Circuit Oos

TEMA 6

LOS CIRCUITOS RLC, LA RESONANCIA Y LOS FILTROS PASIVOS

Introduccin.

Al circular la corriente alterna por circuitos formados por resistencias, bobinas y condensadores, debido a efectos especiales que tienen lugar como consecuencia de este tipo de corriente y de la frecuencia, el comportamiento de estos componentes, y por tanto de estos circuitos, es diferente que cuando son recorridos por corriente continua. De ah que nos ocupemos en este tema del estudio de ellos.

CONOCIMIENTOS PREVIOS

1Teorema de Pitgoras.

Aunque trataremos de resolver los ejercicios de este tipo de circuitos mediante los nmeros com-plejos, debemos aclarar que cuando se trata de cir-cuitos sencillos (una resistencia, una bobina y un condensador) stos se pueden resolver por medio del teorema de Pitgoras. Lo recordamos.

El teorema de Pitgoras dice que "el cuadrado formado sobre la hipotenusa de un tringulo rectn-gulo es igual a la suma de los cuadrados formados sobre los catetos".

Su expresin matemtica es la siguiente:

2Trigonometra.

Para la resolucin de los circuitos RLC nece-sitamos de los conocimientos de la trigonometra. Con lo que se ha visto en el tema de corriente alter-na, de momento, nos es suficiente.

3Vectores.

Como se recordar, un vector es un segmento orientado. Es decir, un segmento con una punta de flecha en uno de sus extremos. Vase la figura 6.2.

y

h2 = c12 + c22

En la figura 6.1 se muestra la interpretacin.

h2

C2

b

v

An

ox

B

a

C2

Los vectores se nombran diciendo primero la letra del origen seguido de la del extremo; o tambin diciendo la letra minscula que lo designa. As el vector de la figura 6.2 se puede nombrar como el vector AB o simplemente vector v. 2 Captulo6. Circuitos RLC. Csar Snchez Norato

Se representa por una letra minscula con un peque-o vector encima de la letra.

Todo vector se caracteriza por los parmetros: Magnitud o Mdulo: es la longitud del vector o

segmento. (longitud A-B). Se representa as: |v|

Direccin: es la direccin de la recta sobre la

que est representado el vector; la direccin

puede ser A-B o B-A.

Sentido: es el sentido del vector. El sentido de

un vector viene dado por la punta de flecha. El

vector representado posee un sentido A-B.

Punto de aplicacin u origen: es el lugar donde

comienza el vector. En la figura el punto A. En

este caso coincide con el origen de coordenadas.

Un vector se puede dar en funcin de sus coordena-das y/o descomponerse en ellas. El vector que se adjunta tiene como abscisa el segmento oa y como ordenada el segmento ob. Cada una de ellas se puede calcular en funcin del mdulo y del ngulo .

As,

la componente horizontal oa = |v| cos la componente vertical ob = |v| sen

Si de un vector nos dan sus componentes, podemos hallar el mdulo por el Teorema de Pitgoras o mediante la trigonometra.

Tambin haremos uso de las operaciones con vecto-res; sobre todo de la suma y resta.

4Nmeros complejos

El campo de los nmeros complejos se cre para dar respuesta a ciertas cuestiones matemticas que no solucionaban los nmeros reales. Algunos de estos casos son: las races cuadradas (o de ndice par) de los nmeros negativos como -9; las potencias de exponente irracional de nmeros negativos (-3)5/4; o los logaritmos de los nmeros negativos (log - 4).

Se denominan nmeros complejos al conjunto de los nmeros reales y los imaginarios.

4.1Definicin.

Un nmero complejo es un ente abstracto representado por un par de nmeros reales cuales-quiera dados en un orden prefijado. Los nmeros

complejos se representan con el smbolo (a, b) siendo a y b nmeros reales. Al nmero a se le llama prime-ra componente o componente real y al b segunda componente o componente imaginaria.

4.2Consideraciones sobre los nmeros

complejos.

1 Todo nmero complejo de la forma (a, 0)

(segunda componente nula) es un nmero real. 2 Los nmeros complejos no reales se llaman

imaginarios.

3 Todo nmero complejo de la forma (0, b)

(primera componente nula), se llama nmero imaginario puro.

4 Toda unidad imaginaria se representa por "i"

(nosotros en electricidad y electrnica utiliza-remos la letra "j") y corresponde al nmero complejo imaginario puro (0, 1) sea, a -1; luego

(0, 1) = i = -1.

por tanto:

i = -1i2= -1

4.3Expresiones de los nmeros complejos.

Todo nmero complejo se puede expresar de varias formas:

1 Forma compleja: se expresa por (a, b) cuyo

significado ya conocemos.

2 Forma binmica: se expresa por a + bi donde

a representa la parte real y b las unidades imaginarias.

3 Forma factorial o trigonomtrica: en este caso

se dan las componentes a y b en funcin del ngulo y de sus razones trigonomtricas. Estas dos componentes son:

a = r cos b = r sen y el mdulo z = r (cos + sen )

4 Forma mdulo-argumental o polar: todo

nmero complejo queda determinado si se co-nocen su mdulo y su argumento o ngulo. En esta forma se expresa as (r ). Captulo6 Circuitos RLC. Csar Snchez Norato3

4.4Representacin geomtrica de un n-

mero complejo.

Los nmeros complejos se representan por los puntos de un plano referidos a un sistema de coorde-nadas, bien cartesianas o bien polares.

Analicemos el caso de las coordenadas cartesianas. Sea el nmero complejo representado por un punto P (figura 6.3).

Dicho punto se proyecta sobre los ejes. La proyec-cin sobre el eje de abscisas representa la compo-nente real y la proyeccin sobre el eje de ordenadas representa la componente imaginaria.

El punto P se llama afijo del complejo.

y

P

br

n

oax

Figura 6.3

Mdulo es la distancia OP de su afijo al origen de coordenadas. Su valor se calcula por Pitgoras.

Argumento es el ngulo que forma el segmento OP (mdulo) con el eje horizontal. Este ngulo viene dado por:

= arc sen b/r = arc cos a/r = arctg b/a

Vector asociado es el vector OP.

Como se observar, los nmeros complejos son, en la prctica, vectores; slo que su origen siempre est situado en el origen de coordenadas.

4.5Igualdad y desigualdad de nmeros

complejos.

a) Dos nmeros complejos son iguales cuando

tienen el mismo afijo; es decir, cuando se repre-

sentan geomtricamente en el mismo punto.

b)Dos nmeros complejos son iguales cuando

tienen, respectivamente iguales, sus compo-nentes reales e imaginarias.

Ejemplo: a + bi = c + di a = c y b = d

c)Dos nmeros complejos dados en forma trigo-

nomtrica son iguales cuando tienen iguales sus mdulos y sus argumentos son iguales o difie-ren en k x 360 o en 2k (si el ngulo viene da-do en radianes), siendo k un nmero entero.

4.6Nmeros complejos nulos, opuestos y

conjugados. Nulos.

a) en forma compleja: cuando sus dos com-

ponentes son nulas.

b) en forma polar: basta con que sea nulo el

mdulo.

Opuestos.

a) en forma compleja y binmica: cuando

tienen sus dos componentes opuestas

(a = - a y b = - b). As, el nmero com-plejo (7, 4) es opuesto al (-7, -4). Del mismo modo lo son los complejos: 3 + 4i

y el -3 - 4i.

b) en forma mdulo argumental: cuando sus

mdulos son iguales y sus ngulos o ar-

gumentos difieren en 180 (o en ) o en un nmero impar de estos.

Conjugados.

a) en forma compleja o binmica: cuando

sus componentes reales son iguales y sus

componentes imaginarias son opuestas. El complejo conjugado a (3, 4) es (3, -4). De igual forma lo son -3 + 5i y -3 -5i.

b) en forma polar: si sus mdulos son igua-

les (r = r) y sus argumentos opuestos ( = - ).

4.7Operaciones con nmeros complejos.

4.7.1 En forma compleja y/o binmica.

Suma y resta.

La suma o resta de dos o ms nmeros com-plejos es otro nmero complejo cuya com-ponente real es la suma o resta de las com-ponentes reales y cuya componente imagina-

4 Captulo6. Circuitos RLC. Csar Snchez Norato

ria es la suma o resta de las componentes imaginarias de los nmeros complejos a su-mar o restar.

(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i

Ejemplos:

(3, 5) - (2, -6) + (3, -1) = (4, 10)

(5 + 3i) + (-2 + 7i) - (8 - 4i) = [ (5 -2 -8) + (3 + 7 +4)i ] = - 5 + 14i

Observaciones:

a)la suma de dos nmeros complejos opuestos

es igual a cero.

b)la suma de dos complejos conjugados es

igual al duplo de su componente real. c) la representacin geomtrica de la suma apa-

rece en la figura 6.4.

n

4.7.2En forma polar.

Producto.

Para multiplicar dos o ms nmeros com-plejos se multiplican los mdulos y se su-man los argumentos.

Ejemplo: 530 x 6 42 x 2 20 =60 92

Cociente.

Para dividir dos nmeros complejos se divi-den los mdulos y se restan los argumentos. Ejemplo: 28 35 /4 24 = 7 11

5Leyes de Kirchhoff.

Recordemos solamente los enunciados.

La ley de los nudos dice que "en todo nudo elctrico, la suma vectorial de las corrientes que a l se acer-can es igual a la suma vectorial de las corrientes que de l se alejan".

P

b

d

eje real

oacm

Figura 6.4

Producto.

Para multiplicar dos nmeros complejos se multiplican los binomios complejos como si fueran binomios algebraicos.

Ejemplo.

(a + bi) x (c + di) = (ac + adi + cbi + bd i2) =

(ac - bd) + (cb + ad)i

Nota: ojo, no olvidemos que i2 = -1.

Cociente.

El cociente de dos nmeros complejos (a + bi) y (c + di) es otro nmero complejo (m + ni) tal que multiplicado por el complejo di-visor (c + di) d como resultado el complejo dividendo (a + bi).

La ley de mallas dice que "en toda malla o circuito elctrico cerrado, la suma vectorial de las fuerzas electromotrices aplicadas es igual a la suma vecto-rial de las cadas de tensin que en ella se produ-cen".

6La reactancia inductiva.

Cuando una bobina es recorrida por una co-rriente variable (corriente alterna), en su interior se crea un flujo magntico variable. Como consecuen-cia, se inducir en ella una f.e.m. inducida de sentido contrario (segn la Ley de Lenz) a la variacin de la corriente que la crea.

La f.e.m. inducida vale v = - L I / t

(el signo "menos" es por la Ley de Lenz) Por otro lado, en la bobina se almacena una energa en forma electromagntica que vale:

E = L I2 / 2 en Julios.

Se demuestra que el valor eficaz de le f.e.m inducida en una bobina vale V = 2 f L I

Al coeficiente 2 f L, que hace el efecto de una resistencia, se le llama reactancia inductiva, se

Captulo6 Circuitos RLC. Csar Snchez Norato5

representa por XL y vendr dada en ohmios, cuando la frecuencia venga en Hertzios y el coeficiente de autoinduccin en Henrios.

As pues, la reactancia inductiva de una bobina vale:

XL = 2 f L

En una bobina ideal (la que no tiene resistencia hmica ni capacidad, que por otra parte no existe) la corriente sufre un retraso de 90 respecto de la ten-sin aplicada.

7La reactancia capacitiva.

Cuando un condensador se conecta a una co-rriente alterna, el condensador se va cargando y descargando con la misma frecuencia que la de la tensin aplicada. Esto, a efectos prcticos, equivale a que por el circuito circula una corriente alterna cuyo valor eficaz viene dado por la frmula:

I = 2 f C V

siendo

V el valor eficaz de la tensin aplicada al condensa-

dor, en voltios,

f la frecuencia de la tensin aplicada, en Hertzios, y C la capacidad del condensador, en Faradios.

Si despejamos la tensin, tenemos que:

V = I / 2 f C

Por analoga con la Ley de Ohm (V = RI), tendre-mos que 1/2 f C tiene carcter de resistencia.

Pues bien, este trmino es lo que se llama reactancia capacitiva; se representa por Xc y vale:

Xc=1 / 2 f C

La reactancia capacitiva, o capacitativa, viene dada en ohmios si la frecuencia viene dada en Hertzios y la capacidad en Faradios.

Un condensador ideal retrasa la tensin 90 respecto de la intensidad; o lo que es igual, adelanta la co-rriente 90 respecto a la tensin. Hace, pues, el efecto contrario a las bobinas.

8Concepto de impedancia.

Cuando hablamos de la reactancia inductiva veamos cmo no exista ninguna bobina ideal,

porque todas tienen una cierta resistencia debida al hilo con que estn confeccionadas. Existen, pues, en toda bobina conectada a una corriente alterna dos tipos de resistencia: una la debida al hilo conductor

(RL = l /S) y otra, la reactancia inductiva, (XL = 2fL) debida a la inductancia de la propia bobina y a la frecuencia de la fuente de energa.

Debido a esto, el terico ngulo de desfase de 90 entre la tensin y la corriente no es tal, sino menor.

La combinacin de estos dos tipos de resistencia da una resistencia, llamada aparente, y que se corres-ponde, segn la Ley de Ohm, con el valor de la resistencia que presentara el circuito si no hubiera efecto de inductancia.

Esta resistencia aparente que vale Veficaz /I eficaz recibe el nombre de impedancia. Se representa por Z. Su expresin en forma compleja o vectorial es:

Z = R + jX

donde R es la componente resistiva y X es la componente reactiva.

Otro tanto ocurre con los condensadores reales (aquellos que presentan algn tipo de prdidas). O en un circuito mixto (R-L-C).

Lo veremos ms claro y con mayor detalle cuando analicemos los circuitos RLC.

9Conceptos de Admitancia, con-

ductancia y susceptancia.

Admitancia. Es la expresin inversa de la impedan-cia. Se representa por Y. Su unidad es el mho (Ohm al revs) o el Siemens.

Su expresin en forma compleja es:

Y = 1/Z = 1 / (R + jX) = G + jB

Conductancia. Se llama as a la componente G de la expresin compleja de la admitancia. Es decir, la parte real de la admitancia.

Susceptancia. Se entiende como tal la componente B de la expresin compleja de la admitancia. Es decir, la parte compleja o imaginaria de la admitancia. 6 Captulo6. Circuitos RLC. Csar Snchez Norato

10 Conceptos de potencia aparente,

potencia activa y potencia reactiva.

Recibe el nombre de potencia aparente el pro-ducto de los valores eficaces de la tensin aplicada a un circuito por la corriente que lo recorre.

Se representa por Pap y su unidad es el vol-tiamperio o voltamperio.

Se denomina potencia activa o potencia real de un circuito al producto de la potencia aparente por el coseno del ngulo que forman la tensin y la co-rriente. Es debida a la componente resistiva de la carga. Se representa por Pac y su unidad es el watio.

11Circuito con resistencia.

Supongamos una resistencia hmicamente pura (desprovista de autoinduccin y de capacidad) a la que se aplica una tensin alterna senoidal. Esta tensin originar por el circuito una corriente, tam-bin senoidal, totalmente en fase con la tensin aplicada y de su misma frecuencia.

En la figura 6.5 se ha representado el circuito elctri-co (figura a), el diagrama vectorial formado por la tensin y la corriente (figura b) que se puede obser-var estn en fase y, por ltimo, las senoides de la tensin aplicada (o cada de tensin en la resistencia) y la corriente que recorre el circuito (figura c).

Rj

I V

Existe una unidad prctica de potencia que es el caballo de vapor (HP -Horse Power- en ingls) que equivale a 736 watios).

Se entiende por potencia reactiva al producto de la potencia aparente por el seno del ngulo que forman la tensin y la corriente. Es debida a la componente reactiva de la carga. Se representa por Preac y su unidad es el watio reactivo o voltiampe-rio reactivo.

Nota: estos tipos de potencias se dan en aquellos circuitos donde la carga no es puramente hmica. Caso contrario, el nico tipo de potencia que existe es la activa.

Podemos decir, a la vista de los resultados, que al alimentar una resistencia puramente h-mica con una tensin de cc o con una tensin alterna senoidal con idntico valor eficaz que el de la cc, los efectos son los mismos. Precisamente de aqu se obtiene la definicin de valor eficaz de una corriente alterna.

12Circuito con inductancia pura.

Sea la bobina, supuestamente ideal, de la figu-ra 6.6 a la que se aplica una tensin alterna senoidal. Ya dijimos que una bobina ideal retrasa 90 la co-rriente respecto de la tensin aplicada (figuras b y c).

V

L90

I

I

a)circuitob) diagrama vectorial

v = V 0 sen Tt

v/ii = I 0 sen Tt

ot

c)senoides

Figura 6.5

I -

a)circuito

v/i

90

90 o

c)senoides

j

b)diagrama vectorial

v L= V0 sen Tt

t

i = I 0sen (Tt - 90)

Figura 6.6 Captulo6 Circuitos RLC. Csar Snchez Norato7

En este circuito la nica "resistencia" que aparece es la reactancia inductiva, por lo que la corriente eficaz que circula por el circuito ser:

I = V / XL (90 = V / j2 fL = jV / j2 2fL = -jV / 2fL = -jV / j L

La corriente instantnea que circula por el circuito

es i = Io sen (t - 90)

Observaciones:

La potencia (potencia activa o real) absorbida por una bobina ideal es cero, pues no existe resistencia hmica.

La tensin y la corriente estn en cuadratura; o sea, desfasadas 90, por tanto, el factor de potencia o coseno n es nulo.

13Circuito con condensador ideal.

Al conectar un condensador ideal (recordemos que es el que est totalmente desprovisto de resisten-cia) como el de la figura 6.7 a una fuente de tensin alterna, ocurre que a medida que la tensin va au-mentando, el condensador se va cargando, y cuando aquella va disminuyendo, el condensador se va descargando. Todo esto ocurre con la misma rapidez con que cambia el sentido de la tensin aplicada.

Como consecuencia, se establece en el circuito una corriente alterna de la misma frecuencia que la de la tensin de alimentacin.

I

C90

V

I

6.7,c- y que la cantidad de electricidad -en culombios si C viene en Faradios y V en voltios- acumulada en cada armadura del condensador es Q = C x V, ten-dremos que al cabo de los 90 la cantidad de electri-cidad acumulada ser:

Q0 = C x V0

Por tanto, el valor medio de la intensidad ser:

Imed = Q0 / t = C V0 / T/ 4 = 4 C V0 / T

Pero como 1/T = f, tendremos que:

Imed = 4 f C V0

Pasando a valores eficaces la corriente y la tensin tendremos que:

I = V / Xc (-90 = V / (-j) / C = V C / -j =

j V C / -j2 = j V C = jV 2 f C

V = Xc (-90 = (-j) / C = -jI /C = -jI / 2 f C

La corriente va 90 en adelanto respecto de la ten-sin, o lo que es lo mismo, la tensin va 90 en retraso respecto de la corriente.

Los condensadores hacen lo contrario que las bobi-nas.

La corriente instantnea circulante en el circuito es

i = Io sen (t + 90)

Todo lo tratado se puede observar en la figura 6.7.

14Circuito con resistencia y autoin-

duccin. Circuito R-L.

Sea el circuito de la figura 6.8,a constituido por una resistencia y una bobina. Tambin se puede considerar este circuito formado por una bobina real;

a)

v/i

90

-j

circuitob)diagrama vectorial

i = I 0 sen (Tt + 90)

90

ot

v C = V0 sen Tt

c)senoides

Figura 6.7

es decir, considerando la resistencia hmica de la misma. (Desconsideramos la capacidad de la bobina por ser la frecuencia de la tensin aplicada pequea).

Al aplicarle una tensin alterna senoidal, el circuito ser recorrido por una corriente tambin alterna senoidal de la misma frecuencia.

Esta corriente dar lugar a dos tipos de cadas de tensin diferentes en el circuito: una cada de tensin hmica debida a la resistencia hmica, R, del circuito cuyo valor es RI y que estar en fase con la corriente y otra inductiva o reactiva debida a la reactancia de la bobina, XL, cuyo valor es XL I y desfasada 90 en

Teniendo en cuenta que el valor mximo de la ten-sin tiene lugar al cuarto de periodo (90), -ver figura

adelanto respecto a la "cada de tensin hmica".


En todo momento, la suma de ambas cadas de tensin debe ser igual a la tensin aplicada, que a su vez es igual a ZI, (Ley de Kirchhoff). Pero como no estn en fase, la suma debe ser vectorial o geomtri-ca. Ver figura 6.8,b: tringulo de tensiones.

j

RL

XLI

InI

El factor de potencia o coseno de fi es:

Cos n = R / Z

La corriente que circula por el circuito vale:

I= V(0 / Z (n = I ( -n

El tringulo de resistencias o impedancias es el de la figura 6.8,b sin ms que dividir cada uno de los vectores por la intensidad. Tambin se puede obser-var en las figuras 6.9,a (tringulo OAB) y 6.9,b (tringulo ABC), que de las dos formas se suele

a) circuito

v/i

oRIrepresentar.

b) tringulo de tensiones

v = V 0 sen (Tt + n)

Tensiones. Tringulo de tensiones.

Antes hemos visto las distintas cadas de tensin. El

n o

90 v vL = V 0 sen (Tt + 90)

ttringulo de tensiones es la propia figura 6.8,b.

Tambin lo es el tringulo OCD de la figura 6.9,a o

= V 0 sen Ttel tringulo DEF de la figura 6.9,b.

R

i = I 0sen Tt

c)senoides

Figura 6.8

Tenemos, por tanto:

cada de tensin en la resistencia:

VR = R(0 I (en fase con la corriente)

cada de tensin en la bobina

VL = XL (90 x I (90 en adelanto sobre la corriente)

tensin total V = Z(n I (en adelanto n grados

respecto de la corriente)

De la figura 6.8,b, conocida como tringulo de tensiones, se deduce (por Pitgoras) que

V2= VR2 + VL2

Impedancia. Tringulo de resistencias.

La impedancia del circuito en forma compleja es:

Z = R + j XL

22

j

a)

n

o

b)

n

n D G

PapE

VCPreac

V L

ZA

XL

BDF

RV RPacI

H

E B

ZXL

nnR

AC

V RF

I

P ac

Figura 6.9

El mdulo de la impedancia es: | z |=R+X L

El argumento o ngulo de desfase es:

n = arc cos R / Z = arc tg XL / R

Sus valores son:

V = Z(n I

VR = R(0 I = V cos n VL = XL (90 I = V senn


Corrientes. Tringulo de corrientes.

Ya hemos visto cmo la corriente queda retrasada un ngulo n con respecto de la tensin.

Este valor queda descompuesto en dos componentes: una, IR, en fase con la tensin y otra, IL, retrasada 90 respecto de la anterior (figura 6.10).

I Rv

o-n

I L

-j

tringulo de corrientes

Figura 6.10

La IR se llama de corriente activa y su valor es

IR = I cos (-n)

La IL se llama corriente magnetizante o reactiva y vale

IL = I sen (-n)

La I total vale:22

Nota final:

Si se tratara de varias resistencias y autoinducciones, los tringulos de resistencias, tensiones y corrientes se constituiran por la composicin de cada uno de los correspondientes a cada clula R-L. Se comenza-ra por el primero de ellos y a continuacin se lleva-ra el correspondiente a la segunda clula; luego se llevara el correspondiente a la tercera y as sucesi-vamente.

Como ejemplo se propone la resolucin del siguiente ejercicio, cuyas soluciones se facilitan:

Tenemos una resistencia de 0,628 ohmios y una bobina de 2 mH. Le aplicamos una f.e.m. alterna senoidal de 6,28v a una frecuencia de 50Hz. Hallar:

a) la reactancia de la bobina,

b) la impedancia total del circuito,

c) el ngulo de desfase,

d) coseno de n,

e) la intensidad de corriente por el circuito, y

f) las tensiones del circuito,

g) potencias del circuito.

Soluciones:

a) XL = 0,628 (90A

b) Zt = 0,885 (45

c) n = 45

| I |= I

R

+I

L

d) Cos n = 0,707

e) I = 7,1(- 45 A; IR = 5(0 A; IL = 5(-90A f) V = 6,28V (45 ; VR = 4,45V(0 ; VL = 4,45(90V

g) Pap = 44,58 (45VA ; Pac = 31,65(0W ;

Preac = 31,65(90Wr

Potencias. Tringulo de potencias.

En este circuito aparecen tres tipos de potencia:

La potencia aparente representa la potencia total suministrada por la fuente o la total absorbida por la

carga y vale:

15

Circuito con resistencia y conden-sador. Circuito R-C.

Pap = Z(n I2 en voltamperios.

La potencia activa es la absorbida por la resistencia y vale:

Pac = R(0 I2 = Pap cos n en vatios.

La potencia reactiva es la absorbida por la bobina y vale:

Preac = XL(90 I2 = Pap sen n

en vatios reactivos o voltamperios reactivos.

El tringulo de potencias se puede observar en la figura 6.9,a (tringulo OEF) y en la figura 6.9,b (tringulo GHI).

Sea el circuito de la figura 6.11 formado por la resistencia pura R y el condensador C.

Al aplicar al circuito una tensin alterna senoidal de V voltios de valor eficaz y de frecuencia f en Hert-zios, ser recorrido por una corriente alterna senoidal de la misma frecuencia que la de la tensin de ali-mentacin.

Esta corriente dar lugar a dos tipos de cadas de tensin diferentes: una, VR, debida a la resistencia R, en fase con la corriente, cuyo valor es RI, y otra, Vc, de valor XC I retrasada 90 respecto de la corriente. En todo momento, la suma vectorial o geomtrica de ambas cadas de tensin debe ser igual a la tensin aplicada.


Tenemos, por tanto:

cada de tensin en la resistencia

VR = R(0 I (en fase con la corriente) cada de tensin en el condensador

Vc = Xc(-90 I (90 en retraso respecto de la corriente) tensin total

V = Z(-n I en retraso n grados sobre la corriente)

De la figura 6.11,b, conocida como tringulo de tensiones, se deduce (por Pitgoras) que:

V2= VR2 + VC2

RII

RC-n

El tringulo de resistencias o impedancias es la propia figura 6.11,b sin ms que dividir cada uno de los vectores por la intensidad.

Tambin se puede observar en la figura 6.12,a (tringulo OAB) y en la figura 6.11,b (tringulo ABC), que de las dos formas se suele representar.

Tensiones. Tringulo de tensiones.

Ya hemos visto antes las distintas cadas de tensin. El tringulo de tensiones es la propia figura 6.11,b. Tambin lo es el tringulo OCD de la figura 6.12,a o el tringulo DEF de la figura 6.12,b. La tensin en el condensador va retrasada 90 respecto de la intensi-dad.

o

G

Xc I

I-j

a) circuitob) tringulo de tensiones

v/i

v = V 0 sen (Tt - n)

t

on

90 v= V 0 sen Tt

o

-n

a)

-

j

G

-n

RV RPacI

ACE

Xc

ZB

Vc

VDPreac

PapF

P ac

I

V R

v c= V 0 sen (Tt - 90)

c)senoides

Figura 6.11

R

i = Isen Tt

0

D

-n

A

-n

b)

Figura 6.12

F C

R

ZXc

B

E

H


La impedancia del circuito en forma compleja es:

Z = R - j XC

El mdulo de la impedancia es:

22

Sus valores son:

V = Z(-n I;

VR = R( 0 I = V cos (-n); VC = XC (-90 I = V sen (-n)

|Z|=R+XC


n = - arc cos R / Z = - arc tg XC / R

El factor de potencia o coseno de n es:

cos n = R / Z

La corriente por el circuito vale:

I= V(0 / Z(-n= I (n


Ya hemos visto como la corriente queda adelantada un ngulo n con respecto de la tensin.

Este valor queda descompuesto en dos componentes: una, IR, en fase con la tensin y otra, IC, adelantada 90 respecto de la anterior.


La IR se denomina corriente activa y su valor es:

IR = I cos n

j

I c

on

I RV


Figura 6.13

La IC se denomina corriente reactiva y vale

IC = I sen n

22

La I total vale:| I | =I R+I C


En este circuito aparecen tres tipos de potencia: La potencia aparente representa la potencia total suministrada por la fuente o la total absorbida por la carga y vale:

Pap = Z(-n I2 en voltamperios.


Pac = R(0 I2 = Pap cos (-n) en vatios.

La potencia reactiva es la absorbida por el condensa-dor y vale:

Preac = XC(-90 I2 = Pap sen (-n)

en vatios reactivos o voltamperios reactivos.

El tringulo de potencias se puede observar en la figura 6.12,a (tringulo OEF) y en la figura 6.12,b (tringulo GHI).

Nota final:

Si se tratara de varias resistencias y capacidades, los tringulos de resistencias, tensiones y corrientes se constituiran por la composicin de cada uno de los correspondientes a cada clula R-C. Se comenzara por el primero de ellos y a continuacin se llevara el correspondiente a la segunda clula; luego se llevara el correspondiente a la tercera y as sucesivamente.

Como ejemplo se propone la resolucin del siguiente ejercicio, cuyas soluciones se facilitan:

Una resistencia de 500 ohmios y un condensador de

16 F en serie se alimentan con 220v/50Hz. Hallar:

a) la reactancia del condensador,

b) la impedancia total del circuito,

c) el ngulo de desfase,

d) coseno de n,

e) la intensidad de corriente por el circuito,

f) las tensiones del circuito, y

g) potencias del circuito.

Soluciones:

a)XC = 199(-90

b)Zt = 538 (-21,70

c)n = -21,70 = -21 42

d)Cos n = 0,9291

e)I = 0,4(21 42 A;

IR = 0,379(0 A; IC = 0,150(90A

f)V = 220 (- 21 42V ;

VR = 200(0 V; VC = 81,2(- 90 V

g)Pap = 88(- 21 42VA ;

Pac = 81,75 (0W ; Preac = 32,53(- 90Wr

16Circuito con resistencia, induc-

tancia y capacidad. Circuito R-L-C.

Sea el circuito de la figura 6.14,a formado por una resistencia R, una bobina o autoinduccin L y un condensador de capacidad C.

Como es fcil de intuir, este circuito es una sntesis de los dos anteriores; por tanto, en l ocurrirn los fenmenos conjuntos de ambos.

As, el tringulo de tensiones ser el de la figura

6.14,b. En l se puede observar la cada de tensin en la resistencia en fase con la corriente; la cada de tensin en la bobina en adelanto 90 respecto de la corriente; y, por ltimo, la cada de tensin en el 12 Captulo6. Circuitos RLC. Csar Snchez Norato

condensador otros 90 en retraso sobre la corriente. Como las cadas de tensin en la bobina y en el condensador se encuentran desfasadas entre s 180

(suponemos que es mayor la de la bobina), lo que hacemos es restarlas, con lo que queda como vector resultante de tensiones reactivas el vector XLI - XCI.


Si en la figura 6.14 dividimos cada uno de los vecto-res por la intensidad, tenemos las resistencias y ese ser el tringulo de resistencias o impedancias.

La impedancia total en forma compleja vale:

Z = R + j(XL - XC)

jXLI

Tensiones. Tringulo de tensiones

De la figura 6.14,b se desprende que las cadas de tensin son:

cada de tensin en la resistencia

VR = R(0 I (en fase con la corriente)

cada de tensin en la bobina

VL = XL(90 I = j L I (en adelanto 90 respecto a I)

cada de tensin en el condensador

VC = XC(-90 I(90 en retraso sobre la corriente)

tensin total

V = Z(n I (en adelanto n si XL es mayor que XC

-en retraso en caso contrario- sobre la corriente).

En la figura 6.14 se muestran las distintas tensiones as como la corriente, tomando como referencia la corriente (figura 6.14,b) ya que sta es comn por

R

v/i

o

Lc

Io

a) circuito

v = V 0 sen (Tt + n)

v R = V 0 sen Tt

Xc I

XLI-Xc I n

RII

Xc I

b) tringulo de tensiones

t

tratarse de un circuito serie.


Antes vimos como la corriente queda retrasada un ngulo n con respecto de la tensin.

Este valor queda descompuesto en dos componentes: una, IR, en fase con la tensin, otra, IC, adelantada 90 respecto de IR, una tercera, IL, retrasada 90 respecto de la de la resistencia; y, finalmente, IL -IC. Ver figura 6.15.

I c

I R

on

n

90 90

vL = V0 sen (Tt + 90)

Figura 6.14

El mdulo de la impedancia es:

2

i = I 0sen Tt

v c= V0 sen (Tt - 90)

2

-

-

IL-Ic

Ic

j

IL


Figura 6.15

| Z |=R+ (X L X C )

El argumento o ngulo de desfase vale:

n = arc tangte de (XL - XC)/R

El factor de potencia o cos n es cos n = R / Z La corriente eficaz por el circuito vale:

La IR se llama corriente activa y su valor es

IR = I cos (-n)

La (IL - IC ) se denomina corriente reactiva total y vale

(IL - IC ) = I sen (-n) La I total vale: 2 2

I = V(0 /Z(n = I(-n|I| =IR+(ILIC)Captulo6 Circuitos RLC. Csar Snchez Norato13


En este circuito aparecen tres tipos de potencia:

La potencia aparente representa la potencia total suministrada por la fuente o la total absorbida por la carga y vale:

Pap= Z(n I2 en voltamperios.


Pac = R(0 I2 = Pap cos (n) en vatios

La potencia reactiva capacitiva es la absorbida por el condensador y vale:

Preac cap = XC(-90 I2 = en vatios reactivos o voltam-perios reactivos.

La potencia reactiva inductiva es la absorbida por la bobina y vale:

Preac ind = XL(90 I2 = en vatios reactivos o voltampe-rios reactivos.

La potencia reactiva total es la absorbida por el condensador y la bobina juntas y vale:

Preac total = (XL - Xc )(90 I2 = en vatios reactivos o voltamperios reactivos.

Como ejemplo se propone el siguiente ejercicio cuya resolucin se facilita:

Una R = 10 ohmios, una L = 38,2mH y un conden-sador de 637 F se conectan en serie a una red de 244v/50Hz. Hallar: Zt , It , VR , VL , VC , Cos n, as como las distintas potencias.

Soluciones:

2222

* VC = XC (-90 I = 100(-90V

* V =Zt (n It (-n = 12,2(35 20 = 244(35 V * Pact = R I2 = 4.000(0W

* Preac capacitiva = XC I2 = 2.000(-90VAR * Preac inductiva = XL I2 = 4.800(90VAR

* Preac total = (XL - XC) I2 = 4.800 - 2.000 =

2800(90VAR

* Pap = Z I2 = 4.880(35 VA

Si se trata de un circuito ms complejo, su resolucin mediante los nmeros complejos facilita enorme-mente la labor. Veamos el siguiente circuito, cuyas soluciones se aportan.

En el circuito de la figura 6.16, hallar:

a) Zt (mdulo y argumento);

b) cos n total;

c) I total;

d) Potencia activa total;

e) Potencia reactiva total;

f) Potencia aparente total;

2S2 mF7 mF60 mH4 mF

2 mH4 mH10S12S

0,1H

100v/50Hz

3S30 mH5 mF

3 mF4 mH1 mF8S

Figura 6.16

Solucin:

a)Zt = R + j (XL - Xc)

R = 35(0

XL = 2 50 0,2 = 62,8(90

Xc = 7,65(-90 (ojo que todos los conden-

sadores estn en serie)

| Z |=R+ (X X)=

10+ (12 10)=12,2 n = 57,6 = 57 36

LC(35

ngulo de desfase

n = arc tang (XL - XC)/ R = 34,95 35 Factor de potencia: Cos n = (XL - XC)/ Z = 0,8196

* It = 244(0 V / 2,2(35 = 20(-35 A

* IR = 20A (0 * IL = 20A(-90 * IC = 20A(90

* VR = R (0 It = 200 V * VL = XL (90 I = 240(90V

Zt = 65,31(57 36

b) Cos n = 0,5358

c) It =100(0 / 65,3(57,6 =1,53(-57,6 Amperios

d) Potencia activa total:

Pac = R(0 I2 = 35 1,532 = 81,93(0watios

e) Potencia reactiva total:

Preac = 55,15(90 1,53 2 = 129,1(90 Wr (watios reactivos)

f) Potencia aparente:

Zt(57 36 I2 = 65,3(57 36 1,532 = 152,86(57 36 VA 14 Captulo6. Circuitos RLC. Csar Snchez Norato

RESONANCIA

17Resonancia

Se dice que un circuito est, o entra en reso-nancia cuando la tensin aplicada a l y la corriente que lo recorre estn en fase. De aqu se deduce que, en resonancia, la impedancia del circuito es igual a su resistencia hmica; o lo que es igual: la reactancia del circuito es nula, por lo que la reactancia inducti-va debe ser igual a la reactancia capacitiva,. Como consecuencia, el cos = 1. Vista la impedancia en forma compleja, en resonancia la parte compleja de la impedancia debe ser nula. Esto ocurre para un determinado valor de la frecuencia -llamada frecuen-cia de resonancia- de la tensin alterna aplicada.

17.1 Resonancia serie o resonancia de

tensin

17.1.1 Frecuencia de resonancia

Sea el circuito de la figura 6.17.En l tene-mos que la impedancia total es:

Z = R + j L - (j/ C) = R + j (L - 1/ C)

representar por f0. Como 2f = tenemos que 0 es la pulsacin de resonancia en radianes/segundo.

De esta expresin se puede observar que para dis-tintos valores de f las reactancias inductiva y capa-citiva toman diferentes valores: la XL aumentar con la frecuencia, y la XC disminuir a medida que la frecuencia aumenta. Ver figura 6.18.

Al existir dos variables independientes, L y C, son mltiples las combinaciones para conseguir una frecuencia de resonancia determinada (basta jugar con los valores de L y C).

17.1.2Tensiones parciales en resonancia

z

Z

R 0 f 1 f f 2

f

RLC

V/fcircuito R - L - C

I

Figura 6.17

Si denominamos L - (1/ C) = X tenemos que:

Z = R + j X

Para que exista resonancia, pues, debe ser nula la componente compleja; por tanto: X = 0; esto implica que: L - (1/ C) = 0.

O sea que L = 1/ C; o lo que es lo mismo:

2 f L = 1/2 f C

1

0

Impedancia en un circuito RLC serie en funcin de la

Xcfrecuencia.

Figura 6.18

Si un circuito serie RLC como el de la fi-gura 6.17 se alimenta con una tensin alterna con una frecuencia de resonancia, f0, por l circular una corriente I0 = V/R que dar lugar a las cadas de tensin parciales siguientes:

La VR = R(0 I0es igual a la tensin aplicada y

est en fase con ella.

La VL = XL0 (90 I0 es Q0 veces la tensin aplicada

y est 90 en adelanto respecto a ella.

Despejando f, tenemos:f 0=

2 LC

Siendo f0 la frecuencia de resonancia (en Hertzios siLa VC = XC0 (-900 I0 es Q0 veces la aplicada y est,

L est dada en Henrios y C en Faradios). Se suelerespecto a ella, 90 retrasada.Captulo6 Circuitos RLC. Csar Snchez Norato15

17.1.3Distribucin de la energa almacenada

en un circuito resonante serie

Si cada una de las tensiones calculadas an-teriormente la multiplicamos por la intensidad, y por el tiempo, tendremos las energas absorbidas por cada elemento. Dichas energas son:

La R = R(0 I2 t

La L = XL0 (90 I2 t = L I2 La C = XC0 (-90 I2 t = CV2

"La energa que pierde la bobina es, en todo instante, igual a la que gana el condensador; y viceversa"

17.1.4Curva de respuesta en frecuencia

En la figura 6.18 hemos representado las

Observemos que es mxima a la frecuencia de reso-nancia. En efecto, si la impedancia es mnima en resonancia, la admitancia, como es inversa a la impedancia (Y = 1/Z), ser mxima.

Como, por otra parte, la corriente es proporcional a la admitancia, se puede representar en la misma figura, cosa que as puede observarse.

17.1.5Coeficiente o factor de calidad

Se denomina coeficiente o factor de cali-dad o de sobretensin a la frecuencia de resonancia de un circuito (o de una bobina), al producto de la pulsacin por el cociente entre la mxima energa almacenada y la potencia media disipada.

Se designa por Q y vale:

L f1L

curvas de las distintas resistencias (resistencia,Q=

reactancias e impedancia -en sta su mdulo) en funcin de la frecuencia. En ella vemos que la R es

0

R

0

==

fRC

siempre la misma; ya que su valor es independiente de la frecuencia.

La XL crece linealmente con la frecuencia y en definitiva con la pulsacin.

La XC tambin crece -exponencialmente- con la frecuencia desde "menos infinito" (para cero hert-zios) hasta llegar a valor cero para una frecuencia infinita. Asimismo se puede observar cmo el m-dulo de la impedancia total va decreciendo hasta el valor propio de la resistencia (cosa que sucede para la frecuencia de resonancia) para volver luego a crecer rpidamente.

En dicha figura se ve, pues, el comportamiento de la "resistencia" de los tres componentes en funcin de la frecuencia, as como del mdulo de la impedancia total.

La fig. 6.19 muestra la curva de la admitancia (inver-sa de la impedancia) en funcin de la frecuencia.

Y oI

baja R

alta R

f

0frecuencia

f0

Curva de la admitancia o corriente segn la frecuencia

Figura 6.19

Siendo f el ancho de banda, que veremos seguida-mente.

Asimismo se define Q como la relacin entre la cada de tensin en la bobina (o en el condensador) y la de la resistencia. Se suele tomar un valor mayor que 10.

Vemos, pues, que la calidad de un circuito es tanto mayor cuanto menor es la resistencia a la frecuencia de resonancia, y como quiera que la resistencia es la de la bobina, el circuito tendr ms calidad cuanto ms pura sea la bobina.

17.1.6 Frecuencias de corte y ancho de banda

Las frecuencias de corte tambin se conocen como frecuencias lmite. Son aquellas para las cuales la intensidad de corriente es 0,707 veces (70,7%) el valor de la corriente a la frecuencia de resonancia; o bien aquellas para las cuales la potencia se reduce a la mitad de la de resonancia (puntos de media poten-cia).

En efecto: si la potencia en resonancia es W0 = R I02 y la corriente cae a 0,707 veces la de resonancia,

tenemos que Wf 2 = Wf1 = R (0,707 I0)2 = 0,5 RI02 que, es la mitad de la potencia que en resonancia. O de otra forma: aquellas que cumplen la condicin:

If2 / Ifo = If1 / Ifo = 0,707.

As pues, la frecuencia de corte o lmite superior f2 es la frecuencia mayor que la de resonancia, para la cual se obtiene una potencia mitad que la que sumi-nistra al circuito a la frecuencia de resonancia.


A su vez la frecuencia de corte o lmite inferior f1 es la frecuencia menor que la de resonancia, para la cual se obtiene una potencia mitad que la que sumi-nistra al circuito a la frecuencia de resonancia.

Conociendo la frecuencia de resonancia, el ancho de banda y el factor de calidad se tiene:

f2= f0 + (f /2) = Q f + (f / 2) = f0 + (f0 /2Q)

f1= f0 - (f /2) = Q f - (f / 2) = f0 + (f0 /2Q)

Tambin podemos decir que las frecuencias de corte son aquellas para las cuales se produce un desfase entre la corriente y la tensin comprendi-do entre -45 (intensidad en adelanto para la f1) y +45 (intensidad en retraso para la f2).

Se llama ancho de banda, anchura de banda, banda de paso, o banda pasante, al nmero de ciclos a uno y otro lado de la frecuencia de resonancia compren-didos entre las frecuencias de corte superior e infe-

donde la ordenada es el mdulo de Y/Y0 (admitan-cias), o I/I0 (corrientes) o Z0/Z (impedancias) y donde la Abscisa x = Q0 (factor de calidad por la desintona relativa) = Q0 ( - 0)/0 o tambin a L/R.

La curva es simtrica respecto del eje y que pasa por x = 0; esto es: en resonancia. El origen de coordena-das, punto 0, corresponde a un valor de

x = Q0 = Q0 ( - 0)/0

YI I mx

AB 0,707 Imx

f

f

rior.

01

f 0f2

f

Tambin se denomina as a la diferencia de frecuen-cias, en las cuales la potencia disipada por el circuito es la mitad de la disipada a la frecuencia de resonan-cia por dicho circuito.

Se suele representar por f2 - f1, o bien por f siendo f2 la frecuencia de corte superior, y f1 la frecuencia de corte inferior, por lo que cabe una nueva defini-cin de banda de paso, diciendo que es el nmero de frecuencias comprendido entre ambas frecuen-

Figura 6.20

pero para la resonancia - 0 = 0; por tanto, x = 0.

La curva universal se suele representar en un entorno de x entre + 2 y - 2.

YZOI

cias de corte.

El ancho de banda vale

f = f0/Q = R /2 L (para frecuencias) = 0/Q = R / L (para pulsaciones)

Para hallar el ancho de banda grficamente, una vez dibujada la curva de respuesta-frecuencia, se toma el valor 0,707 Imax (figura 6.20) y se traza una lnea paralela al eje de abscisas o de frecuencias hasta que corte a la curva en los puntos A y B. Las perpendi-culares trazadas desde ellos determinan las frecuen-cias de corte f2 y f1.

El ancho de banda (zona sombreada); es f2 - f1

Curva universal

-2

y ===

YOZI O

1

0,9

0,8B

A0,7de resonancia

0,6 0,5 0,4 0,3 0,2

0,1x = Q O

-0,50+0,5+2

Figura 6.21

Consecuencia de la observacin de la figura es que

para un determinado valor de x = Q0 cuanto mayor

17.1.7Curva universal de resonancia

La curva universal de resonancia para el circuito serie es la representada en la figura 6.21.

Tiene por ecuacin matemtica1

sea el coeficiente (o factor) de calidad, menor es la desintona relativa, , y menor es el ancho de banda. Del mismo modo, para un determinado valor de , cuanto mayor sea el Q0 mayor ser x, por lo que "pasan" peor las frecuencias que correspondan a .

y =

1+ 4x

2


Por ltimo, cuanto mayor sea el valor del Q0, ms selectivo es el circuito

El ancho de banda corresponde al entorno x = 0,5 (puntos A y B, llamados puntos de media potencia).

En electrnica se considera que la banda de paso est definida a uno u otro lado de la frecuencia de reso-nancia por la prdida de 3dB en el valor de la inten-sidad respecto de la de resonancia; en tal caso:

-3 dB = 20 log (I / I0) => -3 / 20 = log (I / I0) =>

anti log (-3 / 20) = I / I0 = 0,707

1

0,707 =de donde x =0,5

1+ 4x 2

LLevando este valor de la ordenada a la ecuacin de la curva universal de resonancia, tenemos que:

Para analizar todo lo tratado, veamos el siguiente ejemplo.

Sea el circuito de la figura 6.17 en que R = 100, L = 2 mH y C = 80 pF. Apliqumosle una tensin

1

El ancho de banda vale

f = f2 - f1 = f0 / Q = 398.089 / 50 = 7.960 Hertzios,

correspondiendo 7960/2 = 3.980 Hertzios a cada lado de la frecuencia de resonancia.

Las frecuencias de corte son:

f2 = 398.089 + 3.980 = 402.069 Hertzios f1 = 398.089 - 3.980 = 394.069 Hertzios

17.1.8Consecuencias del circuito a la fre-

cuencia de resonancia.

a)Al tratarse de un circuito serie, y anularse las

reactancias inductiva y capacitiva, el circuito pre-senta una impedancia resistiva pura, y sta ser la de la resistencia hmica del circuito, que a su vez ser mnima. O sea: Z0 = R.

b)Como la impedancia es mnima, la intensidad de la

corriente, que segn la ley de Ohm generalizada vale I = V/Z, ser mxima; es decir I0 = V/Z0 = V/R.

c)Para frecuencias superiores a la de resonancia, el

circuito se comporta inductivamente, pues XL=2 fL, y para frecuencias inferiores a la de resonancia, el

f0 =

2 210

= 398.089Hz

312

8010

circuito se comporta capacitivamente; pues XC = /2 f C.

alterna de 300 voltios y veamos qu ocurre.

La frecuencia de resonancia f0 vale:

La corriente que circula por el circuito,

I0 = V/R = 300/100 = 3 Amperios

Las reactancias inductiva y capacitiva son

XL = XC = 2 f L = 1/2 f C = 5.000

Las cadas de tensin que origina la corriente tanto en la bobina como en el condensador son:

VL = VC = 5.000 x 3 = 15.000 voltios.

La ganancia en tensin es

Av = 15.000/300 = 50

El factor de calidad es

Q = XL / R = 5.000 / 100 = 50

d)Ya hemos visto cmo la reactancia, a la frecuencia

de resonancia, es nula y la impedancia total es sola-mente la de la resistencia hmica, la cual puede ser, a su vez, la resistencia hmica de la bobina, -circuito L-C con bobina real- por lo que si la bobina fuera ideal (resistencia nula) tendramos en el circuito una corriente infinita.

En la practica esto es imposible, ya que es imposible anular la resistencia hmica de la bobina; esta impo-sibilidad da lugar al concepto de factor de calidad y selectividad del circuito.

e)A pesar de que el circuito sea alimentado con una

tensin pequea, en los extremos de la bobina y del condensador podemos tener tensiones elevadas o muy elevadas, (ste es el fenmeno de la resonancia) o sea, mucha ganancia de tensin; sin embargo, a frecuencias distintas a la de resonancia las tensiones en la bobina y el condensador son despreciables. 18 Captulo6. Circuitos RLC. Csar Snchez Norato

El anlisis de los circuitos paralelo o derivados es ms complicado que el de los circuitos serie. No obstante, al igual

que los circuitos serie se resuelven por medio de las impedancias, los circuitos derivados se resuelven, generalmente,

mediante las admitancias.

18Circuito con resistencia y induc-

tancia. Circuito R-L

Sea el circuito de la figura 6.22,a constituido por una resistencia y una bobina.

It

I RI LIRv

o-n

-RL

IL

a) circuitob) tringulo de intensidades

Figura 6.22

Al aplicarle una tensin alterna senoidal, los dos componentes, resistencia y bobina, estarn sometidos a la misma tensin, por lo que cada uno de ellos ser

Corrientes. Tringulo de corrientes

Antes qued expuesto que la corriente total queda retrasada un ngulo con respecto de la tensin. Este valor queda descompuesto en dos componentes: una, IR, en fase con la tensin y otra, IL, retrasada 90 respecto de la anterior. (Ver figura 6.22,b).

La IR o corriente activa vale:

IR = It cos (-) = V(0 / R(0 = V (0 /YR (0

La IL o corriente reactiva vale:

IL = It sen (- ) = V(0 / XL(90 = V (0 /YL ( -90

La corriente total It, en forma compleja, vale:

It= IR - jIL

El mdulo de la It es:

22

| It |= I

recorrido por una corriente senoidal diferente: por la resistencia circular una corriente IR que estar en

R

+I

L

fase con la tensin aplicada, y por la bobina circular una corriente IL que estar retrasada 90 respecto de la tensin. Ver figura 6.22,b).

La suma vectorial o geomtrica de ambas corrientes

(Ley de Kirchhoff) dar lugar a la corriente total It que recorre el circuito y que estar retrasada un ngulo .

Admitancia

Ya sabemos que la admitancia es la inversa de la impedancia. Por tanto (en forma compleja):

Y = YR + YL = 1 - j 1= G - jB

R XL El mdulo de la admitancia es:


= arc tg - (IL / IR) = arc tg - (B/G) = -

El factor de potencia o coseno de fi es:

Cos = IR / It

Como ejemplo se propone resolver un circuito R-L paralelo donde R = 1000 y L es tal que su reactan-cia inductiva XL = 1.884. El circuito se alimenta con una tensin de 110 voltios de c. a. senoidal.

Solucin:

Yt = YR + YL = 1 / 1.000 + (1 / 1.884j) =

1 / 1.000(0 + (1 / 1.884(90) = 0,001 - 0,00053j

= arc tg - (0,00053/0,001) = -27,92 = -27 5555''

22

|Y|= G

|Y| =0,001 +0,00053 = 0,00113 mhos

22Z = 1 / Yt = 1 / 0,00113(-27,92 = 884(27,92

+B

IR = V YR = 110(0 0,001(0 = 0,11(0 A IL = V YL = 110(0 0,00053(-90 = 0,0583(-90 A

El argumento o ngulo = arc tg - B/ G

It = V Yt = 110(0 0,00113(-27,92 = 0,124(-27,92A Captulo6 Circuitos RLC. Csar Snchez Norato19

18Circuito con resistencia y con-

densador. Circuito R-C

Sea el circuito de la figura 6.23,a formado por la resistencia pura R y el condensador C.

It

I RI C

RC


La corriente total queda adelantada un ngulo con respecto de la tensin. Este valor queda descom-puesto en dos componentes: una, IR, en fase con la tensin y otra, IC, adelantada 90 respecto de la anterior. (Ver figura 6.23,b).


IR = It cos () = V(0 / R(0 = V(0 YR (0 La IC o corriente reactiva vale:

-IC = It sen () = V(0 /XC(-90 = V(0 YC (90

La corriente total It vale:

22

a) circuito j

IC

nv

oIR

b) tringulo de intensidades

Figura 6.23

Al aplicar al circuito una tensin alterna senoidal de V voltios de valor eficaz y de frecuencia f en Hert-zios, cada componente ser recorrido por una co-rriente alterna senoidal de la misma frecuencia que la de la tensin de alimentacin: por la resistencia circular una corriente IR que estar en fase con la tensin aplicada, y por el condensador circular una corriente IC 90 en adelanto respecto de la tensin. Figura 6.23,b).

La suma vectorial o geomtrica de ambas corrientes (Ley de Kirchhoff) dar lugar a la corriente total It que recorre el circuito y que estar adelantada un ngulo .

Admitancia

La admitancia es la inversa de la impedancia. Por tanto (en forma compleja):

Y = YR + YC = 1 + j 1 = G + jB

R XC

El mdulo de la admitancia es:

22

|Y|= G +B El argumento o ngulo = arc tg B/ G

| It |=I R+I C


= rc tg (IC / IR) = arc tg (B/G) El factor de potencia o Cos = IR / It

Como ejemplo se propone la resolucin del siguiente ejercicio.

Sea una resistencia de 100 ohmios y un condensador de 16 microfaradios en paralelo. Se alimentan con una tensin de 200v/50Hz. Hallar:

a) la reactancia del condensador

b) la admitancia e impedancia total del circuito;

c) el ngulo de desfase;

d) coseno de ;

e) las intensidades de corriente por el circuito.

Resolucin:

a) Xc = 1/ 2 f C = 199(-90

b) Yt=YR+YC =1/100(0 +1/199(-90 =0,01+0,005j

22

| Y | =0,01+ 0,005 = 0,0011( 26,56 mhos

Z = 1/Yt = 1/0,011(26,56 = 90,9(-26,56

c) = arc tg (0,005/0,01)=26,56 = 26,33,54

d) Cos = 0,8944

e) IR = V YR = 200(0 0,01(0 = 2(0 A

IL = V YC = 200(0 0,005(90 = 1(90 A

It = V Yt = 200(0 0,011(26,56 =2,23(26,56 A

19Circuito L-C. El circuito osci-

lante o circuito tanque

En general toda combinacin L-C recibe el nombre de circuito tanque por su facultad de alma-cenar energa, especialmente cuando ambas reactan-cias aparecen concentradas solas, sin resistencia ni fuente de alimentacin. Tambin se conoce como circuito oscilante.


Sea el circuito de la figura 6.24. Si se coloca el conmutador en la posicin 1, el condensador se cargar a la tensin de la fuente. Una vez cargado, al pasarlo a la posicin 2, el condensador se descarga sobre la bobina, la cual es recorrida por una corriente que crea alrededor de ella un campo magntico donde almacena la energa entregada por el conden-sador.

21

++

b)Tambin se puede modificar el el factor de

calidad Q colocando una resistencia en para-lelo con el circuito tanque.

20Circuito con resistencia bobina y

condensador. Circuito R-L-C.

Sea el circuito de la figura 6.25,a constituido por una resistencia, una bobina y un condensador.

G

= V

-

v

o

L c-

circuito tanque

-

t

It

IRILI

C

C

RL

oscilaciones amortigadas

Figura 6.24

Una vez descargado el condensador (y almacenada toda su energa en la bobina), ste comienza de nuevo a cargarse a expensas de la bobina, originn-dose por el circuito una corriente en sentido contrario al de la descarga. Una vez cedida toda la energa de

a) circuito

j

IC

n2IRv o

-n

la bobina al condensador, ste vuelve nuevamente a descargarse sobre la bobina y as sucesivamente.

El resultado es la circulacin, por el circuito, de una -

corriente oscilante o alterna. Si no hubiera prdidas, sobre todo en la resistencia asociada de la bobina, en el circuito, las oscilaciones mantendran su amplitud indefinidamente. Pero debido a las prdidas, dicha corriente se va amortiguando poco a poco hasta desaparecer totalmente.Ver oscilograma.

-n1- IC

IL

IC

j

I L

b) tringulo de intensidades

Figura 6.25

Al aplicarle una tensin alterna senoidal, los tres

La frecuencia de oscilacin responde a la frmula:

1

fo =

2 LC

Se trata de una frecuencia propia, llamada frecuencia de oscilacin.

Observaciones.

a) Si se desea disminuir el factor de calidad Q del

circuito para ensanchar el ancho de banda, es

suficiente con colocar una resistencia en serie con la bobina. (Se puede poner variable para va-riar o controlar el ancho de banda a voluntad).

componentes estarn sometidos a la misma tensin, por lo que cada uno de ellos ser recorrido por una corriente senoidal diferente: por la resistencia circu-lar una corriente IR que estar en fase con la tensin aplicada, por la bobina circular una corriente IL que estar retrasada 90 respecto de la tensin y por el condensador circular una corriente IC 90 en ade-lanto respecto de la tensin. Ver figura 6.25,b).

La suma vectorial o geomtrica de ambas corrientes

(Ley de Kirchhoff) dar lugar a la corriente total It que recorre el circuito y que estar retrasada un ngulo si la IL es mayor que la IC como hemos supuesto en este caso; (al revs en caso contrario). Captulo6 Circuitos RLC. Csar Snchez Norato21

Admitancia

La admitancia total, en forma compleja, es:

Yt = YR + YL + YC

El mdulo de la admitancia es:

22

Mdulo:

22

| Yt |=0,01+ 0,0268 = 0,286 mhos

Argumento:

= arc tg -(0,0268/0,01)= -69,53 Impedancia Z = 1/Y = 34,96 (69,53

| Y |=

1

+ R

11

b)Cos = Cos -69 32 16 = 0,3497

XL Xc

c) It = V(0 Yt (- =200(0 0,0286 (-69,53 = 5,72(- 69,53A

IR = V (0 YR (0 = 200 0,01 = 2 (0 Amperios

IL = V (0 YL(-90 = 200 0,0318 = 6,36(-90 Amperios


En la figura 6.25b se puede ver como la corriente total queda retrasada un ngulo con respecto de la tensin. Este valor queda descompuesto en dos componentes: una, IR, en fase con la tensin, y otra, IL - IC, retrasada 90, en este caso, respecto de la anterior.


IR = It cos (-) = V(0 / R(0 = V (0 YR (0 La IL o corriente reactiva inductiva

IL = V(0 / XL(90 = V (0 YL ( -90

La IC o corriente reactiva capacitiva es:

IC = V(0 / XC(-90 = V(0 YC ( 90

La IL - IC o corriente reactiva total es:

IL - IC = It sen (-)

La It o corriente total vale:

It = IR / cos (-) = V(0 Yt (- El mdulo de la It es:

22

| It |=I R+B(I L I C )

El argumento o ngulo de desfase es: = arc tg - (IL- IC)/IR

El factor de potencia o coseno de fi es: Cos = IR / It

Como ejemplo se propone la resolucin del siguiente ejercicio.

Sea una resistencia de 100 ohmios, un condensador de 16 F y una bobina de 0,1 H conectados en para-lelo (figura 6.25). Se alimentan con una tensin de 200v/50Hz. Hallar:

a) la admitancia e impedancia total del circuito;

b) el coseno de ;

c) las intensidades de corriente por el circuito.

Solucin:

a) Yt=YR+YC-YL=1/100(0 +1/199(-90 -1/31,4(90

= 0,01 +0,005 j - 0,0318j mhos

Yt = 0,01 - 0,0268j

IC = V(0 YC (90 = 200 0,005 = 1( 90 Amperio IL - IC = 6,36 - 1 = 5,36(-90 Amperios

21Circuitos mixtos R-L-C

Si bien cada circuito R-L-C mixto presenta ciertas peculiaridades y caractersticas propias y, por tanto, su resolucin se puede acometer de una u otra forma. Podemos decir, como norma general, que su resolucin se facilita resolviendo primero los "para-lelos" por admitancias y a continuacin las "series" por impedancias.

Una vez resueltos los paralelos por admitancias, se buscan las impedancias (inversas de las admitancias) de cada paralelo que resultarn en serie con las "series". Despus de esto ya resulta un circuito equivalente en serie que se resuelve cmodamente por impedancias.

Esta "norma" o "consejo" no es la nica forma de resolverlos; pues existen circuitos en los que su resolucin resulta ms "fcil" por admitancias. Cada cual lo puede resolver como mejor lo comprenda y ms sencillo le resulte.

A modo de ejemplo, ofrecemos el circuito de la figura 6.26, donde aportamos las soluciones.

I3 S2 S

1I 41S-2S

AI 24S4SBC

3S1S

I 35 S-8 S

I 5

IG220V/50Hz

Figura 6.26 22 Captulo6. Circuitos RLC. Csar Snchez Norato

Solucin:

Y1 = 0,230 - 0,154j Y2 = 0,125 - 0,125j Y3 = 0,056 + 0,09 j

YAB = Y1 + Y2 + Y3 = 0,411 - 0,189j

|YAB|= 0,453(-24,69 mhos

ZAB = 1/YAB = 1/ 0,453(-24,69 = 2,20(24,69

Y4 = 0,2 + 0,4j ; Y5 = 0,3 - 0,1j ;

YBC = Y4+ Y5 = 0,5+0,3j =>|YBC|= 0,583(30,96 mhos

ZBC=1/YBC=1,47-0,882j=1/ 0,583(30,96 =1,715(-30,96 Zt = ZAC = ZAB + ZBC = 2+ 0,923j +1,47 - 0,882j = 3,47 + 0,041j => Zt = 3,47(0,67

It = 220(0 /3,47(0,67 = 63,4(-0,67 A

Cos = 0,9999

VAB =ZAB It = 2,20(24,69 63,4(-0,67A = 139(24,02V VBC = ZBC It = 1,715(-30,96 63,4(-0,67A= 08,7(-31,63V

I1 = VAB Y1= 139(24,02V 0,253(-33,8 = 35,16(- 9,78V I2 = VAB Y2 = 139(24,02V 0,14(-45 = 19,46(- 20,98V I3 = VAB Y3 = 139(24,02V 0,064(58,11 = 8,9(82,12V I4 = VBC Y4 = 108,7(-31,63V 0,36(63,43 = 39,13(31,8V I5 = VBC Y5 = 108,7(-31,63V 0,19(-18,43 = 20,6(50V

I t

I LIC

IR

LR

C

V/f

circuito R - L - C

Figura 6. 27

22Resonancia paralelo o resonancia

de corriente

Se producir en un circuito paralelo formado por RLC. Tambin se llama resonancia de intensidad o resonancia de corriente.

Aunque la condicin de resonancia es la misma que para el circuito serie, ya que la definicin de reso-nancia es nica (ocurre la resonancia cuando la tensin y la corriente estn en fase), el funciona-miento de este circuito es diferente al serie.

Si en el circuito serie se cumpla que, a la frecuencia de resonancia, la parte compleja de la impedancia deba ser nula, en el paralelo, se cumple que la parte compleja o susceptancia de la admitancia debe ser nula;

As como en resonancia serie se producen elevadas tensiones en los extremos de la bobina y el conden-sador, dependiendo del factor de calidad Q an alimentando el circuito con una tensin pequea, en resonancia paralelo se pueden originar valores eleva-dos de la intensidad que circula por la bobina y por el condensador an cuando la intensidad que recorra el circuito tenga un valor reducido.

Sea el circuito de la figura 6.27 constituido por una resistencia, una bobina y un condensador en paralelo. En l tenemos que la admitancia total es:

Yt = YR + YL + YC

Para que exista resonancia, pues, debe ser nula la componente compleja o susceptancia; por tanto:

2 f C = 1/2 f L

22.1Frecuencia de resonancia

Despejando, tenemos:

fo =1

2 LC

22.2Corrientes parciales y corriente

total del circuito en resonancia.

Veamos las corrientes parciales y la total que circu-lan por el circuito.

Corriente por la resistencia: IR = V/ R Corriente por la bobina: IL = -jV/XL=-jV /L0 Corriente por el condensador: IC= +jV/XC = +jVC0

La intensidad que circula por la resistencia est en fase con la total; la que circula por la bobina est 90 en retardo con la intensidad total, y la que circula por el condensador va 90 en adelanto sobre la corriente total.

La intensidad total que circula por el circuito a la frecuencia de resonancia es, aplicando al circuito la Ley de Kirchhoff:

It = IR + IL + IC = VY0 = V/R

lo que nos pone de manifiesto que la intensidad de alimentacin de un circuito resonante paralelo ideal es igual a la corriente que circula por la resistencia.


22.3Distribucin de energas y poten-

cias en el circuito

La energa almacenada por la bobina es:

L = L I2

La energa almacenada por el condensador es

C = CV2

El comportamiento del circuito de cara a las ener-gas, ocurre lo que en el circuito serie: "la energa que pierde el condensador es, en todo instante, igual a la que gana la bobina y recprocamente".

Dichas potencias son: La WR = R(0 I2

La WL = XL0 (90 I2

La WC = XC0 (-90 I2

De aqu se desprende que "en cualquier instante, la suma de las potencias absorbidas por la bobina y el condensador de un circuito resonante paralelo es cero". O lo que es lo mismo "la potencia absorbida por la bobina es igual, en cualquier instante, a la cedida por el condensador y recprocamente".

y

Y

1/R

f

0f1ff 2

Asimismo se puede observar cmo el mdulo de la admitancia total va decreciendo hasta el valor propio de la conductancia (cosa que sucede para la frecuencia de resonancia) para volver luego a crecer rpidamente.

En la figura 6.29 tenemos la curva de la impedancia en funcin de la frecuencia.

Observemos que es mxima a la frecuencia de reso-nancia. Como la inversa de la impedancia es la admitancia, sta (Y = 1/Z) ser mnima a la frecuen-cia o pulsacin de resonancia.

Z

alta R

baja R

f

0frecuencia

f0

Curva de la impedancia segn la frecuencia

Figura 6.29

22.5Coeficiente o factor de calidad

Se denomina coeficiente o factor de calidad o de sobreintensidad a la frecuencia de resonancia de

0

Yc

Admitancia en un circuito RLC paralelo en funcin de la frecuencia.

un circuito (o de una bobina), al producto de la pulsacin por el cociente entre la mxima energa almacenada y la potencia media disipada.

Se designa por Q y vale:Q = R/L Para la frecuencia de resonancia ser, siendo 0 la pulsacin de resonancia:

Figura 6.28

22.4Curva de respuesta en frecuencia

En la figura 6.28 hemos representado las curvas de las distintas admitancias as como el m-dulo de la admitancia total en funcin de la frecuen-cia. En ella vemos que la G o 1/R es siempre la misma; ya que su valor es independiente de la fre-cuencia.

La YC crece linealmente con la frecuencia y en definitiva con la pulsacin.

La YL tambin crece exponencialmente con la fre-cuencia desde "menos infinito" (para cero hertzios) hasta llegar a valor cero para una frecuencia infinita.

Q0 = R/L0 = 0CR

Se suele tomar un valor mayor que 10. Tambin es igual a IC/ = IL/I

22.6Frecuencias de corte y ancho de

banda

Las frecuencias de corte tambin se conocen como frecuencias lmite. Son aquellas para las cuales la intensidad de corriente es 0,707 -1/ 2-veces (70,7%) la corriente a la frecuencia de resonancia; o bien aquellas para las cuales la potencia se reduce a la mitad de la de resonancia

(puntos de media potencia).


En efecto: si la potencia en resonancia es W0 = R I02 y la corriente cae a 0,707 I0, tenemos que

Wf2 = Wf1= R(0,707 I0)2 = 0,5 RI02

que, es la mitad de la potencia que en resonancia.

Z

Zmx

AB 0,707Zmx

f

0f1f0f2

f

Figura 6.30

O de otra forma: aquellas que cumplen la condicin

Ifo / If2 = If0 / If1 = 0,707

As, pues, la definicin de las frecuencias de corte o frecuencias lmite es la misma que para el caso de la resonancia serie.

Conociendo la frecuencia de resonancia y el ancho de banda se tiene:

f2= f0 + ( f / 2)

f1= f0 - ( f / 2)

Se llama ancho de banda, anchura de banda, banda de paso, o banda pasante, al nmero de ciclos a uno y otro lado de la frecuencia de reso-nancia comprendidos entre las frecuencias de corte superior e inferior.

Tambin se denomina as a la diferencia de fre-cuencias, en las cuales la potencia disipada por el circuito es la mitad de la disipada a la frecuencia de resonancia por dicho circuito.

Se suele representar por f2 - f1 , o bien por f siendo f2 la frecuencia de corte superior, y f1 la frecuencia de corte inferior, por lo que cabe una nueva defini-cin de banda de paso, diciendo que es el nmero de frecuencias comprendido entre ambas frecuencias de corte.

El ancho de banda vale: f = f0 /Q

Para hallar el ancho de banda grficamente, se dibuja la curva de respuesta-frecuencia (figura 3.9), se toma el valor 0,707 Zmax y se traza una lnea paralela al eje de frecuencias hasta que corte a la curva en los puntos A y B. Las perpendiculares trazadas desde ellos determinan las frecuencias de corte f2 y f1 y el ancho de banda (zona sombreada).

22.7 Curva universal de resonancia

La curva universal de resonancia es la misma que para la resonancia serie, la cual se represent ante-riormente.

23Consecuencias del circuito a la

frecuencia de resonancia.

a)Al tratarse de un circuito paralelo, y anularse

la parte compleja de la admitancia, el circuito presenta una conductancia pura, y la nica re-sistencia que presenta es la inversa de la resis-tencia R. Por contra, la impedancia es mxima.

b)Como la admitancia es mnima a la frecuencia

de resonancia, la corriente (I0 = VY0) tambin ser mnima.

c)Para frecuencias superiores a la de resonancia,

el circuito se comporta capacitivamente; lo contrario ocurre para frecuencias inferiores a la frecuencia de resonancia: el circuito se com-porta inductivamente.

d)Para la frecuencia de resonancia las intensidades

que circulan por la bobina y por el condensador son Q0 veces la intensidad de alimentacin del circuito.

OBSERVACIN IMPORTANTE.

EL CIRCUITO ANALIZADO ES SLO TERICO, PUES EN LA PRCTICA LA RAMA DE LA BOBINA SIEMPRE TIENE UNA RESISTENCIA (LA HMICA PROPIA DE LA BOBINA). POR ELLO, EL CIRCUITO MS SIMPLE QUE REALMENTE SE PRESENTA PARA ANALIZAR CONSTA DE DOS RAMAS PARALELAS: UNA FORMADA POR LA BOBINA Y SU RESISTENCIA ASOCIADA (CIRCUITO R-L) Y LA OTRA COMPUESTA POR UN CONDENSADOR (como el de la figura 6.31).

Sea el circuito de la figura 631. Vamos a analizarlo. Datos: R = 5 ; L = 100mH; C = 160F; V = 5V

Resolucin:

Las admitancias son: YRL = 1/(R + jL )

YC = j C

Sumando las admitancias y operando, tenemos que, aproximadamente:

Yt = C/L [R + j (L - (1/C )] Captulo6 Circuitos RLC. Csar Snchez Norato25

La pulsacin de resonancia vale:

0 = 1/ LC = 250 rad/sg

Frecuencia de resonancia:

f0 = 0 /2 = 250/ 6,28 = 39,8 40 Hertzios Factor de calidad Q0 = L /R = 0,1 250/ 5 = 5

Admitancia total en resonancia

Yt = CR/L = 160 10-6 5/ 0,1 = 0,008 siemens

Corriente por ambas ramas: IRL = V YRL

5

Frecuencia de corte inferior,

f1 = f0 -(f/ 2) = 40 - 4 = 36 Hz

Frecuencia de corte superior,

f2 = f0 + (f /2) = 40 + 4 = 44 Hz.

24Aplicaciones de los circuitos

resonantes

Algunas de las principales aplicaciones de los circuitos resonantes son:

I R = IC=

5

I t

40Hz

22

+ 0,1a)

b) c) d)

Sintonizadores de antena para receptores y emisores.

Para acoplo de interetapas de amplificadores. Para seleccionar frecuencias.

En demoduladores o detectores.

G

V/f

LIC

IRL

c

R

circuito R - L - C

Figura 6.31

e)En los circuitos osciladores.

f)En generadores de audio y radiofrecuencias.

g)En selectores de canales (de frecuencias) en

radio, TV, etc.

h)Como adaptadores de impedancias.

i)En transmisores, ya que transmiten libremente

algunas frecuencias e impiden, en alto grado, el paso de otras.

j)En general, en cualquier tipo de circuito

Ancho de banda, f = f0/Q = 39,8/ 5 = 8Hz

selectivo como los filtros. 26 Captulo6. Circuitos RLC. Csar Snchez Norato

EJERCICIOS DE APLICACIN. (Circuitos R-L-C)

1.- Hallar la energa almacenada en una bobina de

20 mH cuando es recorrida por una corriente de

2 amperios.

Solucin: W = LI2 / 2 = 0,04 Julios.

2.- Un condensador se carga a 60 voltios, desarro-

llando una energa de 4.000 julios. Hallar la

carga adquirida.

Solucin: Q = 2 W/V = 133,33 Culombios.

3.- Una bobina de 50mH y una resistencia de 200

en serie se conectan a una red de c a de

125v/50Hz. Hallar la Z total, la I total, el cos y la cada de tensin en cada uno de los ele-mentos.

Solucin: Zt = 200,6 ; I = 0,623A ; Cos = 0,9970

VR = 124,6v ; VL = 9,78V

4.-Un generador de c a de 100v alimenta una

resistencia de 30 ohmios y una bobina cuya XL

= 40 ohmios conectadas en serie. Calcular la impedancia total, la intensidad del circuito, y el ngulo .

Solucin: Z = 50 ; I = 2A; = 53 8

5.-Que resistencia ha de conectarse en serie con

una bobina de 0,5 Henrios, si con una tensin

alterna senoidal de 1 Khz aplicada debe produ-cir la misma cada de tensin en la bobina que en la resistencia?

Solucin: R = 3.140 ohmios

6.-Una resistencia de 5 y una bobina de 43 mH

en serie se alimentan con una c a cuya frecuen-

cia es de 60 Hz, produciendo una corriente efi-caz en el circuito de 8 mA. Cul es el valor de la tensin aplicada?

Solucin: V = 136 mV

7.-Una resistencia de 8 ohmios, una L = 40mH y

una C = 485,5 F en serie, se alimentan a

220v/50Hz. Hallar el valor de la corriente que recorre el circuito.

Solucin: I = 22A;

8.-Un circuito serie formado por una resistencia de

10 y un condensador de 480 F se alimenta con una tensin alterna senoidal de 220V/50Hz. Hallar la impedancia del circuito, en mdulo y argumento; la corriente eficaz por el circuito y su desfase respecto de la tensin; la cada de tensin en la resistencia y el condensador; el factor de potencia y las potencias del circuito.

Solucin: Z = 12( -33, 33, 48 = 12 (-0,585 radianes ;

Ief = 18,33A( 33,33,48 ;

VC =Ief XC =18,33A(33,33,48 x6,63(-90 =121,5V(-56,26,12

VR = 183,3 V(33 ,33,48 ; Cos = - 0,83 ;

Pap = 4.032,6 VA;

Pac = 3.347 W; Preac = -2.218VAR

9.-Una bobina tiene una resistencia hmica de 10

. Su reactancia inductiva es de 8 . Si la co-

nectamos a una red de 60 voltios, hallar la in-tensidad del circuito y el ngulo de desfase en-tre la tensin aplicada y la corriente.

Solucin: I = 4,68 A; = 38,44

10.- Un circuito serie est formado por 4 resistencias

de 4, 2, 1 y 1 ohmio respectivamente; por tres

bobinas cuyas reactancias son 3, 5 y 2 ohmios respectivamente; y por dos condensadores de 2 ohmios de reactancia capacitiva cada uno. Si se conecta a 220v/50Hz, qu corriente circula por el circuito?.

Solucin: I = 22 (365211Amperios

11.- Una R = 10 ohmios y una bombilla cuya XL = 8

ohmios se conectan en paralelo a 125voltios de

c a. Hallar la impedancia total del circuito, as como la intensidad que circula por cada rama.

Solucin: Z = 6,25 ohmios; I = 20A.

12.Una bobina de 1H y una R = 400 en paralelo,

se alimentan a 220V/50Hz. Hallar las admitan-

cias y las corrientes.

Solucin: YR = 0,0025(0 ; YL = 0,0031(-90 ;

Yt = 0,004(-51 656

IR = 0,55(0 A; IL = 0,682(-90 A; It = 0,88A(-51 656 Captulo6 Circuitos RLC. Csar Snchez Norato27

Problemas propuestos (Recopilacin)

13.- Qu corriente atraviesa un condensador de 16

F que est sometido a una tensin de

200V/100Hz?.

14.- En un ciruito hay conectadas en serie una resis-

tencia de 20 y una autoinduccin alimentadas

con una tensin alterna senoidal de 120V/50Hz. Hallar el coeficiente de autoinduccin L y el co-seno de si la corriente que circula por el cir-cuito es de 2A.

15.- Qu capacidad ha de conectarse en serie con una

R = 4K si la cada de tensin en la resistencia

debe ser 10 veces la cada de tensin en el con-densador. La frecuencia de la tensin aplicada es de 100 Hz.

16.- Una lmpara de incandescencia consume 70

mA. Se conecta, en serie, con un condensador

de 0,5 F a una red de corriente alterna de 50V/50Hz. Hallar la impedancia total del cir-cuito, as como la corriente que lo recorre.

17.- Una R =30 y una L = 160 mH en serie se

conectan a 200v/40 Hz. Hallar: la reactancia in-

ductiva, XL; la impedancia total, Z; I; VR y VL.

18.- Una R = 10 , una L = 0,5 H y un condensador

de 20 F en serie, qu impedancia presentan?.

19.- Hallar las potencias activa, reactiva y aparente

de un circuito formado por una bobina de 0,5

Henrios y una resistencia de 1.000 conecta-das en serie y alimentadas a 100v/200Hz.

20.- Una R = 10 , una L = 160 mH y un condensa-

dor de 50 F en serie se alimentan a 206v/40Hz.

Hallar: Zt e It.

21.- Una R = 14, una L = 10H y un C = 0,25 F

en serie se alimentan a 182v/100Hz. Hallar Z, I,

VR, VL, Vc, Pac, Preac y Pap.


dor de 0,25 F en serie se alimentan con una

tensin alterna senoidal de 182v/100Hz. Hallar: Zt, It, VL , Vc, VR , Pac, Preac y Pap.

23.- Una R = 4 , una L cuya XL= 20 y un con-

densador cuya Xc = 15 se conectan en serie

a una tensin de 128v. Hallar: Zt, It, VL , Vc, Vr, Pac, Preac y Pap. Tambin el cos y el n-gulo .

24.- Un circuito R-L-C serie est formado por una R

de 4,9 , una bobina cuya XL = 5,66 y un

condensador cuya Xc = 4,66 . Se alimenta con una tensin alterna senoidal de 200v/50Hz. Ha-llar Zt; It; VR; VL; Vc; Pac; Preac; Pap y cos .


dor de 500 F en serie se conectan a 220v/50

Hz. Hallar Zt, cos , el ngulo , VR, VL, Vc, Pac, Preac, y Pap .

26.- Una R = 4 , una bobina cuya XL = 20 , y un

condensador cuya XC = 15 en serie se conec-

tan a 128v. Hallar Zt, cos , el ngulo , VR, VL, Vc, Pac, Preac, y Pap .

27.- Se conectan una resistencia de 80 K y una

bobina de 5H en paralelo. Hallar la tensin (y

la frecuencia) que hay que aplicarle para que la corriente que circule por la bobina sea igual a la que circule por la bobina sea igual a la que cir-cule por la resistencia

28Cul es la autoinduccin de una bobina cuya R

es de 4 si para una frecuencia de 6.369,4 Hz

tiene un factor de calidad Q = 20?

Solucin L = 2 mH 28 Captulo6. Circuitos RLC. Csar Snchez Norato

EJERCICIOS DE APLICACIN. Resonancia

1.-Una R de 8 , una L = 40 mH y un C = 485,5 F en

serie, a qu frecuencia resuenan?.

Solucin: fo = 36Hz

2.-Una L = 20 mH(RL = 1 ) y un condensador de 25

F en serie, a qu frecuencia resuenan?. Cul es su ancho de banda?. Y sus frecuencias de corte?.

Solucin: Q =XLo/RL=28,26; f = foQ=225/28,26=8Hz fo =225Hz; f1 =fo -f/2 =221Hz; f2 =fo + f/2 =229Hz

3.-Hallar la fo de una bobina de 10 mH y un condensa-

dor de 25F.Solucin: fo = 318,47 Hz

4.-Idem para una L = 10 mH y un C = 100F.

Solucin: fo = 159,2 Hz

5.-Idem para una L = 0,5 mH y un C = 47KpF.

Solucin: fo = 32.851,5 Hz

6.-Mediante un circuito (circuito L-C) queremos sinto-

nizar una emisora que transmite a 2.000 KHz. La ca-pacidad de que disponemos es de 35 pF. Cul debe ser el valor de la bobina? Solucin: L = 180 H

7.-Un condensador de 400F y una bobina de 50 mH

(RL = 2 ), a qu frecuencia resuenan?. Determinar el Q de la bobina, as como el ancho de banda y las frecuencias de corte.

Solucin: f0 = 35,6 Hz; Q = 5,58; f = 6,38 Hz;

f1 = 32,4 Hz ; f2 = 38,8 Hz.

8.-Un circuito formado por una L = 20 mH (RL = 50 )

y un condensador de capacidad desconocida en serie, deben resonar a 11.260 Hz. Hallar el valor del con-densador, el ancho de banda y sus frecuencias de corte f1 y f2.

Solucin: C = 10 KpF; f = 400Hz;

f1 = 11.060Hz; f2 = 11.460Hz

9.-Una L = 4 mH (RL =14,5 ) y una C=36 nF en serie

se alimentan a 200v/50Hz. Hallar f0; Q; f ; f1 y f2.

Solucin: f0 = 13.270Hz; Q = 23; f = 577Hz;

f1 = 12.981,5Hz; f2 = 13.558,5Hz

10.-Una L = 10 mH cuya RL = 20 y un C= 10KpF en

serie, a qu frecuencia resuenan?. Cul es su ancho

de banda; y sus frecuencias de corte?.

Solucin: f0 = 15.923,5Hz; f = 318Hz;

f1 = 15.764Hz; f2 = 16.082Hz

11.-El factor de calidad, Q, de una bobina es 15 y resue-

na a 9.000Hz. Hallar el ancho de banda y las fre-

cuencias de corte f1 y f2. Solucin: f = 600Hz; f1 = 8.700Hz; f2 = 9.300Hz

12.- Un circuito consta de dos ramas paralelas. La impe-

dancia de una es 8 + 6j, y la de la otra 8,34-j/C.

Calcular el valor de C para que resuene a 5 K Hz

Solucin: C = 3,8 F.

EJERCICIOS PROPUESTOS (Recopilacin)

13.-Una R = 10 , una L = 0,5 H y un condensador de

20 F en serie, qu f0 tienen?

14.-Se tiene una R = 10 , una L = 160 mH y un C de

50 F en serie. Hallar fo.

15.-Una R = 14 , una L = 10 mH y un condensador de

0,25 F en serie se alimentan con una tensin alterna

senoidal de 182v/ 100Hz. A qu frecuencia resue-nan?

16.-Una R = 4 , una bobina cuya XL = 20 , y un

condensador cuya XC = 15 en serie se conectan a

120v/50Hz. Hallar fo. (ojo, hay que calcular L y C)

17.-Una bobina de 10H, cuya R = 20 , y un condensa-

dor de 1 KpF, a qu frecuencia resuenan?. Hallar el

ancho de banda y las frecuencias de corte f1 y f2.

18.-Un condensador de 10 KpF y una bobina de 20 mH

(R =50 ) se conectan a 100v/50Hz. Hallar la fre-

cuencia de resonancia, fo; su ancho de banda, y las frecuencias de corte f2 y f1.

19.-Un circuito serie formado por una R = 20 , una L

=10 mH y un condensador, oscilan a 3.000 Hz. Ha-

llar la capacidad del condensador as como las fre-cuencias de corte y el ancho de banda.

20.-Una L = 40mH (RL = 5,02 ) y un C = 16 F en

serie, a qu frecuencia resuenan?. Hallar el ancho

de banda y las frecuencias de corte superior e infe-rior.

21.-Una L = 200mH (RL = 10 ) y un C = 25F en

serie, a qu frecuencia resuenan?. Cul es su ancho

de banda? y sus frecuencias de corte f1 y f2? Hallar el Q y la pulsacin de resonancia.

22.-Una L = 10H (RL = 20 ) y un C = 1 KpF en serie,

a qu frecuencia resuenan?. Cul es su ancho de

banda? y sus frecuencias de corte f1 y f2? Hallar el Q y la pulsacin de resonancia. Captulo6 Circuitos RLC. Csar Snchez Norato.29

LOS FILTROS PASIVOS

Introduccin.

Se conocen por el nombre genrico de filtros a aquellos circuitos electrnicos que dejan pasar a su travs una cierta gama de frecuencias de una corriente alterna multifrecuencia, rechazando las dems.

Los filtros pueden clasificarse:

a)segn los componentes que lo configuran, en filtros pasivos y filtros activos.

Los filtros pasivos estn constituidos solamente a base de resistencias, bobinas y condensadores. Por el contrario los filtros

activos lo estn con resistencias, condensadores y, adems, elementos activos como transistores, C.I., etc.

b)segn las frecuencias que dejan pasar:

filtros pasa-bajo,

filtros pasa-alto,

filtros pasa-banda y

filtros elimina-banda.

los filtros pasa-bajo solo dejan pasar las frecuencias inferiores a una determinada, llamada de corte. los filtros pasa-alto slo dejan pasar las frecuencias superiores a una determinada, llamada de corte. los filtros pasa-banda solo dejan pasar una banda de frecuencias determinada. los filtros elimina-banda dejan pasar cualquier nmero de frecuencias excepto una banda determinada.

CONCEPTOS PREVIOS

25Frecuencia de resonancia o fre-

cuencia central

Es la frecuencia para la cual las reactancias inductiva y capacitiva son iguales.

f0 =1[1]

2 LC

26Frecuencias de corte (fC)

Son las frecuencias para las cuales se pro-duce una atenuacin de 3 dB en tensin, corriente o potencia; o sea: la tensin o la corriente descien-den hasta el 70,7% (1/2) de las correspondientes a la frecuencia de resonancia; la potencia se reduce a la mitad. Como consecuencia las ganancias en ten-sin y en corriente caen al 70,7% de las ganancias en tensin o en corriente a la frecuencia de resonancia o frecuencia central. As mismo la ganancia en poten-cia se reduce a la mitad. Existen dos frecuencias de corte: la inferior y la superior.

La ganancia a las frecuencias de corte son las si-guientes:

AVfC = 0,707 AVf0 ;

20 log (AVfC / AVf0)= - 3 dB

AIfC= 0,707 AIf0 ;

20 log (AIfC / AIf0)= - 3 dB

AWfC = 0,50 AWf0 ;

10 log (AWfC / AWf0) = - 3 dB

27Ancho de banda o banda pasante

Se define como la diferencia entre las fre-cuencias de corte superior e inferior.

28Selectividad o calidad

Para una misma frecuencia de resonancia o central, varios circuitos o filtros pueden comportarse de manera diferente segn su ancho de banda. Aquel cuyo ancho de banda sea inferior se dice que es ms Captulo6. Circuitos RLC. Csar Snchez Norato30

selectivo, que es de "mejor calidad", y dejar pasar menos frecuencias que aquel o aquellos que posean un menor factor de calidad.

El factor de calidad se representa por Q y vale: frecuencia de resonancia f 0

30Orden de un filtro

El orden de un filtro viene determinado por el nmero de clulas R-C existentes en el mismo. Para un filtro de orden 2 hace falta una clula, para uno de orden 4 hacen falta 2 clulas, etc.

Q =

29

ancho de banda

Octava.

=[2]

f

31Pendiente

Es la pendiente de bajada o subida de la cur-va del filtro. Depende del orden del mismo. Si supo-

Es el intervalo entre dos frecuencias, siendonemos un filtro de orden N, la pendiente es aproxi-

una del doble valor que la otra.madamente de 6 . N dB/octava; esto es: su curva cae

As, se dice que dos frecuencias estn sepa-en 6 . N dB cada vez que la frecuencia se duplica.

radas una octava si f2 / f1 = 2.

FILTROS PASIVOS

32Filtros pasa-bajo

Ya sabemos que los filtros pasa-bajo son los que solo dejan pasar las corrientes cuyas frecuencias son inferiores a una frecuencia determinada denomi-

Tendremos que:Vc = I Xc

Vg = I Z

Dividiendo ambas expresiones, se tiene:

VcXc1

nada frecuencia de corte.

El circuito o montaje ms sencillo est for-mado por una resistencia en serie con un condensa-

=

Vg R

=[4]

222

+ X1+ (2fsRC )

dor como se indica en la figura 6.32.

RI

VgZ

-CVc

fS =1-

siendo f la frecuencia de corte del filtro; en este caso fs. O sea, que para unos valores fijos de R, C y Vg, variando la frecuencia de Vg, iremos obteniendo los distintos valores de la tensin de salida Vc. Dicha tensin vara en la forma de la figura 6.33.

Vc Vg

1

2%RC

0 ,7 07

Figura 6.32. Filtro pasa-bajo R-C

Las frecuencias altas se derivan por el con-densador, ya que su impedancia (reactancia capaciti-

va) es muy pequea (XC = 1 / 2 fC), mientras que las bajas, se quedan en l.

La impedancia total que ofrece el circuito es:

2221

0fsf

Figura 6.33. Respuesta en frecuencia

Z =R+ Xc=R +

(1/2fC

2[3] )

FRECUENCIA DE CORTE:

La frecuencia de corte es aquella para la cual la

Supongamos que Vg sea la seal senoidal de fre-reactancia capacitiva es igual a la resistencia. Se

cuencia f que se aplica al circuito y Vc la tensin dedefine como frecuencia de corte (superior en este

la seal obtenida a la salida (en el condensador).caso) fS como aquella frecuencia para la cual la

tensin de salida Vc es 0,707 (70,7%) de la tensin Captulo6 Circuitos RLC. Csar Snchez Norato.31

de entrada Vg; o sea: Vc/ Vg = 1/2 = 0,707.

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