Conf #1

Asignatura: Análisis numérico

Horario y frecuencia: jueves III y viernes II-III Horario de consulta: Viernes 02:20-04:00 pm

Evaluación: 30% laboratorios (9) y 70% tareas (7)

Objetivos Generales:

Adecuar la formulación matemática de un problema para ser tratado numéricamente.

Aplicar algoritmos conocidos a la solución de un problema numérico.

UNIDADES

I Introducción a los métodos numéricos

II Errores.

III Sistemas de ecuaciones lineales

IV Ecuaciones no lineales

V Interpolación y aproximación de funciones

VI Diferenciación e integración numéricas

VII Ecuaciones diferenciales

VIII Optimización

Unidad I: Introducción a los Métodos Numéricos

Objetivos de la Unidad.

A. Conocer algunos conceptos e ideas básicas utilizadas en el análisis numérico.

1.1 Conceptos e ideas básicos: análisis numérico, método numérico, iteración, aproximación local de

una función.

Uso de los métodos numéricos en Ingeniería química

Área Ejemplo de problemas

Balance de materia y energía Sistemas de ecuaciones lineales y no lineales

Transferencia de calor Problemas de valores de frontera

Transferencia de masa Problemas de valores de frontera

Diseño de reactores Optimización

Tarea: Investigar aplicaciones (Asignatura y en que problemas) del método numérico en la carrera

Modelo matemático: Es una formulación o una ecuación que expresa las características, esenciales de

un sistema físico o proceso en términos matemáticos.

Vd = f (vi, p , f )

Vd = variable dependiente que refleja el comportamiento o estado del sistema.

Vi = variables independientes como tiempo o espacio a través de las cuales el comportamiento del

sistema será determinado.

P = parámetros , son reflejos de las propiedades o la composición del sistema.

f = funciones de fuerza, son influencias externas sobre el sistema.

Ejemplos: Ley de Newton F=ma

Pasos del modelo matemático

Los métodos numéricos son aquellos en los que se formula el problema matemático para que se pueda

resolver mediante operaciones aritméticas. La descripción completa de las operaciones (aritméticas y

lógicas) utilizadas por un método numérico, se le llama algoritmo.

Iteración o aproximación sucesiva: Es la repetición de un patrón de acción o proceso.

X=F(X), X1=F(X0), X2=F(X1), …

Conf #2

Unidad II: Errores

Objetivos de la Unidad.

a. Conocer las fuentes de error en los métodos numéricos, las diferentes formas de expresar errores y algunos conceptos relacionados con los errores.

Las soluciones numéricas son, en su mayoría, aproximaciones de las soluciones exactas.

Cálculo del valor de la integral por aproximación:

( )

b

a

f x dx

Si utilizamos un número infinito de rectángulos, cada uno con largo y=f(x) para cada valor de x en el

intervalo [a,b] y ancho delta de x, nuestra área no será más una aproximación:

Error= Valor verdadero – Valor aproximado (calculado)

Fuentes de error:

Datos de entrada: Inadecuada mediciones o por truncamiento de los datos.

Redondeo durante el cálculo: se da durante los cálculos intermedios.

a) 42.37834 = 42.38

b) 382.154 = 382.2

c) 545.21 = 545.2

Truncamiento del método empleado: Se da cuando se realizan un número infinito de pasos se detiene

en un número finito de pasos.

Función en serie infinita 2 3 4

1 ...2! 3! 4!

x x x xe x

Una aproximación sería 2 3

12! 3!

x x xe x

Ejercicio Para estos casos las series de Taylor, en los métodos numéricos, expresan las funciones en

forma polinomial:

Use términos en la serie de Taylor de cero a 4to orden para aproximar la función f(x) = -0.1x4 –0.15x3-

0.5x2-0.25x +1.2, desde xi = 0 con h =1 para predecir el valor de la función en x1 +1 = 1.

n = 0 orden

f(x1 +1) = f(xi) = -0.1x4 –0.15x3-0.5x2-0.25x +1.2

f(x1 +1) = 1.2

n = 1er orden

f(x1 +1) + f(xi) +f´(xi)h

f(x1 +1) =1.2 + (-0.4 x3-0.45x2-x-0.25) (1)

f(x1 +1) =1.- 0.25

f(x1 +1) = 0.95

n= 2do orden

f(x1 +1) + f(xi) +f´(xi)h +f” (xi)h2

2!

f(x1 +1) = 1.2-0.25+(-1.2x2-0.90x-1) (1)2

2!

f(x1 +1) = 0.95 –0.5

f(x1 +1) = 0.45

n = 3er orden

f(x1 +1) + f(xi) +f´(xi)h +f” (xi)h2+ f”’(xi)h3

2! 3!

f(x1 +1) = 0.45+ ( -2.4x-0.90 ) (1)3

6

f(x1 +1) + f(xi) +f´(xi)h +f” (xi)h2+ f”’(xi)h3 + .....fn(xi)hn 2! 3! n!

h(x1 +1- xi)

f(x1 +1) = .45 – 0.15

f(x1 +1) = 0.3

n = 4to orden

f(x1 +1) = 0.3 + f4 (xi) h4

4!

f(x1 +1) = 0.3 + (-2.4) (1)4

24

f(x1 +1) = 0.2

Ubicación de las fuentes de error en un proceso numérico

Tipos de errores:

Error absoluto: Es igual a la diferencia entre el valor verdadero (Vv) y el valor aproximado (Vc):

Ea Vv Vc

Error Relativo: Es el cociente del error absoluto respecto al valor verdadero:

Vv VcEaEr

Vv Vv

actual- previa

actual

Aprox AproxEr

Aprox Cuando no se conoce la respuesta verdadera

Error Relativo Porcentual: 100Ea

Er xVv

Ejemplo

Suponga que el valor para un cálculo debería ser Vv = 0.10 x 102 pero se obtuvo el resultado de Va = 0.08

x 102. Determine el error absoluto y el error relativo porcentual:

EA = [0.10 x 102 – 0.08 x 102]= 2 = 0.2 x 101

ERP = 0.2 x 101 x 100 = 20%

0.10 x 102

Cifras significativas.- Es el conjunto de dígitos confiables o necesarios que representan el valor de una

magnitud independientemente de las unidades de medidas utilizadas.

40072 ( 5 c.s. )

3.001 ( 4 c.s. )

0.000203 ( 3. c.s. )

Ejercicio: Redondear a 4 cifras significativas:

42.37834 = 42.38

382.154 = 382.2

545.21 = 545.2

Exactitud.- Lo que está más cerca del valor verdadero.

Precisión.- Se refiere a

que tan cercano esta un

valor individual medido

o calculado con respecto

a los otros.

Conf #3

Unidad III: Sistemas de ecuaciones lineales

Objetivos de la Unidad.

a. Aplicar métodos directos e iterativos a la solución de sistemas de ecuaciones lineales, calcular el error en la solución y explicar las ventajas y desventajas del uso de estos métodos.

Para un sistema de ecuaciones algebraicas lineales

a11 x1 + a12 x2 + **** a1n xn = b1 E1

a12 x2 + a21 x2 + **** a2n xn = b2 E2

*

am1 x1 + am2 x2 + **** ann xn = bn En

En forma matricial Ax=b. La matriz aumentada A es :

a11 a12 ***** a1n X1 b1

A = a21 a22 ***** a2n X2 = b2

a31 a32 ***** a3n xn bn

La solución se da cuando det (A) es diferente a cero. Es un sistema no singular. Si es igual a cero, el

sistema tiene infinitas soluciones.

La solución es: X=A-1b

Métodos directos

Se da cuando después de cierto número finito de pasos da la solución del problema.

A. Eliminación Gaussiana

Es el método de mayor uso para resolver sistemas de ecuaciones algebraicas lineales. Se aplica cuando el

sistema es no homogéneo (Al menos uno de los términos independientes tiene que ser diferente de cero).

Si el sistema es homogéneo, brinda una respuesta trivial (igual a cero).

Procedimiento:

Transformar una matriz A en un sistema triangular superior: eliminación hacia adelante. El procedimiento

para encontrar la solución: sustitución hacia atrás.

Ejercicios

Reducir el sistema de ecuaciones:

X1 +X2 +X3 +3X4 = 4

2 X1 +X2 -X3 +X4 = 1

3X1 -X2 -X3 +2X4 = -3

-X1 +2X2 +3X3 -X4 = 4

Use la eliminación de Gauss para resolver:

Efectuando los cálculos con 6 cifras significativas

Conf #4

Tema: Eliminación Gaussiana con pivoteo parcial

Cuando algunos elementos de la diagonal principal se hacen cero durante el proceso de eliminación hacia

adelante, es necesario aplicar la técnica llamada PIVOTEO: Consiste intercambiar las filas en la matriz

ampliada Ab. Tienen la siguiente ventaja:

Evita que los elementos de la diagonal principal sean ceros.

Disminuye el error de redondeo. Aplicando que el coeficiente de la diagonal principal tenga la

mayor magnitud en valor absoluto que los coeficientes por debajo de él.

El intercambio de filas se realiza entre la fila de referencia y alguna de las filas que están por debajo de

ella.

Resolver

2 3

1 2 3

1 2 3

10x +x =2

x +3x -x =6

2x +4x +x =5

0 10 1 2

1 3 -1 6

2 4 1 5

2 4 1 5 f2-1/2 f1

1 3 -1 6

0 10 1 2

2 4 1 5

0 1 -3/2 7/2

0 10 1 2

2 4 1 5

0 10 1 2 f3-1/10f2

0 1 -3/2 7/2

2 4 1 5

0 10 1 2

0 0 -8/5 33/10

Resolver

1 2 3

1 2 3

1 2 3

x + x +x =1

x +x +2x =2

x +2x +2x =1

1 2 3 4

1 2 3 4

1 3 4

1 2 3 4

1.334E-4x + 4.123E+1x +7.912E+2x -1.544E+3x =-711.5698662

1.777x +2.367E-5x +2.070E+1x -9.035E+1x =-67.87297633

9.188x -1.015E+1x +1.988E-4x =-0.961801200

1.002E+2x +1.442E+2x -7014E+2x +5.321x =13824.12100

Resolver sin y con pivoteo:

4 9

3 2 6 2

5 3 1

x y z

x y z

x y z

Conf #5

Tema: Factorización LU y factorización PLU

Se aplica cuando se tiene un sistema de ecuaciones que tiene los mismos coeficientes pero diferentes

términos independientes.

Factorización LU se aplica cuando en el proceso de eliminación hacia adelante no se aplicó

PIVOTEO.

Factorización PLU se aplica cuando en el proceso de eliminación hacia adelante se aplicó PIVOTEO.

Algoritmo para factorización LU

Aplicar el procedimiento de eliminación hacia adelante sólo a la matriz A.

Resolver los sistemas de ecuaciones

Ly=b

Ux=y

Matriz L se forma con igual número de filas y columnas que la matriz A

21

31 32

1 0 0

1 0 Multiplicadores del proceso de eliminación hacia adelante

1

ijL I I

I I

Matriz U es la matriz A que queda después de aplicarle la eliminación hacia adelante

11 12 13

22 23

33

0

0 0

u u u

U u u

u

Resolver el siguiente sistema de ecuaciones

1 1

2 2

3 3

7 2 3 12 10

2 5 3 ; b= 20 y b= 20

1 1 6 26 16

x b

x b

x b

7 2 -3 A 2 5 -3 f2-0.28571f1 1 -1 -6 f3-0.14286f1 7 2 -3

0.0000 4.4286 -2.1429 0.0000 -1.2857 -5.5714 f3-0.29032f2

7 2 -3 0.0000 4.4286 -2.1429 0.0000 0.0000 -6.1935 1 0 0 L -0.2587 1 0 0.1429 -0.2903 1

Ly=b 1

2

3

1 0 0

0.2587 1 0

0.142

12

20

9 0.290 1 23 6

y

y

y

1

2

3

12

16.571

29.097

y

y

y

Ux=y

1 1

2 2

3 3

12 0.71870

16.571 1.4686

29.097 4.967

7 2 3

0.0000 4.4286 2.1429

0.0000 0.0000 6 9.1935

x x

x x

x x

Para

10

20

16

b

Ly=b 1 1

2 2

3 3

10 10

20

1 0 0

0.2 17.143

16 19.

587 1

54

0

0.1429 0.2903 1 8

y y

y y

y y

Ux=y 1 1

2 2

3 3

10 0.59374

17.143 2.3438

19.548 3.156

7 2 3

0.0000 4.4286 2.1429

0.0000 0.0000 6 2.1935

x x

x x

x x

Cuando se aplica pivoteo durante el proceso de eliminación hacia adelante, la matriz A se factoriza en

A=PLU

Algoritmo para factorización PLU

Aplicar el procedimiento de eliminación hacia adelante sólo a la matriz A.

Resolver los sistemas de ecuaciones

Pz=b

Ly=z

Ux=y

Matriz L se forma como el proceso de descomposición LU, colocando los multiplicadores según el

orden en que quedaron las filas después de aplicar el pivoteo.

Matriz U es la matriz A que queda después de la eliminación hacia adelante.

Matriz P es la matriz permutación, se forma intercambiando las filas de la matriz identidad en la

misma forma que se intercambiaron las filas de la matriz A durante la eliminación hacia adelante.

Resolver el sistema de ecuaciones

1 1

2 2

3 3

2 5 1 12 16

1 3 1 ; b= 8 y b= 2

3 4 2 16 5

x b

x b

x b

3 -4 2 A -1 3 -1 f2+0.33333f1 2 -5 1 f3-0.66667f1 3 -4 2

0.0000 1.6667 -0.3333 0.0000 -2.3333 -0.3333 3 -4 2 0.0000 -2.3333 -0.3333 0.0000 1.6667 -0.3333 3 -4 2 0.0000 -2.3333 -0.3333 0.0000 0.0000 -0.5714 f3-0.71431f2

1 0 0 L 0.6667 1 0 -0.3333 -0.71431 1

1 0 0 1 0 0

0 1 0 se intercambio f2 y f3 0 0 1

0 0 1 0 1 0

P

Pz=b 1

2

3

1 0 0 16 16

0 0 1 8 12

0 1 0 12 8

z

z z

z

Ly=z 1 1

2 2

3 3

16 16

12

1 0 0

0.66 1.3333

8

67

1.7143

1 0

0.3333 0.71431 1

y y

y y

y y

Ux=y 1 1

2 2

3 3

3 4 2

0.0000 2.3333 0.3333

0.0000 0.0000 0.5714

16 2

1.3333 1

1.7143 3

x x

x x

x x

Para

16

b= 2

5

Pz=b 1

2

3

1 0 0 16 16

0 0 1 2 5

0 1 0 5 2

z

z z

z

Ly=z 1 1

2 2

3 3

16 16

12

1 0 0

0.66 1.3333

8

67

1.7143

1 0

0.3333 0.71431 1

y y

y y

y y

Ux=y 1 1

2 2

3 3

16 13.5

5.6667 3.2501

3.2856

3 4 2

0.0000 2.3333 0.3333

0.0000 0.0000 0.5714 5.7499

x x

x x

x x

Análisis del error

Los errores de redondeo introducidos en los cálculos, generalmente ocasiona que la solución calculada

x*, difiera de la solución exacta.

Error, e=x-x*; x: Valor verdadero, x*: Valor aproximado (calculado)

Residuo, r=b-Ax*

Mientras más grande es la cantidad de dígitos que se usan en los cálculos, más exacta es la solución.

Número de condición

La norma de un vector o matriz es un valor que da una idea del tamaño general de los elementos del vetor

o matriz, y que se representa por .

Norma p:

1/

1

; 1 pi

pn

p

pi

x x

La norma p más utilizada, son las normas con p=1 y p=00

Norma 1 p=1

Para una matriz A, es la suma en valor absoluto de todos los elementos en la matriz.

1 1

n n

ij

i j

A a

Normas máximas p=oo

Para una matriz A, es igual al mayor valor que resulte al sumar en valor absoluto los elementos en cada

fila en la matriz.

1

; 1 in

ij

j

A máx a n

Número de condición de una matriz

Los sistemas mal o bien condicionados, son los sistemas sensibles o no a los cambios en sus coeficientes,

siendo la medida de su sensibilidad un valor denominado número de condición y la sensibilidad es la

variación de la solución del sistema por cambios en sus coeficientes.

Número de condición, 1( ) *Con A A A

,

Con(A), es mayor que 1, se considera un sistema mal condicionado.

Con(A), es menor que 1, se considera un sistema bien condicionado.

Ejemplo

a) Entre otros objetos se transportaron refrigeradoras y cocinas en un container. Cada cocina pesa

una tonelada y cada refrigeradora dos toneladas, por otro lado una cocina ocupa un espacio de

1.05 m3 y cada refrigeradora 2 m3. En total entre cocinas y refrigeradoras se registró un peso de

10 toneladas y ocuparon un espacio juntas de 10.4 m3. Se desea conocer cuántas cocinas y

refrigeradoras se transportó en el container.

a. Plantear y resolver este problema como el de un sistema de ecuaciones, usar aritmética de

4 dígitos.

b. El encargado de transporte se equivocó y en realidad cada cocina ocupa un espacio de 1.1

m3. Encuentre nuevamente la solución.

c. El sistema de ecuaciones usado, ¿es bien o mal condicionado?

a. 1 2 10

1.05 2 10.4

x

y

1 2 10 -1.05 1.05 2 10.4 1 2 10 -10 0 -0.1 -0.1 1 2 10

0 1 1.00

-2

1 0 8.00

0 1 1.00

b. 1 2 10

1.1 2 10.4

x

y

1 2 10 -1.1 1.1 2 10.4

1 2 10 -20 0 -0.2 -0.6

1 2 10

0 4 12.00 0.25

1 2 10 0 1 3 -2

1 0 4

0 1 3

c.

Calculando A-1

1 2 1 0 1.05 2 0 1 -1.05

1 2 1 0 0 -0.1 -1.05 1 -10

1 2 1 0 0 1 10.5 -10 -2

1 0 -20 20 0 1 10.5 -10

120 20

10.5 10A

1( ) *Con A A A

El sistema se encuentra mal condicionado

1

1

(1 2 , 1.05 2 ) (3,3.05) 3.05

( 20 20 , 10.5 10 ) (40,20.5) 40

( ) * 3.05*40 122

A máx

A máx

Con A A A

Conf #6

Tema: Métodos iterativos: Jacobi y Gauss-Seidel.

Los métodos iterativos se utilizan cuando:

Se tienen grandes sistemas de ecuaciones dispersos (muchos ceros en la matriz A).

Cuando se desea ahorrar tiempo en la solución y reducir los errores de redondeo (Algo común en

los métodos directos).

La matriz A es diagonalmente dominante: Todos los elementos de la diagonal principal, son iguales

o mayores en valor absoluto, que la suma en valor absoluto de los demás elementos que están en

la fila.

Debido al uso de los programas computacionales (Matlab, Mathematica, Maple, etc.), el estudio de los

métodos iterativos es de interés teórico matemático.

A. Algoritmo Método de Jacobi

1. Arreglar el sistema de ecuaciones de manera que la matriz A tienda o se haga diagonalmente

dominante.

11 1 12 2 1 1

21 1 22 2 2 2

1 1 2 2

...

...

.

...

n n

n n

n n nn n n

a x a x a x b

a x a x a x b

a x a x a x b

2. Despejar el término a11x1 de la ecuación 1, a22x2 de la ecuación 2, …, annxn de la ecuación n:

11 1 12 2 13 3 1 1

22 2 21 1 2 2

1 1 2 2 1 1

...

... a

.

...

n n

n n

nn n n n nn n n

a x a x a x a x b

a x a x x b

a x a x a x a x b

3. Expresar el sistema anterior en la forma matricial Dx[k+1]=Rx[k]+b

[ 1] [ ]

11 1 12 1 1 1

22 2 21 2 2 2

1 2 1

0 ... 0 0 ...

0 ... 0 0 ...

. . . . .

0 0 ... ...

k k

n

n

nn n n n nn n n

a x a a x b

a x a a x b

a x a a a x b

4. Sustituir la aproximación inicial x[0], en x[k] y efectuar la operación R x[k]+b, luego despejar el valor

x[k+1]

5. El valor de x[k+1] obtenido se sustituye en x[k], y nuevamente se efectúa el producto R x[k]+b y se

despeja despejar el valor x[k+1]

6. El paso 5 se repite has que [ ] [ ]1k kx x , es decir, la norma de la diferencia de los valores

obtenidos en el vector x en dos iteraciones sucesivas, es menor o igual que el error establecido

Ejemplo

1 2 3

1 2 4

1 3 4

2 3 4

4 1

4 2

4 0

4 1

x x x

x x x

x x x

x x x

Ordenando (se observa la matriz es diagonalmente dominante)

1

2

3

4

4 1 1 0 1

1 4 0 1 2

1 0 4 1 0

0 1 1 4 1

x

x

x

x

Despejando los elementos de la diagonal principal para formar Dx[k+1]=Rx[k]+b

[k 1] [ ]

1 1

2 2

3 3

4 4

4 0 0 0 0 1 1 0 1

0 4 0 0 1 0 0 1 2

0 0 4 0 1 0 0 1 0

0 0 0 4 0 1 1 0 1

kx x

x x

x x

x x

Iteramos Para x[0]

[1] [0]

1

2

3

4

4 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1

0 4 0 0 1 0 0 1 0 2 0 2 2

0 0 4 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0

0 0 0 4 0 1 1 0 0 1 0 1 1

x

x

x

x

[1]

0.25

0.5

0

0.25

x

Para x[1]

[2] [1]

1

2

3

4

[2]

4 0 0 0 0 1 1 0 0.25 1 0.5 1 1.5

0 4 0 0 1 0 0 1 0.5 2 0.5 2 2.5

0 0 4 0 1 0 0 1 0 0 0.5 0 0.5

0 0 0 4 0 1 1 0 0.25 1 0.5 1 1.5

0.37

x

x

x

x

x

5

0.625

0.125

0.375

Definiendo un 61 10x , se tiene para [ ] [ ]1k kx x

[k 1] [k] [2] [1]

0.375 0.25 0.125

0.625 0.5 0.12

0.125 0 0.125

0.375 0.25 0.125

x x x x

1[ ] [ ] 0.125 0.125 0.125 0.125 0.5k kx x

Si continuamos iterando:

1 2

1 2 3

2 3 4

3 4

4 1

4 1

4 1

4 1

x x

x x x

x x x

x x

B. Algoritmo del método Gauss-Seidel

1. Arreglar el sistema de ecuaciones de manera que la matriz A tienda o sea diagonalmente dominante.

2. Despejar el término a11x1 de la ecuación 1, a11x1+a22x2 de la ecuación 2, an1x1+an2x2+…+annxn de la

ecuación n

11 1 12 2 13 3 1 1

21 2 22 1 23 3 2 2

1 1 1 1 2 2 1 1

...

... a

.

...

n n

n n

n n n nn n n

a x a x a x a x b

a x a x a x x b

a x a x a x a x b

3. Expresar el sistema anterior en la forma matricial Lx[k+1]=Ux[k]+b

[ 1] [ ]

11 1 1 112 1

21 22 2 2 22

1 2

0 ... 0 0 ...

... 0 0 0 ...

. . . ..

... 0 0 ... 0

k k

n

n

n n nn n n n

a x x ba a

a a x x ba

a a a x x b

4. Sustituir la aproximación inicial x[0] en x[k] y efectuar la operación Ux[k]+b, luego despejar el valor

de x[k+1]

5. El valor de x[k+1] obtenido se sustituye en x[k] y nuevamente se efectúa el producto Ux[k]+b, y

nuevamente despejar el valor de x[k+1]

6. El paso 5 se repite has que [ ] [ ]1k kx x , es decir, la norma de la diferencia de los valores

obtenidos en el vector x en dos iteraciones sucesivas, es menor o igual que el error establecido

Ejemplo

1

2

3

4

4 1 1 0 1

1 4 0 1 2

1 0 4 1 0

0 1 1 4 1

x

x

x

x

[k 1] [ ]

1 1

2 2

3 3

4 4

4 0 0 0 0 1 1 0 1

1 4 0 0 0 0 0 1 2

1 0 4 0 0 0 0 1 0

0 1 1 4 0 0 0 0 1

kx x

x x

x x

x x

Para x[0]

[1] [0]

1

2

3

4

4 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1

1 4 0 0 0 0 0 1 0 2 0 2 2

1 0 4 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0

0 1 1 4 0 0 0 0 0 1 0 1 1

x

x

x

x

[1]

0.25

0.5625

0.0625

0.40625

x

X[1]

[2] [1]

1

2

3

4

4 0 0 0 0 1 1 0 0.25 1 0.625 1 1.625

1 4 0 0 0 0 0 1 0.5625 2 0.40625 2 2.406

1 0 4 0 0 0 0 1 0.0625 0 0.40625 0

0 1 1 4 0 0 0 0 0.40625 1 0 1

x

x

x

x

25

0.40625

1

[2]

0.40625

0.70312

0.20312

0.47656

x

Definiendo un 61 10x , se tiene para [ ] [ ]1k kx x

[k 1] [k] [2] [1]

0.40625 0.25 0.15625

0.70312 0.5625 0.14062

0.20312 0.0625 0.14062

0.47656 0.40625 0.07031

x x x x

[ ] [1]2 0.15625 0.14062 0.14062 0.07031 0.5078x x

Si continuamos iterando

Resolver:

1 2

1 2 3

2 3 4

3 4

4 1

4 1

4 1

4 1

x x

x x x

x x x

x x

C. Convergencia de los métodos de Jacobi y Gauss-Seidel.

Siempre que la matriz A sea diagonalmente dominante, los métodos de Jacobi y Gauss-Seidel convergen.

Si la matriz A no cumple dicha condición, se aplican los siguientes criterios de convergencia:

Jacobi: 1B

Gauss-Seidel:

1 i n

1

1

1

max1

0;

la matriz B: B=;

i

i

n

i i j

j i

i

i i j

i

ij

ij

ii

rB

S

r b

S b

b i j

donde ai j

a

Determinar si los métodos de Jacobi y Gauss-Seidel convergirán para el siguiente sistema de ecuaciones:

1

2

3

2 5 1 12

1 3 1 8

3 4 2 16

x

x

x

: La matriz A no es diagonalmente dominante.

Matriz B

0 5 / 2 1/ 2

1/ 3 0 1/ 3

3 / 2 4 / 2 0

ri

Si

max 0 2.5 0.5 ; 1/ 3 1/ 3 ; 1.5 2 0 max(3;0.666;3.5) 3.5B o ;

1B no se cumple para método Jacobi, por lo que se desconoce si convergirá.

i ri Si ri/(1-Si)

1 3(2.5+0.5) O 3

2 0.333 0.333 0.4999

3 0 3.5 0

1max max(3;0.4999 : 0) 3

1

i

i ni

r

S

1 i nmax

1

i

i

rB

S

; no cumple, por lo que se desconoce si el método Gauss-Seidel convergirá.

Conf #7

Tema: Sistemas lineales sobredeterminados.

Un sistema de ecuaciones es sobredeterminado cuando se tienen mayor número de ecuaciones que de

incógnitas.

Ax=b; A es una matriz mxn, con m>n y b con un vector de mx1. El problema consiste en encontrar un

vector Xnx1, tal que Ax es la mejor aproximación a b.

Su solución sería encontrar: ATAx=ATb; donde AT es la matriz transpuesta de A.

El nitrógeno y el oxígeno tienen pesos atómicos aproximados de 14 y 16, respectivamente. Utilizar los

siguientes pesos moleculares de seis óxidos de nitrógeno para calcular los pesos atómicos más

aproximados:

Compuesto NO N2O NO2 N2O3 N2O5 N2O4

Peso molecular

30.006 44.013 46.006 76.012 108.010 92.011

N+O=30.006

2N+0=44.013

N+2O=46.006

2N+3O=76.012

2N+5O=108.010

2N+4O=92.011

ATAx=ATb :

1 1 30.006

2 1 44.013

1 2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 46.006

1 1 2 3 5 4 2 3 1 1 2 3 5 4 76.012

2 5 108.010

2 4 92.011

N

O

18 29 716.104

29 56 1302.161

N

O

entonces

14.007

15.999

N

O

1 1 30.006

2 1 44.013

1 2 46.006

2 3 76.012

2 5 108.010

2 4 92.011

N

O

Valores propios

Una matriz simétrica positiva definida, es una matriz simétrica (A=AT, para matrices cuadradas) )que tiene

todos los elementos pivotes positivos, o bien, posee todos los valores propios positivos.

Ax=b, pero si “x” es un múltiplo de Ax, se tiene Ax x . El valor , se conoce como valor propio. Si x satisface

la ecuación Ax x , entonces se le conoce como vector propio.

Sea “I” la matriz identidad y se multiplica a Ax x , se tienen:

es la matriz identidad

(A- ) se hace singular (detA=0)( ) det(A ) 0

Los valores son valores propios

( ) Función característica

I

If I

f

Identifique si la matriz es simétrica positiva definida

2 1

1 2A

Se observa que es una matriz simétrica

2 2

1 2

2 1 1 0 2 1

1 2 0 1 1 2

2 1det( ) det (2 ) 1 4 3 0

1 2

1; 3

A I

A I

Como los valores son positivos y la matriz A es simétrica, por lo que A es simétrica positiva definida.