Captulo 2: Mediciones y errores Errores (fuentes de error, clases de

errores) Valor mas probable

Errores

Errores

Toda medicin tiene un error. La magnitud exacta del error tampoco

se puede conocer.

Ninguna medicin es exacta y nunca se conoce el valor verdadero de la cantidad que se est midiendo (los valores exactos o verdaderos existen, pero no pueden determinarse).

Errores

Equivocacin: Diferencia con respecto al valor verdadero,causada por la falta de atencin del topgrafo.Por ejemplo, anotar 276,93 m en lugar de 267,93 m . Lasequivocaciones se pueden eliminar si se trabaja con cuidadoy se revisa el trabajo hecho.

Error: Diferencia con respecto al valor verdadero,ocasionada por la imperfeccin de los sentidos de unapersona, por la imperfeccin de los instrumentos o porefectos climticos.

Errores

Fuentes de error:Errores personales:

De percepcin (diferente y ms pequea que las equivocaciones).

Errores instrumentales:De fabricacin y falta de calibracin.

Errores naturales:Producidos por el viento, temperatura u otro fenmeno natural.

Tipo de errores

Error sistemtico:Es aquel que, en igualdad de condiciones, se repite siempreen la misma cantidad y con el mismo signo. Este tipo deerror tiende a acumularse en funcin del nmero demedidas que se tomen. Todo error sistemtico obedecesiempre a una ley matemtica o fsica, por lo tanto, puededeterminarse su magnitud y aplicarse la correccincorrespondiente.

Que una cinta mtrica mida ms o menos de lo quedice es un error sistemtico.

Tipo de errores

Error accidental o aleatorio:Es aquel producido por factores que no pueden sercontrolados por el observador. No puede aplicarse ningunacorreccin en este caso, pues la magnitud y el signo delerror en cada observacin son casuales (aleatorios); sinembargo obedecen a la ley de probabilidades y, enocasiones, tienden a compensarse en observacionessucesivas.

Valor mas probable

Para remediar los errores aleatorios se puedentomar repetidas observaciones de la mismamedida (observaciones redundantes) y valersede la ley de probabilidades. Siendo n el nmerode observaciones y Xi el resultado de cada unade ellas, se puede calcular un valor medio,cercano a la medida exacta:

Este valor contiene un error que se expresa en funcin de la desviacin estndar de las observaciones. Para conocer la desviacin estndar (sigma) es necesario averiguar la diferencia entre cada observacin y la media, lo que se conoce como residuo o error residual (Vi = Xi Xmedia); de manera que la desviacin estndar de la media es:

Valor mas probable

Cuando se realizan varias observaciones los resultadostienden a acumularse al rededor de la media y a distribuirsede una forma particular, denominada curva de distribucinnormal.

Esta curva tiene una tpicaforma de campana y sirve paradeterminar un intervalo dentrodel que, con determinadaprobabilidad, se encuentra elvalor exacto (o mejor, msprobable) de la medicin. Laamplitud de la curva tambinpermite conocer la precisin dela observacin en conjunto.

El eje de las abscisas marca los intervalos de

clase, o el tamao del residuo escogido para la

distribucin, y el eje de las ordenadas (el vertical)

indica la frecuencia de ocurrencia, o el nmero

de observaciones que caen dentro de cada

intervalo

Valor mas probable

La desviacin estndar seala el punto deinflexin de cada curva y, como se dijo antes,la amplitud indica la precisin, de maneraque las mediciones que se hicieron paraobtener la curva roja fueron ms precisasque las de la grfica azul -ntese que ladesviacin estndar es menor en el primercaso que en el segundo-. El rea bajo la curvaindica a su vez la probabilidad de error paraun determinado valor. As que, si se quieretener una certeza del 50% respecto a unamedida, se debe calcular el error probablecomo:

Valor mas probable

En general, se puede calcular Ep como:

En donde Cp es un factor que sale de una grfica que relaciona el porcentaje del rea bajo la curva de probabilidad y el error. En topografa se utilizan comnmente los errores del 50%, 90%, 95% (o 2sigma) y 99,7% (o 3sigma), los cuales tienen su correspondiente factor:

Valor mas probable

En general, se puede calcular Ep como:

En donde Cp es un factor que sale de una grfica que relaciona el porcentaje del rea bajo la curva de probabilidad y el error. En topografa se utilizan comnmente los errores del 50%, 90%, 95% (o 2sigma) y 99,7% (o 3sigma), los cuales tienen su correspondiente factor:

Finalmente se obtiene el valor ms probable de la medicin como:

Los topgrafos suelen usar el error 3 sigma (Cp = 3) para descartar las observaciones que no caigan dentro de ese rango, pues corresponden a equivocaciones.

Valor mas probable

El error unitario de la medicin (dependiendo de la certeza buscada) se puede calcular con la siguiente expresin:

que indica el error que se produjo al medir una unidad, y se lee uno a inverso del error unitario y consiste en el grado de precisin de la medicin, y se expresa generalmente como:

Ejemplo: 0,0003 m por cada metro que se mide.

Valor mas probable

EjemploSe mide una misma distancia cinco veces con la misma cinta mtrica y en igualescondiciones climticas obteniendo los siguientes resultados: 19,23 m ; 19,19 m ;19,27 m ; 19,24 m ; 19,21 m . Cul fue la distancia medida?

SolucinHay que tabular los datos de la siguiente manera:

Xi (m) V (m) V2 (m2)

19,23 + 0,002 0,000 004

19,19 - 0,038 0,001 444

19,27 + 0,042 0,001 764

19,24 + 0,012 0,000 144

19,21 - 0,018 0,000 324

= 96,14 = 0,000 = 0,003 68

Valor mas probable

Como el nmero de mediciones es igual a 5, entonces n=5; por lo tanto, la media es:

Xmedia = 96,14 m / 5 = 19,228 m

La desviacin estndar se calcula conociendo la sumatoria de los residuos alcuadrado (0,003 68) y la cantidad de observaciones:

= [(0,003 68)/(5*(5-1))] = 0,013 56 m

Aplicando la frmula para un error probable del 50% (Cp = 0,674 5) se tiene:Ep = 0,674 5 *(0,01356 m) = 0,009 m

Entonces se puede afirmar que existe un 50% de probabilidad de que ladistancia sea:

X = 19,228 m 0,009 m

Valor mas probable

Con estos resultados se puede calcular la precisin con la que se efectu lamedida:

E = 0,009 m / 19,228 m = 0,000 47

Que significa que por cada metro que se midi se cometi un error de 0,000 47m , que expresado como grado de precisin queda:

Precisin = 1 : 19,228 / 0,009 = 1 : 2 142

lo cual quiere decir que, si se midiera con la misma precisin una distancia de 2142 m , se cometera un error de 1 m .