CURSO: INGENIERA DE MATERIALES DOCENTE: Ing. Sofa Terrones AbantoTEMA: Estructuras Cristalinas y Geometra de los CristalesINGENIERA INDUSTRIALUNIVERSIDAD NACIONAL DE TRUJILLO

Las Redes Espaciales y la Celda UnitariaSi los tomos o iones estn ordenados de acuerdo con un patrn que se repite en el espacio, forman un slido que tiene un orden de largo alcance (OLA) dando lugar a la estructura cristalina.Las propiedades de los slidos dependen de la estructura cristalina y de la fuerza de enlace.Una red imaginaria de lneas, con los tomos en las intersecciones de las lneas, que representan la disposicin de los tomos se llama, red espacial.

Celda UnitariaRed Espacial La celda unitaria es ese bloque de tomos que se repite para formar la red espacial.

3-2 Los materiales arreglados enorden de corto alcance son llamadosmateriales amorfos

Sistemas Cristalinos y Redes de Bravais Solo siete tipos diferentes de celdas unitarias son necesarias para crear todas las redes puntuales.

De acuerdo a Bravais (1811-1863) catorce celdas unitarias estndar pueden describir todas las redes posibles.

Existen cuatro tipos bsicos de celdas unitarias: Simple Centrada en el cuerpo Centrada en las caras Centrada en las bases 3-3

Tipos de Celdas Unitarias Celda Unitaria Cbica a = b = c = = = 900

Tetragonal a =b c = = = 900

SimpleCentrada en el cuerpoCentrada en las carasSimpleCentrada en el cuerpo3-4Segn W.G. Moffatt, G.W. Pearsall, & J. Wulff, The Structure and Properties of Materials, vol. I: Structure, Wiley, 1964, p.47.)Figura 3.2

Tipos de Celdas Unitarias (Cont..) Ortormbica a b c = = = 900

Rombohedral a =b = c = = 900SimpleCentrada en las basesCentrada en las carasCentrada en el cuerpoSimple3-5Segn W.G. Moffatt, G.W. Pearsall, & J. Wulff, The Structure and Properties of Materials, vol. I: Structure, Wiley, 1964, p.47.)Figura 3.2

Tipos de Celdas Unitarias (Cont..) Hexagonal a b c = = = 900

Monoclnica a b c = = = 900

Triclnica a b c = = = 900

SimpleSimpleSimpleCentrada en las bases3-6Segn W.G. Moffatt, G.W. Pearsall, & J. Wulff, The Structure and Properties of Materials, vol. I: Structure, Wiley, 1964, p.47.)Figura 3.2

Principales Estructuras Cristalinas Metlicas La mayora de los metales puros (aproximadamente 90%) cristalizan al solidificar en tres estructuras cristalinas: Cbica Centrada en el Cuerpo (BCC), Cbica Centrada en las Caras (FCC) y Hexagonal Compacta (HCP). HCP es una modificacin ms densa de la estructura cristalina hexagonal simple.

Estructura BCCEstructura FCCEstructura HCP3-7Figura 3.3

Estructura cristalina Cbica Centrada en el Cuerpo (BCC)Representado como un tomo en cada esquina del cubo y uno en el centro del cubo. Cada tomo tiene 8 vecinos ms cercanos.Por lo tanto, su nmero de coordinacin es 8. Ejemplos :- Cromo (a=0.289 nm) Hierro (a=0.287 nm) Sodio (a=0.429 nm)3-8Figura 3.4 a y b

Estructura Cristalina BCC (Cont..)Cada celda unitaria tiene ocho 1/8 tomo en los vrtices y un tomo entero en el centro.Por tanto cada celda unitaria tiene

Los tomos contactan uno a otro en la diagonal del cubo (8x1/8 ) + 1 = 2 tomos Por lo tanto, la constante de red a =3-9Figura 3.5

Factor de empaquetamiento atmico de la estructura BCC Factor de empaquetamiento atmico = Vol. que ocupan los tomos en c.u.Volumen de la celda unitariaVtomos = = 8.373R3= 12.32 R3Por lo tanto, FEA = 8.723 R312.32 R3= 0.68Vcelda unitaria = a3 = 3-10

Estructrura cristalina cbica centrada en las caras (FCC)La estructura FCC se representa con un tomo en cada vrtice del cubo y uno en el centro de cada cara del cubo. El nmero de coordinacin para la estructura FCC es 12. El factor de empaquetamiento atmico es 0.74 Ejemplos :- Aluminio (a = 0.405) Oro (a = 0.408)3-11Figura 3.6 a y b

Estructura cristalina FCC (Cont..)Cada celda unitatria tiene ocho 1/8 tomo en los vrtices y seis tomos en el centro de las seis caras.Por lo tanto cada celda unitaria tiene

Los tomos contactan uno a otro a travs de la diagonal de la cara del cubo.

(8 x 1/8)+ (6 x ) = 4 tomosPor tanto, la constantede red a =3-12Figura 3.7

Estructura Hexagonal CompactaLa estructura HCP se representa como un tomo en cada uno de los 12 vrtices de un prisma hexagonal, 2 tomos en la cara superior e inferior y 3 tomos en medio de la cara superior e inferior.Los tomos logran FEA ms altos por la consecusin de la estructura HCP que con la estructura hexagonal simple. El nmero de coordinacin es 12, FEA = 0.74.3-13Segn F.M. Miller, Chemistry: Structure and Dynamics, McGraw-Hill, 1984, p.296Figura 3.8 a y b

Estructura cristalina HCPCada tomo tiene seis 1/6 tomos en cada una de las capas superior e inferior, dos mitades de tomos en la capa superior e inferior y 3 tomos completos en la capa media. Por tanto cada celda unitaria HCP tiene

Ejemplos:- Zinc (a = 0.2665 nm, c/a = 1.85) Cobalto (a = 0.2507 nm, c.a = 1.62)

La relacin c/a ideal es 1.633.(2 x 6 x 1/6) + (2 x ) + 3 = 6 tomos3-14Segn F.M. Miller, Chemistry: Structure and Dynamics, McGraw-Hill, 1984, p.296Figura 3.8 c

Posiciones del tomo en Celdas unitarias Cbicas

Posiciones del tomo en Celdas Unitarias Cbicas El sistema de coordenadas cartesianas se usa para localizar tomos. En una celda unitaria cbica El eje y es la direccin a la derecha. El eje x es la direccin saliendo del papel. El eje z es la direccin hacia la parte superior. Las direcciones negativas son lo opuesto de las direcciones positivas.

Las posiciones de los tomos son localizadas usando distancias unitarias a lo largo de los ejes.3-15Figura 3.10 b

Direcciones en Celdas Unitarias Cbicas Para los cristales cbicos los ndices de las Direcciones son los componentes del vector de direccin descompuesto sobre cada eje de coordenada y reducidos a mnimos enteros. Los ndices de direccin son coordenadas de posicin de la celda unitaria donde el vector de direccin emerge a la superficie de la celda, despus de convertirlas en enteros.

3-16Figure 3.11

Procediminento para encontrar ndices de Direccin (0,0,0)(1,1/2,1)zProducir el vector de direccin hasta que emerga a la superficie de la celda cbicaDeterminar las coordenadas del puntode la emergencia y el origenSustraer las coordenadas del punto de emergencia por aquel del origin(1,1/2,1) - (0,0,0) = (1,1/2,1)Todos son enteros?Convertirlos a los enteros ms pequeos posibles multiplicando por un entero.2 x (1,1/2,1) = (2,1,2)Alguno de los vectores de direccin son negativos?Representar los ndices entrecorchetes sin comas con un sobre los ndices neg. (Ejm: [121])Representar los ndices entre corchetes sin comas (Ejm.: [212] )Los ndices de direccin son [212]xySINOSINO3-17

ndices de Direccin - Ejemplo Determine los ndices de direccin del vector dado. Las coordenadas del origen son (3/4 , 0 , 1/4). Las coordenadas de emergencia son (1/4, 1/2, 1/2). Sustraer las coordenadas del origen de las coordenadas de emergencia, (3/4 , 0 , 1/4) - (1/4, 1/2, 1/2) = (-1/2, 1/2, 1/4) Multiplicar por 4 para convertir todas las fracciones a enteros 4 x (-1/2, 1/2, 1/4) = (-2, 2, 1) Por lo tanto, los ndices de direccin son [ 2 2 1 ] 3-18Figura EP3.6

ndices de MillerLos ndices de Miller son usados para referir a planos reticulares especficos de tomos.

Ellos son los recprocos de las fracciones de intercepcin (con fracciones simplificadas) que el plano presenta con los ejes cristalogrficos x, y y z de las tres aristas no paralelas de la celda unitaria cbica.zxyndices de Miller =(111)3-19

ndices de Miller - ProcedimientoElegir un plano que no pase a travs del origenDeterminar los interceptos x,y y z del plano Encontrar los recprocos de los interceptosFracciones?Elimina las fracciones multiplicando por un entero para determinar el conjunto ms pequeos de nm. enterosEncierre entre parntesis (hkl) donde h,k,l son ndices de Miller del plano cristalino cbico para los ejes x,y y z. Ejm.: (111)Coloque una barra sobre los ndices Negativos3-20

ndices de Miller - Ejemplos Los interceptos del plano en los ejes x,y & z son 1, e Tomando los recprocos obtenemos (1,0,0). Los ndices de Miller son (100). ******************* Los interceptos son 1/3, 2/3 & 1. Tomando los recprocos obtenemos (3, 3/2, 1). Multiplicando por 2 para eliminar fracciones, obtenemos (6,3,2). Los ndices de Miller son (632).

xxyz(100)3-21Figura 3.14

ndices de Miller - Ejemplos Plotear el plano (101) Tomando los recprocos de los ndices obtenemos (1 1). Los interceptos del plano son x=1, y= (paralelo a y) y z=1.****************************** Plotear el plano (2 2 1) Tomando los recprocos de los ndices obtenemos (1/2 1/2 1). Los interceptos del plano son x=1/2, y= 1/2 y z=1.

3-22Figura EP3.7 aFigura EP3.7 c

Miller Indices - ExamplePlotear el plano (110) Los recprocos son (1,-1, ) Los interceptos son x=1, y=-1 y z= (paralelo al eje z) Para mostrar este plano en una celda unitaria simple, el origen se mueve a lo largo de la direccin positiva del eje y en 1 unidad. xyz(110)3-23

ndices de Miller Relacin Importante Los ndices de direccin de una direccin perpendicular a un plano cristalino son los mismos como los ndices de Miller del plano. Ejemplo:-

La distancia interplanar entre los planos paralelos ms cercanos con los mismos ndices de Miller est dado por [110](110)xyz3-24Figura EP3.7b

Planos y Direcciones en Celdas Unitarias HexagonalesCuatro ndices son usados (hkil) conocidos como ndices de Miller-Bravais. Cuatro ejes son usados (a1, a2, a3 y c).El recproco de las intercepciones que un plano cristalino hace con los ejes a1, a2, a3 y c dan los ndices h,k,i y l respectivamente.3-25Figura 3.16

Celda Unitaria Hexagonal - Ejemplos Planos Basales:- Interceptos a1 = a2 = a3 = c = 1 (hkli) = (0001) Planos Prismticos:- Para el plano ABCD, Interceptos a1 = 1 a2 = a3 = -1 c = (hkli) = (1010)

3-26Figura 3.12 a y b

Direcciones en las Celdas Unitarias HCP Indicados por 4 ndices [uvtw]. u,v,t y w son vectores de la red en las direcciones a1, a2, a3 y c respectivamente. Ejemplo:- Para las direcciones a1, a2, a3, los ndices de direccin son [ 2 1 1 0], [1 2 1 0] y [ 1 1 2 0] respectivamente. 3-27Figura 3.18 d

Comparacin de los cristales FCC y HCPAmbos FCC y HCP son compactos y tienen FEA 0.74.Los cristales FCC estn empaquetados en el plano (111) mientras que los cristales HCP estn empaquetados en el plano (0001).

3-28Segn W.G. Moffatt, G.W. Pearsall, & J. Wulff, The Structure and Properties of Materials, vol. I: Structure, Wiley, 1964, p.51.)Figura 3.19 a y b

Diferencia estructural entre HCP y FCCConsiderar una capade tomos (Plano A)Otra capa de tomos (plano B) se situa en los huecos a del plano ALa tercera capa de tomos situados en los huecos b del plano B. (Idntico al plano A.) cristal HCP.Plano Ahueco ahueco bPlano APlano Bhueco ahueco bPlano APlano BPlano A3-29

Densidad Volumtrica Densidad vol. del metal =

Ejemplo:- El cobre (FCC) tiene una masa atmica de 63.54 g/mol y un radio atmico de 0.1278 nm. Masa/Celda UnitariaVolumen/Celda Unitaria=a=== 0.361 nm Volumen de la celda unitaria = V= a3 = (0.361nm)3 = 4.7 x 10-29 m3La celda unitaria FCC tiene 4 tomos.Masa de la c.u. = m == 4.22 x 10-28 Mg3-30

Densidad Atmica Planar Densidad atmica planar =

Ejemplo:- En el hierro (BCC, a=0.287), el plano (110) intersecta el centro de 5 tomos (Cuatro y 1 tomo completo). El nmero equivalente de tomos = (4 x ) + 1 = 2 tomos

rea del plano 110 =

=N equivalente de tomos cuyos centrosson interceptados por el rea seleccionadarea seleccionada=3-31Figura 3.22 a y b

Densidad Atmica Lineal

Densidad atmica lineal =

Ejemplo:- Para un cristal de cobre FCC (a=0.361), la direccin [110] intersecta 2 mitades de dimetro y dimetro completo. Por lo tanto, este intercepta + + 1 = 2 dimetros atmicos. Longitud de la lnea =

=N de dimetros atmicos intercep-tados por la longitud seleccionada de lnea en la direccin de intersLongitud seleccionada de lnea3-32Figura 3.23

Polimorfismo o Alotropa Los metales existen en ms de una forma cristalina. Esto es llamado polimorfismo o alotropa. La temperatura y la presin conduce a cambios en las formas cristalinas.Ejemplo:- El hierro existe en ambas formas BCC y FCC dependiendo de la temperatura. -2730C9120C13940C15390CHierro BCC

Hierro FCC

Hierro BCCHierro Lquido3-33

Anlisis de Estructura Cristalina Information acerca de la estructura cristalina son obtenidos usando Rayos-X. Los rayos-X usados estn alrededor de la misma longitud de onda (0.05-0.25 nm) que la distancia entre los planos de la red cristalina.35 KV(Ej.:Molibdeno)3-34Segn B.D. Cullity, Elements of X-Ray Diffraction, 2d ed., Addison-Wesley, 1978, p.23.Figura 3.25

Espectro de Rayos-X del Molibdeno El espectro de Rayos-X del Molibdeno se obtiene cuando el Molibdeno es usado como metal blanco. K y K son caracterstica de un elemento.Para el Molibdeno K ocurre en longitud de onda de alrededor de 0.07nm. Los electrones de la capa n=1 del metal blanco son expulsados del tomo por bombardeo de electrones. Los electrones de un nivel ms altos descienden emitiendo energa para reemplazar a los electrones perdidos.3-35Figura 3.26

Difraccin de Rayos-XLos planos cristalinos del metal objetivo actan como espejos que reflejan los haces de rayos-X.Si los rayos que salen de un conjunto de planos estn fuera de fase (como en el caso de un ngulo arbitrario de incidencia) no se produce un haz reforzado.

Si los rayos que salen estn en fase, se producen haces reforzados. 3-36Segn A.G. Guy and J.J. Hren, Elements of Physical Metallurgy, 3d ed., Addison-Wesley, 1974, p.201.)Figura 3.28

Difraccin de Rayos-X (Cont..) Para rayos reflejados de planos diferentes para estar en fase, la distancia extra recorrida por un rayo debe ser un mltiplo entero de la longitud de onda .

n = MP + PN(n = 1,2)n es el orden de difraccinSi dhkl es distancia interplanar,Entonces MP = PN = dhkl.Sen Por tanto, = 2 dhkl.Sen 3-37Segn A.G. Guy and J.J. Hren, Elements of Physical Metallurgy, 3d ed., Addison-Wesley, 1974, p.201.)Figura 3.28

Materiales AmorfosLos tomos ocupan posiciones espaciales aleatorias.

Polmeros: Los enlaces secundarios no permiten la formacin de cadenas paralelas y apretadas durante la solidificacin. Los polmeros pueden ser semicristalinos.

El vidrio es un cermico hecho de tetraedros SiO4 4- con movilidad limitada.

El enfriamiento rpido de los metales (10 8 K/s) puede dar lugar a estructuras amorfas (vidrios metlicos).

Los vidrios metlicos tienen prop. metlicas superiores.

Espectro Electromagntico*

Interferencias y difraccin

InterferenciaEs una propiedad de las ondasInterferenciaconstructivaInterferenciadestructiva*

Interferencias de dos fuentesConstructivasSe refuerza el movimiento ondulatorioDestructivasSe atena el movimiento ondulatorio*

Coherencia y MonocromaticidadUna fuente monocromtica es aquella que emite luz con una nica frecuencia

Dos fuentes monocromticas se dicen coherentes cuando emiten luz con la misma frecuencia y longitud de onda. Deben tener una relacin de fase definida y constante. Luz coherenteLuz no coherente*

Superposicin de ondasPrincipio de superposicin: cuando dos ondas o ms ondas se superponen, el desplazamientos resultante es la suma de los desplazamientos individuales producidos por cada una de ellas.

Desfase inicialSumaEn faseEn oposicin*

Superposicin de ondasCuando dos ondas coinciden en el mismo punto del espacio, se suman sus efectos (dependiendo de la fase relativa).F=F1+F2*

Fenmenos de interferenciaLa interferencia se produce cuando dos ondas se superponen en un punto:Si estn en fase, pueden sumarse Interferencia constructivaSi estn en oposicin de fase pueden contrarrestarse Interferencia destructiva

Para poder producir un patrn de interferencia debe cumplirse que:Las ondas deben ser coherentes (fase relativa constante)Las ondas deben tener una nica longitud de onda/frecuencia*

Interferencias: al combinarse dos ondas hay mximos y mnimosNaturaleza ondulatoria de la luz*

Qu es difraccin?Se define la difraccin como la modulacin o redistribucin de la energa dentro de un frente de onda, al pasar por la orilla de un objeto opaco.

Es el fenmeno que hace que las ondas que estn viajando en un camino recto puedan rodear un obstculo.*

DifraccinEs una propiedad de las ondasSe observa cuando se distorsiona una onda por un obstculo cuyas dimensiones son comparables a la longitud de la mismaRendijasObstculos*

Consiste en medir las intensidades de la mayor cantidad posible de haces difractados del espectro tridimensional de difraccin, obtener de ellas los mdulos de los factores de estructura, y de sus valores, mediante algn procedimiento de asignacin de fases a cada uno de estos factores, reconstruir la distribucin electrnica en la celdilla elemental, cuyos mximos correspondern a las posiciones atmicas.La Cristalografa estructural por difraccin de rayos X

Dispositivo para obtener un patrnde difraccin de rayos X de un cristalPantallaCritalPlaca fotogrficaHaz de rayos XTubo de rayos X*

Diagramas de difraccin de (a) una molcula, (b) dos molculas, (c) cuatro molculas, (d) una lnea de molculas repetidas peridicamente, (e) dos lneas de molculas y (f) una red bidimensional peridica de molculas.

Por qu necesitamos cristales para ver difraccin?Amplificacin de la seal.(efecto de interferencia a tener en cuenta!)*

Celdas unidad en el sistema cristalino cbico

Cbica sencillaCbica centrada en el cuerpoCbica centrada en las caras*

PLANOS EN UN SLIDO CRISTALINO*

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BC + CD =2d senq= nl(Ecuacin Bragg)Reflexin de rayos X por dos planos de tomosRayos incidentesRayos difractadosd send sen q*

Ley de Braggn = 2 d(hkl) sen ef + fg = n Planos (h k l)dd(hkl)*

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DIFRACCIN EXPERIMENTAL*

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Mtodo de polvos(Powder method)

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