clase de matrices

miércoles, 12 de abril de 2023

Hecho por M. Sc. Jorge Hernández

Investigación de Operaciones

1. Vectores. 2. Matrices.

1



Investigación de Operaciones.

Vectores. Un vector es un arreglo ordenado de números en forma lineal. Los números que forman este arreglo se denominan

componentes. Generalmente se denota con una letra minúscula de esta manera:

1 2 3, , ,..., nv v v v v

2




Los hay lineales horizontales y lineales verticales. Los primeros se denominan vectores fila y los segundos vectores columna.

Ejemplos:

2,3,5, 1,0 vector filav

1

0 vetor columna

1

3

v

3




Suma de vectores:

La suma de dos vectores v y w con el mismo número de componentes está definida por medio de

1 2 1 2

1 1 2 2

( , ,..., ) ( , ,..., )

( , ,...., )n n

n n

v w v v v w w w

v w v w v w

4



Investigacion de Operaciones.

Como se observó en la anterior lámina el resultado de la suma de vectores es un vector que contiene el mismo número de componentes de los vectores que se suman.

También, a manera de resumen la suma de vectores se realiza sumando las componentes en forma ordenada.

5




Multiplicación de un escalar por un vector.

En adelante, un número cualquiera se denominará escalar. Entonces la multiplicación de un escalar α por un vector v está definida por medio de

1 2 1 2( , ,..., ) ( , ,..., )n nv v v v v v v

6




Producto escalar de vectores:

Vamos a definir el producto escalar de dos vectores, uno fila v y otro columna w, con el mismo número de componentes, por medio de

7

1

2

1 2 1 1 2 2. , ,..., . . .. .n n n

n

w

w

v w v v v v w v w v w

w




La última expresión usualmente se escribe como

En esta expresión el símbolo Σ denota la suma de las multiplicaciones de las componentes, el índice i denota las componentes que se multiplican y n denota el total de componentes que se multiplican.

8

1

.n

i ii

v w v w




Algunos vectores de interés:

Vector nulo

Vectores canónicos

o base canónica

9

0,0,0, , ,0(1,0,...,0)

(0,1,...,0)

.....

......

(0,0,...,1)




Matrices. Una matriz es un arreglo tabular (rectangular o cuadrado)

de números . Cada uno de los elementos que la conforman se denominan componentes de l matriz. Se denotan con una letra mayúscula de la siguiente manera

10

11 12 1

21 22 2

1 2

. .

. .

. . . . .

. . . . .

. .

n

n

m m mn

a a a

a a a

A

a a a




En esta representación tabular los elementos de la matriz ocupan una posición determinada por una fila y una columna, esto es lo que significan los subíndices, es decir el elemento

ocupa la fila i y la columna j.

En ocasiones una matriz se escribe como

11

ija

,

, 1

m n

ij i jA a



Investigación de Operaciones. Suma de Matrices:

Al igual que los vectores, la suma de matrices se realiza componente a componente, con el cuidado de que cada matriz debe tener el mismo número de componentes.

12

, , ,

, 1 , 1 , 1

m n m n m n

ij ij ij iji j i j i jA B a b a b




Multiplicación de un escalar por una matriz:

Al igual que en el caso de vectores, multiplicamos el escalar α por cada componente de la matriz, de la siguiente manera:

13

, ,

, 1 , 1

m n m n

ij iji j i jA a a



Investigación de Operaciones. Multiplicación de Matrices:

Dos matrices A y B se pueden multiplicar solo si el número de columnas de la primera es igual al número de filas de la segunda.

Cada elemento de la matriz C es el producto escalar de la fila i de A por la columna j de B:

14

, , ,

, 1 , 1 , 1

m n n p m p

ij ij iji j i j i jA B a b c

de de ijc Fila i A Columna j B




Matrices de interés:

Matriz Nula

Matriz identidad

15

0 0 . . 0

0 0 . . 0

0 . . . . .

. . . . .

0 0 . . 0

1 0 . . 0

0 1 . . 0

. . . . .

. . . . .

0 0 . . 1

Id




Representación matricial de un sistema de ecuaciones:

Un sistema de ecuaciones puede representarse por medio de una matriz de coeficientes, un vector de incógnitas y un vector de constantes.

16

A X B




La matriz A es del tipo

17

11 12 1

21 22 2

1 2

. .

. .

. . . . .

. . . . .

. .

n

n

m m mn

a a a

a a a

A

a a a




El vector X es un vector del tipo

Y el vector B es del tipo

18

1

2

.

.

n

x

x

X

x

1

2

.

.

n

b

b

B

b




De tal manera que

significa

19

A X B

11 12 1 1 1

21 22 2 2 2

1 2

. .

. .

. . . . . . .

. . . . . . .

. .

n

n

m m mn n n

a a a x b

a a a x b

a a a x b




Esta representación es equivalente a

20

11 1 1 1

21 1 2 2

1 1

....

....

.

.

....

n n

n n

m mn n n

a x a x b

a x a x b

a x a x b


Fin de la clase.

Gracias por su atención.

Jorge E. Hernández H.


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