CIN_U1_A3

1-.Expresar limn→∞

∑i=1

n

(cos x i+x i tan x i) ∆ x como una integral en el intervalo [0 , π ]

El límite lo podemos escribir como sigue:

limn→∞

∑i=1

n

f (x i )∆ x=∫a

b

f (x )dx

Por lo tanto:

limn→∞

∑i=1

n

(cos x i+x i tan x i) ∆ x→∫0

π

(cos x+x tan x)dx

2-.Expresarlimn→∞

∑i=1

n

¿¿¿ como una integral en el intervalo [3,9]


limn→∞

∑i=1

n

f (x i )∆ x=∫a

b

f (x )dx

Por lo tanto:

limn→∞

∑i=1

n

¿¿¿

3-.Expresar limn→∞

∑i=1

n (x i12+ln x i

3)∆ x como una integral en el intervalo [0,3]


limn→∞

∑i=1

n

f (x i )∆ x=∫a

b

f (x )dx

Por lo tanto:

limn→∞

∑i=1

n (x i12+ln x i

3)∆ x→∫0

3

(x12−ln x3)dx

4-.Evaluar las siguientes sumas de Riemann.

a) Evaluar la suma de Riemann para f ( x )=5 x−6en el intervalo [2,5]

Obtención de ∆ x ancho de cada uno de los subintervalos de la siguiente manera:

∆ x=b−an→siendoa=2 y b=5→sustituyendoen la formulatenemos :

∆ x=5−2n→3n

Obtención de x i siendo la abscisa del extremo derecho de la siguiente manera:

x i=a+ i∆ x→2+3ni

Conociendo que la suma de Riemann está dada por:

∑i=1

n

f (x i )∆ x→∑i=1

n

f (2+3n i) 3n→sustituyoen la funcion f (x)

∑i=1

n [5(2+ 3n i)−6] 3n→ [10+ 15n i−6] 3n→[4+15n i ] 3n

Por la siguiente identidad de la sumatoria

∑i=1

n

ca i=c∑i=1

n

ai

Usando esta identidad en la siguiente sumatoria tendremos

∑i=1

n

[4+15n i] 3n→ 3n∑i=1

n

[4+ 15n i]→ 3n [∑i=1

n

4+ 15n∑i=1

n

i ]

Por la siguientes identidades de la sumatoria

∑i=1

n

c=nc y∑i=1

n

i=n(n+1)2


3n [4n+ 15n . n(n+1)2 ]→ 3

n [4n+ 15(n+1)2 ]→12+ 45 (n+1)2n→12+ 45

2+ 452n

Usando límite en la anterior expresión nos queda:

limn→∞ (12+ 452 + 45

2n )→ limn→∞ (12+ 452 + 452∞ )

Al tender el denominador a infinito lo hace 0 y nos queda:

12+22.5=34.5u2 y esta esel area bajo lacurva deesa funcion

Ahora la realizamos mediante la integral definida:

∫2

5

5 x−6 dx→[ 52 x2−6 x ]25

→ [ 52 (5 )2−6 (5 )]−[ 52 (2 )2−6 (2 )]

1252

−30−10+12→34.5u2

b) Evaluar la suma de Riemann para f ( x )=x3−7 en el intervalo [3,4]


∆ x=b−an→siendoa=3 y b=4→sustituyendoen la formulatenemos :

∆ x= 4−3n→1n


x i=a+ i∆ x→3+1ni


∑i=1

n

f (x i )∆ x→∑i=1

n

f(3+ 1n i)

3

∗1

n→sustituyoen la funcion f (x )

∑i=1

n [(3+ 1n i)3

−7]∗1n

→[(27+ 9 i2n2 + 27 i

n+ i

3

n3 )−7]∗1n

Por la siguiente identidad de la sumatoria

∑i=1

n

ca i=c∑i=1

n

ai


∑i=1

n [27+ 9 i2n2 + 27 in

+ i3

n3−7 ]∗1

n→1n∑i=1

n [ 9 i2n2 + 27 in

+ i3

n3+20]

1n [ 9n2∑i=1

n

i2+ 27n∑i=1

n

i+ 1n3∑i=1

n

i3+∑i=1

n

20]


∑i=1

n

c=nc ,∑i=1

n

i2=n(n+1)(2n+1)

6,∑i=1

n

i3( n(n+1)2 )2

,∑i=1

n

i=n(n+1)2

1n [ 9n2 n(n+1)(2n+1)6

+27nn(n+1)2

+ 1n3 ( n(n+1)2 )

2

+20n ]

1n [ 9n2 2n

3+3n2+n6

+ 27nn2+n2

+ 1n3n4+2n3+n2

4+20n]

18n3

6n3+ 27n

2

6n3+ 9n6 n3

+ 27n2

2n2+ 27n2n2

+ n4

4 n4+ 2n

3

4n4+ n2

4 n4+ 20nn

186

+ 276n

+ 9

6n2+ 272

+ 272n

+ 14+ 12n

+ 1

4n2+20


limn→∞ (3+ 276 n+ 9

6n2+13.5+

272n

+14+12n

+1

4n2+20)→ lim

n→∞ (3+ 27∞ +9∞

+13.5+27∞

+0.25+1∞

+1∞

+20)


3+13.5+.25+20=36.75u2 y esta esel area bajola curvade esafuncion


∫3

4

x3−7 dx→[ x 44 −7 x]3

4

→[ 444 −7 (4 )]−[ 344 −7 (3 )]→64−28−20.25+21

64−28−20.25+21=36.75u2 y esta esel area bajola curvade esa funcion

La grafica tiene un intervalo de x=2 , y=50

Evalúa ∫2

5

x3−7 dx

[ x44 −7 x ]2

5

→[ (5 )4

4−7 (5 )]−[ (2 )4

4−7 (2 )]→156.25+35−4+14

201.25u2 y estaes el area bajola curvade esafuncion

c) Evaluar la suma de Riemann para f ( x )=2x2+3 x+x en el intervalo [−2,1]


∆ x=b−an→siendoa=−2 y b=1→sustituyendoen la formulatenemos :

∆ x=1+2n→3n


x i=a+ i∆ x→−2+ 3ni


∑i=1

n

f (x i )∆ x→∑i=1

n

f (−2+3n i) 3n→sust ituyoen la funcion f (x )

∑i=1

n [2(−2+ 3n i)2

+4 (−2+ 3n i)] 3n→∑i=1

n [2(4−12 in + 9 i2

n2 )−8+ 12 in ] 3n

∑i=1

n [8−24 in + 18 i2

n2−8+ 12 i

n ] 3n→∑i=1

n [18 i2n2 −12 in ] 3n

Por la siguiente identidad de la sumatoria:

∑i=1

n

ca i=c∑i=1

n

ai


3n∑i=1

n [ 18 i2n2 −12 in ]→ 3

n [ 18n2 ∑i=1n

i2−12n∑i=1

n

i ]


∑i=1

n

i2=n(n+1)(2n+1)

6y∑i=1

n

i=n(n+1)2


3n [ 18n2 n(n+1)(2n+1)6

−12nn(n+1)2 ]→ 3

n [ 18n2 2n3+3n2+n6

−12nn2+n2 ]

3n [36n36n2

+54 n2

6n2+ 18n6n2

−12n2

2n−12n2n ]→ 18n3

n3+ 162n

2

6n3+ 54n6 n3

−36n2

2n2−36nn2


limn→∞ (18+ 27n +

9

n2−18−

36n )→ lim

n→∞ (18+ 27∞ +9∞

−18−36∞ )


18−18=0


∫−2

1

2 x2+4 x dx→[ 2x33 +2 x ]−2

1

→[ 2 (1 )3

3+2 (1 )2]−[ 2 (−2 )3

3+2 (−2 )2]→0.66+2+5.33−8

8−8=0

Evalúa ∫3

4

x2−3 x+x dx

∫3

4

x2−2 x dx→[ x33 −x2

2 ]3

4

→[ (4 )3

3−

(4 )2

2 ]−[ (3 )3

3−

(3 )2

2 ]→21.33+8−9+4.5

24.83u2 y estaes el area bajola curvade esafuncion

Calcular la integral definida ∫−2

1

2 xdx mediante sumas de Riemann.



∆ x=1+2n→3n


x i=a+ i∆ x→−2+ 3ni


∑i=1

n

f (x i )∆ x→∑i=1

n

f (−2+3n i) 3n→sustituyoen l a funcion f (x )

∑i=1

n [2(−2+ 3n i)2] 3n→∑

i=1

n

[(−4+ 6in )] 3n


∑i=1

n

ca i=c∑i=1

n

ai


3n∑i=1

n

[−4+ 6 in ]→ 3n [∑

i=1

n

−4+6n∑i=1

n

i ]


∑i=1

n

i=n (n+1)2


3n [−4n+ 6n n(n+1)2 ]→ 3

n [−4n+ 6n22n +6 n2n ]


limn→∞ (−12+ 182 +

18n

n2 )→ limn→∞ (−12+ 182 +

9∞ )


−12+9=−3

*Nota: aquí podemos ver que el área azul es negativa y con un valor mayor al área rojo que es positiva

Calcular la integral definida ∫−2

7

5 x3+ 2 x2

3dx mediante sumas de Riemann.



∆ x=7+2n→9n


x i=a+ i∆ x→−2+ 9ni


∑i=1

n

f (x i )∆ x→∑i=1

n

f (−2+ 9n i) 9n→sustituyoen la funcion f (x)

∑i=1

n [5(−2+ 9n i)3

+23 (−2+ 9n i)

2] 9n→∑i=1

n [5(−8−486 in2 + 108 in

+729 i3

n3 )+ 23 (4−36 in + 81i2

n2 )] 9n

∑i=1

n [−40−2430 i2n2+ 540in

+3645 i3

n3+ 83−72 in

+162 i2

3n2 ] 9n


∑i=1

n

ca i=c∑i=1

n

ai


9n¿

9n¿


∑i=1

n

i2=n(n+1)(2n+1)

6∑i=1

n

i=n (n+1)2

∑i=1

n

i3( n(n+1)2 )2


9n [−37.33n−2376n2 n (n+1 ) (2n+1 )

6+ 516nn (n+1 )2

+ 3645n3

n4+2n3+n2

4 ]

9n [−37.33n−23766 n2

2n3+3n2+n6

+516nn2+n2

+ 3645n3

n4+2n3+n2

4 ]

[−335.97 nn−42768n

3

6n3−64152n

2

6n3−21384n

6n3+ 4644n

2

2n2+ 4644n2n2

+32805 n4

4n4+ 65610n

3

4n4+ 32805n

2

4 n4 ]

−335.97−7128−10692n

−3564n2

+2322+ 2322n

+8201.25+ 16402.5n

+ 8201.25n2


limn→∞ (−335.97−7128−10692∞ −3564

∞+2322+ 2322

∞+8201.25+16402.5

∞+ 8201.25

∞ )


−335.97−7128+2322+8201.25=3059.28u2


∫−2

7

5 x3+ 2 x2

3dx

[ 54 x 4+ 29 x3]−27

→ [54 (7 )4+ 29

(7 )3]−[54 (−2 )4+ 29

(−2 )3]→3001.25+76.22−20+1.777=3059.25u2

CIN_U1_A3

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