CÁLCULODEÁREASPORINTEGRACIÓN

Árealimitadaporlagráficadeunafunciónfcontinuaen[a,b],elejehorizontalylasrectasverticalesx=ayx=bCASO1.LafunciónespositivaLa función f(x)escontinuaen y .Eláreacomprendidaentre f(x),

y=0(ejeOX)ylasrectasx=ayx=benestecasoes:

[a,b] f (x) ≥ 0

A= f (x)dxa

b

∫

CASO2.LafunciónesnegativaSilafunciónesnegativa,porejemplo yqueremoscalcularsuáreaenelintervalo ,haremosesto:

Enestecaso,eláreaseríaelvalorabsolutodelresultado,esdecir,12.En general, el área comprendida entre la gráfica de f(x), el eje horizontal y lasrectasx=ayx=bes:

f (x) = −2x[2,4]

−2xdx2

4

∫ =−2x2

2

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

4

2

= −x2⎡⎣

⎤⎦4

2= −16− (−4) = −12

A= f (x)a

b

∫ dx

CASO3.LafuncióntomavalorespositivosynegativosLa función tiene zonasporencimaypordebajodel ejeOX.Para calcular el áreaseguimosestospasos:

1. SecalculanlospuntosdecorteconelejeOX,esdecir,hayqueresolverlaecuaciónf(x)=0.

2. Seordenandemenoramayor lasraíces(solucionesde laecuación),queseránloslímitesdeintegración.

3. Eláreaes lasuma de las integralesdefinidas (envalorabsoluto)de cadaintervalo.

A= f (x)a

d

∫ dx = f (x)a

b

∫ dx + f (x)b

c

∫ dx + f (x)c

d

∫ dx

Ejemplo:Calculaeláreadelasregionesdelplanolimitadaporlacurva

yelejeOX.1.

2. x=0,x=2yx=4

3. =

f (x) = x3 −6x2 +8x

x3 −6x2 +8x = 0

A= (x3 −6x2 +8x) dx0

2

∫ + (x3 −6x2 +8x) dx2

4

∫

=x4

4− 2x3 + 4x2

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥0

2

+x4

4− 2x3 + 4x2

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥2

4

= 4+ 4 = 8u2

Áreaentredoscurvas

Sif(x)yg(x)soncontinuasen[a,b]yf(x) g(x),eláreadelaregiónlimitadaporf(x),g(x),x=ayx=bes:

Paracalculareláreadelaregiónlimitadapordosfunciones,seguimosestospasos:

1. Secalculanlospuntosdondesecortanlasdosfuncionesparaconocerloslímites de integración. Para ello se igualan f(x) = g(x) y se resuelve laecuación.

2. Se ordenan de menor a mayor los puntos de corte (soluciones de laecuación).

3. Eláreaeslasumadelvalorlasintegralesdefinidas(envalorabsoluto)decadaintervalo.

Ejemplo:

≥

A= f (x)− g(x)a

b

∫ dx

A= f (x)− g(x)−4

4

∫ dx

Ejemplo:Calcula el área de la región limitada por las funciones y

1. f(x)=g(x)

2. x=-2,x=0yx=2

3. Eláreasería:

=

f (x) = x3 − 2xg(x) = 2x

x3 − 2x = 2x⇒ x3 − 4x = 0⇒ x(x2 − 4) = 0

A= f (x)− g(x)−2

2

∫ dx = f (x)− g(x)−2

0

∫ dx + f (x)− g(x)0

2

∫ dx

= x3 − 2x − 2x−2

0

∫ dx + x3 − 2x − 2x0

2

∫ dx =

= x3 − 4x−2

0

∫ dx + x3 − 4x0

2

∫ dx = x4

4−4x2

2

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

0

−2

+x4

4−4x2

2

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥0

2

=

=x4

4− 2x2

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

0

−2

+x4

4− 2x2

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

2

0

= 0− (−2)4

4− 2 ⋅ (−2)2

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥+24

4− 2 ⋅22

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟−0

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥= 8u2