Clase 5b - OPF Lineal

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  • 7/22/2019 Clase 5b - OPF Lineal

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    Daniel Cmac

    Universidad Nacional Pedro Ruiz GalloFacultad de Ingeniera Mecnica - Elctrica

    Escuela de PostgradoMencin Energa

    5bEl Flujo de Potencia ptimo Lineal

  • 7/22/2019 Clase 5b - OPF Lineal

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    DCAMAC 2

    ContenidoMODELO DE LA RED DE TRANSMISIN ELCTRICAEL FLUJO DE POTENCIA OPTIMO Lineal LA REGIN FACTIBLE DE OPERACIN ELCTRICA CONSTRUCCIN DE LA REGIN DE FACTIBILIDAD

    ELCTRICA CALCULO DEL PUNTO PTIMO DE OPERACIN

    MODELAMIENTO DEL DFICIT DE ENERGA

    ELCTRICA Y DE LAS PRDIDAS DE TRANSMISIN MODELO LINEAL PARA EL DFICIT EL EFECTO DE LAS PRDIDAS DE TRANSMISIN

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    DCAMAC 3

    ContenidoMODELO DE LA RED DE TRANSMISIN ELCTRICAEL FLUJO DE POTENCIA OPTIMO Lineal LA REGIN FACTIBLE DE OPERACIN ELCTRICA

    CONSTRUCCIN DE LA REGIN DE FACTIBILIDADELCTRICA

    CALCULO DEL PUNTO PTIMO DE OPERACIN

    MODELAMIENTO DEL DFICIT DE ENERGA

    ELCTRICA Y DE LAS PRDIDAS DE TRANSMISIN MODELO LINEAL PARA EL DFICIT EL EFECTO DE LAS PRDIDAS DE TRANSMISIN

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    DCAMAC 4

    Modelo del Sistema

    La magnitud de tensin nodal,Vi El ngulo de tensin nodal, i

    La inyeccin de potencia activa, Pi

    La inyeccin de potencia reactiva, Qi

    P G Li i i

    iii MHQ

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    DCAMAC 5

    Modelo de la LT

    Y G jBik ik ik

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    DCAMAC 6

    Modelo No Lineal Los flujos de potencia activa Piky reactiva Qik

    corresponden respectivamente a lascomponentes real e imaginaria del flujo depotencia aparente S*ik:

    los cuales, explcitamente, se expresan como

    S P jQik ik ik *

    P G V V V G Bik ik i i k ik ik ik ik 2 cos sen

    Q B B V V V G Bik ik ik i i k ik ik ik ik ' sen cos2

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    DCAMAC 7

    Modelo No Lineal Se sabe que la inyeccin neta de potencia activa

    en la barra i es igual a la suma de los flujos depotencia activa de todas las lneas conectadas adicha barra. As, la expresin resultante es:

    Donde Giiesta definido por

    P G V V V G Bi ii i i k ik ik ik ik kk i

    N

    21

    cos sen

    G Gii ik kk i

    N

    1

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    DCAMAC 8

    Modelo No Lineal Con el mismo anlisis se obtiene la expresin

    para la inyeccin neta de potencia reactiva:

    Donde Biiesta definido por:

    N

    ikk

    ikikikikkiiiii BsenGVVVBQ1

    2

    cos

    B B Bii ik ik kk i

    N

    '1

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    DCAMAC 9

    Modelo No Lineal

    Expresin para las prdidas en la lnea i-k

    PERD G V V V V Gik ik i k i k ik ik 2 2

    2 cos

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    DCAMAC 10

    Modelo Lineal Aproximaciones adoptadas

    Las susceptancias shunt pueden ser despreciadas

    V Vi k 1

    cosik 1

    sen ik ik

    X Rik ik

    GR

    R Xik

    ik

    ik ik

    2 2

    0

    BX

    R X Xikik

    ik ik ik

    2 2

    1

    Bik' 0

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    DCAMAC 11

    Modelo Lineal Aplicando a la expresin de flujo de potencia no

    lineal, resulta

    La inyeccin de potencia activa en la barra esigual a los flujos que salen de ella

    P Bik ik ik

    P P Bi ikkk i

    N

    ik ik kk i

    N

    1 1

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    DCAMAC 12

    Modelo Lineal Entonces el Modelo DC en forma matricial ser:

    'BPP = Es el vector de inyecciones netas de potencia

    activa nodales= Es el vector de ngulos nodalesB Es una matriz que depende de las

    caractersticas fsicas de las lneas de

    transmisin, y sus elementos son:

    BXik ik

    ' 1

    BXii ikk

    k i

    N'

    1

    1(1.1) (1.2)

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    DCAMAC 13

    Modelo Lineal No existen prdidas, por lo que se adopta una

    barra de referencia S, la inyeccin de potenciaen esta barra esta dada por:

    P Ps iii s

    N

    1

    Las variables Psy sson retiradas del conjuntode ecuaciones del modelo DC, que se transformaen un nuevo sistema :

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    DCAMAC 14

    Modelo Lineal Finalmente, la expresin de modelo DC:

    P B' " '

    Donde:P' es el vector con dimensin N-1 de las inyecciones

    netas de potencia activa en todas las barras delsistema, excepto en la barra de referencia s.

    ' es el vector con dimensin N-1 de los ngulos detensin en todas las barras del sistema, excepto enla barra de referencia s.

    B es una matriz resultante de la exclusin de la fila ycolumna s de la matriz B.

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    DCAMAC 15

    Modelo Lineal Prdidas entre los nodos i-k

    Asumiendo:

    Luego:

    As, el total de perdidas asociadas al nodo i:

    PERD Gik ik ik 2 1 cos

    cos ik ik 1 122

    PERD Gik ik ik 2

    PERD Gi ik ik kk i

    N

    21

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    DCAMAC 16

    Modelo Lineal As el modelo DC, asume la forma siguiente:

    Donde:

    P PERD B' " '

    PERD PERDi

    1

    2

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    DCAMAC 17

    ContenidoMODELO DE LA RED DE TRANSMISIN ELCTRICAEL FLUJO DE POTENCIA OPTIMO LINEAL LA REGIN FACTIBLE DE OPERACIN ELCTRICA

    CONSTRUCCIN DE LA REGIN DE FACTIBILIDADELCTRICA

    CALCULO DEL PUNTO PTIMO DE OPERACIN

    MODELAMIENTO DEL DFICIT DE ENERGA

    ELCTRICA Y DE LAS PRDIDASDE TRANSMISIN MODELO LINEAL PARA EL DFICIT EL EFECTO DE LAS PRDIDAS DE TRANSMISIN

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    DCAMAC 18

    Flujo Optimo LinealRegin Factible de Operacin Elctrica

    Resumen del Modelo Lineal

    P B' " '

    P Ps iii s

    N

    1

    s 0

    P G Li i i

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    DCAMAC 19

    Flujo Optimo LinealRegin Factible de Operacin Elctrica

    Reemplazando en la expresin

    Pikcon Fik, se tiene:P Bik ik ik

    F Bik ik i k

    F eik ik t '

    Donde [eik] es un vector de dimensin N-1, cuyoselementos son ceros, excepto en la posicin i,donde vale Biky en posicin k, donde vale -Bik

    (2.1)

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    DCAMAC 20

    Flujo Optimo LinealRegin Factible de Operacin Elctrica

    Dadas las potencias de generacin G y lasdemandas L, los ngulos de las tensionesnodales se pueden calcular a partir de lassiguientes ecuaciones

    ' " '

    B P1

    s 0

    (2.2)

    (2.3)

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    DCAMAC 21

    Flujo Optimo LinealRegin Factible de Operacin Elctrica

    Sustituyendo 2.2 en 2.1

    En forma vectorial

    F e B Pik ik t

    ' ' '

    1

    F E B P

    " '1

    DondeF es el vector de flujos en las lneas (Se considera que Fik

    es positivo si la potencia fluye desde la barra i hasta labarra k (ik) y negativo si el flujo de potencia escontrario (ki).

    E es la matriz cuyas filas corresponden a los vectores eikt.

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    DCAMAC 22

    Flujo Optimo LinealRegin Factible de Operacin Elctrica

    Ejemplo: se suponen conocidos losvectores G y L

    P

    55

    10

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    DCAMAC 23

    Flujo Optimo LinealRegin Factible de Operacin Elctrica

    Ejemplo (cont.)La matriz B se obtiene utilizando las ecuaciones(1.1) y (1.2)

    Sea 3 la barra de referencia

    B'

    2 1 1

    1 3 2

    1 2 3

    5

    5

    2 1

    1 3

    1

    2

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    DCAMAC 24

    Flujo Optimo LinealRegin Factible de Operacin Elctrica

    Ejemplo (cont.)A partir de (2.2) y (2.3) se calculan los ngulosnodales

    1

    2

    12 1

    1 3

    5

    5 1 5

    3 1

    1 2

    5

    5

    4

    3

    3 0

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    DCAMAC 25

    Flujo Optimo LinealRegin Factible de Operacin Elctrica

    Ejemplo (cont.)Los flujos de potencia activa en las lneas estndados por:

    La inyeccin de potencia neta en la barra dereferencia corresponde a:

    F B

    12 12 1 2

    1 4 3 1

    F B13 13 1 3 1 4 0 4

    F B23 23 2 3 2 3 0 6

    10213 PPP

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    DCAMAC 26

    Flujo Optimo LinealRegin Factible de Operacin Elctrica

    Ejemplo (cont.)Resultados en forma grfica

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    DCAMAC 27

    Flujo Optimo LinealConstruccin de la Regin de Factibilidad

    Restricciones operativas Ecuaciones de balance de potencia

    Lmites mximo y mnimo de generacin en cadabarra i

    P G L

    N

    i

    iP 0

    G G G i Nimin

    i i

    max 1,...,

    G G Gmin max

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    DCAMAC 28

    Flujo Optimo LinealConstruccin de la Regin de Factibilidad

    Restricciones operativas (cont.) Lmites de flujo en cada lnea i-k

    Y en funcin de las inyecciones nodales depotencia

    F Fik ik max

    F F max

    E B P Fmax" '

    1

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    DCAMAC 29

    Flujo Optimo LinealConstruccin de la Regin de Factibilidad

    Resumiendo las condiciones:

    P G L

    Pii

    N

    0

    G G Gmin max

    max1 '" FPBE

    (3.1)

    (3.2)

    (3.3)

    (3.4)

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    DCAMAC 30

    Flujo Optimo LinealConstruccin de la Regin de Factibilidad

    Si las demandas son conocidas, se debenoptimizar las generaciones.

    Desdoblando la ecuacin (3.1)

    P G L'' '

    sss LGP

    Donde:

    G' es el vector de las generaciones nodales, excepto labarra sde referencia.L' es el vector de las cargas nodales, excepto la barra s

    de referencia.

    (3.5)

    (3.6)

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    DCAMAC 31

    Flujo Optimo LinealConstruccin de la Regin de Factibilidad

    Reemplazando (3.2), (3.3) y (3.4) en (3.5) y(3.6), se construye la regin factible

    G L

    i ii

    N

    0

    1

    G G Gmin max

    E B G E B L' Fmax" ' "

    1 1

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    DCAMAC 32

    Flujo Optimo LinealConstruccin de la Regin de Factibilidad

    Aplicando al sistemaejemplo, siendoconocidas lasdemandas:

    Dados los lmitesoperativos degeneracin:

    Y de flujo

    L

    00

    10

    G

    G

    max

    max

    1

    2

    10

    10

    F

    F

    F

    max

    max

    max

    12

    13

    23

    2

    6

    10

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    DCAMAC 33

    Flujo Optimo LinealConstruccin de la Regin de Factibilidad

    La regin factible se puede construir a partir delas restricciones:

    Balance de potencia

    Limites de generacin

    G G L1 2 3 0

    0

    0

    10

    10

    1

    2

    G

    G

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    DCAMAC 34

    Flujo Optimo LinealConstruccin de la Regin de Factibilidad

    Lmites de flujo

    o equivalente:

    1 1

    1 0

    0 2

    15

    3 1

    1 2

    0

    0

    2

    6

    10

    1

    2

    G

    G

    2 10

    2 10

    3 303 30

    2 4 50

    2 4 50

    1 2

    1 2

    1 2

    1 2

    1 2

    1 2

    G G

    G G

    G GG G

    G G

    G G

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    DCAMAC 35

    Flujo Optimo LinealClculo del Punto ptimo de Operacin

    Funcin objetivo

    Sujeto a:

    Min c Gi ii

    N

    1

    (4.1)

    G Li i

    i

    N

    01

    G G Gmin max

    E B G E B L Fmax" ' " '

    1 1

    (4.2)

    (4.3)

    (4.4)

  • 7/22/2019 Clase 5b - OPF Lineal

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    DCAMAC 36

    Flujo Optimo LinealClculo del Punto ptimo de Operacin

    Considerando el

    ejemplo anterior yasumiendo los costosde generacin c1=1 yc2=2

    Min G G1 22

    G G1 2 10

    0 10

    0 10

    1

    2

    G

    G

    5042

    5042

    303

    303

    102

    102

    21

    21

    21

    21

    21

    21

    GG

    GG

    GG

    GG

    GG

    GG

    Sujeto a:

  • 7/22/2019 Clase 5b - OPF Lineal

    37/57

    DCAMAC 37

    Flujo Optimo LinealClculo del Punto ptimo de Operacin

    Geomtricamente

  • 7/22/2019 Clase 5b - OPF Lineal

    38/57

    DCAMAC 38

    Flujo Optimo LinealClculo del Punto ptimo de Operacin

    El costos asociado en este punto de operacin es 403y la distribucin de flujos de potencia es

  • 7/22/2019 Clase 5b - OPF Lineal

    39/57

    DCAMAC 39

    ContenidoMODELO DE LA RED DE TRANSMISIN ELCTRICAEL FLUJO DE POTENCIA OPTIMO LINEAL LA REGIN FACTIBLE DE OPERACIN ELCTRICA

    CONSTRUCCIN DE LA REGIN DE FACTIBILIDADELCTRICA CALCULO DEL PUNTO PTIMO DE OPERACIN

    MODELAMIENTO DEL DFICIT DE ENERGAELCTRICA Y DE LAS PRDIDAS DE TRANSMISIN MODELO LINEAL PARA EL DFICIT EL EFECTO DE LAS PRDIDAS DE TRANSMISIN

  • 7/22/2019 Clase 5b - OPF Lineal

    40/57

    DCAMAC 40

    Modelamiento del Dficit La inclusin del dficit es una manera alternativa

    de medir el grado de infactibilidad del sistemaelctrico. Normalmente, el vector dficit es una

    variable de control adicional al problema y serepresenta como generadores ficticios en cadabarra

  • 7/22/2019 Clase 5b - OPF Lineal

    41/57

    DCAMAC 41

    Modelamiento del Dficit Este efecto solamente transforma las ecuaciones

    de balance nodal del modelo bsico del Flujoptimo Lineal

    P G L R i i i i

    P G R Li i i i

    0 R Li i

  • 7/22/2019 Clase 5b - OPF Lineal

    42/57

    DCAMAC 42

    Modelamiento del Dficit El modelo de Flujo de Potencia Lineal, ahora es

    formulado como:

    P G R L

    P B' " '

    P Ps iii s

    N

    1

    s0

  • 7/22/2019 Clase 5b - OPF Lineal

    43/57

    DCAMAC 43

    Modelamiento del Dficit la expresin de los flujos de potencia activa en la

    lneas, se transforma en:

    F E B G R L' " ' '1

    F E B G E B R E B L' " ' " ' "1 1 1

  • 7/22/2019 Clase 5b - OPF Lineal

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    DCAMAC 44

    Modelamiento del Dficit La bsqueda del punto ptimo de operacin se

    transforma en la minimizacin del costo total(costo de generacin ms el costo de falla)

    Min c G d R

    s a G R L

    G G

    G GE B G E B R E B L F

    E B G E B R E B L F

    R

    R L

    i i i ii

    N

    ii

    i iii

    min

    max

    max

    max

    1

    1 1 1

    1 1 1

    0

    0

    /

    " ' " ' " '

    " ' " ' " '

  • 7/22/2019 Clase 5b - OPF Lineal

    45/57

    DCAMAC 45

    Modelamiento del Dficit Caso de Ejemplo

  • 7/22/2019 Clase 5b - OPF Lineal

    46/57

    DCAMAC 46

    Modelamiento del Dficit Caso deEjemplo

    Min G G R s a G G R

    G

    G

    G

    G

    G G

    G G

    G G

    G G

    G G

    G G

    R

    1 2 3

    1 2 3

    1

    2

    1

    2

    1 2

    1 2

    1 2

    1 2

    1 2

    1 2

    3

    2 10

    10

    0

    0

    10

    2

    2 10

    2 10

    3 30

    3 30

    2 4 50

    2 4 50

    0 10

    /

  • 7/22/2019 Clase 5b - OPF Lineal

    47/57

    DCAMAC 47

    Modelamiento del Dficit Caso de Ejemplo

    Falla o corte de carga de 2 unidades

    Efecto de las prdidas de

  • 7/22/2019 Clase 5b - OPF Lineal

    48/57

    DCAMAC 48

    Efecto de las prdidas deTransmisin

    La inclusin de las prdidas de transmisin complica lalinealidad del problema. La representacin de las prdidases una expresin no-lineal y al incluirla en el modelo delflujo de potencia Lineal, transforma al problema en uno de

    programacin no-lineal

    PERD

    G

    G

    k kkk

    N

    Nk N kkk N

    N

    1 111

    1

    1

    1

    cos

    cos

    Efecto de las prdidas de

  • 7/22/2019 Clase 5b - OPF Lineal

    49/57

    DCAMAC 49

    Efecto de las prdidas deTransmisin

    Al incluir este vector en la ecuacin de balancede potencia se tiene

    P G PERD R Li i i i i

    Efecto de las prdidas de

  • 7/22/2019 Clase 5b - OPF Lineal

    50/57

    DCAMAC 50

    Efecto de las prdidas deTransmisin

    El modelo de Flujo de Potencia Lineal, ahora esformulado como:

    P B' " '

    P Ps iii s

    N

    1

    s0

    P G PERD R L

    Efecto de las prdidas de

  • 7/22/2019 Clase 5b - OPF Lineal

    51/57

    DCAMAC 51

    Efecto de las prdidas deTransmisin

    Definiendo PERD', un vector con dimensin N-1,como las prdidas en las barras del sistema,excepto en la barra de referencia, la expresin

    de los flujos de potencia activa en la lneas, setransforma en:

    F E B G PERD R L'

    " ' ' '1

    F E B G E B PERD E B R E B L

    " ' " ' " ' " '1 1 1 1

    Efecto de las prdidas de

  • 7/22/2019 Clase 5b - OPF Lineal

    52/57

    DCAMAC 52

    Efecto de las prdidas deTransmisin

    Este nuevo modelo de optimizacin contiene tresvectores de variables de control: G, R y el vector ,es decir, uno ms de los utilizados en los modelosanteriores. Matemticamente, el nuevo modelo es:

    Min c G d R

    s a G PERD R L

    G G

    G G

    E B G E B PERD E B R E B L F

    E B G E B PERD E B R E B L F

    R

    R L

    i i i i

    i

    N

    i

    i

    i

    i

    i i

    ii

    min

    max

    max

    max

    1

    1 1 1 1

    1 1 1 1

    0

    0

    /

    " ' " ' " ' " '

    " ' " ' " ' " '

    Efecto de las prdidas de

  • 7/22/2019 Clase 5b - OPF Lineal

    53/57

    DCAMAC 53

    Efecto de las prdidas deTransmisin

    lo ideal sera expresar las prdidas en funcin de lasvariables de generacin G y de falla R. En estesentido, siendo que las prdidas dependen de , y estaa su vez dependen de P, entonces, es posible expresarlas prdidas en funcin de P

    ' " ' '

    B G R L'1

    ' " ' " ' "

    B G B R B L'1 1 1

    s0

    Efecto de las prdidas de

  • 7/22/2019 Clase 5b - OPF Lineal

    54/57

    DCAMAC 54

    Efecto de las prdidas deTransmisin

    Luego, es posible expresar el vector PERD en funcinde los vectores G y R, variables iniciales del problema.Cada elemento del nuevo vector, denominado PERD,estara representado por:

    PERD G B G R L B G R Li ik i kk

    k i

    N

    " cos " ' ' ' " ' ' '

    1 1 11

    Efecto de las prdidas de

  • 7/22/2019 Clase 5b - OPF Lineal

    55/57

    DCAMAC 55

    Efecto de las prdidas deTransmisin

    las prdidas se representan de forma explcitaen el modelo matemtico

    Min c G d R

    s a G PERD R L

    G G

    G G

    E B G E B PERD E B R E B L F

    E B G E B PERD E B R E B L F

    R

    R L

    i i i ii

    N

    ii

    ii

    i iii

    min

    max

    max

    max

    1

    1 1 1 1

    1 1 1 1

    0

    0

    /

    " ' " " " ' " '

    " ' " " " ' " '

    Efecto de las prdidas de

  • 7/22/2019 Clase 5b - OPF Lineal

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    DCAMAC 56

    Efecto de las prdidas deTransmisin

    Min G G R s a

    G G R G G G G G G

    G G G G G G

    G

    G

    G

    G

    G G G G

    1 2 3

    1 2 3 1 2 1 2 1 2

    1 2 1 2 1 2

    1

    2

    1

    2

    1 2 1 2

    2 10

    102

    5

    1

    510

    3

    5

    1

    510

    2

    5

    1

    5

    201

    5

    2

    510

    3

    5

    1

    520

    1

    5

    2

    590

    0

    0

    10

    2

    2 202

    5

    1

    520

    3

    /

    cos cos cos

    cos cos cos

    cos cos5

    1

    510

    2

    5

    1

    520

    1

    5

    2

    520

    2 202

    5

    1

    520

    3

    5

    1

    510

    2

    5

    1

    520

    1

    5

    2

    520

    3 302

    5

    1

    530

    3

    5

    1

    510

    1 2 1 2 1 2

    1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

    1 2 1 2 1 2

    G G G G G G

    G G G G G G G G G G

    G G G G G G

    cos cos

    cos cos cos cos

    cos cos cos cos

    cos cos cos cos

    cos cos cos

    2

    5

    1

    520

    1

    5

    2

    5120

    3 302

    5

    1

    530

    3

    5

    1

    510

    2

    5

    1

    520

    1

    5

    2

    5120

    2 4 202

    5

    1

    520

    3

    5

    1

    540

    2

    5

    1

    5

    1 2 1 2

    1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

    1 2 1 2 1 2 1 2

    G G G G

    G G G G G G G G G G

    G G G G G G G G

    801

    5

    2

    5210

    2 4 202

    5

    1

    520

    3

    5

    1

    540

    2

    5

    1

    580

    1

    5

    2

    5210

    0 10

    1 2

    1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

    3

    cos

    cos cos cos cos

    G G

    G G G G G G G G G G

    R

    Efecto de las prdidas de

  • 7/22/2019 Clase 5b - OPF Lineal

    57/57

    Efecto de las prdidas deTransmisin

    Otro tratamiento para las prdidas (ModeloPERSEO)

    1. Resolver el problema sin considerar perdidas2. Con los flujos resultantes de 1), calcular las prdidas

    de transmisin

    3. Resolver el problema de optimizacin incluyendo lasprdidas de transmisin como demandasadicionales. La mitad en cada extremo de la lnea.Volver al paso 2).