Circuitos de microondas con líneas Resonancia y ondas estacionarias . 4.8 Efecto de las pérdidas ....

Circuitos de microondas con líneas

de transmisión

Politext 28

Circuitos de microondas con líneas

de transmisión

Javier Bará Temes

m EDICIONS UPC UNIVERSITAT POLlTEGNICA DE CATALUNYA

Primera edición: septiembre de 1994 Reimpresión: septiembre de 1995 Reimpresión: septiembre de 1996

Diseño de la cubierta: Antoni Gutiérrez

© Javier Bará Temes, 1994 © Edicions UPC, 1994

Edicions de la Universitat Politecnica de Catalunya, SL C. Jordi Girona Salgado 31, 08034 Barcelona Tel. 401 6883 Fax 401 5885

Producción: Servei de Publicacions de la UPC y CPET (Centre de Publicacions del Campus Nord) La Cupo C. Gran Cap ita sin, 08034 Barcelona

Depósito legal: B-23.179-96 ISBN 84-89636-55-9

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Presentación

Presentación

Las microondas entran en el mundo de las comunicaciones de la mano del radar (c. 1936-1943) y de las nuevas tecnologías, que en su momento significan: generadores de potencia de frecuencia superior a 1 GHz (magnetrones, hoy protagonistas de los hornos de microondas), guiaondas, acopladores direccionales, filtros construidos con cavidades resonantes, antenas de bocina, reflectores, etc. En consecuencia, la disciplina se configura básicamente como una aplicación de la teoría electromagnética, y como tal ha condicionado los libros de texto durante muchos años.

Los últimos veinte años han consagrado, en cambio, un extraordinario crecimiento de las aplicaciones de las microondas basado en líneas de transmisión de tipo plano (microstrip y stripline), elementos concentrados (sobre todo condensadores y resistencias), transistores, cables coaxiales y conectores, circuitos monolíticos etc., todos analizables generalmente en términos convencionales de tensión y de corriente, con la única consideración especial del retardo o del tiempo de propagación, pero sin que se necesite un tratamiento electromagnético específico.

Este libro pretende hacer una introducción a las microondas llegando tan lejos como sea posible sin tener que recurrir al análisis electromagnético de los elementos implicados. El libro comienza con un estudio de las líneas de transmisión a partir de los conceptos de circuitos, la carta de Smith y sus aplicaciones y líneas de transmisión más comunes, para continuar con la descripción de los circuitos de microondas con la ayuda de los parámetros de dispersión (scattering). El análisis general se concreta en redes de dos accesos (inversores de impedancias, atenuadores, filtros), divisores y combinadores de potencia, acopladores direccionales e híbridos, y circuitos basados en líneas de transmisión acopladas.

Quedan excluidas de este libro las aplicaciones concretas al diseño de circuitos activos (amplificadores, mezcladores, etc.) y, obviamente, los guiaondas, las cavidades resonantes, los resonadores dieléctricos y otros elementos o subsistemas que requieren un análisis electromagnético detallado.

El libro se ha generado a partir de las notas de clase de la asignatura de microondas de la E.T.S d 'Enginyers de Telecomunicació de Barcelona, la cual impartí durante bastantes años. U nas notas que ocupan, sobre una base anual, aproximadamente la mitad del programa; de manera que se puede utilizar como punto de partida para una asignatura cuatrimestral de 60 horas sobre fundamentos de

Circuitos de microondas con líneas de transmisión

líneas de transmisión y circuitos pasivos de microondas.

Una de las consecuencias del origen del libro como notas de cIase es la falta de referencias, lo cual no quiere decir que el libro no tenga deudas evidentes con muchos e ilustres predecesores a los que el autor expresa su agradecimiento de forma genérica.

Índice 7

Índice

Presentación

Capítulo 1 Introducción

1.1 ¿Qué son las microondas? . 9 .10 1.2 Bagaje electromagnético .

Capítulo 2 Líneas de transmisión (1). La línea ideal

2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 2.10

Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 Ecuaciones básicas ........... . . . . . . . . 13 Ejemplos elementales .......................................... 18 Reflexiones en cargas reactivas .................................... 26 Señales senoidales . . . . . . . . . . . . . .... 32 Ondas estacionarias . . . . . . . . . . . . . La carta de Smith . . . . . . . . . . . . . .

. ... 40 ..... 43

Propiedades básicas de la carta de Smith . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 Adaptación de impedancias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 Comportamiento con la frecuencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

Capítulo 3 Líneas de transmisión (11). Pérdidas, dispersión y líneas más comunes

3. 1 Introducción................................................ 73 3.2 Línea con célula elemental general .................................. 73 3.3 Relación entre potencias y energías ................................. 78 3.4 Línea con bajas pérdidas . . . ..................................... 79 3.5 Dispersión ................................................. 81

8 Circuitos de microondas con líneas de transmisión

3.6 Velocidad de grupo ........................................... 88 3.7 Líneas con dieléctrico homogéneo .. . 94 3.8 Líneas con dieléctrico no homogéneo ............................... 102

Capítulo 4 Circuitos resonantes

4.1 Introducción............ 4.2 Propiedades básicas ....... . 4.3 Factor de calidad y admitancia ... . 4.4 Más sobre pérdidas .......... .

107 107 110 112

4.5 Perturbación de un sistema resonante ............................... 117 4.6 Resonancia en líneas ........ 120 4.7 Resonancia y ondas estacionarias . 4.8 Efecto de las pérdidas . . . . . . . .

125 131

Capítulo 5 Circuitos de microondas (1). Propiedades generales. Redes de dos accesos

5 . 1 Introducción............................................... 13 7 5.2 Definiciones y propiedades básicas ................................. 137 5.3 Matriz de dispersión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 5.4 Propiedades de la matriz de dispersión .............................. 144 5.5 Redes de dos accesos ... 153 5.6 Inversores de inmitancias . 5.7 Cadenas de dos accesos . .

Capítulo 6 Circuitos de microondas (11). Redes de más de dos accesos. Filtros

6.1 Propiedades de simetría .. .

166 177

183 6.2 Redes de tres accesos 192 6.3 El divisor de Wilkinson . . . 197 6.4 Circuladores.............................................. 202 6.5 Redes de cuatro accesos ....................................... 205 6.6 Híbridos ................................................ 211 6.7 Realización de acopladores direccionales . . . . . . 217 6.8 Líneas acopladas simétricas ..................................... 226 6.9 Realización de inversores con líneas acopladas ........ 235 6.10 Filtros pasa-banda con inversores en líneas de transmisión .................. 239

© Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000.

1 Introducción 9

Capítulo 1 Introducción

1.1 ¿Qué son las DÚcroondas?

Un sistema de comunicaciones genera una señal portadora sinusoidal sobre la cual, mediante modificaciones de su amplitud, frecuencia o fase, se introduce un mensaje según unas normas de codificación. Esta señal se transmite a un punto lejano por medio de ondas al espacio libre o bien de un cable, y en el receptor se realiza un proceso inverso al del transmisor mediante el cual se recupera el mensaje original.

En todos estos procesos se utilizan dispositivos electrónicos (transistores, diodos, tubos de vacío), elementos pasivos que afectan a la amplitud de las señales (resistencias) o bien a su fase (inductancias y condensadores), e hilos o tiras conductoras que transportan la tensión y las corrientes de unos elementos a otros.

Todo esto se realiza en márgenes de frecuencia que van desde algunos kiloherzios (radiodifusión en AM) hasta el infrarrojo o el margen visible, pasando por las bandas de VHF y UHF (desde decenas de megaberzios hasta los 900 MHz), soporte de la radiodifusión en FM y la televisión; y las bandas que cubren desde algunos gigaberI.ios hasla decenas de gigaberzios (1 GHz = 1000 MHz), vehículo de las comunicaciones por satélite y de la detección medianle el radar.

Las diferencias en las realizaciones tecnológicas de los sistemas anteriores surgen, sobre todo, de los márgenes de frecuencia en los cuales operan. Cuando comenzamos a superar frecuencias de trabajo de decenas de megaherzios aparecen de forma progresiva dificultades entre las cuales, si nos restringimos a los elementos pasivos, destacan las siguientes:

a) El comportanüento de los elementos concentrados habituales comienza a variar. Las resistencias modifican su valor y exhiben una parte inductiva de valor creciente, las pérdidas de las inductancias se incrementan y su reactancia varia de forma imprevisible; lo mismo pasa con los condensadores, que pueden sorprendemos con una impedancia con resistencia muy alta y reactancia inductiva(!).


10 Circuitos de nu'croondas con lfneas de tran.mu'siÓn

b) Los desfases entre puntos diferentes no son sólo consecuencia de las inductancias y de los condensadores, sino que hay que considerar el tiempo que tardan las señales electromagnéticas en propagarse de un punto a otro del circuito. Como esta propagación a través de los conductores se produce a la velocidad de la luz, c=3'IO IU cm/s (cuestión la discusión de la cual es uno de los primeros objetivos de este libro), un trozo de conductor de L cm de longitud introduce un retardo de:

L ,= = 33,3xL ps e

De manera que si L=1O cm i la frecuencia de trabajo es 750 MHz (pcríodo=T=I,33 ns; longitud de onda=Í\=c'T=40 cm), el retardo introducido corresponde a un cuarto de período (90'), es decir, el que corresponde a una inductancia o a un condensador ideales.

Por tanto, es evidente que no sólo hay que controlar los conductores meticulosamente, sino que los mismos conductores pueden desarrollar un papel activo en el circuito similar al de los elementos reactivos convencionales. Y también es evidente que este efecto se produce cuando el retardo empieza a ser comparable con el período de la señal (podemos decir, mayor que T/20):

T 'C Z: -

20

T =1- c"t' z: e -

20

A = L> - =0051.

20 '

Esta conclusión nos conduce a una definición relativa de las microondas como aquellas bandas de frecuencias en las que las dimensiones de los componentes, circuitos o sislemas implicados son comparables a una fracción de la longitud de onda de la señal.

En la práctica, y cuando tenemos en cuenta otros factores tecnológicos que afectan a los dispositivos activos, las características de los componentes pasivos (resistencias, inductancias, condensadores) comerciales, y los procesos de fabricación de circuitos, se puede decir correctamente que un sistema necesita la aplicación de herramientas de cálculo específicas de microondas, o que es de microondas si su frecuencia de trabajo está por encima del margen de 1-2 gigaherzios.

1.2 Bagaje electromagnético

Si bien, tal como hemos adverlido en el prólogo, en el libro se renuncia a describir aquellos elementos que necesitan un análisis electromagnético detallado, se supone que el lector ha seguido un curso básico de electricidad y magnetismo, preferiblemente incluyendo las ecuaciones de Maxwell en forma diferencial (si bien la referencia explícita que se hace en el apartado 1.1 se puede ontitir sin una pérdida grave de información) y las condiciones de conlorno de los campos eléctrico y magnético en


1 Introducción 11

la superficie de un conductor ideal (utilizadas en el apartado 6.1).

En todo caso, se supone del lector un buen dominio de los conceptos de capacidad, inductancia y energías eléctrica y magnética, y de la utilización y las limitaciones del de diferencia de potencial que, siendo un concepto básicamente estático, su utilización se extiende a señales variables con el tiempo con algún riesgo de error conceptual y práctico a rrccucncias alt.as.


2 LÍnea.l' de transmisión (1). La linea ideal 13

Capítulo 2 Líneas de transmisión (1). La línea ideal

2.1 Introducción

El retardo, es decir, la consideración del tiempo fmito que las perturbaciones electromagnéticas tardan en propagarse de un punto a otro, constituye la esencia de las técnicas de microondas. Si bien el retardo, de manera rigurosa y general, es consecuencia de las ecuaciones de Maxwcll (1864), la propagación de tensiones y corrientes por dos hilos paralelos puede estudiarse de manera sencilla partiendo de los conceptos elementales de inductancia y de capacidad, según estableció por primera vez W. Thomson (lord Kc1vin) antes de la tcoría electromagnética de Maxwell.

En este capítulo presentamos las propiedades de las líneas de transmisión ideales, dedicando atención particular a su comportamiento en régimen senoidal, e introducimos una ayuda gráfica de gran utilidad conocida como la carta de Smith (Smilh char/)o

Las propiedades de las líneas de transmisión nos acompañarán en los restantes capítulos, y más adelante veremos que cualquier circuito de microondas admite un circuito equiva1ente formado por elementos concentrados y líneas de transmisión,

2.2 Ecuaciones básicas

Definiremos como línea de transmisión ideal el sistema de dos conductores perfectos inmersos en un medio dieléctrico sin pérdidas, de manera que la sección transversal del sistema no varíe a lo largo del mismo. Las líneas de transmisión más comunes están formadas por dos hilos idénticos de sección circular que discurren paralelos (linea hijitar) o por un conductor circular rodeado por otro concéntrico (linea coaxial). En cualquier caso, nosotros la representarremos como dos hilos paralelos tales que, en cada plano transversal z, poseen corrientes i¡(z,t),i,(z,t), y diferencia de potencial v(z,t), como en la figura 2.1.


14 Circuitos de microondas con lineas de rransmisión

En esta misma figura se puede comprobar que esta situación general puede descomponerse en otras dos, simétrica y antisimétrica en la corriente. La figura 2.lb, en la que ambos conductores transportan la misma corriente en la misma dirección, carece de interés ya que se comportan como un soto conductor, por lo que, sin pérdida de generalidad, supondremos una distribución de cuITientes como

en el caso a.

al bl

I [ i (z, t) I i I (z, t)

--r i 1 (z, t) -r- -.-I [ [ ¡ ¡ v(z,t) c) I : v, (z, t) <> o 1 ¡ I

, , I . [ ,

--¡- 12

(z,t) ¡i(z,t) --r i I (z, t)

z z

z

Fig. 2.1 Definición de magnitudes y descomposición de la situación más general en la superposición de una simétrica, b, y una antisimétrica, a

a

V12 la - V12 l. = _J2 E ·dl + J2 E ·dl 1(0) l(b)

=-f E·dl = O a,b

, , 1

¡ ,2

VI2Ia-VI21. = f -E·dl * O a ••

Fig. 2.2 La diferencia de potencial (ddp) entre los conductores sólo tiene sentido si se define entre puntos situados en el mismo plano transversal


2 Líneas de lransmisión (IJ. La línea ideal ]5

Para analizar el comportamiento de la línea descompondremos ésta en secciones elementales de longitud dz, y realizaremos las hipótesis siguientes:

1) entre dos secciones elementales cualesquiera no existe influencia c1éctrica, 10 que equivale a suponer que no están unidas por líneas de campo eléctrico y, por tanto, éstas han de estar contenidas en planos transversales (Le., E carece de componente axial).

2) entre dos secciones elementales cualesquiera tampoco existe acoplamiento magnético, es decir, no existen líneas de campo magnético que abracen simultáneamente dos secciones elementales; esto también supone que éstas han de estar contenidas en planos transversales.

Nótese que estas hipótesis garantizan la validez del concepto de diferencia de potencial (ddp), que es un concepto estático, pero sólo si nos limitamos a definirlo entre puntos de una misma sección transversal (fig. 2.2). En efecto, en este caso:

-f Ed? a.h

-J;hE'ñdS a J -+- B·ñdS = o al s

(2.1)

ya que S es una superficie contenida en un plano transversal y, por la hipótesis 2, no está atravesada por flujo magnético. Esto no es así en el caso de puntos contenidos en secciones transversales diferentes, ya que ahora la superficie S, limitada por las líneas a y b, sí que es atravesada por líneas de campo magnético, con el resultado de que la ddp entre 1 y 2 dependería del camino tomado para su definición.

Con estas precauciones, que serán revisadas rigurosamente más adelante, en cada sección elemental V(Z,I) y i (z,I) solamente están afectadas por la capacidad entre los conductores y por el flujo magnético que se traduce en un coeficiente de auto inducción. Obtenemos de esta manera, para una sección elemental de longitud dz , el circuito equivalente de la figura 2.3. Adviértase que, para preservar la simetría de la sección, el condensador debería estar situado en el punto medio de la inductancia, o bien repartido por igual a la entrada y salida, pero la diferencia con el dibujado es de infinitésimos de segundo orden y se obtienen las mismas soluciones.

En la figura 2.3, L Y e representan la inductancia y la capacidad de la línea por unidad de longitud de la misma. De la consideración de las caídas de tensión y corriente se obtienen inmediatamente:


16 CjrcuitOJ de microondas COI! líneas de transmüión

av dz -(L dz) ai iJv -L ai

(2.2) az al az at

ai dz

iJv 2i -C iJv - -(Cdz) - - (2.3) at at az al

que son las ecuaciones que gobiernan con toda generalidad el comportamiento de v(z,/) y i(z,/). Para su resolución podemos, por ejemplo, eliminar la corriente derivando (2.2) con respecto a z y (2.3) respecto a t. Resul tao

(2.4)

que es la ecuación de ondas en una dimensión. Su solución más general es de la forma (D' Alembert, 1747):

z z v(z,t) = F¡ (t--) + F,(t+-) e e

con F¡ Y F, funciones arbitrarias.

z

_i Ldz __ :o 'JJ1"

Q Iv --00(]

z+dz

L = inductanciaJunidad de longitud e = capacidad/unidad de longitud

(2.5)

. ai _l+az

1 c ___

Iv + av Cd~ oz dz

0"- __

Fig. 2.3 Circuito equivalente de una sección elemental de línea

dz

F¡(t-Z/c) representa una onda de tensión que se propaga con velocidad e en el sentido de las z crecientes. Con esto queremos decir que un observador que se desplazara a lo largo de la línea, en


2 Líneas de transmisión (1). La línea ideal 17

el sentido indicado, con velocidad e, mediría permanentemente una tensión constante (abscisa del observador: z~zo +cl):

(2.6)

Al mismo tiempo, todos los puntos de la línea experimentan la misma variación de tensión FI(I), pero con un retraso mayor los más alejados según las z crecientes.

Análogamente, hablamos de F, como de una onda que se propaga en el sentido de las z decrecientes, de forma que en cualquier punto de la línea, en cualquier instante, la tensión medida es la suma de los valores de las dos ondas. Debe notarse que a partir de medidas realizadas en un solo plano de la línca no es posible determinar FI y F2•

La solución para i(z,l) se puede obtener por sustitución en (2.5) en (2.2) y una posterior integración con respecto al tiempo:

(2.7)

Se puede comprobar, por sustitución en (2.3), que la constante de integración (con respecto al tiempo) fez) tampoco depende de z y representa, por tanto, una corriente continua superpuesta en la línea de la que prescindiremos. Con una notación y nomenclatura más usuales pondremos:

(onda positiva)

v (onda negativa)

~ = Zo (linpedancia caracteristica en ohmios)

Las expresiones (2.5) y (2.7) quedan, entonces:

~ (v' - v ) Zo

(2.11)

(2.12)

(2.8)

(2.9)

(2.10)


18 Circuitos de microondas con lfneas de transmisión

En cada instante y en cada plano, la potencia que se propaga en la línea hacia la derecha, de acuerdo con la convención de sentidos de tensiones y corrientes (fig. 2.3), vale:

6' (z,l) = v'; (2.13)

es decir, la potencia neta es la diferencia de las asociadas con las ondas positiva y negativa.

2.3 Ejemplos elementales

Consideremos primero un generador de tensión V,(I) y resistencia interna R" conectado a una línea infinita (fig. 2.4). Si la línea estaba inicialmente en reposo (v=i=O) no existe onda negativa, y el generador excitará unas ondas positlvas de tensión y corriente que vienen dadas por:

v' (Z,I) 20 z -- v (t--)

Zo+Rg g e ;' v·

(2.14)

ya que para una onda positiva (o negativa) el cociente entre tensión y corriente es Zo y la línea presenta, por tanto, una impedancia de entrada en cualquier plano, de 2". De manera que si interrumpimos la línea en cualquier punto y le conectamos una resistencia de valor R, =Zo (fig. 2.5) la situación a su izquierda será indistinguible del caso de la línea infinita y no habrá onda negativa. Se dice entonces que la línea está adaptada y en esta situación favorable la carga R¡, absorbe toda la potencia que el generador entrega a la línea.

En el caso más general de la figura 2.5, la presencia de R¡. en z= F Y la ley de Ohm exigen que:

v(l,t)

; (I,t) = 2 v' + v-I o • _

v -v z~~

(2.15)


2 Líneas de tran.smisiÓn (1). La lín.ea ideal 19

de donde se obtiene:

(2.16)

Es decir, en RL la onda negativa (o, desde el punto de vista de la carga, onda reflejada) está relacionada con la onda positiva (o incidente) mediante una constante PI. llamada coeficiente de r~f1exión en la carga.

z=o

v

z •

V'(Z,I)

1 - v'(z,t) Zo

t o

Fig. 2.4 Línea infinita alimentada por un generador con señal arbitraria vil) y distribución de tensión en la línea en un cierto instante (,

R Vg(tlQ : z J ~ o

z=o z=9-

RL = Zo V ::: v+ y-¡ RL-ZO y. PL RL+ZO

RL • Zo v ::: v++v ,-,

Fig. 2.5 Línea terminada en una resistencia


20 Circuitos de micro()nda.~ con lineas (le transmisión

Ejemplo 1 Supongamos la situación esquematizada en la figura 2.6a para la que, en el instante 1=0, se cierra el interruptor con lo que se genera una onda positiva de tensión VI ¡ • En el instante T= Ve alcanza la resistencia de carga, y se genera entonces una onda negativa v1- = PI: VI +, que en el instante 1=2T alcanza el extremo generador perturbando el equilibrio existente, por lo que ha de generarse una nueva onda positiva v2 + tal que se restablezca el cumplimiento de la ley de Ohm a la entraua ue

la línea (z=O) en el instante 1=2T+:

(2.17)

Si de esta igualdad restamos la que se verificaba en 1< 2T:

(2.18)

se obtiene, en z=O:

V, RG-ZO - Pe

v1 RG+Zo ,-o

(2.19)

expresión que nos sirve para definir el coeficiente de reflexión en el generador como cociente entre la onda que se genera y la que Ilegal

El seguimiento de las sucesivas ondas positivas y negativas se puede realizar mediante un diagrama espacio-tiempo como el de la figura 2.6b. En cada plano y en cada instante. la tensión total será la suma de todas las ondas que hayan alcanzado el plano.

En la figura 2.7 se representan las tensiones y corrientes en el punto medio de la línea para RG=O y diferentes valores de RL ; RL =0, RL = 00, RL <Zo i RL > ZO' Se deben advertir los siguientes aspectos:

1) En el caso del cortocircuito a, la corriente crece, de forma escalonada, pero indefinidamente.

2) En el del circuito abierto b. el valor medio de la corriente es cero, así como el flujo medio de potencia; ésta fluye hacia la derecha (v,>O) en los intervalos de corriente impares y hacia la izquierda, y con el mismo valor. en los pares.

1 N(ltese que la conclusión sobre el conceplO de Pro Y su valor es válida en el caso más general de un generador de tensión arbitraria v,,(t). como se puede comprobar fácilmente reinsertando la variación temporal en las variables.


2 lineas de transmisión (1). La linea ideal 21

al

R t=D G :'\ vot: Zo ' e : f RL

2=0 Z=x. bl

t

4T Q T ~ -c

3T VO'ZO Vo v; --- il+

RG+ZO RG+ZO 2T RL -ZO , v, PL . VI PL

RL +ZO T

v; PG 'VI RG-ZO

PG ---RG+ZO

Z=o Z=t

Fig. 2.6 Proceso de generación sucesiva de ondas positivas y negativas a partir del cierre del interruptor en t=O

al bJ v(~/2) RL=O RG=O

v t

i(~/2) vo/zo

T 2T 3T t

cJ dl

v(~/2)

______________________ Vo/R

~~-=~=-~~~~----vo i (f/2) ----------------- ------------

RL

Fig. 2.7 Tensión y corriente en el punto medio de la línea de laflgura 2.6 en función del tiempo para RG=O y diferentes valores de RL


22 Circuitos de microonda.I' con líneas de tra1/Smisión

3) Si RL>,O, en los casos e y d, las sucesivas ondas reflejadas en la carga van teniendo amplitudes cada vez menores por ser I PL I < 1. Además, cuando t---ex> (suponiendo, por generalidad, Re>' O):

(2,20)

Es decir, el régimen permanente coincide, evidentemente, con la tensión calculada en régimen de tensión continua .•

Ejemplo 2 En la figura 2,8 se analiza la incidencia de un impulso cuadrado en un cortocircuito. La situación es evidentemente equivalente a la de la figura 2.8b, ya que garantiza la condición de cortocircuito en la carga, v(f,t)=O. La obtención de las gráficas de distribución de tensión en las proximidades del cortocircuito es inmediata, y podría realizarse un análisis similar para diferentes ondas incidentes de tensión .•

E.jemplo 3 La instalación de una resistencia en paralelo en una linea de transmisión produce una serie

de reflexiones múltiples según se resume en la figura 2.9 donde, por una mayor generalidad, se considera que las secciones de línea a ambos lados de la resistencia tienen diferentes impedancias características. La diferencia con los ejemplos anteriores comienza cuando, en el instante t= e/c, la onda incidente alcanza la resistencia R, y se refleja parcialmente con un coeficiente de reflexión:

YO! - (G + Yoz)

Y01+ G + YOZ (2.21)


2 lineas de transmisión (1). lA linea ideal 23

al

Vglt(~ Z , e O

z=o

0

" ','" I ,

z- i T t

T < T t e

bl , , ,

+VgltQ : 1 z=:i

: Q-Vglt)

el

':"1 1 , I , -, , I , L ___ '

I-r

-1 , --j -r ,

I , , I , , 1-F --" --, , , , , -, , :

-L , , , , J r----' , , , ' -, '

I '

-1 1 -z-~

Fig. 2.8 Incidencia de un impulso rectangular en un cortocircuito. a) Configuración en estudio. b) Circuito equivalente utilizado. e) Distribución de tensión en las proximidades del c.c. en instantes sucesivos


24

t=O i..'¡;¡. ( O )

" (a) ¡'

PZOl Rf z=-.l:.

1 --1 z=o

Pb(O)

Da (O). Tab ..

~ Pb(O) "ba

(b)

Z02 ~ z~t2

RL

Circuitos de microondas con lineas de Iran.fmisión

p/O)

Pb(O)

, Vbl

'ab Val

YO¡- (G+Y02)

Yo¡ + (G + Y02 )

Y02 - (G+YOl

)

Y", + (G + YOl )

Va+J + val 1 + PaCO)

Val

Análogamente,

IVa,

IVa,

etc.

Fig. 2.9 Situación de reflexiones múltiples creadas por una resistencia en paralelo en la unión de dos líneas de transmisión

Al mismo tiempo se transmite una fracción de onda incidente a la línea de la derecha. cuya amplitud puede calcularse en virtud de la continuidad de tensiones en el plano z=O:


2 lineas de transmisión (1), La linea ideal 25

(2.22)

(el subíndice a se refiere a la línea de la izquierda y el b a la línea a la derecha), de donde:

(2.23)

Al cociente así definido se le llama coeficiente de transmisión y relaciona a la onda emergente a la derecha con la incidente desde la izquierda. Por otra parte, cuando una onda reflejada en la carga incide desde la derecha en la resistencia paralelo ve un coeficiente de reflexión:

Y02 - (G + Yo¡)

Y02 + G + YOl

(2.24)

y, consecuentemente, un coeficiente de transmisión hacia la izquierda:

(2.25)

El proceso de reflexiones y de transmisiones adquiere ahora una cierta complejidad, pero su seguimiento puede realizarse sistemáticamente sin ditieultad con el diagrama z-/ de la figura 2.9.

Si la resistencia está en serie en lugar de en paralelo, como en la figura 2.10, el problema puede resolverse por analogía con el anterior si notamos que ahora, en z=O, existe continuidad de corrientes en lugar de tensiones:



(2.26)

Análogamente, el coeficiente de transmisión de derecha a izquierda vale:

(2.28)

Nótese que si hacemos R= '" en la figura 2.9 o R=O en la figura 2.10, ambos ejemplos se reducen al problema de conexión de dos líneas de transmisión de impedancias características diferentes .•

z=-11

(Análogamente para T,,)

-

Z02 - [1 - porO)) ZOl

Fig. 2.10 El mismo problema de la figura anterior, pero con una resislencia en serie (sin relardo) enlre las líneas

2.4 Reflexiones en cargas reactivas

En los ejemplos anteriores el análisis de las reflexiones era particularmente sencillo por serlo también la relación entre v y i en una resistencia. Consideremos ahora la incidencia de una onda de tensión v+ en una inductancia (fig. 2.11). La relación que ha de cumplir ahora en la carga (z=O) es:

v=LaI

di - L lav' av J Zo di di

(2.29)


2 Líflea~· de transmisión (1). La línea ideal 27

Si suponemos unas condiciones iniciales nulas (es decir, condiciones de línea en reposo) y tomamos la transformada de Laplace de (2.29), obtendremos:

v' (s) + v' (s)

v (s)

v '(s)

sL[ . - v'(s) - v'(s)1 z . o

- pes) (2.30)

donde hemos introducido el coeficiente de reflexión en la carga pes) en el dominio de las tensiones

transformadas V'(s). La conclusión puede generalizarse de forma evidente para cargas reactivas más generales descritas por su impedancia Z(s):

v'(s)

v'(s)

Z(s) - Zo

Z(s) + Zo -

~L z=O

v (O (t ) =v + +v - --- -- 2 Vo

T = L/Z _____ o

t=Q

:;;r,1 {V+(S) Z(s) - Zo} Z(s) + Zo

t=Q

v (Q,t

(2.31)

Fig. 2.11 Incidencia de un escalón de tensión sobre una inductancia

t


28 Circuitos de microondas con Uneas de transmisión

Si, como ejemplo, volvemos a la inductancia y tomamos como onda incidente un escalón:

V'(s) (2.32)

resulta:

(2.33)

La forma de v· en cualquier punto de la línea se obtiene sustituyendo t por t+zlc. El cálculo de las ondas generadas en una carga reactiva puede simplificarse si, como en la figura 2.10, imaginamos un generador adaptado a la línea y hacemos que la longitud de ésta tienda a cero. Nos quedarnos así con un circuito convencional de cuyo análisis puede obtenerse la tensión total en la carga vL(t) y, a partir de ésta, la reflejada por sustracción de la incidente (fig. 2.12). Nótese que la condición de adaptación del generador en este proceso es esencial para evitar reflexiones múltiples.

Ejemplo

Z

z =z G o 1

1 v - - v (e) L 2 G

C:1 V /2 o ------------1:=Z e

o

t

Fig. 2.12 Reducción del cálculo de la onda reflejada en el dominio de I por una carga no resistiva al caso de un circuito sin retardo

t


2 lineas de transmisión (1). lA linea ideal 29

Ejemplo Reflectórnetro temporal

En la figura 2.13 se esquematiza un sencillo montaje de laboratorio que permite observar reflexiones de cargas reactivas como las descritas. El generador produce trenes de impulsos rectangulares de duración suficientemente larga comparada con los tránsitos de las señales en la línea (T > > U/e), como para suponer cada impulso como un escalón de tensión vo'u(t). Al mismo tiempo, el generador ha de estar adaptado a la línea para absorber las reflexiones secundarias. De la misma manera, la derivación del osciloscopio tampoco ha de producir reflexiones, lo que puede conseguirse con una resistencia muy elevada (R> > ZJ como en la figura 2.13b. De esta manera, con el osciloscopio sincronizado al tren de impulsos del generador, en su pantalla se observa la tensión en el plano de conexión a la línea, que consiste en la onda positiva (escalón de tensión) más la reflejada en la carga retardada el tiempo 2L1 e.

a)

V o O O

T

b)

v (t) G

1 2

3

ose

Z o

z =Z' ose o

Línea de longitud L

ZL

T » 2L e

1 2

3 Z o R » Zo

Fig. 2.13 Reflectómetro temporal de laboratorio. Es necesario que /a duración de los pulsos sea muy larga comparada con e/tiempo de tránsito de las señales en la línea, que el generador esté adaptado para no producir reflexiones secundarias y que la derivación del osciloscopio tenga resistencia elevada por la misma razón (fig.b)


30 Circuitos de microondas con líneas de trammisión

En la figura 2.14 se resume el aspecto de las respuestas de diferentes cargas de estructura sencilla.

2V o

v o

2V

v o

CA -....--f------

T=2L/c

ce

-------------

T ~T e

e

¡Hc = O,69~ = 0,69 e Zo

11 TL = 0,69< 069~ , Z o

t

L

Fig 2.14a Visualización, en el reflectómetro de la figura 2.11, de las tensiones a la entrada de la línea cargada con impedancias sencillas


2 Líneas de frammisión (1). La línea ideal

v o

[ R -z 1 V 1 +--_'

n R +Z ,

~R L

T = C( R+R ) 2v --------.Q.---------

o

v O

[ R -z 1 V 1 +---'

o R +Z •

[ R - Z 1 V 1 +---'

(J R+Z •

_1 T =C(IR .

[ R-Z] V 1+ ___ ' o R +Z ,

Fig.2.14b Continuadón de la figura 2.14a

31


32 Circuitos de microondas con lineas de transmi.\'ión

2.5 Señales senoidales

A continuación, consideremos el caso importante de líneas excitadas por generadores senoidales en régimen permanente. Todas las señales serán de la forma A 'sen(w/+1» o. en notación compleja. A'exp[jwt+J4>j =C-cxp[jw/j, con C=A-exp[j1>]. Esta última constante compleja contiene toda la información necesaria (amplitud y fase) una vez conocida la frecuencia.

En este caso, y+(t-z/c) es ¡r"exp[jw(t-z/c)] y análogamente para v(t+z/c). por lo que (2.11) y (2.12)

toman la forma compleja (prescindiendo del factor cxp[jwtj común a todos los términos):

(2.34)

(2.35)

siendo "(=j(w/c)=j(3 ("(=constantc de propagación, (3=constante de fase, en radianes por segundo).

La onda positiva en el dominio del tiempo toma la forma explícita:

y '(z,l) ~ Iv' I sin (wl - P z + q, ')

i ' (z,t) IV'I sin(wt - pz +q,') Zo

(2.36)

(2.37)

Las expresiones (2.36) y (2.37) indican que el voltaje (y la corriente), en todos los puntos de la línea, experimentan el mismo tipo de variación senoidal, los cuales estarán tanto más retrasados en su oscilación cuanto más a la derecha se hallen (z mayor). El retraso entre dos puntos distanciados un ~z es el tiempo que tardaría un observador en desplazarse de uno a otro punto a la velocidad c, y por esta razón se le llama velocidad de fase (el observador que se desplaza hacia la derecha a esta velocidad va pasando por puntos de fase (w/-{:Jz+1>+) idéntica).


2 Líneas de lrammisióll (IJ. La linea ideal 33

La distancia mínima entre dos puntos de la línea que estén siempre en fase se llama longitud de onda (A). Evidentemente, (3A=2", es decir:

2" Il

e

f (2.38)

Volviendo a las expresiones complejas (2.34) y (2.35), debe observarse que la representación de (2.34) en el plano complejo da V como suma de dos vectores que giran en los sentidos indicados (fig. 2.15) a razón de 360" cada longitud de onda cuando nos movemos a lo largo de la línea (con z creciente), por lo que I VI variará entre un máximo, cuando ambos vectores se sumen en fase (misma dirección), y un mínimo, cuando lo hagan en oposición de fase (direcciones opuestas). Por otra parte, de los signos de la expresión (2.35), se concluye inmediatamente que cuando I VI es máximo III es mínimo, y viceversa, por lo que la impedancia a lo largo de la línea variará. Para calcularla consideremos una sección de línea de longitud f cargada con una impedancia (en general compleja) ZL' Por conveniencia fijaremos el origen de coordenadas en la carga (fig. 2.16).

Definimos el coeficiente de reflexión pez) como antes:

p (z) v

PLe2jjlz (2.39) v'

donde hemos tenido en cuenta que en la carga (z=O), prO) =PL = V-IV'.

Por otra parte, y por un cálculo idéntico al efectuado en el caso de carga resistiva (fig. 2.5), PL vale:

Por tanto, la impedancia de entrada vale:

ejfH + PLe-jfH

ejf}Q - PL e -jiU

(2.40)


34

al

bl

v

+ -jB z v e

Circuiws de microundas con líneas de transmisión

I I

I

1

, , ,

{v+;z )e- j3z o

1

(I.i+¡Z le- jSz o

Fig.2.15 Composición en el plano complejo de Vy 1 a partir de las correspondientes ondas positivas y negativas. (b) Caso particular de 1 VI""", Y 111 mi.

z=-l Z'='O

l.~ V-

V·

Fig. 2.16 Situación utilizada para el cálculo de la impedancia de entrada de una línea, Z,rw)


2 Linea.l' de transmúilm (1). La linea ideal

que, teniendo en cuenta (2.39) y tras sencillas operaciones, puede escribirse:

(2.41)

Esta expresión es más fácil de recordar escrita de la forma siguiente:

siendo (2.42)

como se puede comprobar desarrollando la fórmula de la tangente hiperbólica de una suma:

tanh (x +y) tanh x + tanh y

1 + tanhx tanhy (2.43)

Para la admitancia se obtiene una expresión idéntica:

siendo YL tanho =

y y o

(2.44)

35

Se observa en (2.41) que la impedancia es una función periódica de la longitud l, de período f=A/2. Esto quier decir que la impedancia de entrada de la línea que consideramos no varía si se inserta nn trozo de línea de un número entero de A/2. Tienen un interés particular las impedancias de entrada de las líneas cortocircuitadas o en circuito abierto. En estos casos:

(2.45)


36

! I : . I I I

/ : I I


1 1 , , 1

I

I 1 I I

I ' 1/ 1,'

(iT/2 ,r (' , I 1, I / I l' 1

I 1 1 I I I

I I 'i I 1, I , , , ,

) B 1="'1 e

Fig. 2.17 Reactancia de entrada de líneas en cortocircuito (Z,,) o en circuito abieno (Z,,) en función de (U=wf/c

En estos casos la impedancia de entrada siempre es reactiva y su reactancia varía entre (-00) i ( + 00)

según la longitud de la línea. Se representa gráficamente en la figura 2.17, donde además puede observarse que ambas curvas son idénticas excepto por un desplazamiento de 1[12 radianes:

(2.46)

Esta conclusión es consecuencia de la propiedad más general de las líneas de transmisión de actuar

como inversores de impedancias (fig. 2.18). En efecto, cada vez que avanzamos o retrocedemos >-14 en la línea, la impedancia vista hacia la derecha referida a Zo cambia exactamente a su inversa. En

el caso de la línea en c.a., a A/4 del mismo se tiene un c.c., de manera que Z,ij3f) es la misma que Zc/f3 f -1[12). Nótese que las transformaciones de impedancia en líneas de transmisión toman un aspecto más general si utilizamos impedancias normalizadas a la característica de la línea:


2 Lineas de transmisión (1). La línea ideal 37

Z; Z;

= tanh(pl + 5z) (2.47) Zo

Y; Y;

tanh(pQ + 5 y) (2.48) Yo

Ejemplo Como ejercicio de utilización de los conceptos de este apartado, en la figura 2. 19 se calcula la onda positiva a la entrada de una línea de transmisión en función de los parámetros del generador y del coeficiente de reflexión a la entrada de la línea.

Evidentemente, v+ = V"z)(Z, +Z.) cuando la línea está adaptada (Pr. =0). Pero esto también sucede, incluso estando la línea desadaptada, si lo está el extremo generador (Zs=Z" ; PG=O).

La misma expresión puede obtenerse de forma muy instructiva examinando cómo se establece el régimen permanente. En efecto, imaginemos un interruptor en el generador, como en la figura 2.20,

que se cierra en el instante inicial, con la línea previamente en estado de reposo. En /=0 se genera una onda senoidal positiva de valor:

V' I (2.49)

y sucesivamente se generan, como en ejemplos anteriores, ondas positivas y negativas cuyas amplitudes, evaluadas en los planos de generador y carga, se calculan fácilmente sin más que considerar el desfase introducido por la longitud recorrida y el correspondiente coeficiente de reflexión (fig. 2.20). De esta manera, la onda positiva en régimen estacionario en el plano z=O viene dada como la suma de todas las ondas positivas generadas:

V' LV: (2.50) i-,l

que es la suma de una progresión geométrica de razón PePLe-2j(H (menor que la unidad si RL i Re son positivas), con lo que se obtiene de nuevo el valor hallado para v+ .•


38

Z, = Zo

Z, 1

Zo ZL

Zo

A/4 (Bl

Circuitos de microondas con lineas de fransmisión

-"-¡ 2

Z 7t ·Z·7t LCOS- +) osm-2 2

Z 1t 'Z' 1t oCos- + J L sm-2 2

Z; = ZL

Fig. 2.18 Efecto inversor de impedancias de una sección de línea de longitud A/4

z=l

r: L

V-se obtiene:

V'

con

- v+ + v-

V' VGZo

ZG+Zo1-P,PG

Fig. 2.19 Cálculo de la onda positiva de tensión en una situación general


2 Lineas de transmisión (1). La linea ideal

Acabaremos este apartado con las siguientes observaciones:

a) La potencia media neta que fluye en la línea hacia la derecha vale:

P(z) = 1 Re [V(z) r (z)] 2

_1_ Re[ IV'1 2-W 12 -V'(V)'e 2jp,+V (V')'e 2jp,J 2Zo

_1_ Re[ W'1 2 +2jW'1 W 1 sin(2pz+<!>_-<!»] 2Zo

_1_( IV' 12 -IV 12) = p'-p 2Zo

(2.51)

39

con las evidentes definiciones para las potencias p+ y P- asociadas con las ondas positiva y negativa, respectivamente. En térntinos del coeficiente de reflexión:

P(z) ~ (1-lp(z)1 2 ) 2Zo

ya que 1 p(z) 1 es constante en toda la línea.

b) Para cargas pasivas (ZL=RL+jXL, conRL>O) IPLI <1; en efecto:

(2_53)

(2.52)

lo cual es consistente con el resultado anterior para P; la potencia reflejada nunca puede ser mayor que la incidente.


40 Circuitos de microonda.s con línew' de transmisión

V· V' = LV:

1

j=ol l-P G PL e -2j pI

+ V¡

+ V¡ e -j~1 VeZo 1

ZG+Zo 1 - PiPG

vt P L P G e -2jfJl ( PLvte-i/l 1

V • 2 1 PLPGe ·4jfJI ) V , 2

1 P L P G e -3jPI

V , 2 2 1 P L P G e -4jP 1

Fig. 2.20 Repetición del cálculo de la figura anterior, considerando el régimen transitorio generado a partir del cierre del interruptor

2.6 Ondas estacionarias

Cuando una línea en régimen senoidal está excitada sólo una onda progresiva (positiva o negativa), un observador puede identificar experimentalmente la situación con un voltímetro (que ntide la amplitud o el valor eficaz de la tensión de r.J.) ya que, al desplazarse a lo largo de la línea, la lectura pcnnanccerá constante:

I Vez) I IV'I (2.54)

Sin embargo, en la situación más general, cuando se propagan en líneasimultáneamente una onda positiva y otra negativa, hemos visto en el párrafo anterior que el módulo de la tensión fluctúa entre un valor máximo:



(2.55)

que se produce cuando los vectores v+ eiBl i V·t!{j~ se suman en fase, y un valor mínimo:

(2.56)

que se produce justamente a una distancia de \/4 a la derecha o a la izquierda de la situación del máximo, como puede comprobarse fácilmente a partir de la interpretación gráfica de la figura 2.15, ya que cada vector avanza o retrocede ,,/2, acumulándose un desfase relativo de " radianes.

De manera más precisa, en esta situación general tendremos:

Vez) (2.57)

siendo prO) = I prO) I exp (jO) y, en consecuencia:

lV(z) l' (2.58)

situación que se representa en la figura 2,21 y a la que nos referimos como onda estacionaria. Si bien

una onda estacionaria queda bien definida mediante el módulo del coeficiente de reflexión, suele caracterizarse a partir del cociente:

s IV· I + IV I IV'I - IV I

1 + I p I 1 - I p I

(2.59)

denominado relación de onda estacionaria (en inglés, VSWR o Voltage Standing Wave Ratio), cuya magnitud varía entre los valores 1 para una línea adaptada (sin reflexiones) e ex> si en la línea existe

un obstáculo que relleja toda la energía incidente, I p I = 1. Con frecuencia su valor se da en decibelios (recuérdese que S representa un cociente de tensiones):

S(dB) = 20logS (2.60)


42 Circuitos de microondas con lineas de trammisión

, !v(z) I "Iv'I!! +lp(O)12+2Ip(O)lcos(2~z+e)1'

z

1- /4

Fig. 2.21 Distribución de la amplitud (módulo) de la tensión en una linea con ondas estacionarias

(0"-1)

_______ ---!.[ (c.c)

1-/2

v" 2jV'sin~z

2V' I"--cospZ

Z,

z=o

111

v" 2V'cos~z

1 " 2· V '." - J-smpz Z,

(0"1 ) o

(c. a)

o

z=o

Ivl

Fig. 2.22 Distribución de la tensión y de la corriente en una línea de transmisión en conocircuilo y en circuito abierto



Dos situaciones analíticamente sencillas y de mucho interés son las de una línea de cortocircuito y en

circuito abierto (fig. 2.22), a las que volveremos más adelante cuando hablemos de líneas resonantes. Obsérvese cómo en este caso las tensiones y corrientes están en cuadratura, proporcionando potencia media hacia la derecha nula. Al mismo tiempo, ha desaparecido todo vestigio de propagación, ya que, por ejemplo, en el caso de c. c. :

v(z,t) = 2 I V'I sinWz)' cos( wt + cj>' + ;) (2.61)

Es decir, todos los puntos de la línea están simultáneamente en fase, con independencia de su posición.

2,7 La carta de Smith

La expresión (2.41), que da la transformación de impedancias a lo largo de una línea, no solamente es de cálculo engorroso (cuestión hoy poco grave por la ayuda de calculadoras y ordenadores) sino que es de difícil interpretación y no permite sacar conclusiones sencillas sin recurrir a cálculos

complejos. Una ayuda gráfica de gran utilidad es la propuesta por P.H. Smith en 1939 (los rusos la atribuyen a Volpert, que al parecer la propuso, independientemente de Smith, en el mismo año, en la Unión Soviética) y que pasamos a describir.

Descartado el plano de Z=R+jX como base, ya que valores infinitos de R y X forman parte de situaciones prácticas, la conveniencia de utilizar el plano de coeficientes de reflexión p es inmediata,

ya que todas las impedancias (pasivas) producen Ip 1< 1 y, por tanto, todas están contenidas en el interior de un círculo de radio unidad.

Por tanto, la transformación:

p Z - 1

Z+1 z .!....:':....e.

1 - p (2.62)

(nótese que utilizamos impedancias nonnalizadas a Z,,) transforma puntos del plano complejo

Z = R + /X en puntos del plano complejo p =u+jv con la siguiente importante propiedad: cualquier circunferencia en el plano Z se transforma en otra circunferencia del plano p. Recuérdese aquí que las líneas rectas son un caso particular de circunferencias cuando su radio se hace infinito.



Esta propiedad se puede verificar fácilmente si recordamos (fig, 2,23) que la ecuación (en lo sucesivo prescindiremos de la barra sobre la Z para indicar normalización)

IZI' - (ZC' +Z'C) +B = O (2.63)

con C complejo y B real, representa una circunferencia de centro C (coeficiente de Z' cambiado de signo) y radio:

IAI =vICI'-B (2,64)

Si volvemos a (2,62) y suponemos que Z pertenece a una circunferencia, entonces:

Z = ~ C+A 1 - p

~-C= (I-C)+p(l+C) =A l-p l-p

(2,65)

z x Z = C+A

IZ-C¡' = IAI' - (Z-C)(Z'-C') = IAI'

- IZI'-(ZC'+Z'C)+ICI'-IAI' =0

Fig, 2,23 Ecuación, en el plano complejo de las Z, de una circunferencia de centro C y radio lA I


2 LÍneas de transmisión (IJ. La línea ideal

z v p X 1 p f (Z) ,

2

~ ~' u R

/' 1 ' 2 '

Fig. 2.24 Propiedad de conformidad de las transformaciones del plano complejo, p=f(z). Los ángulos transformados ti> y ti> , son iguales

Si tomamos el módulo en ambos miembros resulta:

IAI'[lpl'+I-(p+p')]

1I - e l' + 1 p l' 11 + e l' + p (1 + e) (1 - C') + p' (1 + e') (1 - e)

1 1, p[IAI'+(I-C)(I+C)]+p'[IAI'+(I-C)(I+C')] p - +

IAI'-II+el'

+ lA l' - 11 - e l'

IAI'-J1+el' = o (2.67)

(2.66)

45

ecuación identificable con la de una circunferencia en el plano de p, de centro y radio calculables inmediatamente, como queríamos demostrar.

En general, toda transformación compleja además tiene la propiedad de ser conforme excepto en puntos singulares; es decir, si dos curvas se cortan formando un cierto ángulo en el plano Z, sus transformadas se cortan formando el mismo ángulo, en magnitud y sentido (fig. 2.24).

La construcción de las líneas de resistencia constante y de reactancia constante en el plano de p (carta de Smith) podría realizarse a partir de la expresión (2.67), pero es más sencillo e instructivo realizarlo de acuerdo con las siguientes consideraciones:


46 CircuilOs de microondas con lineas de rransmisión

a) Una circunferencia queda determinada si conocemos tres puntos de ella. Si además tenemos información suplementaria (por ejemplo, conocemos la recta en la que se encuentra su centro), el número de puntos puede reducirse (por ejemplo, las dos intersecciones con la recta del centro, que determinan un diámetro).

b) A todos los puntos del infinito del plano Z (R~oo, X~oo o ambos) corresponde p=1.

e) A valores de Z simétricos respecto al eje de abscisas corresponden valores de p también simétricos respecto del eje de abscisas:

Z, Z' I

Z2 - 1

Z2 + 1

Z; - 1

zt + 1 (2.68)

Por tanto, a curvas simétricas con respecto al eje R en Z también corresponden curvas en p

con la misma simetría. En particular, la lineas de resistencia constante en Z serán transformadas en CÍrculos en p con un diámetro sobre el eje real (fig. 2.25), por lo que "U identificación s6lo requiere

dos puntos, de los cuales uno es f> = l.

Entonces la construcción de los círculos de resistencia constante de la figura 2.25 es muy senciHa y

no requiere explicaciones adicionales. Para construir los de reactancla constante, una vez en posesión de los anteriores, basta con partir de los puntos a, b, c,d y e (fig. 2.26), Y recordar que, en virtud de la conformidad, han de cortar ortogonalmente a las líneas R~c(e y confluir en el transformado del punto del infinito del plano Z, es decir, el punto p = 1.

Que todas estas circunferencias de X=ctc tienen su centro en la recta u= 1 (recta vertical tangente a la carta de Smith por la derecha) puede verse de la manera siguiente: si Z,=R+jXy Z2=-(R+2)+jX,

entonces:

PI - 1 R + jX - 1

-1 -2

R + jX + 1 (1 +R) +jX

P2 - 1 -2

(2.69) - (1 + R) + jX

es decir, PI y P2 son simétricos respecto a la recta u=l. Por tanto, la circunferencia completa transformada de la recta x = cte (- 00 < R < (0) ha de ser simétrica respecto a esta recta y tener su

centro en ella.


2 lineas de transmisión (1). La linea ideal 47

1:< r re te v

Z

e f g(R~l) h u O R e a,e

b

+ + + + b

a a a a

R=O, Ip 1=1, círculo de radio unidad. El punto e (R=O. X=O) corresponde a p=-l. A los puntos del infinito (a,e) les corresponde p=1.

R",O, R<1: al punto/le corresponde p=(R-1)/(R+l) <o R",O, R=l: al punto g le corresponde p=O R>l: al punto h le corresponde p=(R-l)/(R+1»0

Fig. 2.25 Construcción de las líneas de resistencia constante en la carta de Smith

Fig. 2.26 Construcción de las líneas de reaclancia constante


48 Circuitos de microondas con lineas de transmisión

De esta manera nos encontramos con la construcción de la figura 2.27, que es la versión de la carta de Smith utilizada con más frecuencia.

Por lo que se refiere a la transformación de aumitancias:

p l-Y

1 + Y (2.70)

se observa que es idéntica a la de impedancias (2.62) exceplo por un cambio de signo que supone un giro de 180". No es preciso, por lanto, volverla a dibujar.

Idealmente, sería deseable disponer de una carta que tuviera dibujadas simultáneamente las mallas de líneas de Z y de Y (fig. 2.28). De esla manera, dado un cierto valor de p, su localización en la carta de Smith nos proporcionaría simultáneamente, por lectura directa, los valores de Z y de Ya los que corresponde.

2.8 Propiedades básicas de la carta de Smith

Hemos visto que existe una correspondencia biunívoca (excepto para los puntos del infinito) entre los puntos del plano de p y los del plano de Z o Y, de manera que la situación de un valor particular de p en la carta de Smith nos proporciona, por lectura en las mallas de líneas de Z o Y, los valores correspondientes. Recíprocamente. la situación de un valor particular de Z (o de 1') en la malla correspondiente coincide con el extremo del vector del p asociado, que puede leerse teniendo en cuenla que el radio de la carla de Smilh se corresponde con 1 p 1 = 1 (véase una de las escalas anteriores), y que la periferia de la carta de Smith está marcada en grados sexagesimales. Por lo que se refiere a la carta de las Z, nótense las siguientes propiedades hásicas:

1) La part.e superior, v>O, corresponde a impedancias inductivas, X>O, y la inferior a capacitivas,

X<O.

2) Las resistencias mayores que la unidad, R> 1, están contenidas dentro del círculo de resistencia constante que pasa por el origen. Este último (punto R~ 1) se corresponde con la impedancia (resistencia) que adapta la línea.

3) El coeficiente de ret1exión en una línea vale:

(2.71)


2 Líneas de transmisión (1). La Unea ideal 49

De manera que cuando nos movemos por toda la línea I p(z) I permanece constante, mientras que su fase varía linealmente con la longitud a razón dc una circunferencia completa (360") cada media longitud de onda. De esta manera. el vector representativo en la carta de Smith gira, pudiéndose leer

en cada momento la impedancia Z(z) sobre la malla de líneas de la carta de Smith (fig. 2.29). Obsérvese que el sentido de giro es positivo (antihorario) si nos movemos hacia la derecha (hacia la carga) y negativo (horario) si nos movemos hacia la izquierda (hacia el generador). Nótese (fig. 2.27) que la periferia de la carta de Smith está graduada también en longitudes de onda y que los sentidos de giro (generador y carga) también están indicados.

4) En los puntos en que I VI es máximo, 1/1 es mínimo y la impedancia es resistiva y toma el valor máximo dado por:

(2,72)

En efecto, I VI es máximo cuando V+exp[-jllzl y V'expUllzl se suman en fase, y entonces r ~ v+ IZo y / ~-V-¡Z, se suman en oposición de fase y producen un vector 1 colineal con el vector V (fig. 2,15).

De manera que:

Z V

1 IV' I + I V-I Z = sz I V' I - I V- I o o

(2.73)

Con Zo~ 1 (valores normalizados) resulta Z~S, como queríamos demostrar.

Análogamente, donde I VI es mínimo, I JI es máximo y la impedancia vuelve a ser resistiva y, esta vez, mínima y de valor:

1

S (2.74)

Estos puntos se corresponden con la carta de Smith con el eje real (reactancia nula).

Por lo que se refiere a la carta de admitancias, ya hemos indicado más arriba que es 1a misma de impedancias girada 180', y que lo ideal sería disponer de una malla doble como la de la figura 2.28, En la práctica, estas mallas dobles son muy engorrosas, y resulta más sencillo, para calcular el valor de la admitancia, leer el valor del opuesto por el origen en la misma carta de Z (lig. 2.30). En este caso, es necesario tener cuidado con los signos de la susceptancia B y recordar que son opuestos a los del valor correspondiente de X.


50 Circuüus de microondas con lineas dl' transmisión

NAIIIE TilLE DW6. NO. A

SIIIITH CMART F"ORM 62-BSPR(9-661 KA'1 ELrCTR!C COMP¡I"NY PINl BRCOK,N J el')fj,6 PRINT[D IN U S ... OAT[

•

l O"'II'~

" , • •

IMPEDANCE OR ADMITTANCE COORDINATES

" " .. .. ., ~lOllD __

., . .. , ~ ~'

., .. .,' , ~ .. .. .. " .. .t .• . .. , ,

" " • • , C[NTlR ,

" " " .. Fig. 2.27 Cana de Smith


2 Líneas de transmisión (J). La lfnea ideaL

fí ~

Ix" O

D <: O

~ .. X < O

Z=R+jX lB> O I

Y=G+jB ,

Fig, 2,28 Carta de Smith con mallas de líneas de Z (líneas continuas) y de Y (líneas discontinuas)

51

z decreciente o p(O

z3~Á/2

(generador)

I I I I ~P(Z3)

~ z=o Z1 Z2 Z3 z creciente (carga)

p(z) = p(O)e2j~,

Fig, 2,29 Evolución de p(z) en la carta de Smith cuando nos movemos por toda la línea

Ejemplo 1 El proceso básico en que se apoya el manejo de la carta de Smith es el siguiente: Supongamos una línea cargada con una impedancia (normalizada) Z= 1 + j, Este punto se localiza en la carta de Smith (punto A, fig, 2.30); el coeficiente de reflexión p viene dado en módulo y fase por el vector complejo OA (en este caso OA=O,45'dl

,1l), Si ahora nos movemos hacia el generador, en vista de (2,71) el punto representativo se mueve en la carta de Smith a lo largo de la circunferencia centrada en el origen y que pasa por A en el sentido de las agujas del reloj y que indica, para cada

z


52

X ":> O

+---+--f--+.....:;~-r:B < O X < O

B > O

Circuitos de microondas con lmeas de transmisión

Punto A: valor de Z=R+jX

Punto A': (opuesto por el origen) valor de Y=IIZ=G+jB.

Fig. 2.30 Lectura del valor de la admirancia correspondiente a un punto A

valor de la posición en la línea, z, el correspondiente valor de la impedancia. Nótese que cuando se recorre A/2 el punto vuelve a la misma posición en la carta, lo que se corresponde con el hecho de que la impedancia a lo largo de la línea es periódica de periodo A/2 .•

Ejemplo 2 Detenninación de impedancias en el laboratorio Supongamos que en el laboratorio se hacen las siguientes medidas en una línea de transmisión de Zo=500 a 500 Mhz:

IVlm",=6,OV; IVI "",=3,0 V; distancia de un cierto minimo de voltaje a la carga: 142,5cm.

Deseamos calcular el valor de la impedancia de carga ZL.

En primer lugar obtenemos S: S= I VI_/I VI "",=2. De aquí podemos obtener Ip I =(S-I)/(S+ 1)=-

113, pero también podemos localizarlo directamente en la carta teniendo en cuenta que S=RM , con lo que inmediatamente situamos el círculo en que hemos de movernos (fig. 2.31; punto A).

Por otra parte, a 500 Mhz (A=60 cm), 142,5 cm son 2A+(3A/8), que a su vez, a efectos de impedancia, equivalen a 3A/8.


2 Uneas de transmisión (1). La linea ideal

iMPEDANCt" OR AD

! ••• NO

D,I,n

A

Fig. 2.31 Utilización básica de la carta de Smith para adaptar impedancias (ejemplo 2)

53


54 CirClútw de microondas con líneas de transmisión

Localizando en la carta el punto correspondiente a un mínimo de voltaje (punto B, mínimo de impedancia) la impedancia de carga buscada se obtendrá girando en sentido contrario a las agujas del reloj el ángulo equivalente a 31\/8 (3/4 de circunferencia) hasta llegar a C; leemos entonces ZL =(0,8+jO,6), es decir, ZL =(40+j30)ü. Si deseamos el valor de la admitancia correspondiente podemos obtenerlo por lectura directa de la carta (punto C'):

Y,=0,8,i0,6=(16,i12) mS.

En muchos casos no es posible determinar con precisión la distancia entre la zona de medida y la carga. En este caso, si se sustituye ésta por un cortocircuito, basta, a efectos de cálculo de impedancias, con suponer la carga en un punto de tensión nula en la zona de medida, ya que la distancia de este punto a la carga será un número entero de sellÚlongitudes de onda,

2.9 Adaptación de impedancias

Fijémonos en el punto D de la figura 2.31 del ejemplo anterior. Corresponde a todos los puntos de la línea que se encuentran a una distancia de O,027A +nA/2, con n=O, 1 ,2, ... y en ellos Z= 1 +jO, 7. Si en uno cualquiera de estos puntos introducimos en serie con la línea una impedancia reactivajX=-0,7, la línea queda adaptada (fig. 2.32), ya que inmediatamente a la izquierda de esta impedancia añadida tenemos:

Z = (1 +jO,7) -jO,7 1 (2.75)

Hubiésemos podido proceder análogamente en los puntos de la línea correspondiente a D '; para ellos Z= 1,i0,7 y la impedancia que habría que añadir sería inductiva, jX=jO,7.

Este procedimiento de adaptar impedancias no suele ser, sin embargo, el más utilizado, ya que normalmente es más fácil introducir elementos en paralelo en una línea de transmisión que no en serie (que requiere la interrupción de los dos conductores de la línea). En este caso habríamos de fijarnos en el punto E (fig. 2.31) para el que Y=I+jO,7. El plano correspondiente se encuentra a 0,277A (+nA!2) de la carga y si en este plano añadimos en paralelo una susccptancia de valor jB=-jO,7, la admitancia vista inmediatamente a sus izquierda será Y= 1 (fig. 2.32) Y la línea también quedará adaptada. Debe notarse que, al ser el elemento adaptador reactivo, tanto en un caso como en otro toda la potencia entregada por el generador a la línea de la izquierda es absorbida por 2,.' Sin embargo, en el trozo dc la línea a la derecha de jX, o jBp existe una onda estacionaria con un coeficiente de reflexión:

(2.76)


2 Lineas de transmÜiÓn. (1). La línea ideal 55

También debemos decir que normalmente la susceptancia que se introduce se realiza con una sección de línea de transmisión con su extremo en cortocircuito o circuito abierto con la que, como vimos, se puede conseguir cualquier valor de reactancia variando la posición del cortocircuito o del circuito abierto.

a)

b)

jX~-j 0,7 O,027.\+n\/2 (

Z~~ ____ -<:~ ______ Z_O_~ __ I ____ ~~ ZL

D e

Z¡ ~ 1 + jO,?

Z ~ Z¡+jX ~ l+jO,? -jO,? 1

( 0,277h + nA/2)

jB~-jO,7

E e

Y¡ ~ 1 + jO,7

y ~ Y,+jB = 1 +jO,? -jO,7 1

0,8 + jO,6

Q,8+jO,6

Fig. 2.32 Adaptación de impedancias en una línea. Adaptación con una reaetanda en serie, a, y con una suseeptancia en derivación, b. Los valores indicados hacen referencia al ejemplo de la figura 2.31.

Ejemplo 1 Supongamos, para simplificar un poco las expresiones, que la impedancia de carga es resistiva y mayor que Zo , de manera que PL' sea real y positivo (flg. 2.33). En el plano de jB (z =0) tendremos:


56 Circuito.\' de micro()nda.~ con lineas de lransmüüín

~Yi y Y~+jB=l

l 1

pf(O)

p

Fig. 2.33 Circuito utilizado como ejemplo en el apartado 2.9. Se supone quejB adapta RL a la línea


2 Lineas de transmisión (1). La línea ideal

pi (O)

De manera que :

-B

De la primera también se obtiene:

(2.77)

(-1 - plLe 2iIH?_) (1 + p/Le2jP~)

(1 + pi,. e -2jP

C2 ) (1 + pi!. e 2jp'2)

1 - pli

1 -p l.

2 pllsin 2 ~ 12

1 - pli

(2.80)

(2.78)

(2.79)

57

ecuación que, evidentemente, tiene dos soluciones (puntos E y E' de la figura 2.31). Si por e.iemplo

escogemos la que se encuentra en el segundo cuadrante (9fJ' < 2(3f2 < ISO"), de manera que el sin(2(3 e,) sea positivo, resulta:

sin(2pl,)

y, por tanto,

B

12 'P L

(2.82)

(2.81)

Este resultado pone de manifiesto la propiedad evidente en la carta de Smith (fig. 2.31) de que si el

coeficiente de reflexión a adaptar es próximo a la unidad, la reactancia necesaria toma valores muy


58 Circuito.I' de microondas con linea s de transmisión

grandes. En este caso además sucede que la adaptación es muy sensible a la frccm .. "'Ilcia, y pequeñas variaciones de esta desadaptan fuertemente la línea.

Consideremos ahora el balaoce dc potencia en ambos trozos de línea:

p l!Cl.: 2

(2.83)

Por continuidad de tensiones en z=O:

V' V"(l + p'(O)) (2.84)

de manera que:

__ 1~2_

11 I -2jJH212 + P Le

I V·12 (2.85)

expresión que, en vista de (2.79), también se puede escribir

(2.86)

de manera que P = P " como cra de esperar.

Junto al procedimiento de adaptación expuesto, existen otros utilizados también muy frecuentemente que expondremos a continuación:

1) Transformador en "A/4

Hemos visto anteriormente la propiedad inversora de impedancias de una sección de línea en fJ4. De esta manera, una carga resistiva R¡. puede adaptarse a una línea de impedancia característica Z()

mediaote una de estas secciones (traosformador en "A/4) de impedancia característica (Zo ')'=Z.,RL (fig. 2.34a).

Si la carga no es resistiva existen dos opciones. Una consiste en insertar el transformador en un plano

donde la impedaocia de entrada sea resistiva (planos 1 o 2, fig. 2.34b). La otra consiste en caocelar la parte reactiva de la impedancia de carga con un elemento reactivo en serie o en paralelo y añadir

después el traosformador (fig. 2.34c).


2 Línew; de transmisión (l). La linea ideal 59

al r Zi

~ JRL Zl

¡ZoRL Zh

z' Z, o =Z o -o RL

o

( \/4

bl

r Z i r R' L

~ : QZL ZL

Z' Z o o

2 1

~ \/4

1 Plano 1 o 2 de la cana de Smilh

ZI =~ Z. = Z o L o , a

el

~ z' -j< Q O YL G L +jBL ZI ~ o a

GL

A/4 ~ ) -jXL

Z : ::=1 ZL = RL +jXL ZI ¡ZaRL

Z' o

O O

Hg. 2.34 Adaptación de impedancias con transformadores en A/4: a) De una carga resistiva b) De una carga compleja e) ldem por cancelación de la pane reactiva y reducción al caso a

2) Sintonizador doble

En este caso se disponen en la línea, en posiciones fijas, dos reactancias variables, normalmente construidas con secciones de línea en cortocircuito de longitud variable, De esta manera, si se cambia la impedancia de carga o se varía la frecuencia, la adaptación puede rehacerse cambiando solamente la posición de los cortocircuitos de las lineas conectadas en paralelo.


60

z ~(------7)·z 1 2

posiciones de jB¡ y jB, ('¡ Y z,) fijas

...... .. y' L

Circuiros de microondas con lineas de transmisión

" Z , L

Fig. 2.35 Adaptación de una impedancia con un sintonizador doble. La zona rayada es el lugar geométrico de las YL - que no se pueden adaptar

El procedimiento de adaptación es sencillo de comprender con la ayuda de la carta de Smith (fig. 2.35). En primer lugar, manejaremos el valor de admitancia YL - en el plano Z2. ya que su transformación desde YL en la carta de Smith es evidente. En segundo lugar, es necesario dibujar el CÍrculo a obtenido de girar el G= 1 la distancia f en dirección hacia la carga.

Consideramos ahora la admitancia vista inmediatamente a la izquierda de iB,:

Y, " Y'L +jB, (2.87)

Este valor estará situado sobre el círculo de G constante que pasa por Y,. -. Si hacemos que jB, sea tal que Y, esté también en el círculo a, la admitancia Y, vista desde la derecha de jB¡ estará situada


2 Lineas de transmisión (1). lA línea ideal 61

sobre el círculo G= 1 (por la propia construcción del círculo a). Es decir:

Y, = l+jB (2.88)

y solo queda hacer B¡=-B para conseguir la adaptación que buscábamos.

En este proceso es evidente la necesidad de que el círculo de G=cte que pasa por YL ' corte al círculo a. Por tanto, todas las admitancias lí.' que estén en el interior del CÍrculo de G=ctc tangente al círculo a no podrán ser adaptadas (fig. 2.35. zona rayada).

a) b) e) 1 4

Zo~:fjL ::BZL ,o~n

4 •

::DZL ZL d) e)

Fig. 2.36 Adaptación de impedancias con redes reactivas en L: a) Caminos posibles dibujados sobre la carta de Smith que conducen a dos

soluciones en serie yen paralelo (1-2. ]'-2', fig. b) o dos soluciones en paralelo y en serie (3-4, 3'-4', fig. e)

d) Situación en la que desaparecen las soluciones en paralelo y en serie (GL > 1) e) Situación en la que desaparecen las soluciones en serie y en paralelo (RL > 1)


62

1 '

Circuito.l" de microondas con lineas de lransmisión

Máxima transferencia de potencia si ZL =Zr.·

Fig. 2.37 Modificación del proceso de adaptación de la figura anterior para conseguir adaptación de máxima transferencia de potencia a un generador arbitrario. Nótese que la impedancia de referencia (Z,) es irrelevante en este problema

3) Redes reactivas en L

Recordemos que, si a una carga ZL le añadimos una reactancia en serie, el punto representativo sobre la carta de Smith se mueve sobre el círculo de R constante que pasa por l;c ; y si la añadimos en paralelo, lo hace sobre el círculo de G constante.

Con estas normas básicas la figura 2.36 es autoexplicativa; la adición sucesiva de elementos en serie y en paralelo o viceversa nos lleva de Z,. al origen (p =0) a través de líneas de R constante-G constante, si los valores de las reactancias se eligen adecuadamente. Se obtienen así cuatro posibles soluciones de redes adaptadoras.

Sin embargo, si la impedancia a adaptar está dentro del CÍrculo de G= I (fig. 2.36d), o dentro del de R= 1 (fig. 2.36e), es evidente que el número de posibles redes solución se reduce a solamente dos.


2 Líneas de transmisión (1). La línea ideal 63

2.10 Comportamiento con la frecuencia

Hasta ahora, los procesos de adaptación de impedancias Jos hemos realizado a frecuencia constante, sin ocupamos de su comportamiento al variar ésta. Como ejemplo consideremos la figura 2.38 en la

que se muestra un transformador en "A/4 a la frecuenciaf, , y estudiemos cómo cambia el coeficiente

de reflexión en la línea de entrada inmediatamente antes del transformador, PI'

Tendremos que:

PI

PI

donde hemos definido:

Nótese ahora que:

Z02 (1 + Pi) - ZOI (1 - Pi)

Z02 (1 + Pi) + ZOI (1 - Pi)

(Z02 - ZOI) + Pi(Z02 + ZOl)

(Z02 + ZOI) + Pi(Z02 - ZOI)

o PI -

(2.89)

(2.90)

(2.91)

al cambiar la frecuencia describe sobre la carta de Smith un círculo de radio I p,l (fig. 2.38b, donde se ha supuesto R,>Zm para fijar ideas). Por tanto, dado que PI' es constanle y (2.89) es, por tanto, una transformación bilinea!, PI también describe un círculo en la carla de Smith cuando cambia la frecuencia (fig. 2.38c), de ta! manera que para W=Wo (línea en A/4) la línea de entrada está adaptada (centro de la carta de Smith).

Si bien la terminación del problema de manera exacta no supone complicación grave, es conveniente

en este punto hacer la aproximación de que los coeficientes de reflexión implicados son pequeños; concretamente que:

Ip~1 « 1


64 Circuitos de microondas con lineas de rrammisjim

a) p t 1 r< 2 Pi

ZOl'8= Z02' 6 2 J R2

p¡

o PI + Pi

1 + p~ Pi

b)

A

4

l: P; ~ ~ Z02- Z01 °2

P ~

Z02+ Z 01 ,~

a

el

p¡

(Suponiendo R, > Z02) (Suponiendo R, > Z01 > ZOI)

o1. tal que {J,(01,,)f,=7r/2

Hg. 2.38 Componamiento con la frecuencia de un transformador en A/4: a) Definiciones y relaciones básicas b) Evolución de Pi con la frecuencia en la cana de Smith c) Idem para PI


2 Líneas de transmisión (1). La l[nea ideal 65

de manera que:

(2.92)

En este caso, (2.89) se simplifica a:

(2.93)

La representación gráfica en la carta de Smith continúa siendo un CÍrculo (fig. 2.39), pero más fácil de interpretar que en el caso general.

Con este grado de aproximación es evidente que, para conseguir adaptación(suponemos R2 > 2D2 > 201 ):

o P1 P2

202

201

es decir, 20z = J Z01 JI, . Además de (2.93) también se obtiene:

= 2p~ I cosP2!\, I (2.95)

(2.94)

Con esta expresión es fácil calcular el ancho de banda del transformador para un valor máximo

permitido de Ip 1, Ip 1M (lig. 2.39).

Ejemplo 1 Supongamos la adaptación de 75!l a 50!l (R2~75!l, ~Jl ~50!l). En este caso:

Z02 = ';50'75 = 61,24 n

o P1 P2 = 0,101 I P~ P21 = 0,010 (2.96)

Resulta, PI(úJ~O) ~2plo~O,202 (el valor exacto es 0,2). Si fijamos un valor máximo permitido I p 1M

el ancho de banda relativo es:


66 CirCI¿itos de microondas con lineas de transmisión

B tu 2 - w

1 2 ("'o - (,'1) = 2 1-2cos'(~l ~~

"'o (dO 1t 2 o p,

- 2 Poº, - P, º, 2 8 (Pº» (2.97)

Po º2 Po º,

y, en particular,

I p 1M = 0,01 B 6,3 %

I p 1 M = 0,02 B 12,62 %

IplM 0,05 B 31,85 % etc.

Observemos lo siguiente: el transformador también funcionaría a la frecuencia Wo si en lugar de A/4 tuviera 3}';4 ~(/\/4) +(/\/2) de longitud y, en general, si tuviese (/\/4) + (n/\/2). En cambio, en el caso 3A/4, por ejemplo, la variación de Ip,l con la frecuencia es más rápida (fig. 2.39, línea de puntos) y, por tanto, el ancho de banda conseguido sería menor. Para concretar, se puede comprobar que se reduce a un tercio del valor anterior, ya que a (2.97) el numerador 8({3C,) (en radianes) continúa tomando el mismo valor mientras que el denominador pasa de valer 7r/2 a valer 37r/Z.

Esta conclusión es completamente general; el ancho de banda de las estructuras en que intervienen líneas de transmisión se reduce proporcionalmente a su longitud cuando se añade un número entero

de semilongitudcs de onua. Es evidente que, si en lugar de una sección en i\/4 ponemos varias, aumentamos los grados de libertad del sistema y así podremos modificar el ancho de banda de la adaptación, definido este como en el ejemplo anterior. En particular, podremos aumentar el número

de ceros de I pi, como indicamos en el siguiente ejemplo.

Respecto a la figura 2.40, consideremos dos secciones en A/4 a la frecuencia w(!~ las dos con la misma constante de propagación, para simplificar. Con las mismas definiciones y aproximaciones anteriores

tendremos:

(2.98)

PI con s (2.99)


2 Líneas de transmisión (l)_ La linea ideal

2pO 1

W O

w

2wO PI

O

Pz e -2jP2~2

67

o -2jjl I PI + P2 e :2 2 ~

1 + P~P2 e--2jP2":z

!!!P~ + P2 e -2i~2~

( si Ip;p2 1« 1 )

(Suponiendo R, > Z02 > ZOI)

Fig. 2.39 Versión del círculo PI de la figura anterior para el caso de reflexiones pequeñas y representación gráfica del módulo del coeficiente de reflexión en función de la frecuencia



, ~

) , ZQ;+1 - ZOi

)~ Pi

P1r °2 r P3 r Zo¡+1 + Zoi

o e

] (i 1,2) Q

Zo 1 I 6 Z02' 6 Z03' S R3

P3 P,

8 e

4 pO

, e-1jP ! 4 o PI PI + P2 l P2

• e-2J1H P2 P2 + P3

PI o Os °S2 PI + P2 + P3 con S e-2j~~

(Supondremos R,>Z03> >ZOJ de manera que los p( sean positivos)

J

o

Fig. 2.40 Transformador de dos secciones, construcción gráfica en la carta de Smith para obtener el coeficiente de reflexión, y presentación gráfica de I p I (línea sólida). La linea de puntos para I pi representa el caso panicular de comportamiento con dos ceros


2 lineas de transmisión (1). La Unea ideal 69

De esta manera, p¡, sobre la carta de Smith, viene dado por la composición de tres vectores pt(fijo), Pz<J, que gira a razón de una vuelta completa para O<w<2wo, y P3' que gira dos vueltas completas en el mismo margen (en la figura se representa el caso R,>Zm >~>Zn" de manera que P"P2,PI >0). Es evidente de la construcción gráfica que PI describe una cicloide (en un proceso del todo idéntico al que, en el sistema de Ptolomeo, los astrónomos hacían girar a los planetas para explicar sus aparentes complejas trayectorias), y se comprende la aparición de bucles en la trayectoria, que volveremos a encontrar más adelante, al hablar de circuitos resonantes.

Volviendo al ejemplo, si queremos tener dos ceros de Ip 1 (línea de puntos, lig. 2.40), es decir, si queremos que el vértice del bucle pase por el origen de la carta de Smith, es necesario que:

= s = o ./ ( O)' o -P2 ± V P2 - 4 PI P,

(2.100)

Pero s debe ser complejo y de módulo unidad:

Isl2

Así pues, tendremos:

mientras que:

( 0)2 ° (0)2 = ~2 +4PIP, - P2

2p, (2P3)'

1

o o 01 PI - P2 + p,

2 P,

° PI

P, 1 (2.101)

(2.102)

(2.103)

(2.104) •

Ejemplo 2 Supongamos, como en el ejemplo 1, ZOI=501l y RL =R3 =751l, Y IpIM=O.Ol.


70 CircuilO~ de micnJonda,f con línea,l' de transmisión

Ejemplo 2 Supongamos, como en el ejemplo 1, 20,=500 y RI.=R,=750, y IpIM=O,Ol, Tendremos que (nótese que p"p, y p,>O):

75 -50 00,2 75 +50

° ° 2 PI - p, o 0,01

p7 o 0,0525 " p~

° p, o 0,095 (2.105)

Para el ancho de banda (w, = extremo inferior de la banda, fig. 2.40):

B = 2 90° - 72.02° 100 = 39 95 % 90° '

(2.106)

Compárese con un único transformador (ejemplo l),donde para el mismo valor de I p,l M se obtenía 8=6,3%.

Si hubiésemos optado por hacer los dos ceros de I p,l coincidentes en w=w, (cero doble):

por tanto:


2 lineas de transmisión (1). La línea ideal 71

o P, = 0,050 o p, = 0,10

cos(2PI) P,I = 77,08° B e 28,71 % (2.107)

Lo que acabamos de hacer no es más que un ejemplo sencillo de síntesis de I PI I con respuesta de Chebychev (ceros diferentes, rizado constante) o Butterworth (ceros múltiples, con respuesta maximalmente plana). La teona general de síntesis de transformadores múltiples de impedancias es scnci1la y puede encontrarse en textos de microondas más avanzados.

1

3

Fig. 2.41 Respuesta de un transformador sencillo (1), doble con dos ceros separados (2) (Chebychev), y doble con dos ceros coincidentes (3) (Butterworth)


3 Líneas de transmisión (11). Pérdidas, dispersión y líneas más comunes

Capítulo 3 líneas de transmisión (11). Pérdidas. dispersión y líneas más comunes

3.1 Introducción

73

Hasta ahora hemos considerado líneas ideales, es decir, hemos ignorado la resistencia de los conductores y la posible conductividad (pequeña, pero presente) del medio dieléctrico. De manera que en lugar de la célula elemental de la figura 2.3 se debería considerar más correctamente la de la figura 3.!a, donde R y G representan la resistencia de los conductores por unidad de longitud (es decir, la resistencia que ofrece el bucle formado por los dos conductores de 1 metro de línea) y la conductancia por unidad de longitud, respectivamente. Veremos que una de las consecuencias de la presencia de pérdidas en la línea es la aparición de dispersión, es decir, que señales senoida!es de frecuencia diferentes se propagan con velocidades de fase también diferentes. Por otra parte existen otros sistemas de propagación de energía (guías de onda) que presentan dispersión incluso en el caso ideal sin pérdidas. Estas guías pueden modelarse. a efectos de propagación. por una línea de transmisión hipotética con célula elemental como en las figuras 3.th o 3.te. Tanto en este caso como en el anterior, ambas líneas de transmisión corresponden. a efectos de estudio en régimen senoidal permanente (al que nos limitaremos; el estudio en el dominio del tiempo puede hacerse, cuando interese, con ayuda de la transfonnaCÍón de Fourier), al tipo de línea más general cuya célula básica presentase impedancia serie Z y admitancia paralelo Y, ambas por unidad de longitud (fig. 3.1d).

3.2 Línea con célula elemental general

Refiriéndonos a la figura 3 .!d con el mismo convenio de sentidos de voltajes y corrientes de la figura 2.3, los efectos de la impedancia en serie y admitancia en paralelo se traducen en una caída de tensión y una derivación de corrientes dadas por:


74

o bien:

dV

dz

dI dz

Circuitos de microondaJ con líneas de transmisión

dV e - (Zdz)I

dI o -(Ydz) V

-ZI (3.1)

-YV (3.2)

Las derivadas son totales porque no consideramos la variación temporal &)1.'( explícitamente, Estas dos últimas fónnulas son equivalentes a la (2.2) y la (2.3) en el caso de variación senoidal, como puede comprobarse fácilmente.

a) b) Ldz Rdz Ldz e -ldz

o-JTTl---j ~ T Cdz

o - o z z+dz

e) d)

Ldz

z =z+d7. z z+dz

Fig. 3.1 a) Célula elemental para una línea de transmisión con pérdidas b) y c) idem para las líneas hipotéticas que describen la propagación en guía de ondas d) Célula básica general que en régimen senoidal, resume los dos casos anteriores


3 Líneas de transmisión (l/). Pérdidas, dispersión V líneas más comunes 75

En (3.1) Y (3.2) se puede eliminar la corriente por derivación, por ejemplo, conlo que se obtiene:

(ZY)V (3.3)

ecuación diferencial con soluciones de la forma e+-Y¿ :

v = V+e- Yz + V-e Yz (3.4)

con 'Y (constante de propagación) definida por:

(3.5)

(se toma por convenio el signo de la raíz que proporcione un valor positivo de a) y, por sustitución de (3.4) en (3.1), se obtiene:

(3.6)

con Zo (impedancia característica) dada por:

Z ~ ~"" + jX o ~ y ¿'O o (3.7)

Se observa que estas fórmulas son idénticas a las obtenidas en el caso de la línea ideal sin más que asignar a la constante de propagación y a la impedancia característica los valores (3.5) y (3.7), valores que antes eran reales (20) o bien imaginarios puros ('Y) y ahora, en el caso más general serán complejos.

En el caso de 'Y, {3 es la constante de fase y sus dimensiones (como anteriormente) son de radian/metro (aunque el radián carece de dimensiones). Análogamente, O! es la constante de atenuación y tiene dimensiones de (metro)"1, si bien, como en el caso de los radianes, se introduce la unidad sin dimensiones de neper para el producto az, de manera que a ex le asignamos neper/metro.


76 Circuitos de microoflM.s con líneas de transmúión

Todas las fórmulas obtenidas para la llnca ideal pueden, por tanto, generalizarse sin más que tener en consideración el carácter complejo de '1 y Z,. Por ejemplo, la impedancia de entrada de una sección de línea de longitud f cargada con ZL viene dada por:

(3.8)

donde

(3.9)

Asimismo, el coeficiente de reflexión en función de la posición vale:

p (z) p(O)e'" p (O) e 2IXZ e 2jpz (3.10)

y, por tanto, su representación en la carta de Smith son espirales logarítmicas (el módulo del vector cambia de magnitud a medida que gira) en lugar de circunferencias.

En la tabla 3.1 se resumen algunas de las propiedades importantes de las funciones hiperbólicas que manejaremos con frecuencia en 10 sucesivo.

Desde el punto de vista físico, el efecto más notable de una constante de propagación compleja es la aparición de atenuación. Para una onda positiva tendremos:

Vez) (3.11)

o, en el dominio del tiempo:

v(z,t) = I V'I e-«'sin(wt - pz + 'V) (3.12)


3 Líneas de transmisión (11), Pérdidas, dispersión y líneas más comunes

Tabla 3.1 Propiedades de las funciones hiperbólicas (z=x+jy)

Funciones hiperbólicas

cosh2 Z - sinh2 z = 1

sinh(jy) =jsiny

cosh (j y) e COS y

tanh (jy) = jtany

sinh (aw) e sinh z . cosh w ± cosh z . sinh w

cosh (a w) = cosh z . cosh w ± sinh z . sinh w

1 1 coshz'" 1 + _Z2 + _Z4 + 2! 4!

(Izl<oo)

1 3 2z' 17z' tanhz = z - -z + -- - -- + 3 15 315

1[ (Izl<-)

z

La potencia transportada por esta onda vale:

P' (z)

con

1. Re (VI') 2

77

(3.13)

La atenuación experimentada por la onda cnlrc dos planos (por ejemplo el z=O y el z=f) viene dada, en nepers y decibelios, por las expresiones siguientes:


78 Circuitos de microondas con lineas de lrammisión

L(nepers) a º 1. Ln reO) 2 P'(I)

(3.14)

L(dE) 1OIog P'(O) 1OIog(e 2.') _ <d·2010ge r(o

" 8,686 ( a º (en nepers) ) (3.15)

Por tanto, 1 neper ~ 8,686 dB

3.3 Relación entre potencias y energías

Puede obtenerse una relación general entre potencias y energías a partir dc 1 y 2 si calculamos el

valor de la expresión:

.!!.. (V!') dz

dV!, + Vd!' dz dz

Se obtiene fácilmente la expresión siguiente:

(3.16)

1..!!.. (VI') + 1. (RII' + G VV') + L (XI r - B VV') " O 2 dz 2 2

(3.17)

donde hemos puesto Z=R+jX, Y=G+jB. También podemos escribir (3.17) como:

donde:

F(z)

d - 1 2 , -P(z)+PL(z)+-j(XIII-BIVI )"0 dz 2

1. VI'" potencia compleja en la línea. 2

(3.18)

1. (R 11 l' + G 1 VI') potencia disipada por unidad de longitud de línea. 2


3 Líneas de transmisión (/l). Pérdidas, dispersión y líneas más comunes

Si tomamos la parte real y la imaginaria en (3.18):

d - d - Re P(z) - - P(z) e PL(z) dz dz

d --lmP(z) dz

1 (B IVI'-X 1/1') 2

79

(3.19)

(3.20)

La expresión (3.20), menos obvia que la (3.19), relaciona la potencia reactiva con las energías almacenadas. Si integramos (3.19) entre dos planos de la línea z, y z" tendremos:

(3.21)

Es decir, la potencia neta que sale de la sección de línea (l"l2) es igual a la potencia disipada.

3.4 Línea con pérdidas baja~

Volviendo a la línea con pérdidas (fig. 3.la) tendremos:

R+jwL G+jwC

(3.22)

(3.23)

El caso de interés para frecuencias de microondas es el de línea con bajas pérdidas, entendiendo por esto que se verifiquen las desigualdades:

R« wL G« wC (3.24)

En estas condiciones se pueden obtener expresiones aproximadas para (3.25) y (3.26) de estructura más simple, Si ponemos u~R/jwL, v~G/jwC y recordamos que u< < I Y v< < 1, tendremos:


80

y - J -",'LC J(I-ju)(ljv)

" • jw¡¡:C [l-j(u +v)J'

ürcuitos de microondas con lineas de transmisión

" cjwJLC ll-uv-j(u+v)J'.

(3.25)

De manera que, reteniendo términos de primer orden en u, v:

(3.26)

(3.27)

Análogamente, se obtiene para Z,:

Z ~ Ir [¡_lj(u-v)] = ~ [¡-j( R - G )1 o ~ e 2 ~c 2wL 2wC

(3.28)

Es decir, los efectos más importantes (términos de primer orden en u, v) son la aparición de atenuación o: y de parte reactiva en la impedancia característica, mientras que la variación de la constante de fase (3 es de segundo orden en u, v y su efecto es imperceptible.

Se puede obtener un procedimiento alternativo para el cálculo aproximado de la atenuación en el caso de pérdidas bajas que no requiere el conocimiento de la expresión exacta para "Y a partir de las expresiones (3.19) y (3.13) de la manera siguiente:

Para una onda progresiva (por ejemplo, positiva):

(3.13)


3 Uneas de transmisión (1/). Pérdidas, dispersión y líneas más cumulle.\"

y, por tanto, (3.19) se puede escribir:

donde:

IX

~P'Cz) dz

P;(z)

2P 'C Z)

--p¡ -21XP'(z)

81

-Pi(z) (3.29)

(3.30)

Hasta aquí la expresión es exacta, pero tiene el inconveniente de que requiere el conocimiento de Yo=Go+jBo. Pero dado que las pérdidas son pequeñas, podemos aproximar I Yol' por el valor que tomaría en caso de no haberlas, es decir, tomar:

(3.31 )

con lo cual (3.33) proporciona la misma expresión obtenida anteriormente:

(3.26)

Este procedimiento para obtener la atenuación partiendo de (3.30) y el conocimiento de la solución del problema sin pérdidas es esencial para el estudio de las guías de onda con pérdidas.

3.5 Dispersión

Supongamos una línea de transmisión general con r=a(úJ)+j{3(úJ) alimentada por un generador de tensión arbitraria v,lt) (sin impedancia, para simplificar las expresiones) expresable mediante una integral de Fourier (o una serie de Fourier, si ve fuese periódica) de la manera siguiente (fig. 3.2):



(3.32)

Dado el carácter real de vdl), F(-w)=F'(w) y (3.32) se puede escribir de nuevo como:

(3.33)

En el último paso hemos prescindido de indicar el proceso de tomar la parte real, como es normal en el caso de señales senoidales. Esta expresión indica que vG(t) es la superposición de infinitas señales scnoidales y, dado el comportamiento lineal de la línea de transmisión podemos escribir:

(3.34)

Una conclusión importante de esta expresión es que, a diferencia del caso de la línea ideal, v+(z,/)

ya no reproducirá en cada plano z el comportamiento de vd,t), ya que cada una de las componentes sinusoidales de esta última variará su amplitud y su fase de manera distinta con la frecuencia a medida que se propaga. Nótese, para poder comparar, que en el caso de la línea ideal (3=wlc, y (3.34)

1 J- . 1- . VG(I) = - F(w) eJw'dw = Re F(w) eJw ' dw 2 -. o

Fig. 3.2 Línea alimentada por un generador de tensión arbitraria, vG (/), expresable como integral de Faurier, utilizada para analizar el fenómeno de la dispersión


3 Lineas de transmisión (lI). Pérdidas, dispersión y lineas más comunes 83

proporciona:

j"('- ,-) () v'(Z,t) " Jo· F(",) e 'dw" vG t - ~ (3.35)

resultado obtenido anteriormente a partir de las ecuaciones diferenciales de la línea.

Ejemplo 1 Volvamos a la línea sin pérdidas con célula elemental como en la figura 3 .lb que, como ya hemos indicado, describe exactamente la propagación de ondas electromagnéticas en guías metálicas. En este caso tenemos:

Z "j",L--j

-",es

y" jwe (3.36)

H "'s 2 y {ZY " j '" J Le 1 - - con "'s (3.37)

",' Le,

Zo n=J1H (3.38)

Se observa que para w < W s no existe propagación ya que entonces, para una onda progresiva, tendremos:

y

y, por tanto,

V( z)

p - .! Re (VI') 2

(3.39)

(3.40)

v (z,t) " IV'I e -., cos(w! + <1>,) (3.41)

1 ( I V<12)_ -Re-- -O 2 jXo

(3.42)


84 Circuitos de microondas con {{neas de transmisión

Es decir, en la línea existe una perturbación con decrecimiento exponencial tal que todos los planos están en fase y que no transporta potencia.

Para w>ws, sí que existe propagación, pero el diagrama w-IJ (fig. 3.3) no es una recta como en el caso de la línea ideal. N átese que:

w _-'c'----_ > c (3.43)

Es decir, la velocidad de fase siempre es mayor que la velocidad de la luz en el medio (véase también la figura 3.3); de hecho, cuando or>ws , vp .... "', cosa que físicamente se corresponde con que para w=w, todos los planos de línea están en fase .•

p '" _. _. _. -c

w v

~=CB f1 P '" "'s 1--C ",2

Ws V tan<l>o = c

~

tan<l> '" c vp Pf1 S

"'s 1--",'

Fig. 3.3 Diagrama w-tJ (curva de dispersión) para la línea con célula elemental como en la figura 3.1b. Obsérvese que la velocidad de fase siempre es mayor que f

Ejemplo 2 Supongamos que la línea de la figura 3.2 se comporta como la del ejemplo anterior y que el generador produce una tensión dada por:

(3.44)


3 Líneas de transmisión (11). Pérdidas, di.\persión y líneas más comunes 85

con Jo la función de Bcsscl de primera especie y de orden cero, y:

La elección de esta función tan singular viene impuesta por la simplicidad del análisis matemático posterior, como veremos. En este caso es más conveniente trabajar con transformadas de Laplace. Formalmente, el análisis es el mismo que con las dc Fouricr, pero cambiando jw por S. Tenemos entonces:

H . üJ Ws y =J- 1--

e w2 .1 V 2 2 =J- W -ws e

1 J 2 2 - ws - w e

1'¡ 2 S2 - W s + e

La transformada de Jn(WS t) se encuentra fácilmente en tablas y resulta ser

(3.46)

De manera que la solución para v(z,l) será:

(3.47)

(3.45)

Esta transformada también se encuentra en las tablas (esto justifica la elección de vdl), y así obtenemos:

Para un plano determinado Zo pongamos:

lO

e ti = t - t o

(3.50)

(3.49)



Examinemos primero qué sucede para valores de t' < < In' es decir, los instantes iniciales. El argumento de (3.49) vale:

y, por tanto, los primeros ceros de v(z",t) toman los valores:

I P (Ji

2 Poi

(3.51)

con Poi el i-ésimo cero de J.(x) (fig. 3.4). Supongamos, para fijar ideas, que to es cien veces

1.2

i -- __ o

, te = 0 , 0.8 \

\ \ te=lllllh

~ !l.6 \ 3: \

o !l.4 ..... \

\

!l.2 \ \

Il

-0.2 \ /

-0.4 ~-/

-0.6 0 2 3 4 5 6 7 8 9 lB

Hs:-t

Fig. 3.4 Señal a la entrada de la línea dispersiva (línea de puntos, 10 =0), yen un plano Zo tal que to=z,lc=lOOTs (línea continua)


3 Líneas de transmisión (II). Pérdidas, dispersión y Uneas más comunes

el período asociado a ws:

2TI 100 T = 200 TI T s

s

, Poi

400 TI

87

(3.52)

Dado que {Po,} ~ (2,40, 5,52, 8,65, 11 ,79, ... ), en este caso resulta para los primeros ceros de V(z,,,I):

{p'o,} = (4,6xlO-', 2,42 x 10-2 , 5,95xlo-', 1,lIxlO-1 ,. (3.53)

Es decir, se aglomeran en los primeros instantes, por lo quc v(zo,t) toma la forma cualitativa de la

figura 3.3. Se observa, por tanto, que la seña!, a! comienzo de su recepción en el plano ze está muy distorsionada, y excepto por sus valores iniciales, su valor se reduce prácticamente a eero muy rápido.

Sin embargo, cuando t' > > 1,:

(3.54)

Es decir, la señal en el plano Zo sigue fielmente a la del generador, solamente retardada en lo=z)c. Nos podemos hacer una mejor idea del proceso si examinarnos la relación entre la señal del generador en un cierto instante t y en el plano z=zo en el instante posterior t+t()=t+zjc. Si definimos:

1 Envolvente de v G (1)

J(t) Envolvente de v (Zo, t + tol

y tenemos en cuenta que, para valores grandes del argumento:

envolvente de Jo (x) • ~ 2 TIX

(3.55)

(3.56)


88 Circlútos de micruondas con líneas de rransmisión

(el error es menor del 1 % para x> Po2 =5,52) tendremos:

[ ) ,

t 2to -'4 J(t) • ,jt ,= 1 + -1-

[t(t + 2to)]'

(3.57)

Esta función se representa en figura 3.5. Nótese que para el valor de I"~ looTs utilizado anteriormente, el valor deJ(t), obtenido a partir del valor aproximado (3.56), tiene un error menor del 2% para valores de 1> 8,8.10 3

/, ~ 1,1\00 .•

f (t)

1

L-________ L-________ ~ ________ ~______ tito

1 2 3

Fig. 3.5 Relación en/re las envolventes de las señales en el plano Z. y en el ex/remo generador en función del liempo (expresiones (3.55) y (3.57)).

3.6 Velocidad de grupo

Hemos visto en el párrafo anterior cómo una línea dispersiva distorsiona las señales. Un CaBO

particular de gran interés es la propagación en una de estas líneas de una señal de banda estrecha, es decir, una señal con un espectro no nulo solamente en una banda de frecuencias (w,-t.wI2, w,+t.wI2) (fig. 3.6):

h

- jw,' J2 F( ) j(w-w,)' d( , - e -fl f.) W e W - W(}f (3.58) 2


3 Lineas de trQ1lJmisión (11). Pérdidas, dispersión y lineas más comunes 89

a)

IF (w) I

w1

Wo

"', = '" o

b) "'2 "'. W

Wo

, w2

Aw ---2

A", +--

2

B

A() f O"'!2 i(w-w), I = F(",) e • d(", - '" )

-,4r.)/2 o

A(I) E lit - F(wo - "') = F'(", - "'.)

e)

W

: $ .,,;. g

B

Fig. 3.6 a) Señal de banda estrecha utilizada para introducir la velocidad de grupo b) La aproximación requerida consiste en substituir la sección de curva por su tangente en

(w .. (J.,) c) Interpretación gráfica de las velocidades de fase y de grupo

Es conocido que una señal de este tipo puede interpretarse como una portadora de frecuencia f., cuya amplitud A(t) varía lentamente (en relación a l/f.) en el tiempo.

Para este caso, el término (3z que aparece en la expresión (3.34) y que da v+(z,t), puede escribirse:

(3.59)


90 Circuitos de microonda,l' con anea.I' de transmisión

Ahora es necesario suponer que todos los términos de esta serie que siguen al segundo cumplen las

siguientes condiciones:

a) Son mucho más pequeños que los dos primeros, que predominan. b) Su valor absoluto es mucho menor que la unidad.

Nótese que la condición b, aunque la señal sea de banda estrecha (margen de w-w" pequeño), solamente se cumplirá para un rango limitado de valores de z, ya que cualquier término crece

indefinidamente con z.

Según las hipótesis anteriores, que suponen aproximar la curva i3(w) por la tangente trazada en el punto (w,,,i3,,) (fig. 3.6), tendremos:

pz • amb 1 (3.60)

(v, así definido es la pendiente de la tangente)

v'(z,t)

(3.61)

Es decir, en cada plano z de la línea la señal reproduce la del generador, pero las variaciones de la amplitud están retardadas en el tiempo T=Z/Vg, correspondiente a una velocidad de propagación vg =dw/d(:1 que se denomina velocidad de grupo. De manera que en este problema aparecen de manera

natural dos conceptos de velocidad: la de fase, ya introducida anteriormente, que corresponde con la de un observador que se mantuviera a lo largo de la línea en planos de fase constante, y la de grupo, que correspondería al seguimiento de la "forma" o envolvente de la señal. Este concepto de velocidad de grupo puede comprenderse más fácilmente si imaginamos el seguimiento en la línea de un impulso

de duración finita (fig. 3.7).

Nótese que la propagación sin distorsión es una conclusión aproximada para rangos dc distancias

limitados, y que, para distancias suficientemente grandes. la distorsión aumenta indefinidamente.


3 Líneas de transmisión (lIJ. Pérdidas. dispersión y [{neas m<Ís comunes 91

VG

(ti Q A(z,to ) v ---'>

9

f\ zl z2 z

Um(Z,to) U,(z,t.) = O para Z < ZI ' Z > Z,

Fig. 3.7 Representación instantánea de la propagación de un impulso de duración finita en una Unea dispersiva (aproximaciones de propagación sin distorsión). La energía almacenada en la

Unea es nula, excepto en la zona donde se encuentra el pulso, cosa que permite introducir el concepto de velocidad de propagación de la energía, VE' En este caso, evidentemente,

vE=vg.

Ejemplo Supongamos que en una línea dispersiva un generador excita una señal de envolvente gaussiana de la forma:

" vG(t) = e h

2 ejf.)ot = A(t)ejf,.\ot (3.62)

Su transformada de Fourier se encuentra fácilmente en las tablas y es:

(w - wo)"2 2 ----, - --- e 2 (3.63)


92 CirClútos de microondas con líneas de transmisión

La onda positiva de tensión excitada en la línea valdrá, como anteriormente:

(3.64)

En este ejemplo, el desarrollo en serie de Taylor de (3(w) en torno a w, lo aproximaremos por un término más:

(3.65)

donde hemos definido la constante < (con dimensiones de tiempo) mediante:

(3.66)

Con la aproximación anterior:

v'(z,t) j(w - wo) (, - +)

e B dw

(3.67) j21t

con ,,/ ti (3.68)

La inversión de la integral es inmediata:

v'(z,t)

(3.69)


3 Uneas de transmisión (l/). Pérdidas, dispersión y lineas m,ás comunes 93

donde la amplitud A(z,t) viene dada por:

tlZr;'l

< (' ") A(z,t) 2 r; + E lO

'e , (,;4+ e2t;f'

,"

1 2r:2

( 1 + ~ (g) 'e

(1 <>g r (3,70)

Es decir, la amplitud de la señal continúa siendo gaussiana y su máximo se desplaza con la velocidad de grupo v" pero la duración de la señal, que en el generador es del orden de magnitud de 7, aumenta progresivamente con Z, de acuerdo con la expresión:

< .' 2 1 + - to <4

< (3.71)

Nótese que, para una dispersión de la línea dada (f fijo) la amplitud del impulso se distorsiona menos cuanto mayor sea su duración inicial, T .•

Volvamos al caso de un impulso de duración finita que se propaga, aproximadamente, sin distorsión en la línea, como en la figura 3.7. Es evidente que solamente existe energía almacenada en la zona de la línea donde, en un instante dado, está el impulso. De esta manera, v, se puede interpretar como la velocidad con la que se propaga la energla, vR.

Este concepto puede extenderse al caso de la línea en régimen senoidal si definimos, para una onda progresiva (por ejemplo, positiva):

r(z)

W(z) (3.71)

con p+ (z) la potencia transportada por la onda y rr (z) la densidad de energía almacenada por unidad de longitud, ambas evaluadas en el mismo plano. Para la línea ideal, esta expresión proporciona, con


94 Cirmitos de microondas con lineas de transmisión

cálculos elementales, vé'=c, como era de esperar. Por otra parte, para una línea dispersiva como la de la figura 3.lb, ya utilizada anteriormente en varios ejemplos:

de manera que:

!::. __ 0 +1+ "'s [['[' (

CZ' , )

4 L ",'

1

VLC

Por otra parte, para esta misma línea:

~2

1

1 2 2 ~ (~, - ("s) e 2

1 '" e' ~

!::. [r [2 2

1 -2", e'

(73)

(3.74)

(3.75)

(3.76)

Es decir, la velocidad de grupo (definida a partir de la propagación dc una señal de banda estrecha) y la de propagación de la energía (definida en régimen senoidal) coinciden. Se puede demostrar que esta coincidencia es una propiedad general para todas las perturbaciones electromagnéticas que se propagan en un medio sin pérdidas.

3,7 Líneas con dieléctrico homogéneo

En este apartado nos referimos a aquellas líneas constituidas, además de por dos conductores, por un solo dieléctrico de propiedades uniformes. Antes de entrar en configuraciones concretas, establecere-


3 Lfneas de transmisión (11). Pérdidas, di.~per.l'iún y LÍneas más comunes 95

mas las siguientes propiedades generales comunes a todas ellas:

a) Para todos los dieléctricos, I'~I'" y, por tanto, la inductanciapor unidad de longitudL es la misma que en ausencia de dieléctrico, L=LQ •

b) Se puede demostrar que:

LC !l< (3.77)

y, en consecuencia:

1 1 e Zo Ji JLC 1

~ v L vp --JLC {IJ.e ~ C vpC p

A vp e AO

(3.78) f fre~ ,¡ e,

c) Para una frecuencia de trabajo dada, las pérdidas en un dieléctrico se traducen en la aparición de una parte imaginaria negativa en la constante dieléctrica:

(3.79)

Normalmente se prescinde del acento en f' Y escribimos:

< ~ <0<,(1 - jtanó,) (3.80)

Los mecanismos físicos que producen ¡as pérdidas son varios, pero formalmente pueden atribuirse a

una conductividad equivalente Ue tal que, de ser la única causa de pérdidas, produjera la misma tangente de pérdidas tan b,. Esta conductividad se define mediante

(3.81)


96 Circuitos de microondas con lineas de rransmisió"

d) Cuando el dieléctrico tiene pérdidas, la línea posee una conduelaneia por unidad de longitud G no nula relacionada con e mediante la expresión:

En efecto, para la línea ideal:

G

C

C " e F (geometría)

e (3.82)

Y=jwC=jweF (3.83)

con F una constante función de la geometría de la línea. Si el dieléctrico tiene pérdidas:

y = j (,) e (1 - j tan a,)F = j w e F + we tan a, F e j W C + G

de manera que:

G

C wtano q

(J,

e

e) Hemos visto que, para pérdidas pequeñas, la atenuación viene dada por:

" con

(3.84)

(3.85)

Los subíndices e y d se rcncrcn a conduclor y a dieléctrico, respectivamente. Para la atenuación

debida a pérdidas en el dieléctrico:

IGn 1 (J, en 1 (J, w "d 2 C 2 e C 2 we v

p

1 -" tana (3.86) - P tana, 2 A '


3 lineas de transmisión. (Il). Pérdidas. dispersión y líneas má.\· comunes

A frecuencias de microondas la tangente de pérdidas varía poco con la frecuencia. Si la suponemos constante:

«d A = 1t tan 0, = constante (3.87)

Es decir, la atenuación por longitud de onda es aproximadamente constante. Los valores lípicos dc tan óf para buenos dieléctricos son del orden de magnitud de 10-4 y, por tanto, la atenuación por longitud de onda, en dB (para tan ÓI~ 10.4), es:

8,686 x "d A = 8,6861t tan 0, • 2,7 x 10-' dB (3.88)

la atenuación producida por pérdidas en los conductores, Ole, requiere el conocimiento de R que, cuando la distribución de corrientes no es uniforme, es de cáleulo difícil.

En vista de los puntos anteriores, la información necesaria sobre una línea con dieléctrico homogéneo se reduce a la constante dieléctrica, la capacidad por unidad de longitud e y la resistencia por unidad de longitud R.

El procedimiento más potente para el cálculo de capacidades de estructuras bidimensionales (es decir, definidas en el plano), como las que nos ocupan, es el uso de transformaciones confoffiles (de variable compleja), que omitiremos en este tema.

Línea de placas paralelas Su estudio tiene interés como modelo teórico aproximado que proporciona una buena comprensión de otras líneas planas reales. Consiste en dos tiras conductoras dc ancho W quc discurren paralelas separad .. una distancia h por el material dieléctrico (fig. 3.8a).

Su análisis resulta extraordinariamente sencillo si hacemos la aproximación de distribución de campo uniforme, es decir ~ si ignoramos la dispersión de campo eléctrico que se produce en los bordes de las tiras conductoras (aproximación buena solamente si W> > h), ya que entonces la capacidad se calcula mediante la expresión del condensador plano (fig. 3.8a). Con esta aproximación la corriente también está distribuida uniformemente en las tiras y el parámetro Res:

R Rs

2-W

(3.89)

siendo (J la conductividad del conductor y O, la profundidad de penetración en el mismo a la frecuencia f:

° = 1

(3.90)


98 Circuito.\' de microondas con lineu.\' de trammúión

De esta manera obtenemos:

1 -w"'¡.Ie tano, 2

(3.91)

(3.92)

De estas expresiones se observa que, si suponemos tan óI constante con la frecuencia (ya hemos dicho

que para un buen dieléctrico varía poco), Cid crece con la frecuencia mientras que O::c 10 hace con su raíz cuadrada. A frecuencias bajas predomina, normalmente, a c , pero a frecuencias suficientemente altas Cld llega a hacerse mayor que /Xc • Veámoslo:

ad=~Wl'htano a~ 2 R ~ • s

oh...!:... tan o, a'

(Wl'a) = Oh -2- tano,

h - tan ° o '

(3.93)

Para tan(ó,) ~2'1O'" y conductor de cobre (b~66 nuu/ ¡r ), O/d~O/,' para una frecuenciaf,:

{lo 66 lo ~ 1011

(h en nun) (3.94) -2h x 10-4 h'

h c lOnun = loc109 -1Ghz

h 1 nun = lo 100 Ghz etc.

El resultado anterior, que da la frecuencia por debajo de la cual predominan las pérdidas en los conductores sobre las pérdidas en el dieléctrico, puede utilizarse de forma aproximada (indicativa al menos en orden de magnitud) para una línea formada por dos conductores cualesquiera separados una distancia h.


3 L{neas de transmisión (Il). Pérdidas, dispersión y lineas miÍs comunes 99

Línea bifilar Está formada por dos conductores idénticos tendidos paralelamente el uno respecto al otro (fig. 3.Sb), y históricamente ha ocupado, durante casi cien años, un papel exclusivo o predominante en las comunicaciones (líneas telefónicas y telegráficas). A frecuencias de microondas su interés es nulo por ser una estructura abierta y por tanto sujeta a radiación y a interferencias, por su atenuación comparativamente alta, y la dificultad de oblener impedancias características bajas (para Z,=500 y dieléctrico aire resulta D= 1,09d, es decir, conductores muy próximos).

Línea coaxial Está constituida por dos conductores cilíndricos concéntricos (fig. 3.Sc), lo que facilita la fabricación de cables flexibles ya que el conductor exterior se realiza con una malla de hilos finos trenzados sobre un núcleo dieléctrico (teflón o polietileno) que, al mismo tiempo, sirve para mantener centrado el conductor interior. La otra gran ventaja de esta línea es su carácter cerrado (los campos están contenidos en la zona comprendida entre los conductores) y por tanto su perfecto blindaje evita problemas de radiación e interferencias. Por esta razón su utilización es muy general desde muy bajas frecuencias hasta aproximarse a 50 GHz. Dada la simetría de la estruCUlra el cálculo de la capacidad es muy sencillo mediante técnicas elementales. Por la misma razón, la corriente está distribuida uniformemente en los conductores, y la resistencia unitaria resulta:

R = Rs (1. + 1. ) 2" a b

y, por tanto, la atenuación por pérdidas en los conductores:

120·21ta ln~ b

(3.95)

(3,96)

Para un diámetro fijo del conductor exterior, 2a, esta expresión es función del cociente x=alb. Se puede comprobar que toma valor mínimo para alb=3.59, valor que proporciona las impedancias características siguientes:

aire (f,= 1): Z,=76,70

teflón (f,=2,05): Zo=53,60 polietileno (f,=2,28): Z,=50,SO

Nótese que, en todo caso, la atenuación es inversamente proporcional al diámetro del cable y, por tanto, para tramos largos (por ejemplo, tendidos de distribución de televisión por cable) conviene hacer que éste sea lo más grueso posible.


100 Circuitos de microondas COIl lineas de trammisión

a) Línea de plaCQs paralelas (aproximación de campo uniforme)

1

~ 2

h l'

{-- w~

E ffff}t

b) Línea bifilar

D

d d

c) Línea coaxial

IL 2a

L-r:

e E o "

z. vpe

R, R = 2-

W

w h

¡s 120" h ce ¡s w

1 Y 3: liras conductoras 2: dieléctrico

Zo

R

Zo

60

¡s

120 h-¡( D) --cos -¡s d

ln~ b

R, (-!_ +~) 2" a b

Fig. 3.8 Tipos más imponantes de líneas con dieléctrico homogéneo


3 lineas de transmisión (lIJ. Pérdidas, dispersión y líneas más comunes

d) Linea triplaca (Stripline)

1

2

z, 30" K1(x)

.¡r; K(x)

x = m4~:)

K (x) = integral elíptica de primera especie = J; d<l> ,¡ 1 - X2 sin2

<1>

1 Y 3 : planos (conductores) de masa 2: dieléctrico 4: tira conductora

Expresiones aproximadas (error inferior a 10 ppm):

K'(x) = _1_ K (x) F(x)

donde

Fig. 3.8 (Continuación)

Xl::: VI-x2

101

Línea tri placa (Strip/ine) Las ventajas de esta línea, formada por una tira conductora centrada entre dos planos conductores (fig. 3.8d), son su carácter blindado y la facilidad de fabricar circuitos complejos mediante técnicas fotolito gráficas, ya que, en la práctica, la estructura está constituida por dos láminas dieléctricas metalizadas por una de las caras (conductores exteriores o planos de masa). De estas dos láminas una de ellas tiene, además, en la otra cara, la tira conductora central. La estructura se completa poniendo en contacto las láminas dieléctricas y apretándolas firmemente. Su mayor inconveniente se deriva precisamente de su carácter cerrado y la dificultad, por tanto, de


102 Circuitos de microonda,l' con líneas de transmisión

fabricar circuitos activos, que requieren la inserción de transistores, diodos, condensadores, etc.

La impedancia característica viene dada en función de integrales elípticas pero, en la práctica, las expresiones aproximadas de la figura 3.8d proporcionan exactitud más que suficiente en todos los casos (error relativo inferior a 10 ppm, es decir,IO·').

La resistencia unitaria es de cálculo muy complejo, por la distribución no uniforme de la corriente en la tira y en los planos de masa, por lo que la omitimos. Un valor aproximado para la atenuación se puede obtener interpretando esta línea (si W> > hl2) como dos de placas paralelas superpuestas.

3.8 Líneas con dieléctrico inhomogéneo

La presencia de un dieléctrico inbomogéneo o dos o más dieléctricos en una línea de transmisión supone, normalmente, la introducción de una mayor complejidad en el cálculo de la capacidad (impedancia característica) de la misma. Solamente en casos de gran simplicidad y simetría en la estructura de los dieléctricos resulta sencillo su cálculo. En todos los casos de líneas inbomogéneas hemos de tener en cuenta lo siguiente:

a) Como anteriormente, p.=p.o para todos los dieléctricos, y por tanto la inductancia unitaria L es la misma que s11a estructura estuviese vacía, L=Lv.

b) Ahora la propiedad LC=p.( no se puede aplicar, porque f no está definida de manera única.

Definiremos la permitividad (constante dieléctrica) efectiva ctf=crefo como:

La permitividad que debería tener un dieléctrico homogéneo para, ocupando él solo toda la estructura, proporcionar el mismo valor de capacidad unitaria.

Dc acuerdo con esta definición, si llamamos Co a la capacidad unitaria de la estructura vacía (sin dieléctricos), tendremos:

(3.97)

y por tanto:

(3.98)


3 LIneas de traJlSmisión (lI). Pérdidas. dispersión y lineas más comunes 103

a} Línea de placas paralelas

b) Línea coaxial

~ ~ ~ I ~ I ~

C

er~f :=

Resulta

(Condensadores en paralelo)

w[ W, e -+e -[h 2 h

C W

e e -o ~ h

Erl W1 +E r :2 W2 E W W • h

(C"=capacidad de la línea con dieléctrico aire)

1

1

C

(condensadores en serie)

1 1 -+-el e,

<1>1 el + <1>, E, 2n

h l hz h --+--g E1 W E2 W E~fW

e

~ In.': + ~ In" E2 b tiC e

In" b

Fig. 3.9 Introducción del concepto de pennitividad efectiva en líneas con dieléctrico inhomogéneo de estructura sencilla


104

En consecuencia:

1

'¡LC

e

J ere!

A

Circuito.l· de microondas con Ifneos de transmisión

(3.99)

Vp

I (3.100)

En el caso frecuente de dos dieléctricos diferentes, El y 122. e introduce el concepto de factor de llenado q, y q, de acuerdo con las condiciones:

(3.101)

Obviamente, estas definiciones pueden extenderse al caso de más de dos dieléctricos.

e) Si los dieléctricos tienen pérdidas:

el -J·e ll = e' (1 -J. tan o ) el el el el (3.102)

y por tanto:

(3.103)


3 Líneas de /ran.\mi.\"I·ón (JI). Pérdidas, dispersión y líneas más comunes


1 - plano¡ 2 '

105

(3.104)

Línea microtira (Microstrip) La línea microtira está formada por una tira conductora sobrc una lámina dieléctrica que en la otra cara tiene un plano de masa (fig. 3.10a) y cuya estructura es similar a la de la línea triplaca. La línea microtira tiene la ventaja, sobre la línea triplaca~ de estar abierta (útil para realizar circuitos activos) y su mayor simplicidad de fabricación. Es la linea de transmisión más utilizada para la realización de circuitos y, su uso, junto con la disponibilidad de transistorcs y diodos operativos a frecuencias de microondas, ha revolucionado ]a tecnología.

La capacidad se puede calcular con la ayuda de transfonnaciones conformes, si bien, en cste caso, debido a la inhomogeneidad del dieléctrico, es necesario introducir aproximaciones simplificadoras que hacen que las expresiones de la figura 3.10a no sean realmente exactas. En todo caso, su grado de error (:O; 1 %) suele ser inferior a la propia precisión de fabricación y a la exactitud del valor de permitividad.

La atenuación debida al dieléctrico, (Xv, puede calcularse de acuerdo con lo indicado más arriba: SI

asignamos el subíndice 1 al dieléctrico, 2 al aire y hacemos q¡=q, (3.101) Y (3.102) quedan:

',,¡ = q(', - 1) + 1 (3.105)

tanó,¡ = q (2] tanó, ere!

(3.106)

De (3.105) se puede calcular q, y tan O, en (3.106) se refiere al dieléctrico. La atenuación producida por los conductores, como en el caso de la línea triplaca, es de cálculo complicado y omitimos su cálculo.

Línea coplanaria En la línea microtira, los contactos a masa de los transistores, diodos, etc_, deben realizarse a través del substrato dieléctrico, perforando éste. Esto, en el caso de substratos duros (cerámica~ cuarzo) supone cierta complicación. Una alternativa a la línea microtira sin este inconveniente, y que encuentra cada vez más uso, es la fonnada por una tira conductora y dos semiplanos conductores (masa) equidistantes de ella y situados en el mismo plano (línea coplanaria, fig. 3.lOb).

Las consideraciones realizadas para (Xc Y (Xv en el caso de la línea microtira también se pueden aplicar en este caso.



a) Línea microtira (microstrip)

1 E + 1 • - 1 ( 10h)-C • "-'-+-'- 1+- ,

r~f 2 2 W

z. )~01t [ ~ + 1.393 + 0.667 ~~ + 1.444) r nI

(~ >1 )

(Para W/h=I ambas expresiones difieren en un 0.4%)

l. Tira conductora 2. Dieléctrico 3. Plano de masa

b) Línea coplanaria

2 Z. 301< KI(x)

JE", K(x)

W x "

W+2S

• +1 {[ h 1 xS } Enf" T tanh 0.775lnS +1.75 +-,;-[0.04-0.7:<+0.01(1-0.1',)(0.25 +x)]

K(x) = integral elíptica de primera especie definida en la figura 3.&1.

l. Tira conductora 2. Dieléctrico 3. Planos de masa

Fig. 3.10 Líneas de dieléctrico más utilizadas para la realización de circuitos de microondas


4 Circuitos re~'onanles 107

Capítulo 4 Circuitos resonantes

4.1 Introducción

Se presentan las propiedades de la resonancia en circuitos eléctricos poniendo énfasis en los conu.."Ptos de energías y de pérdidas, que nos serán de utilidad en lo sucesivo. En esta línea, se realiza una presentación sencilla del teorema del invariante adiabático, que permite derivar gran número de las propiedades de los circuitos resonantes sin necesidad de recurrir a la disposición concreta de sus elementos componentes (R,L,C).

4.2 Propiedades básicas

Consideremos el circuito de la figura 4.1 y las relaciones básicas que lo gobiernan. Se obtiene fácilmente que:

q(t) + Ú)~ q(t) = O 1

LC (4.1)

que con una elección adecuada del origen de tiempos tiene como solución:

(4.2)

Las energías almacenadas en la inductancia y el condensador valen, en cada instante:

Um(t) 1 Li 2 (t) 1 2 2 • 2 1 2. 2( ) -L<Ooqosm ("'ot) -qo sm (¡Jot 2 2 2C

(4.3)

u,(t) _1_ q2(t) 1 2 2 (4.4) - qo cos (<Oot) 2C 2C



i (t) .!!:..- q(t) ~ !jet) dt

L di lJ"d O L" 1_0 -+- 1 t~ .. q+_q-dt C C

Fig. 4. J Configuración y relaciones básicas en un circuito resonante sin pérdidas

q(tl, [v(tl] 11'" ... __ ,

, ----~ / /

r-~~--~/--~--~~--L-_t \ , ,

--~

í i (tl

u -------" , , , ,

\ \ , , , "

------.,..-------, , , , , , / , , ,

I \ \

\ \ , , , ,

t

Fig. 4.2 Variación de corriente, carga (tensión) y energías eléctrica y magnéticas con el tiempo en el circuito de la figura 4.1

L

R

(Gl

Gv(t) + C_ v(t) + _ v(l)dt ~ O d 1 J' dI L

1 e SI _ G+CS+_ = O LS

Fig. 4.3 Circuito resonante con pérdidas en paralelo con el condensador

y están representadas en la figura 4.2. Nótese que cuando um (o bien u.) se anula, la otra energía es máxima y están, por tanto, intercambiándose. Dado que el sistema carece de pérdidas, la energía total, u(t)=u.(t)+um(t), ha de ser constante y igual al valor máximo de Um o u, , lo que puede verificarse


4 Circuito.l' re.wnallte.l· \09

fácilmente a partir de (4.3) y (4.4).

Si consideramos a continuación la inclusión de pérdidas en la forma de una resistencia en paralelo con

el condensador (que puede representar, por ejemplo, las pérdidas en el dieléctrico de este último), se obtiene fácilmente para el exponente s (fig. 4.3):

s = - 2~ ± j ~ "'~ - 4~2 = -IX, ± j "'" (4.5)

de manera que, si escogemos adecuadamente el origen de tiempos, las señales en el circuito son de

la forma:

(4.6)

donde a úJnr la llamamos frecuencia natural de resonancia la cual, evidentemente, corresponde a las

oscilaciones libres del circuito.

Si ahora el circuito de la figura 4.3 está excitado mediante un generador senoidal de frecuencia f conectado entre los dos terminales indicados, se define la frecuencia de resonancia J,. como aquella para la que se cumple una dc las dos condiciones equivalentes siguientes:

a) La impedancia de entrada del circuito es real.

b) Las energías medias magnética, U m , Y eléctrica, Ve , almacenadas en el circuito son iguales.

La equivalencia entre estas condiciones se omite. Pero nótese que si Um = Ve la inductancia y la

capacidad intercambian sus energías entre sí exactamente sin que exista sobrante perceptible por el generador, que se limita a entregar la potencia disipada por la resistencia. Cuando la frecuencia no

coincide con Ir y U", yt Ve. el exceso de energía que predomina se intercambia con el generador, que

percibe, por tanto, una impedancia reactiva.

La utilidad de la condición b estriba en su carácter más general, desvinculado del concepto concreto de impedancia. Nótese además que!r se define en régimen permanente y no tiene por qué coincidiT,en

general, confllf ' que se refiere al circuito oscilando abandonado a sí mismo.



Volviendo al circuito de la figura 4.3, la aplicación de la condición b proporciona:

.! L 1112 4

de donde, igualando, resulta:

4,3 Factor de calidad y admitanCÍa

v , .!CIVI 2

4 (4.7)

En (4.5) Y (4.6) hemos supuesto implícitamente que G<2woC para hacer que el radicando sea positivo.

Normalmente es G< < 2w"C, en cuyo caso decimos que las pérdidas son pequeñas, interpretando G como las pérdidas (generalmente no deseadas) asociadas con el circuito resonante; en el caso de la figura 4.3, asociadas concretamente al condensador.

La cuantificación de las pérdidas de un circuito resonante se realiza a través de su factor de calidad Q definido, para régimen scnoidal permanente (es decir, con el circuito excitado con un generador senoidal), como:

Q = energía media almacenada I (4.8) potencia media disipada c.} _ {.},

En virtud de esta definición, para la figura 4.3 se obtiene:

v + V 2 V, 2.!C1V1 2

"'oC Q

m , 4 Ol,

PL "'. PL

"'. .!G 1V12 G ti> ~ (,),

2

(4.9)


4 Circuitos resonantes 111

De manera que la condición de pérdidas bajas se puede escribir como Q> > 1.

En función del factor Q, la frecuencia natural de resonancia queda:

(4.10)

A frecuencias de microondas lo habitual es trabajar con valores de Q que varían desde 100 o 200 hasta 5000 o 10000.

Obsérvese que incluso para un valor tan bajo en la práctica como Q=50 resulta:

(4.11)

y por esa razón, en la práctica no suele distinguirse entre 1, y!"" y se habla solamente de frecuencia de resonancia considerando esta como:

1 f. =~ o /Le

Si ahora calculamos la admitancia vista en bornes del condensador (fig. 4.3):

Y=G+jwC+ 1

= G + jwoC (:0 - :0 1 G(1.2jQA) jwL

!>. 1 (w W o ) (4.13) -

2 ú)Q (l)

(4.12)

Para frecuencias en la proximidad de la resonancia W o ' la expresión para A puede lincalizarsc:

(w -wo) (w +wo) " W -wo ,,5

2 wfJw wfJ (4.14)


112 Circuito.l" de microondas con l¡nea.~ de transmi.\Hm

y queda la expresión aproximada:

y = G (l + 2j Q &) , f = 1, (1 + &) (4.15)

Nótese que para 1=1" 1 YI tiene un IlÚnimo (IZI un máximo), y que el ancho de banda relativo W a 3dB, definida a partir de las frecuencias para las que IZI disllÚnuye en el factorV2 (fig. 4.4), es igual al inverso del factor Q del circuito, como puede calcularse fácilmente a partir de (4.15).

I z I R

R//J

y -

L e G f

y _ G(1 + 2jQo) IIQ

Fig. 4.4 Admitancia de entrada en un circuito resonante paralelo

4.4 Más sobre pérdidas

Hasta abara hemos considerado que las pérdidas en el circuito se producían en una resistencia en paralelo con la e y la L. Estudiemos que sucede en el caso de una resistencia en serie (figura 4.5). Se obtiene:

R s = :1- j w()

2L (4.16)

La frecuencia de resonancia en régimen permanente fr se calcula como en el caso anterior (generador entre terllÚnales):


4 Circuitos re.fOnQnte.~

Ri(t) +L~i(t) + ~ J '¡(t)dl = O di C

v

R L e

'-----H: ,------' eSI_R+LS+_1_ =0 Cs

Fig. 4,5 Circuito con pérdidas en serie

u, lc 4

Mientras que para el factor de calidad Q:

Las frecuencias de resonancia se pueden escribir:

w = ,

(4.17)

(4.18)

w~ o ~ <0-'

w,L R

(4.19)

(4.20)

113

Como anterionnente, ambas prácticamente coinciden con Wo en Ja mayoría de los casos, por lo que

también tomaremos:

w L 1 Q=_o_= __ R RwoC

(4.21)


114 Circuitos de microondas con lÍneas de trammú·ión

Por lo que se refiere a la admitancia de entrada al circuito de la figura 4.6a:

I

R = j w C + ----=-:--

1+( :J Q'

wL

. R' -J

I+(:JQ' (4.22)

expresión que, para valores de w próximos a w, y factor Q elevado, admite dos niveles sucesivos de aproximación:

y ~ jwC + I _...L. jwC + I

wL RQ' I

wL (4.23)

proporcionando el mismo circuito equivalente de la tigura 4.6. La demostración es similar para el caso del circuito de la tigura 4.6b.

a)

b)

I i

ti"

Fig. 4.6 Circuito equivalente aproximado para pérdidas en serie con la L o la C.


4 Circuito.l' resonante.{ liS

En conclusión, si las pérdida.;; son pequeñas y para frecuencias próximas a la de resonancia, las pérdidas en un circuito resonante paralelo pueden atribuirse a una resistencia en paralelo con la L y la C con independencia de donde se produzcan físicamente (fig. 4.7). Nótese también en esta figura cómo el inverso del factor Q del circuito es la suma de los inversos de eada resistencia considerada por separado, resultado también evidente a partir de la definición de Q:

1

Q (4.8)

ya que las pérdidas totales PL son la suma de las consideradas por separado a cada resistencia.

R P

L c R' llG'

por lo tanto l/Q G1/woC GlwQL l/Qc + l/Qp

QIL/c

Fig. 4.7 Circuito equivalente y valor del factor Q de un circuito resonante paralelo con pérdidas en diferentes sitios

Todavía podemos obtener más resultados sin atender a la estructura particular del circuito que conforma el resonador si hacemos uso de la propiedad de que, para Q elevados, W"=W,=w,, es decir, las frecuencias de resonancia son las mismas en régimen permanente y transitorio. En efecto, en ausencia de generador (régimen transitorio) y a partir de (4.8):

dU dt Q - U(t) (4.24)


116

I/Q = L I/Q¡

y(w) = Z'(w) ~ 1c(1+2jQO) Q~L


G' =- R s P

L' e

G' L

I/Q' = L I/Q'¡ (= I/Q)

_1 ~ L' (1 +2jQ'II) QI el

Fig. 4.8 Relación entre circuitos en serie y en paralelo utilizando el concepto de dualidad

de manera que las señales en el circuito son de la forma:

(4.25)

Es decir, formalmente, la aparición de pérdidas en el circuito resonante, con independencia de cómo y dónde se produzcan éstas, se traduce en una frecuencia de resonancia compleja:

Q = w (1 + L) o o 2Q

(4.26)

resultado de gran utilidad en el análisis de pérdidas en situaciones resonantes complicadas que no admiten un planteamiento analítico sencillo, como en el caso de cavidades resonantes.



Para ilustrar la utilidad del resultado anterior, consideremos un circuito resonante paralelo sin pérdidas, para el que:

Z(w)

jw

C jw L C C (4.27)

sabiendo que la última aproximación corresponde a frecuencias en las proximidades de la resonancia. La presencia de pérdidas en el circuito modifica el resultado anterior, cambiando w" por O,,:

Z(",) "

L C

2(°0-"')

L C

expresión idéntica a la (4.15) obtenida anteriormente.

[w~C 1 (4.28)

1 + 2jQo

Debe advertirse que, si bien hasta ahora hemos elegido un circuito resonante paralelo como modelo de trabajo, todos los cálculos y conclusiones pueden trasladarse a un circuito serie haciendo uso de

la dualidad entre ellos, tal como se resume en la figura 4.8.

4.5 Pertnrbación de un sistema resonante

Cuando un sistema resonante se perturba ligeramente, de manera que su energía media varíe en bU, su frecuencia de resonancia varía en ÓW", de manera que:

oU

U (4.29)

Vamos a verificar este teorema general, que se debe a Boltzmann y Ehrenfest, para el caso de un circuito L-C, cuando perturbamos el condensador (rig. 4.9). Suponiendo el campo eléctrico uniforme

(sin efectos de bordes).


118 Circuiros de microondas con lineas de transmisión

Q, o.S €oEoS E(t) = Ensenw,t

Q(t) QosenúlQt

F(t) ~ E(t) Q(t) 2

~E Q sen 2 w,t 2 n n

(F(t» JI' - F(t) dt T n ¡EnQn

Fig. 4.9 Modelo de sistema resonante empleado para demostrar e/teorema del invariante adiabático. S es la superficie de las placas del cotUiensador.

Si desplazamos lentamente las placas del condensador de manera que en cada instante la situación

pueda considerarse de equilibrio y no se produzcan cambios bruscos (de aquí el nombre de invariante adiabático de este teorema), el sistema realiza un trabajo medio:

6U <F> &1 ~E Q &1 4 • • ( .) (4.30)

siendo <F> el valor medio de la fuerza de atracción entre las placas y {¡/ el desplazamiento (fig.

4.9). Al mismo tiempo:

de manera que:

u = 2 U = 2 ~ E f lE l' dv e 4 Q Q

oU U

Ó /

21

~E E.'SI 2 •

(4.32)

(4.31)

(*) Nótese que oU es positivo porque al incrementar 1 un ól se realiza un trabajo contra la fuerza del sistema

y. por tanto, se aumenta su energía.


4 Circuitos resonantes

Por otra parte:

1

¡¡:c 10 "',

y modificando la expresión anterior para C:

0"'0 1 oC _l.1+) - -

"', 2 C 2 1 -1

_l (IoL +lnC) 2

1 01 - 1-- OU 2 1 2 U

119

(4.33)

q.e.d. (4.34)

Nótese que (4.30) se corresponde con el incremento de energía eléctrica producido al aumentar el

volumen donde existe campo eléctrico en la cantidad S'O/, observación que es útil para estudiar deformaciones de cavidades resonantes. Obsérvese también que si partimos de la expresión:

(4.35)

y suponemos que, durante la variación de C, I VI se mantiene constante (porque está conectado a un generador, por ejemplo), obtenemos:

(4.36)

que difiere en el signo de la expresión correcta (4.30). Esto es debido a que en este caso el generador

ha de suministrar una cantidad de energía bU, para mantener I VI constante durante la variación, de manera que:

(4.37)

Como ilustración elemental de la utilidad del teorema, consideremos un circuito resonante que pasa a tener pérdidas en la L y la C:


120

Es decir, que los valores de L y C varían:


,L -J-

QL

.C -J

Qc

(4.38)

(4.39)

(4.40)

(en el caso de la e, físicamente es como si el dieléctrico pasara a tener pérdidas y é se hiciese compleja). Si suponemos que durante la variación I VI Y IJI se mantienen constantes mediante generadores exteriores, a partir de (4.35) se obtiene:

. U 1 -J--

2 Q (4.41)

Como antcriormente, será ÓU, =-2ÓU, i ÓU=-ÓU" de forma que:

DU U

(4.42)

con lo que se obtiene para la nueva frecuencia de resonancia la expresión ya conocida:

Q e'" +0'" = '" (1 +....L) (J (J O () 2Q'

4.6 Resonancia en líneas

1 Q

1 1 -+-QL Qc

(4.43)

Para los circuitos L-C anteriores hemos definido dos conceptos de resonancia:

a) La situación que se produce cuando al cireuilO se le dota de energía inicial y se abandona a sí

mismo, caracterizada por su frecuencialn,(wnr).



b) En régimen scnoidal estacionario, la situación que, como respuesta a la excitación de un generador, se produce cuando Um = Uf' Esta situación se caracteriza por su frecuencia f,.(w,).

Hemos visto que, cuando no hay pérdidas, J~=J;/n y cuando existen, pero son bajas, f.. y fnf son tan parecidas que pueden tomarse sus valores iguales sin error importante. También hemos visto que la situación b es equivalente a requerir valor real para la impedancia de entrada del circuito.

Estos conceptos pueden extenderse a situaciones más generales que las de una red L-C y, en particular, a lineas de transmisión.

Consideremos de nuevo una sección de longitud R de línea ideal en cortocircuito. Anteriormente hemos comprobado que la impedancia de entrada tiene infinitos ceros e infinitos polos (irunitancia de entrada real, en este caso nula, fig. 2.17); es decir, tiene infinitas frecuencias de resonancia de acuerdo con la condición b.

Por otra parte, dado que el circuito es sin pérdidas y los polos y ceros de Z (o bien Y) está alternados,

admite los dos posibles circuitos equivalentes de la figura 4.10 (formas de Fostcr). El de a pone de manifiesto los ceros de Z, (w,,, frecuencias a las que e~n,,12 y el de b, los de Y (w",,, frecuencias a

las que t~(2n-l)"/4).

Los valores de los elementos dc los circuitos equivalentes pueden calcularse del modo siguiente:

para

Z, "j Z tan p º • j Z P º = j ~ L (iJ JLC º = j (iJ U o o C (4.44)

de manera que Lo~Lt.

Para w = wJn:

(4.45)


122

a)

O>-----¡ Zo,8 O

o

A I = n - (n = O, 1,2, ... ) 2

nnC nn

Lo = Ll

L,. 1. Ll 2

(n , O)

2CI Yo =2--

n1t w sn

(n , O)

CircuitoJ de microondas con líneas de tralZ.\"fflisiólI

b)

o~----------------

A (2n -1)- (n = 1,2,3, ... )

4

(2n-1)n

2¡¡:C I

1. CI 2

SLl

(2n - 1) n Yo

4 (¡) Sil

4Zo

(2n-1)'n' (2n - l)n w,.

Fig. 4.10 Circuitos equivalentes posibles para una sección de línea en conocircuito. El a pone de manifiesto los ceros de Z¡ , y el b los ceros de Y¡=Z¡J (polos de ZJ

con ó=/!"w/w,.. Para mró< < 1:

(4.46)

Al mismo tiempo, en las proximidades de WSII

todos los circuitos en serie de la figura 4.10a presentan una impedancia finita, excepto el formado por Lsn-CslI • para el que se hace arbitrariamente pequeña. Por tanto, del circuito equivalente:


4 Circuitos resonantes

Z . j(WL - _l~) = jw L (--",- - ú)'" l. 2jú) L i\ 1 sn W C .fn sn ú) W Sn sn

.~n .~n

expresión que, al igualarse con (4.46), proporciona:

n,,~ vLCQ

2n"

Cm se obtiene inmediatamente a partir de la condición:

1

lU 2

(4.49)

(4.48)

123

(47)

Los elementos del circuito de la figura 4. JOb se pueden obtener de manera análoga. Para este último circuito nótese que, cuando ~. se reduce a una inductancia de valor:

L'o L Lpi i=i

8U I: ,,2 n=i (2n-l)'

1 u = L o

resultado que coincide con el examen del circuito a cuando w->O.

(4.50)

Las conclusiones para el último caso de una línea en circuito abierto (fig. 4.11) son análogas.

Frecuentemente, el comportamiento de estos circuitos solo interesan en las proximidades de una determinada resonancia, en cuyo caso el circuito equivalente puede simplificarse considerando únicamente aquel circuito L-C que produce el cero o el polo en cuestión. Si además, como es normal, las resonancias de interés se limitan a las dos primeras, los circuitos equivalentes simplificados son lo que se recogen en la figura 4.12.

Para terminar este análisis, basado en la búsqueda de ceros y polos de inmitancias. nos resta verificar que para las resonancias halladas se cumple la condición Um=U, .


124

o>-----~o

0>-------<0

A I = (2n - 1) - (n = 1,2,3 ... ) 4

"',. (2n-I)1t

2 ¡u; 1

L,. lLl (2n - 1) 1tZ.

2 4w sn

8CI

(2n -1) lt "',.

Circuitos de microondas con lineas de trallSmisión

Y. =jY tan~l =j ~tan(W (LCI) 1 n ~L VJ

0>------_____ _

A (n =0,1,2,3 ... ) l=n-

2

C. = Cl

C .. lCI,= nlt Y ,

(n • O) 2 2w sn

Lpn 2L1 2Z.

(n. O) ---n 2

rt2

nlt '" ,.

Fig. 4.11 Circuitos equivalentes para una sección de línea en circuito abierto (véase la figura anterior)

En efecto, para la línea en cortocircuito (fig. 4.10) con el origen de las z situado en éste, tenemos:

Para f = ),,/4 (primera resonancia):

u, l CJ' 4 .::!, 4

1 V 12 dz = ~ 4 1 V<1

2 fA sin2 ~z dz 4

(4.51)

(4.52)

(4.53)

(4.54)


4 Circuito.l· resonantes 12S

~ t

~ ,

r 1 : I O O

Z z o o e o

L 4Zo L L

1[Z,

==n e

1['" • :J 4Ol, ¡ ", A

-¡¡-: 1[ Y, 4Y.

C C 4",. 1[ Ol o

L "Z o 2Z,

:J L L

~ '" A 2Ol. :n " Ol,

2: 2Y. TI Yo C C 1t Ol o 2w,

Fig. 4.12 Simplificación de los circuitos equivalentes de las figuras 4,10 Y 4.11 en las proximidades de las dos primeras resonancias

que teniendo en cuenta que Y,2=CIL resultan iguales.

En las restantes resonancias, f es n múltiplo de )-,/4, f = n)-,/4 , y el cálculo de U, y Um proporciona, de forma inmediata, n veces los valores (4.53) y (4.54), de manera que continúa verificándose la igualdad.

4.7 Resonancia y ondas estacionarias

En el apartado anterior, hemos analizado las resonancias de una sección de línea a través de su inmitancia de entrada (condición b). Alternativamente, podemos tomar el punto de vista a y

preguntarnos: si consideramos una sección de línea ideal con sus extremos en C.C., c.o. o uno en cada situación, aislada de cualquier otro sistema, ¿bajo qué condiciones podrán existir en las mismas distribuciones de tensión y corrientes no nulas?

Una respuesta posible resulta de considerar, por ejemplo, la distribución estacionaria de tensión y corrientes en una línea en c.c. (fig. 4.13). Para todos los planos que distan del C.e. un número impar de )-,/4 (A" A" ... ) la corriente 1 es nula y, por tanto,los conductores pueden cortarse sin perturbar


126

al

bl

[

o· ~ ..

A2

Á/4(+nA/2)

:J IVQI

Al

I 111 [vi

: Bl

Circuitos de microonda.~ con líneas de transmisión

Al A2

---7 == A/4 3 A/4

),,/2

A/2 (+nA/2) A/2(+nA/2)

o o

D O O

IÜJ yVI

Fig. 4.13 a) Obtención de secciones de línea resonantes paniendo de una distribución estacionaria de tensión y corriente

b) Elementos resonantes básicos. Sólo estan dibujadas las distribuciones de 111 y de 1 VI para los modos más bajos (n=O)

el sistema ni a la izquierda ni a la derecha (fig. 4.13a), con lo que se obtienen de esta manera trozos de línea aislados con distribuciones de corriente y tensión idénticos a los que tenían antes de ser cortados.



Análogamente, en los planos que distan n}.,/2 del c.c. (E" E" ... J, por ser la tensión nula, podemos conectar entre sí los dos conductores de la línea mediante dos hilos y posteriormente cortar como en

el caso anterior (fig. 4.13aJ. Ahora obtendremos trozos de línea con sus extremos en c.c.

De igual manera podríamos proceder partiendo de una línea en c.a .. llegando, en definitiva, a las tres

posibles situaciones básicas de la figura 4.13b, donde se han dibujado las distribuciones de 111 Y de I VI para los modos resonantes más bajos. Es evidente que, desde este punto de vista, hemos vuelto a encontrar las mismas resonancias del párrafo anterior.

Por otra parte, también existe una onda estacionaria con ceros de I VI Y de 111 si la impedancia de carga es puramente reactiva, ya que también produce una reflexión total. De manera que la

construcción de la figura 4.13 podríamos haberla realizado en este caso más general, sin más diferencia que ahora en la carga no habría ni un mínimo ni un máximo de I Vial 11 Y las secciones obtenidas no serían de longitud }"/4 o }"/l.

Podemos, por tanto, preguntarnos por las resonancias de una sección de línea con dos reactancias en sus extremos (fig. 4.14), ya que es una estructura sin pérdidas. La respuesta puede darse, en vista de las anteriores, interpretando la resonancia como una onda estacionaria atrapada entre las dos

reflexiones totales de los extremos. Si elegimos un plano de referencia cualquiera y denominamos Zo

y Z, a las impedancias vistas a la derecha y la izquierda, respectivamente, y v+ y V a las amplitudes

de las ondas positiva y negativa en el plano, tendremos, según miremos a la derecha o a la izquierda:

z -Z D o Z -z ¡ o (4.55)

V' V'

¡ z¡ + Zv = O

o bien

Zp ZD = ±joo

(4.56a)

(4.56b)

El cumplimiento de las condiciones (4.56a) y (4.56b) nos dará, por tanto, las resonancias del circuito.

Ejemplo 1 Consideremos de nuevo una sección de linea con sus extremos en c. c. y longitud f, para

la que ya sabemos que las frecuencias de resonancia son aquellas que hacen que R =n}"/2. Para aplicar las condiciones anteriores podemos elegir como plano dc referencia el de simetría (z = fl2, fig. 4.15a)


128 Circuiros de microondas con líneas de transmisión

~ t ~ V- Z -Z V· Z -Z D o ¡ o ---

QjX¡ ----,;. v+ P jX 2

V· ZD +Zo V- ZJ +Z(J

ZO ~ v-

~:---'> {Z¡+ZD=O Z1 ZD

ZPZD '" ±jO':J

Fig. 4.14 Obtención de las condiciones de resonancia para una sección de línea con cargas reactivas en sus extremos (circuito sin pérdidas), a partir de su interpretación como ondas estacionanas.

a) Plano z~f/2

0=0

b) Plano Z~O

z=~

±joo

Z,=O; Zn=jZotan{31

= ± 2

A (2n+l)-,1

4

No se puede cumplir

1

2 A ::: n-2'

A (2n+l)-2

1 = 2n A 2

Fig. 4.15 Obtención de las resonancias de una sección de línea con los exlremos en c.c. a partir de las condiciones (4.56a) y (4. 56b). El cálculo se realiza en dos planos diferentes



y obtenemos, de (4.56a), que e sea un número par de )",/2, y de (4.56b), que sea un número impar (fig. 4.15a). Otra opción es tomar como referencia uno de los extremos, por ejemplo z=O (fig. 4.15b). En este caso, (4.56a) proporciona la totalidad de soluciones, mientras que (4.56b) no se puede aplicar porque 2,=0 a causa de la elección del plano .•

Ejemplo 2 La situación de la figura 4.14 puede volver a considerarse en más detalle, como se resume en la figura 4.16. Nótese que tomamos 2,=1 por simplicidad.

a)

b)

...... ·0-------0 .. · . Z =1 Z =1 Z =1 : . o o o .

..... 0>--------0 ........ :

=> taniJ l -taniJ(l¡ + 1,)

plano z = O

con S = taniJ ¡

X¡ +X, X,X, - 1

jX¡ = jtaniJl¡

jX, = jtaniJI,

Resonancia: 11 + 1 + 12

taniJl¡ +taniJl,

1 taniJI¡ taniJI,

Fig. 4.16 Obtención de las resonancias del circuito de la figura: a) directamente;

jX2 + jS

1 +jXJS

= taniJ ¡

b) substituyendo las cargas reactivas por secciones de líneas en cortocircuito


130 Circuitos de microondas con tillea.~ de trammisión

La solución general está descrita en la figura 4.l6a, resultado de la aplicación literal de (4.560).

Alternativamente, podemos substituir las reactancias jX1 y jX2 por secciones de la misma línea de transmisión (Z"~ 1) en c.c. que proporcionan valores equivalentes, y obtener las resonancias de la línea resultante, de longitud U+f,+R,), a partir del resultado conocido quc es un múltiplo de A/2 (fig. 4.16b) .•

Ejemplo 3 Cuando hay involucradas varias líneas de características diferentes, como en la figura 4.17, puede apreciarse mejor la utilidad de las expresiones (4.560) y (4.56b). En efecto, en el caso de la figura, de (4.560) se obtiene sin esfuerzo:

(4.57)

Por otra parte, 56b proporciona las ecuaciones:

(4.58)

el cumplimiento simultáneo generalmente es imposible (es decir, no proporcionan ninguna solución) a menos que el cociente entre f ¡/c l y fic'l sea un número racional .•

f [,

1E ~2

1 ZI+ 20=0-

I ZOl' SI : Zo2,B 2 I - ZOltan.6¡l] +ZQ2tan,8212 O

Zr --J~ ZD

± <X> (imposible en general)

Fig. 4.17 Cálculo de la resonancia de la estructura dibujada, fomuula por dos líneas de transmisión diferentes.



4.8 Efecto de las pérdidas

Cuando la línea tiene pérdidas (bajas). es necesario rehacer los cálculos que proporcionan los valores de los elememos de los circuitos equivalentes de las figuras 4.10,4.11 Y 4.12. Volviendo al ejemplo

de sección en línea en C.C.:

--=tanh==,,-,:-º _+Lj -=tan=~:..:Q...,. Zo -:: 1 +jtanhed 'lan~º

(4.59)

Si las pérdidas son b<\ias:

aO" 1 = (anhaO e aO (4.60)

y si estamos en las proximidades de la n-ésima resonancia en serie:

nn «>,,(1+0) ~º= nn(1 +0) (4.61)

-- tanJH = tan(nn +nnó) = tannnó ¡;,; nnó (4.62)

La última aproximación se ha hecho considerando n1ro < < 1. De manera que:

Z, e Z, aC+jnnó

l+jaOnno e Z.(aO+jnno) = Z aO(1 +jnn o)

• aO

Esta última expresión puede escribirse de la forma:

Z, = R,,(l +2jQ,,0)

donde nn

2aO (4.64)

(4.63)

que corresponde a la impedancia de entrada de un circuito resonante en serie con pérdidas.

Los valores de R~n Y QSII son consistentes, puesto que:

nn

2cd (4.65)


132 Circuitm de microondas con Uneas de transmisión

Por otra parte, el valor de Q" puede escribirse:

(4.66)

Esta expresión para el Qm es independiente de n, es decir, del orden de la resonancia, y puede comprobarse que también es válida para las resonancias en paralelo, así como para una sección de línea en circuito abierto.

En consecuencia, cuando la línea tiene pérdidas, los circuitos equivalentes de las figuras 4.10, 4.11 Y 4.12 han de modificarse introduciendo resistencias de valor adecuado en cada circuito resonante~ de manera que proporcionen un valor de Q ~ (3/2a.

I( t 1 lE ~ 1 : I

o o

o o Zata,S Zo,a,B

1 A :R} R Z, ~ - "4 al R = Z,al

~ R

L

A ~ :mR Z, - "2 ~

e R = Z,al R al

R

En todos los casos Q~{J/2",

Fig. 4.18 Modificación de los circuitos equivalentes de la figura 4.12 para el caso de pérdidas en la línea. Los valores de L y e son los mismos de la figura 4.12

Es instructivo volver a obtener los resultados anteriores por el procedimiento aproximado de calcular las pérdidas a partir de las distribuciones de tensión y de corriente en el caso ideal sin pérdidas.



Volviendo a los ejemplos de líneas en c.c. o en c.a. indiferentemente:

1 RY; r' (IV'1 2+ IV-1 2

± 2IV'V Icos2pz) dz I

2 "

[

± = ce J

+ = CO

(4.67)

Cuando la sección de la línea es un múltiplo entero de '-/4, como en los casos resonantes que nos ocupan, y solamente en este caso:

r' eos 2 p z dz = O "

(4.68)

y, en consecuencia:

(4.69)

donde hemos definido PL ± :

(4.70)

como las potencias que disiparían, por separado, las ondas positiva y negativa.

Análogamente, podemos poner:

u = U· + U-m m m U=U'+U- (4.71)


134 Circuitos de microonda.I' con linea.I' de frammisión

Por otra parte, para un C.C. o un c.a. es 1 V'I = 1 V '1 y, en consecuencia:

(4.72)

Con todas estas expresiones podemos calcular el factor Q de una sección múltiplo entero de l\/4:

Q U 2U' W

O vEU+ Ú>O p+

'" "'a ---ap 2P¡ VE p' VE p' l. L L

(,l a Vp 1 Vp .1... Vp .1... ----- (4.73) v

p VE p' VE 2a Vg 20: 2_L_

2P'

En estos cálculos hemos hecho uso del concepto de velocidad de propagación de la energía, (vE=v,),

y de la expresión de o: en función de PL + Y P+. Para el caso de línea no dispersiva vp=vg=c, y (4.73) se reduce a (4.66).

Ejemplo 1 Consideremos el circuito de la figura 4.19. La condición de resonancia se obtiene inmediatamente (véase la misma figura); sin embargo, en el caso de pérdidas, la expresión Q=(3/20/

no es válida puesto que abora el condensador Ca contribuye a almacenar energía. Por tanto, para calcular Q es preferible la energía magnética Um:

1 fa 2 1 2 '2fa 2 U ~ 2 U ~ 2 - L ITI dz ~ - L Y IV 1 cos ~ z dz~ m 4 _~ 2 o _~

1 21

'12fa -LYa V (1 +cos2~z) dz 4 "

(4.74)



z, C

O ..LL-,----___ -----.J L zo'c z--l z=o

=> {31 o tan- 1 [W~o J ~ 1< ),,/4

Fig. 4.19 Circuito resonante del ejemplo 1.

La potencia disipada la calculamos evaluando (4.67) en el intérvalo (-E ,O) Y teniendo en cuenta que

IV'I=IVI:

(4.75)

(4.74) Y (4.75) nos permiten escribir inmediatamente la expresión del factor Q .•

Ejemplo 2 En la expresión (4.73), obtuvimos un resultado referido a una línea dispersiva. Cabe preguntarse cómo hemos de modificar todos los resultados anteriores en el caso de dispersión, y en particular, los circuitos equivalentes.

Para una línea dispersiva:

w (4.76)

En las proximidades de una resonancia (wo,{3o):

Pol+A pI o Pol+ :~I Awq o ~o

(4.77)


136 Circuitos de microonda!; con ltllea.~ de transmisión

Esta expresión se diferencia del argumento de (4.45) en el factor V/vg que acompaña a ó. Por tanto, si la línea tiene dispersión, todos los elementos L y C de los circuitos equivalentes obtenidos anteriormente han de ser multiplicados por vjVg~ que ahora son dependientes de la frecuencia.

Debemos hacer lo mismo con la expresión del factor Q, como ya encontramos en (4.73). Sin embargo, los valores de los elementos resistivos equivalentes de las pérdidas no se modifican. En efecto, para un circuito resonante serie, por ejemplo, teníamos ant.es:

(4.78)

y ahora:

(4.79)

Ejemplo 3 La expresión para el factor Q de una sección de línea toma la forma explícita:

1

Q 2" P

2 R G IL

IT+2~C

2 -C

R G -+--wL wC

Es decir, el factor Q de la línea coincide con el factor Q de su célula elemental (fig. 3.ta) .•

•


5 CircuitO,I' de microondas (/). Propiedades generales. Redes de dos accesos (cuadripolos) 137

Capítulo 5 Circuitos de microondas (1). Propiedades generales. Redes de dos accesos

5.1 Introducción

H igtóricamente, la teoría de circuitos de microondas surge por la necesidad de dar un tratamiento sencillo a los sistemas en guía de ondas y cavidades resonantes, que inicialmente solo son tratables a través de su descripción electromagnética completa.

Para nosotros, que obviamos estos temas, la tarea consiste en incorporar las líneas de transmisión. Dado que su funcionamiento viene descrito en términos de tensiones y corrientes, la tarea no es complicada; pero la peculiariedad de su comportamiento (ondas positivas y negativas, coeficientes de reflexión, etc., sugiere una descripción nuevat denominada parámetros de dispersión o parámetros St que pone de manifiesto de forma evidente los aspectos de propagación del circuito que se estudie.

La importancia de estos parámetros S es muy grande ya que, como veremos, su medirla puede hacerse de manera más directa y sencilla que la de impedancias o admitancias, y posteriormente permitirán incorporar fácilmente las guías de onda, las cavidades y otros elementos al mundo, bien conocido por todos, de circuitos equivalentes analizables en términos de tensiones y corrientes.

5.2 Defiuiciones y propiedades básicas

Por el momento consideraremos como circuito de microondas el circuito formado por elementos pasivos concentrados (R,L,C), dispositivos activos (transistores, diodos) y líneas de transmisión. Estas últimas son las que tienen en cuenta el retardo debido a la velocidad de propagación finita; dicho de otro modo, los efectos de retardo serán tenidos en cuenta exclusivamente mediante la presencia de líneas de transmisión, tanto formando parte del circuito, como para transportar las señales desde el circuito o hacia el mismo.


138 Circuito.l" de microondas con líneas de transmisión

Dado que las líneas de transmisión son elementos pasivos lineales y recíprocos. las propiedades genéricas de los circuitos de microondas así definidos son las mismas que las de los convencionales.

Recordemos, en todo caso, que una red recíproca es aquella en la que el intercambio entre un generador y un medidor, ambos sin impedancia, no produce modificación de la lectura del segundo, Asimismo es cierto que todas las redes pasiva~ son recíprocas; sin embargo a frecuencias de microondas existen dispositivos (aisladores, ciTeuladores) formados por materiales magnéticos (ferritas) que son pasivos pero no recíprocos,

Es importante recalcar que la conexión de nuestro circuito con el exterior se realiza exclusivamente mediante líneas de transmisión, que denominaremos accesos (en inglés port), En cada una de estas

líneas es necesario fijar un plano de referencia donde mediremos las tensiones y corrientes, {VI' Ji

, i=l, 2, ,.,), que servirán para describir las propiedades de la red o circuito (fig, 5,1), con el

convenio de tomar como positiva la corriente si entra en la red. De esta manera, una rcd de N accesos viene descrita por las 2N variables {V¡,/,¡ de las que solamente la mitad son independientes,

La descripción más frecuente de la red es a través de sus matrices de impedancias o admitancias:

[V] [Z][I]

[lJ [Y] [V]

[ZJ (5,1)

donde [VI y [ll son matrices columna (vectores) uc dimensión N, y [ZI y [Y1 matrices cuadradas NxN:

V, I,

V, I2 Z" Z'2 Z'N

1 V] [I] = [Z] Z21 Z22 Zm

etc. (5,2)

ZNl ZN2 ZNN

VN IN


5 Circuitos de microondas (1). Propiedades generales. Redes de dos accesos (cuadripnlos) 139

a)

1¡ :::::,....

"-"-

V¡ l' \

/ /

b)

~:V.+ : 1

-:- v·-RED

\ :(PRi)

:! Vi

-

- Vi , Ji : definidas en el plano de referencia i (PRi)

- Ji positiva si fiuye hacia la red

li

- Vi -1 Z(Vi -ZoJi)

1 Z(Vi -Zj,)

Fig. 5.1 a) Definición de tensiones y corrientes en los planos de referencia de los accesos la red b) En cada línea de acceso se toma como onda positiva la que se dirige hacia la red

También se pueden definir matrices híbridas, que relacionan vectores mixtos, formados por tensiones y corrientes.

Las matrices [ZJ y [YJ, sin embargo, a frecuencias de microondas presentan los siguientes inconvenientes:


140 Circuitos de microondas COIl ({'leas de rransmisión

a) Un desplazamiento de los planos de referencia produce cambios en los valores de Vi y Ii gobenmdos

por expresiones no triviales (considérese, por ejemplo~ la variación de la impedancia a 10 largo de una línea de transmisión) y, por tanto, modificaciones profundas en la forma de la, matrices. De manera que puede resultar muy dificil identificar dos redes idénticas pero con planos de referencia distintos.

b) Los elementos Zij y Yij se miden con circuitos abiertos o cortocircuitos en los planos de referencia, y a frecuencias de microondas:

b.l) Es difícil producir buenos circuitos abiertos (una línea en circuito abierto tiende a radiar energía, y por tanto presenta una ¡nmitanda Hnita);

b.2) Aunque puedan lograrse buenos cortocircuitos y circuitos abiertos, no siempre es posible situarlos en el plano de interés;

b.3) En el caso de dispositivos activos, un cortocircuito o circuito abierto puede producir daños irreversibles, oscilaciones tI otros efectos indeseados,

5.3 Matriz de dispersión

Los inconvenientes anteriores se eliminan si, en lugar de utilizar las tensiones y corrientes en los planos de referencia para describir la red, utilizamos las amplitudes de las ondas positiva y negativa de tensión:

Vi V: + Vi - (5.3)

Ti Y" (V: - Vi -) (5.4)

De esta manera disponemos también de un conjunto de 2N variables {Vi+, Vi, i ~ 1,2 ... H} relacionadas linealmente con las {Vi' Ii , i~I,2 ... H}.

Antes de proseguir es necesario introducir los siguientes convenios:

1) Tomaremos como ondas positivas, en cada acceso, las que se dirigen hacia la red (lIg.5.1b).

2) En lugar de las tensiones y corrientes ordinarias manejaremos valores norm.:1.lizados definidos mediante:


5 Circuitos de microondas (1). Propiedades generales. Redes de dos accesos (cuadripolos) 141

Y.+ V' ¡y;, Vi , V: bi

v- Ji V (5.5) ai , ¡z:, , , '¡Z'i

(JI [

¡+ , = ¡z:, ¡' ., , y+ , r , ¡z:, I¡- - v-, (5.6)

de manera que

Vi ¡y;, Vi Ii ¡z:, Ii (5.7)

p: IV:I' ~ IV;' 12 ~Ia,¡' P, ~ IY i-1

2 ~lb'¡2 (5.8) , 2 ZOi

En función de estas variables definiremos la matriz de dispersión (en inglés. scattering). I Si,l. mediante la relación:

a2

[b] - [S] [a] (5.9)

que proporciona las amplitudes (normalizadas) de las ondas negativas o renejadas en función de ¡as amplitudes positivas o incidentes.

En lo sucesivo, y mientras no exista riesgo de confusión, prescindiremos de los corchetes para denotar

matrices y escribiremos

b Sa, V- SY', etc. (5.10)

De acuerdo con la definición, los elementos Si; vienen dados por:


142 Circuitos de microondas con líneas de trammÚ'ión

Si¡ b, V,

(5.11) a, ak~O (hi)

v· v; =0 (hi) ,

Sji

bj Vj (5.12) a, V.+ Qk=O (h'í) , v; =0 (kii)

La condición ak=O en el n-ésimo acceso se consigue, en general, situando algún plano del mismo una resistencia de valor igual a la impedancia característica de la línea (figura 5.2a). En estas condiciones diremos que el acceso n-ésimo está terminado (terminación se suele utilizar como sinónimo de carga adaptada a una línea), concepto que no debe confundirse con el de acceso adaptado que reservaremos para cuando S,,=O.

Con esta nomenclatura, las definiciones (5.11) y (5.12) de los elementos Sij tienen el significado:

1) Su es el coeficiente de reflexión visto desde el plano de referencia i-ésimo cuando situamos en cslc acceso un generador y lodos los demás eslán lerminados (fig. 5.2b).

2) Sji es el coeficiente de transmisión (señal saliente en el plano de referenciaj dividido por la señal entrante en el plano de referencia i, en la misma situación anterior, es decir, con un generador en el acceso i, y todos los demás terminados figura S.2b).

Este significado de los elementos Sij , además de proporcionar su procedimiento de medida, pone de manifiesto la desaparición de los inconvenientes señalados en el párrafo anterior para las matrices Z y Y, puesto que:

a) Un desplazamienlo de planos de referencia produce solamente cambios de fase de las amplitudes de las ondas positivas y negativas y, por tanto, solamente cambios de fase

en los valores de Sij'

b) La condición de acceso terminado es independiente del plano donde se sitúe la

terminación, Por lo que se refiere a dispositivos activos, la medida se realiza en condiciones de carga resistiva, menos peligrosa que con un cortocircuito o un circuito abierto.

La consideración a puede precisarse de la siguiente manera: Supongamos que desplazamos todos los planos de referencia alejándolos de la red de manera que (Hg. 5.2e):


5 Circuitos de microondas (1). Propiedades generales, Redes de dos acce.w}'" (cuadripojos)

a)

b)

k o 1,2,3. N

b ' k

aK~O

RLK~ZOK d RED

~

(PRi-l.!-''"

(PRK)

- --

(PR i+'!) ~ :¡-

/

(pAj) I

/

(5.13)

(5.14)

c)

143

(PRK' ) (PRK)

Fig. 5.2 a) Definición del concepto de terminación de un acceso (colocación en la linea exterior de una carga adaptada o terminación) b) Situación utilizada para definir los parámetros Sü y Sjl

c) Desplazamiento del plano de referencia en el acceso k-ésimo


144 Circuitos de microonda,\' con líneas de transmisión

En estas condiciones, tendremos:

Sli¡ b l b, e -2j$¡ S .. e- 2j4J,

, al a, " ,

a 1k -o al: -O

(5.15)

S 'ji b l b

j e -)($, + /flJ) -}(41,-4lj ) -' Sjl e al a, , a' K-O uK-O

(5.16)

Ejemplo La figura 5.3 muestra el cálculo de una red sencilla (un cuadripolo en nomenclatura convencional, o 2-accesos) formada por una admitancia conectada en el plano de conexión de dos líneas de impedancias características diferentes, Tomaremos como planos de referencia a la entrada y la salida del plano de conexión, si bien, para facilitar el dibujo, éste normalmente se desdobla en dos unidos con conexiones ideales sin retardo.

La misma figura indica el procedimiento del cálculo: primero se termina la salida (es decir, se carga con su impedancia característica: nótese que al no haber onda rellejada por la terminación, la elección

de plano de conexión es irrelevante) y se calculan el coeficiente de reflexión a la entrada y S21. Para éste último es necesario establecer una relación entrada-salida, que en este caso es trivial (continuidad de tensiones).

El procedimiento se repite situando a continuación una terminación (nótese, diferente de la anterior) en la línea de entrada .•

5.4 Propiedades de la matriz de dispersión

Si la red es pasiva (aunque no sea recíproca):

(5.17)

ya que Su es un coeficiente de ret1exión, y en las condiciones de definición S;¡ (fig. 5.2b):

(5.18)

ya que la potencia que sale «1/2) I by) no puede ser mayor que la entrante «1/2) la, 1')·


5 Circuiros de microondas (IJ. Propiedades generales. Rede~· de dO.I· accesos (cuadripolos) 145

a)

V¡ <-

RG~ZoI ZOJ

Y, Pi

~2

i

v+ +- ~ -> V 2

~ ¡ Z02

;J Po

Yol

- y - Yo2

y + YOl

+ Y02

2¡Y;;Y:; Y + Yol + YQ2

lH b)

+ V, -> V J <-

Ht Z01

h P. Y. l, l

s"

....... V2

Z02 J

YOl

- y - Yol

y + Yol

+ Yo2

2,¡y:y:, Y + YOI + Yo2

~~Z02

Fig. 5.3 Cálculo de la matriz de dispersión de una red (cuadripolo) elemental a) Situación, con la salida terminada, para el cálculo de Sil y Su b) Situación, ahora con la entrada terminada, para el cálculo de 8" y 8]2

(Las lineas de trazo sencillo representan conexiones ideales, sin retardo: es decir, la entrada y la salida corresponden al mismo plano físico).



Si además de ser pasiva la red no tiene pérdidas, la potencia entrante y la saliente, con generadores arbitrarios, han de ser iguales:

Pero:

N L Ib,l' - (b;,b; ... b~) i = 1

(5.19)

[b]' [b] = b' b (5.20)

donde el signo + significa matriz adjunta o conjugada hermítica, y es igual a la conjugada compleja de la transpuesta:

A' (A ')' (5.21)

Por tanto, podemos volver a escribir (5.19):

- a'(S'S-I)a=O (5.22)

donde 1 representa la matriz unidad de orden NxN. Como (5.22) ha de verificarse para cualquier vector a arbitrario (podemos canlbiar sus componentes a voluntad manipulando los generadores exteriores), se sigue la condición de unitaricdad:

S' S = 1 ; S' = S -1 ; SS' 1 (5.23)


5 Circuitos de microondaJ (1). Propiedades generales. Redes de dos accesos (cuadripolos) 147

Es decir:

Stl S;I S;1 Sil SI2 SIN O O

SI; S2*2 S;2 S21 S" S2N O 1 O

S·S (5.24)

Sl~ S2~ S~N SNI Sm SNN O O 1

IS1212+ IS22 12 + ... + ISN2 12

(5.25)

(5.26)

o lo que es igual, el módulo de cada vector columna de S vale la unidad, y el producto escalar de un vector columna por otro paralelo es cero (si hubiéramos partido de S·S+ = 1 en lugar de S 'S= 1, habríamos obtenido las mismas conclusiones para vectores fila en lugar de columna). Esta condición de unitariedad proporciona un número muy elevado de ecuaciones, evidentemente no todas independientes. Pero en todo caso imponen fuertes restricciones en el número de parámetros Sij libres (es decir, que puedan elegirse arbitrariamente).


148 Circuitos de microondas con lfneas de rransmisión

Ejemplo I Consideremos un 2-aceesos (euadripolo) pasivo y sin pérdidas (pero no necesariamente recíproco). Pongamos:

lal,lbl,lcl,ldl < 1 (5.27)

En virtud de la unitariedad:

1 (5.28)

de manera que podemos escribir:

( '" coste'¡ [S] =

sin 't' ej'h (5.29)

También por unitariedad:

(5.30)

con lo que nos queda, finalmente:

(5.31)

expresión más general para el cuadripolo en cuestión. Nótese que de los 8 parámetros iniciales (4 números complejos) solamente cuatro (7, 1>1> 1>, i 1>,) son libres .•


5 Circuitos de microondas (IJ. Propiedades generales. Redes de dos accesos (cuadripolo.\)

Nos quedan por establecer las relaciones entre la matriz S y las Z y y.

Si definimos las matrices diagonales:

~ O O [Y:¡ O O

{Z. O IZo, O

'¡Yo = ('¡Zo)1 O [Yo, O

O .¡ ZoN O J YoN

podemos volver a escribir las relaciones (5.5), (5.6) Y (5.7) de la manera siguiente:

a=V"=.jY;,V' b=V-=.jY;,V

v - F. V

1 (5.33)

Se pueden definir matrices de impedancias y admitancias normalizadas:

V = ZI 1 = YV

relacionadas con las ordinarias mediante:

Por otra parte, tenemos que:

V=V'+V =a+b=(l+S)a

- . 1 Y = Z- (5.34)

(5.35)

2a V+[ = (2+1)1

2b = V-[ = (Z-l)[ (5.36)

149

(5.32)


150 Circuitos de microondas con lineas de lran.\'misi/m

es decir:

v = (l +S)(l-Sr l ¡ 2 = (1 +S) (l-Sr'

b = (Z-l)(Z+lr'a s - (Z -1)(Z + 1)' (5.37)

y análogamente:

y = (l-S) (l +Sr' (5.38)

Estas relaciones son fáciles de recordar ya que, en el caso de dimensión 1 (N= 1, red de I-acceso), la matriz S se reduce a un escalar que coincide con el coeficiente de reflexión p, y en este caso:

2-1 P

2+1

1-Y

l+Y - l+p 2 =--

1-p 1-p Y= -l+p

(5.39)

Al mismo tiempo, debe observarse que en (5.37) y en (5.38) los productos de matrices conmutan; en efecto, tomemos, por ejemplo:

= {[Z]+¡ll}'I{[Z]+[11-2[lJ} = (Z+ 1)'1 (Z-l) (5.41)

Si la red es recíproca, sabemos que 2 y Y son simétricas:

2 = 2' y = y' (5.40)

lo que implica la simetría de 2 y Y:

Z' = (¡y: 2 ¡Y:)' = ¡y: 2 ¡y: = Z , etc. (5.41)


5 Circuitos de microondas (1). Propiedades generales. Redes de dos accesos (cuadripofoJ) 151

y la de S:

(5.42)

Esla propiedad de simetría de la matriz S cuando la red es recíproca es muy importante porque reduce el número de parámetros a medir o calcular en la red. Si ésta. además. es sin pérdidas. la reducción es todavía mayor .•

Ejemplo 2 Si en el ejemplo anterior (euadripolo pasivo sin pérdidas) hacemos que también sea recíproco, si matriz S queda reducida a:

(5.43)

Si además el cuadripolo es simétrico. es decir. si Sil ~S22. entonces </J,=2</J,-</Já7r - </J,=</Já7r/2 y:

(5.45)

Nótese lo siguiente: cualquier cuadripolo recíproco y sin pérdidas puede convertirse en simétrico mediante un cambio de planos de referencia. En efecto. si alejamos el plano 2 la longitud E, tal quc (3,f2~</J2-=</J,-</Já7r/2. (5.44) cambia a:

s'

(5.46)


152 Circuitos de microondas con lineas de lransmi.l'iúll

Todavía más, si ahora movemos los planos I y 2 de manera que 1,']=1,',=1>,12, (5.46) queda:

[

COST

Si =

±jsin -r

ijSin t

(5.47)

COS t'

que es la expresión general de la matriz S para un cuadripolo recíproco y sin pérdidas referido a aquellos planos de referencia que hagan que Sll y S21 sean reales .•

Ejemplo 3 Comprobemos como ejercicio los resultados anteriores para la red analizada en el ejemplo del apartado 5.3 (fig. 5.3). Teníamos:

Yo]-Yo2- Y

y + Yo1 + Yol

2/Y"IY"' y + Yo1 + Yo2

y -y -y (Jl al

(5.48)

La verificación de reciprocidad (5.43) es automática. La identificación con la forma (5.47) no es tan evidente cuando la admitancia Yes reactiva (cuadripolo sin pérdidas), Y=jB:

Yo1

- Yol

-jB

Yol +Yol+jB

IS '" t·, ( - B ) t -, ( B ) .:::1..1 - '1'1 - an - an Yo1 - Y"2 Yol + Yo2

Se comprueba fácilmente que

C081' (5.51)

(5.49)

(5.50)


5 Circuitos de microondas (1), Propiedades generales, Rede.s de dos accem,\' (cuadripolos) J53

¡SIl 4 Yu1 Yu2 1 -¡Sll¡' l-cos2 -r sin2 -r (5.52) (Y +Y )2 +B' 01 02

I~ tan-Ir B 1 Yo] + Y02

<1>2 (5.53)

I~+I~ (5.55)

• 5.5 Redes de dos accesos

Las llamaremos más brevemente 2-accesos y se corresponden con el concepto familiar de cuadripolo. Su definición en términos de matrices de impedancias o admitancias admite, en el caso recíproco, los conocidos circuitos equivalentes de las figuras 5.4b y 5.4c. Recuérdese que cuando manejemos parámetros de dispersión o tensiones y corrientes normalizadas es esencial conocer las impedancias características de referencia a la entrada y la salida, Znl y Z02'

a)

e)

-Y12

Yll+~+Y12

b)

I=Y·Vo bien [=y-v

Fig. 5.4 Definición de las magnitudes básicas de un 2-accesos (cuadripolo) y circuitos equivalentes en T y en " en el caso de reciprocidad.


154 CircuitM de microoudas con lineas de trammisión

Una propiedad conocida de las matrices Z y Yes que permiten el cálculo directo por suma de las matrices de cuadripolos conectados en serie (fig. 5.5a) o en paralelo (fig. 5.5b). Veremos más adelante que el cálculo de matrices globales de cuadripolos en cascada puede realizarse mediaote el

producto de matrices, lo que permite establecer procedimientos de análisis muy potentes de redes complejas mediaote la manipulación de matrices.

a)

, -+

1 1 12 +-

tVl 1 Z '1 1V~

SI -+ ~ 12

t ~1 t 2

jv" 1 z" I

1 = [;J V = [~:]

// = ¡tI

[Vil + V;I ]

VI! V" 2 + 2

V' + VII

b)

~

V = [~J = VI V"

1 = [/,] = [Iil + 1;1] = I' + J'I 1 1" 1" 2 2 + 2

= yl I I + y" /" = (yl + Yl! ) 1 = YI

Fig. 5.5 La f1Ullriz Z de 2-accesos en serie (a) es la SUf1Ul de las f1Ullrices componentes, y lo mismo

sucede con las f1Ullrices Yen el caso de conexión en paralelo (b).

Ejemplo 1 Calculemos la matriz de admitancias de una sección de línea de traosmisión de longitud f y admitancia característica Y, (fig. 5.6):

(5.56a)

/, (5.56b)


5 Circuito.~ de microondas (IJ. Propiedades generales. Redes de dos accesOJ (cuadripo[m) 155

Inmediatamente, obtenemos:

(557)

Para Y12 tenemos:

Pero cuando V, =0 (cortocircuito a la salida) las distribuciones de Vy I en la línea, con el origen en

el acceso 2, son:

Vez) = -2jV'sin(pz) VI = V(-I) = 2jV'sin<l> (5.58a)

I(z) = 2 V·Y.cos(pz) 12 -/(0) -2 V·Y. (558b)

y obtenemos inmediatamente:

jY (-COS<l> y = __ o

sin<l> 1 (5.59)

I I [Y]

T ] . sen</> [

-cos</> 1 ]

1 -cos</>

Hg. 5.6 Sección de línea de transmisión de longitud f y matriz Y


156 Circuitos de microonda,l' con líneas de transmisión

De manera análoga, o bien por inversión de Y, se obtiene la matriz de impedancias:

Z --jZ,

sinq, (cosq, 1)

1 cosq,

El ejemplo anterior presenta dos situaciones de interés:

a) f=';../4. En este caso .p=1I"/2 y:

y ~ ( O jYo

T ) J o

O

b) C=31\/4. Ahora es .p=37r/2 y:

y ~ (O -JOTo) -jY,

Z ~ (.~ J ,

(5.60)

•

(5.61)

·Z ) J o

O (5.62)

situaciones que admiten los circuitos equivalentes en T yen II de la figura 5.7a. A su vez estos permiten establecer, para una red arbitraria dada por su matriz de impedancias o admitandas, los circuitos equivalentes de la figura 5.7b, formados por una sección de línea en f../4 o 31\/4, Y dos inmitanclas en serie o en paralelo a la entrada y a la salida.

En estos circuitos, la elección de la longitud de línea (';../4 o 3';../4) se debe hacer en función de la

realizabilidad física de las longitudes; es decir, Zo y Yo deben tener parte real (resistiva o conductiva) positiva. El caso más interesante es el de redes con Y12 (ZI2) imaginarias, que proporcionan líneas de

transmisión sin pérdidas (Zo y Y, reales).

Tampoco debemos 01 vidar que la equivalencia ente los circuitos de la figura 5.7 b se cumple solamente para aquella frecuencia en que las líneas tienen una longitud definida; es decir, el procedimiento de síntesis de un 2-accesos a partir de su matriz Z o Y establecido anteriormente es válido solamente para una frecuencia fija.


5 Circuitos de microondas (1). Propiedades generales. Redes de dO,I' accesos (cuadripolos) 157

a)

9.~A/4 6 3,;4 -Y 12 e ;r¡; {jYJI ~ A/4)

ZO' B Y12 - j Y, (l ~ 3}"/4)

-Z12 -Z12

:I: { -jZ,(1 ~ A/4) Z¡2

jZJI = 3A/4)

b)

1 ~ 3A/4)

_A/4_

(Z, = - jZ 12 para

1 = 3A/4)

Fig. 5.7 a) Circuitos equivalentes de una línea de transmisión en A/4 o en 3A/4 b) Utilización del resultado anterior para sintetizar redes recíprocas arbitran'as, a una

frecuencia dada, mediante líneas de transmisión en A/4 o en 3A/4

Ejemplo 2 Consideremos un 2-accesos recíproco y sin pérdidas dado por su matriz de impedancias Z. La potencia total de entrada en la red valdrá (fig. 5.4a):


158

p 1 ( , , Re V¡f, + V212 )

2


1 ReU'V) 2

.!:.1'(Z+Z')1 4

(5.63)

Dado que la red la suponemos sin pérdidas, P=() con independencia dc1 particular valor del vector

arbitrario l. de forma que:

(o lambien, Y + y' = 10 1)

Es decir, los elementos de la matriz Z (o Y) han de ser imaginarios; por tanto, cualquier 2-accesos recíproco y sin pérdidas se puede sintetizar, a una frecuencia dada, mediante una sección de línea ideal en X/4 o 31\/4 y dos reactancias (que a su vez pueden realizarse con líncas de transmisión ideal

en circuito abierto o en cortocircuito (fig. 5.8» .•

A continuación calculamos las expresiones más importantes de un 2-accesos en función de sus parámetros de dispersión:

1) Impedancia (coeficiente de retlexión) a la entrada.

Partimos de la relación básica:

Si la salida (plano 2 en la figura 5.4a) está cargada con una impedancia Zr" entonces:

a, ZL-ZO'

b, PL

ZL +Z02

y a la entrada:

h, Su +S]2

a, b, a, Pi pero =o S21 - +S22 a, a, a2 PL a,


5 Circuitos de microondas (Ij. Propiedades generales. Redes de dos accesos (cuadripolos) ¡59

82 " ¡ " Q ¡ " "'01'-1 202

Z = rX11 jX

12]

jX I2 jX" 20

O O

o

o

Fig. 5.8 Síntesis de 2-accesos recíprocos y sin pérdidas (reactivos) mediante secciones de línea de transmisión ideales (véase el ejemplo 2 del texto). Nótese que en cada síntesis la elección de c.c. o c.o. es arbitraria y que, en todo caso, hay un grado de libertad para fijar arbitrariamente dos de los cuatro parámetros (Z'1' f l , Z",f,)



de donde puede despejarse el cociente a,ta, con lo que se obtiene finalmente:

P, (5.64)

2) Impedancia (coeficiente de reflexión) a la salida.

La situación es análoga al caso anterior. Si la impedancia del generador es Z y:

Ps

a la salida tendremos:

Po (5.65)

3) Ganancia de transferencia de potencia GI (Transducer power ¡;ain).

Cuando un 2-acccsos está cargado, por un lado, con un generador y, por otro, con una impedancia de carga, se define la Gl' como el cociente:

Potencia entregada a la carga

Potencia disponible del generador (5.66)

siendo po,., la potencia entregada por el generador a una impedancia igual a Z; (la conjugada de su impedancia interna).

En la figura 5.9 se resumen los cálculos básicos necesarios para calcular Pal's Gr- La potencia entregada por el generador a una carga (impedancia) Z, vale:

lla 12(1-lpI2) = llb 12 l-lp;\2 2 J , 2 s 11- . 12 PI Ps

(5.67)

con b, (5.68)


5 Circuito!., de microondas (1). Propiedades generales. Redes de dos accesos (cuadripulu~") 161

V,' ai ¡z:,

<--al _b2

VSW UZL V· VSZ01 , Z.~ + ZOI 1 - p¡ps I si

Pi r lo Vs¡Z: o b, a, Zs + 2 01 1 - p¡p s J - p¡p s

Potencia entregada por el generador Ps:

1 _1 l' -.!. lb 12 Pi 2 ., 11 _ l' PjPS

Potencia disponible del generador Po,,:

P =PI al/S S p¡"p;

Potencia entregada a la carga PL:

P L = ~ 1 b,l' ( 1 - 1 P L 1')

Ganancia de transferencia de potencia GT:

Calculando b,laJ y Pi' se obtiene la expresión final

G = 1 S,\ l' (1- 1 Psi') ( 1 - 1 P L 1') T 1(1 -Su ps) (I-S'2 P L) - SI2S2I Ps P L 12

Fig. 5.9 Circuito y cálculos básicos utilizados para obtener la expresión de la ganancia de transferencia de potencia


162 Circuitos de microondas con líneas de tran.l'misüín

PaVJ se obtiene la expresión anterior haciendo Pi = Ps ~:

Por otra parte:

P avs

G = T

(5.69)

b, 2 (1-lpLI') (i-IPsl') al 11-PiPs!'

Para completar la expresión que buscamos, es necesario sustituir en el anterior valores explícitos para b,la¡ y p, en función de los parámetros de dispersión:

Pi

b2 SOl =-

y obtenemos, finalmente:

(5.70)


5 Circuitos de microondas (1). Propiedades generales. Redes de dos accesos (cuadripolos) 163

Ejemplo 3. Atenuadores

Idealmente, un atenuador es un elemento que, además de reducir los niveles de señal transmitida en una cantidad prefijada. debería:

a) Respetar las condiciones de adaptación (de generador y carga) del sistcma en el que se inserta.

b) No introducir desfases indeseados, especialmente si éstos variasen con la frecuencia.

Las condiciones anteriores se satisfacen si la matriz de dispersión del atenuador es de la forma:

s = [o e o,) e-Y O

(5.71)

con '( rcal. ya que entonces:

Pi Y pi=O si P2=O (S.72a)

y Po=O si Ps=O (5.72b)

Al mismo tiempo:

(5.73a)

(5.73b)

y entonces:

(5.74)


164 Cin:uitos de microondas con lfneas de transmisión

La atenuación se define en condiciones de adaptación (PS=PL=O) como:

L(dB) ~ -lOlogGT ~ -10Ioge- 2y ~ 20yloge ~ 8,686y (5.75)

Una manera sencilla de fabricar atenuadores que cumplan estas condiciones es con redes resistivas en T o en n, como se indica en la figura 5.10. Con la relación de la red en T (fig. 5. lOa), la condición

de Sil =0 es la misma que tener impedancia de entrada igual a la de referencia (Z,= 1) cuando la salida

está terminada (ZL = 1):

Z,. = R + R 1 S

~ R (R +R ) s s p

Para el cálculo de S21 =S12 (fig. 5. lOa):

1

V2

1

~(..1.-R ) 2 R s s (5.76)

Pero, con la salida terminada (V, + =0) la entrada también está adaptada (VI'=O) y VI- = V, por tanto:

V2 V2 V' 1 R' l-R l-R S21

s s (5.77) --

VI V' VI (1 + Rs) (R' + Rs) 1 +Rs 1 1 +Rs

(1 +Rs) -'"

L(dB) - - 20 logS21 R - !O'" -1 (5.78) 2010g --

l-Rs s -'"

10'" + 1

Los cálculos para la red II (dual a la anterior) son completamente similares, y el análisis puede

extenderse fácilmente al caso de impedancias de entrada y salida diferentes.


5 Circuitos de microondas (1). Propiedades generales. Redes de dos accesos (cuadripolos)

al

(1) Rs RS

Zo ~lr V1 V' 1 R

P

~ R

Condición de adaptación:

l(~-R ) 2 R s s

Valor de atenuación L(dB):

L(dB) = 2010g __ s (

1 +R 1 l-Rs

(2)

r V 2 Zo=l

bl

(1)

z ~l o

l(_1 -GI) 2 G I P

p

L(dB) = 20log -_P (I+G

I 1 l-G I

P

(2 )

G Z ~l P o

165

Fig. 5.10 Realización de atenuadores mediante redes resistivas en Ty en II. Adviénase que poner Z,=l es lo mismo que suponer que los valores de R,. Rp' Gs ' Y G/ están normalizadas a la impedancia de referencia.

Una propiedad interesante de los atenuadores es que reducen en el factor e·'" los coeficientes de

reflexión, lo que los hace útiles para proteger generadores sensibles a reflexiones fuertes, si bien pagando el precio de la pérdida asociada de señal.

Nótese tanlbién que (5.74) el valor efectivo de la atenuación introducida depende de las desadaptaciones de generador y carga .•


166 Circuitos de microondas con ltneas de tram-müión

5.6 Inversores de inmitancias

El concepto de inversor de impedancias o admitancias (o solo inversor) es muy útil en circuitos de microondas, como veremos en el tema siguiente cuando hablemos de filtros, En el caso ideal, lo definiremos como una red de dos accesos recíproca, sin pérdidas y simétrica tal que, para una impedancia de carga 2L(Y¿j, a la entrada vemos (fig. 5.11):

2i (5.79)

con K' ~J 2 reales y positivas, llamadas constantes del inversor. Nótese que K ha de tener dimensiones de ohmios (O) y J de Siemens (S).

Dado que la definición de inversor se realiza a partir de cocientes V/ Ii , es insensible a desfases entre la entrada y la salida que actúen simultáneamente sobre V y /; es decir, de la forma:

/1 ~ / eN 2 2 (5.80)

característica que hemos de tener presente cuando esta cuestión sea de interés (por ejemplo si hay realimentación implicada). Se puede comprobar inmediatamente que las redes sin pérdidas con matrices:

O 2'2 O Y'2

2 ~ Y ~

2'2 O Y 12 O

(Z12 + Z,~ YI2+Yl~~O) (5.81)

se comportan como inversores con constantes:

2 2 K ~ - Z12


5 Circuitos de microondas (1). Propiedades generales. Redes de dos accesos 167

a)

(j t: K/J z. , Y,

L L Zi'Y i ZL' YL K' (o bien J') real y positivo.

b)

Z = y = [o jB] jB O

e)

3JL_K_/_

J----'r-t s [

"Y ±j~] ±j~ "Y

"Y y} _J2

y} +J 2

Fig. 5.11 a) Definición de un inversor de impedancias/admitancias (red simétrica, recíproca, sin pérdidas)

b) Síntesis básicas de inversores obtenidas a partir de las matrices Z y Y c) Matriz S referida a impedancias de entrada/salida iguales

En efecto:

VI , ,

Z12 Z,

Z12 (5.82) -- - ---

JI V, ZL

J,



Esta propiedad conduce inmediatamente a las realizaciones físicas de la figura 5.11 b, donde X y B

pueden ser positivas o negativas. Su signo afecta a la relación de fases entrada/salida, pero no a su comportamiento como inversor.

Para calcular la matriz S de un inversor supondremos impedancias de referencia iguales a la entrada ya la salida (fig. 5.llc). Se obticne inmediatamente:

K 2

- Zo Zo K' Z2 y' _ J2

S" =S" - o o (5.83) - Y

K' K 2 ,

y' + J2 + Zo + Zo o

Zo

Si hacemos uso dc la reciprocidad y ausencia de pérdidas podemos poner (véase la ecuación (5.45)):

(5.84)

y

s (5.85)

±j.fl"7 y

expresión que nos permite afirmar que un inversor es cualquier 2-accesos recfproco y sin pérdidas

con Sll=Sn reales.

Ejemplo I Una línea de transmisión en 1--/4, de impedancia característica Ze', se compona como un inversor con:

y Z/2 _ Z 2

o o

Z I2 Z 2 o + o

(5.86)

La indeterminación de signo de S12 se puede aclarar fácilmente, en este caso, si imaginamos que

ZQ' ~ZQj ya que, entonces:


5 Circuitos de microondas (1). Propiedades generaLes. Redes de dos accesos 169

o -J !5.

e ' O -j

S - (5.87)

_j !5. -j O e ' O

y, en consecuencia, el signo que aplica es el negativo:

y -j~ S (5.88)

-j~ y

• Una síntesis muy importante de inversores es la formada por una reactancia en serie o en paralelo entre dos secciones de línea de transmisión de longitud idéntica (fig. 5.12). Refiriéndonos al caso paralelo (fig. 5.12a) tenemos (fig. 5.3, con 2" =2,,= I Y planos de referencia alejados (3f =<jJ):

I S I e -2j4l

2+jB

-jB

2 (5.89)

(B es un valor normalizado como consecuencia de tomar 2,,1 =202 =1). Es decir:

S11 e - 2jtf! - jB _ e -2jtf! _ e +2j(. -tf!) (5.90)

2+jB (1 + j~) ~ 1+ 4

ji'

con 21jI ron -1( ~) (5.91)

Sil será real y, por tanto, el circuito será un inversor si 1/;=4>, o sea, si:

(5.92)


170

al

bl

Z =1 o

""'"""->----<>==-'-

Circuitos de microondas con lineQ.~ de transmisión

tal que

B 1 -[('

K

(K <1)

Ídem con

Ixl 1 -r' J

si

si

Fig. 5.12 Realizaciones de inversores con elementos reactivos en serie o en paralelo y secciones de

línea de transmisión

y, entonces:

Sil y [(' - 1

[(' + 1

de donde se sigue fácilmente que:

IBI 1 -[('

K

-1

~ 1 + 4 B'

(5.93)

(5.94)

(Nótese que utilizamos una constante de inversión normalizada, K = K/Z,). De (5.93) y (5.94) se

sigue inmediatamente que K < l.


5 Circuitos de microondas (Ij, Propiedades genera/es. Redes de dos accesos 171

El análisis para el circuito de la figura 5.12b (dual del 12a) se puede obtener por un procedimiento análogo o bien directamente por dualidad. En la figura 5.13 se representan las realizaciones concretas con inductancias y capacidades: se prefieren las que corresponden a longitudes de líneas negativas (es decir, tales que añadidas a otros tramos de línea las acortan) porque se comportan mejor en frecuencia. En efecto, con referencia a la inductancia en paralelo, por ejemplo, la condición de

inversor I~ = 1t puede escribirse:

4> 11 = 2 ("'-4» = O = tan- l ( ~ ) - 24> (5.95)

~ ~ ~ ~

I 1 B>O K<1 (1)1)

1 ~ < O 4 > O

<1 ...fR\...- <1

B

x < O x> O ]<1 (K>I)

~ < O ~ > O

Fig. 5.13 Realizaciones concretas de los modelos de lafigura 5.12. Se prefieren los del recuadro, con secciones de linea de longitud negativa, porque se comportan mejor con la frecuencia

Para el caso importante de valores de K« 1 resulta, pnr (5.94), lB 1» 1 ,yen consecuencia

2 ~ -24> B

-2WL-z(~ )1 (5.96)


172 Circuitos de microondas con [[neas de transmisión

expresión que, si L=-Rlvp, se anula con independencia de la frecuencia. Sin embargo, si utilizáramos una capacidad en paralelo tendríamos:

<1> 0---2--0 2 ( ro) 11 wC v

p

(5.97)

que solo se anula para una frecuencia dada. Por tanto, las realizaciones recuadradas en la figura 5.13

se prefieren porque (para K < < 1 Y J < < 1 ) se comporta como inversores con independencia de

la frecuencia, aunque la constante del inversor varíe con esta última:

K· 1

IBI OlL J • 1

Ixl - Ole (5.98)

Ejemplo 2 Para una sección de línea de longitud e(nc =1»:

IYI = j 2 [-C08<1> 1 1

8in<l> 1 -C08<1>

-jYo cot<l> o o

+ (5.99)

o o -jYocot<l>

y2 o

sm2<1> De las dos matrices de la derecha, la segunda corresponde a un inversor de constante J 2 =

y en vista del circuito equivalente en 7J" (figuras 5.4 y 5.14), la sección de línea admite el circuito equivalente de la figura 5.14b, formado por un inversor ideal y dos admitancias:

(5.100)



A/4 e o

Yo e -----<o

al

. . . .

Inversor de J = Yo / sen 4>

bl para 1-),,/4 - -jYocot4> '" jYo7r~

eJ

LJ[;:]~: e Fig. 5.14 Circuito equivalente de una sección de línea de longitud f la) formado por un inversor y

dos admirancias (b), y el mismo circuito en el caso de frecuencias en la proximidad de i=Al4 le)

En las proximidades de f =A/4 la expresión anterior puede aproximarse (Ii < < 1):

TI cot<l> = cOI-(1+5)

2 5 5

-tan1t - g¡ -1t-2 2

(5.101)

(5.102)

expresión igual a la de un circuito resonante en paralelo con capacidad e inductancia equivalentes dadas por:


174 CircuitOJ de microondas con Jíneas de transmisión

(5.103) 1t úl o

con el resultado del circuito equivalente de la figura 5.l4c donde además. se ha tenido en cuenta que

1t para <1> = -'(1 + 5) - sin<l> ~ 1.

2

Sobre la calidad de la aproximación anterior considérense los siguientes errores relativos en Yll = Y22 Y J:

Tabla 5.1 Errores relativos

IJ Error YII (%) Error J (%)

0,05 0,21 0,31

0.10 0.82 1,25 0,15 1,86 2,84 0,20 3,31 5,15 0,25 5,19 8,24

Obsérvese que la aproximación es muy buena (errores inferiores al 3 %) para desviaciones relativas en frecuencia de hasta un 15% (desviación relativa total de un 30%).

El circuito equivalente para una línea en ),,/2 se puede obtener por yuxtaposición de dos de los anteriores, como en la figura 5.15. Nótese que el efecto de dos inversores consecutivos se anula, si bien es necesario recordar que entre la entrada y la salida puede haber un desfase que el inversor no indicaba. En el caso de la línea en ),,/2, se puede comprobar que este desfase corresponde a un cambio de sentido de tensión y corriente (basta con considerar la línea a la frecuencia exacta de f = ),,/2) que puede introducirse en el circuito equivalente mediante un transformador ideal de relación 1:-1 (fig. 5.15).

Los circuitos equivalentes de las figuras 5.14 y 5.15 permiten volver a obtener de manera inmediata los comportamientos de líneas en ),,/4 y ),,/2 en c.c. o en c.o. que ya hemos visto en el apartado (fig. 4.12). También es evidente que la presencia de pérdidas bajas a la línea de transmisión se puede tener en cuenta mediante la inclusión de resistencias que proporcionen a los circuitos resonantes el factor Q correspondiente a la línea (véase el apartado 4.8):

Q = ~ (5.104). 20!



'\,A/2 "oA/4 '\,),/4 o o o o o

" Zo 4 Yo c::> c::> L, Cs

4 "'o ". "'o o o o o o

Fig. 5.15 Circuito equivalente de una línea de f ~)"/2 conslrnido a partir de la equivalencia de la figura anterior. Debe advertirse que el transformador] :-1 (cambio de signo de Vy 1) está oculto en los inversores, que no consideran el desfase entrada/salida

Ejemplo 3 La adaptación de una carga con una reactancia en una línea de transmisión es un problema estudiado anteriormente. En la figura 5.16 se dibuja de nuevo el proceso en la carta de Smith para un caso particular. En esle problema sucede que, si RL < <Z, , el círculo que pasa por REestá muy cercano a la periferia (1 pi = 1), Y el punto B está situado en una zona de valores de susceplancia grandes y que, además, varían muy deprisa. Así, si la frecuencia cambia ligeramente, la adaptación se destruye y, por tanto, el circuito dibujado es muy sensible a la frecuencia.

Un procedimiento muy sencillo y clarificador para analizar el problema es la aplicación del concepto de inversor de Z para la inductancia y dos trozos de línea de transmisión adyacentes, así como del circuito equivalente para una línea de longitud cercana a >J2 (fig. 5.16b). A la frecuencia de diseño lo ' el circuito se comporta como un inversor (K) seguido de una resistencia R,. y se obtiene fácilmente la siguiente condición de adaptación, así como el valor de la longitud f, también indicada en la figura 5.16.

Z, K 2

Zo K' RLZO -RL

(5.105)

IBI 1 _ [(2 1 - RL

-{JI: K

(5.106)



a)

b) t-A/2

I~ A/2 2L C s /2 s

:EB ~RL JK [f:L~t fcp ~ RL <> 2~O ~ = TI

L Zi

1=/0 (1 1) 2 - K 2

" 20 IBI 1 _i 2

para , R L K

IBI 1 - R L 1 ~ +ltan 1

( 2) ~ _l ffinl ( IR: J j R L

2 2 B 2 2 1 -R L

c) En las proximidades de ¡; "

L e Q TI "'o

Fig. 5.16 a) Adaptación de RL mediante la cana de Smith b) Análisis del mismo problema utilizando un inversor de impedancias y el circuito equivalente de una linea en fJ2 c) Circuito equivalente visto a la entrada en las proximidades de la frecuencia de

adaptación 1,



Además, paraf=.f" (l +0) con o pequeño, los circuitos resonantes en paralelo (Lp , Cp) presentan una impedancia elevada y pueden despreciarse frente al circuito en serie (2L" Ci2) y RL < <Z,. De esta manera~ obtenemos el circuito equivalente de la figura 5.16c, un circuito resonante en paralelo con

los valores indicados para L, C y Q. En particular:

Q TI (5.107)

expresión que confirma la sensibilidad del circuito con la frecuencia (Q grande) cuando la resistencia normalizada de carga es pequeña .•

5.7 Cadenas de 2-accesos

Cuando dos o más redes de dos accesos se encadenan en cascada es más conveniente describirlas mediante matrices que relacionan parámetros de entrada/salida, ya que de esta manera la matriz total de una cadena viene dada por el producto de las matrices componentes.

Las más comunes de estas matrices de transferencia son las (ABCD), denominada, para abreviar A,

y la de transmisión T, definidas mediante las relaciones (fig. 5.4a):

(5.108)

De esta manera, si tenemos diferentes 2-aceesos cn cascada descritos, de izquierda a derecha, por Al, A2 .. .AN o TI, T2 ... ~, las matrices totales de la cadena serán:

A~AIA2 ... AN T~TIT2 ... TN (5.109)

Nótese que en (5.108) las definiciones utilizan valores normalizados de tensión/corriente u ondas positivas/negativas, iguales que los introducidos en (5.5)-(5.7). Esto presupone que, como en el caso de los parámc!ros S, hayamos definido impedancias de referencia a la entrada y a la salida del 2-accesos, 10 que a su vez exige, para poder aplicar (5.109), que la impedancia de referencia de salida de una red coincida con la de referencia de entrada de la siguiente, ya que de otro modo los parámetros de salida del primero no coincidirán con los de entrada del segundo. Es fácil establecer la relación entre las matrices A y T:



( ~1)=(a1:b1l=(1 _1)(a1) ; (V:)=(~,+b2)(1 1)(b2] [ a 1 b 1 1 1 b 1 -[ a, + b, 1 1 a, 1 2

Por tanto:

( 1 1)(a1)=(A B)(1 1)(b2]

1 -1 b 1 C D 1 -1 a,

es decir:

A 1(1 1) (1 1) '2 1 -1 T 1 -1

1 ( T 11 + T 12 + T 21 + T 22

2 T 11 + T 12 - T 21 - T 22

(5.111)

A-B+C-D) A-B-C+D

T11-T12+T21-T22)

T I1 -T12 -T

21 +T22

(5.110)

(5.112)

(5.113)

No se pueden establecer las relaciones entre matrices de los grupos (A, T) Y (S.Z, Y) por este procedimiento, ya que no existen relaciones lineales (expresables mediante matrices) entre los vectores representativos porque estan mezclados en (A,J), en un mismo vector, parámetros de entrada y salida, cosa que no ocurre con (S, Z, Y). En todo caso, es muy fácil calcular, por ejemplo, que:

1 ( 1 -S" ) _1 (T21 ~T ) T= S (5.114) S 21 S 11 -~s T 11 1 -T12

( - -;A) 1 - Y" -1 ) Y = i( D A (5.115) Y21 -.1 y -Yl1 B -1

con ~S=SllS22-S12S21 =det[Sl, etc. En la figura 5 .17, se indican las matrices de transferencia de cuatro elementos básicos que permiten calcular, por multiplicaciones sucesivas, la de cualquier 2-accesos formado por líneas de transmisión y elementos concentrados (R,L, C). Tanto el cálculo de todos ellos como su utilización son muy sencillos y se ilustran en los ejemplos siguientes.


5 Circuitos de microondas (1). Propiedades generales. Redes de dos accesos

a)

b)

el

d)

. (!) (2):

( cos(fH)

_. "",¡. A -Y-J~ - jsin(~Q)

(1) , (2) o

zOl z02

e

T=

O), z ,(2)

~ . . Zo Zo

o 'O

1

J ZOI Z02

A ¡COShrl senll"yll

scnh r 1 cosh r 1

jSin(~I)l cos( f} Q)

T=[e Y

' O) O -y' e

(Z IZ ),n Q2 Q I O

A

O (Z"IZ,,)lI'

(Z02 +ZOI

Z02 - ZOI

Z02 -ZOI)

Z02 + ZOI

Z = Z Z,

y = y Y,

T=~(2+Z -Z_) Z 2-Z

Fig. 5.17 Matrices de transferencia entrada-salida para cuatro elementos básicos

179


180 CjrcultOJ de microondas con líneas de lrallsmüión

(1), '~=$ (2) -----<>-----O--

= (~ O 1 ( cOS~ jsill~ ) (Fo ~l A Fo jsin~ cos~ O

( cos~ = jYosill~

j Zo sill~ )

cos~

Fig. 5.18 Ejemplo de cálculo de matriz A a partir de su descomposición en elementos contenidos en la figura 5.17

Ejemplo Consideremos la figura 5.18: una sección de línea de transmisión de impedancia Z, referida a impedancias de entrada y salida unidad. En vista del cuadro de la figura 5.17, podemos descomponer esta red en una sección de línea como en la figura 5. 17 a como dos cambios de impedancia a la entrada ya la salida como en la figura 5.l7b, de manera que la matriz A se puede calcular como se indica en la misma figura 5.18 Y obtenemos:

(5.116)

Además también podemos utilizar las transformaciones (5.112)-(5.115) y obtener sucesivamente:

cos~ +.! j(Zo + Yo)sin~ 2

T = (5.117)

(5.118)


5 Circuitos de microondas (1). Propiedades generales. Redes de dos accesOs 181

1 o 1

j sin<jl 1 cos<jl 1

o 1 o

o

o

B e D

Fig. 5.19 Ejemplo adicional de cálculo de matriz A.

Adviértase que la matriz S del ejemplo que estudiamos no es trivial y que su cálculo directo también es dificil (puede hacerse como ejercicio).

Finalmente. la figura 5.19 propone un ejemplo de estructura más compleja cuyo análisis. por el procedimiento anterior. no tiene ninguna dificultad conceptual. •


6 Circuitos de microondas (/1), Redes de má,l' de do.I' {1(.'(:esos. Filtros

Capítulo 6 Circuitos de microondas (JI). Redes de más de dos accesos. Filtros

6.1 Propiedades de simetría

183

Una situación frecuente es la de circuitos simétricos con respecto a algún plano. Para analizarlos, es necesario recordar los conceplos dc parcd magnética y eléctrica (fig. 6.1):

Paredes eléctricas y magnéticas

a) Entendemos por pared eléctrica una superficie plana conductora ideal en la que el campo eléctrico tangencial se anula:

ñ xE " O (6.1)

(donde ñ vector normal a la superficie)

y, como consecuencia de lo que se ha dicho, también se debe anular la inducción magnética normal:

ñ'B"O (6.2)

Es bien conocido en la teoría electromagnética que la situación de un semiespacio frente a una pared eléctrica es idéntica a la del espacio completo donde se ha eliminado la pared y se han introducido imágenes de las cargas y las corrientes. En electrostática, el concepto de cargas imagen, y como estas cargas producen campo eléctrico normal a la superficie donde se encontrará la pared, es inmediato (fig. 6.la). Por otra parte, la imagen de una corrienle se puede obtener con facilidad a partir de la


184

al

E

fi

bl

Circuitos de microondas con líneas de trammi:.;iún

Pared eléctrica

En la superficie del conduelor

fi. x E =" O, E normal a la superficie.

- DDP en/re dos pUnlos cualesquiera de la superficie nula.

n . jj = O, jj tangente

a la superficie.

- Corriente contenida en la

pared eléctrica de J = íi x jj

de valor

Pared magnética

En la superficie del conductor

ti x jj = O, E normal a la superficie.

- Corriente en la pared magnélica nula.

íi . E = O, E tangente

a la superficie.

Fig. 6.1 Definiciones de pared eléctrica y magnélica y sus propiedades de simetrialantisimetria con relación a tensiones y corrientes


6 Circuitos de microondas (llJ. Redes de más de dos accesos. Filtros

imagen del campo eléctrico, si tenemos en cuenta que:

t=oí1

185

(6.3)

De esta manera, llegamos a la conclusión de que una red (en el caso de la figura 6.la, una red de un acceso) frente a una pared eléctrica es equivalente a una situación sin pared y con una red imagen con las corrientes y las tensiones calculadas como las imágenes del original (imagen especular seguida de una inversión de sentido).

b) Se define como pared magnética una superficie (sin existencia real) tal que en ella se cumpla que el campo magnético tangencial se anule:

(6.4)

y, como consecuencia, también se anulará el desplazamiento eléctrico normal:

ñ·i5=O (6.5)

Este caso es similar al anterior, pero con cargas imagen del mismo signo en lugar del signo contrario

(fig. 6.1 b), Y para redes en las que intervienen tensiones y corrientes, las imágenes se calculan como las imágenes especulares de las originales.

De las definiciones y las propiedades anteriores se deduce que:

1) Entre dos puntos cualquiera de la pared eléctrica (o de la superficie que ocupa cuando la substituimos por las imágenes correspondientes) la diferencia de potencial es cero. Es evidente, ya que no hay campo eléctrico contenido en la superficie.

Al mismo tiempo. la superficie que ocupa en el problema equivalente puede contener o ser atravesada perpendicularmente por corrientes eléctricas, ya que estas situaciones son compatibles con la simetría requerida (reflexión especular e inversión de sentido).

2) En una pared magnética (o en la superficie que ocupa cuando la sustituimos por sus imágenes) no

hay corrientes eléctricas; en efecto, la densidad de corriente superficial J está relacionada con el

campo magnético ti mediante la relación:


186 Circuitos de m¡cro()nda.~ aJn ¡¡nea.~ de transmisión

j = ii x ti = O en la p.m. (6.6)

También se puede ver que no es posible que la superficie que ocupa sea atravesada perpendicularmente por corrientes, ya que esta situación es incompatible con la simetría impuesta sobre estas superficies (reflexión especular).

Es decir, una pared eléctrica introduce condiciones de cortocircuito en el plano que ocupa, mientras que una pared magnética las introduce de circuito abieno (interrupción de las corrientes que circularán en la superficie o a través de la superficie).

Redes simétricas (número par de acce..o;;os)

Consideremos ahora una red con un número par de accesos 2N, dotada de un plano de simetría bilateral que no corta ni contiene ninguno de los accesos (fig. 6.2). Numeraremos estos accesos de forma que los (1 ,N) estén a un lado del plano y los (N+ 1 ,2N), al otro, y de forma que el plano i y el plano N + i sean simétricos. Con esta numeración es fácil ver que si escribimos la matriz S en forma de bloques:

S = [ S 1

S3

(6.7)

con SI, S" S, Y S4 matrices cuadradas de orden NxN, se cumple que:

S 1 = S4 y S2 = S, (6.8)

ya que, por la simetría:

S ij (i ~N, j <N) = (coeficientes de transmisión entre dos accesos de la mitad izquierda)

S i+N,j+N (coeficiente de transmisión entre los accesos simétricos de los anteriores)

en la mitad derecba


ó Cin:uito.\, de microondas (lI). Redes de más de dos accesos. Filtros

Por tanto:

, ~ I

= (coeficiente de transmisión entre un acceso de la iZqUierda]

y uno de la derecha

(

coeficiente de transmisión entre Jos accesos ] = S =

i+N,j-N simétricos de los anteriores

SI S2

-1-

S2 SI

187

donde [a,Ub,] y [ad],[bJ son vectores de dimensión N referidos a la mitad izquierda y a la derecha de la red, respectivamente.

Si excitamos la red con generadores idénticos y en posición simétrica en los accesos simétricos, de

manera que a,(l 5, i 5,N)=a'+N (fig. 6.2b), por lo que hemos visto anteriormente podemos substituir, por ejemplo, la mitad derecha de la red por una pared magnética y, por tanto:

(6.10)

- (6.11)

Pero al mismo tiempo podemos poner:

[b,] = [S'] [a,] (S' de orden NxN) (6.12)

donde S' representa la matriz S de la red de N accesos formada por los de la izquierda, por ejemplo, y una pared magnética instalada en el plano de simetría. De manera que:

(6.13)


ISS

aJ

( I ) IN+ 1 )

bl

el

Circuitos de microondas con líneas de fransmisió'l

s [~: 1:: I Por simetr[a: S] = S4' S2 = S.l

s,

s,

Excitación simétrica (EVEN):

PM (Pared magnética =

= plano de circuito abierto)

S' de orden N x N

Excitación antisimétrica (ODD):

[a,l " -[a,]

PE (Pared eléctrica =

= plano de cortocircuito)

S' de orden N x N

Fig. 6.2 a) Orden de numeración requerido para un análisis de una estructura simétrica b) Excitación con generadores organizados de manera simétrica !pared magnética) c) Idem de manera antisimétrica !pared eléctrica)


6 Circuitos de microondas (l/J. Redes de más de dos Qa:e.\'().\'. Hltros 189

Si ahora excitamos la red con generadores idénticos pero con posición antisimétrica, de manera que

[a,] = - [ad] (fig. 6.2c), podemos sustituir la mitad derecha de la red por una pared eléctrica y, por

tanto:

(6.14)

a, (6.15)

-a. ,

Por otra parte, si S' representa la matriz S de la red de N accesos formada por los de la izquierda, por ejemplo, y una pared eléctrica en el plano de simetría:

[b,l = [Sol [a,l (6.16)

De (6.13) Y (6.16) se obtiene:

S, l(S'+so) 2

S, l(s'-SO) 2

y, fmalmente:

I se+sO S'-So

S - 1 - - - - -1- - - - - (6.17) 2

S'-So S e+s o

De esta manera. hemos reducido el cálculo de la matriz 2Nx2N original al de dos matrices NxN, S' y S' representativas de la mitad de la red con paredes eléctrica y magnética, respectivamente.

Ejemplo 1 Volvamos al ejemplo del apartado 5.7. Se trata de calcular la matriz S de una línea de transmisión de longitud R referida a una impedancia diferente de la suya propia (fig. 6.3).


190

(1)

2~

~

2 0 ;1 20 I

-----o---------4-

y,e pe l

(2)

PM (circuito abierto)

PE (cortocircuito)

Circuitos de microondas con líneas de trammisión

p'

s

1 - Y/' 1 + Y/

I - jY,s

1 + j Y, S

(s = tan<P/2)

Fig. 6.3 Utilización de las propiedades de simetría en el cálculo de la matriz S de una sección de linea de transmisión

En este caso, reducimos el cálculo de un 2-accesos al de dos redes de un acceso, y para uno de estos la malriz S se reduce a un escalar (su coeficienle de reflexión). Por lanto, hemos de dejar el plano de simetría en circuito abieno (pared magnética) y calcular el coeficiente de reflexión del trozo de línea resultante como en la figura 6.3, p" y, posteriormente. cortocircuitar el plano de simetría (pared eléctrica) y calcular el coeficiente de reflexión pO. Finalmente tendremos

S = .!. ( p'+po 2 p'_po

(3.18)

Se propone como ejercicio verificar que los valores obtenidos para S" y SI2 coinciden con los calculados en el ejemplo del apanado 5.7 .•

Ejemplo 2 La figura 6.4 muestra un circuito de análisis similar al anterior y que es interesante para estructuras más complejas que veremos más adelante.


6 Circuitos de microondas (Il). Redes de más de dos accesos. Filtros 191

z l/Y

entonces S 12

Fig. 6.4 Circuito discutido en el ejemplo 2

Para las situaciones simétricas (even, pared magnética) y antisimétrica (odd, pared eléctrica), tendremos:

p'

y, por tanto:

1-(Y+jYo)

1 +Y+jYo

La red estará completamente adaptada (Sll =5" =0) si:

y2=I_Y;

y. entonces:

S12

1-(Y-jYo)

l+Y-jYo

(6.23)

(6.19)

(6.20)

(6.21)

(6.22)


192 Circuitos de microondas con lineas de lrum'mi.l'ián

Además la red será sin pérdidas si Yo> I Y en este caso:

l±jVY;-l (6.24)

• 6.2 Redes de tres accesos

Recordemos que una red está completamente adaptada si todos los elementos diagonales de su matriz S, Sii' se anulan.

Es fácil demostrar que no es posible hacer que un 3-accesos recíproco y sin pérdidas esté completamente adaptado. En efecto, supongamos que lo estuviera:

(6.25)

Las condiciones de unitariedad son:

1 " 12 + 1 P 12 1 (6.26a) P y' e O (6.26d)

1" 12 + 1 y 12 1 (6.26b) "y' O O (6.26e)

1 P 12 + 1 y 12 1 (6.26c) " p' o O (6.26J)

Si suponemos, por ejemplo, que i3~O entonces:

(6.26a) = 1 a 1 o 1 , (6.26b) ~ Ir 1 o O , (6.26c) = O 1

es decir, la forma (6.25) para S conduce a una contradicción insalvable.

Los dispositivos recíprocos de 3 accesos más comunes son los divisores y los combinadores de potencia. Para los primeros, si tomamos el acceso 1 como el de potencia incidente a dividir, su


6 Circuitos de microondas (11), Redes de má.\' de dos accesos. filtros

(2)

(1) ~ ~

(3 )

Divisor de potencia simétrico (sin pérdidas):

O '" " S 1" I 1

" -y --y 12'

C< --y -y

Combinador de potencia simétrico (sin pérdidas). No se puede hacer que 2 y 3 estén adaptados simultáneamente~ S22 = S23 = O

hl

Fig. 6.5 Redes de tres accesos sin pérdidas; divisores y combinadores de potencia y propiedades básicas de sus matrices S

matriz S conviene que sea de la forma:

(6.27)

193

2"

Aquí 1 a l' y 1 i3l' representan las fracciones de potencia incidente que se reparten a los accesos 2 y

3~ respectivamente. Si el divisor es simétrico, a={j, 'Y=e y, en este caso, la unitariedad requiere una matriz de la forma:

" y

-y

" ) -y

y

con 1

/2 Iy 1 1

2 (6.28)


194 Circuitos de microondas con ¡¡nea.~ de transmisión

Para un combinador de potencia interesaría (entradas de potencia a combinar para 2 y 3, salida para 1 J:

(6.29)

forma que es imposible, ya que la unitariedad requiere (fila 2 x fila 3') f3f3' ~ I f312~O. Es decir, los accesos 2 y 3 estarían aislados del 1, contrariamente a lo que queríamos. Por tanto, las redes sin pérdidas no son adecuadas para realizar combinadores de potencia de características aceptables.

La construcción de divisores de potencia con secciones de línea de transmisión, utilizando transformadores en A/4 para adaptar la entrada, es inmediata y se analiza con detalle en los ejemplos siguientes.

Ejemplo 1 La figura 6.6 representa dos realizaciones posibles que conducen a Sil ~O, y, por tanto, se corresponden con la forma (6.28).

El cálculo detallado de la configuración de la figura 6.6a se puede realizar con la ayuda de la figura 6.6c:

S 12 S21

V2- -jV'+jV- . V'" - V--J

V· V· + V- V· + V-1

Pi

1--( V-) o V·

-J(l<:)

L {i

. l-p i -J--

I + P j

(6.30)

La impedancia de entrada que podemos ver desde 2 cuando 1 y 3 están terminados (cargados con R~ 1) es 1 en paralelo con l/2, es decir, Y=3 y, por tanto:

S = S = 1-3 = ..!. 22 33 1 +3 2


6 Circuitos de microondas (I/). Redes de más de dos accesos. Filtros

o -jfi

-j{i

-j{i

-1

1

(6.31)

De manera similar, se puede hallar S para el circuito de la figura 6.6b, y obtenemos

a) (2)

__ -&(_l) __ A_/_4 ____ -«~1

(3 )

el (1) (2)

A/4

1

(6.32)

b) (1)

di

(2)

I Z ~l o

(3)

195

•

Fig. 6.6 Divisores de potencia realizados con transformadores de impedancias ([(neas en ),,/4) y sus circuitos equivalentes para el cálculo de 5 12 =5'1


196 Circuitos de microondas con. llneas de lransmi.\itín

Ejemplo 2 Supongamos quc el divisor de la figura 6.6b no tiene los accesos 2 y 3 terminados. sino cargados con impedancias Z, y Z, tales que:

P2

Tendremos:

Z, - 1

Z, + 1

(S dado por (6.32)) (6.33)

De las tres ecuaciones anteriores, se pueden aislar b1, b2 Y b3 en función de al Y obtenemos:

b l

p,+p,-2p,p,

2-p,-p, al

b, -j{2(1- p,)

al 2-P,-P3

b, -j{2(1-p,)

al (6.34) 2-p,-p,

expresiones que definen completamente la situación. Supongamos, por ejemplo, que:

Z, 3 Z,

En este caso, se obtiene:

.3{2 -J-

4- al

1

3

.{2 -J- a 4 1


6 Circuitos de microondas (11), Redes de más de dos aL'ce,I'O,I', Filtros 197

Puede llamar la atención que 1 b,l = 1.0611 a, 1 > 1 a, 1 ' es decir, que la potencia de la onda positiva que sale en la línea de transmisión del acceso 2 sea más grande que la potencia de la onda incidente en l. Sin embargo, podemos probar que el balance de potencias se mantiene (cosa que ya estaba garantizada por el carácter unitario de S):

p =l la I,_llb 12 tI 2 1 2 1

llbl,_llal' 2 3 2 3

y, evidentemente, Pi ¡ =Pm+PQ3 .•

Divisores resistivos

lla 12(1_~) _ 30 la l' 2 1 16 64 1

27 1a l' 64 1

La figura 6,7 muestra dos tipos de divisores construidos con resistencias solamente. En el caso a, se indica el cálculo de la matriz S en la misma figura; el del caso b, se puede realizar de manera

análoga, pero con mayor sencillez todavía, dado que, por la simetría del circuito, S1)=S12=S2.1'

En ambos casos debe notarse, por una parte, que no puede hacerse uso de propiedades de unitariedad de la matriz S para su cálculo, ya que las redes tienen pérdidas; y por otra, que la potencia que sale por 2 y 3 (cuando hay adaptación) es una cuarta parte de la que entra por l (-6 dB), en lugar de ser la mitad (-3 dB) como en el caso de los divisores realizados con líneas de /J4. Es decir, estos divisores desaprovechan la mitad de la potencia incidente; pero en contrapartida, su carácter resistivo hace que su comportamiento como divisores sea independiente de la frecuencia, por 10 que son ampliamente utilizados en el laboratorio como elementos auxiliares de instrumentación.

6.3 El divisor de Wilkinson Tanto en los divisores resistivos como en los realizados con secciones de línea en A/4, estudiados anteriormente, los accesos de salida (2 y 3) no están aislados (S,,>,O) y, además, la simetría en la


198 Circuitos de microondas con lineas de lransmi.\'i/m

división de potencia se destruye si los accesos 2 y 3 se cargan de manera asimétrica.

Estos inconvenientes se eliminarían en un divisor cuya matriz S tuviera la forma siguiente:

" o O ~ 1

(6.35)

con 1" I = -'- ya que en este caso tendríamos b,=aa, y b,=aa, independientemente de p, y p,. ,f2

Al mismo tiempo este dispositivo se comporta como un combinador ideal ya que, si instalamos generadores en 2 y 3, tendremos:

La matriz S dada por (6.35) no es unitaria, por lo que no se puede sintetizar con elementos sin pérdidas. Podemos comprobar que el circuito de la figura 6.8, un divisor con dos transformadores en A/4 al que se le ha añadido una resistencia de valor normalizado 2 conectada entre los accesos 2 y 3 (divisor de Wilkinson), tiene una matriz S de la forma (6.35).

Este circuito es difícil de analizar a partir de la definición de los parámetros S por la retroacción que hemos introducido; pero podemos utilizar su simetría de la manera siguiente:

Consideremos una red simétrica de 2N+ 1 accesos tales que uno de ellos, con sus dos terminales, esté conectado en el plano de simetría (fig. 6.9a); si este acceso particular llamado O en la figura 6.9 se termina, la red de 2N accesos resultante tiene una matriz S' que coincide con la original, con la primera tila y la primera columna suprimidas. Por otra parte, esta matriz S' puede calcularse utilizando las propiedades de simetria del apartado 6.1 sin ninguna otra precaución que descomponer la terminación (resistencia) del acceso O en dos resistencias en paralelo (fig. 6.ge) con el fin de poder insertar planos de circuito abierto y cortocircuito.

Evidentemente, no podemos calcular los elementos SOi con este procedimiento, sino que se han de

evaluar directamente. Si aplicamos esto al divisor de Wilkinson, teniendo en cuenta que el plano de simetría contiene el acceso que hemos llamado 1 en la figura 6.8 y que corta por la mitad


6 Circuitos de microondas (/l). Redes de má.\· de dos acce.WJ. Filtros 199

8)

(1 I (21

ill:jív; *1

(3 I S2l V2 1

= S 31 -V· 2

1

S22 5/3 - 1 1

:::: S33 5/3 + 1 '4

Zi=2/3 Zi=5/3 V]- V,- VI 1. 2[3 1 V2 (1 + S22) VI

V; (1 +S22) 2 5[3 5

(1 1 1 (11 1 (3)

V;(1+S22~IV; *1 S" V,- 1 1 5 1

V· 5(1+S22)

5 4 4

4 4 2

Zi=5/3 Zi 2/3

b)

(2) 1/2

(l) 1/3 1/

I (Zo=l) Por lo tanto, S [,:, 1/4

",] 1/4

l/V 1/2 1/4 114

"o~'~ . I [O ", ", ] (2

0=1)

S = 1/2 O 1/2

(3 ) 1/2 1/2 O

Fig. 6.7 Ejemplos de realizaciones de divisores de palencia resistivos y cálculo de sus parámetros S. La forma a es superior en cuanto a aislamiento entre los accesos 2 y 3, Y la b es superior en cuanto adaptación de los misnws



,1/4 (2) , (l)Yz 1 ,1/4 , (2)

Z=12 Z =1 (1)/ 12 o ~ Z =11 R=2 c::::::J 2

o 12

Zo=/2 Zo =1

'A/4 ,(3 )

,1/4 >1 (3)

Hg. 6.8 Divisor de Willdnson y su dibujo simplificado donde se ha omitido uno de los conductores de las líneas de transmisión (por ejemplo, en sistemas de línea microtira, el plano de masa)

al bl (N)

(O)

(O) _ Ps

(2N)

el

:"oJj; S" I So¡So2" . I SOIS02" •

-1- -1-

S02 .!.(S'+SO) I .!.(S' -S") 1": 2Z S = . o 2 2 I . . . . -1- -1-

I S02 .!.(S'-SO) .!.(S'+SO) -I - 2 2

Fig. 6.9 a) Circuito simétrico con un plano de simetría (PS) y un acceso (los dos conductores) contenido en el circuito (nótese que cada acceso está representado unicamente por una sola línea)

b) Diagrama tridimensional del circuito anterior e) Descomposición de una terminación Z, en dos resistencias en parale/o, una a cada lado

del plano PS


6 Circuitos de microondas (JI). Redes de más de dos accesos. Filtros

a) Pared magnética/circuito abierto (situación par, even)

1 PIS e = O e

rc A/4

~ (2 ) (1) (3 ) (2 )

b) Pared eléctrica!cortocircuito (situación impar, odd)

A/4

~' 'o~fJ (2) (l)

Por tanto, s 1

.j2 (

O -j -jj - J O O

-j O O

(1)

o

201

2

Fig. 6.10 Análisis del divisor de Wilkinson utilizando el plano de simetria que contiene el acceso 1 (adviértase que en la figura 6.9 lo llamábamos acceso O)

la resistencia de valor normalizado 2, tenemos:

1) Sil' S21 y S'l valen lo mismo que si no estuviese la resistencia, ya que para calcularlos se debe tenninar los accesos 2 y 3, Y por simetría los puntos en que está conectada han de estar al mismo potencial y por ella no circulará corriente. Por tanto, sabemos de momento que:


202 Circuito.l" de microondas con líneas de transmisión

o ~ ~ f2 f2

S - ~ S22 8 23 (6.36) f2 ~

S23 S" f2

2) Para calcular la submatriz de orden 2x2 que todavía desconocemos~ terminamos el acceso 1 con

dos resistencias de valor normalizado 2 en paralelo, una a cada lado del plano de simetria, y a la rcd simétrica resultante le instalaremos una pared magnética (fig. 6.1 Da) y otra pared eléctrica (fig. 6. IOh)

sucesivamente, con lo que se obtiene para los coeficientes de reflexión en el acceso 2 (o en el 3):

Obtenemos, finalmente, para el divisor:

s

6.4 Circuladores

j

f2

p'=pO=O

(6.37)

Se denomina circulador ideal a una red de tres accesos (también existen de cuatro, pero su uso es menos frecuente) sin pérdidas y no recíproca, cuya matriz S valga:

(6.38a) obien S [~~ ~l (6.38b)

Las matrices anteriores son, evidentemente, no simétricas y unitarias, y la red tiene la propiedad de

que, en condiciones de accesos t.erminados, la señal que se inyecta en uno de ellos solo sale por uno de los dos restantes, mientras que por el otro no sale nada, con lo que se mantiene por tanto, aislado,


6 Circuitos de microonda.\" (l/J. Redes de más de dos accem~·. Filtrm 203

a) b} el

(2 ) (2 ) (2 ) ZL

(~ (1)

Z Zo o T

(3 ) R (3)

Fig. 6.11 a) Diagrama de circulador b) Utilización como duplexor de antena c) Utilización para aislar un generador de las reflexiones de la carga ZL (aislador)

La figura 6.lla representa esquemáticamente un circulador con matriz S de la forma (6.38a). La

flecha curva interior representa el sentido de circulación o de flujo de señales entre accesos. En este caso:

(6.39)

Es evidente que la forma (6.38b) corresponde al sentido opuesto de circulación.

Una aplicación típica de los circuladores es como duplexores de antena (fig. 6.llb): la misma antena sirve simultáneamente para transmisor (r¡ y receptor (R), y el circulador se encarga del correcto direccionamiento de las señales.

En la otra aplicación importante, el circulador se utiliza para aislar un generador de las señales reflejadas por una carga desadaptada (fig. 6.11c); estas cargas son dirigidas hacia la terminación del acceso 3, donde son absorbidas. De esta manera, el generador no percibe nunca reflexiones y, en consecuencia, es como si estuviese siempre conectado a una carga adaptada.

En esta configuración, la red de dos accesos resultante de considerar solo los 1 y 2 (con el 3 terminado), se llama aislador y, como acabamos de ver, se caracteriza porque perntite el paso de



señales sin impedimento de 1 a 2 y no lo permite en sentido inverso. Su S será, por tanto:

S-(~ ~) (6.40)

Los circuladores se construyen con ferritas (materiales cerámicos no conductores, pero con propiedades magnéticas muy intensas) sometidas a la acción de un campo magnético estático. Su estudio queda fuera del ambito de este libro.

En la realidad. las matrices S no toman la forma ideal (6.38). ya que. por una parte. los circuladore, presentan pérdidas Y. por otra, los accesos aislados no lo están completamente. Es decir,

con

En este caso, se definen:

IS ,,1 ' IS221 ' IS"¡..: (~O)

IS 131 ' IS'II ' IS'21 < 1 (" 1)

IS12I, IS23I, IS311 oC 1 (~O)

a) Para un acceso, la pérdida de retorno o medida de la desviación de adaptación mediante:

LR (dB) = -20 log 1 S" 1 (i=I,2,3) (6.41)

(Si el acceso está adaptado, IS" I = O

h) Entre dos accesos entre los que hay transferencia de señal, la pérdida de inserción mediante:

L¡ (dB) = -20 log I Sij I (6.42)

(idealmente 1 Sij 1 1 y


6 Circuitos de microondas (JI). Redes de más de dos accesos. Filtros 205

e) Entre dos accesos idealmente aislados, el aislamiento mediante:

1 (dB) = -20 log ISul (6.43)

o b e n

1 (dB) (6.44)

La segunda definición es más correcta que la primera, ya que tiene en consideración las pérdidas de inserción en la dirección deseada y, por tanto, nos dice el nivel (en dB) de la señal no deseada relativo o por debajo de la no deseada. En la práctica, si las pérdidas de inserción son pequeñas (0,2 dB es un valor corriente) y el aislamiento es grande (25 dB también es corriente). la diferencia entre (6.43) y (6.44) se hace irrelevante.

6.5 Redes de cuatro accesos

Les redes pasivas de cuatro accesos más importantes son los acopladores direccionales (AD). elementos que permiten medir por separado ondas positivas y negativas de manera directa. La propiedad definitoria de un AD es la de tener dos pares de accesos desacoplados, es decir, cuatro elementos de su matriz S, que no pertenezcan a la diagonal principal, nulos.

Ahora, nos interesa demostrar la proposición siguiente:

Prop. Si un 4-accessos reciproco y sin pérdidas está completamente adaptado, es decir, si S,,=O (i=1,2,3,4), es un acoplador direeeional.(Es decir, S tiene cuatro elementos más nulos).

En efecto, supongamos:

O IX P Y

" O /) € S (6.45)

P /) O (J

Y € (J O

Por unitariedad:

11 x 21' = P/)' + yE = O (6.46)


206 Circuito.l" de microondas con lineas de transmisión

lf x 3f' - a&' + ya = O

lf x 4r = aE + p a' = O ( : ~ ;) (:.) ( ~ )

En el sistema (6.47), si el determinanle LI. es no nulo:

LI. = o'P - yE' , O (6.48)

(6.47)

entonces a=a=O y la proposición quedaría demostrada. Por otra parte, si .d=O, entonces, sumando y restando de (6.46), se obtiene:

po' yE'=O (6.49)

y necesariamente tendríamos otro par de valores de entre ({3,Ó;y,E) nulos.

Obtenemos, de esta manera una matriz S con 8 elementos nulos que, mediante un cambio de numeración de los accesos si es necesario, siempre puede ponerse de la forma:

O O P y

I O R

O O 1\ E S (6.50)

P & O O R' O

y e O O

(Es decir, hemos asignado los números [-2 y 3-4 a los dos pares de accesos desacoplados. Numeraciones diferentes sitúan los ceros en otras posiciones, pero de momento manejaremos siempre matrices como la (6.50)).

Dada la eslruclura de (6.50), es fáeil de ver que las submalriccs 2x2 no nulas han de ser también unitarias:

(6.51)


6 Circuitos de microondas (lI). RedeJ de más de dos accesos, Filtros 207

y, por tanto, se pueden escribir:

(: :) = ( ::: (6.52)

Si movemos adecuadamente los planos de referencia 1 o 3 podemos hacer <1>, ~O, y si movemos 2 o 4, podemos hacer q,2~O. Por tanto, para estos planos de referencia particulares, tendremos:

o O cosa sina

O O sina -cosa S

cosa sina O O (6.53a)

sina -cosa O O

De manera análoga, también podríamos haber puesto:

O O cosa jsina.

O O jsina cosa S (6.53b)

cosa jsina O O

jsina cosa O O

Adviértase que, una vez elegidos los planos de referencia adecuados, la red queda definida por un solo parámetro, el escalar O!.

Ejemplo 1 Consideremos un AD con S de la forma (6.53a) conectado como en la figura 6.12a: un generador en 1, una carga 2, en 3, y 2 Y 4 terminados. Para simplificar, supondremos inicialmente Di < < 1 (aunque esto no invalida las conclusiones que deseamos obtener) y por tanto,

cosa - 1, sin a ~ IX

b¡ O O 1 " a¡ b¡ 9! a 3

b2 O O " -1 O b 2 ~ aa 3 • = (6.54) b, 1 " O O a, b, • a¡

b, a -1 O O O b. "'" aa 1


208 Circuitos de microonda.l" con líneas de rransmisión

'V (1 )

C< < < 1 cos ~ ~ 1 , sen~ ~ ct - 1 b 3

-<-- 1 a 3

b 1 = QJ ' b 3 = al z -<-- b

4 _Zo o 2 b 2 =o:a 3 , b 4 = CXQ¡

~ (4)

(1) (3 ) (1 ) (3 )

al - ---;..b 3 =a 1 -<--a 3

r::::;> r::::;>

CLb3 -<-- ~a.al

(2) (4 ) (2) (4 )

Fig.6.12 a) Ejemplo de utilización de un AD. Las señales en 2 y 4 son proporcionales, respeClivamente, a las ondas positiva y negativa en la rama superior 2-3 (fig.b) c) Esquema simbólico del AD

Es decir, la señal se transmite por la rama superior 1-3 sin perturbación, mientras que en 2 y 4 obtenemos señales proporcionales a las ondas positiva y negativa en la rama superior (fig. 12b); de aquí el nombre de acoplador direccional.

Obsérvese además que:

P3 (6.55)

es decir, que podemos obtener una indicación directa del coeficiente de reflexión de la impedancia 2 3 o En el análisis anterior debemos tener en cuenta que:


ó Circuitos de microondas (l/). Redes de más de dos accesos. Filtros 209

1) Dada la simetría de S (ecuación (6.54» las ramas 1-3 y 2-4 son equivalentes. es decir, se pueden intercambiar la rama principal y la acoplada sin quc las conclusiones cambien, razón por la que el esquema simbólico de la figura 12e las representa simétricas.

2) Si '" no es muy pequeño y no podemos hacer aproximaciones, tendremos, en vez de (6.54):

(6.56)

En este caso, la onda que sale de la rama principal, b'l,. no se puede aproximar por al> ya que no podemos despreciar la fracción de potencia que se extrae por 4. En lugar de (6.55), ahora tendremos:

cosa:' P3 (6.57)

expresión que también caracteriza P3 una vez conocido C(,.

Ejemplo 2 La figura 6.13 muestra cómo dos acopladores direccionales iguales, junto con tres voltímetros adaptados al sistcma (es decir, de impedancia interna ZJ y dos terminaciones adicionales, forman un sistema básico de medida de los parámetros de S de un 2-accesos (o bien un n-accesos en general).

Nótese que la salida del dispositivo a medir está terminada, ya que también lo están las tres ramas del AD. Las expresiones que dan Sil y S21 en función de las tensiones medidas (V2 • V4 • V4 ') son de obtención inmediata.

Para medir S22 y S12 es suficiente con invertir la posición en que está instalado el dispositivo en el sistema .•

Para un AD se define el acoplamiento e en dB mediante la expresión:

e = -20 lag IS,.I = -20 lag (sina) (6.58)


210

DAM = Dispositivo a medir

1 V,

cosa V4

Circuitos de microondas con lineas de lram'müión

v = Voltímetro ideal (Z~ = "")

1 Vi 4

Fig. 6.13 Disposición de dos AD iguales y voltímetros ideales como sistema básico de medida de

parámetros S. Para medir S" y S12 se inviene el DAM

Si los accesos no están perfectamente adaptados ni aislados:

Sl1 SI2 S13 S14

SI2 Sil SI< ~S13 S

SI3 SI< Sil SI2

SI< -S13 SI2 Sil

se definen también las pérdidas de retomo en cualquier acceso (que hemos supuesto iguales) L R, y la directividad, D, mediante las expresiones:

(6.59) (pérdidas de retomo en dB)


6 Circuitos de microondas (11). Redes de más de do.\" accesos. Filtros

D = 20log IS I4I IS ,,1

(6.60)

211

(dirCClividad en dB)

La direetividad indica el nivel (en dB) de la señal indeseada en el acceso que debería estar desacoplado en relación con la señal acoplada.

6.6 Híbridos

Un AD de 3 dB (C~3 dB) se denomina circuito híbrido o híbrido. En este caso:

sin a. = cos a

y las formas canónicas para la matriz S dadas por (6.53) quedan:

O O 1 1 O O 1 j

[ O O [ -[ 1 O O j 1 S - S - (6.61a,b)

¡i 1 1 O O ¡i 1 j O O

1 -1 O O j 1 O O

Cuando el circuito responde a la forma (6.6Ia) se suele denominar hfbrido de 1800 , y si responde a la (6.6Ib), híbrido de 900 (fig. 6.14), si bien es evidente que podemos pasar de uno a otro. a una frecuencia determinada, mediante un cambio de plano de referencia.

En un híbrido de 1800, a los accesos desacoplados también se les llama suma (l.:) y diferencia (LI.);

véase la figura 6.14c donde, si se inyectan señales por 1 y 2, b, es proporcional a su suma, y b" a su diferencia. Evidentemente, la denominación también se aplica a 1 y a 2 si inyectamos las señales desde 3 y 4.

A continuación, consideremos tres ejemplos básicos de aplicación del híbrido de 1800.

Ejemplo 1 Puente de impedancias

Supongamos un híbrido 18(1' con un generador en 1, 2 terminado, y 3 Y 4 cargados arbitrariamente (fig. 6.15a). En la misma figura se calcula el valor de b, :


212

al (3)

(1 )

(1 ) (2)

(2 )

(4 )

bl

(1)

(l) (2) 0°

(2)

(4 )

el al ( 1 ) Zo

---;..

0°

~ (2)

Circuilos de microondw; con lineas de transmisión

(3 )

(4 )

(3 )

0°

]g)0

(4 )

b,

b,

1

j2

1

[~~j{l 1 j O O j 100

O 1 O 1

[1 n j2 1 O -1 O

1 - (a, +a,) (E) ,¡z

1 - (a - a ) (a) ,¡z , ,

Fig. 6.14 Esquemns simbólicos de híbridos de 900, a, y de 1800, b. Los accesos 3 y 4 de un híbrido de 1800 también suelen denominarse I (suma) y A (diferencia), respectiva

mente


6 Circuitos de microondas (lI). Redes de más de dos accesos. Filtros

a)

b)

r PI

~

(1)

(2)

si Z, = Z4

1 -a ti'

=

(3 )

(4 )

r P2

h SA

Z3

b, b, 1

Z4 b, -

ti b4

O O 1 O O 1 -1 1 1 O O 1 -1 O O

1 - (p - p 'a 2 ' 4"

a, O

p,b,

P4b 4

= b 2 = O (puente de impedancias)

r P3=-1

So P S12 S" PL P i = S 11 + -:-'-=-:=--= I-S"PL

SA [O e -a ] e -a O

Sv [O ej' ] e-N O

-e -2j41 P, -e -2a. e -2j41

Fig. 6.15 a) Un híbrido de 1800 como puente de impedancias: si ZJ=Z~ en el acceso 2 la tensión se anula

b) Síntesis de una impedancia arbitraria (coeficiente de reflexión P, arbitrario) mediante un atenuador variable y un desfasador variable

213


214 Circuitos de microondas con líneas de lransmüión

(6.62)

donde p, y P4 son los coeficientes de reflexión asociados con Z, y Z,. De llk'Ulera que si Z, =Z" b,=O, y por tanto un voltímetro (adaptado al sistema) detectaría un cero de tensión.

De esta manera, si Z3' por ejemplo, es desconocida y podemos variar Z4 de forma conocida (referencia), sabremos que Z, =Z, cuando hayamos obtenido un cero de tensión en 2 (puente de impedancias) .

La figura 6.15b indica la manera de realizar una impedancia arbitraria con un atenuador variable y un desfasador variable; el coeficiente de reflexión a la entrada vale:

Pl = -e -2a e-2j~ (6.63)

variando a entre (0,00 ) y 1> entre (0,1f). Si ambos, atenuador y desfasador, están calibrados (es

decir, si conocemos los valores de a y 1> en cada momento) también conoceremos el valor de PI'.

Ejemplo 2 Divisor de potencia

Si, como en el ejemplo anterior, el acceso 2 está terminado, para los otros tres accesos resultantes podemos escribir (respetando la numeración del híbrido):

(6.64)

Es decir, el 3-accesos resultante se comporta como un divisor/combinador de potencia ideal .•

Ejemplo 3 Detector de fase

Supongamos ahora que en los accesos 1 y 2 inyectamos señales coherentes de la misma amplitud, pero con fase diferente (fig. 6.16):


6 Circuitos de microondas (11). Redes de dos o má~' acce.\'O.\'. Filtro.\· 215

(6.65)

En la misma figura 6.16 se calculan los valores de b3 y b,:

(6.66a)

(6.66b)

Es decir, las fracciones de señal que se desvían a 3 y 4 dependen del desfase /;.</>=</>,-</>, entre a, y a2' Todavía más, se observa que:

De forma que si en 3 y 4 colocamos detectores cuadráticos (de impedancia interna 2,) y restamos sus salidas, la señal es proporcional a eos(/;.</» (detector de fase) .•

Digamos, finalmente, que un híbrido de 180" se comporta, básicamente, como la bobina híbrida utilizada en telefonía, y que consiste en un transformador con una toma simétrica en el devanado secundario (fig. 6.17). Es fácil ver que, con 203 =2"", 1 Y 2 están aislados, y un generador en 1 produce tensiones en 3 y 4 como las dibujadas en la figura. Por otra parte, un generador en 2 excita 3 y 4 con tensiones de sentidos opuestos entre sí.

Debe notarse que, sin embargo, en una bobina híbrida los accesos 3 y 4 no están aislados, ni está la red completamente adaptada.

Más adelante veremos otras aplicaciones de los híbridos a la realización de circuitos activos (amplificadores, osciladores y mezcladores).


216

Análogamente

Circuitos de microondas con Uneas de rransmisión

b 3

2a cos

<1> I - <1>,

2

1 l' <1> -<1>- <1> -<1> ,

Za (cos' I '-sen" ')=Zlalcos(<I>,-<I>,) Z Z -

Fig. 6.16 Un híbrido de 18(J' como detector de fase. Si a¡ y a, son coherentes y de la misma amplitud, las amplitudes de las ondas que salen por 3 y 4 son proporcionales al coseno y seno de la mitad del desfase entre a¡ y a,

1 :n (3)

;;) V3 i Z03

ZOI

( V 4i

(4 )

Z02 Z04=Z03

Con (3) Y (4) cargados de la misma manera: S}2=O

Fig. 6.17 Bobina híbrida. Los accessos 1 y 2 están desacoplados si Zru=Z04> con independencia de los valores particulares de n, ZO¡' Z02 y Zo,=Z(}4


ri Circuitos de microondas (11). Redes de dos o más accesos. Filtros 217

6.7 Realización de acopladores direccionales

Las más frecuentes, en el ámbito de las líneas de transmisión, son las que utilizan líneas acopladas (que estudiaremos más adelante) y secciones de línea en 1\/4.

Una forma de estas últimas es la esquematizada en la figura 6.18; cuatro secciones de línea en 1\14 formando un cuadrado (o un anillo), con las impedancias características iguales dos a dos. Dada la simetría, el análisis de esta estructura puede hacerse a partir de sus mitades simétrica y antisimétrica según explicamos en 6.1. y tal como se indica en la misma figura 6.18. Adviértase que se hace uso de un resultado anterior, recogido en la figura 6.14 (ejemplo 2 del apartado 6.1).

Resumamos los resultados obtenidos en la figura 6.18; la estructura es un AD si:

en cuyo caso:

O S" O S 14

S S 12 O SI< O

O S" O S 12

SI' O S" O

S 12 =- ..L j YOI JI + Y:Z

S 14

Y02 Y02 (6.69) YOI JI + Y~

Adviértase que la forma de S no coincide con las formas canónicas dadas por (6.53), lo que se subsana fácilmente si renumeramos los accesos (fig. 6.19 a y b). Para realizar un híbrido,

IS121 = ISI,I =1/ 12 y, por tanto:


218

(1) (2)

Z ~l A/4

O

Z 01

-!,j. - z-; IIL 02 02

Z ~l ZOl

o A;4

(3 ) (4 )

Situación par (P.M./circuitos abiertos)

Á /4

- Situación impar (P.E./cortocircuitos)

(1) /4 (2 )

Zo ~ zol ~ Zo

Circuiros de microondas con lineas de transmisión

Z ~J O

PS

Z =1 o

ZQ=j Zo2

Sl~ ::= S2; = O

SI; . Yol

-J¡-;y ,

o S"

S" O

O S"

S" O

Para línea en ).. / 8 tan {JI = 1

si y' = 1 _ y2 _ , ,1

si y2 2 Yo2¡ :::; 1 - Yol -,

' Yol

-J 1 - T J "

O S"

S" O

O S"

S" O

S14 = .!.(S:l-S;l) = _ YOl Y~2 = _ y 01

2 l+Y02

YOI

1 + Yo21

Fig. 6.18 Análisis de la estructura simétrica formada por un cuadrado de líneas en ),,/4. Si Yo/ = 1 + Yo/. la estructura se campona como un acoplador direccional


6 Circuitos de microondas (JI). Rede.s de dos O más accesos. Filtros

al (j) A/4 (2) si Zo' 1 , ZDl 1/12

201

O j O 1 A/4 Z Z A/4 02 02 1 j O 1 O S

ZOl /20 O J

1 O j O 1>/4

(3) 14 )

bl (j) (3)

zol O O j 1

z 02 Zo S 1 O O 1 j

~-

/2j 1 O O

ZOl 1 j O O

(2) 14 )

el ( 1 ) (3 ) 11 )

l:~r) 180 1800 c:)

:-1'4) (2) 14 ) (2 )

I I

di (1 ) (3 )

(2) (4)

Fig. 6.19 a) Forma particular de la estructura anterior para un híbrido (AD de 3 dB) b) Renumeración de los accesos

219

e) Esquema simplificado equivalenre. Se suelen omitir los transformadores J:-J

(cambios de signo de la tensión y de la corriente) d) Aspecto de realizaciones en línea microtira o triplaea (se representa la forma

de las tiras conductoras)


220 Circuitos de microondas con línros de transmisión

con lo que se obtiene la estructura de las figuras 6.19 a y b. Se advierte también el signo menos que afcela a todos los elementos Si}' por lo que el esquema equivalente es el de la figura 6.19c; los transformadores 1: -1 representan cambios de signo simultáneos en tensión y corriente y suelen omitirse, ya que normalmente la fase de los accesos 3-4 relativa a los 1-2 no es relevante (compárese con 10 dicho en el apartado 6.6 referente al circuito equivalente de una línea en ),,12, ligura 6.15).

Este híbrido, realizado en líneas triplaca o microtira, presenta el aspecto de la figura 6.19d en sus versiones rectangular y circular. Normalmente, se prefiere ésta última por su mayor capacidad de control de longitudes de línea y menor número de discontinuidades geométricas. que siempre suponen efectos indeseados. En las mismas figuras, que están aproximadamente a escala, se observa cómo la línea de Zo menor es más ancha que las líneas restantes. Este extremo, el ensanchamiento de las de impedancia alta, es el que limita la utilización de esta estructura cuando se desean acopladores direccionales con acoplamiento débil (C en dB grande).

Por ejemplo. si deseamos C=20 dB tenemos dos posibilidades: (ecuaciones (6.69) y figura 6.18):

a)

ISd' 10 - Y02 = .f99 = 9,95

Por lanto, con impedancia de referencia de 50 O, Zo, y Z02 serían de 5,0 O, Y la realización i1sica del híbrido imposible. Por ejemplo, con <,=2,1 (valor lípico de un substrato pláslieo) resulta w/h=48.

b)

10

1

.f99 = 0,10 1,005

En este otro caso, el problema estaría con la línea de Zo=500 O; para <,=2,1 resulta que wlh = 4,5'10' , y con los espesores típicos de substratos de microondas (h< 1 mm) la anchura de

la línea habría de ser muy inferior a una micra.

Olra forma posible de realizar un AD con líneas de transmisión es la esquematizada en la figura 6.20; un anillo de 1,5)" de longitud formado por cuatro tramos de impedancias Z, y 2" tres de ellos en ),,/4 y uno en 3),,/4, conectados al exterior mediante cuatro accesos. Dado que existe un plano de simetría, puede realizarse un análisis similar a los anteriores, tal como se indica en la misma figura.


6 Circuitos de microondas (11). Redes de dos o más accesos. Filtros

a) Situación par (P.M.lC.A.) (2 )

Ps

:\ .3/4

~l

1- y. , l-jY. _[l)

¡ l-jY,

,+jY¡+[~l I -JY,

~~º~J_Y~l ____ -_jY~l~Q~ ____ ~* 1 YO-l(1)YO~Y2 (2) y ~l

. 4- O V

+ 1 '+ - JV 1 1 _ --;¡. ~ V --=:a. --;¡... V

1 +-I<e- 1 +-1 2 V V'-

l l jV I

1

( l-jY¡j'-Y,' , , I +Y1 +Y2

s' "

(1 +jY.¡)'-Y,' , , 1 +Y1 +Yl

• V· Vi. Vl -VI + I 1 + 1 _(vi. v l -) -) 1 - I

Yz+jY¡-l

Y2 -jY¡+1

v; I vi.

. I

V,' (1 +s:,) ~_[v;

-J [V;) 1+ -vi. I

b) Situación impar (P.E./C.C.)

-w pI

-jY1O jy1Q ~ YO~l YO~Y2 YO~l

c) CotUlición de AD:

'y' o(I+S')~

11 l-jY.¡

Igual que el anterior con el cambio y/ - -y/

stl +S;1 o;; s~ +s; = O

(I-jY,)' - Y,' + (1 +jY, l'-Y,' o O

Fig. 6.20 Realización alternativa de un AD en líneas de transmisión. a) Cálculo de los parámetros Su' y b) de los SJ. Nótese que en ambos casos, y a diferencia de la estructura anterior. Su', S2/' SI/' y S22° no son nulos

221


222 Circuito.I' de microondas con lineas de transmisión

En este caso, y a diferencia de la realización anterior, S¡¡c, S22c, S]] '-' Y S22'-' no se anulan y la condición de AD (S,,=O) viene dada por:

en cuyo caso:

y por tanto:

con lo que se obtiene finalmente:

O

S = -jY,

-jY¡

O

l-Y~-Y:-2jYI

l+Y¡+Y;

- jY,

etc.

-jY, -jY¡

O O

O O

jY¡ -jY,

(6.70)

(6.71)

(6.72)

(6.73)

(6.74)

O

jY¡

-jY, (6.75)

O

También como anteriormente, los accesos pueden renumerarse para llevar S a una de las formas

(6.53) (figura 6.21e); y si hacemos Y¡ = Y, = 11 y2 ,obtenemos un híbrido descrito por:


6 Circuitos de microondas (Il). Rede.~ de dos () más accesos. Filtros 223

el (4 )

O O -jY, -jY,

O O -jY, jY, S =

-jY, -jY, O O

-jY, jY, O O

(2 )

Fig. 6.21 (Continuación de la figura anterior) d) Expresión de S con la condición de AD, Y/ + y,' = 1 e) Renumeración de los accesos para poner S en la forma canónica (6.53)

o O

L O O -1 S = - (6.76)

fi 1 O O

-1 O O

cuyo circuito equivalente simplificado, excepto por dos desfases adicionales de _90" en las salidas 3-4 (o, igualmente, en las 1-2), es el de un híbrido de 180" (fig. 6.21g).


224 Circuitm de microondas con líneas de transmisi6n

t)

Si Y, Y, 1 hibrido de 3dB -

/2 Zo

O O 1

S __ 1 O O 1 -1

fi 1 O O -1 O O

g)

(1) -900 (3) (1 ) 0° -900 (3)

± c) (2) 900 (4) (2)

-90°

Fig. 6.21 (continuación) f) Hfbrido realizado en línea microtira g) Circuito equivalente simplificado del híbrido anterior

La figura 6.2lf muestra el aspecto de la realización de un híbrido como éste en línea microtira.

Todas estas estructuras construidas con secciones de línea de longitud definida en términos de A son, evidentemente, válidas sólo a la frecuencia de diseño. Cuando nos apartamos de esta frecuencia, su comportamiento comienza a desviarse del ideal, por lo que son utilizables en la práctica, con una cierta degradación de prestaciones, en anchos de banda de hasta el 10-I 5 %. En cualquier caso, no son apropiados como elementos de medida, a los cuales generalmente se les exige un buen comportamiento en anchos de banda cuanto más grandes mejor.

Un circuito que, por su carácter resistivo, no presenta estos inconvenientes es la red de tres accesos de la figura 6.22a: un puente resistivo (puente de Wheatstone) utilizado para conectar un generador (1) a la impedancia desconocida Z (3) ya un voltímetro (2). Tanto el generador como el voltimetro


6 Circuilos de microondas (11), Redes de dos o más acce:W,L Filtros 225

a)

b)

e)

V "-o

(l )r----~ti

y=[2G-G] -G 2G

T VA

V3 t z

(3 )

VI =

V,

VA

(1) Acceso de generador (2) Acceso de medida

V,=VA-V. (3) Acceso de prueba

R=Z, = impedancia de referencia del sistema,

Z = y-l

V, 6

R +3Z R+Z

VA - V.

3 4 VI, V8

V o R-Z V,

8 R+Z --p

8

~VI R+3Z

Fig, 6,22 a) Esquema de un puente de impedancias utilizado como medidor de coeficientes de reflexión, La impedancia que debe medir es Z b) Equivalencia de redes utilizada para pasar al circuito e), en el cual se pueden calcular fácilmente VA y V.

y tres brazos del puente deben tener la misma impedancia resistiva, coincidente con la impedancia característica del sistema.



Bajo estas condiciones el análisis del circuito es sencillo y está resumido en la misma figura 6.22: basta con cambiar una red en 7r por su equivalente en T (fig. 6.22b). lo que permite calcular la tensión medida por el voltímetro. V,; se obtiene (fig. 6.22c):

v, Vo Z-R ---8 Z+R

(6.77)

Siendo p el coeficiente de reflexión asociado con la impedancia que se mide.

Por tanto, si Z está adaptada al sistema. Z=Zo. p =0 y entonces V, =0; mientras que. en cualquier otro caso. (6.77) proporciona el valor de p a partir de V,.

Sobre esta red de medida (puente reflectométrico o puente de impedancias) debemos hacer las siguientes advertencias:

1) Es esencial que el generador esté adaptado al sistema (Zr,=R=ZoJ. ya que de otra manera los cálculos no conducen a (6.77). Si un generador real no lo estuviera. habría que utilizar un circulador o, al menos, un atcnuador de atenuación suficiente.

2) La señal máxima que se obtiene en 2, V" es (cuando I pi = 1):

(6.78)

mientras que para el generador es:

Iv I = ~ (6.79) 1 avs 2

De manera que la máxima potencia que se obtiene en 2 está 12 dB por debajo de la potencia disponible del generador, P~;'

6.8 Líneas acopladas simétricas

Si dos líneas que discurren paralelas están suficientemente próximas, el acoplamiento mutuo capacitivo e inductivo entre ellas hace que las señales en una no sean ajenas a las de la otra. Este proceso es bien conocido desde los comienzos de la telefonía (diafonía), y a nosotros nos interesan las situaciones de


6 CircuiTOs de microondas (11). Redes de dos o más accesos. Filtros 227

acoplamiento intencionadamente elevado.

La situación más sencilla de análisis, que también es la más frecuente, es la de dos líneas idénticas situadas de tal manera que la geometría resultante acepte un plano de simetría dispuesto a 10 largo de su eje, como en el ejemplo de la ligura 6.23; dos líneas microtira de la misma anchura y construidas sobre el mismo substrato.

La célula elemental de dos líneas como éstas incluye, como parámetros primarios, la capacidad C, y la inductancia M mutuas por unidad de longitud. Esta célula se presenta también en la ligura 6.23, y su análisis se simplifica mucho si usamos los conceptos de paredes eléctrica y magnética.

PS Mdz

~" Fig. 6.23 Ejemplo de líneas acopladas simétricas: dos líneas microtira idénticas y paralelas

constntidas sobre el mismo substrato, y circuito equivalente de la célula elemental. e, y M son la capacidad y la inductancia mutuas por unidad de longitud. respectivamente

En la figura 6.24a se representa solo la parte capacitiva de la célula elemental, donde además se ha omitido cI dz que debería acompañar a C, y C, ; la información referente a la parte inductiva (L y M) será reintroducida más adelante.

La situación con una pared magnética en el plano de simetría es equivalente a tener las líneas excitadas de forma que V, = V,= V, (lig. 6.24b), Y en estas condiciones definimos la impedancia característica de modo par o simétrico Z/ mediante:

z' "

v' , (6.80)


228 Circuitos de microondaJ con líneas de fransmúión

a) b) Situación par (pared magnética)

c) Situación impar (pared eléctrica)

-PE

Fig. 6.24 a) Circuito equivalente de las capacidades de la célula elemental (hemos prescindido del dz)

b) El mismo circuito con una pared magnética en el plano de simetria (situación par) c) Idem con una pared eléctrica. situación impar

siendo V, + la ddp entre una de les líneas y el plano de masa para una onda positiva con simetría par. y 1,+ la corriente en una de las líneas para la misma onda.

Nótese que esta onda positiva par así definida se corresponde con la situación en la que las dos tiras conductoras se comportan como un conductor único respecto al plano de masa. Además. si esta onda se propaga con velocidad de fase v/o podemos escribir:

zf: = , (6.81)

ya que, evidentemente, al estar C2 conectada entre puntos en la misma tensión, no cumple ninguna función.


6 Circuitos de microondas (l/). Redes de dos o más accesos. Filtros 229

Análogamente, la situación con una pared eléctrica (pared conductora a potencial cero) es equivalente a tener las líneas excitadas de forma que V¡=-V,=V, y los puntos del plano de simetría conectados a masa (fig. 6.24c). Ahora definimos la impedancia característica de modo impar o antisimétrico Z," mediante:

z" , (6.82)

siendo, como en (6.80), V, + la ddp entre una de las líneas y masa para una onda positiva con simetría impar y 1/ la corriente en una de las líneas.

Una onda de este tipo se puede excitar mediante dos generadores, idénticos y en oposición de fase, conectados entre el plano de masa y cada una de las líneas. Si su velocidad de propagación (de fase) cs v/, tendremos:

z' , 1 (6.83)

según se desprende de la figura 6.24c.

Nótese que la introducción de las velocidades de propagación v/ y v/ es equivalente a recuperar la información de las inductancias, y que sus valores en función de las permitividades efectivas son:

e e (6.84)

En general, si hay más de un dieléctrico, f.re/;tt re/, dado que la distribución de campo eléctrico será diferente en la situación par y en la impar; pero si el medio es homogéneo como, por ejemplo, en el caso típico de dos líneas triplaca acopladas:

y, por tanto, las velocidades de fase serán iguales. En este caso, debido a que el +2e, > el se cumple que:


230 CircuitoJ de microondas can líneas de transmisión

z: > Z:

Una vez realizadas estas definiciones referentes a los modos de excitación par e impar. consideremos la red de cuatro accesos formada por una longitud f de líneas acopladas simétricas, conectadas al

exterior mediante líneas de impedancia unitaria (fig. 6.250). Es necesario suponer que el acoplamiento acaba bruscamente al pasar de la sección acoplada a las líneas de acceso, lo que en la práctica se consigue de manera aproximada haciendo que las líneas de acceso se hagan muy divergentes.

a)

~Z=l Z =l~ . ~ o

o l' t '1

c) Situación impar

(1) (2) ---o o o Z =1 Z Z =1 o o o --0-----0--

.... l'

~ =6 t o o

b) Situación par

(1) (2)

--0-----0-Z =1 Z e Z =1 ~

'< )

~e=Set

Fig. 6.25 a) Situación bajo análisis; una sección de líneas acopladas de longitud t conectadas al exterior mediante líneas de impedancia unitaria. Se supone que el acoplamiento acaba bruscamente al llegar a las líneas de acceso b) Circuito equivalente de la situación par c) Idem de la situación impar


6 Circuitos de microondas (!l). Redes de máJ' de do.l" acce.wJ. Filtros 231

Si analizamos la estructura descomponiéndola en situaciones simétrica y antisimétrica (fig. 25b Y 25c). obtenemos, teniendo en cuenta la, expresiones (§5,118) calculadas anteriormente:

S:1 S;2 j(Z,:- y;) tan <1> ,

(6.86) 2 + j(Z:' y;) tan <1> ,

S' S' 1 hO~<I>,) (6.87) 12 21

cos<l>, + j ~ (z;. y:) sin <1> , 2 +j(Z; +z:)tan4>e

<1>, p, I wQ con ,

vp

Para Slt=S2t y SI20=S21°, obtenemos expresiones similares cambiando adecuadamente Zoi! por Zon y

1>, por 1>,.

Si queremos que nuestra red sea un AD, debemos conseguir que:

o + o

expresión que, separando la parte real de la imaginaria, conduce a:

(6.89)

o

La última expresión se anula con independencia de los valores de 1>, y 1>, si:

Z' o y'

o

=

ZO o

z; Z: = 1

y' o

=

(6.9la)

(6.88)

(6.90)



y, con esta condición, (6.89) se convierte cn:

(Z,: - Y,:) (tan<jl, - tan<jl,,) o (91b)

que se cumple si v/=v/, ya que entonces c/:Je=rPo'

Por tanto, la conclusión a la que llegamos es la siguiente: una sección de longitud e de dos líneas acopladas es un AD si v/=v/ y Z/-Zoo = 1 (esta última expresión se sobreentiende para valores de impedancias normalizados. En caso contrario, se debe escribir como Z/'Zo" = Z/. con Zo la impedancia de referencia de los accesos).

En estas condiciones, se comprueba que:

y, por tanto:

S,,=S44=O

S23 ~(S~2-S?2) = O

(6.92)

1

j(Z;- Y;)tan<jl 2+j(Z;+Y;)tan<jl

(6.93)

Estas expresiones se acostumbran a escribir de la forma siguiente; definamos Ci mediante:

a z;-z:

(>O~ ya que Z; > Z:) (6.94)


6 Circuito,l' de microondas (lJ). Rede!i de más de dos accesos. Filtros

y entonces:

Finalmente:

S13 S24

i~:+Z:)'-(Z;-Z:)2 (Z:'Z:)2

4Z; Z; (Z;+Z:)'

4

f"l7 cos4> + jsin4>

j" sin 4>

li .~.~ í cos4> + jsin4>

233

(6.95)

(6.96)

Adviértase que si las líneas se alejan hasta desacoplarse, el tiende a cero y por tanto Z/=Z(J°. En este caso, la condición de AD se reduce a 2:=2,'=2., ",->o y:

S'2 -1 e -j4> S 13 - O (6.97)

cos 4> + j sin 4>

Ejemplo 1 Supongamos que queremos construir un AD de 20 dB mediante el procedimiento anterior en un sistema de 2,=50 {l. Si la rama principal es, por ejemplo, la 1-2, la 3-4 será la rama acoplada (fig. 6.25a), y por tanto:

IS ,,1 2 (6.98)

Dado que tenemos dos grados de libertad, '" y 1>, podemos fijar uno de ellos; normalmente se hace 1>=."./2~ ~sin 1> = 1, ya que, de esta manera, para un a dado el acoplamiento es máximo y, ya que sin 1> = 1, su variación relativa al cambiar la frecuencia es mínima (derivada nula).


234 Circrütos de microondas con llneaJ de lrum-müü¡n

De manera que:

10 -2

10 z,·zo = Z' = 2500 o o o

= Z; 55,280 Z; = 45,230 (6.99)

Cuando la frecuencia se desvía de la de diseño, el sistema continúa comportándose como un AD ideal

(S,,=O, SI4 =S" =0), pero el acoplamiento varía de acuerdo con (6.98) que, como ",' =0.01, se puede aproximar por:

IS 131' (6.100)

expresión para la que resulta la tabla de valores siguientes de C=20 lag 1 S"I.

Tabla 6, I Valores de e, según w/wo'

w/w" e (dB)

0,2 9,8 0,4 15,4 0,6 18,2 0,8 19,6 1,0 20 1,2 19,6 1,4 18,2

De manera que el AD funciona en un ancho de banda del 40%, con una degradación del acoplamiento de solo 0,4 dB .•


6 Circuitos de microondas (Il). Redes de más de dos acce.\'o.\'. Filtros 235

En la figura 6.26 se dan dos casos importantes de líneas acopladas simétricas; barras cilíndricas entre planos paralelos (estructura utilizada frecuentemente en sistemas que transportan potencias elevadas, como los radares) y líneas triplaca (stripline).

Ejemplo 2 Si el acoplador direccional de 20 dB del ejemplo anterior lo realizásemos con líneas microtira acopladas en substrato de f,=2, 1 tendríamos: Para las líneas de acceso de 50 [l, W/b =0,86; yen la zona de acoplamiento, para los valores calculados de Z: y Z,', resulta s/b=O,30 y W/b=O,84.

Para un espesor típico de b=I,O mm, s=0,30 mm, y este ancho de ranura es fácilmente realizable por métodos fotolitográficos. Sin embargo, si el acoplador a realizar fuese de 10 dE:

z' o

z· o

1,925 ~ = 070 b '

~ = 0041 b '

y si, como antes, b= 1 mm y s=0,04l mm, la dimensión de ranura seTÍa muy difícil de producir fotolito gráficamente con precisión.

Por tanto, con los substratos usuales (f,z2, grosorzO,5-I,O mm) es dificil realizar un AD con acoplamiento C;; 10-13 dE .•

6.9 Realización de inversores con líneas acopladas

Si en un AD realizado con líneas acopladas dejamos dos accesos en circuito abierto, como se indica en la figura 6.27, resulta una red de dos accesos para la que podemos calcular la matriz S de la manera siguiente: si en un AD terminamos el acceso (4 ') tendremos:

b ' O S 112

S 113 O a' 1 1

b ' Sl12 O O S '13 b ' 2 2 (6.101) b ' S 113 O O S '12 b ' 3 3

b ' 4 O S '13 S'12 O O


236

- Barras entre planos paralelos

s

w

- Striplines acopladas

w w

s

Circuitos de microondas con lineas de transmisión

Para

z' o

z" o

z' •

z· o

d b

< < 0,25

60 In [iÉ. coth 1t w 1 F, rtd 2b

60 In [4b tanh 1t W 1 F, rtd 2b

30rt K 1 (k,l = 30rt F(k l

F, K(k.l F. ' "

30rt K1

(k.l = 30" F(k l

F, K (k.l F, o

k = tanh( 1tW)'COth(~ w+s) o 2b 2 b

" , K(kl J

o .j1-k 2sin2cj>

dcj> Aproximadamente:

0,5 <. k 2 <. 1 K .!. In ( 2 1 + fk) = F (kl - • K 1 rt I-fk 1

O <. k 2 ,,0,5 K 1 e=~ - • --K 1 F¡(e)

Fig. 6.26 Valores de Z: y Z: para dos ejemplos de líneas acopladas simétricas


6 Circuitos de microondas (11). Redes de más de dos accesos, Filtros 237

a) b)

O) /

11 ,

(2' ) W2zzzz¿z;vflA

)

/ o--j (?7T~Z¿;ZT~ I 1-0

/ (3 ' ) 14' )

'" ~

le t -1 (2)

Fig.6.27 a y b: dos posibles formas de sección de lineas acopladas de longitud i con linea triplaca con dos accesos en circuito abierto; e: representación esquemática de estas situaciones

donde hemos utilizado apóstrofes para referimos a parámetros de la red de 4 accesos original (lig. 6.27c). De aquí se obtiene fácilmente que:

b l ¡ = S/12 b

l2 + S/ 13 b l

3

b ' Si I { b/¡ (Si2 Sil) I

2 12 a I = 12 + 1'3 a I -b ' Si I b l = 2S'lZSi 1'3 a l

¡ , 13 a l 4

b ' 4 Si" b l2 +S/12 b ' ,

Es decir, que para la red de dos accesos 1'-4' resultante, que podemos renumerar 1,2, tendremos:

con Sil

(

Si2 si2 12 1'3

S ~ 2S /

12 Sil'

2S1

12 Sil') ~ (Sil S il S/2 S

12 13 12

(6.103)

(6.104)


238 Circuitos de microondas con lineas de lrammi,\'Úln

En las proximidades de q, =71:/2 (longitud acoplada ~ A/4), q, = 71:12 +ilq" Y si 01 es suficientemente pequeño, podemos poner:

Jl-'" cos<l>+jsin<l> = ej~+(~2 -l)cos<l>"

1 - a 2 - a 2 sin 2 41

sin<l> " 1 _l (il<l»' 2

(6.107)

(6,105)

(6.106)

Por tanto, con un error del orden, en el peor caso, de o/il</> o (ilq,)' respecto de la unidad, podemos aproximar:

S 12 • 2j (J. J 1 - (J.' e -2jo (6.108)

parámetros que definen el circuito equivalente del 2-accesos como un inversor de constante J dada

por:

1-2,,' 7(' - I I - J' J'

1-2-~ = 7('+ 1 1 +J2 1 +J'

,,' ¡2 l' ,,2

(6.109) = 1 +J' 1 _ ,,2

y dos secciones de línea de impedancia la de referencia a la entrada y salida, y longitud eléctrica q,

(fig. 6.28). J también se puede poner directamente en términos de Z: y Z,' y viceversa:

(J. =

ze_zo o , (z:)' - 1 1 - (z:)' J

Z e +Z (} , , (Z:)' + 1 1 + (Z:)' JI.']'

Z' ~ ¡, e" ., ) , l (Z' - Z') J = (6.110)

Z" b+1'-J 2 ' ,

o


6 Circuitos de microondas (Il). Redes de más de dos accesos. Filtros 239

</>={31 " "2 , , ,

: z 1 J r Z : z' 11 +]2 +] o o o

O) (inversor) (2)

Z' o Ji +]2_]

Fig. 6.28 Circuito equivalente aproximado del circuito de la figura anterior cuando se cumple la condición de AD, Z/'Z/=]

6.10 Filtros paso banda con inversores en líneas de transmisión

El tema de filtros de microondas realizados en o con líneas de transmisión por si solo llenaría todo un curso; tal es la variedad de aproximaciones teóricas y de realizaciones posibles, a las que habría que añadir los filtros realizables en guía de ondas, con cavidades resonantes o con resonadores dieléctricos.

Frente a este amplio panorama, nuestro propósito en este apartado se limita a un solo tipo de filtros (paso banda), realizable con líneas de transmisión a partir de los prototipos convencionales de filtros paso bajo (Butterworth, Chebychev), utilizando el concepto de inversor de impedancias que hemos introducido anteriormente.

A pesar de la modestia del propósito, los filtros que describiremos son ampliamente utilizados, especialmente los realizados mediante líneas acopladas, para anchos de banda que van desde valores muy bajos (0,5-1 %) hasta valores moderados del 15-20%.

El punto de partida lo forman los prototipos paso bajo de la figura 6.29, que supondremos conocidos. Recuérdese que un mismo prototipo puede realizarse en dos versiones (circuitos duales) que tienen la misma función de transferencia.

El concepto de inversor nos permite transformar estos circuitos en los de las figuras 6.30 a y b, que utilizan elementos reactivos de un solo tipo (inductancias o condensadores). Los valores de los inversores Kij los calcularemos a partir de la identificación de los circuitos equivalentes; por ejemplo, si tomamos los de las figuras 29a y 30a (circuitos a los que nos restringiremos a partir de ahora):


240

1

e,

que proporcionan:

2 KOl

L' l

L'¡ L'i+1

gl g¡,i+l

, L,

KOl

( :!:]

~' K 12 = KOI -'

L,

KA,nll

Circuitm de microondas con linew; de transmisión

, Km /

etc. -L , ' KI2

L' • (6.11\)

En las n+ 1 ecuaciones anteriores tenemos 2n+ I incógnitas KU+l i=O, 1,2 ... n y Li , i = 1 ,2, ... n, por lo que podemos fijar libremente n; nonnalmente se toma:

L' - L' - L' = L' 1 - 2 - n

al

bJ

(6.112)

Ln =9 n

3n+l~gn+l (n par)

Fig. 6.29 a) Prototipos de filtro paso bajo (se ha dibujado para n par, de otro modo el elemento g. sena un condensador en paralelo) y b, su dual. Ambos tienen la misma función de transferencia. Normalmente, se toma go = 1


6 Circuitos de microondas (11). Redes de más de dos accesos. Filtros 241

al L; , L 2

1 r:.

Ro~ld KOl r:J K12 r:J K23 t ~, DG ~l n,n+I n+l

KO¡ Jf K¡,¡+¡ L¡L¡+l

g¡ g¡git 1

bl

Go~ld JOl ro e;

J 12 tD J 23 t ~ Ji.; +1

C¡C¡+l JO¡

g, gjg¡ ... l ~n J -n,n .. 1 - g g

11 11 + 1

Fig. 6.30 Versiones de los prototipos de la figura anterior utilizando inversores de impedancias/admitancias. Los circuitos dibujados continúan siendo duales

(lo que fija n-l valores) y queda:

... K¡.¡ ... l L'

... K n,n.¡.l (6.113)

expresiones en que L . todavía está por definir.

El paso siguiente consiste en realizar la transformación de frecuencias que lleve la respuesta del prototipo paso bajo (figura 6.31a), a la banda deseada (w¡,w,). La transformación es equivalente a la substitución de cada inductancia por un circuito resonante en serie:

(6.114)



con L Y w. elegidos de tal manera que a la frecuencia de corte del prototipo, w,' (normalmente igual a la unidad) le correspondan los extremos de la banda de paso (w"w,):


2

"'. '" --2 '" 2

2

"'. -W¡+-

"'1

L

-L 1

(6.115)

L1

"'. W (6.116)

En la última expresión se ha utilizado w, ' = 1 Y se ha introducido el ancho de banda relativo W:

a)

w=

jw'L'

w· 1

w·

b)

L in (dB)

L. ~n.r

(6.117)

Fig. 6.31 a) Respuesta (pérdida de transferencia de potencia 4. versus frecuencia normalizada) del prototipo paso bajo b) Idem del paso banda obtenida mediante la transformación de frecuencia inductancia .... resonante en serie (o capacidad .... resonante en paralelo) Normalmente, w¡'=1


6 Circuitos de microondas (1I). Redes de má.\· de dos accesos. Fillros 243

al L e L e L e

1 .fTTl11 ~ G =1 ~n+l

jw,WL

Jg¡gi+l

bl

Fig. 6.32 Prototipos paso banda obtenidos con las transformaciones de frecuencia resumidas en la figura anterior. W es el ancho de banda relativo, IJ,-f¡)/f,

De esta manera, se obtiene el prototipo de la figura 6.32a, donde también se indican los valores para los K,¡ que hemos obtenido al sustituir en (6.113) el valor de L' =w, ID. dado por (6.116).

Evidentemente, todos estos resultados se pueden volver a obtener para los circuitos b; pero como son duales de los a, pueden escribirse directamente sin mayor complicación, por lo que no volveremos a referirnos a ellos explícitamente.

Consideremos a continuación el circuito de la figura 6.33a; una colección de susceptancias jB" (de las que solo dibujaremos dos), intercaladas en paralelo en una línea de transmisión, de manera que se pueden interpretar como inversores y tramos de línea en A/2. Para los tramos de línea podemos poner su circuito equivalente, calculado en el apartado 5.6, y si suponemos:

a) Que los tramos de línea f,¡ y f¡, son pequeños (<p,¡, <p¡, < < 71").

b) Que las susceptancias son grandes (casi cortocircuitos):


244 Circuitos de microondas con [[neas de transmisión

entonces, en las proximidades de w, que hace la línea de AI2, podemos ignorar los circuitos L)ICp

de impedancia alta respecto de los Bij' Bjk Y al circuito serie 2Ls-C/2. De esta manera~ nuestro

circuito original queda reducido a inversores y circuitos L-C, como en la figura 6.33a, que a su vez son los que forman el prototipo paso banda en la figura 6.32a.

Finalmente, resulta que la estructura de la figura 6.34a, formada por n + 1 reactancias intercaladas en una línea de transmisión, se comporta como un filtro paso banda de orden n si sus valores y sus longitudes de espaciamiento se escogen de acuerdo con las expresiones que aparecen en la misma figura.

Conviene que en estos momentos resumamos las aproximaciones realizadas:

1) Los inversores no son ideales. En el mejor de los casos, si las reactancias son inductivas, aunque su comportamiento con la frecuencia es mejor, sus constantes KII varían con la frecuencia.

2) El circuito equivalente formado por inductancias y condensadores para una línea en AI2 es de validez limitada a un ancho de banda máximo del 30-40 %, dependiendo de la exactitud deseada.

3) La aproximación anterior se degrada al ignorar los resonantes en paralelo frente a los resonantes en serie.

4) Todos los errores anteriores son acumulativos, y el efecto de acumulación aumenta, evidentemente, con el orden del filtro.

El resultado es que su respuesta coincide con la teórica en las proximidades de la frecuencia central

del diseño, wo, y se desvía progresivamente a medida que nos vamos alejando de dicha frecuencia.

No obstante, para órdenes moderados (n hasta 7), el diseño se comporta bien para anchos de banda de hasta el 15 % y, en todo caso, las desviaciones más grandes se producen a frecuencias en las que las atenuaciones previstas son altas y, por tanto, los errores menos importantes.

En todo caso, una vez fijados los parámetros dcl circuito de la figura 6.34a, su análisis exacto (por

ejemplo, mediante el producto de matrices ABCD) se puede realizar de manera muy sencilla con el ordenador, y de esta manera cuantiricar las desviaciones para ver si son O no aceptables.

Ejemplo 1 Podemos hacer una evaluación de los órdenes de magnitud de los parámetros implicados de la manera siguiente:


6 Circuiros de microondas (11). Redes de más de dos accesos. Filtros 245

a) 2~i~ ~/2 2~'k :Oi2

2Ls Cs /2 2~jk e: E ;¡ E J:;¡ ~

jB~ Zo !Bjk --4- jBi! ~ + ®YI ~ + IB

jk

LpCp LpC p

Si IB"I. I Bj,l > >1 (casi cortocircuitos) - 14>"1. I 4>j' I < < 1 => (para WZúJ,) =>

L e

j ~1 Kjk t L = 2L TI

K .. s 2"'0 '1

IBijl l-i'

~tanl( ! ) --" '" ij K¡j B¡j

b) jXij A/2 jX' k

=~f~IU= -.,..;. .,.,. .,.,. «+ L C Lp Cp ~ ij ~ij Qjk $jk P P

Si Ixijl .IXj.1 »1 (casi circuitos abiertos) - 1'" ij I .1"'j.1 « 1 - (para "'-"'o)

C = 2C p

TI

2 "'.

, epu

Fig. 6.33 a) Interpretación de dos susceptancias de valor elevado (casi cortocircuitos) insertadas en una línea de transmisión como dos inversores y un circuito resonante (célula básica del prototipo paso banda de lafigura 6.32a). b) Estructura dual de la anterior



a) , ~l ;;¡ E "2 • " ~

z g g g g g z o o

BOl 8'2

8 23 Bn,n+l

<Pj

1t W . "'2 ,Kn,n+l jg,g'd

1t W -~~-

b)

. . .. ----c>---o--

1 1t+-

2 (tan-I _2_ + tan- I _2_ )

X¡-l.i Xj,j+l

1t W

2 jg,g'd

Fig. 6.34 Como culminación del proceso seguido a pan;r de lafigura 6.29: a) Realización de un filtro paso bajo en una línea de transmisión mediante la

inserción de reactancias en paralelo b) Idem en serie (circuito dual del anterior)


6 Circuito,l' de microonda,l' (JI). Rede,~ de más de dos accesos, Filtros 247

Para filtros Butterworth con n,,;6 resulta 0.5";gi";2.0, y para filtros Chebychev con 2";n,,;7 y rizado en la banda de paso r";0.2 dB, 0.67";gi";2.27.

Por tanto, en orden de magnitud:

Por ejemplo, si en una línea de 50 ll'¡o=3GHz, J,:!; =30 MHz (W= 10-2= 1 %):

L i ,i.l - 30 pH

Si la realización se hubiese realizado con condensadores en serie (prototipos b que conducen a la configuración final de la figura 6.34b) habríamos obtenido:

Ix",.d - 100 - e ','d - 0,01 pF

COI' Cn,n+1 - 0,1 pF

•

Ejemplo 2 Se desea conseguir un filtro Chebychev con rizado r=0,5 dB, banda de paso (3,047 GHz/3,157 GHz) y atenuación superior a 30 dB en las frecuencias fo=2,786 GHz y J,=3,326 GHz.

a) Identificación del prototipo

W = 3,55 % fu J fJ, = 3,102 Ghz


248 Circuito.\' de microondas con líneas de transmisión

La transformación de frecuencias (6.114) puede escribirse:

y obtenemos:

",, , -6,06

1)

",lb 3,93

De los gráficos normalizados de atenuación (figura 6.35), se obtiene para n=3:

LA (6,06) = 49,5 dB LA (3,93) = 38,5 dB

mientras que para n=2 estaríamos fuera de las especificaciones. Por tanto tomamos n=3, con lo que tenemos un margen razonable de atenuación enf" y f, para absorber errores, y resulta (fig. 6.36):

(al ser n=impar, el filtro es simétrico).

b) Realización fisica

En línea microtira resulta más fácil de realizar la versión de la figura 6.34b con condensadores en serie. Se obtiene:

J OI

= ~ %: J 3. = 0,187 BOl J 01

= B3. = 0,194 Yo Zo -2

1 -J 01

J I2 7t W J 23 = 0,0421 , BI2 = B 23 = 0,0422 ----

Yo 2 J gl g2 Yo


6 Circuitos de microondas (11). Redes de más de dos accesos. Filtros 249

60

1 " .. ""

'0

I

" ,o

02< O.'" 0.>0 ro '.0 2.0 30 5.0 71> 10.0

I:}'

Fig. 6.35 Curvas características de filtros de Chebychev con rizado de 0,50 dB con el orden del filtro n como parámetro

VALUE OF " '1 " '3 '. 's '. 1- " 'B '. '10 a:n

O. S db rirph I

1 0.6986 1. 0000 2 1.4029 0.7071 1. 9841 I 3 1. 5963 1.0967 1. 5953 1.0000 I

4 1.6;03 1.1926 2.3661 0.8419 1. 98<1 5 1. 7058 1. 2296 2.5408 1:2296 1.7058 1.0000 I 6 1.7254 1. 2479 2.6064 1. 3137 2.4758 0.8696 1.9841 7 1. 7372 1. 2583 2.6381 1.3444 2.6381 1.258:: . !. 7372 1. 0000 8 1. 7451 1. 2647 :2 .6564 1. 3590 2.696" 1. 338912.5093 0.8796 1.9841 9 l. 750. 1. 2690 2.6678 1. 3673 2.723' 1.3673 2.6678 1.2690 1. 750. l.0000

10 1. 7543 1.2721 2.6754 1.3725 2.7392 1. 38Q6 2.7231 1. 3485 2.5239 0.8842 1. 9841

Hg. 6.36 Tabla de valores de los elementos de los filtros de la figura anterior con g,=l y w,'=l


250 Circuitos de microondas con lineas de tra1lsmisión

COI C" ~ 0,20 pF C l, = C" ~ 0,045 pF

<JI 1 I (1 2 _1 2 ) 2,914 0,927 ~ 1t+- tan -+tan -2 - - 2 X Ol X 12

<JI, 1 2ta -1 2 3,052 - 0,971 ~ 1t+- n-2 Xl' 2

La.~ capacidades Cij se pueden realizar mediante ranuras transversales en la tira conductora, como se indica en la figura 6.37, si bien para obtener valores del orden de 0,20 pF como el que hemos calculado, la ranura debe ser tan fina que su fabricación puede resultar dificil..

I PS - - I - -x01 X12 X23 x34

/'////1 I'Z//a W#03 vm/31 V////

I I

11<--1, --->1,11<-1, ~'II' '11 ~l ~2 ~3

Fig. 6.37 Realización en línea microtira de un filtro como el de la figura 6.34b; los elemenros de acoplamiento Xii son las capacidades existentes entre los bordes de la tira conductora producidos por eones de anchura controlada

Los tipos de filtros analizados responden a la forma general de la figura 6.38a: secciones de línea en ),,/2 entre inversores de impedancias Kyladmitancias Jij'

Si consideramos dos secciones de líneas acopladas con dos accesos en circuito abierto como las del apartado 6.9 (figs. 6.27 y 6.28), su circuito equivalente, en las proximidades de <1> = rr/2 (longitud de acoplamiento f = ),,/4), viene dado por dos inversores con un tramo de línea en )J2 en medio y tramos en ),,/4 a la entrada y salida (fig. 6.38b). Estructura que, aumentada con la adición de más secciones


6 Circuitos de microondas (11). Redes de más de dos accesos. Filtros

81

b)

\/2

Z:J JOl ( Zo

(K01

)

A/4 A/4 l' '1' "

J J l2

(Kl2

)

W~ I

),/2

( Z J J 23 o

(K23

)

[ (Kn,n+l)

Fig. 6.38 a) Forma general de un filtro con inversores y líneas de transmisión en AI2.

251

b) Circuito equivalente de dos secciones de líneas acopladas en las condiciones de la figura 6.28; adviértase que forman la estructura básica de a.

acopladas, conduce a la forma general de filtro que analizamos y que, vistas las expresiones obtenidas, resumimos en la figura 6.39.

La ventaja mayor de este tipo de filtros respecto al del ejemplo 2 (acoplamiento capacitivo por cortes en la tira conductora) está en el hecho que, para una misma respuesta, las separaciones s entre las tiras acopladas son más anchas que las de los cortes y, por tanto, más fáciles de realizar con precisión por procedimientos fotolitográficos.

Ejemplo 3 Para los mismos valores del ejemplo 2, la realización con líneas !riplaca (slripline)

acopladas requiere los valores siguientes para la primera y la última sección, que son las del acoplamiento más intenso:

a) Para <,=2,1; w/b=0,7588 s/b=0,0848

b) Para f,=IO,O; w/b=0,1669 s/b=0,2155

Para b= 1 mm, por ejemplo, las ranuras deben ser de 84,8 y 215 ¡Lm, respectivamente.


252 Circuitos de microondas con lÍneas de tra1lsmisión

1./4 1/4 ),/4 lE ,lE ;1, ;1

1 C~-'L_~

[ I

~

1t W "2 '

Jg;-lg; Jn,n + 1

con

Fig.6.39 Aspecto de las tiras conductoras de un filtro realizado con líneas acopladas, y expresiones para su diseño

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