) • -•9 + 5 = - 4 <

14 14 14 x 2—f = z— = -4, y también

X = 1




Pero en cambio, como se demuestra, x — —2 & x = 2 no la satisfacen:

__ 14 _ 14^ -2 + 1 ~^T

2. Resolver la desigualdad | —2x — 4 | > 3 — 2x.

• Esta desigualdad equivale a las dos desigualdades

—2x — 4 > 3 — 2a;, la primera y — 2a: — 4 < — (3 — 2a;), la segunda,

por lo que tenemos que resolver cada una y unir los conjuntos solución resultantes.

Trasponiendo términos en la primera obtenemos que:

-2a; - 4 > 3 - 2a; & -2x + 2 x > 3 + 4 ^ 0 > 7 .

Lo cual no ocurre para cualquier a;, de lo que se desprende que el conjunto solución de esta desigualdad es elconjunto vacío, 0.

Haciendo lo mismo en la segunda tenemos:

-2a; - 4 < - (3 - 2a?) <3> ~2x - 4 < - 3 + 2a; & -2x - 2a; < - 3 + 4

<F>X > - - ^ x G ~~ 4 [

-4a;

Por lo que el conjunto solución es precisamente

Confirmemos, por ejemplo, que x — — - sí satisface la desigualdad, poniendo en lugar de a;, — -

1- 21 - i I-4 24

1 4

2 41 - 8

272

3. Sean

determinar:

f(x) = 1 - 2a;2; g(x) = \/%x - 1 & /i(a;) = - 2a ; -2 ;

(a) Los siguientes dominios: Df,Dg &• Dominio de / : Df = R ;

Dominio de^:-Dfl = { x € R | 3 a ? ~

y, por último:Dominio de/i: D ^ R - { a ; 6 x = 2} = R - { 2 } .




(b) Las funciones: [(- joft j(x) &¿(g2h-f)(x)

• Tenemos que

~ 2 \ . „ / - 2

Kx —

i o _ i _ _ (*~2)2-8{x - 2)2 (x-2)2 (a; - 2)2 - 8 / x -2

-6 _ x /_6-(x-2) (x-2)2

/ x -V-6-

x-2 V ar — 2x2 - 4x - 4 I x-2

( x - 2 ) 2 V - 4 - a ? *

= (3*-P(-2)-(l-2x2)(x-2) =(1 2 x ) =a:-..2 V } x-2x + 2 + 2x3- Ax2 2x3 - 4x2 - 7x -f 4

o:~2 a : - 2

- 2x2 - \2x4.Sea/ (*) = 2 a ; 3 „ , . _ 3 ,

determinar:

(a) Dominio y raíces

V Dominio de / : como f(x) es una función racional su dominio es el complemento de las raíces deldenominador. Como

2¿£° ¿pz 3x ̂ ^ x(2x x 3 í — 0 "4=7* x = 0 o 2x x 3 ~~ Q

3o 2 o A 1 ± \ / l + 24 ü ^ / 2 5 1 ± 5

y como 2 x J - x ~ 3 = 0 ^ x = = = —— = < 24 4 4

se tiene entonces que £>/= R —< —1,0,- >.

Las raíces deben ser los puntos donde se anule el numerador:

4x3 - 2x2 - 12x = 2x(2x2 - a ; - 6 ) = 0 ^ x = 0y también

_ 1 ¿ v / n r 4 8 _ l íy/49 _ 1±7 í 2

X~~ 4 "~ 4 ~ 4 ] - _ _ !I 2 '

3Pero, como 0 $_" D/, entonces las únicas raíces son — y 2.

(b) Puntos de discontinuidad y clasificación3

T La función / es discontinua en las raíces del denominador — 1, 0 y - . Ahí tenemos que

22x(x-2)(x+|) 2(x-2)(x+= lím ÍL- Km V 2




( 3 \ 5pues el lím (x — 2) = — 3 y el lím ( x — - ) = —- son negativos.

x—•—i x—•—l y 2 y 2

Y en cambio, el lím 2 I x + - I > 0.x-+-i \ 2)

Mientras que el lím (x -f 1) = 0 con valores negativos y el lím (x -f 1) = 0 con valores positivos.x —+• — 1 ~ x—• — 1 +

Por otro lado

lím = límx-*0

6 x 2

2 r 2= 4;

por último

lím /(x) — lím = ±oo.

Pues el lím 2 [x + - 1 y el lím (x -f-1) son positivos. Además lím (x — 2) < 0,

Y el lím ( x — - ) = 0 con valores negativos; pero el lím I x 1 = 0 con valores positivos.

Luego, a: = — 1 & x = - son discontinuidades esenciales: específicamente ambas son infinitas; mientras

que en x = 0 hay una discontinuidad removible.

(c) Ecuaciones de sus asíntotas verticales y horizontales3

T Por lo que acabamos de ver, las rectas x = — 1 & x — - son asíntotas verticales, y para hallar lahorizontal calculamos:

•6 1 A 2 1 2

xá 4 ~lím

±= lím

2 124~~~Z2 4 - 0 - 0 4 rt= lím f %- = -— = - = 2 ,

X-,±CXD _ 1 3 2 - 0 - 0 2

luego la recta y — 2 es asíntota horizontal,(d) Esbozo gráfico

• La gráfica de la función /(x) es

f(x)

i

Í1

i

1 fJ

3/2

i

f




g5. Sea f(x) — ~xb — 3x3. determinar:

5

(a) Intervalos de monotonía, máximos y mínimosT La monotonía de la función nos la da su derivada:

f'{x) = 9xA - 9a;2 = 9x2(x2 - l ) = 0<^a;2 = 0 ó x 2 - l = 0 ^<& x = 0 ó (x + í)(x - l ) = O ^ £ = OÓ£ = - l ó z = l .

Veamos el signo de la derivada fuera de estos tres puntos críticos, aprovechando el hecho de que es continuaen R.Los tres puntos críticos dividen al eje real en cuatro subintervalos: (—oo, —1), (—1,0), (0,1) y (1,4-oo).Elegimos un punto en cada uno de ellos y determinamos el signo de la derivada en él, que será el mismoque tiene en todo el intervalo, ya que ahí no tiene raíces. Así:

-2 € (-oo, -1) => / ' ( -2 ) > 0 =* ff{x) > 0 en (-oo, -1) =» f(x) es creciente en (-oo, -1);

- - € (-1,0) =» / ' ( - - ) < 0 => f'(x) < 0 en (-1,0) => f(x) es decreciente en (-1,0);2 \ 2/

- e ( 0 , 1 ) = > / ' ( - ) < 0 =$> f'(x) < 0 en (0,1) => f(x) es decreciente en (0,1); y por último,2 \2J

2 G (1, -f oo) => f'(2) > 0 =» f'(x) > 0 en (1, +oo) =» f(x) es creciente en (1, +oo).

También de aquí resulta que en x = - 1 hay un máximo, pues la función pasa de ser creciente a serdecreciente; y en x = 1 hay un mínimo, porque ahora la función cambia de decreciente a creciente.

El mínimo es /(I) - \ - 3 = ^ r ^ = -f.5 5 5

9 _Q -j-15 5Y el máximo es/(—1) = —-4-3= = ~, naturalmente, pues la función es impar.

5 5 5(b) Intervalos de concavidad y puntos de inflexión

• De esto nos habla la segunda derivada:

f"(x) = (9a:4 - 9x2)' = 36x3 - l&r = \%x(2x2 - 1) =- 0 &

&x = 0ó2x2-l^0&x2=l&x^ ±~ « ±0.707106781.2 V2

Procedamos exactamente igual a como lo hicimos para discernir la monotonía de / . Sean:

-;•(->)•

2 G V°' V f ) Y P ° r ÚItimo

/ " ( - I ) < 0 =¿> / ' ' (x) < 0 en ( -oo, —^= 1 => /(x) es cóncava hacia abajo en ( -oo, j= J;V v 2 / V v 2 /

/ " ( - - ) >0^>/ / / (x ) > 0 e n ( — ^ , 0 ) =»/(ar) es cóncava hacia arriba en Y — L o ) ;




f" í o ) <0=z> f"(x) < O en (O, —= ) =¿> f(x) es cóncava hacia abajo en ( 0, -j= ) ;\ 2 / V v 2 / \ v 2 /

/ ' ' ( I) > 0 =¿> /"(#) > 0 en ( —— , -f oo } => /(#) es cóncava hacia arriba en ( —ir:, +oo ).\v2 / W2 y

En x = —-p y e n x = -j= hay puntos de inflexión, ya que en ellos la curva continua cambia el sentidov 2 v 2

de su concavidad.Los puntos de la gráfica de / son:

= (0,0)

(c) Decir si la función es par o impar• Ya veíamos que era impar.

(d) Esbozo gráficoT La gráfica de la función f(x) es

f (x)

t0.74

/ * "k-0 .74

6. Calcular / ' (z) , si f(x) = V4z2 +. \/27 - 2x .Además, determinar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f(x) en el punto de coordenadas (1,3).

• Escribamos:

f(x) = [4x2 4- (27 - 2x)l/2}l/2 =>- 2

2V27 - 2x - 2x - 1f'(x) =

Luego, la pendiente de la recta tangente en el punto (1,3) es

f(\\ - 8V27 - 2 - 1 _ 4 0 - 1 _ 39 _ 39""" 2^/25(4 4-5) "" 2y^25 ~ 2 x 15 ~ 30'

- 2 a ? )




y la ecuación de la recta tangente requerida es

o 39, 39 39 o 39 51

Observación: el punto (1,3) sí pertenece a la gráfica de la función, pues

7. Un hombre se encuentra en un punto A de la orilla de un río rectilíneo de 2 km de ancho. Sea C el puntoenfrente de A en la otra orilla. El hombre desea llegar a un punto B situado a 8 km a la derecha y en la mismaorilla de C.

El hombre puede remar en su bote cruzando el río hasta el punto D entre B y C. Si rema a 6 km/h y corre a8 km/h ¿a qué distancia debe estar D del punto C, para llegar al punto B lo más pronto posible?

• Hagamos un bosquejo figurado de la situación:

TlO

Queremos hallar x de manera que el tiempo para ir de A a D por el río, y de D a JB por la orilla, sea mínimo.Por el teorema de Pitágoras AD = V4 + x2; entonces, el tiempo empleado para recorrer esta distancia es

v 4 ~\~ xlx — horas ya que

t>, espacio recorrido , . . . espacio recorrido

tiempo empleado = ——3 , puesto que velocidad = —velocidad

El tiempo para recorrer DB es ¿2 —

tiempo empleado8-x

8horas.

La función de la que vamos a buscar su máximo es

T(x) = t1 + t2 • +\-X

Su derivada es

2x

2X6V4 + X2 8 ~ " 6V4 + X2

=» 36(4 + x2) = 8 V <£> 144 = 64a;2 - S6x2 4* 28x2 = 144 ̂ >

2 144 36 /36 6 o n¿? ,




éste es el único punto crítico.

Calculamos la segunda derivada:

T"{x) =

2436(4 -f z2

6(4 + a;2)-6s2

" ~ 36(4 + x2

23(4+;

24 + 6x2 - 6x2

Observemos que T" > 0 siempre y en particular T"(2.26) > 0, por lo cual existe un mínimo local en x = 2.26km; podemos considerar que el dominio de la función T es DT = [0,8], pues no tendría sentido desembarcar ala izquierda de C ni más allá de B\ luego el mínimo es el menor de los tres números:

a h o r a :

_ 1 2 1 7 5

4 + 6 8 + - « 1.41421352 hora.6 8

r ( 2 . 2 6 ) _

6 8

Luego efectivamente el tiempo mínimo se logra si desembarca a 2.26 km de G.




2x

(a)

(b)

El•Su/ ( ;

dominio, raíces eSu dominio: D¡raíz es x = 0.

c) es continua enAsíntotas verticalesT Si escribimos:

(2s - 4)2 J vlc^"AliiC-

intervalos de continuidad

su dominio.y horizontales

2x*^ 4(ar - 2)2 2(x2

€ R

X

-Ax

x^2) = R - { 2 } ;

1+ 4) 2 ( x - 4 - 4 ) '

vemos que:

por lo tanto, 2/ = 0 es una asíntota horizontal.Vemos también que x = 2 es una asíntota vertical.Tenemos que:

límx—• A*

= +oo.

(c) Los intervalos de monotonía, los puntos máximos y mínimos (absolutos y relativos)

• Partiendo de

_ V

~2

calculamos la derivada

, _ 1 (cc-2)2-xx2(x-2) _ 1 (x - 2) - 2x( J " 2 ( 2)4 " 2(se - 2)4 (x - 2)3

1 - 2 - x 1 x + 2y —— _ _ __ \ /2 (ar - 2)3 2 (x - 2)3 '

El signo de esta derivada viene dado por —(x — 2) y x + 2.Construimos la tabla:

Intervalo

z<-2(<2)

-2 < z < 2

a; >2(> -2)

Signo de

x + 2

-

++

-(s-2)

++

-+-

27




y concluimos que:f(x) es creciente para x en (—2,2); y quef(x) es decreciente para x en (—00, --2) y en (2, +00).Con esta información se ve que f(x) no tiene máximo relativo ni absoluto y que en x = —2, /(#) tiene unmínimo local que también es absoluto, en el punto

(d) Los intervalos de concavidad y puntos de inflexión

• Partiendo de

calculamos la segunda derivada

2 (x ~ 2)6

1 x-2-3a ; -6_ 12 X ( ^ l ) 4 ~ ~2

2 - 2)4(a: - 2)-2x - 8 _ ar -f 4(ar - 2)4 " (a: - 2)4

El signo de la segunda derivada lo produce x + 4, así:f(x) es cóncava hacia abajo en (—oo, —4) pues /"(#) < 0;f(x) es cóncava hacia arriba en (—4, +oo) ya que frf{x) > 0;En x = — 4 hay un punto de inflexión.

(e) Bosquejo gráfico y rangoV La gráfica de la función f{x) es

f(x)

-2

RS= -77>

2. La altura de un objeto a los t segundos, después de dejarlo caer desde 500 pies, está dada por

s(t) = 500 - 16í2.




(a) ¿En qué intervalo de tiempo el objeto se encuentra arriba de 356 pies?

• Contestar esta pregunta es equivalente a resolver la desigualdad:

500 - 16¿2 > 356 <=> 144 > 16¿2 <£> 9 > t2 & 3 > 11 | .

La solución de la desigualdad es t € (-3,3), pero considerando que £ > 0, el objeto se encuentra arribade 356 pies si t e [0,3).

(b) Calcule la velocidad media del objeto en el intervalo de tiempo [1,4]

• Si efectuamos los siguientes cálculos:

g(4) - a(l) _ (500 - 16 x 16) - (500 - 16) _ -256 + 16 = -2404 - 1 ~ 3 3 ~ 3

comprobamos que la velocidad media es de —80 pies/s. El objeto cae.

= -80 ,

(c) Determine la velocidad instantánea al tiempo t

• ¿En qué momento la velocidad instantánea es igual a la velocidad media calculada en el inciso anterior?

Calculamos la velocidad instantáneav(t) = s'(*) = -32t

y con ello comprobamos que-~32í = -80 <=> t = 2.5 segundos.

Nótese que 2.5 € (1,4). Se cumple con el teorema del Valor Medio.

3. Considere la función

x2-5a;-+6

(a) Viendo la tabla de valores de / , calcule lím f(x) con dos cifras decimales exactasx*2

X

1.997

1.998

1.999

2

2.001

2.002

2.003

1.66096

1.66286

1.66476

Indeterminado

1.66858

1.67049

1.67241

• Se comprueba que lím f(x) = 1.66.x 2




(b) Calcule exactamente íím f(x)i usando la expresión algebraica de la funciónx>2

• Vemos que:

Entonces

13 - x2 - (a;2 + 2a: -f 1)x2 - 5x + 6

-2a:2 - 2a: + 12

C\

x2 — bx -f- 6

x2 + o; - 6

'(z-2)(x-3) V13 - x2 + (x + 1)1 (si a; - 2 ̂ O -^ a; T¿ 2).

lím / (x) = lím —2 x* - 2 J W * + 2 [ 3

= ^ = 1.6667.- 4 + (2 4-1) 6

¿Cuál es la tercera cifra decimal exacta del valor del límite?

Con lo anterior calculado, podemos responder que 6 es la tercera cifra decimal del límite.

4. Dos trenes parten de una estación con 2 horas de diferencia. El primero en partir se dirige hacia el norte conuna velocidad de 100 km/h; el segundo en partir se dirige hacia el este a una velocidad de 60 km/h; ¿a quérazón está cambiando la distancia entre los 2 trenes, 3 horas después de partir el segundo tren?


d(t)

y(t)

x(t)




Paxa todo tiempo ¿, después que ha salido el segundo tren se tiene:

Derivando con respecto a t tenemos:

2d{t)d'(t) = 2x(t)x'{t) + 2y(t)y'{t),

entonces

d'(t) x(t)x'(t) + y(t)y'(t)d(t)

Tenemos la siguiente información:

x(t) = 60t km, t = 0 es la salida del segundo tren; x f(t) = 60 km/hora.

y(t) = 200 -f lOOt km; cuando t = 0, el primer tren ha recorrido 200 km; yf(t) = 100 km/hora.d(t) - Vx2(í) + 2/2(í).

Usando esta información en (A), para t = 3:

,„ x 180x60 + 500x100 , ^ , A

d'(3) = . w 114.412 km/hora.v ' Vl802 + 5002 '

(A)

5. Sea f(x) la función que tiene la siguiente gráfica:

Determinar:

(a) Los intervalos de continuidad y los siguientes valores

lím /(*), lím /(x), lím /(x), & f(a)

para a = —2, a = 2, a = 5.• La función es continua en

(-oo, -2) |J [-2,2) U (2,5) IJ (5, +00).




Tenemoslím f(x) = 2; lím fíx) = 3; lím f(x) no existe; /(-2) = 3;

¡ c -_ > ._2- ar__)._2+ x—»-2

lím /(#) = —oo; lím f(x) — 5; lím f(x) no existe; /(2) no está definido;x-*2

lím f(x) = 2; lím f(x) = 2; lím /(*) = 2; /(5) = 4.

(b) La clasificación de discontinuidades ¿En cuáles puntos y con qué valores se puede redefinir f(x) paraconvertirla en una función continua en esos puntos?T En x ~ —2 se tiene una discontinuidad de salto.En x — 2 se tiene una discontinuidad esencial infinita.En x — 5 se tiene una discontinuidad removible. Si redefinimos la función como /(5) = 2, la función sehace continua en este punto.

(c) Los intervalos donde / ' > 0, / '(#) < 0 y los puntos donde / ' = 0 o donde no existe la derivada:T / » < 0 e n ( - o o , - 2 ) , (-l ,2)yea(2,4);/ / ( x ) > 0 e n ( - 2 ? - l ) , y e n ( 4 , + o o ) - { 5 } ;/ '(z) = 0enx:=~-l;ff{x) no existe en x = —2, x — 2, x = 4 y x = 5.

6. Un trozo de alambre de 10 m de largo se corta en dos partes. Una se dobla para formar un cuadrado y la otrapara formar un triángulo equilátero. Hallar cómo debe cortarse el alambre de modo que el área encerrada sea:

(a) Máxima

(b) Mínima

Interpretar prácticamente sus resultados.

T Usando la siguiente figura

10

x 10-x

XLa parte x del alambre se usa para el cuadradado, por lo tanto cada lado tiene longitud —.

4La parte 10 — x del alambre se usa para el triángulo, por lo tanto cada lado tiene longitud

10-x

(10-x)/3

(10-x)/6




De la figura del triángulo, obtenemos la siguiente relación usando el teorema de Pitágoras:

El área del cuadrado

El área del triángulo

AT(X) = - x base x altura = - x -(10 - x) x —(10 - z) = —(10 - x)2

2 2 3 6 3u

El área de ambas figuras

A(x) = AT(x) + Ac(x) = — + "^(10 ~ z)2.

Ésta es la función a la cual deseamos calcular su máximo y mínimo.

Nótese que el dominio de esta función es DA = [0,10].

Calculamos la primera derivada:

. 1 v3 x 1 v3A '(rr\ n* -L vOHA <r\( ] \ v -I Mfl — 1•̂

SX 9 + 18 X 72

Calculamos el punto crítico:

A'{x) = o ̂ ^ , - ^ # = 0 => x = - i ^ L „ 4.34965.W 72 9 9 + 4 ^

Puesto que al calcular la segunda derivada se tiene

entonces el punto crítico anterior es un mínimo local.

Calculamos la función A(x) en los extremos de su dominio:

A{0) = ^ f 100 w 4.81125 y A(10) - ~ = 6.25.oo lo

Vemos entonces que la máxima área encerrada es cuando x = 10, es decir, sólo se construye el cuadrado.

Y la mínima área encerrada es cuando x = 4.34965. Se construyen ambas figuras.



34 ^ Cálculo Diferencial e Integral I




x3 -f 21. Para la función f(x) = , determine:

x

(a) Dominio, raíces, paridadT Dominio: Df = R - {0} .Raíces:

f(x) =0<&x3 + 2 = 0<&x3 = -2&x= ( -2)3 = - (2)3 = _ ^ 2 .

1 -j- 2 —1 -f 2Paridad: puesto que / ( I ) = —— = 3 & /(—I) = — = —1, entonces no se cumple ni / ( I ) = /(—I)

1 —1ni /(—I) = —/(—I). Con lo cual, la función no es ni par ni impar.

(b) Intervalos de crecimiento y de decrecimiento

• Podemos escribir.

derivamos esta última expresión

2

el discriminante de la cuadrática x2 -f £ + 1 es:

l 2 - 4 x l x l < 0 = »

=> la cuadrática no tiene raíces reales y se ve que siempre es positiva.

Por ejemplo, en x = 0 vale 1 > 0.

Por lo tanto el signo de la derivada viene dado por el factor x — 1.Concluimos entonces que:

ff(x) < 0 si x G (—oo, 1) - { 0 } =>> f(x) es decreciente si x 6 (—oo, O)ya;G (0,1);/ ' ( x ) > 0 si x € (1, -f-oo) =^ /(re) es creciente si x 6 (1, -feo).

(c) Intervalos de concavidad hacia arriba y de concavidad hacia abajo: puntos de inflexión2

• Calculamos la segunda derivada a partir de f'(x) — 2x ^ = 2x — 2x~2

x

J \%) — <¿ i 4 Q — r — — — ——X1 X X2

35




I 2La cuadrática ar — 23#-f23 tiene discriminante:

2 2

23— 4 x 2 3 < O =¿> no tiene raíces reales y además siempre es positiva.2

Por ejemplo en, x = 0 vale 23 > 0.

iAsí, el signo de la segunda derivada viene dado por x + 23 & x.Usamos la tabla siguiente para ver el signo de la segunda derivada:

Intervalo

x< -s/2(<0)

-ffi<x<0)x>0(>-^2)

Signo de

-

-f-

+

X

-

-

+

+

+

Vemos entoncas que:f"(x) > 0 si x € (—oo, — \/2) \J (0, -hoo) =» /(#) es cóncava hacia arriba ahí;

/"(#) < 0 si x € (—v^2,0) =» /(#) es cóncava hacia abajo ahí;

En x = — v̂ 2 hay un punto de inflexión.

(d) Intervalos de continuidad y la clasificación de discontinuidades• La función es continua en todo su dominio y en x = 0 tiene una discontinuidad esencial.

(e) Ecuaciones de las asíntotas verticales y de las asíntotas horizontales• Vemos que

lím f(x) = lím (x2 +-)= lím x2 + lím - = -oo;x~-*0 x—•O \ X / ÍE—-+0 x—^0— X

í 2\ 2lím f(x) = lím ( x2 + - ) = 0 4- lím - = +oo ;

\ /

lím /(ar) = lím ( x2 + - I = límx—*±oo x—>-dboo y a; / x-+±c

x = 0 es una asíntota vertical y no tiene asíntotas horizontales.

x + lím — = +oo;oo x—í-±oo x

(f) Máximos y mínimos relativos y absolutos• Analizando el cambio de signo de la primera derivada, vemos que x = 1 es un mínimo local. Noexisten máximos ni mínimos absolutos.




(g) Esbozo gráfico y rangoV La gráfica de la función f(x) es:

f(x)

El rango: Rf = R

2. A las 13 : 00 horas, el barco A se encuentra 30 km al sur del barco B y viaja hacia el norte a 15 km/h. El barcoB navega hacia el oeste a 10 km/h. ¿A qué hora se alcanza la mínima distancia entre las dos embarcaciones?

T Observamos, al bosquejar una figura con estos datos que:

< -lOt

d

i

\

A ^¡

-30+15t

V

t

la posición inicial del barco A es (0? —30). En el instante í, se encuentra en la posición (0, —30 -f-15£).

La posición inicial del barco B es (0,0), según la figura. En el instante ¿, se encuentra en la posición (~-10t, 0).

La distancia entre los dos barcos es:

d= y/(-10t)2 + (-30 + 15í)2 = 900 - 900¿ -f 225¿2 = \/325í2 - 900t 4-900.




Ésta es la función de la que deseamos calcular el mínimo. Sin embargo vamos a trabajar con la función D = dque tiene el mismo comportamiento.

D - d2 = 325¿2 - 900t + 900.

Derivamos

D' = 650¿ - 900 y después

calculamos el punto crítico

650í -900 = 0 = * * = ^ = ^ » 1.385.650 13

Sabemos que es un mínimo, puesto que al calcular la segunda derivada:

2?" = 650>0

es decir, los barcos están más cercanos a las 14 : 385 horas.

3. Encontrar las intersecciones con los ejes de la recta tangente a la curva:

y 1 + x2 + Vx + 3 + xy + y4 = 4

en el punto (1,1).

• Primero vamos a comprobar que el punto (1,1) satisface la ecuación, es decir, que se encuentra sobre lagráfica de la función y = f(x) definida implícitamente.

y i + 1 2 + VTTH + i x i + i4 = V2T2 + 1 + 1 = 2 + 1 + 1 = 4.

Ahora vamos a derivar implícitamente la ecuación dada:

,_V

Evaluamos esta derivada en el punto (1,1), es decir, al sustituir x— l y y = l e n l a derivada, obtenemos:

+ 4 52 9 16 25

_ = ~16 ~ 16 ^ ZUL = _ A5 5 5 16'

La ecuación solicitada de la recta tangente es

5 21




21La ordenada en el origen es y = —- .

16La abscisa en el origen es cuando:

5 21 -21 21

4. Una partícula se mueve en línea recta, y su posición instantánea está dada por la función

s(t) = t3 - Zt2 + 8.

(a) ¿Cuál es la posición de la partícula cuando sf(t) — 8?• Se tiene

v(t) = s'(t) = 3t2-6t

por lo tantov(t) = 8 => 3í2 - 6t = 8 =» 3t2 - 6t - 8 = 0.

Los ceros de esta cuadrática son:

6 ± V ( - 6 ) 2 - 4(3)(-8) _ 6 ± v/36r+~96 ^6± 11.489 __ I 2.915

6 "" 6̂ 6 ~ \ -0.915.

Tomando el valor positivo:

5(2.915) = (2.915)3 - 3(2.915)2 + 8 = 7.277,

la partícula se encuentra a la derecha del origen 7.27 unidades.

(b) ¿Cuál es la velocidad de la partícula cuando su aceleración es cero?• Tenemos que

a(t) = v'(t) = s"(t) = 6í:-6.

Asía(t) = Q=>6t-~6 = 0=>t = l.

Tenemos entonces:t/(l) == 3 - 6 = - 3 ,

es decir, la partícula se está moviendo en el sentido negativo del eje.

5. Trace una posible gráfica para una función continua f(x) en su dominio: (—oo, 5] — { —2,3 } que satisfaga

(a)

lím f(x) = oo, lím f(x) = 4;

lím f(x) = 2;x*—oo

(b)

f'(x) > 0 si x € (-oo, -2);/'(*)> 0 si x 6(1,4)-{3};/ ' (x)<0six€(-2, l) ;/ '(x)<0sixe(4,5).




• Una gráfica de la función f(x) sería:

f (x)

/ ! \

Especifique los intervalos de concavidad de su gráfica, los máximos y mínimos locales, y absolutos.

í 3\La función es cóncava hacia arriba si x € (—oo, —2) |J í —2, - j |J (2,3).

La función es cóncava hacia abajo si x € ( - , 2 I \J (3,5).

En a: = 1 hay un mínimo local. Es también un mínimo absoluto.

En x = 4 hay un máximo local.

La función no tiene máximos absolutos.

6. Una placa en forma de triángulo equilátero se expande con el tiempo. Cada lado aumenta a razón constantede 2 cm/h. ¿Cuál es la razón de crecimiento del área en el instante en que el valor de ésta es y/fñ cm2?

T LLevemos estos datos a la siguiente figura:

El área del triángulo es un medio de la base por la altura:

A - -z/i. (A)




Deseamos que la función anterior dependa sólo de x. Para esto, vemos en la figura, usando el teorema dePitágoras:

X\2 o ,o o X2 3 o V3

1 V5 _ -v/3 2

2X 2 X ~ 4 X '

sustituimos este valor en (A)

puesto que se tiene que x es una función de t.

A(t) = ^j-x2{t); (B)

derivamos con respecto a t

A ' í 4 - \ — _____ s / O s/ '7*1 f~ i X 'T* \ i \ — ——— X T \ " t i X T* \ t \ í C J

4 2

Sabemos lo siguiente:

(a) x;(í) siempre es igual a 2 cm/h.

(b) En un cierto momento, digamos to, el valor del área es \/75 = 5\/3-Usamos (Í3) para encontrar el valor del lado del triángulo en ese momento:

/ _ l 1>QJ — O v *-» — "1 «w v^O/ —' ^ V 0 / "~~ -*^ —* "̂ V 0 / "

4

Sustituyendo estos valores en (C), obtenemos la variación del área deseada:

= — x 2V5 x 2 = 2\/Í5.2




1. Para la función f(x) = j-, determine:

(a) Dominio, raices, paridadT Dominio: D¡ = R - { 1}.Raíces: a: = 0.Paridad: puesto que /(2) = — = 2 y / ( -2) = ^ ^ = - - ;

no se cumple /(2) = /(—2) ni /(2) = —/(—2). Es decir, la función no es par ni es impar. Es claro que nopuede ser par ni impar pues el dominio no es simétrico con respecto al origen.

(b) Intervalos de crecimiento y de decrecimiento• Derivamos

(x-1)4

(x - 1) [(x - 1) - 2x] _ - x - 1(x - I)4 ~ (x - I)3

x + 1 1

x + 1

x - 1 ( x - I ) 2 '

v e m o s q u e el s i g n o d e l a d e r i v a d a se p r o p o r c i o n a p o r x + l y x — l y e l s i g n o e x t e r i o r . U s a m o s l a t a b l as i g u i e n t e :

I n t e r v a l o

x< - 1 ( < 1)

-Kx< 1

x> 1(> -1)

a: 4-1

-

++

--

--

-

signo de / ' (#)

-

+-

Concluimos entonces que:La función es decreciente para x € (—oo, —1) y a; € (1, 4~oo).La función es creciente para x G (—1,1).

(c) Intervalos de concavidad hacia arriba y de concavidad hacia abajo; puntos de inflexiónT Calculamos la segunda derivada

2x-4

>-l)4'

43




vemos que el signo de la segunda derivada se proporciona por el factor x -f 2. Por lo tanto:La función es cóncava hacia abajo para x 6 (—oo, —2).La función es cóncava hacia arriba para x 6 (—2, +oo).

En x = — 2 hay un punto de inflexión [—2, /(—2)] = ( —2, — j .

(d) Intervalos de continuidad y la clasificación de discontinuidades• La función es continua en su dominio R — { 1}.x = 1 es una discontinuidad esencial infinita pues lím f(x) = +oo.

(e) Ecuaciones de las asíntotas verticales y de las asíntotas horizontalesx 1

• Si escribimos f(x) — x2 - 2x + 1 r vemos que:

lím f(x)=(ft.

Así: y = 0 es una asíntota horizontal de f(x).También se comprueba que x = 1 es una asíntota vertical de f(x).

(f) Máximos y mínimos relativos y absolutos• x — —1 es un punto crítico, ya que /'(—I) = 0 .De la tabla anterior se desprende que la primera derivada cambia de signo en este punto de menos amás. Con esto podemos decir que x = — 1 es un mínimo local. De hecho, conjuntando información queobtendremos inmediatamente, es un mínimo absoluto.La función no tiene máximo absoluto.

(g) Esbozo gráfico y rango• Evaluamos la función f(x) en algunos puntos:

X

0

- 1

0

14

La gráfica de f(x) es:

f (x)

- 1




Rango: R¡ = - J

2. Dos barcos salen al mismo tiempo y a velocidad constante; uno parte de un muelle, con dirección sur y convelocidad de 25 km/h. El otro parte a 20 km/h hacia el muelle, desde un punto que se encuentra a 100 km aloeste,,

¿En qué momento se encuentran más cercanos?

• Con los datos, hacemos la figura

-100

y(t)

De ella se desprende que x(t) = —100 + 20¿ y que y(t) = —25í.

Además la distancia entre los barcos es

d(t) = V(x(t))2 -

Ésta es la función de la que deseamos calcular el mínimo.

Derivamos:

d\t) =2(-10Q + 2Q¿)20 + 2(-25¿)(-25)

2v/(-100 4- 20¿)2-f (-25t)2

Calculamos los puntos críticos, haciendo df(t) — 0:

-2 000 + 400* + 625t = _ 2 0Q0 =

V(-100 + 20í)2 + (25í)2

=» 1025(í - 1.95T2T) = 0 =• t = 1.95T2T).

Vemos que la derivada cambia de signo en este punto de negativo a positivo, con lo cual concluimos que setiene un tiempo mínimo ahí.

3. Encontrar las intersecciones con los ejes de la recta tangente a la curva:

y 3 - 2x2 -h 6y/x+ 1 + 3x2y3 - 3y = 0

en el punto (0,1).




• Primero vamos a comprobar que el punto proporcionado se encuentra en la gráfica de la función. Para estosustituimos las coordenadas del punto x — 0 y y = 1 en la ecuación

-2 x O2 + 6V0TÍ + 3 x 0 2 x l 3 - 3 x l = V3T6 - 3 = ̂ - 3 = 3 - 3 = 0.

Vamos a derivar ahora la ecuación suponiendo que define una función y = f(x) de manera implícita.

(-4a; -i- 6 / ) + 3(x2 x 3y2y' + y3 x 2x) - 3y' = 0 =>1 \ 2v# + 1 /

-4a; + 6-

' = 2vx+T-6xy3

9x2y2 - 3

Para calcular la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función definida implícitamente que pasa porel punto (0,1) sustituimos las coordenadas x ~ 0 &¿ y = 1 en la derivada anterior

La ecuación deseada de la recta tangente es

y -1 = -x => y = -x + l.6 o

En esta ecuación,

si x — 0 => y = 1;

si y = 0 => x — -6.

Los cortes deseados a los ejes son (0,1) &: (—6,0).

4. Una partícula se mueve en línea recta y su posición instantánea está dada por la función

s(t) = t2 - 4¿ - 5 .

(a) ¿Cuál es la velocidad de la partícula cuando s(t) = 7?• La velocidad de la partícula se calcula

Para conocer el tiempo t en el que la partícula satisface s(t) = 7 resolvemos:

s(t) = 7^t2-4t-5 = 7=>t2-4t-l2 = Q=>(t - 6)(t bien t = -2 .

Como el problema no tiene restricciones, consideramos los dos valores encontrados (los valores negativosrepresentan el pasado con respecto a t = 0), entonces

v(6) = s'(6)=z 1 2 - 4 = 8;v(-2) = s/(-2) - - 4 - 4 - - 8 .




(b) ¿Cuál es la posición de la partícula cuando su velocidad es cero?• La velocidad es cero cuando:

v(t) =

La posición en este momento es

5(2) = 22 - 4 x 2 - 5 = 4 - 8 - 5 = - 9 .

5. Trace una posible gráfica para una función continua f(x) en su dominio: [—4, oo) — { —3,2 } y que satisfaga:

(a)

(b)

lím

lím f{x) = 1.

/ ' (*) > 0 si z € (-4,-2) - {-3} ;f'(x) > 0 s i x € ( l , 2 ) ;

• Una gráfica posible de la función f(x) es:

lím f(x) = +oo;x—+2

f'{x) < O si x <S (-2,1) - {-1} ;f'(x) < O si x e (2,oo).

-4 - 3 -2 - 1

-1

\

l¡\• \

Especifique los intervalos de concavidad de su gráfica; los máximos y mínimos locales, y absolutos.

f(x) es cóncava hacia arriba en í — - , — 1 ), (0,2) y (2,-foo);

í 3 \f(x) es cóncava hacia abajo en I —4, —- J, y en (—1,0).

Hay un máximo local en x = —2 y un mínimo local en x = — 1 que es mínimo absoluto.




6. Una placa en forma de triángulo equilátero se expande con el tiempo. Cada lado aumenta a razón constantede 2 cm/h.

¿Con qué rapidez crece el área cuando cada lado mide 8 cm?

T Veamos esos datos con la siguiente figura

De ella tenemosT2 ^

L2 2 2

El área del triángulo es un medio de la base por la altura:

h = ^

2 2 4

Estamos suponiendo que los lados x dependen del tiempo x(t), de hecho crecen. Por lo tanto, el área tambiéndepende del tiempo:

A(t) = ^ 2 ( í ) .

Derivando con respecto a í tenemos

A'{t) = ^2x{t)x'{t) - ^ x x{t) x x'(t).

Si suponemos que en un tiempo ¿g, no conocido, se tiene x(tg) = 8, en ese tiempo se tiene también x'(tg) - 2.Por lo tanto:

/ñx z(ts) x x '(íg) =

/ O

x 2 = 8V3 « 13.856406 cm2/hora.




1. Dada la función definida por f(x) =x2-3

, determinar:

Intervalos de crecimiento y de decrecimiento; máximos y mínimos locales; intervalos de concavidad hacia arribay de concavidad hacia abajo; puntos de inflexión; asíntotas verticales y asíntotas horizontales. A partir delanálisis anterior, hacer un esbozo de la gráfica de / .

• Dominio: Df = R - { 0 }.

Raíces o ceros de f(x)

Podemos escribir

-x = ±%/3.

Derivamos

-4 L- 2

(*)J IX 1 — —X

y de aquí calculamos los puntos críticos:

/ \x) = 0 ^ ~ x 2 - f 9 = 0 ^ x 2 = 9<^ |x | = 3<^x=:±3.

El signo de la derivada viene dado por la expresión — (x2 — 9) = ~(x + 3)(x — 3). Usamos entonces la tabla

Intervalo

z<~3(<3)

-3 < x < 3

x>3(> -3)

Signo de

-

-

-

x + 3

+

x-3

—

-

-(x + 3)(x-3)

-

-

Vemos entonces que

/(x) es decreciente para x € (—oo, —3) y para x € (3, -foo);

/(x) es creciente para x (E (—3,0) y para x € (0,3).

Con estos datos concluimos que

x = — 3 es un mínimo local;

x = 3 es un máximo local.

Para calcular la segunda derivada, derivamos (*):

49




Para calcular los puntos de inflexión

f"(x) - 0 <=> 2(x2 - 18) == 0 & x2 - 18 = 0 & x = ±3\/2.

La segunda derivada se factoriza entonces

= 2(x + 3V2)(x-3y^)

El signo de la segunda derivada viene dado por x 4- 3\/2, x — 3\/2 & x. Usamos la tabla para conocer el signode/"(aO

Intervalo

x< - 3v^ (<0<3 \ /2 )

-3N/2<a: <0(<3\/2)

(-3V2) < 0 < x < 3x/2

z>3V2(>0> ~3\/2)

Signo de

x + 3V5

-f

+

a;

-

-

+

x-Zs/2

-

-

f"(x)-

+

+

Vemos entonces que

f(x) es cóncava hacia abajo para x e (—oo, ~3V5) (J (0,3\/2);

f(x) es cóncava hacia arriba para x € (—3\/2} 0) U (3\/2, +CXD).

Con estos datos concluimos que

x = —3\/2 &: x = -3\/2 son puntos de inflexión.

Calculamosx2 -

lím f(x)= lím Ó-

Por lo tanto, y — 0 es una asíntota horizontal.

Vemos claramente que una asíntota vertical es x = 0. Calculamos los siguiente límites para ver los compor-tamientos laterales de la función en este caso

= 0*.

Con todo la anterior vamos a hacer un bosquejo de la gráfica.

Calculamos la función en algunos puntos:

X

y/3

3

3\/2

0

0.2222

0,196




La función es impar.

La gráfica de la función f(x) es:

-3^2* -3 J

2. Un trozo de alambre de 10 m de largo, se corta en dos partes; una se dobla para formar un cuadrado y la otrapara formar un triángulo equilátero, ¿Cuánto debe medir cada parte para que el área total encerrada sea: (a)máxima, (b) mínima?

• Tomamos un alambre de 10 m de largo y lo dividimos en dos pedazos como se ve en la figura siguiente:

10

10-x

Con los pedazos formamos las figuras:

(10-x)/3

(10-x)/6

Si se tiene una pedazo de alambre de longitud x y formamos un cuadrado, cada lado mide - . Si se tiene10 — x

otro pedazo de alambre de longitud 10 — x y formamos un triángulo equilátero, cada lado mide . Para




calcular la altura del triángulo usamos el teorema de Pitágoras, con lo que tenemos:

] = (i-l)(io-x)-A(10-,)^

=»fc=^(10-s).o

El área encerrada por ambas figuras es:

"M " & + 5 * í< 1 0 -* )*%"- ' ) - ¿*2 + #'<>-*>*•Ésta es la función de la que deseamos calcular su máximo y mínimo absolutos.

Dominio de esta función: DA = [0,10].

Cuando x = 0} formamos sólo el triángulo y cuando x = 10, formamos sólo el cuadrado.

Calculamos la derivada

Calculamos la segunda derivada

Lo cual nos indica que la función A(x) es cóncava hacia arriba. El punto crítico que encontraremos será unmínimo absoluto.

Igualamos a cero la primera derivada usando (*):

9 + 4V3 5^/3 n 40V3x = 0 => x = 7T w 4.35.

9 9 4/3

x = 0 => x = 7T72 9 9 + 4X/3

Es necesario evaluar la función A(x) en los extremos de su dominio para compararlos entre sí:

¿(0) = ̂ w 4.811.

Evaluamos en el mínimo también

y entonces:

(a) El área máxima encerrada es cuando formamos un cuadrado de lado —.4

(b) El área mínima encerrada es cuando se forma un cuadrado con un perímetro de longitud j= y con9 + 4y3

el resto del alambre formamos el triángulo.

3. De acuerdo con la teoría de la relatividad, la masa m de un objeto que viaja a una velocidad v, está dada por

m —

donde nto es la masa del objeto en reposo y c es la velocidad de la luz.




(a) Explicar qué ocurre cuando v se acerca a la velocidad de la luz• Calculamos:

lim m = hm . = +00.v—>c~ v—+c~~ -y c — V

(b) Explicar por qué sólo tiene sentido calcular lím m

• Puesto que v < c.

4. Un incendio forestal se extiende en forma circular, con un radio que aumenta con una rapidez de 5 pies/min.¿Con qué rapidez está cambiando el área incendiada, cuando el radio es de 200 pies? ¿Está aumentando odisminuyendo?

• La figura relacionada con el incendio es:

La relación entre el área del incendio y el radio del mismo es

A(r) = irr2.

Pero el radio está cambiando a una velocidad conocida de 5 pies/min. Es decir, depende del tiempo, es unafunción del tiempo. Por lo tanto el área depende también del tiempo:

A(t) = nr2(t).

Podemos entonces derivar esta expresión

Ésta es una relación entre derivadas para todo t.

En particular, en un momento ¿o se tienen los datos especificados en el enunciado:

A'(to) = 2-irr(to)rf(to) = 2 x 7 r x 2 0 0 x 5 = 2000 x TT pies2/min. > 0.

El área está aumentando en ese momento ¿Q.




5. Sea / : E —> R una función continua en M cuya primera derivada / ' tiene la siguiente gráfica:

-2

A partir de esta gráfica de / ' , determinar dónde la función / es creciente y dónde es decreciente. Explicarademás, cómo es la tangente a la gráfica de / en x — —2, x = — \. x —2 & x = 3.

• La función es creciente cuando la derivada es positiva;

para x G (-oo, -2) U (-2, -1) (J (2, +oo).

La función es decreciente cuando la derivada es negativa, es decir, para x G (—1, 2).

En x = —2 la tangente es vertical.

En x = —1 la tangente es horizontal, paralela al eje x, con pendiente cero.

De hecho tiene aquí un máximo local porque la derivada cambia de signo de positivo a negativo.

En x = 2 la tangente es horizontal, paralela al eje x, con pendiente cero.

De hecho tiene aquí un mínimo local porque la derivada cambia de signo de negativo a positivo.

En x = 3 la tangente no existe. La gráfica tiene un salto. Por la izquierda tiene pendiente « 1 y por la derecha

tiene pendiente ~ - .




1. Dibujar una función f(x) que cumpla las condiciones siguientes:

lím f(x) = +00; lím f(x) = -00;

f(x) tiene una discontinuidad removible en x = 0 ;lím /(x) = 2; lím f(x) = -2 ;

re—*—00 a;—>+oo

• Una gráfica posible de la función /(ce), con esas condiciones es:

2. Calcular líml

x2 -—=X2 -

• Si tratamos de calcular el límite por evaluación obtenemos:

(I)2 -- 1 lifoy . ., «/°V—T ~ í ñ ) ' u n a determinación [ r ) •

Esto nos dice que los polinomios del numerador y del denominador, ambos, tienen la raíz común x = 1. Eneste caso es fácil encontrar la factorización del factor común x — 1:

x2 — x __ ar(x — 1) x

La igualdad anterior se cumple para x ^ 1. Por lo tanto podemos usar este hecho para calcular el límite.

1 _ 11 ~~ 1 + 1 ~ 2*

,, x2 -xhm -=—-x-*l X¿ — 1

= lím

55




3. Si

Ímx —n si x < 15 si x = 1

2mx + n si # > 1.Encontrar los valores m, n de modo que la función sea continua. Granear la función continua obtenida.? Ésta es una función que consta de dos "pedazos" y ambos son funciones continuas. De hecho son rectas.Para que la función sea continua en todos los reales se debe cumplir:

lím f{x) = /(I) = lím /(*).

La igualdad de la izquierda nos proporciona:

La igualdad de la derecha nos proporciona:

m — n = 5.

5 = 2ra -f n.

Ordenando, tenemos:

m — n = 5

2m + n = 5,

es decir, un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas cuya solución es: m— — fon —ó

La función con estos valores esrio 5 .

T * + s slx<1

5 s i x = 12 0 5 . . .

La función /(a:) con esos valores tiene la siguiente gráfica:

f (X)

t




4. Encontrar la derivada de la función f(z) ~ / jffi^a

• Derivamos

—=

y/z + 3 y/z+1 y/z + S - 2(y/z + 1)

-yfi+l

5. La altura de un proyectil lanzado desde el nivel del suelo está dada por

s(t) = -16í2 + 256¿,

en donde 5 se mide en pies y t en segundos.

(a) ¿Cuál es la velocidad media del proyectil entre t = 2 & t = 5?T Calculamos:

5(5)-5(2) 880-448 432 ,ÁÁ . ,= = ~3~ pies/segundo.

5_2 = 3 = 3

(b) ¿En qué instante choca contra el suelo?• Resolvemos:

-16t2 + 256t = 0 => í(-16¿ + 256) = 0.

Una solución es t — 0, cuando se suelta el proyectil. La otra se encuentra como sigue:

256-16¿ + 256 = 0 =» í = —r = 16 segundos.

16

(c) ¿Cuál es la velocidad del impacto?• Calculamos la derivada s'{t) = — 32t. Por lo tanto:

s'(16) = -32(16) = -512 pie/segundo.

6. Dada la función f(x) = x5 + x — 1, verifique que existe un número c tal que f(c) = 0. Es decir, justifique quela función tiene una raíz.

• Evaluamos la función f(x) en algunos puntos:

1

Vemos que f(x) es una función continua en el intervalo [0,1] con valores de signo distinto en los extremos;aplicando el teorema del Valor Intermedio, se asegura la existencia de c £ (0,1) tal que f(c) = 0.




Veamos la gráfica de /(#) en ese intervalo:

f(x)

•t

-1

¿-y c

7. Encontrar una ecuación de la recta tangente en el punto (—2, 2) a la gráfica de la función definida por

xA + y3 = 24.

T Vamos a comprobar que el punto dado (-2,2) está en la gráfica de la función, definida implícitamente:

(-2)4 + 23 = 16 + 8 = 24.

Derivamos la expresión implícitamente

4x3 + 32/V = 0 =* 3y2y' = -4x3 =• y ' = - ~ .

Para calcular la pendiente de la recta tangente, evaluamos la derivada en (—2, 2):

La ecuación de la recta tangente es:

y-2 8 8 16 8 22

El ejercicio no pide hacer los cálculos de manera implícita. Sin embargo en este caso podemos despejar y enfunción de x:

y(x) = V24 - x4 = (24 - x4)3.

Derivamos:




Para calcular la pendiente de la recta tangente, valuamos la derivada en x = — 2:

1 2 QO 1 OO 1

y'(-2) = i [24 - (-2)4p [-4(-2)3] = f X \ = f x \ = J0 ° 83 '3 4 3

y la ecuación de la recta tangente se calcula como antes.

8. Sea la funciónf(x) = x3 + 6x2 + 3a; + 1.

(a) Encontrar los intervalos de monotonía de la función. Es decir, aquellos intervalos donde la función escreciente y aquellos donde es decrecienteT Derivamos

/ \x) = 3x2 + 12a + 3 = 3{x2 + 4x + 1).

Para calcular los puntos críticos calculamos los ceros o raíces de la derivada, usando la fórmula de lacuadrática:

-4±\A6-4 -4±2\/3 r- í-0.268X= 2 = 2 = - * 2 ± 3 ^ j_3.732.

Con estas raíces la factorización de la derivada queda como sigue:

f\x) = 3(x2 + 4x + 1) = 3 [x - (-2 - V3)] [x - (-2 + V5)] =

Para conocer los intervalos de monotonía, usamos la siguiente tabla:

Intervalo

x< - 2 - v/ 3 ( < -2-h\/3)

- 2 - v / 3 < x < - 2 - f v / 3

a:>~2 + v/3(>-2-V3)

Signo de

x - (-2 - \/3)

-

+

x - (-2 + VS)

--+

x2 + 4ar + 1

+-

+

Por lo tanto, la función f(x) crece para x £ (—oo, —2 — \/3) y para a; € (—2 + \/3, +oo);

pero decrece para x € (—2 — \/3, —2 -f \/3) •

(b) Encontrar los intervalos de concavidad de la función. Es decir, aquellos intervalos donde la función escóncava hacia abajo y aquellos donde es cóncava hacia arribaT Calculamos la segunda derivada

/"(a?) = 6s+ 12 = 6(or+ 2).

La única raíz es x = — 2.Se ve claro quefn{x) < 0 para x £ (—oo, — 2) o sea es cóncava hacia abajo ahí;f"{x) > 0 para x £ (-2, +oo) o sea es cóncava hacia arriba ahí-




(c) Hacer un bosquejo de la gráfica de la funciónT Evaluamos la función en algunos puntos

- 2

- 2

X

-

- 2

+0

V3

v/3

21.39

11

0.6

1

y damos un bosquejo de la gráfica de la función f(x):

V3

9. Una escalera de 3 m se apoya sobre un muro de una casa. El pie de la escalera se separa de la base del muro arazón de 2 m/s. ¿A qué razón se desliza la parte superior de la escalera por el muro, cuando el pie de la mismaestá a 1 m del muro?

• Visualizamos la información con la figura




En todo instante t, la relación que guardan la variables de la figura es

De aquí podemos derivar con respecto a t

=>2y(t)y'(t) = -2x(t)x'(t)--

, x(t)x'(t)y y(t)

En un tiempo ¿o n o determinado se cumple que

z'(£o) =: 2 m/segundo;

x(to) = 1 metro;

En ese instante podemos calcular

y'(*o) = - f

y(to) Vs-0.707 m/segundo.

10. Encuentre las dimensiones de la lata cilindrica para jugo y que utilice la menor cantidad de material cuando elvolumen del envase es de 30 cm3.

• Sea la figura

El volumen del cilindro cumple

El área de la base mide

El área lateral mide

V - 7rr2h = 30.

Ab = ?rr2.

AL = 2irrh.

La cantidad de material que se usa en el bote es el área total

AT = 2Ab + AL = 27rr2 + 2nrh.




Ésta es la función de la que deseamos calcular el mínimo. Pero se encuentra en función de dos variables.

De la relación del volumen despejamos arbitrariamente h y obtenemos:

h_ 30nr2 '

Sustituimos en AT y nos queda una función de rorí ¿?rv

AT(r) = 2flT2 + 2?rr x —=• = 27rr2 4- — ;nr2 r

(*)

derivamos

y calculamos la segunda derivada

M A 6 0

AL == 4irr =r

£ = 4TT + 6 0 ^ = 4TT + ^ > 0.1 r4 r3

Lo cual nos dice que la función AT{T) es cóncava hacia arriba, por lo que el punto crítico que vamos a encontrares un mínimo absoluto.

Igualamos a cero la primera derivada y despejamos

4nr - ^ = 0 => n = 0 => 4?rr3 - 60 = 0 =»60r2

Éste es el radio que genera el área mínima. Para encontrar la altura de la lata sustituimos en (*).

15 i30 ^ "zr

r 1 n

7T/15\ 3

2 *

12

Es decir, la lata con material mínimo tiene la altura igual a dos veces el radio de la base.




1. La posición vertical de una pelota está dada por

h(t) = 128 + 16¿ - 16t2

en donde t se mide en segundos y h(t) se mide en pies.

¿Durante qué intervalo de tiempo estará la pelota por lo menos 32 pies arriba del suelo?

• Para resolver la pregunta planteada se resuelve la desigualdad:

h(t) = 128 + 16* - 16í2 > 32 <=> 96 + 16* - 16t2 > 0 & -96 - 16*+ 16t2 < 04=> 16(í2 -t-6)<0&t2-t

Las raíces de la cuadrática son t = — 2 & ¿ = 3.Para resolver la última desigualdad usamos la tabla:

- 3)(t + 2) < 0.

Intervalo

* < -2 (< 3)

- 2 < * < 3

* > 3 ( > - 2 )

Signo de

* + 2

-

++

* - 3

-

-

+

(t + 2)(t-3)

+-

+

La solución es t € [—2,3].

Pero como t > 0, la solución definitiva es t € [0,3].

Si vemos la gráfica de de la función h(t)

h(t) = 128+16t-16t2

128

32

\

\

\

3 \ ^

63




la parábola se encuentra arriba de la recta y = 32 para t G [0,3].

2. Calcular limx->i x2 — 1

• Si tratamos de calcular el límite evaluando la expresión obtenemos:

3(l)2

— = ( - j , una indeterminación .

Por tratarse de una función racional, este resultado nos invita a factor izar el numerador y el denominador,sabiendo que ambos polinomios tienen el factor x — 1.

Para el denominador el resultado es fácil: x2 — 1 — (re - l)(x 4-1).

Para el numerador, efectuamos la división

x - 1J 3x2 + 4x - 7

-3x2 + 3x7x - 7-7rc-h7

0.

O sea que la factorización del numerador es 3x2 + ix — 7 = (x — l)(3x 4- 7).

Con estos resultados obtenemos:

3a;2 4- 4a; - 7 _ (x - l)(3a? + 7) __ 3x4-7x 2 - l ~ (x-l)(x + T)' ~ ~xTT '

Ahora sí podemos calcular el límite usando esta última expresión equivalente a la primera, para x

,, 3x 2 4-4x-7 f/ 3x4-7 3(1)4-7 10 rlim r = lim = -^~L = — = 5.x-+\ x2 - I x-+i x + 1 1 4 - 1 2

S i

T Derivamos

/'(I) •

(w2 4-1)3

(tt;2 4-1)2 \(w2 + 1)

4-4- 0^ - + 3) 3(w2 + l)22ti;

Í (Í2\Jw 4-1

3)6 J

w24-l(w2 4-1)6

= - 6w(y/w 4-14-3)




y entonces

(I2 + 1 ) 4

4= - 6V5 - 18

160.7071 - 8.4853 - 18

16• - 1 . 6 1 1 1 .

4. Sea la función

Íax2 + 1 si x < — 1

c si x € [-1,1]

x + 2 si x > 1.

Encontrar los valores a, c que hacen que la función g(x) sea continua en todos los reales.

Dar un bosquejo de la gráfica de g(x) con los valores encontrados.T Las fronteras de los "pedazos" que definen la función son x = — 1 &; x = 1. Se ve claramente que en lostres "pedazos" la función es continua. Para la continuidad en todos los reales se debe cumplir:

Esto se traduce en

resolviendo

lím g(x) = lím g(x) = g(-l) k lím g(x) = lím g(x) = g(l).

oH-1 = c

c = 1 -f- 2 respectivamente;

la función es

la gráfica de la función g(x)

a = 2 ,

{ 2x2 + 1 si x < - 1

3 si x e [-1,1]x + 2 si x > 1;

g(x)




5. Sea y = f(x) definida implícitamente por:

xA + 3x2y -f y3 = 5.

Obtener la ecuación de la recta tangente a la gráfica de esa función en el punto (—1,1).

• Derivando

4r3 + 3{2xy + x2y') 4- 3y*y' = 0 => 4x3 + 6xy + 3x2yf + 3y2y! = 0 =>

^ 3(x2 •

y evaluando en el punto (—1,1)

calculamos la ecuación de la recta tangente

y - i 5

3 [(-1)2 +(1)2] 3(2)

5 5

-4 - 6 _ _ -10 _ 56~ "*" 3 '

5 8

6. Dada la función f(x) = - x 3 4- 4a: + 2,

obtener un intervalo en donde la función tenga al menos una raíz. Justifique su respuesta.

T Evaluamos f(x) en algunos números

X

- 1

0

f{x) = -o;3H

- 1

2

h 4x4- 2

con lo que comprobamos que f(x) es continua y cambia de signo en el intervalo [—1,0]. Usando el teorema deValor Intermedio se garantiza que existe una raíz de f(x) en ese intervalo.

Veamos la gráfica de la función f(x):

f (X)

t




El resultado garantiza la existencia de la raíz: no la calcula. Se garantiza el corte de la gráfica con el eje x. Nose sabe dónde.

7. Se infla un globo esférico introduciendo aire a razón de 50 cm3/s. Calcular la rapidez de cambio del radio delglobo cuando su diámetro es de 26 centímetros.

• Dibujamos la correspondiente la figura

Se sabe que el volumen de una esfera es V = |7rr3.

Considerando que el volumen y el radio cambian con el tiempo, tenemos entonces:

V(t) = ^ r 3 ( í ) .

Derivando con respecto a t:

V\t) = A-irZr\t)r'{t) = 4,rr2(í)r'(f).

O sea:

V'(t)r'(t) =

47rr2(í)

Según los datos proporcionados V'(í) = 50 cm3/s, en todo momento; entonces existe un momento, digamoscuando el diámetro 2r(ío) = 26 =>• ?*(ío) — 13.

Para ese momento ío calculamos la variación del radio:

- °-°2 3 5

Dar un bosquejo de la gráfica de una función f(x) que cumpla las siguientes condiciones:

• f'{x) > 0 para x e (-c», -2)U(-2,4);

• f'[x) < 0 para x € (4, +00);

• f(x) tiene una asíntota vertical en x = —2;




• y — 1 es una asíntota horizontal de f{x).

• Bosquejo la gráfica de la función f{x), con las condiciones dadas:

y

- 2

t

9. Un terreno rectangular está delimitado por un río en un lado y por una cerca eléctrica de un solo cable en losotros tres lados.

¿Cuáles son las dimensiones del terreno que nos dan el área máxima?

¿Cuál es la mayor área que pueda cercarse con un cable de 800 m?

• Veamos la figura siguiente

El área del terreno:

El perímetro del terreno:

De aquí obtenemos:

A-xy.

P = x + 2y ~ 800 m, según los datos proporcionados.

x = 800 - 2y.




Sustituyendo en la fórmula del área:

A(y) = (800 - 2y)y = 800y - 2y2.

A(y) es la función cuyo máximo deseamos calcular.

La segunda derivada es negativa, el punto crítico será un máximo

A f{y) = 0 => 800 - Ay = 0 => y = ^ - 200.

Para calcular la longitud del otro lado de terreno (la x), sustituimos:

x = 800 - 2(200) = 400 = 2y.

Por lo tanto, las dimensiones del terreno que nos dan el área máxima son x = 400 & y = 200.

La mayor área que se puede cercar con estas condiciones es de A = 80000 m2.

10. Sea la función f(x) = 3x4 -f 8x3 .

(a) Proporcionar el dominio y las raíces de la función• Dominio: Df = R.

_ .̂3 8Las raíces de f(x) = x3(3x + 8) son x = 0 y x = —-.

3(b) Proporcionar los intervalos de monotonía

T Derivamosf'(x) = 12x3 + 24x2 = 12(x3 + 2x2) = 12x2(x -h 2).

El único factor de la derivada que nos proporciona cambio de signo es x -f 2. Por ello el único valor extremose encuentra en x = — 2. Se ve de inmediato que:f(x) es decreciente en x G (—oo, —2);f(x) es creciente en x € (—2, +oo).

(c) Proporcionar los intervalos de concavidad• Calculamos la segunda derivada

/"(x) = 12(3x2 + 4x) = 12x(3x + 4) = 36x (x + - ) .

Para el signo de la segunda derivada usamos la tabla

Intervalo

x < - f (< 0)

-§ <x<0x>0(> - | )

Signo de

-

+4-

X

—

—

+

x(x+f)4-

-

+

De esto concluimos quef(x) es cóncava hacia arriba en (—oo, — | ) (J (0, +oo);/(x) es cóncava hacia abajo en (—|, 0).




(d) Proporcionar los máximos y mínimos absolutos y relativosT f(x) no tiene máximo absoluto.x — —2 es el único mínimo local y absoluto.

(e) Dar un bosquejo de la gráfica• Evaluamos la función h(x) en algunos puntos:

X

- 2

-4 /3

f{x) = 3x4 + 8x3

-16

-9.48

y dibujamos la gráfica de la función f(x):

-16




1. Una pelota se deja caer desde un edificio. La posición de la pelota en cualquier instante t (medido en segundos)está dada por s(t) = 122.5 - 4.9¿2, medida en metros, t > 0.

(a) Dar la altura del edificio• Está implícito que la pelota se suelta cuando t = 0. Así la altura del edificio es:

5(0) = 122.5 metros

(b) ¿En qué intervalo de tiempo la pelota está por lo menos a 113 m sobre el suelo?• La pregunta se traduce en resolver la desigualdad:

s(t) > 113,

o sea:

122.5-4.9t2> 113.

Resolviendo la desigualdad

122.5 - 113 > 4.9¿2 => 1.94 « ^ > t2

" 4.9 ~

y extrayendo la raíz cuadrada

1.39 > | í | ,

logramos la solución de esta desigualdad, es decir,

¿€[-1.39,-1-1.39].

Pero tenemos que t > 0, por lo que la solución final es

t€ [0,1.39].

71




Si vemos la gráfica de la parábola s(t):

s ( t ) = 122.5-4.9 t2

122.5 ^

113 r "

1.39- • t

La parábola se encuentra arriba de la recta y = 113 para t e [0,1.39].

2. Calcular el límite siguiente: lím í > • —— 1.

• Si tratamos de calcular el límite por evaluación, resulta para x = 0:

/n _L i i i i u / o \ "— ~ / _ ¡ u n a indeterminación de la forma

- V 5 T 5 + 2 - 2 + 2 VOy

Por pasos, racionalizamos el numerador:

0\

o)

Si tratamos de evaluar, obtenemos de nuevo una indeterminación de la forma" /0\ "

I — I .

Ahora, racionalizamos el denominador:

2 +( y X ~j~ x ~\~ X ) ( Zt 'StJ X ~~j~ TC) JL ~f~ y X "¡ 4

- ff(2 -f s/x + 4) __ x(2 + x/x + 4) __ 2 + \ /x-f4

Podemos ya calcular el límite usando esta expresión equivalente, para x ^ 0:

lím ( •: • . = hm -, = = — = —2.a;—•O V A / T 4 - 4 4 - 9 / x—+0 V A / T 4 - 1 4 - 1 / 1 4 - 1 9




3. Calcular el límite siguiente: lím (yfx2 + x — x).x-++oo f

Y Transformamos la expresión

Ix2 4 -x — x — ( y a ; 2 4- x — x)•íx2 + x + x

__ (x2 + x) - x2 __ x\Jx2 4- x + x \/x2 + x 4- x

y dividiendo entre x numerador y denominador:

podemos calcular el límite:

lím {yjx2 -\-x — x) = lím

4. Sea la función

{3 si t < - 1

at2 + 6¿ 4-1 si - 1 < t < 2§¿ si t > 2.

(a) Encontrar las valores a, b para que la función g(t) sea continua en todos los reales• Las fronteras de los "pedazos" que definen la función son £ = —1 &: £ = 2. Se ve claramente que lostres "pedazos" son funciones continuas. Para la continuidad en todos los reales se debe cumplir:lím_ g(t) = lím g(t) = g(-l) k lím_ g(t) = lím g(t) = g(2).

t—•—1 t—• — 1 • í—*2 í — • 2 ' *

Esto se traduce en

Ordenamos estas condiciones

a-b = 24a + 26 = 2.

Resolvemos este sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas:

(b) Con los valores encontrados, dar la gráfica de la función• Con estos valores la función es

9(t)=lt*-;si t < - 1

si £ > 2




y la gráfica de la función g(t) es

g(t)

5. Derivar la función f(x) = y9-f- (ar -f I)2

• Derivamos

+ 3-: _ n2

x+1-f 3-

— 3-

6. Existe una función y — f(x) definida implícitamente por la expresión:

1

8 *

Encontrar la ecuación de la recta tangente en el punto (0, | ) .

T Derivando:

2x + (xyf + l x y ) + 3y2y' = 0 =* (ar + 3y2)2/' + (2a; -f- y) = 0 =4>

, . 2 \ / , . / _ / o ^ . i ..\ _^ . . / _ 2a; H - 2 /(x + 3y2)t//=-(2x-

y evaluando en el punto (0, §):

I I_2_ = _ 2 .34 I




la ecuación de la recta tangente en el punto (0, ¿) es

2 I 1

+x-0 3

7. Sea / la longitud de la diagonal de un rectángulo cuyos lados tienen longitud x, y respectivamente. Si x aumentacon una rapidez de ^ m/s y si y disminuye con una rapidez de j m/s,

(a) ¿a qué razón está cambiando la longitud de la diagonal cuando x = 3 m & y = 4 m?• Ver lo que sigue.

(b) ¿La diagonal está aumentando o disminuyendo en ese instante?T Usamos la figura

De la figura, tenemos que:

I2(t) = x2(t) + y2(t); entonces,

derivando con respecto a t:

'{t) = 2x{t)x\t) + 2y(t)y'(t)

z{t)x'(t) + y(t)y'(t)2l(t)

Por lo tanto en el momento, digamos £o, en el que x(to) = 3 & y(to) = 4, se tiene

l(tQ) = \/32-f42 - V25 = 5.

Por datos proporcionados, se tiene que x'(to) = \ & y'(h) — —\-

Sustituyendo estos datos obtenemos

La longitud de la diagonal crece en ese momento.




8. La suma del perímetro de un círculo y un cuadrado es de 16 cm. Hallar las dimensiones de las dos figuras quehacen mínima el área total encerrada por ambas figuras.

T El dibujo de ambas figuras es:

De ambas tenemos:

El perímetro del círculo: 2irr.

El perímetro del cuadrado: 4x.

El perímetro de ambas figuras (usamos la restricción dada):

2irr -\-4x = 16,

El área del círculo: irr2.

El área del cuadrado: x2.

El área de ambas figuras: nr2 -f- x2.

Esta es la función de la que deseamos calcular el mínimo con la restricción dada.

(*)

(**)

Esta función depende de dos variables. La relación entre estas variables viene dada por la condición (*). Deaquí despejamos una variable. Elegimos arbitrariamente r

7* rrr16 -4x 8 - 2x

2?r 7T(***)

Sustituimos en (**)

A(x) = 7T ( ) + x2 => A(x) = - (8 - 2x)2 -h x2 y tenemos,\ 7T / 7T

derivando, con respecto a x:

Af = - (8 - 2x)(—2) 4- 2x = - ~ ( 8 - 2x) + 2x\7T 7T

calculamos la segunda derivada:

- ( - 2 ) + 2 = - + 2 > 0 .7T 7T

Esto no indica que la función A siempre es cóncava hacia arriba, es decir, vamos a encontrar un mínimo.




Igualamos a cero la primera derivada, para encontrar los puntos críticos:

— (8 - 2x) + 2x = 0 => —(8 - 2x) = ~2x =» 8 - 2x = ~x =>

7T ~h 4 16/7T

Éste es el valor que hace mínima el área A(x).

Para encontrar el valor de r correspondiente, sustituimos en (* * *)

_ I /8TT+ 32-32

7r \ Tr-f-4 7T

=> r ==

O sea, el lado del cuadrado es el doble del radio del círculo.

9. Sea la función h(x) = 2o;3 ~

(a) Encontrar las raíces de h(x)

T Tenemos:h(x) = x(2x2-

Una de las raíces es x = 0.Las raíces de la cuadrática 2x2 — Ibx — 36 se calculan:

_ 15±y / l5 2 -4 (2 ) ( - -36) _ 15 ¿ ^225 + 288

" 4 """" 4

_ 15±\ /513 _ 15 ± 22.6495 _ í 9.41238

4 ^ 4 ^ | - 1 . 9 1 2 3 8 .

(b) Encontrar los puntos críticos. Encontrar los intervalos de monotoníaT Derivamos:

h'(x) = 6x2 - 30x - 36 = 6(x2 - 5z - 6) = 6(x

Las raíces de la derivada son, claramente, x = — 1 &a; = 6.

Para el signo de la derivada usamos la tabla:

Intervalo

x < —1 {< 6)

- 1 < a: < 6

x > 6 ( > -1 )

Signo de

x+1

-

++

x — 6

-

-

+

+-

+

Vemos entonces que:/i(x) es creciente en (—oo, —1) y en (6, -foo);h{x) es decreciente en x € (—1,6).




(c) Encontrar los puntos de inflexión. Encontrar los intervalos de concavidadT Calculamos la segunda derivada:

Los ceros o raíces de la segunda derivada se calculan de la siguiente forma:

12z - 30 = 0 =» x = — = - = 2.5.

Para calcular el signo de la segunda derivada tomamos puntos de muestra en cada uno de los intervalosen los cuales la recta real queda dividida por la raíz x = 2.5.

Intervalo

x<2.5

x>2.5

Muestra

0

10

Valor de h" =

- 3 0

90

12x - 3 0

Vemos entonces que:h(x) es cóncava hacia abajo en re € (—oo, 2.5);h(x) es cóncava hacia arriba enxG (2.5, -f oo).El punto [2.5, A(2.5)] = (2.5, -152.5) es de inflexión.

(d) Clasificar los puntos críticos de h(x)Y Si usamos el criterio de la primera derivada vemos que:En x = —1 la primera derivada cambia de signo de más a menos, tenemos un máximo local. Vemostambién que hn{—1) = —46 < 0 corrobora el resultado anterior.En x = 6 la primera derivada cambia de signo de menos a más, tenemos un mínimo local. Vemos tambiénque h"(6) — 42 > 0 corrobora el resultado anterior.

(e) Dar un bosquejo de la gráfica• Evaluamos la función h(x) en algunos puntos:

X

- 1

6

h(x) = 2x3 - 15a;2

19

-324

-36x

Con toda la información anterior podemos hacer un bosquejo de la gráfica de la función h(x):

y

- i .

-324 -




1. Determinar los valores de x para los cuales está definida la función f(x) = \/4 — 9x2 y obtener también elintervalo formado por las imágenes f(x).

T Dominio de f(x):

Rango de f(x):

y £ IR | existe x E

y £ R I existe x €

2 2

3 ' 3

2 2

3 ' 3

tal que y = /(#) > =

tal que y = \ A — 9ar2 > ;

pero,

= 4 — 9x

, (*-Q)2

(i)2

y 2 = 4 ^ ^ + ^ =( y - o ) 2

22 — 1.

Por lo que, si y = \/4 — 9a;2, el punto (a:, y) está en la elipse con centro en el origen (0,0), cuyos ejes están sobrelos ejes coordenados x — 0 & y = 0; dicha elipse tiene semieje mayor igual a 2 en el eje de las y; tiene semieje

2menor igual a ~ en el eje de las #; ahora, como y > 0, se trata exclusivamente de la semielipse superior; por

oúltimo, el conjunto de todas las imágenes f(x) es el intervalo [0,2j.

2. Un taxista cobra 4.80 pesos por el banderazo que es el costo por subirse y recorrer menos de 500 m; pero cobra0.65 pesos por cada tramo subsiguiente de 500 m (completo o parte). Expresar el costo C (en pesos) de unviaje como función de la distancia x recorrida (en kilómetros) para 0 < x < 3 y graficar esta función.

T Vemos que

C(x) =

4.80 si 0 < x < 0.55.45 si 0.5 < x < 16.10 si 1 <x< 1.56.75 si 1.5 < x < 27.40 sí 2 < x < 2.58.05 si 2.5 < x < 3

79




C en $

0 . 5 1 1 . 5 2 2 . 5 3

\

x km

Podríamos sintetizar esto diciendo que

C(a?) = 4.8 + 0.65a?, donde \{n - 1) < x < ^ , n G { 1,2,3,4,5,6}

Claramente esta función se puede generalizar al caso en que n G N.

3. Dada la función f(x) = ——x —2x¿ -f x — 3

obtener: dominio y raíces; intervalos de continuidad y puntos de discontinuidad (clasificados); asíntotas verti-cales y horizontales.

• Dominio: Df = { x

Pero,

Para hallar las raíces resolvamos:

-7 ± V49 - 484 :

- 7 ± 1= < 2

3 3luego, las raíces serían x = — - y también x = —2; pero, como — ^ Df, entonces la única raíz es x — —2.

( 3 \ / 3 \ 3

-oo, - - I U ( - - , 1 ) |J (1, +oo); es discontinua en x = - - y en x = 1.¿ J \ ¿ ) 2Ahora, como

lím f(x) — lím 2 - § 1"5"

en x = - - la discontinuidad no es esencial, es removible, a diferencia de lo que ocurre en x = 1, pues ahí:

lím /(x) = límx—*-l± a:—>1±. X — 1

= ±oo;




así, la discontinuidad en x = 1 es esencial, de hecho es infinita, y la recta x = 1 es asíntota vertical.

Para determinar las asíntotas horizontales calculamos:

lím f(x)=—•±oo

r-t-2lím — = lím- * ± o o x — 1 a;—•ioo

x 1 + -= lím

a;—nfcoo T " i ~ L

Luego la recta y = 1 es asíntota horizontal.

4. Se quiere construir una caja de base rectangular que sea tres veces más larga que ancha, que tenga tapa y quepueda contener 15 dm3 de abono para plantas. Calcular las dimensiones que debe tener dicha caja para querequiera la menor cantidad de material en su construcción.

• Hagamos un bosquejo de la caja:

V = 3x2y = 15 => y = ^ = 5x~2.

La función de la que queremos hallar su mínimo es el área de la caja:

2 + 2 X X Í / + 2 X 3xy = 6x2 + Sxy = 6x2 4- 8x5x~2 = 6x2'+ 40afx

40 12x3~40 A 3 40 10

I

V

«2.2407024.52/3 x 22/3 22/3

80Como A"(x) = 12 + 80x 3 = 12 + — > 0, se trata de un mínimo para A(x) y sucede cuandox w 1.494 & y w 2.241 .

5. Para la función f(x) =+ 1 '

obtener: dominio, raíces y paridad; intervalos de crecimiento y de decrecimiento; máximos y mínimos, locales yabsolutos; intervalos de concavidad hacia arriba y hacia abajo; puntos de inflexión y un bosquejo de la gráfica.




T Dominio: Df = R, raíz x = 0, /(#) es impar.

1 + 1) - 2x x 2x _ ~2x2 + 2 _ 1 - z2

I)2

Veamos el signo de la derivada:

Intervalo

Valor de / ' :

Signo de / ' :

/ e s

(-oo,- l ) ,

/ ' ( -2) < 0

/'(*) < 0

decreciente

(-1,1)

/ ' ( 0 )>0

/'(*)>0

creciente

(l,+oo)

/'(2)<0

/'(x)<0

decreciente

También se puede ver directamente, pues el signo de ff(x) nos lo d a l — x2.

( —2 \En [—1,/(—1)] = í —1, ) = (—1, —1) hay un mínimo local por el criterio de la primera derivada, y en

(1? 1) hay un máximo local:

_

-x3 -x-2x

Análogamente, veamos el signo de fíf{x)

x3 - 3a;7

- 3= ±V3.

Intervalo

Valor d e / " :

Signo d e / " :

/ e s

(-oo,-v^),

/"(-2)<0

f"(x)<0

convexa

(-v .̂o)n-i)>of"{x) > 0

cóncava

/"(l)<0

/"(a;) < 0

convexa

(v/3,+oo)

/"(2) > 0

/"(x)>0

cóncava

Tanto en

hay puntos de inflexión.

También

" 34-1 ' 2(-1.7320508, -0.8660254), (0,0) como en h / 3 , ̂ -

lím f(x) = lím

X2 1 +

- = lím1 \ x—>±oo 1

X2




Con estos datos, la gráfica de la función f(x) es la siguiente:

f(x)

L-2 - 1

: /

i/.

Resulta entonces que (1,1) es el máximo absoluto; y que (—1,-1) es el mínimo absoluto.

6. La función / tiene la gráfica siguiente:

10 "TT"

\i \

t \

2 3

\ i

\

De ella determinar: dominio, rango, raíces, intervalos de continuidad y discontinuidades (clasificadas); intervalosde monotonía y concavidades, puntos de inflexión; dónde / no es diferenciable (no tiene derivada); puntoscríticos de / ; clasificar estos puntos. Y además encontrar los siguientes límites:

lím /(x); lím /(x); lím /(x); lím /(x); lím /(x) & /(I) , /(2), /(5).x-*5~ x—*5+ x—»2~ se—>2+ z—•—oo

• Dominio: Df = [—-1, -f oo).

Rango: Rf = f-oo, ~\}{J (0, +00).

Raíces: x = 3 es raíz.




Es continua en [—1,1) \J (1, 2) (J (2,5) j j [5, +oo); es discontinua en x = 1, donde la discontinuidad es removi-ble; también en x = 2, donde tiene una discontinuidad esencial (infinita); por último, en x — 5, donde ladiscontinuidad igualmente es esencial.

Es creciente en [-1,0], [3,5] y [6, -hoo) y decreciente en [0,1), [1,2), (2,3] y [5,6].

Es convexa en ( -1 ,1 ) , (1,2), [3,4] y [6, +oo) y cóncava en (2,3], [4, 5) y [5,7].

Sus puntos de inflexión son (3,0), (4,1) y (7,8).

La función / no es derivable en x = 1, x =- 2, x = 3 ni en x = 5.

Sus puntos críticos son a; = 0, a; = 4 & x = 6.

En x = 0 hay un máximo al igual que en x = 5; ambos locales.

En x = 3 y e n x = 6 hay mínimos; ambos locales.

Los límites: lím f(x) = 4; lím f(x) — 8; lím f(x) — ~oo; lím f(x) = +oo; / ( I ) = 0; /(2) = 4;x -*5 - a;-*5+ ai-»2- X-+2+

/(5) = 8; lím f(x) no existe.




1. Resolver la desigualdad | 3 — x \ > 2x2 -f 3.

• Equivale a dos desigualdades:

3 - x > 2x2 + 3 o bien 3 - x < -(2x2 + 3).

La primera, a su vez, equivale a 2x2 -}-3 — 3- fx<0 , transponiendo términos, y ésta a 2x2 -f x < 0.

Como 2x2 + x — x(2x + 1), este producto es negativo si:

x>0 y 2a; + 1 < 0 o bien x < 0 y 2z + 1 > 0;x > 0 y 2x < - 1 o bien x < 0 y 2x> - 1 ;

a; > 0 y x < — o bien x < 0 y x > — - ;

o; € 0 o bien s e í

Luego, parte del conjunto solución de la desigualdad propuesta es el conjunto:

La otra parte la hallaremos resolviendo la otra desigualdad, análogamente:

3 - x < -(2x2 + 3) 4* 2x2 + 3 + 3 - x < 0 <S> 2z2 - a; + 6 < 0.

Sabemos que 2x2 — x -f 6 ̂ 0 para cualquier x € R, pues el discriminante b2 — Aac —- (—I)2 — 4(2)(6) < 0.

Sabemos también que y = 2a;2 — x + 6 es una parábola que dirige su concavidad hacia la parte superior.

Con estas condiciones, la parábola tiene que estar forzosamente en la parte superior del eje de las x; y por lotanto, y = 2x2 — x -f 6 > 0 para toda x.

Y, por último, el conjunto solución resultante es únicamente el intervalo í — - , 0 ].\ 2 /

Por ejemplo, x = 0 & x = — no satisfacen a la desigualdad propuesta pues:

13 — 01

y también: 3 —

2. Sea la función y = (x2 — l)2\/4 — # .

Encuentre la ecuación de las rectas tangente y normal a la gráfica en el punto (0,2).

85




T Calculamos la pendiente de la recta tangente usando la derivada:

y'

(x2-l)(32x-8x2-x2

2^/4 - x

y en x — 0 la pendiente de la recta tangente es entonces:

2 x 2 4

y la ecuación de la recta tangente en el punto (0,2) será:

2 / - 2 = - - ( x - O ) = * y = - - a ; + 2.

La pendiente de la recta normal es 4 y la ecuación de la recta normal en el punto (0,2) es:

y - 2 = 4(a? - 0) => y = 4x + 2.

3. Sea la función

si x < - 2x + 1-ax 4-26 si | x | < 2

3-x2 sia?>2.

Encuentre valores a, b para que la función sea continua en todo punto.

T En los únicos puntos donde podría no ser continua / es en —2 y en 2. Para que sea continua en ellos setiene que cumplir

lím/(a;) = /(2) y que ¿ímjix) = /(-2)y para ello se tiene que cumplir

lím+ f(x) = lím f(x) = -2a + 26; lím f(x) = lím _ f(x) = 2a + 26.

Como:lím f(x) - 3 - (2)2 = 3 - 4 = - 1 , lím_ f(x) - -2a + 26,

se tiene que cumplir — 2a -f 26 = — 1.

Análogamente:

lím+ f(x) = 2a + 26, lím_ f(x) = _ ^ = -^~ = - 1 ;

luego, 2a + 2 6 = - 1 .

Resolvamos pues el sistema < t sumando ambas ecuaciones lineales con dos incógnitas; tenemos:

2 i46 = — 2 => b = — = — - y, sustituyendo este valor en la segunda ecuación, tenemos:

2a — l = : ~ l = ^ 2 a = 0 = ^ a = o ~ 0 . Dar un bosquejo de la gráfica con estos valores

• La función con estos valores es:

si | z | < 23 - x2 si x > 2 .



Recuperación,, evaluación 12 87

La gráfica de la función f(x) es:

f (x)

l-2

1

2

ii

\

\

Es decir, unimos los dos segmentos de la parábola y = 3 — x2 y de la hipérbola y = - con un segmento de

la recta y = —1.

4. Un polinomio pasa por los puntos (—5,10), (2,3) y (17, —1).

¿Cuántas raíces tiene como mínimo? Justifique su respuesta.

T Una, pues siendo continua en toda la recta, la función polinomialp(a;) es positiva en 2 puesto que p(2) = 3;y es negativa en 17 ya que p(17) = —1; por lo que entre 2 y 17 la función tiene al menos una raíz, por elteorema del Valor Intermedio.

5. Dada la función definida por f(x) = 3x5 — 5a;3, obtener: raíces, intervalos de crecimiento y de decrecimiento;puntos críticos y su clasificación; intervalos de concavidad hacia arriba y de concavidad hacia abajo; puntos deinflexión y un bosquejo de la gráfica.

• Calculemos:

- 5a;3 = xs{3x2

\x = i / -

2 = 5

3

±1.2909944.

Éstas son las raíces de / que concuerdan con el hecho de que f(x) es impar.

Para determinar los intervalos de crecimiento se deriva / :

f'(x) = 15x4 - Ibx2 - 15z2(z2 - 1) = 0 <*

Estos tres puntos críticos —1,0 & 1 dividen la recta en cuatro intervalos donde la derivada tiene los siguientessignos:Eligiendo arbitrariamente ±2 € (—oo, — 1)|J (1, +oo) se tiene que / ' (±2) > 0 => f(x) es creciente en (—oo, —1)y en (1,-foo).

Análogamente, eligiendo ± - e (-l,0)|J(0,1) se ve que / ; => f(x) es decreciente en (—1,0) y en




En x = - 1 la función pasa de ser creciente a ser decreciente por lo que

[-1, / ( - l ) ] = [-1,3(-l)5 - 5(-l)3] = ( -1 , - 3 + 5) = (-1,2)

es un máximo relativo;

(1, —2) es un mínimo relativo.

Siendo f(x) decreciente en (—1, 0) y (0,1), en (0,0) la función no tiene valor extremo.

Para la concavidad se deriva nuevamente:

/"(z) = ^ ±-~= « ±0.7071067.

Se determina el signo de la segunda derivada en los cuatro intervalos donde la segunda derivada no es cero:

En ( — oo, -= ), eligiendo —1 £ ( —oo, —j= ), se tiene que /"(—I) < 0; luego, f(x) dirige su concavidadV v 2 / V v 2 /

hacia abajo en í —oo, —j= ).\ v 2 /

Y en ( ~-p, -f-oo j , la dirige hacia arriba.

En ( —-p=, 0 ), —- G ( —-p, 0 I, / " ( — « ) > 0; luego, f(x) dirige su concavidad hacia arriba en í —-p, 0 1.\ v 2 / 2 \ y 2 / \ 2 / \ v 2 /

Y en cambio, la dirige hacia abajo en { 0,

Los tres puntos:5 / , \ 3 '

-51—x

— ~ , -0.5303301 + 1.767767 J « (-0.7071067,1.2374369)

[0,/(0)]-(0,0) y

i-1=, / Í4= j | * (0.7071067, -1.2374369)

son de inflexión.Con toda la información obtenida, la gráfica de f(x) queda de la siguiente manera:

f (x)

^ /




« Q i í •' */ \ 3x 2 -10x + 3o. Sea la función f(x) =— x — 6

Encuentre su dominio, sus raíces. Clasifique sus discontinuidades. Encuentre sus asíntotas horizontales yverticales. Encuentre sus intervalos de crecimiento y decrecimiento. Encuentre sus intervalos de concavidad.Haga un bosquejo de la gráfica.

T Para el dominio tenemos:

Df = { x € I

= {xel

= R -{-2,3}.

(x + 2)(x - 3) =¿ 0 } =

Para hallar las raíces resolvamos:

10 ± V100 - 36 10±\/64 10 ± 8 Í3

Luego, la única raíz es x = - pues x = 3 ^ £)/.o

Calculemos:

lím / ( x ) = lím - ) ^ — - = lím± M ^ ± ( + 2)( 3)

lím /(#) = lím , rtX —x-+3-/v ' x_^3 (x + 2) 3 4-2

;s + 2)(a:-3) «^3± (x + 2)

De aquí se desprende que la discontinuidad en x = 3 es removible y que en x = — 2 es esencial, precisamenteinfinita.

También que la recta x = — 2 es asíntota vertical.

Para determinar las horizontales calculamos:

lím / ( x ) = lím —^ ^ - = lím ) ^ - límS » ] + 2

= 3(1 - 0) = 3_x_l = 3 =

1 + 0 ~ 1 ~~ 1 ~ '

luego, y = 3 es asíntota horizontal.

1

Para precisar la monotonía de la función calculamos su derivada, tomando f(x) = — — para x ^ 3, dex + 2

hecho x e Df.

luego, /(x) es creciente en (-00, - 2 ) , (-2,3) y en (3, +00) y no tiene puntos críticos.

Y también para x € Df.

f"(x) = [7(x + 2)~2]' = -

"(x) < 0 (para 15Í3) =» la función / es convexa en (-2,3) y en (3, +00).




Si x < -2 => x • f"{x) > 0 => la función / es cóncava en (-00, -2).

El bosquejo de la gráfica de f(x) es:

-4 -2

f (x)

7. Se va a fabricar una lata cilindrica sin tapa para contener 10 cm3 de líquido. Encuentre las dimensiones queminimizarán el costo del metal requerido para fabricar la lata.

T Usamos la figura

Tenemos que:V = ?rr2/i = 10 cm3.

Queremos que sea mínima la cantidad de material requerido, es decir, el área:

A=7rr2-f 2TTWI.

Así expresada el área es función de dos variables: r & /i, pero como están relacionadas a través de la expresiónpara el volumen de la lata, podemos despejar a una de ellas en términos de la otra. Es más cómodo despejarh:

10 10 _2h = — = — r 2 .




Sustituyendo este valor en la expresión para el área, la tendremos expresada como función de una única variabler:

A(r) = Trr2 + 2?rr—r~2 = 7rr2 -f 20r~1.TV

Hallemos sus puntos críticos:

A'(r) = 27rr - ?? = 0 & 27rr = ^ & r3 = — & r = {/— « 1.4710137 cm,H H 2TT Y TT

con lo cual:

Como:40

A"(r) = 2TT -f -g > 0, se trata en efecto de un mínimo.




12x — 3 I1. Resolver - > 4.

x + 1

T Sabemos que x — 1 ̂ 0.

Consideramos dos casos:

(a) x 4 1 > 0 => La desigualdad propuesta equivale a

| 2x - 31 > A(x + 1) <^ 12x - 3 | > Ax + 4

y ésta, a su vez, a las dos desigualdades

2x-3>4x+Ay2x-3< -(Ax + 4) <=> 2z - 3 < -4x ~ 4.

La primera equivale a7

2z - Ax > 3 + 4 <& -2x > 7 & x < — ;

pero, como x+l > 0 <& x > — 1, por este camino no existe x € R que satisfaga a la desigualdad propuesta.

< - 1 ̂ > x < - - .o

Ahora veamos la segunda desigualdad:

2x - 3 < -Ax ~4<=>2rc + 4 a r < 3 ~ 4

Como para este caso x > —1 =$> x í

(b) x + 1 < 0i 2x — 3 1

No tenemos solución en este caso, puesto que | 2x — 3 | > 0 => < 05 no puede ser > 4

En resumidas cuentas el conjunto solución de la desigualdad propuesta es:

11 ? ~ 6

Comprobemos por ejemplo que x = — - no satisface a la desigualdad original:o

2 ( - - - 3

y6

10 101 0 x 6

93




2. Sea la función- 2 a ; - 3 si x < - 1ax2 + 6 si — 1 < x < 2c si x = 2

-x -h 5 si x > 2 .

Encontrar los valores de a, 6, c para que la función sea continua en todo punto.

T En los únicos puntos en donde hay duda de la continuidad es en x = — 1 y en x = 2 donde la función dejade ser lineal para pasar a ser cuadrática y viceversa, por lo que ahí tenemos que asegurar que:

= / ( - I ) y que límf(x) = /(2).

Es decir, que:

y que

lím f(x)= lím /(a) = - 2 ( - l ) - 3 = 2 - 3 = - 1

lím f(x) = lím f(x) = c.

De aquí obtenemos las siguientes ecuaciones, dado que:

lím /(x) = lím (ax2 + b) = a ( - l ) 2 + b = a -f b;

lím f(x) = lím (-2x - 3) = - 2 ( - l ) - 3 = 2 - 3 = - 1 ;1~ x \ ~

por lo que a + b = —1.

También:

(3 \ 3- s + 5 J = ~(2) + 5 = 3 + 5

lím_ /(a?) = lím (ax2 + 6) = a(2)2 + 6 = 4a + 6;¿

luego, 4a + 6 = 8 y también c = 8.

Resolvamos por último el sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas

[4a + 6 = 8 .

Restando de la segunda la primera obtenemos que:

3a = 8 - (-1) <£>3a = 8 + l < ^ 3 a

y sustituyendo este valor en la primera tenemos:

9-

Con estos valores la función continua en R es:

/(*) =

-2x - 3 si x < - 13x2 - 4 si - 1 < x < 28 si x = 2

. ~x 4- 5 si x > 2




o bien:-2x - 3 si x < - 1

3x2 - 4 si - 1 < £ < 2

-x + 5 si x > 2.

3. Encontrar las dos ecuaciones de las rectas tangentes a la gráfica de la función y = x2 -f 1 que pasan por elorigen.

• Cualquier punto de la gráfica de la función y — x2 + 1 tiene por coordenadas (xi, x\ -f- 1)

y la pendiente de cualquier recta tangente es y1 = 2x\.

Luego, la ecuación de cualquier recta tangente es de la forma:

Ahora, si va a pasar por el origen (0,0), estas coordenadas la deben satisfacer, por lo que

-x\ - 1 = 2xi(-a;i) 4=> -x\ - 1 = -2x\ <& x\ = 1 & \ xx \ = 1 <=> xx = ± 1 ;

entonces las dos ecuaciones de las rectas tangentes a la gráfica de y = x2 -f 1 que pasan por el origen son:

y - (I2 + 1)

y también:y - [(-I)2 - (-1)] ^ 2 / - 2 - - 2 : r - 2 ^ 2 / = -2x.

4. Se desea hacer una caja abierta con una pieza cuadrada de material de 12 cm de lado, cortando cuadritosiguales de cada esquina. Hallar el máximo volumen que puede lograrse con una caja así.

• Si componemos la figura, tenemos:

12

12-2x

12-2x

El volumen, que nos piden es:

V(x) = (12 - 2x)2x - x{4x2 - 48x + 144) = 4z3 -




Sus puntos críticos son:

V'{x) = 12x2 - 96x + 144 = 0 <*

_ 96±\/9216-6912 __ 96 ± V2304 _ 24 ± 48 _ I 3**X~~ 24 ~ 24 " 24 j-1.

Podemos desechar x = — 1, pues físicamente no tiene sentido que sea negativo, en cuyo caso, para x — 3 cm elvolumen es:

V(3) = 3[12 - 2(3)]2 = 3(12 - 6)2 = 3 x 62 = 3 x 36 = 108 cm3 .

Como:V"{x) = 24x - 96 y V "(3) = 72 - 96 < 0,

se trata de un máximo.

x5. Sea la función f(x) — —z—- 3 .

xz — 2x

(a) Encontrar las asíntotas verticales y horizontales• Como x2 - 2x = x(x - 2) =» £>/ = R - {0,2}.

En su dominio:

X-2 x-2v ,, v ,, -3x4-7lim /(x) = lim = ico pues

2±jy ) 2± x 2 F

lím±(-3x + 7) = -3(2) + 7 - - 6 - h 7 = l > 0 y lím±(x - 2) = O*;

por lo que la recta x = 2 es asíntota vertical.

En cambio x = 0 no es asíntota vertical pues:

., _, , ., - 3 x + 7 - 3 ( 0 ) + 7 7 7hm / ( x ) =•- lim - n ' = " ^ = - o •

Para calcular las asíntotas horizontales estimamos:

,, ,/ x ,, -3x + 7 X V s /hm /(x) = lim = hm — — =

= ,Im ± í l = zi± = z2 = _3.ar-ioo 1 _ 2 1 - 0 1

X

Por lo que la recta y = — 3 es asíntota horizontal,

(b) Encontrar los puntos de discontinuidad y clasificarlosrr. R(X^ 2X^

• Como /(x) = j — es una función racional, es continua en su dominio y, de acuerdo a lox ¿¡x

calculado en el inciso anterior, en x = 0 la discontinuidad es removible; en x = 2 la discontinuidad esesencial, de hecho infinita.




(c) Hacer un bosquejo de la gráfica• Una gráfica de la función f(x) que cumple con lo anterior es:

f(x)

t-3

7/3

-7/2

La única raíz de f(x) es cuando:

-3a; + 7 = 0 <=> - 3 x = - 7 <=> x = — =

6. Sea la función / (#) = a;4 — 4a;3 .

(a) Encontrar las raíces, los puntos críticos y los puntos de inflexión de la funciónT Tenemos que

x4 — 4x3 ~ 0 4=> xs(x -4)=0<3>x = 0&¿x = 4 son las raíces de la función;

/ ' ( # ) = 4a:3 - 12x2 = 4a;2 (a; - 3) = 0 & x = 0 & x = 3 son los puntos críticos;

f"(x) = 12x2 - 24o: =

así mismo, para el signo de la segunda derivada usamos la tabla

Intervalo:

(-oo,0)

(0,2)

(2,+oo)

Un valor d e / "

/"(-l) = (-12)(-3)>0

/"(l) = 12(l-2)<0

/"(3) = 12(3)(3-2)>0

f"(x) es

positiva

negativa

positiva

Entonces los puntos: [0, /(O)] = (0,0) & [2, /(2)] = [2,23(2 - 4)] = [2,8(-2)] = (2, -16) son de inflexión,pues en ellos la gráfica cambia el sentido de su concavidad.

(b) Encontrar los intervalos de monotonía y de concavidad de la función• Veamos el signo de la primera derivada

Intervalo:

(-oo.O)

(0,3)

(3, +oo)

Un valor de / ' :

/ '(-l) = 4(-l)2(-l-3)<0

/'(l)=4(l)2(l-3)<0

/'(4)-4(4)2(4-3)>0

f'(x)es

negativa

negativa

positiva

f(x) es

decreciente

decreciente

creciente




Por lo calculado en el inciso anterior:

f(x) es cóncava en (—00,0) |J (2,00) y convexa en (0,2), ya que en tales conjuntos la segunda derivada espositiva y negativa, respectivamente.

(c) Clasificar los puntos críticos especificando el criterio que usaT Como f(x) pasa de ser decreciente a ser creciente, por el criterio de la primera derivada, concluimosque en el punto:

[3, /(3)] = [3,33(3 - 4)] = [3,27(-l)] = (3, -27)

hay un mínimo que resulta ser absoluto; en cambio en el origen no hay valor extremo pues la función pasade ser decreciente a ser decreciente también.

(d) Graficar la funciónT Podemos calcular también

lím f(x) = lím íz4 (l - - ) 1 = +00.ÍC-+±OO X »->±OO [ \^ X J \

Con todo lo anterior, la gráfica de f(x) es:

f(x)



Portal de Problemas de MatemáticasCÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I

Recuperación: evaluacionesSe terminó de imprimir

en el mes de enero del año 2005en los talleres de la Sección

de Impresión y Reproducción de laUniversidad Autónoma Metropolitana

Unidad Azcapotzalco

PORTAL DE PROBLEMAS DE MATEMATICAS CALCULO

ESPINOSA ERNESTO RE * SECCION DE IMPRESION

$ 14.00

La ediciónestuvo a cargo dela Sección de Produccióny Distribución Editoriales

Se imprimieron300 ejemplares más sobrantespara reposición.



ISBN: 970-31-0373-1

973-97031-03737

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