CONTROL MODERNO , UNIDAD 1.

1 FBX

Unidad 1 REPRESENTACION DE SISTEMAS EN

VARIABLES DE ESTADO

1.1 Introducción La teoría moderna de control está basada en el conocimiento del comportamiento

interno de los sistemas, reflejado en las variables que influyen en su dinámica.

Estas variables constituyen el concepto de estado del sistema. El conocimiento de

la evolución de todas las variables que influyen en la dinámica del sistema permite

efectuar un control más potente de ésta y abordar el control de sistemas más

complejos.

La teoría moderna de control se desarrolla para solventar algunos de los

problemas en los que presenta fuertes limitaciones la denominada teoría clásica,

basada en el modelado de la relación entre una entrada y una salida de los

sistemas dinámicos lineales de parámetros constantes. Las ventajas de la teoría

moderna de control, en contraposición a la teoría clásica, son fundamentalmente

las siguientes:

• Es aplicable a sistemas multivariables en los que existe un elevado grado de

interacción entre las variables del sistema, no pudiendo establecerse bucles de

control entre una salida y una entrada concreta que se puedan ajustar de forma

independiente según se aborda en la teoría clásica.

• Es aplicable a sistemas con relaciones no-lineales entre las variables

involucradas en su dinámica y cuyo comportamiento no puede ser aproximado por

un modelo lineal, dentro del rango de valores que van a tomar sus variables.

• Es aplicable a sistemas cuyos parámetros varían en el tiempo a velocidades

comparables con la evolución de sus variables, para los que no se puede obtener,

en consecuencia, un modelo de parámetros constantes válido en el rango

temporal necesario para efectuar el control.

• Es aplicable a sistemas complejos de control, con un gran número de variables

internas que condicionan el comportamiento futuro de la salida. La utilización de la

realimentación sólo de la salida, según el modelo clásico, empobrece la

información disponible por el regulador para controlar la planta, lo que llega a

impedir un control de la salida del sistema con mejores prestaciones.

• Es aplicable a la optimización del comportamiento de sistemas, entendida ésta

como la minimización de una función objetivo que describe un índice de costo que

a su vez refleja la calidad en la consecución de los objetivos de control.

Las mencionadas ventajas diferenciadoras de la teoría son abordadas por distintas

ramas del control, denominadas respectivamente: control multivariable, control no-

lineal, control adaptativo, control por asignación de polos y control óptimo. Aunque

cada una de estas ramas del control automático utiliza técnicas que le son propias,

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todas ellas confluyen en la necesidad de un modelo del comportamiento de

sistemas dinámicos que incluya la evolución de sus variables internas, que pueda

aplicarse a sistemas multivariables y que pueda ser no-lineal y/o de parámetros no

constantes. Este modelo del sistema es el denominado modelo de estado del

sistema.

Si los sistemas multivariables a los que se aplica la teoría moderna de control

presentan un comportamiento dinámico que puede aproximarse por modelos

lineales de parámetros constantes, se simplifica mucho su análisis y el diseño de

los reguladores multivariables.

1.2 Representación en variables de estado

Representación de Sistemas de función de transferencia a variables de estado

Los sistemas se presentan en variables de estado por la ecuación:

�� = 𝑨𝒙 + 𝑩𝒖

𝒚 = 𝑪𝒙 + 𝑫𝒖

𝒙 = vector de estado

�� = derivada del vector de estados con respecto al tiempo

𝒚 = vector de salida

𝒖 = vector de entrada o de control

𝑨 = Matriz del sistema

𝑩 = Matriz de la entrada

𝑪 = Matriz de la salida

𝑫 = Matriz de la prealimentación

Forma en variables de fase

Ejemplo 1

Sea

𝐶(𝑠)

𝑅(𝑠)=

24

𝑠3 + 9𝑠2 + 26𝑠 + 24

En producto cruz

𝐶(𝑠)[𝑠3 + 9𝑠2 + 26𝑠 + 24] = 24𝑅(𝑠)

Al aplicar la transformada inversa de Laplace con condiciones iniciales cero

𝑐 + 9�� + 26�� + 24𝑐 = 24𝑟

Al escoger las variables de estado como:

𝑥1 = 𝑐

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𝑥2 = ��

𝑥3 = ��

Al derivar

𝑥1 = ��

𝑥2 = ��

𝑥3 = 𝑐

Se tiene que

[��1

��2

��3

] = [0 1 00 0 1

−24 −26 −9] [

𝑥1

𝑥2

𝑥3

] + [0024

] 𝑟

𝑦 = [1 0 0] [

𝑥1

𝑥2

𝑥3

]

Forma en variables de fase

Ejemplo 2

Sea

𝐶(𝑠)

𝑅(𝑠)=

𝑠2 + 7𝑠 + 2

𝑠3 + 9𝑠2 + 26𝑠 + 24

Se separa en dos bloques denominador (polos) y luego numerador (ceros)

𝑋1(𝑠)

𝑅(𝑠)= (

1

𝑠3 + 9𝑠2 + 26𝑠 + 24)

y

𝐶(𝑠)

𝑋1(𝑠)= (

𝑠2 + 7𝑠 + 2

1)

Al aplicar la transformada inversa de Laplace con condiciones iniciales cero

𝑥1 + 9𝑥1 + 26𝑥1 + 24𝑥1 = 𝑟

y

𝑥1 + 7𝑥1 + 2𝑥1 = 𝑐

Al escoger las variables de estado como:

𝑥1 = 𝑥1

𝑥2 = 𝑥1

𝑥3 = 𝑥1

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Al derivar

𝑥1 = 𝑥2

𝑥2 = 𝑥3

𝑥3 = 𝑥1

Se tiene que

𝑥3 + 9𝑥3 + 26𝑥2 + 24𝑥1 = 𝑟

𝑥3 + 7𝑥2 + 2𝑥1 = 𝑐

Se tiene que

[��1

��2

��3

] = [0 1 00 0 1

−24 −26 −9] [

𝑥1

𝑥2

𝑥3

] + [001] 𝑟

𝑦 = [2 7 1] [

𝑥1

𝑥2

𝑥3

]

1.3 Solución de la ecuación de Estado

POR TRANSFORMADA DE LAPLACE

Caso escalar

x = 𝑎x

Aplicando la transformada de Laplace

𝑠𝑋(𝑠) − 𝑥(0) = 𝑎𝑋(𝑠)

𝑋(𝑠)(𝑠 − 𝑎) = 𝑥(0)

Despejando 𝑋(𝑠) se tiene que

𝑋(𝑠) =𝑥(0)

𝑠 − 𝑎= (𝑠 − 𝑎)−1𝑥(0) =

1

𝑠 + (−𝑎)𝑥(0)

𝑋(𝑠) =1

𝑠 + (−𝑎)𝑥(0)

Al aplicar la transformada inversa de Laplace

𝑥(𝑡) = 𝑒𝑎𝑡𝑥(0)

Caso matricial

�� = 𝑨𝒙

Aplicando la transformada de Laplace

𝑠𝑿(𝑠) − 𝒙(0) = 𝑨𝑿(𝑠)

Despejando 𝑿(𝑠) se tiene que

𝑠𝑿(𝑠) − 𝑨𝑿(𝑠) = 𝒙(0)

(𝑠𝑰 − 𝑨)𝑿(𝑠) = 𝒙(0)

𝑿(𝑠) = (𝑠𝑰 − 𝑨)−1𝒙(0)

Como:

𝓛−𝟏(𝑠𝑰 − 𝑨)−1 = 𝓛−𝟏 (𝑰

𝑠+

𝑨

𝑠2+

𝑨2

𝑠3+ ⋯) = 𝑒𝑨𝑡

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Al aplicar la transformada inversa de Laplace

𝒙(𝑡) = 𝑒𝑨𝑡𝒙(0)

EJEMPLO:

Hallar 𝑒𝑨𝑡 del sistema:

[𝑥1

𝑥2] = [

0 1−2 −3

] [𝑥1

𝑥2] + [

01] 𝑢

𝑨 = [0 1

−2 −3]

𝑠𝑰 − 𝑨 = [𝑠 −12 𝑠 + 3

]

|𝑠𝑰 − 𝑨| = 𝑠2 + 3s + 2 = (𝒔 + 𝟐)(𝒔 + 𝟏)

(𝑠𝑰 − 𝑨)−1 =𝟏

(𝒔 + 𝟐)(𝒔 + 𝟏)[𝒔 + 𝟑 𝟏−𝟐 𝒔

]

𝑒𝑨𝑡 = 𝓛−𝟏

[

𝒔 + 𝟑

(𝒔 + 𝟐)(𝒔 + 𝟏)

𝟏

(𝒔 + 𝟐)(𝒔 + 𝟏)−𝟐

(𝒔 + 𝟐)(𝒔 + 𝟏)

𝒔

(𝒔 + 𝟐)(𝒔 + 𝟏)]

𝒔 + 𝟑

(𝒔 + 𝟐)(𝒔 + 𝟏)=

𝟐

𝒔 + 𝟏+

−𝟏

𝒔 + 𝟐

𝟏

(𝒔 + 𝟐)(𝒔 + 𝟏)=

𝟏

𝒔 + 𝟏+

−𝟏

𝒔 + 𝟐

−𝟐

(𝒔 + 𝟐)(𝒔 + 𝟏)=

−𝟐

𝒔 + 𝟏+

𝟐

𝒔 + 𝟐

𝒔

(𝒔 + 𝟐)(𝒔 + 𝟏)=

−𝟏

𝒔 + 𝟏+

𝟐

𝒔 + 𝟐

= 𝓛−𝟏 [

𝟐

𝒔 + 𝟏+

−𝟏

𝒔 + 𝟐

𝟏

𝒔 + 𝟏+

−𝟏

𝒔 + 𝟐−𝟐

𝒔 + 𝟏+

𝟐

𝒔 + 𝟐

−𝟏

𝒔 + 𝟏+

𝟐

𝒔 + 𝟐

]

𝑒𝑨𝑡 = [ 2𝑒−𝑡 − 𝑒−2𝑡 𝑒−𝑡 − 𝑒−2𝑡

−2𝑒−𝑡 + 2𝑒−2𝑡 −𝑒−𝑡 + 2𝑒−2𝑡]

Dada la representación de estados, deseamos llegar a la función de transferencia.

𝒀(𝒔)

𝑼(𝒔)=

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�� = 𝑨𝒙 + 𝑩𝒖

𝒚 = 𝑪𝒙 + 𝑫𝒖

Aplicando la transformada de Laplace a �� = 𝑨𝒙 + 𝑩𝒖

Con condiciones iniciales cero

𝑠𝑿(𝑠) = 𝑨𝑿(𝑠) + 𝑩𝑼(𝒔)

Despejando X(s)

𝑠𝑿(𝑠) − 𝑨𝑿(𝑠) = 𝑩𝑼(𝒔)

(𝑠𝐼 − 𝐴)𝑿(𝑠) = 𝑩𝑼(𝒔)

𝑿(𝑠) = (𝑠𝑰 − 𝑨)−1𝑩𝑼(𝒔)

La transformada de Laplace del vector de salida 𝒚 = 𝑪𝒙 + 𝑫𝒖 es:

𝒀(𝒔) = 𝑪𝑿(𝒔) + 𝑫𝑼(𝒔)

𝒀(𝒔) = 𝑪[(𝑠𝑰 − 𝑨)−1𝑩𝑼(𝒔)] + 𝑫𝑼(𝒔)

Factorizando 𝑼(𝑠) por la derecha

𝒀(𝒔) = 𝑪[(𝑠𝑰 − 𝑨)−1𝑩 + 𝑫]𝑼(𝒔)

Luego

𝒀(𝒔)

𝑼(𝒔)= 𝑪[(𝑠𝑰 − 𝑨)−1𝑩 + 𝑫]

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12 de enero 2015