Clase 2 - Control en Matlab
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1
1 1 CONTROL POR REALIMENTACION DE ESTADOS
d=[0] Problema 1. Caso SISO
d = Considere el siguiente sistema: 0
uxx
xx
+
=
11
2001
2
1
2
1
&
&
co=ctrb(a,b); rank(co) ans = 2
[ ]
=
2
111xx
y El sistema es completamente controlable, entonces puedo asignar polos arbitrariamente.
Diseñe un control por realimentación de estados tal que los polos queden ubicados en:
pd=[-2,-3]
pd = 32 21 −=−= ss -2 -3
k=place(a,b,pd) Solución: place: ndigits= 15 Se observa que el sistema es inestable con polos en
21 21 == ss k = -12.0000 20.0000
Regulador Las constantes de ganancia son: Lo primero que debe hacerse es verificar si el sistema es completamente controlable. 2012 21 =−= kk
Se procede a realizar la simulación: a=[1,0;0,2]
t
To Workspace1
y
To WorkspaceStep
x' = Ax+Bu y = Cx+Du
State-Space
K
MatrixGain1
K
MatrixGain
Clock
a = 1 0 0 2 b=[1;1] b = 1 11 c=[1,1] c =
Area de Automática Ing. Mecatrónica.
Jimmy Tombé Andrade
2
A continuación se muestran las variables de estado del sistema controlado y el esfuerzo de control en la grafica siguiente.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-0.5
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-0.35
-0.3
-0.25
-0.2
-0.15
-0.1
-0.05
0
0.05
0.1
0.15
Variables de estado
Con este tipo de simulación debe tenerse en cuenta que la matriz c que se encuentra dentro de State – Space cambia a la matriz identica para que la salida sean las variables de estado, esta salida luego se multiplica por la matriz c real. (Identica del tamaño de ). a
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Esfuerzo de control
En la grafica se puede apreciar que el sistema se estabiliza pero presenta un gran error de estado estacionario, por eso se hace necesario diseñar un control para seguimiento de referencia constante. Pero antes demostremos las ventajas de este control como regulador. NOTAS ADICIONALES: A continuación se grafican las variables de estado del sistema con y sin control, asi como el esfuerzo de control.
t
To Workspace1
y
To Workspace
x' = Ax+Bu y = Cx+Du
State-Space
K
MatrixGain1
K
MatrixGain
Clock
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100
0.5
1
1.5
2
2.5x 108
Aquí se observan las variables de estado del sistema sin controlar.
Area de Automática Ing. Mecatrónica.
Jimmy Tombé Andrade
3
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
kpi=place(aa,ba,pda) place: ndigits= 15 kpi = -212.0000 240.0000 40.0000 kp=[-212,240] kp = -212 240 Aquí se observa claramente que el sistema vuelve al
punto de equilibrio. ki=[40] ki = NOTA: Como el sistema carece de entrada es necesario
colocar condiciones inciales en el sistema. 40 Las dos primeras columnas corresponden a
la ultima columna es k . pk iSeguidor Cuando se calcula un seguidor se debe tener en cuenta que dichos calculos deben realizarse con las matrices aumentadas pero las simulaciones se hacen con el sistema normal.
[ ]240212−=pk [ ]40=ik
[ ]ru
bzx
ca
zx
+
+
−
=
10
000
&
&
t
To Workspace1
y
To WorkspaceStep
x' = Ax+Bu y = Cx+Du
State-Space
K
MatrixGain2
K
MatrixGain1
K
MatrixGain
s
1
Integrator
Clock
aa=[a,zeros(2,1);-c,0] aa =
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1 0 0 0 2 0 -1 -1 0 ba=[b;0] ba = 1 1 0
pda=[-2,-3,-20] Se observa en la grafica que el control estabilza el sistema y que este no presenta error de estado estacionario.
pda = -2 -3 -20
Area de Automática Ing. Mecatrónica.
Jimmy Tombé Andrade
4
co=ctrb(a2,b2); rank(co) Problema 2. Caso MIMO
ans = 3
+
=
2
1
3
2
1
3
2
1
110010
6116100010
uu
xxx
xxx
&
&
&
El sistema es completamente controlable, entonces se pueden asignar polos arbitrariamente. Polos deseados:
−
=
3
2
1
140022
xxx
y
56.74304.078.04304.078.0
3
2
1
−=−−=+−=
sisis
Regulador Osea que lo deseado es que el sistema se estabilice.
a2=[0,1,0;0,0,1;6,11,6]
pd2=[-.78+.4304i,-.78-.4304i,-7.56] a2 = 0 1 0 pd2 = 0 0 1 -0.7800 + 0.4304i -0.7800 - 0.4304i -7.5600 6 11 6
eig(a2) k2=place(a2,b2,pd2) ans = place: ndigits= 15 -0.7800 + 0.4304i k2 = -0.7800 - 0.4304i -1.5600 10.7936 7.5600 7.5600 7.5600 1.0000 0.0000 b2=[0,1;0,0;1,1]
x
To Workspace2
t
To Workspace1
y
To WorkspaceStep
x' = Ax+Bu y = Cx+Du
State-Space
K
MatrixGain1
K
MatrixGain
Clock
b2 = 0 1 0 0 1 1 c2=[-2,-2,10;0,-4,-8] c2 = -2 -2 10 0 -4 -8 El sistema es inestable.
Area de Automática Ing. Mecatrónica.
Jimmy Tombé Andrade
5
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-12
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
Salida del sistema
ba2=[b2;zeros(2,2)] ba2 = 0 1 0 0 1 1 0 0 0 00 pda2=[-.78+.4304i,-.78-.4304i,-7.56,-20,-20]
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
Variables de estado
pda2 = Columns 1 through 4 -0.7800 + 0.4304i -0.7800 - 0.4304i -7.5600 -20.0000 Column 5 -20.0000 kpi2=place(aa2,ba2,pda2) place: ndigits= 15 kpi2 =
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-30
-25
-20
-15
-10
-5
0
5
Esfuerzo de control
-15.5433 -22.9398 33.0822 -15.4331 2.3987 21.0626 -10.9090 0.9752 10.6264 17.7870
t
To Workspace1
y
To WorkspaceStep
x' = Ax+Bu y = Cx+Du
State-Space
K
MatrixGain2
K
MatrixGain1
K
MatrixGain
s
1
Integrator
Clock
Seguidor aa2=[a2,zeros(3,2);-c2,zeros(2,2)] aa2 = 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 6 11 6 0 0 2 2 -10 0 0 0 4 8 0 0
Area de Automática Ing. Mecatrónica.
Jimmy Tombé Andrade
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
Salida del sistema
Area de Automática Ing. Mecatrónica.
Jimmy Tombé Andrade
6
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-0.8
-0.7
-0.6
-0.5
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0
0.1
Variables de estado
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
Esfuerzo de control