Clases de conjuntos -...
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20 Pensamiento métrico y espacial En promedio, una de cada diez especies de fauna y flora del mundo, habita en Colombia. La flora es la primera gran riqueza, ya que Colombia posee entre 45.000 y 55.000 especies de plantas, de las cuales aproximadamente la tercera parte son endémicas. Se destacan las orquídeas, representadas en cerca de 3.500 especies, es decir, 15% del total de orquídeas del mundo. En cuanto a vertebrados terrestres, Colombia ocupa el tercer lugar, con 2.890 especies, de las cuales 1.721 son aves, que constituyen el 20% del total de aves del mundo, y 358 especies de mamíferos, que representan el 7% del total mundial. En cuanto a reptiles, Colombia posee el 6% del total de especies, y en anfibios, aunque actualmente posee alrededor del 10% del total, periódicamente se reportan especies nuevas. Sin embargo, así como Colombia posee una alta diversidad, esta presenta una enorme vulnerabilidad. Colombia corre con un altísimo riesgo de sufrir extinciones masivas, producidas principalmente por la destrucción de hábitat por deforestación y por la contaminación. La lista de plantas amenazadas de Colombia abarca cerca de 1.000 especies y en ella, uno de los grupos más amenazados lo constituye, precisamente, el de las orquídeas. En cuanto a los animales, se encuentran en gran peligro 89 especies de mamíferos, 133 de aves y 20 especies de reptiles y 8 de peces, según datos de la Unión Mundial para la Conservación (UICN). Tomado de Teodora Zamudio, EQUIPO DE DOCENCIA E INVESTIGACIÓN, DERECHO, Universidad de Buenos Aires. Analicemos cómo la naturaleza, tomada como un todo o universo, tiene infinidad de sub- conjuntos. Por ejemplo: • De la exposición de la Dra. Teodora Zamudio, identifiquemos los subconjuntos que nombra, tomando como universo la naturaleza. • Pensemos y nombremos por lo menos en otros 10 subconjuntos que están contenidos en la naturaleza, aparte de los nombrados en el relato anterior. Ya sabemos que de los conceptos de conjunto, elemento y la relación de pertenencia no tenemos una definición matemática, así como en geometría no definimos, matemáticamen- te, punto, recta, ni plano. Sin embargo, de estos conceptos partimos para definir los demás conceptos matemáticos. Si x es un elemento del conjunto A, se dice que x pertenece a A y se escribe: x ∈ A. Si x no es un elemento del conjunto B, se dice que x no pertenece a A y se escribe: x B ∉ . Clases de conjuntos • Conjunto finito. Un conjunto es finito cuando consta de cierto número de elementos diferentes. Gonzáles, T. L., & Saavedra, M. (2009). Aciertos matemáticos 11: serie para la educación media. Retrieved from http://ebookcentral.proquest.com Created from unadsp on 2018-10-05 20:49:23. Copyright © 2009. Educar Editores S.A. All rights reserved.
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Pensamiento métrico y espacial
En promedio, una de cada diez especies de fauna y flora del mundo, habita en Colombia.
La flora es la primera gran riqueza, ya que Colombia posee entre 45.000 y 55.000 especies de plantas, de las cuales aproximadamente la tercera parte son endémicas. Se destacan las orquídeas, representadas en cerca de 3.500 especies, es decir, 15% del total de orquídeas del mundo.
En cuanto a vertebrados terrestres, Colombia ocupa el tercer lugar, con 2.890 especies, de las cuales 1.721 son aves, que constituyen el 20% del total de aves del mundo, y 358 especies de mamíferos, que representan el 7% del total mundial. En cuanto a reptiles, Colombia posee el 6% del total de especies, y en anfibios, aunque actualmente posee alrededor del 10% del total, periódicamente se reportan especies nuevas.
Sin embargo, así como Colombia posee una alta diversidad, esta presenta una enorme vulnerabilidad. Colombia corre con un altísimo riesgo de sufrir extinciones masivas, producidas principalmente por la destrucción de hábitat por deforestación y por la contaminación. La lista de plantas amenazadas de Colombia abarca cerca de 1.000 especies y en ella, uno de los grupos más amenazados lo constituye, precisamente, el de las orquídeas. En cuanto a los animales, se encuentran en gran peligro 89 especies de mamíferos, 133 de aves y 20 especies de reptiles y 8 de peces, según datos de la Unión Mundial para la Conservación (UICN).
Tomado de Teodora Zamudio, EQUIPO DE DOCENCIA E INVESTIGACIÓN, DERECHO, Universidad de Buenos Aires.
Analicemoscómolanaturaleza,tomadacomountodoouniverso,tieneinfinidaddesub-conjuntos.
Porejemplo:
• De la exposiciónde laDra.TeodoraZamudio, identifiquemos los subconjuntosquenombra,tomandocomouniversolanaturaleza.
• Pensemosynombremosporlomenosenotros10subconjuntosqueestáncontenidosenlanaturaleza,apartedelosnombradosenelrelatoanterior.
Yasabemosquedelosconceptosdeconjunto,elementoylarelacióndepertenencianotenemosunadefiniciónmatemática,asícomoengeometríanodefinimos,matemáticamen-te,punto,recta,niplano.Sinembargo,deestosconceptospartimosparadefinirlosdemásconceptosmatemáticos.
Si x es un elemento del conjunto A, se dice que x pertenece a A y se escribe:x∈A.
SixnoesunelementodelconjuntoB,sedicequexnoperteneceaAyseescribe:x Bx ∉ .
Clases de conjuntos
• Conjunto finito. Un conjunto es finito cuando consta de cierto número de elementosdiferentes.
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Elconjuntoformadoporlosestudiantesdelgrado11º
Elconjuntodetodoslosnúmerosimpares.
SeaW={a}eneluniversodelabecedario.Selee:“SeaWelconjuntoformadoporelelementoa.
Esdenotarqueelnombredelconjunto,enestecasoW,sedenotaconletramayúsculayelelemento,queaquíesa,conminúscula.
Elconjuntovacíoessubconjuntode todoconjunto,estosignificaquevacíoestácontenidoencualquierconjunto.
• Conjuntouniversal.Eselconjuntodetodosloselementos.LodenotamosconlaletraU.
• Conjuntodisyuntos.Sidosconjuntosno tienenelementoscomunesse llamandisyuntos.Másadelantedaremosunadefiniciónequivalente,usandolaintersección.
LosrepresentamosenundiagramadeVenn(figura7).
U
A
B SeaU=N{xIxr}M={xIxespar}yT={xIxesimpar}entonces,M
yTsondisyuntosporquenoexisteunnúmeroqueseaalmismotiempopareimpar.
• Conjuntointersecantes.Conjuntosquenosondisyuntos.Losrepresen-tamosenundiagramadeVenn(figura8).
A
A
B
UB
SeaG={1,3,5,7,9,}yH={3,4,5,6}enU ={xIxr},entonces,GyHsonintersecantesporquetienenloselementoscomunes3y5.
• Conjuntopotencia.LafamiliadetodoslossubconjuntosdeunconjuntoNsellamaconjuntopotenciadeN.Seledenotacomo2N.
a. SeaN={1,2}entonceslafamiliadetodoslossubconjuntosdeNtendrá22 4= elementosyserá:2N={{1},{2},{1,2},∅}
Figura 7
Figura 8
b. SiN={1,2,3},elconjuntopotenciatiene23elementos,esdecir8yserá:
2N={{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3},∅} • Subconjuntoocontenencia.UnconjuntoAsedicesubconjuntodeBysedenotaA⊂ B,sitodos
loselementosdelconjuntoApertenecentambiénalconjuntoB.A⊂ Bselee“AestácontenidoenB”.
A ⊂ B ( )( )x x A x B⇔ ∀ ∈ ⇒ ∈
• Conjuntoinfinito.Esunconjuntoquenoesfinito.
• Conjuntounitario.Esunconjuntoqueconstadesólounelemento.
• Conjuntovacío.Esunconjuntoquenotieneelementos. Sedenotaconelsímbolo∅ocon{}.
Ejemplo
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Ejemplo
Ejemplo
Ejemplo
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b. Dadoslosconjuntos: U ={1,2,3,4,5,6,7,8,9}W={1,3,5}Y={1,2,3,5}K={1,2,3,4,5,8}
ObservamosquelosconjuntosA,ByCsonsubconjuntosdeluniversoU,además,
[(W⊂ Y)∧ (Y⊂ K)],⇒ ,(W⊂ K)
A
B
Operaciones entre conjuntos
AB
C
U
SeanA={12,4,36,8}yB={x/xespar}
ObservemosquecadaunodeloselementosdeAestambiénelementodeB,porlotanto,AessubconjuntodeBysedicequeAestácontenidoenB.
Siocurrequelosdosconjuntostienenlosmismoselementos,sedicequesoniguales.
Estoes:A=B⇔ (A⊂ B),∧ ,(B⊂ A).
Alarelacióndeigualdadseleconocecomorelacióndeinclusiónodedoblecontenencia.
Deotrolado,larelacióndecontenenciarespetalassiguientespropiedades:
• Idempotenteoidéntica.Todoconjuntoessubconjuntodesímismo:A⊂ A
SeaA={a,b,c}CadaelementodeApertenecealmismoconjuntoA.
• Antisimétrica.SidadosdosconjuntosAyB,siA≠ B,A⊂ B,nopuedeserposiblequeB⊂ A.A≠ B,severificaquesiA⊂B,esporqueB⊄ A.
Dichodeotromodo:siAyBsondosconjuntos,A≠ B,seconcluyequeA⊂B Û A⊄ B(figura9).
Sean:C={x/xesunavocal}yD={x/xesunaletradelabecedario}
VemosqueC⊂DperoD⊄ Cporquetodavocalesletradelabecedario,peronotodaletradelabecedarioesvocal.
• Transitiva.DadostresconjuntosA,ByC,siseverificaqueA⊂ B,∧ ,B⊂ C⇒A⊂ C
a. Seanlosconjuntos:A={x/x∈N},B={x/x∈Z}yC={x/x∈Q}
Sabemosquetodonúmeronaturalesenteroyquetodonúmeroenteroesracional,porlotanto,todonúmeronaturalestambiénracional.
Simbólicamente:[(A⊂ B)∧ (B⊂ C)]⇒ (A⊂ C)Estoes:N⊂ z,∧ ,z⊂ q,⇒ ,N⊂ q(figura4).
• Unión(U).DadosdosconjuntosAyBenunconjuntouniversalU,definimos:
AUB={x∈ U/x∈ A,∨ ,x∈ B}
Figura 9
Figura 10
El origen de ...
Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor, fue un matemático nacido en Alemania, pero vivió casi toda su vida en Rusia (1845-1918). Hizo importantes aportes para la construcción de la teoría de conjuntos, tema de partida de gran importancia en el desarrollo de la matemática moderna.
Ejemplo
Ejemplo
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23Indicador de logro: • Identifi co y opero entre conjuntos de un universo dado.
A
A
B
B A BAB
U A BU A BU
A
A
B
B A BAB
UUU
A B A B
A
A`
U
A-B
U A
DadosA={a,b,c}B={a,d,e,f}eneluniversoU={x/x∈letrasdelalfabeto}
AUB={a,b,c,d,e,f}(figuras11,12y13)
• Intersección(∩ ).DadosdosconjuntoAyBenunconjuntouniversalU,definimos:
A∩ B={x∈ U/x∈ A,∧ ,x∈ B}
DadosA={a,b,c}B={a,d,e,f}eneluniversoU={x/x∈ letrasdelalfabeto}
A∩ B={a}(figuras14,15y16)
• Complementación(́ oc).DadosdosconjuntosAyBenunconjuntouniversalU,definimos:
{ }' /A x x A= Ï figura17.Figura 17
Figura 18
• Diferenciasimétrica( ).DadosdosconjuntosAyBenunconjuntouniversalU,DefinimosA∪ B=(A∪ B)–(A∩ B)figura19.
U
1. Establece un universo para cada uno de los conjuntos siguientes y clasifícalos:
A = {x / x es día de la semana} B = {vocales de la palabra vals} C = {1, 3, 5, 7, 9, . . . . .} D = { x / x es un habitante de la luna}
E = { x Î N / x < 15} F = { x N y 5 < x < 5 }
G = { x N y x > 15}
2. Dados los siguientes conjuntos: U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} A = {2, 4, 6, 8, 10} B = {0,1, 2, 3} C = {-1, -2, 0,3}
Construye los diagramas de Venn para:
a. A È B b. A Ç C c. B - C
d. C D B e. (A D C)c
Figura 11 Figura 12 Figura 13
Figura 14 Figura 15 Figura 16
Figura 19
Ejemplo
Ejemplo
• Diferencia(-).DadosdosconjuntosAyBenunconjuntouniversalU,defi-nimos:
{ }/ , ,A B x x A x B- = Î Ù Ï figura18.
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Resuelvoenmicuaderno
Soluciono problemas
1 Analizacuidadosamentelasituaciónsiguienteydescubrequiénesestánestudiandoálgebrasisabesque:
a. LuisoCarolinaestudianálgebra,peronoambos.
b. CarolinaestudiaálgebrasiysolosiestudiaFelipe.
c. Luisestudiaálgebra,Carolinatambién.
d. FelipeoCarolinapuedenestarestudiandoálgebra.
2 SiA={x∈ R/x2>0}yB={ x∈ R+/x2+2x+1>0}determina:
a. (AUB)b.A - B c.(A∩ B)C
d. (A-B)C e.B-Ac
3 Paracadaunodelosejerciciosdelpuntoanterior,representaestosconjuntosenlarecta.
4 Enunconjuntohay80canicas,unascombinadasyotrasdeunsolocolor.20sonamarillasconverdeyrojo,30sonazulesconvioletayrojoy25deunsolocolorasí:10verdes,10rojasy5azules.Construyeunarepresentacióngráficaqueilustrelasituaciónanterior.
Establezco conexiones
1 Dadoslosconjuntos:
A={xÎ Z/x<5}definidoenelintervalo[0,10].
B={xÎ Z/x<-3}definidoenelintervalo(0,10)
a. NombraporextensiónelconjuntoA.NombraporextensiónelconjuntoB.
b. Encuentraelconjunto(A È B)
c. Encuentraelconjunto(A Ç B)d. Encuentraelconjunto(A-B)
2 Escribetodosloselementosdecadaconjuntodadoacontinuación:
A={x∈ Z/x>0,∧,x<10}
B={x∈ N/xestáentre2y12}
3 Tomandocomouniversoelconjuntodetodoslosdeportesyenéllosconjuntos:
M={x/x esundeportista} D={x/xjuegaajedrezymontaenbicicleta}
A={x/xjuegafútbol} C={x/xesajedrecista}
B={x/xesciclista} E={x/xesatletayjuegafútbol}
Representaendiagramaslosconjuntos:
a. AUBb.(D∩ B)U(E∩A) c. ((B∩D)U(E∩A))c
d. D–Ce.ED
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