1. Análisis de circuitos de Corriente Directa

1.1. Corriente, voltaje y potencia

Como primer punto definiremos los terminos Voltaje,Corriente y Potencia:

VOLTAJE:

Lo podemos definir como, la diferencia de potencial electrico que existe entre dos puntos y su unidad de medicion es el voltio ( V ).

POTENCIA:

Es la energia electrica que se suministra a un dispositivo por un tiempo determinado,su unidad de medicion en el watt ( w). y que puede ser de dos maneras como potencia absorvida o potencia suministrada.

POTENCIA ABSORVIDA:

Para un elemento que se le suministra un voltaje, la corriente circulara atraves del dispositivo de la terminal positiva a la terminal negativa, esto se realiza por convencion pasiva, y segun esto el voltaje indica el trabajo necesario para mover una carga positiva en direccion indicada por la corriente. Entonces la potencia calculada multiplicando la corriente por el voltaje en el elemento sera " P = VI " esa es la potencia absorvida por el elemento.

POTENCIA SUMINISTRADA:

En este caso la potencia se calcula bajo la condicion de la direccion de la corriente, en este caso el voltaje indica el trabajo necesario para mover una carga pasitiva en direccion contraria a la que indica la corriente asi que la potencia sera " P = VI " cuando no se usa una convencion pasiva. por tanto la potencia absorvida y suministrada que dan relacionadas por la siguiente ecuacion " potencia absorvida = - potencia suministrada.

CORRIENTE: .

Es el flujo de electrones, que pasan a travez de un conductor en un tiempo determinado, su unidad de medicion es el Amperio (A).

CARGA: .

Es la unidad fundamental de materia resposable de los fenemonos electricos.

CIRCUITO ELECTRICO: .

Es una Interconexion de elementos electricos en una trayecoria cerrada.

CORRIENTE DIRECTA:

Es una Corriente unidireccional que tiene una magnitud constante.

CORRIENTE ALTERNA:

Es una corriente bidireccional que tiene una magnitud oscilante a una cierta frecuencia lo cual indica que se cambia de direccion cuantas veces sea posible por esta misma frecuencia, la frecuencia estandarizada es de 60 herz por consiguiente cambiara de direccion 60 veces por segundo.

1.2 Conceptos fundamentales de resistencia, inductancia y capacitancia

RESISTENCIA:

Es la representacion de la operacion de un dispositivo o material, al paso de la corriente electrica, y esta se expresa en ohmios.

resistor

INDUCTANCIA:

Es la propiedad que presenta un dispositivo electrico en virtud de la cual una corriente variable con el tiempo produce un voltaje atraves de este. Esto se mide en henrios.

inductor

CAPACITANCIA:

Es la propiedad de un elemento o un circuito de acumular energia en forma de campo electrico. Su unidad de medida es el coulomb o el faradio.

capacitor

1.3 LEY DE OHM.

Esta ley propuesta por GEORG SIMON OHM, fisico aleman que en su articulo dice que:

"LA CORRIENTE EN UN CIRCUITO ES DIRECTAMENTE PROPORCIONAL A LA TENSION TOTAL "E" EN EL CIRCUITO E INVERSAMENTE PROPORCIONAL A LA RESISTENCIA TOTAL "R" EN EL MISMO CIRCUITO "

POR LO QUE NOS DAN LAS SIGUIENTES ECUACIONES:

I= V / R

V = I R

R = V / I .

1.4. LEY DE KIRCHOFF

LA PRIMERA LEY DE KIRCHOFF:

LEY DE TENCIONES DE KIRCHOFF (LKT):

" ESTABLECE QUE LA SUMA ALGEBRAICA DE LAS TENCIONES O VOLTAJES DEPENDIENTES E INDEPENDIENTES DENTRO DE UN CIRCUITO ES IGUAL ACERO "

-VE + VR1 + VR2 + VR3= 0, esta ecuación representa a esta ley, donde vemos que los voltajes de las resitencias se suman y es igual al valor de la fuente E,

haciendo que, VR1 + VR2 + VR3 = VE

LA SEGUNDA LEY DE KIRCHOFF:

LEY DE CORRIENTE DE KIRCHOFF (LKC):

"ESTABLECE QUE LA SUMA ALGEBRAICA DE LAS CORRIENTES QUE ENTRAN O SALEN DE UN NODO ES CERO "

Aqui podemos ver claramente que se tiene un solo nodo en el cual entra una corriente IA y IB salen dos IC e ID, donde aplicando esta ley la ecuacion nos

queda como en la figura, de esta manera implica que (IA+IB=IC+ID).

1.5 FUENTES DEPENDIENTES E INDEPENDIENTES

  "UNA FUENTE INDEPENDIENTE ES UNA FUENTE QUE NO SE VE AFECTADA POR CAMBIOS EN EL CIRCUITO AL CUAL ESTA CONECTADA"

Y SE REPRESENTA COMO:

fuentes independiente de voltaje o tension y de corriente

fuentes dependientes de voltaje y de corriente

"UNA FUENTE DEPENDIENTE, ES AQUELLA EN LA QUE SE CAMBIAN SUS CARACTERISTICAS SEGUN SEAN LAS CONDICIONES DE DICHO CIRCUITO" Y ESTOS SE REPRESENTAN COMO:

Aqui podemos ver claramente que este circuito tiene dos fuentes una es dependiente y otra dependiente, la indepediente es la fuente VE , y la fuente

dependiente es la del rombo con los signos + y -.

1.6 ANALSIS POR MALLAS.

EN ESTE PUNTO HAREMOS USO DEL METODO DE MALLAS USANDO LA LEY DE TENSIONES DE KIRCHOFF. POR CADA ELEMENTO Y RAMA CIRCULARA UNA CORRIENTE TOTAL POR LA RAMA ES LA SUMA ALGEBRAICA DE LAS MALLAS. EL SENTIDO ASIGNADO ALAS CORRIENTES DE MALLAS PUEDE SER EL SENTIDO DE LAS AGUJAS DEL RELOJ O EL CONTRARIO, PERO ES PREFERIBLE USAR EL MISMO SENTIDO PARA TODAS LAS MALLAS POR IGUAL LAZO: Es toda trayectoria cerrada que va de un nodo al siguiente, regresando al nodo original; trayectoria cerrada al rededor de un circuito. MALLA: Lazo que no contiene otro lazo en su interior. RAMA: es toda trayectoria que conecta dos nodos sin nodos internos.

Aqui vemos que hay dos mallas en este circuito, la primera esta en la linea donde esta la fuente V1,V2, el resistor R1, R2,R3 y R4, la siguiente esta en la linea donde estan los resistores R5,R6,R7 y comparten a R3, obteniendo las siguientes ecuaciones para la primera y segunda mallas: -V1 + VR1 + VR2 +

V2 + VR3 + VR4 = 0, por lo tanto nos que daria la siguiente ecuacion segun la ley de tensiones de kirchoff. 11i1 + 2i1 + 3(i1 - i2) +5i1 = -2 , y VR5 + VR6 +

VR7 + VR3 = 0, quedandonos de la siguiente manera, -3i1 + 10i2 = 0. Entonces resolvemos las dos ecuaciones por simultaneas o cualquier otro metodo de su preferencia. y obtenemos los valores de i1 e i2,asi podemos

encontrar los valores de los voltajes, corrientes y potencias en cada uno de los elementos del circuito, tomando encuenta el valor de las corrientes

recordando que la corriente en elementos en serie es la misma.

Siguiendo tenemos que la primer malla como 6i1 -3i2 = -2 y la malla dos, -3i1 + 10i2 = 0, resolviendo estas ecuaciones por el metodo de simultaneas obtenemos los siguientes resultados, i1 = -0.392 e i2 = -0.117. Entonces obtenemos los voltajes y potencias para cada elemento. para R1 tenemos que su voltaje es v= Ri, = 1x-.392 = -0.392v y su potencia es P= Vi, = 0.153w.

para R2 tenemos que su voltaje es V= Ri,= -0.784v y su potencia es P = Vi = 0.307 w. para la fuente 2 podemos obtener su potencia P = Vi = -1.96 w. para R3 que se comparte con i1 Y i2 tenemos V = Ri = 3x( -0.392 - -0.117) = (-0.825v ) y asi encontraremos todos los valores para todos los elementos. Ahora analizaremos con una fuente dependiente.

Analizando este circuito tenemos lo siguiente:

para la malla 1: 5 i1 - 2 i2 = 10 para la malla 2: -2 i1 + 4 i2 =-10Vab obtenemos que Vab es el voltaje en la resistencia de 2 ohms ubicada entre el punto a y b asi que tenemos: Vab = 2(i1- i2). Entonces para la malla 2 obtenemos lo siguiente: -2 i1 + 4 i2 = -20 (i1 - i2) o lo que seria 18 i1 - 16 i2 = 0. Ahora ya que tenemos las dos ecuaciones encontramos las incognitas por simultaneas teneiendo los siguientes resultados. i1 = 3.636 A y la i2 = 4.09 A. VR1 = (3)(3.636A) = 10.908V VR2 = (2)(3.636-4.09) = -908mV VR3 = (2)(4.09) = 8.18V Vab = (-20)(3.636-4.09) = 9.08V

1.7 ANALISIS POR NODOS.

EN ESTA SECCION USAREMOS LA LEY DE CORRIENTES DE KIRCHOFF PARA EL CALCULO DE CIRCUITOS. ACADA UNO DE LOS NUDOS PRINCIPALES SE LES ASIGNA UNA TENSION, QUE ES RESPECTO A LA DEL NUDO DE REFERENCIA. POR LOTANTO ESTAS TENSIONES SON LAS INCOGNITAS, Y CUANDO SE CALCULAN POR UN METODO APROPIADO SE TIENE LA SOLUCION DE DICHO CIRCUITO. NODO: es toda Terminal comun a dos o mas ramas de un circuito, punto de dos o mas elementos tienen una conexion comun.

Aqui vemos que este circuito tiene tres nodos y un nodo es comun o de referencia. Pero tenemos los siguientes valores: para R1= 100 ohms, R2=150 ohms, R3=200 ohms. resolveremos este circuito. para el nodo uno quedaran de la siguiente manera: -4 + (V1/R1) + (V1-V2/R2) = 0. resolviendo nos queda

como: (5/300)V1 - (1/150)V2= 4, ahora el segundo nodo nos queda como sigue, (V2-V1/R2) + (V2/R3) + 3 = 0, resolviendo, nos queda como: (-1/200)V1 - (7/600)V2 = -3 . Ahora tomando estas ecuaciones resolvemos para encontrar

V1 y V2 tenemos los siguientes resultados de V1= 165.51v y V2 = -186.2v.

Aqui encontraremos el voltaje en la resistencia de carga teniendo dos fuentes, donde una de ellas es dependiente y la otra independiente.

Tomando como positivas las que entran y negativa las que salen tendriamos lo siguiente:

4 -i1 + 3 i2 - i2 = 0 Ahora por ley de ohm tendremos que , i1 = V / (4 + 2) = V / 6 , i2= V / R = V / 16 A si que si sustituimos nos queda como : 4 - (V/6) + 3(V/16) - (V/16) = 0. simplificando: 4 - V/6 + 2(V/16) = 0. por lo tanto nos queda de la siguiente manera. VRL = 96 v. y las corrientes como i1 = 6 A e i2 = 16 A.

  1.8 SUPERPOSICION

  ESTE TEOREMA TIENE COMO PRINCIPAL OBJETIVO EL DE PODER CALCULAR LOS VOLTAJES, CORRIENTES Y POTENCIAS DE UN CIRCUITO

CUANDO ESTE TIENE DOS O MAS FUENTES INDEPENDIENTES.

  Esto es cuando tenemos dos o mas fuente independientes, en tonces, lo que haremos es, eliminar una fuente o las fuentes restantes, solo debe

quedar una fuente, poniendo encorto circuito la(s) fuente(s) quedando una sola en funcion con la cual debemos hacer el calculo normal del circuito,

posteriormente realizaremos el analisis con la(s) otra(s) fuente(s) del circuito, siempre debera que dar la fuente unica con la cual realizaremos el analisis. Despues de todos los analisis realizados, los resultados se suman

dando asi el resultado final de este circuito.

Aqui podemos ver que este circuito cuenta con dos fuentes las cuales analizaremos, una por una.

  La fuente 2 la eliminamos momentaneamente poniendola en corto, analizando por mallas tenemos que la primer malla tenemos lo siguiente: -V1

+ VR1 + VR2 + VR3 = 0. asi que nos que daria VR1 + VR2 + VR3 = V1, y la segunda malla VR2 + VR4 +VR5 +V2 = 0, y resolviendo por simultaneas

encontramos los valores de I1 y I2, y procedemos con la segunda fuente siguiendo los mismos pasos que con la fuente anterior, ahora se pone encorto la fuente uno y se analiza por mallas o cualquier metodo de su

preferencia, ya teniendo los valores de los analisis de la primera y segunda fuente entonces se suman, variable con variable.

1.9 TEOREMA DE THEVENIG Y NORTON

El nombre de este teorema se debe asu autor el ingeniero M.L. THEVENIN quien fue el que desarrollo este teorema en 1883. Este teorema tiene como

objetivo, reducir una parte determinada de un circuito, a una fuente y un solo elemento equivalentes, asi este circuito permitira calcular la corrirente, el

voltaje y la potencia entregada a una resistencia de carga.

aqui vemos que este circuito tiene una resistencia equivalente de todo el circuito que se le llama resistencia de thevenin en serie con una resistencia

la cual vamos analizar en este caso sere la resistencia de carga RL. Lo primero que se debe hacer es sustituir la fuente del circuito por un corto,

entonces se reducen las resistencias asta quedar una sola resistencia que representara en circuito, y entonces volvemos a poner la fuente y

conectamos tambien la resistencia de carga en serie con la resistencia de thevenin y la fuente.

"ESTE TEOREMA DE THEVENIN DICE QUE CUALQUIER CIRCUITO DE ELEMENTOS DE RESISTENCIAS Y FUENTES DE ENERGIA CON UN PAR IDENTIFICADO DE TERMINALES, PEUDE REMPLASARCE POR UNA COMBINACION EN SERIE DE UNA FUENTE IDEAL DE VOLTAJE Vt, Y UNA RESISTENCIA Rt, SIENDO Vt EL VOLTEJE DE CIRCUITO ABIERTO EN LAS DOS TERMINALES Y Rt LA RAZON DEL VOLTAJE EN CIRCUITO ABIERTO A LA CORRIENTE DE CORTO CIRCUITO ES EL PAR DE TERMINALES".

Ahora veremos un ejemplo mas claro:

queremos encontrar el voltaje en la resistencia de carga, suponiendo que solamente nos interesa ese valor.

por consiguiente el segundo paso seria quitar momentaneamente a RL.

y posteriormente la fuente de voltaje eliminandola poniendola en corto

Ahora reducimos este circuito como sigue.

la resistencia de 5 y 20 en este momento se encuentran en paralelo demanera que queda una resistencia equivalente de 4, en serie con la de 4 quedando asi una resistencia de 8 ohms en serie con la fuente de Vcab.

mientras que la fuente original se sustituye por una equivalente como Vcab = (20 / 25) 50 =40.

Ahora ya se pone la resistencia RL y asemos los calculos correspondientes:

i = 40 / (R + 8) A. lo que seria 40 / 18 = 2.22 A. por consiguiente obtenemos que VRL = (2.22A) (10) = 22.22 V.

1.10 MAXIMA TRANSFERENCIA DE POTENCIA

  Este teorema menciona que una fuente de voltaje independiente en serie con una resistencia Rs o una fuente independiente de corriente en paralelo con una resistencia Rs, entrega una potencia maxima a aquella resistencia

de carga para la cual RL = Rs'.

NOTA: puede ser para una fuente de voltaje o una fuente de corriente.

LA POTENCIA MAXIMA ESTA DADA POR:

  PL =IL2 RL = (Vs2 RL) / (Rs + RL)2.

Ahora para obtener el valor de RL que absorve la maxima potencia de la fuente practica dada, se deriva con respecto de RL: y tenemos que , dPL /

dRL = (Rs+RL)2Vs2 - Vs2RL(2) (Rs +RL) / (Rs + RL)4.

Ahora veremos un ejemplo.

Necesitamos encontra el valor de RC, que pruduzca la potencia maxima entregada en el circuito y la maxima potencia.

Lo primero que haremos sera quitar Rc y la fuente momentaneamente como sigue.

Ahora, como sabemos que Rc= Rt, la encontramos de la siguiente manera:

Rt = (30x 150) / (30+150) = 25 ohms. = Rc. y Vt = (150/ 180) x 180 = 150 v. por tanto nos quedacomo.

Para encontrar la potencia, caklculamos primero la i de este ultimo circuito como sigue:

como las resistencias estan en serie tenemos que nos queda una resistencia de 50 ohms.

por tanto la corriente sera. i = (150 / 50) = 3 A. por logica la corriente en Rc = 3A y su potencia seria de:

VRc = (3A)(25) = 75 Volts. Pmax. = (75) x (3) = 225 Watts. y l apotencia de la fuente seria de: Pf = (150)( 3) = 450 Watts. Ahora podemos ver que la resistencia Rt disipa la mitad de la potencia, y vemos tambien que como la fuente real es de 180 voltts,del circuito original esta entrega una potencia cuando Rc = 25 ohms de, 630Watts ya que la resistencia Rc y la de 150 estan en paralelo formarian una de 21.42 ohms mas la de 30 en serie forman una de 51.42 ohms lo que nos daria una corriente de i= 180 / 51.42 = 3.5 Ampers, y la potencia seria 180 x 3.5 = 630 Watts.

  1.11 TEOREMA DE RECIPROCIDAD

  Este teorema es muy importante para el analisis de circuitos en los cuales se cuenta con redes de dos puertos, pero solo si este circuito es puramente resistivo, inductivo y capacitivo con algun otro dispositivo este teorema no es valido y no se puede ejecutar, y siempre y cuando solo tenga una fuente

ya sea de voltaje o de corriente que sean independientes.

  "Este teorema dice que En cualquier red bilateral lineal pasiva, si la unica fuente de voltaje Vx en la rama x produce la respuesta de corriente Iy en la rama y, entonces al quitar la fuente de voltaje de la rama x y colocarla en la

rama y producira la respuesta de corriente Iy en la rama x.

  Esto es una igualdad de Zij y Zji es definitivamente obvia para los tres elementos pasivos: el resistor, el capacitor y el inductor, y tambien es cierto

para la inductancia mutua. Sin embargo no es valida parar todo tipo de circuito que tiene fuentes dependientes en general, Cualquier circuito para al

cual Zij = Zji recibe el nombre de elemento bilateral, y un circuito que contiene solo elementos bilaterales se le llama circuito bilateral. por

consiguiente se ha demostrado que una propiedad importante de una red bilateral de dos puertos es Y12 = Y21, y se le denomina como teorema de

reciprocidad.

Aqui vemos que este circuito representa este teorema, donde tenemos una red de 2 puertos.

2. Funciones discontinuas

2.1 "FUNCION RAMPA"

Esta funcion y la funcion escalon son la respuesta de un circuito que tiene una sola entrada la cual es una funcion unitaria. Estas funciones pueden ser de corriente o de voltaje. Ahora esta funcion se debe a la entrada del escalon puesto que no se tienen energias iniciales en los elementos del circuito por

este motivo todas las corrientes y todos los voltajes son 0 en t=0 debido aque la funcion escalon es cero para - ~ < t < 0. Asi la funcion rampa es la

respuesta ala entrada de un escalon unitario sin energia inicial almacenada en el circuito.

Veremos ahora un ejemplo de esto.

Si calculamos ahora la respuesta del circuito si V1 = Vu(t). para este caso como V2(0-) = 0 y V2 es el voltaje del capacitor, entonces V2(0+) = 0. por

consiguiente tenemos que

Si t < 0, entonces u(t) = 0, y V2(t) = 0, para t > 0, u(t) = 1 y tenemos que

Ahora la funcion rampa seria de la siguiente forma.

A esto le llamaremos funcion rampa con una pendiente de -V /RC.

2.2 "FUNCION ESCALON"

Si definimos funcion escalon, podemos decir que es una funcion que es cero para todos los valores de su variable que sean inferiores a cero y que es la unidad para

todos los valores positivos de la variable. Ahora supongamos llamar x a la variable y representamos por u a la funcion escalon unidad, u(x) ha de ser cero para todos los valores de x menores de cero y la unidad para todos los valores de x mayores que cero. Para x = 0, u(x) cambia bruscamente de 0 a 1. Cuando su valor de x=0 no se define, pero se conoce para puntos tan proximos a x = 0 como nos sea posible.

Generalmente indicamos esto escribiendo u(0-) = 0 y u(0+) = 1. La definicion matematica de la funcion escalon es

Con objeto de obtener una funcion excitatriz escalon unitario, debemos expresar el escalon en funcion del tiempo siendo la expresion mas sencilla

la que se optiene sustituyendo x por t,

Sin embargo, no siempre se puede tener o disponer de el funcionamiento de un circuito de modo que todas las discontinuidades se presenten para t = 0. Supongamos que si se van a accionar dos conmutadores, uno despues de

otro, se puede elegir el accionar uno de ellos cuando t= 0, pero es necesario accionar el otro conmutador en algun instante posteriormente t = to.

Como la funcion escalon unidad nos proporciona una discontinuidad adecuada cuando el valor de su variable es 0 , el funcionamiento del segundo conmutador puede ser representado de la siguiente manera

y su representacion grafica seria

Esta funcion en si es adimencional, Si representaramos una tension, seria necesario multiplicar u(t -to) por una una tension constante que podia ser V. Entonces, v(t) = Vu(t - to) esto es una fuente ideal de tension que es 0 antes

de t= to y una constante V voltios despues de t= to.

Aqui vemos que la funcion excitatriz esta conectada a una red, Para tener equivalente, puesto que la tension es cero antes de t= to es V despues de t=

to y la corrientepuede tomar cualquier valor finito en ambos intervalos de tiempos, podemos pensar asi ala ligera que el equivalente por sus

caracteristicas puede ser la siguiente figura.

Ahora aqui vemos una fuente de V voltios en serie con un interruptor que se sierra cuanfdo t= to, Pero ahora esta res no es equivalente para t=to, puesto que la tension atraves de la fuente y el interruptor queda sin especificar para

este intervalo de tiempo en el que estamos interesados y las corrientes iniciales circulan en las dos redes son iguales cuando t=to, entonces su

equivalente real seria.

Esto si observamos seria la representacion de un conmutador unipolar con dos contactos, antes de t=to, el conmutador sirve para asegurar una tension cero a traves de los terminales de entrada de nuestra red. Despues de t=to el

conmutador se ha conmutado de manera que proporciona una entrada de tension constante de V voltios. Y para t=to la tension es indeterminada como

la funcion escalon.

Aunque podemos hacer un elemento como la funcion escalon, claro que el resultado final es un conmutador, puesto que un conmutador es una resistencia que cambia instantaneamente su valor de cero a infinto ohms, y de viceversa. De todo esto podemos concluir que un equivalente axacto de una bateria y un conmutador en serie tiene que ser una bateria en serie con alguna representacion de una resistencia variable con el tiempo.

2.3 "FUNCION IMPULSO"

Analizaremos la funcion impulso, que se representa con &(t). veamos el pulso centrado en t=0.

Pulso de ancho a y altura 1/a centrado en t=0. La ecuacion seria la siguiente

Donde a es muy pequeño. Hay que notar que el area bajo el pulso se mantiene igual a 1 cualquiera que sea el valor de a. Si a se hace mas

pequeño el area se maniene igual a 1 manteniendose un pulso de gran altura y muy estrecho.

Ahora definiendo un impulso podemos decir que, Un impulso es un pulso de amplitud infinita durante un tiempo infinitesimal cuya area

es finita.

La funcion impulso la podemos definir como sigue.

Por consiguiente f(t)&(t) = f(0)&(t) puesto que &(t)=0 cuando t es diferente de cero. Para determinar la transformada de Laplace de la funcion impulso se

aplica la definicion.

Donde el limite inferior es 0- dado que tenemos una discontinuidad infinita en t = 0.Como &(t)=0, la la integral de la ecuacion anterior se valua desde 0- a 0+

para obtener

Ahora determinaremos la transformada de una funcion del tiempo desplazada t segundos. Si tuvieramos una f(t)

y si queremos retrazarla t segundos mas tarde puede expresarse como: f(T- t)u(T- t) donde u(T- t)es la funcion escalon unitario que vale cero cuando T < t

y 1 cuando T >t. La funcion desplazada que daria como sigue.

Para obtener la transformada de la funcion trasladada en el tiempo, se aplica la definicion de la transformada para obtener

Ahora hacemos t - t = x para obtener

Si tuvieramos una funcion escalon de amplitud A trasladada 2 segundos, su transformada de Laplace es

Puesto que:

Podemos obtener otra propiedad de la transformada de Laplace de e-at f(t) como sigue:

Aqui entonces tenemos lo que se conoce como propiedad de traslacion de frecuencia.

2.4. FUNCION EXPONENCIAL

Ahora veremos la respuesta de un circuito con una coneccion de un inductor y un resistor, como en el ejemplo que veremos a continuación.

Para este circuito suponemos que el inductor conduce una corriente I0 en t = 0, aqui no hay fuente de corriente ni de voltaje y las respuestas de corriente

y de voltaje se deben ala energia almacenada en el inductor. Entonces podemos decir que la energia almacenada esta dada por

" WL (0) = 1/2 LI02 "

Ahora si sumamos los voltajes alrededor del circuito, tenemos que:

" L di / dt + Ri = 0 "

o tambien

" di / dt + ( R / L )i = 0 "

Esta ecuacion se puede resolver separando als variables, Pero supongamos una forma general de la solucion basada en la inspeccion de la ecuacion por resolver, Incluiremos varias constantes desconociday determinaremos sus valores de manera que la solucion supuesta satisfaga la ecuacion diferencial y las condiciones iniciales del circuito. La inspeccion de la ecuacion

" di / dt + ( R / L )i = 0 "

nos da que i debe ser una función que no cambie su forma por la diferenciacion, es decir, di / dt es un multiplo de i. La unica función que satisface esta requisito es una funcion EXPONENCIAL de t, tal como

" i(t) = Aest "

Entonces la tomaremos como nuestra proposición, siendo A y s las constantes por determinar. Si sustituimos en la ecuacion anterior a esta tenemos que

" ( S + (R/L) ) Aest = 0 "

Aqui vemos claramente que, esta solucion es valida si Aest = 0 o si s = -R/L. El primer caso lo pasamos por alto por que por

" i(t) = Aest "

El resultado es i = 0 para toda t y no puede satisfacer i(0) = Io, asi que tomasremos el caso de s = -R/L y

" i(t) = Aest "

esto se hace como sigue

" i(t) = Ae-Rt/L "

La constante A puede determinarse ahora a partir de la condicion inicial i(0) = Io. Esta condicion necesita que

" i(0) = Io = A "

Por tal esto se hace como

" i(t) = Ioe-Rt/L "

Es claro que la solucion es una funcion " EXPONENCIAL ", tiene una constante t. Enterminos de t podemos escribir la corriente en la forma general

" i(t) = Ioe-T/t "

t es la constante tao Donde por comparacion con

" i(t) = Ioe-Rt/L "

Aqui podemos ver que t = L /R, y sus unidades son H/ohms = (V-s/A)/(V / A)=s. Cuando se incrementa L, se incrementa la constante de tiempo, Pero , un incremento en R, disminuye el valor de la constante de tiempo.

Esta es la respuesta de corriente de nuestro circuito. La potencia instantanea entregada al resistor es

" p(t) = Ri2 (t) = RI02e-2Rt/L "

La energia absorvida por el resistor cuando el tiempo se hace infinito esta dada por

Si comparamos esta ecuacion con

" WL (0) = 1/2 LI02 "

vemos que la energia almacenada en el inductor se disipa por la resistencia, tal como lo esperavamos. Ahora si suponemos que deceamos encontrar el voltaje del inductor v, en lugar de corriente i. Podemos aplicar la LCK

Si diferenciamos esta ecuacion con respecto al tiempo obtenemos

" (1/R) (dv/dt) + (1/L) v "

o tambien

" (dv/dt) + (R/L) v = 0 "

Ahora si reemplazamos v por i, obtenemos

" (di/dt) + (R/L) i = 0 "

De estas dos ultimas ecuaciones observamos que v e i satisfacen la misma ecuacion y asi tienen la misma forma.

3. ANALISIS DE TRANSITORIOS DE PRIMER ORDEN (CIRCUITOS RL Y RC)

3.1. RESPUESTA NATURAL

La Respuesta Natural de un circuito depende unicamente de del almacenamiento interno de energia del circuito, y no de fuentes externas. Como sabemos la propiedad fundamental de un dispositivo almacenador de energia es su capacidad de acumularla. Ahora concideremos el siguiente circuito.

Aqui tenemos que el inductor y la resistencia se conectan a la fuente cuando t <0. Este interruptor se abre en t = 0 y se desea calcular la corriente iL para t >o = 0. La fuente original se usa para establecer iL (0-), Sucede una situacion

similar con el sigiente circuito.

La fuente de voltaje, establecera un voltaje en el capacitor Vc(0-), antes de cambiar el interruptor a la terminal b en t = 0. Se supone que el interruptor

que conecta el capacitor con la fuente de voltaje ha estado conectado durante largo tiempo, antes de t = 0 de modo de que se puede calcular Vc(0-),

facilmente se suponen condiciones de estado estable.

Para entonces se cambia el interruptor a la posicion b en el circuitop RC resultante se desconecta de la fuente. Para los dos casos la fuente de volteje es Vf = Vo, lo que indica una fuente voltaje constante. La funcion de la fuente de voltaje en estos circuitos es la de establecer las condiciones iniciales, Vc(0-) o iL(0-). La fuente que se utiliza es constante por conveniencia.

Con esto se pretende obtener la respuesta de un circuito resistor-capacitor (RC) o resistor-inductor (RL) libre de fuentes; La respuesta sin fuentes dependera unicamente de la energia inicialmente almacenada en el circuito, por el elemento de almacenamiento de energia. Pues la respuesta solo depende de la Naturaleza del circuito RL o RC y no de fuentes externas, y a esto se le llama " RESPUESTA NATURAL ". Para hacer estos mas entendible determinaremos el valor inicial de la corriente del inductor en t=0+ en el circuito del inductor, fig. (1). Pero si examinamos el circuito antes de t=0, se supone que el interruptor estubo cerrado por largo tiempo. En esas condiciones el inductor conduce una corriente constante y equivalente a un corto.

Aqui tenemos el circuito equivalente del circuito 1, es claro que iL(0-) = Vo / R1. Por que i(0+) = i(0-), se conoce ahora la corriente inicial en el inductor t=0

y se puede determinar la respuesta del circuito anterior para t >= 0.

Determinaremos las condiciones iniciales del circuito RC de la fig.(2), antes de t=0, cuando se activa el interruptor el capacitor aparece como un circuito abierto debido al voltaje constante por lo que VC (0-) = Vo. El voltaje inicial a traves del capacitor depues de cerrar el interruptor es:

VC = VC (0-) = Vo

Entonces se puede calcular la respuesta del circuito para t >= 0, utilizando el siguiente circuito.

Aqui ya conocemos el el voltaje inicial Vc(0+). Ahora determinamos el voltaje Vc(t) para un tiempo mayor que cero. Al aplicar la ley de corrientes de

kirchoff al nodo superior del circuito.

" iC + iR = 0 "

Por que las direcciones de referencia de iC y VC se apegan a la convencion pasiva,

" iC= C d VC / dt "

Si observamos el voltaje atraves del resistor es Vc. Dado que Vc e iR se apegan a la convencion pasiva,

" iR= VC / R "

Si combinamos estas ecuaciones tenemos,

" C d VC / dt + VC / R = 0 "

y lo podemos reescribir como sigue:

" d VC / dt + 1 / RC (VC) = 0 "

Ahora para el circuito RL , planteamos la ley de voltajes de kirchoff alrededor de la malla y tenemos,

" L d iL / dt + R iL = 0 "

0 lo pedemos dejar como sigue,

" d iL / dt + R / L ( iL) = 0 "

Si observamos estas dos ecuaciones notemos que se ha obtenido una ecuación diferencial de primer orden. A esta ecuacion se llama ecuacion diferencial de primer orden con coheficientes constantes, por que el orden de la derivada de mayor orden es uno. Y presenta la siguiente forma general.

" d x / dt + ax = 0 "

Donde tenemos que a = 1 / RC para el circuito RC y a= R / L para el circuito RL. Claro que, x = Vc para el circuito RC y x = iL para el circuito RL.

3.2. RESPUESTA COMPLETA

CIRCUITOS, RL Y RC

En los temas anteriores se puede observar que la respuesta completa de un circuito es la suma de una respuesta natural y una forzada y que la respuesta natural y la respuesta completa contienen constantes arbitrareas. Estas constanytes, como en los casos de primer orden, estan determinados de modo que las respuestas satisfagan las condiciones iniciales de almacenamiento de energia especificadas. Veamos un ejemplo. Ejemplo : Encontrar x(t) para t > 0, la cual debe satisfacer el sistema de ecuaciones.

Hay que diferenciar la primera de estas ecuaciones para eliminar la integral, y esto es.

y su ecuacion caracteristicas es:

" S2 + 2S + 5 = 0 "

con raices

" S1,2 = - 1 +- j2 "

Por lotanto, la respuesta Natural es

" Xn = e-t ( A1 cos 2t + A2 sen 2t) "

Calculando para la respuesta forzada

" Xf =Ae-3t "

Observemos que

" 8Ae-3t = -48 e-3t "

De manera que A = -6. La respuesta completa es,

" X(t) = e-t ( A1 cos 2t + A2 sen 2t) - 6e-3t "

Ahora para determinar las constantes arbitrarias necesitamos dos condiciones iniciales, una x(0) = 2, esta dado por la primera ecuacion para obtener la otra podemos evaluarla en t=0 con el resultado

Reescribimos y nos queda

" dx(0) / dt = 12 "

Sustituyendo

" x(0) = A1 - 6 = 2 "

o A1 = 8. y de la anterior ecuacion podemos diferenciar obteniendo

" dx / dt = e-t( -2A1 sen 2t + 2A2 cos 2t) - e-t( A1 cos 2t + A2 sen 2t) + 18e-3t"

de la cual

" dx(0) / dt = 2 A2 - A1 + 18 = 12 "

Conociendo A1, encontramos A2 = 1. De esta manera ahora tenemos ya las constantes arbitrareas, de modo que por la ecuacion

" X(t) = e-t ( A1 cos 2t + A2 sen 2t) - 6e-3t "

Tenemos la respuesta Completa

" X = e-t ( 8 cos 2t + sen 2t) - 6e-3t "

4. ANALISIS DE TRANSITORIOS DE SEGUNDO ORDEN (CIRCUITOS RLC)4.1. RESPUESTA NATURAL

En unidades anteriores demostramos que un circuito con dos elementos irreducibles de almacenamiento de energia puede representarse por una ecuacion diferencial de segundo orden de la forma

" a2 d2x / dt2 + a1 dxn / dt + a0 xn"

De donde se conocen las contantes a2,a1,a0 y se da la funcion forzada f(t). La respuesta completa es

" x = xn + xfo"

Donde Xn es la respuesta natural y Xfo forzada. Entoces la respuesta natural satisface la ecuacion diferencial no forzada cuando f(t) = 0. La respuesta forzada Xfo satisface la ecuacion

" a2 d2xn / dt2 + a1 dxn / dt + a0 xn"

Puesto que Xn y sus derivadas deben satisfacer la ecuacion, se postula la solucion exponencial

" xn = Aest"

De esta se debe determinar A y s. La exponencial es la unica funcion que es proporcional a todasa sus derivadas e integrales y, es la eleccion natural para la solucion de una ecuacion diferencial con coheficientes constantes. Si sustituimos esta ultima ecuacion en la anterior, obtenemos que

" a2 As2 e st + a1 Asest + a 0 Ae ast "

Por que Xn = Aest, la ecuacion la podemos reescribir como sigue

" a2 s2 X n + a1 sxn + a0 xn = 0 "

o

" (a2 s2 + a1 s + a0 ) xn = 0 "

Ya que no se acepta la solucion Xn = 0, es necesario que

" (a2 s2 + a1 s + a0 ) = 0 "

Esta ecuacion si esta en funcion de s se llama ecuacion caracteristica, y se obtiene facilmente reemplazando la derivada por s y la segunda derivada por s2.

" Sn = dn / dtn"

La solucion de la ecuacion cuadratica

" (a2 s2 + a1 s + a0 ) = 0 "

tiene dos raices Sa y S2 donde

Cuando hay dos raices, existen dos soluciones tales que

" Xn = A1 e s1t + A2es2t "

Aunque son dos soluciones, tambien la suma de ellas es una solucion, puesto que son lineales, y la solucion general debe constar de la misma cantidad de terminos que el orden de la ecuacion, y cada uno con un coheficiente arbitrario, para que se pueda satisfacer el teorema fundamental de las ecuaciones diferenciales. Veamos un ejemplo:

Encoatraremos la respuesta natural de la corriente i2 y obtendremos la respuesta en terminos de dos constantes arbitrareas.

Las ecuaciones de las mallas son

" 12i1 + 2di1/dt - 4i 2 = Vf "

" - 4i 1 + 4i2 + 1di2/dt = 0 "

Si usamos el operador s= d/dt,

" (12 + 2s) i1 - 4i2 = Vf "

" - 4i 1 + (4+ s)i2 = 0 "

Por medio de la regla de Cramer tenemos que

Por lo cual,

" (s2 + 10s + 16 )i2 = 2Vf "

Aqui podemos notar que (s2 + 10s + 16 ) = 0, es la ecuación caracteristica y se puede determinar directamente de las ecuaciones

" (12 + 2s) i1 - 4i2 = Vf "

" - 4i 1 + (4+ s)i2 = 0 "

Entonces sus raices caracteristicas seran S1 = -2 y S2 = -8, por lo que la respuesta natural sera

" xn = A1e-2t + A2e-8t "

En donde x = i2. s1 y s2son las raices caracteristicas y tambien se les llama frecuencias naturales, los reciprocos de las magnitudes de las raices caracteristicas son las constantes de tiempo, que para este caso son 1/2 y 1/8 segundos.

4.2. Respuesta completaHemos determinado las respuestas natural de un circuito descrito por una ecuacion diferencial de segundo orden, ahora determinaremos la respuesta completa de un circuito particular.

Sabemos que la respuesta completa es la suma de las respuestas natural y forzada y, por ende

" x = xn + xfo "

Podemos obtener la respuesta completa junto con sus constantes no especificadas evaluando x(t) en t = 0 y dx / dt en t= 0, para determinar estas constantes. Si consideramos este circuito, cuya ecuacion diferencial es

" LC d2v / dt2 + RC dv / dt + v = vf "

cuando L = 1 h, C=1/6F y R = 5, tenemos

" d2v / dt2 + 5 dv / dt + 6v = 6vf "

haremos que vf = (2e-t / 3) V, v(0) = 10V y dv (0)/dt = -2 V/s. Primero determinaremos la forma de la respuesta natural y despues la respuesta forzada, y sumando estas tendremos la respuesta completa. Para obtener la respuesta natural , se describe la ecuacion caracteristica usando operadores:

" s2 + 5s + 6 = 0 "

" (s + 2) (s + 3) = 0 "

Por lo que la respuesta natural sera

" vn = A1e-2t + A2e-3t "

Ahora la respuesta forzada la obtenemos, de la función forzada por su respuesta exponencial ya que tiene una constante de tiempo diferente al ade la respuesta natural, y la podemos escribir como

" vfo = Be-t "

Determinamos B sustituyendo esta ecuacion en la anterior, y tenemos

" Be-t + 5(-Be-t ) + 6(Be-t) = 4e-t "

o

" B = 2 "

La respuesta completa serie entonces

" V = Vn + Vfo "

" = A1e-2t + A2e-3t + 2e-t " Ahora determinaremos A1 y A2, usando las condiciones iniciales. t= 0 tenemos v(0) = 10 asi que tenemos.

" 10 = A1 + A2 + 2 "

puesto que dv/dt = -2 en t= 0, tenemos

" -2A1 - 3A2 - 2 = -2 "

si resolvemos las ecuaciones anteriores con la regla de Cramer, podemos obtener A<SUB1< sub> = 24 y A2 = -16. por lo que tenenemos finalmente.

" v = 24e-2t - 16e-3t + 2e-tV "

5. Análisis de redes de CA en estado estable5.1.Características de la onda senoidalEn este punto hablaremos de como es una fuente senoidal, ya que las funciones senoidales son de gran importancia, puesto que las señales de fuentes de poder se transmiten generalmente en forma de senoides. Puesto que la funcion forzante produce la respuesta forzada y la respuesta natural es causada por la dinamica interna del circuito. Esto provocara que la respuesta natural decline despues de cierto periodo, pero la respuesta forzada continua. Nuestro objetivo debe ser la respuesta en estado estable de un circuito a una funcion forzante senoidal. Tenemos que considerar la función frozante

" Vf = Vm sen wt "

o tambien para una fuente de corriente,

" if = Im sen wt "

La amplitud de la senoide es Vm y su frecuencia en radianes es w (rad/s). La senoide es una función periodica definida por

" x(t + T) = x(t) "

para toda t, donde T es el periodo de oscilacion. Ahora su resciproco de T define la frecuencia o numero de ciclos por segundo y se representa por f, donde la frecuencia f esta en ciclos por segundo, o lo que se llama Herz.

" f = 1 / T "

Entonces la frecuencia angular (en radianes) de la funcion senoidal es

" w = 2¶ f = 2¶ / T ( rad/s) "

Par el voltaje de la fuente, el valor maximo es Vm, Si el voltaje senoidal tiene asociado un desfazamiento, o angulo de fase en radianes, el volteje es

" Vf = Vm sen (wt + Þ) "

Ahora lo veremos graficamente

Para esto el angulo Þ se expresa en grados y se expresara

" Vf = Vm sen ( 4t + 30º ) "

Tambien puede ser de forma alterna

" Vf = Vm sen ( 4t + ¶/6 ) "

El angulo puede estar en grados o en radianes segun pueda ser requerido, pero siempre hay tener encuenta el saber reconocer esta funcion como sen Þ, y darle su valor que se le asigne. Se puede decir que

" Vm sen ( wt + 30º ) = Vm cos(wt - 60º) "

Para deducir esta ecuacion, la podemos deducir apartir de la siguientes formulas

" sen wt = cos(wt - 90º) "

" cos wt = sen (wt + 90º) " " sen (wt ±Þ) = cos Þsen wt ± sen Þ cos wt " " cos (wt ± Þ = cos Þ cos wt ± sen Þ sen wt " " A coswt + B sen wt = Ö A2 + B2 cos (wt - Þ)"

donde Þ= tan-1 (B/A) cuando A > 0 y Þ= 180º- tan-1 (B/-A) cuando A < 0. Si el elemento de un circuito tiene un voltaje

" v = Vm sen wt "

y tendra una corriente

" i = Im sen (wt + Þ) "

Se dice que la corriente adelanta Þ radianes al voltaje

Observemos que la Corriente alcanza su valor pico antes que el voltaje. Pues un pùnto de i(t) se alcanza antes en el tiempo, que el punto correspondiente de v(t).

De otra manera podemos establecer que el voltaje se atrasa Þ radianes respecto a la corriente.

Si concideraramos una onda senoidal con

" v = 2 sen (3t + 20º ) "

y la onda de la corriente asociada

" i = 4 sen ( 3t - 10º ) "

Con esto nos queda claro que el voltaje v se adelanta a la corriente i por 30º, 0 ¶/6 radianes.

veamos un ejemplo: Si tenemos que el voltaje atraves de un elemento es v= 3 cos 3t V y la corriente asociada es i = 4sen(3t - 10º) A. Tenemos que determinar la relacion de angulos entre el voltaje y la corriente, esto es, determinar el angulo de fase. * Lo primero necesitamos convertir la corriente en forma cosenoidal con magnitud positiva para poder compararla con el voltaje. Tambien tenemos que para determinar una relacion de fases es necesario expresar ambas ondas en una forma consistente: Demodo que

" - sen wt = sen (wt + ¶) "

Tenemos que

" i = 2sen (3t + 180º +10º ) "

Tambien tenemos que,

" sen Þ = cos ( Þ - 90º ) "

Por tanto

" i = 2cos (3t + 180º +10º - 90º ) "

" = 2cos(3t + 100º ) " Recordemos que v= 3cos 3t, demodo que la corriente adelanta 100º al voltaje. La respuesta de un circuito a una funcion forzante

" vf = Vo cos wt "

esto producira una respuesta forzada de la forma

" vfo = A cos wt + B sen wt "

Pero tambien puede ser

Deacuerdo con el triangulo tenemos que

Entonces tenemos que Vfo

" vfo = Ö A2 + B2 (cos Þ cos wt + sen Þ sen wt ) "

Tambien puede ser

" vfo = Ö A2 + B2 (cos wt - Þ) "

Ahora que si un circuito tiene una funcion forzante Vo cos wt, la respuesta forzada es

" Vfo = A cos wt + B sen wt "

" = Ö A2 + B2 (cos wt - Þ) " Con esto concluimos toda la materia de Analisis de circuitos electricos 1, esperando que sea de gran utilidad para todos los estudiantes y aficionados a la electronica.

5.2.Análisis de nodos y mallas con fasores

5.3.Teorema de superposición

El principio de superposición es utilizado si un circuito tienen dos o más fuentes actuando a diferentes frecuencias.

El circuito tendrá un conjunto de valores de impedancia a una frecuencia y un conjunto diferente a otro valor de frecuencia. Se puede determinar la respuesta fasorial en cada frecuencia. Después se puede hallar la respuesta en el tiempo correspondiente a cada respuesta fasorial y se suman. La superposición en el caso de fuentes que operan a 2 o más frecuencias se aplican sólo a respuestas en el tiempo. No se puede suponer las respuestas fasoriales A continuación se detallan algunos pasos.   1.     Convierta las fuentes independientes a la forma fasorial.2.     Convertir el circuito a la forma fasorial indicando la impedancia de cada

elemento.3.     Se elimina una de las fuentes ya sea la fuente de corriente remplazándola

por un circuito abierto ó la fuente es de voltaje remplazar por un corto circuito.4.     Se realiza el análisis que mas le convenga (malla, nodo) para determinar Ix

5.     Se procede a utilizar el paso 3 y paso 4 para determinar la otra corriente Iy

6.     Teniendo las dos corrientes se procede a hacer la suma para determinar la corriente total del circuito Itotal.

usando el principio de superposición determinar la corriente de estadi estable i en el siguiente circuito cuando vf = 10 cos 10t , if = 3 A, L =1.5 H y C = 10 mF. 

Primero ha que convertir las fuentes independientes a la forma fasorial   para la fuente de voltaje z = 10 rad/s se tiene  

V = 10 p0°   para la fuente de corriente z = 0 rad/s  

I = 3 p0° en el segundo paso convertir el circuito a la forma fasorial.  

  se elimina la fuente de corriente , remplazandola por el un circuito abierto entre el resistor de 10 .W eteneirroc al ranimreted edeup es secnotne I1

  I1 = Vf /(5+jwL + Zp)          (1)

  Zp es la resistencia de 10W y la impedancia del capacitor en paralelo   Zc = -j10 Zp = (Zc R ) / (R + Zc) Zp =( (-j10)(10)) / (10- j10) = 5(1 - j).    sustituyendo Zp y wL = 15 en la ecuación (1)  

I1 =( 10p0° ) / (5 +j5 + (5 - j5)) = 10 / (10 + j10) = 10/ Ö200p-45°

5.4. Reciprocidad

TEOREMA DE RECIPROCIDAD:

Este teorema establece que una red lineal , bilateral y con una sola fuente la razón de la excitación a la respuesta es constante , cuando las posiciones de excitación y respuesta se intercambian. La base del teorema es la simetría de las matrices Z e I.

En redes con una fuente de voltaje única , el teorema demuestra que la corriente

producida en la malla “ R “ cuando la fuente de voltaje está en la malla “ S “ es la

misma que la corriente en la malla “ S “ , cuando la fuente de voltaje se cambia a la

malla “ R “ . Puede observarse que las corrientes en otras partes de la red no permanecen

iguales.

Para las redes que contienen una fuente de corriente única , el teorema implica que el voltaje que resulta entre un par de terminales “ M , N “ , debido a la acción de la

fuente de corriente en las terminales “ A , B “ , es el mismo que el voltaje en las terminales “ A , B “ , cuando la fuente de corriente se cambia a las terminales “ M , N “ . puede observarse que los voltajes en otros puntos de la red no permanecerán iguales.

6.- Resolver el circuito propuesto para las condiciones de medida de la tabla N° 3 , forme una tabla de valores y compare con los valores obtenidos en forma práctica.

30

A 50 V B 20 35 1 2 3

B 10 D

C E

30 20(a) 0 30

A B 20 35 1 2 3

B 10 D

C 50 V

30 20 E

0

( b )

I 3

I 1

I 2

I 3

I 2I 1

6.1 .- Las ecuaciones de equilibrio del circuito ( a ) son :

a. 1.- ( 20 + 10 + 30 ) * I 1 + (-10) * I 2 + (-20) * I3 = 0 60 I1 – 10 I2 – 20 I3= 0

a. 2.- -10 * I1 + (35 + 10 + 20 ) * I2 – 35 * I3 = 0- 10 * I1 + 65 * I2 – 35 * I3 = 0

a. 3.- -20 * I1 – 35 * I2 + ( 30 + 35 +20 ) * I3 = 50 -20 * I1 – 35 * I2 + 85 * I3 = 50

I1 = 0.39 (A) I2 = 0.55 (A) I3 = 0.91 (A)

6.2.- Las ecuaciones de equilibrio del circuito (b) son:

b. 1.- ( 20 + 10 + 30 ) * I1 + (-10) * I2 + (-20) * I3 = 0 60 I1 – 10 I2 –20 I3 = 0

b. 2.- -10 * I1 + (35 + 10 + 20 )* I2 – 35 * I3 = 50 -10 I1 + 65 I2 – 20 I3 = 50

b. 3.- -20 * I1 – 35 * I2 + ( 35 + 30 + 20 ) * I3 = 0 -20 I1 – 35I2 + 85 I3 = 0

I1 = 0.37 (A) I2 = 1.12 (A) I3 = 0.55 (A)

5.5. Thevenin, Norton y máxima transferencia de potencia.

Teorema de   Thevenin

 

Este teorema se utiliza para obtener un circuito equivalente.

 

Procedimiento :   1)     Identificar una parte separada del circuito total.2)     Determinar el voltaje de Thevenin VT = Vcab , el voltaje del circuito abierto en

las terminales.3)     (a) Determinar ZT desactivando todas las fuentes independientes y

reduciendo el circuito a una impedancia equivalente.b)Si el circuito tiene una o mas fuentes dependientes entonces, o se cortocircuitan las terminales y se determina Icoc, la corriente de corto circuito, donde ZT = Vcab / Icoc óc) se desactivan las fuentes independientes , se conecta una fuente de voltaje o de corriente en las terminales y se determinan tanto V como I , de donde ZT = V / I.  

 Determinar el equivalente de Thevenin del siguiente circuito

cuando Z1 = 1 + j  y Z2 = -j1.

 

El voltaje del circuito abierto es

Vcab = IfZ1 = (2Ð 0°)(1 + j) = 2 Ö2Ð 45°

La impedancia Zc se halla derivando la fuente de corriente , remplazandola por un circuito abierto. entonces Z1 esta en serie con Z2.

Zt = Z1 + Z2 = (1 +j) - j = 1 W

Teorema Norton

Este teorema igual que el de Thevenin se utiliza para determinar circuitos equivalentes.

 

 Procedimiento:   1.     Identificar una parte separada del circuito total.2.     La corriente de Norton IN es la corriente por un corto circuito en las terminales

, asi que IN = Icoc.3.     Determinar ZT

a)     Desactivando todas las fuentes independientes y reduciendo el circuito a una impedancia equivalente, o

b)    Si el circuito tiene una o mas fuentes dependientes, determinar el voltaje de circuito abierto en las terminales , Vcab, de forma que

  Zt = Vcab / Icoc.

 

Determinarel equivalente de Norton del siguiente circuito . si Vf = 100Ð0° V.

 

primero se determina la impedancia equivalente desactivando la fuente de voltaje por uncorto circuito.

Puestoque Z1aparece en paralelo con Z2se tiene

se procede ha determinar la corriente de norton

Analizando por el método de malla tenemos

(Z1 + Z2 ) I + (-Z2) Inorton = Vf

(-Z2) I + (Z2 + Z3) Inorton =  0

Usando la regla de Cramer podemos hallar la Inorton .

por lo tanto la