Clase Sistemas de Ecuaciones Lineales

uba facultad de ingeniera

ANLISIS NUMRICO IANLISIS NUMRICO IANLISIS NUMRICO IANLISIS NUMRICO I

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

anlisis numrico i

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALESuba facultad de ingeniera

[1]

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALESSISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

Muchos problemas que resuelve la ingenierase expresan matemticamente mediantesistemas de ecuaciones lineales.

Ejemplos:Circuitos elctricos;Sistemas estructurales estticos;Sistemas dinmicos;Problemas de transmisin del calor; .

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[2]


En forma genrica, un sistema de ecuacioneslineales puede expresarse as:

O, en forma abreviada:nnnnnnn

nn

nn

bxaxaxaxa

bxaxaxaxabxaxaxaxa

=++++

=++++

=++++

K

MMMMMM

K

K

332211

22323222121

11313212111

BAx =

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[3]


Matricialmente, la solucin es:

Por lo tanto, para que el sistema tengasolucin, se debe cumplir que:La matriz A sea cuadradaLa matriz A sea No Singular, es decir,

Sin embargo, no siempre es fcil obtener AA-1. Busquemos formas alternativas.

BAx 1=

0)det( A

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[4]


Supongamos un sistema sencillo de resolver:

Se trata de un sistema triangular, pues lamatriz AA es triangular superior.

=

nnnn

nn

n

n

b

b

x

x

u

u

u

uuu

uuu

M

M

M

M

M

M

M

M

LLL

OOM

MOOOM

MOM

LLL 11

1

33

23222

12111

00

00

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[5]


La solucin la obtenemos haciendo:

ii

n

ijjiji

i

nn

nnnnnnn

n

nn

nnnn

n

nn

nn

u

xubx

u

xuxubx

u

xubx

u

bx

+=

=

=

=

=

1

22

211222

11

111

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[6]


Otro sistema sencillo de resolver es:

En este caso la matriz AA es triangular inferior.

=

nnnnnnn b

b

x

x

lll

llll

l

M

M

M

M

M

M

M

M

LLL

OOM

MOOOM

MOM

LLL 11

11

3323

2212

11

0

0000

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[7]


La solucin pasa por hacer:

ii

i

jjjii

i l

xlbx

lxlxlb

x

lxlb

x

lb

x

=

=

=

=

=

1

1

33

22311333

22

11222

11

11

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[8]


Ambos sistemas podemos resolverlos sininvertir la matriz A.

El primer caso se conoce como SustitucinInversa.

El segundo, como Sustitucin Directa. Por lo tanto, una forma conveniente para

resolver un Sistema de Ecuaciones Linealesgeneral, sera convertirlo en un sistematriangular para no tener que invertir la matrizAA.

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[9]


Mtodo de Eliminacin de Gauss (EG) Consiste en transformar una matriz AA cualquiera

en una nueva matriz UU, es decir, en una matrizTriangularTriangular SuperiorSuperior:

nn

nn

n

nnn

n

u

u

uuu

aa

aa

UA

00

0

1

11211

1

111

L

OOM

MOO

L

L

MOM

L

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[10]


El nuevo sistema ser entonces

=

nnnn

nn

n

b

b

x

x

u

u

u

uuu

*

1*

1

1

22

12111

00

0M

M

M

M

L

OOM

MO

L

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[11]


Para obtener esta matriz UU debemos operarde la siguiente manera:Fijar la primera fila de AA, ampliada con el vector B;Transformar las filas 2 a n, de manera de que los

coeficientes aj1 se anulen, es decir, pivotar cona11;

Fijar la siguiente fila y repetir el paso anterior,pero con las filas 3 a n, pivotando con aii;

Repetir el paso anterior hasta obtener una matriztriangular superior.

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[12]


En definitiva, tenemos:Para los coeficientes a2i y b2:

Para cualquier coeficiente aji y bj:

1122*

21122*

2211

1212 ; bmbbamaau

a

am iiii ====

kkjjjikkjijijijkk

kjkj bmbbamaau

a

am ; ** ====

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[13]


Qu hacemos si un a*ii resulta nulo?

*

*

3

*

2

1

**

1*

2

*

3*

33*

32

*

2*

23

11211

0

00

nnnnnn

n

n

n

b

bbb

aaa

aaa

aa

aaa

M

L

MOOMM

L

L

LL0000

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[14]


Intercambiamos filas, por ejemplo, la 3 enlugar de la 2 y viceversa:

*

*

2

*

3

1

**

1*

2

*

2*

23

*

3*

33*

32

11211

0

00

nnnnnn

n

n

n

b

bbb

aaa

aa

aaa

aaa

M

L

MOOMM

L

L

LL

0000

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[15]


Qu hacemos si tambin son nulos varioscoeficientes de la diagonal principal?

*

*

3

*

2

1

**

1*

2

*

3*

23

*

2*

32

11211

0

00

nnnnnn

n

n

n

b

bbb

aaa

aa

aa

aaa

M

L

MOOMM

L

L

LL

00000000

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[16]


Podemos intercambiar las columnas:

Pero esto requiere modificar el vector xx.

*

*

3

*

2

1

**

1*

3

*

3*

23

*

2*

32

13111

0

00

nnnnnn

n

n

n

b

bbb

aaa

aa

aa

aaa

M

L

MOOMM

L

L

LL

00000000

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[17]


El primer caso, el intercambio de filas, seconoce como Eliminacin de Gauss conPivoteo Parcial (EGPP).

Cuando adems del intercambio de filas esnecesario el intercambio de columnas,entonces se lo conoce como Eliminacin deGauss con Pivoteo Total (EGPT).

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[18]


Veamos la cantidad de operaciones querequiere Eliminacin de Gauss simple:Transformacin de la matriz AA ampliada:

Aplicacin de sustitucin inversa:

El mtodo completo:

( ) ( )( )[ ] nnnknknknnk 6

723

2122

31

1+=++

=

( )[ ] 211

121 nknn

k=++

=

32322

3

67

23

32

67

232

nCnnnnnnn +=++

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[19]


Aplicar Eliminacin de Gauss tiene estasventajas:El resultado final debera ser exacto, salvo por

el error de redondeo;La cantidad de operaciones a realizar es finita.

Pero tambin tiene desventajas:Aplicar el pivoteo parcial o el pivoteo total lo

vuelven lento;Si se tienen varios vectores BB, debera hacerse la

transformacin de AA para cada vector BB.

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[20]


Si los vectores BB son independientes,entonces podemos transformar todos losvectores BB en una sola operacin:

>>=

AAA

( ) 1=A

( ) A

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[43]


Por lo visto, si una matriz est malcondicionada, es decir:

el resultado puede no ser una buenaaproximacin.

Necesitamos encontrar un mtodo quereduzca la distancia entre el resultadoexacto y nuestra aproximacin inicial.

( ) 1>>>A

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[44]


Hemos visto que:

Como conocemos AA y RR, podemos obtener y con esto mejorar nuestra aproximacin delvector xx mediante la siguiente expresin:

xx +=

( ) RAxxAxAxAxABR

==== 321

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[45]


Si esta nueva aproximacin no es losuficientemente buena, podramos repetir elprocedimiento. Si lo sistematizamosobtenemos:

Por lo tanto, si repetimos el procesotendremos:

>< ++=+= 211223 xxx

>< +=n

i

i

1

1xx

=

>< +=n

i

i

1

1xx

Tolerancia

>

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[47]


Este mtodo, cuyo algoritmo se escribe comose vio:

se conoce como Mtodo del RefinamientoIterativo. Es muy usado para resolversistemas mal condicionados pero que nosean muy mal condicionados. Es unalgoritmo destinado a mejorar los mtodosdirectos de resolucin de SEL.

=

>< +=+=n

i

in

i

i

11

1 xxx

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[48]


Los mtodos vistos sirven para resolvercualquier sistema de ecuaciones lineales.Tienen la ventaja de que el nmero deoperaciones es finito.

En general son muy tiles cuando la matriz decoeficientes est formada mayoritariamentepor componentes no nulos.

0 :extremo Caso jia

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[49]


Pero no siempre los SEL estn formadas poreste tipo de matrices, denominadasdensas.

Suele ser muy comn que los sistemas estnformados por matrices AA con mayora decoeficientes nulos, llamadas matrices ralas.

En estos casos, como la mayora de loscoeficientes son nulos, transformar la matrizpuede ser un problema.

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[50]


La transformacin de esas matrices por algnmtodo numrico puede significar cambiaruna componente nula por una nueva no nula,con el consiguiente error.

Es por eso que se han desarrollado mtodosque se utilizan casi con exclusividad pararesolver Sistemas de Ecuaciones LinealesRalos.

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[51]


Veamos, entonces, otra forma de obtener lasolucin de nuestro sistema

Si sumamos PPxx en ambos miembrostenemos:

Si despejamos xx tenemos:

0 == xABBxA

BxAxPxP +=

( ) BPxAPPPBPxAPxPPx 111111 +=+=

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[52]


Finalmente podemos escribir

Podemos obtener un mtodo iterativo paraobtener nuestro vector xx, pues:

Que se puede escribir en forma genricacomo:

BPCAPITCxTx

;

11

1

>++< += ii

( ) BPxAPIx 11 +=

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[53]


Analicemos ahora como obtener la matriz TT yel vector CC. Escribamos AA de la siguienteforma:

donde.LL: matriz estrictamente triangular inferior;DD: matriz diagonal, y;UU: matriz estrictamente triangular superior

)( ULDAUDLA =++=

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[54]


Si definimos PP=DD, tenemos

Que puede expresarse como

( )

( )BDC

ULDT

UDDDLDIUDLDIAPIT

I

;

1

1

111

11

=

+=

=

++==

321

( )[ ]>+< += ii xULBDx 11

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[55]


Este mtodo se conoce como MtodoMtodo dedeJacobiJacobi.

La expresin tradicional de este mtodo es:

puesjj

n

jk

ikki

j

k

ikkij

ij

a

xaxabx

+=

>+++++++++++++++++++++n

ijj

jiii aa1

20con 0

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[64]


Partamos otra vez de nuestro sistema, peropropongamos lo siguiente:

Y reemplacemos en nuestra expresin yaconocida:

Es decir:

IP

1=

( ) ( ) RxBIxAIIBPxAPIx 111 +=+=+=

>+< += iii Rxx 1

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[65]


Tenemos otra expresin para obtener enforma iterativa nuestra solucin. Pero ahoradepende de un coeficiente . Cmohacemos para obtenerlo?

Puesto que afecta al vector RR, analicemos elcaso de RR.

Es decir:( )>++< +== iiii RxABxABR 11

>++< < ii RR

2

2

2

2

2

21

>+<

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[67]


Encontrar un RR que sea menor al RR noes todo el trabajo. Deberamos encontrar almenor de todos los RR posibles. Enconsecuencia, nos interesa aquel cuya normaeucldea sea la menor.

Para ello vamos a proponer lo siguiente:

0d

dd

d2

2

2

21

=

=

>+++++< == iii RxABx F>+< += iii Rxx 1

( ) ( ) ( ) 0Fd

dF

dFd 11111

====>++++++< iTiiiTi RRxABRx

( ) ( ) 0 == >< iTiiTiiTii RRARRRRAR

>+++< iTi dd

01 =>+< iTi dAd

>+< += iiii dxx 1

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[85]


Si aplicamos lo ya visto pero con estamodificacin, tenemos:

Si desarrollamos nos queda:

de donde obtenemos el coeficiente :

( ) ( ) 0F1

11=

+== >+++< iTiiTiiTii ddAdRddAR

>< +=1

0

i

j

jji

ii dud

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[87]


Algo podemos plantear para obtener elcoeficiente ij:

>++++< jTijTi RdeAd

jijTi

jTki

kki

jTijTi

<

para 0

1

0

Ru

RdRuRd

>+++++++++++++++++++++++

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