Cálculo Diferencial - · PDF fileCálculo Diferencial Agosto 2015 Página...

Cálculo Diferencial Agosto 2015

Página 1 de 13

Laboratorio # 1 Desigualdades I.- Determinar los valores de que satisfacen simultáneamente las dos ecuaciones dadas.

1) 2

3𝑥 − 3 <

4

6 y 𝑥 − 1 >

1

3

2) 5𝑥 − 4 >1

4 y 𝑥 +

1

2≥

1

2

3) 7𝑥 − 7 ≤1

7 y 4𝑥 + 4 >

1

4

4) 452 + 𝑥 ≤ 451 +1

2𝑥 y 5𝑥 + 7 > 𝑥

II. - Determina los valores de que satisfagan al menos una de las condiciones.

1) 5𝑥 + 5 >1

5 ó

1

3+ 4𝑥 > 6

2) (𝑥 + 3)2 > 0 ó 3𝑥 > 7

3) 8𝑥 + 4 ≥ 2 ó 3𝑥 +3

4≥ 2

4) 19𝑥 −1

9𝑥 > 10 ó 8𝑥 − 1 ≥ 3𝑥

III.- Hallar los valores de en los cuales puede cambiar de signo la expresión dada. 1) 6𝑥2 + 16𝑥 − 6

2) 49𝑥2 − 16

3) 𝑥2−36

𝑥−6

4) 9𝑥2 − 2


Página 2 de 13

Laboratorio #2 Inecuaciones I.-Resolver la desigualdad dada. Escribir la solución con la notación de intervalos y representarla gráficamente.

1) 9𝑥 − 27 < 18 11) −1

5≤ 3𝑥 −

1

4≤

1

3

2) 𝑥2 + 16𝑥 + 64 > 0 12) 3𝑥−6

5≤ −3

3) 3𝑥2 + 6 > 9𝑥 13) 3𝑥

4− 10 < 5

4) 𝑥+5

𝑥−7> 0 14)

4

𝑥−9+

2

5< 0

5) 𝑥2 − 3𝑥 + 2 > 0 15) |1 − 3𝑥| < 5

6) |3

4𝑥+1| ≤ |

1

𝑥+1| 16)

𝑥

6+ 8 <

𝑥

3+ 5

7) – 𝑥 +2

3≥ 𝑥 + 1 17)

3𝑥

1+

6−2𝑥

4≤ 4

8)5𝑥+15

5>

10𝑥−50

5 18) 3(𝑥2 − 9) = 0

9) 𝑥−1

−3+

1

5≤

𝑥

2− 3 19) −4 ≤ 3𝑥 − 1 < 5

10) |𝑥2 − 𝑥| > 3 20) 5𝑥−2

3−

𝑥−8

4>

𝑥+9

2− 2


Página 3 de 13

Laboratorio # 3 Funciones I I - Determina cuales de las siguientes gráficas representa una función

1) 2) 3)

4) 5)

II.- Determinar si la ecuación dada, representa una función.

1) 5𝑦 − 3𝑥2 + 2 = 3

2) (𝑥 − 3)2 + (𝑦 − 1)2 = 0

3) (𝑥 − 2)2 − 3𝑦 + 5 = 0

4) 𝑥2

𝑎5− 2 = 𝑦2(𝑥 + 1)

5) 𝑦 + 1 − √𝑥 − 1 = 2𝑥 − 𝑦

III.- Calcula las funciones , , , , especificando el dominio en cada caso.

1) 𝑓(𝑥) = √5 − 𝑥

𝑔(𝑥) = √𝑥 − 3

2) 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 1

𝑔(𝑥) = 2𝑠𝑒𝑛 𝑥 − 1

3) 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 3

𝑔(𝑥) = √𝑥

4) 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 2

𝑔(𝑥 = 𝑥 + 2)


Página 4 de 13

Laboratorio # 4 Funciones II I.- Para la función dada obtener y los valores de para los cuales .

1) 𝑓(𝑥) =3𝑥2−1

(𝑥−2)

2) 𝑓(𝑥) = √4𝑥 − 3

3) 𝑓(𝑥) =𝑥2+4𝑥−5

(𝑥−1)

4) 𝑓(𝑥) =𝑥2−4

𝑥+2+ 1

5) 𝑓(𝑥) =2𝑥2−3𝑥+8

2𝑥

II. - Calcular si:

1) 𝑓(𝑥) = 4𝑥5 + 8

2) 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 𝑥 + 3

3) 𝑓(𝑥) =2𝑥−1

3−𝑥

4) 𝑓(𝑥) = (𝑥 + 2)−1

2(3)

5) 𝑓(𝑥) =𝑥−3

4𝑥+2

III - Determinar si la función dada es par, impar o ninguno de los dos.

1) 𝑓(𝑥) =3𝑥

𝑥2+1

2) 𝑓(𝑥) =𝑥2

𝑥3+1

3) 𝑓(𝑥) = 𝑥6 − 𝑥2 + 5

4) 𝑔(𝑥) = 1

𝑥(𝑥2+1)

5) 𝑔(𝑥) = |𝑥|

𝑥


Página 5 de 13

Laboratorio # 5 Gráfica de funciones

I.- Trazar la gráfica de la función dada señalando su dominio y rango.

1) 𝑓(𝑥) = |𝑥|

2) 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 3

3) 𝑓(𝑥) =1

𝑥2

4) 𝑓(𝑥) = √𝑥 + 5

5) 𝑓(𝑥) = √7 − 𝑥 − 1

6) 𝑓(𝑥) = 1

√2−𝑥

7) 𝑓(𝑥) = {𝑥2, 𝑥 ≤ 01 − 𝑥, 𝑥 > 0

8) 𝑓(𝑥) =1

2𝑥 + 2

9) 𝑓(𝑥) = |𝑥 + 3| − 5𝑥

10) 𝑓(𝑥) = 𝑥(𝑥2 + 1)}

11) 𝑓(𝑥) =𝑥2

1−|𝑥|

12) 𝑓(𝑥) = {

1 + 𝑥, 0 ≤ 𝑥 ≤ 1𝑥, 1 < 𝑥 < 21

2𝑥 + 1, 2 ≤ 𝑥

13) 𝑓(𝑥) = 𝑥3

14) 𝑓(𝑥) = 𝑥 +1

𝑥


Página 6 de 13

Laboratorio # 6 Limites

I.- Evaluar el límite indicado. 1) lim

𝑥→5𝑥

2) lim𝑥→2

3𝑥 + 5

3) lim𝑥→3

𝑥(𝑥 + 1)

4) lim𝑥→−2

(5𝑥 + 7)4

5) lim𝑥→−1

𝑥3−1

𝑥2−1

6) lim𝑥→3

𝑥3−27

𝑥−3

7) lim𝑥→4

√𝑥−2

𝑥−4

8) lim𝑥→

3

2

√8𝑥3−27

4𝑥2−9

9) lim𝑥→3

𝑥2−9

𝑥−3

10) lim𝑥→0

√𝑥

11) lim→

11) lim𝑥→4

𝑥2−2𝑥−8

𝑥−4

12)lim𝑥→2

1

𝑥−2

13) lim𝑥→−∞

|𝑥−5|

𝑥−5

14) lim𝑥→0

9𝑥2

7𝑥2

15) lim𝑥→1

𝑥3−1

𝑥−1

16) lim𝑥→1

(𝑥 +1

𝑥)


Página 7 de 13

17) lim𝑥→

1

2

√ln (2𝑥)

18) lim𝑥→0

|𝑥|

𝑥

II.- Trazar la gráfica de la función por medio de asíntotas.

1) 𝑓(𝑥) =1

𝑥2+1

2) 𝑓(𝑥) =𝑥

1+𝑥

3) 𝑓(𝑥) =1−4𝑥

𝑥+3

4) 𝑓(𝑥) =1

𝑥−4

5) 𝑓(𝑥) =9𝑥2−36

3𝑥+6

6) 𝑓(𝑥) = √𝑥

𝑥−1

7) 𝑓(𝑥) =𝑥+7

𝑥+8

8) 𝑓(𝑥) =𝑥2+𝑥−12

𝑥−3


Página 8 de 13

Laboratorio # 7 Continuidad I .- Determina los valores de x para las cuales es discontinua la función dada.

1)

2)

3)

4)

II.- Determinar los valores de a y k de modo que la función dada sea continua en los reales.

1.-

2.-

3.-


Página 9 de 13

III. - Verificar las condiciones del teorema del valor intermedio para la función dada en el intervalo indicado. Si las condiciones se cumplen, halla el valor de c que satisfaga la conclusión del teorema.

1)

2)

3)

IV. - Evaluar el limite indicado.

1)

2)

3)

4)


Página 10 de 13

Laboratorio # 8 Derivadas I.- Obtener la derivada de las funciones siguientes y simplificar cada resultado.

1) 𝑓(𝑥) = 𝑥3 + 2𝑥

2) 𝑓(𝑥) = (3𝑥2 − 2𝑥)3

3) 𝑓(𝑥) =𝑥

𝑥2+3

4) 𝑓(𝑥) = sen 2𝑥

5) 𝑓(𝑥) = ln(𝑥2)

6) 𝑓(𝑥) =4𝑥

(2𝑥−3)3

7) 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − cos(3𝑥)

8) 𝑓(𝑥) = csc(2𝑥) 4 tan(𝑥)

9) 𝑓(𝑥) = √3𝑥 + 4(𝑥2 − 1)

10) 𝑓(𝑥) =√𝑥+3

√𝑥+1

11) 𝑓(𝑥) = 𝑒3−𝑥2

12) 𝑓(𝑥) =𝑒2𝑥

𝑥2

13) 𝑓(𝑥) = ln(6𝑥5 − 2𝑥3 + 4𝑥 + 1)

14) 𝑓(𝑥) = cos (9 − 3𝑥)

15) 𝑓(𝑥) = √sin (𝑥)3

16) 𝑓(𝑥) = ln(sen 𝑥)

17) (7𝑥2−8)

3

𝑥2

18) cos2(3𝑥3 + 𝑥)

19) 𝑓(𝑥) = (7𝑥2

3𝑥−𝑥2)3

20) 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − cos 2𝑥

21) 𝑓(𝑥) = ln (√3𝑥

𝑥+2

3)

22) 𝑓(𝑥) = 𝑥3 tan 2𝑥 sen 2𝑥


Página 11 de 13

Laboratorio # 9 Aplicaciones geométricas de la Derivada y derivación implícita

I.- Resuelve los siguientes problemas.

1) Hallar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de 𝑦 = 𝑥3 + 3𝑥2 en el punto cuya abscisa

es 3

2) Obtener el punto de la gráfica de 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 4𝑥 + 8 en el cual la pendiente de la recta

tangente sea igual a 8

3) Hallar el punto de cada una de las funciones 𝑓(𝑥) = 2𝑥2 + 𝑥 y 𝑦𝑥 = 3𝑥2 − 6𝑥en el cual las

rectas tangentes son paralelas 𝑓´(𝑥) = 4𝑥 + 1 ; 𝑦´(𝑥) = 6𝑥 − 6

4) Hallar la ecuación a la recta tangente a la gráfica de 𝑦 = 6𝑥2 + 8𝑥 + 7 − 𝑥3 en el punto

cuya abscisa es 1.

II.- Usar diferenciación implícita para obtener

1) 3𝑥3𝑦2 − 𝑥 + 6𝑦3 = 7

2) 1

𝑥3 +2

𝑦2 = 3

3) 𝑥+𝑦

𝑥−𝑦+ 𝑥 = 4

III - Hallar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la ecuación dada en el punto indicado.

1) 𝑥2 + 𝑦2 = 2 ; (2,2)

2) 2𝑥−2 + 6𝑦2 = 6 ; (4, (1

2))

3) 2𝑥2 − 3𝑦3 = 𝑒𝑥 ; (6,3)

IV.- Obtener los puntos de la gráfica de la ecuación dada en los cuales la recta tangente es horizontal.

1) 6𝑥2 − 12𝑥 + 6𝑦2 = 0

2) 3𝑥2 + 3𝑥𝑦 − 2𝑦2 = 4

3) (𝑦 − 6)2 + 4𝑥 = 0

V.- Hallar y simplificar

1) 6𝑦3 − 4𝑥2 = 4

2) 2𝑥3 + 𝑦3 = 15

3) 3𝑦3 − 4𝑥4 = 6


Página 12 de 13

Laboratorio # 10 Aplicaciones Graficas I - Para la función dada obtener: a) Sus valores mínimos y máximos relativos b) Los intervalo donde es creciente y los cuales donde es decreciente. c) Sus puntos de inflexión d) Los intervalos donde es cóncava hacia arriba y donde es cóncava hacia abajo. Trazar la gráfica correspondiente.

1) 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 4𝑥 + 4

2) 𝑓(𝑥) = 2𝑥3 + 5𝑥2 + 4𝑥 + 1

3) 𝑓(𝑥) = 𝑥3 + 3𝑥2 − 4

4) 𝑓(𝑥) = 𝑥4 + 12𝑥3 − 64𝑥2

5) 𝑓(𝑥) = 2𝑥4 + 𝑥3 − 8𝑥2 − 𝑥 + 6

6) 𝑓(𝑥) =1

4𝑥4 − 𝑥3

7) 𝑓(𝑥) =1

4𝑥2 + 3𝑥

8) 𝑓(𝑥) = 𝑥4 − 16𝑥

9) 𝑓(𝑥) =1

5𝑥5 − 𝑥2

II.-Trazar las gráficas de una función continua 𝑓. Que cumpla con las condiciones dadas

1. 𝑓(0) = 2

𝑓′(0) = 0

𝑓′′(0) > 0

2. 𝑓(2) = 4

𝑓′(0) > 0

𝑓′′(0) < 0

3. 𝑓(0) = 2

𝑓′(𝑥) > 0

𝑓′′(𝑥) < 0

4. 𝑓(−2) = 3

𝑓´(𝑥) < 0

𝑓´´(𝑥)


Página 13 de 13

Laboratorio # 11 Problemas de Optimización I.- Resuelve los siguientes problemas.

1) Se va a cercar un terreno rectangular de 2700 de área, y se utilizará una valla

adicional para dividir el terreno a la mitad, es de por metro colocado, y el costo

de la cerca para los lados es de $36 por metro colocado. Estime las dimensiones del

terreno de modo que el costo total del material para la cerca sea el mínimo.

2) Una página de un libro debe contener 27 pulgadas cuadradas de impresión. Los

márgenes inferior, superior y de un lado medirán dos pulgadas y el del otro lado

una. ¿De qué dimensiones debe ser la página para gastar la menor cantidad de

papel?.

3) Un fabricante de cajas desea construir una caja cerrada que tenga un volumen de

288pulg , y cuya base de forma rectangular tiene el largo igual al triple de su ancho.

Estime las dimensiones de la caja construida con la mínima cantidad de material.

4) Determine una ecuación de la recta tangente a la curva que tenga la

pendiente mínima.

5) Se va a construir una ventana en forma de un rectángulo coronado por un

semicírculo cuyo diámetro es igual al ancho del rectángulo si el perímetro de la

ventana es de 16 pies. ¿Qué dimensiones admitirán la mayor iluminación?.

6) Una hoja de metal con perímetro de 4 metros va a ser enrollada para formar la cara

lateral de un recipiente cilíndrico. Encontrar las dimensiones del recipiente con el

máximo volumen.

7) Se va a construir una caja rectangular abierta de base cuadrada y un volumen de

32,000 unidades cúbicas. Encontrar las dimensiones que requieran la mayor

cantidad de material.

8) Una ventana ¨ normanda ¨ consiste en un rectángulo coronado por un semicírculo.

Hallar las dimensiones de la ventana con área máxima si su perímetro es de 10

metros.

9) Encontrar las dimensiones del cilindro circular recto de mayor volumen que puede

inscribirse en un cono circular recto de altura h unidades y radio de la base r

unidades

10) Encontrar las dimensiones de la lata cilíndrica cerrada que requiera la menor

cantidad de material para que contenga un volumen de 32 unidades cúbicas.

Cálculo Diferencial - · PDF fileCálculo Diferencial Agosto 2015 Página...

Documents

Transcript of Cálculo Diferencial - · PDF fileCálculo Diferencial Agosto 2015 Página...