Clase3!1!2015 02 Variables Aleatorias

8/18/2019 Clase3!1!2015 02 Variables Aleatorias

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VARIABLES ALEATORIASEs una descripción numérica del resultado de un experimento.

Una variable aleatoria es una función real definida en unespacio muestral, tal que a cada valor de una característica sele asignara un numero relacionado con el experimento


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EJEMPLOSSi el experimento es observar los autos que llegan a una garita,la variable aleatoria podría ser:

a) X: el numero de autos que pasan por una garita de peajeentre las 8:00 am y 11:00 am.

b) X: la hora en que los autos que pasan por una garita de

peaje entre las 8:00 am y 11:00 am.


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EJEMPLOSi consideramos el experimento de tomar dos artículos de un loty analizamos su calidad bueno(B) y defectuoso(D) su espacimuestral será

={BB, BD, DB, DD}La variable aleatoria se puede definir como X : el número dartículos buenos

BB

BD

DB

DD


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DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDADPARA UNA VARIABLE ALEATORIA

La distribución de probabilidad de una variable aleatoria describe comodistribuyen las probabilidades de los diferentes valores de la variable aleatoria


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DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD PARA UNVARIABLE ALEATORIA DISCRETA

Sea un espacio muestral y X una variable aleatoria asociada al espacsi X toma valores x1,x2,x3,… se denota por f ( x) a la función de probabilidad o distribución de probabilidad de la variable X y se define

f ( x) =P[ X=x ] ó f ( xi) =P[ X=xi ]

Una función de distribución de probabilidad discreta verifica además

a) f ( x) 0 x R x b) f ( xi ) =1 , con xi R x


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EJEMPLO

Consideremos el caso de extraer tres artículos de un lote de cuales pueden ser evaluados como Defectuoso (D) o Bueno (B) X es la variable aleatoria asociada, definida por

X: número de artículos defectuosos

Hallar la distribución de probabilidades de X

R x={0,1,2,3}

={DDD,DDB,DBD,DBB,BDD,BDB,BBD,BBB}


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f (0) = P[ X=0 ]= E0 ={BBB} f (1) = P[ X=1 ]= E1 ={DBB,BDB,BBD} f (2) = P[ X=2 ]= E2 ={DDB,DBD,BDD} f (3) = P[ X=3]= E3 ={DDD}

xi f ( xi )0

1

2

3


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EJEMPLO:

Dada la siguiente distribución de probabilidades de la variable aleatoria

a) Si X se define como la edad de una persona como interpreta f (20) , f (42)

b) Trace una grafica de la distribución de probabilidad.c) Verifique las condiciones de una función de distribución

probabilidad discreta.

x f (x)

20

25

38

42

0.2

0.15

0.25

0.4


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EJEMPLO:

Dada la siguiente distribución de probabilidades de la variaaleatoria X

a) Si X se define como la edad de una persona como interpre f

(38) , F (38) b) Hallar la probabilidad de que una persona tenga una edad decuando menos 25 años

c) Trace una grafica de la distribución de probabilidad.

x f (x)

20

25

38

42

0.2

0.15

0.25

0.4


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VALOR ESPERADO DE UNA VARIABLEALEATORIA DISCRETA

El valor esperado o esperanza matemática de una variablealeatoria discreta X, se denota por E ( X ) y se define como

= ()

También se le denomina media por ello también se denotacomo ò


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VARIANZA DE UNA VARIABLEALEATORIA DISCRETA

La varianza de una variable aleatoria discreta, determina la dispersión de los valorla variable aleatoria X con respecto al valor esperado se denota porV ( X ) y se definecomo

=( ) ()ò= También se le denota por ó , la varianza mide la dispersión conrespecto a la media debido a una definición equivalente = () La desviación estándar se calcula como la raíz cuadrada de la varianza y se decomo σ


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EJEMPLO:El gerente de personal de una empresa

estudia el numero de accidentes en eltrabajo durante el lapso de un mes estegerente desarrollo la siguiente distribuciónde probabilidad

a) Calcule la media, la varianza y ladesviación estándar del número deaccidentes en un mes

b) Halle su función de distribución

acumulada y grafique

Nro. de accidentes Probabilidad

01234

0.40.20.20.10.1


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EJEMPLO:Se evalúa el acabado superficialde 40 muestras de cinta y seevalúan los siguientes resultados

Determine la esperanza y varianzadel número de defectos por

muestra

Númerode

defectos

Número demuestras

012345

18127210


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EJEMPLO:El cuadro siguiente representa ladistribución de probabilidad de los premios en efectivo de una lotería

Si una persona adquiere un boleto, cual esla probabilidad de que obtengaa) Exactamente 100$ b) Al menos 100$c) No más de 100$d) Calcular su valor esperado, la

varianza y desviación estándar de ladistribución

Premiosen dólares

Probabilidad

010100500

0.450.300.200.05


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DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD PARAUNA VARIABLE ALEATORIA CONTINUA

Si una variable aleatoria X es continua su función de densidad f ( x)debe verificar los siguientes condiciones:

a) f ( x) 0 x Rb) =1∞−∞


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Si E es un evento su probabilidad se define como

= Lo cual se puede interpretar como sigue, si E= [a, b] entonces

=


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EJEMPLO

Si una variable aleatoria Xdefine la función dedensidad

=134 +1 0<


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EJEMPLO

Si una variable aleatoria Xdefine la función de densidad

=0 3 a) Halle la probabilidad

P[1 x 2] b) Verifique las condiciones


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FUNCION DE DISTRIBUCIÓN ACUMULADA DE

UNA VARIABLE ALEATORIA CONTINUA

Si X es una variable aleatoria continua y f ( x) sufunción de densidad, la función de distribuciónacumulada se denota por F ( x) y se define por

= = −∞ , ∈


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EJEMPLOSi una variable aleatoria Xdefine la función dedensidad

=134 +1 0<


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EJEMPLOSi una variable aleatoria X definela función de densidad

=0 3 a) Hallar F ( x) b) Grafique F ( x)


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VALOR ESPERADO DE UNAVARIABLE ALEATORIA CONTINUA

El valor esperado o esperanza matemática de una variablealeatoria continua X, se denota por E ( X ) y se define como

=∞−∞ También se le denomina media por ello también se denota como

ò


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VARIANZA DE UNA VARIABLEALEATORIA CONTINUA

La varianza de una variable aleatoria continua determinala dispersión de los valores de la variable aleatoria X con

respecto al valor esperado se denota porV ( X ) y se definecomo

= ( ) ∞−∞

También se le denota por ò . Ladesviación estándar se calcula como la raíz cuadrada de lavarianza y se denota comoσ


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PROPIEDADES

+ = + b

+ =


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EJEMPLO

Si una variable aleatoria X define la función de densidad

=134 +1 0<0

a) Calcule el valor esperado, la varianza y desviaci

estándar de la variable X b) Calcule el valor esperado, la varianza y desviaciestándar de la variable Y=3X + 1


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EJEMPLO

La cantidad de tiempo en horas que un computador funcione ande fallar es una variable aleatoria continua con función de densiddado por

a) ¿Cuál es la probabilidad que el computador funcione entrey 150 horas antes de fallar?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que el computador funciomenos de 100 horas?

0 0

0 )( 200

x si

x si Ae x f

x


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EJEMPLO

Un agente de bienes raíces gana s/. 1000 más una fracción X de laganancia que desea obtener el propietario. Si se considera a X comouna variable aleatoria continua con función de densidad

= (1 ) 0 y un propietario quiere ganar 25000a) ¿Cuánto se espera gane el agente?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que el agente gane más de 11000?

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