Clase 5b - OPF Lineal
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7/22/2019 Clase 5b - OPF Lineal
1/57
Daniel Cmac
Universidad Nacional Pedro Ruiz GalloFacultad de Ingeniera Mecnica - Elctrica
Escuela de PostgradoMencin Energa
5bEl Flujo de Potencia ptimo Lineal
-
7/22/2019 Clase 5b - OPF Lineal
2/57
DCAMAC 2
ContenidoMODELO DE LA RED DE TRANSMISIN ELCTRICAEL FLUJO DE POTENCIA OPTIMO Lineal LA REGIN FACTIBLE DE OPERACIN ELCTRICA CONSTRUCCIN DE LA REGIN DE FACTIBILIDAD
ELCTRICA CALCULO DEL PUNTO PTIMO DE OPERACIN
MODELAMIENTO DEL DFICIT DE ENERGA
ELCTRICA Y DE LAS PRDIDAS DE TRANSMISIN MODELO LINEAL PARA EL DFICIT EL EFECTO DE LAS PRDIDAS DE TRANSMISIN
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7/22/2019 Clase 5b - OPF Lineal
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DCAMAC 3
ContenidoMODELO DE LA RED DE TRANSMISIN ELCTRICAEL FLUJO DE POTENCIA OPTIMO Lineal LA REGIN FACTIBLE DE OPERACIN ELCTRICA
CONSTRUCCIN DE LA REGIN DE FACTIBILIDADELCTRICA
CALCULO DEL PUNTO PTIMO DE OPERACIN
MODELAMIENTO DEL DFICIT DE ENERGA
ELCTRICA Y DE LAS PRDIDAS DE TRANSMISIN MODELO LINEAL PARA EL DFICIT EL EFECTO DE LAS PRDIDAS DE TRANSMISIN
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7/22/2019 Clase 5b - OPF Lineal
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DCAMAC 4
Modelo del Sistema
La magnitud de tensin nodal,Vi El ngulo de tensin nodal, i
La inyeccin de potencia activa, Pi
La inyeccin de potencia reactiva, Qi
P G Li i i
iii MHQ
-
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DCAMAC 5
Modelo de la LT
Y G jBik ik ik
-
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DCAMAC 6
Modelo No Lineal Los flujos de potencia activa Piky reactiva Qik
corresponden respectivamente a lascomponentes real e imaginaria del flujo depotencia aparente S*ik:
los cuales, explcitamente, se expresan como
S P jQik ik ik *
P G V V V G Bik ik i i k ik ik ik ik 2 cos sen
Q B B V V V G Bik ik ik i i k ik ik ik ik ' sen cos2
-
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DCAMAC 7
Modelo No Lineal Se sabe que la inyeccin neta de potencia activa
en la barra i es igual a la suma de los flujos depotencia activa de todas las lneas conectadas adicha barra. As, la expresin resultante es:
Donde Giiesta definido por
P G V V V G Bi ii i i k ik ik ik ik kk i
N
21
cos sen
G Gii ik kk i
N
1
-
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DCAMAC 8
Modelo No Lineal Con el mismo anlisis se obtiene la expresin
para la inyeccin neta de potencia reactiva:
Donde Biiesta definido por:
N
ikk
ikikikikkiiiii BsenGVVVBQ1
2
cos
B B Bii ik ik kk i
N
'1
-
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DCAMAC 9
Modelo No Lineal
Expresin para las prdidas en la lnea i-k
PERD G V V V V Gik ik i k i k ik ik 2 2
2 cos
-
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DCAMAC 10
Modelo Lineal Aproximaciones adoptadas
Las susceptancias shunt pueden ser despreciadas
V Vi k 1
cosik 1
sen ik ik
X Rik ik
GR
R Xik
ik
ik ik
2 2
0
BX
R X Xikik
ik ik ik
2 2
1
Bik' 0
-
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DCAMAC 11
Modelo Lineal Aplicando a la expresin de flujo de potencia no
lineal, resulta
La inyeccin de potencia activa en la barra esigual a los flujos que salen de ella
P Bik ik ik
P P Bi ikkk i
N
ik ik kk i
N
1 1
-
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DCAMAC 12
Modelo Lineal Entonces el Modelo DC en forma matricial ser:
'BPP = Es el vector de inyecciones netas de potencia
activa nodales= Es el vector de ngulos nodalesB Es una matriz que depende de las
caractersticas fsicas de las lneas de
transmisin, y sus elementos son:
BXik ik
' 1
BXii ikk
k i
N'
1
1(1.1) (1.2)
-
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DCAMAC 13
Modelo Lineal No existen prdidas, por lo que se adopta una
barra de referencia S, la inyeccin de potenciaen esta barra esta dada por:
P Ps iii s
N
1
Las variables Psy sson retiradas del conjuntode ecuaciones del modelo DC, que se transformaen un nuevo sistema :
-
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DCAMAC 14
Modelo Lineal Finalmente, la expresin de modelo DC:
P B' " '
Donde:P' es el vector con dimensin N-1 de las inyecciones
netas de potencia activa en todas las barras delsistema, excepto en la barra de referencia s.
' es el vector con dimensin N-1 de los ngulos detensin en todas las barras del sistema, excepto enla barra de referencia s.
B es una matriz resultante de la exclusin de la fila ycolumna s de la matriz B.
-
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DCAMAC 15
Modelo Lineal Prdidas entre los nodos i-k
Asumiendo:
Luego:
As, el total de perdidas asociadas al nodo i:
PERD Gik ik ik 2 1 cos
cos ik ik 1 122
PERD Gik ik ik 2
PERD Gi ik ik kk i
N
21
-
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DCAMAC 16
Modelo Lineal As el modelo DC, asume la forma siguiente:
Donde:
P PERD B' " '
PERD PERDi
1
2
-
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DCAMAC 17
ContenidoMODELO DE LA RED DE TRANSMISIN ELCTRICAEL FLUJO DE POTENCIA OPTIMO LINEAL LA REGIN FACTIBLE DE OPERACIN ELCTRICA
CONSTRUCCIN DE LA REGIN DE FACTIBILIDADELCTRICA
CALCULO DEL PUNTO PTIMO DE OPERACIN
MODELAMIENTO DEL DFICIT DE ENERGA
ELCTRICA Y DE LAS PRDIDASDE TRANSMISIN MODELO LINEAL PARA EL DFICIT EL EFECTO DE LAS PRDIDAS DE TRANSMISIN
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7/22/2019 Clase 5b - OPF Lineal
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DCAMAC 18
Flujo Optimo LinealRegin Factible de Operacin Elctrica
Resumen del Modelo Lineal
P B' " '
P Ps iii s
N
1
s 0
P G Li i i
-
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DCAMAC 19
Flujo Optimo LinealRegin Factible de Operacin Elctrica
Reemplazando en la expresin
Pikcon Fik, se tiene:P Bik ik ik
F Bik ik i k
F eik ik t '
Donde [eik] es un vector de dimensin N-1, cuyoselementos son ceros, excepto en la posicin i,donde vale Biky en posicin k, donde vale -Bik
(2.1)
-
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DCAMAC 20
Flujo Optimo LinealRegin Factible de Operacin Elctrica
Dadas las potencias de generacin G y lasdemandas L, los ngulos de las tensionesnodales se pueden calcular a partir de lassiguientes ecuaciones
' " '
B P1
s 0
(2.2)
(2.3)
-
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DCAMAC 21
Flujo Optimo LinealRegin Factible de Operacin Elctrica
Sustituyendo 2.2 en 2.1
En forma vectorial
F e B Pik ik t
' ' '
1
F E B P
" '1
DondeF es el vector de flujos en las lneas (Se considera que Fik
es positivo si la potencia fluye desde la barra i hasta labarra k (ik) y negativo si el flujo de potencia escontrario (ki).
E es la matriz cuyas filas corresponden a los vectores eikt.
-
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DCAMAC 22
Flujo Optimo LinealRegin Factible de Operacin Elctrica
Ejemplo: se suponen conocidos losvectores G y L
P
55
10
-
7/22/2019 Clase 5b - OPF Lineal
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DCAMAC 23
Flujo Optimo LinealRegin Factible de Operacin Elctrica
Ejemplo (cont.)La matriz B se obtiene utilizando las ecuaciones(1.1) y (1.2)
Sea 3 la barra de referencia
B'
2 1 1
1 3 2
1 2 3
5
5
2 1
1 3
1
2
-
7/22/2019 Clase 5b - OPF Lineal
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DCAMAC 24
Flujo Optimo LinealRegin Factible de Operacin Elctrica
Ejemplo (cont.)A partir de (2.2) y (2.3) se calculan los ngulosnodales
1
2
12 1
1 3
5
5 1 5
3 1
1 2
5
5
4
3
3 0
-
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DCAMAC 25
Flujo Optimo LinealRegin Factible de Operacin Elctrica
Ejemplo (cont.)Los flujos de potencia activa en las lneas estndados por:
La inyeccin de potencia neta en la barra dereferencia corresponde a:
F B
12 12 1 2
1 4 3 1
F B13 13 1 3 1 4 0 4
F B23 23 2 3 2 3 0 6
10213 PPP
-
7/22/2019 Clase 5b - OPF Lineal
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DCAMAC 26
Flujo Optimo LinealRegin Factible de Operacin Elctrica
Ejemplo (cont.)Resultados en forma grfica
-
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DCAMAC 27
Flujo Optimo LinealConstruccin de la Regin de Factibilidad
Restricciones operativas Ecuaciones de balance de potencia
Lmites mximo y mnimo de generacin en cadabarra i
P G L
N
i
iP 0
G G G i Nimin
i i
max 1,...,
G G Gmin max
-
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DCAMAC 28
Flujo Optimo LinealConstruccin de la Regin de Factibilidad
Restricciones operativas (cont.) Lmites de flujo en cada lnea i-k
Y en funcin de las inyecciones nodales depotencia
F Fik ik max
F F max
E B P Fmax" '
1
-
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DCAMAC 29
Flujo Optimo LinealConstruccin de la Regin de Factibilidad
Resumiendo las condiciones:
P G L
Pii
N
0
G G Gmin max
max1 '" FPBE
(3.1)
(3.2)
(3.3)
(3.4)
-
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DCAMAC 30
Flujo Optimo LinealConstruccin de la Regin de Factibilidad
Si las demandas son conocidas, se debenoptimizar las generaciones.
Desdoblando la ecuacin (3.1)
P G L'' '
sss LGP
Donde:
G' es el vector de las generaciones nodales, excepto labarra sde referencia.L' es el vector de las cargas nodales, excepto la barra s
de referencia.
(3.5)
(3.6)
-
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DCAMAC 31
Flujo Optimo LinealConstruccin de la Regin de Factibilidad
Reemplazando (3.2), (3.3) y (3.4) en (3.5) y(3.6), se construye la regin factible
G L
i ii
N
0
1
G G Gmin max
E B G E B L' Fmax" ' "
1 1
-
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DCAMAC 32
Flujo Optimo LinealConstruccin de la Regin de Factibilidad
Aplicando al sistemaejemplo, siendoconocidas lasdemandas:
Dados los lmitesoperativos degeneracin:
Y de flujo
L
00
10
G
G
max
max
1
2
10
10
F
F
F
max
max
max
12
13
23
2
6
10
-
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DCAMAC 33
Flujo Optimo LinealConstruccin de la Regin de Factibilidad
La regin factible se puede construir a partir delas restricciones:
Balance de potencia
Limites de generacin
G G L1 2 3 0
0
0
10
10
1
2
G
G
-
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DCAMAC 34
Flujo Optimo LinealConstruccin de la Regin de Factibilidad
Lmites de flujo
o equivalente:
1 1
1 0
0 2
15
3 1
1 2
0
0
2
6
10
1
2
G
G
2 10
2 10
3 303 30
2 4 50
2 4 50
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
G G
G G
G GG G
G G
G G
-
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DCAMAC 35
Flujo Optimo LinealClculo del Punto ptimo de Operacin
Funcin objetivo
Sujeto a:
Min c Gi ii
N
1
(4.1)
G Li i
i
N
01
G G Gmin max
E B G E B L Fmax" ' " '
1 1
(4.2)
(4.3)
(4.4)
-
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DCAMAC 36
Flujo Optimo LinealClculo del Punto ptimo de Operacin
Considerando el
ejemplo anterior yasumiendo los costosde generacin c1=1 yc2=2
Min G G1 22
G G1 2 10
0 10
0 10
1
2
G
G
5042
5042
303
303
102
102
21
21
21
21
21
21
GG
GG
GG
GG
GG
GG
Sujeto a:
-
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DCAMAC 37
Flujo Optimo LinealClculo del Punto ptimo de Operacin
Geomtricamente
-
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38/57
DCAMAC 38
Flujo Optimo LinealClculo del Punto ptimo de Operacin
El costos asociado en este punto de operacin es 403y la distribucin de flujos de potencia es
-
7/22/2019 Clase 5b - OPF Lineal
39/57
DCAMAC 39
ContenidoMODELO DE LA RED DE TRANSMISIN ELCTRICAEL FLUJO DE POTENCIA OPTIMO LINEAL LA REGIN FACTIBLE DE OPERACIN ELCTRICA
CONSTRUCCIN DE LA REGIN DE FACTIBILIDADELCTRICA CALCULO DEL PUNTO PTIMO DE OPERACIN
MODELAMIENTO DEL DFICIT DE ENERGAELCTRICA Y DE LAS PRDIDAS DE TRANSMISIN MODELO LINEAL PARA EL DFICIT EL EFECTO DE LAS PRDIDAS DE TRANSMISIN
-
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40/57
DCAMAC 40
Modelamiento del Dficit La inclusin del dficit es una manera alternativa
de medir el grado de infactibilidad del sistemaelctrico. Normalmente, el vector dficit es una
variable de control adicional al problema y serepresenta como generadores ficticios en cadabarra
-
7/22/2019 Clase 5b - OPF Lineal
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DCAMAC 41
Modelamiento del Dficit Este efecto solamente transforma las ecuaciones
de balance nodal del modelo bsico del Flujoptimo Lineal
P G L R i i i i
P G R Li i i i
0 R Li i
-
7/22/2019 Clase 5b - OPF Lineal
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DCAMAC 42
Modelamiento del Dficit El modelo de Flujo de Potencia Lineal, ahora es
formulado como:
P G R L
P B' " '
P Ps iii s
N
1
s0
-
7/22/2019 Clase 5b - OPF Lineal
43/57
DCAMAC 43
Modelamiento del Dficit la expresin de los flujos de potencia activa en la
lneas, se transforma en:
F E B G R L' " ' '1
F E B G E B R E B L' " ' " ' "1 1 1
-
7/22/2019 Clase 5b - OPF Lineal
44/57
DCAMAC 44
Modelamiento del Dficit La bsqueda del punto ptimo de operacin se
transforma en la minimizacin del costo total(costo de generacin ms el costo de falla)
Min c G d R
s a G R L
G G
G GE B G E B R E B L F
E B G E B R E B L F
R
R L
i i i ii
N
ii
i iii
min
max
max
max
1
1 1 1
1 1 1
0
0
/
" ' " ' " '
" ' " ' " '
-
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45/57
DCAMAC 45
Modelamiento del Dficit Caso de Ejemplo
-
7/22/2019 Clase 5b - OPF Lineal
46/57
DCAMAC 46
Modelamiento del Dficit Caso deEjemplo
Min G G R s a G G R
G
G
G
G
G G
G G
G G
G G
G G
G G
R
1 2 3
1 2 3
1
2
1
2
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
3
2 10
10
0
0
10
2
2 10
2 10
3 30
3 30
2 4 50
2 4 50
0 10
/
-
7/22/2019 Clase 5b - OPF Lineal
47/57
DCAMAC 47
Modelamiento del Dficit Caso de Ejemplo
Falla o corte de carga de 2 unidades
Efecto de las prdidas de
-
7/22/2019 Clase 5b - OPF Lineal
48/57
DCAMAC 48
Efecto de las prdidas deTransmisin
La inclusin de las prdidas de transmisin complica lalinealidad del problema. La representacin de las prdidases una expresin no-lineal y al incluirla en el modelo delflujo de potencia Lineal, transforma al problema en uno de
programacin no-lineal
PERD
G
G
k kkk
N
Nk N kkk N
N
1 111
1
1
1
cos
cos
Efecto de las prdidas de
-
7/22/2019 Clase 5b - OPF Lineal
49/57
DCAMAC 49
Efecto de las prdidas deTransmisin
Al incluir este vector en la ecuacin de balancede potencia se tiene
P G PERD R Li i i i i
Efecto de las prdidas de
-
7/22/2019 Clase 5b - OPF Lineal
50/57
DCAMAC 50
Efecto de las prdidas deTransmisin
El modelo de Flujo de Potencia Lineal, ahora esformulado como:
P B' " '
P Ps iii s
N
1
s0
P G PERD R L
Efecto de las prdidas de
-
7/22/2019 Clase 5b - OPF Lineal
51/57
DCAMAC 51
Efecto de las prdidas deTransmisin
Definiendo PERD', un vector con dimensin N-1,como las prdidas en las barras del sistema,excepto en la barra de referencia, la expresin
de los flujos de potencia activa en la lneas, setransforma en:
F E B G PERD R L'
" ' ' '1
F E B G E B PERD E B R E B L
" ' " ' " ' " '1 1 1 1
Efecto de las prdidas de
-
7/22/2019 Clase 5b - OPF Lineal
52/57
DCAMAC 52
Efecto de las prdidas deTransmisin
Este nuevo modelo de optimizacin contiene tresvectores de variables de control: G, R y el vector ,es decir, uno ms de los utilizados en los modelosanteriores. Matemticamente, el nuevo modelo es:
Min c G d R
s a G PERD R L
G G
G G
E B G E B PERD E B R E B L F
E B G E B PERD E B R E B L F
R
R L
i i i i
i
N
i
i
i
i
i i
ii
min
max
max
max
1
1 1 1 1
1 1 1 1
0
0
/
" ' " ' " ' " '
" ' " ' " ' " '
Efecto de las prdidas de
-
7/22/2019 Clase 5b - OPF Lineal
53/57
DCAMAC 53
Efecto de las prdidas deTransmisin
lo ideal sera expresar las prdidas en funcin de lasvariables de generacin G y de falla R. En estesentido, siendo que las prdidas dependen de , y estaa su vez dependen de P, entonces, es posible expresarlas prdidas en funcin de P
' " ' '
B G R L'1
' " ' " ' "
B G B R B L'1 1 1
s0
Efecto de las prdidas de
-
7/22/2019 Clase 5b - OPF Lineal
54/57
DCAMAC 54
Efecto de las prdidas deTransmisin
Luego, es posible expresar el vector PERD en funcinde los vectores G y R, variables iniciales del problema.Cada elemento del nuevo vector, denominado PERD,estara representado por:
PERD G B G R L B G R Li ik i kk
k i
N
" cos " ' ' ' " ' ' '
1 1 11
Efecto de las prdidas de
-
7/22/2019 Clase 5b - OPF Lineal
55/57
DCAMAC 55
Efecto de las prdidas deTransmisin
las prdidas se representan de forma explcitaen el modelo matemtico
Min c G d R
s a G PERD R L
G G
G G
E B G E B PERD E B R E B L F
E B G E B PERD E B R E B L F
R
R L
i i i ii
N
ii
ii
i iii
min
max
max
max
1
1 1 1 1
1 1 1 1
0
0
/
" ' " " " ' " '
" ' " " " ' " '
Efecto de las prdidas de
-
7/22/2019 Clase 5b - OPF Lineal
56/57
DCAMAC 56
Efecto de las prdidas deTransmisin
Min G G R s a
G G R G G G G G G
G G G G G G
G
G
G
G
G G G G
1 2 3
1 2 3 1 2 1 2 1 2
1 2 1 2 1 2
1
2
1
2
1 2 1 2
2 10
102
5
1
510
3
5
1
510
2
5
1
5
201
5
2
510
3
5
1
520
1
5
2
590
0
0
10
2
2 202
5
1
520
3
/
cos cos cos
cos cos cos
cos cos5
1
510
2
5
1
520
1
5
2
520
2 202
5
1
520
3
5
1
510
2
5
1
520
1
5
2
520
3 302
5
1
530
3
5
1
510
1 2 1 2 1 2
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
1 2 1 2 1 2
G G G G G G
G G G G G G G G G G
G G G G G G
cos cos
cos cos cos cos
cos cos cos cos
cos cos cos cos
cos cos cos
2
5
1
520
1
5
2
5120
3 302
5
1
530
3
5
1
510
2
5
1
520
1
5
2
5120
2 4 202
5
1
520
3
5
1
540
2
5
1
5
1 2 1 2
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
1 2 1 2 1 2 1 2
G G G G
G G G G G G G G G G
G G G G G G G G
801
5
2
5210
2 4 202
5
1
520
3
5
1
540
2
5
1
580
1
5
2
5210
0 10
1 2
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
3
cos
cos cos cos cos
G G
G G G G G G G G G G
R
Efecto de las prdidas de
-
7/22/2019 Clase 5b - OPF Lineal
57/57
Efecto de las prdidas deTransmisin
Otro tratamiento para las prdidas (ModeloPERSEO)
1. Resolver el problema sin considerar perdidas2. Con los flujos resultantes de 1), calcular las prdidas
de transmisin
3. Resolver el problema de optimizacin incluyendo lasprdidas de transmisin como demandasadicionales. La mitad en cada extremo de la lnea.Volver al paso 2).