Cinemática y Estática

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Cinemática y estática (Teoría y problemas) J. Martín

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Cinemtica y esttica(Teora y problemas)J. MartnPrimera edicin: diciembre de 1997La presente obra fue galardonada en el quinto concurso"Ajuts a l'elaboraci de material docent" convocado por la UPC.Con la colaboracin del Servei de Publicacions de la UPCDiseo de la cubieta:Antoni Gutirrez Jos Martn, 1997 Edicions UPC, 1997Edicions de la Universitat Politcnica de Catalunya, SLJordi Girona Salgado 31, 08034 BarcelonaTel.: 934 016 883 Fax: 934 015 885Edicions Virtuals: www.edicionsupc.ese-mail: [email protected]: CPET (Centre de Publicacions del Campus Nord)La Cup. Gran Capit s/n, 08034 BarcelonaDepsito legal: B-49.607-97ISBN: 84-8301-238-3Quedan rigurosamente prohibidas, sin la autorizacinescrita de lostitularesdel copyright, bajolas sanciones establecidas en las leyes, la reproduccin total o parcial de esta obra por cualquiermedio o procedimiento, comprendidos la reprografa y el tratamiento informtico, y la distribucindeejemplaresdeellamediantealquileroprstamopblicos,ascomolaexportacineimportacin de ejemplares para su distribucin y venta fuera del mbito de la Unin Europea.PrologoPrologo7La Fisica, en su sentido mas amplio, es la parte de la ciencia dedica al estudio de la mate-ria y sus interacciones mutuas, a travesde las cualesse deducen sus propiedades y se for-mulanlas leyes que rigenlos fenomenos fisicos, tanto los que observamosdirectamente enla naturaleza, como los que crean artificialmente en los laboratoriosde investigacion. A pe-sar de la gran variedad que presentan los fen6menos fisicos, aparentemente sin conexion, to-dos ellosobedecenaunospocosprincipiosfundamentales, queunavezcomprendidos, alser aplicados a nuevos problemas, facilitansu resolucion, 10que permiteampliar el conoci-miento del comportamiento de la naturaleza.El contenido de la fisicase distribuyeen diferentes ramas:mecanica, calor, optica, elec-tromagnetismo, fisica relativista, fisica cuantica, fisica nuclear, fisica de altas energias, entreotras. Las cuatro primeras constituyen el contenidode la llamada fisicacldsica, cuyas leyesfundamentalesyaestabanformuladasafinalesdel siglolXX, yel restodelasramas, lascuales se han ido desarrollando a 10largo del siglo XX, se denominangenericamente fisicamoderna.Todas las ramas de la fisica constituyen campos muy importantes de especializacion y acti-vidad profesional y forman una parte esencial del actual desarrollo tecno16gico. Aunque te-maticamente existe entre las diferentes ramas de la fisica muy poca 0 ninguna conexion, losprincipiosde la mecanica hansido la guia paratodasellas, por 10 quesu ensefianza, juntocon las otros tres partesde la fisica clasica, han estado, y seguiranestandoincluidasen losprogramas de formacion de las diferentes ramas de la ingenieria.El desarrollo tecno16gicoplantea a los ingenieros problemas ligados, por una parte,al cal-culode diversasestructuras estaticas, yporotra, al disefio, construccion yexplotacion detodo tipo de maquinas,motoresy variadosmecanismos utilizadosen procesos industriales,utilizandoseen su construccion diferentespiezasmecanicas, a las cualesdesignaremos conel nombre generico de cuerpos. En la solucion de ambos tipos de problemas aparentementemuy distintos, una parteesencial afectaalestadode reposo0 movimientode loscuerpos,siendo la estdtica y la dindmica, las partes de la mecdnica en las que se definen las leyes ge-nerales del equilibrio ye1 movimiento de los cuerpos materiales, constituyendo por tantosuestudio, una de las bases fisicas necesarias de las disciplinas tecno16gicas.En este sentido restringido, la mecanica, trata de las leyes generales del equilibrio 0 movi-miento de los cuerpossometidos ala accion de las fuerzas que les son aplicadas. E1 movi-mientoes, evidentemente, el mas comun delos fen6menos observados ypor tanto, laprimera de las ramas de la fisica que se desarrollo. El estudio del movimiento de los cuerposprescindiendo de las causas que 10producen y de su contenido material, constituye una partede la dinamica que se denomina cinematica.8 Pr6logoParasu estudio, se hautilizado desdeel principio el analisisvectorial, 10 que permite ex-presar los principios fundamentales de la mecanica de una manera concisa y analizar proble-mas de cinematica y de estatica cuyasoluci6npor metodos escalares seria muycompleja 0incluso imposible de obtener. Atendiendo al tratamiento vectorial de la mecanica, se ha con-sideradooportunoincluirinicialmenteunapartematematicadedicadaael algebradelosveetores y a sus operaciones fundamentales, con el objetivode hacercomprensible su utili-zaci6n posterior, tanto en la cinematics como en la estatica,El presente volumen consta de dos partes, la cinematica y la estatica,Se expone primero lacinematica como una teoria geometrica del movimiento, la cual requiereunicamente la utili-zaci6n de las magnitudes espacio y tiempo.Se inicia su estudio con la cinematics de la par-ticula de la partieula seguida de la cinematica del solidorigido, con el fin de definir, en laprimera parte, las magnitudes el movimiento y poder resolver inicialmente problemas senci-11os, para aplicarlos despuesal movimiento de lossolidos, cuyo estudio requiere la utiliza-cionde conceptosmascomplejos. Parafacilitar la comprensi6n delmovimiento del solidorigido, se ha limitado su estudio al caso del movimiento plano, dejando para cursos posterio-res el estudio del movimiento del solido rigido en el espacio.En la estatica, se introducen inicialmente los conceptos de masa y fuerza, como las magni-tudesfundamentales quedescriben elcontenido materialdelespacio fisico, cuyosustratomatematico sigue siendo el espacio geometrico de la cinematica, De una formaanalogaa lacinematica, seanalizan primerolossistemasdefuerzas concurrentes, correspondientesalequilibriodeunaparticula,yacontinuaci6n elequilibriodeloss6lidosbajolaacci6n defuerzas eoplanarias.En cada capitulo, primero se expone la teoria correspondiente seguida de una serie de pro-blemas resueltosen los quese muestra comose debe hacer uso de la teoria para abordar susoluci6n. Los problemas estan estrechamente vinculados con la teoria, por 10que el trabajodedicado a e110s es no menos importante que el dedicado al estudio de la teoria expuesta enel texto. El material que se presenta tanto en la teoria como en los problemas, en general, norequieremasconocimientospreviosquelos del algebra, algebravectorial, trigonometria,calculo basico y calculo vectorial elemental. Ellibro es un material didactico destinado a losestudiantesde los primeros curso de las escuelas de ingenieria y centros de formaci6n supe-rior, siendo su objetivo el de desarro11ar en el estudiante la capacidad de comprender y utili-zar los fundamentos de la mecanica, paraanalizar cualquier problema tecnico y obtener suresultado de una manera sencilla y l6gica.IndiceIndice1 Vectores libres1.1 Introducci6n 151.2 Vectores libres 151.3 Operaciones con vectores libres 16Problemas ; 211.4 Espacio vectorial euclfdeo 231.5 Componentes rectangulares de un vector 27Problemas 312 Vectores deslizantes2.1 Introducci6n 352.2 Vectores deslizantes 352.3 Momento de un vectordeslizante 352.4 Sistemas de vectores deslizantes 392.5 Eje central 432.6 Par de vectores 452.7 Sistemas de vectores deslizantes coplanario 472.8 Reducci6n de sistemas de vectores deslizantes 482.9 Centro de vectores paralelos 50Problemas 533 Clnematlca de la particula3.1 Introducci6n 613.2 Magnitudes fundamentales del movimiento 613.3 Caracterizaci6n geometriea de la trayectoria 663.4 Ecuaciones del movimiento 6810 Indice3.5 Movimiento reetiHneo 693.5.1Clases de movimiento rectilineo 693.5.2Aceleraci6n constante 703.5.3Aceleraci6n funci6n del tiempo 743.5.4Aceleraci6n funci6n de la posicion 753.5.5Aceleraci6n funci6n de la velocidad 763.5.6Movimiento simultaneo de particulas 77Problemas 793.6 Movimiento plano en eoordenadas reetangulares 973.6.1 Componentes rectangulares de la aceleraci6n 973.6.2 Movimiento parab6lico 99Problemas 1033.7 Movimiento plano en eoordenadas polares III3.7.1 Coordenadas polares 1113.7.2 Componentes polares de la aceleraci6n 1123.7.3 Velocidad y aceleraci6n angular 1143.7.4 Movimiento circular 1153.8 Movimiento plano en funei6n del area 1163.8.1 Curvatura de una curva plana 1173.8.2 Componentes intrinsecas de la aceleraci6n 118Problemas 1213.9 Movimiento plano en referencias m6viles 1293.9.1 Referencias en traslaci6n: transformaci6n de Galileo 1293.9.2 Referencias en rotaci6n 1313.9.3 Aceleraci6n de Coriolis 1323.9.4 Movimiento general 1333.9.5 Movimiento de la particula en la superficie terrestre 134Problemas 1374 Clnematlca del s6lido rigido4.1 Introdueei6n 1474.2 Movimientos elementales del s6Udo rigido 1474.2.1 Movimiento de traslaci6n 1484.2.2 Movimiento de rotaci6n 1494.2.3 Movimiento helicoidal .. .. .. 154Problemas 155Indice114.3 Movimiento plano del s6lido rlgido 1594.3.1 Definicion cinematica del movimiento plano 1594.3.2 Velocidad de los puntos del solido 1604.3.3 Centro instantaneo de velocidades 1624.3.4 Aceleracion de los puntos del solido 1644.3.5 Centro instantaneo de aceleraciones 1664.3.6 Movimiento plano en referencias moviles 168Problemas 1755 Fundamentos de la Meeanlca5.1 Introducci6n 1915.2 Masa ydensidad 1925.3 Concepto de fuerza 1935.4 Leyes de Newton de la mecsnlca 1945.5 Ley de la atracci6n universal : peso de un cuerpo 1955.6 Centro de gravedad de s6lidos 1975.7 Teoremas de Pappus-Guldin 201Problemas 2056 Fuerzas y equilibrio6.1 Introducci6n 2096.2 Principios de la estatica: s6lido libre 2096.3 Fuerza de rozamiento estatlee 2126.4 Rozamiento en cunas, tornillos y correas 2166.5 Resistencia a la rodadura 222Problemas 2256.6 Componentes de un fuerza 2356.7 Momento de una fuerza 2366.8 Par de fuerzas 239Problemas 2416.9 Reducci6n de sistemas de fuerzas concurrentes 2476.9.1 Equilibrio de fuerzas cop1anariasconcurrentes 2496.10 Reducci6n de sistemas de fuerzas paralelas 2506.10.1 Equilibrio de fuerzas coplanarias paralelas 2516.11 Reducci6n de sistemas de fuerzas que se cruzan 2516.11.1 Equilibrio de fuerzas coplanarias que se cruzan 25512 Indice6.12Equilibrio de tres fuerzas coplanarias 2576.13Equilibrio de sistemas de s6lidos 2586.14Reacciones vinculares en sistemas pianos 259Problemas 2616.15Equilibrio de armaduras y entramados 281Problemas 2857 Trabajo virtual y equilibrio7.1 Introducci6n . . . . . . . . . . . . . . .. 2957.2 Trabajo de una fuerza 2957.3 Metodo deltrabajo virtual . . . . . . . .. . . . . . . . .. .. . . . . . . .. .. 2987.4 Equilibrio de sistemas ideales 2987.5 Sistemas con elementos elasticos y rozamiento 3047.6 Energia potencial y equilibrio 3087.7 Estabilidad del equilibrio 312Problemas 315Capitulo 1 Vectores libres1.1 IntreducclenEn el estudio de losfenomenos naturales es preciso definir magnitudes fisicas cuyos valo-res estan asociados a elementos matematicos. Ciertas magnitudes fisicas, tales como la den-sidad, latemperatura, lapresion, laenergia, etc., quedancompletamentedefinidasporunnumeroreal. Estas magnitudes se denominanescalares. Hayotras magnitudes fisicas encambio, tales como lavelocidad, lafuerza0 el momento cinetico, que noquedan definidasunicamente conun valor numerico, es necesario darles ademas una direccion, Tales magni-tudes se denominan vectoriales.Los fenomenos naturales tienen lugar en el espacio fisico, al cual se Ie asigna una geome-triadeterminada. A partir de resultados experimentales se pone de manifiesto quela geome-triaeuclidea proporciona una descripcion extraordinariamente precisa para la determinaciondemagnitudes tales como distancias, areas 0 angulos enunamplio margendeescalasquevan de10' 13 em hasta1028ern,Asi pues, el marco mas adecuado para la descripcion delasleyes fisicasesel deunespacio euclideo tridimensional. Esteespacio esplano, yenel, lasuma de los tres angulos de un triangulo es igual a 180.Antes de iniciar elestudio delaMecanica, cuyas leyes seformulan mediante ecuacionesentre magnitudes vectoriales, se introduce el concepto del vector como elemento unitario delespacio euclideo yse defmen operaciones con losvectores las cuales son deaplicacion ge-neral.1.2Veetores IibresDefiniremos un vector enelespacio euclideo como unsegmento orientado. Si lospuntosextremos del segmento losdesignamos por A y B, el vector queda definido por su origen A ysuextremo B y10 indicaremos por elsimbolo~ . Graficamente se representa por medio deunaflechaconorigen enA yextremo enBquenosdefine el sentido. Lalongitud del seg-mento se denomina modulo delvector y se representa por AB. EI valor del modulo dependede la unidad elegida para medir distancias. Para representar un vector se utiliza tambien unanotacionmas simplificada queconsisteenunsolo caracterennegritatal comoA0 a. Enestecaso, su modulo se representa por la letra correspondiente entre dossegmentos vertica-les que se hace igual a la misma letra en cursiva, IAI =A.La letra puede ser tanto mayuscu-lacomomimiscula, I bl=b. La representaciengraficaen estecasoseraunaflecha sinasignar letras especificas al origen y al extremo delsegmento, figuras1-1 y1-2.16 Fisica Ib~-----. ~BAFig. I-I Fig.1-2Dos vectores se Haman equivalentes cuando tienen la misma direcci6n, sentido y m6dulo,es decir, uno de ellos puede hacersecoincidir con el otro mediante unatraslaci6n. Los vee-tores del espacio se pueden separar en clasesde vectores equivalentes. Un vector cualquierade una clase es el representante de dichaclase y se Ie denomina vector fibre. En el espaciohay infinitosvectores libres. Se denomina vector nuIo 0, aquel cuyo origen y extremo coin-ciden en el mismo punto del espacio, El vector nulo carece de direcci6n y sentido, y su m6-dulo es cero. A los vectores cuyo m6dulo es la unidadse les denomina vectores unitarios0versores.1.3 Operaciones con vectores IibresSean a y b dos vectores libres cualesquiera y P un punto dado del espacio, figura1-3. Susequivalentes en P son los vectores definidos por los segmentos PQ y PR, paralelos respecti-vamentea cada uno de ellos y de la misma longitud, luegoPQ = a yPR = b. EI paralelogra-mo PQRS se denomina paralelogramo sustentado por los vectores ay b, 0 simplemente, elparalelogramo definido por losdosvectores. Lossegmentos RS yQS definen losvectoresliS. as equivalentes a los vectores a y b respectivamente, figura1-3.RpbsFig. 1-3 Fig.1-4Suma Se denomina suma de los vectores a y b al vectors =a +b, definido por elseg-mento PS colocando los vectores unoa continuaci6n del otro, figura1-4. Del paralelogramode los vectoresa y bse deduce que la suma es conmutativaVectores Iibresa+b= b+a17Facilmente se puede verquelasumade vectores es asociativa comose muestra grafica-mente en la figura1-5, es decir, se cumple la igualdada+ (b+ c)=(a+ b)+ c (I-I)Dosvectores tales que tengan la misma direcci6n y el mismo m6dulo perosentidos opues-tos se denominan vectores opuestos. EI opuesto a un vector dado a se designa como - a y lasuma de ambos es el vector 0, a+(-a) =0, figura1-6. Se definela diferencia de dos vee-tores como la suma del primero con el opuesto del segundo, figura1-7.d = a+(-b) = a - bFig. 1-5 Fig. 1-6 Fig. 1-7Producto por escalares. Si k es un mimero real cualquiera y a un vector libre, el productode k a es un vector libre que tienela misma direcci6n que a, el mismo sentido0 el opuestosegun que k > 0 0k < 0 , Ysu m6dulo es k veces e1 modulo de a. EI producto por escalaresesdistributivo respectodelasumak (a+b) = k a+k b. EI conjuntodevectoreslibrestiene estructura de espacio vectorial. La operaci6n interna es la suma y la externa el produc-to por escalares. Ademas de la suma y el producto por escalares, con los vectores se puedendefinir, entreotras, dosimportantes operaciones denominadas producto escalar y productovectorial.Producto escalar. Se define el producto escalar de dos vectores a y b comoel escalar quese obtienede multiplicar elproducto delos m6dulos delos dosvectores por el coseno delangulo que forman.El producto escalar se designa con un punto entre los vectores.18a b=abcos8Fisica I(1-2)Desu definicion se deducequeel producto escalar es conmutativo, a . b = b- a. EI pro-ducto escalar es distributivo respecto de la suma, a- (b +c) = a- b+a . e, y de la defini-cion se deduce que el producto escalar de un vector a por si mismo es el modulo del vectoral cuadrado, a.a =a'.Geometricamente,el productoescalar dedos vectoresesel pro-ducto del modulo de uno de ellos por la proyeccion del otro sobre 61, figura1-8.acos abcos8aFig. 1-8,,,,,,,,,,,,,,Cuandoel productoescalardedosvectoresnonulosescero, el anguloque formanesigual a 90'; es decir, los vectores son perpendiculares entre sf.Producto vectorial. Dados dos vectores cualesquiera a y b,su producto vectorial se defi-ne comoel vector e cuya direcci6nes perpendicular al plano definido par losvectores, susentido es el de avance de un sacacorchos que gira para ir del primer al segundo par el ca-mino angular mas corto, y su m6dulo el producto de los modulos par el seno del lingula queforman, c=a b sen 8. EI simbolo que representa la operaci6n producto vectorial es el de unangulo con el vertice bacia arriba1\. Asi, el producto vectorial del vector a por el vector b serepresenta poraxb > cEI producto vectorial tiene las siguientes propiedades:1producto vectorial no es conmutativo1producto vectorial de un vector por si mismo es cero1producto vectorial no es asociativo1producto vectorial es distributivo respecto de la suma1producto vectorial es asociativo respecto del producto(1-3)a x b = -bl\aal\a=Oa1\ (b 1\ c) '" (a1\ b ) 1\ eal\(b+e)=al\b+a x ek(al\b) =kal\b= al\kbYectores libres 19Facilmente se puedededucir que el modulo del producto vectorial de dosvectores [a , b]es el area del parale1ogramo definido por los dichos vectores, figura1-9.cFig.1-9Producto mixto, Dados tresvectoresa, bye, se defineel producto mixtocomo el pro-ducto escalar de uno de ellos por el producto vectorial de los otros a. ( bt\ c). Esta es unaoperaci6n derivadade las dos anteriormente definidas, las cuales permiten obtener inmedia-tamente el resultado del producto mixto.Operando se tiene,a .(bt\ c) =Ia I Ib t\ CI cose= abc senc) La ecuaci6n (2-17) defme el vectorDC cuyo extremo es un punto del eje central.La ecuaci6n del eje central es= ...L [ ~ ] 1\ [ ~ ] = ...L (-I +2j - 3 k)19 I 0 19Ix+j931. ,y - 19 Z+i9= --=--3Capitulo 33.1 IntroduccienClnematlca de la particulaLa Cinematica de la particula estudia el movimiento de los cuerpos, los cuales se asimilana puntos geometricos que se desplazan en el espacio euclideo tridimensional, defmiendo lasmagnitudesfisicasfundamentalesque detenninan sus trayectorias. Parafijar la posici6n deun puntoen elespacioseutilizanbasicamente las coordenadas cartesianas definidasenelCapituloI, debido a la sencillez de las ecuaciones matematicas que se utilizan en el estudiote6rico del movimiento. No ocurre 10mismo con su utilizaci6nsistematica, yaque en unagran mayoriadecasospracticeslascoordenadas cartesianasconducea expresiones mate-maticamentecomplejas, quedificultan0 inclusoimpidenlaobtenci6ndelasolucion, Lautilizaci6n de otros sistemas de coordenadas, tales como coordenadas polares,coordenadasesfericas, etc, simplifican el estudio del movimiento de la particula.EI objetivode la Cinematica de la particula es la detenninaci6n de la curva que describeen el espacio, curva que se denomina trayectoria. Conocida la aceleraci6n y fijadas las con-diciones iniciales,la Cinematica proporciona el procedimiento para detenninar la trayecto-ria, asi como sus caracteristicas geometricas. Las magnitudes que describen el movimiento,la posici6n, la velocidady la aceleraci6n, tienen caracter vectorial. EI algebra de vectores yla integraci6n de ecuaciones diferenciales lineales son, entre otros, los elementos matemati-cos corminmente utilizados en la Cinematica,EI movimiento se manifiesta mediante el cambio de posici6n de los cuerpos en el espaciorespecto de una referencia dada. Esquematicamente la referencia se representa mediante tresejes perpendicularesentresi quese cortanen un punto, origende la referencia, lacual seconsidera fija en el espacio y a la que se asocia un sistema de coordenadas para fijar la posi-ci6n de la particula. En 10que sigue, se utilizanindistintamente referencia0sistema de co-ordenadas para especificar el movimiento de la particula.3.2 Magnitudes fundamentales del movimientoSea P un punta generico del espacio en el cual se encuentra la particula en el instante I. Entodo 10que sigue, particula y punta tienenel mismosignificadocinematico y seran utiliza-dos ambos terminos indistintamente. EI punta P, junto con el origen 0de la referencia, defi-nenunvector conorigenen0 yextremoenP,al cual seIedesignatapor r " oPysedenomina vector posicion de la particula.EI punta Pesta en movimiento cuando su posici6ncambia con el tiempo, entoncesel vector posici6n res una funci6n del tiempo I, r ~ r(I). A62 Fisica Icada instante t Ie corresponde un valor del vector r cuyo punta extremo definela posici6n dela particula endicho instante.... Trayectoria. Ellugar geometrico que describe el extremo del vector r(t) es unacurva enel espacio que se denomina trayectoria. Cuando r (t) es una funci6n continua del tiempo t, latrayectoria es una curva continua en el espacio, fig.3-1. A medida que transcurre el tiempo,el extremo del vector posici6n se desplaza sobre la trayectoria. Sean r (t) y r (t + t1t) los va-lores del vector posici6n en el instante t y en un instante posterior t + t1t; el incremento delvector posici6n al pasar la particula del puntoP al punta Q.es la diferencia entre ellos y sedenomina desplazamiento.t1 r = r( t + t1t ) - r(t) (3-1)Q DesplazamientoFig. 3-1EI desplazamiento, en general, no coincide con el recorrido de la particula sobre la trayec-toria. Paraunmismodesplazamientoexisteninfmitas trayectoriasqueconectanlosextre-mos de los vectores posici6n que 10definen. Enel casode que la trayectoria sea rectilfnea,el desplazamiento (en m6dulo) y el recorrido son coincidentes.Velocidad media. Dividiendoambosterminosdelaecuaci6n(3-1)porelincrementodetiempo entreambas posiciones, se tiene un vector proporcional a t>r que se denomina velo-cidad media de la particula en dicho intervalo de tiempo. Sus dimensiones son ms' .t1r r(t+M) - r(t)t1t= M(3-2)Cinematica de la particula 63Velocidad. Consideremos ahora valores de !!.t cada vez mas pequeiios. A medida quesusvaloresdisminuyen tambien el vector incremento del numerador de la fracci6n tieneval orescada menores. Ellimite del cociente cuando !!.t tiende acero, tiende a la derivada del vectorposici6n r respecto del tiempo, que se denomina vector velocidad instantanea de la particula0, de una manera simplificada, velocidad de la particula.v =lim ill" =dr ms"",-..!!.t dt(3-3)Al tender a cero el incremento del tiempo, el extremo del vector 6r se mueve sobrela tra-yectoria aproximandosehaciaelpunto P. Enel limite, losextremos del vector drsondospuntos infinitamente pr6ximos sobrela curva, puntos que definen la direcci6n de la tangentea la curva en dicho punto, luegola velocidad v es tangente a la curva en el punto P, y su sen-tido el del movimiento, figura3-2. Este resultado es aplicable a cualquier punto de la trayec-toriay,portanto, elvectorvelocidad tiene la direcciondela tangente a la trayectoriaencada uno de sus puntos.v(t)O.."loE;:-----f-fl------7Fig. 3-2AceleraciOn. La velocidad mide la tasa de cambio de posici6n de la particula con el tiem-po yes, por tanto, una magnitud basica del movimiento, pero no permite por si sola su com-pletadescripci6n, yaqueeste dependedeloscambiosdelavelocidadconel tiempo. Lavelocidad esunafunci6n vectorial continua deltiempo. Representandoelvector velocidad64 Fisicacon origen en el origen dela referencia, su extremo describe una curva continua enel espa-cioquese denomina hodografa, figura 3-3. EI incremento develocidad queexperimenta laparticula al pasar de un punta a otro dela trayectoria correspondientes a losinstantes 1y 1+li.1, es igual a la diferencia de las velocidades en ambos instantesIi. v=v ( 1+Ii. I) - v (I) (3-4)Dividiendo por el incrementodetiempoenlaecuaci6n laecuaci6n (3-4)seobtiene unvector proporcional al incremento dela velocidad quese denomina aceleracion media de laparticula.Ii. v _v(t +!i.t) -v(l)s c: Ii. 1(3-5)Consideremosahoraincrementosdetiempocadavezmaspequefios, esdecir, hacemosque el incremento de tiempo tienda a cero. EI vector incremento develocidad tambien tien-de hacia cero y, enellimite, elcociente incremental tiende ala derivada delavelocidad vrespecto del tiempo, vector quese denomina aceleracion de la particula ene1 instante I.Fig.3-3Cinematica de la particula65La aceleraci6n instantanea de la particula se definecomo el limitedel cociente incremen-tal dado por la ecuaci6n (3-5) cuando el incremento de tiempo tiende a cero.a=dv=dtI !l.v1m -A I ~ O M(3-6)EI vector aceleraci6n amide, la tasa de cambio de la velocidad con el tiempo, es tangentea la hodografa en cada uno desus puntos y su direcci6n es totalmente arbitraria respecto delatrayectoria. La aceleraciones la magnitud cinematica que earaeterizael movimientodela partieula en el espacio. Conocida la aceleraci6n y fijadas las condiciones iniciales el mo-vimiento de la particula queda completamente determinado.EleeciOn de la referencia. Consideremos ahorala influencia que tienela eleccion de unareferencia deterrninada sobrelosvalores de la velocidad v y la aceleraci6n a de una particu-la en movimiento. Veamos que la velocidad y la aceleraci6n son las mismas en cualquier re-ferenciafijaquese utilice para describir el movimiento. En efecto,sea0el origen deunareferencia fija y Qotro punto fijo cualquiera del espacio, figura3-4.v- 1 f ; ~ - - .... aQtrayeetoriaFig. 3-4La posicion del punto P respecto del punto fijo Q, defmida por el vector r Q esta relaciona-da con la posicion r respecto del punto 0mediante la ecuaci6n--->r =OP+rQ66 Fisica->donde el vectorOQ es fijo, es decir, no depende del tiempo. Derivando respecto del tiempose tiene la relaci6n de velocidadesv =vQ y derivando de nuevo respecto del tiempo se tienela relacion de aceleraciones a =~ . En consecuencia, el movimiento de una particula es elmismo respectode cualquier referencia fijadel espacio. Este resultado permite elegir la re-ferencia mas conveniente para el estudio del movimiento en cada caso concreto.3.3 Caracterizaeien geometrlca de la trayectoriaEn funcion de las caracteristicas geometricasde la trayectoria, el movimiento de una par-ticulase puedenclasificar en: movimientorectilineo, movimientocurvilineoplano0 bidi-mensional, y movimiento curvilineo en el espacio0movimiento tridimensional.Movimiento rectUfneo. EI movimiento de una particula es rectilineo cuando su trayectoriaes una recta. EI extremodelvector posicioncoincideencada instantedetiempot conunpunto de la recta. Si u es el vector director de la recta, el vector Mes proporcional a u sien-do el coeficiente de proporcionalidad una cierta funcion del tiempo, figura 3-5.uFig.3-5Por tanto, la velocidad v y su incremento Av tiene direccion u, 10que implica que la acele-raciona, que es un vector proporcional a Av, tambientienela direccion u.Asi pues, en elmovimiento rectilineo la velocidad y la aceleracion son vectores paralelos, luego su produc-tovectorialescero, v1\ a = O. Dicha condicioncaracteriza genericamente el movimientorectilineo de una particula. En el caso mas comun, en que 1atrayectoria coincide con uno delos ejes de coordenadas; el vector posicionr, la velocidadv y la aceleraciona tienen todosenos direccion constante.Movimiento curvUfneo plano.El movimiento de una particula es curvilineo plano cuandosu trayectoriaes una curva planafigura 3-6, es decir,esta con tenidaen un plano, denomi-Cinematica de la particula 67nadoel plano del movimiento. El extremo delvector posicion resta constantemente sabre elplano del movimiento, luego su incremento, M, es un vector contenido en e1plano de la tra-yectoria. Si u es e1vector director del plano, al ser perpendicular a Ar, se cumple que el pro-ductoescalaru Ar = 0. Dividiendoporincrementodetypasandoal limitecuandoelincrementodel tiempotiendeacerosetiene u v =0, es decir, lavelocidad esunvectorcontenido en el plano.u7Fig. 3-6Analogamente, sila velocidad esta contenida enel plano delmovimiento, suincrementoentredos instantes de tiempo tambien pertenece al plano, luego se cumple que uA v =0,de donde, por un razonamiento analogo al de la velocidad, se deduce que la aceleracion a escoplanaria con v. Asi pues, en el movimiento plano los vectores velocidad yaceleracion es-tancontenidos enelplano del movimiento, y por tanto, su producto vectorial ha deser unvector de direccion constante. La condicion v /\ a =f(t)D,siendo u un vector unitario, es lacondicion necesaria ysuficiente para quelatrayectoria de la particula seaunacurva plana.En el casomascormin,el plano que contiene a la trayectoria coincide can unode los planosde la referenda.Movimientocurvilineo en el espacio. EI movimiento deunaparticula estridimensionalcuandosutrayectoriaesunacurvaalabeada. Sedenominan curvasalabeadas aquellasqueno estan contenidas en un plano. La velocidadv y la ace1eraci6n a son vectores can68 Fisicadireccionesarbitrarias y por tanto, suproducto vectorial v1\ aesunvector cuyo m6dulo ydirecci6n varian con el tiempo. La helice es un ejemplo de trayectoria alabeada.3.- 4. Ecuaciones del movimientoEI vector posici6n rse puede expresar en funcion de losvectores de la base delas coordena-das cartesianas i, j, k comor=xi+yj+zk (3-7)endondelascomponentes der, x, y, zsonlascoordenadas desu punta extremo, lascualesson funciones continuas del tiempo.x= x (I) y=Y (I) z =z (I) (3-8)Las tres ecuaciones (3.8) son las ecuaciones parametricas de la trayectoria y se denominanecuaciones delmovimiento. Eliminandoentreellasel tiemposeobtienelaecuaci6ndela!rayectoria. Derivando respecto del tiempo laexpresi6n del vector posici6n r seobtiene laexpresi6n de la velocidad(3-9)Las componentes del vector vse denominan lascomponentes reclangulares de la veloci-dad.v= dxI dtv = dy, dlv, =dzdtDerivando la expresi6n (2.9)de la velocidad v respecto deltiempo se obtiene la expresi6nde la aceleracion en componentesa= dv = d'x I + d'y j + d'z kdt dl' dl' dl'(3-10)Las componentes del vector a se denominan las componentes rectangulares de la acelera-cion.Cinematica de la particulad'xa, = dt'- I. De la condi-cion de rigidez y de la definicion de movimiento de traslacion se tiene que los vectores posi-cion en los instante I y rsatisfacen la relacion rp - rQ= r; - rQ',de donde se tiene que(4-3)La ecuacion (4-3) expresa queeldesplazamiento de todos lospuntos del s6lido entre losinstante I y I' =I + Mesel mismo para todos ellos, luego sus trayectorias son congruentes.Si las trayectorias son!ineas rectas, la traslaci6n es rectilinea, y sison curvas, la traslaci6nes curvilinea. EI movimiento delsolido ensu conjunto queda completamente descrito por elmovimiento de uno cualquiera de sus puntos yes, por tanto, formalmente equivalente al mo-vimiento de una particula,4.2.2Movimiento de rotaci6nUn solido rigido tiene un movimiento de rotaci6n alrededor de un eje fijo que pasa por ':1,cuando doscualesquiera de sus puntos no cambian de posicion durante el movimiento. Dela condicion de rigidez se deduce inmediatamente que lavelocidad detodos lospuntos dels6lido alineados con los dos puntos fijosha deser nula. En efecto, si Q es un punto alineadoconlosdospuntosfijos, lasdistanciasde Qacada unode losdospuntosfijos se han demantener constantes durante el movimiento, luego ha de estar en reposo y por tanto su velo-cidad es nula.La recta definida por losdos puntos fijosse denomina eje de rotacion y todos lospuntosdel solido pertenecientes alejetienen velocidad nula. Determinemos ahora lavelocidad delospuntos del solidoquenopertenecen al eje. SeaPunpunto generico del solidoquenopertenece al eje de rotacion, En un punto 0del eje de rotacion perteneciente al solido rigidose toma el origen de la referencia fija.Tomemos el mismo punto 0como origen de una re-ferencia vinculada al s6lido, tal que sus ejes participen del movimiento delsolido, y que losejes z y z' de ambas referencias coinciden con el eje de rotaci6n del solido. Sean I, j, It, y e,,e, , e, los vectores de las bases de las referencias fija y movil respectivamente, en donde k =e,, tal como se muestra en lafigura 4-2. EI vector posicion rpdel punto generico P del s6li-do, es el mismo en ambas referencias.La velocidad del punto P del s6lido enla referencia fijaes, cinematicamente equivalente,alavelocidaddeunaparticulaenreferenciasenrotacionconorigenfijo. Enlaecuaci6n(3-70) dela cinematics dela partieula relaciona la velocidad dela particula enambas refe-rencias, se tiene que incluir ahora la condici6n de rigidez, con10 cualla velocidad relativa v'del punto Penla referencia en rotacion escero, luego dela ecuaci6n (3-70) seobtiene que150la velocidad del punta generico P del solido rigido en la referencia fija est! dada porv =roA rpFisica I(4-4)donde el vector co, asoeiado a la rotacion de la base m6vil la cual esta unida rlgidamente alsolido, es la veloeidad de rotacion del solido. EI vector(J) representativo de la rotaci6n, es unvectorsobreel ejede rotacion, sumoduloeslamagnitud dela rotacion y, sudireeci6n ysentido determinan la direccion y el sentido de la rotaei6n.Fig. 4-2La ecuaci6n (4-4)da la velocidad de un punta cualquier del solido y es por tanto, la leyde distribucionde velocidades del s6lido. Aplicada para los puntos del ejese deduce inme-diatamente quesu velocidad es nula ya que para dichospuntosQ)y rp son veetores paraIe-los. Deunamaneraanaloga, la ecuaci6n(3-71) delacinematics dela particula junto a lacondici6n de rigidez, proporciona la aceleraci6n de un punta cualquiera del s6lido, ecuaci6nque eonstituye la ley de distribucion de las aceleraciones(4-5)Cinematica del solido rigido151siendo ala aceleraci6n angular del solido. Determinemos ahora lastrayectorias delos pun-tos del solido. La ecuacion de la velocidad de un punto delsolido se puede escribir como~ ~v=ro1\ rp=ro1\ OP=PQ 1\ ro (4-6)Laultima igualdad dela ecuacion (4-6) expresa quela velocidad de un punto del solidoes el momento del vector ro respecto dedicho punto, pero el momenta de un vector respectodeunpunto esindependientedel puntoquesetomesobresurecta soporte paraformarelproducto vectorial. Tomando el punto P' proyecci6n del punto Psobre el eje, lavelocidadesv = rol\r (4-7)endonder esel radiovector del punta P respecto del ejederotacion, Paralaaceleracionquedaa= a1\ r + ro1\ (ro1\ r ) = a 1\ r - ro' r (4-8)Lasecuaciones (4-7) y (4-8) son lascorrespondientes a lasdelmovimiento circular deuna particula luego, los puntos que no pertenecen al eje describen circunferencias concentri-casconelejeysituadas enpIanos perpendiculares a el, EI primer sumando delaecuacion(4-8)es la aceleracion tangencial delmovimiento circular delpunta P, a1\ r= ak1\ ry elsegundo sumando su aceleraci6n normal ro1\ (ro 1\ r) =- ro' r . Los modules de la velocidadv y de la aceleracion a del punto P estan dados respectivamente porv =ro r a=r Ja' +til' (4-9)EI movimiento de rotaci6n de unsolido esta caracterizado por la aceleracion angular a. Siaescero, larotacion esuniforme,ysiesdiferente decero, el movimientoderotacionesunifonnemente aceleradosi atiene el mismo sentido quero0retardado si aesdesentidocontrario arooDe la condicion de rigidez se sigue que el angulo agirado por el punto P has-ta el instante t es el mismo para todos los puntos yes, por tanto, el angulo girado por el soli-do. Lavelocidad ylaaceleracion angulares del solido sonlasderivadas primera ysegunda152de erespecto del tiempode0>=-dla= d'ed I'Fisica I(4-10)Las ecuaciones (4-10)son similares a las del movimiento rectilineo de una particula cam-biando desplazamientos lineales por desplazamientos angulares y velocidad y la aceleraci6nlineal por la angular, luego e(I) es la ecuaciondel movimiento del s61idoen rotaci6n con ejefijo. En general, las condiciones del movimiento del s61idose expresan dando la aceleraci6nangular a 0 la velocidad angular 0> en funci6n del tiempo junto con las condiciones inicialesdel movimiento. Para la rotacismuniforme a =0, la velocidadangular es constante y el des-plazamiento angular eesta dado por(4-11)donde eo es la posici6n angular inicial. Parala rotacion uniformemente acelerada a =cte,la velocidad y la posici6n angular estan definidas pore= m,l + kaI' (4-12)siendo(00 eslavelocidadangularinicial. Eliminandoel tiempoentrelas dos ecuaciones(4-12) se obtienem' = m; 2eaEI signa- correspondea unmovimientouniformementeretardado. Eliminandoel tiempoentre las ecuaciones (4-10) se obtienea=mdmde(4-13)ecuacionque permite determinar la posici6n angular dels6lidocuando la aceleracion aesfuncion de e0de 0>.Cuando eleje de rotaci6n nopasaporel cuerpo, ningunode sus puntos tiene velocidadnula, y todos ellos describen circunferencias concentricas con el eje, situadas en pIanos per-pendiculares a el,Cinematica del solido rigido4.2.3 Movimiento helicoidal153EI movimiento helicoidal es la superposicion de un movimiento de rotacion en tornoa uneje fijo y de un movimiento de traslacion rectilineo a10 largode dicho eje. Para describir elmovimiento tomaremos el origen 0de la referencia fija en unpunto del eje derotacion, talquelos ejesde coordenadas x, y esten situados en un plano perpendicular a1 ejede rotacion,Se eligecomo origen dela referencia ligada alsolido un punto C perteneciente al eje dero-taci6n, tal que sus ejes de coordenadasx',y' esten tambien contenidos en un plano perpendi-cular al eje de rotacion. De esta manera, los ejes z y z 'de ambas referencias coinciden con eleje de rotacion. Sean vc Yco las velocidades de traslaci6n y de rotacion del solidoen un ins-tante dado. La velocidad del origen C de la referencia unida al solido es la velocidad de tras-laci6nYc-Sea rp ' el vector posicion de un punto cualquiera P del solido respecto del origenm6vil C, figura 4-3.Fig. 4-3De la ecuaci6n (3-70) secci6n 3.6.4, que relaciona las velocidades de un punto en referen-ciasenrotaci6nconorigen movil, setienequelavelocidad v del punto Penlareferendafija esta dada por154v=vc+ro/\r;Fisica I('1-14)EIproductovectorial ro/\ r; es el momento derorespectodel punto P y portantoesigual a ro /\ rrsiendo r p el vector posicion del punta P respecto del origen0de la referen-cia fija y tambien es igual aro /\ r, donde res el radio vector del punta P, figura 4-3. Susti-tuyendo el segundo sumando de la ecuacion (4-14) por sus expresiones equivalentes se tienepara la velocidad de un punto cualquiera del solido la siguiente ecuacionv ~ vc+coArp=vc+ooAr (4-15)La ecuacion (4-15) es la ley de distribucion de velocidades de los puntos del solido rigidoanimado de un movimiento helicoidal. La velocidad de un puntaes la suma de la velocidadde traslaci6n a 10 largodel eje masla velocidad debidaa la rotacion en tornoa el. Ambosvectores son perpendiculares entre si, de donde el modulo de la velocidad es(4-16)Derivandola ecuacion(4-15)respectodel tiemposetienela ley de distribucionde lasaceleraciones.8 =8c + n/\r- ro'rLa velocidad instantanea del punto P en componentes rectangulares esta dada porv= ---{l) r sen 9 i + eo r cos 9 j +Vck(4-17)(4-18)Cuando la velocidad de traslacion vc Yla velocidad de rotacionro tienen valores constan-tes, la trayectoria del punta esuna curvaalabeadadenominada helice, y el movimiento delsolido es un movimiento helicoidal uniforme. Se denominapaso de helice al desplazamien-to del solido a 10largo del eje en un periodo. Su valor esta dado pord=vc T=211 Vc / tlJCinematica del solido rigidoPROBLEMA 4.1155EI movimientode rotacion de un volante esta defmidopar la ecuacionEl =3 /18 t' . Deterrninar :a) su velocidad y aceleracion angular; b) la velocidad y aceleracion de los puntos que se encuen-tran a una distancia h = 0,3 m del eje ene1 instante en que las componentes normal y tangencialde la aceleracion lienene1 mismo valor.SOLUC16Na)La velocidad y la aceleracion angular delvolanteestandadas par la primeray segunda derivadasde la coordenada angular respecto del liempotil = dEl = It'dt 2a=dtIl=tdtb) La velocidad lineal de un punta que se encuentra a una distancia h del eje esta dada par v =0) h , Ylas componentes de su aceleracien sona, =a hya. =0)' h . Suslituyendo valores quedaa, = 0.3ta =1.(4 40Igualando las expresiones de las componentes de la aceleracionse obliene el instante en que sus valo-rescoincident =41/) =1,6sLos valores de la velocidad y de la aceleracion en este instante sonv =0,8 ms" at = all= 0,47 ms? a = 0,66 ms"156PROBLEMA 4.2Fisica IUnapolea de radio r= 4 em , esta siendo accionada por una correa cuya velocidad es de1,6 ms"y suaceleracion de 0,4 ms", Undisco cuyo radioexterior es R=12cmesta sujetoal eje de lapolea. Determinar: a) la velocidad yaceleracion angular del disco; b)la velocidad yaceleraci6nde un punto de la periferia del disco.v---- - - ----+-SOLUCIONa)Los puntosdela periferia dela polea tienen la misma velocidad quela correa detransmisi6n. Lavelocidad angular de la polea esco =vir = 4 0 rad5-1Esta velocidad angular es tambien la velocidad angular del disco. La componente tangencial de la ace-leracion de los puntos de la periferia de la polea es igual a la aceleraci6n de la correa de transmision,a, = (). r =0,4 de donde la aceleraci6n angular del discoes(). =10radS-lb) La velocidad linealde los puntos del contomo del discoseraa ==CO R = 4,8 ms'". Las componen-tes de la aceleraci6n de los puntos del contomo del discoson ar=Cl R = 1,2 ms? y an =(1)1 R =192ms", EI valor de la aceleraci6n esCinematics del solido rigidoPROBLEMA 4. 3157En los procesosdeimpresi6nel papelse hade introducir en la impresora a velocidad constante.Si el radio inicial del ro11o de papel es R el grosor del papel es h y la velocidad constante es v ,detenninar el valor de la aceleraci6n angular a en funci6n del radio r instantaneo del rollo.vSOLUCI6NSea 8 el angulo giradobastael instantet . EI mimero de vueltasdado por el rollo depapel bastaeseinstante es a/21t. El radio r en el instante t esr=R-h.!!.21thR --821tsiendo funci6n lineal del angulo girado. La velocidad angular00 en el instante t es 00 = vir, de donde laaceleraci6n angular a es igual adm dmdr v dra =dt = dr dt =- r2 dtLa derivada de r respecto de t se puede escribir comoSustituyendo en la expresi6n de la aceleraci6n angular queda158PROBLEMA 4-4Fisica IEl mecanismo de elevaci6n de la figura adjunta se compone de un cilindro de radio R= 0,5 m quetieneenrollado un cable. Rigidamente unido a el hay un disco de radio R. = 0,3 mel cual estaco-nectado a otrodiscodearrastre de radio r =0,2m . EI peso P queesta unido al extrema libredelcable asciende con una aceleraci6n constante de 4 ms? partiendo del reposo. Determinar la acele-racion angular a del discode arrastre.SOLUCIONMovimiento del ciUndro. Elcableunido al cilindro esinextensible, luegolavelocidad delpunto Adel cilindro es igual a la velocidad del peso P, y la componente tangencial dela aceleraci6n del puntaA delcilindro esigual a la aceleraci6n del peso P. EI movirniento delpeso P esrectilineouniforme-menteacelerado , luego su velocidad es v = at. Lavelocidad y aceleraci6n angular del cilindro sonrespectivarnente00. = viR = a t/R =8 t SI yambasen sentido antihorario. AI estar el disco de radio R1 unido rigidarnente al cilindro, sus velocida-des y aceleraciones angulares son las mismas.Movimiento del discodearrastre. Lavelocidad delpunta decontacto B entrelosdosdiscos eslamisma. Igualando sus valores expresados en funci6n de las correspondientes velocidades angulares setienede donde ro =20 t 5.1sentido horario.La aceleraci6n angular es la derivada dero respecto del tiempo, de dondea =20 S2Cinematica del solido rigido4.3Movimiento plano del solido rigido159Un caso particulannente importante delmovimiento deun solido rigido es el movimientoplano, movimiento quetienenlosdiversos elementos estructurales deunagranmayoria demaquinas0mecanismos, siendo por tanto su estudio de gran importancia en la ingenieria.4.3.1 Definicion del movimiento planoUn s6lido rigido tiene un movimiento plano si durante el movimiento todoslos puntos delsolidose desplazanmanteniendose paralelos aun plano fifo. Asi porejemplo, unabarra0un cuerpoplano deforma cualquiera tal quese muevan manteniendose constantementeso-breuna misma superficie plana, tienen unmovimiento plano. Tambien, unabarra, unaro0un discoque se mueven manteniendose en un plano vertical a una superficie horizontal, tie-ne un movimiento plano.Para un solido de formacualquiera cuyomovimiento sea plano, todos los puntos del s6li-do que se encuentran en una recta perpendicular al plano fijo tienen, la misma velocidad y lamisma aceleraci6n, esdecir, sustrayectoriassoncongruentes. Enefecto, sean AyBdospuntos cualesquiera dels6lido pertenecientes a unarecta perpendicular al plano fijo, figura4-4, y seanrA Yr, sus posiciones instantaneas respecto de la referencia fija de origen 0x:-_ - - yFig. 4-4----+Derivando respecto del tiempo la ecuacion vectorial rs=rA +ADse tiene que las160 . Fisica Ivelocidades deambos puntassonigualesVB =VA Yderivando de nuevo laecuaci6ndelasvelocidadessetieneque suaceleracionestambiensoniguales aB"" aAPorconsiguiente,paraestudiar el movimientoplanodeuns6lidorigidoessuficienteconestudiar el movi-miento deIa figuraplana queresulta deIa intersecci6n dels6lidocan un plano paralelo alplanofijo. Deesta manera, la cinematics delmovimiento plano de s6lido cualquiera, se re-duce a la de un solido plano, al cual, en10 quesigue, se Ie denominara simplemente solidooplaca plana.4.3.2 Velocidad de los puntos del solidoDeterminemos ahara Ia ley de distribucitm de velocidades de los puntos del solido rigidocuandosu movimiento es plano. Tomemos eI origen de la referencia fija0enun punto delplano delmovimiento condosde los ejes de coordenadas eontenidos en el, Sean Qy P dospuntoscualesquiera della placa plana, y seleccionemos el punto Q como origen deIa refe-rencia vineulada conel s6lido. Losvectoresposiei6n delospuntos P YQenlarefereneiafija, estanrelacionados conla posici6n relativa por Ia ecuaci6n , figura 4-5.rp =fa+ r"donde r" es Ia posici6n del punta P respecto del origen Q de la referencia m6vi1.(4-19)yjoFig.4-5Derivandorespectodel tiempoIaecuaci6n4-19yteniendoeneuentaque laposici6nCinematica del solido rigido 161relativa delos puntos P y Q novariadurante elmovimiento,por 10 queladerivada der"solo incluyeel termino correspondiente a la rotacion de la referencia vinculada al solido res-peeto de la fija, queda~Vp= vQ +co 1\ r: = vQ+ro1\ QP (4-20)donde(0=dB /dt esla velocidad angular de rotacion delsolido cuya direccion se mantieneconstantemente perpendicular alplanodelafigura, luegoroes unvector paralelo alejez,siendosu expresion en componentesro =rok.La ecuacion (4-20) esla leyde distribucionde velocidades y expresa queel movimientoinstantaneodel solido es la composieion de unmovimientode traslacionmas un movimiento de rotacion. La traslacion queda definida porla velocidad vQ del punto Qy la rotacion por el vector ro sobre la recta perpendicular al pla-no del movimiento pasando por Q. En la figura 4-6 se han representado por separado el mo-vimiento instantaneo traslacion de velocidad vQ y el movimiento de rotacionco pasando porel punto Q.y1\tr 51 ionionQ)Fig. 4-6De la ecuacion (4-20) se puede deducir una relaci6n entrelas magnitudes de las velocida-des de los dospuntos. Multiplicando escalarmente por r" los dosterminos de la ecuacion yteniendo en cuenta quee1 producto mixto es cern, queda162de donde se tiene la igualdad~ ~vp QP =VQ QPVp cosvA=mI\CAVA=A.eleracion del punto A. EI punto B tieneaceleracion nulayaquesu velocidad esconstante y, poreonsiguiente, es el centro instantaneo de aceleraciones G. De la ecuacion (3-24) se deduce queIa ace-leracicn de A esta dada por 1aecuacionv ~ L28,f=-( )3/1JL1_ v ~ t2Centroldes. De 1a figurase deduce que las coordenadas (x,y)del punto Cen la referencia fija satis-facen 1aecuacionx' + y' = L'que es Ia ecuacion de una eircunferencia de radio L eentrada en el origen.(1)yIxy'centroide fijacentroide movilxCinematica del solido rigido 177Tomando el origen de10 referencia m6vil, rigidamente unida a la barra, enel extremo Adela barracon el eje x ' coincidente con ella las coordenadas (x', y') del puntoC estan relacionadas con las coor-denadas x, y por las ecuacionesx' + y" = x' y" + (L - x' )= y (2)Susliluyendo las ecuaciones (2) en (I) se liene la centroide m6vilx' + v' -Lx' 0ecuaci6n de una circunferencia de radio U2 con centro en el punta (0, L ).178PROBLEMA 4-6Fisica ILa barra AB de longitud Lest! apoyada sobre un cilindro de radio R y su extremo B se mueve conuna velocidad constanteVo haciala derecha a 10 largo de una guia horizontal, tal como se muestraen la figura. Determinar en funci6nde la distanciaOB : a) la velocidad y aceleraci6n angular dela barra, b) la velocidad y aceleraci6n del extremo A de la barra, c) la centroide fijaSOLUCI6NTomamoscomoorigen dela referenciafija el punto0decontactode la secci6ndelcilindro conelplano del papel con la horizontal y en el punto A del extremo de la barrael origen de la referencia Ii-gada a ella.Aycentroide fija/xCinematica del solido rigido 179Velocidad angular de Ia barra.L. velocidad del punto Pde Ia barra que esta en contactocon el cilindro tienela direccion deI. tan-gente .1 ciliodroen dicho punto. Llarnemos x la posicion instantanea del extremo B respecto del on-gen0 deI. referencia fija. Trazandoperpendiculares alas velocidades de los puntos PyBsedelermioa la posicion del centro instantaneo de velocidades C. L. recta que une el punto B con el cen-tro de Ia circunferencia forma con el eje de I. x un aogulo 9 y el angulo que forma Iabarr. con el eje xes el doble Z9, que es igual al anguloque forman las perpendicu!ares a las velocidades delos puntosP y B. L. velocidad angularde la barra esta relacionada con la velocidad de B por Ia ecuacion Vo~ (0y. De 1. figura, x =y sen Z9 . Teniendo en cuenta que tan 9 =Rlx , se tiene quesenZ9= ZRxR'},+x2Despejando y sustituyendo se obtiene Ia expresion de(0 (I)A.eleraci6n angular,a=dm dmdt =Vo dx4 R v ~ x=- k(x' + R')'(Z)Velocidad del punto A. VA=VB + m ABA=> VA=(vo- mLsen29)i - mL cos Z9j (3)siendox2_ R2cosZ9= z R'x +Aceleracien del punto A. EI punto B tiene aceleracion nula, luego es e1 centro de aceleraciones.--+ -+aA=a ABA -m'BA=> a,f =4RLVo J' R"x + Vo(x' + R')'Centroide Ilja.tanf3 =!. f3 = !!: - 9 => aA= - aA(sen ei +cos e j)R ZSustituyendo el valor del sen Z9 en I. ecuaci6n que relaciona Iax con Iayqueda Ia eouacion de una parabola.x' Ry=- +-ZR Z180PROBLEMA 4-7Fisica IUn discode radio R = 0,4mrueda y desliza sobre un plano horizontal. Su velocidad angular es co= 25 rdSI y Ia velocidad del punto A est! dirigida verticalmente bacia abajo, formando con el ra-dio posicion del punto el angulo quese indica enla figura . Determinar : a) la velocidad de desli-zamiento, b) el valor delavelocidad del punto A, c)elcentroinstantaneodevelocidades, d) lavelocidad delcentro deldiscoSOLUCI6NTomamos el origen de la referencia fijaen el punto del plano horizontal quecoincide con el punto Bde contacto del discocon el plano.yVA~ - - - - = : : : : : : . . ~ . = = : : = - - xEscribamos la velocidad del punto Ben funci6n de Ia velocidad del puntoA----lo (.[2) ( .[2 )VIJ = VA +tIl 1\ AB:: - tIlR 1 + T J + -VA +tIlR T JCinematica del solido rigidoLa velocidad de B solo tieneo componente j, luego de su expresion se tieneque181VB ~ -17,7 i MS"EI centroinstantimeo de velocidades C se determina trazando perpendiculares 0 los velocidades de lospuntos A YB. Sus coordenadas sonC ( 0, 0,6828 )El modulo de10 velocidad del punto G es el mismo queel de la velocidad del punto A, yo queestan 010 misma distancia del centro instantimeo de velocidades, y la velocidad deG ha deser perpendicular01 segmento CG, luego su expresion etVo= -7,07 i182PROBLEMA 4-8Fisica IUn cilindro de radio R=1,5 m rueda sin deslizar sobre un plano horizontal. La aceleracion aG delcentrodel discoes constanteaG =3 ms? y en elinstante inicial su velocidad angular es nula. De-terminar en el instante t =1 s: a) la velocidad del punto G, b) la velocidad angular del cilindro, c)la aceleracionangular del cilindro, d)lavelocidad delospuntos AyB, e)laaceleraci6n delospuntosA, Bye .ASOLUCI6NVelocldad del punto G.El origen de la referencia fija 10 tomamos en el punto del plano que coincidecon elpuntoC, puntodecontactodelcilindro conel plano,losejestalcomo seindica en1afiguraadjunta.La trayectoria del punto G es rectilinea y su movimiento uniformemente acelerado, Aplicando los re-sultados de lacinematicadel puntoyteniendoen cuentalas condiciones iniciales, 1a velocidadCinernatica del solido rigidoinstantanea del puntoG esVo= 3 t 1 = 31 ms"183El ciliodro ruedasio deslizar, luego la velocidaddel puntode contactoC del ciliodrocon el planoesnula, es decir que el punto C es el centro instantaneo de velocidades. EI puntoC10tomaremos comopolo del movimiento.Velocldad angular. La velocidad del punto G respecto de C esta dada por---->Va =m1\ CG= - 'OJ3 R IIgualando ambas expresiones de Vose tiene m = _ 2 t k= - 2 k rads'Aeeleraclonangular. Laaceleracionangular esladerivada respectodel tiempo delavelocidadangulara=-2krads'Veloeidad de los puntos A y B. Sus velocidades estan dadas por las expresiones---->VA =mACA=2.12t(i + j) =2.12(1 + j) ms?-->v. = mACB=6/1 =61 ms"Aceleracien de los puntos A Bye. Sus aceleraciones estan dadas por las expresiones--> -->3 A~ 3G +a A GA - m' GA= 9 I + 3j----> ---->3. = aG +a A GB - m'GB=6(I - j)----> ---->3c =3G +a A GC- m'GC=6j184PROBLEMA 4-9Fisica IUndiscoderadior quedisponedeunresaltecircular deradiororuedasindeslizar sobre unaplancha quesedesplazasobreuna superficie horizontal convelocidadVo constantehacia laiz-quierda. En el resalte hay enroUadoun cableinestensible cuyo extremose mueve conuna veloci-dadv horizontal constante baciala derecha. Determinar: a)la velocidad angular dela polea , b)la velocidad del centro de la polea c) el centro instantaneo de rotaci6nSOLUCI6NVelocidad angular del disco. Lavelocidad del punta Adela polea esla mismaquela del extremodel cable, y la velocidad relativa del punto B es cero. La posicion del punto A es--+ --+ --+ ----+OA:; 00. + O.B+BADerivando respecto del tiernpo queda---+v=vi =v0+ m /\BA :; - Vo i - to3 (r +ro )Ide donde( vo+v )m =to, k= ---- kr + roVelocidad de G. Aplicando Ia ecuaci6n de la velocidad atpunta Gse tiene---+ (rv - ro vo)VG =Vo +to/\ BG =r +roCentro instantaneo develoc:idades. El centro instantaneo es un punto de velocidad nula, luegode laecuaci6n de la velocidad se tiene 0 = -Voi +Q) BC i . La posici6n de Cqueda definida por el seg-mento- (vo)BC = -- (r+ro)Vo + vCinematica del solido rigido 185PROBLEMA 4-10EI disco E de la figuragira en sentido horario con una velocidadangular constante de 20 rad / s.En el instanterepresentado, determinar : a) la velocidad angular dela harra h) Jaaceleraci6n delpunto B de la barra en contacto con la deslizaderac) la aceleraci6n angular de la harraI 611 mm I~< - --- - --- ----- ---- ---- ~mmSOLUCI6NLas referencias fija y m6vil se toman tal como se muestra en la figuraadjunta. La referencia de la ba-rra coincide con la m6vil en el instante considerado. La velocidad del extremo de la barra es igual a ladel punto de la periferia del discocoincidente con el, luego su valor es VA = 3,64 ms" . Su acelera-cion es la correspondiente a un movimiento circular uniforme, es decir, aA= 72,8 rs",IIIfI//-,,\\\\,AI!e '( ~ " ~ _ ~ _ ~ _ ~ J ~ ~ __~ ~ ~ _____-:::::::1.."."""'.:= B " 01 ,\\ a\ II.," S- - - - ' Q - - - - -Velocidad angular de la barra. Derivando la ecuacion~ ~ ~ ~r.4 =OA= 001 + OIA = 00. + rlrespecto del tiempo se tiene186 Fisica Isiendo v.. la velocidad relativa de la barra,Ol la velocidad angular deambas, Y1D1\ r, la velocidaddearrastre. Expresando lasIresvelocidades de (I) enla base movil e identificando elcoeficiente enambos terminos se tiene1D,=-VA sene = - 1,59 rd s'"(2)Aceleracion del pnnto B. Aplicando Ia ecuacion (3-43) aI punto B queda queel valor desuacelera-cion expresada en la base movil es(3)La relacion entre la aceleracion de B y la aceleracion de A eslAdada por Ia ecuacion (3-44)(4)Expresando las aceleraciones del segundo termino de la ecuacion (4)en Ia base movil e identifieandocon Ia (3) los coeficientes de e, se tieneD,. = - Q,,4 sen e +wi r. = - 18,47 ms ?(5)La aceleracion de B en la refereneia movil es a.= -18,47 e, - 11,13 e, . Aplicando Ia rnatriz del cam-bio de base, Ia aceleracion de B en Ia referencia fija esa. =- 14,70 i - 15,80JAceleracion angular. Identificando loscoeficientes de e, enlre (3) y (4)se tiene Ia aceleracion angu-lar-a,,4 cos a- 2m] v ~="- 93,2rds?(6)Cinematica del s6lido rigidoPROBLEMA 4-11187La barrade la figuragira convelocidad angular0) y aceleraci6n angular aconstantes ensantidoantihorario pasando por la deslizadera Dla cual estaunida a unbloque E que se desplaza por laranura vertical. Determinar.a)lavelocidad y la aceleraci6n de Ia deslizaderab)lavelocidad ylaaceleracion re1ativas de la deslizaderaSOLUCI6NEl movimiento dela deslizadera es el mismo queel delbloque E al cual estaunida mediante un eje.El bloque solo puede desplazarse a 10 largodel eje y,por 10 quesu velocidad y aceleraci6n solotie-nen componente j.E1origen de 1areferencia fija y m6vilse toman en el centrode rotaci6n de la barratal como se indicaen la figura adjunta.~ --+E1 vector posicion delpunto Denambas referencias coincide, 1uego OD = OlD =r , Derivandosetiene la velocidad188y derivando de nuevo, la aceleracionaD=a, +al\r+till\(tDl\r)+2till\v,siendo v, y a, la velocidad y la aceleracion relativas de la deslizadera.Fisica IVelocidad deD. La velocidad de Den la referencia m6vi1 es vD=v, e, +III r e, =v, i + v, j. Me-diante la matriz del cambio de base se detenninan sus componentes en la referencia fija[V, ] =[ cos a -sena VI ]v, sena cos a tiJr=[VI cos a - tiJrsena ]vlsena+ mr cos aLa componente de la velocidad seguni es nula, luego v, =V,cos Il - III r sen B=0, de donde se tienela velocidad relativaV, =---.!!!.LsenBcos' IlSustituyendo su valor en la expresion de la componente j queda para la velocidad de DLtDVD= --jcos'Il(I)(2)Ateleracion deD.La aceleraci6n se puedeobtener utilizando el mismoprocedimiento, es decir, ex-presando la aceleraei6n en la referencia movil, determinando lascomponentes en la referencia fijaeigualando a cero la componentex. Peroen este caso, unasimple derivacien de la ecuaciones (I) y (2)respecto del tiempo proporciona el resultado. La aceleraci6n relativa es0,=.J...,;ltD'+(a+2tD'tagll)tagll)cos"y la aceleracion esta dada poraD = L,n(a+2tD'tagll)jcos '0Capitulo5 Fundamentos de la mecanlca5.1 IntruducclenLa Mecanica estudia las interacciones entre los cuerpos materiales, fonnulandolas leyesgenerales que rigensu estadode equilibrio0de movimiento. En los capitulos precedentes,es han deducido las leyesque describenel movimientodela particulay dels6lido rigido,definido como un conjunto de puntos del espacio que mantienen fijas sus distancias relativasdurante el movimiento. En la Cinematica, paraestablecerlas leyes del movimientose hanutilizado unicamente dos magnitudesfisicas, el espacio y el tiempo. Ahora bien, el modelogeometricodel movimientode loscuerposenel espaciovaciodebedesermodificadocuando los resultadosobtenidosse quieren aplicara la descripci6ndel movimientodeloscuerpos en el espaci6 fisico, por una parte, dotando de naturaleza material al s6lido rigido yde om, considerando el espacio euclideo como el sustrato matematicodel espacio fisico enel cual tienen lugar todos los fen6menos observados.La magnitud fisica masa define el contenido material de los cuerpos, los cuales evolucio-nan en el seno del espacio fisico interaccionando entre si. La magnitud fisica que expresa lamedida cuantitativa de la interacci6n mecanica de los cuerpos se denomina fuerza. EI estu-dio de los cuerpos en movimientobajola acci6nde las fuerzas que acniansobreenosco-rresponde a la Dindmica.Los cuerpos estan constituidos porun conjunto de puntos materiales 0particulas, enten-diendo la particula como una cantidad de materia que ocupa un punto en el espacio prescin-diendo de su forma y dimensiones. Recordemosque esta simplificaci6n permiteprescindirde los movimientos internos del cuerpo, tal como se indic6 en la Cinematica. Por definici6n,las posiciones relativas de las particulasque forman un s6lido rigido se mantieneninaltera-das durante eI movimiento. La condici6n de rigidez es una idealizaci6n del comportamientode los cuerpos reales, los cuales siempre sufren una cierta deforrnaci6n bajo la acci6n de lasfuerzas que actuan sobre enos. EI estudiode las defonnaciones de los s61idos constituyeelobjetivo de la teoria de la elasticidad.Las condiciones generalesde equilibrio de los cuerpos dependen de su estado, segun seas6lido, liquido0gaseoso. EI equilibrio de liquidos y gases es el objeto de estudio de la.esta-tica de fluidos. En 10que sigue, se entendera que la esttitica comprende unicamente el estu-diodel equilibriodeloscuerpossolidos. Todos loscuerposs6lidos sedeforrnanmas0menos al estar sometidos a la acci6n de fuerzas exteriores. La intensidad de la defonnaci6ndepende de la naturaleza del materialdel s6lido, de su forma geometrica, de sus dimensio-nes y de la manera de aplicar los esfuerzos. En condiciones nonnales de trabajo, las192 Fisica Idefonnaciones de loss61idos producidas porlasfuerzas queactuan sobre ellos tienen valo-resmuypequefios, yenconsecuencia, para establecer lascondicionesgeneralesdeequili-brio de los s6lidos es admisible prescindir de las defonnaciones y considerar quelos solidosse comportan como si fueranindeformables. De est! forma, loss61idos queconsideraremosenla estaticase comportancomos6lidos rigidos, alos que denominares genericamentecomocuerpos.5.2 Masa y densidadTodos los cuerpos materiales estanformados por un agregado de atomos0 molecules queocupa un cierto volumen del espacio.Se enuncia ahora como axioma, la posibilidad de ha-cer corresponder a todo sistema material un ruimero positivo denominade.masa del sistema,con la propiedad de quela masa deun cuerpo es la suma de las masa de sus partes constitu-yentes. La definicion operativa demasa asicomo su unidad en elS.1., el kilogramo (kg), sedara ene1 apartado 5.5.Densidmr La masa de los cuerpos se considera que est! distribuida deuna manera conti-nua en la zona del espacio ocupada porel cuerpo. Deesta forma, cada elemento de espaciotieneasociada una cantidad de masa diferencial dm; el cociente entre la masa y el elementode espacio define la densidad del cuerpo.Ladistribuci6ndemasa enel espacio puede ser lineal, superficial 0cubica. Loss6lidosrigidos cuya distribucion de masa es tal quela seccion transversal es despreciable frente a lalongitud, se definen como cuerpos lineales0lineas, figura5-1;los s6lidos rigidos cuya dis-tribuci6ndemasa estal queel grosor esdespreciablefrenteael areadelasuperficiequeocupan, se definen como cuerpos superficiales0areas, figura 5-2 y los solidos rigidos cuyadistribuci6n demasa estal quelastresdimensionessondel mismoorden demagnitud, sedefinen como cuerpos voluminicos 0 volumenes, figura5-3.Fig. 5-1:Fig. 5-2zFig. 5-3Fundamentos de la mecanica 193Las densidades lineal, superficial y cubica estandefinidas respectivamente por lassiguien-tes expresionesA. = dmdLp= dmdV(5-1)La masatotal eslasuma(integral) delosdiferenciales demasaasociada a cadaunodelos puntosde la zona del espacio ocupado por el cuerpo, cuyo valor esta dado porm= I A.dL m=Is adSmI p dV(5-2)donde los operadores IL ,Isy [; son las integrales simple, doble y triple extendidas a todoslos puntosde la linea L,la superficie S yel volumen Vrespectivamente.Si loscuerpos sonhomogeneos, lasdensidades tienenvalores constantes en todoslos puntos y enestecaso, simes la masa del cuerpo, las densidades estan dadas porA. = Il! kg m-ILa=m kgrn?Sp =Il! kg m?V(5-3)En10 que sigue se consideraran unicamente cuerpos homogeneos lineales, superficiales 0cubicos, para los cuales sus respectivas densidades son constantes.5.3 Concepto de fuerzaLafuerzaesla magnitud fisicaque midela intensidad dela interacciondeloscuerpos.Por el momento sera suficiente dar una nocionintuitiva de fuerza derivada de la experienciadiaria, la cual nos indica que la accion de una fuerza sobre un cuerpo se caracteriza por :I) la intensidad0modulo de lafuerza2) la direcciony sentido de lafuerza3) el punto de aplicacionde lafuerza.Ademasdeel modulo, ladireccion yelsentido, quesonloselementos caracteristicos de194 Fisica Iuna vector, la experiencia demuestra quelas fuerzas satisfacen la ley de la suma de vectores,luegola fuerzaes una magnitud fisica vectorial y la representaremos de unamanera generi-ca por medio del vector F y su modulo por F. La recta definida por el punta de aplicacion dela fuerza y la direcci6n delvector F,se denomina rectade accion0recta soporte de la fuer-za. Tambien, la experiencia indica que la acci6n de una fuerzasobre un cuerpo no se modifi-ca si est! se desplaza a 10 largo de su recta de soporte, 10 queconfiere a lafuerza el caracterdevector deslizante. Cuandosobreunmismocuerpo actuanvariasfuerzas, figura5-4, eleonjunto de fuerzas se denomina sistema defuerzas.zoyFig. 5-4Las fuerzas puedenser puntua/es0 repartidas. Por definici6n, lafuerza queaetna sobreunaparticula es unafuerza puntua/. Tambien, una fuerza aplicada enun punta determinadode un cuerpo se denomina concentrada0 puntual. La noci6n de fuerzaconcentrada 0 fuerzapuntuales convencional, ya queenIa practica esimposible aplicar unafuerza auncuerpoenunsolopunto. Enrealidad, cualquier fuerza puntual queconsideremos, sera siemprelaresultantedeunciertosistema defuerzas repartidasenunaareamuy pequefia del cuerpo.Lasfuerzas queactuan sobre todos lospuntos delvolumen deun~ u e r p o dado, 0 sobre lospuntos de una parte 0del total de su superficie, se denominan fuerzas repartidas.Para efeetuar la determinaci6n estatica de la intensidad de una fuerza, se utiliza un apara-to llamado dinamometro que, previamente calibrado, proporeiona el valor numerico deunafuerzadeterminada.Enel81 launidad defuerza, esunaunidad derivada, quesedenominanewton(N). Unaunidadpracticeampliamenteutilizada enlatecnologia esel ki/ogramo-juerza, existiendo entre ambas unidades la relaci6n 1 kg =9,81 N.Fundamentos de la rnecanica5.4 Leyes de Newton de la mecanlca195Los principios fundamentales de la mecanica estan formulados en las tres leyes de New-ton, que describen tanto el estado de reposo0de movimiento de una particula sometida a laacci6n de fuerzasdebidas a lainteracci6n con loscuerpos de su entomo, como el hecho dequelasfuerzas aparecen siempre a pares. Aunque elcontenido de laestatica se puedefor-mular utilizando imicamente laprimera ylatercera delasleyes, seenuncian ahora el con-junto de las tresleyes, dejando para la Dinamica de la particula el desarrollo del importanteconcepto de la inercia de los cuerpos que constituye el contenido flsicode la segunda ley deNewton, asicomo su aplicaci6n al calculo de lastrayectorias de las particulas en el espacioflsico.La Prlmera ley deNewton se refiere al estado dereposo0movimiento uniformedeunaparticula, y puedeser enunciada delasiguiente manera: si la resultante de las fuerzas queactuan sobre unaparticula es nula, esta mantendra su estado inicial de reposo 0de movi-mientouniforme.Ensu aplicaci6n a laestatica,seconsidera unicamente elcaso enquela particulase en-cuentre inicialmente en reposo en la referencia seleccionada.La Segunda ley de Newton establece la relaci6n que existe entre la fuerza que aetna sobreuna particula ysu aceleraci6n enunciando que: si la resultante F de las fuerzas que actuansobre unaparticula es no nula, esta tiene una aceleracion a tal que lafuerza y la acelera-cionson vectoresproporcionales. La primera ley es un caso particular de la segunda que co-rresponde al caso en que lafuerzaF es nula y que por tanto define el concepto de equilibriode una particula.La fuerzarepresenta la acci6n deun cuerpo sobre otro y puede ser ejercida, bien por con-tacto flsico entre losdos cuerpos0bien a distancia, comopor ejemplo en el caso de la fuer-za atractiva quela Tierra ejercesobreloscuerpossituados ensus proximidades. La noci6nintuitiva de fuerzaderiva delhecho de observar quecuando un cuerpo ejerce unafuerza so-breotrocuerpo, alacual denominamos accion, esteasuvez ejercesobreelprimero unafuerzade sentido opuesto a la que se denomina reaccion, La reacci6n es precisamente 10queproporciona contenido a la acci6n, ya que sin su presencia la acci6n deja de existir.LaTercera ley de Newton establece la relaci6n entre lasfuerzas deacci6n yde reacci6nqueseejercen doscuerpos encontacto, yse puede enunciar como: las fuerzas de accionyde reaccion que se ejercenentre si dos cuerpos en contacto, tienen el mismomodulo, la mis-rna rectade acciony sentidos opuestos.La ley de la igualdad de la acci6n y de la reacci6n es una de las leyes fundamentales de lamecanica, Estaley establece quesi F esla fuerza queun cuerpoIejerce sobre un cuerpo 2,la fuerzaque el 2 ejerce sobreel cuerpoIes igual a - F, ambas sobre la misma recta sopor-te. Hayque observar quelasfuerzas de acci6n-reacci6n nose cancelan entre si ya quecadauna de ellasesta aplicada a un cuerpo distinto.196 Fisica I5.5 Ley de la atracclon universal: peso de un cuerpoNewton extendio la leyintuitiva de la accion-reaccion entreloscuerpos en contacto, a lainteraccion quese ejercen entre sf dosparticulas de masas My m separadas una distancia r,formulando la ley de la atraccion universal que establece que: dos particulas de masas Mym, separadas una distancia r se ejercenfuerzas atractivas del mismo moduloyde sentidosopuestos, figura 5-5. 1valor dela fuerzaesta dado poro en formavectorialF=_GMmrr3(54)dondeG esla constante deatracci6n universal, cuyovalor esG =6,67.10-11m3/ kg S2,Larecta soporte de las fuerzas atractivas entredos particulas, es la recta definida porsus puntosposicion, en los cuales est! aplicada cada una de las fuerzas .IIIFig. 5-5Comoveremos enlaDinamica,se puede demostrar quela ecuacion (5-4)tambien dalafuerzaque una distribucion demasa consimetria esferica de radio R ymasa total Mejercesobre un cuerpo de masa m, situado a una distancia r del centro mayor que R. En consecuen-cia, una distribucion esferica de masa se comporta., a los efectos de ejercer fuerza, como unaparticula de masa Msituada en el centro de la esfera. Est! situacion corresponde, por ejem-plo, a la fuerza atractiva que la masa M de la Tierra ejerce sobre un cuerpo de masa m, situa-do en. 0 masalladelasuperficie terrestre.Para estos casos, lafuerzasedenomina fuerzagravitacional y de formagenerica, la ley tambien se conoce con el nombre de ley de la gra-vitacion. En el segundo termino de la ecuacion vectorial (5-4) se designa comog a todos losterminos excepto la masa m del cuerpo, es decir(5-5)Fundamentos de la mecanica 197La magnitud g es la intensidad de la fuerza gravitacional es decir, la fuerzaquese ejercesobre la unidad de masa m y sus unidades son (N/kg).EI vector g esta dirigido hacia el cen-tro de la Tierra y su modulo dado porGMg =r'(5-6)decrece conelcuadrado de la distancia al centro dela Tierra. A partir dela ecuacion (5-4)puedecalcularse la fnerzaque la Tierra ejerce sobreun cuerpo de masa m situado a una dis-tanciarde su centro igual 0mayor queel radiomedio terrestre cuyo valor es R =6370km,sustituyendo Mporla masa dela tierra M=5, 97 10" kg Yr porel valor desudistancia alcentro.Pesode un euerpo. Cuando la masa m estaunida a un soporte, de tal manera queel con-junto se encuentra en reposo respecto de la Tierra, el cuerpo ejerce sobre el soporte la mis-rna fuerzaque la Tierra ejerce sobrelSI. A la fuerzaque el cuerpo ejerce sobreel soporte, sele denomina peso delcuerpo y se Ie designa como P. La expresion del peso Pde un cuerpode masa mala distancia r del centro de la Tierra esP= mg o en forma vectorial P = mg (5-7)Para una particula, el punta de aplicacion del peso P es el punto del espacio en el que estasituada la particula y para un cuerpo extenso, el punta de aplicacion de P es un punto deles-pacio caracteristico de cada cuerpo que se llama centro de gravedad del cuerpo.En la ecuacion (5-6) haciendo r =R y sustituyendo valores, se tieneel valor de g en la su-perficie terrestrees 9,81N/kg. En elSI el peso deun cuerpo se mide en newtons, peroco-munmente el peso se expresa en kg, entendido ahora el kg como unidad de fuerza.Estableciendo una relacion deequivalencia entre el kilofuerzayel newton, talque9,81Nsean igual a un kg, de la ecuacion (5-7) se deduce que la masa y el peso de un cuerpo en kgestan dados por el mismo numero,EI concepto de inercia(masa),se analizara en detalle en la Dinamica de la particula, sien-do suficiente por ahora decir que la masa asociada al peso de un cuerpo es un coeficiente ca-racteristico de cada cuerpo que determina la intensidad de su interacci6n gravitacional y quese denomina masa gravitatoria. Para una definicion operativa de masa gravitatoria se utilizauna balanza de brazos iguales soportada por su centro. Dos cuerpos tienen igual masa cuan-do, colocando un cuerpo en cada platillo de la balanza esta mantiene su posicion horizontal,es decir, esta en equilibrio. Experimentalmente se puede comprobar que el estado de equili-briodeunabalanza nosemodifica al trasladar labalanza deunpuntaaotrodelatierra,198 Fisica Iluego 1a igualdad de masas gravitotrias de dos cuerpos es independiente dellugar enqueseproceda a su determinacion. A la masagravitatoria de un cuerpo se Ie designa simplementecomola masadel cuerpo. Enel S.1. de unidades, la unidad de masaes el kilo(kg), queco-rresponde a la masa de un bloque cilindrico de platino conservado en la Oficina Internacio-nal dePesos yMedidasenSevres. Lamasa, junto conel espacio yel tiempo formanelconjuntode magnitudesfisicas fundamentalesdelaMecanica. Todaslasotras magnitudesfisicasutilizadas en la mecanica derivan de estastres magnitudes fundamentales, y sus uni-dades se expresan en funcionde las unidades de la masa, el espacio y el tiempo.5.6 Centro de gravedad de solidosEI vector gdefinido porlaecuacion(5-5) midelaintensidad delafuerzagravitacionalcon que la Tierra atraea una masa puntiforme situada a una distancia r de su centro. Un so-lidorigidoesta constituido por unconjunto continuo deinfinitas "particulas"de masa dm,cada una de ellasasociada a un elemento de volumen de la distribucion espacial de la masadel cuerpo. De estamanera, la fuerzaquela Tierra ejercesobrecadaelemento de masadelcuerpo esta dada pordP = gdm(5-8)Paracuerpos depequeilasdimensiones, el valor deg nocambiadeunpuntoaotrodelcuerpoy el conjunto defuerzasdP sobre cadaunode los elementos de masa dm del solidoforma un sistema de vectores paralelos. La resultante de estesistema de fuerzasparalelas esel peso P cuerpoP=gI""dm=mgEI centro G del sistema de vectores paralelos esta defmido por la expresion(5-9)---+OG =ISo! rdmm(5-10)donderes el vector posicion del elemento de masa dm. El extremo del vector oG defineelpunto G, denominado centrodegravedaddel solido de coordenadas G(X, y, z). LasFundamentos de la mecanica 199expresionesanaliticas de los correspondientes centros de gravedad enfunci6nde lasdensi-dades definidas por las ecuaciones 5-1, son:(5-11) mr p rdVJv

OG = r ardSOG=..:.!Js"---__m mr 'A.rdLJL

OG= --=-----Enlasfiguras 5-6; 5-7y5-8semuestran, enunarepresentaci6ngrafica, loscentrosdegravedad de cuerpos cuya masa esta repartida sabre una linea, 0sobre una superficie0sabreun volumen.Fig. 5-6 Fig. 5-6 Fig. 5-7En el caso mas cormin de solidos uniformes, lasdensidades son constantes y las ecuacio-nes (5-11) cambian a(5-12)r rdVJvV

OG ::::;.:..:...._- r rdSOGSr r dLJLL

OG= --=-----dondeL, S yV sonrespectivamentelalongitud, lasuperficie y el volumendel solido. Elcentro de gravedad G definido par las ecuaciones (5-12) esW1 punta del espacio que puede200 Fisica Ipertenecer 0 no al solido rigido, independiente de la elecci6n del sistema de referencia selec-cionadopara fijarla posicion delos puntos del cuerpo, y ponen de manifiesto la naturalezageometrica del centro de gravedad de solidos uniformes, cuando el vector g es el mismo entodos los puntosdel cuerpo.Lineas y superficies planas. Paralineas ysuperficies planas situadas enel plano x, y,elvector posicion r de las dos primeras ecuaciones (5-12) es r =x I +Y j y las coordenadas delos centros de gravedad de estos cuerpos se obtienen de las siguientes ecuacionesst. = I xdLxS=IsxdSyL= IydLyS= IsydS(5-13)(5-14)A las integrales Is x dS, Is ydSse les denomina momentos de primer orden de la superfi-cie S, respecto del ejey y respecto del eje x respectivamente.Unalinea0 unasuperficie essimetrica respecto de un ejesi a cada punto P de la linea0de la superficie Ie corresponde otro punto P' de la misma linea0superficie, talqueelseg-mento PP'sea perpendicular al eje, y este 10dividaen dos partes iguales. Cuando unalineao una superficie posee uneje de simetria, el centro de gravedad debede estar situado sobredicho eje. En efecto, si se hacecoincidir el eje y con el ejede simetrla de la figura, la coor-denadadel centro de gravedad es cero,ya quea los productos x dL y x dS en lasintegralesdelasdosprimerasecuacionesde(5-13)y(5-14), lescorrespondeotroigual ydesignocontrario.En consecuencia, si una linea0una superficie posee dos ejes de simetrla, el centro de gra-vedad de la linea0de la superficie esta situado en el punto interseccion de dichos ejes. Estapropiedad permitedeterminar inmediatamenteloscentrosdegravedad decircunferencias,perimetros rectangulares, etc, as! como de circulos, elipses, superficies rectangulares0cual-quier otra figura simetrica,Una linea0una superficie es simetrica respecto de un centro 0, si a cada punto P de la li-nea0de la superficie Ie corresponde otro punto P' de la misma figuna tal que el punto 0es .el centro del segmento PP'.EI centro de simetrla 0es el centro de gravedad de la figura yaque a cada producto r dL0r dS que aparece en las dos primeras integrales (5-12), Ie corres-ponde otro igual y de signo contrario. Cuando una figura tiene centro de simetrla, no necesa-riamente tiene un eje de simetrla; pero si una figuna tierte dos ejes de simetrlaperpendiculares, su punto deinterseccion esuncentrodesimetrla y por tanto elcentro degravedad.Superficies arbitrarias. Cuando se trata de determinar el centro de gravedad de una super-ficie arbitraria, esta puede dividirse en triangulos, rectangulos u otrasformasusuales. Si lafigura tiene un agujero, su area se cuenta negativa, figura 5-8.Fundamentos de la mecanica:201Fig. 5-8Lascoordenadasdeloscentros degravedad de cada unadelasfigurasenlasquesehadescompuesto lasuperficie original, tienen signa positivo0negativo enla referencia elegi-da. El centrode gravedad de lafiguracompuesta se obtiene determinando el centro de gra-vedad den particulas correspondientes alasndivisiones, cuyas posiciones sonconocidas.Las ecuaciones (514) cambian a(5-15)De una formasimilar se procede para determinar el centro de gravedad de unalinea com-puesta, dividiendolalineaenelementosmas sencillos. Cuandoel perfil de lasuperficiecuyocentrode gravedad se quiere determinar esta formado por curvas analiticas que no per-miten la division segun figuras conocidas, es necesario calcular las integrales delas ecuacio-nes (5-14) expresandoel elementode area por dS= dx dy enel casode coordenadasrectangulares y por dS =r dr dBen coordenadas polares, con10 cual estas son integrales do-bles. Sinembargo, enmuchoscasoses posibledeterminarlas coordenadasdel centrodegravedadmediante unaintegraoion sencilla, 10 quese consigue tomando elementos deareaen cuya expresi6n aparezca unicamente e1 diferencial de una de las variables.5.7 Teoremas de Pappus-GuldinLos teoremas de Pappus-Guldin relacionan lassuperficies y los volumenes derevolucionconlascoordenadasdelos centros degravedad delas lineas ysuperficiesquelosengen-dran. Una superficiederevoluciones laengendradaporla rotaci6nde una curvaplana202 Fisica Irespecto deunejefijoyun volumen de revolucion eselengendrado por larotacion deunasuperficie plana respecto deunejefijo. Los ejes fijos notienen quecortar alalinea0alasuperficie.Teorema 1" El area de una superficiede revolucion es igual al produeto deLa longitudde la curvageneratriz por la distancia reeorrida por el centrode gravedadde La lineaen sumovimiento al generar La superficie.En efecto, consideremos unelemento dearco dL dela linea L dela figura 5-9a), la eualda una vuelta completa alrededor deleje x. Teniendo en cuenta el valor delelemento deareadAasociadaal elementodelinea dl;el areadelasuperficie engendradaporlalinea Lalefectuaruna rotacioncompletarespeetodel ejexest! dadaparSx = 21t r y dL. AnA-logamente, la superficie engendrada haciendo girar latinea Lunavuelta completa respectodel eje yest! dada por S, =21t I x dL. Despejandolasintegrales ysustituyendolas enlasecuaciones (5-13) se tiene)y dLzFig. 5-9b )(5-16)Cuandoseconocen lasareas delassuperficies S, YS, engendradas por larotaciondelalinea Len tomo al eje xyaleje yrespectivamente, lasecuaciones (5-16) proporcionan lascoordenadas del centro de gravedad de la linea L.Teorema 2ft,El volumen de un cuerpo de revolucion es igual al producto del area de lasuperficie generatriz multiplicada por la distancia recorrida por el centro de gravedaddelareaen su movimiento al generar el volumen.Fundamentos de la mecanica 203En efecto, consideremos un elemento de areadS de lasuperficie S de lafigura5-9b), lacual da una vuelta completa alrededor del eje x, Teniendo en cuenta el valor del elemento devolumen dV engendrada por dA, el volumendel cuerpo engendrado por lasuperficie Salefectuar una rotaci6n completa respecto del eje x es v;,21tt ydA. De una manera analoga,el volumen engendrado por la rotaci6n completa de la superficie S respecto del eje yesV, 21t f, x dA' Despejando las integrales y sustituyendolas en las ecuaciones (5-14) se tiene(5-17)Cuandose conocen losvolumenes derevoluci6nv;, yv" engendrados por lasuperficie Sal girarentornoal ejexyenlornoal eje y respectivamente, las ecuaciones(5-17)pro-porcionan las coordenadas del centro de gravedad de la superficie S.Cuando noesposible utilizar el2 teorema dePappus-Guldin para determinar elcentrodegravedad deunvolumenlimitado por superficiesanaliticas, estedebedesercalculadopor medio de las ecuacionesz V Iv zdVdondeel elemento devolumen esta dado pordV dx dy dz y lasintegrales sontriples. Sinembargo, es posible simplificar el calculo de lasintegrales si la geometria del volumen per-mitesu partici6n envolumenes diferenciales extensos dVddetalmanera quelascoordena-das desucentrode gravedadseanconocidas. Seobtienenlas coordenadasdel centrodegravedad del volumen por las ecuacionesConesteprocedimientoseconsiguereducir las integralestriples aintegralesdobles 0sencillas.204Fisica ITabla 5-1 Centros de gravedad de cuerposAfClO deg n:unf rcc-v)' r-'- - -t-- _. - )Iulo+ __..&._.fyyx}'341'. 0r0:;:, .2hIs:01, detoOO~GY yxy O:;:'":r - - 0 :rh~Fundamentos de la mecanicaPROBLEMA5-1205Determinar las coordenadas del centro de gravedad de el a1ambre uniforme representado en la fi-gura adjunta. Las cotasse dan en metros.y: 1,5,,--rs--L- - - - - -, : I,S IxSOLUCl6NyG,,G, '-----f3/1l-t-----:-------: ------ -I I G3 ''", ': :, '3 ----i)..I(i,- 1,56-;.'-----A\0,86xLa longitud del segmento circular es L, =1,51t Yla longitud de L, =3,57. Las coordenadas de loscentros de gravedad de cada una de las partes del alambre son: G, ( 5,56 , 0,86 )Ulilizando las ecuaciones 5- I 5 se lieneque las coordenadas del centro de gravedad del alambre estandadas pormix, + m2x2 +m3x3ml +m2 +m3y = mlY, + mlYz+m3Y3m, + m2+m3siendo m, =A. L, , m, =A. L" m, =A. L, las masasde cada uno de los trozosdel alambre. Suslitu-yendo valores se obliene.i = 2,75 y=1,88206PROBLEMA 5-2Determinar las coordenadas del centrode gravedad de la superficie limitada por la parabolay=2 ar y las rectas x =O. y =b.SOLUCI6NLa graficaadjunta a) es la de la superficie S cuyo centrode gravedad se qui ere detenninar.Fisica Ia )Se pueden utilizar lasecuaciones(5-14). Delafiguraa) sededucequeel areadelasuperficie estadada por la integralS= "'dS = r"xdy=4ar"x2dx=4ab3Jo Y Jo Jo 3Las coordenadas de Gse obtienen de las ecuaciones- r.[bi2ix S= Jo xdS. y S =faydSydondeel dSz>figura b), esta dado por dSz= (b - y ) dx = (b - 2 ax2 ) dx y el dSyestli dado pordSy =x dy . Sustituyendo los dSen las correspondientes integrales se tienex = 3 2 ~ 2 b3y = - ~ = ~lOa babFundamentos de la mecanicaPROBLEMA 5-3207Determinarel centro de gravedad del area trapezoidal de la figura adjunta a la eual se le ha elimi-nado un circulo. Las cotas se dan en em.SOLUCI6NEl area se compone de un triangulo mas un rectangulo mas un cireulo de area negativa.. Sus areasrespeetivas sonAl =2100, Az=8400 YA) =-90011: . Las coordenadas de sus respectivos centros degravedadson: 01(46.6,70) ; O2 (70,30) ; OJ (70,30)rUtilizando las ecuaciones(5-15) se tiene que las coordenadasdel centro de gravedad de la placa sonSustituyendo valores y operando quedax=63,6em y=41,0 em208PROBLEMA 5-4Fisica IUtilizar los teoremas de Pappus-Guldinpara determinar la superficie y el volwnen de un toro cir-cular cuya seccion tiene un radio r y su radio medio es h.A' i2rSOLUCIONLa superficie del toro se engendra cuando la circunferencia de radio r efecnia una vuelta completa al-rededor del eje A A'. El centro de gravedad de la circunferencia es su centro. Aplicando el 1D teoremade Pappus- Guldin se tiene(27tr) x(21th) = SPara determinar el volumen consideremos la seccion recta que es un circulo de radior cuyo centrodegravedad es el centro. Aplicando ahora e12 teorema de Pappus-Guldin se tieneCapitulo 6 Fuerzas yequilibrio6.1 IntroducctonLa estdtica es la parte de la mecanica que estudia las leyes de composicion de las fuerzasy lascondiciones deequilibrio deloscuerpos materiales. EI conceptode equilibrio deuncuerpo esta siempre referido con respecto a una referencia la cualse considera fija en el es-pacio. En este sentido el equilibrio de un cuerpo es absoluto. Practicamente se puede consi-derarcomoabsolutoel equilibriodeuncuerporespectodelatierra 0 respectodeotroscuerpos rigidamente unidos a ella.En el contesto general de la mecanica diremos que un cuerpo esta en equilibrio cuando suaceleracion es cero(a=0), es decir, cuando la fuerza que acnia sobre el es nula.La condi-cionde equilibrioimplicaqueelcuerpo puedeestarenreposo0 semueveconvelocidaduniforme respectode una referencia fija dada. Un cuerpo se encuentra en reposo respecto deuna referenciafijacuandosu velocidad en dichareferencia esceropero, puede noencon-trarse en equilibrio. Por ejemplo, si se lanza un objeto verticalmente hacia arriba,este se en-cuentra tnstanuineamente en reposo cuando alcanza su altura maxima (posicion en la que suvelocidad es cero), pero no esta en equilibrio ya que su aceleracion en dicha posicion no esnula. Reciprocamente, un cuerpo puede estar en equilibrio y no estar en reposo.La situacionmas comun es que un cuerpo se encuentre simultaneamente en equilibrio y en reposo, por10 que en ellenguaje corriente, ambos conceptos son sinonimos y en este sentido se conside-rara en todo 10 que sigue la situacion de equilibrio de un cuerpo.Para queunsolidoseencuentreen equilibrio bajolaacciondeunsistemaarbitrario defuerzas, es necesario que el sistema cumpla las condiciones de equilibrio. Una condicion ne-cesaria (pero no suficiente) para el equilibrio de un cuerpo es que el sistema de fuerzasqueactuansobre el sea un sistema equilibrado, es decir, que la resultante del sistemasea nula.Establecer las leyes de composicion de las fuerzas y la determinacion de las condiciones deequilibrio constituyen los objetivos de la estatica, Los problemas de la estatica se pueden re-solver, bien porprocedimientosgraficos0 bienpormetodosanaliticos. Se emplean ambosmetodos, peroesnecesariopuntualizar quepararesolverunproblemaconcreto, lascons-trucciones geometricas tienen un importaote significado flsico,6.2 Principios de la estatlea : solido libreLa experiencia confirma que transportar el punto de aplicacion de una fuerza de un pun-/0a otro a 10 largode surecta soporte, no modifica la accion de la fuerza sobre el cuerpo.Esteresultadoconstituyeel principiodetransmisibilidad que ahoraseformula comouna210 Fisica Iley experimental, pero que puede ser deducido a partir de las leyes de la dinamica, La fuerzaF aplicada en un punta de su recta de acci6n y la fuerza F' =F aplicada a otro punta de lamisma recta de acci6n, producen el mismo efecto sobre un cuerpo y por tanto son mecanica-mente equivalentes.La experiencia tambien muestra que la acci6n de dos fuerzas FI YF, aplicadas en un mis-rna punta de un cuerpo no se modifica al ser sustituidas ambas fuerzas por una unica fuerzaF obtenida como suma vectorial de las dos fuerzas. La fuerza F se denomina la resultante delasfuerzasF, yF, . Dichoresultadoseconocecomolaregiadelparalelogramoparalasuma de dos fuerzas.Del principio de transmisibilidad y de la regia del paralelogramo se deduce que un cuerpose puede encontrar en equilibrio bajo la acci6n de dos fuerzas unicamente si estas tienen, lamisma recta soporte,la misma intensidad y sentidos opuestos.Las fuerzas F y -F defmenel sistema de fuerzas equilibrado mas simple. En consecuencia, un sistema de fuerzas equili-brado no tiene accitm alguna sobre un solido rigido y este se encuentra en equilibrio.Se define el momenta deun fuerzarespecto deun punto como el productode el modulode la fuerza por la distancia del punta a la linea de acci6n de la fuerza. Dos fuerzas parale-las, iguales en m6dulo y de sentidos opuestos perccon diferentes !ineas de acci6nse deno-minan par de fuerzas. Ladistanciaentrelaslineasdeacci6nse denominabrazodelpar.Este sistema no es un sistema equilibrado y la acci6n del par se mide por su momento, defi-nido por el producto del modulo de las fuerzas por la distancia que las separa. Para un siste-ma de fuerzas el momento resultante respecto de un punta es la suma de los momentos decada una de las fuerzas respecto de dicho punto.La condici6nnecesaria ysuficiente deequilibriodeunsolidoseestableceformulandoque el sistema de fuerzas que aetna sobre el solido sea un sistema equivalente acero, es de-cir, que la