Clase 10 e1 Variables Aleatoria Discreta (1)

1 VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS

Clase 10Variables Aleatorias Discretas

Jose Tapia Caro

Sea el experimento aleatorio que consiste en lanzar una moneda normal dos veces y anotar el ladoresultante, entonces el espacio muestral resulta ser S = {CC,CS, SC, SS}. Suponga tambien que Xes una funcion definida en S y que cuenta el numero de sellos resultantes al lanzar la moneda dosveces. Entonces, X(CC) = 0, X(CS) = 1, X(SC) = 1, X(SS) = 2 y resulta claro que la funcion Xpuede asumir los valores 0,1 y 2.Este tipo de funciones se llamaran variables aleatorias porque obviamente varan dependiendo delresultado del experimento aleatorio. En estos casos uno no conoce el valor que adoptara X en unparticular lanzamiento de la moneda dos veces, pero si conoce el conjunto de todos los valores posiblesque puede adoptar {0, 1, 2}. Finalmente lo que interesa, aun antes de realizar el experimento, es laprobabilidad de que X asuma alguno de esos valores. Por ejemplo, cual es la probabilidad de queal lanzar una moneda dos veces resulte un sello?. En simbolos, se pregunta por P (X = 1).

1. Variables Aleatorias Discretas

Definicion 1.1. Una variable aleatoria X es cualquier funcion que asigna a cada resultado deun experimento aleatorio s S un y solo un numero real x = X(s). El espacio es el conjuntoE = {x R/x = X(s), s S} formado por todos los valores asignados por la variable aleatoria.

Si X es el numero de sellos resultantes al lanzar una moneda dos veces, entonces su espacio esE = {0, 1, 2}

Si el espacio E es algun conjunto finito o contable de numeros tal como E = {0, 1, 2}, entoncesse dice que la variable aleatoria X es discreta. Si el espacio es algun intervalo de numeros reales talcomo E =]0;[, entonces se dice que la variable aleatoria X es continua.

Si B E. como calcular la probabilidad P (X B)? La respuesta requiere el concepto deeventos equivalentes y de probabilidad inducida por X.

Definicion 1.2. Sean S el espacio muestral asociado a un experimento aleatorio y X una variablealeatoria definida en S y con espacio E. Se dice que los eventos A S y B E son equivalentessi la imagen de A a traves de X es B, esto es si X(A) = B. La probabilidad inducida por lavariable aleatoria X se define como PX(B) = P (A) donde A y B eventos equivalentes. (Vea Figura1)

Observaciones 1.1. La probabilidad P esta definida para evento A S pero la probabilidad PXesta definida en un espacio diferente para eventos B E R. Sin embargo, ambas probabilidadesdan numeros iguales cuando A y B son eventos equivalentes de modo que PX(B) = P (A). Teniendoclara esta distincion se omitira el subindice X y se anotara simplemente P (B) o P (X B) en vezde PX(B) o PX(X B).Ejemplo 1. Si X es el numero de sellos resultantes al lanzar una moneda dos veces, entonces calculePX(X = x) para cada x E = {0, 1, 2}Solucion Los eventos equivalentes son {CC} y {0}, {CS, SC} y {1}, {SS} y {1} Entonces,

PX(X = 0) = P ({CC}) = 1/4 = 0, 25PX(X = 1) = P ({CS, SC}) = 2/4 = 0, 50PX(X = 2) = P ({SS}) = 1/4 = 0, 25

Considerando la Observacion 1.1 se anotara P (X = x) = f(x), x E de modo que los resultadosanteriores se pueden resumir en la siguiente tabla de probabilidades

x 0 1 2f(x) 0,25 0,50 0,25

1


E PS,P

, XE P,

AB

xXss

Figura 1: Probabilidad Inducida por X

Esa tabla es el modelo de probabilidad para la variable aleatoria X y revela dos hechos naturales:f(x) 0 para todo x E, y f(x) = 1 Definicion 1.3. Se dice que f(x) es una funcion de probabilidad (de cuanta o de masa) parala variable aleatoria discreta X si cumple las tres condiciones siguientes,

1. f(x) 0, x E2.

xE f(x) = 1

3. P (X B) = xB f(x), x B EDefinicion 1.4. Sea X una variable aleatoria discreta con espacio E y funcion de probabilidad f(x).La funcion de distribucion o funcion de probabilidad acumulada de X, anotada F (x), sedefine de la siguiente manera.

F (x) = P (X x) =tx

f(t), t E, < x 0).

Solucion

a) La funcion de distribucion de probabilidad acumulada F (x) para x {0, 1, 2} se muestra enla tabla siguiente.

2


x 0 1 2f(x) 0,25 0,50 0,25F (x) 0,25 0,75 1,00

Sin embargo, F (x) esta definida para todo < x 0) =

x>0 f(x) = f(1) + f(2) = 0, 5 + 0, 25 = 0, 75

La Figura 2 ilustra la funcion de cuanta del Ejemplo 1. La Figura 3 ilustra la funcion de distribu-cion del Ejemplo 2 y tambien permite ilustrar algunas propiedades generales de F (x) que aparecenen las siguientes observaciones.

x

f(x)

1 0 1 2 3

0.00

0.25

0.50

0.75

1.00

Figura 2: Cuanta del Ejemplo 2

lllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllll

lllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllll

llllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllll

llllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllll

x

F(x)

2 1 0 1 2 3 4

0.00

0.25

0.50

0.75

1.00

Figura 3: Distribucion Ejemplo 2

Observaciones 1.2. La funcion de distribucion F (x) de una variable aleatoria discreta satisfacelas siguientes propiedades.

1. F (x) es no decreciente. Esto es, si x1 < x2, entonces F (x1) F (x2).En la Figura 3, F (0, 3) = F (0, 7) = 0, 25, pero F (0, 7) = 0, 25 < F (1, 4) = 0, 75

2. lmn F (x) = 0, lmn F (x) = 1

3. F (x) es continua por la derecha; esto es, F (x) = F (x+) = lmtxt>x

F (t) para cada x.

En la Figura 3, F (1) = F (1+) = 0, 75 y F (1, 5) = F (1, 5+) = 0, 75.

4. Para cada x, P (X > x) = 1 F (x).En efecto, P (X > x) = 1 P (X x) = 1 F (x)En la Figura 3, P (X > 1) = 1 F (1) = 1 0, 75 = 0, 25.

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2 EJERCICIOS

5. Para cada x1 < x2 se tiene que P (x1 < X x2) = F (x2) F (x1).En efecto, P (x1 < X x2) = 1 P (X x1 X > x2) = 1 [P (X x1) + P (X > x2)] =1 [F (x1) + 1 F (x2)] = F (x2) F (x1).En la Figura 3, P (0 < X 1, 5) = F (1, 5) F (0) = 0, 75 0, 25 pero P (1 < X 1, 5) =F (1, 5) F (1) = 0, 75 0, 75 = 0.

6. Para todo x, P (X < x) = F (x).En la Figura 3, P (X < 1) = F (1) = 0, 25 pero P (X 1) = F (1) = 0, 75.

7. Para cada x, P (X = x) = F (x+) F (x).En la Figura 3, P (X = 1) = F (1+) F (1) = 0, 75 0, 25 = 0, 5 pero P (X = 1, 5) =F (1, 5+) F (1, 5) = 0, 75 0, 75 = 0. Esta propiedad indica que la probabilidad P (X = a)corresponde al salto de F (x) en X = a.

2. Ejercicios

1. Suponga que la variable aleatoria discreta X tiene una funcion de probabilidad dada por,

f(x) =

{kx! , x = 0, 1, 2, 3, 4

0 , en otro caso

a) Determine la constante k.

b) Calcule P (X > 1)

c) Determine y grafique la funcion de distribucion F (x).

R. a) k = 24/65 b) 0,2615 c)

F (x) =

0 , x < 0

0, 3692 , 0 x < 10, 7385 , 1 x < 20, 9231 , 2 x < 30, 9846 , 3 x < 41 , 4 x

2. Suponga que la variable aleatoria discreta X tiene una funcion de probabilidad dada por,

f(x) =

{k4x

x! , x = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7

0 , en otro caso

a) Determine la constante k.

b) Calcule P (1 < X < 6)


3. Una moneda balanceada se lanza 5 veces y se define X como el numero de sellos resultantesen los cinco lanzamientos.

a) Cual es el espacio de la variable aleatoria X?.

b) Encuentre la funcion de probabilidad f(x) de X.

c) Encuentre y grafique la funcion de distribucion F (x).

d) Cual es la probabilidad de que resulten mas de tres sellos en los cinco lanzamientos?.

R. a) {0, 1, 2, 3, 4, 5} b) f(x) = (5x)0, 55;x {0, 1, 2, 3, 4, 5} d) 0,18754. De una variable aleatoria X se sabe que toma los valores 0, 1, 2, 3, 4 y 5 y se sabe que los

valores de la funcion de distribucion en esos puntos son 0,06; 0,23; 0,48; 0,80; 0,92 y 1,00respectivamente.

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2 EJERCICIOS

a) Grafique aproximadamente la funcion de distribucion para < x 4), P (X 4), P (X < 4) y P (2 < X 4).

R. b) 0,12 0,08 0,20 0,80 0,44

5. Dos dados balanceados se lanzan juntos una vez. Uno de los dados tiene 4 caras numeradasdel 1 al 4 y el otro tiene 6 caras numeradas del 1 al 6. Sea X la variable aleatoria definidacomo el valor absoluto de la diferencia entre los dos numeros que aparecen.

a) Encuentre y grafique la funcion de probabilidad f(x) de X.

b) Determine y grafique la funcion de distribucion F (x).

c) Calcule P (2 < X 5).

R. a)x 0 1 2 3 4 5

f(x) 4/24 7/24 6/24 4/24 2/24 1/24c) 7/24

6. El cajon de un mueble tiene 4 pilas buenas y 6 usadas que ya no funcionan. Las pilas estanmezcladas, son del mismo tamano y de la misma marca de modo que no se puede distinguir asimple vista las pilas buenas de las malas. Del cajon se extraen 3 pilas sin reposicion y se definela variable aleatoria X como el numero de pilas buenas que resultan en las tres extracciones.

a) Encuentre y grafique la funcion de probabilidad de X.

b) Calcule e interprete la probabilidad de obtener tres pilas buenas en las tres extracciones.

R. a) f(x) =(4x)(

63x)

(103 );x {0, 1, 2, 3} b) 1/30 significa que una de cada 30 repeti-

ciones del experimento resulta en tres pilas buenas.

7. Defina la variable aleatoria X como el numero de veces que se debe lanzar una moneda balan-ceada hasta obtener la primera cara

a) Cual es el espacio de la v.a X?

b) Determine y grafique la funcion de probabilidad f(x).


d) Cual es la probabilidad de que sean necesarios 5 lanzamientos de la moneda para obtenerla primera cara? y que sean necesarios 8 lanzamientos?

R. a) {1, 2, 3, . . .} b) f(x) = 0, 5x;x = 1, 2, 3, . . . c) F (x) = 1 0, 5x;x =1, 2, 3, . . . d) P (X = 5) = 0, 55 = 0, 03125

8. Una empresa dedicada a la venta, instalacion y mantencion de aire acondicionado sabe quelas solicitudes de mantencion pueden dar origen a la compra e instalacion de un nuevo equipode aire acondicionado. Registros de temporadas veraniegas pasadas han permitido elaborar elsiguiente modelo de probabilidad para el numero X de equipos de aire acondicionado nuevospedidos de esta forma.

x 0 1 2 3f(x) 0,52 0,34 0,10 0,04

a) Grafique las funciones de probabilidad f(x) y de distribucion F (x).

b) Cual es la probabilidad de que una solicitud de mantencion derive en la compra deequipos nuevos de aire acondicionado?

c) En el verano anterior se recibieron 1263 solicitudes de mantencion de equipos de aireacondicionado. Estime el numeror de equipos nuevos que podran solicitarse en la proximatemporada suponiendo que la demanda sera similar.

R. b) 0,48 c) Se espera recibir 1263E(X) = 1263(0, 66) 834 solicitudes deequipos nuevos.

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2 EJERCICIOS

9. Un dispositivo tiene dos componentes mecanicos. Suponga que las probabilidades de que laprimera y la segunda componente cumplan con las especificaciones son 0,95 y 0,98. Supongaque las componentes funcionan independientemente. Determine la funcion de probabilidadpara el numero de componentes en el dispositivo que cumplen con las especificaciones.

R:x 0 1 2

p(x) 0,0010 0,0068 0,9310

10. Una pareja decide tener hijos hasta tener al menos uno de cada sexo o un maximo de treshijos. Suponga que la probabilidad de tener un hijo de sexo masculino (M) es 0,5 y que hayindependencia en el sexo de sus hijos. Represente en forma ordenada la posible secuencia delos generos de los hijos de esta pareja, denotando, M: masculino y F: femenino.a) Cuales son las posibles secuencias de los generos de los hijos? Considere estas secuenciascomo elementos de un espacio muestral S y calcule la probabilidad de cada uno de sus elemen-tos.b) Sea X el numero de hijas en la familia. Encuentre la funcion de probabilidad de X.c) Cual es la probabilidad de que la pareja tenga al menos una nina?

R: a)Espacio muestral MF FM FFM MMF FFF MMM

Probabilidad 1/4 1/4 1/8 1/8 1/8 1/8

b)x 0 1 2 3

p(x) 1/8 5/8 1/8 1/8c) 7/8

11. De los clientes que llegan a un Banco en un da cualquiera se sabe que 1 de cada 4 tiene cuentacorriente y tarjeta de credito en ese Banco y que 1 de cada 10 tiene en ese Banco solo cuentacorriente. Se eligen aleatoriamente a tres clientes que llegan al Banco en un da cualquiera yse define la variable aleatoria X como la cantidad de clientes entre los tres elegidos que tieneen ese Banco solo cuenta corriente. Determine la funcion de probabilidad de X

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Clase 10 e1 Variables Aleatoria Discreta (1)

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