CLASE DE DINAMICA

REALIZADO POR:ING. ROMEL VALENZUELAING. FERNANDO LEIVA CLASE 11

Energía potencial en el movimiento armónico simple

푑푤 = 퐹 푑푥

푑푤 = 푘푥 푑푥

푊 = 푘푥 푑푥

푊 =12 푘푥

푈 푥 = 푊 = 푒푛푒푟푔푖푎 푝표푡푒푛푐푖푎푙

푈 푥 =12 푘푥

푈 푥 = 0 (푒푛 푝표푠푖푐푖표푛 푑푒 푒푞푢푖푙푖푏푟푖표)

Energía total (E)

퐸 = 푈 + 푈

푈 = 푒푛푒푟푔푖푎 퐶푖푛푒푡푖푐푎

퐸 =12 푘푥 +

12 푚 푣

푥 푡 = 퐴푐표푠(휔푡 + ∅)

푣 푡 = −휔퐴 푠푒푛(휔푡 + ∅)

휔 =푘푚

Sustituyendo:

퐸 = 푈 + 푈

퐸 =12 푘 퐴푐표푠 휔푡 + ∅ +

12푚 −휔퐴 푠푒푛 휔푡 + ∅

퐸 =12 푘퐴 cos 휔푡 + ∅ +

12푚휔 퐴 푠푒푛 (휔푡 + ∅)

퐸 =12 푘퐴 cos 휔푡 + ∅ +

12푚

푘푚퐴 푠푒푛 (휔푡 + ∅)

퐸 =12 푘퐴 (cos 휔푡 + ∅ + 푠푒푛 (휔푡 + ∅))

퐸 =12 푘퐴

Es una Constante

Ejemplo

Si al sistema se le da una energía de 200 joules, calcule la máxima fuerza inducida

푘 = 10푁푚

푚 = 2푘푔

Solución

1 푗표푢푙푒푠 = 1푁 ∗ 푚

푑 푥푑푡 +

푘푚 푥 = 0

푥 푡 = 퐴푐표푠(휔푡 + ∅)

푣 푡 = −휔퐴 푠푒푛(휔푡 + ∅)

푎 푡 = −휔 퐴푐표푠(휔푡 + ∅)

푎 푡 = −휔 퐴푐표푠(휔푡 + ∅)

(1)

퐹 = 푚휔 퐴

퐸 =12 푘 퐴

퐴 =2퐸푘

퐹 = 푚푘푚

2퐸푘

퐹 = 푘2퐸푘 = 10 2 ∗

20010

퐹 = 63.25푁

Ejemplo

Si la masa de las columnas es despreciable con respecto a la losa

퐸 = 2푋10푁푚

Al sistema se lo proporciona una energía de 3(10^4) joules, calcule la máxima fuerza inducida sobre la losa

Solución

퐹 = 푚푎

−푘푥 = 푚 푑 푥푑푡

푘 =12퐸퐼퐿 +

12퐸퐼퐿

푚푑 푥푑푡 + 푘푥 = 0

푘 =24퐸퐼퐿

푚푑 푥푑푡 +

24퐸퐼퐿 푥 = 0

푑 푥푑푡 +

24퐸퐼푚 퐿 푥 = 0

휔 =24퐸퐼푚 퐿

퐹 = 푚휔 퐴

퐹 = 푚24퐸퐼푚 퐿

2퐸푘

퐸 =12 푘 퐴

퐴 =2퐸푘

퐹 =24퐸퐼

퐿2퐸24퐸퐼퐿

퐹 =24퐸퐼퐿

퐸 퐿12퐸퐼

퐼 =1

12 0.10 0.20 = 6.67푋10 푚 퐿 = 3.00푚

퐸 = 3푋10 푗표푢푙푒푠

퐹 =24 2푋10 6.67푋10

33푋10 3

12 ∗ 2푋10 6.67푋10

퐹 = 2.67푋10 푁 = 2.67푘푁

Ejemplo

Si se pone en movimiento halle el periodo de la vibración de la masa “m” si se desprecia la masa de la columna E= modulo de elasticidad

Solución

퐹 = −푘푥

퐹 = −3퐸퐼퐿 푥

푚푑 푥푑푡 +

3퐸퐼퐿 푥 = 0

푑 푥푑푡 +

3퐸퐼푚 퐿 푥 = 0

휔 =3퐸퐼푚퐿

푇 =2휋휔

푇 = 2휋 푚퐿3퐸퐼

퐼 =1

12 푎 푏

푇 = 2휋 12 푚퐿3퐸 푎 푏

Ejemplo

Si m se desplaza 50cms hacia la derecha de su posición de equilibrio y luego se suelta calcule:

a.- La frecuencia Natural del sistemab.- el periodo c.- La posición en función del tiempod.- Grafique

Datos

Solución

푐 = 푐 =20푁푚 푠푒푔

푘 = 푘 = 125푁푚

푚 = 10 푘푔 (푚푎푠푎)

퐹 = 푚푎

퐹 + 퐹 + 퐹 + 퐹 = 푚푎

−푘 푥 − 푘 푥 − 푐 푣 − 푐 푣 = 푚푎

푚푎 + 푘 + 푘 푥 + 푐 + 푐 푣 = 0

2훽 =푐 + 푐푚

훽 =푐 + 푐

4푚

휔 =푘 + 푘푚

훽 − 휔 =푐 + 푐

4푚 −푘 + 푘푚

훽 − 휔 =1600

4 100 −25010 = −21

훽 − 휔 < 0

Caso I Sub-amortiguamiento

퐴 = 푥 +푣 + 훽푥

휔

푥 푡 = 퐴푒 ∗푥퐴

cos 휔 푡 +(푣 +훽 푥 )

퐴휔푠푒푛 휔 푡

Si:

푥 = 50푐푚푠

푣 = 0푐푚푠푠

푎.−

휔 =푘 + 푘푚

휔 =125 + 125

10

휔 = 25 푠

훽 =푐 + 푐2푚

훽 =20 + 20

2(10)

훽 = 2

휔 = 휔 − 훽

휔 = 25 − 4

휔 = 21

푏.−

( 0 + (2) (0.50))21

=121

퐴 = 0.50 +0 + 2(0.50)

21

퐴 = 푥 +푣 + 훽푥

휔

퐴 =2584

푥 푡 = 퐴푒 ∗푥퐴 cos 휔 푡 +

(푣 +훽 푥 )퐴휔

푠푒푛 휔 푡

푥 푡 =2584 푒

0.50

2584

cos 21 푡 +1

21 2584

sen 21 푡

푓 푡 = 퐴 푒 =2584 푒

푓 푡 = −퐴 푒 = −2584 푒

푓 푡 = 퐴 푒

푓 푡 = −퐴 푒

푥 푡 =2584 푒

0.50

2584

cos 21 푡 +1

21 2584

sen 21 푡

Grafica del movimiento

푇 =2휋휔 =

2휋21

= 1.371 푠푒푔

퐴 =2584 = 0.5455