Clase 13 PC
description
Transcript of Clase 13 PC
![Page 1: Clase 13 PC](https://reader034.fdocuments.ec/reader034/viewer/2022051016/5598a07d1a28ab9f0a8b45e8/html5/thumbnails/1.jpg)
Problemas Complementarios28-03-2014
![Page 2: Clase 13 PC](https://reader034.fdocuments.ec/reader034/viewer/2022051016/5598a07d1a28ab9f0a8b45e8/html5/thumbnails/2.jpg)
Problema 1
Si la estrella del Norte o Polaris se apagara hoy, ?en que año
desaparecería de nuestra visión? La distancia desde la Tierra a
Polaris es alrededor de 6.44 × 1018𝑚
![Page 3: Clase 13 PC](https://reader034.fdocuments.ec/reader034/viewer/2022051016/5598a07d1a28ab9f0a8b45e8/html5/thumbnails/3.jpg)
Problema 1
Solución
Datos: distancia = 6.44 × 1018𝑚; 𝑇 =?
Sabemos que: 𝜆 ∙ 𝑓 = 𝑐 =1
𝑇=
𝑑
𝑇
⟹ 𝑇 =𝑑
𝐶=
6.44×1018𝑚
3×108 𝑚/𝑠×
1𝑎ñ𝑜
365𝑑𝑖𝑎𝑠×
1𝑑í𝑎
24ℎ×
1ℎ
3600𝑠
Por lo tanto: 𝑇 = 680𝑎ñ𝑜𝑠
En consecuencia: La estrella desaparecería de nuestra visión
en el 2680.
![Page 4: Clase 13 PC](https://reader034.fdocuments.ec/reader034/viewer/2022051016/5598a07d1a28ab9f0a8b45e8/html5/thumbnails/4.jpg)
Problema 2
La rapidez de una onda electromagnética que viaja en una
sustancia transparente no magnética es 𝑣 =1
𝑘∙𝜖∙𝜇0, donde 𝑘
es la constante dieléctrica de la sustancia.
Determine la rapidez de la luz en el agua, la cual tiene una
constante dieléctrica a frecuencias ópticas de 1.78.
![Page 5: Clase 13 PC](https://reader034.fdocuments.ec/reader034/viewer/2022051016/5598a07d1a28ab9f0a8b45e8/html5/thumbnails/5.jpg)
Problema 2
Solución
Por dato 𝑣 =1
𝑘∙𝜖∙𝜇0(𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑢𝑛𝑎 𝑠𝑢𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑝𝑎𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒)
Nos piden: 𝑣𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑎𝑔𝑢𝑎 =? 𝑠𝑖 𝑘 = 1.78
Sabemos que por condición se cumple
𝑣 =1
1.78 4𝜋×10−7 8.85×10−12
![Page 6: Clase 13 PC](https://reader034.fdocuments.ec/reader034/viewer/2022051016/5598a07d1a28ab9f0a8b45e8/html5/thumbnails/6.jpg)
Problema 2
Solución
∴ 𝑉𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑎𝑔𝑢𝑎 = 2.25 × 108 𝑚/𝑠
![Page 7: Clase 13 PC](https://reader034.fdocuments.ec/reader034/viewer/2022051016/5598a07d1a28ab9f0a8b45e8/html5/thumbnails/7.jpg)
Problema 3
Una onda electromagnética en el vacío tiene una amplitud de
campo eléctrico de 220 V/m. Calcule la amplitud del campo
magnético correspondiente.
![Page 8: Clase 13 PC](https://reader034.fdocuments.ec/reader034/viewer/2022051016/5598a07d1a28ab9f0a8b45e8/html5/thumbnails/8.jpg)
Problema 3
Solución
Datos: 𝐸𝑚á𝑥 =220𝑉
𝑚; 𝐵𝑚á𝑥 =?
Sabemos que en una onda electromagnética se cumple que:
𝐸𝑚á𝑥
𝐵𝑚á𝑥= 𝑐
![Page 9: Clase 13 PC](https://reader034.fdocuments.ec/reader034/viewer/2022051016/5598a07d1a28ab9f0a8b45e8/html5/thumbnails/9.jpg)
Problema 3
Solución
⟹ 𝐵𝑚á𝑥 =𝐸𝑚á𝑥
𝑐=
220
3×108∴ 𝐵𝑚á𝑥 = 733 × 10−9𝑇 = 733𝑛𝑇
![Page 10: Clase 13 PC](https://reader034.fdocuments.ec/reader034/viewer/2022051016/5598a07d1a28ab9f0a8b45e8/html5/thumbnails/10.jpg)
Problema 4
Calcule el valor máximo del campo magnético de una onda
electromagnética en un medio donde la rapidez de la luz es
de dos tercios de la rapidez de la luz en el vacío, y donde la
amplitud del campo eléctrico es de 7.60 mV/m
![Page 11: Clase 13 PC](https://reader034.fdocuments.ec/reader034/viewer/2022051016/5598a07d1a28ab9f0a8b45e8/html5/thumbnails/11.jpg)
Problema 4
Solución
Datos: 𝐸 𝑚á𝑥 = 7.60 ×10−3𝑉
𝑚; donde: 𝑐𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜 =
2
3𝑐𝑣𝑎𝑐í𝑜
Sabemos que en una onda electromagnética se cumple que:
𝐸𝑚á𝑥
𝐵𝑚á𝑥= 𝑐𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜 =
2
3𝑐𝑣𝑎𝑐𝑖𝑜 ⟹ 𝐵𝑚á𝑥 =
3𝐸𝑚á𝑥
2𝑐𝑣𝑎𝑐í𝑜=
3× 7.6×10−3
2× 3×108
𝐵𝑚á𝑥 = 38 × 10−12𝑇 ≅ 38𝑝𝑇
![Page 12: Clase 13 PC](https://reader034.fdocuments.ec/reader034/viewer/2022051016/5598a07d1a28ab9f0a8b45e8/html5/thumbnails/12.jpg)
Problema 5
La figura muestra una onda sinusoidal electromagnética plana que
se propaga en lo que se eligió como la dirección de 𝑥. Suponga que
la longitud de onda es 50m y el campo vibra en el plano 𝑥𝑦 con una
amplitud de 22V/m. Calcule a) la frecuencia de la onda y b) la
magnitud y dirección de B cuando el campo tiene su valor máximo
en la dirección 𝑧 negativa. C) Escriba una expresión para B en la
forma 𝐵 = 𝐵𝑚𝑎𝑥𝑐𝑜𝑠 𝑘𝑥 − 𝜔𝑡
![Page 13: Clase 13 PC](https://reader034.fdocuments.ec/reader034/viewer/2022051016/5598a07d1a28ab9f0a8b45e8/html5/thumbnails/13.jpg)
Problema 5
Con valores numéricos para 𝐵𝑚𝑎𝑥 , 𝑘 𝑦 𝜔
𝑧
𝑦
𝑥
𝐸 =22𝑉
𝑚𝑗
𝜆 = 50m
𝐵 =?
![Page 14: Clase 13 PC](https://reader034.fdocuments.ec/reader034/viewer/2022051016/5598a07d1a28ab9f0a8b45e8/html5/thumbnails/14.jpg)
Problema 5
Solución
Inciso a
Sabemos que: 𝜆 ∙ 𝑓 = 𝑐 ⇒ 𝐹 =𝑐
𝜆=
3×108
50
∴ 𝑓 = 6 × 106𝐻𝑧 = 6𝑀𝐻𝑧
![Page 15: Clase 13 PC](https://reader034.fdocuments.ec/reader034/viewer/2022051016/5598a07d1a28ab9f0a8b45e8/html5/thumbnails/15.jpg)
Problema 5
Solución
Inciso b
Sabemos que:𝐸𝑚𝑎𝑥
𝐵𝑚𝑎𝑥= 𝑐 ⇒ 𝐵𝑚𝑎𝑥 =
𝐸𝑚𝑎𝑥
𝑐=
22𝑉/𝑚
3×108
∴ 𝐵𝑚𝑎𝑥 = 73.3 × 10−9𝑇 = 73.3𝑛𝑇 (−𝑘)
![Page 16: Clase 13 PC](https://reader034.fdocuments.ec/reader034/viewer/2022051016/5598a07d1a28ab9f0a8b45e8/html5/thumbnails/16.jpg)
Problema 5
Solución
Inciso c
Sabemos que: 𝜔 = 2𝜋 × 𝑓 = 2𝜋 × 106 = 12𝜋 × 106𝑟𝑎𝑑/𝑠
𝜔 = 3.77 × 107𝑠−1
Además:𝜔
𝑘= 𝑐 ⟹ 𝑘 =
3×108
12𝜋×106= 0.126
![Page 17: Clase 13 PC](https://reader034.fdocuments.ec/reader034/viewer/2022051016/5598a07d1a28ab9f0a8b45e8/html5/thumbnails/17.jpg)
Problema 5
Solución
Inciso c
Entonces: 𝐵 𝑥, 𝑡 = −73.3𝑁𝑇𝑐𝑜𝑠 0.126 − 3.77 × 107𝑡 𝑘
![Page 18: Clase 13 PC](https://reader034.fdocuments.ec/reader034/viewer/2022051016/5598a07d1a28ab9f0a8b45e8/html5/thumbnails/18.jpg)
Problema 6
Escriba expresiones para los campos eléctrico y magnético de
una onda electromagnética plana sinusoidal que tiene
frecuencia de 3𝐺𝐻𝑧 y viaja en la dirección 𝑥 positiva. La
amplitud del campo eléctrico es 300 V/m
![Page 19: Clase 13 PC](https://reader034.fdocuments.ec/reader034/viewer/2022051016/5598a07d1a28ab9f0a8b45e8/html5/thumbnails/19.jpg)
Problema 6
Solución
Datos: 𝑓 = 3 × 109𝐻𝑧 𝐸𝑚𝑎𝑥 = 300𝑉/𝑚
Sabemos que las expresiones para una ecuación de onda
están dadas por:
𝐵 𝑥, 𝑡 = 𝐵𝑚𝑎𝑥 ∙ 𝑐𝑜𝑠 𝑘𝑥 − 𝜔𝑡
𝐸 𝑥, 𝑡 = 𝐸𝑚𝑎𝑥 ∙ 𝑐𝑜𝑠 𝑘𝑥 − 𝜔𝑡
![Page 20: Clase 13 PC](https://reader034.fdocuments.ec/reader034/viewer/2022051016/5598a07d1a28ab9f0a8b45e8/html5/thumbnails/20.jpg)
Problema 6
Solución
Donde: 𝐵𝑚𝑎𝑥 =𝐸𝑚𝑎𝑥
𝐶=
3×102
3×108= 1 × 10−6𝑇
𝜔 = 2𝜋𝑓 = 2 3.1416 3 × 109 = 18.85 × 10−9𝑠−1
𝑘 =𝜔
𝑐=
18.85×109
3×108= 62.8
![Page 21: Clase 13 PC](https://reader034.fdocuments.ec/reader034/viewer/2022051016/5598a07d1a28ab9f0a8b45e8/html5/thumbnails/21.jpg)
Problema 6
Solución
𝐵 𝑥, 𝑡 = 1𝜇𝑇 𝑐𝑜𝑠 62.8𝑥 − 18.85 × 109𝑡
𝐸 𝑥, 𝑡 = 300𝑉/𝑚 𝑐𝑜𝑠 62.8𝑥 − 18.85 × 109𝑡
![Page 22: Clase 13 PC](https://reader034.fdocuments.ec/reader034/viewer/2022051016/5598a07d1a28ab9f0a8b45e8/html5/thumbnails/22.jpg)
Problema 7
Verifique por sustitución que las siguientes ecuaciones
Respectivamente
𝐸 = 𝐸𝑚𝑎𝑥𝑐𝑜𝑠 𝑘𝑥 − 𝜔𝑡
𝐵 = 𝐵𝑚𝑎𝑥𝑐𝑜𝑠 𝑘𝑥 − 𝜔𝑡
son soluciones para las ecuaciones
𝜕2𝐸
𝜕𝑥2= 𝜇𝑜 ∙ 𝜖𝑜
𝜕2𝐸
𝜕𝑡2𝑦
𝜕2𝐵
𝜕𝑥2= 𝜇𝑜 ∙ 𝜖𝑜
𝜕2𝐸
𝜕𝑡2
![Page 23: Clase 13 PC](https://reader034.fdocuments.ec/reader034/viewer/2022051016/5598a07d1a28ab9f0a8b45e8/html5/thumbnails/23.jpg)
Problema 7
Solución
Tenemos que
⟹𝜕𝐸
𝜕𝑥= −𝐸𝑚á𝑥𝑘𝑠𝑒𝑛 𝑘𝑥 − 𝜔𝑡
⇒𝜕2𝐸
𝜕𝑥2= −𝐸𝑚𝑎𝑥 ∙ 𝑘
2𝑠𝑒𝑛 𝑘𝑥 − 𝜔𝑡
Por lado
⟹𝜕𝐸
𝜕𝑡= 𝐸𝑚á𝑥𝜔𝑠𝑒𝑛 𝑘𝑥 − 𝜔𝑡
⇒𝜕2𝐸
𝜕𝑡2= −𝐸𝑚𝑎𝑥 ∙ 𝜔
2𝑠𝑒𝑛 𝑘𝑥 − 𝜔𝑡
![Page 24: Clase 13 PC](https://reader034.fdocuments.ec/reader034/viewer/2022051016/5598a07d1a28ab9f0a8b45e8/html5/thumbnails/24.jpg)
Problema 7
Solución
Entonces reemplazando tenemos
−𝐸𝑚𝑎𝑥 ∙ 𝑘2𝑠𝑒𝑛 𝑘𝑥 − 𝜔𝑡 = 𝜇0𝜖0 ∙ −𝐸𝑚𝑎𝑥 ∙ 𝜔
2𝑠𝑒𝑛 𝑘𝑥 − 𝜔𝑡
⟹1
𝜇0𝜖0=
𝜔2
𝑘2∴𝜔
𝑘=
1
𝜇0𝜖0= 𝑐 (𝑞𝑢𝑒 𝑒𝑠 𝑐𝑖𝑒𝑟𝑡𝑜)
En consecuencia
𝐸 = 𝐸𝑚𝑎𝑥𝑐𝑜𝑠 𝑘𝑥 − 𝜔𝑡 si es solución de la ecuación
![Page 25: Clase 13 PC](https://reader034.fdocuments.ec/reader034/viewer/2022051016/5598a07d1a28ab9f0a8b45e8/html5/thumbnails/25.jpg)
Problema 7
Solución
Por otro lado:
Tenemos que
⟹𝜕𝐵
𝜕𝑥= −𝐵𝑚á𝑥𝑘𝑠𝑒𝑛 𝑘𝑥 − 𝜔𝑡
⇒𝜕2𝐵
𝜕𝑥2= −𝐵𝑚𝑎𝑥 ∙ 𝑘
2𝑠𝑒𝑛 𝑘𝑥 − 𝜔𝑡
Además
⟹𝜕𝐵
𝜕𝑡= 𝐵𝑚á𝑥𝜔𝑐𝑜𝑠 𝑘𝑥 − 𝜔𝑡
⇒𝜕2𝐵
𝜕𝑡2= −𝐵𝑚𝑎𝑥 ∙ 𝜔
2𝑐𝑜𝑠 𝑘𝑥 − 𝜔𝑡
![Page 26: Clase 13 PC](https://reader034.fdocuments.ec/reader034/viewer/2022051016/5598a07d1a28ab9f0a8b45e8/html5/thumbnails/26.jpg)
Problema 7
Solución
Entonces reemplazando tenemos
−𝐵𝑚𝑎𝑥 ∙ 𝑘2𝑐𝑜𝑠 𝑘𝑥 − 𝜔𝑡 = 𝜇0𝜖0 ∙ −𝐵𝑚𝑎𝑥 ∙ 𝜔
2𝑐𝑜𝑠 𝑘𝑥 − 𝜔𝑡
⟹1
𝜇0𝜖0=
𝜔2
𝑘2∴𝜔
𝑘=
1
𝜇0𝜖0= 𝑐 (𝑞𝑢𝑒 𝑒𝑠 𝑐𝑖𝑒𝑟𝑡𝑜)
En consecuencia
𝐵 = 𝐵𝑚𝑎𝑥𝑐𝑜𝑠 𝑘𝑥 − 𝜔𝑡 si es solución de la ecuación