Problema de redes

I. Problema del rbol de expansin mnima

Conecta o comunica a todos los nodos de una red (longitud mnima de conexin).

Determina el conjunto de aristas de una red que conecta todos los nodos, tal que se

minimiza la suma de longitud de aristas.

Red con n nodos, un rbol de expansin es un conjunto de n-1 aristas y de longitud

mnima.

1 2

3

4

12

7

o Ciclo: (1,2)-(2,3)-(3,1)

o rbol: (1,2)-(1,3)

o rbol de expansin mnima: (1,3)-(3,2)

II. Algoritmo PRIM

U={1,2,3,,n} nodos

S= rbol expansin mnima (nodos conectados)

Primero, elegimos cualquier nodo

S={2} y U={1,3,4,,n}

Segunda, identificamos el nodo ms cercano al rbol S y se incluye en el rbol S.

Se repite el procedimiento hasta encontrar el rbol de expansin mnima.

Ejemplo:

1 2

5

2

1

2

3

4

6

3

2

4 5

4

Iteracin Conjunto de nodos

conectados

Longitud de arista Par de nodos

conectados

Inicial {5}

1 {5,2} 2 5-2

2 {5,2,1} 1 2-1

3 {5,2,1,3} 2 5-3

4 {5,2,1,3,4} 4 5-4

1 2

5

1

2

3

4

2

4

Las aristas {1,2}, {2,5}, {5,3}. {5,4} forman un rbol de expansin mnima.

III. Problema de la ruta ms corta

Hay un inicio y un destino (longitud mnima).

Sea el grafo G=(X, A)

Si Cij 0 es el costo unitario del arco Aij que va del nodo i al j

IV. Algoritmo de Dijkstra

S contiene solo el nodo origen.

En cada iteracin se agrega un nodo ms corto.

1

3 4

2 5

100

10 60

30

20

10

50

Iteracin S j D[2] D[3] D[4] D[5]

1 {1} - 10 30 100

2 {1,2} 2 - 60 30 100

3 {1,2,4} 4 - 50 - 90

4 {1,2,4,3} 3 - - - 60

5 {1,2,4,3,5} 5 - - - -

1

3 4

2 5

10

30

20

10

V. Problema de reemplazo

1 2 3 4 5 650 20 37 23 18

4080

35 33

Iteracin S j D[2] D[3] D[4] D[5] D[6]

1 {1] - 50 80

2 {1,2} 2 - 70 85

3 {1,2,3} 3 - - 85 110

4 {1,2,3,4} 4 - - - 108 118

5 {1,2,3,4,5] 5 - - - - 118

1 2 3 4 5 650 20 23

35 33

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