Ejercicios de Modelos Cinemáticos Directos

1. Robot Cilíndrico de 4 g.d.l.

Dado el robot cilíndrico de la figura dotado de las cuatro articulaciones siguientes, partiendo desdela base: giro en el tronco, hombro y codo prismáticos y finalmente una muñeca de 1 g.d.l., y los sistemasde referencia < o0, x0, y0, z0 > de la base y < o4, x4, y4, z4 > del efector final mostrados, se pide:

Dibujen un esquema básico del robot representando en él los sistemas coordenados asignadosa cada eslabón de la cadena cinemática obtenidos mediante aplicación del algoritmo de D-H(Denavit-Hartenberg).

Obtengan la tabla de parámetros de D-H correspondiente (ver modelo de tabla adjunta).

Obtengan la matrices de transformación homogéneas i−1Ai para i = 1 . . . 4.

Obtengan el modelo cinemático directo del robot descrito por la matriz de transformación ho-mogénea 0T4 = 0A1

1A22A3

3A4 que ofrece la posición y orientación del efector final respecto ala base.

l1

d +d2 20

d +d3 30

l4

q1

q4

x0

y0

z0

( )y4

a

s

n

( )z4

( )x4

Figura 1: Robot cilíndrico de 4 g.d.l.

desde −→ a no articulación θi di ai αi

0 −→ 1 11 −→ 2 22 −→ 3 33 −→ 4 4

Cuadro 1: Tabla de D-H correspondiente al robot cilíndrico de 4 g.d.l.

1

2. Robot Antropomórfico Minimover CS-113 de 5 g.d.l.

Dado el robot antropomórfico de la figura, con hombro central, con las cinco articulaciones giro:tronco, hombro, codo y rotación y elevación (asumiendo la palma de la mano hacia arriba o abajo) dela muñeca y asumiendo los sistemas de referencia < o0, x0, y0, z0 > de la base y < o5, x5, y5, z5 > delefector final, se pide:

Dibujen un esquema básico del robot representando en él los sistemas coordenados asignadosa cada eslabón de la cadena cinemática obtenidos mediante aplicación del algoritmo de D-H(Denavit-Hartenberg).

Obtengan la tabla de parámetros de D-H correspondiente incluyendo los offsets angulares nece-sarios para mantener la configuración “casa” en “L” invertida.

Obtengan la matrices de transformación homogéneas i−1Ai para i = 1 . . . 5.

Obtengan el modelo cinemático directo del robot descrito por la matriz de transformación ho-mogénea 0T5 = 0A1

1A2 . . . 4A5.

l1

l2

l3 l5

q1

q2

q3

q4 q

5

a

s

n

z0 y0

x0

Figura 2: Robot Minimover CS-113 de 5 g.d.l.

no articulación θi + offseti di ai αi

12345

Cuadro 2: Tabla de D-H correspondiente al robot Minimover CS-113 de 5 g.d.l.

2

3. Robot Cilíndrico de Stanford de 6 g.d.l.

Dado el robot cilíndrico diseñado en la Universidad de Stanford de seis g.d.l. (hombro despla-zado) todas ellas de giro excepto la articulación del codo y asumiendo los sistemas de referencia< o0, x0, y0, z0 > de la base y < o6, x6, y6, z6 > del efector final, se pide:

Dibujen un esquema básico del robot representando en él los sistemas coordenados asignadosa cada eslabón de la cadena cinemática obtenidos mediante aplicación del algoritmo de D-H(Denavit-Hartenberg).

Obtengan la tabla de parámetros de D-H correspondiente incluyendo los offsets angulares nece-sarios para mantener la configuración “casa” mostrada en la figura.

Obtengan la matrices de transformación homogéneas i−1Ai para i = 1 . . . 6.

Obtengan el modelo cinemático directo del robot de la orientación del efector final descrito porla submatriz de rotación de la matriz de transformación homogénea 0T6 = 0A1

1A2 . . . 5A6.

y0

x0

x6

z6

z0

y6

d6

d +d3 30

d2

d1

q1

q2

q5

q4

q6

Figura 3: Robot Cilíndrico de Stanford.

no articulación θi + offseti di ai αi

123456

Cuadro 3: Tabla de D-H correspondiente al robot cilíndrico de Stanford.

3

4. Robot Manipulador PUMA 560.

Dado el robot antropomórfico PUMA 560 (Unimation, ahora Staübli) de seis g.d.l. (hombro des-plazado) todas ellas de giro y asumiendo los sistemas de referencia < o0, x0, y0, z0 > de la base y< o6, x6, y6, z6 > del efector final,se pide:

Dibujen un esquema básico del robot representando en él los sistemas coordenados asignadosa cada eslabón de la cadena cinemática obtenidos mediante aplicación del algoritmo de D-H(Denavit-Hartenberg).

Obtengan la tabla de parámetros de D-H correspondiente incluyendo los offsets angulares nece-sarios para mantener la configuración “casa” mostrada.

Obtengan la matrices de transformación homogéneas i−1Ai para i = 1 . . . 6.

Obtengan el modelo cinemático directo que determine la posición del centro de la muñeca,w,(punto de intersección de los ejes articulares de la muñeca, z3, z4 y z5, de la matriz de transfor-mación homogénea 0Tw = 0A1

1A22A3

3Aw.

x0

z0

q1

y0 x n6 ( )

y s6 ( )

z a6 ( )

q3

q5

q2

l1

q4

o6

q6

l2

l3

l5

l6

l4

Figura 4: Robot manipulador PUMA 560.

Nota: l2 es la distancia entre los planos formados por los ejes y0z0 y x6z6, respectivamente; l4 es ladistancia de la normal común a los ejes articulares del codo (θ3) y primer giro de la muñeca (θ4).

no articulación θi + offseti di ai αi

123456

Cuadro 4: Tabla de D-H correspondiente al robot manipulador PUMA 560.

4

5. Robot industrial IRB-6400C

Dado el robot antropomórfico IRB-6400C de seis g.d.l. (hombro central) todas ellas de giro yasumiendo los sistemas de referencia < o0, x0, y0, z0 > de la base y < o6, x6, y6, z6 > del efector final,sepide:

Dibujen un esquema básico del robot representando en él los sistemas coordenados asignadosa cada eslabón de la cadena cinemática obtenidos mediante aplicación del algoritmo de D-H(Denavit-Hartenberg).

Obtengan la tabla de parámetros de D-H correspondiente incluyendo los offsets angulares nece-sarios para mantener la configuración “casa” mostrada.

Obtengan la matrices de transformación homogéneas i−1Ai para i = 1 . . . 6.

Obtengan el modelo cinemático directo que determine la posición del origen o3 del sistema coor-denado < o3, x3, y3, z3 >, correspondiente al cuarto eslabón, de la matriz de transformaciónhomogénea 0T3 = 0A1

1A22A3.

Figura 5: Robot industrial IRB-6400C.

no articulación θi + offseti di ai αi

123456

Cuadro 5: Tabla de parámtros de D-H correspondiente al robot industrial IRB-6400C.

5

6. Robot SCARA

El robot SCARA de la figura esquematiza a un Adept One (fabricado por Adept) de cuatro g.d.l.,tres de la estructura del brazo y una de la orientación, todas ellas de giro excepto la tercera articulación,d3, primática, asumiendo los sistemas de referencia < o0, x0, y0, z0 > de la base y < n, s, a > (<o4, x4, y0, z4 >) del efector final,se pide:

Dibujen un esquema básico del robot representando en él los sistemas coordenados asignadosa cada eslabón de la cadena cinemática obtenidos mediante aplicación del algoritmo de D-H(Denavit-Hartenberg).

Obtengan la tabla de parámetros de D-H correspondiente incluyendo los offsets angulares nece-sarios para mantener la configuración “casa” mostrada.

Obtengan la matrices de transformación homogéneas i−1Ai para i = 1 . . . 4.

Obtengan el modelo cinemático directo que determine la posición del sistema coordenado< o4, x4, y4, z4 > del efector final mediante la matriz de transformación homogénea0T4 = 0A1 . . . 3A4.

l1

l2 l3

d3

l4

q1

q2

q4

x0

y0

z0

a

s

n

Figura 6: Robot SCARA Adept One de 4 g.d.l.

no articulación θi + offseti di ai αi

1234

Cuadro 6: Tabla de parámtros de D-H correspondiente al robot SCARA Adept One.

6

7. Muñeca Esférica

La Figura 7 muestra un esquema de una muñeca “esférica”, caracterizada por la intersección en unmismo punto, w, denominado “centro de la muñeca”, de los tres ejes articulares de la muñeca. Asumiendola configuración casa mostrada en la Figura 8, los tres primeros sistemas de referencia < oi, xi, yi, zi >,i = 1, ldots, 3 se asumen asignados a la estructura del brazo, y la orientación mostrada del eje x3, sepide:

Dibujen un esquema de dicha muñeca sobre el cual representen los sistemas coordenados asignadosa cada articulación obtenidos mediante aplicación del algoritmo de D-H (Denavit-Hartenberg).

Obtengan la tabla de parámetros de D-H correspondiente incluyendo los offsets angulares nece-sarios para mantener la configuración mostrada.

Obtengan la matrices de transformación homogéneas i−1Ai para i = 3 . . . 6.

Obtengan el modelo cinemático directo que determine la orientación del sistema coordena-do < o6, n, s, a > del efector final mediante la matriz de transformación homogénea 3T6 =3A4

4A55A6.

eslabón 3

q4

q5

q6

x (n)6

y (s)6

z (a)6

z5

z3z4

w

l =long. herr.6

o6

Figura 7: Muñeca esférica de 3 g.d.l.

z4

x ,3 x4

z ,3 z5z (a)6q

4

q6

q5

w

Figura 8: Configuración casa de la muñeca.

no articulación θi + offseti di ai αi

456

Cuadro 7: Tabla de parámtros de D-H correspondiente a la muñeca de 3 g.d.l.

7

8. Determinación del sistema coordinado de la herramienta

En muchas aplicaciones, además de los sistemas coordenados típicos de la Base, {B} (< o0, x0, y0, z0 >),muñeca, {W} (wrist), y herramienta, {T} (tool), se establecen otros dentro del entorno de trabajo parafacilitar la descripción de puntos y orientaciones y para la calibración, ver figura 8. En este ejemplo,{S} (station) representa el sistema coordenado del entorno de trabajo, denominado “sistema coordi-nado universal” y {G} (goal) un sistema coordenado de calibración cuya posición y orientación sonconocidas respecto de {G}. Dicho punto puede utilizarse, por ejemplo, para determinar las dimensionesde herramienta, descrita mediante la matriz de transformación homogénea wTt.

El procedimiento de calibración consiste en aproximar la punta de la herramienta al origen de{G} hasta hacerlo coincidir con éste y con su orientación, de forma que: ot = og y bRg = bRt, esdecir, bTg = bTt. Una vez coincidentes, se obtiene el vector q de dicha configuración, facilitado porel controlador del robot, y se calcula bTw. Teniendo en cuenta que bTs (constante) es conocida deantemano, se pide:

Obtener las dimensiones de la herrramienta, contenido en el vector wdt de la wTt, respecto de{W}.Asumiendo un sistema coordenado < o6, x6, y6, z6 > en la base de la herramienta, con origen enel centro de la muñeca, ow, y respecto al cual determinamos las dimensiones de la herramienta,descritas mediante 6Tt, determinar, asumiendo una muñeca rotuliana y θ4, θ5 y θ6 conocidos, lasdimensiones h = [hx, hy, hz] de la herramienta.

Figura 9: Escenario de trabajo de un robot.

8