Curso: Resistencia de Materiales

Tema:

Docente: Ing. Oscar Zelada Mosquera

La resistencia de un material no es el único criterio que debe utilizarse al diseñar estructuras. Frecuentemente, la rigidez suele tener la misma o mayor importancia.

DEFORMACIÓN: Cuando se aplica una fuerza a un cuerpo, ésta tiende a cambiar la forma y tamaño del cuerpo. A esos cambios se les llama deformación y ésta puede ser visible o prácticamente inadvertida si no se emplea el equipo necesario para hacer mediciones precisas.

DEFORMACIÓN UNITARIA: Describe la deformación por cambios en la longitud de segmento de líneas y los cambios de los

ángulos entre ellos. Las mediciones de deformación unitaria se hacen en realidad por medio de experimentos. Deformación unitaria normal (): Se define como el cociente entre el alargamiento o contracción

(deformación total) “” de un segmento de línea y la longitud “L” en la que se ha producido.

ε prom=δL=L f−LL

La deformación unitaria normal en un punto, está dada por:

ε prom=dδdL

Que determina el valor de la deformación en una longitud tan pequeña (dL) que puede considerarse constante en dicha longitud. Sin embargo, en ciertas condiciones, se puede suponer que la deformación es constante y aplicar la expresión para el valor promedio. Estas condiciones son:

- El elemento sometido a la fuerza axial debe tener una sección transversal o recta constante.- El material debe ser homogéneo. - La fuerza o carga debe ser axial, es decir, producir un esfuerzo uniforme.

Si se conoce la deformación unitaria normal, podemos usar esta ecuación para obtener la longitud final aproximada de un segmento corto de línea en una determinada dirección, después que ha sido deformado.

Lf=(1+ε ). L

Si es positiva, la línea inicial se alargará, mientras que si es negativa, la línea se contraerá.

Unidades: la deformación unitaria normal es una cantidad adimensional, ya que es una relación entre dos longitudes. No obstante, cuando se habla de deformaciones se emplean unidades de metro por metro (m/m). en la práctica es frecuente encontrar deformaciones del orden de 1,0x10–3m/m o 1mm/m

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DEFORMACIÓN POR ESFUERZOS NORMALES

DIAGRAMA ESFUERZO - DEFORMACIÓN: A partir de los datos de un ensayo de tensión o

de compresión, es posible calcular valores de esfuerzo () y la correspondiente deformación unitaria () y luego graficar los resultados.

Esfuerzos límites: Límite de proporcionalidad: punto hasta el

cual, el esfuerzo es proporcional a la deformación.

Límite de elasticidad: esfuerzo más allá del cual el material no recupera totalmente su forma original al ser descargado.

Punto de fluencia: aparece un considerable alargamiento o fluencia del material sin el correspondiente aumento de carga, incluso, puede disminuir mientras dura la fluencia.

Esfuerzo último: o límite de resistencia; es la máxima ordenada de la curva esfuerzo – deformación.

Punto de ruptura: antecedido por el fenómeno de estricción.

Ley de Hooke: Módulo de Elasticidad: La mayor parte de las estructuras de ingeniería se diseñan para sufrir

deformaciones relativamente pequeñas, que involucran sólo parte recta (región elástica) del diagrama esfuerzo – deformación correspondiente. En esta porción del diagrama, el esfuerzo es directamente proporcional a la deformación :

σ= E . ε (Ley de Hooke)

Thomas Young, en 1807, introdujo la expresión matemática con una constante de proporcionalidad “E” que se llamó módulo de Young. Finalmente este nombre se sustituyó por el de módulo de elasticidad, por ejemplo para el acero: Eac=200GPa.

Deformación de elementos sometidos a carga axial:

De la ley de Hooke, tenemos: ε= σ

E

Pero para una carga (P) y área transversal (A) constante: σ= P

A yε= δ

L ; entonces, reemplazando en la ecuación anterior, tenemos:

δ= P . LA . E

Esta expresión es válida bajo las siguientes hipótesis: La carga debe ser axial. La barra debe ser homogénea y de sección constante. El esfuerzo no debe pasar el límite de proporcionalidad.

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Si la carga y el área varía en función de la posición (x) de la barra:

δ=∫0L P ( x ) . dxA( x ) . E

Si la barra está sometida a varias fuerzas axiales diferentes, o si la sección transversal o el módulo de elasticidad cambian abruptamente de una región de la barra a la siguiente, la ecuación anterior puede aplicarse a cada segmento de la barra donde esas cantidades sean todas constantes. Entonces el desplazamiento total, está dado por:

δ=∑i

Pi . LiAi . Ei

Convención de signos: Con el fin de aplicar la ecuación anterior, debe desarrollarse una convención de signos para la fuerza axial interna y el desplazamiento de un extremo de la barra con respecto al otro. Para ello, se considerará que tanto la fuerza como el desplazamiento son positivos si causan tensión y elongación, respectivamente; mientras que una fuerza y desplazamiento negativos causarán compresión y contracción, respectivamente.

Importante: Principio de Saint – Venant:

Establece que a una distancia igual o mayor que el ancho del elemento, la distribución de los esfuerzos a través de una sección dada es la misma, sea que el elemento esté cargado como en cualquiera de los dos casos mostrados.En otras palabras, excepto en la cercanía inmediata de los puntos de aplicación de las cargas, la distribución de esfuerzos puede suponerse independiente del modo de aplicación de la carga.También se puede indicar, que el principio de Saint-Venant establece que tanto la deformación localizada como el esfuerzo que se producen dentro de las regiones donde se aplica la carga o en los soportes, tienden a “equilibrarse” después de una distancia suficientemente alejada de estas regiones.

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Procedimiento de análisis: El desplazamiento relativo entre dos puntos Ay B de un elemento axialmente cargado puede determinarse aplicando las ecuaciones anteriores. Su aplicación requiere los siguientes pasos.Fuerza interna. Usar el método de las secciones para determinar la fuerza axial interna N dentro del elemento. Si esta fuerza varía en toda la longitud del elemento debido a una carga externa distribuida, debe

hacerse una sección a la distancia arbitraria x desde un extremo del elemento y la fuerza debe representarse como una función de x, es decir, P(x).

Si sobre el elemento actúan varias fuerzas externas constantes, debe determinarse la fuerza interna de cada segmento del elemento, entre cualquiera de las dos fuerzas externas.

Para cualquier segmento, una fuerza de tensión interna es positiva y una fuerza de compresión interna es negativa. Por conveniencia, los resultados de las cargas internas pueden mostrarse de manera gráfica mediante la construcción del diagrama de fuerza normal.

Desplazamiento. Cuando el área de la sección transversal del elemento varía en toda su longitud, el área debe

expresarse como una función de su posición x, es decir, A(x). Si el área de la sección transversal, el módulo de elasticidad o la carga interna cambian de manera

súbita, entonces la ecuación debe aplicarse a cada segmento para el que estas cantidades sean constantes.

Problemas de Aplicación:1) Un hilo de nailon estará sometido a una carga de tensión de 10 N. Si se sabe que E=3.2 GPa, que el

esfuerzo normal permisible es de 40 MPa y que la longitud del hilo no debe aumentar más de 1%, determine el diámetro requerido del hilo.

2) Una armadura simétrica consiste en tres barras articuladas, y está cargada por una fuerza P; el ángulo entre las barras inclinadas y la horizontal es =48º. La deformación unitaria normal en la barra de en medio se mide y resulta 0.0713. Determina el esfuerzo de tensión en las barras laterales si son de aleación de aluminio cuyo diagrama esfuerzo deformación se adjunta en la figura.

3) Los segmentos AB y CD del ensamble son barras circulares sólidas, y el segmento BC es un tubo. Si el ensamble está hecho de aluminio 6061-T6, determine el desplazamiento del extremo D con respecto al extremo A.

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4) La viga rígida horizontal ABCD está soportada por las barras verticales BE y CF, y está cargada con las fuerzas verticales P1=400kN y P2=360kN, que actúan en los puntos A y D respectivamente. Las barras BE y CF son de acero (E=200GPa) y tienen áreas transversales ABE=11100mm2 y ACF=9280mm2. Determina los desplazamientos verticales A y D de los puntos A y D respectivamente.

Miembros Estáticamente Indeterminados: Cuando una barra está fija sólo en un extremo y está sometida a una carga

axial, la ecuación de equilibrio de fuerzas es suficiente para encontrar la reacción en el soporte fijo. Estos sistemas se denominan estáticamente determinados.

Cuando una barra está fija en ambos extremos, entonces se tiene dos reacciones axiales desconocidas y ya no es posible determinar las fuerzas internas usando sólo las ecuaciones de equilibrio; en estos casos el sistema se denomina estáticamente indeterminados. Para determinar las fuerzas internas, se debe agregar ecuaciones que involucren las deformaciones obtenidas considerando la geometría del problema.

Ecuación de equilibrio:∑ F=0 FB+F A−P=0 (1)

La ecuación adicional (ecuación de compatibilidad), se obtiene de la geometría de la deformación:

δ A /B =0(soportes extremos fijos)

Considerando un comportamiento lineal elástico, se tiene que δ= P . L

A . E , entonces: FA . LACA . E

−FB . LCBA . E

= 0(2)

Resolviendo el sistema de ecuaciones (1) y (2), para A y E constantes, obtenemos los valores respectivos de FAy FB.

Deformaciones producidas por esfuerzos Térmicos: Un cambio de temperatura puede ocasionar que un material cambie sus dimensiones. Aparecen cuando no es posible evitar que las deformaciones térmicas estén total o parcialmente

impedidas Para materiales homogéneos e isotrópicos, se ha encontrado que la deformación de un miembro de

longitud L, está dado por:

δT = α . ΔT . L

Donde “” es una propiedad del material: coeficiente lineal de dilatación, que se expresa en m/m.ºC, o simplemente (ºC – 1), L es la longitud inicial y T es la variación de temperatura en ºC.

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Problemas de Aplicación:1) La varilla rígida ABC está suspendida de tres alambres del mismo

material. El área de la sección transversal en B es igual a la mitad del área de sección transversal de los alambres en A y C. Calcula la tensión en cada alambre causado por la carga P.

2) Tres barras hechas cada una de material diferente están conectadas, entre sí y situadas entre dos muros cuando la temperatura es 12ºC. Determina la fuerza ejercida sobre los soportes rígidos cuando la temperatura es 18ºC.

3) Una rejilla térmica consiste en una placa AB de aluminio 6061-T6 y en una placa CD de magnesio Am1004-T61, cada una con ancho de 15mm y empotrada en su extremo. Si la abertura entre ellas es de 1,5mm cuando la temperatura es 25ºC, determine la temperatura requerida para cerrar justamente la abertura. ¿Cuál es la fuerza axial en cada placa si la temperatura sube a 100ºC? Suponer que no ocurrirá flexión ni pandeo.

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