Circuito Equivalente de Transformador Trifasico

7/26/2019 Circuito Equivalente de Transformador Trifasico

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VALORES ASIGNADOS O NOMINALES

Las tensiones asignadas o nominales (V1N, V2N) son aquellas para las que se ha diseadoel transformador. Estas tensiones son proporcionales al nmero de espiras (N

1y N

2) de cada

deanado.

La potencia asignada o nominal (!N) es la potencia aparente del transformador que elfa"ricante #aranti$a que no produce calentamientos peli#rosos durante un funcionamientocontinuo de la m%quina. Los dos deanados del transformador tienen la misma potenciaasi#nada.

Las corrientes nominales o asignadas (&1N, &2N) se o"tienen a partir de las tensionesasi#nadas y de la potencia asi#nada. 's, en un transformador monof%sico se tiene que

!N = V1N

&1N

= V2 N &2N

(1)

La relacin de transformacin (m) es el cociente entre las tensiones asi#nadas del primarioy del secundario

m =V1NV2N

(2)

*eniendo en cuenta la relaci+n (1) y que las tensiones asi#nadas son proporcionales a los

respectios nmeros de espiras, se deduce que

m =N

1

N2

=V

1N

V2N=

&2N

&1N

()

La relacin de transformacin asignadaes el cociente entre las tensiones asi#nadas del

"o"inado de '.*. y del "o"inado de -.*.

V'* N

V-* N

()

/or consi#uiente, en un transformador reductor la relaci+n de transformaci+n asi#nada es

i#ual a la relaci+n de transformaci+n m, mientras que en un transformador eleador es i#ual a la

inersa de m.

CIRCUIO E!UIVALENE DE UN RANS"ORMADOR MONO"#SICO


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El circuito equialente de un transformador representa de una manera sencilla y "astante

e0acta el funcionamiento de un transformador real.

ediante esta tcnica, el an%lisis de un transformador se a a reducir a la resoluci+n de un

sencillo circuito elctrico de corriente alterna.


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Separacin de los efectos de las resistencias $ de los fl%&os de dispersin' Con(enios de signos

Fig. 1: Transformador en carga

En la 3i#.1 est% representado el esquema de un transformador real en car#a. En l est%n

refle4ados los conenios de si#nos que se an a utili$ar en este te0to para anali$ar esta m%quina.

Es preciso sealar que otros autores emplean unos conenios de si#nos diferentes, lo que de"er%

ser tenido en cuenta por el lector si consulta otros li"ros.

/ara las corrientes y los flu4os se ha adoptado un criterio de si#nos tal que cuando la

corriente de primario, &1, es positia crea (si#uiendo la re#la del sacacorchos) un flu4o comn, ,

positio5 pero una corriente secundaria, &2, positia #enera un flu4o ne#atio. Los deanados

tienen, respectiamente, unas resistencias 61 y 62 y #eneran unos flu4os de dispersi+n d1 y

d2, adem%s del flu4o comn . El flu4o d1 es la parte del flu4o #enerado en el deanado

primario que no es a"ra$ada por el deanado secundario y el flu4o d2 es la parte del flu4ocreado en el deanado secundario que no es a"ra$ada por el deanado primario. El conenio de

si#nos adoptado para los flu4os de dispersi+n es tal que una corriente &1positia #enera un flu4ode dispersi+n d1positio y, an%lo#amente, una corriente &2 positia da lu#ar a un flu4o d2

positio.

Las lneas de campo ma#ntico correspondientes a los flu4os de dispersi+n tienen unrecorrido que incluye el ncleo ma#ntico (de hierro), pero tam"in el fluido que rodea al ncleo

y, en su caso, la cu"a del transformador. Esto si#nifica que los flu4os d1 y d2 circulan en #ranmedida fuera del hierro (lue#o, apenas les afecta el #rado de saturaci+n que e0ista en elncleo

ma#ntico) y, adem%s, s+lo son de"idos a una de las corrientes &1 e &2, respectiamente. /or

consi#uiente, su efecto equiale al de unas "o"inas con coeficientes de autoinducci+n

pr%cticamente constantes dados por estas relaciones

Ld1 =N

d1

&1

Ld2 = N

2

d2

&2

(7)

Las reactancias de dispersin 81 y 82 de"idas a estos coeficientes de autoinducci+n alen

81 = 2 f Ld1 82 = 2 f Ld2 (9)

donde f es la frecuencia.

1


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/or lo tanto, para facilitar su an%lisis, el transformador de la 3i#. 1 se lo sustituye por otro

ideal en el que los deanados carecen de resistencia y de flu4o de dispersi+n, pero al que se han

conectado en serie con cada deanado una resistencia y una autoinducci+n para que se comporte

como el transformador real de la 3i#. 's se o"tiene el transformador de la 3i#. 2.


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Fig. 2: Separacin de las resistencias y de las reactancias de dispersin

!e denominan e1 y e2 a los respectios alores instant%neos de las f.e.m.s inducidas por el

flu4o comn so"re los deanados primario y secundario. 6ealmente, aunque por comodidad se

an a denominar f.e.m.s a e1 y e2, se a a adoptar para ellas el conenio de si#noscorrespondiente a las fuer$as contraelectromotrices (f.c.e.m.s). Esto si#nifica que la Ley de

Faraday se de"e aplicar en este caso con si#no :

e1=+d1dt

=N1

d

dt e2=

+d2dt

=N2

d

dt(7)

El conenio de si#nos para estas f.e.m.s es, pues, que e1 y e2positias intentan #enerar

corrientes que ori#inen un flu4o comn ne#atio. Este conenio est% representado en la 3i#. 2.

En efecto, el si#no de una f.e.m. iene dado por la Ley de Lenz ;el si#no de una f.e.m. es tal que se

opone a las ariaciones de flu4o que la #eneran


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El transformador a"sor"e potencia por el primario. /or esta ra$+n, se ha adoptado para V 1 el

conenio de si#nos de carga es la tensi+n V1 de la red que alimenta al primario la que ori#ina la

corriente &1. Lue#o, la tensi+n V1 ser% positia cuando d lu#ar a una corriente &1positia (como

se ha representado en la 3i#. 2).

!in em"ar#o, el transformador suministra potencia por su secundario, por lo que se ha

adoptado para V2 el conenio de si#nosgenerador la corriente &2 es #enerada por f.e.m. E2 y la

tensi+n V2 se opone a &2. /or lo tanto, una tensi+n V2positia tiende a que la corriente &2 seane#atia (como se ha representado en la 3i#. 2).

A"serando la 3i#. > se deduce que se erifican las si#uientes relaciones

V1=E1+R1 I1+j X1 I1

(1B)

V2=E2+R2 I2+j X2 I2

Marc)a ind%strial

!e dice que un transformador funciona con una marcha industrial cuando su primario se

encuentra alimentado a la tensi+n y frecuencia asi#nadas. /or lo tanto, lo ha"itual es que un

transformador est funcionando con una de estas marchas.

Cay muchas marchas industriales, siendo las m%s si#nificatias la marcha en aco, cuando

el transformador no tiene nin#una car#a en el secundario, y la marcha asi#nada o nominal,

cuando funciona suministrando la potencia asi#nada.

!i en todas las marchas industriales la tensi+n y la frecuencia primarias son las mismas (latensi+n y la frecuencia asi#nadas), el alor efica$ E1 de la f.e.m. primaria tam"in es

pr%cticamente i#ual en todas ellas (en la primera de las ecuaciones (1B) las cadas de tensi+n en

61 y 81 son muy

pequeas frente a E1). En consecuencia, de acuerdo con (?) el alor m%0imo del flu4o

ma#ntico comn pr%cticamente consera el mismo alor en todas las marchas industriales.

Domo se estudiar% m%s adelante, en un transformador se producen las denominadas

prdidas

en el hierro, /3e, que es la potencia perdida de"ida a los fen+menos de la histresis

ma#ntica y de las corrientes de 3oucault. Estas prdidas tienen un alor proporcional al alor

m%0imo del campo ma#ntico comn (o, lo que es equialente, al alor m%0imo del flu4oma#ntico comn, ) y a la frecuencia. En consecuencia, en todas las marchas industriales de

un transformador las prdidas en el hierro /3e tienen pr%cticamente el mismo alor.


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Marc)a en (ac*o

n transformador se dice que funciona en (ac*o (3i#. ) cuando su primario se conecta a latensi+n asi#nada (V1N) y su secundario se de4a en circuito a"ierto (lue#o, &2 F B). La marcha en

aco es, pues, una de las marchas industriales del transformador. Duando un transformador

funciona en aco se denominan &B, /B, cosB y V2B a la corriente primaria, a la potenciaa"sor"ida por el primario, al factor de potencia en el primario y a la tensi+n en "ornes delsecundario, respectiamente.

!e denominaprdidas a una potencia que no se aproecha (potencia perdida) y que se disipa en forma de calor.


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Fig. 3: Transformador en vaco

El alor efica$ &B de la corriente de aco es tan pequeo (&B no suele superar el 7G de &1N)

que se pueden despreciar las cadas de tensi+n en el primario (cadas de tensi+n en la reactancia

de dispersi+n 81 y en la resistencia 61 del deanado primario). Lue#o,

En aco V1 F V1N y, adem%s, &B


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muy pequeas (pues &B es muy pequea). Lue#o, en aco la potencia actia consumida por el

primario (/B) pr%cticamente es i#ual a las prdidas que se producen en el ncleo ma#ntico o

prdidas en el hierro (/3e) de la m%quina


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Fig. 4: Diagrama fasorialde un transformador en vaco

/B = /3e (1,)

/or consi#uiente, durante la marcha en aco el dia#rama fasorial del transformador es el

representado en la 3i#. . En esta fi#ura se o"sera que la corriente de aco &B se puede

separar en dos componentes perpendiculares entre s. na de estas componentes, &, est% en fase

con el flu4o comn, , y es la que #enera dicho flu4o. & es perpendicular a la f.e.m. E1 y a la

tensi+n V1 , lue#o no da lu#ar a nin#n consumo potencia actia. Es preciso, pues que e0ista

adem%s otra componente, &3e , de la corriente &B que est en fase con la tensi+n V1 del primario y

ori#ine el consumo de la potencia /B. Lue#o, se tiene que

& B =& 3e + &

(1.)

Ec%acin del circ%ito magn+tico

En aco el flu4o comn es ori#inado nicamente por la corriente &B, mientras que en

car#a es de"ido a la acci+n con4unta de las corrientes &1

e &2. !i am"os estados corresponden a

marchas industriales, el flu4o comn pr%cticamente consera el mismo alor en ellos y, por tanto,

la fuer$a ma#netomotri$ total del circuito ma#ntico tam"in es pr%cticamente la misma. 's

pues, se erifica que

N1I1N

2I2=N

1I0

I1=I

0+(N2N

1)I2(15)

En esta e0presi+n el efecto de la corriente secundaria &2 est% afectado de un si#no ne#atio

de"ido al conenio de si#nos adoptado para las corrientes y los flu4os.


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Red%ccin al primario

@esde un punto de ista matemtico la reducci+n al primario consiste en un cam"io de

aria"le en las ma#nitudes del secundario que facilita el an%lisis de esta m%quina. Las

ma#nitudes secundarias reducidas al primario &I2, VI 2, JI 2, 6I 2 y 8I 2 se o"tienen mediante las

relaciones (19).


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(19)

@esde un punto de istafsico la reducci+n del secundario al primario consiste en sustituir el

deanado secundario por otro equialente de forma que el resto de la m%quina no se ea afectado

por este cam"io. Esto si#nifica que al sustituir el secundario real por el equialente las

ma#nitudes del primario, el flu4o de potencia a tras del transformador y el campo ma#nticono cam"iar%n y, por lo tanto, el flu4o comn m%0imo se#uir% conserando el mismo alor.

'dem%s, el secundario equialente se eli#e de forma que ten#a el mismo nmero de espiras que

el primario. 's pues, se tiene que

NK2 = N1 = m N2 (1=)

Domo el nmero de espiras del secundario reducido al primario es idntico al del primario y

el flu4o comn no cam"ia cuando se utili$a el secundario reducido al primario, se deduce que la

f.e.m. inducida so"re este secundario equialente EI2 es la misma que la del primario E1. /or lo

tanto, se cumple que

EK2 = , NK2 f = , N1 f = E1 EK2 = m E2 = E1 (1?)

'n%lo#amente, la tensi+n en "ornes VI2 y las cadas de tensi+n en los secundarios reducido

al primario y real est%n li#ados mediante una relaci+n similar a la (1?) (ase (19)).

/ara que el flu4o comn sea el mismo que con el secundario real, el secundario reducido al

primario de"e #enerar la misma f.m.m. que el secundario real

N '2

I '2=N

2I

2 I '

2=

I2N

1/N

2

=I2m

*am"in se puede demostrar que la resistencia 6I2, la reactancia 8I2 y la impedancia JIL deeste secundario equialente est%n relacionadas con las respectias ma#nitudes del secundario

real mediante las e0presiones incluidas en (19).

Domparando las relaciones () y (19) se deduce f%cilmente que


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VK2N= V1N

&K2N = &1N (1>)

!e puede compro"ar que en la reducci+n del primario al secundario se conseran los

%n#ulos de fase y que las potencias actia, reactia y aparente del secundario no aran, lo que se

resume en las e0presiones (2B)

(2B)

En la reducci+n del secundario al primario tam"in se conseran los alores del flu4o comn

y de las prdidas en la m%quina. /or consi#uiente, el rendimiento no cam"ia.

@e lo anterior se deduce que el comportamiento de un transformador se puede anali$ar

utili$ando los alores reales de las ma#nitudes del secundario o los alores reducidos al

primario. Don los dos sistemas se o"tienen los mismos resultados, pero resulta m%s c+modo

tra"a4ar con alores reducidos al primario.

Circ%ito e,%i(alente

*ra"a4ando con las ma#nitudes del secundario reducidas al primario, las e0presiones (1B),

(1) y (17) que representan el comportamiento del transformador se conierten en estas otras

(21)

El circuito equialente de un transformador monof%sico est% representado en la 3i#. 7. !e

puede compro"ar que este circuito equialente erifica las relaciones (21) y, por lo tanto, refle4a

fielmente el funcionamiento del transformador.


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Fig. !: "irc#ito e$#ivalente de #n transformador

Las ecuaciones (21) se pueden representar #r%ficamente mediante el diagrama fasorialmostrado en la 3i#. 9.


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Fig. %: &iagrama fasorial de #n transformador con el sec#ndario red#cido al primario

Don el o"4eto de que la 3i#. 9 sea m%s clara, en ella se han e0a#erado las cadas de tensi+n.

En realidad las tensiones V1 y VK2 pr%cticamente est%n en fase.

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