Forma cristalográficaGrupo de caras formadas a partir de una y a

través de elementos de simetría presentes en el cristal

¿Cuántas caras diferentes necesitamos para construir el cubo?

¿Y una pirámide equilátera?

…… más definiciones

Elementos de simetría :

Reflexión o plano de simetría (m)

Rotación (simetría rotacional):○ Eje de orden 2○ Eje de orden 3○ Eje de orden 4○ Eje de orden 6

Inversión (i)

Combinación posible de los elementos anteriores

Veamos primero 2D

Reproduce (refleja) un motivo a través de un plano de reflexión en un patrón simétrico.

2D

Reflexión o plano de simetría (m) “El espejo”

Eje de orden 2: 360°/2 a partir de un eje de simetría Eje de orden 3: 360°/3 ” ” ” ” Eje de orden 4….. Eje de orden 6….

2D

Rotación (eje de simetría) “La cuerda atada”

6

6Símbolo para eje de orden 2

180°

180°

120°

120°

120°

5

6

7

8

2DRotación (eje de simetría)

Y porqué no nos sirve un eje de orden 5??

2D Inversión (i)

Reproduce o invierte, por medio de un punto (centro), un motivo en un patrón simétrico.

¿Qué otra operación da el mismo resultado?

En 2D es equivalente a un eje de orden 2, en 3D es único

3D rotoinversión

Rotación eje 2. Plano de reflexión(m)

Sin embargo…….. Falta un plano (m)

Combinaciones en 2D

- Veamos ahora en 3D

RotaciónReflexiónRotoinversiónOrden 2, 3, 4, 6

¿¿De qué orden es la rotación??

3D Rotoinversión orden 2 Rotación eje 2. Inversión Sin embargo es

lo mismo que realizar una reflexión (m)

1

1

2

1

2

3

1

2

3

4

1

2

5

1

6

5

Ojo!! Rotación

operación congruente: la reproducción del motivo es idéntica.

Tanto reflexión(m) como inversiónoperaciones enantiomórficas: la reproducción

del motivo son a lado opuesto (como imagen en un espejo).

Ahora que sabemos un poco de simetría…. Formas cristalográficas:

Conjunto de caras generadas a partir de una cuando se hacen actuar todos los elementos de simetría.

Formas abiertas: Formas que por si solas no cierran el cristal.

Formas cerradas: Formas que por si solas cierran el cristal.

Formas simples: Formadas por una sola cara

Formas complejas: Combinación de mas de una cara

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a) Abiertas: no limitan un espacio

Pedión Pinacoide Esfenoide Domo Prisma

b) Cerradas: limitan un espacio

Cubo Octaédro

Gran variedad de formas cristalográficas

Para qué nos sirven estas operaciones??

Recordemos……………

Todos los cristales presentan simetrías definidas por la posición de sus caras lo cual permite agruparlos según sistemas.

……… A partir de las redes de Bravais se determinan 7 sistemas para clasificar las formas cristalinas en base a su simetría

Recordar!Sistemas cristalográficos definidos por vectores

Ejes cristalográficos!!

Ojo! Ejes cristalográficos se ubican desde el centro del cristal!!

Dónde se ubican los ejes cristalográficos???A qué sistema podrían pertenecer?

Sistemas cristalográficos

Sistema triclínicoElección de ejes:

Se eligen las direcciones paralelas a las intersecciones entre las caras de mayor superficie, como ejes a, b y c .

El eje más largo era el “c”, el intermedio el “a” y el mas corto el “b”.

Los ejes se cortan en el centro del cristal.

Para reconocerlos: Cristales(cxs) muy poco simétricos.

Operaciones de la identidad y la inversión, no presentan ejes de rotación ni planos de simetría.

Mineral: MicroclinaComp. Química: KAlSi3O8

Sistema: TriclínicoGrupo:Silicatos

Triclínico

Albita (NaAlSi308): Sistema Triclínico(Plagioclasa Na)

Triclínico

Sistema monoclínico Dirección del eje “b” como referencia, de

modo que coincide con el eje binario o con la normal al plano de simetría o con ambos.

Ejes a y c están situados dentro del plano perpendicular a b

Para reconocerlos

Solamente poseen un eje binario y/o un plano.

Mínimo un elemento de simetría, máximo dos.

Mineral: YesoComp. Química: CaSO4(H2O)Sistema: MonoclínicoGrupo: Sulfatos

Mineral: EpidotaComp. Química:Ca2(Fe,Al)3(SiO4)3(OH)Sistema: MonoclínicoGrupo: Silicatos

Monoclínico

Azurita Cu3(CO3)2(OH)2

Malaquita Cu2CO3(OH)2

Monoclínico

Monoclínico

Sistema ortorrómbico (rómbico)

Se puede tomar cualquier eje como c, pero en los dos restantes b>a (por lo general c>b>a)

Para reconocerlos

Poseen como mínimo tres elementos de simetría binaria (2 o m), y como máximo seis

AzufreOrtorrómbico

Mineral: Fayalita (Olivino)Comp. Química: Fe2(SiO4) Sistema: OrtorrómbicoGrupo: Silicatos

Mineral: BaritinaComp. Química: Ca(SO4) Sistema: OrtorrómbicoGrupo: Sulfatos

Ortorrómbico

Olivino (Mg,Fe)2(SiO4): Sistema RómbicoOrtorrómbico

Otros: Anglesita PbSO4 ANTLERITA Cu3(SO4)(OH)4 AZUFRE ATACAMITA BORNITA CALCOSINA ENARGITA HEMATITA

Ortorrómbico

Sistema tetragonal Eje a=b y distinto al eje c.

Para reconocerlos Presenta un solo eje

cuaternario

Ejes perpendiculares con ejes a1,a2(b) de igual tamaño. a = b g = 90o a1 = a2 ¹ c

Tetragonal =

c

aa2

Mineral: CircónComp. ZrSiO4

Sistema:TetragonalGrupo: Silicatos

Mineral: CalcopiritaComp. CuFS2

Sistema: TetragonalGrupo: Sulfuros

Tetragonal

Casiterita (SnO2): Sistema TetragonalTetragonal

Sistema trigonal-romboédrico

Se emplean cuatro ejes en lugar de tres. El eje c coincide con el eje senario, y los ejes

a1, a2 y a3 se encuentran en el plano perpendicular a c, de modo que sus lados positivos están separados por 120º, aunque el lado negativo de cada uno bisecta el ángulo que forman los otros dos.

Para reconocerlos

Presenta un eje de simetría ternaria. Son cristales con las caras frecuentemente en

forma de rombos, de trapecios o de triángulos escalenos.

2 goles!!! ¿Cuáles?

Sistema trigonal-romboédrico

Se emplean cuatro ejes en lugar de tres. El eje c coincide con el eje senario, y los ejes

a1, a2 y a3 se encuentran en el plano perpendicular a c, de modo que sus lados positivos están separados por 120º, aunque el lado negativo de cada uno bisecta el ángulo que forman los otros dos.

Para reconocerlos

Presenta un eje de simetría ternaria. Son cristales con las caras frecuentemente en

forma de rombos, de trapecios o de triángulos escalenos.

Más fácil proyectar en cuatro ejes!

50

Rhombohedral Lattice a = b = c α = β = γ ≠ 90̊

Mineral: CalcitaComp. CaCO3

Sistema: TrigonalGrupo: Carbonatos

Trigonal

Dolomita (CaMg(CO3)2): Sistema TrigonalTrigonal

Sistema hexagonal Se emplean cuatro ejes en lugar de

tres.

El eje c coincide con el eje senario, y los ejes a1, a2 y a3 se encuentran en el plano perpendicular a c, de modo que sus lados positivos están separados por 120º, aunque el lado negativo de cada uno bisecta el ángulo que forman los otros dos.

Para reconocerlos

Se caracteriza por tener en sus cristales siete planos de simetría, un eje senario y seis ejes binarios.

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Hexagonal a = b ≠ c α = γ = 90 ̊ β = 120 ̊

Mineral: BeriloComp. Be3Al2Si6O18

Sistema: HexagonalGrupo: Silicatos

Hexagonal

Apatito (Ca5[(F, OH, Cl)/(PO4)3] )

Hexagonal

COVELINA GRAFITO MOLIBDENITA

Hexagonal

Sistema Isométrico - cúbico Tres ejes intercambiables y mutuamente

perpendiculares que coinciden con ejes cuaternarios

Para reconocerlos Figuras de gran simetría Poseen cuatro eje ternarios Eje cuaternarios

Mineral: DiamanteComp. CSistema: IsométricoGrupo: Elementos nativos

Mineral: PiritaComp. FS2

Sistema: IsométricoGrupo: Sulfuros

Isométrico

Isométrico

Isométrico

Granate

COBRE CUPRITA DIAMANTE GALENA ESFALERITA HALITA MAGNETITA

Isométrico

¿Cómo podemos reconocer las simetrías de los cristales o minerales cuando son pequeños?

DRX Difracción de Rayos (XRD)

Información detallada de la estructura cristalográfica de materiales naturales y manufacturados.

Difracción

La difracción es un fenómeno característico de las ondas que consiste en la dispersión y curvado aparente de las ondas cuando encuentran un obstáculo.

Es generalmente definida como la salida del rayo del camino esperado a seguir según la reflexión y la refracción.

Difracció

n

La difracción de rayos-x en los cristales es posible debido a que la distancia que existe entre los planos atómicos de los cristales es similar a la longitud de onda de los Rayos-X (0.1 a 10 Amstrong.)

Difracción de rayos XOjo!, montones de planos paralelos

Interferencia!!

Calcopirita (Tetragonal) con Dolomita (Trigonal)

Cinabrio (Trigonal) con Cuarzo (Hexagonal)

Cuprita (Cubico), Cobre Nativo (Cubico) y Calcita (Trigonal)

Arsenopirita (Monoclinico), Calcopirita (Tetregonal) y Siderita (Trigonal)

Dioptasa: Cu6[Si6O18].6H2O y Calcita (Ambos Trigonal)

Casiterita con Scheelita: CaWO4

(Ambos Tetragonal)

¿A qué sistema pertenecen estas formas?

RecapitulandoYa sabemos:

Reconocer simetrías Agrupar formas cristalográficas

Vamos a ver Forma de describir elementos de simetría

Símbolos de Herman-Mauguin Forma de describir cada cara del cristal

Indices de Miller Forma de plasmar en un papel las figuras 3D

Elementos de simetría. Notación de Hermann Mauguin

Se indica con un número el tipo de eje de simetría (1, 2, 3, 4 y 6)

m indica plano de simetría

P o C indican si pertenece a la celda primitiva o centrada, respectivamente

1, 2, 3, 4 y 6 indican ejes de rotación.

n/m indica que el eje es normal al plano

Símbolos de Herman-Mauguin

Simbología utilizada para describir simetrías en un cristal

Veamos con ejemplos:

La figura presenta: 3 ejes de simetría de orden 2 3 planos de reflexión Un centro de simetría

Las reglas para la notación H-M :

Un número por cada eje de rotación único 2 2 2

Una m para cada plano único* de reflexión. 2m 2m 2m

*Que solo es creado por si mismo y no por otra operación de simetría).

Si uno de los ejes es perpendicular a un plano de reflexión se pone un slash entremedio (/)

Notación 2/m 2/m 2/m

Ejemplo número 2

1 E4

2 E2 perpendiculares a la cara. 2 E2 en los vértices del cristal.

Dos ejes binarios únicos

Notación 4 2 2

5 planos de simetría análogos a los ejes Notación m m m

o ¿Por qué sólo existen tres planos/ejes únicos?

Veamos qué significa que sean únicos: Tenemos 1E4 En las caras laterales 2E2

Pero………… Uno de los que está en las

caras puede ser creado a partir del otro con el E4.

Lo mismo ocurre con las diagonales Y los planos de simetría análogos.

La notación final 4/m 2/m 2/m.

Reglas H-M Ejes de simetría se denotan por números y los ejes de inversión por

números con trazo en la parte superior. Los planos de simetría se indican con la letra m. Un eje de simetría con plano perpendicular se nota con un slash.

La primera parte se refiere al eje de simetría principal.

En el sistema cúbico la segundo y tercer parte del símbolo se refieren a los elementos de simetría ternaria y binaria respectivamente.

En el sistema tetragonal los símbolos segundo y tercero se refieren a los ejes axiales y diagonales respectivamente.

En el sistema hexagonal (y trigonal) los símbolos segundo y tercero se refieren a los elementos de simetría axial y axial alterna

En el sistema rómbico los símbolos se refieren a los ejes de simetría por el orden a,b,c

Con esto podemos definir 32 posibles combinaciones en los sistemas cristalográficos

Crystal System No Center CenterTriclinic 1 1

Monoclinic 2, 2 (= m) 2/m

Orthorhombic 222, 2mm 2/m 2/m 2/m

Tetragonal 4, 4, 422, 4mm, 42m 4/m, 4/m 2/m 2/m

Hexagonal 3, 32, 3m 3, 3 2/m

6, 6, 622, 6mm, 62m 6/m, 6/m 2/m 2/m

Isometric 23, 432, 43m 2/m 3, 4/m 3 2/m

En la literatura a veces se juntan ambos sistemas porque están definidos de forma similar

Crystal System No Center CenterTriclinic 1 1

Monoclinic 2, 2 (= m) 2/m

Orthorhombic 222, 2mm 2/m 2/m 2/m

Tetragonal 4, 4, 422, 4mm, 42m 4/m, 4/m 2/m 2/m

Hexagonal 3, 32, 3m 3, 3 2/m

6, 6, 622, 6mm, 62m 6/m, 6/m 2/m 2/m

Isometric 23, 432, 43m 2/m 3, 4/m 3 2/m

Esas 32 combinaciones se llaman clases cristalográficas

32 clases cristalográficas o grupos puntuales

Sistema triclínico Clase pinacoidal (1) Clase pedial (1)

Sistema monoclínico Clase prismática 2/m Clase esfenoidal 2 Clase domática m

Sistema ortorrómbico Clase ortorrómbica dipiramidal Clase ortorrómbica diesfenoidal Clase ortorrómbica piramidal

http://www.galleries.com/minerals/symmetry/orthorho.htm

Si se tienen en cuenta las simetrías en redes que no son primitivas ( el total de las 14 redes de Braveis) 73 Grupos puntuales simples

“( )” En las operaciones de simetría se puede añadir también falta la traslación

32 Grupos puntuales + operaciones de traslación = 230 Grupos espaciales

RecapitulandoYa sabemos:

Reconocer simetrías Agrupar formas cristalográficas

Vamos a ver Forma de describir elementos de simetría

Símbolos de Herman-Mauguin Forma de describir cada cara del cristal

Indices de Weiss/Miller Forma de plasmar en un papel las figuras 3D

Índices de Weiss/Miller

Estandarizar la forma en que se describen las orientaciones de los cristales.

Basados en la intersección de las caras en los ejes cristalográficos

Índices de Weiss/Miller Se refiere a la posición, respecto a un eje

coordenado establecido, para las caras de un mineral.

Procedimiento: Se ubica la cara que se quiere describir en

relación a los ejes cristalográficos

Se anota el valor de donde intersecta la cara al eje de la forma (a b c) (Puede estar centrado en los vértices también)

Ej (∞ 1 ∞) pues intersecta solamente en el eje b.

Los índices de miller corresponden al inverso de esa intersección

Nos queda (010)

El valor que intersecta la cara es en relación a la longitud de los vectores!!!

𝟏∞ 𝟏𝟏 𝟏∞

??? (001) (010) (100)

???

a

bc

Weiss!!

Si ya tenemos una figura con las caras descritas

¿Sirve ubicar nuestros ejes de simetría en el centro de esta forma?

¿Y así?

Una única forma de ubicar nuestros ejes.

(hkl) es la forma general, sin embargo para sistema trigonal y hexagonal se emplea (hklm).

(0kl) significa que es paralela al eje a (h0l) es paralela al eje b (hk0) paralela al eje c.

Cristalografía

Cristalografía

Cristalografía Indice de Miller en sistema hexagonal

hjkl

Recordar que estamos viendo un arreglo ordenado!! Indice de Miller nos indica la distancia entre los distintos planos

En 2d sería un plano reticular

RecapitulandoYa sabemos:

Reconocer simetrías Agrupar formas cristalográficas

Vamos a ver Forma de describir elementos de simetría

Símbolos de Herman-Mauguin Forma de describir cada cara del cristal

Indices de Weiss/Miller Forma de plasmar en un papel las figuras 3D

“PROYECCIONES ESTEREOGRÁFICAS”

Proyecciones Estereográficas La proyección de un cristal es un medio de

representar un cristal tridimensional en una superficie plana bidimensional.

Con el fin de situar las caras de acuerdo con sus relaciones angulares y sin consideración de su forma o tamaño, podemos usar la proyección esférica. Si bien esta proyección es tridimensional, es la base para la estereográfica en dos dimensiones.

Groenlandia: 2,166,086 km² Brasil: 8 514 877 km²

Proyecciones Estereográficas La proyección de un cristal es un medio de

representar un cristal tridimensional en una superficie plana bidimensional.

Con el fin de situar las caras de acuerdo con sus relaciones angulares y sin consideración de su forma o tamaño, podemos usar la proyección esférica. Si bien esta proyección es tridimensional, es la base para la estereográfica en dos dimensiones.

Volviendo a lo nuestro:

Nos va a interesar solamente la posición angular de las caras

No nos va a importar las deformaciones

La proyección va a ser realizada solo en el polo norte

Se realiza en una proyección esférica

¿A qué sistema pertenece?

Plano que corta a la esfera por la mitadVista desde arriba a la circunferencia en la mitad de la esfera

Tomamos una cara y la proyectamos con un vector perpendicular en la esfera.

Ej: Cara (010)Cara (010)Cara (100) y cara (100) Con esto tenemos las caras del prisma cuadrado

¿Y nuestra figura de arriba?Veamos la cara (101) y (101)

Y así sucesivamenteCon las caras de abajo también (en el otro sentido)

Indicar elementos de simetría presentes!!Eje orden cuatro¿¿Ejes de orden dos??

Perpendiculares a las caras paralelasY en las diagonales de las caras paralelas

Indicar elementos de simetría presentes!!Eje orden cuatro¿¿Ejes de orden dos??¿Planos de simetría? líneas continuas

Añadimos

H-M Clase 4/m 2/m 2/m ( un eje único de orden 2 en una cara y en una

diagonal)Índices de Miller en cada cara

(100)

Veamos con ejemplos: Sistema triclínico

¿Qué figuras se pueden formas con este sistema?

Sistema monoclínicoSimetrías??Se elige una caraSe hacen actuar los elementos de simetría

Sistema ortorrómbico3 ejes perpendiculares

Tetragonal Ejes axiales y axiales diagonales

Sistemas trigonal/Hexagonal Ejes axiales y axiales alternos

Sistema Isométrico

Reglas:

Tener en cuenta el sistema que pertenece y la posición de los ejes del sistema.

Plano de simetría se coloca como línea continua

Eje de simetría se anota en los extremos del eje con la simbología del orden que corresponda.