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MATEMATICAS

FINANCIERAS

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Supuestos básicos de las matemáticas financieras

• 1.- Costo de oportunidad

• 2.- Valor del dinero en el tiempo

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Costo de Oportunidad

• El problema de decisión consiste en que para lograr un determinado objetivo, existen varios cursos de acción alternativos, donde cada uno de ellos tiene beneficios y costos.

• Quien toma la decisión debe elegir aquel curso de acción que le permita obtener mayores beneficios netos (ingresos-costos).

• Estos beneficios y costos pueden corresponder a aspectos Cuantitativos (intereses ganados o pagados), como Cualitativos (agilidad en la tramitación, calidad de atención, otros beneficios.). Los últimos son muy subjetivos.

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Ejemplo Nº 1

Una persona desea comprar un televisor.• Condiciones generales:

– No tiene el dinero para comprarlo al contado

Alternativas o cursos de acción:a) Junta dinero y en fecha futura compra al contado.

(donde incluso puede obtener rebaja por pago contado.)

b) Compra el televisor Hoy, a crédito, pagando cuotas mensuales durante cierto tiempo

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Consecuencias o costo de oportunidad de los cursos de acción a seguir:

Si decide por la alternativa b), es decir comprar al crédito, los beneficios serán:– No necesitará contar con la totalidad del valor del equipo– Podrá usar el aparato tan pronto lo compre– No necesitará haber pagado la totalidad del equipo antes de

usarlo– Satisface su necesidad de gozar el televisor de modo inmediato

El costo será pagar más dinero por el televisor, dado por los intereses que genera el crédito y también por no tener la posibilidad de una rebaja en el precio del producto

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La alternativa a) también tiene sus costos y beneficios.

Si la persona elige la alternativa a) significa que para ella los

beneficios netos que le reporta esa alternativa son mayores que

los beneficios netos de la alternativa b).

En la elección de la alternativa a) se debió tener presente los

beneficios que le hubiese reportado el elegir la alternativa b)

Estos beneficios, desde el punto de vista de la alternativa a) son

considerados como Costos.

En otras palabras, se sacrifican los beneficios que proporciona la alternativa b) por elegir la alternativa a).

Estos costos reciben el nombre de COSTOS DE OPORTUNIDAD

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OJO: es diferente COMPRAR el equipo, que PAGAR el mismo equipo. Aunque parecidos, son dos procesos distintos de distinta naturaleza.

Comprar es establecer mediante un pago, un cambio de dominio en lapropiedad de un determinado Bien, donde la propiedad del vendedor es transferida al comprador.Pagar es el acto de satisfacer el precio o valor de intercambio de un bien, pero no siempre acredita propiedad, porque no siempre el que paga es el que compra.

En http://es.wikipedia.org/wiki/Pago, podemos encontrar la siguiente definición :El pago es uno de los modos de extinguir las obligaciones, que consiste en el cumplimiento efectivo de la prestación debida, sea esta de dar, hacer o no hacer (no solo se refiere a la entrega de una cantidad de dinero o de una cosa).

Pago es el cumplimiento del contenido del objeto de una prestación.

En economía es toda salida material o virtual de fondos de la tesorería de una Entidad.

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Veamos si esta claro …Son las 3 de la tarde y la señora Juanita está en el Mall Plaza de Los Ríos.

Cuenta con sólo $2.000 en su billetera y tiene un poco de hambre. Tambiéntiene ganas de comprar unos lindos aritos artesanales que vió en unavitrina. Ambas cosas tienen un valor de $1.500 c/u.

Debe elegir entre comprar un almuerzo o los aritos.

Si opta satisfacer su hambre y almorzar en el Mall:

¿Cual es su Costo de Oportunidad ?

• A) El almuerzo• B) Los aritos• C) Ir al cine• D) Comprar un helado.• E) Cualquier otra alternativa al uso de los $ 2.000.-• F) Los $ 500 que quedarán después de cualquiera de las compras.• G) Ninguna de las anterioresOJO: Recuerda que una necesidad es el sentimiento de carencia de algo, unido al deseo de satisfacer ese algo. Si no hay deseo, no hay un reconocimiento efectivo de la carencia y por lo tanto no se configura la necesidad,

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En conclusión:El costo de oportunidad, se entiende como los beneficios que habrá generado la mejor alternativa de entre aquellas que descartamos, producto de la decisión adoptada por el tomador de desiciones

Dicho de otro modo, corresponde a la suma de beneficios que habría aportado la alternativa a la que se renuncia por optar a otra.

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Valor del dinero en el tiempo

• El tiempo (plazo) es fundamental a la hora de establecer el valor de un capital.

• Una unidad monetaria hoy vale más que una unidad monetaria a ser recibida en el futuro. Una UM disponible hoy puede invertirse ganando una tasa de interés con un rendimiento mayor a una UM en el futuro.

• Las matemáticas del valor del dinero en el tiempo cuantifican el valor de una UM a través del tiempo. Esto, depende de la tasa de rentabilidad o tasa de interés que pueda lograrse en la inversión.

• El valor del dinero en el tiempo tiene aplicaciones en muchas áreas de las finanzas el presupuesto, la valoración de bonos y la valoración accionaria. Por ejemplo, un bono paga intereses periódicamente hasta que el valor nominal del mismo es reembolsado.

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• Los conceptos de valor del dinero en el tiempo están agrupados en dos áreas: el valor futuro y valor actual.

• El valor futuro (VF o Capitalización) describe el proceso de crecimiento de una inversión a futuro a una tasa de interés y en un período dado.

• El valor actual (VA o Actualización) describe el proceso de un flujo de dinero futuro que a una tasa de descuento y en un período representa UM de hoy.

• En la practica, siempre es posible invertir el dinero, ya sea en un banco, en fondos mutuos o inclusive prestarlo a algún amigo.

• En cualquiera de los casos, el dinero podrá generar más dinero (interés), lo que lleva a concluir que EL DINERO TIENE DISTINTO VALOR EN EL TIEMPO, o que UN PESO HOY TIENE MAYOR VALOR QUE UN PESO MAÑANA.

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El Interés

• Entendemos por Interés (I) , desde el punto de vista del deudor, la renta que se debe pagar por el uso del dinero tomado en préstamo.

• Y desde el punto de vista del acreedor, la renta a que se tiene derecho a cobrar cuando presta dinero.

• En otras palabras, se entiende como el costo del dinero.

• Es lo que el deudor debe sacrificar por usar dinero ajeno• O bien, lo que gana el acreedor por prestar dinero por

un período acotado de tiempo.

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Factores que determinan la cuantía del Interés

• Capital o Principal (C): Suma de dinero originalmente prestado o pedido en préstamo.

• Tiempo (t): Es el número de unidades de tiempo para el cual se calculan los intereses. Generalmente anual, pero también puede ser mensual, semestral u otro.

• Tasa de Interés (i): Es el interés por unidad de tiempo, expresado en tanto por ciento (%) o tanto por uno del capital.

Generalmente las tasas se expresan en términos mensuales o anuales.

• Modalidad del interés: a cuantía del interés va a depende de si la operación se realiza a interés simple o interés compuesto.

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I = C * i * t

El interés I que produce un capital es directamente proporcional al capital inicial C, al tiempo t, y a la tasa de interés i :

I = C · i · tdonde i está expresado en tanto por uno y t en años.

El tiempo “t” normalmente es expresado con una letra “n” pues representa el número de capitalizaciones que realizará el capital a una determinada tasa de interés.

El Interés Simple

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I = C * n * i• Interés Simple

• El interés simple, es pagado sobre el capital primitivo que permanece invariable. En consecuencia, el interés obtenido en cada intervalo unitario de tiempo es el mismo. Es decir, la retribución económica causada y pagada no es reinvertida, por cuanto, el monto del interés es calculado sobre la misma base.

• Interés simple, es también la ganancia sólo del Capital (principal, stock inicial de efectivo) a la tasa de interés por unidad de tiempo, durante todo el período de transacción comercial.

• La fórmula de la capitalización simple permite calcular el equivalente de un capital en un momento posterior. Generalmente, el interés simple es utilizado en el corto plazo (períodos menores de 1 año).

• Al calcularse el interés simple sobre el importe inicial es indiferente la frecuencia en la que éstos son cobrados o pagados. El interés simple, NO capitaliza.

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Ejemplo Nº 2

Con la siguiente formula

I= C * i * t

• Determine el interés logrado por un capital de 200.000 u.m. invertido a través de un deposito bancario, durante 3 años a una tasa de interés del 10% anual

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Solución al Ejemplo Nº 2

I= C * i * t• I = (200.000 * 0,10 * 3)

• I = 60.000

• ¿Cuanto dinero rescataremos del banco al termino de los 3 años?

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• Fórmula general del interés simple:

• También puede ser inferido a partir de la siguiente formula:

I = C * i * t

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• Nomenclatura:

• I = Interés expresado en valores monetarios• VA = Valor actual, expresado en unidades

monetarias • VF = Valor futuro, expresado en unidades

monetarias• n = Periodo de capitalización,  unidad de

tiempo, años, meses, diario,...• i = Tasa de interés, porcentaje anual, mensual,

diario, llamado también tasa de interés real.

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Ejemplo Nº 3

Con la siguiente formula

• Determine el interés logrado por un capital de 200.000 u.m. invertido durante 3 años a una tasa de interés del 10% anual

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• VF = 200.000 (1+(3*0,1))

• VF = 260.000

• ¿Cuál fue el Interés cobrado en esta operación financiera?

Solución al Ejemplo Nº 3

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Ejercicios

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Ejercicios

• 1. Calcular a cuánto asciende el interés simple producido por un capital de

$ 25.000 pesos invertido durante 4 años a una tasa del 6 % anual.

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Ejercicios

• 2. Calcular el interés simple producido por 30.000 U.M. durante 90 días a una tasa de interés anual del 5 %.

• Nota: La unidad monetaria puede variar según su contexto, de Pesos a Dólar, a Libras, a Yenes, a UF, a UTM, etc. Por esa razón la unidad genérica que emplearemos se denominará simplemente

UNIDAD MONETARIA

y la abreviaremos indistintamente como U.M. o u.m.

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Ejercicio:Carolina solicita un préstamo de $300.000 a una tasa de interés del 2,2% mensual

• A) determinar el interés acumulado para un período de:

– 3 meses– 9 mese– 2 años– 2 años y 5 meses

• B) Determinar el interés acumulado para un año, si la tasa de interés es de un 6% semestral

• C) ¿Qué cantidad de dinero deberá invertir para que en un lapso de 10 meses se genere un interés de $ 18.000?

• D) ¿Cuál deberá ser la tasa de interés mensual para que en un plazo de 2 años el interés resultante sea la cuarta parte del capital inicial?

• E) Determina el interés que genera la obligación durante el 5to mes. Grafique la línea de tiempo

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Ejercicios

• 3. Al cabo de un año, un banco ha ingresado en una cuenta de ahorro, en concepto de intereses, 970 u.m.

• La tasa de interés de una cuenta de ahorro es del 2 %.

• ¿Cuál es el saldo medio (capital) de dicha cuenta en ese año?

Ejercicios

• 4. Un préstamo de 20 000 u.m. se convierte al cabo de un año en

22.400 u.m.

• ¿Cuál es la tasa de interés cobrada?

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Ejercicios

• 5. Un capital de 300.000 u.m. invertido a una tasa de interés del 8 % durante un cierto tiempo, ha supuesto unos intereses de 12.000 u.m.

• ¿Cuánto tiempo ha estado invertido?

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Para tener en consideración:

• Debes comprender, entender y calcular el interés simple para poder estudiar el interés compuesto

• Mientras mas estudio, más suerte tengo.