Vectores

Definición de vectores y escalares

• Escalar: Es un número y ya no hay más nada que definir.

• Vector: Es una flecha con módulo dirección y sentido que se expresa mediante más de un número

Cantidades básicas que describen un vector

• Módulo: Es su tamaño

• Dirección: Hacia donde esta dirigido el vector

• Sentido: Orientación del vector respecto a la dirección

Operaciones básicas con vectores

Los tres tipos de operaciones se pueden hacer analíticamente o gráficamente

1. Sumas de vectores.

2. Restas de vectores.

3. Multiplicación de vectores.

4. “Regla de oro de las operaciones con vectores”: JAMAS PERO JAMAS SE PUEDE DIVIDIR POR UN VECTOR

Vector gráficamente

𝐴

𝐵

¿Sabrá Legolas las definiciones de vector? ¿O Solo esta tirando flechas?

Operaciones con vectores gráficamente

𝐴 𝐵

Queremos determinar

𝐴 + 𝐵 Para ello tenemos dos métodos

Método del triángulo

Método del Paralelogramo

Método del triángulo paso a paso

𝐴 𝐵

Hacemos coincidir la punta del vector A con la cola del vector B

𝐴 𝐵

Luego trazamos una flecha desde la cola del vector A a la punta del vector B

𝐴 𝐵

𝐴 + 𝐵 Finalmente tenemos el vector suma

Método del Paralelogramo paso a paso

𝐴 𝐵

𝐴

𝐵

𝐴

𝐵

𝐴

𝐵

Finalmente tenemos el vector suma

Unimos las colas de los vectores A y B

Proyectamos líneas paralelas a los vectores anteriormente indicados

Trazamos un vector desde el punto de unión de los vectores A y B hasta el punto de unión de las proyecciones.

Método analíticos para sumar o restar vectores

• Utilizamos el concepto de “peras con peras y manzanas con manzanas”, o sea cada componente se suma o se resta con su propia componente. Ej.

𝐴 = 3𝑖 − 5𝑗 + 6𝑘 𝐴 = 3𝑥 − 5𝑦 + 6𝑧

𝐵 = 7𝑖 + 3𝑗 − 2𝑘

𝐴 + 𝐵 = 7 + 3 𝑖 + −5 + 3 𝑗 + 6 − 2 𝑘 = 10𝑖 − 2𝑗 + 4𝑘

𝐴 − 𝐵 = 7 − 3 𝑖 + −5 − 3 𝑗 + 6 − (−2) 𝑘 = 4𝑖 − 8𝑗 + 10𝑘

Producto entre vectores

• Se tiene dos tipos de productos cada uno de ellos tiene dos métodos de solución.

• El producto Escalar o producto punto.

• El producto Vectorial o producto cruz.

• Para este ultimo utilizaremos la “regla de la mano derecha”.

Producto escalar

Forma gráfica Forma analítica 𝐴 = 3𝑖 − 5𝑗 + 6𝑘

𝐵 = 7𝑖 + 3𝑗 − 2𝑘

𝐴 ∙ 𝐵 = 𝐴 𝐵 cos 𝜃

𝐴 ∙ 𝐵 = 𝐴𝑥𝐵𝑥 + 𝐴𝑦𝐵𝑦 + 𝐴𝑧𝐵𝑧

𝐴 ∙ 𝐵 = 3 7 + −5 3 + 6 −2

𝐴 ∙ 𝐵 = 21 − 15 − 12 = −6

Método 1

Método 2

𝐴 ∙ 𝐵 = 70 62 cos 𝜃 Combinando ambos métodos se puede determinar el ángulo entre los vectores

−6 = 70 62 cos 𝜃 cos 𝜃 =−6

70 62

cos 𝜃 =−6

70 62 𝜃 = cos−1

−6

70 62

𝐴

𝐵

𝐴

𝐵

θ

𝐴 ∙ 𝐵

Producto vectorial Forma gráfica Forma analítica 𝐴 = 3𝑖 − 5𝑗 + 6𝑘

𝐵 = 7𝑖 + 3𝑗 − 2𝑘

𝐴 × 𝐵 = 𝐴 𝐵 sin 𝜃

Método 1

Método 2

𝐴 × 𝐵 = 70 62 sin 𝜃

𝐵

𝐴

𝐴 × 𝐵 = 𝐴𝑥 𝐴𝑦 𝐴𝑧

𝐵𝑥 𝐵𝑦 𝐵𝑧

𝑖 𝑗 𝑘

𝐴𝑥 𝐴𝑦 𝐴𝑧

𝐵𝑥 𝐵𝑦 𝐵𝑧

𝐴𝑥 𝐴𝑦 𝐴𝑧

𝐵𝑥 𝐵𝑦 𝐵𝑧

+ -

𝐴 × 𝐵 = 𝐴𝑦𝐵𝑧 − 𝐵𝑦𝐴𝑧 𝑖 + 𝐴𝑧𝐵𝑥 − 𝐵𝑧𝐴𝑥 𝑗 + 𝐴𝑥𝐵𝑦 − 𝐵𝑥𝐴𝑦 𝑘

𝐴 × 𝐵 = −5 −2 − 3 6 𝑖 +

6 7 − −2 3 𝑗 +

3 3 − 7 −5 𝑘

𝐴 × 𝐵 = −8𝑖 +48𝑗 + 44𝑘

𝐴 × 𝐵

θ

𝐵

𝐴

Algunos usos de Vectores

Algunos usos de los vectores

Idea del Principio de Superposición

Ecuaciones para un movimiento en 3D

X

Y

Z

Zt

Yt

Xt

rt

𝑟𝑡 = 𝑋𝑡𝑥 + 𝑌𝑡𝑦 + 𝑍𝑡𝑧

Obviamente, si derivamos el valor del vector r, obtendremos las velocidades y si lo derivamos por segunda vez obtendremos las aceleraciones en cada uno de los ejes

Ecuaciones de Movimiento

𝑋 𝑡 = 𝑋0 + 𝑉𝑜𝑥𝑡 +1

2𝑎𝑥𝑡

2

𝑉𝑥 𝑡 = 𝑉0𝑥 + 𝑎𝑥𝑡

𝑉𝑥2 = 𝑉0𝑥

2 + 2𝑎𝑥∆𝑋

𝑌 𝑡 = 𝑌0 + 𝑉𝑜𝑦𝑡 +1

2𝑎𝑦𝑡

2

𝑉𝑦 𝑡 = 𝑉0𝑦 + 𝑎𝑦𝑡

𝑉𝑦2 = 𝑉0𝑦

2 + 2𝑎𝑦∆𝑌

𝑍 𝑡 = 𝑍0 + 𝑉𝑜𝑧𝑡 +1

2𝑎𝑧𝑡

2

𝑉𝑧 𝑡 = 𝑉0𝑧 + 𝑎𝑧𝑡

𝑉𝑧2 = 𝑉0𝑧

2 + 2𝑎𝑧∆𝑍

Superposición de movimientos

Problema a plantear

¿En que consiste el problema? Z

Y X

𝑉0 ≈ 98𝑘𝑚

𝐻= 27,22 𝑚

𝑠

θ

𝜃 ≈ 24°

𝜑 ≈ 80°

𝑡 =?

𝑎𝑦 =?

𝑋 𝑡 = 49,41 𝑚

Z 𝑡 = 1,626 𝑚

𝑋0 = 0 𝑍0 = 0 𝑌0 = 0 = 𝑌 𝑡