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La cantidad de movimiento angular Gde un cuerpo alrededor del centro demasa G puede determinarse a partir de la velocidad angular wdel cuerpo y en el

caso de movimiento tridimensional esta dado por:

Donde representan la posicin yvelocidad de la partcula Pi de masa conrespecto al sistema de referencia

Pero:

Para Hxse tiene:

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Finalmente remplazando, se tiene la

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Se puede rescribirmediante :

Denominado tensor de inerci delcuerpo en su centro de masa G.

Si se utiliza un sistema de ejes diferentes, elarreglo de momentos cambiara

Es claro, la cantidad de movimiento angular , correspondiente a unavelocidad angular dada w es independiente de la eleccin de los ejescoordenados. Adems siempre ser posible seleccionar un sistema de ejesl denominados ejes principales de inercia, con respecto a los cualestodos los productos de inercia de un cuerpo son cero, entonces el tensor deinercia toma la siguiente forma:

(*

(*)

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(*)

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SeaLel vector que representa la cantidad de movimiento lineal de las partculas

de un cuerpo rgido, fijo al centro de masa G del cuerpo y G la cantidad demovimiento angular debido a un par que acta sobre las partculas.

La cantidad de movimiento lineal L es igual al producto de su masa y lavelocidad de su centro de masa G. sin embargo la cantidad de movimientoangular G se debe obtener mediante el uso de (*) y as determinar lascomponentes de wy de los momentos y productos de inercia. Una vez que sehan determinadoLy Gde un cuerpo rgido, la cantidad de movimiento angular

o alrededor de cualquier punto O puede obtenerse sumando las cantidades demovimiento alrededor de O del vector y del par HG, y se escribe:

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Este es un caso particular del problema presentado anteriormente y aquresulta conveniente determinar la cantidad de movimiento angular o delcuerpo alrededor del punto fijo O y si bien o se puede determinar

calculando primero G como se indico antes en muchas ocasiones ser masconveniente determinar o a partir de la velocidad angular w y de losmomentos y productos de inercia con respecto a Oxyz centrado en el puntofijo O y se escribe :

Desarrollando esta ecuacin se encuentran relacionessimilares a (*), por lo que la cantidad o, esta dada por:

(*)

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La cantidad de movimiento de la partculas de un cuerpo rgido se reduce alvector de cantidad de movimiento lineal L fijo al centro de masa G del cuerpo y

a un par de cantidad de movimiento angularG

se representa grficamente larelacin fundamental.

(*)

La cantidad demovimiento de

Gse relacionancon w mediante(*)

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Considerando un cuerpo rgido de masa m enmovimiento tridimensional, entonces para la

partcula Pi con velocidad absoluta vi del cuerpo sepuede expresar la velocidad relativa vimediante eluso de la velocidad v del centro de gravedad G delcuerpo entonces :

Donde el ultimo termino representa la energa cintica T del cuerpo relativa alsistema Gxyz y como: , se tiene:

Desarrollando esta expresintenemos:

finalmente

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Y remplazando en: obtenemos:

Los resultados obtenidos permiten aplicar al movimiento tridimensional de un cuerpo

rgido el principio del trabajo y la energa y la conservacin de la energa.

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La energa cintica para este caso se expresa entrminos de sus momentos y productos de inerciarespecto a los ejes con origen en O. Recordando la

definicin de energa cintica de un sistema departculas y se sustituye se escribe:

Desarrollando esta ultima se llega a:

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