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Investigación OperativaLic. Analía SoriaCorreo: analiacelina8@hotmail.com

1.1 ¿QUÉ BUSCA ESTA MATERIA?- Busca encontrar el mejor curso de acción para problemas de decisión

Los problemas de decisión se van a resolver con modelos y estos modelos con lo que se va a trabajar a lo largo de la cursada son modelos matemáticos.Para eso siempre debemos encontrar una solución óptima a nuestros problemas de decisión.

Todos los problemas de decisión tienen recursos, estos generalmente son limitados. Por lo tanto, existe una RESTRICCION.Depende de cómo sea el problema vamos a utilizar un modelo, y depende de cómo es ese modelo también va a depender la técnica de resolución.

Softwares: Tora, Winqsb

1.2 ¿QUÉ ES LA INVESTIGACIÓN OPERATIVA?La investigación operativa se considera un arte y una ciencia

- Arte, porque depende de la habilidad y la creatividad del equipo de investigación operativa.

- Ciencia, porque me permite utilizar técnicas y algoritmos matemáticos para resolver problemas de decisión.

La obtención de datos, la construcción del modelo, la validación del modelo y la implementación de los resultados dependen de la habilidad y creatividad del equipo de IO.

1.3

1.4 ¿QUÉ ES UN MODELO?Un modelo es una herramienta que nos permite identificar el problema de decisión en su totalidad. Todos los modelos van a tener una función objetivo a la cual vamos a optimizar (la optimización se va a dar con máximos y

2

mínimos) y esa función objetivo va a estar sujeta a un conjunto de restricciones (ecuaciones, desigualdades, mayor igual, etc.)

1.4.1.1Ejercicio 1:Un gerente de un departamento de producción debe decidir entre la adquisición de una máquina automática o semiautomática. Las dos máquinas producen una cantidad x en lotes. El costo fijo inicial por lote y el costo de producción unitario es el siguiente:

 Semiautomática Automática

Costo inicial x lote 20 50Costo variable unitario 0,6 0,4

Se debe determinar que maquina se adquiere y que genere el menor costo de producción por lote.

1.4.1.1.1

1.4.1.1.2Resolución:

1.4.2 1ro: Identificar las alternativas de decisiónEn este caso las alternativas son comprar una maquina automática y una maquina semiautomática.

1.4.3

1.4.4 2do: Definir un criterio para evaluar el valor de cada alternativa

Nuestro criterio para evaluar el valor de cada alternativa es el costo de producción.

1.4.5

1.4.6 3ro: Aplicar el criterio para encontrar la mejor alternativaLas alternativas que podemos encontrar son factibles o infactibles. Desde el proceso de toma de decisiones solamente utilizamos las alternativas factibles, las infactibles son descartadas.Semiautomatica: 20 + 0,60xAutomatica: 50+ 0,40x

3

xSemiautomática Automática

20 32 5880 68 82150 110 110160 116 114

1.4.7 Conclusión:- Para lotes menores a 150 unidades es mejor comprar la maquina

semiautomática.- Para lotes iguales a 150 unidades es conveniente comprar cualquiera

de las dos.- Para lotes mayores a 150 unidades es conveniente comprar la

maquina automática.

20 80 150 1600

20406080

100120140

32

68

110 116

58

82

110 114

Semiautomática vs. Automática

Semiautomatica Automatica

4

1.4.7.1Ejercicio 2:Supongamos que existe la siguiente restricción: La fábrica opera en un solo turno de 8 horas. La velocidad de producción por hora de la maquina automática es de 25 unidades por hora y de la semiautomática de 15 unidades por hora.Teniendo en cuenta de que el turno es de 8hs:

Máquina Producción por Hora Producción por TurnoSemiautomática 15u 120uAutomática 25u 200u

Como ahora en el ejercicio tengo restricciones que son las velocidades de producción de las maquinas: 120unidades para semiautomática y 200 unidades para la automática. Por lo tanto, en el grafico debo mostrar esas limitaciones.

20 80 150 1600

20

40

60

80

100

120

140

32

68

110 116

58

82

110 114

Semiautomática vs. Automática

Semiautomatica Automatica

5

20 80 120 150 1600

20

40

60

80

100

120

32

68

92

58

82

98

110 114

Semiautomática vs. Automática

Semiautomatica Automatica

1.5 CONCLUSIÓN:- Para lores menores e iguales a 120 unidades tengo dos alternativas

factibles y la mejor opción es la semiautomática.- Para lotes mayores a 120unidades y menores e iguales a 200

unidades existe una sola alternativa factible y la mejor opción es la maquina automática.

- Para lotes mayores a 200 unidades no existen alternativas factibles.

1.5.1.1Ejemplo 3:Es el mismo ejemplo que en el anterior, solo que ahora cambia el turno. El turno es de 10hs.

Máquina Producción por Hora Producción por TurnoSemiautomatica 15u 150Automática 25u 250

6

20 80 120 150 160 2000

20

40

60

80

100

120

140

32

68

92

110

58

82

98110 114

130

Semiautomática vs. Automática

Semiautomatica Automatica

1.6 CONCLUSIÓN:- Para lotes menores a 150 unidades existen 2 alternativas factibles y

la mejor opción es la maquina semiautomática.- Para lotes iguales a 150 unidades existen 2 alternativas optimas que

son ambas maquinas ya que producen exactamente lo mismo (110 unidades)

- Para lotes mayores a 150 unidades y menores e iguales a 250 unidades existe una alternativa factible y la mejor opción es la automática.

- Para lotes mayores a 250 unidades no hay alternativas factibles.

En investigación operativa el proceso de construcción del modelo y la búsqueda de su solución representa el núcleo de la toma de decisiones.

2 MODELOSTodos los modelos tienen alternativas, restricciones y criterios.Alternativas: Se debe hacer una selección.Restricciones: Identificar las alternativas en factibles e infactiblesCriterios: Nos permiten evaluar el valor de cada alternativaAdemás, las alternativas pueden ser llamadas variables de decisión.

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Variables de decisión: Buscar el valor de las variables que optimice la función objetivo (maximice y minimice). La función objetivo es la solución óptima.

El modelo es la abstracción del sistema real supuesto y lo identifica en términos de una función sujeta a un conjunto de restricciones.Tanto la función objetivo como las restricciones se expresan en términos de variables de decisión

3 TIPOS DE MODELOSCuando las variables se expresan en forma cuantitativa trabajamos con modelos que se llaman matemáticos. La solución óptima para este modelo se da en interacciones, es decir, en pasos de cálculo.Los métodos heurísticos se basan en reglas. En grandes rasgos el método heurístico nos da una buena solución, pero no es la óptima, la cual si se consigue con un algoritmo matemático.Modelos de simulación se llega a la solución óptima en módulos, es decir, se soluciona primero uno, luego otro hasta llegar al último.

3.1 EJEMPLO:Una empresa tiene dos almacenes centrales que abastecen de semillas de maíz a tres tiendas regionales para ser distribuidas a agricultores. EL suministro mensual disponible en las dos bodegas se estima en 1000 a 2000 sacos de semillas de maíz. La demanda en las tres tiendas se estima en 1500, 750 y 750 sacos respectivamente. El costo por saco para transportar las semillas de las bodegas a las tiendas se resume en las siguientes tablas:

  Tienda 1 Tienda 2 Tienda 3Almacén 1 50 100 60Almacén 2 30 20 35

1

1

1005

10

8

El objetivo es satisfacer la demanda de las 3 tiendas al menor costo de transporte posible.

3.1.1 Modelof ( x )→Z

Contiene restricciones

MinZ=50 x11+100 x12+60 x13+30 x21+20 x22+35x231) x11+x12+x13=1000 (Almacen 1 )2) x21+x22+ x23=2000 ( Almacen2 )3) x11+x21=1500 (Tienda 1 )4) x12+x22=750(Tienda 2)5) x13+x23=750(Tienda3)x11 , x12 , x13 , x21 , x22 , x23≥0

2

2

3

2003

23

6

9

Para un mejor decempeño de el grupo de investigación operativa es necesario que los datos que e recopilen sean confiables, ya que estos son necesarios para la aplicación del modelo.

4 MÉTODO HEURÍSTICO

4.1 MÉTODO DE COSTO UNITARIOSupongamos que aplicamos un método heurístico. El método a utilizar va a ser el método de costo unitario. Para la aplicación de este método se debe seguir los siguientes pasos:

1- Mayor cantidad posible a la celda de menor costo2- Ajustamos las condiciones de la oferta/demanda3- Tachamos fila/columna con saldo cero4- Ir al paso 1

Grafico 1

4.1.1 Ejemplo 1

x11=250

x13=750

x21=1250

x22=750

CT=250∗50+750∗60+1250∗30+750∗20=110000

4.2 COMPROBACIÓNPara comprobar si el método es correcto podemos hacer lo siguiente:Si llamamos m a las filas y n a las columnas, siempre vamos a tener una cantidad de variables básicas que es igual a: m+n−1. 2+3-1= 4 variables básicas.

10

4.2.1 Ejemplo 2

Tener en cuenta que la oferta y la demanda deben ser iguales, por eso se debe compensar con columnas o filas ficticias.Grafico 2

x11=150

x13=750

x21=1250

x22=750

F1=100

CT=150∗50+750∗60+1250∗30+750∗20=10500

4.2.2 Ejemplo 3

Grafico

5 MÉTODOS PROBABILÍSTICOS O ESTOCÁSTICOSLos métodos probabilísticos o estocásticos son totalmente contrario a los métodos que son determinísticos.

EJERCICIOUn agente de viaje debe viajar a 5 ciudades donde cada ciudad es visitada una vez antes de volver a la ciudad de origen. El objetivo del vendedor es reducir la distancia total del recorrido, es decir, minimizar. Las distancias en kilómetros se resumen de la siguiente manera:

1

2

3

11

5.1.1 Ejemplo 4Una empresa energética dispone de tres plantas de generación para satisfacer la demanda eléctrica de 4 ciudades. Las plantas 1, 2 y 3 pueden satisfacer 35, 50 y 40 millones de kW respectivamente. El valor máximo de consumo ocurre a las 2p.m y es de 45, 20, 30 y 20 millones de kW en las ciudades 1, 2, 3 y 4 el costo de enviar 1kW depende de la distancia que deba recorrer la energía. La siguiente tabla muestra los costos de envío unitario desde cada planta a cada ciudad. Minimice los costos de satisfacer la demanda máxima.

Gráfico.

23-03-16

6 PROGRAMACIÓN LINEALLa programación lineal son las bases para la programación entera, no lineal y estocástica.

6.1 REGLAS:- Si hay una igualdad no va a existir un polígono.- Si hay una ecuación (igualdad) la solución esta sobre esa recta

6.2 EJERCICIO 1Redimix Company posee una pequeña fábrica de pinturas que produce colorantes para exterior e interior de casas para su distribución al por mayor. Se utilizan dos materiales básicos A y B para producir las pinturas. La disponibilidad máxima del material A es de 6 toneladas diarias, la del material B es de 8 toneladas diarias. Los requisitos diarios de materia prima por tonelada de pintura es la siguiente:

Exterior Interior DisponibilidadMPA 1 2 6MPB 2 1 8

5 4

12

Un estudio de mercado a determinado que la demanda diaria de pintura para interior no puede ser mayor que la pintura para exterior en más de una tonelada. El estudio señala a si mismo que la demanda máxima de pintura para interior está limitada a 2 toneladas diarias. ¿Cuánta pintura para exterior e interior debe producir la compañía todos los días para maximizar el ingreso bruto? El precio al por mayor es de $3000 por tonelada de pintura para exterior y $2000 para la pintura de interior.

6.2.1 Resolución

Para construir el modelo se debe realizar lo siguiente:1- Variables de decisión2- Determinar las restricciones 3- Determinar el objetivo

Resumen:1- Debemos calcular la cantidad de pintura

o Exterior (XE)o Interior (Xi)

2- Restriccioneso MPA 1) Xe+2 Xi≤6o MPB 2) 2 Xe+Xi≤8o Mercado: Xi−Xe≤1o Xi≤2

3- Objetivoo F ( x )=Zo MaxZ=3000 Xe+2000 Xi

4- Modelo Matemático:o Max Z=3 Xe+2 Xi (miles )o Sujeto A:

1) Xe+2 Xi≤6 2) 2 Xe+Xi≤8 3) Xi−Xe≤1 4) Xi≤2 Xe , Xi ≥0

1)Xe+2 Xi≤6

Si Xe=0 , Xi=3

Si Xi=0 , Xe=6

2) 2 Xe+Xi≤8Si Xe=0 , Xi=8Si Xi=0 , Xe=4

13

3)Xi−Xe≤1Si Xe=0 , Xi=1Si Xi=0 , Xe=−1

4)Xi≤2

Las únicas soluciones factibles son las que están dentro del polígono.

Punto C1) Xe+2 Xi≤62) 2 Xe+Xi≤8Lo transformo a ecuaciones1) Xe=6−2 XiReemplazo 1) en 2)2) 2 Xe+Xi=82 (6−2Xi )+Xi=8

12−4 Xi+Xi=8

−3 Xi=−4

Xi=4/3

Xe=6−2 Xi

Xe=6−2( 43)

Xe=6−83

Xe=10/3