Clase 06 Economía Para Ing 2016 I

7/26/2019 Clase 06 Economía Para Ing 2016 I

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FACULTAD DE INGENIERIA CIVIL

IX CICLO – 2016 – I

CLASE Nº 06

Docente : MAG. ING. M. HAMILTON WILSON HUAMANCHUMO Emai l : mhamwil@gmai l . com Blog: htpp: / inghamil tonwi lson.bl ogspot .comEmai l : mhamwi l@peru. com Teléf.. (51) (056) - 225924

1



2

UNIVERSIDAD NACIONAL SAN LUIS GONZAGA DE ICA FACULTAD DE INGENIERIA CIVILCURSO: ECONOMIA PARA INGENIEROS

DOCENTE: MAG. ING. M. HAMILTON WILSON HUAMANCHUMO

Depósitos a término fijo

La inflación La devaluación Tasas combinadas

Tasa deflactada o tasa real Equivalencias de tasas referenciadas. Aceptaciones bancarias y financieras

APLICACIONES DE INTERÉS COMPUESTO

Son múltiples las aplicaciones que tiene el interés compuestocomo tales:



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DEPÓSITOS A TERMINO FIJO:En la operación de Depósitos a termino fijo es necesario tener encuenta que la ganancia (intereses) es gravada con un impuesto quese cobra al momento que se hace el pago y se denomina retención

en la fuente .TASA DE CAPTACIÓN (PASIVA):Tasa de interés que reconoce el sector financiero a los inversionistas.

TASA DE COLOCACIÓN (ACTIVA):Tasa de interés que cobra el sector financiero por prestar el dinero.• MARGEN DE INTERMEDIACIÓN: Diferencia entre la Tasa de

colocación y la tasa de captación

DEPÓSITOS A TERMINO FIJO



4



Impuesto (Retención) = 75,697 x 0,07 = 5,299Recibido = 675,683 – 5,299 = $670,398 millones

Ejemplo 1Una persona invierte $600´000.000 en un depósito a término fijo a6 meses, si el banco garantiza una tasa del 2% EM, determine el

valor que recibirá al final si el impuesto es del 7% sobre utilidades.

niPF 1 Aplicando:

Valor que se obtiene antes de los impuestos:

000,697´67502.01000,000´600 6F

intereses = F – P = 75´697 millones



5



APLICACIONES DE INTERÉS COMPUESTOACEPTACIONES BANCARIAS Y FINANCIERAS

BancoComprador

Proveedor Bolsa

Inversionista

Son letras de cambio con cargo a un comprador de bienes manufacturadosque una entidad financiera avala o garantiza su pago al poseedor de laaceptación al vencimientoCuando la el aval es dado por un banco se denomina Aceptación Bancaria, sies otro tipo de entidad Aceptación Financiera



6



ANUALIDADES ORDINARIAS Y ANTICIPADA

ANUALIDADEs una serie de pagos que cumple con las siguientescondiciones:1. Pagos de igual valor 2. Intervalos de pago iguales3. La misma tasa de Interés para todos los pagos

4. Número de pagos igual número de periodos



7




1 2 3 40

1 2 3 40

Anualidad Ordinaria o vencidaCUMPLE CONDICIONES

No es una AnualidadHAY 5 PAGOS Y SOLO 4 PERIODOS-



8




Ejemplos Anualidades

1 2 3 40

1 2 3 40

Anualidad AnticipadaCUMPLE CONDICIONES-

No es una AnualidadNúmero de pagos diferente al número periodos



9



Valor Futuro de una Anualidad

1 2 …. n0 Vf

A




10



Valor Presente de una Anualidad

1 2 …. n0Vp

A




12



Ejemplo 2.Una deuda estipula pagos trimestrales de $800.000 durante 6 años; si la tasa deinterés es de 32% anual y se quiere realizar un solo pago al final, ¿Cuánto sedebe cancelar?

1 2 …. 240

V f =¿?

800.000 Número de pagos = 24

A = $800.000

Tasa de Interés = 32%

i = 32/4 = 8% ETVf = 800.000((1+0,08)24 -1)/0,08

Vf = 53´411.181

ANUALIDADES ORDINARIAS Y ANTICIPADAS



14



Valor Presente de una Anualidad Anticipada

1 2 …. n0

P

A

ANUALIDADES ORDINARIAS Y ANTICIPADAS



16



LAS SERIES DE GRADIENTE Y ELPRESENTE

Las series de gradiente se basan en la suposición teórica de que una cifra,como el costo de mantenimiento de un automóvil, aumentará cada año enuna cantidad exactamente igual al periodo anterior, y que esto semantendrá durante cierto número de periodos.

Se dice que la situación es teórica pues en la práctica es imposible que sepuedan prever aumentos o disminuciones graduales por exactamente lamisma cantidad, los pagos se calculan a la misma tasa de interés y elnumero de pagos es igual al numero de periodos

Sin embargo, se han desarrollado fórmulas especiales para resolver estetipo de problemas.

A la cantidad igual en la cual se incrementa un flujo de efectivo se le llamagradiente y se le representa con la letra G.



17



400

350

300250

200150

0

1 2 3 4 5 6

P = ?

CASO 9.

Una persona adquirió un auto; espera que el costo de mantenimiento seade S/. 150 al finalizar el primer año y que en los subsecuentes aumente arazón de S/. 50 anuales. Si la tasa de interés es de 8% capitalizada cada

año, ¿Cuál es el valor presente de esta serie de pagos durante unperiodo de 6 años?SOLUCION.

Los datos del problema son: P = ?; i = 8 %; n = 6; primer pago = 150; G =50. El diagrama de flujo del problema es el de la gráfica.



20



A+(n-1)G

(n-1)G A+2G

2G A+G

A A A A G A0 0 0 0

1 2 n-1 n + 1 2 3 n = 1 2 3 n

P' P " P

Al incremento constante se le denota por G, esta gráfica, en forma generalizada ycon literales, es la siguiente grafica;

Cuando se trabaja con Series Gradiente siempre se tiene:

1. Un número de A igual a n.

2. Un número de G en el mismo diagrama de (n-1) ya que en el periodo 1 todavíano existe el incremento debido a G.

3. Se pueden obtener dos presentes, P' y P ", cuya suma es la P del diagramaoriginal.

Para, calcular el presente P = P'+ P ", se pueden calcular P' y P " como:



21



Para calcular el presente P = P'+ P ", se pueden calcular P' y P " como:

La fórmula para calcular P'; y la fórmula para calcular P" sí es nueva, y no sepresenta su deducción por las razones ya expuestas con anterioridad.

En este caso, aparentemente haber dividido el problema en dos partes parecemás complicado que la solución ofrecida.

Sin embargo, si el número de n es elevado, puede ser más cómodo utilizar las

fórmulas para resolver este tipo de problemas.

n

n

ii

i AP

1

11´

n

n

inii

iG

P 1111"



22



0 1 2 3 n

A

…

A +GA +2G

VALOR PRESENTE GRADIENTE ARITMÉTIC

n

n

n

n

Pi

ni

ii

G

ii

i AV

1111

111

VP



23



VALOR FUTURO GRADIENTE ARITMÉTICO

n

ii

iG

ii

AV nn

f 1111

0 1 2 3 n

A

…

A +GA +2G

Vf



24



CASO 10.Resuélvase el caso anterior mediante el empleo de las fórmulas deGradiente.

SOLUCION.

Los datos del problema son: A = 150; G = 50; i = 8 %; n = 6. Sustituyendo enlas fórmulas se tiene:

60.121908.01

16

08.0108.01

08.050

08.0108.0108.01

150 6

6

6

6

P

El uso de las fórmulas de series gradiente también es adecuado cuando éste esdecreciente.



26



900850

800750

700

650600

550

500 450

0

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 = P

450400

350300

250

200150

10050

0

0

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 =

P "

900 900 900 900 900 900 900 900 900 900

0

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 +

P'



UNIVERSIDAD NACIONAL SAN LUIS GONZAGA DE ICA FACULTAD DE INGENIERIA CIVIL



28



USO DE NOTACION SIMPLIFICADA YTABLAS DE FACTORES

Se tiene dos fórmulas básicas que se pueden reescribir como sigue:

)......(....................1 AiPF n

).........(....................

1 B

iF P n

A la porción de la fórmula dentro del paréntesis cuadrado se le llama factor; a lade la fórmula (A) se le llamaría "factor para calcular un futuro si se conoce elpresente", o en forma simplificada (F/P, i, n ), que puede leerse como "factor deun futuro dado un presente, a determinadas i y n".




29



Por lo tanto la fórmula (A) se puede anotar como sigue:

A esta última también se le numeró como (A) debido a que es exactamentela misma fórmula original pero con notación simplificada.

Procediendo de una manera similar, al factor de la fórmula (B) se le puedellamar "factor de un presente dado un futuro" y puede escribirse como:

niPF PF AiPF n ,,/)......(....................1

niF PF P B

iF P n ,,/)........(....................

1




30



Formula OriginalNotacion

SimplificadaNombre del

Factor

nniPF 1 = P (F/P, i, n) Futuro dado unPresente

(A)

n

iF P

1

1 = F(P/F, i, n)

Presente dado un

Futuro(B)

11

1n

n

i

iiP A = P (A/P, i, n)

Pago Uniformedado un Presente

(C)

Las Fórmulas son sólo derivaciones de las formulas básicas (A) y (B); esasfórmulas adicionales pueden facilitar los cálculos de cierta manera y para ellastambién se ha aceptado la notación simplificada.

A continuación se presentan las fórmulas originales y su notación simplificada,haciendo énfasis en que los factores son la parte de cada una encerrada en elparéntesis cuadrado de la fórmula y del paréntesis de la notación simplificada




31



Formula Original NotacionSimplificada

Nombre delFactor

n

n

ii

i AP

111

= A (P/A, i, n) Presente dado unPago Uniforme

(D)

i

i AF

n 11 = A (F/A, i, n)

Futuro dado unPago Uniforme

(E)

11 n

i

iF A = F (A/F, i, n)

Pago Uniforme

dado un Futuro(F)

n

n

in

ii

iGP

11111

= G (P/G, i, n) Presente dado unGradiente

(G)

ni

ii

GF n 111 = G (F/G, i, n)

Futuro dado unGradiente

(H)

11

1ni

ni

G A = G (A/G, i, n) Pago Uniformedado unGradiente

(I)

... Continuación



33

CURSO: ECONOMIA PARA INGENIEROS


TABLAS DE FACTORESFórmula Original Notación

Simplificada Nombre del Factor

nniPF 1 = P (F/P, i, n) Futuro dado unPresente (A)

niF P

1

1 = F(P/F, i, n)

Presente dado un

Futuro (B)

11

1n

n

i

iiP A = P (A/P, i, n) Pago Uniforme dado un

Presente (C)

n

n

ii

i AP

111 = A (P/A, i, n) Presente dado un Pago

Uniforme (D)

i

i AF

n 11 = A (F/A, i, n) Futuro dado un PagoUniforme (E)

11 ni

iF A = F (A/F, i, n) Pago Uniforme dado un

Futuro (F)

n

n

in

ii

iGP

11111 = G (P/G, i, n) Presente dado unGradiente (G)

n

ii

iGF

n 111 = G (F/G, i, n) Futuro dado unGradiente (H)

111

ni

ni

G A = G (A/G, i, n) Pago Uniforme dado unGradiente (I)




34



096422.0108.01

08.0108.023

23

Aplicación: Ahora bien, si se desea usar las tablas, he aquí un ejemplo de cómo hacerlo.Supóngase que en determinado problema se desea calcular el Pago Uniformedado un Presente utilizando el factor (A/P, i, n) con los siguientes datos: i = 8 % yn = 23. El cálculo es:

Presente dado un Pago Uniforme A (P/A, i, n)

Si; el Valor Presente es de S/. 1,500.00 determine la amortización A:

AP A 096422.0108.01

08.0108.023

23

11

1n

n

i

iiP A

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P A 096422.0 A1500096422.0

A = 144.633

Si utilizamos las tablas de factores, localizamos primero la Tasa de interésdel 8% a continuación la columna del factor (A/P) y buscamos hacia abajohasta intersectar con n=23.

El Valor de la tabla es de 0.0964 y aplicamos la deducción de la formula:




36



096422.0108.01

08.0108.023

23

La notación simplificada permite el uso de las tablas de factores de interéscapitalizado que aparecen en los diferentes Textos.

Con fines didácticos y cuando sólo se cuenta con una calculadora de bolsillopoco potente, el uso de las tablas es recomendable, sin embargo, en laactualidad hay calculadoras de bolsillo no sólo potentes sino programables o yaprogramadas para realizar cálculos de este tipo; en caso de que se domine elconcepto implícito en las fórmulas y se cuente con una buena calculadora, serámejor usar esta última y no las tablas.

Ahora bien, si se desea usar las tablas, he aquí un ejemplo de cómo hacerlo.Supóngase que en determinado problema se desea calcular el factor (A/P, i, n)con los siguientes datos: i = 8 % y n = 23. El cálculo es:



39DOCENTE: MAG. ING. M. HAMILTON WILSON HUAMANCHUMO





EL CONCEPTO Y USO DE EQUIVALENCIADEL DINERO A TRAVÉS DEL TIEMPO

El término equivalencia significa tener igual valor o comparar en condicionessimilares un valor.

Dado el fenómeno inflacionario presente en cualquier tipo de economía, yasea de un país avanzado o de uno en vías de desarrollo, una unidad monetariaactual no tiene el mismo poder adquisitivo que tendrá dentro de un año, esdecir, no son equivalentes pues no se están comparando bajo las mismascondiciones.

Dado que lo único que hace diferente en poder adquisitivo a esa unidadmonetaria es el tiempo, una base lógica y adecuada de comparación podría ser medir el valor de ese dinero en un solo instante , ya sea el día dehoy, dentro de un año o en cualquier instante, pero que sea el mismo instante detiempo.





80 80

70 70

60

0 1 2 3 4 5

B B

Supóngase que se originan una serie de flujos de efectivo en una empresa, quepueden representarse como se muestra en la gráfica:

¿Se desea conocer las cantidades B?

Veamos que las cantidades de arriba del diagrama no son iguales y las de laparte inferior, siendo iguales, no están ni en el mismo tiempo ni en periodosconsecutivos*.*El concepto de equivalencia la tasa de interés es determinante, ya que B = 164 sólo es ciertosi la tasa de Interés es del 10 %.





En el diagrama de flujo de la situación bajo análisis, se puede declarar el siguiente teorema fundamental:

Por tanto, para obtener una ecuación que resuelva el problema de la gráfica deberán trasladarse todos los

flujos (de arriba y de abajo) a un solo instante detiempo (usualmente el presente o el futuro) e igualar la

ecuación que traslade los flujos de arriba con la quetraslade los flujos de abajo.

“Lo que está arriba es igual a lo que está abajo, comparado en unmismo instante”





Todo problema puede ser resuelto si se siguen estos pasos:Dibújese el diagrama de flujo del problema.

a) Recuérdese que cuando dos entidades intercambian dinero, el

diagrama de flujo de una es contrario al diagrama de flujo de la otra.b) Por ejemplo, si una persona deposita dinero en un banco, para la

persona el depósito es un flujo negativo, mientras que para el banco,es positivo. Los flujos de efectivo se invierten cuando se hace un retiro.

c) Sin importar la referencia, considérese "ARRIBA" los flujos que hayanquedado por encima de la línea del diagrama de flujo, y "ABAJO" losflujos que hayan quedado por debajo de la misma línea.

d) El teorema fundamental simplemente declara que, ya obtenido eldiagrama de flujo, se iguale lo de "arriba" a lo de "abajo", tomandocomo referencia cualquier periodo de tiempo, es decir, igualar a suvalor equivalente.





Para este cálculo, se utilizaron las fórmulas básicas

Este resultado ha obtener muestra que efectivamente:

“Lo que está arriba es igual a lo que está abajo, comparado en unmismo instante",

Para ser considerado como el teorema fundamental de la IngenieríaEconómica, será siempre que el diagrama de flujo sea correctamentetrazado y que se aplique sin error las fórmulas básicas:

niPF 1

ni

F P

1

Formulas que trasladan el valor del dinero a través del tiempo, asus valores equivalentes.





Resuélvase B para cada una de las igualdades planteadas.

Resolviendo el problema planteado en la gráfica se tiene:

Abajo Periodo de referencia: año 0 Arriba

5432131 1.0180

1.0170

1.0160

1.0180

1.0170

1.011.01 B B


43212 1.0180

1.0170

1.0160

1.0180

701.01

B B


321

11

1

1.01

80

1.01

70

1.01

60801.0170

1.01

1.01 B

B








21

122

1.0180

1.0170

601.01801.01701.01 B B

1

12313

1.0180

701.01601.01801.01701.011.01 B B

801.01701.01601.01801.01701.011.01 123424 B B

En todas, B será igual a 164.





INTERÉS NOMINAL E INTERÉS EFECTIVOEn este curso se ha considerado a un año como el periodo más usual en que

se puede cobrar un interés, sin embargo, en la vida cotidiana hay periodosmucho más cortos, en los cuales es posible ganar interés.

Estos periodos pueden ser: semestrales, trimestrales, mensuales, de acuerdocon sus necesidades.

Cuando se presentan situaciones de este tipo, puede manejarse variosconceptos respecto de las tasas de interés.

Por ejemplo:

Un banco paga a sus depositarios 12 % de interés anual capitalizadocada año. En este caso al 12 % se le llama tasa nominal anual y/o tasaefectiva anual, puesto que sólo después de transcurrido un año es

posible cobrar ese interés.





Un banco paga a sus depositarios 12 % de interés anual capitalizado cadatres meses.

En este caso, 12% sigue siendo la tasa nominal anual, pero dado que secapitaliza en periodos menores a un año, existe una tasa efectiva por periodo(trimestral, en este caso), y una tasa efectiva anual.

La tasa efectiva por periodo iefectiva trimestral (en este caso) se obtienedividiendo la tasa nominal anual entre el número de periodos que tenga el año.

Por tanto:

periodosdenumero

ii anualalno

periodo por efectiva _ _ _ min

_ _

En este caso,

03.0412.0

_

trimestralefectivai o sea 3%





La tasa efectiva anual se obtiene cuando se aplica la siguiente fórmula:

En este caso seria:

10011 _ _ _ _ _ _ _ xii año por periododenumero

periodo por efectiva Anualefectiva

%55.12100103.01 4 _

xi Anualefectiva

Obsérvese que el hecho de capitalizar en periodos menores de un año hace que la

tasa efectiva anual sea ligeramente mayor que la tasa nominal anual. Así, la fórmula puede reescribirse de la siguiente manera:

1001 _ _ _ _ 1

_ _ _ _

_ min

_ xaño por periodosdenumero

i

i

año por periododenumero

anualalno

Anualefectiva

Con la fórmula se calculará el interés efectivo anual para observar cómo, mientrasel periodo de capitalización se hace más corto, el interés efectivo anual crece.





Periodo de

CapitalizacionCalculo de interes efecitvo anual

Interesnominal

anualInteres efectivo por periodo

Semestral %36.121001212.0

12

xief 12% 06.0

212.0

efsemi

Cuatrimestral %486.121001312.0

1

3

xief 12% 04.0

312.0

.

efcuat i

Trimestral %551.121001412.01

4

xief

12% 03.0412.0

.

eftrimi

Se toma como base el interés anual igual al 12 %. Aplicamos la formula;





P e r i o d o d e

C a p i t a l i z a c i o n

C a l c u l o d e i n t e r e s e f e ci t v o a n u a l

I n t e r e s

n o m i n a l

a n u a l

I n t e r e s e f e c t i v o p o r p e r i o d o

M e n s u a l %683.1210011212.01

12

xief

1 2 % 01.01212.0

. efmensi

S e m a n a l %734.12100152

12.01

52

xief

1 2 % 002.0

52

12.0efsemanali

D i a r i o %7447.121001365

12.01

365

xief 1 2 % 00032.0

36512.0

efdiai

C a d a 8 h o r a s %748.1210013365

12.01

3365

x x

i x

ef 1 2 % 0001.0

109512.0

.8

hsef i

........ Continua;




calculando para:

¡nominal anual = 12 % y n = 1 (un año) se tiene:

Con las fórmulas anteriores se comprueba que, conforme se reduce elperiodo de capitalización, la tasa efectiva anual aumenta hasta un límite quees la capitalización continua, calculada con la fórmula.

%74968.121001112.0

_

xei x Anualefectiva





CONCLUSIONES

Se han presentado los conceptos fundamentales dé la ingeniería económica,de hecho, existen dos fórmulas básicas, e incluso se puede afirmar que esuna sola fórmula la que gobierna el traslado del dinero a través del tiempo.

La demostración es tan clara que las demás fórmulas son derivaciones deésta.

Así, es posible resolver cualquier tipo de problemas con esta fórmula básicay con la aplicación del teorema fundamental: lo que está arriba es igual a loque está abajo comparado en un solo instante.

Traducido a un lenguaje económico, el teorema fundamental significaría: loque yo debo, es exactamente igual a lo que debo pagar.





Si pago de contado, las cantidades son exactamente las mismas; si lo hago aplazos, las cantidades parecerán distintas por los intereses que se pagarán,pero, nuevamente, si esas cantidades con intereses se trasladan a un solo

instante de tiempo, como el presente, las cantidades que se deben y que sepagarán, serán exactamente las mismas.

Una violación de este teorema fundamental implicaría pagar más de lo quedebemos, o bien, que nos cobrarán menos de nuestra deuda.

Por tanto, el teorema es inviolable, como justos deben ser los cobros de unadeuda como esperan todos los que piden prestado en la vida real*.

*Al margen de lo anterior cabe mencionar que en los diagramas propuestos para solucionar los ejemplos, el sentido de las flechas podría invertirse, con lo que se mostraría el punto de vista del comprador o de la contraparte que ejecuta la acción económica del

problema .

.......... Continua:


PROBLEMA Nº 01




0

1 2 3 4 5

P

PROBLEMA Nº 01

Determine el valor de P en la grafica mostrada, si la i = 10%.

SOLUCION.

P = ?;

i = 10 %;n = 5

niPF 1

niF P

1

Formulas que trasladan

el valor del dinero através del tiempo, a susvalores equivalentes.





SOLUCION 1A.

Aplicamos llevar directamente y por separado las cantidades de los periodos 4 y5 hasta el periodo cero.

P= 30 (P/F, 10%, 4) + 40 (P/F, 10%, 5)

n

i

F P

1

1 F (P/F, i, n)

Formula simplificada delcalculo del Presente

dado un Futuro

32.451.01 401.01 3010.01 14010.01 130 5454 P

Reemplazando;

P = 45.32


TABLAS DE INTERES DISCRETO



!Seguimos trabajando hasta la Próxima Clase!

DOCENTE: MAG. ING. M. HAMILTON WILSON HUAMANCHUMO 67

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