Clase 7: Paradojasmmtoro/doc/intro/clase7mtorocmejia.pdf · LA PARADOJA DEL MENTIROSO Se atribuye a...

Clase 7: Paradojas

Margarita M. Toro y Carlos E. Mejía

Universidad Nacional de Colombia-Sede Medellín

Abril 6 de 2015

Margarita M. Toro y Carlos E. Mejía (Universidad Nacional de Colombia-Sede Medellín)Clase 7: Paradojas Abril 6 de 2015 1 / 43

Paradojas y falacias

"Lo que dice esta frase es mentira"

¿Es este un enunciado falso o verdadero?

Si fuera verdadero, resultaría ser falso.

Y si fuera falso, resultaría ser verdadero.

¿Que pasa?

No todas las afirmaciones que se hacen son ciertas o falsas.

Esto da lugar a una paradoja.

¿Que pasa?

El término “paradoja”viene del griego (para y doxos) y significa "másallá de lo creíble", como opuesto a "ortodoxo",

Hay distintos tipos de paradojas, entre las cuales se incluyen lasllamadas falacias, que son razonamientos que parecen correctos, perocontienen algún error.

Vamos a hablar de algunas paradojas famosas.

LA PARADOJA DEL MENTIROSO

Se atribuye a Epiménides haber afirmado:"Todos los cretenses son mentirosos".

Sabiendo que él mismo era cretense, ¿decía Epiménides la verdad?

UN ENUNCIADO Y SU CONTRARIO.

"Esta frase consta de siete palabras."

Está claro que su enunciado es falso, ya que consta de seis.

Por tanto, su contrario debería ser verdadero. ¿Es esto correcto?

No, ya que la negación es "Esta frase no consta de siete palabras",y esta es una frase con siete palabras.

No, ya que la negación es "Esta frase no consta de siete palabras",

y esta es una frase con siete palabras.

LOS TRES ENUNCIADOS FALSOS.

Tenemos aquí tres enunciados falsos. ¿Es capaz de descubrir cuáles?

PARADOJA TEMPORAL.

Un americano en el 2015 llamó por teléfono a otro que se encontrabaen 2014, y le dijo:

Mañana te telefonearé de nuevo.

De acuerdo. ¡Hasta mañana!

¿Podría darse esta situación un tanto paradójica en la vida real?

PARADOJA TEMPORAL.

Paradoja del barbero

Debida a Bertrand Russell, dice:

El único barbero de la ciudad dice que afeitará a todos aquellos, ysolamente aquellos, que no se afeiten a sí mismos.

Pregunta: ¿quién afeitará al barbero?Si no se afeita a sí mismo será una de las personas de la ciudad queno se afeitan a sí mismas, con lo cual debería afeitarlo el barbero, esdecir se afeita a si mismo.

Si se afeita a si mismo, es una de las personas que afeita el barbero,siendo por tanto una de las personas que no se afeitan a sí mismas.

Pregunta: ¿quién afeitará al barbero?

Si no se afeita a sí mismo será una de las personas de la ciudad queno se afeitan a sí mismas, con lo cual debería afeitarlo el barbero, esdecir se afeita a si mismo.

Paradoja de los catálogos

Supongamos que el bibliotecario de la Biblioteca de Babel, al ver quela cantidad da catálogos que pueblan las estanterías, decide poner unpoco de orden.

Como observa que algunos catálogos se mencionan a sí mismos (porejemplo, el catálogo de los catálogos) y otros no (como el catálogo delos peces, pues un catálogo no es un pez) decide componer elcatálogo de los catálogos que no se mencionan a sí mismos.

Todo va bien hasta que el bibliotecario se pregunta si su nuevocatálogo debe mencionarse a sí mismo o no.

Paradoja de Galileo

Tomado de :Galileo Galilei: Consideraciones y demostracionesmatemáticas sobre dos nuevas ciencias, Biblioteca de la Literatura yel Pensamiento Universales, Madrid, 1976.

Llamemos cuadrados a aquellos números que se obtienenmultiplicando un numero natural por sí mismo: 1, 4, 9... A losnúmeros que los generan los llamaremos raíces. Así, 1 es raíz de 1, 2de 4, 3 de 9...Hay tantas raíces como cuadrados, pues cada raíz genera un cuadradoy todo cuadrado tiene por definición una raíz.Hay tantas raíces como números naturales, pues todo número es raízde su cuadrado.Conclusión: hay tantos cuadrados como números en total, lo cual esparadójico, pues no todos los números son cuadrados.De hecho, cuanto mayores son los números, menor es la cantidad decuadrados. Por ejemplo, del primer millón de números, solo mil soncuadrados.

Paradoja de Galileo

Tomado de :Galileo Galilei: Consideraciones y demostracionesmatemáticas sobre dos nuevas ciencias, Biblioteca de la Literatura yel Pensamiento Universales, Madrid, 1976.Llamemos cuadrados a aquellos números que se obtienenmultiplicando un numero natural por sí mismo: 1, 4, 9... A losnúmeros que los generan los llamaremos raíces. Así, 1 es raíz de 1, 2de 4, 3 de 9...

Hay tantas raíces como cuadrados, pues cada raíz genera un cuadradoy todo cuadrado tiene por definición una raíz.Hay tantas raíces como números naturales, pues todo número es raízde su cuadrado.Conclusión: hay tantos cuadrados como números en total, lo cual esparadójico, pues no todos los números son cuadrados.De hecho, cuanto mayores son los números, menor es la cantidad decuadrados. Por ejemplo, del primer millón de números, solo mil soncuadrados.

Paradoja de Galileo

Tomado de :Galileo Galilei: Consideraciones y demostracionesmatemáticas sobre dos nuevas ciencias, Biblioteca de la Literatura yel Pensamiento Universales, Madrid, 1976.Llamemos cuadrados a aquellos números que se obtienenmultiplicando un numero natural por sí mismo: 1, 4, 9... A losnúmeros que los generan los llamaremos raíces. Así, 1 es raíz de 1, 2de 4, 3 de 9...Hay tantas raíces como cuadrados, pues cada raíz genera un cuadradoy todo cuadrado tiene por definición una raíz.

Hay tantas raíces como números naturales, pues todo número es raízde su cuadrado.Conclusión: hay tantos cuadrados como números en total, lo cual esparadójico, pues no todos los números son cuadrados.De hecho, cuanto mayores son los números, menor es la cantidad decuadrados. Por ejemplo, del primer millón de números, solo mil soncuadrados.

Paradoja de Galileo

Tomado de :Galileo Galilei: Consideraciones y demostracionesmatemáticas sobre dos nuevas ciencias, Biblioteca de la Literatura yel Pensamiento Universales, Madrid, 1976.Llamemos cuadrados a aquellos números que se obtienenmultiplicando un numero natural por sí mismo: 1, 4, 9... A losnúmeros que los generan los llamaremos raíces. Así, 1 es raíz de 1, 2de 4, 3 de 9...Hay tantas raíces como cuadrados, pues cada raíz genera un cuadradoy todo cuadrado tiene por definición una raíz.Hay tantas raíces como números naturales, pues todo número es raízde su cuadrado.

Conclusión: hay tantos cuadrados como números en total, lo cual esparadójico, pues no todos los números son cuadrados.De hecho, cuanto mayores son los números, menor es la cantidad decuadrados. Por ejemplo, del primer millón de números, solo mil soncuadrados.

Paradoja de Galileo

Tomado de :Galileo Galilei: Consideraciones y demostracionesmatemáticas sobre dos nuevas ciencias, Biblioteca de la Literatura yel Pensamiento Universales, Madrid, 1976.Llamemos cuadrados a aquellos números que se obtienenmultiplicando un numero natural por sí mismo: 1, 4, 9... A losnúmeros que los generan los llamaremos raíces. Así, 1 es raíz de 1, 2de 4, 3 de 9...Hay tantas raíces como cuadrados, pues cada raíz genera un cuadradoy todo cuadrado tiene por definición una raíz.Hay tantas raíces como números naturales, pues todo número es raízde su cuadrado.Conclusión: hay tantos cuadrados como números en total, lo cual esparadójico, pues no todos los números son cuadrados.

De hecho, cuanto mayores son los números, menor es la cantidad decuadrados. Por ejemplo, del primer millón de números, solo mil soncuadrados.

Paradoja de Galileo

Tomado de :Galileo Galilei: Consideraciones y demostracionesmatemáticas sobre dos nuevas ciencias, Biblioteca de la Literatura yel Pensamiento Universales, Madrid, 1976.Llamemos cuadrados a aquellos números que se obtienenmultiplicando un numero natural por sí mismo: 1, 4, 9... A losnúmeros que los generan los llamaremos raíces. Así, 1 es raíz de 1, 2de 4, 3 de 9...Hay tantas raíces como cuadrados, pues cada raíz genera un cuadradoy todo cuadrado tiene por definición una raíz.Hay tantas raíces como números naturales, pues todo número es raízde su cuadrado.Conclusión: hay tantos cuadrados como números en total, lo cual esparadójico, pues no todos los números son cuadrados.De hecho, cuanto mayores son los números, menor es la cantidad decuadrados. Por ejemplo, del primer millón de números, solo mil soncuadrados.

Paradoja de Galileo

La relación anterior es una biyección, pues a cada natural lecorresponde un y solo un cuadrado perfecto (el suyo) y a cadacuadrado perfecto le corresponde un y solo un número natural (su raízpositiva).

Gracias a esta biyección podemos emparejar los números de ambosconjuntos. Por lo que podemos decir que ambos conjuntos numéricosson equipotentes, es decir, que tienen la misma cantidad deelementos.

Esta biyección nos muestra algo que resulta antiintuitivo, a saber:que hay tantos cuadrados perfectos como naturales.

Es una forma de pensar habitual considerar que el todo es mayor quecada una de sus partes. Sin embargo, la biyección existente entre losnúmeros naturales y los cuadrados perfectos dice que una parte (loscuadrados perfectos) es, en lo que respecta a su cardinal, tan grandecomo el todo (los naturales).

Paradoja de Galileo

La paradoja de Galileo siguió molestando a los matemáticos o hastaque en el siglo XIX Richard Dedekind introdujo un giro conceptualextraordinario:

En vez de considerar paradójica esta igualdad entre el todo y laspartes, Dedekind pensó que este comportamiento, digamos curioso,de algunos conjuntos podía servir precisamente para caracterizarlos.

De esta manera dio por primera vez una definición precisa deconjunto infinito:

"Un conjunto S se llama infinito cuando es biyectable con una partepropia de sí mismo; en caso contrario se llama a S conjunto finito" .(Una parte de un conjunto se dice propia cuando no es el conjuntototal).

En este sentido, el conjunto de los números naturales es infinito. Ytambién el de los cuadrados perfectos, claro.

Paradoja de Galileo

Pifia literaria

"Porque nuestro pensar pretende ser pensar de lo infinito, y loinfinito, o no tiene partes, o, si las tiene, son también infinitas, y nopuede haber un infinito mayor que otro. Esto de ningún modo”.

Antonio Machado, Juan de Mairena, p.206.

Pifia literaria

"Porque nuestro pensar pretende ser pensar de lo infinito, y loinfinito, o no tiene partes, o, si las tiene, son también infinitas, y nopuede haber un infinito mayor que otro. Esto de ningún modo”.

Antonio Machado, Juan de Mairena, p.206.

Paradoja de la dicotomía

Se supone comúnmente que un atleta puede desplazarse desde elpunto de salida (A) hasta la meta (B), distante una unidad dedistancia de (A).

Sin embargo, según Zenón, esto es imposible.

Se supone comúnmente que un atleta puede desplazarse desde elpunto de salida (A) hasta la meta (B), distante una unidad dedistancia de (A).

Sin embargo, según Zenón, esto es imposible.

Su argumento es el siguiente: antes de llegar a la meta el atletadeberá recorrer la mitad de la distancia y alcanzar el punto medio de

A y B, esto es,12.

Para llegar a12, debe recorrer primero la mitad de la distancia, es

decir, llegar a14.

Continuando el argumento indefinidamente, el corredor deberá, antesde llegar a B, recorrer infinitos trayectos en un tiempo finito, lo cuales imposible.

A y B, esto es,12.

decir, llegar a14.

A y B, esto es,12.

decir, llegar a14.

Aquiles y la tortuga

El segundo argumento, conocido como «Aquiles y la tortuga» , eseste: el corredor más lento, la tortuga, nunca podrá ser alcanzado porel más veloz, Aquiles, pues el perseguidor tendría que llegar primero alpunto desde donde partió el perseguido, de tal manera que el corredormás lento mantendrá siempre la delantera.

Este argumento es el mismo que el dicotómico, aunque con ladiferencia de que las magnitudes sucesivamente tomadas no sondivididas en dos.

La conclusión es que el corredor más lento nunca será alcanzado y elprocedimiento es el mismo que el del argumento por dicotomía

Pues en ambos casos se concluye que no se puede llegar al límite si sedivide la magnitud de cierta manera, aunque en éste se añade queincluso el corredor más veloz según la tradición tiene que fracasar ensu persecución del que es más lento.

Paradojas: Reflexiones

Las paradojas han existido en las matemáticas desde sus comienzos yhan jugado un papel importante en el desarrollo de una formalizacióncuidadosa de definiciones y teoremas.

Al principio crearon mucho malestar, pero ahora ya tenemosherramientas para entenderlas.Las paradojas de la teoría de conjuntos tuvieron un efecto profundoen el desarrollo y la comprensión de la matemática moderna.A los primeros pensadores griegos les resultaba tan paradójico comoinsoportable que la diagonal de un cuadrado de lado unidad nopudiera ser medida exactamente, por finas que se hicieran lasgraduaciones de la regla. Es decir, les parecía imposible que fuera unnúmero irracional.Este hecho perturbador sirvió para crear el concepto de númeroirracional. Así se zanjó el problema que tuvo la escuela pitagórica,que estaba motivada por la falsa creencia de que todos los númeroseran racionales.

Las paradojas han existido en las matemáticas desde sus comienzos yhan jugado un papel importante en el desarrollo de una formalizacióncuidadosa de definiciones y teoremas.Al principio crearon mucho malestar, pero ahora ya tenemosherramientas para entenderlas.

Las paradojas de la teoría de conjuntos tuvieron un efecto profundoen el desarrollo y la comprensión de la matemática moderna.A los primeros pensadores griegos les resultaba tan paradójico comoinsoportable que la diagonal de un cuadrado de lado unidad nopudiera ser medida exactamente, por finas que se hicieran lasgraduaciones de la regla. Es decir, les parecía imposible que fuera unnúmero irracional.Este hecho perturbador sirvió para crear el concepto de númeroirracional. Así se zanjó el problema que tuvo la escuela pitagórica,que estaba motivada por la falsa creencia de que todos los númeroseran racionales.

Las paradojas han existido en las matemáticas desde sus comienzos yhan jugado un papel importante en el desarrollo de una formalizacióncuidadosa de definiciones y teoremas.Al principio crearon mucho malestar, pero ahora ya tenemosherramientas para entenderlas.Las paradojas de la teoría de conjuntos tuvieron un efecto profundoen el desarrollo y la comprensión de la matemática moderna.

A los primeros pensadores griegos les resultaba tan paradójico comoinsoportable que la diagonal de un cuadrado de lado unidad nopudiera ser medida exactamente, por finas que se hicieran lasgraduaciones de la regla. Es decir, les parecía imposible que fuera unnúmero irracional.Este hecho perturbador sirvió para crear el concepto de númeroirracional. Así se zanjó el problema que tuvo la escuela pitagórica,que estaba motivada por la falsa creencia de que todos los númeroseran racionales.

Las paradojas han existido en las matemáticas desde sus comienzos yhan jugado un papel importante en el desarrollo de una formalizacióncuidadosa de definiciones y teoremas.Al principio crearon mucho malestar, pero ahora ya tenemosherramientas para entenderlas.Las paradojas de la teoría de conjuntos tuvieron un efecto profundoen el desarrollo y la comprensión de la matemática moderna.A los primeros pensadores griegos les resultaba tan paradójico comoinsoportable que la diagonal de un cuadrado de lado unidad nopudiera ser medida exactamente, por finas que se hicieran lasgraduaciones de la regla. Es decir, les parecía imposible que fuera unnúmero irracional.

Este hecho perturbador sirvió para crear el concepto de númeroirracional. Así se zanjó el problema que tuvo la escuela pitagórica,que estaba motivada por la falsa creencia de que todos los númeroseran racionales.

Las paradojas han existido en las matemáticas desde sus comienzos yhan jugado un papel importante en el desarrollo de una formalizacióncuidadosa de definiciones y teoremas.Al principio crearon mucho malestar, pero ahora ya tenemosherramientas para entenderlas.Las paradojas de la teoría de conjuntos tuvieron un efecto profundoen el desarrollo y la comprensión de la matemática moderna.A los primeros pensadores griegos les resultaba tan paradójico comoinsoportable que la diagonal de un cuadrado de lado unidad nopudiera ser medida exactamente, por finas que se hicieran lasgraduaciones de la regla. Es decir, les parecía imposible que fuera unnúmero irracional.Este hecho perturbador sirvió para crear el concepto de númeroirracional. Así se zanjó el problema que tuvo la escuela pitagórica,que estaba motivada por la falsa creencia de que todos los númeroseran racionales.

Los matemáticos del siglo XIX encontraban enormemente paradójicoque todos los elementos de un conjunto infinito X pudieran ponerseen correspondencia biunívoca con los miembros de un subconjuntopropio de X. Este es el caso de la paradoja de Galileo.

Otra cosa que los molestaba muchísimo es que existieran conjuntosinfinitos entre los cuales es imposible establecer una correspondenciabiunívoca.

Esto dio origen al concepto de cardinalidad. Por ejemplo el cardinalde los reales, que se llama ℵ1, se lee aleph 1, es diferente al de losracionales, que se llama ℵ0.Estas paradojas condujeron a desarrollar la teoría de conjuntosmoderna, que a su vez ha ejercido profunda influencia sobre lafilosofía de la ciencia.

Esto dio origen al concepto de cardinalidad. Por ejemplo el cardinalde los reales, que se llama ℵ1, se lee aleph 1, es diferente al de losracionales, que se llama ℵ0.

Estas paradojas condujeron a desarrollar la teoría de conjuntosmoderna, que a su vez ha ejercido profunda influencia sobre lafilosofía de la ciencia.

Las paradojas son una buena herramienta didáctica. Al igual que losbuenos trucos de ilusionismo, nos causan tanto asombro queinmediatamente queremos saber cómo se han hecho.

Los ilusionistas no revelan jamás como hacen lo que hacen, pero losmatemáticos no tienen necesidad de guardar el secreto.

En el lenguaje cotidiano paradójico es tanto aquello que encierracontradicción como lo que va en contra de la opinión común. Es loinverosímil, lo absurdo, pero también lo extraño.

Entre estas paradojas encontramos algunas "demostraciones falsas".El objetivo de este tipo de "demostraciones" es doble: por un lado, sequiere sorprender.

Por otro, llamar la atención sobre la necesidad de conocer laspropiedades de las operaciones de cada tipo de número y no dejarsellevar por las falsas analogías que a veces sugiere la notación.

Prueba Falsa

¿Cuánto vale la serie infinita1− 1+ 1− 1+ 1− 1+ 1− 1+ 1− 1+ 1 · · ·?

Si agrupamos de dos en dos, tenemos:

(1− 1) + (1− 1) + (1− 1) + (1− 1) + ... = 0+ 0+ 0+ 0 · · · = 0Pero si dejamos el primer uno libre, tenemos: