Clase 1 Tema: Funciones cuadráticas - Colombia...

Aulas sin fronteras 1

Matemáticas 9Bimestre: III Número de clase: 1

Esta clase tiene video

Actividad 1

Algunas funciones cuadráticas se representan con la expresión f(x) = x2 y su correspondiente gráfica recibe el nombre de parábola. 1

1 Observe la parábola que representa la función: f (x) = x2

Tema: Funciones cuadráticas

Clase 1

f (x) = –x2x –3 –2 –1,5 –1 –0,5 0 0,5 1 1,5 2 3

y

En las siguientes imágenes se pueden ver arcos cuya forma se aproxima a una parábola.

Escriba en qué otros ejemplos de la vida real encuentra formas que se parecen a la gráfica de las funciones cuadráticas.

1

2 Lea con atención las características de la parábola que representa la función f (x) = x2. Verifique cada característica en la gráfica dada al inicio de la actividad.

La gráfica de f (x ) = x 2 se conoce con el nombre de parábola normal.

Es simétrica al eje y . La ecuación del eje y es x = 0.

En este caso, el punto (0; 0) es el punto de corte de la parábola normal con el eje de simetría y se llama vértice.

1–1 0–2–3–4–5–6 2 3 4 5 6

10

11

9

8

7

6

5

4

3

2

1

–1

x

y

(2, 4)(–2, 4)

(0, 0)

C

u

Vértice

Actividad 2

La siguiente tabla establece algunos valores correspondientes a la función f (x) = x2.

1 Complete la tabla realizando el cálculo y verifique con la gráfica de la actividad 1 los puntos encontrados.

Bimestre: III Número de clase: 1

2 Aulas sin fronteras

Matemáticas 9

2 Elabore una plantilla de la parábola normal. Para ello necesita papel milimetrado y cartulina; dibuje un plano cartesiano en el papel milimetrado con unidad de 1 cm y ubique los puntos de la tabla anterior y trace la parábola. Guíese con la gráfica que se presenta en la actividad 1a, y copie este plano sobre un acetato. Podrá usar la plantilla para examinar los cambios de la parábola. Observe las imágenes que muestran el procedimiento. 1–1 0–2–3 2 3

10

11

9

8

7

6

5

4

3

2

1

–1

x

y

1–1–1

–2–3 2 3x

y

1–1 0–2–3 2 3

10

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9

8

7

6

5

4

3

2

1

–1

x

y

1–1–1

–2–3 2 3x

y

f (x) = –x2x –3 –2 –1,5 –1 –0,5 0 0,5 1 1,5 2 3

y

Actividad 3

1 Complete la tabla de valores de la función f (x) = –x2.

2 Ubique cada una de las coordenadas (x, y) obtenidas de la tabla en el plano cartesiano. Luego una estos puntos en el orden establecido por los valores de x; la unión entre los puntos debe conservar un trazo curvo.

1–1 0–2–3 2 3

2

3

1

–1

–2

–3

–4

–5

–6

–7

–8

–9

x

y

Puede usar la plantilla que elaboró para ubicar los puntos de la parábola.



f (x) = x2x –3 –2 –1,5 –1 –0,5 0 0,5 1 1,5 2 3

y

f (x) = 2x2x –3 –2 –1,5 –1 –0,5 0 0,5 1 1,5 2 3

y

f (x) = 12

x2

x –3 –2 –1,5 –1 –0,5 0 0,5 1 1,5 2 3

y

Actividad 4

Complete las siguientes tablas de valores correspondiente a las funciones

f (x) = x2 ; f (x) = 2x2 ; f (x) = 12

x2

3 ¿Qué diferencias observa entre las tablas de valores de las funciones f (x) = x2 y f (x) = –x2?

4 ¿Cómo es la gráfica de f (x) = –x2 con respecto a f (x) = x2?

5 ¿Cuáles son las coordenadas del vértice de la parábola que representa la función f (x) = –x2?

6 ¿Cuál es el eje de simetría de la gráfica de f (x) = –x2?

7 En conclusión, ¿qué efecto tiene el signo menos sobre la parábola f (x) = x2?



Matemáticas 9

1 Según las coordenadas obtenidas en las tablas de valores, escriba la función que representa cada una de las siguientes parábolas. 2

2 ¿Qué le ocurre a la grafica de la parábola normal cuando la ecuación es multiplicada por 2?

3 ¿Cuál es el vértice de la parábola que representa la función f (x) = 2x2?

4 ¿Cuál es el eje de simetría de la gráfica de esta función?

5 ¿Qué le ocurre a la gráfica de la parábola normal cuando la ecuación es multiplicada por 12

?

6 ¿Cuál es el vértice de la parábola que representa esta función f (x) = 12

x2?

7 ¿Cuál es el eje de simetría de la gráfica de esta función?

Para la función cuadrática f (x) = ax2, se tiene que:

Si 0 < a < 1 la parábola es una dilatación con respecto a la parábola normal.

Si a > 1, la parábola se contrae con respecto a la parábola normal

Si a < 0, la parábola es un reflejo en el eje x de la parábola normal.

Grafique en el programa Geogebra tres funciones cuadráticas que ejemplifiquen lo anterior.

2

1–1 0–2–3–4–5–6 2 3 4 5 6

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

–1

x

y

f (x) =

f (x) =

f (x) =



Actividad 5

Escriba una función de la forma f (x) = ax2 para cada una de las parábolas.

1–1 0–2–3 2 3

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11

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6

5

4

3

2

1

–1

x

y

10

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9

8

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6

5

4

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2

1

y

x1–1 0–2–3 2 3

–1

1–10

–2–3 2 3

2

3

1

–1

–2

–3

–4

–5

–6

–7

–8

–9

x

y

1–10

–2–3 2 3

2

3

1

–1

–2

–3

–4

–5

–6

–7

–8

–9

x

y

1–1 0–2–3 2 3

10

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7

6

5

4

3

2

1

–1

x

y

10

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9

8

7

6

5

4

3

2

1

y

x1–1 0–2–3 2 3

–1

1–10

–2–3 2 3

2

3

1

–1

–2

–3

–4

–5

–6

–7

–8

–9

x

y

1–10

–2–3 2 3

2

3

1

–1

–2

–3

–4

–5

–6

–7

–8

–9

x

y

1–1 0–2–3 2 3

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7

6

5

4

3

2

1

–1

x

y

10

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6

5

4

3

2

1

y

x1–1 0–2–3 2 3

–1

1–10

–2–3 2 3

2

3

1

–1

–2

–3

–4

–5

–6

–7

–8

–9

x

y

1–10

–2–3 2 3

2

3

1

–1

–2

–3

–4

–5

–6

–7

–8

–9

x

y

1–1 0–2–3 2 3

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6

5

4

3

2

1

–1

x

y

10

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7

6

5

4

3

2

1

y

x1–1 0–2–3 2 3

–1

1–10

–2–3 2 3

2

3

1

–1

–2

–3

–4

–5

–6

–7

–8

–9

x

y

1–10

–2–3 2 3

2

3

1

–1

–2

–3

–4

–5

–6

–7

–8

–9

x

y

1 2

3 4



Matemáticas 9

Actividad 6

Observe las siguientes gráficas de funciones cuadráticas y la expresión algebraica que las describe.

Tema: Funciones cuadráticas de la forma y = x + e

Clase 22

1 Describa cómo se obtienen las gráficas anteriores partiendo de la gráfica representada por la función y = x2

2 ¿Qué representa el número 2 en cada una de las expresiones de las funciones?

3 Escriba las coordenadas del vértice de cada una de las parábolas.

V ( ; ) V ( ; )

4 ¿Qué le pasa a la gráfica de la función y = (x – 100) x 2 – 100 en relación con la gráfica de la función y = x2?

1–1 0–2–3 2 3

8

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7

6

5

4

3

2

1

–1

–2

–3

x

y

1–1 0–2–3 2 3

10

11

9

8

7

6

5

4

3

2

1

–1

x

y

y = x2 +2

y = x2 -2

1–1 0–2–3 2 3

8

9

7

6

5

4

3

2

1

–1

–2

–3

x

y

1–1 0–2–3 2 3

10

11

9

8

7

6

5

4

3

2

1

–1

x

y

y = x2 +2

y = x2 -2



Actividad 7

Elabore la tabla de valores y dibuje la gráfica de las siguientes funciones cuadráticas en el mismo sistema de coordenadas. Identifíquelas con un color diferente. 3

1 Parábola: y = x2 + 3 2 Parábola: y = x2 – 3 3 Parábola: y = x2 + 2,5

4 Escriba el vértice de cada una de las parábolas anteriores.

Vértice de la parábola 1: Vértice de la parábola 2: Vértice de la parábola 3:

Las gráficas de las funciones cuadráticas de la forma

y = x2 + e

Son parábolas normales trasladadas en el eje y.

Su vértice es V ( 0 ; e)

Su eje de simetría es el eje y. Es decir, la recta x = 0.

3

1–1 0–2–3–4–5–6 2 3 4 5 6

6

5

4

3

2

1

–1

–5

–6

–3

–2

–4

x

y



Matemáticas 9

1–1 0–2–3 2 3

5

4

2

3

1

–1

–2

–3

–4

–5

–7

–6

x

y

1–1 0–2–3 2 3

1

–1

–2

–3

–4

–5

–6

–7

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–11

–10

x

y

1–1 0–2–3 2 3

1

–1

–2

–3

–4

–5

–6

–7

–8

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–10

x

y

1–10

–2–3 2 3

1

–1

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–3

–4

–5

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–7

–8

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–11

–10

x

y

1–1 0–2–3 2 3

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9

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6

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3

2

1

–1

x

y

1–1 0–2–3 2 3

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9

8

7

6

5

4

3

2

1

–1

x

y

1–1 0–2–3 2 3

5

4

2

3

1

–1

–2

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–4

–5

–7

–6

x

y

1–1 0–2–3 2 3

1

–1

–2

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–6

–7

–8

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–10

x

y

1–1 0–2–3 2 3

1

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–2

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x

y

1–10

–2–3 2 3

1

–1

–2

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–10

x

y

1–1 0–2–3 2 3

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9

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7

6

5

4

3

2

1

–1

x

y

1–1 0–2–3 2 3

10

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9

8

7

6

5

4

3

2

1

–1

x

y

1–1 0–2–3 2 3

5

4

2

3

1

–1

–2

–3

–4

–5

–7

–6

x

y

1–1 0–2–3 2 3

1

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x

y

1–1 0–2–3 2 3

1

–1

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–4

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–6

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–11

–10

x

y

1–10

–2–3 2 3

1

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–2

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–4

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x

y

1–1 0–2–3 2 3

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6

5

4

3

2

1

–1

x

y

1–1 0–2–3 2 3

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9

8

7

6

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4

3

2

1

–1

x

y

1–1 0–2–3 2 3

5

4

2

3

1

–1

–2

–3

–4

–5

–7

–6

x

y

1–1 0–2–3 2 3

1

–1

–2

–3

–4

–5

–6

–7

–8

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–11

–10

x

y

1–1 0–2–3 2 3

1

–1

–2

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–4

–5

–6

–7

–8

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–10

x

y

1–10

–2–3 2 3

1

–1

–2

–3

–4

–5

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–7

–8

–9

–11

–10

x

y

1–1 0–2–3 2 3

10

11

9

8

7

6

5

4

3

2

1

–1

x

y

1–1 0–2–3 2 3

10

11

9

8

7

6

5

4

3

2

1

–1

x

y

1–1 0–2–3 2 3

5

4

2

3

1

–1

–2

–3

–4

–5

–7

–6

x

y

1–1 0–2–3 2 3

1

–1

–2

–3

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–5

–6

–7

–8

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–10

x

y

1–1 0–2–3 2 3

1

–1

–2

–3

–4

–5

–6

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–11

–10

x

y

1–10

–2–3 2 3

1

–1

–2

–3

–4

–5

–6

–7

–8

–9

–11

–10

x

y

1–1 0–2–3 2 3

10

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9

8

7

6

5

4

3

2

1

–1

x

y

1–1 0–2–3 2 3

10

11

9

8

7

6

5

4

3

2

1

–1

x

y

1–1 0–2–3 2 3

5

4

2

3

1

–1

–2

–3

–4

–5

–7

–6

x

y

1–1 0–2–3 2 3

1

–1

–2

–3

–4

–5

–6

–7

–8

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–11

–10

x

y

1–1 0–2–3 2 3

1

–1

–2

–3

–4

–5

–6

–7

–8

–9

–11

–10

x

y

1–10

–2–3 2 3

1

–1

–2

–3

–4

–5

–6

–7

–8

–9

–11

–10

x

y

1–1 0–2–3 2 3

10

11

9

8

7

6

5

4

3

2

1

–1

x

y

1–1 0–2–3 2 3

10

11

9

8

7

6

5

4

3

2

1

–1

x

y

f (x) =

V ( , )

f (x) =

V ( , )

f (x) =

V ( , )

f (x) =

V ( , )

f (x) =

V ( , )

f (x) =

V ( , )

1

4

3

6

2

5

Actividad 8

Escriba las expresiones algebraicas de las funciones representadas en cada gráfica. Escriba también las coordenadas del vértice de la parábola.



Actividad 9

Actividad 10

1 Complete las siguientes tablas de valores correspondientes a las funciones

f (x) = (x + 2)2 y f (x) = (x – 2)2

Compare las tres parábolas que se obtuvieron en la gráfica anterior y responda.

1 ¿Qué le ocurre a la parábola de la función y = (x + 2)2 con respecto a la parábola y = x2?

2 Escriba las coordenadas del vértice de la parábola y = (x + 2)2. V( , )

2 Teniendo en cuenta los valores de las tablas realice la gráfica de cada una de las funciones cuadráticas en el plano cartesiano.

Tema: Funciones cuadráticas de la forma y = (x + d)

Clase 32

f (x) = (x + 2)2x –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4

y

f (x) = (x – 2)2x –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4

y

1–1 0–2–3–4–5–6 2 3 4 5 6

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

–1

x

y

y = x2


Matemáticas 9 Bimestre: III Número de clase: 3

Actividad 11

Escriba la expresión algebraica que describe cada una de las funciones cuadráticas representadas. Luego, escriba su vértice.

3 ¿Qué le ocurre a la parábola de la función y = (x – 2)2 con respecto a la parábola y = x2?

4 Escriba el vértice de la parábola de la función y = (x – 2)2. V ( , )

5 En general, qué le ocurre a la parábola de la función y = (x + d)2 y y = (x – d)2

6 Escriba el vértice de cada una de las parábolas.

y = (x + d)2 V ( , ) y = (x – d)2 V ( , )

1 2 3

–3–4–5 0–6 –2 –1

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

–1

x

y

430 21 5 6

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

–1

x

y

430 21 5 6 7 8

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

–1

x

y



Actividad 12

Actividad 13

Observe la gráfica de la función cuadrática y su correspondiente expresión algebraica.

Escriba la expresión algebraica de la función y el vértice de la parábola que la representa.

1 La parábola normal se trasladó 4 unidades hacia la derecha del eje x.

y = V( , )

2 La parábola normal se trasladó 3,5 unidades hacia la izquierda del eje x.

y = V( , )

3 La parábola normal fue reflejada en el eje x y se trasladó hacia la derecha del mismo eje 2 unidades.

y = V( , )

1 2 3 4 50

–1

1

–1

–2

–3

–4

–5

–6

–7

–8

–9

–11

–10

x

y

y = –(x – 2)2

1 ¿Qué cambio tuvo la parábola y = x2 en relación con y = –(x – 2)2?

2 ¿Cuáles son las coordenadas del vértice de esta parábola?

V ( , )

3 ¿Cuál es la ecuación del eje de simetría de la parábola y = –(x – 2)2?

4 Lea la siguiente información

Las gráficas de las funciones de la forma y = (x – d )2 y y = (x + d )2 se pueden obtener haciendo una traslación en el eje x de la parábola y = x2. Dicha traslación será de d unidades a la derecha (si d es negativo) o d unidades a la izquierda (si d es positivo).

Si d es negativo, el vértice de la parábola está en el punto V (d , 0) y el eje de simetría es la recta x = d.

Si d es positivo, el vértice está ubicado en el punto V (–d, 0) y el eje de simetría es la recta de ecuación x = – d



Actividad 14

Actividad 15

1 La parábola normal fue trasladada unidades a la izquierda del eje x.

2 La parábola normal fue trasladada unidades hacia abajo del eje y.

3 El vértice de la parábola de la función es V ( –1, )

4 El eje de simetría es la línea paralela al eje y cuya ecuación es:

Observe la gráfica de la función cuadrática y la expresión algebraica que la representa y complete cada enunciado de acuerdo a la información dada en la gráfica.

1 Complete la tabla escribiendo el vértice o la expresión algebraica de la función según corresponda en cada caso.

Tema: Funciones cuadráticas de la forma y = (x + d) + e

Clase 42

–1 0–2–3–4–5 21 3

7

8

6

5

4

3

2

1

–4

–3

–2

–1x

y

y = (x + 1)2 – 2

Todas las funciones cuadráticas de la forma

y = (x + d)2 + e

Tienen como vértice V(–d ; e)

Expresión Vértice

a) y = (x – 4)2 + 6 V ( , )

b) y = V(–2 , 5)

c) y = (x – 7)2 – 9 V ( , )



2 Escriba la expresión algebraica correspondiente a cada parábola.

10–1–2 432 5

7

8

9

10

6

5

4

3

2

1

–2

–1

x

y

–1 0–2–3 2 31

7

8

9

10

6

5

4

3

2

1

–2

–1

x

y

–1 0–2–3–4–5 1

7

8

9

10

6

5

4

3

2

1

–2

–1

x

y

10–1–2 432 5

7

8

9

10

6

5

4

3

2

1

–2

–1

x

y

–1 0–2–3 2 31

7

8

9

10

6

5

4

3

2

1

–2

–1

x

y

–1 0–2–3–4–5 1

7

8

9

10

6

5

4

3

2

1

–2

–1

x

y

10–1–2 432 5

7

8

9

10

6

5

4

3

2

1

–2

–1

x

y

–1 0–2–3 2 31

7

8

9

10

6

5

4

3

2

1

–2

–1

x

y

–1 0–2–3–4–5 1

7

8

9

10

6

5

4

3

2

1

–2

–1

x

y

Actividad 16

1 Observe la gráfica y las expresiones algebraicas de la función que representan. Luego, lea la información del Cuadro de diálogo. 4

Cuando una función cuadrática se representa como y = (x – d)2 + e se dice que está expresada en forma del vértice.

También esta función cuadrática se representa como y = x2 + bx – c y se dice que está expresada en forma general.

¿Por qué una de las expresiones que representa las funciones cuadráticas recibe el nombre de forma del vértice?

4

10–1 432 5 6

7

8

9

10

6

5

4

3

2

1

–2

–1

x

yy = (x – 3)2 + 1y = x2 – 6x + 10

a) b) c)



2 Escriba las siguientes expresiones de forma del vértice a forma general.

a) y = (x – 3)2 + 1

b) y = (x + 4)2 – 5

c) y = –(x + 5)2 + 7

Para escribir la expresión de forma del vértice a la forma

general de una función cuadrática, se debe resolver el

paréntesis y simplificar términos.



Actividad 17

Actividad 18

Escriba la expresión algebraica de la función que representa cada transformación de la gráfica de una función cuadrática.

1 Lea la información.

En las parábolas cuya expresión algebraica tiene la forma y = a (x – d)2 + e, se pueden identificar características como:

Tema: Funciones cuadráticas de la forma a (x + d) + e

Clase 52

1–1 0–2–3 2 3

10

11

9

8

7

6

5

4

3

2

1

–1

x

y

10 2 3 4 5 6

10

11

9

8

7

6

5

4

3

2

1

–1

x

y

10 2 3 4 5

10

11

9

8

7

6

5

4

3

2

1

–1

x

y

10 2 3 4 5

10

11

9

8

7

6

5

4

3

2

1

–1

x

y

4

42

3

30 21–1 5 6 7 8

8

7

6

5

4

3

2

1

–1

x

y

Parábola normal Tiene un factor de 2Se traslada 3 unidades hacia derecha

Se traslada 1 unidad hacia arriba

1 y = 2 y = 3 y = 4 y =

y = 3(x – 4)2 + 2

La parábola se contrae, por el

factor 3.

La parábola se traslada 4

unidades hacia la derecha del eje x.

La parábola se traslada 2

unidades hacia arriba del eje y.



2 Escriba la expresión algebraica de la función y su correspondiente vértice en cada una de las parábolas.

1–1 0–2–3–4–5–6 2 3 4 5 6

6

7

8

9

5

4

3

2

1

–1

–5

–6

–7

–8

–9

–3

–2

–4

x

y

a

e

f

c

b

d

a) V ( , ) y = b) V ( , ) y =

c) V ( , ) y = d) V ( , ) y =

e) V ( , ) y = f ) V ( , ) y =

Actividad 19

1 Observe la gráfica y las expresiones algebraicas de la función que la representan.

y = 3x2 + 6x + 1 y = 3(x + 1)2 – 2



2 Escriba de la forma general a la forma del vértice las siguientes funciones cuadráticas.

a) y = 4x2 – 16x + 2 b) y = 32

x2 + 3x – 6 c) y = 0,3x2 + 0,2x – 1,5

Por ejemplo para la función y = 3x2 + 6x + 1 se tiene que:

xvértice = – 6

2 · 3 ; xvértice = –1 Usando la formula xvértice = – b

2a

y =3·(–1)2 + 6·(–1) + 1 = –2 Reemplazando x en y = 3x2 + 6x + 1

V (–1, –2) Coordenada del vértice

y = 3(x + 1)2 – 2 Se tiene en cuenta que a es 3.

Para escribir la expresión de la parábola de la forma general a la forma del vértice, se tiene en cuenta lo siguiente:

–1 0–2–3–4 21 3

7

8

6

5

4

3

2

1

–4

–3

–2

–1

x

y

Forma general: y = ax2 + bx + c

Fórmula del vértice: xvértice = – b2a

Clase 1 Tema: Funciones cuadráticas - Colombia...

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