CLASE UNIDAD No. 2 TEORÍA DE PROBABILIDADES.pdf

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El concepto de probabilidad es utilizado para expresar de algún modo el grado de creencia que unotiene de la ocurrencia de un suceso; nos referimos a algo que puede suceder con base en laexperiencia que se tenga.

Se puede hablar de Posibilidades y de Probabilidades, el primero hace referencia a lacomparación entre el número de resultados favorables con los desfavorables. En el segundo esel cociente entre el número favorable sobre el total de casos posibles:

= . .

= . .

Método ax iomáti co . El cual concibe la probabilidad de ocurrencia

de un suceso, como un número comprendido entre 0 y 1. Supongamos que se lanza 100 vecesuna moneda, anotamos el número de veces que sale cara y las veces que sale sello; losresultados fueron los siguientes:


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Si la probabilidad fuera 0 ó 1 no habría problema, pero existen una serie de fenómenos cuyosvalores comprendidos entre estos límites. Se llamará suceso a cada caso posible, es decir, a larealización de un acontecimiento.


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Método empírico o prácti co. Considera la probabilidad de un suceso, como aquel número al cualse aproxima cada vez más la frecuencia relativa de la ocurrencia de un suceso, cuando las vecesque se repite el experimento que origina ese suceso es lo bastante grande.

Probab ilid ad empíric a , se determina mediante una serie de experimentos, en el caso de determinarla probabilidad de éxito de una operación quirúrgica practicada por determinado médico, será:

número de casos favorables, dividido por el total de operaciones practicadas.

Método clásico. Considera la probabilidad como el cociente de dividir al número de casos favorableso éxitos que pueden ocurrir en una prueba, por el total de casos posibles y que anteriormente loconsolidamos como empírico.

Prueba es la realización de un acto. El conjunto de

pruebas realizadas en las mismas condiciones se denomina experimento . La respuesta de una prueba se llama resul tado pu nto m uestral o su ceso . El conjunto de todos los resultados

posibles constituye un espacio m uestral (S) .


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Determina el Espacio Muestral de los siguientes experimentos estadísticos:

• Experimento: lanzamiento de una moneda teórica.

• Experimento: lanzamiento de dos monedas, asignando la probabilidad a cada suceso.

• Experimento: lanzamiento de tres monedas.

•

Experimento: lanzamiento de 4 monedas.• Experimento: lanzamiento de un dado teórico.

• Experimento: lanzamiento de dos dados.

• Experimento: extraer una carta de una baraja de 40 cartas.

• Experimento: extraer una carta de la baraja española (52 cartas).

Diag ram a del árb ol . Es una de las maneras que permite determinar diversos eventos posibles, al

contar los puntos muestrales.Esper anza matemátic a. Si p es la probabilidad de éxito de un suceso en un solo ensayo, elnúmero de sucesos o la esperanza de ese suceso en n ensayos, estará dado por el producto de n y la probabilidad de éxito p .

En el lanzamiento de dos dados 900 veces, ¿cuál es la esperanza de que en

la suma de sus caras se obtenga un valor meno a 6?


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Para Sucesos Mutuamente Excluyentes. Si dos o más sucesos son tales, que solamente uno deellos puede ocurrir en un solo ensayo, se dice que son mutuamente excluyentes. Se denomina

probabilidad aditiva y será igual a la suma de las probabilidades de cada suceso.


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Calcule las siguientes probabilidades:

• La probabilidad de obtener un As o un Rey, sacando una sola carta en una baraja española de40 cartas. Si uno de los casos aparece, queda excluido el otro.

• La probabilidad de obtener un 2 o un 5, en el lanzamiento de un dado.

• Tenemos una caja o recipiente con 16 bolas de 4 colores diferentes: 3 bolas azules 6 bolasnegras 2 bolas blancas 5 bolas verdes. ¿Cuál es la probabilidad de ganar o perder si las

premiadas son las blancas y las azules?

• En una empresa el personal se distribuye así: A: Personal de Vigilancia (30); B: Personal Auxiliar (58); C: Operarios (180); D: Supervisores y Técnicos (70); E: Profesionales (40). Sedesea saber ¿cuál es la probabilidad?

a. Al elegir una persona corresponda al personal auxiliarb. Al elegir una persona sea alguien de Vigilancia y aseo o Profesional.

c. Que sea un profesional o un operario o un auxiliar.


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Para Sucesos qu e no son Mu tuamente Excluyentes o Compat ibles. Se dice que dos sucesosson compatibles, o que no son mutuamente excluyentes, cuando la posibilidad de que ocurra unsuceso no impide la ocurrencia del otro. En este caso la probabilidad de uno de los dos sucesos sehalla así:

La probabilidad de que un alumno del instituto tenga un libro de matemáticas es de0,7, un libro de estadística es de 0,4 y de que tenga ambos es de 0,3. ¿Cuál es la probabilidad de queun estudiante tenga un libro de matemáticas o un libro de estadística o tenga ambos libros.

Al lanzar un dado, usted apuesta $1.000 a que el número obtenido debe ser par

o divisible por 3 ¿Cuál es la probabilidad de que usted gane en ese lanzamiento?

Sucesos in dependientes. Se dice que dos o más sucesos son independientes, si la probabilidad de presentación de ninguno de ellos queda influenciada por la presentación del otro, en caso contrariose dice que son dependientes. En otras palabras, si el resultado de un suceso no afecta al otro, sedice que son independientes, por lo tanto se efectuará la multiplicación de las probabilidades paracada suceso.


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¿Qué probabilidad tendremos de obtener dos reyes si sacando una carta deuna baraja y la otra de otra?.

Una fábrica de calzado produce, independientemente costura (toda la parte

superior del calzado relacionada con el cuero), suela y tacón, siendo estas partes armadasaleatoriamente en cada zapato. Se sabe que en este proceso, el cinco por ciento de lascosturas, el cuatro por ciento de las suelas y el uno por ciento de los tacones tiene fallas. ¿Qué

porcentaje de pares de zapatos resulta: a. Con fallas en los tres componentes, b. Sin fallas enlos tres componentes?

Sucesos Dependientes. Se dice que los sucesos son dependientes o eventos compuestos, si laocurrencia o no ocurrencia de un evento en cualquier prueba afecta la probabilidad de otroseventos en otras pruebas, es decir que la probabilidad del segundo suceso depende del primersuceso, el del tercero de lo que haya sucedido en el primero y segundo y así sucesivamente.


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¿Qué probabilidad tendremos de obtener tres, sacando sucesivamente tres

cartas de una barraja española sin volverlas a incluir?

Probabilidad de obtener un As, un Rey y una Zota, sacando sucesivamente tres

cartas, sin reposición, de una baraja de 40 cartas.

Supongamos que se tiene una caja con 10 monedas de $100, y dos de ellas

son falsas. Se van a extraer dos monedas una después de la otra sin reposición, ¿Cuál es la probabilidad de obtener una falsa seguida de otra también falsa?

Estas reglas se utilizan para determinar el número de

puntos muestrales de un experimento estadístico de forma más ágil y rápida. Ellas son la reglade la Mult ipl icación, Las Permu taciones y Las Combinacio nes.

= ∙

Una perdona vive en el extremo norte de la ciudad y solo cuenta con dos rutas

para poder llegar a la Autopista Norte. Una vez alcanzada la autopista norte tiene tres rutas demenor congestión para llegar al centro de la ciudad. Ya en el centro de la ciudad puedeseleccionar dos rutas para llegar al parqueadero más cercano a su oficina, ¿ De cuántas

formas diferentes puede tomar las rutas para llegar desde su casa hasta su oficina?.


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En el experimento de lanzar una moneda y luego un dado, ¿Cuál es el

número de puntos muestrales?

Supongamos que se va a extraer una carta de una baraja de 52 cartas.¿Cuántos puntos muestrales tendrá el experimento compuesto a. Si después de extraer unacarta se vuelve al mazo y se extrae otra carta?; b. Si luego de extrae una carta esta se deja porfuera y se extrae otra carta del mazo.

Es una forma de ordenar o arreglar la totalidad de los

elementos de un conjunto en la que el orden de los elementos determina un arreglodiferente a pesar de ser los mismos elementos.

Lo anterior se lee como “Permutaciones de n elementos tomados de n en n ”

Esta formula de permutación se utiliza cuando los elementos de un conjunto no se pueden repetir y ellos no aparecen repetidos en el conjunto y se toman todos loselementos del conjunto para hacer los arreglos.


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• Cuando uno o varios elementos están repetidos en el conjunto el cálculo de las permutaciones varía en este caso hablamos de permutaciones con elementosrepet idos

• Cuando no hay elementos repetidos pero ellos en los arreglos se pueden repetir hastael numero de veces como elementos tenga el arreglo, en este caso son permutacionescon repet ic ión y se determinan así:

• En las permutaciones cuando para los arreglos no se utilizan todos los elementos del

conjunto sino una parte de ellos, la formula para determinar el número de permutaciones es:


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Utiliza las formulas anteriores para determinar el número de permutaciones

según sea el caso.

• Se tienen los números naturales 1,2,3 y 4 y se quieren formar números de cuatro cifras o

dígitos. ¿Cuantos números se pueden formar?. En el caso Uno: No se permiten repetir

los números; en el Caso Dos: Se permiten repetir los números

• En las hileras del salón de clases hay 8 pupitres y se quieren sentar en ellos 8

estudiantes, ¿De cuántas maneras se podrán colocar?

• Con las letras de la palabra PALO , ¿Cuántas palabras se pueden formar? ¿Y con las

letras de la palabra CASA?

• ¿De cuantas maneras diferentes podremos distribuir 3 monedas de $100 y 4 monedas

de $200 en la misma fila?

• Se tienen los números naturales 1,2,3 y 4 y se quieren formar números de tres cifras o

dígitos. ¿Cuantos números se pueden formar?

• Se tienen 8 pupitres en una hilera del salón de clases y se desean sentar a 5 estudiantes

en ellos, ¿de cuántas formas diferentes se puede ordenar?


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Es una forma de ordenar o arreglar los elementos de un

conjunto en las cuales el orden de los elementos no determina un arreglo diferente.La formula que se utiliza en este caso es:

Utiliza la formula anterior para determinar el número de combinaciones.

• ¿De cuántas maneras puede formarse un equipo de fútbol (bajo el supuesto que todos

los jugadores pueden jugar en cualquier puesto) si se cuenta con 30 jugadores?

• ¿Cuántos grupos de 5 cartas se pueden formar con una baraja de 52 cartas?

• ¿Cuántos comités de cuatro personas se pueden formar con un grupo de doce personas?


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La Probabilidad condicional de A dado B está dada por:


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Se encuentra en una facultad que del 70% de los alumnos matriculados, el

70% son mujeres y el 18% mujeres estudiantes de economía. Si elegimos un estudiante al

azar y resulta que es mujer , ¿cuál es la probabilidad de que esté estudiando economía?

Por una investigación reciente se encontró que el 10% de los conductores

de taxi en la ciudad son hombres con estudios universitarios. También se sabe que el 80% de

los conductores de taxi son hombres. ¿Cuál es la probabilidad de que al tomar un taxi al azar

el conductor resulte ser un hombre con estudios universitarios?

Este teorema se aplica para encontrar probabilidades

posteriores. Se aplican cuando se formulan hipótesis a posteriori sobre la probabilidad a priori deeventos ya ocurridos.

La formula general aplicable es:


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Se tienen cuatro máquinas A, B, C y D. por especificaciones y control

conocemos que la producción de cada máquina durante un periodo de una hora es: Máquina

A: Produce 600 unidades. Máquina B: Produce 400 unidades. Máquina C: Produce 300

unidades y la Máquina D: Produce 700 unidades, es decir en términos porcentuales A:30%,

B:20%; C:15% y D:35%. Mediante la observación se ha detectado que el porcentaje de

unidades defectuosas producidas por cada una de las máquinas es del 4%, 3%, 6% y 5%

respectivamente. Si procedemos a sacar un elemento del total del lote examinado, ¿Cuál es la

probabilidad de que haya sido producido por la máquina A, o por la máquina B, o por la

máquina C o por la máquina D?

Se tienen tres recipientes. El primero contiene 6 bolas azules y 2 rojas, el

segundo recipiente 4 azules y 4 rojas y el tercero 6 azules. Se selecciona una de los tres

recipientes al azar y de el se extrae una bola que resulta ser azul. Con la información anterior

determina la probabilidad de que el recipiente escogido sea el primero o sea el tercero.

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