Cinematica- Problemas Desarrollados

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PROBLEMAS RESUELTOS MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME 1. Un automóvil posee una velocidad de 72 Km/h , y avanza contra una pared tal como se indica en la figura.. ¿Después de cuántos segundos se encontrará a 40 m de dicha pared?. Solución s m H Km v 20 72 2. Dos ómnibus que viajan en sentidos contrarios y hacia el encuentro, lo hacen con velocidades de 11 Km/h y 33 Km/h . Cuando están separados 88 Km , del más lento sale volando un pájaro hacia el otro ómnibus a una velocidad de 88 Km/h respecto a tierra, cuando llega al otro tren , el pájaro emprende el retorno , y así hasta que éstos se encuentran. ¿Qué espacio recorrió dicho pájaro durante todo este tiempo?. Solución Donde .- t = tiempo “común” que el pájaro estuvo volando, el que a su vez coincide con el tiempo que emplearán los ómnibus en encontrarse. 2 1 v v d t ... Tiempo de encuentro de los ómnibus (1) y (2). h Km h Km Km t 33 11 88 h t 2 h x h Km e 2 88 Km e 176 v d t s s m m t 8 20 160 t v e T P . v t m 40 m 200 B C A h Km v 11 1 Km d 88 B A h Km v 33 2 h Km v T P 88

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PROBLEMAS RESUELTOS

MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME

1. Un automóvil posee una velocidad de 72 Km/h , y avanza contra una pared tal como se indica en la

figura.. ¿Después de cuántos segundos se encontrará a 40 m de dicha pared?. Solución

s

mH

Kmv 2072

2. Dos ómnibus que viajan en sentidos contrarios y hacia el encuentro, lo hacen con velocidades de

11 Km/h y 33 Km/h . Cuando están separados 88 Km , del más lento sale volando un pájaro hacia el otro ómnibus a una velocidad de 88 Km/h respecto a tierra, cuando llega al otro tren , el pájaro emprende el retorno , y así hasta que éstos se encuentran. ¿Qué espacio recorrió dicho pájaro durante todo este tiempo?.

Solución Donde .- t = tiempo “común” que el pájaro estuvo volando, el que a su vez coincide con el tiempo

que emplearán los ómnibus en encontrarse.

21 vv

dt ... Tiempo de encuentro de los ómnibus (1) y (2).

hKm

hKm

Kmt

3311

88 ht 2

hxh

Kme 288 Kme 176

v

dt

s

sm

mt 8

20

160

tveT

P .

v

t

m40

m200

B

CA

hKmv 111

Kmd 88 BA

hKmv 332h

KmvT

P 88

Page 2: Cinematica- Problemas Desarrollados

3. Un bañista se encuentra sobre la playa, percatándose que mar adentro se produjo una explosión . Reconoce que la diferencia de los tiempos de llegada de los sonidos por el agua y el aire es de 11 s. ¿A qué distancia del bañista se produjo la explosión, sabiendo que las velocidades del sonido en el aire y en el agua son de 340 m/s y 1440 m/s respectivamente?.

Solución

4. Un móvil que se desplaza con movimiento rectilíneo uniformemente desacelerado recorre 35 m en t

segundos de su movimiento, y en los siguientes t segundos 25 m .Si todo el movimiento dura 4t segundos , ¿qué espacio recorrió en los últimos t segundos antes de detenerse?.

Solución Analizando los valores numéricos de los espacios recorridos, éstos deberán satisfacer la

proporcionalidad de los números de Galileo , y en este caso, por tratarse de dos intervalos iguales “t” consecutivos, dichos valores numéricos serán dos números impares consecutivos.

5. Un automóvil parte del reposo acelerando uniformemente entre el 8

o y 9

o segundo recorriendo

25.5 m. Calcular su aceleración, en m/s2.

Solución

nav ..08 av .88

2

89 .2

. ta

tvv ; 2

.89

aav

2

.179

av

davv ..22

8

2

9 ; daaa

..2.84

.17 2

2

; daa ..2.4

256289 2

stt SMSA 11

Kmd 88 BA

SAv

SMv

Dato del problema:

sv

x

v

x

SNSA

11

t t t t

a

m35)7(5 25)5(5 15)3(5 5)1(5 mx 5

1440

1

340

1

11x x = 4896 m

9v8v

md 5.25

¿?a

Page 3: Cinematica- Problemas Desarrollados

dax42

33 ; )5.25(

33

8a a = 6.18 m/s

2

6. Un ómnibus ve por la carretera a razón de 16 m/s. Un hombre se encuentra a 60 m de la carretera,

y en cierto instante a 400 m del ómnibus . ¿En qué dirección indicada por debe recorrer el hombre a razón de 4 m/s para llegar a encontrarse justamente con el ómnibus , o antes que éste pase frente a él?.

Solución

Sen

t

Sen

t 416 Sen = 4 Sen = 4 (60/400) = 3/5

400

60Sen º37

5

31Sen

El hombre llega a la carretera siempre antes que el ómnibus : 37º < < 143º

7. Un tren demora 8 s en pasar frente a un alumno , y luego recorre integramente un túnel de 160 m de longitud en 48 s con velocidad constante . ¿Cuál es la longitud del tren?.

Solución

)8(. vTrendelLongdL 160 + dL = v ( 48 )

)48(8

160 LL

dd dL = 32 m

8. Un automóvil se acerca hacia una tapia a una velocidad constante de 10 m/s. Si en un determinado

instante el chofer del automóvil hace sonar la bocina, y al cabo de 10 s escucha el eco, calcular a qué distancia se encontraba el móvil cuando el chofer hizo sonar la bocina. Considerar que la velocidad del sonido es 340 m/s.

Solución

40060

A

t4

BE

t

t16

Sen

AE

Sen

CE

smv /16

A

Hv

BE

m400

m60

sm

vA 10

A Bd

x

st 10

Eco

Ldm160

Page 4: Cinematica- Problemas Desarrollados

dxdxxdS 2)( dS = 2 x – d … (1)

)10()340(. ss

mtvd SS dS = 3400 m ... (2)

De (1) y (2) :

34002 dx (3)

)10()10(. ss

mtvd A d = 100 m ... (4)

De (4) en (3) : dx 34002 , 2x = 3400 + 100

x = 3500/2 = 1750 m. MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE VARIADO

9. Un ciclista hace un recorrido de ida a razón de 20 Km/h ; pero de regreso, por el tránsito, lo hace a

razón de 5 Km/h. Si en los dos casos es el mismo tramo recorrido, calcular la velocidad media en todo el trayecto de ida y vuelta.

Solución

h

Kmvv

vvvm 8

205

5.20.2..2

21

21

10. Un móvil recorre los lados de un triángulo equilátero, si el primer tramo lo hace a 10 m/s, el

segundo a 20 m/s, y el tercero a 30 m/s. Calcular la velocidad media del movimiento. Solución 11. El gráfico representa el movimiento en una línea recta. Hallar el desplazamiento, y el espacio

recorrido por el móvil entre t = 0s y t = 10 s. Solución

mx

A 102

541 ; mxA 20542

mx

A 52

523

2121

21

21

11

22

vvv

d

v

d

d

tt

ddvm

L

sm

vvv

vm 3.16

10

1

20

1

30

1

3

111

3

321

A B

hKmv 201

hKmv 52

sm /30

sm /10

sm /20L

L

5

-5

4 8 t(s)

v(m/s)

O

10

Page 5: Cinematica- Problemas Desarrollados

Desplazamiento (o módulo del desplazamiento) : 321 AAAdT ; dT = 10 + 20 - 5

dT = 25 m Espacio recorrido : eT = 10 + 20 + 5 = 35 m 12. ¿Cuál es la aceleración para cada segmento de cada gráfica siguientes?. Describa el movimiento

del objeto durante el intervalo total del tiempo. Solución

2413

08s

mAa

83

)12(8Ba

24s

mBa

89

)12(4Ca

28s

mCa

0Da

13. Se muestra el gráfico x – t de un automóvil que se desplaza en línea recta. Hallar la velocidad

instantánea para t = 3. Solución

)1(2

)1(4 2avo

; avo.28 (1)

)4(2

)4(40 2avo

; avo .2.10 (2)

av

av

o

o

210

.28 vo = 2 m/s y a = 4 m/s

2

tavv of . ; vf = 2 + 4 (3) vf = 14 m/s

14. Se muestra el gráfico x – t de una partícula que se mueve en línea recta. Hallar la velocidad

para t = 8s. Solución

64)6( 22 tx ; Ec. de la Circunferencia

2/12 ))6(64(2

1t

dt

dxv

-4.0

-6.0

0

4.0

6.0

8.0

v (m/s)

t (s)

Tiempo

1.0 2.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.03.0 10.0 11.0 12.0

-8.0

-10.0

-12.0

Figura 21b

Page 6: Cinematica- Problemas Desarrollados

)6(])6(64[ 2/12 ttv

Para t = 8 s :

)68(])68(64[ 2/12v smv /15

2

15. En el gráfico “v – t“, hallar la posición del móvil para t – 10, si para t = 2 su posición era x0 = 5. El

móvil se desplaza en el eje x. Solución

)2(.vx ; 5 = v / 2 v = 5/2

mvA 10)4(.2

5)4(.1

;

mvA 5)2(.2

5

2

4.2

y mx

A 5.2

523

321 AAAxT ; xT = 10 + 5 - 5; xT = 10 m

16. Se muestra el gráfico “v – t” de un móvil que se desplaza en el eje x. Hallar su aceleración media

durante los 10 primeros segundos. Solución

22

5

82

015

sma

tavv of . ; )8(.2

515fv

vf = - 5 m/s

10

25

t

vva

of a = - 0.7 m/s

2

17. Dados los gráficos x – t de dos automóviles A y B determinar a que distancia del origen de

coordenadas se encuentran. Solución

smmA 5

80

040

t

x

0

405 ; x + 5.t = 40 … (A)

s

mmB 1504

)60(0

0

)60(15

t

x ; 15. t = x + 60 … (B)

De (A) y (B) se deduce :

6015

405

xt

tx 20.t = 100 t = 5 s

15 (5) – x = 60 x = 15 m

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18. Un automóvil de la figura se desplaza a razón de 108 Km/h y hacia un precipicio. El conductor aplica los frenos a partir del punto A de tal modo que experimenta un movimiento retardatriz con aceleración “a” , ¿cuál debe ser el mínimo valor de “a” para que el automóvil no caiga por el precipicio?.

Solución

s

mh

Kmv 301080

0fv ; el auto se detiene.

19. Dos automóviles se acercan el uno hacia el otro a 40 m/s y 30 m/s respectivamente. Cuando se

encuentran separados 280 m , los dos conductores se dan cuenta de la situación y aplican los frenos llegando al reposo al mismo tiempo precisamente antes de chocar. Si la desaceleración es constante para los dos automóviles , hallar la distancia recorrida por cada uno durante la frenada?.

Solución

Automóvil (1) : msx

sm

tvt

vvd

f120

2

830

2

..

2

111

1

Automóvil (2) : msx

sm

tvt

vvd

f160

2

840

2

..

2

222

2

d = d1 + d2 , 2

.

2

. 21 tvtvd ,

21

.2

vv

dt s

mt

sm

84030

)280(.2

20. Un automóvil viaja a razón de 72 Km/h. De pronto el conductor ve delante de él la luz roja de un

semáforo, y aplica los frenos, retardando uniformemente su movimiento a razón de 5 m/s2 ,

deteniéndose justo al lado del semáforo. ¿A qué distancia del semáforo se encontraba el automóvil cuando se encendió la luz roja?. Nota .- El tiempo de reacción media para un conductor es 7/10 s. Solución

davv of ..222

)100.(.2300 22 a

25.4s

ma

v

md 100

1v2v

1d2d

01fv 02fv

comúnTiempot :

md 280

vf = 0

Page 8: Cinematica- Problemas Desarrollados

Datos : v = 72 Km/h = 20 m/s Se enciende la luz roja cuando el auto se encuentra a una distancia x. La luz roja viaja casi inmediatamente hasta los ojos del conductor, encontrándose a x metros del semáforo. El conductor emplea 7/10 s para reaccionar, lo que continúa avanzando con velocidad constante durante dicho tiempo, o sea :

Tramo AB : msxs

md 1410

7201

Tramo BC :2

2

0

2..2 davv bb

f ,

2

22)5.(2200 d d2 = 40 m

x = d1 + d2 = 14 m + 40 m = 54 m

21. Un pasajero se encuentra a 20 m de un ómnibus detenido. Cuando el pasajero corre hacia el

ómnibus a razón de 6 m/s , aquel parte alejándose con aceleración constante de 1 m/s2 . ¿En

cuánto tiempo el pasajero logra alcanzar al ómnibus?. Si no lo alcanza , ¿hasta qué distancia como mínimo logró acelerarse al ómnibus?.

Solución Hombre (M.R.U.) : tvd h . , 20 + x = 6 . t (1)

Ómnibus (M.R.U.V.) : 22 )1(2

1

2

1ttax s

m (2)

De (2) y (1) : 2.2

1206 tt : 040122 tt

2

1612t , es un número complejo.

Luego, como el tiempo sólo acepta valores reales, nuestra suposición planteada es errada, esto

significa que el ómnibus nunca alcanza al ómnibus.

v

std 107

1 ,2d

bv0

0b

fv

a

x

A B C

sm

hv 6

m20 x

00v

21s

ma

AB C

t : común

Page 9: Cinematica- Problemas Desarrollados

Ómnibus : tavv f .0 , 6 = 0 + (1 m/s

2 ) t t = 6 s

Hasta este tiempo ( t = 6 s) el hombre y el ómnibus se habrán desplazado 36 m y 18 m. Hombre : dh = v.t = 6 x 6 = 36 m

Ómnibus : 22 )6()1(2

1

2

1s

mOmn tad dOmn = 18 m

36 + dmón = 10 + 18 dmín = 2 m

22. Un auto está esperando que cambie la luz de un semáforo. Cuando la luz cambia a verde, el auto acelera uniformemente durante 6 s a razón de 2 m/s

2 , después de lo cual se mueve con

velocidad constante. En el instante en que el auto comienza a moverse, un camión se mueve en la misma dirección con velocidad constante de 10 m/s y lo pasa. ¿En qué tiempo y a qué distancia se encontrarán nuevamente el auto y el camión?.

Solución

tavv f .0

, vf = 0 + 2 x 6 vf = 12 m/s

Además en este tiempo logra recorrer una distancia de :

22 )6()2(2

1

2

12s

mAB tad dAB = 36 m

y dcamión = 10 x 6 dcamión = 60 m Automóvil : x = 12t , t2 = 12 s Camión : 36 + x = 10 ( 6 + t2 ) , x = 144 m tTotal = 6 + 12 = 18 s , dTotal = 36 + 144 = 180 m 23. Dado el gráfico x vs t , determinar : a) la ecuación que define la trayectoria espacio-tiempo, b) la

posición del móvil en t = 10 s. Solución a) Luego : x = - 30 + 5 t b) x = - 30 + 5 (10) = 20 m x = 20 m

Velocidad (constante) = pendiente = Tg s

ms

mTg 5

6

30

v

v

v

20

20

0

)(mx

6 )(st10

1) t = 0 s ; x = - 30 m : -30 = x0 + v (0) x0 = -30 m

2) t = 6 s ; x = 0 : 0 = -30 + v (6) v = 5 m/s

tvxx .0

ctaLínea Re

smv 12

m36

st 61

22s

maa

A

BCx

2t

Page 10: Cinematica- Problemas Desarrollados

24. Una partícula móvil se desplaza a lo largo del eje x , y su posición para todo instante t viene dado

por la siguiente ley : x = 45 – 6 t – 3 t2 , donde x está en metros y t en segundos. Se pide

determinar : a) Su gráfica espacio-tiempo , b) La pendiente de la curva en t = 0 y en t = 5 s , c) el instante en el cual el móvil pasa por el origen de coordenadas.

Solución

Para un M.R.U.V. : 2

00 .2

1. tatvxx , Ecuación general.

Por comparación deducimos : x = 45 – 6t – 3 t2

x0 = 45 m , v0 = - 6 m/s , a = - 6 m/s2

b) La pendiente de la cuerva viene dada por :

tavTg o . , Tg = vf

Tg = - 6 – 6 t

Para : t = 0 s , Tg = - 6 m/s y t = 5 s , Tg = - 36 m/s

c) El móvil pasa por el origen de abscisas en t = 3 s.

25. Dada la gráfica posición versus tiempo de un móvil , se pide determinar : a) la aceleración del

móvil, b) la pendiente de la curva en t = 8 s , si en t = 0 s y Tg = - 8 m/s , c) el significado de que la curva toque el eje del tiempo en t = 4 s.

Solución

x T

45.00 0.0

41.25 0.5

36.00 1.0

29.25 1.5

21.00 2.0

11.25 2.5

0.00 3.0

-12.75 3.5

-27.00 4.0

:) Tabulara

23645 ttx36

60

0

)(mx

5 )(st2 4

45

27

16

0

)(mx

6 )(st2 4 8

.... DURM

.... AURM

Parábola

0v

0v

v

2

00 .2

1. tatvxx

2.2

1816 tatx

Según datos del problemas :

:.... AURM

Page 11: Cinematica- Problemas Desarrollados

Para : t = 0 s , Tg = - 8 m/s , v0 = - 8 m/s

x = 16 m ( 2

2

1 )0()0(816 ax )

a) Para : t = 4 s y x = 0 .- 2

2

1 )4()4(8160 a : a = 2 m/s2

2

2

1816 tatx

b) En estos gráficos la pendiente de la curva es la velocidad :

Tg = v0 + a.t = - 8 + 2 t t = 8 s

y Tg = 8 m/s

Observación .- Si : Tg = Tg : + = 180º

c) Si la curva toca el eje del tiempo sólo en t = 4 s , significa que el móvil llega al origen de abscisas en dicho instante, por lo tanto, v = 0.

26. Si el gráfico v versus t corresponde al movimiento unidimensional de una partícula , se pide

determinar : a) el desplazamiento y espacio recorrido entre t = 0 s y t = 10 s , b) la ley del movimiento x = f(t) , si además se sabe que el móvil se encontraba inicialmente en xo = - 12 m.

Solución 27. Un tren se mueve con aceleración constante. En un momento dado lleva una velocidad de 36 Km/h y después de recorrer cierta distancia alcanza una velocidad de 72 Km/h. Calcular esta distancia recorrida, si la aceleración del tren es de 2 m/s

2.

Solución d = 149.88 m 28. Dos automóviles parten de un mismo punto en direcciones perpendiculares entre sí, con

aceleraciones de 6 y 8 m/s2 . Calcular el número de segundos que pasará para que estén

separados 1600 m. Solución

2

1 .2

1tax

2/6 sm

2/8 sm0v

t

1600d2

2 .2

1tay

222 yxd

16

0

)/( smv

6

)(st

2

mv f

4 108

1A

2A

Por semejanza de triángulos :

mxA 96)1612(2

11

18m4

6

16

m

mxA 54)186(2

12

mAAdneto 30)54(9621

Desplazamiento neto, entre t = 0 y t = 10 s

mAAxT 78542421

Espacio Total

b)

a)

2

2

31212 ttx

davv of ..222

ds

mh

Kmh

Km .)2()36()72( 2

22

Page 12: Cinematica- Problemas Desarrollados

222

1 4)8(2

1.

2

1tttax , 222

2 3)6(2

1.

2

1tttay

222 )3()4(1600 tt ,

)916(

160024t

st 4

2

25

1600

MOVIMIENTO VERTICAL 29. Un astronauta en la Luna, arrojó un objeto verticalmente hacia arriba, con una velocidad inicial de 8 m/s. El objeto tardó 5 s para alcanzar el punto más alto de su trayectoria. Con estos datos, determinar el valor de “g” en la Luna. Solución

tgvv f .0 ;

g

vvt

f0

30. A un águila suspendida en el aire se le suelta de su pico su presa desde una altura de 500 m ,

después de 3 segundos imprime una velocidad inicial y baja a recuperar su presa, cogiéndola justamente antes de chocar con el suelo. Determinar la velocidad inicial con que debe de salir el águila para alcanzar su presa. Solución

2.2

1tgy ; s

g

yt 1.10

81.9

)500(22

2

2. t

gtvy oy

; 2

0 )7(2

81.9)7(.500 yv

sm

yv 05.370

31. Una piedra cae sin velocidad inicial desde el borde del techo de un edificio y requiere 1/4 s para

recorre la distancia de la parte superior a la inferior de una ventana de 6 pies de altura.¿Cuánto valdrá la distancia (en pies) del borde del techo a la parte superior de la ventana?.

Solución

piesh 6

¿?dA

0v

B

s4

1

2

4

13

2

1

4

1.6 Av spiesvA /20

dgvv 22

0

2 d)32(2020 22 piesd 25.6