Clase14 Df

7/17/2019 Clase14 Df

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Unidad 7:“CIRCUITOS LÓGICOS

COMBINACIONALES”

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Un sistema binario se caracteriza por tener dos valores posibles que, en términos de voltaje, se corresponden a dosvalores de tensión, los que se representan numéricamente porun “11” y por un “00”.

Generalmente, la “lógica p!i"i#alógica p!i"i#a” hace corresponder un valorde tensión alto al “11” y un valor de tensión bajo al “00” (yviceversa para la “lógica n$ga"i#alógica n$ga"i#a”!

Introducción a losIntroducción a los

sistemas digitalessistemas digitales"istemas binarios"istemas binarios

#ositiva$ó%icaaltovoltaje(&

bajovoltaje('

→

→

H

L

V

V

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)meros binarios )meros binarios

$a correspondencia entre los primeros &* n)meros d$ci%al$!d$ci%al$! y &ina'i!&ina'i! se muestra en lasi%uiente tabla!

Número decimal Número binario

0 0000

1 0001

2 0010

3 0011

4 0100

5 0101

6 0110

7 0111

8 1000

9 1001

10 1010

11 1011

12 1100

13 1101

14 1110

15 1111

Mientras más dígitos tiene un

sistema, más compacta es su

notación. +s, los d%itos bina-rios tienden a ser ms lar%os

(en un /actor lg lg ((10)(*+(((10)(*+(((

que su correspondiente nota-

ción decimal.

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$as principales razones por las cuales utilizar sistemas derepresentación binaria son!

#orqué usar la representación binaria


0 $os sistemas de procesamiento de in/ormación se

construyen en base a cn%,"ad'$!cn%,"ad'$!1

0 $os procesos de "%a d$ d$ci!ión"%a d$ d$ci!ión, en un sistema

di%ital, son binarios1 y

0 $as se2ales binarias son %-! cn.ia&l$!%-! cn

.ia&l$! que las que

tienen ms niveles de cuanti/icación.

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Cn%,"ad'$!



"upón%ase un !i!"$%a d$!i!"$%a d$il,%inaciónil,%inación basado en

dos interruptores o con-mutadores (como el quee3iste en la parte in/erior ysuperior de una escalera!

"& "4 &

'

&

'

+mpolleta44'5

"& "4 &

'

&

'

A

esConclusiono Acciones

A

A

premisaso sCondicione

S

S

S S

encendida(ampolleta&

apa%ada(ampolleta'

' posiciónen4r(conmutado'

& posiciónen4r(conmutado&

' posiciónen&r(conmutado'& posiciónen&r(conmutado&

4

4

&

&

=

=

=

=

=

=

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T%a d$ d$ci!in$!



Gran parte de los procesos de decisión tienen carcter binario

= .6espuestas etc INC!!"C#

C!!"C# $ALS

V"!%A%"! NSI

Un sistema puede ca-racterizarse ling/!"ilin

g/!"ica%$n"$ca%$n"$ como!

"i ( S1)1 S1)1 y S()0 S()0 o ( S1)0 S1)0 y S()1 S()1,

entonces B)1 B)11 caso contrario, B)0 B)0.

Cn.ia&ilidad

$as se2ales binarias son %,c2 %-! cn.ia&l$!%,c2 %-! cn

.ia&l$! para sertransmitidas entre dos puntos distantes. +l usar sólo dosniveles de voltaje para representar un d%ito, el sistema es ms

inmune a la presencia de ruidos.

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Descripciones formalesDescripciones formales7e/inición de modelos ló%icos7e/inición de modelos ló%icosUna d$!c'ipción a&!"'ac"ad$!c'i pción a&!"'ac"a de un sistema di%ital, e3presado

con enunciados ló%icos /ormales, se denomina “ 3ISE4O 3ISE4O LÓGICO LÓGICO”.

$os smbolos ms

comunes son!

→⇒

→∨→∧

entonces

&

Usando estos smbolos, el circuito de encendido de laampolleta puede representarse como!

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( )

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( )'''&&

&'&&'

4&4&

4&4&

=⇒=∧=∨=∧=

=⇒=∧=∨=∧=

'S S S S

ó

'S S S S

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Usando este tipo de representación, podra de/inirse la

operatoria de un !,%ad' &ina'i!,%ad' &ina'i como!

o, en /orma simbólica (para el caso de la “!,%a!,%a”, por!

'8&&&

&8''&

&8'&''8'''

8

=+

=+

=+=+

=+ Suma Acarreo ( )

X Y Acarreo Suma0 0 0 0

0 1 0 1

1 0 0 1

1 1 1 1

Entradas Salidas

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( )

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( )'''&&

&'&&'

=⇒=∧=∨=∧=

=⇒=∧=∨=∧=

Suma ( ) ( )ó

Suma ( ) ( )

7e/inición de modelos ló%icos7e/inición de modelos ló%icos

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9n caso de sistemas multivariables (varias entradas y salidas,

“ 5 5 ” ser un vector de entradas y habr una /unción asociada a

cada salida. 9stas /unciones también suelen denominarse “ .,ncin$! &l$ana! .,ncin$! &l$ana!”, ya que responden al “-lg$&'a d$-lg$&'a d$ Bl$ Bl$”.


Un comportamiento de un sistema combinacional puede

e3presarse /ormalmente como 6).5 6).5 8 8, donde “ 6 6 ” representa la

salida del sistema y “ 5 5 ” la entrada (para un sistema de una

entrada y una salida.

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#ara el caso del circuito de la ampolleta!

,( 4& S S * ' =

==

=

=

&&,&(&',&(

&&,'(

'','(

*

*

*

*

0 0 00 1 11 0 1

#uede apreciarse que

$l c%p'"a%i$n"

d$ ,n ci'c,i"c%&inacinal

puede repre-sentarse

también a través de

una tabla conocidacomo “"a&la d$"a&la d$#$'dad #$'dad ”.


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Componentes lógicosComponentes lógicos

"istemas con conmutadores"istemas con conmutadores$os conmutadores son elementos que pueden tener d!d! $!"ad!$!"ad! p!i&l$! p!i&l$! (son adecuados para entender dispositivos ló%icos.

$os tipos de cn%,"ad'$! $l9c"'ic!cn%,"ad'$! $l9c"'ic! ms comunes son!

:orrien te “ )”

:orrien te “ + ”

:orrien te “ + ”5oltaje “ )”

;

-

9lectroimn <ransistor = > "

: on mu ta do r electromec nico :o nmut ad or ele ctró nico

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:ircuitos de conmutación:ircuitos de conmutación

Ci'c,i" AN3Ci'c,i" AN3

9n la si%uiente /i%ura se muestra este tipo de circuito, juntocon el símbolo lógico ms utilizado para una c%p,$'"ac%p,$'"a AN3 AN3 y la tabla de verdad correspondiente.

?U9<9 :+6G+

S 1 S 2

Circuito AND

++7

:ompuerta +7S 1

S 2 z

z

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Ci'c,i"Ci'c,i" OROR 9n la si%uiente /i%ura se muestra este tipo de circuito, juntocon el símbolo lógico ms utilizado para una c%p,$'"ac%p,$'"a OROR yla tabla de verdad correspondiente.

?U9<9 :+6G+

S 1 S 2

Circuito OR

:ompuerta >6S 1

S 2 z

z

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Ci'c,i"Ci'c,i" NOT NOT 9n la si%uiente /i%ura se muestra este tipo de circuito, juntocon el símbolo lógico ms utilizado para una c%p,$'"ac%p,$'"a NOT NOTy la tabla de verdad correspondiente.

?U9<9 :+6G+

S

Ci rcuito NOT

:o mp uerta ><

S z

z

1

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93presiones ló%icas93presiones ló%icas

#ara e3presar las .,ncin$! lógica! .,ncin$! lógica! asociadas a cada uno delos circuitos anteriores, se usan p$'ad'$! lógic!p$'ad'$! lógic!.

+ AN%( ), )-@& sí ( sólo sí )@& A )-@& + AN%( ), )-@& sí ( sólo sí )@& A )-@&

. !( ), )-@& sí ( sólo sí )@& > )-@& . !( ), )-@& sí ( sólo sí )@& > )-@&

4&4& ,( ) ) ) ) + AN% ⋅=

4&4& ,( ) ) ) ) + ! +=

. N# ( )@& sí ( sólo sí )@'

) ) + N# =(

9s importantetener en cuenta

que los smbolos “..” y “++” son

p$'ad'$!p$'ad'$!lógic!l ógic! y NONO algebraicos.

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Convenios de voltajeConvenios de voltaje#ara la lógica TTLlógica TTL (“T'an!i!"' T'an!i!"' LgicT'an!i!"' T'an!i!"' Lgic” se

ha determinado un cn#$ni d$ #l"a;$!cn#$ni d$ #l" a;$!, para especi/icarcundo una entrada o salida se considera que tiene elvalor ló%ico correspondiente.

' ,'

B,'

C5D

4 ,E

4 ,'

' ,F

',E

nvervalo 5H

%arantizado

para sal ida s @ &

nvervalo 5H

aceptado para

entradas @ &

Invervalo VL

aceptadopara entradas !

Invervalo VL

"arantizado

para salidas !

$IG:+ TTL

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Álgebra de Boole Álgebra de Boole+3iomas+3iomas

Número Enunciado del Teorema Nombre

1a Si a b est!n en K " entonces a+b est! en K

1b Si a b est n en K " entonces a.b est en K

2a #a un elemento 0 en K " tal $ue a+0=a A%ioma del cero2b a un e emen o en " a $ue a. =a A%ioma de la unidad3a &ara todos a b en K " a+b=b+a

3b &ara todos a b en K " a.b=b.a

4a &ara todos a " b c en K " a+b.c=(a+b).(a+c)

4b &ara todos a " b c en K " a.(b+c)=a.b+a.c

&ara cada a en '" (a un in)erso o com*lemento a+en '" tal $ue

5a a+a´=1

5b a.a´=0

6 #a *or lo menos dos elementos distintos en K ,,,7a El elemento 0 es único7b El elemento 1 es único

8a &ara cada a en K " a+a=a

8b &ara cada a en K " a.a=a

9a &ara cada a en K " a+1=1 &ro*iedad de unicidad9b &ara cada a en K " a.0=0 &ro*iedad de cero

10a &ara todos a b en K " a+a.b=a

10b &ara todos a b en K " a.(a+b)=a

11 ara ca a a en " e n)erso a es n co -nicidad de la in)ersi.n12a &ara todos a " b c en K " a+(b+c)=(a+b)+c

12b &ara todos a " b c en K " a.(b.c)=(a.b).c

13a &ara todos a b en K " /a+b)'=a'.b'

13b &ara todos a b en K " (a.b)'=a'+b

14 ara ca a a en " a = a n)oluci.n

Absorci.n

Asociati)idad

Lees de De oran

-nicidad de 0 1

dem*otencia

3onmutati)idad

Distributi)idad

A%iomas de in)ersi.n

4L5EBRA DE B66LE

3ierre

"e de/inen acontinuación!

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7os e3presiones booleanas, E E 11 y E E

(( , se dicen que son

equivalentes (es decir, E E 11 ) E ) E

(( cuando, ante las mismas

entradas, provocan las mismas salidas. 9sto se puede

comprobar a partir de la tabla de verdad , o bien, partiendo deuna de ellas ( aplicar álgebra de 'oole, /asta llegar a la otra .

9quivalencia de e3presiones booleanas9quivalencia de e3presiones booleanas

#$e%plo! 7emostrar que E E 11 ) E ) E

(( , donde!

/ g * e/ g * d / g * c/ba " ...........& +++=

/ g * ed cba " .....((4 ++=

<$! p'-c"ic ,!a' la "a&la d$ #$'dad<$! p'-c"ic ,!a' la "a&la d$ #$'dad

pa'a c%p'&a'l $n $!"$ ca!= pa'a c%p'&a'l $n $!"$ ca!=

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Una /unción ló%ica presenta una correspondencia “,n a ,n,n a ,n”

con un ci'c,i" lógicci'c,i" l ógic o con una "a&la d$ #$'dad "a&la d$ #$'dad .

:orrespondencia de la ló%ica combinacional:orres pondencia de la ló%ica combinacional

d cacba + .(.( +++=

a

b

c

d

ba +cba .( +

ca +

d d ca .( +

+

c

CIRCUITO LÓGICO

a

b

c

d

ba +cba .( +

ca +

d d ca .( +

+

c

CIRCUITO LÓGICO

a

b

c

d

ba +cba .( +

ca +

d d ca .( +

+

c

CIRCUITO LÓGICO

"ea la si%uiente /unción

ló%ica!

el circuito ló%ico y su tabla

de verdad sern!

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Representación de unRepresentación de un

sistemasistemacombinacional combinacional ntroducciónntroducción$os circuitos de Lógica C%&inacinal Lógica C%&inacinal se caracterizan

porque sus salidas se de/inen por una combinación lógica de sus entradas.

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=initérminos=initérminos

Una /unción combina-

cional distintiva son los

%ini"9'%in! d$ “n”%ini"9'%in! d$ “n”#a'ia&l$!#a'ia&l$!, y se los

denota como %%i i . "on

/unciones booleanas

cuya tabla de verdad

tiene un “11” en la

i01sima *ila, y un “00”en las restantes. EJ4&E

) ) ) )m =

EJ4&&J ) ) ) )m =

A B C D .... m3 m4 ....

0 0 0 0 0 .... 0 0 ....

1 0 0 0 1 .... 0 0 ....

2 0 0 1 0 .... 0 0 ....

3 0 0 1 1 .... 1 0 ....

4 0 1 0 0 .... 0 1 ....

5 0 1 0 1 .... 0 0 ....

6 0 1 1 0 .... 0 0 ....

7 0 1 1 1 .... 0 0 ....

8 1 0 0 0 .... 0 0 ....

9 1 0 0 1 .... 0 0 ....

10 1 0 1 0 .... 0 0 ....

11 1 0 1 1 .... 0 0 ....

12 1 1 0 0 .... 0 0 ....

13 1 1 0 1 .... 0 0 ....

14 1 1 1 0 .... 0 0 ....

15 1 1 1 1 .... 0 0 ....

MINI!"MIN#$n%

&n'rada(

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?orma canónica “?orma canónica “Suma de minit1rminosSuma de minit1rminos””

7ada una /unción 6 6 de “nn” variables, cuya tabla de verdadtiene “11” en las /ilas aa, &&, >>> >>>, ? ? , y “00” en las dems. + partir de

la de/inición de minitérmino, y usando la /unción >6, es

evidente que!

+ 2 ma 3 mb 3 444 3 m5

#$e%plo! "ean las /unciones para 6 6 11)@ )@ 11A*B*C*38A*B*C*38, 6 6 (()@ )@ ((A*B*C*38A*B*C*38 y 6 6 ++)@ )@ ++A*B*C*38A*B*C*38, caracterizadas por la

si%uiente tabla de verdad , determinar las /unciones booleanas

correspondientes!

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?orma canónica “"uma de minitérminos”?orma canónica “"uma de minitérminos”

Sl,ción! +plicando el concepto de %ini"9'%in!%ini"9'%in!, las /unciones busca-

das sern!

A B C D )1

)2

)3

0 0 0 0 0 1 1

0 0 0 1 0 1 1

0 0 1 0 0 0 1

0 0 1 1 0 0 0

0 1 0 0 0 0 1

0 1 0 1 0 0 0

0 1 1 0 1 1 1

0 1 1 1 1 1 0

1 0 0 0 0 0 11 0 0 1 0 0 0

1 0 1 0 1 1 1

1 0 1 1 1 1 0

1 1 0 0 0 0 1

1 1 0 1 0 0 0

1 1 1 0 1 1 1

1 1 1 1 1 1 0

&N"ADA $A*IDA$

TABLA DE VERDAD

d a&cd ca&d c&ad c&a

d &cad c&ad c&ad c&ad c&a 6

a&cd d a&ccd &a

d c&a&cd ad &cad c&ad c&a 6

a&cd d a&ccd &ad c&a&cd ad &ca 6

&

2

1

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:onstrucción al%ebraica:onstrucción al%ebraica

:ualquier e3presión booleana puede convertirse a su .'%acanónica “!,%a d$ %ini"9'%in!!,%a d$ %ini"9'%in!” empleando las propieda0

des del álgebra de 'oole. + esta /orma canónica también

suele denominarse “ S,%a 3$ 'd,c"! S,%a 3$ 'd,c"! ( S3 S3 ”.

#$e%plo! 9ncontrar la /orma canónica “!,%a d$!,%a d$%ini"9'%in!%ini"9'%in!” de! cbacbca + ++=

Soluci'n( ( ) ( ) ( ) ( ) ( )d d cbad d cbaad d cbba + +++++++=

d cbad cbad cbad cbad cbad cbad cbad cba + +++++++=

o bien!

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==a3a3itérminositérminos

Una se%unda /unción son los

%a5i"9'%in! d$ “n” #a'ia&l$!%a5i"9'%in! d$ “n” #a'ia&l$!,

denotada como M M i i . "on

/unciones booleanas cuya tablade verdad tiene un “00” en la ii9!i%a .ila9!i%a .ila, y un “11” en las

restantes.

EJ4&J ) ) ) ) M +++=

EJ4&E ) ) ) ) M +++=

A B 3 D 7777 8 9 77770 0 0 0 0 .... 1 1 ....

1 0 0 0 1 .... 1 1 ....

2 0 0 1 0 .... 1 1 ....3 0 0 1 1 .... 0 1 ....

4 0 1 0 0 .... 1 0 ....

5 0 1 0 1 .... 1 1 ....

6 0 1 1 0 .... 1 1 ....

7 0 1 1 1 .... 1 1 ....

8 1 0 0 0 .... 1 1 ....

9 1 0 0 1 .... 1 1 ....10 1 0 1 0 .... 1 1 ....

11 1 0 1 1 .... 1 1 ....

12 1 1 0 0 .... 1 1 ....

13 1 1 0 1 .... 1 1 ....

14 1 1 1 0 .... 1 1 ....

15 1 1 1 1 .... 1 1 ....

AXT RN6Sn;

Entradas

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?orma canónica “?orma canónica “ 6roducto 6roducto de mde ma)a)it1rminosit1rminos””

<oda /unción 6 6 tiene un conjunto )nico de %a5i"9'%in!%a5i"9'%in! M M i i ,que corresponde al conjunto de ceros que aparecen en la

columna de salida de su tabla de verdad. $a /orma canónicade producto de ma)it1rminos ser la /unción +7 o producto

ló%ico de estos ma3itérminos. + esta /orma canónica también

suele denominarse “ 'd,c" 3$ S,%a! 3S8 'd,c" 3$ S,%a! 3S8”.

#$e%plo! "ea la la si%uiente /unción booleana de tresvariables! cba + +=la e3presión canónica de producto de ma3itérminos ser!

( ) ( ) ( )cbacbacba M M M + ++++++== *BE

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:ircuitos combinacionales:ircuitos combinacionales

$as /ormas canónicas anteriores se representan con circuitoscombinacionales de dos niveles de compuertas!

S

U

MA

PR

O

D

U

C

T

O

S

79

P

R

O

D

UC

T

O

S

U

M

A

S

79

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otación decimal otación decimal

$as /unciones boo-

leanas, dadas en

cualesquiera de sus/ormas canónicas,

pueden escribirse de

manera simpli/icada

usando el smbolo

para indicar la suma

de productos, y

para el producto de

sumas.

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?ormas de dos niveles?ormas de dos niveles

$a p'.,ndidad p'.,ndidad de un circuito se mide por el má)imo n7mero

de compuertas 8ue una se9al tiene 8ue atravesar desde la

entrada /asta la salida.

$as /ormas canónicas vistas tienen una p'.,ndidad d$ d! p'.,ndidad d$ d!,

considerando que se dispone de las entradas necesarias

complementadas.

+ pesar de que suelen ser los circuitos ms rpidos que

pueden lo%rarse con este tipo de implementación, esta

disposición n i%plica !$' la %$;' n i%plica !$' la %$;' desde el punto de vista

del n7mero de compuertas empleadas.

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?ormas de dos niveles?ormas de dos niveles

$os tres circuitos

tienen la mismatabla de verdad.

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