Producto de vectores

Existen tres tipos de producto en los vectores, y en cada uno de ellos da un tipo de magnitud vectorial o escalar

Producto de un vector por un escalar

Partiendo de la representacin grfica del vector, sobre la misma lnea de su direccin tomamos tantas veces el mdulo de vector como marque el escalar, que de ser negativo cambia el sentido (ver grfico).

Partiendo de un escalarny de un vectora, el producto denporaesna, es el producto de cada una de las coordenadas del vector por el escalar, representando el vector por sus coordenadas:

Si lo multiplicamos por el escalarn:

Esto es:

Representando el vector como combinacin lineal de los vectores unitarios:

Multiplicndolo por un escalar n:

esto es:

Hagamos unejemplo con valores numricos, partimos del vector:

multiplicamos el vector por 2,5:

esto es:

haciendo la operaciones

"Como se ha observado el producto de un escalar por un vector da como resulatado otro vector"

Propiedades de Producto de un vector por un escalar

El producto de un vector por un escalar cumple las siguientes propiedades:Siendouyvvectores y k un escalar1.- Conmutativa: k v=v k.

2.- Distributiva: k (v+u) = (k v) + (k u).

3.- Elemento Neutro: 1 v=v.

4.- Elemento Simtrico: -1 v= -v.

Producto Escalar de dos Vectores

La multiplicacinda como resultado un nmero real, no un vector,por lo que esta operacin se denominaproducto escalar. Al igual que la suma, tambin puede realizarse de forma matemtica y de forma grfica.

Conociendo el ngulo entre los vectores y el mdulode cada vector tenemos que el producto deescalar de los vectores analticamente se calcula:

Conociendolas componentes delos vectores tenemos que el producto deescalar de los vectoresen forma algebraicase calcula:

Vemos que:

Propiedades del Producto Escalar1. El producto escalar del vector nulo por otro vector cualquiera vale 0.2. Si dos vectores son perpendiculares, su producto escalar es 0.

3. Si B (a,b) es una base ortonormal, se cumple:4. Propiedad conmutativa: Si a y b son dos vectores cualesquiera, se verifica:6. El producto escalar de un vector por s mismo es igual al cuadrado de un mdulo:

Esta propiedad nos permite calcular el mdulo de un vector conociendo el producto escalar del vector por s mismo

De las propiedades tenemos que para los vectores unitarios:

Producto Vectorial de dos vectores

El producto vectorialde los vectoresayb, se define como un vector, donde su direccin es perpendicular al plano deayb, en el sentido del movimiento de un tornillo que gira hacia la derecha por el camino ms corto deaab.

Laexpresin relaciona al producto vectorial con el rea del paralelogramo que definen ambos vectores.

Componentes del producto vectorial de dos vectores

Direccin y sentido del vector resultante del producto vectorial de dos vectores

Si determinamos el sentido con la regla de la mano derecha, colocamos los dedos ndice, medio, anular y meique en el sentido del primer factor (en nuestro ejemplo el vectora) y cerramos la mano rotando los dedos antes mencionados el nguloa. El dedo pulgar queda indicando el sentido del seudo-vectorc.Si aplicamos la regla del tornillo, ubicamos un tornillo perpendicular al plano determinado por los dos factores, y lo giramos en el sentido que se debe rotar el primer factor sobre el segundo para que gire el nguloa. El sentido que avanza el tornillo, es el sentido del seudo-vector productoc.

Propiedades del producto vectorial de dos vectores

1. Anti conmutatividad2. Para vectores no nulos. Si dos vectores son paralelos su producto vectorial da igual a cero.3. Distributiva con respecto a la suma4. La regla de la expulsin.5. Identidad de Jacobi.6. El vector unitario es normal al plano que contiene a los vectoresayb.