CL CCT REPASA CD CA CS CI CC UNIDAD DE MUESTRAnovedades.editorialteide.com/demo/9141.pdf · datos...

ESO¿Cómo es el libro?INTRODUCCIÓN

Pequeño texto que presenta la unidad, bien aportando datos reales, textos literarios o curiosidades.

En los ejercicios finales de la unidad existe un epígrafe con varios problemas relacionados con la introducción.

REPASA

Breve esquema con los conocimientos previos elementales para afrontar la unidad. Tiene un formato directo y conciso con ejercicios para comprobar la soltura en estos contenidos.

3,24- 23,44444... 21,1232323...

926

257

1485

,2 3 1023

=

,31 6!

9316 31-

9285

395

,31 216#

99031216 312-

99030904

49515452

,N 2 57= N N100 257100257

"= =

,N 3 21=$

, ...N100 321 212121=

, ...N 3 212121=

N N99 31899318

33106

"= = =

,N 3 812=$

, ...N1000 3812 121212=

, ...N10 38 121212=

N N990 37749903774

165629

"= = =

MAPA CONCEPTUAL

Mapa de los conceptos principales de la unidad.log b x b aa

x+= =

( )·log log logb c b ca a a= +

( )log logb c bac

a=

log log logcb

b ca a a= -a k

log

loglog b

a

ba

n

n=

a amn nm

=

DOBLE PÁGINA DE TEORÍA

Epígrafes divididos en dobles páginas, de forma que la información rela-tiva al mismo contenido queda a la vista, sin necesidad de buscar en pá-ginas siguientes.

EJERCICIOS DE EPÍGRAFEPara ayudar a comprender la teoría y ponerla en práctica.

MÁRGENESDistintas anotaciones en márgenes para recordar conceptos y observar detalles o evitar errores habituales. También se promueve el uso de la calculadora científica mediante indicaciones básicas sobre el uso de las funciones o teclas relacionadas con el epígrafe correspondiente.

,P x y x y xy y3 5 6 22 3 4= + - +_ i ( )P x 2 3 5= + =

x x x x x x4 3 5 4 3 5 4 53 2 3 2- + + - - + + -_ i

x y xy xy xy x y3 5 2 4 2 32 2 $- + - + -_ _i i

x x x x x x x x x x x x x x x4 3 5 4 3 5 4 5 4 3 5 4 3 5 4 5 7 8 93 2 3 2 3 2 3 2 3 2- + + - - + + - = - + + + - - + = - + +_ ix x x x x x x x x x x x x x x4 3 5 4 3 5 4 5 4 3 5 4 3 5 4 5 7 8 93 2 3 2 3 2 3 2 3 2- + + - - + + - = - + + + - - + = - + +_ i

x y xy xy xy x y x y x y x y x y x y xy x y x y xy x y x y x y x y xy x y xy3 5 2 4 2 3 12 6 9 20 10 15 8 4 6 12 6 15 10 15 8 62 2 3 2 3 2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 3 3 2 3 2 2 2 2 2 3 3$- + - + - - + - + - + - + - = - + + - + - -=_ _i ix y xy xy xy x y x y x y x y x y x y xy x y x y xy x y x y x y x y xy x y xy3 5 2 4 2 3 12 6 9 20 10 15 8 4 6 12 6 15 10 15 8 62 2 3 2 3 2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 3 3 2 3 2 2 2 2 2 3 3$- + - + - - + - + - + - + - = - + + - + - -=_ _i i

x y xy xy xy x y x y x y x y x y x y xy x y x y xy x y x y x y x y xy x y xy3 5 2 4 2 3 12 6 9 20 10 15 8 4 6 12 6 15 10 15 8 62 2 3 2 3 2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 3 3 2 3 2 2 2 2 2 3 3$- + - + - - + - + - + - + - = - + + - + - -=_ _i i

( )a b a ab b22 2 2+ = + +

( )a b a ab b22 2 2= +- -

( ) ( )a b a b a b2 2$+ = --

( )P x x x 12

= - +

( )P x x x 12

- = - + -

x y xy2 3 42 2- +_ i

x y3 4 2 3-_ i

x y xy3 52 3 2-_ i

x yz xy z x yz xy z4 3 4 32 2 3 2 2 3- +_ _i i

x y xy x y xy x y xy x xy x y xy y xy x y xy x y x xy x y y xy x y2 3 4 2 3 4 2 3 4 4 6 8 6 9 12 8 12 16 4 12 16 9 24 162 2 2 2 2 2 2 2 4 3 2 3 2 2 2 2 2 4 3 2 2- + = - + - + = - + - + - + - + = - + + - +_ _ _i i ix y xy x y xy x y xy x xy x y xy y xy x y xy x y x xy x y y xy x y2 3 4 2 3 4 2 3 4 4 6 8 6 9 12 8 12 16 4 12 16 9 24 162 2 2 2 2 2 2 2 4 3 2 3 2 2 2 2 2 4 3 2 2- + = - + - + = - + - + - + - + = - + + - +_ _ _i i i

x y xy x y xy x y xy x xy x y xy y xy x y xy x y x xy x y y xy x y2 3 4 2 3 4 2 3 4 4 6 8 6 9 12 8 12 16 4 12 16 9 24 162 2 2 2 2 2 2 2 4 3 2 3 2 2 2 2 2 4 3 2 2- + = - + - + = - + - + - + - + = - + + - +_ _ _i i i

x y x y x y x y xy x y x x y xy y x y xy x x y xy y3 4 3 4 3 4 9 16 24 3 4 27 36 48 64 72 96 27 108 144 642 3 2 2 2 4 2 2 3 2 2 4 6 2 2 4 3 2 2 4 62$$- = - - = + - - = - + - - + = - + -_ _ _ _ _i i i i i


x y xy x y x y x y3 5 9 30 252 3 2 4 2 3 4 2 6- = - +_ i

x yz xy z x yz xy z x y z x y z4 3 4 3 16 92 2 3 2 2 3 4 2 2 2 4 6- + = -_ _i i

3 5 6 3 6x yz x x y xyz2 2 3 3 2- + - + -

4 5 4 7 2 6x x x x x8 6 5 3- + - + -

53 4 1xyz x2

- +

3 2 1 5 3 2 3 6x x x x x x x2 2 5 4- + + - - + -_ _ _i i i

4 5 3 2 4 5 1 3 5x x x x x x7 5 3 3+ - + - - + +_ _ _i i i

3 1 2 6 3 1x x x x2+ + - +_ _ _i i i

2 3 3 4 2 6 6x y x y x xy x y2 3 2+ - + - - + -_ _ _i i i

3x y3

-_ i 3 6x y2 3 3-_ i

2 3x y z2

+ -_ i 3 6 2x y2 2- +_ i

3 2x y2

-_ i

4x y3 2 2- +_ i

3x y

52 3 2

+d n

2x x2 2+_ i

5 3 5 3x y x y- +_ _i i

3 52

3 52a b a b

- + +a ak k

2 20x x2

4 4 4- = + -_ i

5 9 30x x x2 4 34 4+ = - +_ i

4 12x xy2 24 4 4+ = + +_ i

2 3x4 4 4 4- + = -a _k i

3 3 a24 4 4+ - + = -_ _i i

4 16 16x x x2 8 4 64 4+ = + +_ i

SABER MÁS

Para grupos o alumnos que hayan adquirido los contenidos de la unidad con soltura y quieran ampliar conocimientos relacionados con el tema. Teoría y ejer-cicios con un nivel de dificultad algo superior al del resto de la unidad.

( )P x x x x17 39 23 2= + - +

1! 3!

( )P 3 00 2=

( )P 01 3 1= -

( )P 01 31= -

( )P 02 492=

( )P 3 01 1 2=-

( )P 2 02 7 1- = -

1 0x x3- + =

SÍNTESIS

Cuadro resumen o esquema con los contenidos y procedimientos bá-sicos de la unidad, para repasar y fijar ideas una vez acabado el tema.

4

3

2

1

-1

-2

-3

-4

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

( )y x

x yx x x x x y

2 3

4 214 2 3 21 8 12 21 1 5& & & &

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- + =- + - = - + - = = - =*

( )y x

x yx x x x x y

2 3

4 214 2 3 21 8 12 21 1 5& & & &

= -

- + =- + - = - + - = = - =*

xy

x y

yy y y y y x3

2

4 213

24 21 2 12 63 65 13 5 1& & & & &

=-

= -

-= - - = - = = = -*

xy

x y

yy y y y y x3

2

4 213

24 21 2 12 63 65 13 5 1& & & & &

=-

= -

-= - - = - = = = -*

x y x y

x y x y

3 2 7 21 14 49

7 3 8 21 9 24( )

·

·

7

3

+ = + =

+ = - - = --

*

x y x x x3 2 7 3 10 7 3 3 1& & &+ = + = = - = -

[ , )

( , )

x x x x

x x xx

x

x

x

x

x

3 6 4 14 4

63 3

616 24

618 66

4 8

31 93

2

3

2

3& & &

3

32 2 1

# # $ !

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- + + + +

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( , ) [ , ) [ , )3 2 2 3+3 3- - + = -

x y4 2 11- x y 1H- - -

x y

x y

1

3

+ =

- =*

x 2=

y 1= -

EJERCICIOS Y PROBLEMAS

Extensa batería de ejercicios y problemas (en total unos 100 ejercicios en cada unidad), clasificados por epígrafes, niveles de dificultad (nivel bajo: ; nivel medio: ; nivel alto: ) y sirven para adquirir competencias.

CL Comunicación lingüísticaCCT Competencia matemática (se trabaja a lo largo de todos los ejercicios),

y competencias básicas en ciencias y tecnología.CD Competencia digitalCA Aprender a aprenderCS Competencias sociales y cívicasCI Sentido de iniciativa y espíritu emprendedorCC Conciencia y expresiones culturalesPueden incluso necesitar de Internet para su resolución (indicado con @).

8033ln NNt0

= -

ln

3,5 lnt T TT T

0 a

a= -

-

-d n

321

- 49 2,71!

1,3!

2,69#

3,06!

0,149#

35

75

-

316

647

-

5

10

18

29

6

14

22

33

6

14

22

33

-3 -2 -1 0 1 2 3

PREPÁRATE PARA LAS PRUEBAS

Ejercicios y problemas de competencias básicas para las pruebas externas de nivel:

• PISA (Programa para la Evaluación Internacional de Estudiantes / Programme forInternational Student Assessment) de la OCDE (Organización para la Cooperación yDesarrollo Económico)

• TIMSS (Estudio Internacional de Matemáticas y Ciencias / Trends in InternationalMathematics and Science Study) de la IEA (International Association for the Evaluation ofEducational Achievement)

• EGD (Evaluación General de Diagnóstico) del Instituto Nacional de Evaluación Educativa

( ) ( 1)( 2)P x x x x= + -

8a3+ 2a +

4a2+ 2 4a a2

+ +

4a2- 2 4a a2

- +

( 2 )x y 2-

4x y2 2- 4 4x y y2 2

+ -

4x y2- 4 4x xy y2 2

- +

2 22 2x

y ++

22

yx

++

yx

11

++

yx

x

11

x 1 1 2 3x x2 + +

( 3) 4x x + +

( 2) 2x x2+ -

( 2) 2x x + +

S a v= + S a v= - +

S a v= - S a v= - -

EVALÚATE

Diez ejercicios o problemas para que puedas evaluarte y decidir tu nivel de co-nocimientos.

MATEMÁTICAS RECREATIVAS

Problemas lúdicos y curiosidades relacionadas con la unidad correspondiente. Para ver el lado divertido de las matemáticas sin olvidar los contenidos del tema.

18 134 33 5

7

-3 -8-7-6

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

3,2 10 2,4 10 1,7 105 4 6$ $ $+ -

- - -

4,5 10 3,2 10 : 2 1014 20 16$ $ $ $

- -_ _ _i i i

3 10 4 1015 15 3$ $

- _ i

43 94 126 2

5 99 4 44 3 1331- + +

43 135 2

1 320 3 6253 3 3- +

5 50 6253 6$$ 1024 128:3 2 6^ h

18

5 6

3

2 16

4 23

3+

2

6 32

3 2 8-

ln e54 l 32og21 l 9og 3

l 491og log 7343

4 log700

41

81

2

21

212 3

2a ak k

log 21

log 212 3

2a ak k

2log 21

log 21

32

log 21

2 log 21

log 21

32 2 32

2 32

512 5 1 23 = + +

4913 4 9 1 33 = + + +

5832 25 8 33 = + + +

2 1 1 21

3 2 2 31

4 3 3 41

100 99 99 1001

...+ + + +

+ + + +

2 1 1 21

3 2 2 31

4 3 3 41

100 99 99 1001

...+ + + +

+ + + +

TICPáginas para aplicar los contenidos de cada bloque a las nuevas tecnolo-gías, en particular, al uso del ordenador. Pequeña presentación de los programas a utilizar en cada bloque e indicaciones de los comandos que se emplearán. Se aclararán todos estos conceptos con ejercicios resueltos paso a paso y se propone una pequeña batería de ejercicios para practicar los contenidos de todo el bloque con el ordenador, lo que puede valer de repaso una vez finalizado cada bloque de contenidos.

325

,36 95

,69 23

2 12 3 12 43

147- + 353 4_ i

8

2 44

3$16 24 3

$_ i

9077

25143

2125

,65 12 123 4563 9 876,5644

log 1645 ln

1

e 23 -log600 log

43252 d n

768 0003 5 1336 00

1,2 105$ 2,31 10 4

$-

1,26 10 2,16 1040 38$ $+

3,3 10 2,5 1015 28$$ $-_ _i i

:4,07 10 9,16 1015 30$ $

-_ _i i

9,87 10 6,87 1025 27$ $-

2 23 11- 30 2 21 5 10- - +

ESOESO4°

UNIDAD D

E MUESTRA

Índice

Unidad 1. Números reales 8

Repasa ....................................................................... 10Mapa conceptual ..................................................... 111. Números reales ....................................................... 122. Aproximaciones y errores en la expresión

aproximada de un número real .............................. 123. Representación y ordenación de los reales

en la recta .............................................................. 144. Intervalos y semirrectas ........................................... 165. Notación científica ................................................. 186. Raíces. Potencias de exponente fraccionario ............ 207. Logaritmos ............................................................. 26Saber más .................................................................. 28Síntesis ..................................................................... 29Ejercicios y problemas ............................................ 30Prepárate para las pruebas ...................................... 38Evalúate .................................................................... 39Matemáticas recreativas ......................................... 39

TIC Wiris. Bloque I: Aritmética ................................ 40

Unidad 2. Lenguaje algebraico 44

Repasa ....................................................................... 46Mapa conceptual ..................................................... 471. Polinomios ............................................................. 482. Teorema del resto. Raíces de un polinomio ............. 523. Factorización de polinomios ................................... 534. Fracciones algebraicas ............................................. 56Saber más .................................................................. 59Síntesis ..................................................................... 60Ejercicios y problemas ............................................ 61Prepárate para las pruebas ...................................... 68Evalúate .................................................................... 69Matemáticas recreativas ......................................... 69

Unidad 3. Ecuaciones e inecuaciones 70

Repasa ....................................................................... 72Mapa conceptual ..................................................... 731. Ecuaciones polinómicas .......................................... 742. Ecuaciones racionales ............................................. 763. Ecuaciones con radicales ......................................... 774. Ecuaciones exponenciales ....................................... 785. Ecuaciones logarítmicas .......................................... 796. Desigualdades e inecuaciones .................................. 807. Resolución de problemas con ecuaciones e

inecuaciones .......................................................... 86Saber más .................................................................. 87Síntesis ..................................................................... 88Ejercicios y problemas ............................................ 90Prepárate para las pruebas ...................................... 98Evalúate .................................................................... 69Matemáticas recreativas ......................................... 69

Unidad 4. Sistemas de ecuaciones e inecuaciones 100

Repasa ....................................................................... 102Mapa conceptual ..................................................... 103

1. Sistemas de dos ecuaciones lineales con dos variables .......................................................... 104

2. Sistemas lineales más complejos .............................. 1063. Sistemas no lineales ................................................ 1084. Sistemas de inecuaciones lineales con una

incógnita ............................................................... 1105. Sistemas de inecuaciones no lineales con

una incógnita......................................................... 1116. Sistemas de inecuaciones lineales con

dos incógnitas ........................................................ 1127. Resolución de problemas con sistemas

de ecuaciones e inecuaciones .................................. 114Saber más .................................................................. 115Síntesis ..................................................................... 116Ejercicios y problemas ............................................ 117Prepárate para las pruebas ...................................... 124Evalúate .................................................................... 125Matemáticas recreativas ......................................... 125

TIC Wiris. Bloque II: Álgebra ................................... 126

Unidad 5. Semejanza y trigonometría 132

Repasa ....................................................................... 134Mapa conceptual ..................................................... 1351. Semejanza. Teorema de Tales .................................. 1362. Criterios de semejanza en triángulos ....................... 1383. Medida de ángulos: grados y radianes ..................... 1394. Trigonometría. Razones trigonométricas

de un ángulo agudo ............................................... 1405. Relaciones entre las razones trigonométricas ........... 1426. Valores de las razones trigonométricas de

30°, 45° y 60° ....................................................... 1437. Resolución de triángulos rectángulos ...................... 1448. Razones trigonométricas de un ángulo

cualquiera: circunferencia goniométrica ................. 1469. Resolución de triángulos cualesquiera:

teoremas del seno y del coseno ............................... 14810. Problemas métricos............................................... 15011. Ecuaciones trigonométricas .................................. 152Saber más .................................................................. 154Síntesis ..................................................................... 155Ejercicios y problemas ............................................ 156Prepárate para las pruebas. ..................................... 165Evalúate. ................................................................... 167Matemáticas recreativas ......................................... 168

Unidad 6. Geometría analítica en el plano 172Repasa ....................................................................... 174Mapa conceptual. .................................................... 1751. Vectores en el plano ................................................ 1762. Operaciones con vectores libres. Método gráfico ..... 1773. Operaciones con vectores. Método analítico ........... 1804. Producto escalar de vectores .................................... 1825. La recta .................................................................. 1836. Posiciones relativas ente dos rectas .......................... 1887. Cálculo de distancias: problemas métricos .............. 190Saber más .................................................................. 192Síntesis ..................................................................... 193

Ejercicios y problemas ............................................ 194Prepárate para las pruebas. ..................................... 202Evalúate. ................................................................... 203Matemáticas recreativas ......................................... 203

TIC GeoGebra. Bloque III: Geometría ..................... 204

Unidad 7. Funciones y gráficas 208

Repasa ....................................................................... 210Mapa conceptual. .................................................... 2111. Función: definición y expresiones ........................... 2122. Dominio y recorrido ............................................... 2133. Operaciones con funciones ..................................... 2164. Puntos de corte con los ejes de coordenadas

y signo ................................................................... 2185. Simetrías ................................................................ 2206. Periodicidad ........................................................... 2217. Tendencias .............................................................. 2228. Continuidad ........................................................... 2239. Monotonía ............................................................. 225Saber más .................................................................. 229Síntesis ..................................................................... 230Ejercicios y problemas ............................................ 232Prepárate para las pruebas. ..................................... 240Evalúate. ................................................................... 241Matemáticas recreativas ......................................... 241

Unidad 8. Funciones elementales 242

Repasa ....................................................................... 244Mapa conceptual. .................................................... 2451. Dilataciones, contracciones, traslaciones y simetrías 2462. Funciones polinómicas. Representación

y características ...................................................... 2503. Funciones racionales. Representación

y características ...................................................... 2564. Funciones radicales. Representación

y características ...................................................... 2485. Funciones exponenciales. Representación

y características ...................................................... 2606. Funciones logarítmicas. Representación

y características ...................................................... 2617. Funciones trigonométricas. Representación

y características ...................................................... 2638. Valor absoluto de una función ................................ 265Saber más .................................................................. 267Síntesis ..................................................................... 268Ejercicios y problemas ............................................ 269 Prepárate para las pruebas. ..................................... 278Evalúate. ................................................................... 279Matemáticas recreativas ......................................... 279

Unidad 9. Límites y derivadas 276

Repasa ....................................................................... 278Mapa conceptual. .................................................... 2791. Concepto de límite de una función.

Límites laterales ..................................................... 2802. Límites y operaciones. Indeterminaciones ............... 282

3. Continuidad de una función. Tipos de discontinuidades en un punto ................. 286

4. Tendencias y asíntotas ............................................. 2895. Tasa de variación media y tasa de variación

instantánea ............................................................ 2916. Derivada de una función en un punto.

Interpretación geométrica ...................................... 2937. Función derivada .................................................... 2948. Derivadas de las funciones elementales ................... 2959. Derivadas y operaciones .......................................... 295Saber más .................................................................. 297Síntesis ..................................................................... 298Ejercicios y problemas ............................................ 300Prepárate para las pruebas. ..................................... 306Evalúate. ................................................................... 307Matemáticas recreativas ......................................... 307

TIC GeoGebra. Bloque IV: Análisis .......................... 308

Unidad 10. Estadística unidimensional y bidimensional 314

Repasa ....................................................................... 316Mapa conceptual. .................................................... 3171. Estadística unidimensional. Conceptos básicos ....... 3182. Tablas de frecuencias ............................................... 3203. Parámetros estadísticos ........................................... 3224. Gráficos estadísticos ................................................ 3295. Estadística bidimensional. Conceptos básicos ......... 3336. Covarianza ............................................................. 3347. Correlación lineal: coeficiente de correlación

de Pearson ............................................................. 3358. Regresión lineal ...................................................... 337Saber más .................................................................. 338Síntesis ..................................................................... 339Ejercicios y problemas ............................................ 340Prepárate para las pruebas. ..................................... 350Evalúate. ................................................................... 351Matemáticas recreativas ......................................... 351

TIC Excel. Bloque V: Estadística ............................... 352

Unidad 11. Combinatoria y probabilidad 360Repasa ....................................................................... 362Mapa conceptual. .................................................... 3631. Combinatoria ......................................................... 3642. Probabilidad: sucesos y operaciones ........................ 3663. Probabilidad teórica. Regla de Laplace .................... 3684. Probabilidad experimental: estadística

y probabilidad ....................................................... 3715. Probabilidad condicionada ..................................... 372Saber más .................................................................. 374Síntesis ..................................................................... 375Ejercicios y problemas ............................................ 376Prepárate para las pruebas. ..................................... 384Evalúate. ................................................................... 385Matemáticas recreativas ......................................... 385

TIC Wiris y Excel. Bloque VI: Combinatoria y probabilidad ................................. 386

286 289 286 289

ESO4°

UNIDAD D

E MUESTRA

Lenguaje aLgebraico

9141 MATEMATICAS 4 ESO Academicas.indb 44 21/03/16 13:13

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E MUESTRA

Las calculadoras científicas disponen de varios botones para hallar valores de funciones más o menos complejas, como la raíz cuadrada o de cualquier otro índice, los logaritmos o las funciones trigonométricas seno, coseno, tangente, etc., que estudiarás más adelante. Sin embargo, la mayoría de las calculadoras, en general, solo son capaces de efectuar sumas, restas, multiplicaciones y divisiones. ¿Cómo hacer entonces para hallar el resultado de operaciones más complejas si solo podemos utilizar las cuatro operaciones básicas?

La respuesta la encontramos en los polinomios. En un polinomio únicamente se utilizan sumas, restas, multiplicaciones y potencias, que son básicamente productos, por lo que con las cuatro operaciones elementales se puede hallar el valor numérico de cualquier polinomio. Pues bien, para todas estas funciones disponibles en una calculadora científica, existe un polinomio cuyos valores numéricos se aproximan muchísimo a los valores de la función que queramos hallar. Por ejemplo, si queremos hallar uno de los valores de la función exponencial ex , digamos que el correspondiente a x 1= , es decir, el valor de e, la calculadora lo consigue a través del polinomio

( )P x xx x x x x x x x x x x

12 6 24 120 720 5040 40320 362880 3628800 39916800 47900160

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

= + + + + + + + + + + + +

( )P x xx x x x x x x x x x x

12 6 24 120 720 5040 40320 362880 3628800 39916800 47900160

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

= + + + + + + + + + + + +

sin más que darle a la x el valor 1 y realizar las operaciones, que aunque son muchas, no representan ningún esfuerzo para una calculadora. De esta forma, en la pantalla de la calculadora se mostraría:

2.718281828que son las primeras 10 cifras exactas de e, ya que el polinomio del ejemplo falla respecto al valor real de e a partir de la undécima cifra, que ya no aparece en la pantalla.

INTERPRETA Y RESUELVE

Halla el valor numérico del polinomio del texto de la introducción de esta unidad para 0,5x = y compáralo con el valor de e que aparece en la calculadora.

hallar valores de funciones más o menos complejas, como la raíz cuadrada o de cualquier otro índice, los logaritmos o las funciones trigonométricas seno, coseno, tangente, etc., que estudiarás más adelante. Sin embargo, la mayoría de las calculadoras, en general, solo son capaces de efectuar sumas, restas, multiplicaciones y divisiones. ¿Cómo hacer entonces para hallar el resultado de operaciones más complejas si solo podemos

La respuesta la encontramos en los polinomios. En un polinomio únicamente se

UNIDAD

2


UNIDAD D

E MUESTRA

REPASA

46

EJERCICIOS

1. Indica si las siguientes expresiones son o no monomios y, en caso afirmativo, señala los elementos que se indican:

Expresión algebraica

Monomio Coeficiente Parte literalNúmero de

indeterminadasGrado

x yz3 2-

2ab3

4

3

3 5x y4-

2 x y3 2 4

2b

a1

m np q2 4

2. Realiza las siguientes operaciones con monomios:

a) 2 3 5 6 7 16 9 7 6x y x y xy x y x y xy x y xy x y3 2 2 3 2 2 3+ - + - + - + +

b) 2 4x y z x y z2 3 3 2 4$ -_ i

c) 24 : 2a b c a b c5 4 3 3 2- -_ i

d) 4e f g2 4 3 2_ i

Antes de comenzar con los polinomios y las fracciones algebraicas es con-veniente repasar las expresiones algebraicas más sencillas, que son los mo-nomios.Un monomio es un producto de números y letras.

3x2ycoeficiente

parte literal

grado 2 1 3= + =

La suma y resta de monomios solo se puede realizar si los monomios tie-nen la misma parte literal (es decir, si son monomios semejantes)x y yx x y xy x y xy x y xy3 5 7 6 3 5 7 6 62 2 2 2 2+ - + = + - + = +_ i

El producto, el cociente y la potenciación de monomios se puede realizar siempre.x y z xy x y z x y z5 2 10 102 3 4 2 1 3 4 3 7$- = - = -+ +

:a b c a b a b c a c10 2 5 55 3 3 3 5 3 3 3 2- = - = -- -_ i

p q r p q r p q r3 9 92 3 2 2 2 3 2 1 2 4 6 2- = =$ $ $_ i


UNIDAD D

E MUESTRA

MAPA CONCEPTUAL

47

LENGUAJE ALGEBRAICO

4747

FRACCIONES ALGEBRAICAS

POLINOMIOS

Simplificación

Operaciones

Definición

Operaciones

Factorización

Teorema del resto - raíces de un polinomio

Potencia: identidad notable

Cociente: regla de Ruffini

Extracción de factor común

Suma y resta

Producto

Cociente

Suma, resta, producto

2UNIDAD


UNIDAD D

E MUESTRA

48

LENGUAJE ALGEBRAICO

1. Polinomios

1.1. Definiciones

Un polinomio es una expresión algebraica formada por la suma o resta de varios monomios no semejantes. Si hubiera monomios semejantes debe-ríamos primero operarlos para reducir el polinomio y comprobar que, en efecto, tiene varios sumandos.

,P x y x y xy y3 5 6 22 3 4= + - +_ itérmino varíables

término independiente

grado ( )P x 2 3 5= + =

1.2. Operaciones: suma, resta y producto

– Para sumar o restar polinomios se agruparán los monomios semejantes y se operará.

– Para multiplicar polinomios se multiplicará cada término del primero por todos los términos del segundo y se sumarán los polinomios obtenidos.

EJERCICIO RESUELTO

1. Realiza las siguientes operaciones con polinomios:

a) x x x x x x4 3 5 4 3 5 4 53 2 3 2- + + - - + + -_ i

b) x y xy xy xy x y3 5 2 4 2 32 2 $- + - + -_ _i i

a) x x x x x x x x x x x x x x x4 3 5 4 3 5 4 5 4 3 5 4 3 5 4 5 7 8 93 2 3 2 3 2 3 2 3 2- + + - - + + - = - + + + - - + = - + +_ i x x x x x x x x x x x x x x x4 3 5 4 3 5 4 5 4 3 5 4 3 5 4 5 7 8 93 2 3 2 3 2 3 2 3 2- + + - - + + - = - + + + - - + = - + +_ i

b) x y xy xy xy x y x y x y x y x y x y xy x y x y xy x y x y x y x y xy x y xy3 5 2 4 2 3 12 6 9 20 10 15 8 4 6 12 6 15 10 15 8 62 2 3 2 3 2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 3 3 2 3 2 2 2 2 2 3 3$- + - + - - + - + - + - + - = - + + - + - -=_ _i i x y xy xy xy x y x y x y x y x y x y xy x y x y xy x y x y x y x y xy x y xy3 5 2 4 2 3 12 6 9 20 10 15 8 4 6 12 6 15 10 15 8 62 2 3 2 3 2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 3 3 2 3 2 2 2 2 2 3 3$- + - + - - + - + - + - + - = - + + - + - -=_ _i i

x y xy xy xy x y x y x y x y x y x y xy x y x y xy x y x y x y x y xy x y xy3 5 2 4 2 3 12 6 9 20 10 15 8 4 6 12 6 15 10 15 8 62 2 3 2 3 2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 3 3 2 3 2 2 2 2 2 3 3$- + - + - - + - + - + - + - = - + + - + - -=_ _i iSolución

1.3. Operaciones: potencia (identidades notables)

Para elevar un polinomio a una potencia aplicaremos la definición de potencia y multiplicaremos el polinomio tantas veces por sí mismo como indique el exponente. Sin embargo, existen algunas potencias que, por resultar más habituales, podemos calcular por medio de una fórmula: son las identidades notables.

• Cuadrado de una suma ( )a b a ab b22 2 2+ = + +

• Cuadrado de una resta ( )a b a ab b22 2 2= +- -

• Producto de suma por diferencia ( ) ( )a b a b a b2 2$+ = --

RECUERDA

Los polinomios formados por dos términos se llaman binomios y los formados por tres se denominan trinomios.

RECUERDA

El opuesto de ( )P x x x 1

2= - +

es ( )P x x x 12

- = - + - .

OBSERVA

Un polinomio está ordenado si sus términos aparecen ordenados de mayor a menor grado.


UNIDAD D

E MUESTRA

49

LENGUAJE ALGEBRAICO

EJERCICIO RESUELTO

2. Calcula las siguientes potencias de polinomios:

a) x y xy2 3 42 2- +_ i

b) x y3 4 2 3-_ i

c) x y xy3 52 3 2-_ i

d) x yz xy z x yz xy z4 3 4 32 2 3 2 2 3- +_ _i i

a) x y xy x y xy x y xy x xy x y xy y xy x y xy x y x xy x y y xy x y2 3 4 2 3 4 2 3 4 4 6 8 6 9 12 8 12 16 4 12 16 9 24 162 2 2 2 2 2 2 2 4 3 2 3 2 2 2 2 2 4 3 2 2- + = - + - + = - + - + - + - + = - + + - +_ _ _i i ix y xy x y xy x y xy x xy x y xy y xy x y xy x y x xy x y y xy x y2 3 4 2 3 4 2 3 4 4 6 8 6 9 12 8 12 16 4 12 16 9 24 162 2 2 2 2 2 2 2 4 3 2 3 2 2 2 2 2 4 3 2 2- + = - + - + = - + - + - + - + = - + + - +_ _ _i i i

x y xy x y xy x y xy x xy x y xy y xy x y xy x y x xy x y y xy x y2 3 4 2 3 4 2 3 4 4 6 8 6 9 12 8 12 16 4 12 16 9 24 162 2 2 2 2 2 2 2 4 3 2 3 2 2 2 2 2 4 3 2 2- + = - + - + = - + - + - + - + = - + + - +_ _ _i i i

b) x y x y x y x y xy x y x x y xy y x y xy x x y xy y3 4 3 4 3 4 9 16 24 3 4 27 36 48 64 72 96 27 108 144 642 3 2 2 2 4 2 2 3 2 2 4 6 2 2 4 3 2 2 4 62$$- = - - = + - - = - + - - + = - + -_ _ _ _ _i i i i i


c) Aplicando la fórmula de la identidad notable:x y xy x y x y x y3 5 9 30 252 3 2 4 2 3 4 2 6- = - +_ i

d) Aplicando la fórmula de la identidad notable:x yz xy z x yz xy z x y z x y z4 3 4 3 16 92 2 3 2 2 3 4 2 2 2 4 6- + = -_ _i i

Solución

1. CL Indica el número de términos, las variables, el término independiente (si lo hay) y el grado de los siguientes polinomios:

a) 3 5 6 3 6x yz x x y xyz2 2 3 3 2- + - + -

b) 4 5 4 7 2 6x x x x x8 6 5 3- + - + -

c) 53 4 1xyz x2

- +

2. Realiza las siguientes sumas, restas y produc-tos de polinomios:

a) 3 2 1 5 3 2 3 6x x x x x x x2 2 5 4- + + - - + -_ _ _i i i

b) 4 5 3 2 4 5 1 3 5x x x x x x7 5 3 3+ - + - - + +_ _ _i i i

c) 3 1 2 6 3 1x x x x2+ + - +_ _ _i i i

d) 2 3 3 4 2 6 6x y x y x xy x y2 3 2+ - + - - + -_ _ _i i i

3. Calcula las siguientes potencias de polino-mios:

a) 3x y3

-_ i c) 3 6x y2 3 3-_ i

b) 2 3x y z2

+ -_ i d) 3 6 2x y2 2- +_ i

4. Obtén el resultado de las identidades nota-bles.

a) 3 2x y2

-_ i

b) 4x y3 2 2- +_ i

c) 3x y

52 3 2

+d n

d) 2x x2 2+_ i

e) 5 3 5 3x y x y- +_ _i i

f ) 3 52

3 52a b a b

- + +a ak k

5. Completa estas expresiones para que se veri-fique la igualdad teniendo en cuenta que se trata de identidades notables en todos los casos:

a) 2 20x x2

4 4 4- = + -_ i

b) 5 9 30x x x2 4 34 4+ = - +_ i

c) 4 12x xy2 24 4 4+ = + +_ i

d) 2 3x4 4 4 4- + = -a _k i

e) 3 3 a24 4 4+ - + = -_ _i i

f ) 4 16 16x x x2 8 4 64 4+ = + +_ i

EJERCICIOS

2UNIDAD


UNIDAD D

E MUESTRA

50

LENGUAJE ALGEBRAICO

1.4. Operaciones: extracción de factor común

La extracción de factor común transforma un polinomio en producto de un monomio por otro polinomio de menor grado que el anterior. El fac-tor común de un polinomio es el máximo común divisor de los coeficien-tes y de las partes literales de sus términos.

EJERCICIO RESUELTO

1. Extrae factor común en x y xy x y x y z4 6 8 122 3 4 2 5 3 3+- - .

El mcd de los términos del polinomio es xy2 3 , por tanto, la extracción de factor común quedaría como sigue:

x y xy x y x y z xy x y xy x z4 6 8 12 2 2 3 4 62 3 4 2 5 3 3 3 2 2- + - = - + -_ iSolución

1.5. Operaciones: cociente (división y regla de Ruffini)

La división de polinomios se realiza como la división de números enteros y cumple sus mismas propiedades, es decir, dados dos polinomios P(x) y Q(x), se verifica que si realizamos la división ( ) : ( )P x Q x obtenemos un cociente, C(x), y un resto, R(x), que cumplen ( ) ( ) ( ) ( )P x Q x C x R x$= + , siendo el grado de R(x) menor que el grado de Q(x).

EJERCICIO RESUELTO

1. Realiza ( ) : ( )P x Q x donde ( )P x x x x x3 4 2 5 65 3 2= + - + - y ( )Q x x x2 12= + - y verifica que la divi-sión es correcta.

19

x x x x

x x x

x x x x

x x x

x x x

x x x

x x

x x

x

x x

x x x

3 4 2 5 6

3 6 3

6 7 2 5 6

6 12 6

8 5 6

19 38 19

46 24 6

46 92 46

116 52

2 1

3 6 19 46

5 3 2

5 4 3

4 3 2

4 3 2

3 2

3 2

2

2

2

3 2

+ - + -

- - +

- + - + -

+ + -

- + -

- - +

- + -

+ -

-

+ -

- + -

Para encontrar cada uno de los tér-minos del cociente dividiremos el primer término del dividendo en-tre el primero del divisor. A conti-nuación, multiplicaremos el mo-nomio del cociente hallado por el divisor y lo restaremos al dividen-do. Este paso se debe repetir hasta conseguir que el resto de la divi-sión tenga menor grado que el di-visor.

( )C x x x x3 6 19 463 2= - + - y ( )R x x116 52= -

La división es correcta porque se verifica que x x x x x x x x x x3 4 2 5 6 2 1 3 6 19 46 116 525 3 2 2 3 2+ - + - = + - - + - + -_ _ _i i i .

Solución

La extracción de factor común transforma un polinomio en producto de un monomio por otro polinomio de menor grado que el anterior. El fac-tor común de un polinomio es el máximo común divisor de los coeficien-

RECUERDA

El máximo común divisor está formado por los factores comunes elevados al menor exponente. En caso de ser expresiones algebraicas, la misma definición es válida. Por ejemplo, mcd (23 · 32, 24 · 3 · 5) = 23 · 3 y el mcd (24x3y2, 23 · 3x4yz) = 23x3y.


UNIDAD D

E MUESTRA

51

LENGUAJE ALGEBRAICO

• Regla de Ruffini

Si el divisor es de la forma x a- (con un número entero), además de realizar la división de la forma tradicional, también se puede hacer empleando la regla de Ruffini.

EJERCICIO RESUELTO

2. Aplica la regla de Ruffini para efectuar estas divisiones:

a) :x x x x x3 2 4 6 1 15 3 2- + - + +_ _i i

b) :x x x2 3 24 2+ - -_ _i i

a) 3

-3

-2

3 -1

1-3

0 4 1-6

-9

9-3

3 3 10

-1

+ +

cociente resto

( )C x x x x x3 3 3 94 3 2= - + + - y ( )R x 10=

b) 2

1 2 0 -3

2 4 24

1 2 6

0

12

12

21

( )C x x x x2 6 123 2= + + + y ( )R x 21=Solución

6. Extrae el máximo factor común en las siguien-tes expresiones:

a) 6 12 18x y x y x y2 3 4 4 3 5- +

b) 24 36 60 48x x x3 2- + -

c) 2 3x yz x y z x yz x yz x y z3 2 2 2 3 2 4 2 2- + + -

d) 12 9 15ab c b c b c d3 3 3 2 2- - -

7. Realiza las siguientes divisiones:

a) 3 4 2 3 : 2 3x x x x x5 3 2- + - + -_ _i i

b) 6 5 3 2 1 : 2 1x x x x x6 5 3 2+ - + - -_ _i i

c) 1 : 2 5x x x x5 3 2+ + + -_ _i i

d) 3 5 4 2 3 2 : 3 2x x x x x x x x6 5 4 3 2 2- + - + - + - +_ _i i

3 5 4 2 3 2 : 3 2x x x x x x x x6 5 4 3 2 2- + - + - + - +_ _i i

8. Calcula el término desconocido sin realizar la división, sabiendo que D(x) indica el dividendo, d(x) el divisor, C(x) el cociente y R(x) el resto.

a) ( ) 6 9 4 2D x x x xx 4 3 2= + - + + ,

( ) 3 2 5d x x x2= + - , ( ) 3 7R x x= - +

b) ( ) 2 43

32

2 1xx x x x

xC5 4 3 2

= - + - + - ,

( ) 1d x x x2= + + , ( ) 3 5R x x= -

c) ( ) 8 17 10D x x x x x x5 4 3 2= + - - + - ,

( ) 3 2 5 7x x x x xC 4 3 2= + - - + , ( ) 4R x =

d) ( ) 25 15 25 24 17 19D x x x x x x5 4 3 2= - + - + - ,

( ) 5 4d x x x3= + - , ( ) 5 3 4x x xC 2

= - +

9. Indica si los siguientes cocientes se pueden hallar con la Regla de Ruffini. En caso afirmativo, calcúlalos e indica el cociente y el resto.

a) :3 2 5 5)(x x x3- + -_ i

b) 3 2 1 : ( 2)x x x x x6 5 3- + - + + +_ i

c) 4 2 3 2 : ( 1)x xx

xx

x7 53

2+ - - + - +d n

d) 4 3 1 : 3x x x x x4 3 2 2+ - - + +_ _i i

10. Calcula a para que la división3 13 2 : ( 2)x x ax x x4 3 2+ + - + +_ i sea exacta.

11. Calcula el resto de la división 1 : ( 1)x x200- -_ i .

12. CA La regla de Ruffini se puede extender con divisores del tipo ax b+ . Practica con algún ejem-plo y extrae tus conclusiones.

EJERCICIOS

Aplica la regla de Ruffini para efectuar estas divisiones:

b) 1 2 0 -30

RECUERDA

Colocamos los coeficientes de los términos del dividendo en una fila (recordando escribir 0 en caso de que falte alguno de los grados) y colocamos el término independiente del divisor cambiado de signo en el margen izquierdo.

El primer coeficiente del dividendo se baja sin modificar y, a continuación, se van realizando productos y sumas hasta acabar con todos los coeficientes.

Colocamos los coeficientes de los términos del 0 en

2UNIDAD


UNIDAD D

E MUESTRA

52

LENGUAJE ALGEBRAICO

2. Teorema del resto. Raíces de un polinomio

El teorema del resto enuncia que el valor numérico de un polinomio P(x) en x a= , esto es P(a), coincide con el resto de la división ( ) : ( )P x ax - .

Resto de P(x): ( ) ( )x a P a- =

Su demostración se deduce de la prueba de la división:Tenemos la división

( )

( )

P

R

x a

C

x

x

-

donde R es necesariamente un número porque el divisor es un polinomio de grado 1 y el resto debe tener, por tanto, grado 0.Por la prueba de la división, se verifica que ( ) ( ) ( )P x x a C x R$= - + .

x a=

( ) ( ) ( ) ( )P a a a C R C R Ra a0$ $= - + = + =

como queríamos demostrar.Por otro lado, llamaremos raíces de un polinomio a los números a tales que ( )P a 0= , es decir, y aplicando el teorema del resto, a aquellos núme-ros a tales que ( ) : ( )P x x a- es exacta.

OBSERVA

Si una división P(x) : (x - a) es exacta de cociente C(x), se verifica que P(x) = (x - a) · C(x). En este caso, tanto x - a como C(x) se dicen factores de P(x).

EJERCICIOS RESUELTOS

1. ¿Es exacta la división : ( )x x x x3 137 24 12+ - + +_ i ?

Obviamente no se trata de realizar la división de forma explícita, sino de aplicar el teorema del resto.

( ) ( )( )1 1 1 3 1 1 1 3 237 24 12- + - - - + = - + - + =

El resto de la división es 2 y por tanto no es exacta.Solución

2. ¿Es x 2= - raíz de ( )P x x x x3 10 13 2= - + + - ?

Se trata de comprobar si la división : ( )x x x x3 10 1 23 2- + + - +_ i es o no exacta.

Aplicando el teorema del resto ( ) ( )( )2 3 2 10 2 1 8 12 20 1 13 2$ $- - + - + - - = + - - = - , luego ni la división es exacta ni x 2= - es raíz del polinomio dado.

Solución


UNIDAD D

E MUESTRA

53

LENGUAJE ALGEBRAICO

EJERCICIO RESUELTO

3. Halla el valor de k para que cada división siguiente tenga el resto que se indica:

a) : ( )x x kx x3 5 13 2+ + - +_ i , resto = 0

b) : ( )x x x xk2 4 1 224- + + + -_ i , resto = 1a) )( ( ) ( )k1 3 1 1 5 03 2 $- + - + - - =

k k1 3 5 0 3"- + - - = = -

b) k2 2 2 4 2 1 14 2$ $ $- + + + =

k32 4 8 11- + + + =

k k4 24 6"= =Solución

13. Calcula el resto de las siguientes divisiones sin realizarlas:

a) 3 5 2 : ( 1)x x x x3 2+ - + +_ i

b) :3 2 ( 1)x x x x x23 16 8 2+ - + - -_ i

c) 5 3 6 5 : ( 2)x x x x x4 3 2+ - + - +_ i

d) :2 6 17 ( 5)x x x2- + - +_ i

14. ¿Son raíces los siguientes números de los polinomios que se indican?:

a) 4 6x x x3 2- + - ; raíz 2x = ; raíz 3x = -

b) 2 9 3 4x x x3 2+ + - ; raíz 2

1x = ; raíz x 4= -

15. Escribe tres polinomios que tengan como factores 3x + y 2x - simultáneamente.

16. CA Observa el siguiente ejemplo:

( ) 7 6 ( 1)( )( )( 1)P x x x x x x x x x2 34 3 2= - - + + = - + - +

Es decir, P(x) tiene como raíces 1x = , 2x = - , x 3= , x 1= - .

En general se verifica que todas las raíces enteras de un polinomio son divisores de su término inde-pendiente, al igual que 1, -2, 3 y -1 son, en nuestro caso, divisores de 6.

Empleando la regla de Ruffini, halla las raíces enteras de los siguientes polinomios. ¿Podrías asegurar que son las únicas raíces reales? ¿Cuántas raíces como máximo puede tener un polinomio? Razona tus respuestas.

a) 7 6x x x x4 3 2- - + +

b) 2 3 3 2x x x x5 4 3 2+ - -

c) 4 4 4 5x x x x4 3 2- - - -

d) 2 3 4 6x x x3 2- + -

17. Halla k para que las siguientes divisiones sean exactas:

a) ( 2 2 ) : ( )x x x x k x3 14 3 2- + - + - - c) ( ) : ( )x xkx4 10 22

+ + -

b) ( ) : ( 1)x x xkx2 53 2+ + - + d) ( 6) : ( )x x xkx 3 33 2

- + + - +

EJERCICIOS

2UNIDAD


UNIDAD D

E MUESTRA

54

LENGUAJE ALGEBRAICO

3. Factorización de polinomiosFactorizar un polinomio consiste en expresarlo como producto de poli-nomios del menor grado posible. Cada uno de los factores de este pro-ducto es factor o divisor del polinomio inicial.Las raíces y los factores de un polinomio están muy relacionados. De hecho, si x a= es raíz de un polinomio, significa que uno de sus factores va a ser x a- .Por ejemplo, si x 5= es una raíz, uno de sus factores será ( )x 5- y si una de sus raíces es x 4= - , uno de sus factores será ( )x 4+ .A lo largo de esta unidad hemos estudiado los procedimientos que nos permitirán factorizar polinomios: la extracción de factor común, las iden-tidades notables, la regla de Ruffini y el teorema del resto.Podemos seguir este esquema orientativo a la hora de factorizar:1. Primero, extraer factor común, si es posible.2. A continuación, observar posibles identidades notables, si las hay.3. Después, procederemos como sigue:

• Si el polinomio resultante es de grado mayor que 2, aplicaremos la regla de Ruffini para hallar una de sus raíces, consiguiendo un co-ciente de grado menor.

• Si el polinomio resultante es de grado 2, aplicaremos la fórmula de la ecuación de segundo grado para hallar sus raíces, pues la regla de Ruffini solo es práctica para encontrar raíces enteras, y puede que el polinomio tenga raíces reales no enteras o incluso que no tenga raíces reales.

EJERCICIO RESUELTO

1. Factoriza el siguiente polinomio e indica sus raíces:

x x3 124 2-

Podemos sacar factor común x3 2 , con lo que quedaría:x x x x3 12 3 44 2 2 2- = -_ i

A su vez, el binomio x 42 - es una identidad notable, con lo que la factorización completa será:( )( )x x x x x3 12 3 2 24 2 2- = - +

siendo las raíces los valores que anulan cada uno de los factores, es decir, x 0= , x 2= , x 2= - .Solución

OBSERVA

Cuidado con las factorizaciones de polinomios en los que el término de mayor grado tiene coeficiente distinto de 1. En estos casos, debemos procurar que el producto de los factores coincida con el polinomio inicial, y, en caso contrario, añadir el coeficiente en cuestión multiplicando al resto de los factores.

Por ejemplo,3x2 - 3 = 3(x - 1)(x + 1).


UNIDAD D

E MUESTRA

55

LENGUAJE ALGEBRAICO

EJERCICIO RESUELTO

2. Factoriza el siguiente polinomio x x8 2 32 + - e indica sus raíces:

Para factorizarlo, hallaremos primero sus raíces, es decir, las soluciones de x x8 2 3 02 + - = .Resolviendo la ecuación de segundo grado:

x162 10 2

1

4316

2 4 96 !!= =

-=-

- +

La factorización del polinomio será por tanto:

x x x x8 2 3 821

432 + - = - +d an k y sus raíces serán

21

x = , 43

x = - .Solución

3. Factoriza el siguiente polinomio x x x x11 124 3 2+ - + - e indica sus raíces:

Procederemos en este caso como en el anterior, buscando primero las raíces, esto es, hallando nú-meros a de forma que ( )P a 0= donde ( )P x x x x x11 124 3 2= + - + - . Por el teorema del resto, esto equivale a realizar divisiones ( ) : ( )P x x a- de resto 0. Por tanto, efectuaremos divisiones sucesivas por Ruffini, probando siempre como posibles valores de a los distintos divisores del término inde-pendiente, en este caso, !1, !2, !3, !4, !6, !12.

1

3

-11

12 3

14

1 1 -12

0

12

1 4

3

-4 0 -4

101 0

-4

x 1 02 + =

x 1 R! z=

Así la factorización es x x x x x x x11 12 3 4 14 3 2 2+ - + - = - + +_ _ _i i i y las raíces son x 3= , x 4= - . El tercer factor no aporta raíces reales.

Solución

18. Factoriza los siguientes polinomios de segundo grado:

a) 3 18x x2+ - c) 4 25x2

- e) 3 24 48x x2- - -

b) 3 15 42x x2+ - d) 3 2x2

+ f) 4 2 6x x2- -

19. Factoriza los siguientes polinomios de grado arbitrario:

a) 2 3x x x4 3 2+ - c) 2 2 6 6x x x x4 3 2

- - - - e) 18 15 4 4x x x x4 3 2- + + -

b) 15 10 24x x x4 2- + + d) 3 12 18 24 24x x x x x5 4 3 2

+ + + + f) 3 6 2x x x x5 4 3 2+ + +

20. CA Encuentra el polinomio al que corresponde la siguiente factorización: 2 ( 1)( 3)x x x- + - .

21. CA Escribe un polinomio cuyas únicas raíces sean 0, 1 y -2 (raíz doble) y de coeficiente de primer grado -1. ¿Existen varias soluciones?

EJERCICIOS

2UNIDAD


UNIDAD D

E MUESTRA

56

LENGUAJE ALGEBRAICO

4. Fracciones algebraicas

Una fracción algebraica es una fracción cuyos términos son polinomios.

Por ejemplo, x

xy x

4 1

3 52 -

+, x

3 , xxy

2 15+

son fracciones algebraicas.El valor numérico de una fracción algebraica es el cociente de los valores numéricos del numerador y el denominador, teniendo en cuenta que las expresiones del tipo k

0 no pueden calcularse.

EJERCICIO RESUELTO

1. Calcula el valor numérico de las siguientes fracciones algebraicas, si es posible:

a) x

x x3 2

3 2 13 2

-- + - para x 1= -

b) x

x x 12 8

2

-+ + para x 4=

a) ( )

( ) ( )3 1 2

3 1 2 1 15

3 2 154

3 2

- -- - + - -

=-+ -

= -

b) 2 4 84 4 1

0212

$ -+ +

= que no existeSolución

4.1. Simplificación

Las fracciones algebraicas, como las numéricas, se pueden simplificar, ob-teniendo una fracción equivalente pero de numerador y denominador más sencillos y sin factores comunes.Para simplificar una fracción algebraica factorizaremos el numerador y el denominador y eliminaremos los factores comunes a ambos miembros.

EJERCICIO RESUELTO

2. Obtén la fracción irreducible x x x

x x

6 12 8

12 163 2

3

- + -

- + - .

Como no se puede extraer factor común ni observamos identidades notables, pasamos directamen-te a buscar sus raíces con Ruffini y la ecuación de segundo grado cuando sea necesario.

( )

( ) ( ) ( )

x x x

x x

x

x xxx

6 12 8

12 16

2

2 424

3 2

3

3

2

- + -

- + -=

-

- - +=

-- +

Solución

4.2. Operaciones

De la misma manera que operamos las fracciones numéricas, operaremos las algebraicas.Para sumar o restar fracciones algebraicas obtendremos, si es necesario, fracciones equivalentes con el mismo denominador, y luego sumaremos o restaremos los numeradores, manteniendo el denominador.

RECUERDA

En todas las operaciones con fracciones algebraicas, al igual que en las numéricas, el resultado debe aparecer simplificado.


UNIDAD D

E MUESTRA

57

LENGUAJE ALGEBRAICO

El producto de dos fracciones algebraicas es otra fracción de numerador el producto de los numeradores y de denominador el producto de los deno-minadores.El cociente de dos fracciones algebraicas es otra fracción de numerador el producto del numerador de la primera y el denominador de la segunda, y de denominador el producto del denominador de la primera y el nume-rador de la segunda.

RECUERDA

En los productos y cocientes de fracciones algebraicas, no operes; primero factoriza numeradores y denominadores para evitar que los polinomios resultantes tengan cada vez grados mayores.

EJERCICIO RESUELTO

3. Opera, expresando el resultado en forma de fracción irreducible.

a) xx

xx

xx

11

14

23 2

-+++--

+

b) x

x x x

x x x

x

3 12

6 8

3 9 12

6 62

3 2

3 2$-

- - -

+ -

-

a) Para sumar debemos conseguir el mismo denominador, con lo que debemos hallar el mcm de los denominadores, factorizándolos y escogiendo los factores comunes elevados al mayor exponente. En este caso, dado que ya están factorizados, mcm , ,( ) ( )( )x x x x x x1 1 2 2 1 1- + = + -

A continuación, procederemos como en las operaciones con fracciones numéricas, cambiando los numeradores para conseguir fracciones equivalentes (dividiendo denominadores y multipli-cando el cociente por el numerador original).

( )( )( )

( )( )( )( )

( )( )( )( )( )

( )( )( ) ( ) ( )( )

( )( ) ( )( )xx

xx

xx

x x xx x

x x xx x x

x x xx x x

x x xx x x x x x x x

x x xx x x x x x x x x

x x xx x x

11

14

23 2

2 1 12 1

2 1 12 1 4

2 1 13 2 1 1

2 1 12 2 1 2 4 3 2 1

2 1 12 4 2 2 8 3 3 2 2

2 1 13 3 25 10 12

2 2 2 2 3 2 3 2 3 2 3 2

-+++--

+=

- ++

+- +- -

-- +

+ - +=

- ++ + + - + - - + -

=- +

+ + - + - - + - +=

- +- + - +

( )( )( )

( )( )( )( )

( )( )( )( )( )

( )( )( ) ( ) ( )( )

( )( ) ( )( )xx

xx

xx

x x xx x

x x xx x x

x x xx x x



x x xx x x

11

14

23 2

2 1 12 1

2 1 12 1 4

2 1 13 2 1 1

2 1 12 2 1 2 4 3 2 1

2 1 12 4 2 2 8 3 3 2 2

2 1 13 3 25 10 12

2 2 2 2 3 2 3 2 3 2 3 2

-+++--

+=

- ++

+- +- -

-- +

+ - +=

- ++ + + - + - - + -

=- +

+ + - + - - + - +=

- +- + - +

( )( )( )

( )( )( )( )

( )( )( )( )( )

( )( )( ) ( ) ( )( )

( )( ) ( )( )xx

xx

xx

x x xx x

x x xx x x

x x xx x x



x x xx x x

11

14

23 2

2 1 12 1

2 1 12 1 4

2 1 13 2 1 1

2 1 12 2 1 2 4 3 2 1

2 1 12 4 2 2 8 3 3 2 2

2 1 13 3 25 10 12

2 2 2 2 3 2 3 2 3 2 3 2

-+++--

+=

- ++

+- +- -

-- +

+ - +=

- ++ + + - + - - + -

=- +

+ + - + - - + - +=

- +- + - +

que no se puede simplificar.

b) Factorizamos y multiplicaremos directamente en línea y simplificaremos, sin operar

( )( )( )( )

( )( )( )

( )( ) ( )( )( )( ) ( )

( )··

x

x x x

x x x

xx x

x x xx x x

xx x x x x

x x x xx3 12

6 8

3 9 12

6 63 2 2

4 23 4 16 1

3 2 2 3 4 14 2 6 1

3 22

2

3 2

3 2$ $-

- - -

+ -

-=

- +- + +

+ --

=- + + -- + + -

=--

( )( )( )( )

( )( )( )

( )( ) ( )( )( )( ) ( )

( )··

x

x x x

x x x

xx x

x x xx x x

xx x x x x

x x x xx3 12

6 8

3 9 12

6 63 2 2

4 23 4 16 1

3 2 2 3 4 14 2 6 1

3 22

2

3 2

3 2$ $-

- - -

+ -

-=

- +- + +

+ --

=- + + -- + + -

=--

Solución

2UNIDAD


UNIDAD D

E MUESTRA

58

LENGUAJE ALGEBRAICO

EJERCICIO RESUELTO

4. Opera, expresando el resultado en forma de fracción irreducible.

:x x

x x x

x x

x x x

3

2 4 30

3 6

8 80 2002

4 3 2

2

5 4 3

-

- - +

+

- +

De la misma forma que en el producto, pero operando en cruz tenemos:

:( )( )( )

:( )( )

( ) ( )

( )( ) ( )

( )

( )( )

··

x x

x x x

x x

x x xx x

x x xx x

x x

x x x x

x x x x x

x x

x x

3

2 4 30

3 6

8 80 2003

2 5 33 28 5

3 8 5

2 5 3 3 2

4 5

3 2 52

4 3 2

2

5 4 3 2 3 2

3 2

2

2-

- - +

+

- +=

- -- + -

+-

=- - -

- + - +=

-

+ +

:( )( )( )

:( )( )

( ) ( )

( )( ) ( )

( )

( )( )

··

x x

x x x

x x

x x xx x

x x xx x

x x

x x x x

x x x x x

x x

x x

3

2 4 30

3 6

8 80 2003

2 5 33 28 5

3 8 5

2 5 3 3 2

4 5

3 2 52

4 3 2

2

5 4 3 2 3 2

3 2

2

2-

- - +

+

- +=

- -- + -

+-

=- - -

- + - +=

-

+ +

Solución

22. Calcula, si es posible, los valores numéricos que se indican.

a) 2

3 5 2

x y

xy y x2

2 3

-

- + para 0x = , 1y = -

b) 2 1

3 2 5 1

x y

x x y2

2

+ -

- + - para x 1= , 0y =

23. Simplifica las siguientes fracciones algebrai-cas:

a) 4 4

3 2x x x

x x3 2

3

- - +

- +

b) 6 9

x x xx x x

63 2

4 3 2

- -

- +

c) 2 1

2 2 1x x

x x x4 2

4 3

- +

+ - -

d) 3 43 2

x x xx x x6 5 3

5 3 2

- +

- -

24. Realiza los siguientes productos y cocientes y simplifica al máximo el resultado:

a) 6 32 6

22 1

x xx x

xx

2

3 2

$-

-+-

b) 4 4

25 7 35 3 9

x x xx x

x x xx x x

3 2

2

3 2

3 2

$+ +

+ -

- + -

- + +

c) 2 1

6 22 7 8 3

8 12x x

x xx x x

x x:2

2

3 2

4 3

- +

- -

- + -

-

d) 4 3 18

11 39 452 8

13 6 32x x x

x x xx x

x x x:3 2

3 2

2

3 3 2-

+ - -

+ + +

+ -

+ +

25. Calcula las siguientes sumas y restas y simpli-fica el resultado si es posible:

a) ( 1)4 1

( 1)2 2 1

x xx

xx

x2+-

--

++

b) (2 )(2 )3

( 2)( 2)4

1x xx

x xx

+ --

-+ -+

-

c) 3 ( 1)1

62 1

9( 1)1

x xx

xx

xx

2 2+-

-++

+

-

d) 11 1 1x x x2 3- + -

26. Calcula las siguientes sumas y restas y simpli-fica:

a) 2 2

34

2 325

x x xx

x x xx

2 2 3 2+

--

++ +

b) 4

2(3 1)2

3(2 )2

3 ( 1)x

xx x

xx x

x x2 2 2--

--

-

-+

- -

-

c) 2 10

18

2 34 40 100

3x x x

xx x

x2 2 2

++

--+

+ +

27. Opera y simplifica respetando la prioridad de las operaciones.

a) 12 3

12 2

x xx

xx

:+

-+-

+

b) 23

3 32

2 13

x x x x xx

2 2$+ +

-+ +

-d n

EJERCICIOS


UNIDAD D

E MUESTRA

SABER MÁS LENGUAJE ALGEBRAICO

59

En esta unidad hemos calculado potencias de polinomios empleando la definición de potencia, salvo en el caso de identidades notables.Ahora vamos a explicar un método que nos permite calcular, de forma sencilla, cualquier potencia de un bi-nomio de la forma ( )x y n+ .Triángulo de Tartaglia

El triángulo de Tartaglia es un triángulo numérico, de lados 1 y formado por números que verifican que cada uno es la suma de los dos inmediatamente superiores.

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1

1 7 21 35 35 21 7 1

...Cada fila, empezando por el vértice, indica los coeficientes de los distintos términos de las potencias ( )x y n+ , para n 0$ . Los términos se van colocando empezando por la potencia máxima del primer término y la mínima del se-gundo, para ir paulatinamente invirtiéndose hasta llegar a la potencia mínima del primero y la máxima del segundo.

1 ( )x y 10+ =

1 1 ( )x y x y1+ = +

1 2 1 ( )x y x xy y22 2 2+ = + +

1 3 3 1 ( )x y x x y xy y3 33 3 2 2 3+ = + + +

1 4 6 4 1 ( )x y x x y x y xy y4 6 44 4 3 2 2 3 4+ = + + + +

1 5 10 10 5 1 ( )x y x x y x y x y xy y5 10 10 55 5 4 3 2 2 3 4 5+ = + + + + +

1 6 15 20 15 6 1 ( )x y x x y x y x y x y xy y6 15 20 15 66 6 5 4 2 3 3 2 4 5 6+ = + + + + + +

1 7 21 35 35 21 7 1 ( )x y x x y x y x y x y x y xy y7 21 35 35 21 77 7 6 5 2 4 3 3 4 2 5 6 7+ = + + + + + + +

... ...

28. CC Investiga sobre la vida de Tartaglia en In-ternet.

29. Desarrolla las siguientes potencias:

a) 3x5

+_ i c) 3 2x y4

+_ ib) 2 1x

4+_ i d) 2a b2 3 5

+_ i

30. CA Halla las potencias de las siguientes restas:

a) 2x5

-_ i c) 2x y2 4-_ i

b) 3 2x4

-_ i d) 3a b2 4 5-_ i

31. CA Desarrolla las siguientes potencias de po-

linomios pensándolos como binomios tal y como

se indica en el ejemplo:

( ) (( ) ) ( ) 3( ) 3( ) 3 3 3 6 3 3 3 3 3 3 6 3 3 3x y z x y z x y x y z x y z z x x y xy y x z xyz y z xz yz z x x y x z xy xyz xz y y z yz z3 3 3 2 2 3 3 2 2 3 2 2 2 2 3 3 2 2 2 2 3 2 2 3+ + = + + = + + + + + + = + + + + + + + + + = + + + + + + + + +




a) (2 3 )x y z 3- +

b) ( 2 )x y z 3- + +

c) ( 2 )x y z2 3 2 3- -

EJERCICIOS

En esta unidad hemos calculado potencias de polinomios empleando la definición de potencia, salvo en el

Ahora vamos a explicar un método que nos permite calcular, de forma sencilla, cualquier potencia de un bi-

2UNIDAD


UNIDAD D

E MUESTRA

SÍNTESIS

60

Expresiones algebraicas

Polinomios

Elementos OperacionesTérmino independiente

x y x5 8 12+ +

Términos

Grado 2 1 3= + =

Suma, resta y productox y x y x y3 5 2 5 4+ + - = +

x y x y x y3 5 2 5 4+ + - = +

x x y x xy4 2 4 82

$ - + = - +_ i

x x y x xy4 2 4 82

$ - + = - +_ i

x y x y x xy y2 3 3 5 6 152 2

+ - + = - + +_ _i i

x y x y x xy y2 3 3 5 6 152 2

+ - + = - + +_ _i i

Divisiónx x x x

x x x

x x x

x x x

x x

x x

x

x x

x x

3 5 2 1

3 6 3

11 5 1

11 22 11

27 12 1

27 54 27

66 2

2 1

3 11 27

8

4 3 2

4 3 2

3 2

3 2

2

2

2

2

- + - +

- - +

- + - +

+ -

- +

- - +

- +

+ -

- +

Ruffini:x x x x3 5 2 6 2

4 3- + - -_ _i i

2

3 -5 0 2 -6

6 2 4 12

3 1 2 6 6

( )R x 6=( )C x x x x3 2 6

3 2= + + +

Factor comúnx x x x2 4 2 23 2 2+ = +_ i

Potenciasx x x x x x x x x x2 2 2 2 4 4 2 6 12 8

3 2 3 2- = - - - = - + - = - + -_ _ _ _ _ _i i i i i i

x x x x x x x x x x2 2 2 2 4 4 2 6 12 83 2 3 2

- = - - - = - + - = - + -_ _ _ _ _ _i i i i i i

x x x x x x x x x x2 2 2 2 4 4 2 6 12 83 2 3 2

- = - - - = - + - = - + -_ _ _ _ _ _i i i i i i

Identidades notablesx y x y xy3 9 6

2 2 2+ = + +_ i

x y x y xy3 9 62 2 2

- = + -_ i

x y x y x y3 3 92 2

+ - = -_ _i i

Teorema del resto y sus aplicaciones

El teorema del resto enuncia que el valor numérico de un polinomio P(x) en x a= , esto es P(a), coincide con el resto de la división ( ) : ( )P x x a- .El resto de : ( )x x x x2 3 7 1 2

4 2- + - -_ i es ( )P 2 33= .

Las raíces de un polinomio son los números a tales que ( )P a 0= .Así, x 1= es raíz de ( )P x x x x2 2

3 2= - - +

porque ( )P 1 0= .

Factorizar un polinomio es descomponerlo en producto de polinomios del menor grado posible gracias a la extracción de factor común, las identidades notables, la resolución de ecuaciones de segundo grado o la aplicación reiterada de la regla de Ruffini.

( )( )( )x x x x x x x11 12 3 4 14 3 2 2+ - + - = - + + y las raíces son

x 3= , x 4= - . El tercer factor no aporta raíces reales.

Expresiones algebraicas

Fracciones algebraicas

Estructura Operaciones

( )( )Q xP x Simplificación Sumas y restas Producto y cociente

( )

( )( )x x

x xx6 1

3 12 11

2 =+

++ ( )( )

( ) ( )( )( ) ( )( )x

xx x x

x x xx x

x x xx xx x

2 13

18

2 1 13 1 8 2 1

2 1 13 3 16 8

2 1 13 13 8

2 2

- - + =- ++ - -

=- ++ - +

=- +- +

( )( )( ) ( )

( )( ) ( )( )xx

x x xx x x

x xx x x

x xx x

2 13

18

2 1 13 1 8 2 1

2 1 13 3 16 8

2 1 13 13 8

2 2

- - + =- ++ - -

=- ++ - +

=- +- +

que no se puede simplificar

( )

( )( )

( )

( )( )( )( )( )( )

x

x x

x

x xx xx x

2

1 1

1

2 21 21 2

2 2$ =-

- +

-

- +- -+ +

( )

( )( )

( )

( )( )( )( )( )( )

x

x x

x

x xx xx x

2

1 1

1

2 21 21 2

2 2$ =-

- +

-

- +- -+ +


UNIDAD D

E MUESTRA

EJERCICIOS Y PROBLEMAS LENGUAJE ALGEBRAICO

61

Ejercicios iniciales

32. CD Algunos de los polinomios que sirven para aproximar valores de funciones, como en la intro-ducción de la unidad, necesitan muchos términos para obtener resultados con una aproximación sufi-cientemente buena. Por ejemplo, el polinomio

( ) 4 7829691 621 447

4 7829698107385

531 4411 621 477

1594 3238107385

1594 32310 318 490

531 4413242954

1594 3236 676 670

1594 3233242954

531 441352495

4 782969623645

4 78296955913

P xx x x x x x x x x x2 3 4 5 6 7 8 9 10

= + - + - + - + - + -

( ) 4 7829691 621 447

4 7829698107385

531 4411 621 477

1594 3238107385

1594 32310 318 490

531 4413242954

1594 3236 676 670

1594 3233242954

531 441352495

4 782969623645

4 78296955913

P xx x x x x x x x x x2 3 4 5 6 7 8 9 10

= + - + - + - + - + -

( ) 4 7829691 621 447

4 7829698107385

531 4411 621 477

1594 3238107385

1594 32310 318 490

531 4413242954

1594 3236 676 670

1594 3233242954

531 441352495

4 782969623645

4 78296955913

P xx x x x x x x x x x2 3 4 5 6 7 8 9 10

= + - + - + - + - + -

( ) 4 7829691 621 447

4 7829698107385

531 4411 621 477

1594 3238107385

1594 32310 318 490

531 4413242954

1594 3236 676 670

1594 3233242954

531 441352495

4 782969623645

4 78296955913

P xx x x x x x x x x x2 3 4 5 6 7 8 9 10

= + - + - + - + - + -

que sirve para aproximar la función x3 , es uno de ellos.

Halla el valor numérico de P(2) y compáralo con el valor de 23 obtenido por tu calculadora. ¿Podría una calculadora utilizar este polinomio para obtener los resultados de la raíz cúbica o necesitaría más tér-minos?

33. CD Sin embargo, hay otras funciones que se aproximan fácilmente por polinomios que constan de muy pocos términos. Este es el caso de la función trigonométrica sen x, que estudiarás próximamente. Su polinomio hasta grado 9 es

( ) 6 120 5040 362880P x xx x x x3 5 7 9

= - + - +

Halla el valor numérico de P(1) y compáralo con el valor sen 1 0,841470985= .

Polinomios

34. CL Completa la siguiente tabla:

Polinomio Variables Términos Término independiente Grado

2 3x x2+ -

3 4xy x y y3 3- +

1 3 2a bc ab c2 2 2+ -

3 6 2 4x x x2 5+ - +

35. Realiza las siguientes sumas y restas de poli-nomios:

a) ( 3 5) (2 4 1)x x x x x2 3 2+ - + - + -

b) (3 2 7) (4 5 3)x x x x x3 2 3+ - + - - +

c) ( 3 2 4) ( 2 5 2) ( 8 6)x x x x x x x2 3 2 2- + - + - + - - - + -

( 3 2 4) ( 2 5 2) ( 8 6)x x x x x x x2 3 2 2- + - + - + - - - + -

d) (2 6 5) ( 4 2 10) (7 3 2)x x x x x x2 2 2- + - - + - - + -

36. Si ( ) 3 4 1P x x x2= - + , ( ) 2 5Q x x= - y

( ) 4R x x x3= + - , realiza las siguientes operaciones:

a) ( ) ( ) ( )P x Q x R x+ -

b) 2 ( ) 3 ( )P x Q x-

c) 4 ( ) 2 ( ) 8 ( )P x Q x R x+ -

d) 3( ( ) 2( ( ) 5 ( )))P x Q x R x+ -

37. Realiza los siguientes productos de monomios por polinomios:

a) 2 ( 3 2 4 8)x x x x3 2$ - + + -

b) 3 ( 4 2)x x x x2 5 3$ - + -

c) 4 (2 3 5 7)x x x x3 3 2- + - +

d) 32

(6 5 9)x

x x2

2$ - +

38. Sean ( ) 4 3A x x= - , ( ) 5 3 1B x x x2= + - y

( ) 2 3C x x x x3 2= + - + . Realiza las siguientes multi-

plicaciones y reduce:

a) ( ) ( )A x B x$

b) ( ) ( )A x xC$

c) ( ) ( )x C xB $

d) ( ) ( ) ( )A x B x xC$ $

Realiza las siguientes sumas y restas de poli-

2UNIDAD


UNIDAD D

E MUESTRA


62

39. Opera y reduce.

a) ( 3 5) (3 2) (2 5) ( 3)x x x x x x2 2$ $+ - + + - + - +

b) ( 4 1) (2 3 5) (3 7 4)]x x x x x[ 2 2$- + + - - - +

c) (4 9 3 7) (2 5)(3 3 1)x x x x x x3 2 2- + - - - - +

d) (2 5)( 3 6) ( 5 4)( 1)x x x x x x x3 2 2+ + - - - + + -

40. Desarrolla las siguientes identidades notables:

a) )(5 x3 2-

b) (3 2 )x x3 2+

c) (6x 7)(6x 7)2 2+ -

d) 6 2x2 2

+d n

e) ( 3)( 3)ab ab2 2- +

f) ( 1 4 )x y2 3 2- +

g) 1x x

2

-a k

h) (2 5 )(2 5 )x y z x y z2 2- +

41. CA Completa estas expresiones para que las si-guientes igualdades sean correctas:

a) ( ) 6x x2 2 24 4 4+ = + +

b) ( ) 4x y2 2 24 4 4- = - +

c) (3 )(3 ) 4a a b2 2 24 4 4- + = -

d) (1 )(1 ) 25x y z4 2 64 4 4- + = -

e) ( ) 7 49x2 34 4 4+ = + +

f) ( 2) x24 4 4- = - +

42. CA Halla a qué potencia o producto correspon-de cada polinomio, sabiendo que son el resultado de desarrollar una identidad notable.

a) 25x y2 2-

b) 16 24 9x x4 2+ +

c) 81 36 4a a3 6- +

d) 100 49x y2 8-

e) 9 6 16pp4

2- +

f) 36 25 60m n m n4 10 2 5+ +

43. Calcula el resultado de las siguientes potencias:

a) ( 3)x 4+

b) (2 1)x x2 2+ -

c) ( 1)x 5-

d) 2( )x y2 3 3+

44. Halla el resultado de las siguientes operaciones y redúcelo al máximo:

a) ( 3) ( 3) (2 1) (3 2 )(3 2 )x x x x x2 2 2 2 2 2+ - - - - + -

b) (3 2)(2 3) (3 2) (2 5)(2 5)x x x x x3 2 2 2 2+ - - - - - +

c) ( 5)( 1) ( 2) ( 3) 2(2 1)x x x x x2 2 2 2- + - + - - -

d) (2 3 1)(2 1) ( 3) (2 3)(2 3)x x x x x x x2 2 2 2 2- + - - - - - +

(2 3 1)(2 1) ( 3) (2 3)(2 3)x x x x x x x2 2 2 2 2- + - - - - - +

e) (2 3) (4 5) (3 1)x x x x2 2 2 2- - + - -

f) (3 1)(3 1) ( 9) (3 2 1)(5 1)x x x x x x2 2 2 2- + - - - - + +

(3 1)(3 1) ( 9) (3 2 1)(5 1)x x x x x x2 2 2 2- + - - - - + +

45. Extrae factor común cuando sea posible.

a) 6 12 8x x x4 3 2+ -

b) 6 9 15 3x y x y x y x y3 3 2 2 2 2- - + -

c) x yz x y z x yz3 2 2 3 2 3 3+ +

d) 20 30 10 50 10a b a b a ab a3 2 2 2- + - +

46. CA Completa las siguientes expresiones para que las igualdades sean correctas:

a) 3 ( 5 ) 6 12xy xy x y xy2 2 2 24 4 4+ - = + -

b) ( 4 ) 2 2xy y x x y2 3 44 4 4- + = - + -

c) 6 (2 1) 18 6a bc a a b c a bc2 3 3 3 3 3 44 4 4 4+ - + = + - + 6 (2 1) 18 6a bc a a b c a bc2 3 3 3 3 3 44 4 4 4+ - + = + - +

d) (2 5 ) 20 30pq pqr r pq r p q r2 4 2 2 3 34 4 4 4+ - + = + - + (2 5 ) 20 30pq pqr r pq r p q r2 4 2 2 3 34 4 4 4+ - + = + - +

47. Realiza las siguientes divisiones e indica cuáles son los cocientes y los restos:

a) (3 2 5 1) : ( 2)x x x x x3 2 2+ - + - +

b) (5 4 1) : ( 1)x x x x4 2 2+ - + -

c) ( 2 1) : ( 2 1)x x x x x4 2 2- + + + -

d) ( 2 3 5 3) : ( 2 1)x x x x x x x x5 4 3 2 4 2- + + - + - + - +

48. Realiza las siguientes divisiones aplicando la re-gla de Ruffini:

a) ( 3 2 7) : ( 2)x x x x3 2+ - + -

b) ( 3 5 8) : ( 1)x x x x4 2- + - + +

c) ( 3 2 1) : ( 2)x x x4 2- + - +

d) ( 2 3 1) : ( 1)x x x x9 4+ + - -


UNIDAD D

E MUESTRA

LENGUAJE ALGEBRAICO

63

49. CI Realiza las divisiones del ejercicio anterior mediante el algoritmo de la división, es decir, sin uti-lizar la regla de Ruffini, y compara los resultados con los obtenidos mediante dicha regla.

50. Divide utilizando la regla de Ruffini.

a) ( 3 2 5) : 21

x x x x5 3 2- + - -a k

b) 2 3 52

1 : ( 2)xx x

x32

- + + +d n

c) 3 2 45

21

x xx

x:3 2- + - +a ak k

d) 2 3 32

65

31x x x

x:4 2

- + + +d an k

51. CA La regla de Ruffini también se puede utilizar para dividir polinomios P(x) entre polinomios Q(x) del tipo ax b+ . Para ello, basta con dividir el dividendo y el divisor entre a y, después, aplicar la regla de Ruffini a los polinomios resultantes. El cociente que se obtiene es el mismo que el de ( ) : ( )P x Q x , pero el resto queda dividido también entre a, por lo que, después de obtenerlo, hay que multiplicarlo por a.

Divide utilizando la regla de Ruffini.

a) ( 3 5 7) : (2 1)x x x x3 2- + - -

b) (3 2 6 10) : (3 2)x x x x x4 3 2+ - + - +

c) ( 2 5) : ( 3)x x x2- + - +

d) ( 2 3) : (2 5)x x x x3 2- + + +

52. CL Copia y completa la siguiente tabla:

Dividendo Divisor Cociente Resto

2 5x x2+ - 1x2

+ 2 7x +

2 7 14 1x x x x4 3 2+ - - +

2 7 14 1x x x x4 3 2+ - - +

2 3 6x x x3 2- + -

2 3 6x x x3 2- + -

31

3x x2- - 2 1x- + 3 1x +

3 3 3x x x x x5 4 3 2+ - + - -

3 3 3x x x x x5 4 3 2+ - + - -

1x x3+ -

Teorema del resto. Raíces de un polinomio

53. Halla el resto de las siguientes divisiones sin rea-lizarlas:

a) ( 3 7 15) : ( 3)x x xx3 2+ - - -

b) (2 3 6 12) : ( 1)x x x x4 2- + + +

c) (2 9 14 5 2) : ( 1)x x x x x10 7 3+ - + - -

d) (3 6 2 6) : ( 2)x x x x x x5 4 3 2+ + + - + +

54. ¿Cuáles de las siguientes divisiones son exac-tas? Averígualo sin efectuar las divisiones.

a) (2 9 8 15) : ( 5)x x x x3 2- - + -

b) ( 2 4) : ( 2)x x x x4 3 2+ + - +

c) ( 3 4) : ( 2)x x x x3 2+ - + -

d) (2 3 10 4) : 21

x x x x3 2+ - + -a k

55. Copia y completa con SÍ o NO en función de si los siguientes números son o no raíces de los polino-mios correspondientes:

Polinomio 1x = - 0x = 1x = 2x =

4 6x x x x5 4 3 2- + +

2 15 5 13 6x x x x x5 4 3 2- - - + +

2 15 5 13 6x x x x x5 4 3 2- - - + +

2 2x x x x4 3 2- - +

3 5 16 12x x x3 2- + + -

56. Halla el valor de m para que se cumplan las si-guientes afirmaciones:

a) La división ( 2 8 12) : ( 2)x x mx x x4 3 2- + - + + + es

exacta.

b) El polinomio 5 3 2x x mx x4 3 2- + - + es divisible

entre 1x + .

c) ( ) 3 6P x x mx x4 2= - + - es múltiplo del polino-

mio ( ) 2Q x x= + .

d) El polinomio ( ) 3A x x= - divide al polinomio ( ) 14 15B x x mx x3= + - +

Halla el resto de las siguientes divisiones sin rea-

2UNIDAD


UNIDAD D

E MUESTRA


64

57. Halla el valor de k para que cada división tenga el resto indicado.

a) (2 5 1) : ( 3)kx x x2- + - " resto 4=

b) ( 3 2) : ( 2)kx x x2+ - - " resto 4= -

c) (2 5 1) : ( 2)x kx x x3 2+ - + + " resto 7=

d) ( 2 1) : ( 2)kx x x x x4 3 2+ - + - - " resto 15= -

58. Halla las raíces enteras de los siguientes polino-mios:

a) 10 32 32x x x3 2- + -

b) 2 3x x x3 2- -

c) 8 21 18x x x3 2+ + +

d) 12 16x x3- +

e) 4 3x x x5 4 3- +

f) 6 12 8x x x3 2- + - +

Factorización de polinomios

59. Encuentra, para cada apartado, el polinomio al que corresponde la factorización dada.

a) ( 1)( 2)x x- +

b) ( 3)( 4)x x x2+ -

c) 3 ( 1)( 5)x x x- + -

d) ( 2)( 2)( 3)x x x x+ - -

60. Escribe un polinomio que tenga las raíces que se indican en cada caso.

a) -1, 1, 2

b) -2, 1, 3

c) -3, -1, 0, 1

d) -2, 0, 1, 4

61. CA Escribe, para cada apartado, un polinomio que cumpla las condiciones enunciadas.

a) Un polinomio de grado 2, cuyo término de mayor grado sea 2x2 y cuyas raíces sean -1 y 3.

b) Un polinomio de grado 3 cuyas raíces sean -2 y 3.

c) Un polinomio de grado 4 cuyas raíces sean -3 y 1, y dichas raíces sean simples.

62. Factoriza los siguientes polinomios de segundo grado e indica cuáles son sus raíces:

a) 6x x2+ -

b) 2 8x x2- -

c) 6 7x x2- - +

d) 2x x2 +

e) 12 11 2x x2- +

f) 6 1x x2- -

63. Factoriza los siguientes polinomios de grado mayor que 2:

a) 3 4x x x4 3 2+ -

b) 2x x x3 2+ -

c) 2 3x x x3 2- -

d) 2 8 6x x x5 4 3- +

64. Factoriza los siguientes polinomios de grado mayor que 2:

a) 3 3x x x3 2- - +

b) 3 6 8x x x3 2- - + +

c) 3 11 3 10x x x x4 3 2+ - - +

d) 2 3 4 3 2x x x x4 3 2+ - - +

65. Halla las raíces de los siguientes polinomios y obtén su factorización:

a) 10 32 32x x x3 2- + -

b) 5 21 18x x x x4 3 2+ + - -

c) 12 16x x x4 2- + -

d) 8 21 18x x x3 2+ + +

66. Halla la factorización de los polinomios siguien-tes:

a) 2 2 6 10 4x x x x4 3 2- - + + +

b) 1x x x3 2+ + +

c) 2 2x x x x6 5 3 2- - +

d) 6 14 12x x x x4 3 2- - + + +


UNIDAD D

E MUESTRA

LENGUAJE ALGEBRAICO

65

67. Factoriza los polinomios siguientes e indica cuá-les son sus raíces:

a) 2 4 6 3x x x x x5 4 3 2+ + + +

b) 2 2 2 2x x x x5 4 3 2- + -

c) 5 9 5 8 12x x x x x5 4 3 2- + - + + -

d) 9 39 46 4 8x x x x x6 5 4 3 2- + - -

Fracciones algebraicas

68. Halla, cuando sea posible, el valor numérico de las siguientes fracciones algebraicas para los valores dados de las variables:

a) xx x

12

2

-

+ para 2x =

b) x

x

y

y 12 2+

- para 1x = - , 2y =

c) ab

a ab22 2

3-

+ para 2a = - , 2b =

d) p qr

pq r 12 2

2

+

+ para 1p = , 3q = - , 1r = -

69. Simplifica las siguientes fracciones algebraicas:

a) ( 1)( 1)( 1)

x x xx x2

+ -

-

b) ( )( 1)( 1)2 ( 1)( )

x x xxx x

22

+ - +

+ -

c) ( )( )( )( 1) ( )

x x xx x1 2 3

32

- + +

- +

d) ( 2)( 1)

( ) ( )x x x

x x x2 12 2

3 3- - +

- +

70. Simplifica las siguientes fracciones algebraicas:

a) 3 6x x xx x x

3 29

2

2

4 3

3

- ++ -

b) x x x xx x x2 4 24 3 2

5 4 3

- + -

- - -

+

c) 4 4

4x x x xx x x x4

25 4 3

4 3 2

+ - -

- - +

d) 22

x x x xx x x x

224 3 2

4 3 2- - +

- + -

71. Halla el mínimo común múltiplo y el máximo común divisor de los siguientes conjuntos de poli-nomios:

a) ( ) ( 1)( 2)P x x x 2= - +

( ) ( 1) ( 2)Q x x x2= - +

b) ( ) 2 ( 3)( 2)P x x x x= + - ( ) ( 1)( 2)Q x x x x2= - + -

c) ( ) ( 1)( 1)P x x x x3= + -

( ) ( 1) ( 1)Q x x x x2 2= + -

( ) ( 1)( 1)R x x x x3 3= + -

d) ( ) ( 2)P x x x 2= -

( ) ( 2)( 2)Q x x x x3= - +

( ) ( 2)( 1)R x x x x2= - +

72. Halla el mínimo común múltiplo y el máximo común divisor de los siguientes conjuntos de polino-mios.

a) ( ) 2 8P x x x x4 3 2= + -

( ) 3 2Q x x x x3 2= - +

b) ( )P x x x2= +

( ) 2Q x x x2= + -

c) ( ) 2P x x x x3 2= + +

( )Q x x x4 2= -

( ) 2R x x x x3 2= - +

d) ( ) 2 8 8P x x x x3 2= - +

( ) 4Q x x x3= -

( ) 6 12 8R x x x x3 2= - + -

73. Realiza las siguientes sumas y restas, simplifi-cando el resultado si es posible:

a) 12 1

11

xx

xx-+

-++

b) ( 2)2

( 2)( 1)2

x xx

x xx++-

+-

c) ( 1)( 1) ( 1)1

x xx

xx

2++ -

--

d) ( 1)( 1)( 2)1

( 1) ( 2)2

x x xx x

x xx2

2

2

+ - -- -+ -

-+

Halla el mínimo común múltiplo y el máximo común divisor de los siguientes conjuntos de poli-

2UNIDAD


UNIDAD D

E MUESTRA


66

74. Efectúa las sumas y restas siguientes, expresan-do el resultado de forma irreducible:

a) 31

2 3x xx

x xx

2 2+ -

++

+

b) 4

2 12

2 3xx

x xx

2 2--

--

-

-

c) 3 2

3 4 2 5x x x

xx xx

3 2 3- +

++

-

-

d) 3 42 3

5 45

x xx x

x xx

2

2

2

2

-- -

+ -+

- +

-

75. Suma y resta las siguientes fracciones algebrai-cas y simplifica si es posible:

a) 23

32 1

65

x xx

x xx

x xx

2 3 2

2

2+

++

-

--

- -

-

b) 4 4

5 26

4 36 9

2 7x x

xx x

xx x

x2 2 2

+- +

--

+ -

-+

+

-

c) 3 2

32

21

x x xx

x xx

3 2 3 2- +

+- -

-

+

d) 1

22 1

2 3 1 2 1x

xx x

xx xx

x xx

2 2 2 2+-

--

--

+

-+

-

+

76. Halla los siguientes productos, simplificando el resultado:

a) ( 1)( 2)( 1)( 2)

( 2)( 2)2( 1)

x xx x x

x x xx

2

2

$- - ++

- +

-

+

b) ( 2) ( 2)

2 ( 3)( 1)( 3)( 2)( 2)

x xx x

x x xx x x

2 2

2

$+ +-

+

-

- +

c) 3 ( 2)( 1) ( 1)

( 1) ( 1)( 1)

x xx x

x xx x2

3

3

$- + +

- +

-

-

d) ( 3)( 3)

( 2) ( 4)( 2)( 4)

3x x xx x

x x xx

2

2

$+ - -

- -

--

77. CA Completa con los polinomios necesarios pa-ra que las igualdades sean correctas.

a) ( 2)( 1)( 2)( 3)

3x xx x

xx

$4- - +- +

=

b) ( 2)( 5)( 2)( 4)

( 4)( 2)( 2)

x xx x

x xx x2

$4- - -

+ -=+

+

c) ( 1)( 2)( 3)

( 2)( 3)2( 4)

x xx x

x x xx

2$4- - +

+=

-

+

d) ( 1)( 2)( 6) ( 1)( 6)

x xx x

xx x

$4-

- +=- +

78. Multiplica y simplifica.

a) 2 1

36 9

2 2 4x x

x xx x

x x2

2

2

2

$+ +-

+

+

- - +

b) 3

23 26 9

x xx x

x xx x

2

2

2

2

$-

--

+ +

- +

c) 3 2

4 42 2x x x

x x xx x x

x x3 2

3 2

3 2

3 2

$- +

+ - -

+ - -

-

d) 4 4

2 12

6 12 8x x x

x xx x x

x x x3 2

2

3 2

3 2

$- + -

- -

- +

- + -


a) 2 4 2

3 62

6x x x

x xx x

x3 2

3 2

2

3

$4- +

-=

+ -

b) 3 24 4 3 2

x xx x

xx x

2

2 2

$4- +

- += -

- +

c) 4 45

2x xx x

xx

2

4 3 2

$4+ +

+=+

d) 6 7

4 46 72 1

x x xx x x

x xx x

3 2

3 2

2

2

$4+ -

+ - -=

+ -

+ +

80. Realiza las siguientes divisiones de fracciones algebraicas, simplificando al máximo el resultado:

a) ( 3)( 6)( 2)

:( 6)

( 3)x x

x xx

x x2

2

- +

+

+

-

b) ( 2)( 7)2 ( 1)

: ( 3)( 2)( 1)( 1)

x xx x

x xx x x2

- +

-

+ -

- +

c) ( 1)

2: ( 1)( 2)

( 1)( 2)x x

xx x xx x

3 2-

-- +

+ -

d) ( 1)

( 2)( 3):

( 3)( 3)( 3)

xx x

x xx x

2 2+

+ -

-

- +


a) ( 2)( 4)

: 12

x xx x

xx

2

4+

-=+-

b) :( 2)

( 1)( 3)( 1) ( 3)

2 ( 3)( 2)x

x xx xx x x

2 24-+

+ -=

+

- +

c) :( 2)

( 1)( 1)( 1)( 1)

x xx x

xx x

2

2

2

2

4+

- +=

+

+

d) ( 2)

( 1)( 3): ( 1)( 3)( 2)

( 1) ( 3)x

x x xx x x

x x2

2

4+-

+ -=- -

+ -


UNIDAD D

E MUESTRA

LENGUAJE ALGEBRAICO

67

82. Realiza los siguientes cocientes y simplifica si es posible:

a) 512

:4 5

9x x

x xx x

x2

2

2

2

-

+ -

- -

-

b) 2

2:

23 12

x x xx x

x x xx x

4 3 2

4 3

4 3 2

4 2

+ -

-

- +

-

c) 2 2

9:

3 3 16 36 54

x xx x

x x xx x

3 2

3

3 2

2

-

- +

- + +

+ +

d) 4

6 12:

24 8 4

x xx x

x xx x x

3

3 2

4 3

3 2

-

-

+

- + -


a) 2 6

: 2 23

x xx x

xx

2

2

4-+

-=-

b) :6 5 6

4 3x x

x xx xx x

2

3

2

2

4-+ -

-=

+

- - -

c) 8 16

12:

12 48 645 4

x xx x

x x xx x x

2

2

3 2

3 2

4- +

+ -=

- + -

+ +

d) :1

2 9 52 7 4x

x xx x

x x2

2

2

3 2

4-

+ -= -

+ -

+

84. Efectúa las siguientes operaciones combina-das, expresando el resultado de forma irreducible:

a) 12 1

11

xx

xx

xx$

-+

--+

b) 1 21

: 1 13

xx

xx

xx

--++-

-+a ak k

c) 2 1

: 22

( 2)( 2)1 1

xx

xx

x xx

xx

2 $+

--+--- +

d) ( 3)2

32 1

1x xx

x xx

xx

2$+-

-+

++-

d n

85. Halla el resultado de las siguientes operaciones, simplificando cuando sea posible:

a) 22 3

1 21

x xx

xx

x xx2$

-+

-+ -

-

+

b) 2 3

4 21

1 33x x x

xx xx

xx

xx

3 2 2 2 $+ - +-

--

+-

-

-d n

c) 5 6

3 24

26

1: 1

4 4x x

xx

xx x

xx

x x2 2 2

2

$+ --

-

--

+

+-+ +

d) 3 2

4 12

2 512

2 13

x xx

x xx

xx

x xx

2 2 2 2- +

--

- -

-

-

-+

- +

+d dn n

86. @ Investiga en Internet qué son los números combinatorios y su relación con el triángulo de Tartaglia y el binomio de Newton.

87. CA Calcula las siguientes potencias de bino-mios empleando el triángulo de Tartaglia:

a) ( 3)x3 5-

b) (3 6)x2 4+

c) ( 2 )x z2 4- +

d) (4 2 )s 5-

88. CA Desarrolla las siguientes potencias de po-linomios:

a) ( )x y z t 2+ + +

b) (2 3 2 )x y z t 2- + -

c) (3 2 )x y z2 3- +

d) (4 6 3 2 )x y z t2 2 2+ - +

SABER MÁS

Efectúa las siguientes operaciones combina-presando el resultado de forma irreducible:

2UNIDAD


UNIDAD D

E MUESTRA

PREPÁRATE PARA LAS PRUEBAS

68

1. Las raíces del polinomio ( ) ( 1)( 2)P x x x x= + - son:

a) 1; -2 c) 0; -1; 2

b) 0; 1; -2 d) -1; 2

NAVARRA

2. El cociente de dividir 8a3+ entre 2a + es:

a) 4a2+ c) 2 4a a2

+ +

b) 4a2- d) 2 4a a2

- +

NAVARRA

3. El desarrollo de ( 2 )x y 2- es:

a) 4x y2 2- c) 4 4x y y2 2

+ -

b) 4x y2- d) 4 4x xy y2 2

- +

NAVARRA

4. La fracción 2 22 2x

y ++

es equivalente a:

a) 22

yx

++

c) yx

11

++

b) yx

d) 1

NAVARRA

5. El área de la figura siguiente es:

x

11

x 1 1 a) 2 3x x2 + +

b) ( 3) 4x x + +

c) ( 2) 2x x2+ -

d) ( 2) 2x x + +

NAVARRA

6. En una sala de cine la primera fila de butacas dista de la pantalla 8,7 m y la séptima fila está a 15,3 m.¿En qué fila está sentada una persona que dista de la pantalla 23 m?¿Qué distancia hay entre las butacas de dos filas con-secutivas?Halla una fórmula que nos permita calcular la distan-cia a la pantalla de un espectador que ocupa la fila n.

NAVARRA

7. INTERNET MÓVIL La compañía XARXES ofrece dos tarifas de Internet móvil:

cuota fija al mes coste / MB descargado

tarifa mini 5 € 5 céntimos

tarifa plus 10 € 3 céntimos

El IVA está incluido en los precios.

a) Si se descargan 150 MB por mes, ¿cuál será el cos-te mensual con la tarifa plus?

A) 14,50 € B) 15,30 € C) 19,50 € D) 20,30 €

b) Si llamamos x a los MB consumidos e y al coste mensual correspondiente a la tarifa mini, halla la ecuación que exprese y en función de x.

c) ¿Cuál de las dos tarifas es más económica? Justifi-ca tu respuesta.

BALEARES

8. HOJA DE CONTABILIDAD Para controlar el dinero que te van asignando tus padres y el que vas gastan-do, has hecho la hoja de contabilidad siguiente, pero está incompleta:

concepto valor saldo

22 €

asignación semanal +10 € 32 €

balón de fútbol -7 € 25 €

zapatos de deporte -22 €

videojuego -15 €

asignación semanal +10 €

cena con amigos -18 €

a) ¿Qué saldo te quedará, después de contabilizar la cena con los amigos?

A) +15 € B) -20 € C) +32 € D) -45 €

b) ¿Qué ecuación relaciona el saldo s con el valor del concepto correspondiente v y el saldo anterior a, de acuerdo con el proceso que se sigue en la hoja de contabilidad?

A) S a v= + C) S a v= - +

B) S a v= - D) S a v= - -

BALEARES


UNIDAD D

E MUESTRA

EVALUÁTE

MATEMÁTICAS RECREATIVAS

LENGUAJE ALGEBRAICO

696969

2. Calcula las siguientes potencias:

a) 2x

y22

-a k

b) (3 5 )xy x y2 2 2+

c) (3 2 )x y 3-

3. Obtén el cociente y el resto de:( 2 4 1) : ( 4)x x x x4 3 2 2- - + + .

4. Divide empleando la regla de Ruffini.(3 2) ( 2)x x x x6 4 2

$- + - +

5. ¿Es 1x + divisor de 2 2 1x x x58 27 15- + - ?

6. Decide, razonando tu respuesta, si 2x = - y 3x = son raíces del polinomio 5 6x x2

+ + .

7. Factoriza el siguiente polinomio:

( ) 3 6 6 9 6P x x x x x x7 5 4 3 2= - - - - .

8. Encuentra los divisores de:

( ) 6 9 4 12Q x x x x x x5 4 3 2= - - - + +

9. Opera y simplifica al máximo el siguiente cociente de fracciones algebraicas:

4 23 6 3

:4 4

3 3x x

x x xx x x

x x x x3 4

2 3

2 3 4

2 3 4

+

+ +

+ +

+ + +

10. Opera y simplifica si es posible la suma de fracciones siguiente:

24

13 2

2 4 21

xx

xx

x x x3 2

--

++

++ +

1. Un cuadrado mágico está formado por números dis-tintos de forma que la suma de cada fila, de cada co-lumna y de cada diagonal es siempre la misma.Observa el siguiente cuadrado mágico:

x y 3x +

5x + 6x + 8x +

4y - 10x + 4x +

1x +

a) Halla el valor de x.

b) Completa el cuadrado mágico en función del valor de y.

2. Sean ( ) x 4P x ax bx cx5 4 3 2= - + + - + y

( ) 4 2 3 2Q x x x x3 2= - + - + . Sabiendo que la división

( ) : ( )P x Q x es exacta, halla a, b y c.

3. Descifra la palabra oculta tras el siguiente código se-creto:( 1)( 2)( 6)( 5)( 1)( 2)( 3)b n a z c p x- - + + - + +

1. Realiza las siguientes operaciones con polinomios:

a) 5 23

2 4 34

32

2 4x x x x x x x4 3 4 3 2- + - - + - - -a ak k b) (3 5)( 5 4 6)x x x x2 2

+ - - - -

2UNIDAD


UNIDAD D

E MUESTRA

TRABAJA CON WIRIS

126

Bloque II: Álgebra

Funcionamiento de WirisWiris es un sencillo programa que nos permite realizar cálculos de dificultad variable y que podemos utilizar en ámbitos diversos de la materia.Su funcionamiento es muy simple: basta con introducir el comando deseado y pulsar para evaluar la orden y obtener el resultado. Los comandos aparecerán en color negro.

1. Introducir la línea de comandos

3. Resultado obtenido

2. Pulsar para evaluar la orden y obtener el resultado

OperacionesOperaciones aritméticas básicas: suma (+), resta (-), multiplicación (·), división (/). Para operar expresiones algebraicas, simplemente introduciremos la expresión y pulsaremos .Números decimales: la coma decimal se denota con un punto (.) y no con coma.Números fraccionarios/fracciones algebraicas: en la pestaña Operaciones, se puede seleccionar el símbolo e introducir el numerador y el denominador de una fracción. En caso de necesitar paréntesis grandes que abarquen toda la fracción se emplearán los que aparecen en Operaciones .Potencias y raíces: en el menú Operaciones se encuentra el símbolo , que permite introducir la base y el exponente de una potencia, y los símbolos y que nos facilitan el cálculo de raíces cuadradas o de cual-quier otro índice.División euclidiana (en caja): en la pestaña de Operaciones, el símbolo , permite realizar la división de nú-meros o polinomios mostrándonos cociente y resto.

Comandossustituir(expresión algebraica, variable, valor): calcula el valor numérico de una expresión algebraica para los valores que se desee. También se puede calcular denominando la expresión algebraica P(variable, variable, ...) = expresión y, a continuación, calculando P(valor, valor, ...).factorizar(polinomio o fracción algebraica): factoriza cualquier polinomio o fracción algebraica (simplificán-dola en su caso).simplificar(fracción algebraica): simplifica una fracción algebraica.resolver(ecuación): resuelve la ecuación indicando entre llaves las soluciones. También se puede encontrar en el menú Operaciones.


UNIDAD D

E MUESTRA

127

resolver sistema: en el menú Operaciones encontramos este comando para resolver sistemas. Cuando lo emplee-mos debemos rellenar previamente un cuadro de diálogo con el número de ecuaciones de que consta el sistema.resolver_inecuación(inecuación o sistema de inecuaciones): resuelve la inecuación o sistema de inecuaciones que introduzcamos. En caso de ser un sistema, irá entre llaves y sus inecuaciones separadas por comas. En los resultados se utilizan los operadores lógicos y , que expresan la disyunción (o = ,) y la conjunción ló-gica (y = +), respectivamente.dibujar(ecuación lineal, {color = color, anchura_linea = número}): resuelve gráficamente un sistema de ecuaciones lineales. Escribiremos este comando tantas veces como ecuaciones tenga el sistema, separadas por un <Intro>. Cuando estén todas estén escritas evaluaremos con . Si en lugar de una ecuación, introducimos una inecuación, representará el semiplano correspondiente. Para representar varias ecuaciones o inecuaciones en el mismo tablero, las separaremos por el símbolo , que podemos encontrar en la pestaña Símbolos.


1. Dados los polinomios:

( ) x xP x 2 3 52= - +

( ) x xQ x 3 2 12= + +-

( ) xR x 2 5= -

realiza las siguientes opera-ciones:

a) ( ) ( ) ( )P x Q x R x+ -

b) ( ) ( ) ( )P x Q x R x3 2 5+ -

c) ( ) ( )P x Q x

d) ( )R x 2

e) ( ) ( )Q x R x| , indicando el cociente y resto.

2. Halla los siguientes valores numéricos:

a) ( )P x x x x4 3 2 53 2= + +- para x 1= - .

b) x x

x x

2 4 1

3 2 12

2

- +

+ - para x 2=

c) x xy

xy y22

2

- +

+ para x 1= ,

y 2= -

Solución

Solución

encontramos este comando para resolver sistemas. Cuando lo emplee-mos debemos rellenar previamente un cuadro de diálogo con el número de ecuaciones de que consta el sistema.

resuelve la inecuación o sistema de inecuaciones que introduzcamos. En caso de ser un sistema, irá entre llaves y sus inecuaciones separadas por comas. En los

) y la conjunción ló-

TIC


UNIDAD D

E MUESTRA

TRABAJA CON WIRIS

128


3. Factoriza el polinomio ( ) x x x xP x 4 45 4 3 2= - - + .

Solución

4. Simplifica x x

x x x

3 2

23

3 2

- +

- + .

Solución

5. Dadas las fracciones algebraicas ( )A xx

x

1

22=-

+ y ( )B xx x

x 32=+

- , halla:

a) ( ) ( )A x B x+

b) ( ) ( )A x B x-

c) ( ) ( )A x B x$

d) ( )( )B xA x

Solución


UNIDAD D

E MUESTRA

129


6. Resuelve las siguientes ecuaciones:

a) x x x x x2 7 20 12 05 4 3 2+ =- - -

b) x x4 65 16 04 2 + =-

c) x x2 3 2 4+ + - =

d) ( ) ( )log log logx x x3 2 1+ + = +

e) 2 5 2 2 0x x2 1 $- + =+

f ) 3 3 3 63x x x1 1- + =+ -

Solución

7. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones:

a) x y

x y

3 5 1

7 2 16

+ =

- + = -*

b) x y

x y

1 138

2

+ =

+ =*

c) x y

xy

10

3

2 2+ =

=*

d) x y

x y

1 3

2 1

+ - =

+ =*

e) 2 3 5

2 3 5

x y

x y

1

1

+ =

- =

-

+*

f ) log log

log log

x y

x y

2 2

1

+ = -

- =*

Solución

TIC


UNIDAD D

E MUESTRA

TRABAJA CON WIRIS

130


8. Resuelve las siguientes inecuaciones y sistemas de inecuaciones con una incógnita. Expresa los resul-tados en forma de intervalo o semirrecta.

a) x x x22 1

311

61

#++-

++

b) x x3 4 02 1- + +

c) xx x10

2

$+-

d) x x

xx

2 1 3

22 1

1

#

+ - +

- +* ,

76

" 3-d F

( , ) ( , )1 4" ,3 3- - +

( , [ , )]1 0 1" , 3- +

,632

" - n7

Solución

9. Resuelve los siguientes sistemas de inecuaciones con dos incógnitas:

a) x y

x y

2 0

3

1

$

+

--*

b) x y

x y

3 1

2 6

2

1

- +

+*

Solución


UNIDAD D

E MUESTRA

131

1. Realiza las siguientes operaciones con polinomios y fracciones algebraicas:

a) 5( 3 2) 2(3 5)x x x x2 2- - + + + -

b) ( 4)(2 3 4)x x x x2 2- + + -

c) (2 1) (3 2 )x x2 2- - -

d) (5 2 7) ( 2)x x x x x3 2 2|+ - + - + .

Indica cociente y resto.

e) 6 93 2

2 3x xx x

x xx x

2

2

2

2

|- +

+ +

- +

+

f) 21

42

23

x xx

xx

x xx

2 2 2-

+-

-+

+

- +

2. Halla el valor numérico de cada una de las siguien-tes expresiones algebraicas, para los valores dados:

a) 2 3 9 2x x x3 2+ - + para 2x = -

b) 3 5x xy y y2 3+ - para x 3= - , 2y =

c) 2

3 5x x

x x2

2

+

- + para x 1= -

d) 2

5 3

xy xz yz

xyz x y z2 2

2 2 3

+ -

+ - para 2x = , 1y = - , 0z =

3. Factoriza los siguientes polinomios:

a) 2x x x4 3 2- -

b) 5 6 4 8x x x x4 3 2- + - - +

c) 8 10 1x x x3 2- + +

d) 5x x x x 64 3 2+ - + -

4. Simplifica las fracciones algebraicas siguientes:

a) 2

2x x xx x x

3 2

2

- - +

- +

b) 2 5 2

3 4x x xx x x

3 2

4 3

- +

- +

5. Resuelve las siguientes ecuaciones:

a) 9 37 4 0x x4 2- + - =

b) 3 4 2 2 1x x+ - + =

c) log(3 4) 2 log( 3)x x+ = - -

d) 2 2 2 2 2 113 2 1 1x x x x x- + - + =

+ + + -

6. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones:

a) 2

4 1

2 2xx

y

y

+ =

- =

*

b) 2 18

4

x

xy

y2 2+ =

=*

c) log 2log 1

2log 3log 5

x y

x y

- =

+ =*

d) 3 2 5 19

3 5 221

x y

x y

$+ =

- =+

*

7. Resuelve las siguientes inecuaciones y sistemas de inecuaciones con una incógnita:

a) 22

3 62 1x x x

#+-

+

b) 3 10 0x x2 2- + +

c) 2( 2) 3 3 5( 1)

3( 1) 2( 2) 4

x x x x

x x x

2

$

- + - + -

+ + -*

d) 3 4 0

6 0

x x

x x

2

2

1

$

+ -

+ -*

8. Resuelve los siguientes sistemas de inecuaciones con dos incógnitas:

a) 3

1

x y

x y

1

2

+

- + -*

b)

2 2

4

2 5

x

x y

x y

y 2

2

1

+ -

- -

+

Z

[

\

]]

]]

EJERCICIOS

Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones:

TIC


UNIDAD D

E MUESTRA

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