Clase 08 Funci.n de Transferencia -...

Clase 08 Función de Transferencia.doc 1

1. Ubicación de Polos de Una Función de Transferencia 1. UBICACIÓN DE POLOS DE UNA FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA 1

1.1. PLANTEO DEL PROBLEMA 2

1.2. ECUACIÓN DIOFANTINA 8

1.2.1. Algoritmo de Euclides 9

1.2.2. Solución 10

1.2.3. Matriz de Sylvester. 12

1.3. PARTICULARIZACIONES DEL MÉTODO 13

1.3.1. Cancelación de Polos y Ceros 13

1.1.1. Separación del Control de Perturbaciones y Seguimiento de Referencia 16

1.1.2. Mejor Rechazo a Perturbaciones 19

1.4. SENSIBILIDAD A ERRORES DE MODELO 31

1.4.1. Márgenes de Estabilidad 31

1.1.3. Otra Forma de Ver el Problema 32

1.5. PROCEDIMIENTO DE DISEÑO 35

1.5.1. Cálculo de la Ley de Control 39

1.6. PARAMETRIZACIÓN DE YOULA-KUCERA 44

1.7. ASPECTOS PRÁCTICOS 46


1.1. Planteo del Problema Proceso

( ) ( )k kA q y B q u= [1.1]

grado de B menor que grado de A. A es mónico. Es un sistema continuo, muestreado, con bloqueador de orden cero, actuador, filtro

antialiasing. Las perturbaciones son impulsos espaciados que se pueden estudiar como pertur-

baciones en el valor inicial. Se desea que la salida siga una trayectoria de diseño y tenga acción integral. Ley de control lineal

( ) ( ) ( )k k kR q u T q r S q y= − [1.2]

R es mónico. ur

( )S z

( )( )

B zA z( )

1R z( )T z

y


tiene una realimentación y un control en adelanto

( ) ( )( )

( ) ( )( )

ff

fb

T zH z R z

S zH z R z

=

= [1.3]

grado de S menor que grado de R. Para el cálculo se reemplaza el controlador en el modelo de la planta

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )k kA q R q B q S q y B q T q r+ = [1.4]

el denominador es

( ) ( ) ( ) ( ) ( )lc mA A q R q B q S q A q= + = [1.5]

resultando una ecuación Diofantina Siempre tiene solución si A y B no tienen raíces comunes. El denominador en lazo cerrado se puede factorear

( ) ( )lc c oA A q A q= [1.6]

con


( ) ( )( ) ( )

det

detc

o

A z zI L

A z zI KC

= −Φ + Γ

= −Φ + [1.7]

es la separación del control y el observador Cálculo de T

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )c clc c o

B z T z B z T zY z R z R z

A z A z A z= = [1.8]

los ceros se mantienen excepto que se cancelen con lcA

Se elige T para cancelar el observador

( ) ( )o oT z t A z= [1.9]

donde ot se elige para tener ganancia unitaria es decir

( ) ( )( ) ( )o

cc

t B zY z R z

A z= [1.10]

( )( )11

co

At

B= [1.11]


Ejemplo 1.1. Doble Integrador

( ) ( )

( ) ( )

2

2

1

12

A z z

TB z z

= −

= + [1.12]

ecuación diofantina

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2

2 2 1 12 lc

Tz z R z z S z A z− + + + = [1.13]

se busca el control más simple. El más simple de todos es ( ) 1R z = y ( ) 0S z s= que es un control proporcional.

en este caso resulta

( ) ( )2

2 02 1 12 lc

s Tz z z A z− + + + = [1.14]

no tiene solución general para un polinomio ( )lcA z de segundo orden

Con uno de primer orden ( ) 1R z z r= + y ( ) 0 1S z s z s= +

( ) ( ) ( )( ) ( )2

21 0 12 1 1

2 lcTz z z r z s z s A z− + + + + + = [1.15]


( ) ( )2 2 2

3 21 0 1 0 1 1 12 1 2

2 2 2 lcT T Tz r s z r s s z r s A z

+ + − + − + + + + =

[1.16]

es posible encontrar los coeficientes para cualquier polinomio ( )lcA z de tercer orden. Se elige

( ) 3 21 2 3lcA z z p z p z p= + + + [1.17]

resulta

1 2 31

1 2 30 2

1 2 31 2

34

5 32

3 32

p p pr

p p psT

p p psT

+ + −=

+ + −=

+ − −=

[1.18]

Se elige la raíz real como raíz del observador Generalmente resultan controladores de orden elevado. Se puede obtener un regulador con un integrador en forma explícita haciendo

( ) ( )( )( )

1

20 1 2

1R z z r z

S z s z s z s

= + −

= + + [1.19]


1.2. Ecuación Diofantina Ecuación polinomial

AX BY C+ = [1.20]

Ejemplo 1.2. Ecuación 3 2 5x y+ = [1.21]

si las variables son reales, tiene infinitas soluciones. Es una recta. Si son enteras, una solución es [ ] [ ], 1,1x y = .

Las otras soluciones serán

0

0

23

x x ny y n= += −

[1.22]

algunas soluciones : 5 3 1 1 3 5 7: 10 7 4 1 2 5 8

xy

− − −− − −

[1.23]

Ejemplo 1.3. Ecuación sin solución 4 6 1x y+ = [1.24]

Las ecuaciones planteadas en el controlador son parecidas a estas.


1.2.1. Algoritmo de Euclides Encuentra el mayor divisor común G de dos polinomios A y B. Es un algoritmo recursivo Si un polinomio es cero, G es directamente el otro polinomio Se supone que el grado de A es mayor o igual al de B. Se inicia el algoritmo con 0A A= y 0B B=

Se itera haciendo

1

1 modn n

n n n

A BB A B

+

+

==

[1.25]

hasta que 1 0nB + = en este caso nG B=

Además se cumple que AX BY G+ = [1.26]

Teorema 1. Existencia de solución de una ecuación diofantina Sean A, B y C polinomios de coeficientes reales. la ecuación AX BY C+ = tiene solución si el mayor factor común de A y B divide a C.


Si existe una solución [ ]0 0,X Y entonces existen otras soluciones [ ]0 0,X X QB Y Y QA= + = − con Q un polinomio arbitrario.

Surge del algoritmo anterior. Si A y B no tienen factores comunes, entonces 1G = . La ecuación [1.26] multiplicada por C queda

ACX BCY CG C+ = = [1.27]

1.2.2. Solución Se considera la ecuación

AX BY G+ = [1.28]

y 0AU BV+ = [1.29]

objetivo: calcular X, Y, U y V. Se escribe

0X Y A GU V B

=

[1.30]

1 00 1 0

X Y A G X YU V B U V

=

[1.31]


Para que el regulador sea causal los grados de S y T tienen que ser menores o

iguales al de R . Normalmente se considera

( ) ( ) ( )grado R grado T grado S= = [1.32]

Normalmente resulta

( ) ( ) ( ) ( ) 1ogrado R grado T grado S grado A n= = = = − [1.33]

y

( )cgrado A n= [1.34]

Si se quiere acción integral se aumenta en uno el grado del regulador


1.2.3. Matriz de Sylvester. la ecuación diofantina se puede resolver matricialmente planteando un sistema de

ecuaciones.

0 0 0

1 0 1 0 10

2 1 0 2 1 0

11 2 0 1 2 0

01 1 1 1

2 21

0 0 0 0 0 00 0 0 0

0 0

0 00 0 0 0

0 0 0 0 0 0

nn n n n n n

n n n n

n nn

n n

a b ca a b b c

xa a a b b b c

xa a a a b b b b

ya a a b b b

a a b by

a b

−− − − −

− −

−

=

2

1

2

2 1

n

n

n

n

ccc

c

+

+

−

[1.35]

la matriz de la izquierda es invertible si los polinomios A y B no tienen factores co-munes.


1.3. Particularizaciones del Método 1.3.1. Cancelación de Polos y Ceros Se pueden cancelar polos y ceros suficientemente alejados del uno. Sean los polinomios

A A AB B B

+ −

+ −

=

= [1.36]

donde A+ y B+son los factores a cancelar, son mónicos y estables. el controlador resultante será

R B RS A ST A T

+

+

+

=

=

=

[1.37]

el polinomio característico en lazo cerrado será

( )lc lcA AR BS A B A R B S A B A+ + − − + += + = + = [1.38]

los polinomios A+ y B+son factores del polinomio en lazo cerrado Haciendo la factorización


lc c oA A A= [1.39]

se toma

c c

o o

A B A

A A A

+

+

=

= [1.40]

cancelando se obtiene

lc c oA A R B S A A− −= + = [1.41]

El mínimo regulador causal se obtiene encontrando la única solución para el poli-nomio que cumple ( ) ( )grado S grado A−<

La ley de control se escribe B Ru A Tr A Sy+ + += − [1.42]

o sea

A T Su r yB R R

+

+

= −

[1.43]

se cancelan los polos y ceros de la planta y se los ubica en otra parte como si no existieran.

La relación referencia-salida es


0 0 0

0c lc c c

y BT t B B A t Br A A A A

+ − −

= = = [1.44]

se deben cancelar solo los modos estables. Se define una zona en donde sí se pueden cancelar ceros.


1.1.1. Separación del Control de Perturbaciones y Seguimiento de Referencia Se intentará hacer algo similar a variables de estado Sea la respuesta deseada

mm m

m

By H r rA

= = [1.45]

para tener un seguimiento perfecto, B− tiene que ser factor de mB ya que no se pueden cancelar esos ceros.

Por lo tanto

m mB B B−= [1.46]

Introduciendo

0

m

m

m c

R A B R

S A A S

T B A A A

+

+

+

=

=

=

[1.47]

La ley de control resulta

0m c

m

A B A A Su r yB A R R

+

+

= −

[1.48]


Además se cumple la ecuación

0 cA A A R B S− −= + [1.49]

y

( )0 mm c m m m m

m m m m m m

B A R B SB A A B A B B S B A B SA R A R A A R A B A R

− − − − −

−

+= = + = + [1.50]

con lo que la ley de control se rescribe

( )mm

m

B A A Su r y yA B B R

+

+= + − [1.51]

tiene dos componentes, una en adelanto con función de transferencia

( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

m mff

m m

B z A z B z A zH z

A z B z A z B z+= = [1.52]

y una realimentación proporcional al error entre la salida del modelo y la salida real, con función de transferencia

( ) ( ) ( )( ) ( )fb

A z S zH z

B z R z

+

+= [1.53]


ur

1−

( )( )

B zA z

( )( )

S zR z

y

( )( )

A zB z

( )( )

m

m

B zA z

my

ffu

fbu


1.1.2. Mejor Rechazo a Perturbaciones Ahora hay dos perturbaciones: v a la entrada e ruido de medición (salida) Se diseña un regulador quedando como la figura

ur( )( )

B zA z

( )( )

( )( )

T z S zu r y

R z R z= −

y

v

x

e

El sistema queda

( )Ax B u vy x e= +

= + [1.54]

resolviendo


BT BR BSx r v eAR BS AR BS AR BS

BT BR ARy r v eAR BS AR BS AR BS

AT BS ASu r v eAR BS AR BS AR BS

= + −+ + +

= + ++ + +

= + −+ + +

[1.55]

Si v es un escalón, B o R deben tener una raíz en 1. Si v es periódica, de período nT , B o R debe haber n raíces en 1 tal que

( )1 0nk n k kv v q v+ − = − = [1.56]

Si v es una senoide de frecuencia 0ω , B o R debe tener una dinámica tal que haga

( )0 1 22cos 0k k ky T y yω − −− + = [1.57]

El ruido de medición tiene, generalmente, alta frecuencia La frecuencia de Nyquist es la máxima frecuencia de interés y corresponde a 1z = − .

Una forma de eliminar esta frecuencia es hacer que S tenga un término 1z + R es para perturbaciones a la entrada S es para perturbaciones a la salida.


Ejemplo 1.4. Motor con Cancelación de Ceros el motor es

( ) ( )( )( )1

K z bH z

z z a−

=− −

[1.58]

con

( )

1

11

1

T

T

T

T

K e Ta e

T eb

e T

−

−

−

−

= − +

=

−= −

− +

[1.59]

el cero es real negativo el modelo a seguir es

( ) ( )( )

( )1 22

1 2

1mm

m

B q q p pH q

A q q p q p+ +

= =+ +

[1.60]

no tiene el cero de lazo abierto. Se debe cancelar la función de transferencia en lazo abierto tiene un cero en b . Se factoriza B como


B z bB K

+

−

= −

= [1.61]

1AA A

+

−

=

= [1.62]

por lo tanto

1 21mm

B p pBK K

+ += = [1.63]

ufcr

B BA A

+ −

+ −

SR

yTS +

−

cr

Se hace

0

m

m

m c

R A B R

S A A S

T B A A A

+

+

+

=

=

=

[1.64]


ufcrB BA A

+ −

+ −

A SB R

+

+

y0m c

m

B A AA S +

−

cr

La función de transferencia en lazo cerrado resulta

1c

S By T TBR A

S Br S RA SBR A

= =++

[1.65]

( )0m o c m c

c m m m

y TB B A A A B B B B A Ar RA SB A B RA A A A SB B A RA SB

+ + − −

+ + − + + − − −= = =

+ + + [1.66]

La ley de control resulta

0

0

c

m c mc

m m

m cc

m

Ru Tr Sy

B A A A A A Su r yA B R A B R

B A A A A Su r yA B R B R

+ +

+ +

+ +

+ +

= −

= −

= −

[1.67]

Además se cumple la ecuación


o cA A A R B S− −= + [1.68]

el observador se puede elegir como

( ) 1oA z = [1.69]

Los grados deR y S deben satisfacer

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

0 0

1 1mgrad R grad A grad A grad A

grad S grad A

= + − =

= − = [1.70]

Se eligeR de orden cero y S de orden uno. 2

1 2c c cA z a z a= + + [1.71]

o cA A A R B S− −= + [1.72]

( )( ) ( ) 20 0 1 1 21 c cz z a r K s z s z a z a− − + + = + + [1.73]

de donde,

1 2

0 0 11

1 c ca a a ar s s

K K+ + −

= = = [1.74]

Además


( ) ( ) ( ) ( )

( )

1 20 0

21 20 1 2

1

1

m

m c m c c c

z p pT z A z B z t z

Kp pT B A A A B A z a z aK

+

+ += = =

+ += = = + +

[1.75]

Si la referencia es constante se puede hacer

( )1 20 1 2

1 1 c cp pT t a aK

+ += = + + [1.76]

La ley de control es

m c m cc c

m m

m m c c m

S B A B A Su r y r yB R A S B RA B R

B RA u B A r SA y

+ + +

+

= − = −

= −

[1.77]

( )( ) ( )

( )

2 21 21 2 1 2

2 1 21 2

1

1

c c c

c c

p pq b q p q p u q a q a rK

a a a aq p q p q y

K K

+ +− + + = + +

+ + − − + + +

[1.78]


( ) ( ) ( )( ) ( )

3 2 21 21 2 1 2 1 2

3 20 0 1 1 0 2 1 1 1 2

1c c c

p pq p b q p bp q bp u q a q a rK

s q s p s q s p s p q s p y

+ + + − + − − = + + −

− + + + + +

[1.79]

( ) ( )

( )( ) ( )

1 1 2 1 2 2 3

1 21 1 2 2 3

0 0 1 1 1 0 2 1 1 2 1 2 3

1k k k k

c c c c ck k k

k k k k

u p b u p bp u bp up p r a r a rK

s y s p s y s p s p y s p y

− − −

− − −

− − −

= − − − − +

+ ++ + + −

− − + − + −

[1.80]

0 200 400 600 800 1000-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0 200 400 600 800 1000-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2


0 200 400 600 800 1000-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Las dos primeras figuras corresponden a igual modelo pero diferente comportamien-

to en lazo cerrado. En la tercera se varía el modelo. La oscilación en el control es por la cancelación del cero real negativo. Decrece aumentando el período de muestreo.


Ejemplo 1.5. Motor sin Cancelación de Ceros el cero aparece en lazo cerrado

( ) 1 22

1 2

11mp p z bH z

b z p z p+ + −

=− + +

[1.81]

( )1B

B K z b

+

−

=

= − [1.82]

por lo tanto

( )1 21

1mp pB

K b+ +

=−

[1.83]

el observador debe cumplir

( ) ( ) ( ) ( )0 2 1 1mgrad A grad A grad A grad B+≥ − − − = [1.84]

el observador se puede elegir como

( )oA z z= [1.85]

Los grados deR y S deben satisfacer


( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

0 1

1 1mgrad R grad A grad A grad A

grad S grad A

= + − =

= − = [1.86]

Se eligeR de orden cero y S de orden uno. ( )( )( ) ( ) 3 2

1 0 1 1 21z z a z r K s z s z p z p z− − + + + = + + [1.87]

Se calcula la igualdad para z b= , 1z = y z a= obteniendo tres ecuaciones

( )( )( )

( )( )( )( )

21 2

1

0 1 1 2

3 20 1 1 2

1

1 1

b b p b pr b

b b a

K b s s p p

K a b s a s a p a p a

+ += − +

− −

− + = + +

− + = + +

[1.88]

de donde se determinan los parámetros Además

( ) ( ) ( ) ( )1 2

0 01

1mp pT z A z B z z t z

K b+ +

= = =−

[1.89]

La ley de control es 0 0 1 1 1 1k k k k ku t r s y s y ru− −= − − − [1.90]


-----------------fig 55------------


1.4. Sensibilidad a Errores de Modelo 1.4.1. Márgenes de Estabilidad Función de Sensibilidad

1

1 lc

AR ARBSAR BS AAR

= = =+ +

S , [1.91]

fbBSH H AR= =L

La inversa de ( )je ωS representa la distancia al punto crítico –1.

El máximo de ( )je ωS es el recíproco del punto más cercano al punto crítico.

Este valor no debe ser muy alto.

Un valor aceptable es ( ) 2je ω <S

Se ajusta R y S para determinadas frecuencias en donde ( )je ωS es alto


1.1.3. Otra Forma de Ver el Problema

Se tiene un modelo BAy un valor real

00

BA

El sistema en lazo cerrado será estable si se cumple

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0

1 1 11fb fb fbH z H z H z H z H z H z

− ≤ + [1.92]

para 1z = , o

( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( )0 1fb ff

lc

H zH z H z H z z H z

H z − ≤ + = L [1.93]

dado que

( )

( )

( )

0mc

ff

fb

BH z tA

TH zRSH zR

=

=

=

[1.94]


( ) ( ) ( )( )

( )( )

( ) ( )( ) ( )

0 ff

m fb m

H zH z H z T zH z H z

H z H z H z S z− ≤ = [1.95]

esto se cumple ya que [1.96]

La precisión relativa necesaria para la estabilidad es

( ) ( )

( ) ( )( )( )

01 ff

fbm

H z H z H zH zH z H z

−≤ [1.97]

El lado derecho no depende de los valores reales La interpretación de esto se ve en la figura siguiente


Hay mucho margen a bajas frecuencias Si se quiere un mayor ancho de banda, se restringe la posibilidad de error en el mo-

delo.


Desempeño cómo influyen los errores en la función de transferencia

( )( )0

11 11

lc m

lc

H HRB

A HH

=+ −

[1.98]

1.5. Procedimiento de Diseño

- Datos: Se necesita:

( )A z , ( )B z sin factores comunes

polinomio característico en lazo cerrado deseado ( )lcA z

términos deseados en el regulador, ( )dR z y ( )dS z

función de transferencia deseada ( )( )

m

m

B zA z

- Condición de Exceso de Polos ( ) ( ) ( ) ( )m mgrad A grad B grad A grad B− ≥ − [1.99]


- Condición de Seguimiento del Modelo El factor B− no debe ser cancelado por lo que se debe cumplir

mB B B−= [1.100]

- Condición de Grados de Polinomios se debe cumplir

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 1lc m d dgrad A grad A grad A grad R grad S= + + + − [1.101]

- Paso 1 Factorizar A y B como

A A AB B B

+ −

+ −

=

= [1.102]

donde A+ y B+ son los factores a cancelar.

- Paso 2 Resolver la ecuación

d d lcA R R B S S A− −+ = [1.103]

para calcular R y S


- Paso 3 la ley de control es

Ru Tr Sy= − [1.104]

donde

m d

m d

m lc

m m

R A B R R

S A A S S

T B A A

B B B

+

+

+

−

=

=

=

=

[1.105]

la característica en lazo cerrado es lc m lcA A B A A+ += [1.106]

La condición de grado surge de [1.103] ya que el mínimo regulador se obtiene con

( ) ( ) ( ) 1dgrad S grad A grad R−= + − [1.107]

por lo que, de [1.105]

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

1

1m d d

m d d

rad S grad A grad A grad A grad R grad S

grad A grad A grad R grad S

− += + + + + −

= + + + − [1.108]


como ( ) ( )grad S grad R= , resulta [1.101]


1.5.1. Cálculo de la Ley de Control Otra forma de calcular la ecuación diofantina es considerar que se tiene una solu-

ción a la ecuación

0 0 0

lcAR BS A+ = [1.109]

y la solución de mínimo grado, U y V, 0AU BV+ = [1.110]

Se definen los polinomios R y S de modo que

0

0

R XR YUS XS YV= +

= + [1.111]

con X polinomio estable y mónico entonces

0

lcAR BS XA+ = [1.112]

Si se elige 0lcA y X tal que

0

lclcA XA= [1.113]

se cumple que los polinomios


0

0

R XR YUS XS YV= +

= + [1.114]

satisfacen d d lcA R R B S S A− −+ = [1.115]

Además se debe cumplir que ( ) ( ) ( )d dgrad X grad R grad S= + [1.116]

y el grado de Y ( ) ( ) ( ) 1d dgrad Y grad R grad S= + − [1.117]

Para calcular Y se supone que dR divide a R y dS divide a S.

Los coeficientes de Y se calculan

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

0

0

0 00 0

i i i i d i

i i i i d i

X z R z Y z U z para R zX z S z Y z U z para S z

− = =− = =

[1.118]


Ejemplo 1.6. Acción Integral Agregar acción integral implica ( )1 0R =

Se supone que se ha calculado el controlador con 0R y 0S y se desea agregar una acción integral.

La mínima solución a la ecuación [1.110] es

U BV A= −=

[1.119]

Se introduce un nuevo polo en lazo cerrado en 1x− por lo que X resulta

1X z x= + [1.120]

el polinomio Y es un escalar 0Y y= [1.121]

la ecuación [1.118] es de la forma ( ) ( ) ( )0

1 01 1 1 0x R y B+ − = [1.122]

de donde se despeja 0y

( ) ( )( )

0

0 111 1

Ry x B= + [1.123]


el nuevo controlador es

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

010

1

010

1

1 11

1 11

x R B zR z z x R z

B

x R A zS z z x S z

B

+= + −

+= + −

[1.124]

Ejemplo 1.7. Acción Integral y Robustez se quiere, además, asegurar que la función de sensibilidad valga 1 a la frecuencia

de Nyquist. Esto se asegura haciendo

( )( )

1

1d

d

R z z

S z z

= −

= + [1.125]

Entonces, X es de segundo orden e Y de primero.

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

00 1

00 1

1 1 1 0

1 1 1 0

X R y y B

X S y y B

− + =

− − − − + − = [1.126]

de lo que resulta


( ) ( )( )

( ) ( )( )

( ) ( )( )

( ) ( )( )

0 0

0

0 0

1

1 1 1 112 1 1

1 1 1 112 1 1

X R X Sy

B B

X R X Sy

B B

− −= − −

− −= + −

[1.127]


1.6. Parametrización de Youla-Kucera Teorema 2. Teorema de Youla-Kucera

Sea un sistema ( )( )

B zA z y ( )

( )0

0S z

R z un regulador estable, entonces, todo regu-

lador estable puede describirse como:

( )( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

0

0

S z S z Q z A zR z R z Q z B z

+=

− [1.128]

con ( )Q z estable

- Demostración Primero se debe demostrar que el regulador [1.128] es estable, para lo que se intro-

duce ( ) ( )( )

Y zQ z

X z= , con lo que se puede escribir,

0

0

S XS YAR XR YB

+=

− [1.129]

en lazo cerrado queda

( ) ( ) ( )0 0 0 0AR BS A XR YB B XS YA X AR BS+ = − + + = + [1.130]


dado que X y 0 0AR BS+ son estables, el sistema lo será. Para probar de que todos los polinomios son estables, se considera un regulador

S R que estabiliza el sistema, dando una función característica AR BS C+ = [1.131]

de donde, la ecuación [1.128] queda

0 0SR QSB RS QRA− = + [1.132]

por lo tanto

0 0 0 0SR RS SR RSQAR BS C

− −= =

+ [1.133]

que es estable ya que C lo es. -------------------fig 57---------------


1.7. Aspectos Prácticos El diseño es generalmente iterativos: se elige un modelo en lazo cerrado, se calcula

el regulador y se redefine el modelo, tantas veces como haga falta. La ecuación característica se define, generalmente, en función de los parámetros

continuos de un sistema de primer o segundo orden. El sistema continuo,

( )A s s α= + [1.134]

tiene un equivalente discreto en ( )1

TA z z a z e α−= − = − [1.135]

El sistema de segundo orden continuo, ( ) 2 2

0 02A s s sξω ω= + + [1.136]

tiene un equivalente discreto en

( ) ( )( )0 022 2 22 1 2 02 cos 1T TA z z a z a z e T z eξω ξωω ξ− −= + + = + − − + [1.137]

En forma más general se puede hacer ( ) ( ) ( )1 2

dcA z z A z A z= [1.138]


Los polos del observador deben se más rápido que los del controlador.

Ejemplo 1.8. Influencia del Observador. Caso 1 Se el sistema

( ) 0,11

H zz

=−

[1.139]

Se desea que responda como

( ) 0,20,8mH z

z=

− [1.140]

o sea ( ) 0,8cA z z= − [1.141]

El observador se puede elegir como 0 1A =

el controlador resulta ( )2k k ku r y= − [1.142]

la salida del proceso es


( ) ( ) ( ) ( )0,2 0,1 0,20,8 0,8 0,8

X z R z V z E zz z z

= + −− − −

[1.143]

-------------------fig 5.8 El observador de orden cero lleva a un regulador proporcional con alta sensibilidad a

las perturbaciones


Ejemplo 1.9. Influencia del Observador. Caso 2 se elige el observador

( )0A z z a= − [1.144]

Se debe resolver ( )( ) ( ) ( )( )1 0 11 0,1 0,8z z r s z s z a z− + + + = − − [1.145]

de donde resulta

1 0

1 1

1 0,1 0,80,1 0,8

r s ar s a

− + + = − −− + =

[1.146]

se elige 1 1r = − para tener efecto integral, esto da

0

1

12 108 10

s as a= −= −

[1.147]

La salida queda

( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( )0,1 1 1,2 1 0,80,20,8 0,8 0,8

c z a z aX z R z V z E z

z z a z z a z− − − +

= + −− − − − −

[1.148]

----------------fig 59------------


Se reduce la ganancia para perturbaciones a bajas frecuencias Para 0a = se obtiene mejor rechazo a perturbaciones de carga pero peor para ruido

de medición.


- Validación se debe analizar las siguientes funciones de transferencias

m d d

m lc lc

m d d

m lc lc

m d d

m lc lc

B BR R B S Sx r v eA A A A

B BR R A R Ry r v eA A A A

AB B S S AS Su r v eBA A A B A

−

+

−

+

−

+ +

= + −

= + +

= + +

[1.149]

por ejemplo, si no hay perturbación, la acción de control es

mHu r

H= [1.150]

Es parecida a la que aparece en el análisis de Robustez. Actuaciones altas implican mayor sensibilidad al modelo Bode de la función de transferencia en lazo cerrado que es


d

d

BS B S SAR A R R

−

−= =L [1.151]

lo mismo con la función de sensitividad:

1

1d

lc

AR A R RAR BS A

−

= = =+ +

SL

[1.152]

----------------- ejemplos 57 58 59

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